2.2几种常见变换——旋转变换

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简单的几何变换认识平移旋转和翻转变换

简单的几何变换认识平移旋转和翻转变换简单的几何变换：认识平移、旋转和翻转变换几何变换是在平面或者空间中对图形进行操作和调整的过程。

在几何学中，常见的几何变换包括平移、旋转和翻转。

通过这些变换，我们可以改变图形的位置、方向和对称性，从而对几何问题进行分析和解决。

本文将从简单的几何变换开始，介绍平移、旋转和翻转变换的概念、性质和应用。

一、平移变换平移变换是指将一个图形沿着平行于原位置的方向移动一定距离。

在平面几何中，平移变换又称为平移操作，用于改变图形的位置，但不改变其大小、形状和方向。

平移变换可以用向量表示，假设有一个图形A，平移变换的向量表示为“→v”，则变换后的图形A'可以表示为A' = A + →v。

其中，向量→v的起点可以随意选择，表示平移的方向和距离。

平移变换具有以下性质：1. 平移变换不改变图形的相对位置关系，只改变其位置。

2. 平移变换前后，图形的大小、形状和方向保持不变。

3. 平移变换是可逆的，即可以通过相反方向的平移将图形恢复到原来的位置。

平移变换在实际生活和工程中有广泛的应用，例如将建筑物从一个位置平移到另一个位置、移动相机拍摄不同角度的图像等。

二、旋转变换旋转变换是指将一个图形绕着某个固定点旋转一定角度。

在几何学中，旋转变换用于改变图形的方向和位置，但保持其大小和形状不变。

旋转变换可以用中心点和旋转角度表示。

假设有一个图形A，旋转变换的中心点是O，旋转角度为θ，则变换后的图形A'可以表示为A' = R(θ, O)(A)，其中R(θ, O)表示绕点O逆时针旋转θ度的变换矩阵。

旋转变换具有以下性质：1. 旋转变换不改变图形的大小和形状，只改变其方向和位置。

2. 旋转变换是可逆的，即可以通过相反方向的旋转将图形恢复到原来的方向和位置。

3. 旋转变换可以连续进行，多次旋转后的效果等同于一次旋转。

旋转变换在计算机图形学、航空航天、机器人等领域都有重要的应用，例如计算机动画中的图形变换、飞行器的姿态控制等。

2.2几种常见变换——投影变换

y x2.2几种常见的平面变换投影变换三维目标1.知识与技能掌握投影变换的矩阵表示与几何意义 2.过程与方法通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示. 3.情感、态度与价值观将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。

教学重点投影变换教学难点投影变换矩阵教学过程一、情境设置如果把正午的太阳光近似看做垂直向下的平行光，一排排树木的影子会投影到各自的树根，而它们的正视图可以用右图来表示，在右图中，树木投影前后可以看做一个平面几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？二、学生活动对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到x 轴上时，横坐标保持，纵坐标变化为0，特殊地，x 轴上的点原地不动.因此，垂直投影前后可以看做一个几何变换T ，并且有T ：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡→⎥⎦⎤⎢⎣⎡0''x y x y x故变换T 对应的矩阵为M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001三、建构数学像⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101，⎥⎦⎤⎢⎣⎡0001这类将平面内图形投影到某条直线(或某个点)上的矩阵，称之为投影变换矩阵，相应的投影称做投影变换.说明：投影变换虽然是映射，但不是一一映射. 四、数学运用例5研究矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101所确定的变换. 解：对于平面上的向量⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ，有 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x y x 0101，因此，矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡0101使得平面上的点的横坐标不变，而纵坐标变为与横坐标相等，该变换将平面内的点沿垂直于x 轴方向投影到直线y ＝x 上，如图所示. 例6 研究线段AB 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形，其中A(0,0),B(1,2). 解：因为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121，所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，线段AB 变换成线段AB ，其中A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，如图所示. 变：研究直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到的图形. 解：在直线y=2x 上取点A(0,0),B(1,2) 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--000021212121，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121212121，所以在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121对应的变换作用下，点A 、B 分别变换成点A ′(0,0),B ′(－1/2,1/2)，因此直线y=2x 在矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--21212121作用下变换得到直线y ＝－x. ●思考矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000的变换作用如何？对平面上的任意一点P(x,y)，它垂直投影到y 轴上时，纵坐标保持，横坐标变化为0.●思考我们学习过的变换中，哪些是一一映射？哪些不是？恒等变换、伸压变换、反射变换、旋转变换、切变变换都是一一映射，投影变换是映射，但不是一一映射.五、回顾反思1.知识点：投影变换2.思想方法：数形结合六、作业见数学教学案教学后记。

数学几何变换的方法

数学几何变换的方法几何变换是数学中一项重要的研究内容，通过对图形进行不同的操作，可以实现平移、旋转、缩放等效果。

这些变换方法不仅在几何学中有着广泛的应用，还在计算机图形学、机器人学等领域发挥着重要作用。

本文将介绍几何变换的常见方法及其应用。

一、平移变换平移变换是指将图形沿着指定方向上移动一定距离的操作。

其数学表达式为：平移后的坐标 = 原坐标 + 平移矢量平移矢量的大小和方向决定了平移的距离和方向。

平移变换常用于游戏开发、图像处理等领域，可以实现图形的移动、平移动画效果等。

二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个中心点按一定角度进行旋转的操作。

其数学表达式为：旋转后的坐标 = 中心点坐标 + R * (原坐标 - 中心点坐标)其中，R为旋转矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行旋转。

旋转变换常用于计算机图形学中，实现图像的旋转、三维模型的变换等。

三、缩放变换缩放变换是指改变图形的尺寸大小的操作。

其数学表达式为：缩放后的坐标 = 原坐标 * 缩放因子缩放因子可以是一个比例因子，用于确定缩放的大小，也可以是一个矩阵，对各个坐标轴进行不同程度的缩放。

缩放变换常用于计算机辅助设计、图像处理等领域，可以实现图形的放大、缩小、图像的拉伸等效果。

四、对称变换对称变换是指将图形绕着中心轴进行镜像翻转的操作。

其数学表达式为：对称后的坐标 = 中心轴坐标 + S * (原坐标 - 中心轴坐标)其中，S为对称矩阵，通过矩阵乘法将原坐标进行对称。

对称变换常用于图像处理中，实现图像的镜像翻转、对称图案的生成等。

五、投影变换投影变换是指将三维物体投影到二维平面上的操作，常见的有透视投影和正交投影两种形式。

投影变换常用于计算机图形学中，实现三维物体的绘制和显示。

总结：数学几何变换的方法包括平移、旋转、缩放、对称和投影等。

这些变换方法在各个领域中都有重要应用，比如游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等。

掌握几何变换的方法对于理解和应用相关领域的技术具有重要意义。

高考数学中的坐标系变换

高考数学中的坐标系变换高考中的数学考试一直是众多考生心中的重头戏。

数学中有一个重要的知识点就是坐标系变换，它在解决各种几何、代数和数学物理问题时有着广泛的应用。

本文将为您介绍高考数学中的坐标系变换，旨在帮助广大考生更好地掌握这一知识点。

一、坐标系的概念在数学中，坐标系是指由两条数轴（即x轴和y轴）构成的平面。

一般来说，我们将x轴称为横轴，y轴称为纵轴，它们分别表示不同的变量。

在二维坐标系中，每一个点都可以用(x,y)表示，其中x表示点在横轴上的位置，y表示点在纵轴上的位置。

如图1所示，点A的坐标就是(3,4)。

[图1]二、坐标系基本变换坐标系变换是指在平面上对坐标轴进行移动、旋转和翻转等操作，而不改变平面上的点的集合。

下面分别介绍几种常见的坐标系变换：1. 平移变换平移变换是指将整个坐标系在平面上按照某个方向进行移动，不改变平面上的点的集合。

如果将坐标系沿x轴正方向平移a个单位，沿y轴正方向平移b个单位，那么以前坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(x-a, y-b)。

如图2所示，通过将坐标系沿x轴正方向平移3个单位，并沿y轴正方向平移2个单位，点A的坐标就变成了(4,6)。

[图2]2. 旋转变换旋转变换是指将整个坐标系在平面上按照某个角度进行旋转，不改变平面上的点的集合。

如果将坐标系逆时针旋转θ个角度，那么以前坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(x*cosθ-y*sinθ, x*sinθ+y*cosθ)。

如图3所示，通过将坐标系逆时针旋转45度，点A的坐标就变成了(-0.71,5.66)。

[图3]3. 翻转变换翻转变换是指将整个坐标系在平面上按照某个轴进行翻转，不改变平面上的点的集合。

如果将坐标系绕x轴进行翻转，那么以前坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(x,-y)；如果将坐标系绕y轴进行翻转，那么以前的坐标系中的点(x,y)在新坐标系中表示为(-x,y)。

如图4所示，通过将坐标系绕y轴进行翻转，点A的坐标就变成了(-3,4)。

几何变换详解

几何变换详解在三维图形学中，几何变换大致分为三种，平移变换（Translation），缩放变换（Scaling），旋转变换（Rotation）。

以下讨论皆针对DirectX，所以使用左手坐标系。

平移变换将三维空间中的一个点[x, y, z, 1]移动到另外一个点[x', y', z', 1]，三个坐标轴的移动分量分别为dx=Tx, dy=Ty, dz=Tz, 即x' = x + Txy' = y + Tyz' = z + Tz平移变换的矩阵如下。

缩放变换将模型放大或者缩小，本质也是对模型上每个顶点进行放大和缩小（顶点坐标值变大或变小），假设变换前的点是[x, y, z, 1]，变换后的点是[x', y', z', 1]，那么x' = x * Sxy' = y * Syz' = z * Sz缩放变换的矩阵如下。

旋转变换这是三种变换中最复杂的变换，这里只讨论最简单的情况，绕坐标轴旋转，关于绕任意轴旋转，在后续的随笔中介绍。

绕X轴旋转绕X轴旋转时，顶点的x坐标不发生变化，y坐标和z坐标绕X轴旋转θ度，旋转的正方向为顺时针方向（沿着旋转轴负方向向原点看）。

[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。

变换矩阵如下。

关于旋转的正方向，OpenGL与多数图形学书籍规定旋转正方向为逆时针方向（沿着坐标轴负方向向原点看），比如ComputerGraphics C Version，p409。

绕Y轴旋转绕Y轴旋转时，顶点的y坐标不发生变化，x坐标和z坐标绕Y轴旋转θ度。

[x, y, z, 1]表示变换前的点，[x', y', z', 1]表示变换后的点。

变换矩阵如下。

绕Z轴旋转绕Z轴旋转时，顶点的z坐标不发生变化，x坐标和y坐标绕Z轴旋转θ度。

平面直角坐标旋转变换公式

平面直角坐标旋转变换公式1. 绪论大家好，今天我们来聊聊一个数学界的小魔法——平面直角坐标的旋转变换公式。

听起来是不是有点高深莫测？别担心，今天我就用最简单易懂的方式给大家讲明白。

旋转变换就像给坐标系穿上新衣服，让它们换个角度看世界，感觉就像给生活来点调味料，瞬间变得精彩纷呈！好，咱们话不多说，赶紧进入正题。

2. 什么是旋转变换？2.1 理解坐标系首先，大家要知道，平面直角坐标系就像是我们生活中的一个地图，X轴和Y轴把这个平面划分得清清楚楚。

在这个坐标系里，每一个点都能找到自己的位置，就像每个人在朋友圈里都有自己的定位。

但是，有时候我们想要改变这些点的位置，让它们“转个身”，这样就需要用到旋转变换了。

2.2 旋转的意义那么，旋转变换到底是个啥意思呢？简单来说，就是把某个点围绕原点转动一个特定的角度。

就像你在舞池中跳舞，旋转的同时也得保持优雅。

通过旋转，坐标点的位置会发生变化，但它们与原点之间的距离不会变，哎，这就像是我们保持自己的个性，却在不同的场合中展现不同的自我，妙不可言啊！3. 旋转变换公式3.1 公式解析接下来，我们来聊聊具体的旋转变换公式。

这就有点技术性了，不过别担心，我们简单一点。

假设我们有一个点P，坐标是（x, y），我们想把它旋转θ角度。

这个时候，新坐标P'就会变成：P' = (x', y') = (x cdot costheta y cdot sintheta, x cdot sintheta + y cdot costheta) 。

看，这就是旋转变换的公式啦！简直就像是你在做一道菜，按照配方一步一步来，最后得到美味的成果。

3.2 公式的理解这里的“θ”就是你想转的角度，比如说，你想把点转90度，那就让θ等于90°。

在数学上，cos和sin这两个小伙伴就像调味品，帮我们把这个旋转变得更美味。

简单来讲，x和y的值经过这个公式变换后，就得到了新的坐标，这就像是给生活换了一种全新的视角，简直让人耳目一新！4. 应用实例4.1 生活中的旋转变换好啦，现在咱们来看看这个公式在生活中是怎么运作的。

常见的几种平面变换(切变变换)

缩放切变变换可以应用于各种平面图形，如矩形、圆形、多边形等。
通过缩放切变变换，可以改变平面图形的大小和形状，实现图形的缩放操作。这种变换在图形处理、计算机视觉、图像识别等领域有着广泛的应用。
平移切变变换
第一季度
第二季度
第三季度
第四季度
总结词
平移切变变换是平面图形在平移过程中发生的变换。
。
图像剪裁
通过切变变换，可以将图像的一部分进行剪裁，实现图像的
局部显示。
图像扭曲
通过切变变换，可以将图像进行扭曲，实现图像的扭曲效果
。
在几何建模中的应用
三维模型转换
通过切变变换，可以将三维模型进行转换，实现三维模型的旋转、平移等操作。
二维图形绘制
通过切变变换，可以绘制各种二维图形，如直线、圆、椭圆等。
THANKS
感谢观看
详细描述
平移切变变换是指将平面图形按照一定的方向和距离进行移动，从而改变图形位置的变换。在平移过程中，图形中的每一点都按照相同的方向和距离进行变换。
总结词
平移切变变换可以应用于各种平面图形，如矩形、三角形、多边形等
。
详细描述
通过平移切变变换，可以改变平面图形在平面上的位置，实现图形的平移操作。这种变换在图形处理、计算机视觉、动画制作等领域有着
特效制作
通过切变变换，可以制作各种特效，如爆炸、烟雾等。
动画合成
通过切变变换，可以将多个动画进行合成，实现复杂的动画效果。
05
总结
切变变换的优点和局限性
优点
切变变换能够有效地处理图像的几何失真，提高图像的清晰度和对比度，同时能够保留图像中的重要特征。

变换（旋转、缩放、平移）

变换（旋转、缩放、平移）1、为什么要学习变换矩阵模型的缩放、旋转、位移都可以通过变换矩阵实现投影：将3D的世界转换为2D的图⽚2、⼆维变换Scale 缩放Rotate 旋转默认绕原点(0,0) 逆时针⽅向旋转思路：旋转不改变长度⼤⼩，从特殊点推导旋转矩阵Shear 裁切把物体⼀边固定，然后拉另外⼀边3、齐次坐标为什么位移变换⽆法⽤线性变换表⽰（可以理解为⽆法⽤⼀个矩阵表⽰变换）⽆法⽤两个矩阵乘积的形式表⽰平移变换是什么其实就是引⼊⼀个w坐标w = 1表⽰这是⼀个点（w≠0都认为是点）w = 0表⽰这是⼀个向量注意代⼊齐次坐标之后向量与点之间的运算以及结果现在位移变换也可以表⽰位矩阵乘积的形式了如果对⼀个向量进⾏位移变换时向量的值不会变(w=0)，这是符合事实的Affifine map 仿射变换线性变换 + 平移变换引⼊齐次坐标后的⼆维变换复合变换对模型的⼀系列变换的组合可以⽤⼀个变换矩阵表⽰矩阵的乘法不满⾜交换律，不同的顺序得到的结果是不⼀样的复合变换约定顺序缩放 —> 旋转 —> 平移4、三维变换3D point = (x, y, z,1)T3D vector = (x, y, z,0)T旋转三维的旋转⽐较特殊，总结起来就是绕谁谁不变，y轴旋转最特殊4.1 欧拉⾓为什么实际中有物体可能不绕xyz轴旋转，⽽是绕任意轴旋转是什么可以把⼀个旋转拆分成绕xyz轴的旋转，这三个⾓度被称为欧拉⾓优点是表达和公式很直观缺点：不可传递，旋转顺序影响旋转结果万向节死锁4.2 万向节死锁推荐这篇博⽂，⽐较清楚地解释了死锁问题转动的术语沿着机⾝右⽅轴进⾏旋转 Pitch 俯仰沿着机头上⽅轴进⾏旋转 Yaw 偏航沿着机头前⽅轴进⾏旋转 Roll 桶滚出现死锁按照欧拉⾓的定义，需要有三个⾃由度来表⽰旋转出现死锁的情况红⾊连接头：可以给予⼀个相对俯仰的⾃由度绿⾊连接头：可以给予⼀个相对偏航的⾃由度蓝⾊连接头：可以给予⼀个相对偏航的⾃由度这⾥桶滚⾃由度丢失了，只有两个⾃由度，⽆法表⽰需要三个⾃由度的旋转，产⽣了死锁解决⽅法使⽤绕任意轴旋转的⽅式表达旋转轴⾓和罗德⾥格斯公式四元数4.3 轴⾓和罗德⾥格斯公式轴⾓⽤两个值参数化旋转：轴和绕这个轴旋转的⾓度。

1.1旋转变换

x ` x cosa y sin a x ` x cosa y sin a 可表示为 ` x sin a y cosa ⑵ ` y y x sin a y cosa 表示左右两边向量的分量对应相等
a
P(x，y) x
思考2：这个变化可不可以用数学式子来刻画？
问题情境二
反比例函数的图像是什么曲线？ • （1）它的方程是双曲线的标准方程吗？ • （2）能否改变图像位置使其变为标准方程？ • （3）如何由变化前的坐标计算变化后的坐标？
问题情境
设图形上任一点P(x，y)，它围绕旋转中心O逆时针旋转a 角到另外一点P’(x’，y’). y P’(x’，y’)
列向量的表示、运算
为了叙述方便，我们有时还用一个字母表示一个列向量。
x1 x2 比如记 X 1 ， X 2 ， y y 1 2
用 X 1 ＋ X 2 表示它们的和， X 1 表示实数与 X 1 的积。
x1 x1 x2 X1 X 2 ; X1 y 1 y1 y2
解法二：由旋转变换的表达式⑶可知：绕原点旋转 a 的变换是线性变换，
cosa 它的矩阵是 sin a 0 1 0 0 1 0 0 ＝ 0
sin a 0 1 ＝ 1 0 cosa 0 1 2 1 1 0 1 ＝ 2 0 1 1 2 1 0 2 ＝ 1
一一对应 P( x, y) 平面向量OP
列向量
x 并把平面上的向量(x, y)的坐标写成列向量的形式. y

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1



P'(x',y')
P(x,y)
y

x
0
321

3
2
1

2.2几种常见的平面变换
旋转变换
三维目标
1.知识与技能
掌握旋转变换的矩阵表示与几何意义
2.过程与方法
通过具体的实例让学生认识到，图形的旋转可以用矩阵来表示.
3.情感、态度与价值观
将三角函数与矩阵结合起来，体现知识的螺旋上升。
教学重点
旋转变换
教学难点
旋转矩阵的导出
教学过程
一、情境设置
假设电风扇的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如图
所示.已知电风扇叶片上一点P(x,y)，它绕中心O旋转角到另外一点P(x,y)，因此旋转前
后叶片上的点的位置变化可以看做一个几何变换，怎样用矩阵来刻画这一变换？
二、学生活动
不妨设OP与x轴正方向的夹角为α，|OP|=r，
则有




sincosry
rx









)sin()cos(''ry
rx

从而有cossinsincos''yxyyxx
即
T：yxyxyxcossinsincos''
三、建构数学
矩阵cossinsincos通常叫做旋转矩阵，对应的变换称做旋转变换，其中的角θ叫
做旋转角，点O叫做旋转中心.
说明：旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状.
2

x
y
D
'
C'B
'

A'xyBD2AC11CA2DB-1

●恒等变换、伸压变换、反射变换这三个变换中还有哪些变换，只改变几何图形的相
对位置，不会改变几何图形的形状？
反射变换
●恒等变换与旋转变换的关系是什么？
θ＝0°
●反射变换与旋转变换的关系是什么？
绕定点作旋转180°的变换相当于关于定点作中心反射变换.
●我们学过那部分知识与旋转有联系？
复数
四、数学运用
例1 已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转90°后
所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.

解：由题意，得旋转矩阵011090cos90sin90sin90cos0000

,00000110,20020110,21120110,01100110







因此，矩形ABCD在矩阵M的作用下变成了矩形A′B′C′D′，其中点A′(0,0),B′
(0,2),C′(－1,2),D′(－1,0)，如图所示.

变：已知点A(0,0),B(2,0),C(2,1),D(0,1),求矩形ABCD绕原点逆时针旋转30°后所
得到的图形，并求出其顶点坐标，画出示意图.

解：由题意，得旋转矩阵2321212330cos30sin30sin30cos0000

,000023212123 ,130223212123
















3

,2312131223212123 ,23211023212123

















因此，矩形ABCD在矩阵M的作用下变成了矩形A′B′C′D′，其中点A′(0,0),
).23,21(),231,213(),1,3('''DCB
如图所示.

x
y

D
'
C
'
B
'

A'xyBD2AC11CA2DB-1
例2 已知曲线y2＝4x绕原点逆时针旋转90°后所得到的曲线C，求曲线的方程.
解：由题意，得旋转矩阵011090cos90sin90sin90cos0000

设P(x0,y0)为曲线y2＝4x上的任一点，它在矩阵0110作用下变换变为点
P′(x0′,y0′)，则有0000'0'00110xyyxyx，故'00'00yxxy
'02'002
0
4)(,4yxxy

从而曲线y2＝4x在矩阵0110作用下变成曲线yx42
五、回顾反思
1.知识点：旋转变换
2.思想方法：数形结合
六、作业见数学教学案
教学后记