高中数学三角函数：正弦余弦正切

三角函数：正弦、余弦、正切
一复习指导
1．能画出y =sin x ,y =cos x ,y =tan x 的图象,了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间0,2π 的性质如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等 3．理解正切函数在区间)2
π
,2π(-
的单调性． 二基础知识
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0,
3,,
,22
2
π
π
ππ的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象;
2、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： 1定义域：都是R;
2值域：都是[]1,1-,对sin y x =,当()22x k k Z π
π=+
∈时,y 取最大值1；
当()322
x k k Z π
π=+∈时,y
取最小值－1；对cos y x =,当()2x k k Z π=∈时,y 取最大值1,当()2x k k Z ππ=+∈时,y 取最小值－1;
3周期性：①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π；②()sin()f x A x ωϕ=+和
()cos()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||
T πω=; 4奇偶性与对称性：正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数,对称中心是()(),0k k Z π∈,对称轴是直线
()2x k k Z π
π=+
∈；余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数,对称中心是(),02k k Z ππ⎛
⎫+∈
⎪⎝
⎭,对称轴是直线()x k k Z π=∈正余弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点;
5单调性：
()sin 2,222y x k k k Z ππππ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦在上单调递增,在()32,222k k k Z ππππ⎡
⎤++∈⎢⎥⎣
⎦单调递减；
cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减,在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增;特别提醒,别忘
了k Z ∈
3、正切函数tan y x =的图象和性质：
1定义域：{|,}2
x x k k Z π
π≠
+∈;遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函数的定义域了吗
2值域是R,在上面定义域上无最大值也无最小值；
3周期性：是周期函数且周期是π,它与直线y a =的两个相邻交点之间的距离是一个周期π;绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来,某一周期函数解析式加绝对值或平方,其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值,其周期性不变,其它不定; 如x y x y sin ,sin 2==的周期都是π, 但sin y x =
cos x +的周期为
2
π
,而1|2sin(3)|,|2sin(3)2|626y x y x ππ=-+=-+,|tan |y x =的周期不变；
4奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是,02
k π⎛⎫
⎪⎝⎭
()k Z ∈,特别提醒：正余切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点,另一类是渐近线与x 轴的交点,但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处;
5单调性：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-
++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数;但要注意在整个定义域上不具有
单调性;如下图：
注意：正切函数在开区间(),22k k k Z ππππ⎛⎫
-++∈ ⎪⎝⎭
内都是增函数;但要注意在整个定义域上不具有单调性;
例1．用五点法画出函数)3
sin(+=x y 草图,并求出函数的周期,单调区间,对称轴,对称中心．
例2．求函数)6
π
2sin(2+=x y 在区间0,2π 上的值域．
例3．求下列函数的值域． 1y ＝sin 2x －cos x +2； 2y ＝2sin x cos x －sin x ＋cos x ．
例4．求函数x
x
y cos 3sin 1--=的值域．
例题解析
例1解：
3
π+
x 0
2
π π
2
π3 2π
x 3π-
6π 3π2 6π7 3π5 y
1
－1
周期为T =2π,
单调增区间为,),6π
π2,6π5π2(Z ∈+-
k k k 单调减区间为,),6π
7π2,6ππ2(Z ∈++k k k
对称轴为,,6π
πZ ∈+=k k x
对称中心为.),0,3
π
π(Z ∈-k k
小结：画图的时候,要注意五个点的选取． 例2分析：在求这样函数值域的时候,最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来,然后利用三角函数图象求其值域．
解：因为0≤x ≤2π,所以,6
π76π26π,π20≤+≤≤≤
x x 由正弦函数的图象, 得到],1,2
1
[)6π2sin(-∈+x
所以y ∈－1,2．
例3解：1y =sin 2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－cos 2x ＋cos x ＋3, 令t =cos x ,则,4
13
)21(413)21(3)(],1,1[222
++-=++-=++-=-∈t t t t y t
利用二次函数的图象得到].4
13
,
1[∈y 2y ＝2sin x cos x －sin x ＋cos x =sin x ＋cos x 2－1－sin x ＋cos x ,令t =sin x ＋cos x 2=,)4
π
sin(+x ,则]
2,2[-∈t 则,,12
--=t t y
利用二次函数的图象得到].21,4
5
[+-
∈y 小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式,利用图象,求其值域,要注意转化后自变量的取值范围．
例4解：设A 3,1,P cos x ,sin x ,
把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率, 因为动点P cos x ,sin x 在单位圆上,
所以只要求经过点A 3,1与单位圆相切的两条直线的斜率,
两条切线的斜率分别为0和
,4
3
所以].4
3,0[ y
小结：这是数形结合解题的一个典型问题．。