工程数学线性代数(同济大学第五版)课后习题答案
线性代数(同济大学第五版)二次型讲义、例题
1
第六章 二次型
本章主要包括二次型的矩阵及其矩阵,化二次型为标准型和规范形,二次型及实对称矩阵的正定性问题,学习本章内容需要结合矩阵的特征值与特征向量的相关知识.
§1 二次型及其矩阵
一、二次型及其矩阵
定义1 关于n个变量nxxx,,,21的二次齐次函数
2222211121),,,(xaxaxxxfnnnnnnnnxxaxxaxxaxa1,1313121122222 (1)
若取jiijaa,则ijjijiijjiijxxaxxaxxa2于是(1)式可写成
jinjiijnxxaxxxf1,21),,,( (2)
称为n元二次型,所有系数均为实数的二次型称为实二次型.
记,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAnxxxx21
则二次型),,,(21nxxxf又表示为AxxxxxfTn),,,(21,其中A为对称矩阵,叫做二次型 ),,,(21nxxxf的矩阵,也把),,,(21nxxxf 叫做对称矩阵A的二次型.
对称矩阵A的秩,叫做二次型AxxxxxfTn),,,(21的秩.
例1 写出二次型
32312123222132184422),,(xxxxxxxxxxxxf的矩阵，并求出二次型的秩.
解 写出二次型所对应的对称矩阵为A,242422221A
因为二次型的秩就是对称矩阵A的秩.
14002202214~6808602212~224242222123321312rrrrrrrrA二次型的秩为3.
§2 化二次型为标准型
一、二次型合同矩阵
二次型),,,(21nxxxf经过可逆的线性变换 2 nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111 (3)
高数第五版答案(同济)12-7
精品文档
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 习题127 1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1)x x2
解 因为xxx2不恒为常数 所以x x2是线性无关的
(2)x 2x
解 因为22xx 所以x 2x是线性相关的
(3)e2x 3e2x
解 因为332xxee 所以e2x 3e2x是线性相关的
(4)ex ex
解 因为xxxeee2不恒为常数 所以ex ex是线性无关的
(5)cos2x sin2x
解 因为xxx2tan2cos2sin不恒为常数 所以cos2x sin2x是线性无关的 精品文档
GAGGAGAGGAFFFFAFAF (6) 2xe 22xxe
解 因为xexexx2222不恒为常数 所以2xe 22xxe是线性无关的 (7)sin2x cos x×sin x
解 因为2sincos2sinxxx 所以sin2x cos x×sin x是线性相关的
(8)excos2x exsin2x
解 因为xxexexx2tan2cos2sin不恒为常数 所以excos2x
exsin2x是
线性无关的
(9)ln x xln x
解 因为xxxxlnln不恒为常数 所以ln x xln x是线性无关的
(10)eax ebx(ab) 精品文档
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 解 因为xabaxbxeee)(不恒为常数 所以eax ebx是线性无关的 2 验证y1cosx及y2sinx都是方程y2y0的解 并写精品文档
GAGGAGAGGAFFFFAFAF 出该方程的通解
解 因为
y12y12cosx2cosx0
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-线性空间与线
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第6章线性空间与线性变换
6.1本章要点详解
本章要点
■线性空间的定义与性质
■维数、基与坐标
■基变换与坐标变换
■线性变换
■线性变换的矩阵表示式
重难点导学
一、线性空间的定义与性质
1．两种运算
（1）加法运算
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中定义了一个加法，即对于任意两个元素
α，β∈V，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ＝α＋β．
（2）数乘运算
在V中又定义了一个数与元素的乘法（简称数乘），即对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，
总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的数量乘积，记作δ＝λα．
2．线性空间定义
设V是一个非空集合，R为实数域．如果在V中取任意两个元素α，β∈V，加法运算和
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乘法运算满足以下八条运算规律（设α、β、γ∈V，λ、μ∈R）：
（1）α＋β＝β＋α；
（2）（α＋β）＋γ＝α＋（β＋γ）；
（3）在V中存在零元素0，对任何α∈V，都有α＋0＝α；
（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使α＋β＝0；
（5）1α＝α；
（6）λ（μα）＝（λμ）α；
（7）（λ＋μ）α＝λα＋μα；
（8）λ（α＋β）＝λα＋λβ，
则V称为线性空间，又称向量空间．
3．线性空间的性质
（1）零向量是唯一的；
（2）任一向量的负向量是唯一的，α的负向量记作－α；
（3）0α＝0，（－1）α＝－α，λ0＝0；
（4）如果λα＝0，则λ＝0或α＝0．
4．子空间
（1）定义
设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两
种运算也构成一个线性空间，则L称为V的子空间．
（2）定理
线性空间V的非空子集L构成子空间的充分必要条件是：L对于V中的线性运算封闭．
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工程数学线性代数试题及答案
- 1 - 工程数学线性代数试题及答案
总分：100分 题量：30题
一、单选题 （共15题，共30分）
1.某人打靶3发，事件Ai表示“击中i发”，i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示
A.全部击中
B.至少有一发击中
C.必然击中
D.击中3发
正确答案：B
本题解析：
暂无解析
2.对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有
A.X和Y独立
B.X和Y不独立
C.D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D.D(XY)=D(X)D(Y)
正确答案：C
本题解析：
暂无解析
3.下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是
A.
B.
C.
D.
正确答案：D
本题解析：
暂无解析
4.设随机变量X～N(u,4),Y～N(u,5),P1=P{X≤u-4},P2=P{Y≥u+5},则有
A.对于任意的u,P1=P2
B.对于任意的u,P1
C.只对个别的u，才有P1=P2
D.对于任意的u,P1>P2
正确答案：A
本题解析：
暂无解析
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案(可编辑)
同济大学《高等数学第五版》上下册习题答案
习题 1?11. 设 A?∞, ?5∪5, +∞, B[?10, 3,
写出 A∪B, A∩B, A\B及 A\A\B的表达式解 A∪B?∞, 3∪5, +∞, A∩B[?10, ?5,
A\B?∞, ?10∪5, +∞, A\A\B[?10, ?5
C C C2. 设A、B是任意两个集合, 证明对偶律: A∩B A ∪B证明 因为
C C C C Cx∈A∩B ?x?A∩B? x?A或x?B? x∈A 或x∈Bx∈A ∪B ,C C C
所以 A∩B A ∪B 3. 设映射 f : X →Y, A?X, B?X证明1fA∪BfA∪fB; 2fA∩B?fA∩fB 证明 因为 y∈fA∪B??x∈A∪B, 使 fxy?因为 x∈A 或 x∈B y∈fA或 y∈fB? y∈ fA∪fB,所以 fA∪BfA∪fB 2因为y∈fA∩Bx∈A∩B, 使
fxy?因为 x∈A且 x∈B y∈fA且 y∈fB? y∈ fA∩fB,
所以 fA∩B?fA∩fB 4. 设映射f : X→Y, 若存在一个映射g: Y→X, 使 g
f I , f g I , 其中I 、I 分别是X、
X Y
X Y
Y上的恒等映射, 即对于每一个x∈X, 有I xx; 对于每一个y∈Y, 有I yy.
证明: f是双射, 且g
X Y?1
是f的逆映射: gf证明 因为对于任意的y∈Y, 有xgy∈X, 且fxf[gy]I yy,
即Y中任意元素都是X中某
y
元素的像, 所以f为X到Y的满射 又因为对于任意的x ≠x , 必有fx ≠fx , 否则若fx fx ?g[ fx ]g[fx ]x x
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射 对于映射g: Y→X, 因为对每个y∈Y, 有gyx∈X, 且满足fxf[gy]I yy, 按逆映射的
高数(同济)第五版习题答案1-6
习题16
1. 计算下列极限:
(1)xxxsinlim0;
解 xxxxxxsinlimsinlim00.
(2)xxx3tanlim0;
解 33cos133sinlim33tanlim00xxxxxxx.
(3)xxx5sin2sinlim0;
解 52525sin522sinlim5sin2sinlim00xxxxxxxx.
(4)xxxcotlim0;
解 1coslimsinlimcossinlimcotlim0000xxxxxxxxxxxx.
(5)xxxxsin2cos1lim0;
解法一 2sinlim2sin2lim2cos1limsin2cos1lim20220200xxxxxxxxxxxxx.
解法二 2sinlim2sinsin2limsin2cos1lim0200xxxxxxxxxxx.
(6)nnnx2sin2lim(x为不等于零的常数).
解 xxxxxnnnnnn22sinlim2sin2lim.
2. 计算下列极限:
(1)xxx10)1(lim;
解 11)(10)1()(1010)](1[lim)](1[lim)1(limexxxxxxxxx.
(2)xxx10)21(lim;
解 22210221010)21(lim)21(lim)21(limexxxxxxxxx. (3)xxxx2)1(lim;
解 222)11(lim)1(limexxxxxxx.
同济大学数学系《工程数学—线性代数》(第5版)【教材精讲+考研真题解析】讲义与视频课程-矩阵的初等变
1/15十万种考研考证电子书、题库视频学习平台圣才电子书
第3章矩阵的初等变换与线性方程组[视频讲解]
3.1本章要点详解
本章要点
■初等变换的概念与性质
■矩阵之间的等价关系
■初等变换与矩阵乘法的关系
■初等变换的应用
■矩阵的秩
■线性方程组的解重难点导学
一、矩阵的初等变换
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1．初等变换
下面三种变换称为矩阵的初等行变换：
(1)对调两行（对调i，j两行，记作ri↔r
j）；
(2)以数k≠0乘某一行中的所有元（第i行乘k，记为ri×k）；
(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元上去（第j行的k倍加到第i行上，记
作r
i＋kr
j）．
把定义中的“行”换成“列”，即得矩阵的初等列变换的定义，矩阵的初等行变换与初
等列变换，统称为初等变换．
2．矩阵等价
(1)定义
①若矩阵A经有限次初等行变换变成矩阵B，就称矩阵A与B行等价，记作；
②若矩阵A经有限次初等列变换变成矩阵B，就称矩阵A与B列等价，记作；
③若矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作A～B．
（2）矩阵之间的等价关系的性质
①反身性A～A；
②对称性若A～B，则B～A；
③传递性若A～B，B～C，则A～C．
（3）矩阵的类型
①两个矩阵
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，
矩阵B
4和B
5都称为行阶梯形矩阵.
行阶梯形矩阵B
5又称为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且非零
元所在的列的其他元素都为0．
结论：对于任何非零矩阵A
m×n总可经过有限次初等行变换把它变为行阶梯形矩阵和行
最简形矩阵．
②标准形
矩阵F称为矩阵B的标准形，其特点是：F的左上角是一个单位矩阵，其余元素全为0．
对于m×n矩阵A，总可经过初等变换（行变换和列变换）把它化为标准形
此标准形由m，n，r三个数完全确定，其中r就是行阶梯形矩阵中非零行的行数．所有
高等数学同济第五版第10章答案
习题 101
1 设在xOy面内有一分布着质量的曲线弧L 在点(x y)处它的线密度为
(x y) 用对弧长的曲线积分分别表达
(1)这曲线弧对x轴、对y轴的转动惯量Ix Iy
(2)这曲线弧的重心坐标x y
解 在曲线弧L上任取一长度很短的小弧段ds(它的长度也记做ds) 设(x y)为小弧段ds上任一点.
曲线L对于x轴和y轴的转动惯量元素分别为
dIxy2(x y)ds dIyx2(x y)ds
曲线L对于x轴和y轴的转动惯量分别为
LxdsyxyI),(2 LydsyxxI),(2
曲线L对于x轴和y轴的静矩元素分别为
dMxy(x y)ds dMyx(x y)ds
曲线L的重心坐标为
LLydsyxdsyxxMMx),(),( LLxdsyxdsyxyMMy),(),(
2 利用对弧长的曲线积分的定义证明 如果曲线弧L分为两段光滑曲线L1和L2 则
12),(),(),(LLLdsyxfdsyxfdsyxf
证明 划分L 使得L1和L2的连接点永远作为一个分点 则
111111),(),(),(nniiiininiiiiiiisfsfsf
令max{si}0 上式两边同时取极限
nniiiiniiiiniiiisfsfsf10101011),(lim),(lim),(lim
即得 12),(),(),(LLLdsyxfdsyxfdsyxf
工程数学线性代数题库及答案
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一、判断题
1.若A, B为n 阶对称阵，则AB 也是对称阵。 （ b ）
2.整个向量组线性无关,则部分向量组线性无关。 （ a ）
3.设12, 是线性方程组AXb的两个不同的解，则12是对应的齐次线性方程组0AX的解。 （ a ）
4.若A可逆,则*A 也可逆。 （ a ）
5.若A的顺序主子式都大于0，则A正定。 （ bA ）
6.部分向量组线性无关,则整个向量组线性无关。 （ b ）
7.A和TA具有相同的特征值。 （ a ）
8.若A可逆,则*A 也可逆。 （ a ）
9.若实对称阵A的特征值全大于零，则二次型TfXAX 是正定的。
（ a ）
10.设12, 是线性方程组AXb的两个不同的解，则12是对应的齐次线性方程组0AX的解。 （ a ）
11.设1是线性方程组AXb的两个不同的解，2是齐次线性方程组0AX的解，则12是对应的线性方程组AXb的解。 （ bA ）
12.若A可逆,则1A 也可逆。 （ a ）
13.设12,sL 是非齐次线性方程组AXb的s个不同的解， 12,skkkL为实数，满足121,skkkL 则1122xkkLssk也是它的解。
工程数学(线性代数)电气20级学习通课后章节答案期末考试题库2023年
工程数学（线性代数）电气20级学习通课后章节答案期末考试题库2023年
1. 设是方阵，若,则必有（）.
参考答案:
时
2. 如果，则行列式（）
参考答案:
36D
3. 下列命题正确的是（ ）
参考答案:
如果矩阵均为阶不可逆，则必不可逆.
4. 设行列式,则第四行各元素余子式之和的值为（）
参考答案:
28
5. 如果方程组有非零解，则（）
参考答案:
3###1
6. 设均为阶矩阵,且，则（）
参考答案:
恒可逆.###若可逆,则可逆.###若可逆,则可逆.###若可逆,则可逆.
7. 如果，则（）
参考答案:
-18
8. 若中代数余子式，则（ ）.
参考答案:
-1
9. 设为阶可逆矩阵，为阶不可逆矩阵，则（）
参考答案:
为不可逆矩阵
10. 若行列式，则（）
参考答案:
3
11. 3阶方阵满足且,则（）
参考答案:
-2
12. 设均为3阶矩阵，且,,则（ ）
参考答案:
-54
13. 已知行列式,则（）
参考答案:
1
14. 阶行列式也可定义为，其中为行标排列的逆序数.
参考答案:
对
15. 设互不相同，,则（）
参考答案:
0