精品解析：2021年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(解析版)
C. 50°D. 90°
【答案】B
【解析】
【分析】
画出过球心和晷针所确定的平面截地球和晷面的截面图，根据面面平行的性质定理和线面垂直的定义判定有关截线的关系，根据点 处的纬度，计算出晷针与点 处的水平面所成角.
【详解】画出截面图如下图所示，其中 是赤道所在平面的截线； 是点 处的水平面的截线，依题意可知 ； 是晷针所在直线. 是晷面的截线，依题意依题意,晷面和赤道平面平行，晷针与晷面垂直，
【答案】C
【解析】
【分析】
根据集合并集概念求解.
【详解】
故选：C
【点睛】本题考查集合并集，考查基本分析求解能力，属基础题.
2. （）
A. 1B. −1
C. iD. −i
【答案】D
【解析】
【分析】
根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为（）
A. 120种B. 90种
C. 60种D. 30种
【答案】C
【解析】
【分析】
分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
【详解】首先从 名同学中选 名去甲场馆，方法数有 ；
然后从其余 名同学中选 名去乙场馆，方法数有 ；
最后剩下的 名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有 种.
故选：C
【点睛】本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题.
根据平面平行的性质定理可得可知 、根据线面垂直的定义可得 ..
由于 ，所以 ，
由于 ，
所以 ，也即晷针与点 处的水平面所成角为 .
故选：B
【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查球体有关计算，涉及平面平行，线面垂直的性质，属于中档题.
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
或 或
解得 或 ，
所以满足 的 的取值范围是 ，
故选：D.
【点睛】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题.
A. 62%B. 56%
C. 46%D. 42%
【答案】C
【解析】
【分析】
记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，然后根据积事件的概率公式 可得结果.
【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件 ，“该中学学生喜欢游泳”为事件 ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件 ，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件 ，
所以 天
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范用是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，利用向量数量积的定义式，求得结果.
则 ， ， ，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为 .
故选：C.
【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
6.基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到 在 方向上的投影的取值范围是 ，
结合向量数量积的定义式，
可知 等于 的模与 在 方向上的投影的乘积，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目.
8.若定义在 的奇函数f(x)在 单调递减，且f(2)=0，则满足 的x的取值范围是（）
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）
A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}
C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.
【详解】因为定义在 上的奇函数 在 上单调递减，且 ，
所以 在 上也是单调递减，且 ， ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以由 可得：
A. 1.2天B. 1.8天
C. 2.5天D. 3.5天
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意可得 ，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，根据 ，解得 即可得结果.
【详解】因 ， ， ，所以 ，所以 ，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为 天，
则 ，所以 ，所以 ，
精品解析：2023年高考全国乙卷数学(理)真题(原卷版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）理科数学一、选择题1. 设，则（ ）A B. C. D. 2. 设集合，集合，，则（ ）A. B. C. D. 3. 如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（ ）A. 24B. 26C. 28D. 304. 已知是偶函数，则（ ）A. B. C. 1D. 25. 设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域内随机取一点，记该点为A ，则直线OA 的倾斜角不大于的概率为（ ）A.B.C.D.6. 已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）.252i1i i z +=++z =12i-12i+2i-2i+U =R {}1M x x =<{}12N x x =-<<{}2x x ≥=()U M N ðU N M ð()U M N ðU M N⋃ðe ()e 1x ax x f x =-=a 2-1-(){}22,14x y xy ≤+≤π418161412()sin()f x x ωϕ=+π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭π6x =2π3x =()y f x =5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A. B. C.D.7. 甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）A. 30种B. 60种C. 120种D. 240种8. 已知圆锥POO 为底面圆心，PA ，PB 为圆锥的母线，，若的面，则该圆锥的体积为（ ）A.B.C. D. 9.已知为等腰直角三角形，AB 为斜边，为等边三角形，若二面角为，则直线CD与平面ABC 所成角的正切值为（ ）A.B.C.D.10. 已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）A －1B. C. 0D.11. 设A ，B 为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点是（ ）A. B. C. D. 12. 已知的半径为1，直线PA 与相切于点A ，直线PB 与交于B ，C 两点，D 为BC 的中点，若的最大值为（ ）A.B.C. D. 二、填空题13. 已知点在抛物线C ：上，则A 到C 的准线的距离为______.14. 若x ，y 满足约束条件，则最大值为______.15. 已知为等比数列，，，则______..的的12-12120AOB ∠=︒PAB π3πABC ABD △C AB D --150︒1525{}n a 23π{}*cos N n S a n =∈{},S a b =ab =12-122219y x -=()1,1()1,2-()1,3()1,4--O O O PO =PA PD ⋅12(A 22y px =312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩2z x y =-{}n a 24536a a a a a =9108a a =-7a =16. 设，若函数在上单调递增，则a 的取值范围是______.三、解答题17. 某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：试验序号12345678910伸缩率545533551522575544541568596548伸缩率536527543530560533522550576536记，记的样本平均数为，样本方差为．（1）求，；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 在中，已知，，.（1）求；（2）若D 为BC 上一点，且，求的面积.19. 如图，在三棱锥中，，，BP ，AP ，BC的中点分别为D ，E ，O ，，点F 在AC 上，.（1）证明：平面；（2）证明：平面平面BEF ；()0,1a ∈()()1xx f x a a =++()0,∞+i x ()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅i i x iy ()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅1210,,,z z z ⋅⋅⋅z 2s z 2s z ≥ABC 120BAC ∠=︒2AB =1AC =sin ABC ∠90BAD ∠=︒ADC △-P ABC AB BC ⊥2AB =BC =PB PC ==AD =BF AO ⊥//EF ADO ADO ⊥（3）求二面角的正弦值.20. 已知椭圆，点在上．（1）求的方程；（2）过点直线交于两点，直线与轴的交点分别为，证明：线段的中点为定点．21. 已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）是否存在a ，b ，使得曲线关于直线对称，若存在，求a ，b 的值，若不存在，说明理由.（3）若在存在极值，求a 的取值范围.四、选做题【选修4-4】（10分）22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线：（为参数，）.（1）写出的直角坐标方程；（2）若直线既与没有公共点，也与没有公共点，求的取值范围.【选修4-5】（10分）23. 已知.（1）求不等式的解集；（2）在直角坐标系中，求不等式组所确定的平面区域的面积.的D AO C --2222:1(0)C b b x a a y +>>=()2,0A -C C ()2,3-C ,P Q ,AP AQ y ,M N MN 1()ln(1)f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭1a =-()y f x =()()1,1f 1y f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭x b =()f x ()0,∞+xOy O x 1C ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ2C 2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩α2απ<<π1C y x m =+1C 2C m ()22f x x x =+-()6f x x ≤-xOy ()60f x yx y ≤⎧⎨+-≤⎩三人行教育资源。
精品解析：2023年全国高考甲卷数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前2023年普通高等学校招生全国统一考试文科数学注意事项:1．答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己地姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上地准考证号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定地位置贴好条形码.2．回答选择题时,选出每小题解析后,用铅笔把答题卡上对应题目地解析标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他解析标号.回答非选择题时,将解析写在答题卡上、写在本试卷上无效.3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地.1. 设集合5{2,1,0,1,2},02A B xx ⎧⎫=--=≤<⎨⎬⎩⎭∣,则A B = （ ）A. {}0,1,2 B. {2,1,0}-- C. {0,1}D. {1,2}【解析】A 【解析】【分析】根据集合地交集运算即可解出．【详解】因为{}2,1,0,1,2A =--,502B xx ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭∣,所以{}0,1,2A B = ．故选:A.2. 某社区通过公益讲座以普及社区居民地垃圾分类知识．为了解讲座效果,随机抽取10位社区居民,让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷,这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题地正确率如下图:则（ ）A. 讲座前问卷答题地正确率地中位数小于70%B. 讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%C. 讲座前问卷答题地正确率地标准差小于讲座后正确率地标准差D. 讲座后问卷答题地正确率地极差大于讲座前正确率地极差【解析】B 【解析】【分析】由图表信息,结合中位数、平均数、标准差、极差地概念,逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+>,所以A 错；讲座后问卷答题地正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题地正确率地平均数大于85%,所以B 对；讲座前问卷答题地正确率更加分散,所以讲座前问卷答题地正确率地标准差大于讲座后正确率地标准差,所以C 错；讲座后问卷答题地正确率地极差为100%80%20%-=,讲座前问卷答题正确率地极差为95%60%35%20%-=>,所以D 错.故选:B3. 若1i z =+．则|i 3|z z +=（ ）A.B.C.D. 【解析】D的.【解析】【分析】根据复数代数形式地运算法则,共轭复数地概念以及复数模地计算公式即可求出．【详解】因为1i z =+,所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-,所以i 3z z +==故选:D.4. 如图,网格纸上绘制地是一个多面体地三视图,网格小正方形地边长为1,则该多面体地体积为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 20【解析】B 【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱地体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱地体积2422122V +=⨯⨯=.故选:B.5. 将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭地图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ,若C 关于y 轴对称,则ω地最小值是（ ）A.16B.14C.13D.12【解析】C 【解析】【分析】先由平移求出曲线C 地解析式,再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ,即可求出ω地最小值.【详解】由题意知:曲线C 为sin sin(2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,又C 关于y 轴对称,则,232k k ωππππ+=+∈Z ,解得12,3k k ω=+∈Z ,又0>ω,故当0k =时,ω地最小值为13.故选:C.6. 从分别写有1,2,3,4,5,6地6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到地2张卡片上地数字之积是4地倍数地概率为（ ）A.15B.13C.25D.23【解析】C 【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4地倍数地情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有()()()()()()()()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4地倍数地有()()()()()()1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为62155=.故选:C.7. 函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦地图象大致为（ ）A. B.C. D.【解析】A 【解析】【分析】由函数地奇偶性结合指数函数、三角函数地性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22xxf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦,则()()()()()33cos 33cos xx x x f x x x f x ---=--=--=-,所以()f x 为奇函数,排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,330,cos 0x xx -->>,所以()0f x >,排除C.故选:A.8. 当1x =时,函数()ln bf x a x x=+取得最大值2-,则(2)f '=（ ）A. 1- B. 12-C.12D. 1【解析】B 【解析】【分析】根据题意可知()12f =-,()10f '=即可解得,a b ,再根据()f x '即可解出．【详解】因为函数()f x 定义域为()0,∞+,所以依题可知,()12f =-,()10f '=,而()2a b f x x x '=-,所以2,0b a b =--=,即2,2a b =-=-,所以()222f x x x '=-+,因此函数()f x 在()0,1上递增,在()1,+∞上递减,1x =时取最大值,满足题意,即有()112122f '=-+=-．故选:B.9. 在长方体1111ABCD A B C D -中,已知1B D 与平面ABCD 和平面11AA B B 所成地角均为30°,则（ ）A. 2AB AD= B. AB 与平面11AB C D 所成地角为30°C. 1AC CB =D. 1B D 与平面11BB C C 所成地角为45︒【解析】D 【解析】【分析】根据线面角地定义以及长方体地结构特征即可求出．【详解】如下图所示:不妨设1,,AB a AD b AA c ===,依题以及长方体地结构特征可知,1B D 与平面ABCD 所成角为1B DB ∠,1B D 与平面11AA B B 所成角为1DB A ∠,所以11sin 30c b B D B D==,即b c =,12B D c ==,解得a =．对于A ,AB a =,AD b =,AB =,A 错误；对于B ,过B 作1BE AB ⊥于E ,易知BE ⊥平面11AB C D ,所以AB 与平面11AB C D 所成角为BAE ∠,因为tan c BAE a ∠==所以30BAE ∠≠ ,B 错误；对于C,AC ==,1CB ==,1AC CB ≠,C 错误；对于D ,1B D 与平面11BB C C 所成角为1DB C ∠,11sin 2CD a DB C B D c ∠===,而1090DB C <∠<,所以145DB C ∠=．D 正确．故选:D ．10. 甲、乙两个圆锥地母线长相等,侧面展开图地圆心角之和为2π,侧面积分别为S 甲和S 乙,体积分别为V 甲和V 乙．若=2S S 甲乙,则=VV 甲乙（）A.B.C.D.【解析】C 【解析】【分析】设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,根据圆锥地侧面积公式可得122r r =,再结合圆心角之和可将12,r r 分别用l 表示,再利用勾股定理分别求出两圆锥地高,再根据圆锥地体积公式即可得解.【详解】解:设母线长为l ,甲圆锥底面半径为1r ,乙圆锥底面圆半径为2r ,则11222S rl r S r l r ππ===甲乙,所以122r r =,又12222r r l l πππ+=,则121r rl+=,所以1221,33r l r l ==,所以甲圆锥地高1h ==,乙圆锥地高2h ==,所以2112221313r h V V r h ππ===甲乙.故选:C.11. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>地离心率为13,12,A A 分别为C 地左、右顶点,B 为C 地上顶点．若121BA BA ⋅=-,则C 地方程为（ ）A. 2211816x y += B. 22198x y += C. 22132x y += D. 2212x y +=【解析】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ,解得关于22,a b 地等量关系式,即可得解.【详解】解:因为离心率13c e a ===,解得2289b a =,2289=b a ,12,A A 分别为C 左右顶点,则()()12,0,,0A a A a -,B 为上顶点,所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=- BA a b BA a b ,因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ,将2289=b a 代入,解得229,8a b ==,故椭圆地方程为22198x y +=.故选:B.12. 已知910,1011,89m m m a b ==-=-,则（ ）A. 0a b >> B. 0a b >> C. 0b a >> D. 0b a>>【解析】A 【解析】【分析】根据指对互化以及对数函数地单调性即可知9log 101m =>,再利用基本不等式,换底公式可得lg11m >,8log 9m >,然后由指数函数地单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>,而()222lg 9lg11lg 99lg 9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg10lg11lg 9lg10>,即lg11m >,所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg 922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以lg 9lg10lg8lg 9>,即8log 9m >,所以8log 989890m b =-<-=．综上,0a b >>．故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13. 已知向量(,3),(1,1)a m b m ==+．若a b ⊥ ,则m =______________．【解析】34-##0.75-的【分析】直接由向量垂直地坐标表示求解即可.【详解】由题意知:3(1)0a b m m ⋅=++=,解得34m =-.故解析为:34-.14. 设点M 在直线210x y +-=上,点(3,0)和(0,1)均在M 上,则M 地方程为______________．【解析】22(1)(1)5x y -++=【解析】【分析】设出点M 地坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M 上,求得圆心及半径,即可得圆地方程.【详解】解:∵点M 在直线210x y +-=上,∴设点M 为(,12)-a a ,又因为点(3,0)和(0,1)均在M 上,∴点M 到两点地距离相等且为半径R ,==R ,222694415-++-+=a a a a a ,解得1a =,∴(1,1)M -,R =M 地方程为22(1)(1)5x y -++=.故解析为:22(1)(1)5x y -++=15. 记双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>地离心率为e ,写出满足条件"直线2y x =与C 无公共点"地e 地一个值______________．【解析】2（满足1e <≤皆可）【解析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线by x a =±中02b a<≤即可求得满足要求地e 值.【详解】解:2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>,所以C 地渐近线方程为b y x a=±,结合渐近线地特点,只需02b a <≤,即224b a≤,可满足条件"直线2y x =与C 无公共点"所以==≤=c e a 又因为1e >,所以1e <≤,故解析为:2（满足1e <≤皆可）16. 已知ABC 中,点D 在边BC 上,120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时,BD =________．1-##-【解析】【分析】设220CD BD m ==>,利用余弦定理表示出22AC AB 后,结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>,则在ABD △中,22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++,在ACD △中,22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-,所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-,当且仅当311mm +=+即1m =-时,等号成立,所以当ACAB取最小值时,1m =.故解析为1-.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试卷考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17. 甲、乙两城之间地长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车地运行情况,随机调查了甲、乙两城之间地500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030（1）根据上表,分别估计这两家公司甲、乙两城之间地长途客车准点地概率；（2）能否有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关？附:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++, ()2P K k…0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.635【解析】（1）A,B两家公司长途客车准点地概率分别为12 13,78（2）有【解析】【分析】（1）根据表格中数据以及古典概型地概率公式可求得结果；（2）根据表格中数据及公式计算2K,再利用临界值表比较即可得结论.【小问1详解】根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则24012 ()26013==P M；B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则210 ()27840==P N.A 家公司长途客车准点地概率为1213；B 家公司长途客车准点地概率为78.【小问2详解】列联表准点班次数未准点班次数合计A 24020260B 21030240合计4505050022()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯,根据临界值表可知,有90%地把握认为甲、乙两城之间地长途客车是否准点与客车所属公司有关.18. 记n S 为数列{}n a 地前n 项和．已知221nn S n a n+=+．（1）证明:{}n a 是等差数列；（2）若479,,a a a 成等比数列,求n S 地最小值．【解析】（1）证明见解析； （2）78-．【解析】【分析】（1）依题意可得222n nS n na n +=+,根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩,作差即可得到11n n a a --=,从而得证；（2）由（1）及等比中项地性质求出1a ,即可得到{}n a 地通项公式与前n 项和,再根据二次函数地性质计算可得．【小问1详解】解:因为221nn S n a n+=+,即222n n S n na n +=+①,当2n ≥时,()()()21121211n n S n n a n --+-=-+-②,①-②得,()()()22112212211n n n n S n S n na n n a n --+---=+----,即()12212211n n n a n na n a -+-=--+,即()()()1212121n n n a n a n ----=-,所以11n n a a --=,2n ≥且N*n ∈,所以{}n a 是以1为公差地等差数列．【小问2详解】解:由（1）可得413a a =+,716a a =+,918a a =+,又4a ,7a ,9a 成等比数列,所以2749a a a =⋅,即()()()2111638a a a +=+⋅+,解得112a =-,所以13n a n =-,所以()22112512562512222228n n n S n n n n -⎛⎫=-+=-=--⎪⎝⎭,所以,当12n =或13n =时()min 78n S =-．19. 小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭地包装盒,包装盒如下图所示:底面ABCD 是边长为8（单位:cm ）地正方形,,,,EAB FBC GCD HDA 均为正三角形,且它们所在地平面都与平面ABCD 垂直．（1）证明://EF 平面ABCD ；（2）求该包装盒地容积（不计包装盒材料地厚度）．【解析】（1）证明见解析；（2【解析】【分析】（1）分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,由平面知识可知,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,依题从而可证EM ⊥平面ABCD ,FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,即可知四边形EMNF 为平行四边形,于是//EF MN ,最后根据线面平行地判定定理即可证出；（2）再分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE -体积地4倍,即可解出．【小问1详解】如下图所示:,分别取,AB BC 地中点,M N ,连接MN ,因为,EAB FBC 为全等地正三角形,所以,EM AB FN BC ⊥⊥,EM FN =,又平面EAB ⊥平面ABCD ,平面EAB ⋂平面ABCD AB =,EM ⊂平面EAB ,所以EM ⊥平面ABCD ,同理可得FN ⊥平面ABCD ,根据线面垂直地性质定理可知//EM FN ,而EM FN =,所以四边形EMNF 为平行四边形,所以//EF MN ,又EF ⊄平面ABCD ,MN ⊂平面ABCD ,所以//EF 平面ABCD ．【小问2详解】如下图所示:,分别取,AD DC 中点,K L ,由（1）知,//EF MN 且EF MN =,同理有,//,HE KM HE KM =,//,HG KL HG KL =,//,GF LN GF LN =,由平面知识可知,BD MN ⊥,MN MK ⊥,KM MN NL LK ===,所以该几何体地体积等于长方体KMNL EFGH -地体积加上四棱锥B MNFE-体积地4倍．因为MN NL LK KM ====,8sin 60EM == 点B 到平面MNFE 地距离即为点B 到直线MN 地距离d ,d =,所以该几何体地体积(2143V =⨯+⨯⨯=+=20. 已知函数32(),()f x x x g x x a =-=+,曲线()y f x =在点()()11,x f x 处地切线也是曲线()y g x =地切线．（1）若11x =-,求a ；（2）求a 地取值范围．【解析】（1）3 （2）[)1,-+∞【解析】【分析】（1）先由()f x 上地切点求出切线方程,设出()g x 上地切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a 即可；（2）设出()g x 上地切点坐标,分别由()f x 和()g x 及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a ,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a 地取值范围.【小问1详解】由题意知,(1)1(1)0f -=---=,2()31x f x '=-,(1)312f '-=-=,则()y f x =在点()1,0-处地切线方程为2(1)y x =+,即22y x =+,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()22g x x '==,解得21x =,则(1)122g a =+=+,解得3a =；【小问2详解】2()31x f x '=-,则()y f x =在点()11(),x f x 处地切线方程为()()32111131()y x x x x x --=--,整理得()2311312y x x x =--,设该切线与()g x 切于点()22,()x g x ,()2g x x '=,则22()2g x x '=,则切线方程为()22222()y x a x x x -+=-,整理得2222y x x x a =-+,则21232123122x x x x a ⎧-=⎨-=-+⎩,整理得2223343212111113193122222424x a x x x x x x ⎛⎫=-=--=--+ ⎪⎝⎭,令432931()2424h x x x x =--+,则32()9633(31)(1)h x x x x x x x '=--=+-,令()0h x '>,解得103x -<<或1x >,令()0h x '<,解得13x <-或01x <<,则x 变化时,(),()h x h x '地变化情况如下表:x1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭13-1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭()0,11()1,+∞()h x '-0+0-+()h x527141-则()h x 地值域为[)1,-+∞,故a 地取值范围为[)1,-+∞.21. 设抛物线2:2(0)C y px p =>地焦点为F ,点(),0D p ,过F 地直线交C 于M ,N 两点．当直线MD 垂直于x 轴时,3MF =．（1）求C 地方程；（2）设直线,MD ND 与C 地另一个交点分别为A ,B ,记直线,MN AB 地倾斜角分别为,αβ．当αβ-取得最大值时,求直线AB 地方程．【解析】（1）24y x =； （2）:4AB x =+.【解析】【分析】（1）由抛物线地定义可得=2pMF p +,即可得解；（2）设点地坐标及直线:1MN x my =+,由韦达定理及斜率公式可得2MN AB k k =,再由差角地正切公式及基本不等式可得AB k =,设直线:AB x n =+,结合韦达定理可解.【小问1详解】抛物线地准线为2px =-,当MD 与x 轴垂直时,点M 地横坐标为p ,此时=32pMF p +=,所以2p =,所以抛物线C 地方程为24y x =；【小问2详解】设222231241234,,,,,,,4444y y y y M y N y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,直线:1MN x my =+,由214x my y x=+⎧⎨=⎩可得2440y my --=,120,4y y ∆>=-,由斜率公式可得12221212444MN y y k y y y y -==+-,34223434444AB y y k y y y y -==+-,直线112:2x MD x y y -=⋅+,代入抛物线方程可得()1214280x y y y --⋅-=,130,8y y ∆>=-,所以322y y =,同理可得412y y =,所以()34124422MNAB k k y y y y ===++又因为直线MN 、AB 地倾斜角分别为,αβ,所以tan tan 22MN AB k k αβ===,若要使αβ-最大,则0,2πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,设220MN AB k k k ==>,则()2tan tan 1tan 11tan tan 122k k k k αβαβαβ--===≤=+++,当且仅当12k k =即k =,等号成立,所以当αβ-最大时,AB k =,设直线:AB x n =+,代入抛物线方程可得240y n --=,34120,4416y y n y y ∆>=-==-,所以4n =,所以直线:4AB x =+.【点睛】关键点点睛:解决本题地关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间地关系.（二）选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做地第一题计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22. 在直角坐标系xOy 中,曲线1C地参数方程为26t x y +⎧=⎪⎨⎪=⎩（t 为参数）,曲线2C地参数方程为26s x y +⎧=-⎪⎨⎪=⎩（s 为参数）．（1）写出1C 地普通方程；（2）以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 地极坐标方程为2cos sin 0θθ-=,求3C 与1C 交点地直角坐标,及3C 与2C 交点地直角坐标．【解析】（1）()2620y x y =-≥；（2）31,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫⎪⎝⎭,()1,2,32,C C 地交点坐标为1,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭,()1,2--．【解析】【分析】(1)消去t ,即可得到1C 地普通方程；(2)将曲线23,C C 地方程化成普通方程,联立求解即解出．【小问1详解】因为26t x +=,y =,所以226y x +=,即1C 普通方程为()2620y x y =-≥．【小问2详解】因为2,6sx y +=-=,所以262x y =--,即2C 地普通方程为()2620y x y =--≤,由2cos sin 02cos sin 0θθρθρθ-=⇒-=,即3C 地普通方程为20x y -=．联立()262020y x y x y ⎧=-≥⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩或12x y =⎧⎨=⎩,即交点坐标为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭,()1,2；联立()262020y x y x y ⎧=--≤⎨-=⎩,解得:121x y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩或12x y =-⎧⎨=-⎩,即交点坐标1,12⎛⎫--⎪⎝⎭,()1,2--．[选修4-5:不等式选讲]23. 已知a ,b ,c 均为正数,且22243a b c ++=,证明:（1）23a b c ++≤；（2）若2b c =,则113a c+≥．【解析】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）根据()22222242a b c a b c ++=++,利用柯西不等式即可得证；（2）由（1）结合已知可得043a c <+≤,即可得到1143a c ≥+,再根据权方和不等式即可得证.【小问1详解】证明:由柯西不等式有()()()222222221112a b c a b c ⎡⎤++++≥++⎣⎦,所以23a b c ++≤,当且仅当21a b c ===时,取等号,所以23a b c ++≤；【小问2详解】证明:因为2b c =,0a >,0b >,0c >,由（1）得243a b c a c ++=+≤,的为即043a c <+≤,所以1143a c ≥+,由权方和不等式知()22212111293444a c a c a c a c++=+≥=≥++,当且仅当124a c =,即1a =,12c =时取等号,所以113a c+≥.。
专题7 数列--《2021届新高考山东优质冲刺数学试卷分项解析》【原卷版】
专题7 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．预测2021年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.1．（2020·山东海南省高考真题）将数列{2n –1}与{3n –2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．2．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.3．（2020·山东省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ． 4．（2020·全国高考真题（理））设数列{a n }满足a 1=3，134n n a a n +=-． （1）计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式并加以证明； （2）求数列{2n a n }的前n 项和S n ．5.（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，1111121,,()nn n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=⋅∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d+++<+．*()n N ∈一、单选题1．（2020·山东日照·高三月考）已知等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，410S =，515S =，则5a =（ ） A ．5B ．5-C ．3D ．3-2．（2020·江苏省邗江中学高二月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于问余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的是关于整除的问题，现将1到1009这1009个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则该数列共有（ ） A ．100项B ．101项C ．102项D ．103项3．（2020·济南市历城第二中学高三月考）“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.地支又与十二生肖“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”依次对应，“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅……癸酉；甲戌、乙亥、丙子……癸未；甲申、乙酉、丙戌……癸巳；……，共得到60个组合，称六十甲子，周而复始，无穷无尽.2020年是“干支纪年法”中的庚子年，那么2086年出生的孩子属相为（ ） A ．猴B ．马C ．羊D ．鸡4．（2020·山东高三期中）已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．16215．（2020·鱼台县第一中学高三月考）已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．6．（2020·鱼台县第一中学高三月考）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若3572a a +=，则13S =（ ） A ．49B ．91C ．98D ．1827．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知函数()f x 对任意x y R ∈,，都有()()()f x y f x f y +=，且1(1)2f =，则01()ni f i ==∑（ ） A ．112n-B ．122n-C ．21n -D ．121n +-8．（2020·山东日照·高三月考）对于数列{}n a ，若存在正整数()2k k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值”，k 是数列{}n a 的“谷值点”.在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为（ ） A ．2B ．7C ．2，7D ．2，3，79．（2020·鱼台县第一中学高三月考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲．1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2019这2019个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列所有项中，中间项的值为（ ） A ．992B ．1022C ．1007D ．103710．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且12a =，1n n a S +=，若(0,2020)n a ∈，则称项n a 为“和谐项”，则数列{}n a 的所有“和谐项”的平方和为（ ）A ．1118433⨯+B ．1114433⨯-C ．1018433⨯+D ．1214433⨯-二、多选题11．（2020·江苏南通·高三期中）设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值12．（2020·德州跃华学校高中部高三月考）已知数列{}n a 满足112a =-，111n na a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（ ）A ．2-B ．23C ．32D ．313．（2020·鱼台县第一中学高三月考）设{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，且78S S <，8910S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d <B ．90a =C ．117S S >D ．8S 、9S 均为n S 的最大值14．（2020·博兴县第三中学高三月考）记数列{a n }的前n 项和为S n ，若存在实数H ，使得对任意的n ∈N +，都有n S <H ，则称数列{a n }为“和有界数列”.下列说法正确的是（ ） A ．若{a n }是等差数列，且公差d =0，则{a n }是“和有界数列” B ．若{a n }是等差数列，且{a n }是“和有界数列”，则公差d =0 C ．若{a n }是等比数列，且公比q <l ，则{a n }是“和有界数列” D ．若{a n }是等比数列，且{a n }是“和有界数列”，则{a n }的公比q <l三、填空题15．（2020·山东省招远第一中学高三月考）设等比数列{}n a 满足132a a +=，244a a +=，则5a =______.16．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）在数列{}n a 中，11a =，22a =，且()()*211nn n a a n N +-=+-∈，则1251a a a +++=________.17．（2020·德州跃华学校高中部高三月考）《周髀算经》中有这样一个问题，从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则冬至的日影子长为_____． 18．（2020·济南市历城第二中学高三月考）在等差数列{}n a 中，若124a a +=，566a a +=，则910a a +=_________.19．（2020·山东青岛·高三开学考试）把数列{}21n +中的各项依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，…，进行排列，得到如下排列：（3），（5，7），（9，11，13），（15，17，19，21），（23），（25，27），（29，31，33），（35，37，39，41），（43），…，则第100个括号内各数之和为_______. 四、解答题20．（2021·潍坊市潍城区教育局高三月考）在正项等比数列{}n a 中，已知133510,40a a a a +=+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令2log n n b a =，求数列{}2(1)n n b -的前100项的和100S .21．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足231n n S a =-（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}(21)n n a -的前n 项和n T ．22．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若21a ≠，2log n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .23．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且4118S a -=-.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数n ，使得2020n S ≥？若存在，求出符合条件的n 的最小值；若不存在，说明理由. 24．（2020·山东省招远第一中学高三月考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n n m =++.（1）求m 的值； （2）已知12n a n nb S =+，求数列{}n b 的前n 项和n T . 25．（2020·山东高三期中）设等差数列{}n n a b -的公差为2，等比数列{}n n a b +的公比为2，且12a =，11b =．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}22nn a +的前n 项和nS．26．（2020·德州跃华学校高中部高三月考）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足4422S a =-，3322S a =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记()21log n n n b a a -=⋅，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求使177260nnT ->成立的正整数n 的最小值． 27．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，*112,32,N n n a S S n +==+∈. （1）证明：数列{}1n S +为等比数列；（2）已知曲线()22:191n n C x a y +-=若n C 为椭圆，求n 的值；28．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，在①2a ，3a ，44a -成等差数列.②1S ，22S +，3S 成等差数列中任选一个，补充在下列的横线上，并解答. 在公比为2的等比数列{}n a 中，____________ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()21log n n b n a =+，求数列2222n n n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 29．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知函数()21f x x =+，()g x x =，()R x ∈，数列{}n a ，{}n b 满足11a =，()()1n n g b f b +=，()n n a f b =，()*n N ∈.（1）求证：数列{}1n b +是等比数列；（2）设()21n n c n a =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .30．（2020·广东西关外国语学校期中）设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项． （1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．31．（2020·江苏南京·高三开学考试）给出以下三个条件：①34a ，43a ，52a 成等差数列；②对于*n N ∀∈，点(,)n n S 均在函数2x y a =-的图象上，其中a 为常数；③37S =．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{}n a 是一个公比为(0,1)q q q >≠的等比数列，且它的首项11a =，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令*22log 1()n n b a n N =+∈，证明数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和12nT <． 32．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且1a 为2a 与2S 的等差中项，当2n ≥时，总有11230n n n S S S +--+=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记m b 为1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭在区间(()1*0,4m m N -⎤∈⎦内的个数，记数列(){}21m m b -⋅的前m 项和为m W ，求20W . 33．（2020·山东高三开学考试）已知数列{}n a 的前n 项和为23122n S n n =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列[]lg n n b a =，[]x 表示不超过x 的最大整数，求{}n b 的前1000项和1000T .34．（2020·沭阳县潼阳中学高二月考）已知数列{}n b 为等比数列，21n n b a n =+-，且15a =，215a =． （1）求{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．。
2021年新高考数学模拟试卷全国卷(附参考答案和详解)
绝密★启用前2021年普通高等学校招生模拟考试（3）数学（适用新高考地区）总分：150分 考试时间：120分钟★祝考试顺利★注意事项：1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
第I 卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.i 是虚数单位，复数3i1i+=-（ ）A.12i +B.24i +C.12i --D.2i -2.设常数a ∈R ，集合{|(1)()0}A x x x a =--≥，{|1}B x x a =≥-，若A B =R ，则a 的取值范围为（ ）A.(,2)-∞B.(,2]-∞C.(2,)+∞D.[2,)+∞3.已知函数()f x 为奇函数，且当0x >时，21()f x x x=+，则(1)f -=（ ）A.2B.1C.0D.2-4.设向量=a (1,cos )θ与b (1,2cos )θ=-垂直，则cos2θ等于（ ）A.2 B.12C.0D.1-5.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB 的面积为12”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件6.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A.2πa B.27π3a C.211π3a D.25πa7.已知命题122121:,,(()())()0p x x f x f x x x ∀∈--≥R ，则p ⌝是（ ） A.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--≤R B.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--≤R C.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∃∈--<RD.122121,,(()())()0x x f x f x x x ∀∈--<R8.函数()2ln f x x =的图像与函数2()45g x x x =-+的图像的交点个数为（ ） A.3B.2C.1D.0二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.现行普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图．根据这两幅图中的信息，下列统计结论中正确的有（ ）A.样本中的女生数量等于男生数量B.样本中有理科意愿的学生数量多于有文科意愿的学生数量C.样本中的男生偏爱理科D.样本中的女生偏爱文科10.已知两定点(1,0)A -，(1,0)B ，若直线l 上存在点M ，使得||||3MA MB +=，则称直线l 为“M 型直线”．则下列给出的直线中，是“M 型直线”的有（ ）A.2x =B.3y x =+C.21y x =--D.23y x =+11.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，M ，N 分别是1BC ，1CD 的中点，则下列判断正确的为（ ）A.MN 与1CC 垂直B.MN 与AC 垂直C.MN 与BD 平行D.MN 与11A B 平行12.下列结论中正确的有（ ） A.命题：”(0,2)x ∀∈，33x x >“的否定是“(0,2)x ∃∈，33x x ≤” B.若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l αC.若随机变量ξ服从正态分布2(1,)N σ，且(2)0.8P ξ<=，则(01)0.2P ξ<<=D.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则721S =第Ⅱ卷本卷包括填空题和解答题两部分，共90分. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分。
专题8 平面解析几何--《2021届新高考山东优质冲刺数学试卷分项解析》【原卷版】
专题8 平面解析几何纵观近几年的高考试题，考查圆锥曲线的题目有小有大，其中小题以考查圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程及几何性质为主，难度在中等或以上；大题则主要考查直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系问题；命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.预测2021年将保持稳定，一大二小.其中客观题考查圆、椭圆、双曲线、抛物线问题，难度在中等或以下.主观题考查或直线与椭圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系，相关各种综合问题应有充分准备.1．（2020·山东海南省高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则CC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为y =D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线2．的直线过抛物线C ：y 2=4x 的焦点，且与C 交于A ，B 两点，则AB =________．3．（2020·浙江省高考真题）设直线:(0)l y kx b k =+>与圆221x y +=和圆22(4)1x y -+=均相切，则k =_______；b =______．4．（2020·山东海南省高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．一、单选题1．（2020·山东高三期中）若双曲线221mx ny +=(0m >)mn=（ ） A ．14B ．14-C ．4D ．4-2．（2020·江苏南通·高二月考）已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C中以,22a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭为中点的弦长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2020·山东高三开学考试）已知m ∈R ，过定点A 的动直线0mx y +=和过定点B 的动直线30x my m --+=交于点P ，则PA 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知点()13,0F -，()23,0F 分别是双曲线C ：22221x y a b-= (0a >，0b >)的左､右焦点，M 是C 右支上的一点，1MF 与y 轴交于点P ， 2MPF 的内切圆在边2PF 上的切点为Q ，若2PQ =，则C 的离心率为（ ） A ．53B ．3C ．32D ．525．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线222:1(0)y C x b b-=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线与双曲线交于A ，B 两点.若1ABF 为等边三角形，则b 的所有取值的积为（ ）AB C ．D ．6．（2020·江苏泰州中学高二月考）P 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 到原点O 的距离为焦距的一半，且12PF PF a -=，则椭圆的离心率为（ ）A ．4B ．4C ．2D ．27．（2020·安庆市白泽湖中学高二月考）设曲线x =20x y --=的距离的最大值为a ，最小值为b ，则-a b 的值为( )A ．2B C ．12+ D ．28．（2020·山东高三其他模拟）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过点1F 且垂直于x 轴的直线与该双曲线的左支交于,A B 两点，22,AF BF 分别交y 轴于,P Q 两点，若2PQF ∆的周长为12，则ab 取得最大值时该双曲线的离心率为（ ）AB C D 9．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点(,)(0)4pA a a >在C 上，||3AF =.若直线AF 与C 交于另一点B ，则||AB 的值是（ ）A ．12B ．10C ．9D ．4.510．已知抛物线E ：y 2=2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，OF 为菱形OBFC 的一条对角线，另一条对角线BC 的长为2，且点B ，C 在抛物线E 上，则p =（ ）A ．1BC ．2D ．二、多选题11．（2020·福清西山学校高二期中）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 与两个定点()1F 和)2F 连线的斜率之积等于13，记点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：()2y k x =-与E 交于A ，B 两点，则（ ）A ．E 的方程为221(3x y x -=≠B ．EC ．E 的渐近线与圆()2221x y -+=相切D ．满足AB =l 仅有1条12．（2020·山东高三开学考试）已知双曲线22:1916x y C -=，过其右焦点F 的直线l 与双曲线交于两点A 、B ，则（ ）A ．若A 、B 同在双曲线的右支，则l 的斜率大于43B ．若A 在双曲线的右支，则FA 最短长度为2C ．AB 的最短长度为323D ．满足11AB =的直线有4条13．（2020·山东济南外国语学校高三月考）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,,F F P为双曲线上一点，且122PF PF =，若1215sin 4F PF ∠=，则对双曲线中,,,a b c e 的有关结论正确的是（ ） A ．6e =B ．2e =C ．5b a =D ．3b a =14．（2020·湖南衡阳市八中高二月考）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ）A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上B ．若m =n >0，则C 是圆，其半径为nC ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线15．已知双曲线()222:104x y C m m m m -=>-+，若C 的离心率最小，则此时（ ）A ．2m =B ．双曲线的渐近线方程为30x y ±=C ．双曲线的一个焦点坐标为()2,0D ．双曲线的焦点到渐近线的距离为316．（2020·山东高三其他模拟）关于双曲线221:1916x y C -=与双曲线222:1916y x C -=-，下列说法正确的是（ ）.A ．它们有相同的渐近线B ．它们有相同的顶点C ．它们的离心率不相等D ．它们的焦距相等17．（2020·江苏扬州中学高二月考）已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 且122F F =，点()1,1P 在椭圆内部，点Q 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A ．1QF QP +的最小值为21a -B ．椭圆C 的短轴长可能为2C ．椭圆C 的离心率的取值范围为10,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．若11PF FQ =，则椭圆C 三、填空题18．（2020·博兴县第三中学高三月考）以抛物线22y x =的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为______________.19．已知抛物线2:4C y x =，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q .当PFQ △的周长为12时，PFQ △的面积为______.20．（2020·山东高三其他模拟）已知抛物线22(0)y px p =>与直线:4320l x y p --=在第一、四象限分别交于A ，B 两点，F 是抛物线的焦点，若||||AF FB λ=，则λ=________.21．（2020·山东潍坊·高三三模）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与圆()22:23F x y -+=相切，且双曲线C 的一个焦点与圆F 的圆心重合，则双曲线C 的方程为________. 四、双空题22．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知直线l ：()1y k x =-与抛物线C ：()220y px p =>在第一象限的交点为A ，l 过C 的焦点F ，3AF =，则抛物线的准线方程为_______；k =_______.23．（2020·江苏南通·高二月考）抛物线C ：22y x =的焦点坐标是________；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=________. 五、解答题24．（2020·山东青岛·高三开学考试）已知O 为坐标原点，椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，左右顶点分别为1A ，2A ，上下顶点分别为2B ，1B ，四边形1122A B A B 的面积为4，四边形1122F B F B 的面积为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点M ，N 为椭圆C 上的两个动点，OMN 的面积为1．证明：存在定点W ，使得22WM WN +为定值.25．（2020·山东高三开学考试）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()2,1P ，且该椭圆的一个短轴端点与两焦点1F ，2F 为等腰直角三角形的三个顶点. （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 不经过P 点且与椭圆C 相交于A ，B 两点.若直线PA 与直线PB 的斜率之积为1，证明：直线l 过定点.26．（2020·江苏泰州·高二月考）已知椭圆(222:12x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，2PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且OM =求AOB ∆面积的最大值.27．（2020·山东高三期中）已知O 为坐标原点，(2,0)A -，(2,0)B ，直线AG ，BG 相交于点G ，且它们的斜率之积为34-.记点G 的轨迹为曲线C .（1）若射线0)x y =与曲线C 交于点D ，且E 为曲线C 的最高点，证明：//OD AE .（2）直线:(0)l y kx k =≠与曲线C 交于M ，N 两点，直线AM ，AN 与y 轴分别交于P ，Q 两点.试问在x 轴上是否存在定点T ，使得以PQ 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由. 28．（2020·山东新泰市第一中学高三月考）如图，要在河岸EF 的一侧修建一条休闲式人行道，进行图纸设计时，建立了图中所示坐标系，其中E ，F 在x 轴上，且()3,0F -，道路的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段为二次函数()()214f x a x =++在[]3,0x ∈-时的图像，最高点为B ，道路中间部分为直线段CD ，//CD EF ，且CD =O 为圆心的一段圆弧DE ．（1）求a 的值； （2）求DOE ∠的大小；（3）若要在扇形区域ODE 内建一个“矩形草坪”MNPQ ，P 在圆弧DE 上运动，M 、N 在OE 上，记POE α∠=，则当α为何值时，“矩形草坪”面积最大．29．（2020·博兴县第三中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b+=(a >b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2点.M 为椭圆上的一动点， MF 1F 2面积的最大值为4.过点F 2的直线l 被椭圆截得的线段为PQ ，当l ⊥x 轴时，22PQ =.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 1作与x 轴不重合的直线l ，l 与椭圆交于A ，B 两点，点A 在直线4x =-上的投影N 与点B 的连线交x 轴于D 点，D 点的横坐标x 0是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.30．（2020·济南市历城第二中学高三月考）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率是22，原点到直线1x y a b +=23. （1）求椭圆C 的标准方程.（2）已知点()0,3Q ，若椭圆C 上总存在两个点,A B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围．31．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率32F 且与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，1ABF ∆的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线1l 的方程为y kx m =+，直线2l 的方程为2()y kx m =+，其中01m <<.设1l 与椭圆C 交于M ，N 两点，2l 与圆22:4O x y +=交于P ，Q 两点，求MONPOQS S ∆∆的值. 32．已知抛物线C 的方程为()220x py p =>，点3,2A x ⎛⎫⎪⎝⎭是抛物线上的一点，且到抛物线焦点的距离为2．（1）求抛物线的方程； （2）点Q 为直线12y 上的动点，过点Q 作抛物线C 的两条切线，切点分别为D ，E ，求QDE △面积的最小值．33．（2020·山东高三其他模拟）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，离心率为32，过焦点2F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P y y x ≠为椭圆C 上一动点，连接1PF 、2PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交椭圆C 的长轴于点(,0)M m ，求实数m 的取值范围.34．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆经过点，且右焦点．（1）求椭圆的标准方程； （2）过且斜率存在的直线交椭圆于，两点，记，若的最大值和最小值分别为，，求的值．35．（2020·山东高三其他模拟）已知椭圆22165:x C y +=的左、右焦点分别为12,F F ，过点2F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点. （1）若1F AB 的面积为20311，求直线l 的方程； （2）若222BF F A =，求AB .36．（2020·泰安市基础教育教学研究室高三其他模拟）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右顶点分别是双曲线2C ：2221x y m -=的左、右焦点，且1C 与2C 相交于点⎝⎭. （1）求椭圆1C 的标准方程； （2）设直线l ：13y kx =-与椭圆1C 交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点；若不恒过定点，请说明理由.37．（2020·广西桂林十八中高三月考（文））设抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，点A 是E 上一点，且线段AF 的中点坐标为()1,1. （1）求抛物线E 的标准方程；（2）若B ，C 为抛物线E 上的两个动点（异于点A ），且BA BC ⊥，求点C 的横坐标的取值范围.。
精品解析：2021年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上.本试卷满分150分.2.作答时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则ðU( A ⋃B) =（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3} 【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后计算补集即可.【详解】由题意可得：A ⋃B ={-1, 0,1, 2}，则ðU(A B)={-2, 3}.故选：A.【点睛】本题主要考查并集、补集的定义与应用，属于基础题.2.若α为第四象限角，则（）A. cos2α>0B. cos2α<0C. sin2α>0D. sin2α<0【答案】D【解析】【分析】由题意结合二倍角公式确定所给的选项是否正确即可.【详解】当=-时，cos 2= cos ⎛-⎫> 0，选项B错误；6 3 ⎪ ⎝⎭当=-时，cos 2= cos ⎛-2⎫< 0，选项A错误；3 3 ⎪⎝⎭由在第四象限可得：sin< 0, cos> 0，则sin 2= 2 sin cos< 0，选项C错误，选项D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A. 10名B. 18名C. 24名D. 32名【答案】B【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为500 + 1600 - 1200 = 900，故需要志愿者900= 18名. 50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9 块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（）A. 3699块B. 3474块C. 3402块D. 3339块【答案】C【解析】【分析】第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，设S n为{a n }的前n项和，由题意可得S3n -S2n =S2n -S n + 729，解方程即可得到n，进一步得到S3n. 【详解】设第n环天石心块数为a n，第一层共有n环，则{a n }是以9为首项，9为公差的等差数列，a n = 9 + (n - 1) ⨯ 9 = 9n，设S n为{a n }的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为S n , S2n -S n , S3n -S2n，因为下层比中层多729块，所以S3n -S2n =S2n -S n + 729，即3n(9 + 27n)-2n(9 +18n)=2n(9 +18n)-n(9 + 9n)+ 7292 2 2 2即9n2 = 729，解得n 9，所以S3n=S27=27(9 + 9 ⨯ 27)= 3402.2故选：C【点晴】本题主要考查等差数列前n项和有关的计算问题，考查学生数学运算能力，是一道容易题.5.若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x -y - 3 = 0的距离为（）A.55B.2 55C.3 55D.4 55【答案】B【解析】【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(a, a ), a > 0，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点(2,1)在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线2x -y - 3 = 0的距离.【详解】由于圆上的点(2,1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a, a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x -a)2+(y -a)2=a2.-2 5n n 2 ⋅ (1- 2 ) n 1 m +n m n k +1 由题意可得(2 - a )2 + (1- a )2= a 2， 可得 a 2 - 6a + 5 = 0，解得 a = 1或 a = 5， 所以圆心的坐标为(1,1)或(5, 5)， 圆心到直线2x - y - 3 = 0的距离均为 d == 2 5； 5所以，圆心到直线2x - y - 3 = 0的距离为 2 5. 5故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.6.数列{a }中， a = 2， a = a a ，若a + a ++ a = 215 - 25，则 k =（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】取 m = 1，可得出数列{a n }是等比数列，求得数列{a n }的通项公式，利用等比数列求和公式可得出关于 k 的等式，由 k ∈ N *可求得 k 的值.【详解】在等式 a= a a 中，令 m = 1，可得a = a a = 2a ，∴ a n +1 = 2，m +n m n n +1 n 1 nn所以，数列{a }是以2为首项，以2为公比的等比数列，则a = 2 ⨯ 2n -1= 2n ，∴ a + a+ + a=a k +1 ⋅ (1- 210 ) k +110= = 2k +1 (210 -1) = 25 (210 -1)，k +1k +2k +101- 2 1- 2∴ 2k +1 = 25，则k +1 = 5，解得k = 4.故选：C.【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力， 属于中等题.7.如图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为 M ，在俯视图中对应的点为 N ，则该端点在侧视图中对应的点为（ ）k +2 k +10 aA.E【答案】A【解析】B.FC.GD.H【分析】根据三视图，画出多面体立体图形，即可求得M点在侧视图中对应的点.【详解】根据三视图，画出多面体立体图形，D1D4上的点在正视图中都对应点M,直线B3C4上的点在俯视图中对应的点为N,∴在正视图中对应M,在俯视图中对应N的点是D4,线段D3 D4,上的所有点在侧试图中都对应E,∴点D4在侧视图中对应的点为E.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图判断点的位置，解题关键是掌握三视图的基础知识和根据三视图能还原立体图形的方法，考查了分析能力和空间想象，属于基础题.8.设O为坐标原点，直线x =a与双曲线C :x2-y2= 1(a > 0, b > 0)的两条渐近线分别交于D, E两点，若a2 b22ab 16 A ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ）A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】B【解析】【分析】x 2 - y 2=> >y = ± b xx = a因为C :a21(a b 20, b 0)，可得双曲线的渐近线方程是a，与直线联立方程求得 D ， E 两点坐标，即可求得| ED |，根据A ODE 的面积为8，可得 ab 值，根据2c = 2，结合均值不等式，即可求得答案. x 2 y 2【详解】C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)∴双曲线的渐近线方程是 y = ± bxa x = ax 2 - y 2 = > >直线与双曲线C : a2 1(a b20, b 0)的两条渐近线分别交于 D ， E 两点不妨设 D 为在第一象限， E 在第四象限⎧x = a⎪ ⎧x = a联立⎨ y = b x，解得⎨ y = b ⎩⎪a⎩故 D (a , b )⎧x = a⎪⎧x = a联立⎨ y = - b x，解得⎨ y = -b ⎪⎩a⎩故 E (a , -b )∴ | ED |= 2b∴ A ODE 面积为： S △ODE= 1a ⨯ 2b = ab = 82x 2 y 2双曲线C : a 2 - b2 = 1(a > 0, b > 0)∴其焦距为 2c = 2 ≥ 2 = 2 = 8当且仅当a = b = 2 取等号∴ C 的焦距的最小值： 8故选：B.a 2 +b 2a 2 +b 2 21 【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 9.设函数 f (x ) =ln | 2x +1- |ln | 2x -1| ，则f (x )（ ） A. 是偶函数，且在( , +∞)单调递增 B. 是奇函数，且在 21 1 , )单调递减2 2C. 是偶函数，且在(-∞, - 1)单调递增D. 是奇函数，且在(-∞, - 1)单调递减2 2【答案】D【解析】【分析】根据奇偶性的定义可判断出 f (x )为奇函数，排除AC ；当x ∈ ⎛ - 1 , 1 ⎫2 2 ⎪ ⎝ ⎭时，利用函数单调性的性质可判断出 f (x )单调递增，排除B ；当 x ∈ ⎛-∞, - ⎫2 ⎪ ⎝ ⎭时，利用复合函数单调性可判断出 f (x )单调递减，从而得到结果.【详解】由 f (x )= ln 2x +1 - ln 2x -1得 f (x )定义域为⎧x x ≠ ± 1 ⎫，关于坐标原点对称，⎨2 ⎬ ⎩⎭又 f (-x )= ln 1- 2x - ln -2x -1 = ln 2x -1 - ln 2x +1 = - f (x )， ∴ f (x )为定义域上的奇函数，可排除AC ；当 x ∈ ⎛ - 1 ,1 ⎫时， f (x ) = ln (2x +1)- ln (1- 2x )， 2 2 ⎪ ⎝ ⎭Q y = ln (2x +1)在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递增， y = ln (1- 2x )在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递减，2 2 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭∴ f (x )在⎛ - 1 , 1 ⎫上单调递增，排除B ；2 2 ⎪ ⎝ ⎭当 x ∈ ⎛ -∞, - 1 ⎫时， f (x ) = ln (-2x -1)- ln (1- 2x ) = ln 2x +1 = ln ⎛1+ 2 ⎫，2 ⎪2x -1 2x -1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭= 1+ 2 在⎛ -∞, - 1 ⎫上单调递减， f () = ln 在定义域内单调递增， 2x -1 2 ⎪ ⎝ ⎭根据复合函数单调性可知： f (x )在⎛-∞, - 1 ⎫上单调递减，D 正确.(-2 ⎪ ⎝⎭3R 2 - r 23 9 3 a - 2 a 24 9 - 9 44 - 3 4故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据 f -(x ) 与 f (x )的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“ 同增异减”性得到结论. 10.已知△ABC 是面积为9 34 的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为（ ）3 A. B.2C. 1D.32【答案】C【解析】【分析】根据球O 的表面积和A ABC 的面积可求得球O 的半径 R 和A ABC 外接圆半径 r，由球的性质可知所求距离 d = .【详解】设球O 的半径为 R ，则4R 2 = 16，解得： R = 2. 设A ABC 外接圆半径为 r ，边长为 a ，A ABC 是面积为 9 3的等边三角形，1 22 2 ∴ a ⨯ =，解得：a = 3，∴ r = ⨯ = ⨯ 2 2 4∴球心O 到平面 ABC 的距离 d = 3 3= = 1.故选：C.【点睛】本题考查球的相关问题的求解，涉及到球的表面积公式和三角形面积公式的应用；解题关键是明确球的性质，即球心和三角形外接圆圆心的连线必垂直于三角形所在平面. 11.若2x - 2y < 3- x - 3- y ，则（ ）A. ln( y - x +1) > 0B. ln( y - x +1) < 0C. ln | x - y |> 0D. ln | x - y |< 0【答案】A【解析】【分析】R 2- r 25 i =1 将不等式变为2x - 3- x < 2y - 3- y ，根据 f (t ) = 2t- 3-t的单调性知 x < y ，以此去判断各个选项中真数与1的大小关系，进而得到结果.【详解】由2x - 2y < 3- x - 3- y 得： 2x - 3- x < 2y - 3- y ， 令f (t ) = 2t - 3-t ，y = 2x 为 R 上的增函数， y = 3- x 为 R 上的减函数，∴ f (t )为 R 上的增函数，∴ x < y ，Q y - x > 0，∴ y - x +1 > 1，∴ln ( y - x +1) > 0，则A 正确，B 错误；Q x - y 与1的大小不确定，故CD 无法确定.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调性得到 x , y 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想. 12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列 a 1a 2 a n 满足 a i ∈{0,1}(i = 1, 2,)，且存在正整数 m，使得 a i +m = a i (i = 1, 2,)成立，则称其为0-1周期序列，并称满足 a i +m = a i (i = 1, 2,)的最小正整数 m m C (k ) = 1 ma a(k = 1, 2, , m - 1)为这个序列的周期.对于周期为 的0-1序列a 1a 2 a n ， ∑ i =1i i + k是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足C (k ) ≤ 1(k = 1, 2, 3, 4)的序列是（ ）5A. 11010 【答案】CB. 11011C. 10001D. 11001【解析】【详解】由a i +m = a i 知，序列 a i 的周期为m ，由已知， m = 5，1 5C (k ) =∑a i a i +k , k = 1, 2, 3, 4i =1对于选项A ，1 51 1 1 1C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 0) = ≤i =1 5 51 51 1 2C (2) = 5 ∑a i a i +2 = 5 (a 1a 3 + a 2a 4 + a 3a 5 + a 4a 6 + a 5a 7 ) = 5 (0 + 1 + 0 + 1 + 0) = 5，不满足；对于选项B ，m2 2 2i =1 i =1 1 51 1 3C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 1 + 1) = 5，不满足；对于选项D ，1 51 1 2C (1) = 5 ∑a i a i +1 = 5 (a 1a 2 + a 2a 3 + a 3a 4 + a 4a 5 + a 5a 6 ) = 5 (1 + 0 + 0 + 0 + 1) = 5，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =.【答案】22【解析】【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k 的值.→ →【详解】由题意可得： a ⋅ b = 1⨯1⨯ cos 45 =，2⎛ → → ⎫ →由向量垂直的充分必要条件可得： k a - b ⎪ ⋅ a = 0，⎝ ⎭→2即： k ⨯ a → →- a ⋅ b = k -= 0，解得： k =. 22故答案为：2．2【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有 种.【答案】36 【解析】【分析】根据题意，采用捆绑法，先取2名同学看作一组，现在可看成是3组同学分配到3个小区，即可求得答案.3 3 8 +4 3343 ⎨⎪2 (sin + sin ) = 1 【详解】 4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学∴先取2名同学看作一组，选法有： C 2=6现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有： A 3= 6 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 ⨯ 6 = 36种故答案为： 36.【点睛】本题主要考查了计数原理的实际应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.15.设复数 z 1， z 2满足|z 1|=|z 2 |=2， z 1 + z 2 =+ i ，则| z 1 - z 2 |=.【答案】 2【解析】【分析】令 z 1 = 2 cos + 2 sin ⋅ i ， z 2 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ，根据复数的相等可求得coscos + sin sin= - 1，代入复数模长的公式中即可得到结果. 2【详解】z 1 = z 2 = 2，可设 z 1 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ， z 2 = 2 cos + 2 s in ⋅ i ，∴ z 1 + z 2 = 2 (cos + cos )+ 2 (sin + sin )⋅ i =+ i ，∴ ⎧⎪2 (cos + cos ) =⎩3，两式平方作和得： 4 (2 + 2 coscos + 2 sin sin) = 4，化简得： coscos + sin sin= - 12∴ z 1 - z 2= = 2 (cos - cos )+ 2 (sin- sin)⋅ i== = 2.故答案为： 2.【点睛】本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；关键是能够采用假设的方式，将问题转化为三角函数的运算问题. 16.设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.34 (cos - cos)2+ 4 (sin - sin )28 - 8(cos cos + sin sin)p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面. p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. p4：若直线l ⊂平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l. 则下述命题中所有真命题的序号是.① p1 ∧p4② p1 ∧p2③⌝p2 ∨p3④⌝p3 ∨⌝p4【答案】①③④【解析】【分析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题p1的真假；利用三点共线可判断命题p2的真假；利用异面直线可判断命题p3的真假，利用线面垂直的定义可判断命题p4的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题p1，可设l1与l2相交，这两条直线确定的平面为；若l3与l1相交，则交点A在平面内，同理，l3与l2的交点B也在平面内，所以，AB ⊂，即l3 ⊂，命题p1为真命题；对于命题p2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p2为假命题；对于命题p3，空间中两条直线相交、平行或异面，命题p3为假命题；对于命题p4，若直线m ⊥平面，则m垂直于平面内所有直线，直线l ⊂平面，∴直线m ⊥直线l，3cos A == - ∈ ( )⎪ ⎪ 命题 p 4为真命题.综上可知， p 1 ∧ p 4为真命题， p 1 ∧ p 2为假命题，⌝p 2 ∨ p 3为真命题， ⌝p 3 ∨ ⌝p 4为真命题.故答案为：①③④.【点睛】本题考查复合命题的真假，同时也考查了空间中线面关系有关命题真假的判断，考查推理能力， 属于中等题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每 个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. A ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C. （1）求A ；（2）若BC =3，求A ABC 周长的最大值.2【答案】（1） 3；（2） 3 + 2. 【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cos A 的形式，进而求得 A ；（2）利用余弦定理可得到( AC + AB )2- AC ⋅ AB = 9，利用基本不等式可求得 AC + AB的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得： BC 2 - AC 2 - AB 2 = AC ⋅ AB ，AC 2 + AB 2 - BC 21 ，2 A C ⋅ AB22A 0,，∴ A =. 3（2）由余弦定理得： BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC ⋅ AB cos A = AC 2 + AB 2 + AC ⋅ AB = 9， 即( AC + AB )2- AC ⋅ AB = 9.⎛ AC + AB ⎫2AC ⋅ AB ≤ （当且仅当 AC = AB 时取等号），2 ⎝ ⎭22⎛ AC + AB ⎫23 2 ∴9 = ( A C + AB ) - AC ⋅ AB ≥ ( A C + AB ) - = ( A C + AB )，24 ⎝ ⎭∴33 2 ∑ i = 12020( x - x ) ( y - y )2 i∑ 2ii =1∑ ∑ ∑ - x ) = 80， ∑（y ∑ ∑ 解得： AC + AB ≤ 2（当且仅当 AC = AB 时取等号），∴A ABC 周长 L = AC + AB + BC ≤ 3 + 2 ，∴AABC 周长的最大值为3 + 2.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野 20生动物的数量，并计算得xii =120 = 60， y i i =120 = 1200， （x i i =1202i i =1- y )2= 9000，20（（x i- x ) i =1y i- y ) = 800.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；附：相关系数r =∑（ i =1i - x ) y i - y )=1.414.【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解析】【分析】（1）利用野生动物数量的估计值等于样区野生动物平均数乘以地块数，代入数据即可；（2）利用公式 r =20( x i - x )( yi- y )i =1 计算即可；（3）各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样.n 3 ∑（ i =1ni - x ) 2∑ i ny - y ) 2i =12020 i i =1∑( y i- y )i =180 ⨯ 90002 2 i =1∑+= x y 1 201【详解】（1）样区野生动物平均数为20 ∑ y i= 20⨯1200 = 60， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为200 ⨯ 60 = 12000 （2）样本( x i , y i )的相关系数为20(x i- x )( y i- y ) r =i =1= = ≈ 0.943（3）由于各地块间植物覆盖面积差异较大，为提高样本数据的代表性，应采用分层抽样先将植物覆盖面积按优中差分成三层， 在各层内按比例抽取样本，在每层内用简单随机抽样法抽取样本即可.【点晴】本题主要考查平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取，考查学生数学运算能力， 是一道容易题. 19.已知椭圆C 1： xa 2y 2 b21(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B4两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |= 3|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1） 1；（2） C2 2 : + =， C : y 2 = 12x .2136 2712【解析】【分析】（1）求出 AB 、 CD ，利用 CD = 4 3AB 可得出关于 a 、c 的齐次等式，可解得椭圆C 1的离心率的值；Cx 2 y 2 CC（2）由（1）可得出 1的方程为4c2+ 3c2= 1，联立曲线 1与2的方程，求出点M的坐标，利用抛物线的定义结合 MF = 5可求得c 的值，进而可得出C 1与C 2的标准方程.2⎪ ⎪ ⎩⎩⎩【详解】（1）F (c , 0)， AB ⊥ x 轴且与椭圆C 1相交于 A 、 B 两点，则直线 AB 的方程为 x = c ，⎧x = c⎪ x 2 y 2 x =c 2联立⎪ + = 1，解得⎪ b 2， 则AB = 2b ，⎨ a 2b 2 ⎨ y = ±a⎪⎩a 2 = b 2 + c2 ⎩a抛物线C 2 2⎧x = c 的方程为 y = 4cx ，联立⎨ y 2 = 4cx ，⎧x = c 解得⎨ y = ±2c ，∴ CD = 4c ，CD = 4 3 AB ，即4c = 8b 2 3a， 2b 2 = 3ac ，即2c 2 + 3ac - 2a 2 = 0，即2e 2 + 3e - 2 = 0，Q 0 < e < 1，解得e = 1，因此，椭圆C 的离心率为 1；212 Cx 2y 2（2）由（1）知 a = 2c ， b = 3c ，椭圆 1的方程为+ = 1，4c 23c 2⎧ y 2 = 4cx 联立⎪ x 2y 2，消去 y 并整理得3x 2 +16cx -12c 2 = 0，⎨ + = 1 ⎪ 4c 23c 2解得 x = 2c 或 x = -6c （舍去），3由抛物线的定义可得 MF = 2 c + c = 5c = 5，解得c = 3. 3 3⎧yx2 2因此，曲线C1的标准方程为+=1，36 27曲线C2的标准方程为y2 = 12x.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.20.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）10.10【解析】【分析】（1）由M , N分别为BC，B1C1的中点，MN //CC1，根据条件可得AA1 / / BB1，可证MN //AA1，要证平面EB1C1F ⊥平面A1 AMN，只需证明EF ⊥平面A1 AMN即可；（2）连接NP，先求证四边形ONPA是平行四边形，根据几何关系求得EP，在B1C1截取B1Q =EP ，由（1）BC ⊥平面A1AMN，可得∠QPN为B1E与平面A1AMN所成角，即可求得答案.【详解】（1）M , N分别为BC，B1C1的中点，∴MN //BB1又AA1 / / BB1∴MN //AA1在A ABC中，M为BC中点，则BC ⊥AM又侧面BB1C1C为矩形，∴BC ⊥BB1MN //BB1MN ⊥BC由MN ⋂AM =M，MN , AM ⊂平面A1 AMN∴BC ⊥平面A1AMN又B1C1 //BC，且B1C1 ⊄平面ABC，BC ⊂平面ABC，∴B1C1//平面ABC又B1C1 ⊂平面EB1C1F，且平面EB1C1F ⋂平面ABC =EF∴B1C1/ / EF∴EF //BC又BC ⊥平面A1AMN∴EF ⊥平面A1AMNEF ⊂平面EB1C1F∴平面EB1C1F ⊥平面A1 AMN （2）连接NP3 3 3AO //平面 EB 1C 1F ，平面 AONP ⋂平面 EB 1C 1F = NP ∴ AO //NP根据三棱柱上下底面平行，其面 A 1 NMA ⋂平面 ABC = AM ，面 A 1 NMA ⋂平面 A 1B 1C1 = A 1 N∴ ON //AP故：四边形ONPA 是平行四边形设A ABC 边长是6m ( m > 0)可得： ON = AP ， NP = AO = AB = 6mO 为△A 1B 1C 1的中心，且△A 1B 1C 1边长为6m∴ ON = 1⨯ 6 ⨯ sin 60︒ = 3m3故： ON = AP = 3mEF //BC∴ AP = EP AM BM∴= EP 3解得： EP = m在 B 1C 1截取 B 1Q = EP = m ，故QN = 2mB 1Q = EP 且 B 1Q //EPQN 2+ PN 22 10m10 3 3821 1∴四边形 B 1QPE 是平行四边形，∴ B 1E //PQ由（1）B 1C 1 ⊥平面 A 1 AMN 故∠QPN 为 B 1E 与平面 A 1 AMN 所成角在 Rt △QPN ，根据勾股定理可得： PQ = == 2 10m∴sin ∠QPN =QN= PQ 2m = 1010∴直线 B E 与平面 A AMN 所成角的正弦值： . 10【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其线面角，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和线面角的定义，考查了分析能力和空间想象能力，属于难题. 21.已知函数f (x )=sin 2x sin2x .（1）讨论f (x )在区间(0，π)的单调性；（2）证明： f (x ) ≤；3n （3）设n ∈N *，证明：sin 2x sin 22x sin 24x …sin 22n x ≤. 4n【答案】（1）当 x ∈ ⎛ 0,⎫时， f '(x )> 0, f (x )单调递增，当 x ∈ ⎛2⎫时， f '(x )< 0, f (x )⎪, ⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎝ 3 3 ⎭单调递减，当 x ∈⎛ 2 ⎫时， f '(x )> 0, f (x )单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.3 , ⎪⎝ ⎭【解析】【分析】 (1)首先求得导函数的解析式，然后由导函数的零点确定其在各个区间上的符号，最后确定原函数的单调性即 可 ； (2)首先确定函数的周期性，然后结合(1)中的结论确定函数在一个周期内的最大值和最小值即可证得题中的不等式； (3)对所给的不等式左侧进行恒等变形可得f (x ) = ⎡⎣sin x (sin 2 x sin 2x )(sin 22x sin 4x )(sin2 2n -1x sin 2n x )sin 2 2n x ⎤⎦ 3(2m )2+ (6m )23 3 3 3 33 3 8⎣ ⎦ ⨯ ，然后结合(2)的结论和三角函数的有界性进行放缩即可证得题中的不等式.【详解】(1)由函数的解析式可得： f (x )= 2 s in 3x cos x ，则： f '(x ) = 2 (3sin 2 x cos 2 x - sin 4 x ) = 2 s in 2 x (3cos 2 x - sin 2 x ) = 2 sin 2 x (4 cos 2 x -1) = 2 sin 2 x (2 cos x +1)(2 cos x -1)， f '(x ) = 0在 x ∈ (0,)上的根为： x 13, x 2= 2， 3 当 x ∈ ⎛ 0,⎫时， f '(x ) > 0, f (x )单调递增，3 ⎪⎝ ⎭x ∈ ⎛2⎫当, ⎪时， f '(x ) < 0, f (x )单调递减， ⎝ 3 3 ⎭当 x ∈ ⎛ 2 ⎫时， f '(x ) > 0, f (x )单调递增.3 , ⎪ ⎝ ⎭(2)注意到 f (x +) = sin 2 (x +)sin ⎣⎡2 (x +)⎤⎦ = sin 2x sin 2x =故函数 f (x )是周期为的函数，f (x )，结合(1)的结论，计算可得： f (0) = f () = 0，⎛⎫ ⎛ 3 ⎫2⎛ 2⎫ ⎛ 3 ⎫2⎛ 3 ⎫ f 3 ⎪ = 2 ⎪ 2 = 8， f 3 ⎪ = 2 ⎪ ⨯ - 2 ⎪ = - 8， ⎝ ⎭ ⎝ ⎭据此可得： ⎡⎣ f (x )⎤⎦max= ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭， ⎡ f (x )⎤ = - 3 3， min8即 f (x ) ≤.(3)结合(2)的结论有：sin 2 x sin 2 2x sin 2 4x sin 2 2n x2= ⎡⎣sin 3 x sin 3 2x sin 34xsin 3 2nx ⎤⎦ 32= ⎣⎡sin x (sin 2 x sin 2x )(sin 2 2x sin 4x )(sin 2 2n -1 x sin 2n x )sin 2 2nx ⎤⎦3 2 ≤ ⎡sin x ⨯ 3 3 ⨯ 3 3 ⨯ ⨯ 3 3 ⨯ sin 2 2nx ⎤ 3⎢ 8 8 8 ⎥⎣ ⎦3 3 8 =⎪ ⎩ 2 2 2 ⎡⎛ 3 3 ⎫n⎤ 3⎛ 3 ⎫n≤ ⎢⎪ ⎥ = 4⎪ ⎢⎣⎝ 8 ⎭ ⎥⎦⎝ ⎭【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.并用2B 铅笔将所选题号涂黑， 多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4—4：坐标系与参数方程]⎧x = t + 1 ,⎧x = 4 c os 2 ⎪ t22.已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为C 1： ⎨ y = 4 s in 2 （θ为参数），C 2： ⎨ 1（t 为参数）. ⎩ ⎪ y = t -⎩ t（1）将C 1，C 2的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C 1，C 2的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【答案】（1）C 1 : x + y = 4； C 2 : x 2 - y 2= 4；（2） = 17 cos . 5【解析】【分析】（1）分别消去参数和t 即可得到所求普通方程； （2）两方程联立求得点 P，求得所求圆的直角坐标方程后，根据直角坐标与极坐标的互化即可得到所求极坐标方程.【详解】（1）由cos 2 + sin 2 = 1得C 1的普通方程为： x + y = 4；⎧x = t + 1 ⎧x 2 = t 2 + 1 + 2 ⎪ t ⎪ t 2C 2 2由⎨ 1得： ⎨ ，两式作差可得 1 2的普通方程为： x - y = 4. ⎪ y = t - ⎪ y 2 = t 2 + - 2⎩⎪ t ⎪⎩ t 2⎧x = 5⎧x + y = 4 ⎪ （2）由 得： 2，即 P ⎛ 5 , 3 ⎫； ⎨x 2 - y 2= 4 ⎨ ⎪ ⎪ y =3 ⎝ ⎭ ⎩ 2⎪2 2 22设所求圆圆心的直角坐标为(a , 0)，其中 a > 0，⎛ 5 ⎫2⎛ 3 ⎫217∴17则 a - 2 ⎪ + 0 - 2 ⎪ = a ，解得： a =， 所求圆的半径r =， 1010⎝⎭ ⎝⎭∴⎛ 17 ⎫2⎛ 17 ⎫22217所求圆的直角坐标方程为： x -10 ⎪ + y = 10 ⎪ ，即 x + y = x ，5 ⎝⎭ ⎝ ⎭∴所求圆的极坐标方程为= 17cos .5【点睛】本题考查极坐标与参数方程的综合应用问题，涉及到参数方程化普通方程、直角坐标方程化极坐标方程等知识，属于常考题型.[选修4—5：不等式选讲]23.已知函数 f (x ) = x - a 2+ | x - 2a +1|.（1）当 a = 2时，求不等式 f (x )… 4 的解集；（2）若 f (x )… 4，求a 的取值范围.【答案】（1） ⎧x x ≤ 3或 x ≥11⎫；（2） (-∞, -1] [3, +∞).⎨⎬ ⎩⎭【解析】【分析】（1）分别在 x ≤ 3、3 < x < 4和 x ≥ 4三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到 f (x ) ≥ (a -1)2，由此构造不等式求得结果.【详解】（1）当 a = 2时， f (x )= x - 4 + x - 3. 当 x ≤ 3时， f (x ) = 4 - x + 3 - x = 7 - 2x ≥ 4，解得： x ≤ 3；2当3 < x < 4时， f (x )= 4 - x + x - 3 = 1 ≥ 4，无解； 当 x ≥ 4时， f (x ) = x - 4 + x - 3 = 2x - 7 ≥ 4，解得： x11；2综上所述： f (x )≥ 4的解集为⎧x x ≤ 3或 x ≥ 11⎫.⎨⎬ ⎩⎭（2）f (x ) =x - a 2+ x - 2a +1 ≥ (x - a 2 )- (x - 2a +1) = -a 2 + 2a -1 = (a -1)2（当且仅当222a -1 ≤x ≤a2时取等号），∴(a-1)2≥4，解得：a≤-1或a≥3，∴a的取值范围为(-∞, -1][3, +∞).【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.。
2021年山东省新高考高考数学二模试卷(学生版+解析版)
2021年山东省新高考高考数学二模试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R2．（5分）若复数z 满足12||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( ) A ．72B ．4C ．92D ．55．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．(6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．67．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．1711．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则x =12．（5分）若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b +和()G x kx b +恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R =∈，1()(0)g x x x=<，()2(h x elnx e =为自然对数的底数），则()A ．()()()m x f x g x =-在(x ∈内单调递增B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-C ．()f x 和()g x 间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[4-，1]D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线” y e =- 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 ． 14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 ． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，ABD 的交线长为 ．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2nb件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<．（1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，过右焦点(1,0)F 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，点P 在x 轴上方，当PQ x ⊥轴时，//(OP AD O 为坐标原点）． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线AP 交直线BQ 于点M ，直线BP 交直线AQ 于点N ，则MFN ∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．2021年山东省新高考高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知M ，N 均为R 的子集，且RM N ⊆，则(R MN = )A ．∅B ．MC ．ND ．R【解答】解：用Venn 图表示M ，N 如下：由Venn 图看出，RM N ⊆，R MN N =．故选：C ．2．（5分）若复数z 满足132||2i z ⋅=，则(z = ) A ．12B ．12-C ．12i -D ．12i【解答】解：由2213132||()()1222i z ⋅=+=+， 得211222i z i i i -===--． 故选：C ．3．（5分）在ABC ∆中，“3A π=”是“1cos 2A =”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：在ABC ∆中，若3A π=，则1cos 2A =，是充分条件， 在ABC ∆中，若1cos 2A =，则3A π=，是必要条件，故选：C ．4．（5分）实数x 、y 满足22326x y x +=，则22x y +的最大值为( )A ．72B ．4C ．92D ．5【解答】解：实数x 、y 满足22326x y x +=， 223302y x x ∴=-，因此02x ， 22221193(3)222x y x x x ∴+=-=--+，02x ，∴当2x =时，22x y +的最大值为4．故选：B ．5．（5分）若过点(4,3)A 的直线l 与曲线22(2)(3)1x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[B ．(C ．[D ．( 【解答】解：由题意，易知，直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为3(4)y k x -=-，即340kx y k -+-=， 曲线22(2)(3)1x y -+-=表示圆心(2,3)，半径为1的圆， 圆心(2,3)到直线340kx y k -+-=的距离应小于等于半径1，∴1，即2|2|1k k -+，解得3k ， 故选：C ．6．（5分）在ABC ∆中，9AC =，60A ∠=︒，D 点满足2CD DB =，AD =，则BC 的长为( )A ．B ．C ．D ．6【解答】解：2CD DB =，∴1112()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=+， ||37AD AD ==||9AC AC ==，60A =︒，设AB c =∴9||||cos 2AB AC AB AC A c ⋅==则222212144437()92339999AC AB AC AC AB AB c c =+=+⋅+=++，∴整理可得，2291260c c +-=0c >解可得，6c =，由余弦定理可得，2222cos a c b bc A =+-⋅ 22196296632=+-⨯⨯⨯=， BC ∴的长为37．故选：A ．7．（5分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-，则下列结论正确的是( ) A ．20202020S =，20156a a < B ．20202020S =，20156a a >C ．20202020S =-，20156a aD ．20202020S =-，20156a a【解答】解：设3()2019f x x x =+，则()f x 为奇函数且单调递增， 因为366(1)2019(1)1a a -+-=，320152015(1)2019(1)1a a -+-=-， 所以62015(1)(1)a a -=--，且6201511a a ->-， 即620152a a +=，62015a a >，202012020620151010()1010()2020S a a a a =+=+=，故选：A ．8．（5分）在探索系数A ，ω，ϕ，b 对函数sin()(0y A x b A ωϕ=++>，0)ω>图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”．运用上述四种变换，若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且已知其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的方法共有( ) A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种【解答】解：因为左右变换，是向右平移3π个单位，所以要求左右平移变换在周期变换之前，有其他三步可以自由排列，故有442212A A =中排法．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）如图，正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，正三棱锥A SBE -底面边长与侧棱长均为a ，则下列说法正确的是( )A ．AS CD ⊥B ．正四棱锥S BCDE -2C ．正四棱锥S BCDE -的内切球半径为2(1a D ．由正四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱 【解答】解：对于A ，取BE 的中点H ，连结AH ，SH ， 正三棱锥A SBE -中，AH BE ⊥，SH BE ⊥，又AH SH H =，AH ，SH ⊂平面SAH ，所以BE ⊥平面SAH ，因为AS ⊂平面SAH ，则BE AS ⊥，又//BE CD ，所以AS CD ⊥，故选项A 正确； 对于B ，设底面中心为O '，球心为O ，半径为R ，因为正四棱锥S BCDE -外接球的球心在O S '上，所以OS OB R ==， 因为正四棱锥S BCDE -底面边长与侧棱长均为a ，所以2O B O S ''==，由222()OB O B O S OS ''=+-，可得22222()()R a a R =+-，解得2R a =，故选项B 正确；对于C ，设内切球半径为r ，可求得侧面面积为2213sin 23S a a π=⋅⋅=， 由等体积法可得222121134333a a a r a r ⋅=⋅+⋅⋅⋅，解得(62)ar -=，故选项C 错误； 对于D ，取SE 的中点F ，连结AF ，DF ，BF ，则BFD ∠和BFA ∠分别是D SE B --和A SE B --的二面角的平面角，由222222233()()(2)122cos 2332()a a a BF DF BDBFD BF DFa +-+-∠===-⋅⋅， 222222233()()122cos 2332()a a a AF BF BAAFD AF BFa +-+-∠===⋅⋅， 故BFD ∠与BFA ∠互补，所以ASDE 共面，又因为AS AE ED SD BC ====，则ASDE 为平行四边形，故////AS ED BC ， 故四棱锥S BCDE -与正三棱锥A SBE -拼成的多面体是一个三棱柱，故选项D 正确． 故选：ABD ．10．（5分）一个等腰直角三角形ABC 内有一个内接等腰直角三角形PQR ，（即P ，Q ，R 三点分别在三角形ABC 三边或顶点上），则两三角形面积比PRQ ABCS S ∆∆的值可能为( )A ．14B ．15C ．16D ．17【解答】解析：如图，由两种情况：（1）左图中R 为AB 中点，设ABC ∆的直角边长a ，为PQR ∆的直角边长为x ，PQC α∠= 则sin()2cos 2(cos sin )sin4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒12(cos sin )2sin()4x a πααα==++⇒21()4PRQ min ABC S x S a ∆∆==（2）右图中，3sin()4cos (2cos sin )sin 4x a CQ QB x x πααααπ-=+=+=+⇒ 12cos sin 5cos()x a αααθ==++，tan 2θ=， ⇒21()5PRQ maxABCS x S a ∆∆==， 所以1[4PRQ ABCS S ∆∆∈，1]5， 故选：AB ．11．（5分）已知双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b -=>>，A 、B 分别为双曲线的左，右顶点，1F 、2F 为左、右焦点，12||2F F c =，且a ，b ，c 成等比数列，点P 是双曲线C 的右支上异于点B的任意一点，记PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则下列说法正确的是( ) A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．双曲线的离心率15e +=C ．12k k 15+D ．若I 为△12PF F 的内心，满足1212()IPF IPF IF F SSxSx R =+∈，则51x -=【解答】解：因为a ，b ，c 成等比数列，所以2b ac =，A 中，2PF x ⊥轴时，P 的坐标为：2(,)b c a即(,)P c c ，所以21212||1tan ||22PF c PF F F F c ∠===，所以1230PF F ∠≠︒，所以A 不正确； B 中，因为2b ac =，所以可得22c a ac -=，可得210e e --=，又1e >，解得：51e+=，所以B正确；C，设(P x，)y，则2200221x ya b-=，所以2222002x ay ba-=⋅，由题意可得(,0)A a-，(,0)B a，所以2200012222000y y y bk kx a x a x a a=⋅==+--，由2b ac=，可得1215ck ka+==，所以C正确；D中因为1212IPF IPF IF FS S xS=+，所以1212111||||||222PF r PF r x F F r⋅=⋅+⋅⋅，可得1212||||251||215PF PF axF F c--====+，所以D正确；故选：BCD．12．（5分）若存在实常数k和b，使得函数()F x和()G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：()F x kx b+和()G x kx b+恒成立，则称此直线y kx b=+为()F x和()G x的“隔离直线”，已知函数2()()f x x x R=∈，1()(0)g x xx=<，()2(h x elnx e=为自然对数的底数），则( )A．()()()m x f x g x=-在3(2x∈内单调递增B．()f x和()g x之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4-C．()f x和()g x间存在“隔离直线”，且k的取值范围是[4-，1]D．()f x和()h x之间存在唯一的“隔离直线”y ex e=-【解答】解：21:()()()A m x f x g x x x =-=-，(x ∈， ∴21()20m x x x '=+>，故()m x在(内单调递增，故A 正确； B ，C ：设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx b x ⎧+⎪⎨+⎪⎩对任意0x <恒成立， 故22010x kx b kx bx ⎧--⎨+-⎩对任意0x <恒成立，由210kx bx +-对任意0x <恒成立， 若0k =，则0b =符合题意，0k <，则20x kx b --对任意x 都成立，又102x k =<轴，从而2140k b =+，所以0b ，则02bx k'=-轴， ∴△2240b k =+，即24k b -且24b b -，421664k b k ∴-，故40k -<，同理可得，421664b k b -即40b -<，B 正确C 错误；D ：函数()f x 和()h x的图象在x =一定存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率k ，则隔离直线方程(y e k x -=，即y kx e =-， 由()(0)f x kx k e e x ->恒成立， 若0k =，则20x e -，(0)x >不恒成立， 若0k <，由20(0)x kx e x -+>恒成立，令2()u x x kx e =-+，(0)x >，则()u x 在上单调递增，0u =， 故0k <不恒成立，不符合题意，故0k >，可得20x kx e -+在0x >时恒成立，102x k '=>轴，则23(20k =-时只有k=y e =-，下面证明()2h x ex e -，令()()2G x e h x e elnx =--=--，则()G x '=，易得，当0x <<时，()0G x '<，函数单调递减，当x ()0G x '>，函数单调递增，故当x 0，也是最小值， 所以()0G x ，故()2h x e e -，所以()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，故D 正确， 故选：ABD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．（5分）2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是 3 ． 【解答】解：而项式25201234555552108642111111(2)(1)(2)(1)x x C C C C C x x x x x x+-=+⋅⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-， 故它的展开式的常数项为4523C -=， 故答案为 3．14．（5分）2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方” ( “三药”是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是 49． 【解答】解：将三药分别记为A ，B ，C 三方分别记为a ，b ，c ，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，则两名患者选择药方完全不同的情况有116424m C C ==（种)，两名患者可选择的药方共有119654n C C ==（种)， 所以两人选取药方完全不同的概率是244549m P n ===． 故答案为：49． 15．（5分）已知三棱锥A BCD -，5AB AD BC CD ====，8BD =，3AC =，则以点C 为球心，22为半径的球面与侧面ABD 的交线长为 5π ．【解答】解：如图，取BD 中点E ，连接AE ，CE ，5AB AD ==，5BC CD ==，AE BD ∴⊥，CE BD ⊥，又8BD =，∴22543AE CE ==-=， 3AC =，AEC ∴∆为等边三角形，取AE 中点F ，则CF AE ⊥，可得223333()2CF -=．又设C 到AB （或)AD 的距离为h ， 由22111()222ABC S AB h AC AB AC ∆=⋅=- 可得9325391422h ⨯-==>∴以C 为球心，22ABD 的交线为圆，圆的半径为22335(22)()2r =-=， 则交线长为525ππ=． 5π．16．（5分）任取一个正整数m ，若m 是奇数，就将该数乘3再加上1；若m 是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等），若5m =，则经过 5 次步骤后变成1；若第5次步骤后变成1，则m 的可能值之和为 ． 【解答】解：当5m =时，5168421→→→→→共5步雹程变成1，若m 需经过5步雹程首次变成1则1248165←←←←←或12481632←←←←←两种情况，即5m =或32m =，则53237+=， 故答案为：5，37．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在①22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，②sinsin 2B Cb a B +=，③sin cos()6a Bb A π=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．问题：ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2b c +=，___，求A 和C ．【解答】解：若选①，22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-，由正弦定理可得22()b c a bc -=-， 则222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，又0A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选②，sin sin 2B C b a B +=，由正弦定理可得sin sin()sin sin 22AB A B π-=， sin 0B ≠，cos 2sin cos 222A A A ∴=， cos 02A≠， 1sin 22A ∴=， 022A π<<， 3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 22C C -=sin()6C π∴-=， 64C ππ∴-=，512C π∴=． 若选③sin cos()6a B b A π=-，由正弦定理可得sin sin sin cos()6A B B A π=-，sin 0B ≠，sin cos()6A A π∴=-，62A A ππ∴+-=或26A A ππ+=-，3A π∴=，2b c +=，∴sin 2sin A B C +=，∴2sin()2sin 33C C ππ+-=，∴1cos 2C C -=sin()6C π∴-=，64C ππ∴-=，512C π∴=． 18．（12分）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a 元的前提下，可卖出b 件，若作广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为(1)n -千元时多卖出2n b件(*)n N ∈． （1）求当1n =时，销售量1a ；当2n =时，销售量2a ； （2）试写出当广告费为n 千元时，销售量n a ；（3）当10a =，4000b =时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？ 【解答】解：（1）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 102b a a -=，所以132a b =； 2122b a a -=，所以274b a =． （2）设0a 表示广告费为0千元时的销售量，则0a b =， 由题：10212122........2n n nb a a b a a b a a -⎧-=⎪⎪⎪-=⎪⎨⎪⎪⎪-=⎪⎩，相加可得02....222n n b b ba a -=+++，即121112....(2)1222212n n n nb b b a b b b +-=++++=⨯=--； （3）当4000b =时，14000(2)2n na =-， 设获利为n T ，则有110100040000(2)10002n n n T a n n =⨯-=--， 欲使n T 最大，则11n n n n T TT T +-⎧⎨⎩，所以：111140000(2)100040000(2)1000(1)221140000(2)100040000(2)1000(1)22n n n n n n n n +-⎧----+⎪⎪⎨⎪-----⎪⎩，解得55n n ⎧⎨⎩，故5n =，此时7875n a =，即该厂家应生产7875件产品，做5千元的广告，能使获利最大．19．（12分）如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒，四边形ACFE 为矩形，且2FB =，M ，N 分别为EF ，AB 的中点．（1）求证：//MN 平面FCB ；（2）若直线AF 与平面FCB 所成的角为60︒，求平面MAB 与平面MAC 所成锐二面角的余弦值．【解答】（1）证明：取BC 的中点Q ，连接NQ ，FQ ，（1分） 则1//2NQ AC ，（2分）又1//2MF AC ，所以//MF NQ所以四边形MNQF 为平行四边形，所以//MN FQ ，（3分） 又因为FQ ⊂平面FCB ，MN ⊂/平面FCB ，（4分） 所以//MN 平面FCB （5分）（2）由四边形ABCD 为等腰梯形，且22AB CD ==，60ABC ∠=︒， 可得1BC =，3AC ，所以90ACB ∠=︒，所以AC BC ⊥．（6分） 又因为四边形ACFE 为矩形，所以AC CF ⊥，所以AC ⊥平面FCB ， 所以AFC ∠为直线AF 与平面FCB 所成的角，即60AFC ∠=︒，（7分） 所以1FC =．又因为2FB =222FB FC CB =+，所以FC BC ⊥．（8分） 则可建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -，3(3,0,0),(0,1,0),(A B M ，所以3(,0,1),(3,1,0)MA AB =-=-设(,,)m x y z =为平面MAB 的法向量，则取23x =(23,6,3)m =为平面MAB 的一个法向量，（10分） 又(0,1,0)n =为平面MAC 的一个法向量，（11分） 所以657257cos ,||||571m n m n m n ⋅〈〉====⨯，故平面MAB 与平面MAC 257．（12分） 20．（12分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇到行人正在通过人行横道，应当停车让行，即“礼让行人”．下表是某十字路口监控设备所抓拍的6个月内驾驶员不“礼让行人”行为的统计数据：月份x1 2 3 4 5 6 不“礼让行人”驾驶员人数y120105100859080（1）请根据表中所给前5个月的数据，求不“礼让行人”的驾驶员人数y 与月份x 之间的回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （2）若该十字路口某月不“礼让行人”驾驶员人数的实际人数与预测人数之差小于5，则称该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”．试判断6月份该十字路口“礼让行人”情况是否达到“理想状态”？（3）自罚单日起15天内需完成罚款缴纳，记录5月不“礼让行人”驾驶员缴纳罚款的情况，缴纳日距罚单日天数记为X ，若X 服从正态分布~(8,9)X N ，求该月没能在14天内缴纳人数．参考公式：112211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． ()0.6826P Z μσμσ-<<+=，(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=．【解答】解：（1）请根据表中所给前5个月的数据，计算1(12345)35x =⨯++++=， 1(1201051008590)1005y =⨯++++=， 5152222221()()22015001(5)2(10)ˆ8(2)(1)012()ii i ii x x y y b x x ==---⨯-⨯+⨯+⨯-+⨯-===--+-+++-∑∑ ˆˆ100(8)3124ay bx =-=--⨯=， y ∴与x 之间的回归直线方程ˆ8124yx =-+， （2）由（1）知ˆ8124yx =-+，当6x =时，ˆ8612476y =-⨯+=， 且806745-=<，6∴月份该十字路口“礼让行人”情况达到“理想状态”． （3）因为X 服从正态分布(8,9)X N ∽，所以(214)0.9544P X <<=， 该月没能在14天内缴纳人数为10.95449022-⨯=人． 21．（12分）已知函数32()231f x ax ax =-+，3()(0)42a g x x a =-+<． （1）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，总存在唯一一个1[1x ∈-，5]4，使得10()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围；（2）若对任意给定的0[1x ∈-，5]4，在区间[1-，5]4上总存在两个不同的(1,2)i x i =，使得120()()()f x f x g x ==成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意知，()6(1)f x ax x '=-， 因为514x -，所以由()0f x '<，解得10x -<或514x <，由()0f x '>，解得01x <<， 故()f x 的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为[1-，0)和(1，5]4， (1)15f a -=-，(0)1f =，f （1）1a =-，525()1432a f =-， 所以()f x 的值域为[1，15]a -，又因为()g x 在[1-，5]4上单调递增， 所以()g x 的值域为3[24a +，35]216a -，问题转化为直线y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4的图象只有一个交点，结合图象，有31243515216aaaa⎧-<+⎪⎪⎨⎪--⎪⎩，解得a的取值范围是2(5-，8]75-．（2）由（1）可知，问题转化为y t=，3[24at∈+，35]216a-和曲线()([1y f x x=∈-，5])4二者的图象有两个不同的交点，结合图象，有31242535132216aa a⎧<+⎪⎪⎨⎪->-⎪⎩，解得a的取值范围是16(2,)15--．22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为A，B，上顶点为D，过右焦点(1,0)F的直线交椭圆C于P，Q两点，点P在x轴上方，当PQ x⊥轴时，//(OP AD O为坐标原点）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线AP交直线BQ于点M，直线BP交直线AQ于点N，则MFN∠是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）当PQ x⊥轴时，点P的横坐标Px c=代入椭圆C的方程，可得点P的纵坐标2Pbya=，由题意知1c=，(,0)A a-，(0,)D b，又当OP x⊥轴时，//OP AD，所以2b ba a=，得1b=，所以2222a b c =+=，故椭圆C 的标准方程为2212x y +=； （2）MFN ∠为定值，且定值为2π，理由如下： 由（1）得((0,1),A D B ，设1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，3(,)M t y ，设直线PQ 的方程为1x my =+，联立方程可得221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得22(2)210m y my ++-=， 则12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 由A ，P ，M因为221112x y +=，所以22111221)y x x x =-=，1=②， 由①②1=， 由B ，Q ，M=， 由③④12= 分别将111x my =+，221x my =+代入，21212121)()32m y y m y y y y -++-+=， 将12122221,22m y y y y m m +=-=-++代入并整理，3=-2t =，设4(,)N t y '，同理可得2t '=，由B ，P ，N=⑤，由③⑤得341y y =-，所以3434(21,)(21,)10FM FN y y y y ⋅=-⋅-=+=， 所以MFN ∠为定值2π．。
精品解析：2023年高考全国乙卷数学(文)真题(解析版)
2023年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷）文科数学一、选择题1.232i 2i ++=（）A.1B.2C.D.5【答案】C 【解析】【分析】由题意首先化简232i 2i ++，然后计算其模即可.【详解】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则232i 2i 12i ++=-==.故选：C.2.设全集{}0,1,2,4,6,8U =，集合{}{}0,4,6,0,1,6M N ==，则U M N ⋃=ð（）A.{}0,2,4,6,8 B.{}0,1,4,6,8 C.{}1,2,4,6,8 D.U【答案】A 【解析】【分析】由题意可得U N ð的值，然后计算U M N ⋃ð即可.【详解】由题意可得{}2,4,8U N =ð，则{}0,2,4,6,8U M N = ð.故选：A.3.如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为1，则该零件的表面积为（）A.24B.26C.28D.30【答案】D【分析】由题意首先由三视图还原空间几何体，然后由所得的空间几何体的结构特征求解其表面积即可.【详解】如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，13AA =，点,,,H I J K 为所在棱上靠近点1111,,,B C D A 的三等分点，,,,O L M N 为所在棱的中点，则三视图所对应的几何体为长方体1111ABCD A B C D -去掉长方体11ONIC LMHB -之后所得的几何体，该几何体的表面积和原来的长方体的表面积相比少2个边长为1的正方形，其表面积为：()()()22242321130⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=.故选：D.4.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若cos cos a B b A c -=，且5C π=，则B ∠=（）A.10π B.5π C.310π D.25π【答案】C 【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角，然后结合诱导公式和两角和的正弦公式求得A ∠的值，最后利用三角形内角和定理可得A ∠的值.【详解】由题意结合正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A C -=，即()sin cos sin cos sin sin cos sin cos A B B A A B A B B A -=+=+，整理可得sin cos 0B A =，由于()0,πB ∈，故sin 0B >，据此可得πcos 0,2A A ==，则ππ3πππ2510B AC =--=--=.5.已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （）A.2-B.1- C.1D.2【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的定义运算求解.【详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax ax x x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---，又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=，则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =.故选：D.6.正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，则EC ED ⋅=（）A.B.3C. D.5【答案】B 【解析】【分析】方法一：以{},AB AD 为基底向量表示,EC ED uu u r uu u r，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos DEC ∠，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以{},AB AD为基底向量，可知2,0AB AD AB AD ==⋅=uu u r uuu r uu u r uuu r ，则11,22EC EB BC AB AD ED EA AD AB AD =+=+=+=-+uu u r uu r uu u r uu u r uuu r uu u r uu r uuu r uuu r uuu r ，所以22111143224EC ED AB AD AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r ；方法二：如图，以A 为坐标原点建立平面直角坐标系，则()()()1,0,2,2,0,2E C D ，可得()()1,2,1,2EC ED ==-uu u r uu u r，所以143EC ED ⋅=-+=uu u r uu u r；方法三：由题意可得：2ED EC CD ===，在CDE 中，由余弦定理可得2223cos25DE CE DC DEC DE CE +-∠===⋅，所以3cos 35EC ED EC ED DEC ⋅=∠==uu u r uu u r uu u r uu u r .故选：B.7.设O 为平面坐标系的坐标原点，在区域(){}22,14x y xy ≤+≤内随机取一点，记该点为A ，则直线OA的倾斜角不大于π4的概率为（）A.18 B.16C.14D.12【答案】C 【解析】【分析】根据题意分析区域的几何意义，结合几何概型运算求解.【详解】因为区域(){}22,|14x y xy ≤+≤表示以()0,0O 圆心，外圆半径2R =，内圆半径1r =的圆环，则直线OA 的倾斜角不大于π4的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角π4MON ∠=，结合对称性可得所求概率13π143π4P ⨯==.故选：C.8.函数()32f x x ax =++存在3个零点，则a 的取值范围是（）A.(),2-∞- B.(),3-∞- C.()4,1-- D.()3,0-【答案】B 【解析】【分析】写出2()3f x x a '=+，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可.【详解】3()2f x x ax =++，则2()3f x x a '=+，若()f x 要存在3个零点，则()f x 要存在极大值和极小值，则a<0，令2()30f x x a '=+=，解得3a x -=3a -，且当,,33a ax ⎛⎫--∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，当33a a x ⎛--∈ ⎝，()0f x '<，故()f x 的极大值为3f a ⎛ -⎝，极小值为3f a -，若()f x 要存在3个零点，则0303a f a f ⎧⎛-->⎪ ⎪⎝⎨-⎪<⎪⎩，即2033320333a a a a a a ⎧-->⎪⎪⎨---⎪++<⎪⎩，解得3a <-，故选：B.9.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（）A.56B.23C.12D.13【答案】A 【解析】【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：乙甲1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有36个不同结果，它们等可能，其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率305366P ==.故选：A10.已知函数()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A. B.12-C.12D.2【答案】D【解析】【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2w T ==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5π3sin 1232f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：D.11.已知实数,x y 满足224240x y x y +---=，则x y -的最大值是（）A.12+B.4C.1+D.7【答案】C 【解析】【分析】法一：令x y k -=，利用判别式法即可；法二：通过整理得()()22219x y -+-=，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设x y k -=，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可.【详解】法一：令x y k -=，则x k y =+，代入原式化简得()22226440y k y k k +-+--=，因为存在实数y ，则0∆≥，即()()222642440k k k --⨯--≥，化简得22170k k --≤，解得11k -≤≤+故x y -的最大值是1+，法二：224240x y x y +---=，整理得()()22219x y -+-=，令3cos 2x θ=+，3sin 1y θ=+，其中[]0,2πθ∈，则π3cos 3sin 114x y θθθ⎛⎫-=-+=++ ⎪⎝⎭，[]0,2θπ∈ ，所以ππ9π,444θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，则π2π4θ+=，即74πθ=时，x y -取得最大值1，法三：由224240x y x y +---=可得22(2)(1)9x y -+-=，设x y k -=，则圆心到直线x y k -=的距离3d =≤，解得11k -≤≤+故选：C.12.设A ，B 为双曲线2219y x -=上两点，下列四个点中，可为线段AB 中点的是（）A.()1,1B.()1,2- C.()1,3 D.()1,4--【答案】D 【解析】【分析】根据点差法分析可得9AB k k ⋅=，对于A 、B 、D ：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C ：结合双曲线的渐近线分析判断.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 的中点1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，可得1212121212122,2ABy y y y y y k k x x x x x x +-+===+-+，因为,A B 在双曲线上，则221122221919y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减得()2222121209y y x x ---=，所以221222129AB y y k k x x -⋅==-.对于选项A ：可得1,9AB k k ==，则:98AB y x =-，联立方程229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得272272730x x -⨯+=，此时()2272472732880∆=-⨯-⨯⨯=-<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故A 错误；对于选项B ：可得92,2AB k k =-=-，则95:22AB y x =--，联立方程22952219y x y x ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得245245610x x +⨯+=，此时()224544561445160∆=⨯-⨯⨯=-⨯⨯<，所以直线AB 与双曲线没有交点，故B 错误；对于选项C ：可得3,3AB k k ==，则:3AB y x=由双曲线方程可得1,3a b ==，则:3AB y x =为双曲线的渐近线，所以直线AB 与双曲线没有交点，故C 错误；对于选项D ：94,4AB k k ==，则97:44AB y x =-，联立方程22974419y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去y 得2631261930x x +-=，此时21264631930∆=+⨯⨯>，故直线AB 与双曲线有交两个交点，故D 正确；故选：D.二、填空题13.已知点(A 在抛物线C ：22y px =上，则A 到C 的准线的距离为______.【答案】94【解析】【分析】由题意首先求得抛物线的标准方程，然后由抛物线方程可得抛物线的准线方程为54x =-，最后利用点的坐标和准线方程计算点A 到C 的准线的距离即可.【详解】由题意可得：221p =⨯，则25p =，抛物线的方程为25y x =，准线方程为54x =-，点A 到C 的准线的距离为59144⎛⎫--= ⎪⎝⎭.故答案为：94.14.若π10,,tan 22⎛⎫∈= ⎪⎝⎭θθ，则sin cos θθ-=________．【答案】55-【解析】【分析】根据同角三角关系求sin θ，进而可得结果.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0θθ>>，又因为sin 1tan cos 2θθθ==，则cos 2sin θθ=，且22222cos sin 4sin sin 5sin 1+=+==θθθθθ，解得5sin 5θ=或5sin 5θ=-（舍去），所以sin cos sin 2sin sin 5-=-=-=-θθθθθ.故答案为：5-.15.若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为______.【答案】8【解析】【分析】作出可行域，转化为截距最值讨论即可.【详解】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.16.已知点,,,S A B C 均在半径为2的球面上，ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥平面ABC ，则SA =________．【答案】2【解析】【分析】先用正弦定理求底面外接圆半径，再结合直棱柱的外接球以及求的性质运算求解.【详解】如图，将三棱锥S ABC -转化为直三棱柱SMN ABC -，设ABC 的外接圆圆心为1O ，半径为r ，则2sin 32AB r ACB ==∠，可得r =，设三棱锥S ABC -的外接球球心为O ，连接1,OA OO ，则112,2OA OO SA ==，因为22211OA OO O A =+，即21434SA =+，解得2SA =.故答案为：2.【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法（1）涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解；（2）若球面上四点P 、A 、B 、C 构成的三条线段PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝a ，PB ＝b ，PC ＝c ，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R 2＝a 2＋b 2＋c 2求解；（3）正方体的内切球的直径为正方体的棱长；（4）球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长；（5）利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．三、解答题17.某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为i x ，()1,2,,10i y i =⋅⋅⋅．试验结果如下：试验序号i 12345678910伸缩率i x 545533551522575544541568596548伸缩率iy 536527543530560533522550576536记()1,2,,10i i i z x y i =-=⋅⋅⋅，记1210,,,z z z ⋅⋅⋅的样本平均数为z ，样本方差为2s ．（1）求z ，2s ；（2）判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果z ≥，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）【答案】（1）11z =，261s =；（2）认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.【解析】【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出,x y ，再得到所有的i z 值，最后计算出方差即可；（2）根据公式计算出的值，和z 比较大小即可.【小问1详解】545533551522575544541568596548552.310x +++++++++==，536527543530560533522550576536541.310y +++++++++==，552.3541.311z x y =-=-=，i i i z x y =-的值分别为:9,6,8,8,15,11,19,18,20,12-，故2222222222(911)(611)(811)(811)(1511)0(1911)(1811)(2011)(1211)6110s -+-+-+--+-++-+-+-+-==【小问2详解】由（1）知:11z =，==，故有z ≥所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.18.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知21011,40a S ==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n T ．【答案】（1）152n a n=-（2）2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）先求n S ，讨论n a 的符号去绝对值，结合n S 运算求解.【小问1详解】设等差数列的公差为d ，由题意可得211011110910402a a d S a d =+=⎧⎪⎨⨯=+=⎪⎩，即1111298a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得1132a d =⎧⎨=-⎩，所以()1321152n a n n =--=-，【小问2详解】因为()213152142n n n S n n +-==-，令1520n a n =->，解得152n <，且*n ∈N ，当7n ≤时，则0n a >，可得2121214n n n n T a a a a a a S n n =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+==-；当8n ≥时，则0n a <，可得()()121278n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+()()()222777221477141498n n S S S S S n n n n =--=-=⨯---=-+；综上所述：2214,71498,8n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，AB BC ⊥，2AB =，BC =PB PC ==,,BP AP BC 的中点分别为,,D E O ，点F 在AC 上，BF AO ⊥．（1）求证：EF //平面ADO ；（2）若120POF ∠=︒，求三棱锥-P ABC 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【分析】（1）根据给定条件，证明四边形ODEF 为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.（2）作出并证明PM 为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.【小问1详解】连接,DE OF ，设AF tAC =，则(1)BF BA AF t BA tBC =+=-+ ，12AO BA BC =-+，BF AO ⊥，则2211[(1)]()(1)4(1)4022BF AO t BA tBC BA BC t BA tBC t t ⋅=-+⋅-+=-+=-+= ，解得12t =，则F 为AC 的中点，由,,,D E O F 分别为,,,PB PA BC AC 的中点，于是11//,,//,22DE AB DE AB OF AB OF AB ==，即,//DE OF DE OF =，则四边形ODEF 为平行四边形，//,EF DO EF DO =，又EF ⊄平面,ADO DO ⊂平面ADO ，所以//EF 平面ADO .【小问2详解】过P 作PM 垂直FO 的延长线交于点M ，因为,PB PC O =是BC 中点，所以PO BC ⊥，在Rt PBO △中，12PB BO BC ===，所以2PO ===，因为,//AB BC OF AB ⊥，所以OF BC ⊥，又PO OF O ⋂=，,PO OF ⊂平面POF ，所以BC⊥平面POF ，又PM ⊂平面POF ，所以BC PM ⊥，又BC FM O = ，,BC FM ⊂平面ABC ，所以PM ⊥平面ABC ，即三棱锥-P ABC 的高为PM ，因为120POF ∠=︒，所以60POM ∠=︒，所以3sin 6022PM PO =︒=⨯=，又11222ABC S AB BC =⋅=⨯⨯=△所以11333P ABC ABC V S PM -=⋅=⨯=△.20.已知函数()()1ln 1f x a x x ⎛⎫=++⎪⎝⎭．（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点()()1,f x 处的切线方程．（2）若函数()f x 在()0,∞+单调递增，求a 的取值范围．【答案】（1）()ln 2ln 20x y +-=；（2）1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【解析】【分析】（1）由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；（2）原问题即()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立，整理变形可得()()()21ln 10g x ax x x x =+-++≥在区间()0,∞+上恒成立，然后分类讨论110,,022a a a ≤≥<<三种情况即可求得实数a 的取值范围.【小问1详解】当1a =-时，()()()11ln 11f x x x x ⎛⎫=-+>-⎪⎝⎭，则()()2111ln 111x f x x x x ⎛⎫'=-⨯++-⨯ ⎪+⎝⎭，据此可得()()10,1ln 2f f '==-，所以函数在()()1,1f 处的切线方程为()0ln 21y x -=--，即()ln 2ln 20x y +-=.【小问2详解】由函数的解析式可得()()()2111=ln 111f x x a x x x x ⎛⎫⎛⎫'-+++⨯>- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，满足题意时()0f x '≥在区间()0,∞+上恒成立.令()2111ln 101x a x x x ⎛⎫⎛⎫-+++≥ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，则()()()21ln 10x x x ax -++++≥，令()()()2=1ln 1g x ax x x x +-++，原问题等价于()0g x ≥在区间()0,∞+上恒成立，则()()2ln 1g x ax x '=-+，当0a ≤时，由于()20,ln 10ax x ≤+>，故()0g x '<，()g x 在区间()0,∞+上单调递减，此时()()00g x g <=，不合题意;令()()()2ln 1h x g x ax x '==-+，则()121h x a x -'=+，当12a ≥，21a ≥时，由于111x <+，所以()()0,h x h x '>在区间()0,∞+上单调递增，即()g x '在区间()0,∞+上单调递增，所以()()>00g x g ''=，()g x 在区间()0,∞+上单调递增，()()00g x g >=，满足题意.当102a <<时，由()1201h x a x =-=+'可得1=12x a-，当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '<在区间10,12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，即()g x '单调递减，注意到()00g '=，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g ''<=，()g x 单调递减，由于()00g =，故当10,12x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()00g x g <=，不合题意.综上可知：实数a 得取值范围是1|2a a ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭.【点睛】方法点睛：（1）求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.（2）由函数的单调性求参数的取值范围的方法①函数在区间(),a b 上单调，实际上就是在该区间上()0f x '≥(或()0f x '≤)恒成立．②函数在区间(),a b 上存在单调区间，实际上就是()0f x '≥(或()0f x '≤)在该区间上存在解集．21.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=的离心率是53，点()2,0A -在C 上．（1）求C 的方程；（2）过点()2,3-的直线交C 于,P Q 两点，直线,AP AQ 与y 轴的交点分别为,M N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】（1）22194y x +=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，进而可得结果；（2）设直线PQ 的方程，进而可求点,M N 的坐标，结合韦达定理验证2M Ny y +为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253b a b c c e a ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得32a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆方程为22194y x +=.【小问2详解】由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQ y k x P x y Q x y =++，联立方程()2223194y k x y x ⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()222498231630k x k k x k k +++++=，则()()()2222Δ64236449317280kk k k k k =+-++=->，解得0k <，可得()()2121222163823,4949k k k k x x x x k k +++=-=++，因为()2,0A -，则直线()11:22y AP y x x =++，令0x =，解得1122y y x =+，即1120,2y M x ⎛⎫⎪+⎝⎭,同理可得2220,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，则()()1212121222232322222y y k x k x x x x x +++++⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦=+++()()()()()()12211223223222kx k x kx k x x x +++++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=++()()()()1212121224342324kx x k x x k x x x x +++++=+++()()()()()()222222323843234231084949336163162344949k k k k k k k k k k k k k k k +++-++++===++-+++，所以线段MN 的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．【选修4-4】（10分）22.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为ππ2sin 42⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭ρθθ，曲线2C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，2απ<<π）.（1）写出1C 的直角坐标方程；（2）若直线y x m =+既与1C 没有公共点，也与2C 没有公共点，求m 的取值范围.【答案】（1）()[][]2211,0,1,1,2x y x y +-=∈∈（2）()(),0-∞+∞ 【解析】【分析】（1）根据极坐标与直角坐标之间的转化运算求解，注意,x y 的取值范围；（2）根据曲线12,C C 的方程，结合图形通过平移直线y x m =+分析相应的临界位置，结合点到直线的距离公式运算求解即可.【小问1详解】因为2sin ρθ=，即22sin ρρθ=，可得222x y y +=，整理得()2211x y +-=，表示以()0,1为圆心，半径为1的圆，又因为2cos 2sin cos sin 2,sin 2sin 1cos 2x y ======-ρθθθθρθθθ，且ππ42θ≤≤，则π2π2≤≤θ，则[][]sin 20,1,1cos 21,2x y =∈=-∈θθ，故()[][]221:11,0,1,1,2C x y x y +-=∈∈.【小问2详解】因为22cos :2sin x C y αα=⎧⎨=⎩（α为参数，ππ2α<<），整理得224x y +=，表示圆心为()0,0O ，半径为2，且位于第二象限的圆弧，如图所示，若直线y x m =+过()1,1，则11m =+，解得0m =；若直线y x m =+，即0x y m -+=与2C相切，则20m =>⎩，解得m =，若直线y x m =+与12,C C均没有公共点，则m >或0m <，即实数m 的取值范围()(),0-∞+∞ .【点睛】【选修4-5】（10分）23.已知()22f x x x =+-.（1）求不等式()6f x x ≤-的解集；（2）在直角坐标系xOy 中，求不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩所确定的平面区域的面积.【答案】（1）[2,2]-；（2）8.【解析】【分析】（1）分段去绝对值符号求解不等式作答.（2）作出不等式组表示的平面区域，再求出面积作答.【小问1详解】依题意，32,2()2,0232,0x x f x x x x x ->⎧⎪=+≤≤⎨⎪-+<⎩，不等式()6f x x ≤-化为：2326x x x >⎧⎨-≤-⎩或0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩或0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，解2326x x x >⎧⎨-≤-⎩，得无解；解0226x x x ≤≤⎧⎨+≤-⎩，得02x ≤≤，解0326x x x <⎧⎨-+≤-⎩，得20x -≤<，因此22x -≤≤，所以原不等式的解集为：[2,2]-【小问2详解】作出不等式组()60f x y x y ≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域，如图中阴影ABC ，由326y x x y =-+⎧⎨+=⎩，解得(2,8)A -，由26y x x y =+⎧⎨+=⎩,解得(2,4)C ，又(0,2),(0,6)B D ，所以ABC 的面积11|||62||2(2)|822ABC C A S BD x x =⨯-=-⨯--= .。
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷(2021.04)(解析版)
2021年山东省新高考质量测评联盟高考数学联考试卷（4月份）一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．408．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞110．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝112．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n 的表面积等于．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n ，求．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA ＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共8小题）.1．已知集合A＝{x||x﹣2|≤1}，B＝{y|y＝x2﹣2}，则（∁R A）∩B＝（）A．[﹣2，+∞）B．[﹣2，1]∪[3，+∞）C．[﹣2，1）∪（3，+∞）D．[﹣2，1]∪（3，+∞）解：∵|x﹣2|≤1，∴1≤x≤3，∴A＝{x|1≤x≤3}，∴∁R A＝{x|x＜1或x＞3}，∵y＝x2﹣2≥﹣2，∴B＝{y|y≥﹣2}，∴（∁R A）∩B＝[﹣2，1）∪（3，+∞），故选：C．2．若复数z＝1+i+i2+i3+…+i2021，则z＝（）A．0B．i C．1+i D．1﹣i解：z＝1+i+i2+i3+…+i2021＝．故选：C．3．如图，两个互相啮合的齿轮．大轮有64齿，小轮有24齿．当大轮转动一周时，小轮转动的角度为（）A．B．C．D．解：因为大轮有64齿，小轮有24齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角度为2π×＝，故选：D．4．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题，其中正确的命题是（）A．若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α⊥βD．若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n解：若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又n⊥β，则m∥n，故A错误；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B正确；若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，又n∥β，可得α∥β或α与β相交，相交也不一定垂直，故C错误；若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n∥β，∴m⊥n，故D正确．故选：D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．解：令f（x）＝0，解得，故函数f（x）的零点为，故选项B，D错误；因为，当x＜0时，f'（x）＜0，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，故选项C错误，选项A正确．故选：A．6．抛物线y＝2x2的焦点为F，过F作斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，则|AB|＝（）A．4B．1C．D．解：抛物线y＝2x2的焦点F（0，），准线方程为y＝﹣，∴直线AB的方程为y＝x﹣，代入y＝2x2可得2x2﹣x+＝0∴x A+x B＝，y A＝x A﹣，y B＝x B﹣，所以y A+y B＝x A+x B﹣﹣＝﹣＝，由抛物线的定义可知，|AB|＝|AF|+|BF|＝y A+y B+p＝＝．故选：D．7．五声音阶，古代文献酒常称为“五声”、“五音”等，是按五度的相生顺序，从宫音开始到羽音，依次为：宫、商、角、徵（zhi）、羽．如按音高顺序排列，即为：12356宫商角徵羽．中国传统乐学理论对“音阶”这个现代概念，常分别从“音”、“律”、“声”等不同角度揭示其内涵，如果把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，可排成不同音序的种数为（）A．20B．28C．32D．40解：根据题意，分3步进行分析：①排好宫、羽、角三种音阶，要求宫、羽两音阶在角音阶的两侧，有2种情况，②排好后，有4个空位，将商安排到4个空位中，有4种情况，③排好后，有5个空位，将徵安排到5个空位中，有5种情况，则有2×4×5＝40种不同的顺序，故选：D．8．已知数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），S n为数列{b n}的前n项和，则S100＝（）A．472B．480C．580D．769解：数列{a n}，{b n}对任意的m，n∈N+，有a m+n＝a m+a n，a1＝2，令m＝1，则a n+1＝a n+a1＝a n+2，故a n+1﹣a n＝2（常数），所以数列{a n}为等差数列，故a n＝2+2（n﹣1）＝2n，由于b n＝[log2a n]（[x]表示不超过x的最大整数），所以b1＝1，b2＝b3＝2，b4＝b5＝…＝b7＝3，b8＝b9＝…＝b15＝4，b16＝b17＝…＝b31＝5，b32＝b33＝…＝b63＝6，b64＝b65＝…＝b100＝7，故S100＝1+2×2+3×4+4×8+16×5+32×6+37×7＝580．故选：C．二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9．若a＞b＞0，且ab＝1，则（）A．a＞b+1B．C．（）a＞（）b D．log2（a+b）＞1解：由于a＞b＞0，且ab＝1，则a＞1＞b＞0，对于A：，故确定不了与0的关系，故A错误；对于B：a2+1＞b2+1，故，故B正确；对于C：由于f（x）＝为减函数，故f（b）＞f（a），所以，故C错误；对于D：log2（a+b），故D正确；故选：BD．10．如图．统计图记录了从2016年到2020年我国发明专利授权数和基础研究经费支出的情况，下列叙述正确的是（）A．这五年基础研究经费支出与年份线性相关B．这五年发明专利授权数的年增长率保持不变C．这五年基础研究经费支出的增长率比发明专专利授权数的增长率高D．这五年的发明专利授权数与基础研究经费支出成负相关解：由条形图可知，五年基础研究经费随年份的增长而增长，呈线性相关，故选项A正确；由折线图可知，从2018～2019，2019～2020的折线的斜率反生变化，故年增长率发生变化，故选项B错误；由条形图对应的斜率以及折线图对应的斜率可知，基础研究经费支出的增长率大于发明专专利授权数的增长率，故选项C正确；由统计图可知，发明专利授权数与基础研究经费支出呈正相关，故选项D错误．故选：AC．11．已知f（x）＝，则下列说法正确的是（）A．关于x的方程f（x）＝（）n（n∈N*）有2n+2个不相等的实数根B．y＝f（x）与g（x）＝3x的图象上存在2对关于直线y＝x的对称点C．∀x∈[1，8]，有xf（x）≤3恒成立D．当x∈[2n﹣1，2n]，n∈N*，函数f（x）的图象与x轴围成的图形面积S＝1解：当1时，f（x）＝2﹣（6﹣4x）＝4x﹣4，当时，f（x）＝2﹣（4x﹣6）＝8﹣4x，当2＜x＜3时，，f（）＝x﹣2，当3≤x≤4时，，f（）＝4﹣x，由此可知，当2n﹣1≤x≤3•2n﹣1时，f（x）＝24﹣2n（x﹣2n﹣1）；当3•2n﹣1＜x＜2n时，f（x）＝24﹣2n（2n﹣x）．对于A：f（x）与有2n+1个交点，A错误；对于B：作出g（x）关于直线y＝x对称的图像，即g（x）的反函数h（x）＝log3x，由图像可知，f（x）与h（x）有3个交点，即f（x）与g（x）有3对对称点，B错误；对于C：当1≤x≤8时，，C正确；对于D：当2n﹣1≤x≤2n时，函数f（x）与x轴围成的图形为三角形，底为2n﹣2n﹣1，高为，则S＝＝1，D正确．故选：CD．12．已知双曲线方程为＝1，A为双曲线右支上任意一点，F1，F2为左、右焦点，△AF1F2的内切圆圆心为I，⊙I与x轴切于点N，线段AI的延长线与x轴交于点M（x0，0）．则以下结论正确的有（）A．|F1N|﹣|F2N|为定值B．I的横坐标为定值C．x0的范围是（0，3）D．⊙I半径的最大值为4解：双曲线方程为＝1的a＝3，b＝4，c＝5，⊙I与x轴切于点N，与AF1切于点P，与AF2切于点T，因为I的横坐标与N的横坐标相等，设I（x N，r），由切线长相等，可得|PF1|＝|NF1|，|PA|＝|TA|，|TF2|＝|NF2|，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，即有|NF1|﹣|NF2|＝2a，又|NF1|+|NF2|＝2c，解得|NF2|＝c﹣a，可得|ON|＝a，则A，B都正确；由内角平分线的性质定理可得＝＝，即有|AF2|＝3（﹣1）＞c﹣a＝2，解得0＜x＜X0＜3，故C正确；可设A（m，n），m，n＞0，△AF1F2的内切圆的半径为r，则﹣＝1，①又S＝•2c•n＝r（2c+|AF1|+|AF2|），即为5n＝r（5+3+|AF2|）＝r（8+em﹣a）＝r（5+m），化为n＝r（1+m），若r＝4，则n＝4（1+m），②联立①②，可得方程组无解．故D错误．故选：ABC．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，则f（）＝．解：已知f（x）＝sin x+2f'（）cos x，函数f（x）的定义域为R，f′（x）＝cos x﹣2f'（）sin x，所以f′（）＝cos﹣2f'（）sin，解得f′（）＝，所以f（）＝sin+2f'（）cos＝，故答案为：．14．平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．且|﹣﹣|＝2，则||的最大值为7．解：∵平面内非零向量，，，有||＝3，||＝4，•＝0．故可建立如图所示的坐标系，则A（3，0），B（0，4），设C（x，y），因为|﹣﹣|＝2，∴（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，即表示以D（3，4）为圆心，2为半径的圆上的点，因为OD＝＝5，故||的最大值为：5+2＝7，故答案为：7．15．若对于任意实数m，函数f（x）＝ωx+cosωx．在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，则ω的最小正整数值为10．解：f（x）＝ωx+cos x＝2sin（ωx+），因为f（x1）f（x2）＝4，则f（x1），f（x2）同时为函数的最小或同时为函数的最大值，因为f（x）在区间（m，m+1]上至少存在两个不相等的实数x1，x2满足f（x1）f（x2）＝4，所以|x1﹣x2|≥T＝＝，故m+1﹣m×，所以ω≥3π，则ω的最小正整整数为10．故答案为：10．16．在三棱锥V﹣ABC中．△ABC是边长为6的正三角形．VA＝VB＝VC＝2，其内有n个小球，球O1与三梭锥V﹣ABC的四个面都相切，则球O1的半径为，球O2与三棱锥V﹣ABC的三个面和球O1都相切，以此类推，……，球O n与三棱锥V﹣ABC 的三个面和球O n﹣1（n≥2，n∈N*）都相切，则球O n的表面积等于．解：如图，取O为三角形ABC的中心，M为AB的中点，连接OM，VM，则BM＝，OM＝，VM＝，∴VO＝，由对称性可知，球心O1在VO上，且O1O＝r1（r1为球O1的半径），作O1H⊥VM，则O1H＝r1，VO1＝4﹣r1，由Rt△VOM∽Rt△VHO1，可得，即，解得，则球O1的半径为；作球O1与底面ABC平行的切面A1B1C1，则球O2即为三棱锥V﹣A1B1C1的内切球，三棱锥V﹣A1B1C1的高，由V﹣A1B1C1与V﹣ABC相似，且长度相似比为，得，可得，则{r n}构成以为首项，以为公比的等比数列，∴，可得球O n的表面积为．故答案为：；．四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知△ABC内角A，B，C的对边为a，b，c，b＝c＝4且满足______．①a sin B＝b cos（A+），②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），③，在这三个条件中任选一个，补充在上面的题干中，然后解答问题．（1）求角A；（2）点P为△ABC内一点，当∠BPC＝时，求△BPC面积的最大值．解：选①a sin B＝b cos（A+），由正弦定理得sin A sin B＝sin B cos（A+），因为sin B≠0，所以sin A＝cos（A+）＝，即tan A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选②sin C﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin（A+B）﹣sin B＝sin（A﹣B），所以sin A cos B+sin B cos A﹣sin B＝sin A cos B﹣sin B cos A，即2sin B cos A＝sin B，因为sin B≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A＝；选③，由正弦定理得，整理得，2sin C cos A＝sin B cos A+sin A cos B＝sin（A+B）＝sin C，因为sin C≠0，所以cos A＝，因为A∈（0，π），所以A ＝；（2）由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝16+16﹣2×＝32﹣16，△BPC中，由余弦定理得a2＝BP2+PC2﹣2BP•PC•cos＝BP2+PC2+BP•PC≥3BP•PC，当且仅当BP＝CP时取等号，所以BP•PC，S△BPC ＝＝，△BPC 面积的最大值．18．随着我国市场经济体制的逐步完善，顾客购买心理不断成熟，影响顾客购买的因素越来越多，创建﹣一个规范有序的市场环境，提高消费者满意度，有助于当地经济的发展.2020年，淄博市市场监督管理部门共受理消费者投诉、举报43548件，为消费者挽回经济损失9300.19万元，连续两年进人全国城市消费者满意度测评前100名淄博市某调查机构对2020年的每个月的满意度进行了实际调查，随机选取了几个月的满意度数据如图：月份x234567101125.23342393658.87278满意度y（%）参考数据：x i＝6，＝＝48，＝72，＝2598.48，＝414．（1）从这8个月的数据中任意选3个月的数据，以表示3个月中满意度不小于35%的个数，求ξ的分布列和数学期望；（2）根据散点图发现6月份数据偏差较大，如果去掉该月的数据，试用剩下的数据求出满意度y（%）关于月份x的线性回归方程（精确到0.01）附：线性回归方程y ＝中，＝＝，．解：（1）由题意可知，满意度小于35%的有2个月，不小于35%的由6个月，所以ξ的可能取值为1，2，3，故P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，所以ξ的分布列为：ξ123P故ξ的数学期望为E（ξ）＝1×+2×+3×＝；（2）去掉6月份的数据后可得新数据表如下；月份x234571011满意度y（%）25.233423958.87278则，，，，所以＝＝，所以＝49.714﹣5.75×6＝15.21，故剩下的数据所求出的线性回归方程为y＝5.75x+15.21；19．已知数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n（n∈N*）．（1）求a1的值和{b n}的通项公式；（2）令c n＝2n+1﹣a n，求．解：（1）数列{a n}，{b n}，a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，数列{b n}的前n项和为T n，4T n＝a n2+（2n+2）a n+4n﹣1+2n①．当n＝1时，整理得，解得a1＝1．当n≥2时，4T n﹣1＝a n﹣12+（2n﹣1+2）a n﹣1+4n﹣2+2n﹣1②，①﹣②得：2（b n+b n﹣1）＝（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1），由于a n＞0．b n＝a n+2n﹣1，所以b n+b n﹣1＞0，整理得b n﹣b n﹣1＝2（常数），由于b1＝1+1＝2，故b n＝2+2（n﹣1）＝2n，所以．（2）由（1）得：c n＝2n+1﹣a n＝2n﹣1+1，所以＝，故＝．20．已知四边形ABCD，∠BAC＝∠ADC＝90°，DC＝DA＝AB，将△ADC沿AC翻折至△PAC．（1）若PA＝PB，求证PA⊥BC；（2）若二面角P﹣AC﹣B为，求直线BC与平面PAB所成角的正弦值．【解答】（1）证明：因为DC＝DA＝AB，PA＝PB，所以PB＝PA＝DA＝AB，在△PAB中，有，所以PA⊥PB，又∠ADC＝90°，即∠APC＝90°，所以PA⊥PC，因为PB∩PC＝P，PB，PC⊂平面PBC，所以PA⊥平面PBC，又BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC；（2）解：取AC的中点E，BC的中点F，连结EF，PE，则EF∥AB，因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，所以EF⊥AC，因为DC＝DA，即PC＝PA，所以PE⊥AC，所以∠PEF为二面角P﹣AC﹣B的平面角，∠PEF＝，设DC＝DA＝AB＝，则，PE＝，以点E为原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面PBC的一个法向量为，则，即，令x＝1，则y＝0，，故，所以＝，故直线BC与平面PAB所成角的正弦值为．21．在平面直角坐标系xOy中，动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍．（1）求动点M的轨迹E的方程；（2）点P为直线x＝3上一动点，过P点作曲线E的切线，切点为Q，线段PQ的中点为N，问是否存在定点T，满足|PQ|＝2|NT|？若存在求出定点T的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）设M（x，y），因为动点M到直线x＝3的距离是到点（2，0）的距离的倍，所以，化简整理可得，，故动点M的轨迹E的方程为；（2）由题意可知，直线PQ的斜率一定存在，设其方程为y＝kx+m，则点P（3，3k+m），联立直线PQ与椭圆E可得，则（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣6＝0，所以，求解可得，所以，椭圆右焦点F2（2，0），所以，，所以，所以QF2⊥PF2，因为N是PQ的中点，所以|QP|＝2|NF2|，所以存在定点T（2，0），满足|PQ|＝2|NT|．22．已知函数f（x）＝+ax+a2lnx（a∈R）f'（x）是f（x）的导函数．（1）若a＞0，曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线为y＝x+b，求a，b的值；（2）设g（x）＝xf'（x）﹣e x，若g（x）≤0，求实数a的取值范围．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x+a+，所以f′（1）＝+a+＝，解得a＝2或a＝﹣4（舍），所以f（1）＝，所以切点坐标为（1，），代入切线方程得b＝﹣，所以a＝2，b＝﹣．（2）g（x）＝x2+ax+﹣e x，x∈（0，+∞），所以g′（x）＝x+a﹣e x，设h（x）＝x+a﹣e x，x∈（0，+∞），所以h′（x）＝1﹣e x＜0，所以g′（x）在（0，+∞）上是减函数，且g′（x）＜g′（0）＝a﹣1，①当a﹣1≤0时，即a≤1时，g′（x）＜g′（0）＜0，所以g（x）在（0，+∞）上是减函数，所以g（x）＜g（0）＝﹣1≤0，解得﹣≤a≤，所以﹣≤a≤1．②当a﹣1＞0时，即a＞1时，g′（0）＝a﹣1＞0，g′（ln2a）＝ln2a﹣a，设m（a）＝ln2a﹣a，所以m′（a）＝﹣1＝＜0，所以m（a）在（1，+∞）上是减函数，所以g′（ln2a）＝ln2a﹣a＜m（1）＝ln2﹣1＜0，所以存在唯一x0∈（0，ln2a）满足g′（x0）＝0，即x0+a﹣＝0，所以当x∈（0，x0）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（x0，ln2a）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）max＝g（x0）＝x02+ax0+﹣＝（x0+a）2﹣＝﹣≤0，解得0＜≤2，所以0＜x0≤ln2，因为a＝﹣x0且0＜x0≤ln2，设φ（x）＝e x﹣x，x∈（0，ln2]，所以φ′（x）＝e x﹣1＞0，所以φ（x）在（0，ln2]上是增函数，因为φ（0）＝0，φ（ln2）＝2﹣ln2，所以1＜a≤2﹣ln2，综上所述，实数a的取值范围是[﹣，2﹣ln2]．。
山东省2021年高考数学压轴卷(含解析)
山东省2021年高考数学压轴卷（含解析）一、选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x︱x>－2}且A∪B=A，则集合B可以是（）A. {x︱x2>4 }B. {x︱2y x=+ }C. {y︱22,y x x R=-∈} D. {－1,0,1,2,3}2.若()22z i i-=-（i是虚数单位），则复数z的模为（）A.12B.13C.14D.153.已知4log 5a=，2log3b=，sin2c=，则a、b、c的大小关系为（）A. a b c<< B. c a b<<C. b c a<< D. c b a<<4.若对任意的正数a，b满足310a b+-=，则31a b+的最小值为A. 6B. 8C. 12D. 245.如图，在四边形ABCD中，AD BC∥，AD AB=，45BCD∠=︒，90BAD∠=︒，将ABD∆沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD构成几何体A-BCD，则在几何体A-BCD中，下列结论正确的是（）A. 平面ADC⊥平面ABCB. 平面ADC⊥平面BDCC. 平面ABC⊥平面BDCD. 平面ABD⊥平面ABC6.()52112xx⎛⎫--⎪⎝⎭展开式的常数项为（）A. 112B. 48C. -112D. -487.已知F是双曲线22:145x yC的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若=OP OF，则OPF△的面积为（）精品Word 可修改欢迎下载精品 Word 可修改 欢迎下载A.32B.52C.72D.928.已知函数2()2log xf x x =+，且实数0a b c >>>，满足()()()0f a f b f c <，若实数0x 是函数()y f x =的一个零点，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）A. 0x a <B.0x a > C. 0x b < D. 0x c <二．多项选择题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。