有关化归与转化思想的例题

化归与转化思想

一、选择题

（1）已知f （x ）=ax 2+ax+a-1，对任意实数x ，恒有f （x ）＜0，则a 的取值范围是（ ） （A ）（-

0,3

4） （B ）

（-∞，0） （C ）(]0,∞- （D ）(])3

4(0,∞+∞-

（2）函数)112lg(

--=x

y 的图象关于（ ）

（A ）原点对称 （B ）x 轴对称

（C ）y 轴对称 （D ）直线y=x 对称

（3）设77778

97

2

98

1

99

C C C m +-+-= ，则m 除以8的余数是（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）6 （

D ）1-29

（4）三个数，a=0．3-0．

4，b=log 0．30．4，c=log 40．3，则有（ ） （A ）b ＜c ＜a （B ）a ＜c ＜b （C ）c ＜a ＜b （D ）c ＜b ＜a （5）不等式0||42

≥+-x

x x 的解集是（ ）

（A ）}22|{≤≤-x x

（B ）|03|{ x x ≤-或}30≤≤x

（C ）02|{ x x ≤-或20≤x } （D ）03|{ x x ≤-或20≤x }

（6）若圆x 2+y 2=1被直线ax+by+c=0所截的弦长为AB ，当a 2+b 2=2c 2时，弦AB 的长是（ ） （A ）

2

2 （B ）2 （C ）1 （D ）

2

1

（7）（1+x ）+（1+x ）2+（1+x ）3+…+（1+x ）10展开式中各项系数和为（ ） （A ）211-2 （B ）211-1 （C ）211 （D ）211+1

（8）函数y=f （x ）是函数y=-)10(222

≤≤-x x 的反函数，则函数y=f （x ）的图象是图2-4-1中的（ ）

（9）已知⊙c ：x 2+y 2+2x-24=0，A （1，0）．P 为⊙c 上任意一点，AP 的垂直平分线与C 、P 的连线交于M ，则M 点的轨迹方程是（ ）

（A ）

125421422=-

y x （B ）

125421422=+

y x

（C ）121

425

422=+y x （D ）121

425

422=-y x

（10）正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1D 1和DD 1的中点，过平行线MN 和B 1C 作截面MB 1CN ，令二面角M-B 1C-C 1的大小为θ，则cos θ等于（ ） （A ）0 （B ）

2

1 （C ）

2

3 （D ）

3

1

（11）方程

arctgx x

=1解的个数是（ ）

（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个

（12）从点P （3，-2）发出的光线，被直线x+y-2=0反射，若反射线所在的直线恰好过Q （5，1），则入射线的方程是（ ） （A ）x-2y-7=0 （B ）2x+y-4=0 （C ）x+2y+1=0 （D ）x-y-5=0 （13）函数y=2sinx-2cos 2x+1 x ∈]3

2

,4[ππ的值域是（ ） （A ）]3,23

[-

（B ）]3,2[ （C ）]3

21,23[+- （D ）]32

1

,2[+

（14）如图2-4-2，圆锥V-AB ，母线长为6，母线与底面所成角θ的正切值为35，一个质点在侧面上从B 运动到V A 的最短距离是（ ） （A ）33 （B ）3 （C ）

3

35 （D ）3236-

（15）方程

11

452

22=++

a y a

x 表示焦点在x 轴上的椭圆，

则椭圆离心率的范围是（ ） （A ）??

???

?1,51 （B ）??

? ?

?5

1,0 （C ）???

?

???1,51

（D ）??? ?

?51,

0 二、填空题

（16）若z ∈C ，且满足|z+3-i|=1，则argz 的最小值是________． （17）P （x ，y ）在直线x+2y-3=0上运动，则x 2+y 2的最小值是________． （18）已知4

3)(,5

3sin ),0,4

(),,2

(

=

-=

-

∈∈βααπ

βππ

αtg ，则cos β=________．

（19）设a ＞0且a ≠1，对任意n ∈N ，{x n }满足log a X n+1=1+log a X n ，又x 1+x 2+…+x 100=100，则x 101+x 102+…+x 200=________．

（20）棱台的上、下底面积分别为16、81，一个平行于底的截面面积是64，则这截面分棱台两部分体积（从上到下）之比是________． （21）双曲线??

?+=+-=θ

θsec 431y tg x （θ为参数）的两条渐近线的夹角是________．

（22）设α、β、γ是三角形的三个内角，则

γ

β

α

1

1

1

+

+

的最小值是________．

（23）在-6，-4，-2，0，1，3，5，7这8个数中，任取两个不同的数分别作为虚数a+bi 的实部和虚部，则所组成的所有不同虚数中，模大于5的虚数的个数是________． 三、解答题

（24）已知正方形ABCD ，A （1，1），B （2，-1），求C 、D 的坐标． （25）解关于x 的不等式：lg （3·2x ）-lg （2x+1-1）＞lg （2x +2）． （26）设P 是直线x-y+9=0上的一点，过P 点的椭圆以双曲线4x 2-5y 2=20的焦点为焦点．试求P 点在什么位置时，所求椭圆的长轴最短，并写出这个具有最短长轴的椭圆方程． （27）设x ∈]4

,8[π

π-

，求函数y=cos4x+4sin 2x 的最大、最小值．

（28）已知集合A={z||z-2|≤2，z ∈C}，B={z|z=

2

i

z 1+b ，z 1∈A ，b ∈R}，若

A ∩B=φ，求b 的取值范围．

（29）如图2-4-3，三棱锥P-ABC 中，PB ⊥底面△ABC 于B ，∠BCA=90°，PB=BC=CA=4，E 为PC 的中点，点F 在PA 上，且3PF=FA ． （Ⅰ）求异面直线PA 与BE 所成角的大小； （Ⅱ）求三棱锥F-ABE 的体积． （30）已知双曲线

)0,0(12

22

2 b a b

y a

x =-

的离心率3

32=

e ，过点A （0，

-b ）和B （A ，0）的直线与原点间的距离为2

3．

（Ⅰ）求双曲线方程；

（Ⅱ）直线y=kx+m （k ≠0，m ≠0）与双曲线交于不同的两点C 、D ，且C 、D 两点都在以A 为圆心的同一个圆上，求m 的取值范围． （31）已知椭圆))2,.0((12

22

π

αα

∈=+

tg y x 的焦点在x 轴上，A 为右顶点，椭圆与射线y=x （x ≥0）交于B ，以A 为焦点开口向左的抛物线的顶点是（m ，0），又该抛物线过B 点，

当椭圆的离心率在（

1,3

6）变化时，求m 的取值范围．

（32）已知抛物线y 2=2x ． （Ⅰ）设A （

0,3

2）

，求曲线上距A 最近的点P 的坐标及相应的距离|PA|； （Ⅱ）设A （a ，0）（a ∈R ），求曲线上点到点A 距离的最小值d ，并写出d=f （a ）的函数

表达式．

（33）已知曲线x 2+y 2=1（y ≥0），A （2，0），P 为圆上一点，△APQ 为正三角形（A 、P 、Q 为顺时针方向）．

（Ⅰ）求四边形POAQ 面积的最小值； （Ⅱ）求|OQ|的最大值．

专题练习四 化归与转化思想答案 一、

（1）C （2）A （3）A （4）D （5）D （6）B （7）A （8）B （9）C （10）D （11）C （12）A （13）B （14）B （15）D 提示

（1） 当a=0时，f （x ）=-1＜0，∴a=0满足题意；当a ≠0时，依题意，二次函数f （x ）

的图象都在x 轴下方，∴a ＜0且△＜0，解出a ＜0，综上，a ∈(]0,∞-，∴选C ．

（2）函数定义域满足

+???

??-+=+--∈?--112lg )()(),1,1(0112

x x f x f x x )()(,01lg 1111lg 112lg x f x f x x x x x -=-∴==??

?

?????? ??-

+

???? ??+

-=???

??--,∴f(x)为奇数，∴选A ． （3）9

9

9

8

97

2

98

1

99

9)28(161)17(1)17777(-=+=+-=+-+-+-=C C C C m +1=

2

6297

198999889272981990928288(8122822288?+?-=+?-??+-??+?-C C C C C C C -…+∴+-=+-+-?,1812,12)23

9

9

8

8

9 C m 除以8余1，∴选A ．

（4）a=0．30．

4＞0．30=1，b=log 0．30．4＜log 0．30．3=1，∴b ∈（0，1），c ＜0，∴选D ．

(5)当x ＞0时，(]2,00142

∈?≥+-x x ；当x ＜0时，22

4014x x -?

≥--

[),0,3,312-∈∴≤?≥x x 综上，[)

(]∴-∈,2,00,3 x 选D ．

（6）过圆心O 作OD ⊥AB 于D ，则|OD|=22

2

2

222221|

|1||,|

|c c b

a c AD

b a

c -=???

?

??+-=+ ∴=

?=

?=,2||2

2||2

1AB AD 选B ．

（1） 令x=1，2+22+23+…+210

=

∴-=--,221

2)12(21110选A ．

（8）),02,10(12

222222

2

22≤≤-≤≤=+

?-=?--=y x y x x y x y 即椭圆

12

22

=+

y x 在第四象限的部分（包括端点）

，根据f （x ）与f -1（x ）的图象关于直线y=x 对称，∴选B ．

（9）⊙C ：（x+1）2

+y 2=25，C （-1，0），r=5．依题意，|MP|=|AM|，∴|AM|+|CM|=|MP|+|CM|=|CP|=5＞|AC|=2，∴M 点的轨迹是以A 、C 为焦点的椭圆，a=

2

5，c=1，∴b 2=

4

21，又椭圆的中心

是（0，0），∴M 点的轨迹方程为14

214252

2=+y x ，即

121425422=+y x ，∴选C ． （10）过M 作ME ⊥B 1C 1于E ，过E 作EF ⊥B 1C 于F ，连MF ，则∠MFE=θ，设ME=1，则EF=

4

2，∴=

?=∴,3

1cos 22θθtg 选D ．

（11）如图答2-4-1，画出函数y=

x

1，y=arctgx 的图象，有两个交点，∴方程有两解，∴选

C ．

（12）如图答2-4-2，Q 关于直线x+y-2=0的对称点Q /（1，-3），则Q /P 为入射线方程，由两点式得入射线方程为x-2y-7=0，∴选A ．

（13）y=2sinx-2（1-sin 2x ）+1=2sin 2x+2sinx-1=22

2,3

24

,2

3)2

1(sin 2∴

≤

≤-

+

ππ

x x

∴∈∴≤≤],3,2[,1sin y x 选B ．

（14）如图答2-4-3，?==

∠6,35l VBA tg 底面半径r=1?BB /=2π，∴侧面展开图的

圆心角3

6

2/π

π=

=

∠VB B ．A /为弧BB /的中点，过B 作BD ⊥VA.于D ，则BD 为所

求．BD=VB ·∴=?=∠,36

sin

6sin /π

VB A 选B ．

（15）5

1151

45,145).1,4

1

(14522

2

2

2

-

=--=

∴--=∈?+a

a a e a a c a a a

??? ?

?∈∴=

?-

≤+

51,0,51

45

11)14(e a

a ，当且仅当2114=?=a a a 时等号成立，∴选D ． 二、

（16）π3

2 （17）

5

9 （18）

25

7 （19）100a 100 （20）

31

64 （21）60° （22）

π

9

（23）32

提示

（16）如图答2-4-4，1|3|=-+

i z 对应复平面上以)1,3(-C 为圆心，1为半径的圆．作

OD 与⊙C 相切于D ．∴=

∠∴=

∠=

∠,3

2,6

,6

5ππ

πDOX COD COX argz 最小值为.3

2

π

（17）x 2+y 2为原点与直线x+2y-3=0上的点距离的平方，其最小值为原点到直线x+2y-3=0距离的平方．.595|3|)(2

min 2

2

=???

? ??-=+∴y x （18）

,4

52

πβαπ

-又tg （α-β）＞0，,5

3

)sin(),4

5,(-=-∴∈-∴βαππβα

,54)cos(-=-βα又53)54)(54()](cos[cos ,54cos +--=--=∴-=βααβα·

（-5

3

） =.25

7 （19）x n+1=ax n ，∴{x n }为等比数列，q=a ，∵x 101=x 1·q 100，x 102=x 2·q 100，…，x 200=x 100·q 100，∴x 101+x 102+…+x 200=（x 1+x 2+…+x 100）·q 100=100·a 100．

（20）如图答2-4-5，把棱台的问题转化为圆台．则圆台上、下底及截面半径分别为4、9、

8．画出圆台轴截面图．设上底到截面的距离为h /

，圆台高为h ，则

5

41=

h

h ，V 上：V 下=

.31

64217

1124)

728164)((3

)

326416(3

/2=

?=

++-++h h h π

π

（21）双曲线的普通方程为.13

)1()4(2

2

=+-

-x y 将中心移到（-1，4）

，在新坐标系中， ??=∴=

=

=-

30,3

1.13

1212

θθb

a tg x y

两条渐近线的夹角为60°．

（22）≥??≥++≤

?????≥=++33

313111.273γ

βαγβαπγβαγβαπγβα3· .9

27

3

3

π

π

=

（23）当a=0时，b 可取-6，7；当a ≠0时，从-6，-4，-2，1，3，5，7中任取2个作为a 、b ，共27P 个，其中不合格的是从-4，-2，1，3中任取2个共2

4P 个．∴模大于5的不同虚数共2+32)(2

42

7=-P P 个． 三、

（24）如图答2-4-6，向量AB 逆时针转90°得向量.AD 设D （x ，y ），则[（2-i ）-（1+i ）]·i=（x+yi ）-（1+i ），根据复数相等有)2,3(1

12

1D y x ???

?=-=-，BD 的中点M )21

,25(是AC 的中

点，∴C （4，0）；又与D /与D 关于A 对称，∴D /（-1，0），C /与C 关于B 对称，∴C /（0，

-2），∴C 、D 坐标为（4，0）、（3，2）或（0，-2）、（-1，0）．

（25）.112

1

-?+ x x

不等式变形为

,221

2223+-??x x

x 令∈?--?

+=?

=t t t t t t t x

01

2121

23,2

122

).0,1(122

1

)1,21(-∈??x x （26）

14

5

22=-

y x ，两焦点F 1（-3，0）

，F 2（3，0），∵2a=|PF 1|+|PF 2|，即在直线x-y+9=0上求一点P ，使|PF 1|+|PF 2|最小．F 1关于x-y+9=0的对称点A （-9，6），∴2a=|AF 2|=6,5

∴=?.362

b 所求椭圆方程为

.136

45

22=+

y x 直线AF 2的方程是),3(2

1--

=x y 与x-y+9=0

联立，解出x=-5，y=4．∴P （-5，4）． （27）

∈∴-∈+-=-?

+-=x x x x

x y 2],4,8[,21)212(cos 222cos 1412cos 222ππ ]2

,4[π

π-，令cos2x=t ∈[0，1]，问题转化为求二次函数2

1

)21(22+-=t y 在[0，1]的最大、最小值．

.21

,1m in m ax ==∴y y

（28）设

z=x+yi （x ，y ∈R ），则A={（x ，y ）|（x-2）2+y 2≤

4}．)2()(221b y b yi x i b z i +-=++=++∴+=,2ni m i x ????

???

?=+-=22

x

n b y m ??

?=-=n

x m b y 2)

(2 代入（x-2）2+y 2≤4中，得（m-b ）2+（n-1）2≤1

∴B={（x ，y ）|（x-b ）2+（y-1）2≤1}．若A ∩B=φ，问题转化为两圆无公共点，则圆（x-2）

2

+y 2=4与圆（x-b ）2+（y-1）2

=1外离，即222121)2(2

+?++- b b 或b ＜2-2.2

（29）（Ⅰ）如图答2-4-7，∵PB ⊥面ABC ，∴PB ⊥AC ，又∠BCA=90°，∴AC ⊥面PBC ，

∴AC ⊥BE ；又PB=BC ，E 为PC 的中点，∴PC ⊥BE ，∴BE ⊥面PCA ，∴BE ⊥PA ，∴异面直线PA 与BE 所成角为90°．

（Ⅱ）∵BE ⊥面PAC ，∴42

12

1.3

1?=

?=

?=

=??--PC AC S S BE V V ACP AEF AEF B ABE F

,423223

1,234

324,2824=??=

=?=

?=∴=?-???AEF B PEA AEF PEA V S S S ∴

V F-ABE =4．

（30）过A 、B 的直线方程为bx-ay-ab=0．

)(4

32

3||22222

2b a b a b a ab +=

?=

+①；

3

42

2

22

22

=

+=

=

a

b a a

c e ②，解①、②得.1,3==b a

（Ⅰ）所求双曲线方程为

.13

22=-y x

（Ⅱ）直线与曲线相交于不同两点转化为直线与曲线组成的方程组有两组不同实数解．

?????=-+=13

2

2

y x m kx y 消y ，得 （3k 2-1）x 2+6kmx+3（m 2+1）=0 ∵3k 2-1=0不合题意，∴3k 2-1≠0， △ =36k 2m 2=4·3（3k 2-1）（m 2+1）=12（m 2-3k 2+1）＞0

依题意，|AC|+|AD|，设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），则?++=++2

22

22

12

1)1()1(y x y x （x 1-x 2）（x 1+x 2）+（y 1-y 2）（y 1+y 2+2）=0

∵x 1≠x 2，∴x 1+x 2+k （y 1+y 2+z ）=0（k 为直线CD 的斜率）．∴x 1+x 2+k （kx 1+m+kx 2+m+2）=0?（1+k 2）·（x 1+x 2）+2mk+2k=0?（1+k 2）·

1

362

--k km +2mk+2k=0?3k 2=4m+1，代入△

中，得m 2-4m ＞0?m ＞4或m ＜0，又3k 2=4m+1＞0?m ＞-4

1，∴m ∈（-

0,4

1）∪（4，+

∞）．

C 、

D 两点在以A 为圆心的同一个圆上还可以作如下转化： 设CD 的中点为P ，则AP ⊥CD ．

2222231313,,313),1

3,

133(

k k km

m k CD AP km

m k k k m

k km

P AP ?-=?---∴

⊥---=

---- =4m+

1，以下与上面解法相同． （31）A （1，0），将y=x 代入椭圆中，得B （sin α，sin α）．抛物线方程为y 2=-4（m-1）（x-m ）

（m ＞1），又B 在抛物线上，∴sin 2α=-4（m-1）（sin α-m ）?sin 2

α+4（m-1）sin α-4m （m-1）=0，令sin α=t ，∴t 2+4（m-1）t-4m （m-1）=0① ∵e 2=1-tg 2α，∴)2

1

,0(s in )6,0(31

0113

222∈?∈??-απααα

tg tg ?t ∈（0，

2

1）．

即方程①在（0，

2

1）至少有一个实数解．

设f （t ）=t 2

+4（m-1）t-4m （m-1），

∵-4m （m-1）＜0，∴方程①的两根分别在（-∞，0）和（0，-21

）内，∴????

??0)2

1

(0

)0( f f ).4

23,

1(+∈m

（32）（Ⅰ）∴≥++=+-=+-=,0,3

1

)31(2)32()32

(||22222

x x x x y x PA 当x=0时，|PA|2取最小值

9

4，∴|PA|的最小值为

3

2

，此时P （0，0）．

（Ⅱ）|PA|2=（x-a ）2+y 2=（x-a ）2+2x=[x-（a-1）]2+2a-1（x ≥0），求|PA|2的最小值转化为求

二次函数在x ≥0时的最小值．

当a-1＜0?a ＜1时，当x=0时，|PA|2最小值为a 2，∴|PA|的最小值是|a|（此时P （0，0））； 当a-1≥0?a ≥1时，当x=a-1时，|PA|2最小值为2a-1，∴|PA|的最小值是12-a （此时P （a-1，22-±

a ））．

???≥-=∴1

121||a a a a d

（33）如图答2-4-8，设∠AOP=α，把问题转化为三角．由余弦定理得 AP 2=1+4-2·1·2·cos α=5-4cos α． （Ⅰ）+-=-+

??=

+=??ααααcos 3sin )cos 45(4

3sin 212

1PAQ POA POAQ S S S

,34

5234

5)3

sin(234

5+

≤+

-

=π

α当παπ

π

α6

52

3

=

?=

-

时，

∴当πα6

5=

时，四边形POAQ 面积的最大值为.34

52+

（Ⅱ）∵△APQ 为正三角形，∴用向量的旋转可表示Q 点坐标．将向量AP 顺时针旋转3

π

，模不变，得向量AQ ．设P （cos α，sin α）（sin α≥0），Q （x ，y ）．

AP 对应的复数为（cos α-2）+isin α， AQ 对应的复数为（x-2）+yi ，

∴2

3sin 21()sin 231cos 21()33

(cos

]sin )2[(cos -++-?-?+-αααπ

π

ααisn

i ,)2()3cos yi x i +-=+α

???

????+-=++=????????+-=+-=-∴3cos 23sin 211cos 21

sin 233cos 23sin 21sin 231cos 212ααααααααy x y x

① 2+②2，得

41()cos sin 23cos sin 31cos 41sin 43(||22222+?+++++=+=ααααααy x OQ

+

=-+=?-

-+++

5cos 2sin 325)cos sin 2

3cos 3sin 33cos 4

3sin 22αααααααα,9)6sin(4≤-

π

α

当παπ

π

α3

22

6

=

?=-

时，

∴当πα3

2=时，|OQ|的最大值是3．