【最新】2020届数学中考复习讲解课件：与圆有关的计算
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(基础)
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（基础）
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、正多边形和圆
1、正多边形的有关概念：
(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.
(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.
(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径）
(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.
2、正多边形与圆的关系：
(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.
(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.
（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.
（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
3、正多边形性质：
(1)任何正多边形都有一个外接圆. (2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.
要点诠释：
（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n边形每个外角的度数是360n；所以正n边形的中心角等于它的外角.
（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.
考点二、圆中有关计算
1．圆中有关计算
圆的面积公式：，周长.
圆心角为、半径为R的弧长.
圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积.
中考数学之圆中的计算与证明
DOCBFEA1、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，过点C作⊙O与边AB相切于点E，交BC于点F，CE为⊙O的直径.
（1） 求证：OD⊥CE；
（2） 若DF=1， DC=3，求AE的长．
2、如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，D是⊙O的切线CN上一点，BD交AC于点E，且BA=
BD．
（1）求证：∠ACD=45°；
（2）若OB=2，求DC的长．
3、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F．过点C作⊙O的切线交FD于点E．
（1）求证：CEEF；
（2）如果3sin5F，25EF，求AB的长．
4、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线EF，交AB和AC的延长线于E、F．
（1）求证：FE⊥AB；
（2）当AE=6，sin∠CFD=35时，求EB的长．
5、如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是BC的中点，过点D作⊙O的切线，与AB，AC的延长线分别交于点E，F，连结AD．
（1）求证：AF⊥EF；
（2）若1tan2CAD，AB=5，求线段BE的长．
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC，交AC于点E，交PC于点F，连接AF.
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为4，AF=3，求线段AC的长
AEBDCFONEDCBAOECFDAOBEFDABCOOFPECAB 7、如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠CDE＝90°；
（2）若AB＝13，sin∠C＝135，求CE的长．
8、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BE平分∠ABC交AC于点E,点D在AB边上且DE⊥BE.
(1)判断直线AC与△DBE外接圆的位置关系,并说明理由;
2020年中考数学一轮复习之圆的综合(切线证明、面积、动点问题)(解析版)
2020年中考数学一轮复习之圆的综合
（切线证明、面积、动点问题）
1．如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，AD＝DB，AC与BD交于点E，且AE＝BC．
（1）求证：AB＝CB；
（2）如图2，△ABC绕点C逆时针旋转35°得到△FGC，点A经过的路径为弧AF，若AC＝4，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：∵AD＝BD，∠DAE＝∠DBC，AE＝BC，
∴△ADE≌△BDC（SAS），
∴∠ADE＝∠BDC，
∴＝．
∴AB＝BC．
（2）解：S阴＝S扇形CAF+S△CFG﹣S△ABC＝S扇形CAF＝＝．
2．如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：CG＝3：2，AB＝16．
（1）求⊙O的半径；
（2）点E为圆上一点，∠ECD＝30°，将沿弦CE翻折，交CB于点F，求图中阴影部分的面积．
解：（1）连接AO，如右图所示，
∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝16，
∴AG＝＝8，
∵OG：CG＝3：2，
∴OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，
∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，
∴（3k）2+82＝（5k）2，
解得，k＝2或k＝﹣2（舍去），
∴5k＝10，
即⊙O的半径是10；
（2）如图所示，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，
∵∠ECD＝30°，由对称性可知，∠DCM＝60°，S阴影＝S弓形CBM，
连接OM，则∠MOD＝120°，
∴∠MOC＝60°，
过点M作MN⊥CD于点N，
∴MN＝MO•sin60°＝10×＝5，
∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC＝﹣×10×5＝﹣25．
3．如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接CB，过C作CD⊥AB于点D，过点C作∠BCE，使∠BCE＝∠BCD，其中CE交AB的延长线于点E．
（1）求证：CE是⊙O的切线．
（2）如图2，点F在⊙O上，且满足∠FCE＝2∠ABC，连接AF井延长交EC的延长线于点G．
2020九年级中考数学 专题复习：圆的综合(含答案)
2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）
类型一 与基本性质有关的证明与计算
1. 如图，AB是⊙O的直径，点D是AE︵上的一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若BD平分∠ABE，求证：DE2＝DF ·DB；
(3)在(2)的条件下，延长ED，BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．
第1题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∴∠EAB＋∠ABE＝90°，
∵∠BDE＝∠EAB，∠BDE＝∠CBE，
∴∠EAB＝∠CBE，
∴∠ABE＋∠CBE＝∠ABE＋∠EAB＝90°，即CB⊥AB.
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线；
(2)证明：∵BD平分∠ABE，
∴∠ABD＝∠DBE，AD︵＝DE︵，
∴∠ABD＝ ∠DEA，
∴∠DEA＝ ∠DBE，
∵∠EDB＝∠BDE，
∴△DEF∽△DBE， ∴DEDB＝DFDE，
∴DE2＝ DF ·DB；
(3)解：如解图，连接OD，延长ED交BA的延长线于点P，
第1题解图
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BD平分∠ABE，
∴∠OBD＝ ∠EBD，
∴∠EBD＝∠ODB，
∴OD∥BE，
∴△PDO∽△PEB，
∴PDPE＝POPB，
∵PA＝AO，
∴PA＝AO＝OB，
∴POPB＝PDPE＝23，
∵PDPE＝PDPD＋DE＝23，DE＝2，
∴PD＝4.
2. 如图，AB是⊙O的直径，C是BD︵的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F.
(1)求证：CF＝BF；
(2)若BE＝4，EF＝ 3，求⊙O的半径．
第2题图
(1)证明：连接AC，如解图，
∵点C是BD︵的中点，∴∠DBC＝∠BAC，
在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，
第2题解图
∴∠BCE＋∠ECA＝∠BAC＋∠ECA＝90°，
∴∠BCE＝∠BAC，
又∵C是BD︵的中点，
中考数学专题复习圆
第六章 圆
第二十三讲 圆的有关概念及性质
【基础知识回顾】
一、 圆的定义及性质：
1、 圆的定义：
⑴形成性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转形成的图形叫做圆，固定的端点叫 线段OA叫做
⑵描述性定义：圆是到定点的距离等于 的点的集合
2、弦与弧：
弦：连接圆上任意两点的 叫做弦
弧：圆上任意两点间的 叫做弧，弧可分为 、 、 三类
3、圆的对称性：
⑴轴对称性：圆是轴对称图形，有 条对称轴， 的直线都是它的对称轴
⑵中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是
【名师提醒：1、在一个圆中，圆心决定圆的 半径决定圆的
2、直径是圆中 的弦，弦不一定是直径；3、圆不仅是中心对称图形，而且具有旋转 性，即绕圆心旋转任意角度都被与原来的图形重合】
二、 垂径定理及推论：
1、垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且平分弦所对的 。
2、推论：平分弦（ ）的直径 ，并且平分弦所对的 。
【名师提醒：1、垂径定理及其推论实质是指一条直线满足：⑴过圆心⑵垂直于弦⑶平分弦⑷平分弦所对的优弧⑸平分弦所对的劣弧五个条件中的两个，那么可推出其余三个，注意解题过程中的灵活运用 2、圆中常作的辅助线是过圆心作弦的 线（即弦心距）。3、垂径定理常用作计算，在半径r、弦a、弦心d和弓高h中已知其中两个量可求另外两个量。】
三、圆心角、弧、弦之间的关系：
1、圆心角定义：顶点在 的角叫做圆心角
2、定理：在 中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量 它们所对应的其余各组量也分别
决战2020年中考数学九年级三轮冲刺：《圆的综合》(五)
决战2020年中考数学九年级三轮冲刺：
《圆的综合》（五）
1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于另一点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，四边形BDGE是平行四边形．
（1）求证：AB＝BF．
（2）当F为BC的中点，且AC＝3时，求⊙O的直径长．
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD，CD．
（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB＝∠ADC，求证：BP与⊙O相切；
（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD为⊙O的直径，当∠CGB＝∠HGB，BG＝2OF＝6时，求⊙O半径的长．
3．如图，⊙O的直径AB＝12，半径OC⊥AB，D为弧BC上一动点（不包括B、C两点），DE⊥OC，DF⊥AB，垂足分别为E．F．
（1）求EF的长．
（2）若点E为OC的中点，
①求弧CD的度数．
②若点P为直径AB上一动点，直接写出PC+PD的最小值．
4．如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD＝CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若OF⊥BD于点F，且OF＝2，BD＝4，求图中阴影部分的面积．
5．如图，已知BD为⊙O的直径，AB为⊙O的一条弦，过⊙O外一点P作PO⊥AB，垂足为点C，且交⊙O于点N，PO的延长线交⊙O于点M，连接BM、AD、AP．
（1）求证：PM∥AD；
（2）若∠BAP＝2∠M，求证：PA是⊙O的切线；
（3）若AD＝6，tan∠M＝，求⊙O的半径．
6．如图，AC是⊙O的直径，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是点A、B
（1）如图1，若∠BAC＝25°，求∠P的度数．
（2）如图2，若M是劣弧AB上一点，∠AMB＝∠AOB，求∠P的度数．
7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点D作DE∥AC交AB于点E，点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE，AC于点F、G．
2020中考专题10——最值问题之阿氏圆
[南瓜讲数学]系列之中考专题
12020中考专题10——最值问题之阿氏圆班级姓名.
【模型解析】
“阿氏圆”模型---“PBkPA”型最值
◆条件：A、B为定点,P为⊙O上一个动点,kOBOP(10k).
◆问题:求PBkPA的最小值,并画出点P的位置.
◆方法：连接OP,OB.在OB上取点C,使kOPOC.易证得△POC∽△BOP,所以kOBOP
PBCP,所以
PBkCP.所以ACCPPAPBkPA,当P为AC与⊙O的交点时，PBkPA的最小值为AC.
【例题分析】
例1.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为△ABC内一动点，满足CD=2，求AD+32BD的最小值。
例2.问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一
动点，连结AP、BP，求AP+1
2BP的最小值.
P[南瓜讲数学]系列之中考专题
2尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使
CD=1，则有1
2CDCP
CPCB，又∵∠PCD=∠BCP，∴△PCD≌△BCP，1
2PD
BP，∴PD=1
2BP，
∴AP+1
2BP=AP+PD.
请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+1
2BP的最小值为.
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，1
3AP+BP的最小值为.
拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，求2PA+PB
的最小值.
【巩固训练】
1.如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，
BP，AP+21BP最小值为。
图1图2图3
2.如图2，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆B与AC相切，点P为圆B上任
一动点，则PA+22PC的最小值是。
3.如图3，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA=3，求PC+21PD的最小值为。[南瓜讲数学]系列之中考专题
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
中考数学一轮复习专题解析—圆的证明与计算
复习目标
1.了解圆的定义及点与圆的位置关系。
2.掌握圆的基本性质。
3.掌握圆中复杂证明及两圆位置关系中证明。
考点梳理
一、圆的有关概念
1. 圆的定义
如图所示，有两种定义方式：
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，以O为圆心的圆记作①O，线段OA叫做半径；
①圆是到定点的距离等于定长的点的集合．
2.与圆有关的概念
①弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦；如上图所示线段AB，BC，AC都是弦．
①直径：经过圆心的弦叫做直径，如AC是①O的直径，直径是圆中最长的弦．
①弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，如曲线BC、BAC都是①O中的弧，分别记作BC，BAC．
①半圆：圆中任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆，如AC是半圆．
①劣弧：像BC这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧．
①优弧：像BAC这样大于半圆周的圆弧叫做优弧．
①同心圆：圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆．
①弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．
①等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．
①等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
⑪圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如上图中①AOB，①BOC是圆心角．
⑫圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角，如上图中①BAC、①ACB都是圆周角．
例1．已知：如图所示，在①O中，弦AB的中点为C，过点C的半径为OD．
(1)若AB＝23，OC＝1，求CD的长；
(2)若半径OD＝R，①AOB＝120°，求CD的长.
【答案】
解：①半径OD经过弦AB的中点C，
①半径OD①AB．
(1)①AB＝23，AC＝BC＝3．
①OC＝1，由勾股定理得OA＝2．
①CD＝OD－OC＝OA－OC＝1， 即CD＝1.
(2)①OD①AB，OA＝OB，
2020年九年级中考数学专题复习：圆的垂径定理的应用(含解析)
中考数学专题复习：圆的垂径定理的应用（含解析）
班级： 姓名：
一、单选题
1.如图，把一个宽度为2cm的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，
另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）A. 5cm B. 8cm C. 10cm D. 12cm
2.下列命题：①三点确定一个圆，②弦的平分线过圆心，③弦所对的两条弧的中点的连线
是圆的直径，④平分弦的直线平分弦所对的弧，其中正确的命题有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个
D. 0个
3.如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若CE=2，则AB的长是( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
4.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水
深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）A. 0.5 B. 1 C. 2
D. 4
5.如图，⊙O的弦AB=8，C是AB的中点，且OC=3，则⊙O的半径等于( )
A. 8 B. 5 C. 10 D. 4
6.如图表示一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为5cm，
水面宽AB为8cm，则水的最大深度CD为（ ）
A. 4cm B. 3cm C. 2cm D. 1cm
7.如图，以O为圆心的两个同心圆中，半径分别为3和5，若大圆的弦AB与小圆相交，
则弦AB的长的取值范围是（ ）
A. 8≤AB≤10 B. 8
8.如图，△ABC内接于⊙O，D为线段AB的中点，延长OD交⊙O于点E，连接AE，BE，
则下列五个结论①AB⊥DE，②AE=BE，③OD=DE，④∠AEO=∠C，⑤弧AE=弧AEB，正确结论的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
9.如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC长为6，∠ACB的平分线交⊙O于D，则AD
长为（ ）A. 8 B. 5 C. D.
二、填空题
10.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，
第十八讲 与圆有关的计算(含解答)-
- 1 - 第十八讲 与圆有关的计算
【趣题引路】
拿破仑是法国一位卓越的军事家、政治家,又是一个数学爱好者.
一次他在远征埃及的航海途中,问部下:“怎样光用圆规把圆分成四等份?•”大家面面相觑,还是拿破仑自己解了这个谜.聪明的读者你知道他是怎样解的吗?
解析 (1)先用圆规画一个已知圆,如图 (1).
(2)在已知圆中,画4个相同的小圆,它们的直径等于已知圆的半径,如图 (2)
(3)在4个小圆相交的图形中,4个偏月牙形就是面积完全相同的图形,如图 (3).
【知识延伸】
与圆有关的计算,着重讲正多边形和圆、圆的面积、周长、弧长,扇形的面积以及圆柱和圆锥侧面展开图的计算问题.对于以上问题,首先要理解概念,熟记公式,法则,其次要会灵活运用各方面的知识.
如正n边形的计算可以集中在正n边形的半径、边心距把正n边形分成2n•个全等的直角三角形中,通过解直角三角形或三角形相似来解决.
例1 如图,正五边形ABCDE的边长为10,它的对角线分别交于点A1,B1,•C1,D1,E1.
(1)求证:D1把线段AE1分成黄金分割;(2)求五边形A1B1C1D1E1的边长.
证明 (1)作正五边形的外接圆O,
∵AB=BC=CD=DE=EA=72°,
∴∠D1AB=∠D1BA=•∠E1BD1=36°.
又∠BE1D1=∠BD1E1=72°,
∴AD1=D1B=BE.
∵△ABE1∽△BD1E1,
∴11111AEBEBEDE, 即11111AEADADDE.
∴AD12=AE1·D1E1,即D1把线段AE1分成黄金分割.
(2)设D1E1=x,则AE1=AB=10,AD1=10-D1E1=10-x,
∴(10-x)2=10x,即x2-30x+100=0.
解得,得x1=15-55,x2=15+55>10(舍去) ∴D1E1=15-55.