全等三角形的性质与判定(SSSSASASAAAS)练习题
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全等三角形的性质与判定（SSS、SAS、ASA、AAS）练习题
1. 如图，在△ABC中，∠A=90°，D、E分别是AC、BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=
2. 如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC=90°，
则∠A=
1题图 2题图 3题图 4题图
3. 如图，△AOB中，∠B=30°，将△AOB绕点O顺时针旋转52°，得到△A′OB′，边A′B′与边
OB交于点C（A′不在OB上），则∠A′CO=
4. 如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线过点E，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，则
∠DEF=
5. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B、C作过点A的垂线BC、CE，垂足分别为D、E，
若BD=3，CE=2，求DE的长.
6. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，连接EF，交AD于G，试判断
AD与EF的关系，并证明你的结论。
7. 如图所示，在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是
28cm2,AB=20cm，AC=8cm，求DE的长。
8. 如图，AD=BD，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点H，则BH与AC相等吗？为什么？
E
F
A
C
B
D
B
D
E
C
A
G
B
C
A
D
E
F
B
C
A
D
E
F
C
A
O
B
A'
B'
B
A
C
D
E
D
B'
B
C
A
A'
H
BC
A
D
E
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9. 已知：BD、CE是△ABC的高，点F在BD上，BF=AC，点G在CE的延长线上，CG=AB，
求证：AG⊥AF
10. 如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取
CG=AB，连结AD、AG.试判断AD与AG的关系如何？并证明之.
11. 已知，如图：AB=AE，∠B=∠E，∠BAC=∠EAD，∠CAF=∠DAF，求证：AF⊥CD
12. 已知：∠B=∠E,且AB=AE。求证：OD=OC
13. 已知：∠3=∠4, AE⊥BC于点D.求证：∠1=∠2
E
B
C
A
G
D
F
H
F
B
C
A
G
E
D
O
E
D
A
C
B
4
3
2
1
E
B
C
A
D
C
D
A
B
E
F
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14. 已知：∠3=∠4, ∠1=∠2，且T,U,S三点共线。求证：RS=SE
15. 已知：AD//BC,FC//AE,且FC=AE。求证：AB=CD
16. 已知：AE//DF且，AE=FD,求证：G是BC中点
17. 已知：AE//CF,AD//BC且DF=BE求证：AB=CD
18. 如图，AD=BC且AD//BC，G是BD的中点。求证：AE=FC
F
D
C
A
B
E
FCGAD
BE
F
D
C
A
B
E
FGCAB
DE
1
2
3
4
E
R
STU
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19. 已知：ED//BF,AB//CD,点G是BD的中点.求证：EM=FN
20．如图，已知AB∥CD，O是∠ACD与∠BAC的平分线的交点，OE⊥AC 于点E，且OE=2，则AB与CD之间
的距离是多少？
21．如图，过线段AB的两个端点作射线AM、BN，使AM∥BN，∠MAB、∠NBA的平分线AE、BE交于点E.
（1）求∠AEB是多少度？
（2）过点E作一直线交AM于D，交BN于C，观察线段DE、CE，你有何发现？并证明.
（3）无论DC的两端点在AM、BN如何移动，只要DC经过点E，①AD+BC=AB；②AD+BC=CD谁成立？并说明
理由。
N
M
FGCAB
DE
B
D
A
C
O
E
M
NABEDC
12.2三角形全等的判定(ASA,AAS,HL)练习题
1.△ABC 和△C B A '''中，C B C B A A ''='∠=∠,'，C C '∠=∠则△ABC 与△C B A ''' . 2．如图，点C ，F 在BE 上，,,21EF BC =∠=∠请补充一个条件，使△ABC ≌DFE,补充的条件是 .3．在△ABC 和△C B A '''中，下列条件能判断△ABC 和△C B A '''全等的个数有（ ）①A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B BC ''= ②A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A C A ''=' ③A A '∠=∠ B B '∠=∠，C B AC ''= ④A A '∠=∠，B B '∠=∠，C A B A ''='A ． 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个4．如图1，已知MB=ND ，NDC MBA ∠=∠，下列条件不能判定是△ABM ≌△CDN 的是（ ）A ． N M ∠=∠ B. AB=CD C ． AM=CN D. AM ∥CN5．如图2所示， ∠E =∠F =90°，∠B =∠C ，AE =AF ，给出下列结论：①∠1=∠2 ②BE=CF ③△ACN ≌△ABM ④CD=DN其中正确的结论是_________ _________。
(注：将你认为正确的结论填上)图1图26. 如图，已知∠A=∠C ，AF=CE ，DE ∥BF ，求证：△ABF ≌△CDE.BAE21F CD7．如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 交CD 于F ，且AD=DF ，求证：AC= BF 。
BA EFCDC1．如图，CE ⊥AB ，DF ⊥AB ，垂足为E 、F ，AC ∥DB ，且AC=BD ，那么Rt △AEC ≌Rt △BFC 的理由是（ ）.A ．SSSB. AASC. SASD. HL2．下列说法正确的个数有（ ）.①有一角和一边对应相等的的两个直角三角形全等； ②有两边对应相等的两个直角三角形全等； ③有两边和一角对应相等的两个直角三角形全等； ④有两角和一边对应相等的两个直角三角形全等. A ．1个B. 2个C. 3个D. 4个3．过等腰△ABC 的顶点A 作底面的垂线，就得到两个全等三角形，其理由是 .4．如图，△ABC 中，∠C=︒90，AM 平分∠CAB ，CM=20cm ，那么M 到AB 的距离是（ ）cm.5．在△ABC 和△C B A '''中，如果AB=B A ''，∠B=∠B '，AC=C A ''，那么这两个三角形（ ）. A ．全等 B. 不一定全等 C. 不全等 D. 面积相等，但不全等6．如图，∠B=∠D=︒90，要证明△ABC 与△ADC 全等，还需要补充的条件是 .7．如图，在△ABC 中，∠ACB=︒90，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E ，求证：DE=AD+BE.8.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB=2AC ，M 是AB 的中点，点N 在BC 上，MN ⊥AB 。
全等三角形的判定ASA、AAS练习题
14.4（ 2）全等三角形的判断 ASA 、AAS一、研究此刻，我们议论：假如两个三角形有两个角、一条边分别对应相等，那么这两个三角形能全等吗？这时相同应有两种不一样的状况：以下图，一种状况是两个角及这两角的夹边；另一种状况是两个角及此中一角的对边．ASA AAS二、检测反应，学致使用1. 如图，已知AO=DO，∠ AOB与∠ DOC是对顶角，还需增补条件______________=_______________ ，便可依据“ASA”说明△ AOB≌△ DOC；或许增补条件_______________=_______________ ，便可依据“AAS”，说明△ AOB≌△ DOC。
（若把“ AO=DO”去掉，答案又会有如何的变化呢？）2.如图， OP是∠ MON的角均分线， C 是 OP上一点， CA⊥ OM，CB⊥ ON，垂足分别为 A、 B，△ AOC≌△ BOC吗？为何？3、以下列图， D在 AB 上， E 在 AC上， AB=AC，∠ B=∠C．求证： AD=AE．三、稳固练习1、如图，三角形纸片ABC ， AB=10cm ， BC=7cm ， AC=6cm ，沿过点 B 的直线折叠这个三角形，使极点 C 落在 AB 边上的点 E 处，折痕为BD ，则△ AED 的周长为 ______cm．第 1 题2、已知：如图,∠ 1=∠2 ,∠ 3=∠ 4求证：AC=AB．3．如图， AB⊥ BC，AD⊥ DC，∠ BAC =∠CAD . 试说明： AB=AD .4、已知：如图, FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线B E 上．求证： AB=DE , AC=DF．5、如图，在△ ABC中，∠ C=2∠ B,AD 是△ ABC的角均分线，∠ 1=∠B, 试说明： AB=AC+AD6、已知：如图，AB=DC，∠ A=∠ D．试说明：∠ 1=∠2．7.如图， ABC中， D是 AC上一点， BE∥ AC， BE=AD， AE 分别交 BD、 BC于点 F、 G．⑴图中有全等三角形吗？请找出来，并证明你的结论．⑵若连接 DE，则 DE与 AB有什么关系？并说明原因．。
全等三角形的性质及判定,附练习题含答案
全等三角形的性质及判定学案知识梳理：1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示．2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号“_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等．3. 全等三角形的判定定理：______________________________．例：已知：如图，C 为AB 中点，CD =BE ，CD ∥BE ．求证：△ACD ≌△CBE ． 【思路分析】 ① 读题标注：② 梳理思路：要证全等，需要三组条件，其中必须有一组边相等． 由已知得，CD =BE ；根据条件C 为AB 中点，得AC =CB ；这样已经有两组条件都是边，接下来看第三边或已知两边的 夹角．由条件CD ∥BE ，得∠ACD =∠B ．发现两边及其夹角相等，因此由SAS 可证两三角形全等． 【过程书写】先准备不能直接用的两组条件，再书写全等模块．过程书写中需要注意字母对应． 证明：如图 ∵C 为AB 中点 ∴AC =CB ∵CD ∥BE ∴∠ACD =∠B 在△ACD 和△CBE 中AC CBACD B CD BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已证）（已证）（已知） ∴△ACD ≌△CBE （SAS ）ABC DEEDC BA练习题1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________．第1题图 第2题图2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________．3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________．4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________．第4题图 第5题图5. 如图，AD ，BC 相交于点O ，若AO =DO ，BO =CO ，则_______≌_______，理由是_________．6. 如图，若AD =CB ，AB =CD ，则___________≌___________，理由是_______________；若∠B =∠D ，∠BCA =∠DAC ，则_________≌________，理由是__________．第6题图 第7题图7. 如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成3块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（ ）FEDC B AA CB12OEDCB ADCBA ODCBA A BCD③②①A ．带①去B ．带②去C ．带③去D ．①②③都带去8. 如图，AO =BO ，若加上一个条件________________________，则△AOC ≌△BOC ，理由是__________．第8题图 第9题图9. 如图，∠1=∠2，若加上一个条件_______________________，则△ABE ≌△ACE ，理由是____________．10. 如图，AD ，BC 相交于点O ，∠A =∠C ，若加上一个条件_______________，则△AOB≌△COD ，理由是_________．11. 如图，AB =AD ，∠1=∠2，如果要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________； 这个条件也可以是_______________，理由是____________； 这个条件也可以是_______________，理由是____________．12. 如图，点B ，E ，C ，F 在同一直线上，在△ABC 与△DEF 中，AB =DE ，AC =DF ，若∠_____=∠_____，则△ABC ≌△DEF ，所以BC =________，因此BE =________．13. 如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则△ADF ≌_________，理由是_________，因此DF =__________．14. 已知：如图，BC =DE ，∠B =∠D ，∠BAC =∠DAE ．求证：△ABC ≌△ADE ．OBCA21E C BAA B C DEFFEDC BA EDCBA21E CD BA O DCBA15. 已知：如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ．求证：△ADC ≌△AEB ．16. 已知：如图，AB =CD ，AB ∥CD ．求证：△ABD ≌△CDB ．17. 已知：如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，___________，_________，对应角∠ABC =∠DEF ，__________，__________．第1题图 第2题图18. 如图，∠BAD =∠CAE ，BC =DE ，若加上一个条件__________，则△ABC ≌△ADE ，理由是___________．19. 已知：如图，A ，F ，C ，D 在同一直线上，AC =DF ，AB ∥DE ，且AB =DE ． 求证：△ABC ≌△DEF ．ED CB ADCB AE DCBAED CBAF EDCBA20. 如图，△ABC ≌△AED ，有以下结论：①AC =AE ；②∠DAB =∠EAB ；③ED =BC ；④∠EAB =∠DAC ． 其中正确的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第1题图 第2题图21. 如图，B ，C ，F ，E 在同一直线上，∠1=∠2，BF =EC ，要使△ABC ≌△DEF ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．22. 如图，D 是线段AB 的中点，∠C =∠E ，∠B =∠A ，找出图中的一对全等三角形是_______________，理由是_________．第3题图 第4题图23. 如图，AB =AD ，∠BAE =∠DAC ，要使△ABC ≌△ADE ，还需要添加一组条件，这个条件可以是_______________，理由是_____________；这个条件也可以是_____________，理由是_____________；这个条件还可以是_____________，理由是_____________．24. 如图，将两根钢条AA'，BB'的中点连在一起，使AA'，BB'可以绕着中点O 自由旋转，这样就做成了一个测量工具，A'B'的长等于内槽宽AB ．其中判定△OAB ≌△OA'B'的理由是（ ） A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAS第5题图 第6题图25. 要测量河两岸相对的两点A ，B 的距离，先在AB 的垂线BF 上取两点C ，D ，使CD =BC ，再定出BF 的垂线DE ，使A ，C ，E 在一条直线上（如图所示），可以说明△EDC ≌△ABC ，得ED =AB ，因此测得ED 的长就是AB 的长．判定△EDC ≌ △ABC 最恰当的理由是（ ） A ．SASB ．ASAC ．SSSD ．AAAEDCBA21F ED CBAH G FEDCBAECD AB'A'OBA FE D C B A26. 已知：如图，M 是AB 的中点，∠1=∠2，∠C =∠D ．求证：△AMC ≌△BMD ．27. 已知：如图，点B ，F ，C ，E 在同一条直线上，且BC =EF ，AB ∥DE ，AB =DE ．求证：△ABC ≌△DEF ．【参考答案】1. AC =DF ；BC =EF ；∠A =∠D ；∠ACB =∠F2. AO =BO ；CO =CO ；∠A =∠B ；∠ACO =∠BCO3. AB =DE ；AC =DC ；BC =EC ；∠A =∠D ；∠B =∠E ；∠ACB =∠DCE4. AB =CD ；AC =CA ；BC =DA ；∠B =∠D ；∠BAC =∠DCA ；∠BCA =∠DAC5. △AOB ；△DOC ；SAS6. △ABC ；△CDA ；SSS ；△ABC ；△CDA ；AAS7. C8. AC =BC ；SSS （答案不唯一） 9. BE =CE ；SAS （答案不唯一） 10. AB =CD ；AAS （答案不唯一）11. AC =AE ；SAS ；∠B =∠D ；ASA ；∠C =∠E ；AAS 12. A ；D ；EF ；CF 13. △BCE ；SAS ；CE 14. 证明：如图，在△ABC 和△ADE 中，BAC DAE B D BC DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已知）（已知） ∴△ABC ≌△ADE （AAS ） 15. 证明：如图，在△ADC 和△AEB 中，21MDCB AFEDCBAAC AB C B ⎪=⎨⎪∠=∠⎩（已知）（已知） ∴△ADC ≌△AEB （ASA ） 16. 解：如图，∵AB ∥CD ∴∠1=∠2在△ABD 和△CDB 中，1 2 AB CD BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（公共边） ∴△ABD ≌△CDB （SAS ）17. AC =DF ，BC =EF ，∠A =∠D ，∠C =∠F 18. AC =AE ，SAS （答案不唯一）19. 梳理思路：，3，边，AC ，DF ；AB ，DE ，AB ∥DE ，∠A ，∠D ，SAS 【过程书写】 证明：如图， ∵AB ∥DE ∴∠A =∠D在△ABC 和△DEF 中∴△ABC ≌△DEF （SAS ） 20. B21. AC =DF ，SAS ；∠B =∠E ，ASA ；∠A =∠D ，AAS 22. △BCD ≌△AED ，AAS23. AC =AE ，SAS ；∠B =∠D ，ASA ；∠C =∠E ，AAS 24. A 25. B26.①，②3，边，∠1，∠2；∠C ，∠D ，M 是AB 的中点，AM ，BM ，AAS 【过程书写】 证明：如图， ∵M 是AB 的中点 ∴AM =BM在△AMC 和△BMD 中DCBA21 AC DF A D AB DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知）1 2 AM BM ⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证） ∴△AMC ≌△BMD （AAS ） 27. ①略②3，边BC ，EF ， AB ，DE AB ∥DE ，∠B ，∠E SAS【过程书写】 证明：如图， ∵AB ∥DE ∴∠B =∠E在△ABC 和△DEF 中AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（已知）（已证）（已知） ∴△ABC ≌△DEF （SAS ）。
三角形全等判定SAS.ASA.SSS的限时训练题
三角形全等判定SAS.ASA.SSS的限时训练题（考试总分：100 分）一、单选题1.（5分）如图，在四边形ABCD中，AD=BC,AB=DC,则∆ABC≌∆CDA的依据是（）A.SASB. ASAC. SSSD. 以上都不对2.（5分）下列图形具有稳定性的是（）A.正方形B. 长方形C. 直角三角形D. 平行四边形3.（5分）图中是全等三角形的是（）A.①和②B.②和③C.②和④D.①和③4.根据下列已知条件，能画出唯一∆ABC的是（）A.∠A=50。
,∠B=70。
，AB=6B.∠C=90。
，AB=10C.AB=10.BC=4，AC=4D.AB=8，BC=5，∠A=40。
5.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC,AC与BD交于O点，则可直接利用“SSS”判定全等三角形的有（）A.1对B.2对C.3对D.4对6.如图，∆ABC≌∆ADE，∠DAC=70。
，∠BAE=100。
，BC，DE相交于点F，则∠DFB的度数是（）A.15°B.20°C.25°D.307.7.（5分）如图，在∆ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB上的点，若DE=DC，BE=BC，∠A=40°，则∠BDC的度数是（）Ａ.40° B.50°Ｃ.60°Ｄ．65°二、填空题8.（5分）如图，已知AD＝AE，要根据“ASA”来判断∆AEB≌∆ADC，则需要补充一个条件为.9.（5分）如图，在∆ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D，若AC ＝3，则AE＋DE＝ .10.（5分）如图，在Rt∆ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别过点B,C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE= cm11.（5分）如图，已知AB＝AC，BD=CE，∠B=∠C，若∠1＝30°，则∠2＝.12.（5分）如图，若AB=AC，BD=CD，∠C=20°，∠A=80°则∠BDC＝三、解答题（本题共计4小题，总分40分）13.（10分）如图，AB∥CD，AB=CD，BE=CF．求证：（１）∆ABF≌∆DCE；（２）AF∥DE.14.（10分）如图，在∆ABC中，∠B=∠C=50°，BD=CF，BE=CD，求∠EDF的度数.15.（10分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，点E在边AC上的一动点（不与点A，C重合），在点Ｅ运动过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由.16.（10分）如图已知AD=BC，AB=CD，O是BD的中点，过O点作直线交BA的延长线于E，交DC的延长线于F，求证：OE=OF.。
三角形全等的判定(含例题)
1．判定两个三角形全等的基本事实：边边边（SSS）（1）基本事实：三边分别相等的两个三角形全等，简写成“__________”或“SSS”．（2）这个基本事实告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也随之确定．这也是三角形具有稳定性的原因．2．判定两个三角形全等的基本事实：边角边（SAS）（1）基本事实：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“__________”．（2）此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【注意】（1）此方法是证明两个三角形全等最常用的方法之一，应用时，可以从图形上直接观察到三个对应元素必须符合“两边夹角”，即“SAS”，不要误认为有两边一角就能判定两个三角形全等．（2）在书写时也要按照“边→角→边”的顺序排列条件，必须牢记“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．3．判定两个三角形全等的基本事实：角边角（ASA）（1）基本事实：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“__________”．（2）用“ASA”来判定两个三角形全等，一定要证明这两个三角形有两个角以及这两个角的夹边分别相等，证明时要加强对夹边的认识．4．判定两个三角形全等的基本事实：角角边（AAS）（1）基本事实：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“__________”．（2）这一结论很容易由“ASA”推得，将这一结论与“ASA”结合起来，即可得出：两个三角形如果具备两角和一条边对应相等，就可判定其全等．5．直角三角形全等的判定方法：斜边、直角边（HL）（1）基本事实：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“________”．（2）“HL ”定理是直角三角形所独有的，对于一般三角形不成立． 【归纳】判定两个三角形全等常用的思路方法如下： HL SAS SSS AAS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎧⎪⎨⎨⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎪⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎪⎩一直角边一斜边—已知两边找夹角—找另一边—边为角的对边—找任一角—找夹角的另一边—已知一边一角边为角的邻边找夹边的另一角—找边的对角—找夹边—已知两角找任一角的对边—K 知识参考答案：1．（1）边边边2．（1）SAS 3．（1）ASA4．（1）AAS5．（1）HLK —重点 三角形全等的判定K —难点 三角形全等的判定和性质的综合运用 K —易错三角形全等的判定一、用边边边（SSS ）证明三角形全等明确要证明全等的两个三角形，在书写两个三角形全等时，“≌”左边三角形的三边与“≌”右边三角形的三边的前后顺序要保持一致．【例1】如图，ABC △中，AB AC =，EB EC =，则由“SSS ”可判定A ．ABD △≌ACD △B ．ABE △≌ACE △△D．以上答案都不对C．BDE△≌CDE【答案】B二、用边角边（SAS）证明三角形全等此方法包含“边”和“角”两种元素，必须是两边夹一角才行，而不是两边及一边对角分别相等，一定要注意元素的“对应”关系．【例2】如图，AB=AC，添加下列条件，能用SAS判断△ABE≌△ACD的是A．∠B=∠C B．∠AEB=∠ADC C．AE=AD D．BE=DC【答案】C【解析】∵AB=AC（已知），∠A=∠A（公共角），∴只需要AE=AD，∴△ABE≌△ACD，故选C．三、用角边角、角角边（ASA、AAS）证明三角形全等1．不能说“有两角和一边分别相等的两个三角形全等”，这是因为：假设这条边是两角的夹边，则根据角边角可知正确；假设一个三角形的一边是两角的夹边，而与另一个三角形相等的边是其中一等角的对边，则两个三角形不一定全等．2．有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．【例3】如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长，就得出AB的长，判定△EDC≌△ABC的理由是A．SSS B．SASC．SAA D．ASA【答案】D【解析】∵BF⊥AB，DE⊥BD，∴∠ABC=∠BDE．又∵CD=BC，∠ACB=∠DCE，∴△EDC≌△ABC（ASA）．故选D．【例4】如图，已知点B、C、F、E在同一直线上，∠A=∠D，BF=EC，AB∥DE，若∠1=80°，求∠BFD 的度数．四、用斜边、直角边（HL）证明直角三角形全等1．当证明两个直角三角形全等时，若不适合应用“HL”，也可考虑用“SAS”“ASA”或“AAS”来证明．2．在用一般方法证明时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可，在实际证明中可根据条件灵活选用不同的方法．【例5】如图，BE=CF，AE⊥BC，DF⊥BC，要根据“HL”证明Rt△ABE≌△Rt△DCF，则还需要添加一个条件是A．AE=DF B．∠A=∠D C．∠B=∠C D．AB=DC【答案】D五、全等三角形的判定和性质的综合寻找解决问题的思路方法可以从求证的结论出发，结合已知条件，逐步寻求解决问题所需要的条件．同时要注意对图形本身隐含条件的挖掘，如对顶角、公共角、公共边等．【例6】如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为A．50°B．30°C．80°D．100°【答案】B【解析】∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选B．【例7】如图，已知∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC．求证：BC=AD．【解析】∵∠CAB=∠DBA，∠CBD=∠DAC，∴∠DAB=∠CBA．在△ADB与△BCA中，CAB DBA AB ABDAB CBA ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ADB≌△BCA（ASA），∴BC=AD．。
全等三角形的判定AAS练习
在应用AAS判定定理时，要特 别注意边和角的对应关系，确 保角度和边长能够匹配。
简化计算过程
在证明三角形全等时，尽量采 用简单的计算方法，避免复杂 的运算过程，提高解题效率。
多做练习
通过多做练习，加深对全等三 角形判定定理的理解和应用，
提高解题能力。
05 练习题答案与解析
基础练习题答案与解析
综合练习题答案与解析
题目5
题目：已知$bigtriangleup ABC cong bigtriangleup DEF$，且$angle A + angle D = 150^circ$，则$angle C + angle F = ($ ）
综合练习题答案与解析
• A.$150^\circ$ B.$130^\circ$ C.$120^\circ$ D.$100^\circ$
04 解题思路与技巧
解题思路分析
检查答案
最后，检查推导出的答案是否符合题目的 要求，确保解答正确无误。
理解题意
首先，需要明确题目给出的条件和要求， 理解全等三角形的判定定理AAS的含义和 应用场景。
分析条件
根据题意，分析给出的已知条件，如角度 、边长等，并确定哪些条件可用于证明三 角形全等。
逻辑推理
全等三角形的性质
01
02
03
04
全等三角形的对应边相等，对 应角相等。
全等三角形的周长、面积和对 应角所对的弧都相等。
全等三角形的对应高、中线、 角平分线也相等。
全等三角形具有相同的内角和 外角。
02 AAS判定定理的介绍
AAS判定定理的内容
两个三角形中，如果两个角和一边分 别相等，则这两个三角形全等。
全等三角形的判定练习题
全等三角形的判定练习题一、选择题1. 下列哪组条件可以判定两个三角形全等？A. 两边和其中一边的对角相等B. 两角和其中一角的对边相等C. 两边和它们的夹角相等D. 两角和其中一边相等A. ∠A=∠DB. ∠B=∠EC. ∠C=∠FA. SAS（边角边）B. ASA（角边角）C. AAS（角角边）D. SSS（三边）二、填空题1. 若两个三角形的______相等，且它们的夹角相等，则这两个三角形全等。
2. 在全等三角形中，对应边______相等，对应角______相等。
3. 要判定两个三角形全等，至少需要知道它们的______个元素相等。
三、判断题1. 若两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，则这两个三角形一定全等。
（）2. 两个等腰三角形的底角相等，则这两个三角形全等。
（）3. 两个等边三角形的边长相等，则这两个三角形全等。
（）四、解答题1. 在△ABC中，AB=AC，∠B=∠C，求证：△ABC是等腰三角形。
2. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，∠B=∠E，求证：△ABC≌△DEF。
3. 在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，∠B=70°，求∠C的度数。
4. 已知△ABC和△DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF，求证：△ABC≌△DEF。
5. 在△ABC中，AB=8cm，AC=10cm，∠A=60°，求BC的长度。
五、作图题1. 请作出一个三角形，使其与给定三角形全等，已知条件是两边及其夹角。
2. 请作出一个三角形，使其与给定三角形全等，已知条件是两角及其夹边。
3. 请作出一个三角形，使其与给定三角形全等，已知条件是三边。
六、综合题1. 在平面直角坐标系中，点A(2, 3)，点B(6, 3)，点C和点D在x轴上，且△ABC≌△ABD，求点C和点D的坐标。
2. 在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，且∠ABC=∠CDA=90°，证明：△ABC≌△CDA。
(完整word版)全等三角形判定SAS专题练习
全等三角形的判定方法SAS专题练习1.如图，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD第1题2.能判定△ABC≌△A′B′C ′的条件是（）A．AB=A′B′，AC=A′C′，∠C=∠CB.B. AB=A′B′，∠A=∠A′，BC=B′C′C. AC=A′C′，∠A=∠A′，BC=B′CD. AC=A′C′，∠C=∠C′，BC=B′C3.如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD= ，根据_________可得到△AOD≌△COB，从而可以得到AD=_________．第4题第3题4.如图，已知BD=CD，要根据“SAS”判定△ABD≌△ACD，则还需添加的条件是。
5.如图，AD=BC ，要根据“SAS”判定△ABD ≌△BAC ，则还需添加的条件是6.如图，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由．解：∵AD 平分∠BAC ，∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵∴△ABD ≌△ACD （ ）7.如图，AC 与BD 相交于点O ，已知OA=OC ，OB=OD ， 求证:△AOB ≌△COD证明：在△AOB 和△COD 中∵∴△AOB ≌△COD( )第6题 第7题 第5题8.已知：如图，AB=CB，∠1=∠2 △ABD 和△CBD 全等吗？9.已知：如图，AB=AC，AD=AE ，∠1 =∠2 。
试说明：△ABD ≌△ACE 。
10.已知：如图，△ABC中， AD⊥BC 于D，AD=BD， DC=DE，∠C=50°。
求∠ EBD的度数。
11.2 全等三角形的判定（SSS）1、如图1，AB=AD，CB=CD，∠B=30°，∠BAD=46°，则∠ACD的度数是( )A.120°B.125°C.127°D.104°2、如图2，线段AD与BC交于点O，且AC=BD，AD=BC，•则下面的结论中不正确的是( )A.△ABC≌△BADB.∠CAB=∠DBAC.OB=OCD.∠C=∠D3、如图3，AB=CD，BF=DE，E、F是AC上两点，且AE=CF．欲证∠B=∠D，可先运用等式的性质证明AF=________，再用“SSS”证明______≌_______得到结论．4、在△ABC和△A1B1C1中，已知AB=A1B1，BC=B1C1，则补充条件____________，可得到△ABC≌△A1B1C1．5、如图，AB=AC，BD=CD，求证：∠1=∠2．6、如图，已知AB=CD，AC=BD，求证：∠A=∠D．7、如图，AC与BD交于点O，AD=CB，E、F是BD 上两点，且AE=CF，DE=BF.请推导下列结论：⑴∠D=∠B；⑵AE∥CF．8、已知如图，A、E、F、C四点共线，BF=DE，AB=CD.⑴请你添加一个条件，使△DEC≌△BFA；⑵在⑴的基础上，求证：DE∥BF.12.2 全等三角形的判定(SAS)1、如图1，AB∥CD，AB=CD，BE=DF，则图中有多少对全等三角形( )A.3B.4C.5D.62、如图2，AB=AC，AD=AE，欲证△ABD≌△ACE，可补充条件( )A.∠1=∠2B.∠B=∠CC.∠D=∠ED.∠BAE=∠CAD3、如图3，AD=BC，要得到△ABD和△CDB全等，可以添加的条件是( )A.AB∥CDB.AD∥BCC.∠A=∠CD.∠ABC=∠CDA4、如图4，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠AOD=________，•根据_________可得到△AOD ≌△COB，从而可以得到AD=_________．C B A5、如图5，已知△ABC 中，AB=AC ，AD 平分∠BAC ，请补充完整过程说明△ABD ≌△ACD 的理由． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠________=∠_________(角平分线的定义). 在△ABD 和△ACD 中，∵____________________________，∴△ABD ≌△ACD （ ）6、如图6，已知AB=AD ，AC=AE ，∠1=∠2，求证∠ADE=∠B.7、如图，已知AB=AD ，若AC 平分∠BAD ，问AC 是否平分∠BCD ？为什么？8、如图，在△ABC和△DEF中，B、E、F、C，在同一直线上，下面有4个条件，请你在其中选3个作为题设，余下的一个作为结论，写一个真命题，并加以证明.①AB=DE；②AC=DF；③∠ABC=∠DEF；④BE=CF.9、如图⑴，AB⊥BD，DE⊥BD，点C是BD上一点，且BC=DE，CD=AB．⑴试判断AC与CE的位置关系，并说明理由．⑵如图⑵，若把△CDE沿直线BD向左平移，使△CDE的顶点C与B重合，此时第⑴问中AC与BE 的位置关系还成立吗？(注意字母的变化)。
三角形全等练习题
三角形全等练习题一、选择题1. 三角形全等的判定条件不包括以下哪一项？A. SSS（边边边）B. SAS（边角边）A. ASA（角边角）D. SSA（边边角）2. 以下哪个选项不是三角形全等的判定条件？A. 两个三角形的对应角相等B. 两个三角形的对应边成比例C. 两个三角形的对应角和边都相等D. 两个三角形的对应边相等3. 如果两个三角形的三个内角都相等，那么这两个三角形：A. 一定全等B. 可能全等C. 不一定全等D. 完全不等4. 根据HL（直角边和斜边）判定两个直角三角形全等的条件是：A. 只有当两个三角形都是直角三角形时B. 两个三角形的直角边和斜边对应相等C. 两个三角形的直角边相等D. 两个三角形的斜边相等5. 如果两个三角形的两边和它们之间的夹角对应相等，那么这两个三角形：A. 一定全等B. 可能全等C. 不一定全等D. 完全不等二、填空题6. 在三角形ABC中，如果AB=AC，BC=BD，∠ABC=∠ACB，那么三角形ABD与三角形ACD根据________判定全等。
7. 如果两个三角形的两边和它们之间的夹角对应相等，根据________判定这两个三角形全等。
8. 在直角三角形中，如果两个三角形的直角边和斜边对应相等，根据________判定这两个直角三角形全等。
9. 如果三角形ABC与三角形DEF的对应角∠A和∠D，∠B和∠E，∠C 和∠F都相等，那么根据________判定这两个三角形全等。
10. 两个三角形的对应边成比例，并且它们的对应角相等，根据________判定这两个三角形相似。
三、判断题11. 如果两个三角形的对应边成比例，那么这两个三角形一定相似。
（对/错）12. 两个三角形的对应角相等，但对应边不成比例，这两个三角形可能全等。
（对/错）13. 如果两个三角形的对应边成比例，并且它们的对应角相等，那么这两个三角形一定全等。
（对/错）14. 根据HL判定两个直角三角形全等，只需要知道两个三角形的直角边和斜边对应相等。
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题(含答案解析)
2023年中考数学----全等三角形的判定与性质知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
三角形的三边一旦确定，这三角形就固定了，这是三角形具有稳定性。
2.三角形的内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°。
3.三角形的外角定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角之和。
大于它不相邻的任意一个内角。
4.全等三角形的性质：若两个三角形全等，则他们的对应边相等；对应角相等；对应边上的中线相等，高线相等，角平分线也相等；且这两个三角形的周长和面积均相等。
5.全等三角形的判定：①边边边（SSS）：三条边分别对应性相等的两个三角形全等。
②边角边（SAS）：两边及其这两边的夹角对应相等的两个三角形全等。
③角边角（ASA）：两角及其这两角的夹边对应相等的两个三角形全等。
④角角边（AAS）：两角及其其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
⑤直角三角形判定（HL）：直角三角形中斜边与其中任意一直角边分别对应相等的两个直角三角形全等。
全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件。
在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形。
专项练习题（含答案解析）1．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4．求证：AB＝AD．【分析】根据邻补角的定义得出∠ACB＝∠ACD，利用ASA证明△ACB≌△ACD，根据全等三角形的性质即可得解．【解答】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ACB＝∠ACD，在△ACB和△ACD中，，∴△ACB≌△ACD（ASA），∴AB＝AD．2．如图，△ABC是等腰三角形，点D，E分别在腰AC，AB上，且BE＝CD，连接BD，CE．求证：BD＝CE．【分析】根据等腰三角形的性质得出∠EBC＝∠DCB，进而利用SAS证明△EBC与△DCB全等，再利用全等三角形的性质解答即可．【解答】证明：∵△ABC∴∠EBC＝∠DCB，在△EBC与△DCB中，，∴△EBC≌△DCB（SAS），∴BD＝CE．3．如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°，求∠D的大小．【分析】由∠BAD＝∠EAC可得∠BAC＝∠EAD，根据SAS可证△BAC≌△EAD，再根据全等三角形的性质即可求解．【解答】解：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD+∠CAD＝∠EAC+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD，在△BAC与△EAD中，，∴△BAC≌△EAD（SAS），∴∠D＝∠C＝50°．4．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．（1）求证：△ABC≌△ADC；（2）若AB＝4，CD＝3，求四边形的面积．【分析】（1）由AC平分∠BAD，得∠BAC＝∠DAC，根据CB⊥AB，CD⊥AD，得∠B＝90°＝∠D，用AAS 可得△ABC≌△ADC；（2）由（1）△ABC≌△ADC，得BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，求出S△ABC＝AB•BC＝6，即可得四边形ABCD的面积是12．【解答】（1）证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴∠B＝90°＝∠D，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）；（2）解：由（1）知：△ABC≌△ADC，∴BC＝CD＝3，S△ABC＝S△ADC，∴S△ABC＝AB•BC＝×4×3＝6，∴S△ADC＝6，∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝12，答：四边形ABCD的面积是12．5．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．【解答】证明：∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（ASA），∴DE＝BC．6．如图，在等边三角形ABC中，点M为AB边上任意一点，延长BC至点N，使CN＝AM，连接MN交AC于点P，MH⊥AC于点H．（1）求证：MP＝NP；（2）若AB＝a，求线段PH的长（结果用含a的代数式表示）．【分析】（1）过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，根据等边三角形的性质以及平行线的性质可得∠AMQ＝∠AQM＝∠A＝60°，可得△AMQ是等边三角形，易证△QMP≌△CNP（AAS），即可得证；（2）根据等边三角形的性质可知AH＝HQ，根据全等三角形的性质可知QP＝PC，即可表示出HP的长．【解答】（1）证明：过点M作MQ∥BC，交AC于点Q，如图所示：在等边△ABC中，∠A＝∠B＝∠ACB＝60°，∵MQ∥BC，∴∠AMQ＝∠B＝60°，∠AQM＝∠ACB＝60°，∠QMP＝∠N，∴△AMQ是等边三角形，∴AM＝QM，∵AM＝CN，∴QM＝CN，在△QMP和△CNP中，，∴△QMP≌△CNP（AAS），∴MP＝NP；（2）解：∵△AMQ是等边三角形，且MH⊥AC，∴AH＝HQ，∵△QMP≌△CNP，∴QP＝CP，∴PH＝HQ+QP＝AC，∵AB＝a，AB＝AC，∴PH＝a．7．如图，点A，D，C，F在同一条直线上，AB＝DE，BC＝EF．有下列三个条件：①AC＝DF，②∠ABC ＝∠DEF，③∠ACB＝∠DFE．（1）请在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF．你选取的条件为（填写序号）（只需选一个条件，多选不得分），你判定△ABC≌△DEF的依据是（填“SSS”或“SAS”或“ASA”或“AAS”）；（2）利用（1）的结论△ABC≌△DEF．求证：AB∥DE．【分析】（1）根据SSS ABC≌△DEF，即可解决问题；（2）根据全等三角形的性质可得∠A＝∠EDF，再根据平行线的判定即可解决问题．【解答】（1）解：在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴在上述三个条件中选取一个条件，使得△ABC≌△DEF，选取的条件为①，判定△ABC≌△DEF的依据是SSS．故答案为：①，SSS；（答案不唯一）．（2）证明：∵△ABC≌△DEF．∴∠A＝∠EDF，∴AB∥DE．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF．若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2．若AB2＝AE2+BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．【分析】（1）证明△BCD≌△FCE（SAS），由全等三角形的性质得出∠DBC＝∠EFC，证出BD∥EF，则可得出结论；（2）由题意画出图形，延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，证出∠AEF＝90°，得出∠DHE＝90°，由直角三角形的性质可得出结论．【解答】（1）证明：在△BCD和△FCE中，，∴△BCD≌△FCE（SAS），∴∠DBC＝∠EFC，∴BD∥EF，∵AF⊥EF，∴BD⊥AF；（2）解：由题意补全图形如下：CD＝CH．证明：延长BC到F，使CF＝BC，连接AF，EF，∵AC⊥BF，BC＝CF，∴AB＝AF，由（1）可知BD∥EF，BD＝EF，∵AB2＝AE2+BD2，∴AF2＝AE2+EF2，∴∠AEF＝90°，∴AE⊥EF，∴BD⊥AE，∴∠DHE＝90°，又∵CD＝CE，∴CH＝CD＝CE．9．如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，且点D在线段BC上，连CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠EAC＝60°，求∠CED的度数．【分析】（1）可利用SAS证明结论；（2）由全等三角形的性质可得∠ACE＝∠ABD，利用等腰直角三角形的性质可求得∠ACE＝∠ABD＝∠AED ＝45°，再根据三角形的内角和定理可求解∠AEC的度数，进而可求可求解【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠ABD，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ACE＝∠ABD＝∠AED＝45°，∵∠EAC＝60°，∴∠AEC＝180°﹣∠ACE﹣∠EAC＝180°﹣45°﹣60°＝75°，∴∠CED＝∠AEC﹣∠AED＝75°﹣45°＝30°．10．如图，在△ABC中（AB＜BC），过点C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，连接DE、DB．（1）求证：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面积．【分析】（1）由CD∥AB得∠ABC＝∠ECD，而CD＝CB，CE＝AB，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABC≌△ECD；（2））由∠A＝90°，根据全等三角形的对应角相等证明∠BED＝∠CED＝∠A＝90°，设BE＝x，由BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，列方程（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，解方程求得符合题意的x的值为2，则BC ＝5，再根据勾股定理求出DE的长，即可求出△BCD的面积．【解答】（1）证明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，设BE＝x，∵EC＝AB＝3，BD＝2，∴CD＝BC＝3+x，∵BD2﹣BE2＝CD2﹣EC2＝DE2，∴（2）2﹣x2＝（3+x）2﹣32，整理得x2+3x﹣10＝0，解得x1＝2，x2＝﹣5（不符合题意，舍去），∴BE＝2，BC＝3+2＝5，∴DE＝＝＝4，∴S△BCD＝BC•DE＝×5×4＝10，∴△BCD的面积为10．11．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一点，以AD为直角边作等腰Rt △ADE，其中∠DAE＝90°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠BAD＝22.5°时，求BD的长．【分析】（1）由“SAS”可证△ACE；（2）由等腰三角形三角形的性质可得BC的长，由角度关系可求∠ADC＝67.5°＝∠CAD，可得AC＝CD ＝1，即可求解．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝90°＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS）；（2）解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，∴BC＝，∠B＝∠ACB＝45°，∵∠BAD＝22.5°，∴∠ADC＝67.5°＝∠CAD，∴AC＝CD＝1，∴BD＝﹣1．12．如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．（1）求证：△CEF≌△ADF；（2）求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得到BC＝CE，∠E＝∠B ＝90°，等量代换得到∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，根据AAS证明三角形全等即可；（2）设DF＝a，则CF＝8﹣a，根据矩形的性质和折叠的性质证明AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，根据勾股定理表示出DF的长，根据正切的定义即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，BC＝AD，根据折叠的性质得：BC＝CE，∠E＝∠B＝90°，∴∠E＝∠D＝90°，AD＝CE，在△CEF与△ADF中，，∴△CEF≌△ADF（AAS）；（2）解：设DF＝a，则CF＝8﹣a，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD＝BC＝x，∴∠DCA＝∠BAC，根据折叠的性质得：∠EAC＝∠BAC，∴∠DCA＝∠EAC，∴AF＝CF＝8﹣a，在Rt△ADF中，∵AD2+DF2＝AF2，∴x2+a2＝（8﹣a）2，∴a＝，∴tan∠DAF＝＝．13．如图，△ABC和△DEF，点E，F在直线BC上，AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F．如图①，易证：BC+BE ＝BF．请解答下列问题：（1）如图②，如图③，请猜想BC，BE，BF之间的数量关系，并直接写出猜想结论；（2）请选择（1）中任意一种结论进行证明；（3）若AB＝6，CE＝2，∠F＝60°，S△ABC＝123，则BC＝，BF＝．【分析】（1）根据图形分别得出答案；（2）利用AAS证明△ABC≌△DFE，得BC＝EF，再根据图形可得结论；（3）首先利用含30°角的直角三角形的性质求出BH和AH的长，从而得出BC，再对点E的位置进行分类即可．【解答】解：（1）图②：BC+BE＝BF，图③：BE﹣BC＝BF；（2）图②：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BC+CE，∴BC+BE＝EF+BC+CE＝BF；图③：∵AB＝DF，∠A＝∠D，∠B＝∠F，∴△ABC≌△DFE（ASA），∴BC＝EF，∵BE＝BF+EF，∴BE﹣BC＝BF+EF﹣BC＝BF+BC﹣BC＝BF；（3）当点E在BC上时，如图，作AH⊥BC于H，∵∠B＝∠F＝60°，∴∠BAH＝30°，∴BH＝3，∴AH＝3，∵S△ABC＝12，∴＝12，∴BC＝8，∵CE＝2，∴BF＝BE+EF＝8﹣2+8＝14；同理，当点E在BC延长线上时，如图②，BF＝BC+BE＝8+10＝18，故答案为：8，14或18．14．△ABC和△ADE都是等边三角形．（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有P A+PB ＝PC（或P A+PC＝PB）成立（不需证明）；（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？并加以证明；（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接P A，猜想线段P A、PB、PC 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论；（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．【解答】解：（2）PB＝P A+PC，理由如下：如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，∵△ABC、△ADE都是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，即∠DAB＝∠EAC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，BF＝CP，∴△BAF≌△CAP（SAS），∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，∴∠BAC＝∠P AF＝60°，∴△AFP是等边三角形，∴PF＝P A，∴PB＝BF+PF＝PC+P A；（3）PC＝P A+PB，理由如下：如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理得：△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵AB＝AC，PB＝CM，∴△AMC≌△APB（SAS），∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，∴∠BAC＝∠P AM＝60°，∴△AMP是等边三角形，∴PM＝P A，∴PC＝PM+CM＝P A+PB．15．【情境再现】甲、乙两个含45°角的直角三角尺如图①放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足O处．将甲绕点O 顺时针旋转一个锐角到图②位置．按图②作出示意图，并连接AG，BH，如图③所示，AB交HO于E，AC 交OG于F，通过证明△OBE≌△OAF，可得OE＝OF．请你证明：AG＝BH．【迁移应用】延长GA分别交HO，HB所在直线于点P，D，如图④，猜想并证明DG与BH的位置关系．【拓展延伸】小亮将图②中的甲、乙换成含30°角的直角三角尺如图⑤，按图⑤作出示意图，并连接HB，AG，如图⑥所示，其他条件不变，请你猜想并证明AG与BH的数量关系．【分析】【情境再现】由△OBE≌△OAF，得BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，可证明△BHE≌△AGF （SAS），得BH＝AG；【迁移应用】由△BHE≌△AGF，得∠BHE＝∠AGF，可得∠AGF+∠GPO＝90°，从而∠BHE+∠HPD＝90°，∠HDP＝90°，故DG⊥BH；【拓展延伸】设AB交OH于T，OG交AC于K，根据△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，可得OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，即得△BOT∽△AOK，有＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，又OH＝GO，可得＝＝，故△BTH∽△AKG，即得＝＝，BH＝AG．【解答】【情境再现】证明：由阅读材料知△OBE≌△OAF，∴BE＝AF，OE＝OF，∠BEO＝∠AFO，∴∠BEH＝∠AFG，∵OH＝OG，∴OH﹣OE＝OG﹣OF，即EH＝GF，在△BHE和△AGF中，，∴△BHE≌△AGF（SAS），∴BH＝AG；【迁移应用】解：猜想：DG⊥BH；证明如下：由【情境再现】知：△BHE≌△AGF，∴∠BHE＝∠AGF，∵∠HOG＝90°，∴∠AGF+∠GPO＝90°，∴∠BHE+∠GPO＝90°，∵∠GPO＝∠HPD，∴∠BHE+∠HPD＝90°，∴∠HDP＝90°，∴DG⊥BH；【拓展延伸】解：猜想：BH＝AG，证明如下：设AB交OH于T，OG交AC于K，如图：由已知得：△ABC，△HOG是含30°角的直角三角形，AO⊥BC，∴∠AOB＝90°，∴OB＝AO，∠OBA＝∠OAC＝30°，∠BOT＝90°﹣∠AOT＝∠AOK，∴△BOT∽△AOK，∴＝＝＝，∠BTO＝∠AKO，∴OT＝OK，BT＝AK，∠BTH＝∠AKG，∵OH＝GO，∴HT＝OH﹣OT＝GO﹣OK＝（GO﹣OK）＝KG，∴＝＝，∴△BTH∽△AKG，∴＝＝，∴BH＝AG19。