第5课 几何变换(2)：旋转与中心对称
几何变换：翻转与对称
几何变换：翻转与对称几何变换是指在平面或者空间内对图形进行移动、旋转和改变形状的操作。
其中，翻转和对称是两种常见的几何变换方式，它们在数学、物理和工程学科中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将重点探讨几何变换中的翻转和对称，并在实例中展示其应用。
一、翻转翻转是指将一个图形绕着某一直线旋转180度，并保持图形上的点在翻转后的位置。
常见的翻转方式包括水平翻转、垂直翻转和对角线翻转。
下面，我们将分别介绍这三种翻转方式的特点和应用。
1. 水平翻转水平翻转是指图形绕着水平中心线进行旋转。
例如，当我们将字母“D”进行水平翻转时，它将变成一个镜像的字母“Ɔ”。
对于对称的图形，水平翻转后的图形与原图形保持相同，只是位置相反。
水平翻转在地理学中的应用较多，如绘制地理地图时，将北半球与南半球进行水平翻转可以更好地展示地球的真实形状。
2. 垂直翻转垂直翻转是指图形绕着垂直中心线进行旋转。
例如，当我们将字母“B”进行垂直翻转时，它将变成一个镜像的字母“ᗺ”。
与水平翻转类似，垂直翻转后的图形与原图形保持相同，只是位置相反。
垂直翻转在艺术设计中被广泛应用，如制作海报和广告时，通过垂直翻转可以创造独特的视觉效果。
3. 对角线翻转对角线翻转是指图形绕着对角线进行旋转。
例如，当我们将字母“Z”进行对角线翻转时，它将变成一个镜像的字母“S”。
对角线翻转后的图形与原图形相似，但位置发生了旋转。
对角线翻转在建筑设计和工程测量中有广泛的应用，可用于确定物体的旋转角度和位置。
二、对称对称是指图形中存在一个轴线，使得沿着轴线对称的两部分互为镜像。
常见的对称方式包括水平对称、垂直对称和中心对称。
下面，我们将分别介绍这三种对称方式的特点和应用。
1. 水平对称水平对称是指图形中存在水平轴线，使得轴线上方和下方的图形互为镜像。
例如，当我们将字母“A”进行水平对称时，它将变成一个相同形状的镜像字母“A”。
水平对称经常出现在生活中，如制作对称的家居装饰品、设计对称的衣物图案等。
旋转与对称理解旋转和对称的概念
旋转与对称理解旋转和对称的概念旋转和对称是我们日常生活中常见的概念，在数学和物理学中也有重要的应用。
旋转是指围绕某一点或轴心进行转动，而对称则是指具有镜像或重复性质。
本文将以旋转和对称的概念为主线，探讨它们的定义、特点及应用。
一、旋转的定义与特点旋转是指物体围绕某一点或轴心进行转动的运动。
在几何学中，旋转是一种基本的几何变换，通过旋转可以改变物体的位置和方向。
旋转操作可以由一系列变换组成，即将物体的每个点沿着某一轴旋转一定的角度。
旋转有一些基本的特点：1.旋转的中心：旋转是围绕某一点或轴心进行的，这个点或轴心被称为旋转中心。
2.旋转的角度：旋转的角度是旋转操作的度量，它表示物体相对于旋转中心转动的程度。
3.旋转的方向：旋转可以是顺时针或逆时针方向进行的。
旋转在生活中有很多应用，比如：1.日常生活中的旋转乐器，比如陀螺和陀螺仪，它们通过旋转来保持平衡。
2.机械工程中的旋转零件，比如齿轮和轴承，它们通过旋转来传递力量和运动。
3.天体物理学中的旋转天体，比如行星和恒星，它们通过旋转来产生自转和公转。
二、对称的定义与特点对称是指物体在某种变换下保持不变或具有镜像重复性质。
在几何学中，对称是一种重要的性质，通过对称可以研究物体的结构和性质。
对称有几种常见的类型：1.轴对称：物体具有轴对称，意味着可以通过一条轴将物体分为两个完全相同的部分。
轴对称是最常见的对称类型，比如圆、正方形等。
2.平面对称：物体具有平面对称，即可以通过一个平面将物体分为两个镜像对称的部分。
平面对称常见于生物体和艺术品中，比如人体和花朵。
3.中心对称：物体具有中心对称，即可以通过一个点将物体分为对称的部分。
中心对称常见于几何形状和图案中，比如雪花和蝴蝶。
4.旋转对称：物体具有旋转对称，意味着可以通过旋转将物体的不同部分重合。
旋转对称常见于自然界和艺术品中，比如星星和对称图案。
对称在各个领域都有广泛的应用，比如：1.建筑设计中的对称结构，通过对称可以使建筑物更加美观和稳定。
苏教版数学三年级上册《平移、旋转和轴对称》说课稿2
苏教版数学三年级上册《平移、旋转和轴对称》说课稿2一. 教材分析《平移、旋转和轴对称》是苏教版数学三年级上册的一章内容。
这一章节的主要目的是让学生理解并掌握平移、旋转和轴对称的概念及应用。
在教材中，通过丰富的实例和图片，引导学生探索和发现这些几何变换的性质和特点。
教材内容由浅入深，使学生能够在掌握基础知识的同时，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
二. 学情分析在进入三年级时，学生已经初步掌握了平面几何的基本知识，具备了一定的空间想象力。
通过对一年级和二年级的学习，学生们已经熟悉了基本的几何图形，并能够进行简单的几何变换。
然而，对于平移、旋转和轴对称的概念及其应用，学生们可能还存在一定的模糊认识。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况，采取适当的教学策略，引导学生深入理解和掌握这些概念。
三. 说教学目标根据课程标准和新课程理念，本节课的教学目标如下：1.让学生通过观察、操作、思考、交流等活动，理解平移、旋转和轴对称的概念，掌握它们的基本性质和特点。
2.培养学生空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
3.使学生能够运用平移、旋转和轴对称的知识解决实际问题。
4.培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解并掌握平移、旋转和轴对称的概念及性质。
2.教学难点：引导学生运用平移、旋转和轴对称的知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用“问题驱动”的教学方法，引导学生主动探究、发现和解决问题。
2.运用多媒体课件、实物模型、几何画板等教学手段，为学生提供丰富的学习资源，增强直观感受，提高学习效果。
3.小组合作学习，培养学生团队协作能力和沟通能力。
4.采用激励性评价，关注学生个体差异，提高学生自信心。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的平移、旋转和轴对称现象，引导学生关注这些几何变换，激发学生学习兴趣。
2.探索发现：让学生通过观察、操作、思考，自主发现平移、旋转和轴对称的性质和特点。
平面镜像与旋转的几何变换
平面镜像与旋转的几何变换几何变换是数学中的一项重要概念，它描述了图形在平面上的变化方式。
其中，平面镜像和旋转是最基础和常见的几何变换方式之一。
本文将探讨平面镜像和旋转的原理、应用以及与日常生活中的实际应用相关的例子。
一、平面镜像的几何变换平面镜像是指将一个图形通过一面镜子进行翻转的过程。
在平面镜面前，我们看到的图形被完全翻转，原来在左边的部分会出现在镜子的右边，而原来在右边的部分会出现在镜子的左边。
镜面可以是平面上的一条直线，也可以是平面上的任意曲线。
平面镜像具有以下特点：1. 形状不变：经过平面镜像后，图形的形状不发生变化，只是左右位置发生了交换。
2. 大小不变：经过平面镜像后，图形的大小保持不变。
3. 对称性：经过平面镜像后，原图与镜像图关于镜面对称。
即对于镜面上的每一点，存在一个在对称位置的点，使得与镜面上每一个点的距离相等。
平面镜像在日常生活中广泛应用，例如：化妆时使用手持镜来观察自己的脸部；车辆后视镜的设计也是基于平面镜像原理；建筑设计中常会使用对称结构，通过平面镜像来创造对称美。
二、旋转的几何变换旋转是指将一个图形绕某个点进行旋转的过程。
在旋转变换中，我们需要指定旋转中心点和旋转角度。
旋转角度可以为正数、负数或零，正数表示顺时针旋转，负数表示逆时针旋转，零表示不发生旋转。
旋转的几何变换具有以下特点：1. 形状不变：经过旋转变换后，图形的形状保持不变。
2. 大小不变：经过旋转变换后，图形的大小保持不变。
3. 对称性：经过旋转变换后，图形与原图绕旋转中心对称。
旋转在日常生活中也有广泛应用。
例如，我们使用手机时可以通过屏幕旋转功能将手机屏幕的显示方式转换为横屏或竖屏；地球自转也是旋转的一种表现；音响的旋钮可以调节声音的大小，也是通过旋转来实现的。
三、平面镜像与旋转在几何学中的应用平面镜像和旋转是几何学中常见的基础变换方式，它们在几何学的推导和证明中有广泛的应用。
在平面几何学中，平面镜像可以用于证明图形的对称性质。
旋转与中心对称知识点总结
旋转与中心对称知识点总结一、旋转的基本概念1. 旋转的定义旋转是指一个图形绕着一个固定的点（称为旋转中心）旋转一定角度，使得图形的每一点都按照相同的角度和方向进行旋转。
旋转是一种基本的变换方式，可以将一个图形变换成另一个图形。
2. 旋转的性质（1）旋转保持图形的大小不变，只改变其位置和方向。
（2）旋转是一种等距变换，即旋转前后图形上的任意两点的距离不变。
（3）旋转有方向性，即按照逆时针或者顺时针方向旋转。
（4）旋转的角度可以是正数、负数或者零。
3. 旋转的记法在表示旋转时，通常用“R(α, O)”来表示。
其中，R表示旋转的动作，α表示旋转的角度，O 表示旋转的中心。
4. 旋转的应用旋转在几何中有着广泛的应用，如在图形的相似性、对称性、平移和旋转组合变换等方面都有重要作用。
此外，旋转还在几何构造和设计中有着重要的应用价值。
二、中心对称的基本概念1. 中心对称的定义中心对称是指以某一点为中心进行对称变换，使得图形的每一点都关于这个中心对称，即以中心为轴，使得对称的两个部分分别对称于中心点的两侧。
2. 中心对称的性质（1）中心对称的图形和它的中心对称图形是全等的，即它们的形状和大小都完全相同。
（2）中心对称是一种等长变换，原图形中的任意一点到中心的距离和对称图形中的相对点到中心的距离相等。
（3）中心对称是一种对易变换，即进行两次中心对称等于原图形。
3. 中心对称的应用中心对称在几何中也有着重要的应用，如在图形的分类和性质判断、对称性的分析、几何构造等方面都有重要的应用。
此外，中心对称还在艺术设计和图案构图中有着重要的应用价值。
三、旋转与中心对称的关系1. 旋转与中心对称的联系旋转和中心对称在一定条件下是等价的，即通过旋转可以实现中心对称，通过中心对称也可以实现旋转。
这是因为旋转和中心对称都是一种对称性变换，它们都具有保持图形不变的性质。
2. 旋转与中心对称的应用旋转与中心对称在一些几何问题中常常结合使用，如在构造等边三角形、六边形等图形时，旋转和中心对称可以互相借助，以实现图形的变换和构造。
中心对称PPT课件
典型例题解析
例题1：已知△ABC和△A'B'C'关 于点O成中心对称，点A、B、C 的对应点分别是A'、B'、C'，则
下列说法不正确的是( )
A. △ABC≌△A'B'C' B. △ABC和 △A'B'C'的面积相等
C. △ABC和△A'B'C'的周长相等 D. △ABC和△A'B'C'中，AB与A'B'不
判断下列图形是否是中心对称图形，并指出其对称中心。
解答过程
通过观察或旋转图形，可以判断每个图形是否是中心对称图 形，并确定其对称中心。
练习题目
绘制一个中心对称图形，并标出其对称中心和对称点。
解答过程
选择一个简单的图形（如正方形、圆等），以其中心点为对 称中心，绘制出对应的中心对称图形，并标出对称中心和对 称点。
学生自我评价和反思
自我评价
通过本节课的学习，我对中心对称的概念和性质有了更深入的理解，能够熟练判断 一个图形是否是中心对称图形，并掌握了绘制中心对称图形的方法。
反思与改进
在判断复杂图形的中心对称性时，我还需要更加细心和耐心，同时加强对中心对称 性质的理解和应用。在今后的学习中，我将更加注重实践和应用，通过多做练习题 来加深对知识点的掌握。
利用中心对称进行图案设计
设计中心对称图案
选择一个中心点，以该点为中心 设计出对称的图案，如圆形、正
方形等。
应用中心对称性质
利用中心对称的性质，如等距、等 角等，设计出具有美感的图案。
创意组合
将多个中心对称图案进行创意组合， 形成更加复杂的图案。
几何变换
CBACHBA初一（下）拓展课数学竞赛讲义（六）几何变换几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。
对称、平移、旋转变换是几何变换中的基本变换。
1、对称变换：如果把一个图形变到它关于直线l 的轴对称图形，这样的变换叫做关于直线l 的对称变换，又称反射变换，直线l 称为对称轴，我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。
例1、 已知：⊿ABC 中，∠A<60°，试在⊿ABC 的边AB 、AC 上分别找一点P 、Q ，使BQ+QP+PC 最小。
例2、 在⊿ABC 中，AH 是高，已知∠BAC = 45°,BH = 2,CH= 3求⊿ABC 的面积。
OCBADFCNEBA FCBEADM N 2、 旋转变换：把图形绕定点O 转动角度α得到图形的变换称为旋转变换，点O 称为旋转中心，α叫做旋转角，若α＝180°，这种特殊的旋转变换叫做中心对称变换，这时旋转中心叫做对称中心。
旋转性质有：（1）在旋转变换下两点之间的距离不变。
（2）在旋转变换下两直线的夹角不变，且对应直线的夹角等于旋转角；例1、 设O 是正三角形ABC 内一点，已知∠AOB = 115°，∠BOC = 125°，求以OA ，OB ，OC 为边构成的三角形的各角。
例2、 设E 、F 各为正方形ABCD 的边BC 和DC 上的点， ∠EAF = 45°,AN ⊥EF 于N 。
求证：（1）AN=AD ；（2）EF AB S S AEF ABCD :2:=∆正方形 3、平移变换：把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。
例：已知：四边形ABCD 中，AD=BC ，E 、F 分别是AB 分别是AB 、CD 的中点，AD 、EF 、BC 的延长线分别交于M ，N 两点 求证：∠AME =∠BNEOCBAO BCDA练习：1、设P 是等边三角形ABC 内一点，∠APB ，∠BPC ，∠CPA 的大小之比是5：6：7，则求以PA ，PB ，PC 的长为边构成的三角形的三个内角之比（从小到大）。
几何变换思想-
在推导平行四边形、三角形和梯形得面积公式时,包括在计算组 合图形得面积时,都用到了变换思想。如三角形面积公式得推导, 是把任意两个完全相同三角形拼成一个平行四边形,再利用三角 形和平行四边形得关系,求出三角形得面积公式。这实际上是把 任意一个三角形旋转180度,再沿着一条边平移,就组合成了一个 平行四边形。也就是说,把任意一个三角形经过旋转和平移变换, 就变换成了平行四边形。梯形面积公式得推导也是利用了这个原 理。我国古代数学家刘徽利用出入相补原理求三角形和梯形得面 积,实际上也利用到了旋转变换、
第二,注意图形变换与其它几何知识得联系 小学几何中得很多平面图形都是轴对称图形,如长
方形、正方形、等腰三角形、等边三角形、等腰梯形、 菱形、圆等。一方面要在学习轴对称时加强对这些图形 得对称轴和轴对称得有关性质得认识,另一方面要在学 习轴对称时加强对这些图形得概念和性质时进一步体会 它们得轴对称特点。
学段
内容和目标
第一 结合生活实例,感知平移、旋转和轴对称现象 学段
在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方 向平移后得图形
认识轴对称图形,在方格纸上画出一个简单轴对称 图形
学段
内容和目标
第二 学段
认识图形得平移和旋转,体会图形得相似
确定轴对称图形得对称轴, 在方格纸上画出一 个图形得轴对称图形 在方格纸上画出一个简单图形平移或旋转90° 后得图形;在方格纸上画出一个简单图形按一定 比例放大或缩小后得图形
案例4 、案例5
第三,对教学要求和解题方法得准确把握 如前所述,课程标准对图形变换得内容和教
学要求有比较清晰得描述,尤其是要把握好两个 学段得内容,教学要求和解题方法。
首先像直观判断题,例如,一个平面内有若干图形,要 判断哪些图形经过平移可以互相重合,对于小学生来说 很难用任何一对对应点得连线平行且相等来判断,只能 通过直观感受判断,也就是说直观感受原图形在没有任 何转动得情况下,通过水平、竖直或者沿斜线滑动能够 与另一个图形重合,借住方格纸可以帮助我们理解其中 得道理。如在方格纸上原图形中点A(2,3),经过平移后 它得对应点为A(8,10)。那么原图形可以通过先向右平 移6格,在向上平移7格;或者先向上平移7格,再向右平移 6格,得到平移后得图形。
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第4课 几何变换(2)：旋转与中心对称
一、例题选讲
例1、如图，如果四边形CDEF 绕某点P 旋转以后与正方形ABCD 重合，则这样的点P 有几个？
B A
例2、如图，△ABC 中，D 是AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，比较DEF S ∆与（B D F A D E S S ∆∆+）的大小并说明理由。
B
C
F
例3、如图，P 是等边△
ABC 内一点，P A =2，PB =PC =4，则△ABC 的边长是多少？
A
B
例4、如图，E 、F 分别是正方形ABCD 的边BC 、CD 上两点，且BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数。
F
D
A
C
例5、如图，Rt △ABC 中，O 是斜边AB 的中点，P 、Q 分别是AC 、BC 上的点，且OP ⊥OQ ，证明：AP 2+BQ 2=PQ 2.
Q
B
A
P
例6、定点P 到等边△ABC 的定点距离A P=2,BP =3,当此三角形的边长、位置都可以改变时，求PC 的最大值，并证明你的结论。
C
例7、△ABC 是等腰三角形，AB=AC ，∠BAC =1200，△ADE 是等边三角形，点D 在BC 边上，且BD :DC =2:3,若△ABC 的面积是50，求△ADE 的面积。
C
B
B
二、巩固练习
1、两家共有一块平行四边形田地 ，中间有一用于灌溉的圆形池塘，现在两家需要把这块地均分，并且中间的池塘也要均分，你能为他们想个办法吗？
2、7个相同的圆按照图示的位置排列，把这个图形分成面积相等的两块
.
3、设P 是边长为1的等边△ABC 内的任意一点，记l =P A+PB+PC ,求证：23≤≤l .
B
4、如图,正方形ABCD 中,∠MAN =45°,求证:MN=BM+DN .
C
N
5、已知△ABC 中,AB =5,AC =13,边BC 上的中线AD =6,则BD 的长是多少
?
C
6、梯形ABCD中,AB∥CD.AB+CD=AD,E是BC的中点,求证:AE、DE分别是∠DAB,∠ADC 的平分线.
E
7、P为正方形内一点,且P A:PB:PC=1:2:3,求∠APB的度数.
8、如图,已知五边形ABCDE中,∠ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDEF 的面积为多少?
E
9、一个三角形正面红色，反面蓝色，把它分割，重新拼装成与它成轴对称的三角形，要求正面还是红色。
说明为什么这样做。
B C。