2016届高三高考数学易错题精选
失分点1 忽视空集致误
例1 已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若A ∪B ＝A .求实数m 的取值范围．
正解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ?A .∵A ＝{x |x 2－3x －10≤0}＝{x |2≤x ≤5}．
①若B ＝?，则m ＋1>2m －1，即m <2，故m <2时，A ∪B ＝A ；
②若B ≠?，如图所示，则m ＋1≤2m －1，即m ≥2. 由B ?A 得?????
－2≤m ＋1，
2m －1≤5.解得－3≤m ≤3. 又∵m ≥2，∴2≤m ≤3.由①②知，当m ≤3时，A ∪B ＝A . 补救训练1 已知集合A ＝{x |x 2＋(p ＋2)x ＋1＝0，p ∈R}，若A ∩R *＝?，则实数p 的取值范围为____________． ??? Δ＝(p ＋2)2－4≥0，－p ＋22>0，即?????
p ≥0或p ≤－4，
p <－2，解得p ≤－4. 故当A ∩R *＝?时，p 的取值范围是(－4，＋∞)． 失分点2 忽视集合元素的特征致误
例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，?U A ＝{5}，则实数a ＝________. 正解 由?U A ＝{5}，得5∈U 且5∈A ，a 2＋2a －3＝5且|2a －1|≠5，解得a ＝2，或a ＝－4. 当a ＝－4时，集合A ＝{9,2}，U ＝{2,3,5}，显然不符合题意．故a ＝2. 另解 由题意得????? |2a －1|＝3，
a 2＋2a －3＝5，解得a ＝2. 补救训练2 若A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 为________． 解析 由已知得B ?A ，∴x 2∈A 且x 2≠1.
(1)x 2＝3，得x ＝±3，都符合．
(2)x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1，而x ≠1，∴x ＝0.综合(1)(2)，共有3个值．
失分点3 对命题的否定不当致误
例3 已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∈M ，则a 的取值范围是________． 正解 方法一 ∵5∈M ，∴5a ＋105a －25
>0或5a －25＝0，∴a <－2或a >5或a ＝5，故填a ≥5或a <－2.
方法二 若5∈M ，则5a ＋105a －25
≤0，∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a <5，∴5∈M 时，a <－2或a ≥5.
补救训练3 已知集合M ＝{x |a 2x ＋2a －12ax －1<0}，若2∈M ，则实数a 的取值范围是________． 解析 若2∈M ，则2a 2＋12a －1<0，即(2a －1)(2a 2＋1)<0，∴a <12，∴当2∈M 时，a 的取值范围为：a ≥12
.
失分点4 函数概念不清致误
例4 已知函数f (x 2
－3)＝lg x 2
x 2－4，求f (x )的定义域． 正解 由f (x 2－3)＝lg x 2x 2－4，设x 2－3＝t ，则x 2＝t ＋3，因此f (t )＝lg t ＋3t －1.∵x 2x 2－4
>0，即x 2>4，∴t ＋3>4，即t >1.∴f (x )的定义域为{x |x >1}．
补救训练4 已知g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2
x 2(x ≠0)，那么f (2)的值为________． 解析 令g (x )＝1－2x ＝2，∴x ＝－12，∴f (2)＝f [g (－12)]＝1－1414＝3. 失分点5 忽视函数的定义域致误 例5 函数y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调递增区间为__________．
正解 由x 2－5x ＋6>0知{x |x >3或x <2}．令u ＝x 2－5x ＋6，则u ＝x 2－5x ＋6在(－∞，2)上是减函数，∴y ＝log (x 2－5x ＋6)的单调增区间为(－∞，2)．
补救训练5 函数f (x )＝log 4(7＋6x －x 2)的单调递增区间是_______．
解析 设y ＝log 4u ，u ＝－x 2＋6x ＋7，则二次函数u ＝－x 2＋6x ＋7在(－∞，3]上为增函数， 在[3，＋∞)上为减函数．又y ＝log 4u 是增函数，函数f (x )＝log 4(7＋6x －x 2)的定义域是(－1,7)， 故由复合函数的单调性知，所求函数的单调递增区间为(－1，3]．
失分点7 极值点概念不清致误
例7 已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值为10，则a ＋b ＝________.
正解 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由x ＝1时，函数取得极值10，得 ????? f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0， ①f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10， ② 联立①②得????? a ＝4，b ＝－11，或????? a ＝－3，b ＝3. 当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)在x ＝1两侧的符号相反，符合题意．当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)2在x ＝1两侧的符号相同，所以a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去．综上可知a ＝4，b ＝－11，∴a ＋b ＝－7.
补救训练7 求函数f (x )＝x 4－x 3的极值，并说明是极小值还是极大值．
解 由f ′(x )＝4x 3－3x 2，当f ′(x )＝0，
即4x 3－3x 2＝0时，解得x 1＝0，x 2＝34
. f (x )
由上表可知函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数，在区间???
?0，34上还是减函数，于是，x ＝0
不是函数的极值点．而函数f (x )在区间????0，34上是减函数，在区间????34，＋∞上是增函数，因此在x ＝34处取得极小值，其值为－27256
，无极大值． 失分点8 导数与单调性的关系理解不准致误
例8 函数f (x )＝ax 3－x 2＋x －5在R 上是增函数，则a 的取值范围是__________． 正解 f (x )＝ax 3－x 2＋x －5的导数f ′(x )＝3ax 2－2x ＋1， 由f ′(x )≥0，得?????
a >0，Δ＝4－12a ≤0，解得a ≥13. 补救训练8 已知函数f (x )＝x 33－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2在实数集R 上是增函数，求实数m 的取值范围．
解 ∵f (x )＝x 33
－(4m －1)x 2＋(15m 2－2m －7)x ＋2，∴f ′(x )＝x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7. 又f (x )在R 上是增函数，∴f ′(x )≥0在R 上恒成立．
即x 2－2(4m －1)x ＋15m 2－2m －7≥0在R 上恒成立．∴Δ＝4(m 2－6m ＋8)≤0，得2≤m ≤4.
失分点9 忽视基本不等式的应用条件致误
例9 函数y ＝x ＋2x －1的值域是______． 正解 当x >1时，y ＝x ＋2x －1＝x －1＋2x －1＋1≥2(x －1)·2x －1 ＋1＝22＋1，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立； 当x <1时，－y ＝－x ＋21－x ＝1－x ＋21－x －1≥2(1－x )·21－x －1＝22－1，∴y ≤1－22； 当且仅当1－x ＝11－x
，即x ＝0时等号成立． ∴原函数的值域为(－∞，1－22]∪[1＋22，＋∞)．
补救训练9 函数y ＝x 2＋5x 2＋4的最小值为________． 解析 y ＝x 2＋5x 2＋4＝x 2＋4＋1x 2＋4令t ＝x 2＋4≥2，∴y ＝t ＋1t (t ≥2)． 由于y ＝t ＋1t 在(1，＋∞)上是增函数．∴当t ＝2即x ＝0时，y 最小＝2＋12＝52
. 失分点10 图象变换方向或变换量把握不准致误
例10 要得到y ＝sin(－3x )的图象，需将y ＝22
(cos 3x －sin 3x )的图象向___________个单位(写出其中的一种特例即可)．
正解 y ＝22(cos 3x －sin 3x )＝sin ????π4－3x ＝sin ????－3????x －π12， 要由y ＝sin ????－3????x －π12到y ＝sin(－3x )只需对x 加上π12即可，因而是对y ＝22(cos 3x －sin 3x )向左平移π12个单位． 补救训练10 将函数y ＝f (x )的图象向左平移π3
个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的解析式为f (x )＝____________.
解析 将y ＝sin x 的图象横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象，再将y ＝sin 2x 的图象向右平移π3
个单位，得到y ＝sin 2????x －π3的图象．
故f (x )＝sin ?
???2x －2π3. 失分点11 忽视三角函数值对角的范围的限制致误
例11 已知cos α＝17，sin(α＋β)＝5314，0<α<π2，0<β<π2，求cos β. 正解 ∵0<α<π2且cos α＝17 . 失分点12 解三角形时，忽视分类讨论而致误 例12 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c 且a ＝1，c ＝ 3. (1)若C ＝π3，求A ；(2)若A ＝π6，求b . 正解 (1)由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，即sin A ＝a sin C c ＝12. 又a ，∴b ＝1.综上所述，b ＝2或b ＝1. 补救训练12 在△ABC 中，B ＝30°，AB ＝23，AC ＝2，求△ABC 的面积． 解 由正弦定理得sin C ＝AB ·sin B AC ＝32.又因为AB >AC ，所以C ＝60°或C ＝120°. 当C ＝60°时，A ＝90°，于是S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×23×2＝2 3. 当C ＝120°时，A ＝30°，于是S △ABC ＝12AB ·AC ·sin A ＝12×23×2×12 ＝ 3. 故△ABC 的面积是23或 3. 失分点13 忽视向量共线致误 例13 已知a ＝(2,1)，b ＝(λ，1)，λ∈R ，a 与b 的夹角为θ.若θ为锐角，则λ的取值范围是 正解 因θ为锐角，有0 λ>－12，λ≠2.∴λ的取值范围是??????λ|λ>－12且λ≠2. 补救训练13 设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为π3.若向量2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，求实数t 的范围． 解 ∵2te 1＋7e 2与e 1＋te 2的夹角为钝角，∴(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0且2te 1＋7e 2≠λ(e 1＋ te 2)(λ<0)．由(2te 1＋7e 2)·(e 1＋te 2)<0得2t 2＋15t ＋7<0，∴－7 . 若2te 1＋7e 2＝λ(e 1＋te 2)(λ<0)，∴(2t －λ)e 1＋(7－t λ)e 2＝0. ∴? ???? 2t －λ＝07－t λ＝0，即t ＝－142，∴t 的取值范围为－7 2n ，n ≥2. 补救训练14 已知数列{a n }的首项为a 1＝3，通项a n 与前n 项和S n 之间满足2a n ＝S n ·S n － 1(n ≥2)．(1)求证：{1 S n }是等差数列，并求其公差；(2)求数列{a n }的通项公式． 解 (1)当n ≥2时，2(S n －S n －1)＝S n ·S n －1，两端同除以S n ·S n －1，得1S n －1S n －1＝－12，根据等差数列的定义，知{1S n }是等差数列，且公差为－12. (2)由第(1)问的结果可得1S n ＝13＋(n －1)×(－12)，即S n ＝65－3n . 当n ＝1时，a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝18(3n －5)(3n －8). 所以a n ＝??? 3 (n ＝1)，18(3n －5)(3n －8) (n ≥2). 失分点15 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误 例15 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________． 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1，∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q ∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0.∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 补救训练15 已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为q ，则q 的取值范围是_______． 解析 设三角形的一边长为a ，①当q ≥1时，由a ＋aq >aq 2，解得1≤q <1＋52； ②当0 . 失分点16 忽视等比数列中的隐含条件致误 例16 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝______. 正解 记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列．∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2，r ＝－3(舍去)，∴S 10＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150. 补救训练16 已知x ，y ∈N *，若x,42，y 成等比数列，则x ＋y 的最小值是________． 解析 xy ＝(42)2＝32＝1×32＝2×16＝4×8 (x 、y ∈N *)． ∴x ＋y 的最小值为12. 失分点17 对数列的递推关系转化不当致误 例17 已知函数f (x )＝2x x ＋1，数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝f (a n ),b n ＝a n 1－a n ，n ∈N *，求数列{b n } 的通项公式． 正解 ∵f (x )＝2x x ＋1，∴a n ＋1＝f (a n )＝2a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝12＋12a n .∴1a n ＋1－1＝12(1a n －1)，又b n ＝a n 1－a n ，∴1b n ＝1a n －1，∴1b n ＋1＝12·1b n ，∴b n ＋1＝2b n ，又b 1＝a 11－a 1 ＝2， ∴{b n }是以2为首项，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n . 补救训练17 已知函数f (x )满足：对任意的x ∈R ，x ≠0，恒有f (1x )＝x 成立，数列{a n }、{b n }满足a 1＝1，b 1＝1，且对任意n ∈N *，均有a n ＋1＝a n f (a n )f (a n )＋2 ，b n ＋1－b n ＝1a n . (1)求函数f (x )的解析式；(2)求数列{a n }、{b n }的通项公式； (3)对于λ∈[0,1]，是否存在k ∈N *，使得当n ≥k 时，b n ≥(1－λ)f (a n )恒成立？若存在，试求k 的最小值；若不存在，请说明理由． 解 (1)令t ＝1x ，则t ≠0，∵f (1x )＝x ，∴f (t )＝1t (t ≠0)，即f (x )＝1x (x ≠0)． (2)∵f (a n )＝1a n ，∴a n ＋1＝a n f (a n )f (a n )＋2＝11a n ＋2＝a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n ＝2， ∴{1a n }是以1为首项，公差为2的等差数列，∴1a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 又b n ＋1－b n ＝1a n ＝2n －1，∴b n －b n －1＝2n －3，b n －1－b n －2＝2n －5，b n －2－b n －3＝2n －7， … …b 3－b 2＝3，b 2－b 1＝1， 把以上各式累加得，b n －b 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(1＋2n －3)·(n －1)2 ＝n 2－2n ＋1，∴b n ＝n 2－2n ＋2.(3)对于λ∈[0,1]时，b n ≥(1－λ)f (a n )恒成立，等价于λ∈[0,1]时，n 2－2n ＋2≥(1－λ)·(2n －1)恒成立，等价于λ∈[0,1]时，(2n －1)·λ＋n 2－4n ＋3≥0恒成立，设g (λ)＝(2n －1)λ＋n 2－4n ＋3≥0，对于λ∈[0,1]，(2n －1)·λ＋n 2－4n ＋3≥0恒成立，则有????? g (0)≥0，g (1)≥0，解得n ≥3或n ≤1.由此可见存在k ∈N *，使得当n ≥k 时，b n ≥(1－λ)f (a n )恒成立，其最小值为3. 失分点18 对线面关系定理条件把握不准致误 例18 已知m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面．给出下列命题： (1)若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α，或n ⊥β；(2)若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥n ； (3)若m 不垂直于α，则m 不可能垂直于α内的无数条直线； (4)若α∩β＝m ，n ∥m ，且n ?α，n ?β，则n ∥α，且n ∥β；(5)若m 、n 为异面直线，则存在平面α过m 且使n ⊥α.其中正确的命题序号是________． 正解 (1)是错误的．如正方体中面ABB ′A ′⊥面ADD ′A ′，交线为AA ′. 直线AC ⊥AA ′，但AC 不垂直面ABB ′A ′，同时AC 也不垂直面ADD ′A ′. (2)正确．实质上是两平面平行的性质定理．(3)是错误的．在上面的正方体中，A ′C 不垂直于平面A ′B ′C ′D ′，但与B ′D ′垂直．这样A ′C 就垂直于平面A ′B ′C ′D ′内与直线B ′D ′平行的无数条直线．(4)正确．利用线面平行的判定定理即可． (5)错误．从结论考虑，若n ⊥α且m ?α， 则必有m ⊥n ，事实上，条件并不能保证m ⊥n .故错误． 补救训练18 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l ⊥β，则l ∥α；②若l ⊥α，l ∥β，则α⊥β；③若l 上有两个点到α的距离相等，则l ∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β.其中正确命题的序号是________． 解析①有直线l ?α的可能；②正确；③中包含两个点在平面两侧的情况；④正确．故填②④. 失分点21 忽视对直线斜率为零或,斜率不存在等特殊情况的讨论致误 例21 与抛物线y 2＝2x 有且仅有一个交点，并且过点(0,1)的直线方程为_______． 解析 ①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直x 轴时． 因为过点(0,1)，所以x ＝0，即y 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 相切． ②当所求直线斜率为零时，直线为y ＝1，平行x 轴，它正好与抛物线y 2＝2x 只有一个交点． ③当直线与x 轴不平行也不垂直时，设所求的过点(0,1)的直线为y ＝kx ＋1 (k ≠0)，则????? y ＝kx ＋1，y 2＝2x .故有k 2x 2＋(2k －2)x ＋1＝0. 令Δ＝0，解得k ＝12，所以，所求直线为x －2y ＋2＝0. 综上，满足条件的直线为：y ＝1、x ＝0和x －2y ＋2＝0. 失分点22 忽视曲线存在的条件致误 例22 已知圆C 的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，且过定点A (1,2)作圆的切线有两条，求a 的取值范围． 正解 将圆C 的方程配方有(x ＋a 2)2＋(y ＋1)2＝4－3a 24， ∴4－3a 24>0， ①∴圆心C 的坐标为(－a 2，－1)，半径r ＝4－3a 22.当点A 在圆外时，过点A 可作圆的两条切线，∴AC >r ，即 (1＋a 2)2＋(2＋1)2>4－3a 22，化简得a 2＋a ＋9>0. ②由①②得－233 |m |－1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是_______． 解析 因为焦点在y 轴上，所以其标准方程应为 y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，故|m |－1>5－2m >0，解得2 . 失分点23 考虑不周全忽视特殊情况致误 例23 双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (a >0，b >0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为________． 正解 设PF 2＝m ，∠F 1PF 2＝θ (0<θ≤π)，当点P 在右顶点处时，θ＝π. 由条件，得PF 1＝2m ，F 1F 22＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θ，且|PF 1－PF 2|＝m ＝2a . 所以e ＝2c 2a ＝m 2＋(2m )2－4m 2cos θm ＝5－4cos θ. 又－1≤cos θ<1，所以e ∈(1,3]． 补救训练23 已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1 (b >a >0)，直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，且原点到直线l 的距离为34 c (c 为半焦距)，则双曲线的离心率为________． 解析 因为直线l 过点A (a,0)和B (0，b )，所以其方程为x a ＋y b ＝1，即bx ＋ay －ab ＝0. 又原点到直线l 的距离为34c ，所以ab a 2＋b 2＝34c . 又a 2＋b 2＝c 2，所以4ab ＝3c 2，即16a 2(c 2－a 2)＝3c 4. 所以3e 4－16e 2＋16＝0，解得e 2＝4或e 2＝43. 又b >a >0，e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2>a 2＋a 2a 2＝2.所以e 2＝4，故e ＝2. 失分点24 忽视“判别式”致误 例24 已知双曲线x 2 －y 2 2＝1，过点B (1,1)能否作直线m ，使m 与已知双曲线交于Q 1，Q 2两点，且B 是线段Q 1Q 2的中点？这样的直线m 如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由． 正解 设Q 1(x 1，y 1)，Q 2(x 2，y 2)，代入双曲线方程得??? x 21－y 212＝1， ①x 22－y 222＝1. ② ①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＝12(y 1＋y 2)(y 1－y 2)．∵B (1,1)为Q 1Q 2的中点，∴k ＝y 1－y 2 x 1－x 2＝2. ∴直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.联立???? ? y ＝2x －1，x 2－y 22＝1消去y 得2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0，∴所求直线不存在． 失分点25 忽视限制条件致误 例25 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9， 动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________． 正解 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B . 根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB .因为MA ＝MB ， 所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2，即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2.所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离 大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28 ＝1(x <0)． 补救训练25 如图所示，过点P (0，－2)的 直线l 交抛物线y 2＝4x 于A ，B 两点，求以OA ,OB 为邻边的平行四边形OAMB 的顶点M 的轨迹方程． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )，设直线l 的方程为y ＝kx －2 (k ≠0)．与抛物线方程y 2＝4x 联立消去y ，得k 2x 2－4(k ＋1)x ＋4＝0 由根与系数的关系有x 1＋x 2＝4(k ＋1)k 2，x 1x 2＝4k 2，∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝4k ， 又在平行四边形OAMB 中，AB 中点即为OM 中点．∴x 1＋x 2＝x ＝4(k ＋1)k 2，y 1＋y 2＝y ＝4k ， 消去k 即得(y ＋2)2＝4(x ＋1)．又直线l 与抛物线y 2＝4x 交于不同两点， 故Δ＝[－4(k ＋1)]2－16k 2＝32k ＋16>0，解得k >－12.代入y ＝4k 即得y <－8或y >0.故M 点的轨迹方程为(y ＋2)2＝4(x ＋1) (y <－8或y >0)． 失分点26对样本容量概念不清致误 例26某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号有16件，那么此样本容量n 的值是________． 正解 在分层抽样中，每一层所抽的个体数的比例与总体中各层个体数的比例是一致的， 所以，样本容量为n ＝2＋3＋5＋12 ×16＝88. 失分点27对互斥事件概率加法公式理解不透致误 例27抛掷一均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1、2、 3、4、5、6)，事件A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面的数不超过3”，求P (A+B )． 正解 将A ＋B 分成出现“1、2、3”与“5”这两个事件，记出现“1、2、3”为事件C ， 出现“5”为事件D ，则C 与D 两事件互斥，所以P (A ＋B )＝P (C ＋D )＝P (C )＋P (D )＝36＋16＝23 . 补救训练30 (原创题)某班共有学生54人，其中男生30人，女生24人．第一组男生3人，女生6人．现随机抽一名学生帮助老师整理档案,求抽到男生或第一组学生的概率． 解 设“抽到男生”记事件A ，“抽到第一组学生”记事件B . 则A +B ＝{抽到男生或第一组学生}． ∴P (A +B )＝30＋654＝23. 客观题强化训练（45分钟内完成）（6） 班级 姓名 座号 13 ；14 ； 15 ；16 . 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符号题目要求的。 1．曲线c bx ax y ++=2 的图象经过四个象限的充要条件是 （A ）0a 且042>-ac b （C ）0≠a 且0=b （D ）0 高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2） （1）若a ⊥b ，求tan θ的值； （2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高 下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加 两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的 有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分） 在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。 若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小； （2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值； （2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值， 若不是，则说明理由： （3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围； （2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值； （3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围. 选择题 1.（安徽）12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（ ） A ．2 2 83C A B ．26 86C A C ．22 86C A D ．22 85C A 2.（北京）如图，动点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上．过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于M N ，．设BP x =，MN y =，则函数()y f x =的图象大致是（ ） 3.（福建）已知函数y =f (x )，y =g (x )的导函数的图象如图，那么y =f (x )，y =g (x )的图象可能是（ ） 4.（广东）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的延 长线与CD 交于点F ．若AC =u u u r a ，BD =u u u r b ，则AF =u u u r （ ） A ． 1142 +a b B ． 21 33 +a b C ． 11 24 +a b D ．1 233 + a b 5.（宁夏） 在该几何体的正视图中， 线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a 和b 的线段，则a +b 的最大值为（ ） A ． B ．C ．4 D ．6.（湖北）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ) x A ． B ． C ． D ． A B C D M N P A 1 B 1 C 1 D 1 综合仿真练(三) 1．命题p ：?x ∈R ，x 2 ＋2x ＋1≤0是________命题(选填“真”或“假”)． 解析：由x 2 ＋2x ＋1＝(x ＋1)2 ≥0，得?x ∈R ，x 2 ＋2x ＋1≤0是真命题． 答案：真 2．(2019·徐州中学模拟)设集合A ＝{(x ，y )|x 2 ＋y 2 ＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则 A ∩ B 的子集个数是________． 解析：作出单位圆和函数y ＝3x 的图象(图略)，可知他们有两个公共点，所以A ∩B 中有两个元素，则A ∩B 有4个子集． 答案：4 3．已知复数z ＝3－i 1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的模是________． 解析：法一：因为z ＝3－i 1＋i ，所以|z |＝??????3－i 1＋i ＝|3－i||1＋i|＝102＝ 5. 法二：因为z ＝3－i 1＋i ＝3－i 1－i 2＝1－2i ，所以|z |＝12＋－2 2 ＝ 5. 答案： 5 4．某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________． 解析：样本中教师抽160－150＝10人，设该校教师人数为n ，则10n ＝160 3 200 ，所以 n ＝200. 答案：200 5．如图是给出的一种算法，则该算法输出的t 的值是________． t ←1i ←2 While i ≤4t ←t ×i i ←i ＋1End While Print t 解析：当i ＝2时，满足循环条件，执行循环t ＝1×2＝2，i ＝3； 当i ＝3时，满足循环条件，执行循环t ＝2×3＝6，i ＝4； 当i ＝4时，满足循环条件，执行循环t ＝6×4＝24，i ＝5； 当i ＝5时，不满足循环条件，退出循环，输出t ＝24. 答案：24 6．男队有号码1,2,3的三名乒乓球运动员，女队有号码为1,2,3,4的四名乒乓球 ［易错题1］ 王叔叔家养了350只鸡，每个笼子里装30只，需要准备多少个这样的笼子？ 【错误解答】350÷30=11（个）……20（只） 答：需要准备11个这样的笼子。 【“病因”分析】这里出错的原因是把余下的20只鸡忽略了，余下的20只鸡需要再装一个笼子，这里应该准备12个笼子。 【正确解答】350÷30=11（个）……20（只） 11+1=12（个） 答：需要准备12个这样的笼子。 ［易错题2］ 小红、小林和小刚，一个星期一共练了630个大字，平均每人每天练多少个大字？ 【错误解答】630÷3=210（个） 答：平均每人每天练210个大字。 【“病因”分析】这里出错是把一个星期是7天这个隐含的条件忽略了。 【正确解答】630÷3÷7=210÷7=30（个） 答：平均每人每天练30个大字。 ［易错题3］ 计算（842＋421＋421）×25，下面最简便的方法是（）。 A.421×（4×25 ） B.842×（2×25 ） C.842×25＋421×25＋421×25 【错因分析】首先要明白（842＋421＋421）×25有多种简便计算方法，一个可以把421合并成842，另一个也可以把842拆分成421，而此题要求是最简便的方法，那么有的同学只想到简便没看清“最”简便就想当然选择B了。 【思路点睛】正确答案选择A，因为此题要求最简便。通过把842拆分成2个421，和题中已有的2个421合并成4个421，再根据乘法结合律把4和25先乘起来得100，这样就是最简便的方法了。B比起原题死算确实简便，但比起A来没有A更好算最简便。 ［易错题4］ 简便计算(100+2) ×45。 【错因分析】典型错误(100+2) ×45 =100×45+2 =4500+2 =4502 × 出现这种错误是由于学生对什么是乘法分配律本质内涵认识和理解不够。什么是乘法分配律？书上结论是这样陈述的：两个数的和与其中一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。也就是说不能只乘其中一个加数。上述案例中就只乘其中100这个加数，而另一个加数2就漏乘45了，导致出错。 【思路点睛】我们依据乘法分配律，把100和2这两个加数分别与45相乘，最后再把两个乘得的数相加。正确过程如下： (100+2) ×45 =100×45+45×2 =4500+90 =4590 ［易错题5］ 简便计算68×99。 【错因分析】 68×99 =68×(100+1) =68×100+68 =6800+68 =6868 × 该同学看到99想到100，把99先看作最接近的100这很好，但是忽略了简便计算的前提是等量代换，一个量须用与它相等的量去代替，才可以依次继续递等下去。把99替换成（100+1）这本身就建立在不公平基础上，所以不能向下递等，结果也不对等。 【思路点睛】两个数相乘，如果有一个数接近整百数，可以先将这个数转化成整百数加或减一个数的形式，再应用乘法分配律进行计算。正确过程如下： 68×99 =68×(100-1) =68×100-68 =6800-68 =6732 江苏省高考数学填空题训练100题 1．设集合}4|||}{<=x x A ，}034|{2 >+-=x x x B ，则集合A x x ∈|{且=?}B A x I __________； 2．设12)(2 ++=x ax x p ，若对任意实数x ，0)(>x p 恒成立，则实数a 的取值范围是________________； 3．已知m b a ==32，且21 1=+b a ，则实数m 的值为______________； 4．若0>a ，94 32= a ，则=a 3 2log ____________； 5．已知二次函数3)(2 -+=bx ax x f （0≠a ），满足)4()2(f f =，则=)6(f ________； 6．已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当),0(+∞∈x 时，22)(-=x x f ， 则方程0)(=x f 的解集是____________________； 7．已知)78lg()(2 -+-=x x x f 在)1,(+m m 上是增函数，则m 的取值范围是________________； 8．已知函数x x x f 5sin )(+=，)1,1(-∈x ，如果0)1()1(2 <-+-a f a f ，则a 的取值范围是____________； 9．关于x 的方程a a x -+= 53 5有负数解，则实数a 的取值范围是______________； 10．已知函数)(x f 满足：对任意实数1x ，2x ，当2`1x x <时，有)()(21x f x f <，且)()()(2121x f x f x x f ?=+． 写出满足上述条件的一个函数：=)(x f _____________； 11．定义在区间)1,1(-内的函数)(x f 满足)1lg()()(2+=--x x f x f ，则=)(x f ______________； 12．函数1 22)(2+++=x x x x f （1->x ）的图像的最低点的坐标是______________； 13．已知正数a ，b 满足1=+b a ，则ab ab 2 + 的最小值是___________； 14．设实数a ，b ，x ，y 满足12 2=+b a ，32 2 =+y x ，则by ax +的取值范围为______________； 15．不等式032)2(2≥---x x x 的解集是_________________； 16．不等式06||2 <--x x （R x ∈）的解集是___________________； 17．已知???<-≥=0 ,10 ,1)(x x x f ，则不等式2)(≤+x x xf 的解集是_________________； 18．若不等式 2 22 9x x a x x +≤≤+在]2,0(∈x 上恒成立，则a 的取值范围是___________； 19．若1>a ，10<-x b a ，则实数x 的取值范围是______________； 高考数学历年考点框架 理科数学每年必考知识点： 复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。 理科数学每年常考的知识点： 常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。 最后冲刺指导（14个专题） 1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题 历年考情： 针对该考点，近9年高考都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。 2020高考预测： （2）常用逻辑用语小题 历年考情： 9 年高考中2017 年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015 考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。 简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。 2020高考预测： 2、复数小题 历年考情： 9 年高考，每年1 题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。 无法直接计算时可以先设z=a+bi 2020高考预测： 3、平面向量小题 历年考情： 一、填空 1、连接梯形各边的中点围成新的图形是（） 2、一个三角形两条边是5厘米和三厘米，第三条边的长度可能是（） 3、电动伸缩门是利用平行四边形的（）性设计的。 4、等边三角形是特殊的（）。 5、44×25＝（11×4）×25=11×（4×25），这是根据（）。 6、1100÷125÷8＝11000÷（125×8）运用了（） 7、一个立体图形，从正面看是）个小正方体。 8、用一根铁丝围成一个边长18厘米的正方形，那么用这个铁丝围成一个正三角形，边长是（）厘米。 9、王大伯家的三角形菜地的两条边分别是5米和8米这个三角形菜地的第三条边可能是（）米 10、有三种长度的小棒（长度分别是3cm、5cm、8cm）若干根，可以摆成（）种不同的三角形 11、十分位上的“3”与十位上的“3”相差（） 12、在0.08、0.080、0.008这三个小数中，计数单位相同，但大小不相等的两个数是（）、（） 13、把6改成以百分之一为计数单位的数是（） 14、将一根15厘米的木棒截成三根整厘米的小棒来围成三角形，最长的一根小棒不能超过（） 厘米 15、5吨50千克=（）吨 1.2平方厘米=（）平方分米 4.1公顷=（）平方米 16、直角三角形的三条边分别是6厘米、8厘米、10厘米，这个直角三角形相互垂直的两条边分别是（）（） 17、观察1、2、3、6、12、23、44、X、164的规律，可知X= （） 18、如果12=1×1,22=2×2，32=3×3.....252=25×25，且12+22+....252=5525，那么32+62+...+752=9×5525= 19、近似数是1.0，这个两位小数最小是（），最大是（）。 20、甲、乙两数的和是264，把甲数的小数点向左移动一位，则两数相等。甲数（）乙数（）。 21、两个一样的三角形可以拼成（）。两个一样的直角三角形可以拼成（）（）（）。两个一样的等腰直角三角形可以拼成（）（）（）。 22、等腰三角形的底角是顶角的2倍，顶角是（）。 23、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒，从中选3根搭成一个三角形，有（）种不同的选法。 24、在一条长90米的小路两旁种树，如果两端都种，每相邻两棵树之间的距离是10米，可以种（）棵。 25、要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆，最少需要（）盆。 高考数学填空题100题. 江苏省高考数学填空题训练0100题1．设集合}4|||}{xxA，}034|{2xxxB，则集合Axx|{且}BAx__________；2．设12)(2xaxxp，若对任意实数x，0)(xp恒成立，则实数a的取值范围是________________；3．已知mba32，且211ba，则实数m的值为______________；4．若0a，9432a，则 a32log____________；5．已知二次函数3)(2bxaxxf（0a），满 足)4()2(ff，则)6(f________；6．已知)(xfy是定义在R上的奇函数， 当),0(x时，22)(xxf，则方程0)(xf的解集是____________________； 7．已知)78lg()(2xxxf在)1,(mm上是增函数，则m的取值范围是 ________________；8．已知函数xxxf5sin)(，)1,1(x，如果 0)1()1(2afaf，则a的取值范围是____________；9．关于x的方程 aax535有负数解，则实数a的取值范围是______________；10．已知函 数)(xf满足：对任意实数1x，2x，当2`1xx时，有)()(21xfxf， 且)()()(2121xfxfxxf．写出满足上述条件的一个函数： )(xf_____________；11．定义在区间)1,1(内的函数)(xf满 足)1lg()()(2xxfxf，则)(xf______________；12．函数 122)(2xxxxf（1x）的图像的最低点的坐标是______________；13．已知正数a，b满足1ba，则abab2的最小值是___________；14．设实数a，b，x，y满足122ba，322yx，则byax的取值范围为______________；15．不等式032)2(2xxx的解集是_________________；16．不等式 06||2xx（Rx）的解集是___________________；17．已知 0,10,1)(xxxf，则不等式2)(xxxf的解集是 _________________；18．若不等式2229xxaxx在]2,0(x上恒成立，则a的取值范围是___________；19．若1a，10b，且1)12(log xba，则实数x的取值范围是______________； 20．实系数一元二次方程022baxx的两根分别在区间)1,0(和)2,1(上，则ba32的取值范围是_____________；21．若函数mxxf cos2)(图像的一条对称轴为直线8x，且18f，则实数m的值等于____；22．函数xy24sin的单调递增区间是_______________________； 2019年高考理科数学选择填空的答题技巧第I卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分 1～12，单选 选择题只有一个答案是正确的，因此可充分利用题目提供的信息，排除迷惑支的干扰，正确、合理、迅速地从选择支中选出正确支。选择题中的错误支具有两重性，既有干扰的一面，也有可利用的一面，只有通过认真的观察、分析和思考才能揭露其潜在的暗示作用，从而从反面提供信息，迅速作出判断。 高考理科数学选择题答题套路 理科数学选择题答题套路：剔除法：利用已知条件和选项所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 理科数学选择题答题套路：特特殊值检验法：对于具有一般性的数学问题，在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 高考数学选择题的解法 1.特值检验法：对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真， 则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。例：△ABC的三个顶点在椭圆4x2+5y2=6上，其中A、B两点关于原点O对称，设直线AC的斜率k1，直线BC的斜率k2，则k1k2的值为 A.-5/4 B.-4/5 C.4/5 D.2√5/5 解析：因为要求k1k2的值，由题干暗示可知道k1k2的值为定值。题中没有给定A、B、C三点的具体位置，因为是选择题，我们没有必要去求解，通过简单的画图，就可取最容易计算的值，不妨令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为椭圆的短轴上的一个顶点，这样直接确认交点，可将问题简单化，由此可得，故选B。 2.极端性原则：将所要研究的问题向极端状态进行分析，使因果关系变得更加明显，从而达到迅速解决问题的目的。极端性多数应用在求极值、取值范围、解析几何上面，很多计算步骤繁琐、计算量大的题，一但采用极端性去分析，那么就能瞬间解决问题。 3.剔除法：利用已知条件和选择支所提供的信息，从四个选项中剔除掉三个错误的答案，从而达到正确选择的目的。这是一种常用的方法，尤其是答案为定值，或者有数值范围时，取特殊点代入验证即可排除。 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士 三基小题训练一 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.函数y =2x +1的图象是 （ ） 2.△ABC 中，cos A = 135 ，sin B =53,则cos C 的值为 （ ） A. 65 56 B.－6556 C.－6516 D. 65 16 3.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.多于3 4.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ） A.f (x ·y )=f (x )·f (y ) B.f (x ·y )=f (x )+f (y ) C.f (x +y )=f (x )·f (y ) D.f (x +y )=f (x )+f (y ) 5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ） A.b ∥α,c ∥β B.b ∥α,c ⊥β C.b ⊥α,c ⊥β D.b ⊥α,c ∥β 6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ） A.14 B.16 C.18 D.20 7.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ） A.8种 B.10种 C.12种 D.32种 8.若a ,b 是异面直线，a ?α,b ?β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ） A.l 与a 、b 分别相交 B.l 与a 、b 都不相交 C.l 至多与a 、b 中的一条相交 D.l 至少与a 、b 中的一条相交 四年级下数学易错题整理（一） （加减法的意义和各部分间的关系；乘、除法的意义和各部分间的关系；加法 运算定律；乘法运算定律；简便计算） 一、填空。 1.___________________________的运算叫做加法。相加的两位数叫做_______，加 得的得数叫做________。 2.____________________________________________的运算叫做减法。 3._______+_______=和加数=_______-_______ 4.在减法中，已知的和叫做__________，_________是加法的逆运算。 5.减法各部分间的关系：被减数=_________+ __________，______=被减数-差，差 =________+________。 6.一箱可乐12瓶，军军买了4箱用了144元，每瓶可乐_________元。 7.李奶奶家养了96只白兔，养灰兔的只数是白兔的一半，李奶奶家一共养了______ 只白兔和灰兔。 8.甲数比乙数多15，乙数比丙数多12，甲数比丙数多______。 9.由2、3、6组成的最大三位数加上最小的三位数减去60的差，结果为_____。 10.求几个_____________________的和的简便运算叫做乘法。 11.相乘的两个数叫做_________，乘得的数叫做________。 12.在除法中，已知的积叫做__________，除法是___________的逆运算。 13.乘除法之间的关系：因数×因数=_______，因数=_________÷另一个因数，被除 数÷_______=商，除数=________÷_______，被除数=________×_______。 14.我们学过的加、减、乘、除四种预算统称_____________。 15.一个数加上0等于___________，一个数和0相乘仍得_______，0除以一个 _____________，还得0。 16.123-[(18+36)÷9]计算时，先算_____法，再算______法，最后算_______法。 17.减法是_______的逆运算，除法是________的逆运算。 18.把850÷5=170,170×10=1700,3580-1700=1880，列成综合算式是 _______________________。 19.一种羽毛球拍48元，比一副乒乓球拍贵28元，如果各买一副，一共需要_______ 元。 20.把65-62=3,15×3=45,112+45=157列成一道综合算式是 __________________________。 21.两个数_________，交换_______的位置，_______不变，这叫做加法的交换律。 可以表示为_______+________=________+_________。 高考数学客观题训练选择、填空题专题练习（一）新人 教版 班级： 姓名： 1．已知全集U=R ，集合)(},02 1 |{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥= （ ） A ．{x |x <2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |－1 高三（12）班数学填空题基础训练一 1.已知复数1m i z i +=+，(),m R i ∈是虚数单位是纯虚数，则m 的值是 2．若复数()(1)a i i -+（i 是虚数单位，a R ∈）是纯虚数,则a =. 3.若复数z 满足z i=2+i （i 是虚数单位），则z =． 4．若复数12,1z a i z i =-=+（i 为虚数单位），且12z z ?为纯虚数，则实数a 的值为． 5．复数 2 1i (1i)-+（i 是虚数单位）的虚部为． 6． 复数(1i )(12i )z =++（i 为虚数单位）的实部是 7．复数i i 215+的实部是 8．若将复数212i i +-表示为(,,a bi a b R +∈i 是虚数单位)的形式，则a b +=。 9．i 是虚数单位，若32()4a bi i a b R i +=+∈-、，则a b +的值是_____________． 10．将复数3i 321++i 表示为),,(为虚数单位i R b a bi a ∈+的形式为_______. 11．集合{}0,2A =，{} 21,B a =，若{}0,1,2,4A B ?=，则实数a 的值为 ___ 12. 已知集合U ={1,2,3,4}，M ={1,2}，N ={2,3}，则U C (M ∪N ) = 13．已知集合{}1,0,1,2A =-，{} 20B x x x =-≤，则A B =． 14．已知集合M ＝｛x |x ＜3｝，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝_________. 15．已知集合{}1,2,3A =，{}2,B a =，若{}0,1,2,3A B =，则a 的值为_____________． 16.已知集合1 1{|()}24 x A x =>，2{|log (1)2}B x x =-<。则A B =。 17．已知全集{}4,3,2,1=U ，集合{}{}1,2,2,3P Q ==，则Q C P U =. 18.已知集合{} },12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ?，则实数m 的值为． 19．设集合{} 12 A x x =-≤≤，{} 04 B x x =≤≤，则A B =.若集合 }1,0,1{-=A ,}20|{<<=x x B ，则=B A 20．集合2{0,2,},{1,}A a B a ==，若{0,1,2,4,16}A B =，则a 的值为____． 小学四年级下册数学易错题 一、填空题 1、用6、 2、7三个数字组成小数部分是两位的小数，其中组成的最小的小数和最大的小数相差（7.62－2.67= 4.95 ） 2、一个等腰三角形的两条边分别是8厘米和4厘米，第三条边是（8厘米）。 3、0.07的计数单位是（0.01 ），再加上（93 ）个这样的计数单位是1。 4、20个一、30个千分之一组成的数是（20.03 ）。 5、用2、3、4和小数点，可以组成（12 ）个不同的小数，其中最大与最小的相差（43.2－2.34=40.86 ）。【包括一位小数和两位小数】 6、在小数3.43中，小数点左边的“3”是右边的“3”的（100 ）倍。 7、用0、1、2和小数点组成的两位小数有（6 ）个，其中最大的与最小的数相差（2.10－0.12=1.98 ）。 8、近似数是1.0，这个两位小数最小是（0.95 ），最大是（1.04 ）。 9、41.5添两个0，大小不变是（41.50 0 ），添一个0，大小变化是（401.5 ）（410.5 ）（41.05 ）。550添两个0，大小不变是（550.00 ），添两个0扩大到它的100倍（55000 ），添两个0扩大到它的10倍（5500.0 ）。 10、由3个十和50个百分之一组成的数是（30.5 ）。 11、一个数，十分位上的数字是4，是百分位上数字的4倍，又是个位上数字的一半，这个数（8.41 ），改成大小相等的三位小数（8.410 ）。 12、把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动三位得8.12，这个小数原来是（81.2 ）。【逆向思考：8.12×1000÷100】 13、甲、乙两数的和是264，把甲数的小数点向左移动一位，则两数相等。甲数（240 ）乙数（24 ）。【把甲数的小数点向左移动一位，则两数相等。即，甲是乙的10倍。264÷（10＋1）=24】 14、拼成一个等腰梯形至少要（3）个等边三角形，拼成一个平形四边形至少要（2 ）个等边三角形，拼成一个大等边三角形至少要（4 ）个小等边三角形。【自己画一画】 15、两个一样的三角形可以拼成（平行四边形）。两个一样的直角三角形可以拼成（三角形）（平行四边形）（长方形）。两个一样的等腰直角三角形可以拼成（大的等腰直角三角形）（正方形）（平行四边形）。 16、用4个同样大小的等边三角形能拼成（平行四边形）（大的等边三角形） 17、等腰三角形的底角是顶角的2倍，顶角是（36度）。【180÷（2＋2＋10）=36】 18、一个等腰三角形的其中一条边长5厘米，另一条边4厘米，围成这个等腰三角形至少要（4×2＋5=13厘米）长绳子。 28、长8米的长方形花圃，如果长减少3米，这样花圃的面积就减少了15平方米，现在这个花圃的面积是（40 ）平方米。【宽不变。宽：15÷3=5米；8×5=40平方米】 34、一根铁丝刚好可以围成长5厘米、宽4厘米的长方形，如果把这根铁丝围成一个等边三角形，每条边的长度是（6厘米）【长方形的周长=等边三角形周长】 35、要拼成一个梯形，至少要（3 ）个完全一样的三角形。 39、一个三角形的其中两条边都是3厘米，有个角是40度，那么另外两个角分别是（40度）和（100度）或（70度）和（70度）。 40、有3厘米、4厘米、5厘米、7厘米四根小棒，从中选3根搭成一个三角形，有（3 ）种不同的选法。【分别是：①3厘米、4厘米、5厘米；②4厘米、5厘米、7厘米；③3厘米、 第2讲 四种策略搞定填空题 [题型分析·高考展望] 填空题的基本特点是：(1)题目小巧灵活，结构简单；(2)答案简短明确，不反映过程，只要结果；(3)填空题根据填写内容，可分为定量型(填写数值，数集或数量关系)和定性型(填写某种性质或是有某种性质的对象)． 根据填空题的特点，在解答时要做到四个字——“快”“稳”“全”“细”． 快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；细——审题要细，不能粗心大意． 高考必会题型 方法一 直接法 根据题目中给出的条件，通过数学计算找出正确答案．解决此类问题需要直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙变化，简化计算过程．解题过程要灵活地运用相关的运算规律和技巧，合理转化、巧妙处理已知条件． 例1 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，则角B 的值为 ________． 答案 2π 3 解析 方法一 由正弦定理， 即 a sin A ＝ b sin B ＝c sin C ＝2R ， 得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ， 代入cos B cos C ＝－b 2a ＋c ，得cos B cos C ＝－sin B 2sin A ＋sin C ， 即2sin A cos B ＋sin C cos B ＋cos C sin B ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0. 在△ABC 中，sin(B ＋C )＝sin A ， 所以2sin A cos B ＋sin A ＝0， 又sin A ≠0，所以cos B ＝－12. 又角B 为△ABC 的内角，所以B ＝2π 3 . 方法二 由余弦定理，即cos B ＝a 2＋c 2－b 2 2ac ， 最新小学四年级下册易错题汇总 1.最高位是百万位的数是一个（七）位数，其中最小的一个数是（1000000 ）。 2. 用四舍五入法6□7890000≈6亿，□里可以填（0、1、2、3、4 ）。 3.（判断）702□3540000≈702亿，方框中最小能填1。（X） 4.甲乙两地相距375千米，一辆汽车行驶3小时后，剩下的路程比已行的路程还多15千 米，这辆汽车平均每小时行驶多少千米？ 375-15=360（千米） 360÷2=180（千米） 180÷3=60（千米） 5. 13个千万和8个十组成的数是（B） A.七位数 B.八位数 C.九位数 6.有13筐苹果，连筐称一共480千克，如果每个空筐重8千克，这些苹果共有多少千克？ 13×8=104（千克） 480-104=376（千克） 7.王大妈用篱笆靠墙围了一块长125米，宽50米的菜地，这块菜地的面积是多少平方米？ 至少用篱笆多少米？ 西街小学四年级同学到长阳动物园春游，一班有48人，二班有52人，三班有53人。 （1）每个班分别购票，一共需要多少元？ 一班：48×14=672（元）二班：52×12=624（元） 三班：53×12=636（元）672+624+636=1932（元） （2）三个班合起来购票，一共需要多少元？ （48+52+53）×10=1530（元） （3）上面哪种购票合算？ 1932＞1530 第二种买票方式合算。 9.用四个“6”和四个“0”组成一个八位数。按要求写出下面的各数。 （1）只读一个“零”：（60666000、66066000......） （2）读出两个“零”：（60060066......） （3）一个“零”都不读出来：（66660000......） （4）读出三个“零”：（60060606......） 10.小明称得1000粒小麦大约重40克，照这样计算，1亿粒小麦大约重（4 ）吨。 11.一份稿件有5500个字，小丽平均每分钟能打118个字，她45分钟能把这份稿件打完吗？ 118×45=5310（个）5310<5500 不能 12.果园里面苹果树315棵，梨树225棵，平均每棵果树占地14平方米。苹果树的占地面积比梨树多多少平方米？ （315-225）×14=1260（平方米） 13.一瓶牛奶的容量大约是250（毫升），小强家的电热水器能盛水50（升）。 14.（）≈ 6万，括号里能填的最大的数是（64999 ），最小的数是（55000 ）。 15.1095050是由（109 ）个万和（5050 ）个一组成的，它的最高位是（百万）位，这个数读作（一百零九万五千零五十）。它忽略万后面的尾数约是（110 ）万。 16.（判断）20度的角在5倍的放大镜下，看到的是100度。（X ） 17.长方形草坪，长90米，扩建后长增加了20米，面积增加了1400平方米。原来这个草坪的面积是多少平方米？（先在图上画一画，再解答） 高考填空题提升训练 1 , ABC 的角 = . 2．在平面直角坐标系上，设不等式组00(4)x y y n x >?? >??≤--? 所表示的平面区域为n D ，记n D 内 的整点（即横坐标和纵坐标均为整数的点）的个数为()n a n N *∈．＝ ， ＝ ． 3．若两个球的表面积之比则这两个球的体积之比为 ． 4 两部分， 的值为 ； 的取值范围是 . 5．已知数列 满足 ，，记 n a ++ ．则 6． 是 ． 7．若的重心 为， ，动点 满足 等于 ． 8，6OF FB ?= -，则以 点的椭圆的标准方程为 . 9．如图所示，在确定的四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD . (1)若AB ⊥CD ，则截面EFGH 与侧面ABC 垂直； (2)当截面四边形EFGH 面积取得最大值时，E 为AD 中点； (3)截面四边形EFGH 的周长有最小值； (4)若AB ⊥CD ，AC BD ⊥，则在四面体内存在一点P 到四面体ABCD 六条棱的中点的距离相等.上述说法正确的是 ． 10．阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 11．如图是导函数)(x f y '=的图象: ①2x 处导函数)(x f y '=有极大值； ②在41,x x 处导函数)(x f y '=有极小值； ③在3x 处函数)(x f y =有极大值； ④在5x 处函数)(x f y =有极小值;以上叙述正确的是____________。 12．在△ABC 中， 2AB =，3AC =，0AB AC ?<，且△ABC 的面积为32 ，则BAC ∠=_______ 13．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学，每人随机写下一个都小于1 的正实数对（x ，y ）；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x,y ）的个数m ；最后再根据统计数m 来估计π的值．假如统计结果是m=34，那么可以估计π≈ ．（用分数表示） 14．如图，半径为2的扇形的圆心角为120,,M N ?分别为半径,OP OQ 的中点，A 为弧PQ 上任意一点，则AM AN ?的取值范围是 ． 15．等差数列{a n }前n 项和为S n ，公差d<0，若S 20>0,S 21<0,，当S n 取得最大值时，n 的值为 ． 16．已知等差数列}{n a 中，4 5831π = ++a a a ，那么=+)cos(53a a ．a ，解得5－12
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