湖北省部分重点中学2021届高三上学期10月联考 数学
2021届高三湖北十一校第一次联考数学答案定稿
即有 2 | PF1 | 8 ，又椭圆上至少有 21 个不同的点 Pi i
组成公差为 d 的等差数列，所以
5
.
6
PF1 a c ，
1, 2,3, ，FP1 , FP2 , FP3 ,
FP1 最大值 8，B 正确；
数学答案 第 1 页（共 6 页）
⋯
5
)
5 3 ⋯ (
由①-②，得
即 :
则
，即{
5
.
，∴tan
).
，所以，
q
（Ⅱ）
（1）
，
则
4
;
所以 OS(⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
)
（2）因为 (
an 的公差为 d，等比数列 bn 的公比为 q q 0 ，
|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
) ，⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(
，且
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
3
3
⋯
19．解：因为直三棱柱 ABC A1B1C1 ，所以 AA1
因为|⃗⃗⃗⃗⃗⃗
|
(
， )，则
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
，①
⋯
……………6 分
.
∴ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
).
3
3 ( )
所以λ
.
9
……………2 分
( : )
( : )( :3)3+1
⋯
)
………………………12 分
( :)
+ +
湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学试题含解析
高三数学考试（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：集合，逻辑，函数，导数，不等式，数列，向量，三角函数（不含解三角形）.一、单选题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.复数2i1i z =-+，则其共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.12i+ D.12i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算法则、共轭复数的定义运算即可得解.【详解】解：由题意：()()()21i 2i=i=12i 1i 1i 1i z -=---++-，∴由共轭复数的定义得12i z =+.故选：C.2.已知全集U =R ，{}223A x x x =+<，20x B xx -⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()U A B = ð（）A.{}30x x -<< B.{}30x x -<≤ C.{}32x x -<< D.{}01x x ≤<【答案】B 【解析】【分析】解不等式化简集合,A B ，再利用补集、交集的定义求解作答.【详解】解不等式223x x +<，即(3)(1)0x x +-<，解得31x -<<，即{|31}A x x =-<<，解不等式20x x-≤，得02x <≤，即{|02}B x x =<≤，{|0U B x x =≤ð或2}x >，所以(){}30U A B x x ⋂=-<≤ð.故选：B3.命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是（）A.1a ≤B.1a <C.a<0D.2a <【答案】D 【解析】【分析】根据题意结合恒成立问题可知1a ≤，根据充分、必要条件结合包含关系分析判断.【详解】因为20x a ->，即2x a >，且()1,2x ∈，则()21,4x ∈，由题意可得1a ≤，选项中只有选项D 满足{}|1a a ≤是{}|2a a <的真子集，所以命题“()1,2x ∀∈，20x a ->”为真命题的一个必要不充分条件是2a <.故选：D.4.如图所示，向量OA a = ，OB b = ，OC c =，,,A B C 在一条直线上，且2AB CB =- ，则（）A.1433c a b=-+B.1322c a b=-+C.5322c a b=-D.3122c a b=-【答案】B 【解析】【分析】根据向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：()33132222=+=+=+-=-+uuu r uu r uuu r uu r uu u r uu r uu u r uu r uu r uuu r OC OA AC OA AB OA OB OA OA OB ，即1322c a b =-+ .故选：B.5.已知曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线与直线20x y +=垂直，则k 的值为（）A.4B.2C.3- D.6-【答案】B 【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可得曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k，结合垂直关系运算求解即可.【详解】因为11'=++k y x ，可得1|12='=+x k y ，即曲线()ln 1y x k x =++在1x =处的切线斜率为12+k ，且直线20x y +=的斜率为12-，由题意可得：11122⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭k ，解得2k =.故选：B.6.设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，当12x <<时，()2log 1f x x =+，则20232f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.2log 3B.2log 31- C.2log 3- D.2log 31--【答案】C 【解析】【分析】根据题意可得4为()f x 的周期，根据题意结合周期性运算求解.【详解】因为()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，可知4为()f x 的周期，且20231425322=⨯-，可得222023133log 1log 32222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭f f f .故选：C.7.已知π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭-的结果是（）A.αB.αC.αD.α【答案】A 【解析】【分析】由倍角公式结合同角三角函数关系计算化简即可.【详解】因为πcos2sin4ααα⎛⎫===-=-⎪⎝⎭，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π4π,4α⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，可得πsin04α⎛⎫->⎪⎝⎭，)π2sin sin cos4ααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；α=，且π3π,24α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得cos0α<，α=；)sin cosαααα=-=.故选：A.8.已知向量()22sinm x x=，()cos,2n x=-，若关于x的方程12m n⋅=在()0,π上的两根为()1212,x x x x<，则()12sin x x-的值为（）A.14- B.4- C.12- D.2【答案】B【解析】【分析】利用数量积的坐标运算、正弦型函数的图象与性质、同角三角函数基本关系式运算即可得解.【详解】解：由题意，)22sin cos sin21cos2m n x x x x x⋅=-=-+1π12sin2cos22sin22232x x x⎛⎫⎛⎫=-=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭可得：π1sin234x⎛⎫-=⎪⎝⎭，设()πsin23f x x⎛⎫=-⎪⎝⎭，()0,πx∈当0πx<<时，ππ5π2333x-<<-.且由ππ232x-=，得()f x在()0,π上的对称轴为5π12x=.∵方程12m n⋅=-()0,π上的两根为()1212,x x x x<，∴()11π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()22π1sin 234f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，且由125π212x x +=得125π6x x +=，∴215π6x x =-.∴()12115ππsin sin 2cos 263x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵当0πx <<时，1π1sin 2034x ⎛⎫-=> ⎪⎝⎭，∴1π203x ->，即有1π6x >.又∵12x x <，∴1π5π612x <<，则1ππ0232x <-<，∴由1π1sin 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得：1πcos 234x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12115ππsin sin 2cos 2634x x x x ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎝⎭⎝⎭.故选：B.【点睛】三角函数图象的对称轴和对称中心的求解思路和求法：1.思路：函数()sin y A ωx φ=+图象的对称轴和对称中心可结合sin y x =图象的对称轴和对称中心求解.2.方法：利用整体代换的方法求解，令ππ2x k ωϕ+=+，Z k ∈，可解得对称轴方程；令πx k ωϕ+=，Z k ∈，可解得对称中心横坐标，纵坐标为0.对于()cos y A x ωϕ=+、()tan y A x ωϕ=+，可利用类似方法求解（注意()tan y A x ωϕ=+的图象无对称轴）.二、多选题（本大题共4小题，共20分.每小题有多项符合题目要求）9.在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若1432a a ⋅=，2312a a +=，则下列说法正确的是（）A.数列246,,,S S S 是等比数列B.2q =C.6126S = D.数列(){}lg 2n S +是等差数列【答案】BCD 【解析】【分析】根据等比数列的性质得到231432a a a a ==，即可得到关于2a 和3a 方程组，结合条件解得1a 和q ，从而得到n S ，再逐一分析各个选项，即可求解.【详解】因为数列{}n a 为等比数列，则231432a a a a ==，由23233212a a a a =⎧⎨+=⎩，解得：2348a a =⎧⎨=⎩或2384a a =⎧⎨=⎩，则322a q a ==或12，又q 为整数，所以2q =，且24a =，38a =，所以B 选项正确；又212a a q ==，所以()12122212n n n S +-==--，则32226S =-=，542230S =-=，7622126S =-=，所以C 选项正确；因为6424S S S S ≠，所以246,,,S S S 不是等比数列，所以A 选项错误；又有()()211lg 2lg 2lg 2lg 2211n n n n S S n n ++++-+=-=+--=，所以数列(){}lg 2n S +是公差为1的等差数列，所以D 选项正确；故选：BCD.10.已知实数x ，y ，z 满足23x =，34y =，45z =，则下列结论正确的是（）A.43y <B.2xyz > C.y z<D.x y +>【答案】BD 【解析】【分析】根据指数和对数的转化得到2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项，根据3443>即可判断；根据对数的换底公式得到2log 5xyz =，即可判断；对于C 选项，利用作差法和换底公式结合基本不等式即可判断；对于D 选项：根据基本不等式即可判断.【详解】因为23x =，34y =，45z =，所以2log 3x =，3log 4y =，4log 5z =，对于A 选项：因为3443>，则3433log 4log 3>，即33log 44>，所以34log 43y =>，故A 选项错误；对于B 选项：23422log 3log 4log 5log 5log 42xyz =⋅⋅=>=，故B 选项正确；对于C 选项：()234lg 4lg 3lg 5lg 4lg 5log 4log 5lg 3lg 4lg 3lg 4y z --=-=-=，因为0lg3lg 4lg5<<<，所以22lg 3lg 5lg15lg 3lg 522+⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()22522lg 4lg16lg15lg 4222⎛⎫⎛⎫⎛⎫==> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()2lg 4lg 3lg 50->，即0y z ->，所以y z >，故C 选项错误；对于D 选项：因为2log 31x =>，3log 41y =>，所以23log 3log 4x y +=+>==，故D 选项正确；故选：BD.11.函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π<ϕ）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.2π3ϕ=-B.函数()f x 的零点为ππ,032k ⎛⎫+⎪⎝⎭，k ∈Z C.若()()124f x f x ⋅=，则12π2k x x -=，k ∈ZD.若00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，则0sin 13x =【答案】ACD 【解析】【分析】根据正弦函数的图象与性质求得A 和ω，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭，求得ϕ，从而得到()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，根据正弦的函数的性质判断ABC 选项，对于D 选项：利用三角恒等变换得到()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，再结合同角三角函数关系即可求解.【详解】对A ：由函数图象得2A =，且函数()f x 的周期T 满足：37ππ3π41264T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则2ππT ω==，解得：2ω=，即()()2sin 2f x x ϕ=+，代入点7π,212⎛⎫⎪⎝⎭得：7ππ22π122k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，解得：2π2π,3k k ϕ∈=-+Z ，又π<ϕ，所以2π3ϕ=-，故A 选项正确；则()2π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对B ：令()0f x =，得2π2π3x k -=，k ∈Z ，解得：ππ32k x =+，k ∈Z ，所以函数()f x 的零点为ππ32k x =+，k ∈Z ，故B 选项错误；对C ：因为()[]2π2sin 22,23f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，又()()124f x f x ⋅=，即()12f x =，且()22f x =，则21π22T k x x k -=⋅=，k ∈Z ，所以C 选项正确；对D ：又00π37π232122x x f f ⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎝⎭⎝⎭，即00π2π37π2π2sin 22sin 223321223x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+⨯--=⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，则0000π2sin 3sin 2sin 3cos 2x x x x ⎛⎫+--=+= ⎪⎝⎭()0x θ+=，其中3tan 2θ=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故213cos 13θ=，所以0π2π2x k θ+=+，k ∈Z ，即0π2π2x k θ=+-，k ∈Z ，则0π213sin sin 2πcos 213x k θθ⎛⎫=+-==⎪⎝⎭，所以D 选项正确；故选：ACD.12.已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，()11nn n n b a a +=-，数列{}n b 的前n 项和n T 满足22n T tn n >-对任意*n ∈N 恒成立，则下列命题正确的是（）A.21n a n =-B.当n 为奇数时，2322n T n n =-+-C.2284n T n n =+ D.t 的取值范围为(),2-∞-【答案】AC 【解析】【分析】利用()12n n n a S S n -=-≥可判断A ；求出n b ，分n 为奇数、n 为偶数，求出n T 可判断BC ；分n 为奇数、为偶数，利用22n T tn n >-分离t ，再求最值可判断D.【详解】当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，适合上式，所以21n a n =-，故A 正确；所以()()()()1122111nnn n n b n a a n +=---+=，当n 为奇数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯++----+ ()()2437112341n n =⨯++++---⎡⎤⎣⎦()2323144122n n n +--=⨯⨯--2221n n =--+，故B 错误；当n 为偶数时，123n nT b b b b =++++ ()()()()1335577923212121n n n n =-⨯+⨯-⨯+⨯+---+-+ ()4371121n =⨯++++-⎡⎤⎣⎦ 321422n n+-=⨯⨯()22222n n n n =+=+，所以()()222222284n T n n n n =+=+，故C 正确；当n 为奇数时，n T =2221n n --+，若22n T tn n >-，则222212tn n n n ->-+-，即2222112-+=-+<t n n n，所以2min 12t n ⎛⎫<-+⎪⎝⎭，而2122n-+>-，即(],2t ∞∈--；当n 为偶数时，则22n T tn n >-得22222>-+n tn n n ，即2442+=+<t n n n ，而422n+>，即(],2t ∞∈-，综上所述，(],2t ∞∈--，故D 错误.故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键点是分类讨论、分离参数求最值．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.已知平面向量()1,2a =-r ，()3,4b = ，那么b 在a上的投影向量坐标为______.【答案】()1,2-【解析】【分析】利用向量的运算和投影向量的计算公式即可.【详解】()3,4b =，所以5b == ，同理可得：a ==且13245a b =⨯-⨯=-r r g，·cos ,5a b a b a b==-，b 在a上的投影向量为：()cos ,1,2a b a b a a⨯⨯=-=- 故答案为：()1,2-14.已知函数()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则a 的最小值是______.【答案】e -【解析】【分析】由于()21e 12xf x ax =+-在()0,∞+上是增函数，则()e 0x f x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，可得以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e x a x ≥-在()0,∞+上恒成立，令()e x h x x =-，求导确定单调性即可得最值从而可得a 的取值范围，即可得所求.【详解】因为函数()21e 12x f x ax =+-在()0,∞+上是增函数，所以()e 0xf x ax ='+≥在()0,∞+上恒成立，即e xa x≥-在()0,∞+上恒成立，令()e xh x x =-，()0,x ∈+∞，则()()2e 1x x h x x=-'-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，函数()h x 递增；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，函数()h x 递减，则()()max 1e h x h ==-，故e a -≥，所以a 的最小值是e -.故答案为：e -.15.购买同一种物品可以用两种不同的策略，不考虑物品价格的升降，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则______种购物策略比较经济.【答案】乙【解析】【分析】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，每次购n kg ，根据条件，求得按甲策略购买的平均价格x ，若按第二种策略，设每次花钱m 元钱，则可求得按乙策略购买的平均价格y ，利用作差法，即可比较x ，y 的大小，进而可求得答案.【详解】设第一次和第二次购物时价格分别为12,p p ，按甲策略，每次购n kg ，按这种策略购物时，两次的平均价格121222p n p n p p x n ++==，按乙策略，第一次花m 元钱，能购物1kg m p 物品，第二次仍花m 元钱，能购物2kg m p 物品，两次购物的平均价格121222=11++m y m m p p p p =，比较两次购物的平均价格1212121212221122+p p p p p p x y p p p p ++-=-=-+221212121212()4()02()2()p p p p p p p p p p +--==≥++，因为甲策略的平均价格不小于第乙种策略的平均价格，所以用第二种购物方式比较经济，故答案为：乙.16.已知函数()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩若关于x 的方程()1f x a x =-，a ∈R 有4个不同的实数根，则a 的取值范围为______.【答案】(](61,3- 【解析】【分析】作出()2ln ,0,43,0,x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩与()1f x a x =-的图象，即可判断【详解】作出()2222ln ,1ln ,01ln ,0,43,1043,0,43,3143,3x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x ⎧>⎧⎪⎪-<≤⎪⎪>⎪⎪==++-<<⎨⎨++≤⎪⎪----≤≤-⎪⎪++<-⎪⎪⎩⎩的图象，因为,11,1ax a x y a x a ax x ->⎧=-=⎨-≤⎩的图象是过定点(1,0)，并且是绕着该点旋转的两条关于1x =对称的的射线.当0a =时，1y a x =-为x 轴，两函数图象只有3个交点，不符合题意.当a<0时，1y a x =-的是两条向下的射线，两图象只有1个交点，不符合题意.故0a >，先考虑[1,)+∞时两图象的交点情形，当1a =时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩,与|ln |y x =刚好只交于(1,0)点.证明如下：当1x ≥时，在点(1,0)处，由ln y x =，故1y x '=，令1x =，则1k =，所以切线方程为：1y x =-；当01x <≤时，在点(1,0)处，由ln y x =-，故1y x'=-，令1x =，则1k =-，所以切线方程为：1y x =-；所以当1a =时在(0,)+∞，两图象只有一个交点，此时考虑(,0)x ∈-∞，当3x <-，两函数图象必有一个交点，当0x =时，21|01|0403-<+⋅+，所以两函数图象在(1,0)-有一个交点，当31x -≤≤时，联立得221,340,Δ916043y x x x y x x =-⎧∴++==-<⎨=---⎩，无解，所以没有交点；所以当1a =时，只有3个交点，不合题意.当1a >时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线更加陡峭，两函数图象在1x >时，没有交点，在(0,1)有一个交点，则在(0,)+∞有两个交点，另外两个交点要在(,0)-∞取得，当2|01|0403a -<+⋅+，即3a ≤时，在(1,0)-和(,3)-∞-各一个交点；故在(1,3]a ∈时，两图象有4个交点.当1a <时，1,111,1x x y a x x x ->⎧=-=⎨-≤⎩，两射线趋于平缓，则两函数图象在(1,)+∞有一个交点，在(0,1)没有交点，则在(0,)+∞有2个交点，另两个必须在(,0)-∞取得，若y a ax =-与243y x x =---相切，则联立得222,(4)(3)0,Δ(4)4(3)043y a ax x a x a a a y x x =-⎧∴+-++==--+=⎨=---⎩，21240,642,1,642a a a a a ∴-+=∴=±<∴=- ；此时两函数图象在(,0)-∞有三个公共点.所以在6421a -<<时，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有2个公共点，符合题意；当0642a <<-，两函数图象在(0,)+∞有2个交点，在(,0)-∞也有3个公共点，不符合题意；综上所述，a 的取值范围为(](642,1)1,3- .故答案为：(](642,1)1,3-四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数()3f x ax bx =+在1x =处有极值2.（1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 在区间[]2,3-上的最值.【答案】（1）1a =-，3b =（2）最小值是18-，最大值是2.【解析】【分析】（1）利用极值和极值点列方程求解即可；（2）根据导数求出函数的单调区间，然后比较极值和端点处函数值的大小即可.【小问1详解】()3f x ax bx =+，()23f x ax b '=+.∵函数()3f x ax bx =+在1x =处取得极值2，∴()12f a b =+=，()130f a b '=+=，解得1a =-，3b =，∴()33f x x x =-+，经验证在1x =处取得极大值2，故1a =-，3b =.【小问2详解】()()()311f x x x '=-+-，令()0f x ¢>，解得11x -<<，令()0f x '<，解得1x >或1x <-，因此()f x 在[)2,1--上单调递减，在()1,1-上单调递增，在(]1,3上单调递减，()()3181f f =-<-，故函数()f x 的最小值是18-，()()221f f -==，故函数()f x 的最大值是2.18.设函数()()π2πcos 12f x x x ⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的值域和单调递增区间；（2）当()135f α=，且π2π63α<<时，求cos 2α的值.【答案】（1）[]51,32,266k k ππππ⎡⎤--++⎢⎥⎣⎦，，k ∈Z .（2）750-【解析】【分析】（1）根据辅助角公式和三角函数的图象与性质即可得到答案；（2）代入得4sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再求出3cos 35πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式和两角和与差的余弦公式即可得到答案.【小问1详解】()πsin 12sin 13f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，因为[]πsin 1,13x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的值域是[]1,3-.令πππ2π2π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππ2π2π66k x k -+≤≤+，k ∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为5ππ2π,2π66k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .【小问2详解】由()π132sin 135f αα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，得π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为π2π63α<<，所以πππ23α<+<，所以π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以2πππ4324sin 22sin cos 23335525ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=⨯⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以222ππ37cos 22cos 12133525αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=⨯--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以2π2π2π12π7cos 2cos 2cos 2sin 233323250αααα⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+⨯-++⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦19.已知0a >且1a ≠，函数()x x x x a a f x b a a---=++在R 上是单调递减函数，且满足下列三个条件中的两个：①函数()f x 为奇函数；②()315f =-；③()315f -=-.（1）从中选择的两个条件的序号为______，依所选择的条件求得=a ______，b =______.（2）在（1）的情况下，关于x 的方程()4xf x m =-在[]1,1x ∈-上有两个不等实根，求m 的取值范围.【答案】（1）选择①②，12a =，0b =（2）172,20⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）通过单调性分析可知一定满足①②，进而结合奇偶性和()315f =-列方程求解即可；（2）参变分离可得()241241x x m =++-+，[]1,1x ∈-，41x r =+，换元转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，进而结合对勾函数的单调性求解即可.【小问1详解】因为()x xx xa a f xb a a ---=++在R 上是单调递减函数，故②()315f =-，③()315f -=-不会同时成立，故函数一定满足①函数()f x 为奇函数.因为函数的定义域为R ，所以()00f =，则()10f <，()10f ->，故一定满足②.选择①②，()()0x x x xx x x x a a a a f x f x b b a a a a-------+=+++=++，即0b =，而()11315a a fb a a ---=+=-+，解得12a =.【小问2详解】由（1）可得()111422141122x xx x x x f x --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭=+⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝=⎝⎭⎭，由()4x f x m =-，则14414x x x m -=-+，即()14244121441x x x x x m -=+=++-++，令41x r =+，因为[]1,1x ∈-，所以5,54r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则问题转化为22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，显然，函数()22g t t t =+-在54⎡⎢⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，所以()min 2g t g==，又517420g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1755g =，要使22m r r =+-在5,54⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个解，则17220m -<≤，所以m的取值范围是172,20⎛⎤- ⎥⎝⎦.20.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，a =，2b =，且cos sin 3a C c A b +=.（1）求ABC ∠的正弦值；（2）BC ，AC 边上的两条中线AD ，BE 相交于点G ，求DGE ∠的余弦值.【答案】（1）7（2）266-【解析】【分析】（1）运用正弦定理对cos sin 3a C c Ab +=进行转化，得出角A ，再由正弦定理解出ABC ∠的正弦值；（2）运用余弦定理以及向量知识求出c 、BE 、AD 的值，根据题意得到G 为重心，从而得出AG 、BG ，进而得出DGE ∠的余弦值.【小问1详解】解：因为3cos sin 3a C c Ab +=，由正弦定理可得，sin cos sin sin sin 3A C C A B +=，即sin cos sin sin sin cos cos sin 3A C C A A C A C +=+，整理得sin sin cos sin 3C A A C =.因为()0,πC ∈，所以sin 0C ≠，所以sin cos 3A A =，即tan A =.又因为()0,πA ∈，所以π3A =.由正弦定理sin sin a b A B =，得32sin 212sin 7b A ABC a ⨯∠===.【小问2详解】由余弦定理得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅⋅∠，即22212222c c =+-⨯⨯⨯，所以3c =.在ABE 中，由余弦定理得22213213cos 607BE =+-⨯⨯⨯︒=，则BE =.在ABC 中，2AB AC AD += ，所以222219223421922444AB AB AC AC AB AC AD +⨯⨯⨯++⋅+⎛⎫+==== ⎪⎝⎭，解得192AD =.由AD ，BE 分别为边BC ，AC 上的中线可知G 为ABC 的重心，可得233BG BE ==，233AG AD ==.在ABG中，由余弦定理得222cos 2266GA GB AB AGB GA GB +-∠==-⋅，又因为AGB DGE ∠=∠，所以cos cos 266DGE AGB ∠=∠=-.21.数列{}n a 满足1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，*n ∈N ，且11a =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ ，13n n b S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2024n m T <对任意*n ∈N 都成立的最小正整数m .（参考公式：()()22221211236n n n n ++++++=，*n ∈N ）【答案】（1）n a n=（2）1012【解析】【分析】（1）先写出12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，结合题中条件的式子，两式相减可得出n a 与1n a +之间的递推关系，从而解决问题；（2）先分析出121321n n n n n S a a a a a a a a --=⋅+⋅+⋅++⋅ 中各项所满足的通项公式，根据通项公式求解出n S ，裂项求解出n T ，从而求解出满足题意m 的值.【小问1详解】解：1231111123n n a a a a a n+++++=-L ，当2n ≥时，12311111231n n a a a a a n -++++=-- ，作差，得11n n n a a a n +=-，即11n n a a n n +=+.因为11a =，22a =，所以2121a a =，满足11n n a a n n +=+，即n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列，即1n a n =，n a n =.【小问2详解】由题意，()()121321n S n n n n =⋅+⋅-+⋅-++⋅ ，即()()()12123131n S n n n n n n =⋅+⋅+-+⋅+-++⋅+- .设()21k d k n k kn k k =+-=+-，1,2,3,,k n = ，则()()()222121231212n n S d d d n n n n =+++=++++++++-+++ ()()()()()()11121122266n n n n n n n n n n n ++++++=⋅+-=，()()()()()1211312112n n b S n n n n n n n ===-+++++，()()()()()111111111122323341122122n T n n n n n n =-+-++=-<⨯⨯⨯⨯+++++ .因为2024n m T <对任意*n ∈N 都成立，所以120242m ≥，即1012m ≥，m 的最小值为1012.22.设函数()e x f x ax =-，a ∈R ，()cos sin e xx x g x -=.（1）讨论()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）若()()2f x g x ≥在[)0,x ∈+∞上恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）求导得到()2cos ex x g x -'=，再分别解不等式()0g x '<和()0g x '>，即可得到()g x 在区间()0,π上的单调性；（2）根据条件得到0x ≥时，2sin cos e 20e x x x x ax -+-≥，构造函数()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-（0x ≥），求导得到()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，再利用导数研究函数的单调性，从而得到()h x '在[)0,∞+上单调递增和()()042h x h a ''≥=-分类讨论2a ≥和2a <即可求解.【小问1详解】由题意得：()2cos e xx g x -'=，()0,πx ∈.由()0g x '<，得π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由()0g x '>，得π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()g x 在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增.【小问2详解】由0x ≥时，()()2f x g x ≥，得2cos sin e 2e x x x x ax --≥，即2sin cos e 20ex x x x ax -+-≥.设()2sin cos e 2e x x x x h x ax -=+-，0x ≥，则()22cos 2e 2ex x x h x a '=+-，设()()x h x ϕ='，则()32π4e 2sin 2cos 44e e e x x x xx x x x ϕ⎛⎫-+ ⎪--⎝⎭'=+=当[)0,x ∈+∞时，34e 4x ≥，π4x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭()0x ϕ'>，所以()x ϕ即()h x '在[)0,∞+上单调递增，则()()042h x h a ''≥=-.①当2a ≤时，则()()0420h x h a ''≥=-≥，所以()h x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00h x h ≥=恒成立，符合题意.②当2a >时，则()0420h a '=-<，且x →+∞时，()h x '→+∞，则必存在正实数0x 满足当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 在()00,x 上单调递减，此时()()000h x h <=，不符合题意.综上，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】关键点睛：利用导数证明不等式时，一般需要对结论进行合适的转化，本题转化为只需证明()2sin cos e 2e x xx x h x ax -=+-在[)0,∞+上的最小值大于0即可，对不等式适当变形，构造函数是解决问题的第二个关键所在，一般需利用导数研究函数的单调性及最值，.。
2021届湖北六校联考高三数学试题
f
x
40 sin
3
x
13,
0
x
2
，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（
90 e0.5x 14, x 2
）小时才可以驾车？
（参考数据： ln15 2.71， ln 30 3.40 ）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 饮酒后驾车 醉酒后驾车
阈值（ mg /100mL ）
20 ， 80 80
所以函数 f x 的极大值为 f (1) 4 ，极小值为 f (1) 0 ，
3 27
故选 A．
7.选 C.作 AO BC 于 O 点，由 BA BC 4 知， BO 1。
法一： 建系如图所示， A0, h, B 1, 0,C 3, 0 ，设 P x, 0 ，则
PA PC x, h 3 x, 0 x x 3其中1 x 3
D AE C 的余弦值．
20.(本小题满分 12 分)(注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
已知函数 f x log4
4x 1
mx 是偶函数，函数
g
x
4x 2x
n
是奇函数.
（Ⅰ）求 m n 的值；
（Ⅱ）设 h x
f
x
1 2
x ，若 g h(x)
h log4 2a 1 对任意 x log4 3恒成立，求实数 a 的取值
范围.
21.(本小题满分 12 分)(注意：在．试．题．卷．上．作．答．无．效．)
已知直线 l1 与圆 O ： x2 y2 9 相切，动点 M 到 E 2，0 与 F 2, 0 两点的距离之和等于 E、F 两点到
直线 l1 的距离之和．
（Ⅰ）求动点 M 的轨迹 C 的方程；
2021-2022学年湖北省新高考高三上学期联考数学试题及答案解析
2021-2022学年湖北省新高考高三上学期联考数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A={x|−x 2+2x+3≥0}，B={x|2 x +1≥8}，则A∩B=A. {x|x≥3}B. {x|x≥2}C. {x|2≤x≤3}D. {x|1≤x≤2}2.已知复数z=3+2i，则|z 2|=A. 340B. 2√95C. 169D. 133.已知某品牌客车的使用年限x(年)与维护费用y(千元)之间有如下数据：若x与y之间具有线性相关关系，且y关于x的线性回归方程为ŷ=1.15x+a，据此估计，使用年限为8年时，维护费用约为A. 7.55千元B. 8.7千元C. 9.7千元D. 10.25千元4.已知向量a⃗=(−2,0)，b⃗ =(−12,√32)，则a⃗与a⃗+b⃗ 的夹角的余弦值为A. 5√714B. 528C. −5√714D. −5285.习近平主席“绿水青山就是金山银山”的反复叮咛，人们已经耳熟能详，由此带来的发展方式转化，实实在在地改变着中国的样貌．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.25%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系为P=P 0·e kt(其中e是自然对数的底数，k为常数，P 0为原污染物总量).若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，则要能够按规定排放废气，还需要过滤n小时，则正整数n的最小值为(参考数据：log52≈0.43)A. 9B. 11C. 13D. 156.已知F 1，F 2分别是双曲线x2−y224=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点，且|PF 1||PF 2|=48.则△F 1PF 2的面积为A. 8B. 16C. 24D. 8√37.已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足a 1=1，a n +1=2S n，则a 2021=A. 32020B. 32019C. 22020D. 2×320198.若关于x的不等式e ax−x+sin2ax>1e ax −1x+sin(lnx2)在(0,+∞)上恒成立，则实数a的取值范围是A. (2e ,+∞) B. (1e,+∞) C. (−∞,1e) D. (−∞,2e)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的图象如图所示，则下列说法正确的是A. f(x)的图象关于直线x=−π4对称B. f(x)的图象的一个对称中心是(−π4,0)C. 将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y=3sin3x的图象D. 将f(x)的图象向左平移π12个单位长度，得到y=3sin3x的图象10.下列说法中正确的是A. 已知随机变量X服从二项分布B(4,13)，则E(X)=89B. 已知随机变量X服从正态分布N(3，σ2)且P(X≤5)＝0.85，则P(1＜X≤3)＝0.35C. 已知随机变量X的方差为D(X)，则D(2X-3)＝2D(X)-3D. “A与B是互斥事件”是“A与B互为对立事件”的必要不充分条件11.在棱长为1的正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，M，N分别为棱A 1D 1，DD 1的中点，则下列说法正确的是A. M，B 1，N，C四点共面B. 正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积为12πC. 点C到平面MNC 1的距离为23D. 直线A 1C与平面MNC 1所成的角的正弦值为√3912. 已知抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)在C 上，则下列说法正确的是A. 若点P(2,−1)，则△PAF 的周长的最小值为3+√2B. 若点P(m ，2)是C 上的一点，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AF|，|FP|，|BF|成等差数列 C. 若A ，F ，B 三点共线，则y 1y 2=−2D. 若|AB|=8，则AB 的中点到y 轴距离的最小值为3三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知直线l ：2x −y −1=0与圆C ：x 2+y 2−8y +6=0相交于A ，B 两点，则|AB|=__________．14. 已知cos (θ+π4)=14，则tanθ+1tanθ=__________．15. 将语文、数学、英语、物理、化学、生物六本书排成一排，其中语文、数学相邻，且物理、化学不在语文、数学的同一侧，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)16. 在三棱锥P −ABC 中，平面PBC ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =PB.若PC =BC =a ，且三棱锥P −ABC 体积的最大值为43，则a =__________．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在数列{a n }中，a 1=1，其前n 项和S n 满足S n+1=S n +a n1+2a n ．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n+1，求数列{b n }的前n 项和T n ．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1sinA +1sinB=2√6，且C=π3，c=6．(1)求证：a+b=√22ab；(2)求△ABC的面积．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是正方形，平面SBD⊥平面ABCD，SD=√2AB=2，SB=√2SD，点E是棱SD上一点(不包含端点)．(1)求证：AC⊥BE；(2)若二面角C−AE−D的余弦值为√33，求DE的长度．20. 某学校进行班级之间的中国历史知识竞赛活动，甲、乙两位同学代表各自班级以抢答的形式展开，共五道题，抢到并回答正确者得一分，答错则对方得一分，先得三分者获胜．每一次抢题且甲、乙两人抢到每道题的概率都是12，甲、乙正确回答每道题的概率分别为45，35，且两人各道题是否回答正确均相互独立． (1)比赛开始，求甲先得一分的概率； (2)求甲获胜的概率．21. 已知圆O ：x 2+y 2=2，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >√2)的离心率为√22，P 是C 上的一点，A 是圆O 上的一点，|PA|的最大值为√6+√2． (1)求椭圆C 的方程；(2)点M 是C 上异于P 的一点，PM 与圆O 相切于点N ，证明：|PO|2=|PM|·|PN|.22. 已知函数f(x)=aln x +x ，g(x)=12x 2−(a +2)x +32a(a ∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若a>1，ℎ(x)=f(x)+g(x)，x 1，x 2为ℎ(x)的两个极值点，证明：ℎ(x1)+ℎ(x2)<7．2答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查了集合的交集运算和解不等式，属于基础题．先解不等式求得集合A、B，然后利用交集的运算求解．【解答】解：∵A={x|−x2+2x+3⩾0}={x|−1≤x≤3}，B={x|2x+1≥8}={x|x⩾2}，∴A∩B={x|2≤x≤3}．故选C．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查复数的运算，复数的模的求法，是基础题．根据复数的运算法则求出z2，再利用复数模的公式计算即可．【解答】解：因为z=3+2i，故z2=9+12i+4i2=5+12i，所以|z2|=√52+122=13．3.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查回归直线方程，属于基础题．由已知求得样本点的中心坐标，代入线性回归方程求得a ，在线性回归方程中，取x =8求得y ̂的值得答案． 【解答】 解：x =2+3+4+5+65=4，y =2+2.5+4.5+5+6.55=4.1，则样本点的中心坐标为(4,4.1)，代入y ̂=1.15x +a ， 得a =−0.5，则y ̂=1.15x −0.5． 取x =8，可得ŷ=1.15×8−0.5=8.7． ∴使用年限为8年时，维护费用约为8.7千元．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查了平面向量的坐标运算、向量的夹角，属于基础题． 根据平面向量夹角的运算公式直接求解即可． 【解答】解：∵a ⃗ =(−2,0)，b ⃗ =(−12,√32)，∴a ⃗ +b ⃗ =(−52,√32)， ∴|a ⃗ +b ⃗ |=√7，|a ⃗ |=2，a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )=5． 设a ⃗ 与a ⃗ +b ⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a ⃗ ⋅(a ⃗ +b ⃗ )|a ⃗ ||a ⃗ +b⃗ |=5√714． 故选A ．5.【答案】B【解析】 【分析】本题考查指数函数模型的应用，考查指数不等式的解法，考查运算求解能力．属于中档题．由已知条件求得0.2=e4k，得k=−ln54，然后解指数方程0.25%P0=P0⋅e kt，求得t，则答案可求．【解答】解：由题意，前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，∵P=P0·e kt，∴(1−80%)P0=P0·e4k，得0.2=e4k，即k=−ln54，由0.25%P0=P0·e kt，得ln0.0025=−ln54t，∴t=4ln400ln5=8log520=8(1+2log52)≈14.88．故整数n的最小值为15−4=11．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的定义及性质、三角形的面积公式的应用，属于中档题．由双曲线的定义可知|PF2|−|PF1|=2，|F1F2|=10，再在△PF1F2中利用由余弦定理可求出∠F1PF2=90∘，从而求出△F1PF2的面积．【解答】解：∵P是双曲线左支上的点，∴|PF2|−|PF1|=2，|F1F2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理得cos∠F1PF2=|PF1|2+|PF2|2−|F1F2|22|PF1||PF2|=(|PF2|−|PF1|)2+2|PF1||PF2|−|F1F2|22|PF1||PF2|=4+2×48−1002×48=0，∴∠F1PF2=90∘，∴△F1PF2的面积为12|PF1|⋅|PF2|=12×48=24，故选：C．7.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式和前n 项和公式，属于中档题． 根据数列的递推公式即可求出数列{a n }从第二项开始是一个以3为公比的等比数列，进而求得答案． 【解答】解：当n =1时，a 2=2S 1=2a 1=2， 当n ≥2时，由a n+1=2S n ，可得a n =2S n−1， 两式相减得a n+1−a n =2a n ， 所以a n+1=3a n ，且a 2=2≠3.则数列{a n }从第二项开始是一个以3为公比的等比数列， 则a n =2×3n−2(n ≥2)， 故a n ={1,n =1,2×3n−2,n ≥2.所以a 2021=2×32019． 故选D ．8.【答案】B【解析】 【分析】本题考查利用导数求函数的单调性、最值，考查恒成立问题，属于拔高题． 令f(x)=e x −e −x +sin2x ，f(x)在R 上单调递增，不等式在(0,+∞)上恒成立，即e ax −e −ax +sin2ax >e lnx −e −ln x +sin(2lnx)在(0,+∞)上恒成立，即f(ax)>f(lnx)在(0,+∞)上恒成立，即ax >lnx 在(0,+∞)上恒成立，即a >lnx x在(0,+∞)上恒成立，利用导数可得结果． 【解答】解：令f(x)=e x −e −x +sin2x ，易得f′(x)=e x +e −x +2cos2x ≥0在R 上恒成立， 所以f(x)在R 上单调递增，不等式e ax −x +sin2ax >1e ax −1x +sin(lnx 2)，即e ax −e −ax +sin2ax >e lnx −e −ln x +sin(2lnx)在(0,+∞)上恒成立，即f(ax)>f(lnx)在(0,+∞)上恒成立，即ax >lnx 在(0,+∞)上恒成立， 即a >lnx x在(0,+∞)上恒成立，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnx x 2，令g′(x)>0，解得0<x <e ，令g ′(x)<0，解得x >e ， 故g(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减， 所以g(x)max =g(e)=1e .所以实数a 的取值范围是(1e ,+∞).9.【答案】AC【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象求出函数的解析式是解决本题的关键，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系，属于中档题．根据图象求出A ，ω和φ，即可求函数f(x)的解析式，依次对各选项进行判断即可． 【解答】解：由图象可知，函数f(x)的最小正周期为T =4(5π12−π4)=2π3，则ω=2πT=3，当x =5π12时，函数y =f(x)取得最小值，则3×5π12+φ=3π2+2kπ(k ∈Z)，得φ=π4+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|<π2，所以k =0，φ=π4，则f(x)=3sin(3x +π4)， 当x =−π4时，f(−π4)=3sin(−3π4+π4)=−3，故A 正确，B 错误;将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度， 得到y =3sin[3(x −π12)+π4]=3sin3x ，故C 正确; 将函数f(x)的图象向左平移π12个单位长度， 得到y =3sin[3(x +π12)+π4]=3cos3x ，故D 错误． 故选AC ．10.【答案】BD【解析】【分析】本题主要考查二项分布、正态分布的概率计算以及离散型随机变量的期望、方差的性质，属于中档题.由二项分布的概率计算公式可判断A ；根据正态分布的概率计算可判断B ；由离散型随机变量的期望、方差的性质可判断C ;由充要条件的判断和互斥事件与对立事件的关系可判定D . 【解答】解：已知随机变量X ~B (4,13),则E (X )=4×13=43，故A 错误；因为随机变量X ~N (3,σ2),对称轴为X =3,P (X ≤5)=0.85,所以P (X ≤1)=0.15, 所以P (1＜X ≤3)=P (X ⩽3)−P (X ⩽1)=0.5−0.15=0.35,故B 正确; 因为D (2X -3)=4D (X ),故C 错误;充分性:“A 与B 是互斥事件”⇏“A 与B 互为对立事件”,充分性不成立; 必要性:“A 与B 是互斥事件”⇐“A 与B 互为对立事件”,必要性成立.因此“A 与B 是互斥事件”是“A 与B 互为对立事件”的必要不充分条件,故D 正确. 故选BD .11.【答案】ACD【解析】 【分析】本题考查了四点共线问题，考查了正方体外接球，考查了点到平面的距离以及直线与平面所成的角，属于中档题．利用线线平行关系可判断A ，求得正方体外接球半径可判断B ，利用空间向量判断CD 即可． 【解答】解：正方体中，A 1D//B 1C ，而M ，N 分别为棱A 1D 1，DD 1的中点， 则MN//A 1D ，所以B 1C//MN ，所以M ，B 1，N ，C 四点共面.故A 正确； 设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的半径为R ，则R =√12+12+122=√32， 所以正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的外接球的表面积S =4πR 2=3π.故B 错误；以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系． 则C(0,1,0)，C 1(0,1,1)，M(12,0,1)，N(0,0,12)，A 1(1,0,1)，所以CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,−1,0)，NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,12). 设平面MNC 1的一个法向量为n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x −y =0,n⃗ ⋅NC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y +12z =0,令x =2，则y =1，z =−2， 所以平面MNC 1的一个法向量为n ⃗ =(2,1,−2)． 所以点C 到平面MNC 1的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ ||=23.故C 正确;设直线A 1C 与平面MNC 1所成的角为θ，则sinθ=|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗⃗|CA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ ||=√39.故D 正确．故选ACD ．12.【答案】ABD【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的性质及几何意义，等差数列的性质，直线与抛物线的位置关系的应用，属于中档题．根据抛物线的性质和定义即可判断AD ；根据等差数列的性质及向量的线性运算可判断B ；根据直线和抛物线的位置关系，利用韦达定理可判断C ． 【解答】解：过A 作C 的准线的垂线，垂足为A′， 则|PA|+|AF|+|PF|=|PA|+|AA′|+√2，|PA|+|AA′|的最小值即为点P 到C 的准线的距离，所以△PAF 周长的最小值为3+√2.故A 正确；因为点P(m,2)是C 上一点，所以4=4m ，解得m =1， 则AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 1,−y 1)，FP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x 2,−y 2)， 因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =FP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1−x 1+1−x 2=0，可得x 1+x 2=2， 则|AF|+|BF|=x 1+x 2+2=4=2|FP|.故B 正确； 若A ，F ，B 三点共线，则直线AB 不可能与x 轴重合， 设直线AB 的方程为x =my +1，联立{y 2=4x,x =my +1,整理可得y 2−4my −4=0，Δ=16m 2+16>0，由韦达定理可得y 1y 2=−4，故C 错误;由|AF|+|BF|≥|AB|=8，即x 1+x 2+2≥8，即x 1+x 2≥6，所以AB的中点到y轴距离d=x1+x22≥3，当且仅当A，F，B三点共线时，等号成立，故D正确．故选ABD．13.【答案】2√5【解析】【分析】本题考查圆心到直线的距离，考查垂径定理，考查计算能力，属于基础题．将圆的方程化为标准方程，可得圆心与半径，由垂径定理计算可得．【解答】解：圆x2+y2−8y+6=0化为标准方程为x2+(y−4)2=10，∴圆心坐标为(0,4)，半径为√10，∵圆心到直线2x−y−1=0的距离为√22+(−1)2=√5，∴弦AB的长等于2√10−5=2√5．14.【答案】167【解析】【分析】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．根据已知及两角和与差的三角函数公式的计算，得sinθcosθ=716，根据同角三角函数的基本关系的计算，求出tan θ+1tan θ的值．【解答】解：由cos(θ+π4)=√22cosθ−√22sinθ=14，即cosθ−sinθ=√24，两边平方，得sinθcosθ=716，所以tanθ+1tanθ=sinθcosθ+cosθsinθ=sin2θ+cos2θsinθcosθ=167．15.【答案】80【解析】【分析】本题主要考查了排列与排列数公式，分步乘法计数原理的应用，属于基础题．根据已知及排列与排列数公式，分步乘法计数原理的计算，得不同的排法种数为A22×A22×(A42+C41A22)，求出不同的排法共有80种．【解答】解：将语文、数学捆绑视为一本书，考虑左右位置，共有A22种方法;物理、化学放两侧，有A22种排法;最后将英语、生物插入4个空位中的2个或者1个共A42+C41A22种排法．由分步乘法计数原理可知，不同的排法种数为A22×A22×(A42+C41A22)=80．16.【答案】√3【解析】【分析】本题考查面面垂直的性质，棱锥的体积公式，利用导数研究函数的单调性和最值，属于较难题．先由面面垂直的性质知AC⊥平面PBC，取PB中点M，连结CM，设AC=2x，可得CM=√a2−x2(0<x<a)然后换元可得三棱锥的体积V(t)=2a2t−2t3，利用导数求最值即可3解得a．【解答】解：因为平面PBC⊥平面ABC，平面PBC∩平面ABC=BC，AC⊂平面ABC，AC⊥BC，所以AC⊥平面PBC．设AC=2x，因为PC=BC=a，PB=AC=2x(0<x<a)．取PB中点M，连结CM，M为PB的中点，又PC=BC，所以CM⊥PB，CM=√a2−x2，×2x×√a2−x2=x√a2−x2，所以S▵PBC=12所以V 三棱锥P−ABC =13×(x√a 2−x 2)×2x =2x 2√a 2−x 23．设t =√a 2−x 2(0<t <a)，则x 2=a 2−t 2， 所以V 三棱锥P−ABC =V(t)=2t(a 2−t 2)3=2a 2t−2t 33(0<t <a)，所以V′(t)=2a 2−6t 23，令V′(t)=0，得t =√33a ，所以当0<t <√33a 时V′(t)>0，当√33a <t <a 时V′(t)<0，故V(t)在(0,√33a)上单调递增，在(√33a,a)上单调递减．所以当t =√33a 时，V(t)取最大值4√327a 3，此时4√327a 3=43，解得a =√3．17.【答案】解：(1)∵S n+1=S n +a n1+2a n ，a n+1=S n+1−S n ，∴a n+1=a n1+2a n ，即1a n+1−1a n=2，∴数列{1a n}是首项为1a 1=1，公差为2的等差数列，可得1a n=1+2(n −1)=2n −1，即a n =12n−1．(2)由b n =a n2n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴T n =12[(1−13)+(13−15)+⋯+(12n −1−12n +1)]=12(1−12n+1)=n2n+1．【解析】本题考查数列的递推关系及等差数列通项公式，考查裂项相消法求和，属于中档题． (1)由题意知，1an+1−1a n=2，进一步可得数列{1a n}是以1为首项，公差为2的等差数列，即可求得1a n，从而可得{a n }的通项公式；(2)根据b n =a n2n+1=1(2n−1)(2n+1) ，利用裂项相消法求和即可得数列{b n }的前n 项和T n ．18.【答案】(1)证明：C =π3，c =6，所以csinC =4√3，根据正弦定理得sinA =4√3，sinB =4√3．又1sinA +1sinB =2√6， 所以1a 4√3+1b 4√3=2√6，即a +b =√22ab ．(2)解：由余弦定理得c 2=a 2+b 2−2abcosC =a 2+b 2−ab =(a +b)2−3ab ， 由(1)a +b =√22ab ，结合c =6可得(ab)2−6ab −72=0，即(ab −12)(ab +6)=0， 解得ab =12或ab =−6(舍去)， 所以S △ABC =12absinC =3√3．【解析】本题考查正余弦定理以及三角形面积公式，属于中档题． (1)由正弦定理可得sinA =a4√3，sinB =b4√3，可得1a 4√3+1b 4√3=2√6，可得结果；(2)由余弦定理得到ab ，再由三角形面积公式可得结果．19.【答案】解：(1)证明：因为四边形ABCD 为正方形，AB =√2，所以BD =2.在△SBD中，SD =2，BD =2，SB =2√2， 易得SB 2=SD 2+BD 2，所以SD ⊥BD ．因为平面SBD ⊥平面ABCD ，平面SBD ∩平面ABCD =BD ，SD ⊂平面SBD ， 所以SD ⊥平面ABCD ． 又AC ⊂平面ABCD ， 所以SD ⊥AC ，因为底面ABCD 是正方形，所以AC ⊥DB.又SD ∩DB =D ，SD ，DB ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥平面SDB ． 又BE ⊂平面SDB ， 所以AC ⊥BE ．(2)解：以D 为原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别作为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设DE =λ，则D(0,0,0)，A(√2,0,0)，C(0,√2,0)，E(0,0,λ)， 所以EA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,−λ)，EC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,−λ).设平面ACE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，则由n ⃗ ⊥EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得 {n ⃗ ⋅EA⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√2x −λz =0,√2y −λz =0,取z =√2，得n ⃗ =(λ,λ,√2).易知平面ADE 的一个法向量为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,0)． 设二面角C −AE −D 的大小是θ， 由图可知θ为锐角，则cosθ=|DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||DC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√2λ2+2=√33， 解得λ=√2， 即DE =√2．【解析】本题考查空间中线线垂直的判定，涉及面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，考查利用空间向量解决二面角的余弦值问题，属于中档题．(1)利用面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理得出AC ⊥平面SDB ，进而得出证明； (2)建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量，求解即可．20.【答案】解：(1)每道题的抢答中，记甲得一分为事件M ，∵M 发生有两种可能：甲抢到题且答对，乙抢到题且答错， ∴P(M)=12×45+12×25=35，∴比赛开始，甲率先得一分的概率35.(2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别35，25， 设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜， 根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5， 则P(X =3)=(35)3=27125，P(X =4)=C 31(25)(35)3=162625， P(X =5)=C 42(25)2(35)3=6483125，则甲获胜的概率P =P(X =3)+P(X =4)+P(X =5)=21333125.【解析】本题主要考查概率的计算，相互独立事件概率乘法公式，属于中档题． (1)记甲得一分为事件M ，M 发生有两种可能：抢到题且答对，乙抢到题且答错，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．(2)由(1)知，在每道题的抢答中甲、乙得一分的概率分别35，25，设两人共抢答了X 道题比赛结束，且甲获胜，根据比赛规则，X 的所有可能取值分别为3，4，5，分别求出对应的概率，并求和，即可求解．21.【答案】解：(1)解：|PA|≤|PO|+|OA|≤a +√2=√6+√2，所以a =√6．设C 的焦距是2c ，则ca =√22，解得c =√3，则b 2=a 2−c 2=3， 所以C 的方程是x 26+y 23=1；(2)证明： ①当直线PM 斜率不存在时，PM 的方程为x =√2或x =−√2． 当x =√2时，P(√2,√2)，M(√2,−√2)，此时OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OM; 当x =−√2时，同理可得OP ⊥OM ； ②当直线PM 斜率存在时，设PM 方程为y =kx +m ，即kx −y +m =0． 因为直线与圆相切，所以√k 2+1=√2，即m 2=2k 2+2， 联立{kx −y +m =0,x 26+y 23=1,得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−6=0．设P(x 1,y 1)，M(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2−61+2k 2，所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2 =(1+k 2)×2m 2−61+2k 2+km ×(−4km1+2k 2)+m 2=3m 2−6k 2−61+2k 2，代入m 2=2k 2+2整理可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OP ⊥OM ， 综上，OP ⊥OM ，又PM 与圆O 相切于点N ，所以ON ⊥PM ，易得△PON∽△PMO ， 所以|PO ||PM |=|PN||PO |，即|PO|2=|PM|⋅|PN|．【解析】本题考查直线与椭圆、直线与圆的综合应用，属于较难题． (1)由条件求出a ，b ，即可得椭圆方程；(2)分直线PM 斜率不存在和直线PM 斜率存在两种情况讨论，利用OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0得到OP ⊥OM ，，得△PON∽△PMO ，利用相似三角形的性质即可求证．22.【答案】解：(1)∵f(x)=alnx+x(x>0)∴f′(x)=ax +1=x+ax，当a≥0时，f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)的单调增区间是(0,+∞);当a<0时，令f′(x)>0，解得x>−a，令f′(x)<0，解得0<x<−a，所以f(x)在(0,−a)上单调递减，在(−a,+∞)上单调递增；(2)证明：ℎ(x)=f(x)+g(x)=alnx+x+12x2−(a+2)x+32a=alnx+12x2−(a+1)x+32a，ℎ′(x)=x−(a+1)+ax =x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x(a>1)，当x>a或0<x<1，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增;当1<x<a，ℎ′(x)<0，函数ℎ(x)单调递减，不妨设x1<x2，则x1=1,x2=a，ℎ(x1)+ℎ(x2)−72=ℎ(1)+ℎ(a)−72=12−a−1+12a2−a(a+1)+alna+3a−72=−12a2+a+alna−4．令u(a)=−12a2+a+alna−4(其中a>1)，则u′(a)=−a+2+lna，令m(a)=u′(a)，可得m′(a)=−1+1a<0，即u′(a)在(1,+∞)上单调递减，且u′(3)=ln3−1>0，u′(4)= ln4−2<0，故存在a0∈(3,4)使得u′(a0)=0，即2−a0+lna0=0．当a∈(1,a0)时，u′(a)>0，u(a)单调递增;当a∈(a0,+∞)时，u′(a)<0，u(a)单调递减，故当a=a0时，u(a)取得最大值u(a0)=−12a02+a0+a0lna0−4=−12a02+a0+a0(a0−2)−4=12a02−a0−4．因为a0∈(3,4)，结合二次函数的性质可知，u(a0)<u(4)=0，所以ℎ(x1)+ℎ(x2)−72<0，即ℎ(x1)+ℎ(x2)<72．【解析】本题考查利用导数求函数单调区间，证明不等式，属于难题．(1)对函数f(x)=alnx+x求导，对a分类讨论，利用导数f′(x)求单调区间．(2)对ℎ(x)求导，找到极值点x1=1,x2=a，将证明不等式ℎ(x1)+ℎ(x2)<72成立转化为ℎ(x1)+ℎ(x2)−72<0成立，代入极值点，得ℎ(x1)+ℎ(x2)−72=−12a2+a+alna−4，a2+a+alna−4，利用导数求此函数的最值，即可证明结论．再构造新函数u(a)=−12第21页，共21页。
湖北省部分学校2024届高三上学期10月联考数学试题
A．4
B．2
C． 3
D． 6
6．设 f x 是定义域为 R 的奇函数，且 f x 2 f x ，当1 x 2 时，f x log2 x 1 ，
则f
2023
2
（
）
A． log2 3
B． log2 3 1
C． log2 3
D． log2 3 1
7．已知
π 2
,
3π 4
(2) BC ， AC 边上的两条中线 AD ， BE 相交于点 G ，求 DGE 的余弦值.
21．数列
an
满足
a1
1 2
a2
1 3
a3
L
1 n
an
an1
1
，
n
N
* ，且
a1
1.
(1)求数列 an 的通项公式；
(2)设 Sn
a1 an
a2
an1
a3 an 2
an
a1， bn
1 3Sn
，化简
2 2sin 2
1 cos 2 的结果是（
）
A． 2 sin
B． 2 sin
C． 2 cos
D． 2 cos
8．已知向量 m
2sin x,
3 cos 2 x
，n
cos
x,
2
，若关于
x
的方程
m
n
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3 在 0, π
2
上的两根为 x1, x2 x1 x2 ，则 sin x1 x2 的值为（ ）
Tn tn2 2n 对任意 n N * 恒成立，则下列命题正确的是（ ）
A． an 2n 1
B．当 n 为奇数时， Tn 3n2 2n 2
湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期期末联考数学试题(含答案解析)
∵ 与 是方程 的两个根，
∴ + ，
∴ ， ，∴ ，∴ ，
∵ ，又
∴ .
故选: C
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如 等．
6．D
【分析】
首先计算 盏灯笼任意挂有 种不同的挂法，再除以左边顺序一定 种，右边顺序一定 种，即可求解.
【详解】
20．有治疗某种疾病的 两种药物，为了分析药物的康复效果进行了如下随机抽样调查： 两种药物各有100位病人服用，他们服用药物后的康复时间（单位：天数）及人数记录如下：
服用 药物：
康复时间
10
11
12
13
Hale Waihona Puke 141516人数
9
14
16
15
16
18
12
服用 药物：
康复时间
12
13
14
15
16
17
人数
11
15
（1）求实数 的取值范围；
（2）求证： .
参考答案
1．D
【分析】
根据集合 中的简单函数，易求得其中 的取值范围，进而得到 ,
然后求交集即可.
【详解】
,
,
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的交集，属容易题.
2．B
【分析】
对已知进行化简，根据复数相等可得答案.
【详解】
因为 ，
根据复数相等，所以 ，所以 .
故选：B.
9．ACD
【分析】
利用双曲线的渐近线的一般表达形式可以对A迅速作出判定;根据双曲线的实轴长度小于弦长，利用数形结合思想可快速否定B;根据双曲线的渐近线的斜率，利用数形结合思想可快速判定C正确.画出双曲线的图象，根据 的坐标判定双曲线在两条渐近线的上方，可判定D正确；
2020-2021学年湖北省天门市某校高三(上)10月月考数学有答案
2020-2021学年湖北省天门市某校高三（上）10月月考数学一、选择题1. 已知全集 U ={1,2,3,4} ，集合A ={1,2}，B ={2,3}，则∁U (A ∪B)=( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2. 已知a =2−2.5，b =log 23 ，c =212，则( )A.a <c <bB.c <a <bC.b <a <cD.a <b <c3. 设a ，b ∈R ，则“a +b >4”是“a >2，且b >2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件4. 已知函数f(x)={x +4x +6，x >0，log 2|x|，x <0，则f [f (−2)]= （ ） A.0B.1C.10D.115. 函数f (x )={x 2−x −6,x ≤0,−3+ln x,x >0的零点个数为( ) A.3B.2C.1D.06. 函数f(x)=5x+2sin x3x −3−x (x ∈[−π,0)∪(0,π])的图象可能为（ ）A.B.C.D.7. 已知函数f (x )={x 2−a,x >0,2x −1,x ≤0,若不等式f (x )+1≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围为( )A.[−1,+∞)B.(−∞,1]C.[−1,1]D.(−∞,1)8. 函数y =f(x)是R 上的奇函数，满足f(3+x)=f(3−x)，当x ∈(0, 3)时，f(x)=2x ，则f(−5)=( )A.2B.−2C.12D.−12 二、多选题如果函数f (x )在[a,b ]上是增函数，对于任意的x 1,x 2∈[a,b ](x 1≠x 2)，则下列结论中正确的是（ ）A.f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2>0 B.(x 1−x 2)[f (x 1)−f (x 2)]>0C.f (a )≤f (x 1)<f (x 2)≤f (b )D.f (x 1)>f (x 2)已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是( )A.f(3)=9B.f(−3)=4C.f(x)=x 2D.f(x)=(x +1)2若函数y =a x −(b +1)(a >0且a ≠1)的图像经过第一、三、四象限，则必有（ ）A.0<a <1B.a >1C.b >0D.b <0设a ，b 均为正数，且a +2b =1，则下列结论正确的是( )A.ab 有最大值18B.√a +√2b 有最大值√2C.a 2+b 2有最小值15D.a 2−b 2有最小值−14三、填空题已知y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)的值是________.已知不等式ax2+5x+c>0的解集为(2, 3)，则a+c=________．已知a∈R，命题“存在x∈R，使x2−ax−3a≤0”为假命题，则a的取值范围为________．若实数a，b，c满足1a +1b=2c，则a，b，c是调和的，设含有三个元素的集合P是集合M={x||x|≤2020,x∈Z}的子集，当集合P中的元素a，b，c既是等差的又是调和的时候，称集合P为“好集”，则三元子集中“好集”的概率是________.四、解答题已知集合A={x|ax2−3x+2=0,x∈R,a∈R}.(1)若A是空集，求a的取值范围；(2)若A中只有一个元素，求a的值，并求集合A；(3)若A中至多有一个元素，求a的取值范围.已知函数f(x)=log a(1−x)+log a(x+3)，其中0<a<1.(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的最小值为−4，求a的值.设函数f(x)=ax2−2(a+1)x+b(a,b∈R).(1)若不等式f(x)<0的解集为(1,2)，求a，b的值；(2)若b=4,a>0时，求不等式f(x)>0的解集．小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25−x)万元（国家规定大货车的报废年限为10年）．(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？（利润=累计收入+销售收入−总支出）已知函数f(x)=x+b1+x2为定义在R上的奇函数．(1)求b的值；(2)证明：函数f(x)在(1, +∞)上是减函数；(3)解关于x的不等式f(1+2x2)+f(−x2+2x−4)>0．已知函数f(x)=2x−2−x2x+2−x.(1)若x∈[−12,12]，求函数f(x)的值域；(2)正实数a，b满足f(a)+f(4b−1)=0，若不等式4a +1b<m2−6m有解，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年湖北省天门市某校高三（上）10月月考数学一、选择题1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：依题意，A∪B={1,2,3},U={1,2,3,4},∴∁U(A∪B)={4}.故选D.2.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：a=2−2.5=122.5<1，b=log23>log22√2=log2232=32，c=212=√2>1，且√2<32；所以a<c<b．故选A．3.【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判定．【解答】解：当a=5，b=0时，满足a+b>4，但a>2且b>2不成立，即充分性不成立，若a>2且b>2，则必有a+b>4，即必要性成立，故“a+b>4”是“a>2且b>2”的必要不充分条件.故选B．4.【答案】D【考点】函数的求值【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，f(−2)=log2|−2|=1，所以f[f(−2)]=f(1)=1+41+6=11.故选D．5.【答案】B【考点】分段函数的应用函数的零点【解析】由分段函数分别求零点，当x≤0时，x2−x−6=0得x=−2，x=3（舍去），当x> 0时，−3+ln x=0得x=e3,所以函数的零点为−2，e3共2个.【解答】解：由题意，当x≤0时，x2−x−6=0，解得x=−2或x=3（舍去），当x>0时，−3+ln x=0，解得x=e3,所以函数的零点为−2，e3，共2个.故选B.6.【答案】A【考点】函数的图象【解析】解：由题函数f(x)=5x+2sin x3x−3−x(x∈[−π,0)∪(0,π])得：解：由题意可知定义域(x∈[−π,0)∪(0,π])关于原点对称，f(−x)=5(−x)+2sin(−x)3−x−3x=−(5x+2sin x)−(3x−3−x)=5x+2sin x3x−3−x=f(x)所以f(x)是偶函数，可排除B,D又因为f(π)=5π+2sinπ3π−3−π=5π3π−13π>0,所以排除C.故选A.【解答】解：由题意可知定义域(x∈[−π,0)∪(0,π])关于原点对称，f(−x)=5(−x)+2sin(−x)3−x−3x=−(5x+2sin x)−(3x−3−x)=5x+2sin x3x−3−x=f(x)，所以f(x)是偶函数，可排除B,D.又因为f(π)=5π+2sinπ3π−3−π=5π3π−13π>0,所以排除C.故选A.7.【答案】B【考点】函数恒成立问题分段函数的应用【解析】无【解答】解：由不等式f(x)+1≥0在R上恒成立，即f(x)≥−1在R上恒成立，可得：当x≤0时，2x−1≥−1，即2x≥0显然成立，又x>0时，x2−a≥−1，即为a≤x2+1，即a≤1，综上可得a≤1.故选B．8.【答案】B【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】根据f(x)为奇函数及f(3+x)=f(3−x)可得出f(−5)=−f(3−2)=−f(1)，再由x∈(0, 3)时，f(x)=2x即可求出f(1)，从而得出f(−5)．【解答】解：∵f(3+x)=f(3−x)，∴f(5)=f(3+2)=f(3−2)=f(1)=2.∵y=f(x)是R上的奇函数，∴f(−5)=−f(5)=−2.故选B.二、多选题【答案】A,B【考点】函数的单调性及单调区间【解析】此题暂无解析【解答】解：由函数单调性的定义可知，若函数y=f(x)在给定的区间上是增函数，则x 1−x 2与f (x 1)−f (x 2)同号，由此可知，选项A ，B 正确； 对于选项C ，D ，因为x 1, x 2的大小关系无法判断，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确． 故选AB .【答案】B,D【考点】函数解析式的求解及常用方法函数的求值【解析】利用配凑法求出函数解析式，进而得解．【解答】解：令t =2x −1，即x =t+12， ∴ f(t)=4(t+12)2=(t +1)2，∴ f(3)=16，f(−3)=4，f(x)=(x +1)2.故选BD .【答案】B,C【考点】指数函数的图象【解析】根据指数函数的图象和性质，即可确定a ，b 的取值范围．【解答】解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限， 而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1, 当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限， 则b +1>1，即b >0.故选BC .【答案】A,B,C【考点】基本不等式在最值问题中的应用函数的最值及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：a +2b =1≥2√2ab ，∴ ab ≤18，当且仅当a =2b ，即a =12,b =14时等号成立，A 正确； 由前面推导可知(√a +√2b)2=a +2b +2√2ab ≤2，即√a +√2b ≤√2， 当且仅当a =12,b =14时等号成立，B 正确；由已知a =1−2b ，a 2+b 2=(1−2b )2+b 2=5b 2−4b +1=5(b −25)2+15， 当b =25,a =15时，a 2+b 2取得最小值15，C 正确；a 2−b 2=(1−2b )2−b 2=3b 2−4b +1=3(b −23)2−13, ∵ 0<2b <1，0<b <12，a 2−b 2∈(−14,1)， ∴ a 2−b 2没有最小值，D 错误．故选ABC ．三、填空题【答案】−4【考点】函数奇偶性的性质函数的求值【解析】利用函数奇偶性的性质f(−x)=−f(x)，根据函数的解析式求函数值.【解答】解：y =f(x)是奇函数，当x ≥0时，f(x)=x 23，则f(−8)=−f(8)=−823=−4.故答案为：−4.【答案】−7【考点】一元二次不等式的解法【解析】由题意可得2，3为方程ax 2+5x +c ＝0的两根，运用韦达定理可得a ，c ，可得所求和．【解答】解：不等式ax 2+5x +c >0的解集为(2, 3)，可得2，3为方程ax 2+5x +c =0的两根，可得2+3=−5a ，2×3=c a ， 解得a =−1，c =−6，则a +c =−7．故答案为：−7.【答案】(−12, 0)【考点】全称命题与特称命题全称量词与存在量词【解析】根据特称命题的否定是全称命题，利用判别式求得a 的取值范围．【解答】解：命题“存在x ∈R ，使x 2−ax −3a ≤0”为假命题， 即“任意x ∈R ，x 2−ax −3a >0”为真命题，所以Δ=a 2−4×(−3a)<0，解得−12<a <0，所以a 的取值范围是(−12, 0)．故答案为：(−12, 0)．【答案】110881066【考点】集合新定义问题等差数列的性质古典概型及其概率计算公式【解析】此题暂无解析【解答】解：因为1a +1b =2c ，且a +c =2b ，所以(a −b)(a +2b)=0，所以a =b （舍去）或a =−2b ，所以c =4b ，所以P ={−2b,b,4b}，又|4b|≤2020，解得−505≤b ≤505，且b ∈Z ，b ≠0， 所以三元子集中“好集”P 共1010个，所求的概率为1010C 40413=110881066， 故答案为：110881066．四、解答题【答案】解：(1)若A 是空集，则方程ax 2−3x +2=0无解，此时a ≠0，Δ=9−8a <0，即a >98.(2)若A 中只有一个元素，则方程ax 2−3x +2=0有且只有一个实根，当a =0时方程为一元一次方程，满足条件；当a ≠0，此时Δ=9−8a =0，解得：a =98， ∴ a =0或a =98，若a =0，则有A ={23}；若a =98，则有A ={43}.(3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素，由(1)，(2)得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥98．【考点】元素与集合关系的判断【解析】(1)A 为空集，表示方程ax 2−3x +2=0无解，根据一元二次方程根的个数与Δ的关系，易得到一个关于a 的不等式，解不等式即可得到答案．(2)若A 中只有一个元素，表示方程ax 2−3x +2=0为一次方程，或有两个等根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求出满足条件的a 值．(3)若A 中至多只有一个元素，则集合A 为空集或A 中只有一个元素，由(1)(2)的结论，将(1)(2)中a 的取值并进来即可得到答案．【解答】解：(1)若A 是空集，则方程ax 2−3x +2=0无解，此时a ≠0，Δ=9−8a <0，即a >98.(2)若A 中只有一个元素，则方程ax 2−3x +2=0有且只有一个实根，当a =0时方程为一元一次方程，满足条件；当a ≠0，此时Δ=9−8a =0，解得：a =98，∴ a =0或a =98， 若a =0，则有A ={23}；若a =98，则有A ={43}. (3)若A 中至多只有一个元素，则A 为空集，或有且只有一个元素，由(1)，(2)得满足条件的a 的取值范围是：a =0或a ≥98．【答案】解：(1)要使函数有意义，则有{1−x >0,x +3>0解得−3<x <1, ∴ 函数的定义域为(−3, 1).(2)f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)⋅(x +3)=log a [−(x +1)2+4]， ∵ x ∈(−3, 1),∴ 0<−(x +1)2+4≤4.∵ 0<a <1,∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f(x)的最小值为log a 4，∴ log a 4=−4，即a =√22. 【考点】对数函数的值域与最值函数的定义域及其求法【解析】（1）根据使函数的解析式有意义的原则，构造关于自变量x 的不等式组，解得函数f(x)的定义域D ；（2）利用对数的运算性质，化简函数的解析式，并根据二次函数的图象和性质，可分析出函数f(x)的最小值为−4时，a 的值【解答】解：(1)要使函数有意义，则有{1−x >0,x +3>0解得−3<x <1, ∴ 函数的定义域为(−3, 1).(2)f(x)=log a (1−x)+log a (x +3)=log a (1−x)⋅(x +3)=log a [−(x +1)2+4]，∵ x ∈(−3, 1),∴ 0<−(x +1)2+4≤4.∵ 0<a <1,∴ log a [−(x +1)2+4]≥log a 4，即f(x)的最小值为log a 4，∴ log a 4=−4，即a =√22. 【答案】解：(1)函数f(x)=ax 2−2(a +1)x +b(a,b ∈R)，由不等式f(x)<0的解集为(1,2)，得a >0，且1和2是方程ax 2−2(a +1)x +b =0的两根，则{2(a+1)a =1+2,b a =1×2,解得a =2，b =4.(2)b =4时，不等式为ax 2−2(a +1)x +4>0，可化为(ax −2)(x −2)>0，则因为a >0，所以不等式化为(x −2a )(x −2)>0，令2a =2，得a =1，当a >1时，2a <2，解不等式得x <2a 或x >2；当a =1时，不等式为(x −2)2>0，解得x ≠2；当0<a <1时，2a >2， 解不等式得x <2或x >2a .综上：当a >1时，不等式的解集为(−∞,2a )∪(2,+∞)；当a =1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当0<a <1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2a ,+∞)． 【考点】一元二次不等式的解法【解析】(1)由题意知：x =1和x =2是方程是方程ax 2−2(a +1)x +b =0，利用根与系数的关系即可得a ，b 的值．(2)对a 进行讨论，比较方程两根的大小，即可得出不等式的解集．【解答】解：(1)函数f(x)=ax 2−2(a +1)x +b(a,b ∈R)，由不等式f(x)<0的解集为(1,2)，得a >0，且1和2是方程ax 2−2(a +1)x +b =0的两根，则{2(a+1)a =1+2,b a=1×2, 解得a =2，b =4.(2)b =4时，不等式为ax 2−2(a +1)x +4>0，可化为(ax −2)(x −2)>0，则因为a >0，所以不等式化为(x −2a)(x −2)>0， 令2a =2，得a =1， 当a >1时，2a <2，解不等式得x <2a 或x >2； 当a =1时，不等式为(x −2)2>0，解得x ≠2；当0<a <1时，2a >2，解不等式得x <2或x >2a .综上：当a >1时，不等式的解集为(−∞,2a )∪(2,+∞)；当a =1时，不等式的解集为{x|x ≠2}；当0<a <1时，不等式的解集为(−∞,2)∪(2a ,+∞)．【答案】解：(1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y=25x−[6x+x(x−1)]−50=−x2+20x−50(0<x≤10, x∈N∗),由−x2+20x−50>0，可得10−5√2<x<10+5√2. ∵2<10−5√2<3，故到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.(2)∵利润=累计收入+销售收入−总支出，∴二手车出售后，小王的年平均利润为y¯=y+(25−x)x =19−(x+25x)≤19−10=9,当且仅当x=5时，等号成立,∴小王应当在第5年将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型【解析】（1）求出第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差，令其大于0，即可得到结论；（2）利用利润=累计收入+销售收入-总支出，可得平均利润，利用基本不等式，可得结论．【解答】解：(1)设大货车运输到第x年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y万元，则y=25x−[6x+x(x−1)]−50=−x2+20x−50(0<x≤10, x∈N∗),由−x2+20x−50>0，可得10−5√2<x<10+5√2.∵2<10−5√2<3，故到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出.(2)∵利润=累计收入+销售收入−总支出，∴二手车出售后，小王的年平均利润为y¯=y+(25−x)x =19−(x+25x)≤19−10=9,当且仅当x=5时，等号成立,∴小王应当在第5年将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．【答案】(1)解：∵函数f(x)=x+b1+x2为定义在R上的奇函数，∴f(0)=b=0．(2)证明：由(1)可得f(x)=x1+x2，设x2>x1>1，则有f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=x1+x1⋅x22−x2−x2⋅x12 (1+x12)(1+x22)=(x1−x2)(1−x1⋅x2)(1+x12)(1+x22)．再根据x2>x1>1，可得1+x12>0，1+x22>0，x1−x2<0，1−x1⋅x2<0，∴(x1−x2)(1−x1⋅x2)(1+x12)(1+x22)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．(3)解：由不等式f(1+2x2)+f(−x2+2x−4)>0，可得f(1+2x2)>−f(−x2+2x−4)=f(x2−2x+4)，又因为函数f(x)在区间(1，+∞)上是减函数，且1+2x2>1，x2−2x+4=(x−1)2+3>1，可得1+2x2<x2−2x+4，解得−3<x<1，故不等式f(1+2x2)+f(−x2+2x−4)>0的解集为{x|−3<x<1}.【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据f(0)=0，求得b的值．（2）由（1）可得f(x)=x1+x2，再利用函数的单调性的定义证明函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．（3）由题意可得f(1+2x2)>f(x2−2x+4)，再根据函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数，可得1+2x2<x2−2x+4，且x>1，由此求得x的范围．【解答】(1)解：∵函数f(x)=x+b1+x2为定义在R上的奇函数，∴f(0)=b=0．(2)证明：由(1)可得f(x)=x1+x2，设x2>x1>1，则有f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=x1+x1⋅x22−x2−x2⋅x12 (1+x12)(1+x22)=(x1−x2)(1−x1⋅x2)(1+x12)(1+x22)．再根据x2>x1>1，可得1+x12>0，1+x22>0，x1−x2<0，1−x1⋅x2<0，∴(x1−x2)(1−x1⋅x2)(1+x12)(1+x22)>0，即f(x1)>f(x2)，∴函数f(x)在区间(1, +∞)上是减函数．(3)解：由不等式f(1+2x2)+f(−x2+2x−4)>0，可得f(1+2x2)>−f(−x2+2x−4)=f(x2−2x+4)，又因为函数f(x)在区间(1，+∞)上是减函数，且1+2x2>1，x2−2x+4=(x−1)2+3>1，可得1+2x2<x2−2x+4，解得−3<x<1，故不等式f(1+2x2)+f(−x2+2x−4)>0的解集为{x|−3<x<1}.【答案】解：(1)f(x)=2x −2−x2x +2−x =4x −14x +1=1−24x +1，设x 1<x 2，则0<4x 1<4x 2，∴ 24x 1+1>24x 2+1， ∴ 1−24x 1+1<1−24x 2+1，即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)是R 上的增函数.又x ∈[−12,12]，则12≤4x ≤2，∴ 23≤24x +1≤43， ∴ −13≤1−24x +1≤13， 故所求值域为[−13,13]．(2)∵ f(−x)=2−x −2x2−x +2x =−2x −2−x 2x +2−x =−f(x)，∴ f(x)是R 上的奇函数.又f(x)是R 上的增函数，且正实数a ，b 满足f(a)+f(4b −1)=0，可知f(a)=−f(4b −1)=f(1−4b)，则a =1−4b ，即a +4b =1，∴ 4a +1b =(a +4b)(4a +1b) =8+16b a +a b ≥16，当且仅当a =12，b =18时取等号，∴ m 2−6m >16，解得m <−2或m >8．【考点】函数恒成立问题基本不等式在最值问题中的应用函数奇偶性的性质函数单调性的性质函数的值域及其求法【解析】(1)分离常数法，将函数化为f(x)=1−24x +1，再利用指数函数的单调性即可求解．(2)根据f(x)是R 上的奇函数，且f(x)是R 上的增函数，可得a =1−4b ，再利用基本不等式即可求解．【解答】解：(1)f(x)=2x −2−x 2x +2−x =4x −14x +1=1−24x +1， 设x 1<x 2，则0<4x 1<4x 2，∴ 24x 1+1>24x 2+1，∴ 1−24x 1+1<1−24x 2+1，即f(x 1)<f(x 2)，∴ f(x)是R 上的增函数.又x ∈[−12,12]， 则12≤4x ≤2， ∴ 23≤24x +1≤43，∴ −13≤1−24x +1≤13，故所求值域为[−13,13]． (2)∵ f(−x)=2−x −2x 2−x +2x =−2x −2−x 2x +2−x =−f(x)， ∴ f(x)是R 上的奇函数.又f(x)是R 上的增函数，且正实数a ，b 满足f(a)+f(4b −1)=0， 可知f(a)=−f(4b −1)=f(1−4b)， 则a =1−4b ，即a +4b =1，∴ 4a +1b =(a +4b)(4a +1b) =8+16b a +a b≥16， 当且仅当a =12，b =18时取等号，∴ m 2−6m >16，解得m <−2或m >8．。
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案
2021年高三上学期10月联考数学理试题 含答案一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1．若（为虚数单位），则的值可能是（ ） A ． B. C. D. 2．已知集合，则（ ） A ． B ． C ． D ．3．“”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4．等比数列中的、是函数的极值点，则（ ）A. xxB. 4030C.4032D.xx 5．中，分别是角A ，B ，C (1,3),(cos ,sin ),//p q B B p q=-=且=（ ）A ．B ．C ．D ．6．甲、乙两人进行三打二胜制乒乓球赛，已知每局甲取胜的概率为0.6，乙取胜的概率为0.4，那么最终甲胜乙的概率为（ ）A ．0.36B ．0.216C ．0.432D ．0.648 7．若x,y 满足约束条件且目标函数仅在点（1,0）处取得最小值，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.8．阅读如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ） A ． B ． C ． D ．第9题图9．已知函数的图像的一部分如图所示，其中，为了得到函数的图像，只要将函数的图像上所有的点( )A．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；B．向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍．C．把得所各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；D．把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，最后横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍；10．若函数在区间上为单调函数，则实数不可能取到的值为A． B．C．D．11．设二次函数（）的值域为，则的最大值为（）A． B．C． D.12．已知定义域为R的函数以4为周期,且函数，若满足函数恰有5个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．二．填空题：本大题共四小题，每小题5分，共20分。
多面体的内切球外接球问题求解策略(原卷版)
专题32 多面体的“内切球”、“外接球”问题求解策略【高考地位】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点，基本属于必考题目．而且球相关的特殊距离，即球面距离是一个备考的重点，要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，更应特别加以关注的．题目一般属于中档难度，往往单独成题，或者在解答题中以小问的形式出现．类型一球的内切问题万能模板内容使用场景有关球的内切问题解题模板第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.例1．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．图1【变式演练1】阿基米德是古希腊伟大的数学家、物理学家、天文学家，是静态力学和流体静力学的奠基人，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他在不知道球体积公式的情况下得出了圆柱容球定理，即圆柱内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积等于圆柱体积的三分之二．那么，圆柱内切球的表面积与该圆柱表面积的比为（ ）A ．12B ．13C ．23D ．34【来源】2021年秋季高三数学开学摸底考试卷03（江苏专用）【变式演练2】正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．【变式演练3】【江西省乐平市第一中学2021届高三上学期联考理科】已知正三棱柱111ABC A B C -的体积为54，6AB =，记三棱柱111ABC A B C -的外接球和内切球分别为球1O ，球2O ，则球1O 上的点到球2O 上的点的距离的最大值为（ ）A ．BC D【变式演练4】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期10月月考】攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式.依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖.也有单檐和重檐之分.多见于亭阁式建筑，园林建筑.以八中校园腾龙阁为例，它属重檐四角攒尖，它的上层轮廓可近似看作一个正四棱锥，若此正四棱锥的侧面积是底面积的3倍，则此正四棱锥的内切球半径与底面边长比为（ ）A ．3B ．4C ．2 D类型二 球的外接问题例2. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323π，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 【来源】2021年天津高考数学试题例3、已知点M 是边长为3的等边三角形ABC 的边AC 上靠近点C 的三等分点，BC 的中点为F ．现将ABF沿AF 翻折，使得点B 到达B '的位置，且平面AB F '⊥平面ACF ，则四面体AB FM '的外接球的表面积为（ ）A B C ．372π D ．374π 【来源】2021年高考最后一卷理科数学（第八模拟）【变式演练5】【江西省部分省级示范性重点中学教科研协作体2021届高三统一联合考试】四面体A BCD -中，AB ⊥底面BCD ，AB BD ==1CB CD ==，则四面体A BCD -的外接球表面积为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．12π【变式演练6】【湖南省衡阳市第八中学2020-2021学年高三上学期11月第三次月考】在三棱锥A SBC -中，10AB ，4ASC BSC π∠=∠=，AC AS =，BC BS =，若该三棱锥的体积为3，则三棱锥S ABC -外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．12πC ．48πD ．36π【变式演练6】【福建师范大学附属中学2021届高三上学期期中考试】在四面体ABCD 中，BD AC ==2AB BC AD ===，AD BC ⊥，则四面体ABCD 的外接球的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））已如A ，B ，C 是半径为1的球O 的球面上的三个点，且,1AC BC AC BC ⊥==，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A ．12B ．12C ．4D ．42．【2020年高考全国Ⅰ卷文数12理数10】已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC ∆的外接圆．若⊙1O 的面积为4π，1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为（ ）A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π3．【2020年高考天津卷5】若棱长为 ） A ．12π B ．24π C ．36π D ．144π4．（2019•新课标⊙，理12）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为( )A ．B ．C ． D5．（2018•新课标⊙，理10文12）设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且面积为D ABC -体积的最大值为( )A ．B ．C ．D ．6．【2020年高考全国Ⅲ卷文数16理数15】已知圆维的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 ．7.【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．【反馈练习】1．【浙江省台州市第一中学2020-2021学年高三上学期期中】设ABC 为等腰三角形，2AB AC ==，2π3A ∠=，AD 为BC 边上的高，将ADC 沿AD 翻折成ADC '，若四面体ABC D '，则线段BC '的长度为（ ）A ．BC D2．【河南省九师联盟2021届高三第一学期11月质量检测理科】已知三棱柱111ABC A B C -的所有顶点都在球O 的表面上，侧棱1AA ⊥底面111A B C ，底面111A B C △是正三角形，1AB 与底面111A B C 所成的角是45°.若正三棱柱111ABC A B C -的体积是O 的表面积是（ ）A ．28π3B ．14π3C ．56π3D ．7π 33．【陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考文科】四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，ABCD 是边长为P ABCD -体积的最大值为54，则球O 的表面积为（ ） A ．36π B ．64π C ．100π D ．144π4．【广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研】鳖臑（biē nào ）是我国古代对四个面均为直角三角形的三棱锥的称呼．已知三棱锥A -BCD 是一个鳖臑，其中AB ⊥BC ，AB ⊥BD ，BC ⊥CD ，且AB ＝6，BC ＝3，DC ＝2，则三棱锥A -BCD 的外接球的体积是（ ）A ．493πB ．3432πC ．49πD ．3436π 5．【湖北省鄂州高中2020-2021学年高三上学期10月质量检测】张衡(78年~139年)是中国东汉时期伟大的天文学家､文学家､数学家.他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A ，B ，若线段AB 1，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为（ ）A ．30B ．C ．D ．366．【四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考文科】已知三棱锥P ABC -，PA ⊥平面ABC ，且PA =，在ABC 中，1AC =，2BC =，且满足sin 2sin 2A B =，则三棱锥P ABC -外接球的体积为（ ）A ．3B ．323πCD ．83π 7．球O 的两个相互垂直的截面圆1O 与2O 的公共弦AB 的长度为2，若1O AB △是直角三角形，2O AB △是等边三角形，则球O 的表面积为（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．20π【来源】辽宁省丹东市2021届高三二模数学试题8．【河南省洛阳市汝阳县2020-2021学年高三上学期联考数学（文）】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．如图，三棱柱111ABC A B C -为一个“堑堵”，底面ABC 是以AB 为斜边的直角三角形且5AB =，3AC =，点P 在棱1BB 上，且1PC PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥P ABC -的外接球表面积为（ ）A ．45π2B ．2C ．30πD ．45π9．【湖南师大附中2021届高三（上）月考】四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π10．【内蒙古赤峰市中原金科2020-2021学年高三大联考】据《九章算术》记载，“鳖臑(biēnào)”为四个面都是直角三角形的三棱锥.如图所示，现有一个“鳖臑”，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，且2PA AB BC ===，三棱锥外接球表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．12πD ．16π11．【内蒙古赤峰市松山区2020-2021学年高三第一次统一模拟考试文科】已知三棱锥P ABC -中，1PA =，3PB =，AB =CA CB ==PAB ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．143π B ．283π C ．11π D ．12π12．如图，已知球O 是棱长为1 的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，则平面1ACD 截球O 的截面面积为（ ）A ．3πB ．8πC ．6πD ．4π 13．（多选）【湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）】已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，AB =E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ）A ．πB ．2πC ．3πD ．4π14．（多选）设一空心球是在一个大球(称为外球)的内部挖去一个有相同球心的小球(称为内球)，已知内球面上的点与外球面上的点的最短距离为1，若某正方体的所有顶点均在外球面上､所有面均与内球相切，则（ ）A ．该正方体的核长为2B ．该正方体的体对角线长为3C 1D ．空心球的外球表面积为(12π+ 【来源】重庆市2021届高三高考数学第三次联合诊断检测试题15．【江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中】已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝1，AC ，侧棱AA 1＝2，则该三棱柱外接球的体积为_______．16．【江西省南昌市第十中学2021届高三上学期期中考试】如图，已知四棱锥S ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，1AD DC BC ===，2AB SA ==，且SA ⊥平面ABCD ，则四棱锥S ABCD -外接球的体积为______.17．【福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试】在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB CC ==1BC =，点M 为正方形11CDD C 对角线的交点，则三棱锥11M ACC -的外接球表面积为______．18．在一个棱长为3+方体和大球之间的空隙自由滑动，则小球的表面积最大值是___________.【来源】2021届高三数学临考冲刺原创卷（一）19．阿基米德在他的著作《论圆和圆柱》中，证明了数学史上著名的圆柱容球定理：圆柱的内切球（与圆柱的两底面及侧面都相切的球）的体积与圆柱的体积之比等于它们的表面积之比．可证明该定理推广到圆锥容球也正确，即圆锥的内切球（与圆锥的底面及侧面都相切的球）的体积与圆锥体积之比等于它们的表面积之比，则该比值的最大值为________．【来源】福建省厦门第一中学2021届高三高考模拟考试数学试题20．在一次综合实践活动中，某手工制作小组利用硬纸板做了一个如图所示的几何模型，底面ABCD 为边长是4的正方形，半圆面APD ⊥底面ABCD ．经研究发现，当点P 在半圆弧AD 上（不含A ，D 点）运动时，三棱锥P ABD -的外接球始终保持不变，则该外接球的表面积为______．【来源】山东省烟台市2021届高三二模数学试题21．一个封闭的正方体容器内盛有一半的水，以正方体的一个顶点为支撑点，将该正方体在水平桌面上任意旋转，当容器内的水面与桌面间距离最大时，水面截正方体各面所形成的图形周长为外接球的表面积为___________.【来源】湘豫联考2021届高三5月联考文数试题22．以三棱柱上底所在平面某一点为对称中心，将上底图形旋转180°后，再将上､下底顶点连接形成空间几何体称为“扭反三棱柱”.如图所示的“扭反三棱柱”上､下底为全等的等腰三角形，且顶点A ，B ，C ，A 1，B 1，C 1均在球O 的球面上，AB =AC =A 1B 1=A 1C 1=m ，截面BCB 1C 1是矩形，BC =2，B 1C =4.则该几何体的外接球表面积为__________，当该几何体体积最大时m =__________.【来源】重庆市第八中学2021届高三下学期适应性月考卷（七）数学试题23．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家、物理学家，享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯、牛顿并列为世界三大数学家.公元前212年，古罗马军队入侵叙拉古，阿基米德被罗马士兵杀死，终年七十五岁.阿基米德的遗体葬在西西里岛，墓碑上刻着一个圆柱内切球（一个球与圆柱上下底面相切且与侧面相切）的图形，以纪念他在几何学上的卓越贡献，这个图形中的内切球的体积与圆柱体积之比为________，内切球的表面积与圆柱的表面积之比为_______.【来源】湖南省衡阳市第八中学2021届高三下学期考前预测（二）数学试题24．将三个边长为6的正方形分别沿相邻两边中点裁剪而成(1､2)部分，与正六边形组合后图形如图所示，将此图形折成封闭的空间几何体，则这个几何体的体积是___________，外接球表面积为___________.【来源】全国新高考2021届高三数学方向卷试题（B）25．天津滨海文化中心地天津滨海新区开发区，是天津乃至京津冀地区的标志性文化工程.其中滨海图书馆建筑独具特色，被称为“滨海之眼”，如图所示，中心球状建筑引起了小明的注意，为了测量球的半径，小明设计了两个方案，方案甲，构造正三棱柱侧面均与球相切如图所示，底面边长约为30米，估计此时球的完整表面积为 ________平方米；方案乙，测量球被地面截得的圆的周长约为16π米，地面到球顶部高度约为16米，估计此时球的完整体积为__________立方米，你认为哪种方案好呢？【来源】天津市河东区2021届高三下学期一模数学试题26．2020年底，中国科学家成功构建了76个光子的量子计算机“九章”，推动全球量子计算的前沿研究达到一个新高度.该量子计算机取名“九章”，是为了纪念中国古代著名的数学专著《九章算术》.在《九章算术》中，底面是直角三角形的直三棱柱被称为“堑堵”.如图，棱柱111ABC A B C -为一“堑堵”，P 是1BB 的中点，12AA AC BC ===，则在过点P 且与1AC 平行的截面中，当截面图形为等腰梯形时，该截面的面积等于___________，该“堑堵”的外接球的表面积为___________.【来源】全国100所名校2021年高考冲刺试卷（样卷一）文科数学试题。