高中数学-直线、圆与方程压轴题(培优、提高)
第二章《直线和圆的方程》检测卷(培优版)原卷版
第二章《直线和圆的方程》检测卷（培优版）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分．1．设点3(2,)A -､(3,2)B --，若直线l 过点(1,1)P 且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥或4k ≤- B ．34k ≥或14k ≤- C ．344k -≤≤ D ．344k -≤≤ 2．已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知直线l 过点()00,x y ，倾斜角()0,απ∈，下列方程可以表示直线l 的是（ ）A ．()00tan y y x x α-=-B ．()00cot y y x x α-=-C ．00cos sin x x y y αα--= D ．()()00sin cos 0x x y y αα---= 4．已知直线1:20l x ay +-=与直线2:10l ax y a +--=平行，则a 的值为（ ）A ．1-B ．1C ．±1D ．05．以()2,1A ，()4,2B ，()8,5C 为顶点的三角形的面积等于（ ）A ．1B ．45C ．65D ．26．已知((0,3)A B C ，则ABC 外接圆的方程为（ ）A ．22(1)2x y -+=B ．22(1)4x y -+=C ．22(1)2x y +-=D ．22(1)4x y +-=7．已知直线:2l y x b =+与圆222:40C x y x y +--=相交所得的弦长为2，则b =（ ）A ．BC ．±D ．8．已知圆22:210250M x y x y +--+=，圆22:146540N x y x y +--+=，点,P Q 分别在圆M 和圆N 上，点S 在x 轴上，则SP SQ +的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分． 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。
高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)
圆与直线知识点圆的方程：（1）标准方程：（圆心为A(a,b),半径为r ）（2）圆的一般方程：（）圆心（-，-）半径点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离与在大小关系判断 直线与圆的位置关系判断方法（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法（1）几何法：两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：1）当时，圆与圆相离；2）当时，圆与圆外切；3）当时，圆与圆相交；4）当时，圆与圆内切； 5）当时，圆与圆内含；（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系222()()x a y b r -+-=022=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D 2D 2E FE D 42122-+d r l 21r r l +>1C 2C 21r r l +=1C 2C <-||21r r 21r r l +<1C 2C ||21r r l -=1C 2C ||21r r l -<1C 2C选择题1．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 （ ）A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＝0D ．y ＝02．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．1 B ．13- C ．23-D ．2-3．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为 （ ）Ａ．4±Ｂ．± Ｃ．2±Ｄ．4．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（ ）A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支5．参数方程2tan cot x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数）所表示的曲线是（ ）A ．圆B ．直线C ．两条射线D ．线段6．如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根，那么1l 与2l 的夹角为（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π7．已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若MN ≠∅，则b ∈（ ）A ．[-B ．(-C ．(-D ．[-8．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（ ）A ．4B ．5C ．1D ．9．若直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为（ ）A ．1B ．5C ．D ．3+10．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.若在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m （ ） A ． 2- B ．1- C ．1D ．411、设2000200120012002101101,101101M N ++==++，2000200120012002109109,1010010100P Q ++==++，则M 与N 、P 与Q 的大小关系为 ( ) A.,M N P Q >>B.,M N P Q ><C.,M N P Q <>D.,M N P Q <<12、已知两圆相交于点(1,3)(,1)A B m -和点，两圆圆心都在直线:0l x y c -+=上，则c m +的值等于 A ．-1 B ．2 C ．3 D ．013、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对14、设0m >)10x y m +++=与圆22x y m +=的位置关系为 （ ）A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切15、已知向量(2co s ,2s i n ),(3co s ,3s i n m n ααββ==若m与n的夹角为60︒，则直线1:cos sin 02l x y αα-+=与圆221:(cos )(sin )2C x y ββ-++=的位置关系是（ ） A ．相交但不过圆心 B ．相交过圆心 C ．相切D ．相离16、已知圆22:(3)(5)36O x y -++=和点(2,2),(1,2)A B --,若点C 在圆上且ABC ∆的面积为25,则满足条件的点C 的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.417、若圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数b a ,应满足的关系是 ( )A ．03222=---b a aB ．05222=+++b a aC ．0122222=++++b a b aD ．01222322=++++b a b a18、在平面内,与点)2,1(A 距离为1, 与点)1,3(B 距离为2的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条填空题1、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是______2、设不等式221(1)x m x ->-对一切满足2m ≤的值均成立，则x 的范围为 。
直线与圆高考题精选培优
01（10安徽文）过面（1，0）且与直线x-2y-2=0仄止的直线圆程是A 之阳早格格创做（A ）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D ）x+2y-1=0 02(10广东文）若圆心正在x O 位于y 轴左侧，且与直线x+2y=0相切，则圆O 的圆程是D A.22(5x y -+= B.22(5x y ++= C.22(5)5x y -+= D.22(5)5x y ++=03（10广东理）已知圆心正在xO 位于y 轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O 的圆程是22(2)2x y ++=04（10天津文）已知圆C 的圆心是直线x-y+1=0与x 轴的接面，且圆C与直线x+y+3=0相切.则圆C 的圆程为2x+1y 2+=2（） 05（10上海文）圆22:2440C x y x y +--+=的圆心到直线3440x y ++=的距离d =306（10四川理）直线250x y -+=与圆228x y +=相接于A 、B 二面，则AB ∣07（09辽宁文）已知圆C 与直线x-y ＝0 及x-y-4＝0皆相切，圆心正在直线x+y ＝0上，则圆C 圆程BA ．22(1)(1)2x y ++-=B ．22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -+-=D ．22(1)(1)2x y +++=08（09宁夏海北文）圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 闭于直线10x y --=对付称，则圆2C 的圆程为BA.2(2)x ++2(2)y -=1B.2(2)x -+2(2)y +=1C.2(2)x ++2(2)y +=1D.2(2)x -+2(2)y -=109（10江苏通州下三检测）已知二圆(x-1)2+(y-1)2＝r 2战(x+2)2+(y+2)2＝R 2相接于P,Q 二面，若面P 坐标为(1,2)，则面Q 的坐标为．（2,1） 10（10安徽理）动面(),A x y 正在圆221x y +=上绕本面沿顺时针目标匀速转动，12秒转一周.已知时间0t =时，面A 的坐标是1(2，则当012t ≤≤时，动面A 的纵坐标y 闭于t （秒）的函数的单调递加区间是DA 、[]0,1B 、[]1,7C 、[]7,12D 、[]0,1战[]7,1211（10山东文）已知圆C 过面（1,0），且圆心正在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被该圆所截得的弦少为，则圆C 的尺度圆程为.22(3)4x y -+=12（10山东理）已知圆C 过面（1,0），且圆心正在x 轴的正半轴上，直线l ：1y x =-被圆C 所截得的弦少为l 笔直的直线的圆程为x+y-3=013（10江苏卷）正在仄里直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个面到直线12x-5y+c=0的距离为1，则真数c 的与值范畴是14（09上海）已知直线12:(3)(4)10,:2(3)230,l k x k y l k x y -+-+=--+=与仄止，则k 的值是C15.Rt △ABC 的斜边为AB ，面A(-2，0),B(4，0)，则△ABC 的沉心G 的轨迹圆程是CA.(x-1)2+y 2=1(x≠0)B.(x -1)2+y 2=4(y≠0)C.(x -1)2+y 2=1(y≠0)D.(x+1)2+y 2=1(y≠0) 16．直线过面(-3,-2)且正在二坐标轴上的截距相等，则那样的直线圆程为_________2x －3y ＝0或者x ＋y ＋5＝017．过面Ｍ(２,１)的直线l 与x 轴，y 轴分别接于Ｐ,Ｑ二面，且MQ MP =,则l 的圆程是__x+2y-4=018．正在仄里直角坐标系xOy 中，设直线l ：10kx y -+=与圆C ：224xy +=相接于A 、B 二面，以OA 、OB 为邻边做仄止四边形OAMB ，若面M 正在圆C 上，则真数k=019（10湖北文）若分歧二面P,Q 的坐标分别为（a,b ），（3-b,3-a ），则线段PQ 的笔直仄分线l 的斜率为，圆(x-2)2+(y-3)2＝1闭于直线l 对付称的圆的圆程为-1 , 1)1(22=-+y x20（10宁夏理）过面A(4,1)的圆C 与直线10x y --=相切于面B(2,1)．则圆C 的圆程为22(3)2x y -+=21（09四川）若⊙221:5O x y +=与⊙222:()20()O x m y m R -+=∈相接于A 、B 二面，且二圆正在面A 处的切线互相笔直，则线段AB 的少度是4 22. 下列命题精确的有⑤ ①每条直线皆有唯一一个倾斜角与之对付应,也有唯一一个斜率与之对付应;②倾斜角的范畴是:0°≤α<180°,且当倾斜角删大时,斜率也删大;③过二面A(1,2),B(m,-5)的直线不妨用二面式表示;④过面(1,1),且斜率为1的直线的圆程为111y x -=-;⑤直线Ax+By+C=0(A,B 分歧时为整),当A,B,C 中有一个为整时,那个圆程没有克没有及化为截距式.⑥若二直线仄止,则它们的斜率必相等;⑦若二直线笔直,则它们的斜率相乘必等于-1.23．ABC ∆中，面A (),1,4-AB 的中面为M (),2,3沉心为P (),2,4供边BC 的少.524．分歧的三条直线mx+y+3=0，没有克没有及成为一个三角形三边地圆的直线，则m=2143---、、25．面)1,2(P 到直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈=--+--的最近距离为B26．圆心为C 的圆通过)1,1(A ，)2,2(-B ，且圆心C 正在直线01=+-y x l ：上，供圆心为C 的圆的尺度圆程.25)2()3(22=+++y x27（10江西理）直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=接M,N 二面，若23MN ≥，则k 的与值范畴是AA.304⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，B.[]304⎡⎤-∞-+∞⎢⎥⎣⎦，，C.3333⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D.203⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 28. 供函数545222+--+-=x x x x y 的最大值，并供出最大值时x 的值.2，329．如图，正在∆ABC 中，∠C=900，P 为三角形内的一面，且PCA PBC PAB S S S ∆∆∆==，供证：2225PC PB PA =+ 30．当直线y=1+24x -与直线y=k(x-2)+4有二个相同接面时，真数k 的与值范畴是CA.（0，125） B.（43,31］C.（43,125］D.（125，+∞） 31．已知圆C ：22262(1)102240x y mx m y m m +---+--=，供证：（1）供圆心地圆的直线l 的圆程；x-3y-3=0（2）若直线l ：x-3y+7=0与圆相接于A ，B ，供弦AB 少.152 32．已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0（1）供证：对付m ∈R ，直线l 与圆C 总有二个分歧接面.（2）设l 与圆C 接于A 、B 二面，若|AB|=17，供直线l 的倾斜角.3π或者32π（3）供弦AB 的中面M 的轨迹圆程.21)21()21(22=-+-y x 33．设圆221x y +=的一条切线与x 轴、y 轴分别接于面A 、B ，则线段AB 少度的最小值为234．已知面)1,3(A ，面M 正在直线0=-y x 上，面N 正在x 轴上，则AMN∆周少的最小值是________5235．面P （x,y ）谦脚(x-2)2+y 2=1供：（1）x y 的最大值33（2）供22x y +的范畴]9,1[（3）y-x 的最小值22--36．如直线01=+-y ax ，当]3,2[-∈x 时，]5,3[-∈y ，则a的与值范畴是DA.]2,2[- B.]2,34[- C.]34,2[- D.]34,34[- 37．如图，已知△ABC 的二个顶面A(-10，2)，B(6，4)，垂心是H(5，2)，供顶面C 的坐标．（6，-6）38（世界1理）圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的二条切线，A 、B 为二切面，则PB PA ⋅ 的最小值为D(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+39（09世界Ⅰ）若直线m 被二仄止线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的少为22，则m 的倾斜角不妨是 ①15②30③45④60⑤75其中精确问案的序号是.（写出所有精确问案的序号）①或者⑤40．已知内接于圆的四边形的对付角线互相笔直，供证圆心到一边的距离等于那条边所对付边少的一半.41. 已知三面A(0,a ）,B(b,0)，C(c,0），b+c ≠0，a ≠0，矩形EFGH 的顶面E 、H 分别正在△ABC 的边AB 、AC 上，F 、G 皆正在边BC 上，没有管矩形EFGH 怎么样变更，它的对付角线EG 、HF 的接面P 恒正在一条定直线l 上，那么直线l 的圆程是2a a y x b c =-+42（09上海）过圆22(1)(1)1C x y -+-=：的圆心，做直线分别接x 、y 正半轴于面A 、B ，AOB ∆被圆分成四部分（如图），若那四部分图形里积谦脚III II I S S S S +=+Ⅳ则直线AB 有BA. 0条B. 1条C. 2条D. 3条43（09天津）若圆224x y +=与圆22260x y ay ++-=（a>0）的公同弦的少为23，则a =_____144（09世界2）已知AC 、BD 为圆O ：422=+y x 的二条相互笔直的弦，垂脚为(1,2)M ，则四边形ABCD 的里积的最大值为.5 45（09江西）设直线系:cos (2)sin 1(02)M x y θθθπ+-=≤≤,对付于下列四个命题：A ．M 中所有直线均通过一个定面B ．存留定面P 没有正在M 中的任一条直线上 C ．对付于任性整数(3)n n ≥，存留正n 边形,其所有边均正在M中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形里积皆相等其中真命题的代号是（写出所有真命题的代号）．B ,C 46（09江苏）正在仄里直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=战圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过面(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦少为23，供直线l 的圆程；（2）设P 为仄里上的面，谦脚：存留过面P的无贫多对付互相笔直的直线1l 战2l ，它们分别与圆1C 战圆2C 相接，且直线1l 被圆1C截得的弦少与直线l被圆C截得的弦少相等，试供所有谦脚条件的面P的坐标。
高中数学圆与方程专题(压轴题训练)
圆与方程【知识梳理】 1、确定圆的要素 2、圆的标准方程和一般方程 3、直线和圆、圆与圆的位置关系 4、用解析方法解决几何问题 【重难点问题】 1、求圆的方程 2、位置关系 3、求最值、范围 4、求轨迹 5、存在性问题 6、定切线，定圆，定点【典题讲练】 【例1】以(2 1)A -，，(1 5)B ，为半径两端点的圆的方程是_______________． 【变】圆心在直线20x y +=上，并且经过点(1 3)A ，和(4 2)B ，的圆的方程为_______________．【拓】求过A （0，0）、B （1，1）、C （4，2）三点的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标．【例2】过点A (4，1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为______________． 【变】已知圆C 经过P (－2，4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为_____________． 【拓1】已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为_______________．【拓2】在平面直角坐标系xOy 中，以点(0，1)为圆心且与直线x －by ＋2b ＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_______________．【例3】过点P ﹣1）的直线l 与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________．【变】（1）过点P （2，1）的直线l 被圆x 2＋y 2＝10截得的弦长为___________．（2）已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A 、B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为__________． 【拓】（1）圆x 2＋y 2＋2x ＝0和x 2＋y 2﹣4y ＝0的公共弦所在直线方程为___________．（2）过点（3，1）作圆（x ﹣1）2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为___________．【例4】若直线y ＝k （x ﹣4）与曲线y 有公共点，则k 的取值范围为___________．【练】若过定点M （﹣1，0）且斜率为k 的直线与圆x 2＋y 2＋4x ﹣5＝0在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是___________．【变】（1）若关于x 的方程3x b +=只有一个解，则实数b 的取值范围是____________．（2）曲线1x 与直线45y kx k =-+有两个不同的交点时，实数k 的取值范围是____________． A ．53(,]124B ．78(,]243C ．8[,)3+∞D ．72(,)(,)243-∞+∞ （3）若曲线221:20C x y x +-=与曲线2:()0C y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A ．(B ．(，0)(0⋃C ．[D ．(-∞，⋃，)+∞【例5】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）yx； （2）14y x --； （3）736xy +； （4）y x -；（5）23x y +；（6）22x y +；（7）221014x x y y -+-．【练】已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求下列各式的最大值与最小值． （1）14y x --； （2）23x y +； （3）221014x x y y -+-． （4）若对任意的x ，y 有20x y m ++≥，求m 的取值范围．【变】（1）已知实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝4，则3x 2＋4y 2的最大值为________．（2）设点P (x ，y )是圆：x 2＋(y －3)2＝1上的动点，定点A (2，0)，B (－2，0)，则P A →·PB →的最大值为________．【拓】（1）已知实数x ，y 满足方程22220x y x y ++-=，则||||x y +的最大值为( )A ．2B ．4C ．D ．2+（2）已知实数x ，y 满足221x y +≤，340x y +≤，则32x x y ---的取值范围是( )A ．[1，4]B ．19[17，4]C ．[1，11]3D ．19[17，11]3（3）设点(,)P x y 是圆22:2230C x x y y ++--=上任意一点，若|2|||x y x y a --+-+为定值，则a 的值可能为( ) A ．4- B ．0C ．3D ．6【例6】设P 为直线0x y -=上的一动点，过P 点做圆22(4)2x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值_______________．【练】（1）在平面直角坐标系xOy 中，过圆221:()(4)1C x k y k -++-=上任一点P 作圆222:1C x y +=的一条切线，切点为Q ，则当线段PQ 长最小时，k =_______________．（2）已知点P 为直线1y x =+上的一点，M ，N 分别为圆221:(4)(1)4C x y -+-=与圆222:(2)1C x y +-=上的点，则||||PM PN -的最大值为( ) A ．4 B ．5C ．6D ．7【变】（1）已知两点A (0，－3)，B (4，0)，若点P 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0上的动点，则△ABP 的面积的最小值为____________．（2）过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于________．（3）已知圆O ：x 2＋y 2＝9，过点C (2，1)的直线l 与圆O 交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，直线l 的方程为____________．（4）已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2﹣2x ﹣2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值为___________．（5）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,1)A ，(1,1)B -，点P 为圆22(4)4x y -+=上任意一点，记OAP ∆和OBP ∆ 的面积分别为1S 和2S ，则12S S 的最小值是____________．【例7】（1）已知|M 1M 2|＝2，点M 与两定点M 1，M 2距离的比值是一个正数m ．试建立适当坐标系，求点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么图形．（直接翻译）（2）已知点P 在圆221x y +=运动，点M 的坐标为(2,0)M ，Q 为线段PM 的中点，则点Q 的轨迹方程为_______________．（设坐标转移）（3）由动点P 向圆221x y +=引两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，60APB ∠=︒，则动点P 的轨迹方程为_______________．（几何法）（4）已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2﹣6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B ． （1）求圆C 1的圆心坐标；（2）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．（消参法）【练】（1）自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为____________．（2）已知3AB =，动点P 满足2PA PB =，那么PAB ∆的面积的最大值为_______________．（3）在圆228x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹方程是_______________．（4）已知动圆P 与圆M ：（x ＋1）2＋y 2＝16相切，且经过M 内的定点N （1，0）．试求动圆的圆心P 的轨迹C 的方程．【拓】（1）过定点(3,2)P 任作一直线与圆2242110x y x y +---=相交于A 、B 两点，A 和B 两点处的切线相交于M ，求点M 的轨迹方程．（2）已知圆224x y +=，(1,1)B 为圆内一点，P ，Q 为圆上动点，若90PBQ ∠=︒，则线段PQ 中点的轨迹方程为____________________．（3）已知直线:l y x b =+与圆22:(1)1C x y ++=相交于A ，B 两点，点P 在l 上，且||||2PA PB ⋅=.当b 变化时，求点P 的轨迹方程.【例8】在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，－3)，若圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1上存在一点M 满足|MA |＝2|MO |，则实数a 的取值范围是_______________．【练】在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存 在点M ，使||2||MA MO =，则圆心C 的横坐标的取值范围为( ) A ．12[0,]5B ．[0，1]C ．12[1,]5D ．12(0,)5【变】（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:30l x y +-=和圆22:()8M x y m +-=，若圆M 上存在点P ，使得P 到直线l的距离为，则实数m 的取值范围是_______________．（2）已知圆22:(3)(4)1C x y -+-=和两点(,0)A m -、(B m ，0)(0)m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的取值范围是( ) A ．[3，7] B ．[4，6]C ．[3，6]D ．[4，7]（3）已知圆22:1O x y +=，圆．若圆上存在点，过点作圆的两条切线，切点为，，使得，则实数的取值范围为_______________．（4）在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( ) A ．5B ．3CD．（5）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上，满足2240PA PB +=，若这样的点P 有两个，则r 的取值范围是_______________．22:()(4)1M x a y a -+-+=M P P O A B 60APB ∠=︒a【例9】已知当a R ∈且1a ≠时，圆2222(2)20x y ax a y +-+-+=总与直线l 相切，则直线l 的方程是___________．【练】已知：正数m 取不同的数值时，方程222(42)24410x y m x my m m +-+-+++=表示不同的圆，求：这些圆的公切线（即与这些圆都相切的直线）的方程．【变1】（1）已知直线2:2(1)440l mx m y m +---=，若对任意m R ∈，直线l 与一定圆相切，则该定圆方程为_______________．（2）当实数m 变化时，不在任何直线2mx ＋（1－m 2）y －4m －4＝0上的所有点（x ，y ）形成的图形的面积为_______________．【变2】无论a 如何变化直线sin cos 10x y αα++=总和一个定圆相切，则该定圆方程为_______________．【例10】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB ，A 、B 为切点，则直线AB 经过定点( )A ．48(,)99B ．24(,)99C ．(2,0)D ．(9,0)【变1】已知圆M （M 为圆心）的方程为x 2＋(y －2)2＝1，直线l 的方程为x －2y ＝0，点P 在直线 l 上，过P 点作圆M 的切线P A 、PB ，切点为A 、B ． （1）若∠APB ＝60°，试求点P 的坐标；（2）求证：经过A 、P 、M 三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标．【变2】已知圆O 过点A (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． （1）求圆O 的方程；（2）若EF 、GH 为圆O 的两条相互垂直的弦，垂足为N （1，22），求四边形EGFH 的面积的最大值； （3）已知直线l ：y ＝12x －2，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究直线CD 是否过定点，若过定点，求出定点；若不过定点，请说明理由．【变3】已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝1，直线l 1过点A （3，0），且与圆O 相切． （1）求直线l 1的方程；（2）设圆O 与x 轴相交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为l 2，直线PM 交直线l 2于点P ′，直线QM 交直线l 2于点Q ′．求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定 点坐标．【家庭作业】1、过点(3,4)P -作圆22(1)2x y -+=的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为( ) A ．220x y +-=B ．210x y --=C ．220x y --=D ．220x y ++=2、圆C 的方程为221x y +=，(,2)P x ．过P 作圆C 的切线，切点分别为A ，B 两点．则APB ∠最大为( ) A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒3、已知直线1:360l x y +-=与圆心为(0,1)M ，半径为的圆相交于A ，B 两点，另一直线2:22330l kx y k +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 面积的最大值为( )A ．B ．C ．1)D ．1)4、在平面直角坐标系xOy 中，若圆22:(3)()4C x y a -+-=上存在两点A 、B 满足：60AOB ∠=︒，则实数a 的最大值是( )A ．5B ．3CD ．5、已知关于x 2ax =-有且只有一个解，则实数a 的取值范围为_______________．6、已知实数x ，y 满足22430x x y -++=，则21x y x ++-的取值范围是_______________． 7、设圆22:(1)1C x y -+=，过点(1,0)-作圆的任意弦，求所作弦的中点的轨迹方程．8、在平面直角坐标系xOy 中，直线:420l kx y k ---=，k R ∈，点(2,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点P 满足条件2PA PB =，求实数k 的取值范围．9、设实数x 、y 满足方程：2286210x y x y +--+=． （1）当3x ≠时，求12y P x +==-的取值范围； （2）求2S x y =-的最大值与最小值；（3）求2210226T x y x y =+-++的最大值与最小值．10、已知点(0,4)A ，点P 在直线20x y -=上运动．以线段AP 为直径作一个圆，求该圆恒过的定点坐标．11、已知圆22:4C x y +=，点P 为直线280x y --=上的一个动点，过点P 向圆C 引两条切线PA 、PB 、A 、B 为切点，求证直线AB 恒过点.。
高中数学圆与直线知识点与各类提高习题(附答案)
圆与直线知识点圆的方程：〔1〕标准方程：〔圆心为A(a,b),半径为r 〕〔2〕圆的一般方程：〔〕 圆心〔-，-〕半径点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离与在大小关系判断 直线与圆的位置关系判断方法〔1〕几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。
d=r 为相切，d>r 为相交，d<r 为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。
利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
〔2〕代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。
△=0为相切，△>0为相交，△<0为相离。
利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。
4．圆与圆的位置关系判断方法〔1〕几何法：两圆的连心线长为，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点： 1〕当时，圆与圆相离；2〕当时，圆与圆外切；3〕当时，圆与圆相交；4〕当时，圆与圆内切； 5〕当时，圆与圆内含；〔2〕代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。
△=0为外切或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。
假设两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。
5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系选择题1．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是 〔 〕A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＝0D ．y ＝02．假设直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于〔 〕A ．1B ．13- C ．23-D ．2- 3．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为〔 〕222()()x a y b r -+-=022=++++F Ey Dx y x 0422>-+F E D 2D 2E FE D 42122-+d r l 21r r l +>1C 2C 21r r l +=1C 2C <-||21r r 21r r l +<1C 2C ||21r r l -=1C 2C ||21r r l -<1C 2CＡ．4± Ｂ．± Ｃ．2± Ｄ．4．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是〔 〕A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支 5．参数方程2tan cot x y θθ=⎧⎨=+⎩〔θ为参数〕所表示的曲线是〔 〕A ．圆B ．直线C ．两条射线D ．线段6．如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根，那么1l 与2l 的夹角为〔 〕A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π7．已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，假设MN ≠∅，则b ∈〔 〕A ．[-B ．(-C ．(-D ．[-8．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是〔 〕A ．4B ．5C ．1D ．9．假设直线220(,0)ax by a b +-=>始终平分圆224280x y x y +---=的周长，则12a b+ 的最小值为〔 〕A ．1B ．5C ．D ．3+10．已知平面区域D 由以()3,1A 、()2,5B 、()1,3C 为顶点的三角形内部和边界组成.假设在区域D 上有无穷多个点()y x ,可使目标函数my x z +=取得最小值，则=m 〔 〕 A ． 2- B ．1- C ．1D ．411、设2000200120012002101101,101101M N ++==++，2000200120012002109109,1010010100P Q ++==++，则M 与N 、P 与Q 的大小关系为 ( )A.,M N P Q >>B.,M N P Q ><C.,M N P Q <>D.,M N P Q <<12、已知两圆相交于点(1,3)(,1)A B m -和点，两圆圆心都在直线:0l x y c -+=上，则c m +的值等于 A ．-1 B ．2 C ．3 D ．013、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( )A.15B.30C.36D.以上都不对14、设0m >)10x y m +++=与圆22x y m +=的位置关系为 〔 〕A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切15、已知向量(2cos ,2sin ),(3cos ,3sin ),m n ααββ==假设m 与n的夹角为60︒，则直线1:cos sin 02l x y αα-+=与圆221:(cos )(sin )2C x y ββ-++=的位置关系是〔 〕 A ．相交但不过圆心 B ．相交过圆心 C ．相切D ．相离16、已知圆22:(3)(5)36O x y -++=和点(2,2),(1,2)A B --,假设点C 在圆上且ABC ∆的面积为25,则满足条件的点C 的个数是 〔 〕 A.1 B.2 C.3 D.417、假设圆2221:()()1C x a y b b -+-=+始终平分圆222:(1)(1)4C x y +++=的周长,则实数b a ,应满足的关系是 ( )A ．03222=---b a aB ．05222=+++b a aC ．0122222=++++b a b aD ．01222322=++++b a b a18、在平面内,与点)2,1(A 距离为1, 与点)1,3(B 距离为2的直线共有 ( ) A.1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条填空题1、直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差最大，则P 点坐标是______2、设不等式221(1)x m x ->-对一切满足2m ≤的值均成立，则x 的范围为 。
最新高一数学圆与方程难题练习（含解析）培优专题
最新高一数学圆与方程难题练习（含解析）培优专题培优专题:高一数学圆与方程难题练习第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．已知圆，考虑下列命题：①圆C上的点到（4，0）的距离的最小值为；②圆C上存在点P到点的距离与到直线的距离相等；③已知点，在圆C上存在一点P，使得以AP为直径的圆与直线相切，其中真命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知点A（，0）和P（，t）（t∈R）．若曲线x=上存在点B 使∠APB=60°，则t的取值范围是（）A．（0，1+]B．[0，1+]C．[﹣1﹣，1+]D．[﹣1﹣，0）∪（0，1+]第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共17小题）3．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的表面积为12π，E为球心，F为C1D1的中点．点M在该正方体的表面上运动，则使ME⊥CF 的点M所构成的轨迹的周长等于．4．圆心为两直线x+y﹣2=0和﹣x+3y+10=0的交点，且与直线x+y﹣4=0相切的圆的标准方程是．5．已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1：3，则内切圆面积与扇形面积之比为．6．由直线y=x﹣1上的一点向圆x2+（y﹣2）2=1引切线，则切线长（此点到切点的线段长）的最小值为．7．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+2）2+（y﹣3）2=9和圆C2：（x ﹣4）2+（y﹣3）2=9．（1）若直线l过点A（﹣5，1），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．8．已知圆C：x2+y2﹣6x+8=0，则圆心C的坐标为；若直线y=kx与圆C相切，且切点在第四象限，则k=．9．已知半径为5的圆C的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y﹣29=0相切．（1）求圆C的方程；（2）设直线ax﹣y+5=0与圆C相交于A，B两点，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l 垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．10．如图所示的三棱锥A﹣BCD中，∠BAD=90°，AD⊥BC，AD=4，AB=AC=2，∠BAC=120°，若点P为△ABC内的动点满足直线DP与平面ABC所成角的正切值为2，则点P在△ABC内所成的轨迹的长度为．11．函数y=log a（x﹣1）+3（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，过点A的直线l与圆（x﹣1）2+y2=1相切，则直线l的方程是．12．已知定点A（0，1），B（0，﹣1），C（1，0），动点P满足：?=k||2，（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线类型；（2）当k=2，求|2+|的最大，最小值．13．已知点A（4，0）、B（2，1），点M在圆x2+y2=4上运动，则的最小值为．14．如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点，|AB|=，|CD|=2﹣，AC⊥BD，M为CD的中点．（1）求点M的轨迹方程；（2）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数λ0，使，且P 点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；（3）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，求△OPQ面积的最大值．15．过椭圆2x2+y2﹣10=0在第一象限内的点P作圆x2+y2=4的两条切线，当这两条切线垂直时，点P的坐标是．16．已知平面区域恰好被面积最小的⊙C：（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2及其内部所覆盖．（1）试求⊙C的方程．（2）若斜率为1的直线l与⊙C交于不同的两点A、B，且满足CA⊥CB，求直线l的方程．17．已知（x0，y0）是直线x+y=2k﹣1与圆x2+y2=k2+2k﹣3的交点，则x0y0的取值范围为[，]．18．在平面直角坐标系xoy中，已知点A（﹣1，1），P是动点，且△POA的三边所在直线的斜率满足k OP+k OA=k PA（1）求点P的轨迹C的方程（2）若Q是轨迹C上异于点P的一个点，且=λ，直线OP与QA 交于点M．=2S△PAM？若存在，问：是否存在点P，使得△PQA和△PAM的面积满足S△PQA求出点P的坐标；若不存在，说明理由．19．已知两点M（﹣1，0），N（1，0）且点P使成等差数列．（1）若P点的轨迹曲线为C，求曲线C的方程；（2）从定点A（2，4）出发向曲线C引两条切线，求两切线方程和切点连线的直线方程．三．解答题（共20小题）20．已知点F1（﹣，0），圆F2：（x﹣）2+y2=16，点M是圆上一动点，MF1的垂直平分线与MF2交于点N．（1）求点N的轨迹方程；（2）设点N的轨迹为曲线E，过点P（0，1）且斜率不为0的直线l与E交于A，B两点，点B关于y轴的对称点为B′，证明直线AB′过定点，并求△PAB′面积的最大值．21．已知点C为圆（x+1）2+y2=8的圆心，P是圆上的动点，点Q在圆的半径CP上，且有点A（1，0）和AP上的点M，满足?=0，=2．（Ⅰ）当点P在圆上运动时，判断Q点的轨迹是什么？并求出其方程；（Ⅱ）若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切，与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同的两点F，H，且≤?≤（其中O是坐标原点）求k的取值范围．22．已知圆C：（x+1）2+y2=8，过D（1，0）且与圆C相切的动圆圆心为P．（1）求点P的轨迹E的方程；（2）设过点C的直线l1交曲线E于Q，S两点，过点D的直线l2交曲线E于R，T两点，且l1⊥l2，垂足为W（Q，R，S，T为不同的四个点）．①设W（x0，y0），证明：；②求四边形QRST的面积的最小值23．已知圆心在x轴上的圆C与直线l：4x+3y﹣6=0切于点E （，n）．圆P：x2+（a+3）x+y2﹣ay+2a+2=0（1）求圆C的标准方程；（2）已知a＞1，圆P与x轴相交于两点M，N（点M在点N的右侧）．过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于A，B两点．问：是否存在实数a，使得∠ANM=∠BNM？若存在，求出实数a 的值，若不存在，请说明理由．24．已知圆C过坐标原点O，且与x轴，y轴分别交于点A，B，圆心坐标C （t，）（t∈R，t≠0）（1）求证：△AOB的面积为定值；（2）直线2x+y﹣4=0与圆C交于点M，N，若|OM|=|ON|，求圆C的方程；（3）在（2）的条件下，设P，Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标．25．求圆心在直线l1：x﹣y﹣1=0上，与直线l2：4x+3y+14=0相切，截直线l3：3x+4y+10=0所得的弦长为6的圆的方程．26．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为x2+y2=4，点M（2，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线与圆C交于A，B两点，圆C与x轴正半轴的交点为P，求证：直线PA与PB的斜率之和为定值．27．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4，直线l1过定点A（1，0）．（1）若l1与圆相切，求l1的方程；（2）若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM?AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．28．已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4和直线l：x+2y+2=0，直线m，n都经过圆C外定点A（1，0）．（Ⅰ）若直线m与圆C相切，求直线m的方程；（Ⅱ）若直线n与圆C相交于P，Q两点，与l交于N点，且线段PQ的中点为M，求证：|AM|?|AN|为定值．29．在平面直角坐标系xOy中，圆C的半径为1，其圆心在射线y=x（x≥0）上，且．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过点P（1，0），且与圆C相切，求直线l的方程．30．已知圆C：x2+y2﹣2x+4my+4m2=0，圆C1：x2+y2=25，以及直线l：3x﹣4y ﹣15=0．（1）求圆C1：x2+y2=25被直线l截得的弦长；（2）当m为何值时，圆C与圆C1的公共弦平行于直线l；（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P （2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．31．已知平面内一动点P在x轴的上方，点P到F（0.1）的距离与它到y轴的距离的差等于1．（1）求动点P轨迹C的方程；（2）设A，B为曲线C上两点，A与B的横坐标之和为4．①求直线AB的斜率；②设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB 平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．32．已知圆M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的点，QA，QB 分别切圆M与A，B两点．（1）若|AB|=，求|MQ|的长度及直线MQ的方程；（2）求证：直线AB恒过定点．33．已知圆O：x2+y2=2，直线l过点，且OM⊥l，P（x0，y0）是直线l上的动点，线段OM与圆O的交点为点N，N'是N关于x轴的对称点．（1）求直线l的方程；（2）若在圆O上存在点Q，使得∠OPQ=30°，求x0的取值范围；（3）已知A，B是圆O上不同的两点，且∠ANN'=∠BNN'，试证明直线AB 的斜率为定值．34．已知圆C：x2+y2+2x+8y﹣8=0．（1）判断圆C与圆D：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系，并说明理由；（2）若圆C关于过点P（6，8）的直线l对称，求直线l 的方程．35．已知点M（x，y）是平面直角坐标系中的动点，若A（﹣4，0），B（﹣1，0），且△ABM中|MA|=2|MB|．（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程及求△ABM的周长的取值范围；（Ⅱ）直线MB与轨迹C的另一交点为M'，求的取值范围．36．在平面直角坐标系xOy中，已知E：（x+）2+y2=16，点F （，0），点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．记动点Q的轨迹为C，另有动点M（x，y）（x≥0）到点N（2，0）的距离比它到直线x=﹣1的距离多1，记点M的轨迹为C1，轨迹C2的方程为x2=y（1）求轨迹C和C1的方程（2）已知点T（﹣1，0），设轨迹C1与C2异于原点O的交点为R，若懂直线l与直线OR垂直，且与轨迹C交于不同的两点A、B，求的最小值（3）在满足（2）中的条件下，当取得最小值时，求△TAB 的面积．37．平面内一个点与一条曲线上的任意点的距离的最小值，称为这个点到这条曲线的距离．例如椭圆的右焦点（4，0）到椭圆的距离为1．（I）写出点A（3，5），点B（1，2）到圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0的距离；（II）如图，已知直线l与圆C相离，圆C的半径是2，圆心C到直线l的距离为4．请你建立适当的平面直角坐标系，求与直线l和圆C的距离相等的动点P的轨迹方程．38．已知△ABC中，点A（﹣1，0），B（1，0），动点C满足|CA|+|CB|=λ|AB|（常数λ＞1），C点的轨迹为Γ．（Ⅰ）试求曲线Γ的轨迹方程；（Ⅱ）当λ=时，过定点B（1，0）的直线与曲线Γ相交于P，Q 两点，N 是曲线Γ上不同于P，Q的动点，试求△NPQ面积的最大值．39．如图，在x轴上方有一段曲线弧C，其端点A、B在x轴上（但不属于C），对C上任一点P及点F 1（﹣1，0），F2（1，0），满足：．直线AP，BP分别交直线l：x=a（a＞）于R，T两点．（Ⅰ）求曲线弧C的方程；（Ⅱ）求|RT|的最小值（用a表示）．。
江苏高考数学压轴大题突破练直线与圆
中档大题规范练——直线与圆1．已知圆 O：x2 ＋y2 ＝4 和点 M(1，a) ．(1)若过点 M有且只有一条直线与圆 O相切，务实数 a 的值，并求出切线方程．(2)若 a＝ 2，过点 M的圆的两条弦 AC， BD相互垂直，求 AC＋BD的最大值．解 (1) 由条件知点 M在圆 O上，因此 1＋ a2＝ 4，则 a＝± 3.3当 a＝3时，点 M为(1 ， 3) ，kOM＝ 3， k 切＝－3，3此时切线方程为 y－3＝－3 (x －1) ．即 x＋3y－4＝ 0，3当 a＝－3时，点 M为 (1 ，－ 3) ，kOM＝－3，k 切＝3 .3此时切线方程为 y＋3＝3 (x － 1) ．即 x－3y－ 4＝ 0.因此所求的切线方程为x＋ 3y－ 4＝0 或 x－3y－ 4＝ 0.(2)设 O到直线 AC， BD的距离分别为 d1，d2(d1 ，d2≥0) ，则 d21＋ d2＝ OM2＝ 3.又有 AC＝ 2 4－ d21， BD＝ 2 4－d2，因此 AC＋ BD＝2 4－d21＋ 2 4－d2.则 (AC＋ BD)2＝4×(4 － d21＋ 4－ d2＋ 2 4－ d21·4－ d2)＝4×[5 ＋ 2 16－ 4 d21＋ d2 ＋d21d2]＝4×(5 ＋ 2 4＋d21d2) ．9 因为 2d1d2≤d21＋ d2＝3，因此 d21d2≤4，当且仅当d1＝d2＝6 时取等号，因此254＋d21d2≤ 2，5因此 (AC＋BD)2≤4×(5 ＋2×2) ＝40.因此 AC＋BD≤2 10，即 AC＋BD的最大值为 210.2．已知圆 C：(x ＋1)2 ＋ y2＝ 8.(1)设点 Q(x，y) 是圆 C 上一点，求 x＋ y 的取值范围；(2)在直线 x＋y－ 7＝ 0 上找一点 P(m， n) ，使得过该点所作圆 C的切线段最短．解(1) 设 x＋y＝ t ，因为 Q(x，y) 是圆上的随意一点，因此该直线与圆订交或相切，即| － 1＋0－t|≤2 2，解得－ 5≤t ≤3，2即 x＋ y 的取值范围是 [ － 5,3] ．(2)因为圆心 C 到直线 x＋ y－ 7＝ 0 的距离| － 1＋0－7|d＝＝4 2>2 2＝r ，2因此直线与圆相离，因为切线、圆心与切点的连线、切线上的点与圆心的连线，组成向来角三角形且半径为定值；因此只有当过圆心向直线x＋ y－ 7＝0 作垂线，过其垂足作的切线段最短，其垂足即为所求．设过圆心作直线x＋ y－7＝0 的垂线为 x－y＋ c＝ 0.又因为该线过圆心( －1,0) ，因此－ 1－ 0＋c＝0，即 c＝1，而 x＋ y－ 7＝ 0 与 x－ y＋ 1＝0 的交点为 (3,4) ，即点 P 坐标为 (3,4) ．3．已知点 P(0,5) 及圆 C ： x2＋ y2＋ 4x －12y ＋24＝ 0.(1) 若直线 l 过点 P 且被圆 C 截得的线段长为 4 3，求 l 的方程；(2) 求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程．解 (1) 如下图， AB ＝ 4 3，将圆 C 方程化为标准方程为 (x ＋2)2 ＋ (y － 6)2 ＝ 16，∴圆 C 的圆心坐标为 ( － 2,6) ，半径 r ＝ 4，设 D 是线段 AB 的中点，则 CD ⊥ AB ，又 AD ＝2 3，AC ＝4.在 Rt △ACD 中，可得 CD ＝ 2.设所求直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y －5＝ kx ，即 kx － y ＋ 5＝ 0.由点 C 到直线 l 的距离公式： |－2k － 6＋5|＝2，k2 ＋ －1 23得 k ＝ 4.故直线 l 的方程为 3x －4y ＋20＝ 0.又直线 l 的斜率不存在时，也知足题意，此时方程为x ＝ 0.∴所求直线 l 的方程为 x ＝0 或 3x －4y ＋ 20＝ 0.(2) 设过 P 点的圆 C 的弦的中点为 D(x ， y) ，则 ⊥ ，即→·→＝ ， CDPD CD PD 0∴ (x ＋ 2， y －6) ·(x ， y － 5) ＝ 0，化简得所求轨迹方程为 x2 ＋y2＋ 2x － 11y ＋ 30＝ 0.4．a 为什么值时， (1) 直线 l1 ：x ＋ 2ay － 1＝ 0 与直线 l2 ：(3a － 1)x － ay －1＝ 0 平行？(2)直线 l3 ： 2x＋ ay＝2 与直线 l4 ：ax＋ 2y＝ 1 垂直？解 (1) ①当 a＝ 0 时，两直线的斜率不存在，直线 l1 ： x － 1＝ 0，直线 l2 ： x ＋ 1＝0，此时， l1 ∥ l2.11②当 a ≠0时， l1 ： y ＝－ 2a x ＋ 2a ，3a －1 1l2 ：y ＝ a x － a ，直线 l1 的斜率为 k1 ＝－ 1 ，2a 直线 l2 的斜率为 k2 3a －1＝ a ，13a －1－ 2a＝ a ，要使两直线平行，一定11 2a ≠－ a，1解得 a ＝ 6.1综合①②可适当 a ＝ 0 或 a ＝6时，两直线平行．(2) 方法一①当 a ＝ 0 时，直线 l3 的斜率不存在，1直线 l3 ： x － 1＝ 0，直线 l4 ： y － 2＝0，此时， l3 ⊥ l4.2 2 a 1②当 a ≠0时，直线 l3 ： y ＝－ a x ＋ a 与直线 l4 ： y ＝－ 2x ＋2，直线 l3 的斜率为 k32a＝－ a ，直线 l4 的斜率为 k4＝－ 2，要使两直线垂直，一定 k3·k4＝－ 1， 即－ 2 · － a＝－ 1，不存在实数 a 使得方程建立．a 2综合①②可适当 a ＝ 0 时，两直线垂直．方法二 要使直线 l3 ：2x ＋ ay ＝ 2 和直线 l4 ： ax ＋ 2y ＝ 1 垂直，依据两直线垂直的充要条件，一定A1A2＋B1B2＝ 0，即 2a＋2a＝ 0，解得 a＝ 0，因此，当 a＝0 时，两直线垂直．5．已知圆 C的方程为 x2＋ y2＋ ax＋ 2y＋a2＝0，必定点为 A(1,2) ，且过定点 A(1,2) 作圆的切线有两条，求 a 的取值范围．a 4－ 3a2解将圆 C 的方程配方有 (x ＋2)2 ＋ (y ＋1)2 ＝ 4，∴4－ 3a24 >0，①a 4－3a2∴圆心 C 的坐标为 ( －2，－ 1) ，半径 r ＝ 2 . 当点 A 在圆外时，过点 A 可作圆的两条切线，∴AC>r，a 4－3a2即1＋2 2＋ 2＋ 1 2> 2 ，化简得 a2＋ a＋ 9>0. ②2 3 2 3由①②得－ 3 <a< 3 ，2 3 2 3∴ a 的取值范围是－ 3 <a< 3.26．已知以点 C(t ，t )(t ∈ R，t ≠0) 为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A，与 y 轴交于点O、B，此中 O为原点．(1)求证：△ AOB的面积为定值；(2)设直线 2x＋ y－4＝0 与圆 C交于点 M、N，若 OM＝ ON，求圆 C的方程；(3)在 (2) 的条件下，设 P、Q分别是直线 l ： x＋ y＋2＝0 和圆 C 上的动点，求 PB＋PQ的最小值及此时点P 的坐标．24 (1) 证明由题设知，圆C 的方程为(x － t)2 ＋(y－ t)2 ＝t2＋t2 ，4化简得 x2 － 2tx ＋ y2－t y ＝0，当 y ＝ 0 时， x ＝ 0 或 2t ，则 A(2t,0) ；44当 x ＝ 0 时， y ＝ 0 或t ，则 B(0 ，t ) ，1因此 S △ AOB ＝2OA ·OB14＝ 2|2t| ·|t | ＝ 4 为定值． 即△ AOB 的面积为定值．(2) 解 ∵ OM ＝ ON ，则原点 O 在 MN 的中垂线上，设 MN 的中点为 H ，则 CH ⊥ MN ，∴ C 、 H 、O 三点共线，则直线 OC 的斜率2t21k ＝ t ＝ t2 ＝ 2，∴ t ＝ 2 或 t ＝－ 2. ∴圆心为C(2,1)或 C(－2，－ 1) ，∴圆C 的方程为(x － 2)2 ＋ (y－1)2 ＝5或 (x＋ 2)2 ＋(y＋1)2 ＝ 5.因为当圆方程为(x ＋ 2)2 ＋ (y＋1)2 ＝5时，圆心到直线2x ＋ y －4＝0的距离d>r ，此时不知足直线与圆订交，故舍去，∴圆C 的方程为(x － 2)2 ＋ (y－1)2 ＝5.(3) 解 点 B(0,2) 对于直线 x ＋ y ＋ 2＝0 的对称点 B ′( － 4，－ 2) ，则 PB＋PQ＝PB′＋ PQ≥B′Q，又 B′到圆上点 Q的最短距离为B′C－ r ＝－6 2＋－3 2－ 5＝3 5－5＝2 5.1因此 PB＋ PQ的最小值为 25，直线 B′C的方程为 y＝2x，则直线 B′C与直线 x＋4 2y＋ 2＝ 0 的交点 P 的坐标为 ( －3，－3) ．。
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高二数学 第3讲 直线与圆综合
1.已知圆C：x2+y2+2x-3=0．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，求证：
21
11
xx
为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使△CDE的面积最大．
2.已知点G（5，4），圆C1：（x-1）2+（x-4）2=25，过点G的动直线l与圆C1相交于E、F两点，线段EF
的中点为C．
（1）求点C的轨迹C2的方程；
（2）若过点A（1，0）的直线l1与C2相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M；又l1与l2：x+2y+2=0的交
点为N，求证|AM|•|AN|为定值．
3.已知点C（1，0），点A，B是⊙O：x2+y2=9上任意两个不同的点，且满足0BCAC，设M为弦AB
的中点．求点M的轨迹T的方程；
4.已知平面直角坐标系上一动点(,)Pxy到点(2,0)A的距离是点P到点(1,0)B的距离的2倍。
（1）求点P的轨迹方程；
（2）若点P与点Q关于点(2,1)对称，点(3,0)C，求22||||QAQC的最大值和最小值；
（3）过点A的直线l与点P的轨迹C相交于,EF两点，点(2,0)M，则是否存在直线l，使EFMS△取得最
大值，若存在，求出此时l的方程，若不存在，请说明理由。
5.已知圆22:4Oxy和点(1,)Ma．
（1）若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求正数a的值，并求出切线方程；
（2）若2a，过点M的圆的两条弦AC，BD互相垂直．
①求四边形ABCD面积的最大值；②求||||ACBD的最大值．
6.已知过原点的动直线l与圆C1：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B．
（1）求圆C1的圆心坐标；
（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；
（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x-4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不
存在，说明理由．
7.已知以点A（-1，2）为圆心的圆与直线l1：x+2y+7=0相切．过点B（-2，0）的动直线l与圆A相交于M、
N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P．
（I）求圆A的方程；
（Ⅱ）当MN＝192时，求直线l的方程；
（Ⅲ）BPBQ是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．
8.已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，
使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
9.平面直角坐标系xoy中，直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6.
（1）求圆O的方程；
（2）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；
（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP、NP分别交于x轴于点（m，
0）和（n，0），问mn是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
10.已知圆M：x2+（y-4）2=4，点P是直线l：x-2y=0上的一动点，过点P作圆M的切线PA、PB，切点为
A、B．
（Ⅰ）当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；
（Ⅱ）若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）求线段AB长度的最小值．
11.已知一动圆经过点M（2，0），且在y轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点N（1，0）任意作相互垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于不同的两点A，B和不同的两点D，
E．设线段AB，DE的中点分别为P，Q．
①求证：直线PQ过定点R，并求出定点R的坐标；
②求|PQ|的最小值．
P