向量与圆锥曲线经典题型
圆锥曲线综合解题题,向量、共线、四点共圆问题
圆锥曲线综合(一)1.交轨法2.三点共线3.四点共圆4.定值问题典型例题例1双曲线12222=-by a x 的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.例2抛物线)0(22>=p px y ，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.例3已知抛物线：x y 42=焦点为F ，过点K(-1，0)的直线l 与C 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明点F 在直线BD 上.例4已知椭圆在焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率为52，过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m ，0)是线段OF 上的一个动点，且→→→⊥+AB MB MA )(，求m 的取值范围.(3)设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.例5已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足→→→→=++0OP OB OA (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.例6设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的中垂线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？例7已知椭圆1422=+y x 的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心离为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直接AP 与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C 的方程；(2)设P 、T 两点的横坐标分别为x 1、x 2,证明：x 1x 2=1例8已知椭圆E:)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为F 1(3-,0),而且过点H(213，)(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1、A 2,P 是椭圆上异于A 1、A 2的任一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值.练习1已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点M(m,0)、N(0,n)分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0NF MN =⋅→→，若点P 满足→→→+=POON 2OM (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x=-a 分别交于点S 、T(O 为坐标原点)，试判断→→⋅FT FS 是否为定值？若是求出这个定值；若不是，说明理由.。
圆锥曲线综合大题(考题猜想,易错必刷32题15种题型)(原卷版)2024-2025学年高二数学上学期
圆锥曲线综合大题（易错必刷32题15种题型专项训练）➢韦达定理基础型➢直线横截式应用➢直线双变量型应用➢面积最值型➢面积比值范围型➢动直线过定点➢圆过定点➢圆锥切线➢定直线➢向量型定比分点➢斜率型：和定➢斜率型：积定➢斜率型：商定➢求轨迹➢新定义型第19题一．韦达定理基础型（共2题）1．（23-24高二下·四川成都·期中）已知椭圆C：22221x ya b+=（0a b>>），131,2Pæö-ç÷èø，231,2Pæöç÷èø，(30,P，()41,1P四点中恰有三点在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过右焦点F且斜率为1的直线l交椭圆C于M，N两点，点P为直线4x=上任意一点，求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．2．（23-24高二下·上海·期中）如图，由部分椭圆22221(0,0)x y a b y a b +=>>£和部分双曲线22221(0)x y y a b -=³，组成的曲线C 称为“盆开线”．曲线C 与x 轴有(2,0),(2,0)A B -两个交点，．(1)设过点(1,0)的直线l 与C 相切于点(4,3)M ，求部分椭圆方程、部分双曲线方程及直线l 的方程；(2)过A 的直线m 与C 相交于点,,P A Q 三点，求证：PBA QBA Ð=Ð．二． 直线横截式应用（共2题）3．（23-24高二上·广西南宁·期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>.(1)求椭圆C 的方程：(2)过点()1,0M 的直线l 与椭圆C 交于点A 、B ，设点1(,0)2N ，若ABN V 的面积为310，求直线l 的斜率k .4．（23-24高二下·云南玉溪·期中）在直角坐标平面内，已知点()()122,0,2,0A A -，动点P (x,y ).设1PA ､2PA 的斜率分别为12k k ､，且1234k k ×=-.设动点P (x,y )的轨迹为曲线C .(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 1(―1,0)的直线l 交曲线C 于M N ､两点，是否存在常数l ，使11MN F M F N l =×uuuu r uuuu r恒成立？三． 直线双变量型（共2题）5．（23-24高二下·天津·期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点()2,0A -，离心率为12．(1)求椭圆C 的方程；(2)点P Q 、为椭圆C 上不同的两点，直线AP 与y 轴交于点M ，直线AQ 与y 轴交于点),N E，设()0,(0)M m m >，且满足,EM EN PQ OE ^×=-uuu r uuu r，求点M 的坐标．6．（21-22高三上·湖北·期中）已知圆O ：222x y +=，椭圆C ：(22221x y a b a b+=>>，P是C 上的一点，A 是圆O 上的一点，PA 的最大值为(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点，PM 与圆O 相切于点N ，证明：2PO PM PN =×.四．面积最值型（共2题）7．（23-24高二下·福建泉州·期中）已知抛物线2:2(03)C y px p =<<，其焦点为F ，点(,Q m 在抛物线C 上，且4QF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)O 为坐标原点，,A B 为抛物线上不同的两点，且OA OB ^，（i ）求证直线AB 过定点；（ii ）求AFO V 与ABO V 面积之和的最小值．8．（23-24高二下·内蒙古呼和浩特·期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到()和)的距离和为4，设点11,2A æöç÷èø.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)M 为线段PA 的中点，求点M 的轨迹方程；(3)过原点O 的直线交P 的轨迹于B ，C 两点，求ABC V 面积的最大值.五．面积比值范围（共2题）9．（23-24高二·山东·期中）已知抛物线()2:20C y px p =>.过抛物线焦点F 作直线1l 分别在第一、四象限交C 于K P 、两点，过原点O 2与抛物线的准线交于E 点，设两直线交点为S .若当点P 的纵坐标为2-时，OP =(1)求抛物线的方程.(2)若EP 平行于x 轴，证明：S 在抛物线C 上.(3)在（2）的条件下，记SEP V 的重心为R ，延长ER 交SP 于Q ，直线EQ 交抛物线于N T 、（T 在右侧），设NT 中点为G ，求PEG △与ESQ V 面积之比n 的取值范围.10．（23-24高三上·青海西宁·期中）已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>点P 在椭圆E 上运动，且12PF F V (1)求椭圆E 的方程；(2)设A ，B 分别是椭圆E 的右顶点和上顶点，不过原点的直线l 与直线AB 平行，且与x 轴，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆E 相交于点C ，D ，O 为坐标原点.（ⅰ）求OCM V 与ODN △的面积之比；（ⅱ）证明：22CM MD +为定值.六．动直线过定点 （共2题）11．（23-24高二下·安徽阜阳·期中）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，P 是C 上一点，线段PF的中点为5,22Q æöç÷èø．(1)求C 的方程；(2)若7p <，O 为原点，点M ，N 在C 上，且直线OM ，ON 的斜率之积为2024，求证：直线MN 过定点．12．（22-23高二上·四川雅安·期中）已知()0,1P 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上一点，点P 与椭圆C 的两(1)求椭圆C 的标准方程；(2)不经过点P 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，若直线PA 与PB 的斜率之和为1-，证明：直线l 必过定点，并求出这个定点坐标．七． 圆过定点（共2题）13．（23-24高二下·上海·期中）已知椭圆22:12x C y +=(1)若双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的一条渐近线方程为y x =，且与椭圆C 有公共焦点，求此双曲线的方程；(2)过点10,3S æö-ç÷èø的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得以AB 为直径的圆恒过定点T ？若存在，求出T 的坐标，若不存在，说明理由．14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>F 到渐近线的距离为1．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 过定点()4,0M 且与双曲线C 交于不同的两点A 、B ，点N 是双曲线C 的右顶点，直线AN 、BN 分别与y 轴交于P 、Q 两点，以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．八．圆锥切线 （共2题）15．（23-24高二下·上海·期中）已知圆()22:21F x y -+=，动圆P 与圆F 内切，且与定直线3x =-相切，设圆心P 的轨迹为G (1)求G 的方程(2)若直线l 过点F ，且与G 交于,A B 两点①若直线l 与y 轴交于M 点，满足(),0,0MA AF MF FB l μl μ==>>uuu r uuu r uuur uuu r，试探究l 与μ的关系；②过点,A B 分别作曲线G 的切线相交于点P ，求PAB V 面积的最小值.16．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线2Γ:2x y =的焦点为F ，过Γ在第一象限上的任意一点P 作Γ的切线l ，直线l 交y 轴于点Q ．过F 作l 的垂线m ，交Γ于,A B 两点．(1)若点Q 在Γ的准线上，求直线l 的方程；(2)求PF 的中点M 的轨迹方程；(3)若三角形PAB ，求点Q 的坐标．九．定直线（共2题）17．（2024高二·全国·期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为C 的上、下顶点，O 为坐标原点，直线4y kx =+与C 交于不同的两点M ，N ．(1)设点P 为线段MN 的中点，证明：直线OP 与直线MN 的斜率之积为定值；(2)若AB 4=，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上．18．（2024·河北·期中）已知椭圆C 的中心在原点O 、对称轴为坐标轴，A æççè、12B ö÷÷ø是椭圆上两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)椭圆C 的左、右顶点分别为1A 和2A ，M ，N 为椭圆上异于1A 、2A 的两点，直线MN 不过原点且不与坐标轴垂直．点M 关于原点的对称点为S ，若直线1A S 与直线2A N 相交于点T ．（i ）设直线1MA 的斜率为1k ，直线2MA 的斜率为2k ，求12k k -的最小值；（ii ）证明：直线OT 与直线MN 的交点在定直线上．十．向量型定比分点 （共2题）19．（23-24高二下·江苏南京·期中）已知椭圆C ：()222210+=>>x y a b a b (P ．(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若3AF FB =uuu r uuu r，求PAB V 的面积．20．（2023·河南·期中）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点()10F ,，点12M ö÷÷ø在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点()2,1P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若PA PB l =uu u r uuu r ，()0AQ QB l l =>uuu ruuu r ，求OQ uuu r 的最小值（O是坐标原点）．十一．斜率型：和定 （共2题）21．（2024·河南郑州·期中）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，()00,P x y 是C 上一点且2200||||PF PF x x -=+，直线l 经过点(8,0)Q -．(1)求抛物线C 的方程；(2)①若l 与C 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；②若l 与C 在第一象限内的两个不同交点为,A B ，且Q 关于原点O 的对称点为R ，证明：直线,AR BR 的倾斜角之和为π．22．（23-24高二上·云南昆明·期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)M x y 1x =+.记点M 的轨迹为C .(1)求C 的方程；(2)设点T 在y 轴上（异于原点），过点T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，并且||||||||TA TB TP TQ =，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.十二．斜率型：积定（共2题）23．（23-24高二·辽宁鞍山·期中）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，右焦点为()2,0F 且离心率为23，直线:6l x =，椭圆C 的左右顶点分别为12,A A P ､为l 上任意一点，且不在x 轴上，1PA 与椭圆C 的另一个交点为2,M P A 与椭圆C 的另一个交点为N .(1)直线1MA 和直线2MA 的斜率分别记为12M A M A k k ､，求证：12MA MA k k ×为定值；(2)求证：直线MN 过定点.24．（23-24高二·云南昆明·期中）已知点P 在椭圆C:x2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，过点P 作直线l 与椭圆C 交于点Q ，过点P 作关于坐标原点O 的对称点P ¢，PP ¢的最小值为l 的斜率为0时，存在第一象限内的一点P 使得4,PP PQ =¢=(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 的斜率为k （k ≠0），直线QP ¢的斜率为k ¢，求k k ¢×的值．十三．斜率型：商定（共2题）25．（2024·广东广州·期中）已知在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：()22221,0x y a b a b -=>过和(两点.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)若S ，T 为双曲线C 上不关于坐标轴对称的两点，M 为ST 中点，且ST 为圆G 的一条非直径的弦，记GM 斜率为1k ，OM 斜率为2k ，证明：12k k 为定值.26．（23-24高二·广东汕头·期中）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点31,2æöç÷èø在该椭圆上，且该椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，过点F 且斜率为k 的直线l 与椭圆交于M ，N 两点，记直线AM 的斜率为1k ，直线BN 的斜率为2k ，求证：1213k k =．十四．求轨迹 （共2题）27．（23-24高二下·上海·期中）已知A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 地在B 地的正东方向，相距6km ；C 地在B 地的北偏西30°，相距4km ．P 为敌方炮兵阵地．某时刻A 地发现P 地产生的某种信号，12s 后B地也发现该信号（该信号传播速度为13km/s ）．以BA 方向为x 轴正方向，AB 中点为坐标原点，与AB 垂直的方向为y 轴建立平面直角坐标系．(1)判断敌方炮兵阵地P 可能分布在什么样的轨迹上，并求该轨迹的方程；(2)若C 地与B 地同时发现该信号，求从A 地应以什么方向炮击P 地？28．（23-24高二上·安徽宿州·期中）已知直线BC 经过定点()0,2,N O 是坐标原点，点M 在直线BC 上，且OM BC ^．(1)当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程；(2)已知点()3,0T -，过点T 的直线交轨迹E 于点P Q 、，且65OP OQ ×=uuu r uuu r ，求PQ ．十五．新定义型第19题（共4题）29．（2024·福建·期中）贝塞尔曲线是由法国数学家Pierre Bézier 发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础．贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击．(1)在平面直角坐标系中，已知点1T 在线段AB 上．若A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，1AT a AB =，求动点1T 坐标；(2)在平面直角坐标系中，已知(2,4)A -，(2,0)B -，(2,4)C ，点,M N 在线段,AB BC 上，若动点2T 在线段MN 上，且满足2AM BN MT a ABBCMN===，求动点2T 的轨迹方程；(3)如图，已知((A B C D ，若点3,,,,,M N P X Y T 分别在线段,,,,,AB BC CD MN NP XY 上，且3AM BN CP MX NY XT a ABBCCDMNNPXY======，求动点3T 的轨迹方程．30．（23-24高三上·湖北荆州·期中）已知双曲线E 的中心为坐标原点，渐近线方程为y =，点(2,1)-在双曲线E 上.互相垂直的两条直线12,l l 均过点()(,0n n P p p >)*N n Î，直线1l 交E 于,A B 两点，直线2l 交E 于,C D 两点，,M N 分别为弦AB 和CD 的中点.(2)若直线MN 交x 轴于点()()*,0N n Q t n Î，设2n n p =.①求n t ；②记n a PQ =，()*21N n b n n =-Î，求211(1)nkk k k k b b a +=éù--ëûå.31．（2024·四川·期中）已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线与C 相交于点A ，B ，AOB V 面积的最小值为12（O 为坐标原点）.按照如下方式依次构造点()*N n F n Î：1F 的坐标为(),0p ，直线n AF ，n BF 与C 的另一个交点分别为n A ，n B ，直线n n A B 与x 轴的交点为1n F +，设点n F 的横坐标为n x .(2)求数列{}n x 的通项公式；(3)数列{}n x 中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.32．（2024·江西新余·期中）通过研究，已知对任意平面向量(),AB x y =uuu r，把AB uuu r绕其起点A 沿逆时针方向旋转q 角得到向量()cos sin ,sin cos AP x y x y q q q q =-+uuu r，叫做把点B 绕点A 逆时针方向旋转q 角得到点P ，(1)已知平面内点(A ，点B-，把点B 绕点A 逆时针旋转π3得到点P ，求点P 的坐标：(2)已知二次方程221+-=x y xy 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆()222210+=>>x y a b a b绕原点O 逆时针旋转π4所得的斜椭圆C ，（i ）求斜椭圆C 的离心率；（ⅱ）过点Q 作与两坐标轴都不平行的直线1l 交斜椭圆C 于点M 、N ，过原点O 作直线2l 与直线1l垂直，直线2l 交斜椭圆C 于点G 、H 理由.。
专题07 圆锥曲线中的向量共线问题(解析版)
专题07 圆锥曲线中的向量共线问题一、单选题1．已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，点M ，N 分别在抛物线C 上.若2MF FN =，则点M 到y 轴的距离为（ ）A ．12B ．35C ．23D ．1【答案】D 【分析】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得11x =.【详解】由22y x =可得1(,0)2F ，设211(,)2y M y ，222(,)2y N y ，由2MF FN =，可得22121211(,)2(,)2222y y y y --=-，所以22121122y y -=-且122y y -=，所以22113224y y -=，解得212y =，所以21112y x ==，所以点M 到y 轴的距离为1. 故选：D. 【点睛】本题考查了抛物线的几何性质，考查了平面向量共线的坐标表示，属于基础题.2．抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =，点A 到x 轴的距离为2，则p 的值是（ ）A．B ．4C ．D ．2【答案】C 【分析】画出图形，通过向量关系，转化为：1||||||3AB AF AP ==，通过求解三角形，结合抛物线的性质转化求解即可． 【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ， 点P 在l 上，线段PF 与抛物线C 交于点A ，若4PF AF =， 过A 作AB l ⊥于B ，则1||||||3AB AF AP ==，所以tan 4APB ∠=，设准线与x 轴交于D ，则|||DP FD ==，因为点A 到x 轴的距离为2，14=，解得P =故选：C ．【点睛】本题考查抛物线几何性质、平面向量的线性运算，熟练掌握抛物线的几何性质是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．3．已知双曲线的标准方程为221412x y -=，过其右焦点F 的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若13AF FB =，则AB 的垂直平分线与x 轴交点的横坐标是（ ）A ．20B ．10C ．12D ．18【答案】A 【分析】解法一：先根据双曲线的方程得到焦点F 的坐标,设出直线AB 的方程,并将其与双曲线方程联立,再结合13AF FB =及根与系数的关系,求出AB 的中点坐标,进而可得AB 的垂直平分线的方程,最后求其与x 轴交点的横坐标即可；解法二：设出A ,B 两点的坐标,结合13AF FB =,利用向量的坐标表示求出两点坐标之间的关系进行求解. 【详解】解法―：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F ,故由题意可设直线AB 的方程为()40x ty t =+≠.联立方程,得2241412x ty x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去x 得()223124360t y ty -++=.设()11,A x y ,()22,B x y .由13AF FB =及根与系数的关系,得121221221324313631y y t y y t y y t ⎧-=⎪⎪⎪+=-⎨-⎪⎪=⎪-⎩,得12y y t ⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩,或12y y t ⎧⎪=⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩由对称性不妨设15t =-,则AB 的中点坐标为(5,,所以AB的垂直平分线的方程为)5y x =-,令0y =,得20x .故选：A.解法二：由221412x y -=,得双曲线的右焦点()4,0F .不妨设点A 在第一象限内,设()()111,0A x y x >,()22,B x y ,因为13AF FB =,所以()1212144313x x y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩,得21211633x x y y =-⎧⎨=-⎩.又点A ,B 在双曲线上,所以()()22112211141216331412x y x y ⎧-=⎪⎪⎨--⎪-=⎪⎩,得113x y =⎧⎪⎨=⎪⎩则227x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩所以AB的中点坐标为(5,,直线AB 的斜率k =所以AB的垂直平分线的方程为)5y x =-,令0y =,得20x .故选：A. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系、向的坐标表示. 试题综合考查直线与双曲线的位置关系,引导考生抓住解析几何问题的本质,透过本质建立数与形之间的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.4．已知抛物线2:4C x y =，焦点为F ，圆()222:2400M x x y y a a -+++=>，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点（点A 在第一象限），且4FB AF =，直线l 与圆M 相切，则a =（ ） A ．0 BCD ．3【答案】B 【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，可得1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =结合向量的坐标运算以及21122244x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩可求得点A 的坐标，进而可求得直线l 的方程，由直线l 与圆M 相切，得出圆心到直线的距离等于圆的半径，由此可求得实数a 的值. 【详解】抛物线C 的焦点为()0,1F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则1>0x ，且2114x y =，由4FB AF =得()()2211,14,1x y x y -=--，()21214141x x y y =-⎧∴⎨-=-⎩，由()21141y y -=-，即222114144x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即4211450x x +-=，可得211x =，11x ∴=， 所以，点A 的坐标为11,4⎛⎫ ⎪⎝⎭， 直线AF 的斜率为1134104AFk -==--，则直线l 的方程为314y x =-+，即3440x y +-=， 将圆M 的方程写为标准式得()()222125x y a -++=-，则250a a ⎧->⎨>⎩，可得0a <<由于直线l 与圆M 31424955⨯-⨯-==，解得5a =，合乎题意. 故选：B. 【点睛】本题考查利用直线与圆相切求参数，同时也考查了利用抛物线中向量共比例关系求直线方程，考查计算能力，属于中等题.5．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，过F C 于A 、B 两点，若4AF FB =，则C 的离心率为（ ） A ．58B ．65C ．75D ．95【答案】B 【分析】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ，根据直线AB 得到12AD AB =，再利用双曲线的第二定义得到()1AD AF FB e=-，又AB AF FB =+，结合4AF FB =求解.【详解】设双曲线2222:1x y C a b-=的右准线为l ，过A 、B 分别作AM l ⊥于M ，BN l ⊥于N ，BD AM ⊥于D ， 如图所示：因为直线AB 所以直线AB 的倾斜角为60︒， ∴60BAD ∠=︒，12AD AB =， 由双曲线的第二定义得：()()11122AM BN AD AF FB AB AF FB e -==-==+， 又∴4AF FB =， ∴352FB FB e =， ∴65e =故选：B 【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.6．已知点()2,0Q -与抛物线()220y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =，且直线QA 的斜率为1，则p =（ ）A ．2B ．4C．2 D．【答案】C 【分析】判断A 、B 的位置，结合向量关系，推出A 、B 横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可. 【详解】解：由题意可知A 在第一象限，B 在第四象限，设()(),,,A A B B A x y B x y ，()0,p P y由3AB BP =，所以()(),3,B A B A B P B x x y y x y y --=--，得4A B x x =，又224,4A A B B y x y x ==，所以2A B y y =-，又A 、F 、B 三点共线，可得2A B BA B B y y y p x x x -=--，即2222B BA B y p y p y y p =+-， 可得2B A y y p =-，∴2212A y p -=-，A y ，A x p =， 由QA 斜率为1可得：12AA y x =+1=，则2p =. 故选：C . 【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数p ；基础题. 二、解答题7．在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的左、右焦点分别为1F 、2F ，左顶点为A ，上顶点为B ，离心率为e ．椭圆上一点C 满足：C 在x 轴上方，且2CF ∴x 轴．（1）如图1，若OC ∴AB ，求e 的值；（2）如图2，连结1CF 并延长交椭圆于另一点D．若12e ≤≤11CF F D 的取值范围．【答案】（1）2；（2）7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】（1）根据2CF x ⊥轴，设C 0(,)c y ，00y >，再根据点C 在椭圆上求得其坐标，然后再根据 OC ∴AB ，由AB OC k k =求解.（2）设11(,)D x y ，11CF F D λ=，由（1）2(,)b C c a，1(,0)F c -，然后用λ表示D 的坐标，代入椭圆方程求解. 【详解】（1）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2c ．∴ 2CF x ⊥轴可设C 0(,)c y ，00y >，因为22221yca b+=，所以4202bya=，解得2bya =，∴C2 (,)b ca∴ OC∴AB，所以22 AB OCbb bak ka c ac ====∴ b=c∴cea===（2）设11(,)D x y，11CF F Dλ=，由（1）知：2(,)bC ca，1(,0)F c-，212,bCF ca=--（），111(,)F D x c y=+，∴11CF F Dλ=∴12()c x cλ-=+，21byaλ-=所以12x cλλ+=-，21byaλ=-，∴22(,)bD caλλλ+--又∴D在椭圆上∴222222()()1b c a abλλλ+--+=， 化简得：222(43)1e λλλ++=- 又∴0λ>，2221-1414333e λλλλλλ-===-++++∴102e λ≤≤>）， 21344e ≤≤， 则1431434λ≤-≤+， 解得：7133λ≤≤ 所以11CF F D 取值范围是7,133⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 【点睛】方法点睛：求椭圆的离心率的常用方法：∴直接求出a ，c 来求解e .通过已知条件列出方程组，解出a ，c 的值；∴构造a ，c 的齐次式，解出e .由已知条件得出关于a ，c 的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e 的一元二次方程求解；∴通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a ≤x ≤a ，－b ≤y ≤b ，0＜e ＜1等，在求椭圆相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．8．已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>经过点(（1）求曲线C 的方程；（2）设直线:l y x =C 交于,A B 两点，点M 为OA 中点，BM 与曲线C 的另一个交点为N ，设BM mMN =，试求出m 的值.【答案】（1）2213y x +=；（2）53m =. 【分析】（1）由椭圆的离心率及经过的点列方程即可得解；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，由韦达定理得12x x 、12y y ，再由平面向量的数乘运算可得()()012012112112m x x xm mm y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，代入椭圆方程运算即可得解. 【详解】（1）由题意得222231a c a a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 的方程为2213y x +=；（2）设()()()112200,,,,,A x y B x y N x y ，将:=l y x 2213y x +=得2410x +-=，所以121214x x x x +==-，所以()12121212324y y x x x x x x ==++=， 由点M 为OA 中点得1111,22M x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由BM mMN =得121201011111,,2222x x y y m x x y y ⎛⎫⎛⎫--=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()012012112112m x x xm m m y y y m m ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，因为N 在椭圆上，所以220013y x +=，所以()()22121211111+=1232m m x x y y mm m m ++⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 即()()2222212121212222111+14333m m y y y y x x x x m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又因为2222121212121,1,0333y y y y x x x x +=+=+=，所以()22211+14m m m+=，化简得23250m m --=，解得53m =（负值舍去）. 【点睛】解决本题的关键是设出点的坐标，利用韦达定理及向量的数乘对条件合理转化，细心计算即可得解.9．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的两个焦点为1F ，2F，焦距为l ：1y x =-与椭圆C相交于A ，B 两点，31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点. （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，()0,Q m ，若3OM ON OQ λ+=（O 为坐标原点），求m 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）113m <<或113m -<<-. 【分析】（1）31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点, 设()11,A x y ，()22,B x y ,代入椭圆方程利用点差法可求解. （2）由M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+，根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ=，将直线l 的方程和椭圆C 方程联立，利用韦达定理即可求得答案. 【详解】（1）∴焦距为c =()11,A x y ，()22,B x y ，∴31,44P ⎛⎫-⎪⎝⎭为弦AB 的中点，根据中点坐标公式可得：1232x x +=，1212y y +=-，又∴将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆C ：22221x y a b +=∴2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩ ∴将两式作差可得：()()()()22121212120bx x x x a y y y y +-++-=，所以()()22121222121231ABb x x y y b k x x a y y a +-==-==-+， 所以223a b ………∴.∴222a c b -=………∴由∴∴得：2231a b ⎧=⎨=⎩所以椭圆的标准方程为2213x y +=.（2）∴M ，Q ，N 三点共线，133OQ OM ON λ=+ ∴根据三点共线性质可得：1133λ+=，则2λ= 设()11,M x y ，()22,N x y ，则1212033x x +=， ∴122x x =-.将直线l 和椭圆C 联立方程22,33y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消掉y . 可得：()222136330k x kmx m +++-=.220310k m ∆>⇒-+>………∴，根据韦达定理：122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 代入122x x =-，可得：22613km x k =+，222233213m x k--=+， ∴()222222363321313k m m kk --⨯=++，即()2229131m k m -⋅=-.∴2910m -≠，219m ≠， ∴22213091m k m -=≥-………∴， 代入∴式得22211091m m m --+>-，即()22211091m m m -+->-，∴()()2221910mm m --<，∴2119m <<满足∴式， ∴113m <<或113m -<<-.【点睛】本题考查椭圆的中点弦问题，考查直线与椭圆的综合问题，联立方程，韦达定理的应用，属于中档题.10．如图，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线2AF 交椭圆于另一点B .（1）若190∠=F AB ，求椭圆的离心率；（2）若椭圆的焦距为2，且222AF F B =，求椭圆的方程.【答案】（1）2；（2）22132x y +=.【分析】（1）根据190∠=F AB 得到b c =，a =，可得c e a ==； （2）设(),B x y ，根据222AF F B =得到32x =，2b y =-，代入22221x y a b +=，解得23a =，可得222312b a c =-=-=，从而可得椭圆方程.【详解】（1）若190F AB ∠=︒，则12F AF 和2AOF △为等腰直角三角形．所以有2OA OF =，即b c =．所以a =，2c e a ==． （2）由题知()0,A b ，()21,0F ，设(),B x y ， 由222AF F B =，得()()1,21,b x y -=-，所以 32x =，2by =-． 代入22221x ya b+=，得2229441b a b +=． 即291144a +=，解得23a =．所以222312b ac =-=-=， 所以椭圆方程为22132x y +=．【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆方程，考查了平面向量共线的坐标表示，属于中档题.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>），O 为坐标原点，长轴长为4，离心率12e =．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 的方程为：()1y k x =-，点A 为椭圆C 在x 轴正半轴上的顶点，过点A 作AB l ⊥，垂足为M ，点B 在椭圆上（不同于点A ）且满足：25MB AM =，求直线l 的斜率k ．【答案】（1）22143x y +=；（2）k =±． 【分析】（1）由长轴长为4求a ，再由离心率12e =求c ，根据椭圆的性质求b ，从而得到椭圆方程． （2）椭圆C 的右顶点A 为(2,0)．直线1:1l x y k=+，直线AB 的方程为2x ky =-+，分别与椭圆方程联立，求出,B M 的纵坐标，利用向量关系，转化求解直线的斜率即可． 【详解】（1）由椭圆的离心率12e =，长轴长为4可知2a =，1c =，∴23b =， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）椭圆C 的右顶点A 为()2,0．由题可知0k ≠，直线l ：11x y k=+，直线AB 的方程为2x ky =-+， 由112x y kx ky ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，可知21M k y k =+， 由2234120x ky x y =-+⎧⎨+-=⎩，得()2234120k y ky +-=，则21234B k y k =+， ∴25MB AM =，∴()()250B M M y y y -=-，则22212523411kk k k k k ⎛⎫-=⎪+++⎝⎭ ∴0k ≠，∴243k =，解之，3k =±． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，同时考查了平面向量的坐标运算，考查计算能力，属于综合题.12．已知椭圆1C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线被椭圆1C 和圆222x y a +=截得的弦长分别为2和（1）求1C 的标准方程；（2）已知动直线l 与抛物线2C ：24y x =相切（切点异于原点），且l 与椭圆1C 相交于M ，N 两点，问：椭圆1C 上是否存在点Q ，使得63OM ON OQ +=，若存在求出满足条件的所有Q 点的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在，Q 点坐标为⎛ ⎝⎭或⎛ ⎝⎭【分析】（1）（1）设直线方程为x c =-，分别与椭圆方程，圆联立解得交点坐标，再根据弦长分别为2和求解.（2）设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，与抛物线方程联立，根据l 与2C 相切，则2100m n ∆=⇒+=，与椭圆方程联立，由63OM ON OQ +=结合韦达定理得到Q 坐标代入椭圆方程求解. 【详解】（1）设直线方程为x c =-，与椭圆方程()222210x y a b a b +=>>联立解得2by a=±，所以222b a=，直线方程为x c =-，与圆222x y a +=联立解得y b =±，所以2b =解得2,a b ==故1C ：22142x y +=.（2）由题知l 存在且斜率不为0，设l ：()0x my n m =+≠，()11,M x y ，()22,N x y ，()00,Q x y ，联立24x my ny x=+⎧⎨=⎩，得2440y my n --=，因为l 与2C 相切，故2100m n ∆=⇒+=，联立2224x my n x y =+⎧⎨+=⎩，得()2222240m y mny n +++-=， 所以12222mn y y m +=-+，212242n y y m -=+，22202424n m n ∆>⇒<+=-+，又20m n =->，所以()1n ∈-.因为6OM ON OQ +=，所以120120x x x y y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，由韦达定理，代入计算得00x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因为点()00,Q x y 在椭圆上，即22024x y +=， 代入得()()22222222412422n m n m m +=++，即2221322n n m n==+-，()1n ∈-， 解得1n =-或23n =（舍）， 所以1m =±，此时Q点坐标为,33⎛-- ⎝⎭或33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查直线与椭圆，直线与抛物线，直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率是12，且椭圆C经过点2P ⎭，过椭圆C 的左焦点F 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若2MF FN =，求直线l 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（220y ±=. 【分析】（1）依题意得到方程组222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩，解得即可；（2）设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，由2MF FN =，可得122y y -=，从而求出参数的值， 【详解】解：（1）设椭圆C 的半焦距为c .由题意可得222221,2331,4,c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=-⎪⎪⎩解得24a =，23b =.故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）可得()1,0F -当直线l 的斜率为0时，()2,0M -，()20N ，或()20M ，，()2,0N -， 此时2MF FN ≠，不符合题意.当直线l 的斜率不为0时，可设直线l 的方程为1x my =-，()11,M x y ，()22,N x y .联立221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234690m y my +--=，则1212229,63434y y y y m m m ==-+++， 因为2MF FN =，所以122y y -=.从而1222634my y y m +=-=+，21221222269,23434m y y y y y y m m +=-==-=-++， 则2226923434m m m ⎛⎫-⨯=- ⎪++⎝⎭，解得m =. 故直线l20y ±=. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 14．已知过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于A ，B 两点. （1）若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB 的方程；（2）若点A ，B 在直线2y =-上的射影分别为1A ，1B ，线段1AB 的中点为Q ，求证1//BQ PA . 【答案】（1）122y x =+；（2）证明见解析； 【分析】（1）由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+．然后由2AP PB =，根据定比分点的知识，可得12223x x +=，12203y y +=．将112y kx =+，222y kx =+代入最终可得到k 的值，则即可求出直线AB 的方程；（2）先联立直线l 与抛物线方程，整理得到一元二次方程，根据韦达定理有124x x k +=，128x x =-．再根据题意写出∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-．再根据平行向量的坐标公式12210x y x y -=进行代入计算即可证明1//BQ PA ． 【详解】（1）解：由题意，设过点(0,2)P 的直线l 的斜率为k ，则:2l y kx =+． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．2AP PB =，∴根据定比分点的知识，有12203x x +=，12223y y +=， 1220x x ∴+=．联立224y kx x y =+⎧⎨=⎩，消去y ，整理得2480x kx --=．解得12(x k =，22(x k =，1222(4(0x x k k ∴+=+=，整理，得30k =>，解得12k =． ∴直线AB 的方程为122y x =+． （2）证明：根据（1），联立直线l 与抛物线方程，得224y kx x y=+⎧⎨=⎩， 整理，得2480x kx --=． 则124x x k +=，128x x =-．11(A x ，2)-，12(B x ，2)-．12(2x x Q +∴，2)-． ∴122(2x x BQ x +=-，22)y --，11(PA x =，4)-． 12212()(4)(2)2x x x x y +----- 2112211212124(2)22222x x x y x x x y x x x y -=++=-++=+ 222212122244x xx x x x x =+=+222(8)04x x =+-=． 1//BQ PA ∴．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的综合问题，考查了定比分点的应用，平行向量坐标公式的应用，考查了逻辑思维能力和数学运算能力．属于中档题．15．已知222:4)(0E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若2m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF 的范围；（2）若l 过点(,)2mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【答案】（1）[]2,1-；（2）46k ±=. 【分析】（1）求得焦点坐标，设(,)K x y ，运用向量数量积的坐标表示，结合椭圆的范围，可得所求范围；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，运用中点坐标公式和点差法，直线的斜率公式，结合平行四边形的性质，即可得到所求斜率． 【详解】解：（1）2m =时，椭圆22:14x E y +=，两个焦点1(F )，2F 0)，设(,)K x y ，可得2214x y +=，即2244x y =-，1(F K x =+)y，2(F K x =)y ，2221212331KF KF F K F K x y y ==-+=-+， 因为11y -，所以12KF KF 的范围是[]2,1-；（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，可得12(2x x M +，12)2y y +， 则222112222244x y m x y m⎧+=⎨+=⎩，两式相减可得12121212()()4()()0x x x x y y y y +-++-=， 12121212()()140()()y y y y x x x x +-+=+-，即140OM l k k +=，故14OM l k k =-，又设(P P x ，)P y ，直线:()(0,0)2ml y k x m m k =-+≠≠，即直线l 的方程为2m y kx km =-+， 从而1:4OM y x k =-，代入椭圆方程可得，2222414P m k x k =+，由()2m y k x m =-+与14y x k=-，联立得224214M k m kmx k -=+，若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以2M P x x =，即2222224244()1414k m km m k k k-=++，整理可得2121630k k -+=，解得k =，经检验满足题意，所以当46k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系，注意运用点差法，考查向量数量积的坐标表示，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16．设抛物线E ：()220y px p =>焦点为F ，准线为l ，A 为E 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B 、D 点．（∴）若60BFD ∠=︒，BFD △p 的值及圆F 的方程； （∴）若点A 在第一象限，且A 、B 、F 三点在同一直线1l 上，直线1l 与抛物线E 的另一个交点记为C ，且CF FA λ=，求实数λ的值．【答案】（∴）2p =，圆F 为：()221613x y -+=；（∴）13λ=． 【分析】（∴）依题意可得BFD △为正三角形，且BF =根据BFD △的面积，即可求出p ，从而得到圆F 的方程；（∴）依题意可得直线AB 的倾斜角为3π或23π，由对称性可知，设直线l：2p x =，()11,A x y ，()22,C x y ，联立直线与抛物线方程消元列出韦达定理，由CF FA λ=，即可得到()2143λλ-=，解得即可；【详解】解：（∴）焦点到准线l 的距离为p ，又∴BF FD =，60BFD ∠=︒，∴BFD △为正三角形．∴BF =2p B ⎛- ⎝，∴21sin 602BFD S BF =︒=△2p ∴=， ∴圆F 为：()221613x y -+=． （∴）若A 、F 、B共线，则AF BF DF ==，2BDA π∴∠=∴12AD AF AB ==，6DBA π∴∠= ∴直线AB 的倾斜角为3π或23π， 由对称性可知，设直线l ：2px =+，()11,A x y ，()22,C x y ，CF FA λ=， 联立()121222221211202p y y y x y y p y y p y y px λλ⎧⎧+==-⋅=+⎪⎪⇒-=⇒⎨⎨⎪⎪⋅=-=-⋅=⎩⎩，∴()2143λλ-=，231030λλ∴-+=，3λ∴=或13λ=， 又AF BF p =>，12p x >，01λ∴<<，所以13λ=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，向量共线求出参数的值，属于中档题.17．已知抛物线()2:20C y px p =>，过抛物线C 的焦点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于,P Q 两点，4PQ =.（1）求抛物线C 的方程，并求其焦点F 的坐标和准线l 的方程；（2）过抛物线C 的焦点F 的直线与抛物线C 交于不同的两点,A B ，直线OA 与准线l 交于点M .连接MF ，过点F 作MF 的垂线与准线l 交于点N .求证：,,O B N 三点共线.【答案】（1）抛物线C 的方程为24y x =，焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为1x =-（2）证明见解析 【分析】（1）根据抛物线通径的性质，得出2p =，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标和准线方程；（2）根据题意，设直线:1AB x ty =+，与抛物线方程联立，求出则124y y t +=，124y y =-，通过直线相交分别求出141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭和()11,N y -，从而求出1ON k y =-和24OB k y =，通过化简求出0OB ON k k -=，即可证出,,O B N 三点共线.【详解】解：（1）24PQ p ==，则2p =，故抛物线C 的方程为：24y x =，其焦点F 坐标为()1,0，准线l 方程为：1x =-（2）设直线:1AB x ty =+，联立214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --=，则216160t =+>△，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-.法1：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 直线MF 的斜率1140211MFy k y --==--， 则直线FN 的斜率12FN y k =-， 直线()1:12y FN y x =--，则点()11,N y - 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =， 则()12122244440OB ON y y k k y y y y +--=--===， 所以,,O B N 三点共线.法2：直线11:y OA y x x =， 由2114y x =得14y x y =，故点141,M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()21,M y -.直线MF 的斜率220112MF y yk -==---， 直线()22:1FN y x y =-，得点241,N y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 由124y y =-，得()11,N y -. 直线ON 的斜率1ON k y =-.直线OB 的斜率22OB y k x =，由2224y x =得24OB k y =，由124y y =-，得1OB k y =-， 则有OB ON k k =.所以,,O B N 三点共线.法3：（1）∴4PQ =，∴2PF =，∴22OF =，∴1OF =，2p =，∴抛物线C 的标准方程为：24y x =，则焦点坐标为：()1,0F ，准线方程为：:1l x =-.（2）设直线:1AB x ty =+，联立得：2440y ty --=，212121616044t y y ty y ⎧∆=+>⎪+=⎨⎪=-⎩， 设()11,A x y ，()22,B x y ，∴直线11:y AO y x x =， 当1x =-时，11y y x =-，∴111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴112MF y k x =，∴1121FN MF x k k y =-=-， ∴直线()112:1x FN y x y =--， 当1x =-时，114x y y =，∴1141,x N y ⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∴114NO x k y =-，22BO y k x =， ∴21214BO NO y x k k x y -=+ ()()1212121221214114y y y y y y x x x y x y ++++++==()()12122142144y y y y x y ++++++=()22442116240x y -+++++==，∴BO NO k k =， ∴,,B O N 共线. 【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力. 18．已知抛物线E 上的焦点为(0,1)F . （1）求抛物线E 的标准方程；（2）过F 作斜率为k 的直线l 交曲线E 于A 、B 两点，若3BF FA =，求直线l 的方程.【答案】（1）24x y =；（2）13y x =±+. 【分析】（1）根据焦点坐标求得p ，结合抛物线的开口方向求得抛物线E 的标准方程.（2）联立直线l 的方程和抛物线方程，写出根与系数关系，结合3BF FA =求得k 的值，进而求得直线l 的方程. 【详解】（1）依题意，抛物线的焦点为()0,1F ，开口向上，2,24p p ==，所以曲线E 的方程为：24x y =； （2）设过F 的斜率为k 的直线方程为：1y kx =+，联立214y kx x y=+⎧⎨=⎩，消去y 并化简得2440x kx --=. 令11(,)A x y 、22(,)B x y ， 所以124x x k +=，124x x -=，由题可知：3BF FA =，即：2211(,1)3(,1)x y x y --=-，即得213x x -=，由124x x k +=，124x x -=，213x x -=得：213k =，3k =±，所求直线l 的方程为：1y x =+. 【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线的位置关系，属于中档题. 19．已知椭圆22:24C x y += （1）求椭圆C 的标准方程和离心率；（2）是否存在过点()0,3P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=，e =；（2）存在，7x ＝0或7x ﹣＝0 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程，可得a ，b ，c ，由离心率公式可得所求值；（2）假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =，可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程，消去x 可得y 的二次方程，运用韦达定理和判别式大于0，再由向量共线的坐标表示，化简整理解方程，即可判断是否存在这样的直线． 【详解】（1）由22142x y +=，得2,a b =c ==2c e a ==； ∴2∴假设存在过点P （0，3）的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且满足2PB PA =， 可设直线l 的方程为x ＝m （y ﹣3），联立椭圆方程x 2+2y 2＝4，可得（2+m 2）y 2﹣6m 2y +9m 2﹣4＝0，∴＝36m 4﹣4（2+m 2）（9m 2﹣4）＞0，即m 2＜47， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），可得y 1+y 2＝2262m m +，y 1y 2＝22942m m-+，∴ 由2PB PA =，可得（x 2，y 2﹣3）＝2（x 1，y 1﹣3），即y 2﹣3＝2（y 1﹣3），即y 2＝2y 1﹣3，∴将∴代入∴可得3y 1﹣3＝2262m m +，y 1（2y 1﹣3）＝22942m m-+，消去y 1，可得22232m m ++•22322m m -+＝22942m m -+，解得m 2＝2747<，所以m =，故存在这样的直线l ，且方程为7x ＝0或7x y ﹣＝0． 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．20．设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为60,1F 到直线l 的距离为 （1）求椭圆C 的焦距；（2）如果222AF F B =，求椭圆C 的方程.【答案】（1）4；（2）22195x y +=.【分析】（1）由题意可设直线l的方程为)y x c =-，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得)2y x =-，联立方程)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消x ，求出两交点的纵坐标，再由222AF F B=得出两交点纵坐标的关系即可求解. 【详解】（1）由题意可得：直线l的方程为)y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=2c =，∴椭圆C 的焦距24c =.（2）由（1）可得)2y x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，10y <，20y >，联立)222221y x x y ab ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()22224330ab y y b ++-=，解得()2122223a y a b +=+，()2222223a y a b-=+，因为222AF F B =，所以122y y -=，即()()2222222222233a a a b a b+-=⋅++，解得3a =， 又2c =，故b ==故椭圆C 的方程为22195x y +=.【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质、直线与椭圆的位置关系，此题要求有较高的计算求解能力，属于中档题.21．设椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>左焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，直线l 的倾斜角为45︒，且3AF FB = （1）求椭圆C 的离心率；（2）若||AB =C 的方程. 【答案】（1（2）2212x y +=.【分析】（1）设直线方程为y x c =+，联立22221y x cx y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12,y y ，根据3AF FB =，由123y y -=求解.（2）根据2121||3AB y y =-=-=，结合（1）的数据代入求解. 【详解】（1）设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得120,0y y ><，直线方程为：y x c =+，联立22221y x c x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222420a b y b cy b +--=，解得)()22122222,c b c b y y a ba b+==++，因为3AF FB =， 所以123y y -=，即)()2222223c b c b a ba b+--=++，所以c e a ==（2）因为22121224||ab AB y y a b =-=-==+ 所以222322ab a b =+，又2c e a ==，则2b a =，解得1a b ==，所以椭圆C 的方程是2212x y +=.【点睛】本题主要考查椭圆的离心率的求法和椭圆方程的求法以及平面向量的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．如图，已知椭圆：2214x y +=，点A ，B 是它的两个顶点，过原点且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交于点D ，且与椭圆相交于E 、F 两点．（∴）若6ED DF =，求k 的值； （∴）求四边形AEBF 面积的最大值.【答案】（∴）23k =或38k =；（∴） 【分析】（∴）由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，y kx =，0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=，进而求得2x 的表达式，进而根据6ED DF =，求得0x 的表达式，由D 在AB 上知0022x kx +=，进而求得0x 的另一个表达式，两个表达式相等求得k ．（∴）由题设可知BO 和||AO 的值，设11y kx =，22y kx =，进而可表示出四边形AEBF 的面积，进而根据基本不等式的性质求得最大值． 【详解】（∴）椭圆：2214x y +=，(2,0)A ，(0,1)B ，直线AB ，EF 的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．如图，设0(D x ，0)kx ，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，其中12x x <，且1x ，2x 满足方程22(14)4k x +=，故21x x =-=．∴由6ED DF =，知01206()x x x x -=-，得021215(6)77x x x x =+==， 由D 在AB 上知0022x kx +=，得0212x k=+，212k=+， 化简得2242560k k -+=，解得23k =或38k =． （∴）由题设，1BO =，||2AO =．由（∴）知，1(E x ，1)kx ，2(F x ，2)kx ，不妨设11y kx =，22y kx =，由∴得20x >， 根据E 与F 关于原点对称可知210y y =->，故四边形AEBF 的面积为OBE OBF OAE OAF S S S S S ∆∆∆∆=+++12211111·()?··()2222OB x OB x OA y OA y =-+++- 21212211()()222OB x x OA y y x y =-+-=+2222(x ==+当222x y =时，上式取等号．所以S 的最大值为【点评】本题主要考查了直线与椭圆的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大． 23．已知点F 是抛物线()220x py p =>的焦点，过F 的弦被焦点分成两段的长分别是2和6.（1）求此抛物线的方程；（2）P 是抛物线外一点，过P 点作抛物线的两条切线PA ，PB （A ，B 是切点），两切线分别交x 轴于C ，D ，直线AB 交抛物线对称轴于点Q ，求证四边形PCQD 是平行四边形.【答案】（1）26x y =；（2）证明见解析. 【分析】（1）设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，证明112MF NF p+=，则可求解. （2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据切线分别表示出直线PA 、PB 的方程，则C 、D 的坐标能表示出，联立直线PA 、PB 的方程，则P 的坐标可表示出，表示出直线AB 的方程，则Q 的坐标可表示出，最后说明CP QD =即可. 【详解】解：（1）0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设过F 的弦所在直线方程为：2py kx =+，其与抛物线交于()()1122,,,M x y N x y ，联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，即2220x kpx p --=，212122,x x pk x x p +=⋅=-，所以()212122y y k x x p pk p +=++=+，2221212244x x p y y p == 不妨设122,622p pMF y NF y =+==+=， ()12122121212121111222222224p py y y y p p p p p p p MF NF p y y y y y y y y ++++++=+===⎛⎫⎛⎫+++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，11112,326p MF NF p+=+==， ∴此抛物线的方程为：26x y =；（2）设211,6x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,6x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3xy '=， ∴直线PA 的方程为：()1113x y y x x -=-， 即：21136x x y x =-；令10,2x y x ==，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 同理，直线PB 的方程为：22236x x y x =-；令20,2x y x ==，所以2,02x D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB 的方程为：()()222112121666x x x y x x x x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即：121266x x x x y x +=-； 令120,6x x x y ==-，所以120,6x x Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2112223636x x y x x x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭， 212,26x x x CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，212,26x x x QD ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以CP QD =，∴四边形PCQD 是平行四边形. 【点睛】以直线和抛物线的位置关系为载体，考查求抛物线的标准方程，同时考查用向量法证明四边形是平行四边形，难题.24．设抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于点()11,A x y 和()22,B x y ，且恒124y y =-.（1）求p 的值；（2）直线1l 过B 与x 轴平行，直线2l 过F 与AB 垂直，若1l 与2l 交于点N ，且直线AN 与x 轴交于点()4,0M ，求直线AB 的斜率.【答案】（1）2p =；（2）±. 【分析】（1）直线与抛物线方程联立，利用韦达定理得12y y ， 建立关于p 的方程，从而得到答案； （2）分别求出,,A M N 三点坐标用m 表示，由三点共线得到关于m 的方程，求得答案. 【详解】（1）由条件得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭.易知AB 不垂直于y 轴，可设AB ：2p x ty =+. 由22,,2y px p x ty ⎧=⎪⎨=+⎪⎩得2220y pty p --=， 所以2124y y p =-=-，所以2p =.（2）由（1）知抛物线方程为24y x =，()1,0F .设()2,2A m m ，由题易知0m ≠且1m ≠±.因为124y y =-，所以212,B mm ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以AB 的斜率为22222211mm m m m m--=--，直线2l 的斜率为212m m -. 直线1l ：2y m =-，直线2l ：()2112m y x m -=-，所以2232,1m N m m ⎛⎫+- ⎪-⎝⎭. 由A ，M ，N 三点共线得2222222341m m m m m m m +=+---，解得m =.所以直线AB的斜率为±. 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系.属于中档题.25．已知圆()22:620C x y -+=，直线:l y kx =与圆C 交于不同的两点 A B ，． （1）求实数k 的取值范围；（2）若2OB OA =，求直线l 的方程．【答案】（∴）22k -<<（∴）y x =± 【详解】试题分析：（∴）由直线与圆有两个不同交点得，圆心到直线距离小于半径，或利用直线方程与圆方程联立方程组有两个不同的解列判别式恒大于零，列出关于k 的限制条件，解出k 的取值范围；（∴）由2=OB OA得A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，则()112? 2?B x y ，，代入圆方程得()2211620x y -+=，()221126420x y -+=，解方程组可得112?2x y ==，或112? 2x y ==-，，因此可出求直线l 的方程 试题解析：（∴）将直线l 的方程y kx =代入圆C 的方程()22620x y -+=后，整理得()22112160k xx +-+=，依题意，直线l 与圆C 交于不同的两点．又∴210k +≠，∴只需()()221241160k ∆=--+⋅>，解得k 的取值范围为k <<．（∴）由已知A 为OB 的中点，设()11 A x y ，，()22 B x y ，，则 ()2211620x y -+=，∴()221126420x y -+=，∴解∴∴可得112?2x y ==，或112? 2x y ==-，， ∴直线l 的方程为y x =± 考点：直线与圆位置关系三、填空题26．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l：10x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______【答案】5+【分析】先求出(5P +、(5Q -、(1,0)F，再求出(4PF =---和(4FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组2410y x x ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩5x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩ 因为P 在x轴上方，所以(5P +、(5Q -,因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(4PF =---，(4FQ =-因为PF FQ λ=，所以(4(4λ---=-，解得：5λ==+，故答案为：5+【点睛】。
圆锥曲线空间向量和试题
圆锥曲线与方程同步测试一、选择题（本小题共12小题，每小题5 分,1•准线方程为x=1的抛物线的标准方程是（60分)A. y22xB. y24xC. y22xD. y2 4x2x2.曲线——10 m 6A.焦距相等2ymB.离心率相等1（m 6）与曲线5 mC.焦点相同21(5 m9 mD.准线相同9)的(3已知两定点F i( 1,0)、F2(1,0)且RF2是PF1与PF2的等差中项，则动点P的轨迹方程是（2xA.162xB.—162乂1122xC.—42xD.32xa(A)二34.已知双曲线1(a(B)、2）的两条渐近线的夹角为-,则双曲线的离心率为（）32x 5.双曲线一m 1(mn2：63(D) 20）的离心率为2,有一个焦点与抛物线4x的焦点重合,则mn的值为（）A. A16 B. C.16D.6.设双曲线以椭圆x2 25渐近线的斜率为（A. 2B.7. 抛物线yA.17161长轴的两个端点为焦点,其准线过椭圆的焦点, 则双曲线的C.4x2上的一点M至U焦点的距离为B.1516D.1,则点7C.—8M的纵坐标是（D. 08.直线y=x+3与曲线弋—=1交点的个数为4A. 0B. 1C. 2D. 329过抛物线y4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于5,则这样的直线（A.不存在B. ）有无穷多条C.有且仅有一条 D. 有且仅有两条頂1 2 210.离心率为黄金比-——-的椭圆称为“优美椭圆” •设笃爲1（a b 0）是优美椭圆,2 a bF、A分别是它的左焦点和右顶点，B是它的短轴的一个顶点，贝y FBA等于（）A. 60oB.75°C. 90°D.120°11.M是y x上的动点，N是圆（x 2 21) (y 4) 1关于直线x-y+1=0的对称曲线C上的一点，则|MN|的最小值是( )A. 1B.込1C.2D. \ 3122x2 12.点P(-3,1)在椭圆—2务1(a b 0）的左准线上，过点rP且方向向量为a （2, 5）a b的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）A.乜B.1C.D.13322二.填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13. 如果双曲线5x2 4y2 20上的一点P到双曲线右焦点的距离是3,那么P点到左准线的距离是_________ 。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳(解析版)
题型一：弦的垂直平分线问题题型二：动弦过定点的问题题型三：过已知曲线上定点的弦的问题题型四：向量问题题型五：面积问题题型六：弦或弦长为定值、最值问题题型七：直线问题圆锥曲线九大题型归纳题型八：对称问题题型九：存在性问题：(存在点，存在直线y =kx +m ，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)题型一:弦的垂直平分线问题1过点T (-1,0)作直线l 与曲线N ：y 2=x 交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E (x 0,0)，使得ΔABE 是等边三角形，若存在，求出x 0；若不存在，请说明理由。
2024年高考数学专项复习圆锥曲线九大题型归纳（解析版）【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形(即D 在AB 的垂直平分线上)、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
2例题分析1：已知抛物线y =-x 2+3上存在关于直线x +y =0对称的相异两点A 、B ，则|AB |等于题型二:动弦过定点的问题1已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
(I )求椭圆的方程；(II )若直线l :x =t (t >2)与x 轴交于点T ,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论题型三:过已知曲线上定点的弦的问题1已知点A 、B 、C 是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的三点，其中点A (23,0)是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且AC ∙BC =0，BC =2AC ，如图。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
高考数学圆锥曲线共线向量问题解决策略专题五大方法
圆锥曲线共线向量问题三点共线问题证题策略一般有以下几种：1.用斜率证明三点共线：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线2.用距离证明共线：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；3.用向量证明共线：利用向量共线定理证明三点共线4.面积法：求出过其中两点的直线方程，在证明第3点也在该直线上;5.直线方程法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线，在处理三点共线问题，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.1.给出,等于已知与的中点三点共线;2. 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线；题型分析(一) 用斜率法证明三点共线例1.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，设AB的中点为M，A、B、M在准线上的射影依次为C、D、N．（1）求直线FN与直线AB的夹角θ的大小；（2）求证：点B、O、C三点共线．2.已知焦距为2的椭圆W ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为A 1，A 2，上、下顶点分别为B 1，B 2，点M （x 0，y 0）为椭圆W 上不在坐标轴上的任意一点，且四条直线MA 1，MA 2，MB 1，MB 2的斜率之积为． （1）求椭圆W 的标准方程；（2）如图所示，点A ，D 是椭圆W 上两点，点A 与点B 关于原点对称，AD ⊥AB ，点C 在x 轴上，且AC 与x 轴垂直，求证：B ，C ，D 三点共线．(二) 用向量证明三点共线例1．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若AP→ =3PB→ ，求AB ．2.给定椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0），称圆C 1：x 2+y 2=a 2+b 2为椭圆的“伴随圆”．已知A （2，1）是椭圆G ：x 2+4y 2=m （m ＞0）上的点．32（Ⅰ）若过点P （0，）的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求直线l 被椭圆G 的“伴随圆”G 1所截得的弦长；（Ⅱ）若椭圆G 上的M ，N 两点满足4k 1k 2=﹣1（k 1，k 2是直线AM ，AN 的斜率），求证：M ，N ，O 三点共线．例3．已知抛物线C ：22y px =经过点(1,2)P ．过点(0,1)Q 的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． (1)求直线l 的斜率的取值范围；(2)设O 为原点，QM QO λ=，QN QO μ=，求证：11λμ+为定值．4.（本小题共14分）已知曲线C :22(5)(2)8m x m y −+−=（m R ∈） (Ⅰ)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；(Ⅱ)设m =4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G ，求证：A ，G ，N 三点共线.专项练习1．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =（ ） A ．72 B ．52C ．3D ．22.已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b−=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||4||AB OF =（O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A.C.2D.3．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．3 B． CD ．24．设1F ，2F 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b−=>>的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P．若1|||PF OP =，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD5．设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点．若，则的方程为（ ）A ．或1y x =−+B ．或C ．或D ．或6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为34，M 是椭圆上一点，1F 、2F 是椭圆的左右焦点，C 为12MF F ∆的内切圆圆心，若123mCF CF +30CM +=，则m 的值是 （ ）A.4B.3C.2D. 17．已知点(0,1)P ，椭圆224x y m +=(1m >)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___时，点B 横坐标的绝对值最大．2:4C y x =F l F C A B ||3||AF BF =l 1y x =−1)y x =−1)y x =−1)y x =−1)y x =−1)2y x =−1)2y x =−−8．设12,F F 分别为椭圆2213x y +=的左、右焦点，点,A B 在椭圆上，若125F A F B =；则点A 的坐标是 ．9．已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．(1)证明：12k <−； (2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．。
圆锥曲线高考常考题型
圆锥曲线高考常考题型：一、基本概念、基本性质题型二、平面几何知识与圆锥曲线基础知识的结合题型三、直线与圆锥曲线的相交关系题型（一）中点、中点弦公式（二）弦长（三）焦半径与焦点三角形四、面积题型（一）三角形面积（二）四边形面积五、向量题型（一）向量数乘形式（二）向量数量积形式（三）向量加减法运算（四）点分向量（点分线段所成的比）六、切线题型（一）椭圆的切线（二）双曲线的切线（三）抛物线的切线七、最值问题题型（一）利用三角形边的关系（二）利用点到线的距离关系一、基本概念题型：主要涉及到圆锥曲线定义、焦点、焦距、长短轴、实虚轴、准线、渐近线、离心率等基本概念知识的考查。
例1：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2，准线为4=x ，则该椭圆的离心率为例2：已知双曲线方程)0,(12222>=-b a b y a x 的离心率为25，则渐近线方程为例3：已知双曲线方程为)1(1)1(2222>=+-a a y a x ，则双曲线离心率取值范围为例4：已知抛物线方程为x y 82-=，则焦点坐标为例5：已知椭圆C ：13422=+y x 上一点P 到左焦点的距离为23，则点P 到左准线的距离为 ，到右准线的距离为例6：已知双曲线M ：13622=-y x 上一点P 到左准线的距离为2，则点P 到右焦点的距离为二、平面几何知识与圆锥曲线基本知识的结合。
该考点主要涉及到平面几何知识中的中位线、中垂线、角平分线定理，射影定理、勾股定理、余弦定理 、相似三角形、三角形四心性质、等腰梯形、直角梯形性质 、圆的性质、长度和坐标的相互转换等当 然还会涉及圆锥曲线基本知识，包括定义、基本概念、基本性质。
例1：①过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆交y 轴于M ，N 两点，则||MN =（ ）A ．26B ．8C ．46D ．10②设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.③已知点P 为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21F F 、为椭圆的两焦点，若21213,120PF PF PF F =︒=∠且,则椭圆的离心率为例2：已知21F F 、为双曲线192722=-y x 的左右焦点，P 为双曲线上一点，M(2，0),PM 为21PF F ∠的角平分线，则2PF =例3：已知P 为椭圆12922=+y x 上一点，21F F 、为椭圆的交点，M 为线段1PF 的中点，1=OM ,则=1PF例4：①已知21F F 、为椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点，点P （b a ,),△21F PF 为等角三角形，则椭圆的离心率为②已知F 1，F 2是双曲线E 22221x y a b -=的左，右焦点，点M 在E 上，M F 1与x 轴垂直，sin2113MF F ∠=,则E 的离心率为（A （B ）32（C （D ）2③已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A ．2 C D 例5：已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，点A 为椭圆右准线与x 轴的交点，若椭圆上存在点P ，使得线段AP 的中垂线经过右焦点F ，则椭圆离心率的取值范围为例6：已知1F （-c ，0）、2F (c,0)为椭圆C:)0(12222>>=+b a by a x 的左右焦点，若在直线22a x c=存在一点P 使得线段1PF 的中垂线经过2F ,则椭圆离心率的取值范围为例7：已知斜率为2的直线过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点且与y 轴的交点为A ，若△OAF 的面积为4，则抛物线方程为三、直线与圆锥曲线（一）直线与圆锥曲线相交，中点，中点弦公式1、直线与圆锥曲线相交，即有两个交点，一般设两个交点坐标为),(),(2211y x y x 、，联立方程，方程有两个根，以下三点需注意：①联立时，直线一般采用斜截式，将y 用kx+m 替换，得到一个关于x 的一元二次方程，当然也可以将x 用y 的表达式替换，得到关于y 的一元二次方程； ②联立得到的一元二次方程中，暗含了一个不等式，0>∆； ③我们很少需要求解21x x 、，一般通过韦达定理得到2121x x x x 、+的值 或者表达式。
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向量与圆锥曲线 【考题回放】 1．点P(-3,1)在椭圆22221(0)xyabab的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为( ) ( A ) 33 ( B ) 31 ( C ) 22 ( D ) 21
2．已知双曲线2212yx的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且120,MFMF则点M到x轴的距离为（ ） （A）43 （B）53 （C）233 （D）3 3．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若2BPPA且1OQAB
，则点P的轨迹方程是（ ）
A．22331(0,0)2xyxy B．22331(0,0)2xyxy
C．22331(0,0)2xyxy D．22331(0,0)2xyxy 4．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0NPMNMPMN，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ ） （A）xy82 （B）xy82 （C）xy42 （D）xy42 5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是 ．
6．已知两定点122,0,2,0FF，满足条件212PFPF的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1
与曲线E交于A,B两点。如果63AB，且曲线E上存在点C，使OAOBmOC，求m的值和ABC的面积S。
【考点透视】 近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为 （1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。 （2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。 【热点透析】 向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
突破重难点
【例1】设双曲线12yx22上两点A、B，AB中点M（1，2） （1）求直线AB方程； （2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D 是否共圆，为什么？
【文】在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点． （1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OAOB＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OBOA=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(21,1)，此时OAOB=3,直线AB的方程为：2(1)3yx，而T(3,0)不在直线AB上； 说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足OBOA=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
【例2】已知ji,是x,y轴正方向的单位向量，设a=jyix)3(, b=jyix)3(,且满足b
i=|a|.求点P(x,y)的轨迹.
【文】已知ji,是x,y轴正方向的单位向量，设a=jyix)3(, b=jyix)3(,且满足|a|+|b|=4. (1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程. (2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为c =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
【例3】已知点A(22，0)，B(2，0)动点P满足||||2BPABABAP (1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，32）作斜率为k的直线交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.
【文】如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点 P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点 Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段AB所
成的比为，证明:)(QBQAQP；
【例4】已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，0OAOB，点C坐标为（0，2p） （1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若AM＝BM（R）且0OMAB试求点M的轨迹方程。
【文】已知双曲线M：x2－y2=1，直线l与双曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、双曲线M、直线y=－x于A、B、C、D 四点，O为坐标原点． (1) 若ABBCCD，求△AOD的面积； (2) 若△BOC的面积等于△AOD面积的13，求证：ABBCCD．
自我提升 1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足OBOAOC，其中R，且=1，则点C的轨迹方程为( ) A． 3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C． 2x-y=0 D． x+2y-5=0
2、已知ji,是x,y轴正方向的单位向量，设a=jyix)2(, b=jyix)2(,且满足|a|+|b|=4.则点P(x,y)的轨迹是.( ) A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．射线
3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±52)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为21，则椭圆方程为( ) 222222222222A.1 B.1C.1 D.12575752525757525xyxyxyxy
4、直线y=kx+1与椭圆1522myx恒有公共点，则m的取值范围是（ ）. A、m≥1且m≠5 B、m≥1 C、m≠5 D、m≤5
5、已知ji,是x,y轴正方向的单位向量，设a=jyix)3(, b=jyix)3(,且满足|a|-|b|=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为__________.
6．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①y轴上恒存在一点K，使得0KFKA；②0DFCF；③存在实数使得 AOAD；④若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有0ABFT。中说法正确的为___________
7．已知圆x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。
8．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D. （1）若6OBOA，求抛物线的方程。 （2）CD是否恒存在一点K，使得0KBKA 【考题回放】 1． A 2． C 3． D 4． B 5．0,(1,1)kb 6． 【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线E是以 122,0,2,0FF为焦点的双曲线的左支，
且2,1ca，易知1b， 故曲线E的方程为2210xyx
设1122,,,AxyBxy，由方程组2211ykxxy 消去y，得221220kxkx 又已知直线与双曲线左支交于两点,AB，有
222
122
122
102810201201kkkkxxkxxk
解得21k
又∵ 2121ABkxx22121214kxxxx 2222
221411kkkk
22
22
1221kkk
依题意得 2222122631kkk 整理后得 422855250kk
∴257k或254k 但21k ∴52k 故直线AB的方程为5102xy 设,ccCxy，由已知OAOBmOC，得1122,,,ccxyxymxmy ∴1212,,ccxxyyxymm，0m
又1222451kxxk，21212222222811kyykxxkk ∴点458,Cmm，将点C的坐标代入曲线E的方程，得2280641mm 得4m，但当4m时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴4m，C点的坐标为5,2，C到AB的距离为225521213512