函数与方程
函数与方程-高考真题复习-高考复习
设m(x)=-x3+3xx2+a1x-a,x∈(0,1),1a>0x,
则m(0)=-a<0,m(1)=2>0⇒m(0)·m(1)<0,
又m(x)的图象在(0,1)上连续不断,
∴m(x)在(0,1)上有零点,
则h(x)在(0,1)上有零点.
因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.
2.(2014山东,8,5分)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是 ( )
A.
0,
1 2
B.
1 2
,1
C.(1,2)
D.(2,+∞)
答案 B f(x)=
x 3
1, x,
x如图2,,作出y=f(x)的图象,其中A(2,1),则kOA= x 2.
同时要满足
y
(x
2)在2 , x>2时有两个不同的解,即x2-5x+8-b=0有两个大于2的不同实根,令
y b2 x2
h(x)=x2-5x+8-b,需
h(2) 0,
即
h
5 2
0,
2 b 解 0得, <b<2.
8
25 4
b
0,
7 4
综上所述,满足条件的b的取值范围是 <b<2,故7选D.
4
y 2 x,
则
Δ1
Δ2Байду номын сангаас
a2 a2
4a 8a
∴04,<a<8. 0,
情况二:
则
专题12 函数与方程(解析版)
2023高考一轮复习讲与练12 函数与方程练高考 明方向1.（2022·新高考Ⅰ卷T10）（多选题）已知函数3()1f x x x =-+，则（ ） A. ()f x 有两个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线 【答案】AC 【解析】【分析】利用极值点的定义可判断A ，结合()f x 的单调性、极值可判断B ，利用平移可判断C ；利用导数的几何意义判断D.【详解】由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得3x >或3x <-，令()0f x '<得x <<，所以()f x 在(上单调递减，在(,-∞，)+∞上单调递增，所以x =是极值点，故A 正确；因(10f =+>，10f =>，()250f -=-<，所以，函数()f x 在,⎛-∞ ⎝⎭上有一个零点，当x ≥时，()03f x f ⎛≥> ⎝⎭，即函数()f x 在3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心， 将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误. 2.（2022·全国乙（文）T20） 已知函数1()(1)ln f x ax a x x=--+． （1）当0a =时，求()f x 的最大值；（2）若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）1- （2）()0,+∞ 【解析】【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解； （2）求导得()()()211ax x f x x --'=，按照0a ≤、01a <<及1a >结合导数讨论函数的单调性，求得函数的极值，即可得解. 【小问1详解】 当0a =时，()1ln ,0f x x x x =-->，则()22111x f x x x x-'=-=， 当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==-； 【小问2详解】()()11ln ,0f x ax a x x x =--+>，则()()()221111ax x a f x a x x x--+'=+-=， 当0a ≤时，10-≤ax ，所以当()0,1∈x 时，0f x，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，0fx，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==-<，此时函数无零点，不合题意； 当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0f x，()f x 单调递减；又()110f a =-<，当x 趋近正无穷大时，()f x 趋近于正无穷大，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x -'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =-=， 所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，0f x ，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，0fx，()f x 单调递减；此时()110f a =->，又()1111ln n n n f a n a a aa -⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当n 趋近正无穷大时，1n f a⎛⎫⎪⎝⎭趋近负无穷，所以()f x在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,+∞.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是利用导数研究函数的极值与单调性，把函数零点问题转化为函数的单调性与极值的问题.3.（2022·全国乙（理）T21）已知函数()()ln 1e xf x x ax -=++（1（当1a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2（若()f x 在区间()()1,0,0,-+∞各恰有一个零点，求a 的取值范围． 【答案】（1）2y x = （2）(,1)-∞- 【解析】【分析】（1）先算出切点,再求导算出斜率即可（2）求导,对a 分类讨论,对x 分(1,0),(0,)-+∞两部分研究【小问1详解】()f x 的定义域为(1,)-+∞当1a =时,()ln(1),(0)0ex xf x x f =++=,所以切点为(0,0)，11(),(0)21ex xf x f x ''-=+=+,所以切线斜率为2，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =。
多项式函数与多项式方程详细解析与总结
多项式函数与多项式方程详细解析与总结多项式函数与多项式方程是高中数学中的重要内容，也是数学模型中常见的形式之一。
本文将详细解析多项式函数与多项式方程的概念、性质、求解方法等，并对其进行总结，以便读者能够全面了解和掌握这一知识点。
一、多项式函数的概念与性质多项式函数是指由常数项、各种系数和幂函数的乘积组成的函数。
其一般形式为：f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为变量。
多项式函数的性质包括：1. 定义域：多项式函数在实数范围内均有定义，其定义域为一切实数。
2. 奇偶性：多项式函数的奇偶性由各项次数的奇偶性决定。
若所有项次数都为偶数，则函数为偶函数；若所有项次数都为奇数，则函数为奇函数。
3. 零点与因式分解：多项式函数的零点就是方程f(x) = 0的解。
根据因式定理，如果x-a是多项式函数的一个零点，那么(x-a)就是函数的一个因式。
二、多项式方程的概念与解法多项式方程是指将一个多项式函数与零相等的表达式。
其一般形式为：anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0，其中an、an-1、...、a1、a0为常数，n为非负整数，而x为未知数。
多项式方程的求解可以通过如下步骤进行：1. 化简与转化：将多项式方程进行化简、整理，使其成为标准形式，即将方程的各项按照幂次从高到低排列，并使最高次的系数为1。
2. 因式分解：尝试对多项式方程进行因式分解，找出其中的因式，从而得到方程的根。
根据因式定理和余式定理，可以简化求解过程。
3. 数值解法：对于无法通过因式分解得到解的多项式方程，可以利用数值解法进行求解。
常见的数值解法包括二分法、牛顿法等。
三、多项式函数与多项式方程的应用多项式函数与多项式方程在实际生活和科学研究中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 数据拟合：多项式函数可以用来拟合实验数据或观测数据，通过确定合适的多项式函数来描述数据间的关系。
一次函数与方程、不等式
第9讲一次函数与方程、不等式考点·方法·破译1．一次函数与一元一次方程的关系：任何一元一次方程都可以转化成kx＋b＝0(k、b 为常数，k≠0)的形式，可见一元一次方程是一次函数的一个特例．即在y＝kx＋b中，当y ＝0时则为一元一次方程．2．一次函数与二元一次方程(组)的关系：⑴任何二元一次方程ax＋by＝c(a、b、c为常数，且a≠0，b≠0)都可以化为y＝a cxb b -+的形式，因而每个二元一次方程都对应一个一次函数；⑵从“数”的角度看，解方程组相当于求两个函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个函数值是什么；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两个函数图像交点的坐标．3．一次函数与一元一次不等式的关系：由于任何一元一次不等式都可以转化成ax＋b ＞0或ax＋b＜0(a、b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看成是当一次函数的函数值大于或小于0时，求相应自变量的取值范围．经典·考题·赏析【例1】直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k1x＋b＞k2x的解为()A．x＞－1 B．x＜－1 C．x＜－2 D．无法确定【解法指导】由图象可知l1与l2的交点坐标为(－1，－2)，即当x＝－1时，两函数的函数值相等；当x＞－1时，l2的位置比l1高，因而k2x＞k1x＋b；当当x＜－1时，l1的位置比l2高，因而k2x＜k1x＋b．因此选A．【变式题组】01．(咸宁)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x的不等式k2x＞k1x＋b的解集为________．第1题图第2题图第3题图第4题图02．(浙江金华)一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则下列结论：①k＜0；②a ＞0；③当x＜3时，y1＜y2中，正确的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3 03．如图，已知一次函数y＝2x＋b和y＝ax－3的图象交于点P(－2，－5)，则根据图象可得不等式2x＋b＞ax－3的解集是________．04．(武汉)如图，直线y＝kx＋b经过A(2，1)，B(－1，－2)两点，则不等式12x＞kx＋b＞－2的解集为_________．【例2】若直线l1：y＝x－2与直线l2：y＝3－mx在同一平面直角坐标系的交点在第一象限，求m的取值范围．【解法指导】直线交点坐标在第一象限，即对应方程组的解满足00x y >⎧⎨>⎩，从而求出m 的取值范围．解：23y x y mn =-⎧⎨=-⎩，∴51321x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，∵00x y >⎧⎨>⎩，∴5013201mm m⎧>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，即10320m m +>⎧⎨->⎩，∴－1＜m ＜32．【变式题组】01． 如果直线y ＝kx ＋3与y ＝3x －2b 的交点在x 轴上，当k ＝2时，b 等于( )A ．9B ．－3C ．32-D ．94-02． 若直线122y x =-与直线14y x a =-+相较于x 轴上一点，则直线14y x a =-+不经过( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限 03． 两条直线y 1＝ax ＋b ，y 2＝cx ＋5，学生甲解出它们的交点坐标为(3，－2)，学生乙因抄错了c 而解出它们的交点坐标为(34，14)，则这两条直线的解析式为____________． 04． 已知直线y ＝3x 和y ＝2x ＋k 的交点在第三象限，则k 的取值范围是________．【例3】(四川省初二数学联赛试题)在直角坐标系中，若一点的纵横坐标都是整数，则称该点为整点，设k 为整数，当直线y ＝x －2与y ＝kx ＋k 的交点为整点时，k 的取值可以取( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个 【解法指导】两直线的交点为整点即对应方程组的解均为整数．解：由2y x y kx k =-⎧⎨=+⎩得21221k x kk y k +⎧=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，∵两直线交点为整数， ∴x 、y 均为整数，又当x 为整数时，y 为整数， ∴21k k +-为整数即可，2213311111k k k k k k k ++-+=-=-=------， ∵k －1是整数，∴k －1＝±1，±3时，x 、y 为整数， ∴k ＝－2，0，2，4． 所以选A ．【变式题组】01． (广西南宁)从2，3，4，5这四个数中，任取两个数p 和q (p ≠q )，构成函数y ＝px －2和y ＝x ＋q ，并使这两个函数图象的交点在直线x ＝2的右侧，则这样的有序数对(p ，q )共有( ) A ．12对 B ．6对 C ．5对 D ．3对 02． (浙江竞赛试题)直线l ：y ＝px (p 是不等于0的整数)与直线y ＝x ＋10的交点恰好是整点(横坐标和纵坐标都是整数)，那么满足条件的直线l 有( ) A ．6条 B ．7条 C ．8条 D ．无数条 03． (荆州竞赛试题)点A 、B 分别在一次函数y ＝x ，y ＝8x 的图像上，其横坐标分别是a 、b (a ＞0，b ＞0)．若直线AB 为一次函数y ＝kx ＋m 的图象，则当ba是整数时，求满足条件的整数k 的值． 【例4】已知x 、y 、z 都为非负数，满足x ＋y －z ＝1，x ＋2y ＋3z ＝4，记ω＝3x ＋2y ＋z ．求ω的最大值与最小值．【解法指导】将x 、y 、z 中的三个未知量选定一个看成已知，则关于x 、y 、z 的三元方程可变成关于x 、y 的二元方程，从而求出x 与y ，然后代入ω＝3x ＋2y ＋z 中，可得ω与z 的一次函数关系式，然后再求出z 的取值范围，即可求出ω的最大值与最小值．解：由已知得：1243x y z x y z +=+⎧⎨+=-⎩，∴5234x z y z =-⎧⎨=-⎩，∴ω＝3x ＋2y ＋z ＝3(5z －2)＋2(3－4z )＋z ＝8z ．∵x 、y 、z 都为非负数，∴5203400z z z -⎧⎪-⎨⎪⎩≥≥≥，∴2354z ≤≤，∴ω的最大值为8×34＝6，ω的最小值为8×25＝165．【变式题组】01． (荆州竞赛试题)已知x 满足不等式：31752233x xx -+--≥，|x －3|－|x ＋2|的最大值为p ，最小值为q ，则pq 的值是( )A ．6B ．5C ．－5D ．－102． 已知非负数a 、b 、c 满足条件：3a ＋2b ＋c ＝4，2a ＋b ＋3c ＝5．设S ＝5a ＋4b ＋7c 的最大值为m ，最小值为n ，则n －m ＝________．03． (黄冈竞赛试题)若x ＋y ＋z ＝30，3x ＋y －z ＝50，x 、y 、z 均为非负数，则M ＝5x ＋4y＋2z 的取值范围是( ) A ．100≤M ≤110 B ．110≤M ≤120 C ．120≤M ≤130 D ．130≤M ≤140【例5】已知直线l 1经过点(2，5)和(－1，－1)两点，与x 轴的交点是点A ，将直线y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得到l 2，l 2与l 1的交点是点C ，l 2与x 轴的交点是点B ，求△ABC 的面积．【解法指导】设直线l 1的解析式为y ＝kx ＋b ，∵l 1经过(2，5)，(－1，－1)两点， ∴251k b k b +=⎧⎨-+=-⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，∴y ＝2x ＋1，∴当y ＝0时，2x ＋1＝0，x ＝12-，∴A (12-，0)．又∵y ＝－6x ＋5的图象向上平移4个单位后得l 2，∴l 2的解析式为y ＝－6x ＋9， ∴当y ＝0时，－6x ＋9＝0，x ＝32，∴B (32，0)．∴2169y x y x =+⎧⎨=-+⎩，∴13x y =⎧⎨=⎩，∴C (1，3)，∴AB ＝32－(12-)＝2，∴S △ABC ＝12×2×3＝3．演练巩固·反馈提高01． 已知一次函数y ＝32x ＋m ，和y ＝12-x ＋n 的图象交点A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，那么△ABC 的面积是( )A ．2B ．3C ．4D ．602． 已知关于x 的不等式ax ＋1＞0(a ≠0)的解集是x ＜1，则直线y ＝ax ＋1与x 轴的交点是( )A ．(0，1)B ．(－1，0)C ．(0，－1)D ．(1，0)第3题图 第6题图03． 如图，直线y ＝kx ＋b 与x 轴交于点A (－4，0)，则y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．x ＞－4B ．x ＞0C ．x ＜－4D ．x ＜0 04． 直线kx －3y ＝8，2x ＋5y ＝－4交点的纵坐标为0，则k 的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－205． 直线y ＝kx ＋b 与坐标轴的两个交点分别为A (2，0)和B (0，－3)．则不等式kx ＋b ＋3≥0的解集为( ) A ．x ≥0 B ．x ≤0 C ．x ≥2 D ．x ≤206． 如图是在同一坐标系内作出的一次函数y 1、y 2的图象l 1、l 2，设y 1＝k 1x ＋b 1，y 2＝k 2x＋b 2，则方程组111222y k x b y k x b ⎧⎨⎩＝＋，＝＋的解是( )A ．22x y =-⎧⎨=⎩B ．23x y =-⎧⎨=⎩C ．33x y =-⎧⎨=⎩D ．34x y =-⎧⎨=⎩07． 若直线y ＝ax ＋7经过一次函数y ＝4－3x 和y ＝2x －1的交点，则a ＝_________． 08． 已知一次函数y ＝2x ＋a 与y ＝－x ＋b 的图象都经过A (－2，0)，且与y 轴分别交于B 、C 两点，则S △ABC ＝_________．09． 已知直线y ＝2x ＋b 和y ＝3bx －4相交于点(5，a )，则a ＝___________． 10．已知函数y ＝－x ＋m 与y ＝mx －4的图象交点在x 轴的负半轴上，则m 的值为__________．11．直线y ＝－2x －1与直线y ＝3x ＋m 相交于第三象限内一点，则m 的取值范围是___________． 12．若直线122a y x =-+与直线31544y x =-+的交点在第一象限，且a 为整数，则a ＝_________．13．直线l 1经过点(2，3)和(－1，－3)，直线l 2与l 1交于点(－2，a )，且与y 轴的交点的纵坐标为7．⑴求直线l2、l1的解析式；⑵求l2、l1与x轴围成的三角形的面积；⑶x取何值时l1的函数值大于l2的函数值？14．(河北)如图，直线l1的解析式为y＝－3x＋3，l1与x轴交于点D，直线l2经过点A(4，0)，B(3，32 )．⑴求直线l2的解析式；⑵求S△ADC；⑶在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得S△ADP＝S△ADC，求P点坐标．l2第14题图。
中考热点01 二次函数与方程、不等式,求参数范围(解析版)
中考热点01二次函数与方程、不等式，求参数范围一、解答题1(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)在二次函数y=x2-2tx+3(t>0)中，(1)若它的图象过点(2,1)，则t的值为多少？(2)当0≤x≤3时，y的最小值为-2，求出t的值：(3)如果A(m-2,a),B(4,b),C(m,a)都在这个二次函数的图象上，且a<b<3，求m的取值范围．【答案】(1)t=3 2(2)t=5(3)3<m<4或m>6【分析】(1)将坐标代入解析式，求解待定参数值；(2)确定抛物线的对称轴，对待定参数分类讨论，若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，求得t=5，若t>3，当x=3时，函数值最小，解得t=73(不合题意，舍去)；(3)由A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称得m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点(0,3)，此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)；由a<3,b<3且t>0∴4<2m-2解得m>3；分类讨论：当A，B都在对称轴左边时，4<m-2，解得m>6，当A，B分别在对称轴两侧时，4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4,∴3<m<4．【解析】(1)将(2,1)代入y=x2-2tx+3中，得1=4-4t+3，解得，t=3 2；(2)抛物线对称轴为x=t．若0<t≤3，当x=t时，函数值最小，∴t2-2t2+3=-2，解得t=±5．∵t>0，∴t=5若t>3，当x=3时，函数值最小，∴-2=9-6t+3，解得t=73(不合题意，舍去)综上所述t=5．(3)∵A(m-2,a),C(m,a)关于对称轴对称∴m-2+m2=t,m-1=t，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧∵抛物线与y轴交点为(0,3)，抛物线对称轴为直线x=t，∴此交点关于对称轴的对称点为(2m-2,3)∵a<3,b<3且t>0∴4<2m-2，解得m>3．当A，B都在对称轴左边时，∵a<b∴4<m-2，解得m>6，∴m>6当A，B分别在对称轴两侧时∵a<b∴B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离∴4-(m-1)>m-1-(m-2)，解得m<4∴3<m<4综上所述3<m<4或m>6．【点睛】本题考查二次函数图象的性质、极值问题；存在待定参数的情况下，对可能情况作完备的分类讨论是解题的关键．2(2023·浙江·统考中考真题)已知点-m,0和3m,0在二次函数y=ax2+bx+3(a,b是常数，a≠0)的图像上．(1)当m=-1时，求a和b的值；(2)若二次函数的图像经过点A n,3且点A不在坐标轴上，当-2<m<-1时，求n的取值范围；(3)求证：b2+4a=0．【答案】(1)a=-1,b=-2(2)-4<n<-2(3)见解析【分析】(1)由m=-1可得图像过点1,0和-3,0，然后代入解析式解方程组即可解答；(2)先确定函数图像的对称轴为直线x=m，则抛物线过点n,3,0,3，即n=2m，然后再结合-2 <m<-1即可解答；(3)根据图像的对称性得-b2a =m，即b=-2am，顶点坐标为m,am2+bm+3；将点-m,0和3m,0分别代入表达式并进行运算可得am2=-1；则am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4，进而得到12a-b24a=4，然后化简变形即可证明结论．【解析】(1)解：当m=-1时，图像过点1,0和-3,0，∴0=a+b+30=9a-3b+3，解得a=-1b=-2，∴y=-x2-2x+3，∴a=-1,b=-2．(2)解：∵函数图像过点-m,0和3m,0，∴函数图像的对称轴为直线x=m．∵图像过点n,3,0,3，∴根据图像的对称性得n=2m．∵-2<m<-1，∴-4<n<-2．(3)解：∵图像过点-m,0和3m,0，∴根据图像的对称性得-b2a=m．∴b=-2am，顶点坐标为m,am2+bm+3．将点-m,0和3m,0分别代人表达式可得0=am2-bm+3①0=9am2+3bm+3②①×3+②得12am2+12=0，∴am2=-1．∴am2+bm+3=am2-2am2+3=-am2+3=4．∴12a-b24a=4．∴12a-b2=16a．∴b2+4a=0．【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．3(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-x2+bx+c(b，c是常数)．(1)当b=2，c=3时，求该函数图象的顶点坐标．(2)设该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，当该函数图象经过点(1,-3)时，求n关于m的函数解析式．(3)已知b=2c+1，当0≤x≤2时，该函数有最大值8，求c的值．【答案】(1)1,4(2)n=m2-2m-2(3)2【分析】(1)将二次函数化为顶点式求解即可；(2)根据二次函数的性质和已知条件得到m=b2，n=c+b24，b=2m，c=-2-2m，进而求解即可；(3)当b=2c+1时，二次函数y=-x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，分0≤c+12≤2 、c+12<0、c+12>2三种情况，利用二次函数的性质求解即可．【解析】(1)解：当b=2，c=3时，y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当b=2，c=3时，该函数图象的顶点坐标为1,4；(2)解：∵该函数图象经过点(1,-3)，∴-1+b+c=-3，则c=-2-b，∵该二次函数图象的顶点坐标是(m,n)，∴m=-b2×-1=b2，n=4×-1×c-b24×-1=4c+b24=c+b24，∴b=2m，c=-2-2m，∴n=-2-2m+4m24，即n=m2-2m-2；(3)解：当b=2c+1时，二次函数y=-x2+2c+1x+c的对称轴为直线x=2c+12=c+12，开口向下，∵0≤x≤2，∴当0≤c+12≤2即-12≤c≤32时，该函数的最大值为4×-1×c-2c+124×-1=c+2c+124=8，即4c2+8c-31=0，解得c1=-1+352，c2=-1-352，不合题意，舍去；当c+12<0即c<-12时，0≤x≤2时，y随x的增大而减小，∴当x=0时，y有最大值为c=8，不合题意，舍去；当c+12>2即c>32时，0≤x≤2时，y随x的增大而增大，∴当x=2时，y有最大值为-22+22c+1+c=8，解得c=2，符合题意，综上，满足条件的c的值为2．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，利用分类讨论思想求解第(3)问是解答的关键．4(2023·浙江宁波·校考三模)如图，已知二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5．(1)求该二次函数的表达式及顶点坐标；(2)点C m,n在该二次函数图像上，当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为1，请根据图像直接写出m的取值范围．【答案】(1)该二次函数表达式y=-x2+3x+5；顶点坐标：32,294(2)-1≤m≤32【分析】(1)根据待定系数法即可求得；(2)把y=1代入抛物线解析式求得对应的x的值，再根据函数最大值和最小值，即可得答案．【解析】(1)解：∵二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点A4,1，点B0,5，∴-16+4b+c=1c=5，解得b=3c=5，∴该二次函数为y=-x2+3x+5，∵y=-x-322+294，∴顶点为32,29 4；(2)让y=1，则-x2+3x+5=1，解得：x1=-1,x2=4，当x=32时，y=294，∵当m≤x≤4时，n的最大值为294，最小值为3 2，∴-1≤x≤32．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．5(2023·浙江舟山·统考三模)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c(b，c是常数)经过点A1，0，点B0，3．点P在此抛物线上，其横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式．(2)若-1≤x≤d时，-1≤y≤8，则d的取值范围是．(3)点P和点A之间(包括端点)的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值．【答案】(1)y=x2-4x+3(2)2≤d≤5(3)m=2+5或m=2-6【分析】(1)利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为-1，把y=8代入y=x2-4x+3求出x1=5，x2= -1，根据-1≤x≤d时，-1≤y≤8，得出-1≤x≤d时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围；(3)分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即m≥2时，当点P在顶点与点A之间，即1<m<2时，当点P在点A的左侧，即m≤1时，分别求出m的值即可．【解析】(1)解：把点A1，0，点B0，3，代入抛物线y=x2+bx+c得：1+b+c=0c=3，解得：b=-4 c=3，∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3；(2)解：∵y=x2-4x+3=x-22-1，∴抛物线的顶点坐标为2,-1，∴y的最小值为-1，把y=8代入y=x2-4x+3得8=x2-4x+3，解得：x1=5，x2=-1，∵-1≤x≤d时，-1≤y≤8，∴-1≤x≤d时，函数能够取到最小值，∴2≤d≤5；故答案为：2≤d≤5．(3)解：当点P在顶点的右侧，即m≥2时，此时函数能够取到最小值-1，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标y P=-1+5=4，即点P的坐标为m,4，把m,4代入y=x2-4x+3得，m2-4m+3=4，解得：m=2+5或m=2-5(舍去)；当点P在顶点与点A之间时，即1<m<2，图象G的最大值和最小值差不可能是5；当点P在点A的左侧，即m≤1时，此时函数的最小值为0，∵图象G的最大值和最小值差是5，∴此时点P的纵坐标y P=0+5=5，即点P的坐标为m,5，把m,5代入y=x2-4x+3得，m2-4m+3=5，解得：m=2-6或m=2+6(舍去)；综上分析可知，m=2+5或m=2-6．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．6(2023·浙江杭州·统考二模)在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2-2ax+1(a是常数)．(1)当a=2时，求函数图象的顶点坐标和对称轴．(2)若函数图象经过点(1，p)，(-1，q)，求证：pq≤4．(3)已知函数图象经过点A(-3，y1)，B(a+1，y2)，点C(m，y3)，若对于任意的4≤m≤6都满足y1>y3> y2，求a的取值范围．【答案】(1)顶点坐标(2，-3)，对称轴为直线x=2(2)见解析(3)3<a<3或a>72【分析】(1)当a=2时，y=x2-4x+1=x-22-3，进而可求顶点坐标与对称轴；(2)将(1，p)，(-1，q)，代入y=x2-2ax+1得，p=2-2a，q=2+2a，则pq=2-2a=42+2a-4a2≤4，进而结论得证；(3)由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x =a ，则B (a +1，y 2)在对称轴右侧，由对于任意的4≤m ≤6都满足y 1>y 3>y 2，则点A ，B ，C 存在如下情况：情况1，如图1，根据二次函数的图象与性质，以及y 1>y 3>y 2，列不等式-3 2-2a ×-3 +1>62-2a ×6+1，a +1<4，求解集即可；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>42-2a ×4+1，6<a ；a +12-2a ×a +1 +1<62-2a ×6+1，分别求解满足要求的解集即可．【解析】(1)解：当a =2时，y =x 2-4x +1=x -2 2-3，∴顶点坐标(2，-3)，对称轴为直线x =2；(2)证明：将(1，p )，(-1，q )，代入y =x 2-2ax +1得，p =1-2a +1=2-2a ，q =1+2a +1=2+2a ，∴pq =2-2a 2+2a =4-4a 2≤4，∴pq ≤4；(3)解：由题意知，二次函数图象开口向上，对称轴为直线x =a ，则B (a +1，y 2)在对称轴右侧，∵对于任意的4≤m ≤6都满足y 1>y 3>y 2，∴点A ，B ，C 存在如下情况：情况1，如图1，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>62-2a ×6+1，解得a >32，a +1<4，解得a <3，∴32<a <3；情况2，如图2，由二次函数的图象与性质可得-3 2-2a ×-3 +1>42-2a ×4+1，解得a >12，又∵6<a ，a +1 2-2a ×a +1 +1<62-2a ×6+1，解得a <5或a >7，∴a >7；综上所述，a 的取值范围为32<a <3或a >7．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质．解题的关键在于数形结合．7(2023·浙江杭州·统考二模)已知函数y 1=x 2-m +2 x +2m +3,y 2=nx +k -2n (m ，n ，k 为常数且n ≠0)．(1)若y 1的图象经过点A -1,3 ，求该函数的表达式．(2)若函数y 1，y 2的图象始终经过同一定点M ．①求点M 的坐标和k 的值．②若m ≤2，当-1≤x ≤2时，总有y 1≤y 2，求m +n 的取值范围．【答案】(1)y 1=x 2-x +1(2)①M 2，3 ，k =3；②m +n ≤-1【分析】(1)利用待定系数法求解即可；(2)①先求出函数y 1经过定点2，3 ，则M 2，3 ，且M 2，3 在函数y 2的图象上，由此把M 2，3 代入y 2解析式中求出k 的值即可；②先求出抛物线y 1的对称轴在定点M 2，3 的左侧，再结合函数图象可知当x =-1时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值，由此建立不等式求解即可．【解析】(1)解：把A -1,3 代入y 1=x 2-m +2 x +2m +3中得：-1 2+m +2 +2m +3=3，解得m =-1，∴y 1=x 2--1+2 x -2+3=x 2-x +1；(2)解：①在y 1=x 2-m +2 x +2m +3中，当x =2时，y 1=22-2m +2 +2m +3=4-2m -4+2m +3=3，∴函数y 1经过定点2，3 ，∵函数y 1，y 2的图象始终经过同一定点M ，∴M 2，3 ，且M 2，3 在函数y 2的图象上，∴2n +k -2n =3，∴k =3；②∵m≤2，抛物线y1的对称轴为直线x=m+2 2，∴抛物线y1的对称轴在定点M2，3的左侧，由①得y2=nx+3-2n，∵m≤2，当-1≤x≤2时，总有y1≤y2，∴如图所示，当x=-1时，一次函数的函数值要大于等于二次函数的函数值∴-12+m+2+2m+3≤-n+3-2n∴3m+3n≤-3，∴m+n≤-1．【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．8(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=ax x-ma≠0和一次函数y2=ax+b a≠0．(1)二次函数y1的图象过1,0,2,2点，求二次函数的表达式；(2)若一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点．①求证：b=-am；②若两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，求m的值．【答案】(1)二次函数y1的表达式为y1=x x-1；(2)①证明见解析，②m=2【分析】(1)待定系数法，求出函数解析式即可．(2)①先求出二次函数y1=ax x-ma≠0与x轴的交点坐标，进而得到一次函数y2与二次函数y1的图象的交点坐标，代入一次函数，即可得出结论；②求出二次函数的顶点坐标，代入一次函数即可得出结果．【解析】(1)解：∵二次函数y1=ax x-ma≠0过1,0,2,2，∴m=1，∴二次函数的表达式为y1=ax x-1，将2,2点代入，得2=2a，∴a=1；∴二次函数y1的表达式为y1=x x-1．(2)①∵当y=0时，ax x-m=0解得：x1=0,x2=m，∴二次函数y1=ax x-1与x轴交于0,0和m,0点，又一次函数y2与二次函数y1的图象交于x轴上同一点，且这个点不是原点，∴一次函数y2过m,0点，∴am +b =0，∴b =-am ；②∵b =-am ，∴y 2=ax -am ，∵两个函数图象的另一个交点为二次函数的顶点，∵二次函数y 1=ax x -m 的顶点为m 2,-am 24，∴y 2=ax -am 过m 2,-am 24，∴-am 24=-am 2∵a ≠0,m ≠0，∴m 2=2m ，∴m =2．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用．熟练掌握二次函数与一次函数的图象和性质，是解题的关键．9(2023·浙江杭州·杭州市公益中学校考二模)在平面直角坐标系中，当x =-2和x =4时，二次函数y =ax 2+bx -2(a ，b 是常数，a ≠0)的函数值相等．(1)若该函数的最大值为1，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；(2)若该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，求a ，b 的值．(3)记(2)中的抛物线为y 1，将抛物线y 1向上平移2个单位得到抛物线y 2，当-2≤x ≤m 时，抛物线y 2的最大值与最小值之差为8，求m 的值．【答案】(1)y =-3x -1 2+1，1，1 ；(2)a =-2，b =4；(3)1-5．【分析】(1)根据二次函数的性质及对称轴即可解答；(2)根据二次函数与x 轴的交点个数及二次函数的性质即可解答；(3)根据二次函数的平移规律及二次函数的性质即可解答．【解析】(1)解：∵当x =-2和x =4时，二次函数y =ax 2+bx -2(a ，b 是常数，a ≠0)的函数值相等，∴二次函数的对称轴为x =-2+42=1，4a -2b -2=16a +4b -2①，∵该函数的最大值为1，∴该函数的顶点坐标为1，1 ，∴1=a +b -2②，∴由①②可得：a =-3b =6 ，∴函数表达式为：y =-3x -1 2+1；(2)解：∵该函数的图象与x 轴有且只有一个交点，∴一元二次方程ax 2+bx -2=0，该函数的顶点坐标为1，0 ，∴Δ=b 2+8a =0①，a +b -2=0①，∴由①②可得a =0b =2(舍去)，a =-2b =4 ，∴a =-2，b =4；(3)解：由(2)可得y 1的解析式为：y 1=-2x 2+4x -2，∵将抛物线y 1向上平移2个单位得到抛物线y 2，∴y 2=-2x 2+4x ，∴当x =-2时，y 2=-16，∵y 2的顶点坐标为1，2 ，且当-2≤x ≤m 时，抛物线y 2的最大值与最小值之差为8，∴m <1，y 2随x 的增大而增大，∴-16+8=-8，∴-2m 2+4m =-8，∴m -1 2=5，∴m =1±5，∵m <1，∴m =1-5．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的顶点坐标，二次函数的最值，二次函数与x 轴的交点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．10(2023·浙江丽水·统考二模)二次函数y =x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A x 1,0 ,B x 2,0 且x 1≠x 2．(1)当x 1=2，且b +c =-6时，①求b ，c 的值②当t ≤x ≤t +2时，二次函数y =x 2+bx +c 的最小值为2t ，求t 的值；(2)若x 1=3x 2，求证：32b -c ≤3．【答案】(1)①b =2，c =-8；②t =4或t =22(2)见解析【分析】(1)①依题意，b +c =-64+2b +c =0 ，解方程组即可求解；②根据①得出解析式，对称轴为直线x =-1，进而分t +2≤-1，t <-1<t +2，t ≥-1，三种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解；(2)由题意得：x 12+bx 1+c =0，x 22+bx 2+c =0，将x 1=3x 2代入，得出 9x 22+3bx 2+c =0，得出x 2=-14b ，代入x 22+bx 2+c =0得c =316b 2，进而32b -c =-316b -4 2+3≤3，即可得证．【解析】(1)解：①依题意，b +c =-64+2b +c =0解得b =2，c =-8②y =x 2+2x -8=x +1 2-9若t +2≤-1，即t ≤-3，当x =t +2时，y =t +2+1 2-9=2t ，解得：t =0(舍去)或t =-4；若t <-1<t +2，即-3<t <-1，当x =-1时，y =-1+1 2-9=2t ，解得：t =-4.5(舍去)；若t ≥-1，当x =t 时，y =t +1 2-9=2t ，解得：t =-22(舍去)或t =22；综上所述：t =4或t =22．(2)∵x 1≠x 2，x 1=3x 2 ∴3x 2≠x 2 ∴x 2≠0由题意得：x 12+bx 1+c =0，x 22+bx 2+c =0，∴9x 22+3bx 2+c =0，∴8x 22+2bx 2=0∴2x 24x 2+b =0∵x 2≠0 ∴4x 2+b =0 即x 2=-14b∴把x 2=-14b ，代入x 22+bx 2+c =0得c =316b 2；∴32b -c =32b -316b 2=-316b 2-8b =-316b -4 2+3≤3．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．11(2023·浙江杭州·统考二模)二次函数y =ax 2+bx -1(a ，b 为常数，a ≠0)的图像经过点A 1,2 ．(1)求该二次函数图像的对称轴(结果用含a 的代数式示)(2)若该函数图像经过点B 3,2 ；①求函数的表达式，并求该函数的最值．②设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 是该二次函数图像上两点，其中x 1，x 2是实数．若x 1-x 2=1，求证：y 1+y 2≤112【答案】(1)x =a -32a(2)①y =-x 2+4x -1，最大值为3；②见解析【分析】(1)首先将点A 1,2 代入表达式，然后利用对称轴公式求解即可；(2)①将点B 3,2 代入求出函数的表达式，然后转化成顶点式即可求出该函数的最值；②首先根据x 1-x 2=1得到x 1=x 2+1，然后表示出y 1+y 2利用二次函数的性质求解即可．【解析】(1)将点A 1,2 代入y =ax 2+bx -1得，a +b -1=2，∴b =3-a ，∴二次函数y =ax 2+3-a x -1，∴对称轴为x =-3-a 2a =a -32a；(2)①将B 3,2 代入y =ax 2+3-a x -1得，9a +9-3a -1=2，∴解得a =-1，∴二次函数y =-x 2+4x -1，∴y =-x 2+4x -1=-x 2-4x -1=-x -2 2+3，∵-1<0，∴抛物线开口向下，∴该函数的最大值为3；②∵x 1-x 2=1∴x 1=x 2+1，∴y 1+y 2=-x 12+4x 1-1-x 22+4x 2-1=-x 2+1 2+4x 2+1 -1-x 22+4x 2-1=-2x 22+6x 2+1=-2x 2-3 2+112∵-2<0，∴y 1+y 2的最大值为112，∴y 1+y 2≤112．【点睛】本题考查了根据对称性求对称轴，待定系数法求二次函数解析式，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．12(2023·浙江杭州·统考一模)二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)与x 轴交于A (1,0),B (m ,0)两点．(1)当a =1,b =2时，求m 的值．(2)当0<a <2,c =2时，①求证：m >1．②点C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 在该抛物线上，且x 1>x 2,x 1+x 2<2，试比较y 1与y 2的大小．【答案】(1)-3；(2)①见解析；(2)y 1<y 2【分析】(1)当a =1,b =2时，y =x 2+2x +c ，把A (1,0)代入求得c =-3，得到y =x 2+2x -3，把B (m ,0)代入y =x 2+2x -3得，0=m 2+2m -3，解方程即可得到答案；(2)①把A (1,0),B (m ,0)代入y =ax 2+bx +c (a ≠0)得a +b +c =0，am 2+bm +c =0，由c =2得到a +b +2=0，am 2+bm +2=0进一步得am 2-a +2 m +2=0，则Δ=a +2 2-4a ×2=a -2 2≥0，由0<a <2,解方程求出m ，即可判断．②由①得b =-a -2，c =2，则y =ax 2-a +2 x +2，把C x 1,y 1 ,D x 2,y 2 代入得y 1=ax 12-a +2 x1+2，y 2=ax 22-a +2 x 2+2，则y 1-y 2=x 1-x 2 a x 1+x 2 -a +2 ，由x 1>x 2,x 1+x 2<2，得到x 1-x 2>0,,a x 1+x 2 -a +2 <0，进一步即可得到答案．【解析】(1)解：当a =1,b =2时，y =x 2+2x +c ，把A (1,0)代入得，0=1+2+c ，解得c =-3，∴y =x 2+2x -3，把B(m,0)代入y=x2+2x-3得，0=m2+2m-3，解得m=1或-3；∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(1,0),B(m,0)两点，∴m=-3；(2)①把A(1,0),B(m,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)得，a+b+c=0，am2+bm+c=0，∵c=2，∴a+b+2=0，am2+bm+2=0，由b=-a-2得到am2-a+2m+2=0，则Δ=a+22-4a×2=a-22≥0，∴m=a+2±a-222a=a+2±a-22a，∴m1=1(舍去)，m2=2a，∵0<a<2,∴m>1．②由①得b=-a-2，c=2，∴y=ax2-a+2x+2，把C x1,y1,D x2,y2代入得，y1=ax12-a+2x1+2，y2=ax22-a+2x2+2，∴y1-y2=ax12-a+2x1+2-ax22-a+2x2+2=a x1-x2x1+x2-a+2x1-x2=x1-x2a x1+x2-a+2，∵x1>x2,x1+x2<2，∴x1-x2>0,a x1+x2-a+2<2a-a+2,∵0<a<2,∴2a-a+2=a-2<0，∴a x1+x2-a+2<0，∴y1-y2=x1-x2a x1+x2-a+2<0，∴y1<y2．【点睛】此题考查了二次函数的性质、解一元二次方程、比较函数值大小等知识，读懂题意并准确计算是解题的关键．13(2023·浙江绍兴·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2-2tx+1．(1)求该抛物线的对称轴(用含t的式子表示)；(2)若点M t-2，m，N t+3，n在抛物线y=x2-2tx+1上，试比较m，n的大小；(3)P x1，y1，Q x2，y2是抛物线y=x2-2tx+1上的任意两点，若对于-1≤x1<3且x2=3，都有y1≤y2，求t的取值范围；(4)P t+1，y1，Q2t-4，y2是抛物线y=x2-2tx+1上的两点，且均满足y1≥y2，求t的最大值．【答案】(1)抛物线的对称轴为直线x=t；(2)n>m；(3)t≤1；(4)t的最大值为5．【分析】(1)把解析式化成顶点式即可求得；(2)根据二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征即可判断；(3)分3种情况求解即可；(4)分两种情况讨论，根据题意列出关于t的不等式，解不等式即可解决问题．【解析】(1)解：∵y=x2-2tx+1=x-t2-t2+1，∴抛物线的对称轴为直线x=t；(2)解：∵点M t-2，m在抛物线y=x2-2tx+1上，，N t+3，n∴抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t，又∵|t-(t-2)|=2，|t-(t+3)|=3，2<3，∴点N t+3，n离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，∴n>m；(3)解：∵抛物线的开口向上，∴离抛物线y=x2-2tx+1的对称轴距离较大，函数值越大．当t>3时，点P离对称轴远，不符合题意；当-1≤t≤3时，由题意得，3-t≥t--1，解得t≤1，∴-1≤t≤1时，都有y1≤y2；当t<-1时，点Q离对称轴远，都有y1≤y2．综上，当t≤1时，都有y1≤y2．(4)解：∵抛物线的开口向上，对称轴为直线x=t，∴点P在抛物线y=x2-2tx+1对称轴的右侧，∵y1≥y2，①当点Q在对称轴的右侧或在对称轴上，且在点P的左侧或与点P重合时满足条件，∴2t-4≥t且2t-4≤t+1，解得4≤t≤5；②当点Q在对称轴的左侧，且点Q到抛物线对称轴的距离小于或等于点P到对称轴的距离时满足条件，∴2t-4<t，t-2t-4≤t+1-t，解得3≤t<4，综上所述：当3≤t≤5时，满足题意．∴t的最大值为5．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握性质是解题的关键．14(2023·浙江杭州·模拟预测)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-2mx+m2+1存在两点A m-1,y1．，B m+2,y2(1)求抛物线的对称轴；(用含m的式子表示)(2)记抛物线在A，B之间的部分为图象F(包括A，B两点)，y轴上一动点C0,a，过点C作垂直于y轴的直线l与F有且仅有一个交点，求a的取值范围；(3)若点M2,y3也是抛物线上的点，记抛物线在A，M之间的部分为图象G(包括M，A两点)，记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为t，若t≥y2-y1，求m的取值范围．【答案】(1)x=m(2)a=1或2<a≤5(3)m≤2-3或m≥4【分析】(1)将一般式转化为顶点式即可得解；(2)将A m-1,y1代入解析式，求出y1,y2，画出函数图象，利用数形结合的方法求解即 ，B m+2,y2可；(3)分点M在点A的左侧；点A的右侧，对称轴的左侧；以及对称轴的右侧，结合图象进行分类讨论求解即可．【解析】(1)解：y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1，∴对称轴为：x=m；(2)解：由y=x2-2mx+m2+1=x-m2+1可知：抛物线的顶点坐标为：m,1，当x=m-1时：y1=m-1-m2+1=2，当x=m+2时：y1=m+2-m2+1=5，∴A m-1,2,B m+2,5，∵C0,a，∴过点C垂直于y轴的直线l：y=a，如图：由图象可知：当a=1或2<a≤5时，直线l与F有且仅有一个交点，∴a的取值范围为：a=1或2<a≤5；(3)解：∵A m-1,2，,B m+2,5∴t≥y2-y1=5-2=3，当x=2时，y3=m2-4m+5，∴M2,m2-4m+5①当M在点A的左侧，即：m-1>2，m>3时：在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，∴M点的纵坐标最大，A点的纵坐标最小，∴t=m2-4m+5-2=m2-4m+3≥3，解得：m≥4或m≤0(舍掉)；②当M在点A的右侧，对称轴的左侧时，此时t<2-1=1，不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3≤2时，此时A点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小：t=2-1=1<3不符合题意；③当M对称轴的右侧，即m<2时，当y3>2时，此时M 点的纵坐标最大，抛物线的顶点处的纵坐标最小，∴t =m 2-4m +5-1=m 2-4m +4≥3，解得：m ≥2+3(舍)，或m ≤2-3；∴m ≤2-3；综上：m ≤2-3或m ≥4．【点睛】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．二、填空题(共0分15(2022春·九年级课时练习)抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，则k 的取值范围是．【答案】k ≤54且k ≠1【分析】直接利用根的判别式进行计算，再结合k -1≠0，即可得到答案．【解析】解：∵抛物线y =(k -1)x 2-x +1与x 轴有交点，∴Δ=(-1)2-4×(k -1)×1≥0，∴k ≤54，又∵k -1≠0，∴k ≠1，∴k 的取值范围是k ≤54且k ≠1；故答案为：k ≤54且k ≠1．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴有交点的问题，解题的关键是掌握根的判别式求参数的取值范围．16(2020秋·九年级课时练习)抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是．【答案】(-4，-20)【解析】解：∵当x =-4时，y =(-4)2+8×(-4)-4=-20，∴抛物线y =x 2+8x -4与直线x =-4的交点坐标是(-4，-20)．故答案为(-4，-20)．17(2023·安徽淮北·校考一模)若对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，则一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是．【答案】x 1=-5，x 2=1【分析】根据二次函数的对称性求出(1,0)的对称点，即可得到答案；【解析】解：∵对称轴为直线x =-2的抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)经过点(1,0)，∴点(1,0)的对称点是：(-2×2-1,0)，即(-5,0)，∴方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-5，x 2=1，故答案为：x 1=-5，x 2=1；【点睛】本题考查抛物线的性质及二次函数与一元二次方程关系，解题的关键是根据对称性求出对称点．18(2021春·九年级课时练习)抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点的个数是．【答案】3个【分析】先令y =0，得出关于x 的一元二次方程，由△>0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x 轴有两个不同的交点，与y 轴有一个交点．【解析】解：∵抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)，∴当y =0时，0=2x 2+2(k -1)x -k ，∴△=[2(k -1)]2-4×2×(-k )=4k 2+4>0，∴0=2x 2+2(k -1)x -k 有两个不相等的实数根，∴抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)与x 轴有两个交点，∴抛物线y =2x 2+2(k -1)x -k (k 为常数)与y 轴有一个交点，所以，抛物线y =2x 2+2k -1 x -k (k 为常数)与坐标轴交点有3个，故答案为：3个．【点睛】本题考查抛物线与x 、y 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．19(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的部分图象如图所示，图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，下列结论：①2a +b =0；②当m ≠-1时，am 2-b m +1 <a ；③若点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，则y 1<y 3<y 2；④若关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有3个．其中正确的结论有(填序号)．【答案】①②③【分析】根据图象对称轴为直线x =1，可得2a =-b ；可判断①；设w =am 2-b m +1 ，可得w =am 2-b m +1 =am 2+2a m +1 =a m +1 2+a ，再由a <0，可得当m =-1时，w 取得最大值，最大值为a ，可判断②；根据1--2 >52-1>1-12，可得y 1<y 3<y 2，可判断③；根据题意可得关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的根即为抛物线与直线y =p p >0 的交点的横坐标，可判断④，即可．【解析】解：①∵图象对称轴为直线x =1，∴-b 2a=1，∴即2a +b =0，故①正确；②设w =am 2-b m +1 ，∴w =am 2-b m +1 =am 2+2a m +1 =am 2+2am +2a =a m +1 2+a ，∵二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象开口向下，∴a <0，∴当m =-1时，w 取得最大值，最大值为a ，∴当m ≠1时，am 2-b m +1 <a ，故②正确；③∵点A -2,y 1 ，点B 12,y 2 ，点C 52,y 3 均在该图象上，且1--2 >52-1>1-12，∴y 1<y 3<y 2，故③正确；④∵图象过点-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为3,0 ，∴抛物线的解析式为y =a x +1 x -3 ，∴关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的根即为抛物线与直线y =p p >0 的交点的横坐标，∴当p >0且抛物线与直线y =p p >0 的有两个交点，且交点的横坐标为整数时，这样的点P 有1个，∴关于x 的方程a x +1 x -3 =p p >0 的两根都是整数，则这样的p 值有1个，故④错误．故答案为：①②③【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．三、单选题(共0分20(2023·浙江·校联考三模)已知点x 1，y 1 ，x 2，y 2 为二次函数y =-x 2图象上的两点(不为顶点)，则以下判断正确的是()A.若x 1>x 2，则y 1>y 2B.若x 1<x 2，则y 1<y 2C.若：x 1x 2<x 2 2，则y 1>y 2D.若x 1x 2>x 2 2，则y 1<y 2【答案】D【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．【解析】解：∵y =-x 2，a =-1<0，对称轴为y 轴，∴在y 轴左侧，y 随x 的增大而增大，在y 轴右侧，y 随x 的增大而减小，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小；A 、x 1>x 2，y 1不一定大于y 2，例如x 1=1时，y 1=-1，x 2=-1时，y 2=-1，此时x 1>x 2，但是y 1=y 2；故选项A 错误；B 、x 1<x 2，y 1不一定小于y 2，例如x 1=-1时，y 1=-1，x 2=1时，y 2=-1，此时x 1<x 2，但是y 1=y 2；故选项B 错误；C 、当x 1x 2<x 2 2，y 1不一定大于y 2，例如x 1=-3时，y 1=-9，x 2=1时，y 2=-1，此时x 1x 2=-3<x 22=1，但是y1<y2；故选项C错误；D、当x1x2>x22，即：x1x2>x2x2>0，∴x1<x2<0或x1>x2>0，当x1<x2<0时，y1<y2，当x1>x2>0时，y1<y2，∴当x1x2>x22时，y1<y2；故选项D正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．本题可以利用特殊值法进行排除，进行判断．21(2023·浙江杭州·统考二模)已知二次函数y1=(ax+1)(bx+1)，y2=(x+a)(x+b)，(a，b为常数，且ab≠0)，则下列判断正确的是()A.若ab<1，当x>1时，则y1>y2B.若ab>1，当x<-1时，则y1>y2C.若ab<-1，当x<-1时，则y1>y2D.若ab>-1，当x>1时，则y1>y2【答案】B【分析】先计算y1-y2=ax+1x+1x-1，再根据各选项给=ab-1x+bbx+1-x+a定的条件逐一分析即可得到答案．【解析】解：∵ab<1，x>1，∴ab-1<0，x-1>0，x+1>0，∴y1-y2=ax+1bx+1x+b-x+a=abx2+ax+bx+1-x2-ax-bx-ab=ab-1x2+1-ab=ab-1，x-1x+1∴y1-y2<0；∴y1<y2；故A不符合题意；∵ab>1，x<-1，∴ab-1>0，x-1<0，x+1<0，∴y1-y2>0；∴y1>y2；故B符合题意；∵ab<-1，x<-1，∴ab-1<0，x-1<0，x+1<0，∴y1-y2<0；∴y1<y2；故C不符合题意；∵ab>-1，x>1，∴ab-1>-2，x-1>0，x+1>0，∴y1-y2可以比0大，也可以比0小；∴y1，y2的大小不确定；故D不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的函数值的大小比较，因式分解的应用，熟练的利用作差的方法比较大小是解本题的关键．22(2023·浙江杭州·统考二模)点P m ,n 在二次函数y =ax 2-2ax a ≠0 的图象上，针对n 的不同取值，存在点P 的个数不同，甲乙两位同学分别得到如下结论：甲：若P 的个数为1，则n =-a ；乙：若P 的个数为2，则n ≥-a 则下列判断中正确的是()A.甲正确，乙正确B.甲正确，乙错误C.甲错误，乙正确D.甲错误，乙错误【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知，当n 是顶点的纵坐标时，P 的个数为1，当n 不是顶点纵坐标时，P 的个数为2，即可得出结论．【解析】解：∵y =ax 2-2ax =a x -1 2-a ，∴抛物线的顶点坐标为：1,-a ，∵点P m ,n 在二次函数y =ax 2-2ax a ≠0 的图象上，∴当n =-a 时，点P 为抛物线的顶点，只有1个，当n ≠-a 时，根据抛物线的对称性，点P 的个数为2；∴甲正确，乙错误；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线的对称性，是解题的关键．23(2023·浙江宁波·校考二模)已知点A x 1，y 1 ，B x 2，y 2 在抛物线y =-(x -4)2+m (m 是常数)上．若x 1<4<x 2，x 1+x 2>8，则下列大小比较正确的是()A.y 1>y 2>mB.y 2>y 1>mC.m >y 1>y 2D.m >y 2>y 1【答案】C【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =-(x -4)2+m 的开口向下，有最大值为m ，对称轴为直线x =4，根据x 1<4<x 2，x 1+x 2>8，设A x 1,y 1 的对称点为A 1(x 0，y 1)，得出x 1+x 0=8，则在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小，则当4<x 0<x 2时，m >y 1>y 2．【解析】解：∵y =-x -4 2+m ，∴a =-1<0，∴当x =4时，有最大值为y =m ，∴抛物线开口向下，∵抛物线y =-x -4 2+m 对称轴为直线x =4，设A x 1,y 1 的对称点为A 1(x 0，y 1)，即x 0>4，∴x 1+x02=4，∴x 1+x 0=8，∵x 1+x 2>8，∴x 1+x 2>x 1+x 0，∴x 2>x 0，∴4<x 0<x 2，∴m >y 1>y 2．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当a <0，抛物线开口向下；对称轴为直线x =-b2a，在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴右侧，y 随x 的增大而减小．24(2023·统考二模)已知二次函数y =x 2+bx +c 过点A x 1,y 1 ，B x 1+t ,y 2 ，C x 1+2t ,y 3 三点．记m =y 2-y 1，n =y 3-y 2，下列命题正确的是()A.若n -m >2，则t <-1B.若n -m <2，则t >-1C.若t >1，则n -m >2D.若t <1，则n -m <2【答案】C【分析】根据题意求出m 和n ，再计算n -m ，再分别分析各选项即可得出真命题．【解析】解：由题意可得：m =y 2-y 1=x 1+t 2+b x 1+t +c -x 12+bx 1+c =x 1+t 2+b x 1+t -x 12-bx 1=t 2+2tx 1+bt n =y 3-y 2=x 1+2t 2+b x 1+2t +c -x 1+t 2+b x 1+t +c =x 1+2t 2+b x 1+2t +c -x 1+t 2-b x 1+t -c =3t 2+2tx 1+bt∴n -m =3t 2+2tx 1+bt -t 2+2tx 1+bt =2t 2，若n -m >2，则2t 2>2，∴t >1或t <-1，故A 是假命题；若n -m <2，则2t 2<2，∴-1<t <1，故B 是假命题；若t >1，则n -m =2t 2>2，故C 为真命题；若t <1，则0<2t 2<2，即0<n -m <2，故D 为假命题，故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图像上的点，最值，解题的关键是将对应点代入，计算并化简得到n -m =2t 2．25(2023·浙江杭州·统考二模)已知y 关于x 的二次函数y =2mx 2+1-m x -1-m ，下列结论中正确的序号是()①当m =-1时，函数图象的顶点坐标为12,12；②当m ≠0时，函数图象总过定点：③当m >0时，函数图象在x 轴上截得的线段的长度大于32；④若函数图象上任取不同的两点P 1x 1,y 1 、P 2x 2,y 2 ，则当m <0时，函数在x >14时一定能使y 2-y 1x 2-x 1<0成立．A.①②③B.①③④C.②③④D.①②④【答案】A【分析】求出当m =-1时，二次函数图象的顶点坐标即可判断①；当m ≠0时，二次函数y =m 2x 2-x -1 +x -1，当2x 2-x -1=0时，y 的值与m 无关，求出x 的值，即可得到定点，即可判断。
函数与方程中的根与零点的概念与计算
函数与方程中的根与零点的概念与计算根据数学的定义，函数是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的规则。
方程则是描述了两个表达式之间相等的关系。
在函数和方程的应用中，我们经常会遇到根与零点的概念。
本文将详细介绍根与零点的含义以及它们在函数与方程中的计算方法。
一、根与零点的概念1. 根的定义在函数中，根是指使得函数的值等于零的输入值。
简而言之，根是函数的解，它使得函数的取值为零。
2. 零点的定义在方程中，零点是指使得方程两边相等的解。
换句话说，零点是使得方程取值为零的横坐标值。
在函数与方程中，根与零点可以说是同义词，它们描述了使得函数值或方程两边等式成立的输入值。
二、根与零点的计算方法1. 函数中的根与零点计算对于函数而言，计算根或零点的方法取决于函数的形式。
下面以一次函数和二次函数为例，介绍它们的计算方法。
（1）一次函数的根与零点计算一次函数的一般形式为 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 是已知常数。
要计算一次函数的根，令 f(x) = 0，然后解方程 ax + b = 0，可以得到 x 的值。
这个 x 就是一次函数的根或零点。
（2）二次函数的根与零点计算二次函数的一般形式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是已知常数。
要计算二次函数的根，可以使用求根公式或配方法。
- 求根公式：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，根的计算公式为 x= (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。
将方程 f(x) = 0 代入公式中，可以得到二次函数的根。
- 配方法：对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，可以通过配方法将其转化为完全平方的形式。
然后再通过提取平方根的方式得到根。
2. 方程中的根与零点计算方程中的根与零点计算依然是解方程。
根据方程的形式，选择适当的方法进行计算。
例如，对于线性方程 ax + b = 0，可以直接通过移项和除以系数 a 得到根。
高考数学文(二轮复习)课件 函数与方程思想
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或 者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程 的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用 方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研 究运动中的等量关系．
函数的主干知识、 函数的综合应用以及函数与方程思想的考 查一直是高考的重点内容之一．高考试题中，既有灵活多变的客 观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可 以说是贯穿了数学高考整份试卷，高考中所占比重比较大．
(1)对于函数与方程思想， 在解题中要善于挖掘题目中的隐含 条件， 构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是 应用函数与方程思想解题的关键． (2)当问题中出现多个变量时， 往往要利用等量关系减少变量 的个数， 如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表 达式，那么就可有研究函数的方法将问题解决．
[回访名题] x2 若点O和点F(－2,0)分别是双曲线 a2 －y2＝1(a>0)的中心和左 →· → 的取值范围为 焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 OP FP ( ) A．[3－2 3，＋∞)
7 C.－4，＋∞ NhomakorabeaB．[3＋2 3，＋∞)
7 D.4，＋∞
答案：B
解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝
2 x 4，即a2＝3，所以双曲线方程为 3 －y2＝1.设点P(x0，y0)，则有 2 x20 x → 0 2 3 －y0 ＝1(x0≥ 3)，解得y20＝ 3 －1(x0≥ 3)，因为 FP ＝(x0＋
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关 系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程 与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需 要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
(2)一次函数y=kx+m(k≠0)的图像与x轴的交点坐标是什么?这个
交点的坐标与方程kx+m=0的根有何关系?
提示:交点坐标为 - ,0 ,其中交点的横坐标恰好为方程kx+m=0
的根.
课前篇
自主预习
一
二
三
/yyk/cdsgyy/
/yyk/tjybgcyy/
/yyk/whrayy/
/yyk/whzafcyy/
/yyk/whdhyy/
/yyk/shxknkyy/
/yyk/csygyy/
/yyk/cdsbykyy/
/yyk/szrayy/
/yyk/zbaeykyy/
/yyk/shxjgkyy/
/yyk/shjlnzyy/
1
2
C.f(x)=x +x D.f(x)=
四
)
解析:由函数零点的定义,看是否存在实数x,使f(x)=0,若存在,则f(x)
有零点,若不存在,则f(x)无零点.
1
1
由于函数 f(x)=中,对任意自变量 x 的值,均有≠0,故函数不存在零
点.
答案:D
课前篇
自主预习
一
二
三
四
知识点二、二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的
/yyk/wxybzygcyy/
/yyk/whyhyy/
/yyk/scpcyy/
/yyk/xakd/
/yyk/whbszysgcyy/
/yyk/csbjmlyfcyy/
如果f(a0)·f(x0)>0,则零点位于区间[x0,b0]中,令a1=x0,b1=b0.
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函数与方程1. 函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，我们把使________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2. 零点存有定理假如函数y＝f(x)满足：(1)在闭区间[a，b]上连续；（图象不间断） (2)f(a)·f(b)<0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存有零点，即存有c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．图象4．二分法(1)二分法的定义 对于在区间[a ，b ]上连续持续且________的函数y ＝f (x )，通过持续地把函数f (x )的零点所在的区间________，使区间的两端点逐步逼近________，进而得到零点的近似值的方法叫做二分法．(2)用二分法求函数零点近似解的步骤第一步：确定区间[a ，b ]，验证________，给定精确度ε； 第二步：求区间(a ，b )的中点c ； 第三步：计算f (c )①若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；②若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； ③若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二、三、四步． 典型例题分析函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3函数f (x )＝ln(x －2)－2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5在以下区间中，函数f (x )＝e x＋4x －3的零点所在的区间为( )A ．(－14，0)B ．(0，14)C ．(14，12)D ．(12，34)函数f (x )＝mx 2－2x ＋1有且仅有一个为正实数的零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，0]∪{1} C ．(－∞，0)∪(0,1] D ．(－∞，1)设f (x )与g (x )是定义在同一区间[a ，b ]上的两个函数，若函数y ＝f (x )－g (x )在x ∈[a ，b ]上有两个不同的零点，则称f (x )和g (x )在[a ，b ]上是“关联函数”，区间[a ，b ]称为“关联区间”．若f (x )＝x 2－3x ＋4与g (x )＝2x ＋m 在[0,3]上是“关联函数”，则m 的取值范围为( )A ．(－94，－2]B ．[－1,0]C ．(－∞，－2]D ．(－94，＋∞)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间(1e ，1)，(1，e)内均有零点B ．在区间(1e，1)，(1，e)内均无零点C ．在区间(1e ，1)内有零点，在区间(1，e)内无零点D ．在区间(1e，1)内无零点，在区间(1，e)内有零点函数f (x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的零点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2D. 3已知a 是函数f (x )＝2x－x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．不确定已知函数f (x )＝log ax ＋x －b (a >0，且a ≠1)．当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.一、选择题1. [2013·广东四校联考]函数f (x )＝x 3＋2x －1的零点所在的大致区间是( ) A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)答案：A解析：f (0)＝－1<0，f (1)＝2>0，f (2)＝11>0，f (3)＝32>0，f (4)＝71>0，则f (0)·f (1)＝－2<0且函数f (x )＝x 3＋2x －1的图象是连续曲线，所以f (x )在区间(0,1)内有零点．2. 若函数f (x )＝bx ＋2有一个零点为13，则g (x )＝x 2＋5x ＋b 的零点是( )A. －13B. 1或－6C. －1或6D. 1或6答案：B解析：∵13是函数f (x )的零点，∴f (13)＝0，即13b ＋2＝0，解得b ＝－6.∴g (x )＝x 2＋5x －6.令g (x )＝0，即x 2＋5x －6＝0，也就是(x －1)(x ＋6)＝0， 解得x ＝1或x ＝－6.∴函数g (x )有两个零点1、－6.3. 如图是函数f (x )的图象，它与x 轴有4个不同的公共点．给出以下四个区间，不能用二分法求出函数f (x )零点的区间是( )A. [－2.1，－1]B. [1.9,2.3]C. [4.1,5]D. [5,6.1]答案：B解析：由图象易知，函数f (x )在区间[1.9,2.3]上不能用二分法求出函数的零点． 4. [2013·湖北八校二联]已知函数f (x )＝2x－log 12x ，且实数a >b >c >0满足f (a )·f (b )·f (c )<0，若实数x 0是函数y ＝f (x )的一个零点，那么以下不等式中不可能成立的是( )A. x 0<aB. x 0>aC. x 0<bD. x 0<c答案：D解析：画出函数y ＝2x与y ＝log 12x 的图象可知，满足条件的c 只能在函数f (x )的零点的左边，故不可能出现x 0<c .5. 已知关于x 的方程x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)，以下说法准确的是( ) A. 有两不等根 B. 只有一正根 C. 无实数根 D. 不能确定 答案：B解析：由x ln x ＝ax ＋1(a ∈R)知x >0，∴ln x ＝a ＋1x ，作出函数y 1＝ln x 与y 2＝a ＋1x的图象，易知选B.6. [2013·深圳调研]已知符号函数sgn (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝sgn (ln x )－ln x 的零点个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：当x >1时，ln x >0，sgn (ln x )＝1； 当x ＝1时，ln x ＝0，sgn (ln x )＝0； 当0<x <1，ln x <0，sgn (ln x )＝－1.∴f (x )＝sgn (ln x )－ln x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－ln x ，x >1，0，x ＝1，－1－ln x ，0<x <1.由f (x )＝0得，x ＝e 或1或1e ，应选C.二、填空题7. [2012·浙江绍兴二模]若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1，－1<x <2，则函数g (x )＝f (x )－x 的零点为________．答案：1＋2，1解析：求函数g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x或⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1.8. [2013·南昌模拟]已知[x ] 表示不超过实数x 的最大整数，如[1.8]＝1，[－1.2]＝－2.x 0是函数f (x )＝ln x －2x的零点，则[x 0]等于 ________.答案：2解析：∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴函数f ′(x )＝1x ＋2x2>0，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (2)＝ln2－1<0，f (e)＝lne －2e>0，知x 0∈(2，e)，∴[x 0]＝2.9. [2013·金版原创]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．答案：(0,1)解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≥0－x 2－2x ，x <0的图象，由图象可知，若函数y ＝f (x )－m 有3个零点，则0<m <1，所以m 的取值范围是(0,1)．三、解答题10. 若g (x )＝x ＋e2x(x >0)，g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围．解：法一：∵g (x )＝x ＋e 2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ， 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点． 法二：作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的大致图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.法三：由g (x )＝m 得x 2－mx ＋e 2＝0. 此方程有大于零的根且e 2>0， 故根据根与系数的关系得m >0，故⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.11. [2013·苏州模拟]是否存有这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1，3]上与x 轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存有，求出范围；若不存有，请说明理由．解：若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，所以a ≤－15或a ≥1.检验：(1)当f (－1)＝0时a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x .令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解之x ＝－25或x ＝3.方程在[－1，3]上有两根，不合题意，故a ≠－15.综上所述，a <－15或a >1.12．[2013·揭阳联考]已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b 、c ∈R)． (1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b 、c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．解：(1)依题意，x 1＝－1，x 2＝1是方程x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根．由韦达定理，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c .即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题知，f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g－3＝5－7b >0，g －2＝1－5b <0，g 0＝－1－b <0，g1＝b ＋1>0，解得15<b <57，所以实数b 的取值范围为15<b <57.。