中考数学复习方案 第14课时 二次函数的图象及性质课件
初三下学期数学二次函数的图象与性质 知识点精讲 教案 教学设计 课件
初三下学期数学二次函数的图象与性质 知识点精讲
定义与定义表达式：
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大.）
则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
二次函数的三种表达式：
一般式：y=ax²+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h，k）]交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系：h=-b/2ak=(4ac-b²2；)/4ax1，x2=(-b±√b²；-4ac)/2a
二次函数的图像：
在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
抛物线的性质：
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线
x=-b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。 特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为
P[-b/2a，(4ac-b²；)/4a]。
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；
当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
第十四课时二次函数的图象与性质
第十四课时
教学内容：
二次函数y＝ax2的图象与性质。（P26—27）
教学目标：
1、继续学习描点画出二次函数y＝ax2的图象。
2、通过具体操作，进一步感受二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，体会并了解二次函数y＝ax2的图象的意义。
3、通过二次函数y＝ax2的图象的分析，探索并掌握二次函数y＝ax2的图象的性质。
教学重点难点：
重点：二次函数y＝ax2的图象和性质。
难点：根据图象概括二次函数y＝ax2 的性质。
教学方法
教师引导学生进行归纳。
教学准备：
投影仪、投影片。
教学过程：
一、创设问题，情境引入：
（出示投影1）
问题：
1、指名说说二次函数y＝1/2x2的图象和性质
2、指名说说画函数图象的方法是什么?其一般步骤有哪些？应注意什么？
让学生逐个回答，教师适当引导归纳：
二、探究新知：
（出示投影2） 1、 二次函数y＝x2的图象是什么样子呢？
例1 画二次函数 y＝X2的图象
（1） 列表取值：由于自变量x可以取任意实数，因此让x取0和一些负数，一些正数，并且算出相应的函数值，为了使描出的点具有代表性，可以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值，列成下表如P24的表格。
（2） 描点：在平面直角坐标系内，以x取的值为横坐标。相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确
（3） 观察和分析：函数图象经过原点，y轴右边的点，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y也随着增大，y轴左边的点当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y反而减小。事实上，不难证明：对于二次函数 y＝X2，当x＞0时，函数值随自变量取值的增大而增大；当x＜0时，当横坐标x逐渐增大时，纵坐标y反而减小。
（4） 连线：根据以上分析，我们可以把y轴右边的各点、原点和y轴左边各点，用一条光滑的曲线顺次连起来。连线时要用光滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线，如图2—4。
初三培优 第14讲 二次函数的图象与性质
第 1 页 共 1 页 § 二次函数定义及图像性质
1、二次函数的定义：如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.
【例题01】函数24(2)mmymx是二次函数，求常数m的值。
【变式01】函数xmxmymm)1()1(232（m是常数），m为何值时是二次函数？
2、二次函数图像与性质
1) 抛物线cbxaxy2中，cba,,的作用
a决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a越大，抛物线的开口越小。
b和a共同决定抛物线对称轴的位置：对称轴2bxa
①a与b同号（即ab＞0） 对称轴在y轴左侧
②a与b异号（即ab＜0） 对称轴在y轴右侧
c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置.
①0c，抛物线经过原点 ②0c,与y轴交于正半轴 ③0c,与y轴交于负半轴
【例题02】已知二次函数2yaxbxc的图象如图．则下列5个代数式：ac，abc，42abc，2ab，2ab中，其值大于0的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【例题03】（2009湖北省荆门市）函数1yax与21yaxbx（a≠0）图象可能是（ ）
A． B． C． D． 1111xo yyo xyo xxo y
第 2 页 共 2 页 【变式02】已知二次函数2(0)yaxbxca的图象5个结论：①0abc ②bac
③420abc ④23cb ⑤()(1)abmambm，其中正确的结论有：（ ）
A. 2个
B. 3个
C. 4个
2013-2014中考数学专题复习学生版第十四讲 二次函数的图象和性质
第十四讲 二次函数的图象和性质
【基础知识回顾】
一、二次函数的定义：
一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【名师提醒： 二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是 关 于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ，
按 一次排列 2、强调二次项系数a 0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条 ，其定点坐标为 对称轴式
2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：
①、当a>0时，y口向 ，当x
②、当a<0时，开口向 当x
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴 定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴 定点坐标
3、y=a(x-h) 2对称轴 定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 定点坐标 】
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向 向上则a 0,向下则a 0 ｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用 判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c 0负半轴上则c 0，当c=0时，抛物点过 点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y= 当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
中考数学复习专题14 二次函数的图象和性质
第6页 共8页 专题14 二次函数的图象和性质
☞解读考点
知 识 点 名师点晴
二次函数概念、图象和性质 1.二次函数的概念 会判断一个函数是否为二次函数．
2.二次函数的图象 知道二次函数的图象是一条抛物线．
3.二次函数的性质 会按在对称轴左右判断增减性．
4.二次函数的解析式确定 能用待定系数法确定函数解析式．
二次函数与二次方程的关系 5.判别式、抛物线与x轴的交点、二次方程的根的情况三者之间的联系． 会用数形结合思想解决此类问题．
能根据图象信息，解决相应的问题．
☞2年中考
【2015年题组】
1．（2015乐山）二次函数的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C．
考点：1．二次函数的最值；2．最值问题．
2．（2015南宁）如图，已知经过原点的抛物线的对称轴是直线，下列结论中：☞
☞，☞，☞当．
正确的个数是（ ）
第6页 共8页
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D．
考点：1．二次函数图象与系数的关系；2．综合题．
3．（2015柳州）如图，二次函数的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞4
【答案】B．
【解析】
试题分析：如图所示：当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是：﹣2＜x＜4．故选B．
考点：抛物线与x轴的交点．
4．（2015河池）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A． B． C．
第6页 共8页 D．
【答案】B．
【解析】
试题分析：☞将抛物线向上平移3个单位再向右平移2个单位，☞平移后的抛物线的解析式为：．故选B．
考点：二次函数图象与几何变换．
中考数学一轮温习第14讲二次函数的图象及其性质导学案
第14讲二次函数的图象及其性质
一、知识梳理
二次函数的概念
定义 一般地，如果____________ (a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的结构特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;
②二次项系数a≠0
二次函数的图象及画法
图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线
用描点法画
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式；
(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
考点3 二次函数的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
图象 ______________ ______________
开口
方向 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴 直线x＝－b2a 直线x＝－b2a 顶点坐标
－b2a，4ac－b24a －b2a，4ac－b24a
增减性 在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增 在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
最值 抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a 抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a
二次项系数a的特性 ||a的大小决定抛物线的开口大小；||a越大，抛物线的开口越小，||a越小，抛物线的开口越大
二次函数的性质ppt【5.第四节,,二次函数的图像与性质】
第 1 页 共 8 页 二次函数的性质ppt【5.第四节,,二次函数的图像与性质】
第三章 函数 第四节 二次函数的图像与性质 和(1，n)两点(m，n是实数)，当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜.
17. (20__威海)在画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象时，甲写错了一次项的系数，列表如下：
x … －1 0 1 2 3 … y甲 … 6 3 2 3 6 … 乙写错了常数项，列表如下：
x … －1 0 1 2 3 … y乙 … －2 －1 2 7 14 … 通过上述信息，解决以下问题：
(1)求原二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的表达式；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x____时，y的值随x的值增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 能力提升拓展 1. (20__陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y＝x2＋(2m－1)x＋2m－4与y＝x2－(3m＋n)x＋n关于y轴对称，则符合条件的m、n的值为( ) A. m＝，n＝－ B. m＝5，n＝－6 C. m＝－1，n＝6 D. m＝1，n＝－2 2. (20__潍坊)抛物线y＝x2＋bx第 2 页 共 8 页 ＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0(t为实数)在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是( ) A．2≤t＜11 B．t≥2 C．6＜t＜11
D．2≤t＜6 3. (20__福建)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象过不同的五点A(m，n)，B(0，y1)，C(3－m，n)，D(，y2)，E(2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系是( ) A. y1＜y2＜y3 B. y1＜y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y2＜y3＜y1 4.
2015年中考数学专题复习第十四讲二次函数的图象和性质(含参考答案)
第十四讲 二次函数的图象和性质
第十四讲 二次函数的图象和性质
【教材链接： 九（下）第二十六章二次函数】
【基础知识回顾】
一、 二次函数的定义：
一般地如果y= （a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数。
【名师提醒：1、二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：等号左边是函数，右边是 关
于 自 变 量x 的 二 次 式，x的 最 高 次 数 是 ， 按 项、
项、 项依次排列 2、强调二次项系数a 0】
二、二次函数的图象和性质：
1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的图象是一条 ，其定点坐标为
对称轴是 。
2、在抛物y=ax 2+bx+c(a≠0)中：①、当a>0时，开口向 ，当x<-2ba时，y随x的增大而 ，当x 时，y随x的增大而增大，②、当a<0时，开口向 ，当x<-2ba时，y随x增大而增大，当x 时，y随x增大而减小
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴 顶点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴 顶点坐标
3、y=a(x-h) 2对称轴 顶点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴 顶点坐标 】
三、二次函数图象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是顶点间的平移，因此要掌握整条抛物线的平移，只需抓住关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
中考数学复习-二次函数的图象和性质
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二次函数的同象和性质
【基础知识回顾】
一、 二次函数的定义：
一、 一般地如果y=（a、b、c是常数a≠0）那么y叫做x的二次函数
【名师提醒：二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的结构特征是：1、等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x的最高次数是，按一次排列 2、强调二次项系数a0】
二、二次函数的同象和性质：
1、二次函数y=kx 2+bx+c(a≠0)的同象是一条，其定点坐标为对称轴式
2、在抛物y=kx 2+bx+c(a≠0)中：1、当a>0时，y口向，当x<-2ba时，y随x的增大而，当x时，y随x的增大而增大，2、当a<0时，开口向当x<-2ba时，y随x增大而增大，当x时，y随x增大而减小
【名师提醒：注意几个特殊形式的抛物线的特点
1、y=ax2 ,对称轴定点坐标
2、y= ax2 +k，对称轴定点坐标
3、y=a(x-h) 2对称轴定点坐标
4、y=a(x-h) 2 +k对称轴定点坐标】
三、二次函数同象的平移
【名师提醒：二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可】
四、二次函数y= ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：
a:开口方向向上则a0,向下则a0 ｜a｜越大，开口越
b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是
c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点
【名师提醒：在抛物线y= ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=-1时y= ,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a-b+c的符号】
【重点考点例析】
考点一：二次函数图象上点的坐标特点
例1 （2012•常州）已知二次函数y=a（x-2）2+c（a＞0），当自变量x分别取2、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（ ）
中考数学一轮复习第14讲二次函数的图象及其性质导学案
第14讲二次函数的图象及其性质
一、知识梳理
二次函数的概念
定义 一般地，如果____________ (a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的结构特征 ①等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2;
②二次项系数a≠0
二次函数的图象及画法
图象 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是以____________为顶点，以直线______________为对称轴的抛物线
用描点法画
二次函数
y＝ax2＋bx＋c
的图象的步骤 (1)用配方法化成________________的形式；
(2)确定图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(3)在对称轴两侧利用对称性描点画图
考点3 二次函数的性质
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
图象 ______________ ______________
开口
方向 抛物线开口向上，并向上无限延伸 抛物线开口向下，并向下无限延伸
对称轴 直线x＝－b2a 直线x＝－b2a 顶点坐标 －b2a，4ac－b24a －b2a，4ac－b24a
增减性 在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而增大，简记左减右增 在对称轴的左侧，即当x<－b2a时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>－b2a时，y随x的增大而减小，简记左增右减
函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0)
a>0 a<0
最值 抛物线有最低点，当x＝－b2a时，y有最小值，y最小值＝4ac－b24a 抛物线有最高点，当x＝－b2a时，y有最大值，y最大值＝4ac－b24a
二次项系数a的特性 ||a的大小决定抛物线的开口大小；||a越大，抛物线的开口越小，||a越小，抛物线的开口越大