2.4旋转变换OK
绕原点旋转变换公式
绕原点旋转变换公式旋转变换是在微积分中一种非常重要的变换形式，它能够将某空间中的点，绕某一点旋转一定角度，从而改变空间中点的位置和方向。
绕原点旋转变换，也称作旋转坐标变换，是指以原点为中心，沿着某一方向，绕原点旋转一定的角度，从而改变一个坐标系的坐标。
在理论中，绕原点旋转变换的基本公式可以用下面的形式表达： x’=x*cosθ+y*sinθy’=-x*sinθ+y*cosθ其中x’y’分别表示旋转后的新坐标，x，y则表示旋转前的坐标，θ则表示绕原点旋转的角度。
在绝大多数情况下，变换是有方向性的，即一个正方向的变换等价于一个负方向的变换反向。
也就是说，旋转一定角度表示为-θ，相当于向反方向旋转一定角度θ。
因此，绕原点旋转变换公式也可以表示为：x’=x*cos(-θ)+y*sin(-θ)y’=-x*sin(-θ)+y*cos(-θ)同样的，当θ=90°时，可以得到：x’=-yy’=x在几何中，绕原点旋转变换也以此形式来表达。
以平面坐标系为例，求出平面座标坐标之间的变换关系，就可以理解绕原点旋转变换的原理及其核心公式。
在坐标系中，当我们以原点O为中心，沿x轴正方向，绕原点旋转1/4圈时，也就是旋转90°，我们可以得到如下变换关系：x’=x*cos90°+y*sin90°=0+y*1=yy’=-x*sin90°+y*cos90°=-x*0+y*1=x又称为相似变换。
当原点O作为变换的中心时，所有的点都不会改变其相对位置，即原点把坐标系中任意两点之间的距离按比例变换，而不改变它们间的相对位置。
也就是说，绕原点旋转变换是一种结构不变的变换形式，它能够按照一定的角度，将某两点之间的距离进行放大或者缩小，而不会改变它们之间的相对位置。
此外，绕原点旋转变换公式还可以用来研究坐标系中点的运动，例如，匀速直线运动和匀速圆周运动。
如果以匀速直线运动的对象为x轴，则绕原点旋转变换公式可以表示为：x’=x*cosθ-vty’=x*sinθ即被运动物体每秒的变化距离与x轴的距离的比率为θ，即θ/t 的大小，t为任意时刻。
数字的旋转掌握形的旋转变换和角度计算
数字的旋转掌握形的旋转变换和角度计算数字的旋转：掌握形的旋转变换和角度计算数字的旋转是在数学中常见的一种变换方式，通过旋转操作，可以改变数字的位置和方向。
本文将介绍数字的旋转变换和角度计算的相关概念和方法。
一、数字旋转的基本概念数字的旋转是指将一个数字按照一定的角度围绕某个旋转中心旋转，从而改变数字的位置和方向。
在数字旋转中，有以下几个基本概念需要了解：1. 旋转中心：旋转操作的中心点，数字围绕旋转中心进行旋转。
旋转中心可以是数字自身的某个点，也可以是平面上的其他点。
2. 角度：指旋转操作的角度大小，角度通常用度数或弧度表示。
在数字旋转中，角度决定了数字旋转的程度和方向。
3. 旋转方向：旋转操作可以顺时针或逆时针进行。
旋转方向会影响数字最终的位置和方向。
二、数字旋转的变换方式数字的旋转可以通过数学中的旋转变换来实现。
旋转变换是一种刚体变换，它通过保持点之间的距离和位置关系，来改变点的位置和方向。
在数字旋转中，常用的旋转变换方式有以下几种：1. 顺时针旋转：顺时针旋转是指数字按照顺时针方向围绕旋转中心旋转。
顺时针旋转可以通过坐标变换的方式来实现，可以将旋转中心作为坐标原点，然后根据旋转角度进行坐标变换，从而得到旋转后的坐标。
2. 逆时针旋转：逆时针旋转是指数字按照逆时针方向围绕旋转中心旋转。
逆时针旋转也可以通过坐标变换的方式来实现，通过相反的角度和坐标变换公式，实现数字的逆时针旋转。
3. 多点旋转：如果数字由多个点组成，则可以对每个点进行独立的旋转操作，从而实现数字的整体旋转。
三、角度计算的方法在数字的旋转中，角度计算是一个重要的环节。
角度计算可以帮助我们确定旋转的度数或弧度，从而准确地进行数字旋转。
下面介绍几种常用的角度计算方法：1. 角度的度数表示：角度可以用度数进行表示，一周共有360度。
通过度数可以确定旋转的程度，例如，90度表示右旋90度，180度表示翻转，270度表示左旋90度等。
2. 角度的弧度表示：角度也可以用弧度进行表示，一周共有2π弧度。
坐标旋转变换公式推导过程
坐标旋转变换公式推导过程1. 旋转变换的基本概念在计算机图形学中，我们经常需要对图形对象进行旋转变换。
旋转变换是一种常见的线性变换，可以帮助我们调整图形的方向和角度。
旋转变换通常涉及到一个旋转角度和一个旋转中心。
2. 二维空间中的坐标旋转我们先来看二维空间中的坐标旋转。
假设有一个二维空间中的点P(x, y)，我们要将该点绕原点(0, 0)旋转一个角度θ，得到新的点P’(x’, y’)。
根据坐标旋转变换公式的推导过程，我们可以得到如下的数学表达式：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)3. 推导过程步骤一：旋转变换矩阵的推导我们知道，对于二维空间中的点P(x, y)，我们可以用齐次坐标来表示为P(x, y, 1)。
而旋转变换可以表示为一个2x2的矩阵R：R = | cos(θ) -sin(θ) | | sin(θ) cos(θ) |步骤二：推导旋转变换的推导根据矩阵乘法的定义，我们可以得到旋转后的点P’：P’ = R * P展开计算得到：x’ = x * cos(θ) - y * sin(θ) y’ = x * sin(θ) + y * cos(θ)因此，从矩阵和坐标的角度上，我们成功推导出了二维空间中的坐标旋转变换公式。
4. 结论通过上述推导过程，我们可以得到二维空间中坐标旋转变换的具体数学表达式。
这些公式在计算机图形学和计算机视觉中具有重要的应用价值，能够帮助我们实现各种旋转形变效果。
在实际的编程实现中，我们可以根据这些公式进行简单的计算，从而实现图形的旋转变换效果。
希望本文的推导过程对读者有所帮助，引发对坐标旋转变换公式的更深一步探索和研究。
参考资料•计算机图形学教程•计算机视觉基础理论以上就是坐标旋转变换公式推导过程的详细内容，希望对您有所帮助。
旋转变换（一）旋转矩阵
旋转变换（一）旋转矩阵1. 简介计算机图形学中的应用非常广泛的变换是一种称为仿射变换的特殊变换，在仿射变换中的基本变换包括平移、旋转、缩放、剪切这几种。
本文以及接下来的几篇文章重点介绍一下关于旋转的变换，包括二维旋转变换、三维旋转变换以及它的一些表达方式（旋转矩阵、四元数、欧拉角等）。
2. 绕原点二维旋转首先要明确旋转在二维中是绕着某一个点进行旋转，三维中是绕着某一个轴进行旋转。
二维旋转中最简单的场景是绕着坐标原点进行的旋转，如下图所示：如图所示点v 绕原点旋转θ角，得到点v’，假设 v点的坐标是(x, y) ，那么可以推导得到v’点的坐标（x’, y’)(设原点到v的距离是r，原点到v点的向量与x轴的夹角是ϕ )x=rcosϕy=rsinϕx′=rcos(θ+ϕ)y′=rsin(θ+ϕ)通过三角函数展开得到x′=rcosθcosϕ−rsinθsinϕy′=rsinθcosϕ+rcosθsinϕ带入x和y表达式得到x′=xcosθ−ysinθy′=xsinθ+ycosθ写成矩阵的形式是：[x′y′]=[cosθsinθ−sinθcosθ]∗[xy]尽管图示中仅仅表示的是旋转一个锐角θ的情形，但是我们推导中使用的是三角函数的基本定义来计算坐标的，因此当旋转的角度是任意角度（例如大于180度，导致v’点进入到第四象限）结论仍然是成立的。
3. 绕任意点的二维旋转绕原点的旋转是二维旋转最基本的情况，当我们需要进行绕任意点旋转时，我们可以把这种情况转换到绕原点的旋转，思路如下：1. 首先将旋转点移动到原点处2. 执行如2所描述的绕原点的旋转3. 再将旋转点移回到原来的位置也就是说在处理绕任意点旋转的情况下需要执行两次平移的操作。
假设平移的矩阵是T(x,y)，也就是说我们需要得到的坐标v’=T(x,y)*R*T(-x,-y)（我们使用的是列坐标描述点的坐标，因此是左乘，首先执行T(-x,-y)）在计算机图形学中，为了统一将平移、旋转、缩放等用矩阵表示，需要引入齐次坐标。
旋转翻转与平移的变换知识点总结
旋转翻转与平移的变换知识点总结几何变换是数学中一个重要且常见的概念，对于图形的旋转翻转与平移等操作，能够使得图形在平面内发生变化。
本文将对旋转翻转与平移的变换知识点进行总结，以便更好地理解和应用这些概念。
一、旋转变换旋转变换是指将图形按照一定的角度围绕某一点旋转。
在平面几何中，旋转变换包括顺时针旋转和逆时针旋转两种方式。
1. 顺时针旋转：顺时针旋转是将图形按照顺时针方向进行旋转，一般以正角度表示。
例如，将一个图形按照顺时针旋转90度，就是将原始图形的每个点绕着旋转中心点顺时针旋转90度。
2. 逆时针旋转：逆时针旋转是将图形按照逆时针方向进行旋转，一般以负角度表示。
与顺时针旋转类似，逆时针旋转也是将原始图形的每个点绕着旋转中心点逆时针旋转一定角度。
旋转变换可以用矩阵表示，其中旋转角度为θ，旋转矩阵为：cosθ -sinθsinθ cosθ二、翻转变换翻转变换是指将图形按照某一轴进行对称，常见的有水平翻转和垂直翻转两种方式。
1. 水平翻转：水平翻转是将图形按照水平轴进行对称，即以水平轴为对称轴，上下颠倒图形。
例如，将一个图形按照水平轴进行翻转，原先在上部的图形点转移到下部。
2. 垂直翻转：垂直翻转是将图形按照垂直轴进行对称，即以垂直轴为对称轴，左右颠倒图形。
例如，将一个图形按照垂直轴进行翻转，原先在左侧的图形点转移到右侧。
翻转变换可以用矩阵表示，其中水平翻转可用矩阵表示为：-1 00 1垂直翻转可用矩阵表示为：1 00 -1三、平移变换平移变换是指将图形沿着平面平行移动一段距离。
平移变换可以将图形从一个位置移动到另一个位置，而不改变图形的大小和形状。
平移变换通常用向量表示，其中平移向量为：(dx, dy)。
图形的每个点都将根据平移向量的数值进行水平和垂直方向上的移动。
四、综合应用旋转翻转与平移的变换在实际生活中有广泛的应用，尤其是在计算机图形学和计算机视觉领域。
在计算机图形学中，通过对图像进行旋转、翻转和平移等变换，可以实现图像的缩放、旋转和平移操作。
旋转、平移和镜像变换
旋转、平移和镜像变换旋转、平移和镜像变换是几种常见的图形变换方法，在计算机图形学、几何学以及艺术设计等领域都有广泛应用。
通过这些变换，我们可以改变图形的位置、形状和方向，从而达到我们想要的效果。
1. 旋转变换旋转变换是将一个图形按照某个点为中心点进行旋转，使得图形围绕这个中心点旋转一定角度。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
旋转变换的公式为：x' = x*cosθ - y*sinθy' = x*sinθ + y*cosθ其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示旋转后的点的坐标，θ表示旋转的角度。
2. 平移变换平移变换是将一个图形沿着平移向量的方向进行移动，使得图形整体平移一定距离。
平移变换是保持图形形状和方向不变的基本变换之一。
平移变换的公式为：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示平移后的点的坐标，(dx, dy)表示平移向量。
3. 镜像变换镜像变换是将一个图形按照某个镜像轴进行对称，使得图形在镜像轴两侧呈镜像关系。
镜像变换可以分为水平镜像和垂直镜像两种。
水平镜像变换的公式为：x' = xy' = y垂直镜像变换的公式为：x' = -xy' = y其中，(x, y)表示原始的点的坐标，(x', y')表示镜像后的点的坐标。
通过组合使用旋转、平移和镜像变换，我们可以实现更加复杂的变换效果。
例如，可以先将一个图形进行平移，然后再进行旋转和镜像变换，从而得到一个整体上更加生动和有趣的图形。
总结：旋转、平移和镜像变换是图形变换中常用的几种方法。
它们可以灵活地改变图形的位置、形状和方向，为计算机图形学、几何学和艺术设计等领域提供了丰富的工具和技术。
熟练掌握这些变换方法，对于创作和处理图形具有重要意义。
坐标系旋转变换公式
坐标系旋转变换公式在几何学和计算机图形学中，坐标系的旋转变换是一种常见的操作，用于将一个坐标系中的点或者物体旋转到另一个坐标系中。
通过合适的数学公式，我们可以实现坐标系的旋转变换，从而得到旋转后的坐标值。
1. 二维坐标系的旋转变换对于二维坐标系，我们通常使用以下旋转变换公式来实现坐标系的旋转：假设原始坐标系中的一个点的坐标为(x,y)，经过旋转角度为$\\theta$后，该点的新坐标为(x′,y′)。
那么，新坐标可以通过以下公式计算得到：$x' = x * \\cos(\\theta) - y * \\sin(\\theta)$$y' = x * \\sin(\\theta) + y * \\cos(\\theta)$其中，$\\theta$为旋转角度，单位为弧度。
通过这两个公式，我们可以将原始坐标系中的点绕原点进行旋转。
2. 三维坐标系的旋转变换对于三维坐标系，旋转变换会更加复杂一些。
我们通常使用旋转矩阵来实现三维坐标系的旋转。
假设原始坐标系中的一个点的坐标为(x,y,z)，经过绕x轴、y轴和z轴分别旋转角度$\\alpha$、$\\beta$和$\\gamma$后，该点的新坐标为(x′,y′,z′)。
那么，新坐标可以通过以下矩阵乘法计算得到：\[ \begin{bmatrix} x’ \\ y’ \\ z’ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos\gamma \cos\beta & -\sin\gamma \cos\alpha + \cos\gamma \sin\beta \sin\alpha &\sin\gamma \sin\alpha + \cos\gamma \sin\beta \cos\alpha \\ \sin\gamma\cos\beta & \cos\gamma \cos\alpha + \sin\gamma \sin\beta \sin\alpha & -\cos\gamma \sin\alpha + \sin\gamma \sin\beta \cos\alpha \\ -\sin\beta &\cos\beta \sin\alpha & \cos\beta \cos\alpha \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \]以上矩阵表示了绕z轴、y轴、x轴旋转的变换矩阵，在乘法的过程中，我们可以得到旋转后的新坐标。
数学中的几何变换形的平移旋转缩放与镜像
数学中的几何变换形的平移旋转缩放与镜像几何变换是数学中研究空间中图形移动、旋转、缩放和镜像的重要概念。
它们不仅在几何学中广泛应用，还在计算机图形学、物理学、工程学等领域中发挥着重要作用。
本文将探讨数学中的几种常见几何变换：平移、旋转、缩放和镜像，并阐述它们的定义、性质和应用。
一、平移变换平移变换是指通过沿着特定的方向和距离将图形移动至新的位置。
在平面几何中，对于平移变换，原图形和变换后的图形具有相同的形状和大小，只是位置不同。
平移变换可以表示为：T(x,y) = (x+a, y+b)其中，(x,y)为原图形上某点的坐标，(x+a, y+b)为平移后图形上对应点的坐标，a和b分别表示平移的水平和垂直方向的距离。
平移变换具有以下性质：1. 保持形状不变：平移变换后，图形的各边和角度保持不变。
2. 保持大小不变：平移变换后，图形的面积和周长保持不变。
3. 保持平行关系：平移变换后，图形上任意两点之间的距离、平行线之间的距离和夹角大小保持不变。
4. 可叠加性：对于多个平移变换依次进行，结果等价于进行一个平移变换。
平移变换的应用：1. 地图标注：在地理信息系统中，通过平移变换可以实现地图上标注物体的位置调整。
2. 图像处理：在计算机图像处理中，通过平移变换可以实现图像的平移和移动。
3. 动画制作：在动画制作中，通过平移变换可以使图像或物体在屏幕上产生移动效果。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕某一固定点旋转一定角度得到新的图形。
在平面几何中，旋转变换可以围绕坐标原点进行，也可以围绕其他点或轴进行。
旋转变换可以表示为：R(x,y) = (xcosθ - ysinθ, xsinθ + ycosθ)其中，(x,y)为原图形上某点的坐标，(xcosθ - ysinθ, xsinθ+ ycosθ)为旋转后图形上对应点的坐标，θ表示旋转的角度。
旋转变换具有以下性质：1. 保持形状不变：旋转变换后，图形的各边和角度保持不变。
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平 移 轴对称后旋转
1、旋转变换的概念。 2、旋转变换的性质。 3、旋转变换的作图。
1.作业本2.4
2.课本作业题（选做）鼓励大
部分同学做
3
方法一、先将牌A右下角顶点为旋转中心，将牌A按 顺时针方向旋转90°，再向下作一次平移变换，就得 到牌B. 方法二、先将牌A向下作一次平移变换，平移到牌A的 右下角与牌B的左下角重合，再以牌A的右下角顶点为 旋转中心，按顺时针方向旋转90°，再就得到牌B.
再举一些生活中常见的旋转变换的例子
（1）左边情景中的转 动现象，有什么共同 特征？ （2）它们在转动过 程中，其形状、大 小、位置是否发生 改变？
1、如图，经过怎样的旋转变换，可由射线OP得到射 线OQ？
P Q O
2、如图所示是一双手的图片。你认为能否经 旋转变换与轴对 旋转变换必须指明: 过一定的旋转变换，使左手的图形与右手的图 形重合？经过轴对称变换呢？你从中得到什么 旋转中心,旋转方 称变换、平移变 结论？用你的左、右手试一试。 向,旋转角度.
等于旋转的角度.
1.作旋转图形的关键是什么? 2.经旋转变换所得的图形和原图形全 等吗? 3.旋转变换后对应点位置的排列次序 有变化吗?
下图由四部分组成， 每部分都包括两个 小“十字”。
红色部分能经过适 当的旋转得到其他 三部分吗？能经过 平移吗？能经过轴 对称吗？还有其他 的方式吗？
旋 转 先平移后旋转
在方格纸上画旋转后的图形
做 一 做
在方格纸上作出 “小旗子”绕 O点按顺时针方向旋转90 度后的图案 ，并简述理由。
O
如图，怎样将右边的图案变成左 边的图案？
下图是由三个正三角形拼成的， 它可以看做是其中一个三角形经 过怎，点A，B分别移 动到什么位置？ ３．AO与DO的长有什么关系？ BO与EO呢？ ４．∠AOD与∠BOE有什么大小 关系？∠COF呢？
一般地,图形的旋转变换有下面的性质
旋转变换不改变图形的形状和大小. 对应点到旋转中心的距离相等.
对应点与旋转中心连线所成的角度
换有何异同点?
特征 变换 轴对称
形状
大小
方向
不变 不变 不变
不变 不变 不变
改变 不变 改变
平移 旋转
例 如图，O是△ABC外一点。以点O为旋转 中心，将△ABC按逆时针旋转80°，作出经 C' 旋转变换后的像。
A'
∴△A'B'C '就是所 求作的旋转变换后 的像
O
B'
A
C
B
如图所示，如果把钟表的指针OC看作四边形 AOBC的对角线，它绕O点按顺时针方向旋 转得到四边形DOEF．在这个旋转过程中：
2.4旋转变换
你能在图中找出共同特点的运动嘛?
提示:风车叶片的运动、钟表的摆 动、时钟的走动。（从运动物体各 部分旋转的方向和角度考虑。）
旋转变换、旋转中心
由一个图形改变为另一个图形，在改 变的过程中，原图形上的所有点都绕一个 固定的点，按同一个方向，转动同一个角 度，这样的图形改变叫做图形的旋转变换， 简称旋转.这个固定的点叫做旋转中心.