无界域上一类半线性波动方程的全离散谱格式
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《自动控制原理》考点精讲(第8讲 非线性控制系统分析)
（2）稳定性分析很复杂 线性系统的稳定性只取决于系统的结构与参数，而与外部作用 和初始条件无关。 非线性系统的稳定性：与系统的参数与结构、运动的初始状 态、输入信号有直接关系。 非线性系统的某些平衡状态（如果不止有一个平衡状态的话） 可能是稳定的，而另外一些平衡状态却可能是不稳定的。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
量外，还含有关于ω的高次谐波分量。使输出波形发生非线
性畸变。 正弦响应的复杂性：①跳跃谐振及多值响应；②倍频振荡与 分频振荡；③组合振荡（混沌）；④频率捕捉。 混沌：
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e
x
x(t)
x(t)
x(t)
x(t)
ωt ωt
ωt ωt
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
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例：欠阻尼二阶系统的相平面描述——相轨迹
相轨迹在某些特定情况 下，也可以通过积分法， 直接由微分方程获得x和x 导数的解析关系式：
x dx = f (x, x) ⇒ g(x)dx = h(x)dx dx
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
α
=
dx dx
=
f (x, x) x
则与该曲线相交的任何相轨迹在交点处的切线斜率均为α，
该曲线称为等倾线。 注1：线性系统的等倾线为直线； 注2：非线性系统的等倾线为曲线或折线。
自动控制原理（自动控制理论）考点精讲
网学天地（ ）
由等倾线的概念知，当相轨迹经过该等倾线上任一点时，其 切线的斜率都相等，均为α。取α为若干不同的常数，即可 在相平面上绘制出若干条等倾线，在等倾线上各点处作斜率 为α的短直线，并以箭头表示切线方向，则构成相轨迹的切 线方向场。
一类带弱奇异核偏积分微分方程二阶差分空间半离散格式的全局稳定性
式 ． 文将采 用二 阶差分 空 间半离散 格式 ， 到其 稳定性 ． 本 得
２ 预 备 知识
我 们先 给 出将本 文 中用 到的一些 定 义和基 本结 论． 设 Ｃ为复数 集 ， 一 （ ， ， ， 一） ， Ｕ 。Ｕ２ … ＵⅣ 。’ Ｖ一 （ ， ２ … ， 。 ， 中 ， ∈Ｃ， １ ， 。Ｖ ， Ｖ 一 ） 其 一 ，
关 键 词 偏 积 分 微 分 方程 二 阶 差 分 格 式 全 局 稳 定 性 Ｌａ ｌｃ ｐａ ｅ变换
Ｔｈ ｌ ｂ ｌｓ ａ ｌｔ ｆ ｓ ｃ ｎｄ ｏ ｄ ｒ ｓ ｃ ａ ｅ ｇ ｏ ａ ｔ ｂｉｉｙ ｏ ｅ ｏ ｒ ｅ ｐａ ｉ ｌ ｓ ｍ ｉ－ｄ ｓ ｒ ｔ ｉ ｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈｅ ｅ ｆ ｒ ａ ｅ ・ ｉｃ ｅ ｅ ｄ ｆ ｅ ｅ ｃ ｃ ｍ ｏ － — — ｐ ｒ ｉ ｌｉ ｔ ｇ ｏ－ ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｔ ａ ｔ ａ ｎ ｅ ｒ － ｆ ｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ
这是介 于标 准热传 导 （ 物 ） 程和波 动 （ 曲） 程之 间 的一类方 程 （ 见［ ］． 抛 方 双 方 参 １） 对 于这 类方程 ，１１ ［－ 在时 间方 向采用 了 向后 Ｅｕｅ 格式 和一 阶卷 积求积 逼近分 项 ；ｚＩ 虑 ｌｒ ［－ 考 了 Ｅ ｌｒ Ｃ ａ ｋ— Ｎｉ ｌｏ ｕｅ 和 ｒｎ ｃ ｓｎ格式 及一 阶 、 阶卷 积求 积 ；４ 采 用 了一 阶时 间全离 散差分 格 ｏ 二 ［］
维普资讯
第 １பைடு நூலகம்
一 类 带 弱 奇 异 核 偏 积 分 微 分 方 程 二 阶差 分 空 间半 离 散 格 式 的 全 局稳 定 性
９ ７
Ｕ（ ， 一 Ｉ （— “ ， ｄ ＋ｆｘ￡ ｔ ￡ ｆ ） （ ｓ ｓ （ ， ｚ ） ） ）
２ 预 备 知识
我 们先 给 出将本 文 中用 到的一些 定 义和基 本结 论． 设 Ｃ为复数 集 ， 一 （ ， ， ， 一） ， Ｕ 。Ｕ２ … ＵⅣ 。’ Ｖ一 （ ， ２ … ， 。 ， 中 ， ∈Ｃ， １ ， 。Ｖ ， Ｖ 一 ） 其 一 ，
关 键 词 偏 积 分 微 分 方程 二 阶 差 分 格 式 全 局 稳 定 性 Ｌａ ｌｃ ｐａ ｅ变换
Ｔｈ ｌ ｂ ｌｓ ａ ｌｔ ｆ ｓ ｃ ｎｄ ｏ ｄ ｒ ｓ ｃ ａ ｅ ｇ ｏ ａ ｔ ｂｉｉｙ ｏ ｅ ｏ ｒ ｅ ｐａ ｉ ｌ ｓ ｍ ｉ－ｄ ｓ ｒ ｔ ｉ ｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈｅ ｅ ｆ ｒ ａ ｅ ・ ｉｃ ｅ ｅ ｄ ｆ ｅ ｅ ｃ ｃ ｍ ｏ － — — ｐ ｒ ｉ ｌｉ ｔ ｇ ｏ－ ｄｉ ｆ ｒ ｎ ｉ ｌｅ ｕ ｔｏ ｔ ａ ｔ ａ ｎ ｅ ｒ － ｆ ｅ ｅ ｔａ ｑ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ
这是介 于标 准热传 导 （ 物 ） 程和波 动 （ 曲） 程之 间 的一类方 程 （ 见［ ］． 抛 方 双 方 参 １） 对 于这 类方程 ，１１ ［－ 在时 间方 向采用 了 向后 Ｅｕｅ 格式 和一 阶卷 积求积 逼近分 项 ；ｚＩ 虑 ｌｒ ［－ 考 了 Ｅ ｌｒ Ｃ ａ ｋ— Ｎｉ ｌｏ ｕｅ 和 ｒｎ ｃ ｓｎ格式 及一 阶 、 阶卷 积求 积 ；４ 采 用 了一 阶时 间全离 散差分 格 ｏ 二 ［］
维普资讯
第 １பைடு நூலகம்
一 类 带 弱 奇 异 核 偏 积 分 微 分 方 程 二 阶差 分 空 间半 离 散 格 式 的 全 局稳 定 性
９ ７
Ｕ（ ， 一 Ｉ （— “ ， ｄ ＋ｆｘ￡ ｔ ￡ ｆ ） （ ｓ ｓ （ ， ｚ ） ） ）
哈尔滨工业大学 计算传热学 第五章 对流-扩散方程的离散格式-2013
而
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
aPP aEE aWW
Fe Fw exp( Pw ) aE , aW exp( Pe ) 1 exp( Pw ) 1
(D)
aP aE aW (Fe Fw )
区别就在函数 aE和aW
aE De
Pe aE De exp( Pe ) 1
aE Pe De
该格式计算量比指数小，且指数格式的解差别很小。
§ 5-3
为了在讨论中引入 PE 记
通用表达式
x
i
J*
i+1 i+1/2
x
1 界面i+ 上的值可以用界面两侧节点值表示 2
J * Bi Ai 1 （y）
系数A和B的性质的讨论 (1)当 i i 1 时，扩散量=0， J *完全由对流造成，即
即
aPP aEE aW W
显然不论那种格式，仅仅是 A(| P |) 表达式的区别。
A( P )
A(|P |)
中心 1 0.5 | P | 迎风 1 混合 [| 0,1 0.5 | P | |] 指数 | P | [exp(| P |) 1]
1.0
迎风
指数 乘方
乘方 | 0, (1 0.1| P |)5 |
中心
混合
P
§ 5-4
原始的假扩散概念
关于假扩散的讨论
一维非稳态对流方程（纯对流,没有扩散）
u t x
显示迎风差分格式
in1 in
t
u
in in 1
x
, o(x, t )
将上式在（i，n）点做Taylar级数展开，保留二阶。
上述若对任何成立，必得
B( P ) A( P ) A( P ) B( P )
应用PDE讲义03_特征线
在 ， ， 空间中，解曲面的法向为 ， ，1
把偏微分方程可以重新表示为 ，， · ， ， 1 0
几何上， ， ， 落在解曲面每一点的切平面上。因此，如果通过 求解常微分方程组（特征方程组）
，， ，， ，， 来构造曲线 ， ， ，其中 为参数，那么对于所有的 ， 这条曲线就落在解曲面上。另外，如果在 0上要求
的上方
和下方的，虽然是 ， 的连续函数，且沿此抛物线取相同的值
，
，
3
但在此抛物线上
，
，
也就是说，偏微分方程的一个连续合成解的一阶导数沿特征线产生间 断，是不连续的。
对于所有的标量拟线性方程，解的定义域至少是被通过边界曲线 投影端点的特征投影所限制，另一个限制是系数 ， 均为零，或者沿
14
特征线积分时破裂，即解及其导数出现奇性，或者是在 ， 平面的
， 处的 值。
如果把 ，0
看成初始扰动，那么上述结果就表明，这
个扰动以速度| |传播，波形保持不变；当 0，是向右移动；当 0，
是向左移动。
1.3 定义域和破裂
虽然已经得到解的局部存在性结果，但是在远离特征线 的地方，
解仍然可能产生奇性，尤其当方程不是线性的时候极其容易发生。在
线性方程中
，，
， ， ，，
某些曲线上 Jacobi 行列式 这些曲线上不能再延拓。
， / ， 为零所致，解的定义域在
§2 线性波动方程的初值问题
高阶偏微分方程，常可以通过引入新的未知函数的方法，化为一 个一阶偏微分方程组。特别指出，一个一阶偏微分方程组未必能化为 一个高阶偏微分方程。例如可压缩流体动力学方程组。
2.1 一阶线性偏微分方程组
2
在绪论里面，建立了种群演化密度偏微分方程构成定解问题：
把偏微分方程可以重新表示为 ，， · ， ， 1 0
几何上， ， ， 落在解曲面每一点的切平面上。因此，如果通过 求解常微分方程组（特征方程组）
，， ，， ，， 来构造曲线 ， ， ，其中 为参数，那么对于所有的 ， 这条曲线就落在解曲面上。另外，如果在 0上要求
的上方
和下方的，虽然是 ， 的连续函数，且沿此抛物线取相同的值
，
，
3
但在此抛物线上
，
，
也就是说，偏微分方程的一个连续合成解的一阶导数沿特征线产生间 断，是不连续的。
对于所有的标量拟线性方程，解的定义域至少是被通过边界曲线 投影端点的特征投影所限制，另一个限制是系数 ， 均为零，或者沿
14
特征线积分时破裂，即解及其导数出现奇性，或者是在 ， 平面的
， 处的 值。
如果把 ，0
看成初始扰动，那么上述结果就表明，这
个扰动以速度| |传播，波形保持不变；当 0，是向右移动；当 0，
是向左移动。
1.3 定义域和破裂
虽然已经得到解的局部存在性结果，但是在远离特征线 的地方，
解仍然可能产生奇性，尤其当方程不是线性的时候极其容易发生。在
线性方程中
，，
， ， ，，
某些曲线上 Jacobi 行列式 这些曲线上不能再延拓。
， / ， 为零所致，解的定义域在
§2 线性波动方程的初值问题
高阶偏微分方程，常可以通过引入新的未知函数的方法，化为一 个一阶偏微分方程组。特别指出，一个一阶偏微分方程组未必能化为 一个高阶偏微分方程。例如可压缩流体动力学方程组。
2.1 一阶线性偏微分方程组
2
在绪论里面，建立了种群演化密度偏微分方程构成定解问题：
一类奇异半线性抛物方程半离散解的加权L2模误差估计
其 中， 为有 限元空间 ， 表示 ｒ １ Ｓ Ｐ 一 次多项式。
与问题 （ ） ２ 相应 的半离散问题为 ： 对固定的 ｔ求 ｕ（ ｔ ∈Ｓ ， ， ） 使得 ，
ｆ Ｍ ． ）＋ （ ＾ ）＝（ （ ＾ ，＾ Ｖ ∈Ｓ （ ＾ ，＾ ０ Ｍ ，＾ Ｍ ） ） ＾ （） ３
（ ２）
【（ ０ ＝， １ ，） １（） １ ， 。
将 ， ０ （ ） 进行 拟一 致剖分 ： ＜ ＜… ＜ ＝ ０ ， ＝（ ０ ） ０＝ 。 （ ）记
∈ ，
，＝ ， ）ｈ ： 一 ， Ｓ ＝｛ ∈ ， ， １ ＝ ，≤ ≤Ⅳ （ （） ＝ ） 。（ ， 。 Ｈ （） Ｐ一 １ ， ） ０ ，
【 ，） １（） １（ ０ ＝１ ， ，
其中，： Ｓ 是 ｕ（） １ ∈ 。 的某个适当的近似。 １ ， ２ 对称有限元半离散解的加权 Ｌ 模误差估计
定理 １ 设 １和 １ 分别为 （） ３ 的解 ， １ １ ， ， ２ 和（ ） 则
一
ｕ ≤ 一。 ＋ｈ （） ＋ ｕ ＋ Ｃ “ｌ Ｃ ㈩ 。 ｆ ㈩
一
类 奇 异 半线 性 抛 物 方程 半 离 散解 的加权 ２ 模误差估计
韩 玉桃
（ 天津商业大学理学 院 ， 天津 ３ ０ ３ ） ０ １４
摘
要： 具有奇异 系数的椭 圆及抛物偏微分方程是 一类很 重要 的方程， 但是求 出其精确解是很 困难 的。本文考虑一
类奇异半线性抛物方程初 、 边值问题的有限元方法 ， 出了半 离散 解的加权 范数的误差估计。 给 关键词 ： 奇异半线性 ； 抛物方程 ； 离散 ； 半 加权模
第６ 期
韩 玉桃 ： 类奇异半 线 性抛物方 程半 离散 解 的加 权 Ｌ 一 模误 差估计
与问题 （ ） ２ 相应 的半离散问题为 ： 对固定的 ｔ求 ｕ（ ｔ ∈Ｓ ， ， ） 使得 ，
ｆ Ｍ ． ）＋ （ ＾ ）＝（ （ ＾ ，＾ Ｖ ∈Ｓ （ ＾ ，＾ ０ Ｍ ，＾ Ｍ ） ） ＾ （） ３
（ ２）
【（ ０ ＝， １ ，） １（） １ ， 。
将 ， ０ （ ） 进行 拟一 致剖分 ： ＜ ＜… ＜ ＝ ０ ， ＝（ ０ ） ０＝ 。 （ ）记
∈ ，
，＝ ， ）ｈ ： 一 ， Ｓ ＝｛ ∈ ， ， １ ＝ ，≤ ≤Ⅳ （ （） ＝ ） 。（ ， 。 Ｈ （） Ｐ一 １ ， ） ０ ，
【 ，） １（） １（ ０ ＝１ ， ，
其中，： Ｓ 是 ｕ（） １ ∈ 。 的某个适当的近似。 １ ， ２ 对称有限元半离散解的加权 Ｌ 模误差估计
定理 １ 设 １和 １ 分别为 （） ３ 的解 ， １ １ ， ， ２ 和（ ） 则
一
ｕ ≤ 一。 ＋ｈ （） ＋ ｕ ＋ Ｃ “ｌ Ｃ ㈩ 。 ｆ ㈩
一
类 奇 异 半线 性 抛 物 方程 半 离 散解 的加权 ２ 模误差估计
韩 玉桃
（ 天津商业大学理学 院 ， 天津 ３ ０ ３ ） ０ １４
摘
要： 具有奇异 系数的椭 圆及抛物偏微分方程是 一类很 重要 的方程， 但是求 出其精确解是很 困难 的。本文考虑一
类奇异半线性抛物方程初 、 边值问题的有限元方法 ， 出了半 离散 解的加权 范数的误差估计。 给 关键词 ： 奇异半线性 ； 抛物方程 ； 离散 ； 半 加权模
第６ 期
韩 玉桃 ： 类奇异半 线 性抛物方 程半 离散 解 的加 权 Ｌ 一 模误 差估计
第2章波动方程
引理证毕。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
2．齐次方程的初值问题（Cauchy 问题）
考察问题
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x,0) = ϕ (
0,
x)
,
ut
( x,0)
x ∈ \, t > 0,
=ψ ( x), x∈\.
利用齐次波动方程的通解表达式：
（1.1）
u( x, t ) = F ( x − at ) + G ( x + at ) ,
u = F ( x − at ) , a > 0
显然是弦振动方程的解。给 t 以不同的值，就可以看出作一维自由振动的物体在各时刻的相
应位置。在 t = 0 时， u = F ( x ) 对应于初始的振动状态，而 u = F ( x − at ) 作为 ( x, u ) 平
面 上 的 曲 线 是 曲 线 u = F ( x ) 向 右 平 移 了 at 个 单 位 ， 所 以 齐 次 弦 振 动 方 程 的 形 如
=
1 2a
⎧∂
⎨ ⎩
∂t
ϕ x+at (ξ )dξ +
x − at
ψ x + at
(ξ
)dξ
⎫ ⎬
.
x − at
⎭
u2 满足非齐次方程的初值问题
4
⎧⎪ ⎨ ⎪⎩
utt
u(
− a2uxx =
x, 0) = 0,
f ut
( (
x, x,
t), 0) =
x∈ 0,
\
, t> x∈
0, \.
为了求解（1.4），首先求解
条件无关。称这个三角形区域为区间 ⎡⎣ x1 , x2 ⎤⎦ 的决定区域。
波动方程的高阶间断有限元方法
Copyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/
−1
xrk xlk
n
⋅
(−c) Ehk − (−c) E*
ϕ k ( x) dx.
其中：
Jk
为线性映射的
Jacobi， r,(i, j)
=
dϕ j dr
ri
。 r
和 ij 之间存在如下的计算关系：
( ) ∑ ∑ ∫ ( ) ( ) ∫ ( ) ∑ ( ) ∫ ( ) ( ) = = = r (i, j) nN p1= inr,(n, j) nN= p1 −11ϕi r ϕn r ddϕrj rn d= r = −11ϕi r nN p1 ddϕrj rn ϕn r= dr −11ϕi r dϕdjr r dr
Abstract
In recent years, discontinuous finite element method has been widely used in solving hyperbolic equations. Compared with traditional finite element method and difference method, discontinuous finite element method has many advantages. In this paper, the discontinuous finite element analysis is applied to the hyperbolic wave equation. By constructing the strong form of the discontinuous finite element and selecting the appropriate numerical flux, the smaller error and higher convergence order are obtained compared with the exact solution, and the theoretical convergence order of the discontinuous finite element is reached.
全波形反演
1、基本原理 2、数值实现 3、模型试算 4、小结
三、时间域全波形反演 四、结论与认识
二、频率-空间域全波形反演
1、基本原理
问题的离散化：
考虑时域声波方程：
1
v2 x
2
p x,t
t 2
x
1
p x,t
x
z
1
p x,t
z
s x,t
将其转换到频率域，并对空间求导进行有限差分离散可得到如下的线性方程 组：
二、频率-空间域全波形反演
梯度向量的快速求解
将敏感性矩阵显式写出为：
J [S1f 1 S1f 2 L S1f m ] S1F
将其代入梯度向量表达式可得：
mO
O m
JtR
S1F t R
Ft S1 t R FtS1R
梯度的物理解释： 波场剩余量的逆时传播与正向波场的零延迟互相关； 隐式求解敏感性矩阵的计算量： 对于一次激发只需两次正演模拟，计算量与模型参数的个数不再是正比关系。
阻抗矩阵逆的每一列为格林函数：
G(xr1, xs1) G(xr1, xs2 ) L
S-1 = G(xr2 , xs1) G(xr2, xs2 ) L
M
ML
G(xrn , xs1) G(xrn , xs1) L
G(xr1, xsm )
G(x
r
2
,
x
sm
)
M
G(x
rn
,
x
sm
)
二、频率-空间域全波形反演
一、前 言
存在的关键问题：
主要目标：
初始模型建立 目标函数选取 迭代算法选取 计算量过大 反演流程选取
旅行时层析、偏移速度分析（成像域）、Laplace域波形反演等
三、时间域全波形反演 四、结论与认识
二、频率-空间域全波形反演
1、基本原理
问题的离散化：
考虑时域声波方程：
1
v2 x
2
p x,t
t 2
x
1
p x,t
x
z
1
p x,t
z
s x,t
将其转换到频率域，并对空间求导进行有限差分离散可得到如下的线性方程 组：
二、频率-空间域全波形反演
梯度向量的快速求解
将敏感性矩阵显式写出为：
J [S1f 1 S1f 2 L S1f m ] S1F
将其代入梯度向量表达式可得：
mO
O m
JtR
S1F t R
Ft S1 t R FtS1R
梯度的物理解释： 波场剩余量的逆时传播与正向波场的零延迟互相关； 隐式求解敏感性矩阵的计算量： 对于一次激发只需两次正演模拟，计算量与模型参数的个数不再是正比关系。
阻抗矩阵逆的每一列为格林函数：
G(xr1, xs1) G(xr1, xs2 ) L
S-1 = G(xr2 , xs1) G(xr2, xs2 ) L
M
ML
G(xrn , xs1) G(xrn , xs1) L
G(xr1, xsm )
G(x
r
2
,
x
sm
)
M
G(x
rn
,
x
sm
)
二、频率-空间域全波形反演
一、前 言
存在的关键问题：
主要目标：
初始模型建立 目标函数选取 迭代算法选取 计算量过大 反演流程选取
旅行时层析、偏移速度分析（成像域）、Laplace域波形反演等
数字信号处理(第三版)-课后习题答案全-(原题+答案+图)
=2x(n)+x(n－1)+ x(n－2)
将x(n)的表示式代入上式， 得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(2n)+2δ(n－1)+δ(n－2)
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
x(m)h(n－m)
m
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题7图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
将x(n)的表示式代入上式， 得到 1 y(n)=－2δ(n+2)－δ(n+1)－0.5δ(2n)+2δ(n－1)+δ(n－2)
+4.5δ(n－3)+2δ(n－4)+δ(n－5)
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
8. 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下三种情况，
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
（5）y(n)=x2(n)
（6）y(n)=x(n2)
（7）y(n)=
n
（8）y(n)=x(n)sin(ωxn(m) )
m0
解： （1） 令输入为
输出为
x(n－n0)
y′(n)=x(n－n0)+2x(n－n0－1)+3x(n－n0－2) y(n－n0)=x(n－n0)+2x(n—n0—1)+3(n－n0－2)
x(m)h(n－m)
m
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
题7图
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)={－2,－1,－0.5, 2, 1, 4.5, 2, 1; n=－2, －1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
谱方法用于非定常流动计算的隐式求解
谱方法用于非定常流动计算的隐式求解作者：苏欣荣， 袁新， SU Xin-Rong， YUAN Xin作者单位：清华大学热科学与动力工程教育部重点实验室,北京,100084刊名：工程热物理学报英文刊名：JOURNAL OF ENGINEERING THERMOPHYSICS年，卷(期)：2009，30(12)被引用次数：0次1.Hall KC.Crawley EF Calculation of Unsteady Flows in Turbomachinery 1989(6)2.L He.T Chen.R G Wells Analysis of Rotor-Rotor and Stator-Stator Interferences in Multistage Turbomachines 2002(4)3.M McMullen.A Jameson.JJ Alonso Application of a Nonlinear Frequency Domain Solver to the Euler and Navier-Stokes Equations.[AIAA Paper 2002-0120]4.Saad Y.Schultz MH GMRES:A Generalized Minimal Residual Algorithm for Solving Nonsymmetric Linear Systems 1986(3)5.Luo H.Baum JD.Lohner R A Fast,Matrix-Free Implicit Method for Compressible Flows on Unstructured Grids 1998(2)6.Yuan X.Daiguji H A Specially Combined Lower-Upper Factored Implicit Scheme for Three-Dimensional Compressible Navier-Stokes Equations 2001(3)1.学位论文王一博谱方法在Fokker-Planck方程数值解中的应用研究2005本文对Fokker-Planck方程数值解作了初步的研究。
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Ｗ ａ ｅＥｑ ａｉｎ ｉ ｂ ｕ ｄ ｄＤｏ ｉ ｖ ｕ ｔｏ Ｕｎ ｏ ｎ ｅ ｍａｎ ｎ
ＨＵ Ｎ ｕ ． Ｕ Ｃ ｅｇｏｇ ’ Ａ Ｇ Ｙ Ｘ ｈｎ ｌ ｎ 。
（ ．Ｄ ｐ ｒ ｎ ｏ Ｍａｈｍａｉ ， Ｔｏ ｇｉ Ｕ ｉ ｒｉ ， ２ ０ ９ １ ｅ ａｔ ｔ ｆ ｍｅ ｔｅ ｔ ｓ ｃ ｎｊ ｎｖ ｓ ｙ ０ ０ ２ ｅ ｔ
是０（ ＋Ａ ． △ ｔ）
ｏ ｅ Ｈｅ ｍｉｅ ｓ ｅ ｔ ａ ｔ ｏ ｎ ｓ ａ ｅ ａ ｄ ａ ｓ ｃ ｎ ｒ ｅ ｆ ｔ ｒ ｔ ｐ ｃ ｒ ｌｍｅ ｈ ｄ ｉ ｐ ｃ ｎ ｅ ｏ ｄ ｏ ｄ ｒ ｈ ｆｎ ｔ ｄ ｆｅ ｅ ｃ ｓ ｈ ｍｅ ｎ ｉ ． Ｔｈ ｓａ ｉ ｔ ａ ｄ ｈ ｉｉｅ ｉｆ ｒ ｎ ｅ ｃ ｅ ｉ ｔ ｍｅ ｅ ｔ ｂｌ ｙ ｎ ｔ ｅ ｉ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ ｆ ｈ ｓ ｈ ｍｅ ａ ｅ ｐ ｏ ｅ ． Ｎｕ ｒｃ ｌ ｒ ｓ ｌ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ｏ ｔ ｅ ｃ ｅ ｒ ｒ ｖ ｄ ｍｅ ｉ ｅ ｕ ｔ ａ ｓ ｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ａ ｃ ｒ ｃ ｎ ｆｅ ｔ ｅ ｅ ｓ ｏ ｉ ｍｅ ｈ ｄ ｒ ｖ ｃ ｕ ａ ｙ ａ ｄ ｅ ｆ ｃ ｉ ｎ ｓ ｆｔ ｓ ｈ ｖ ｈ ｔｏ ．
（ ￡ ｚ，）∈ Ｒ × Ｒ＋ ｌ （） １
（ ，）而 ｘ， 是 Ａ Ｆ ｌ ｓ ｒｔ ｐ ｃ ｒ ｌ ｅｈ ｄｆ ｒＳ ｍｉ ｎ ａ 其 中未 知 函数 一 ｕ ｘ ， ｇ（ ） 给 定 的一 类 ｕ ｌ Ｄｉｃ ｅｅ ｅ ｔａ ｔ ｏ ｅ ｌ ｅ ｒ ｙ Ｓ Ｍ ｏ ｉ
Ｌ ｂ ｒ ｔｒ ｆＳ ｉｎ ｉｃＣｏ ｕｉｇ，Ｓ ａ ｇ ａ ０ ２３ ａ ｏ ａ ｏ ｙｏ ｃｅ ｔ ｉ ｍｐ ｔｎ ｆ ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ４，Ｃ ｎ ） ２ ｈｉａ
带 有 阻尼项 的波 动方 程 弱解 的存 在性 已经 有 很 多文 献讨 论 过Ｅ ］但 是 关 于这 类 波 动 方程 的数 值解 。 ，
和有 效性 ．
关键词 ： ｒ ｔ 函数 ； Ｈｅｍｉ ｅ 谱方法 ； 半线性波动方程 ； 强阻尼
中 图分 类 号 ： ４ ． ２ Ｏ２ １８ 文献标识码 ： Ａ
本 文 主要讨 论无 界 域上 的带 强 阻 尼 项 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 线 性 波 动方 程
一
Ａ ￡ Ａ ｕ 一 ｕ＋ ＋ ｇ ｘ， （ ）一 ｆ ｘ，） （ ，
却研 究 得 较 少．Ｍａｉｓ ａ ｃａ— ｚ和 Ｐ ｒ１ 给 出 了有 界 Ｄｉ ｕｉ０ Ｅ３
域 上 的一 类 带有 弱阻 尼项 的 波动 方 程 的有 限 差 分格 式 ． ｉｅｎ 对 一类 强耗 散波 动方 程 建 立 了关 于 时 间 ＧｉｌＥ］ ｌ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｎｕ ｒ ｃ ｏｕ ｉ ｎ ｆ ｒ ａ ｓ ｍ ｉ ｎ ａ ｖ ｑ ａ ｉｎ ｍｅ ｉ ｓ ｌ ｔ ｏ ｅ ｌ ｅ ｒ ｗａ ｅ ｅ ｕ ｔ ａｌ ｏ ｉ ｏ ｗｉ １ ｓ ｏ ｇ ｄ ｍｐ ｎ ｎ ｕ ｂ ｕ ｄ ｄ ｄ ｍａ ｎ ｉ ｉ ｖ ｓ ｉ ａ ｅ ． 廿 ｔ ｎ ａ ｉ ｇ ｉ ｎ ｏ ｎ ｅ ｏ ｉ ｓ ｎ ｅ ｔ ｔ ｄ ｒ ｇ
ｌ ｕ ｘ，） 一 ０ Ｖｔ Ｒ ｉ ｌ （ ￡ ｌ ， ∈ ａ ｒ
（） ２
ｏ Ｉ ０ｍ ｔｎ ｓｉ ｃ ｎ ｅｈｏ ｇ ，２０４ ａｊｇ Ｃｉ ｆ ｆ ｒ ａｉ ｃ ｎｅ ａｄＴ ｃｎｌ ｙ １０４ Ｎ ｎｎ ， ｈ ａ ｉ ￣ ｏ ｅ ｏ ｉ ｎ
３ ｈ ｎ ｈ ｉＥＩｓｉ ｔ ｆＳ ｉ ｔｉ Ｃ ｍｐ ｔ ｇ ａ ｄ Ｓ ａｇ ａ ｅ ．Ｓ ａ ｇ ａ ． ｔｕｅ ｏ ｃｅ ｉｃ ｏ ｕｉ ｎ ｈｎ ｈ ｉＫ ｙ ｎ ｔ ｎ ｆ ｎ
关 于 ｚ和 Ｕ的非线性 函数 ， 如形 如 的 幂 函数 ， 例 ｇ 满 足 的 非线 性 假 设 条 件 将 在 下 文 中给 出． 题 的初 问 始条 件 为
ｕ ｘ， ）一 甜 （ ， ｚ， ）一 Ｗ０ ｚ） Ｖ ∈ Ｒ ， （ ０ ０ ｚ） Ｕ （ Ｏ （ ，
Ｓ ａｇ ａ，Ｃ ｉ ； ．Ｃ ｌ ｇ ｆＭａｈ ａｄＰ ｙｉ ，Ｎ ｎｉｇＵｎｖ ｒｉ ｈｎ ｈ ｉ ｈｎ ２ ｏｌ ｅｏ ｔ ｎ ｈ ｓ ｓ ａｊ ｉｅｓ ｙ ａ ｅ ｃ ｎ ｔ
Ｈｅｍｉ 多项 式作 为 基 函数 作 逼 近 的 文献 ［ ］但 其 ｒ ｔ ｅ ２ ， 书 中大 部 分 的权 函 数 都是 非 一 致 的 ， 而会 加 大在 理 从
Ｈｅ ｔ 谱 方法 ， ｒ ｅ ｍｉ 时间方 向采用二阶差分格式 ， 出了格式 的 论分析和数值实现过程的复杂性． 给 因此一些 学者考 收敛 性和稳定性分析． 通过数值 算例验证 了方法 的高 精度性 虑 采用 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ ｅ函数 作为 基 函数来 逼 近［ ］ ４．
Ｔｌ ｕｌ ｉｃ ｅ ｅ ｓ ｅ ｔａ ｃ ｅ ｓ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｏ ｈ ａ ｉ ｌ ｆ ｌ ｄｓ ｒ ｔ ｐ ｃ ｒ ｌ ｈ ｍｅ ｉ ｏ ｓ ｒ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｓ ｅ ｙ ｓ
的 周 期 问 题 的 三 层 差 分 格 式 ，其 收 敛 速 度
文 章 编 号 ：０ ５—７ Ｘ ２ １ ）４０ ３ —５ ２ ３３４ （ ０ ２ ０ —６５０
Ｄ Ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ ０ ５—７ ｘ ２ １ ．４ ０ ３ Ｏ ：０ ３ ６ ／． ｓ ．２ ３３４ ．０ ２０ ． ２ ｓ
无 界 域 上 一 类半 线性 波 动 方 程 的全 离散 谱 格 式
黄 瑜 ， 承龙 徐 。
（． １ 同济大学 数学系 ， 上海 ２ ０ ９ ； ． ０ ０ ２ ２ 南京信 息工 程大学 数理学 院， 江苏 南京 ２ ０ ４ ； １０ ４
３上海市科学计算 Ｅ研究院及上海市科学计算重点实验室 ， ． ＿ 上海 ２ ０ ３ ） ０ ２ ４
摘要 ： 考察一类带有 强阻尼项 的半 线性波动方程在无界 区域 上 的数值解问题． 建立 了全离 散 的谱格 式 ， 间方 向上 采用 空
第４ Ｏ卷第 ４期
２１ ０ ２年 ４月
同 济 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｏ Ｇ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｎ Ｈ 瓜Ａ Ｃ Ｅ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｎ Ｊ ＩＥ ＳＴ （ Ａ Ｕ ＩＳ Ｉ Ｎ Ｅ
Ｖｏ ． ０Ｎｏ ４ １４ ．
Ａｐ ．２ ２ ｒ ０１
ＨＵ Ｎ ｕ ． Ｕ Ｃ ｅｇｏｇ ’ Ａ Ｇ Ｙ Ｘ ｈｎ ｌ ｎ 。
（ ．Ｄ ｐ ｒ ｎ ｏ Ｍａｈｍａｉ ， Ｔｏ ｇｉ Ｕ ｉ ｒｉ ， ２ ０ ９ １ ｅ ａｔ ｔ ｆ ｍｅ ｔｅ ｔ ｓ ｃ ｎｊ ｎｖ ｓ ｙ ０ ０ ２ ｅ ｔ
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（ ￡ ｚ，）∈ Ｒ × Ｒ＋ ｌ （） １
（ ，）而 ｘ， 是 Ａ Ｆ ｌ ｓ ｒｔ ｐ ｃ ｒ ｌ ｅｈ ｄｆ ｒＳ ｍｉ ｎ ａ 其 中未 知 函数 一 ｕ ｘ ， ｇ（ ） 给 定 的一 类 ｕ ｌ Ｄｉｃ ｅｅ ｅ ｔａ ｔ ｏ ｅ ｌ ｅ ｒ ｙ Ｓ Ｍ ｏ ｉ
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带 有 阻尼项 的波 动方 程 弱解 的存 在性 已经 有 很 多文 献讨 论 过Ｅ ］但 是 关 于这 类 波 动 方程 的数 值解 。 ，
和有 效性 ．
关键词 ： ｒ ｔ 函数 ； Ｈｅｍｉ ｅ 谱方法 ； 半线性波动方程 ； 强阻尼
中 图分 类 号 ： ４ ． ２ Ｏ２ １８ 文献标识码 ： Ａ
本 文 主要讨 论无 界 域上 的带 强 阻 尼 项 的ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 线 性 波 动方 程
一
Ａ ￡ Ａ ｕ 一 ｕ＋ ＋ ｇ ｘ， （ ）一 ｆ ｘ，） （ ，
却研 究 得 较 少．Ｍａｉｓ ａ ｃａ— ｚ和 Ｐ ｒ１ 给 出 了有 界 Ｄｉ ｕｉ０ Ｅ３
域 上 的一 类 带有 弱阻 尼项 的 波动 方 程 的有 限 差 分格 式 ． ｉｅｎ 对 一类 强耗 散波 动方 程 建 立 了关 于 时 间 ＧｉｌＥ］ ｌ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓ ｒ ｃ ：Ｎｕ ｒ ｃ ｏｕ ｉ ｎ ｆ ｒ ａ ｓ ｍ ｉ ｎ ａ ｖ ｑ ａ ｉｎ ｍｅ ｉ ｓ ｌ ｔ ｏ ｅ ｌ ｅ ｒ ｗａ ｅ ｅ ｕ ｔ ａｌ ｏ ｉ ｏ ｗｉ １ ｓ ｏ ｇ ｄ ｍｐ ｎ ｎ ｕ ｂ ｕ ｄ ｄ ｄ ｍａ ｎ ｉ ｉ ｖ ｓ ｉ ａ ｅ ． 廿 ｔ ｎ ａ ｉ ｇ ｉ ｎ ｏ ｎ ｅ ｏ ｉ ｓ ｎ ｅ ｔ ｔ ｄ ｒ ｇ
ｌ ｕ ｘ，） 一 ０ Ｖｔ Ｒ ｉ ｌ （ ￡ ｌ ， ∈ ａ ｒ
（） ２
ｏ Ｉ ０ｍ ｔｎ ｓｉ ｃ ｎ ｅｈｏ ｇ ，２０４ ａｊｇ Ｃｉ ｆ ｆ ｒ ａｉ ｃ ｎｅ ａｄＴ ｃｎｌ ｙ １０４ Ｎ ｎｎ ， ｈ ａ ｉ ￣ ｏ ｅ ｏ ｉ ｎ
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关 于 ｚ和 Ｕ的非线性 函数 ， 如形 如 的 幂 函数 ， 例 ｇ 满 足 的 非线 性 假 设 条 件 将 在 下 文 中给 出． 题 的初 问 始条 件 为
ｕ ｘ， ）一 甜 （ ， ｚ， ）一 Ｗ０ ｚ） Ｖ ∈ Ｒ ， （ ０ ０ ｚ） Ｕ （ Ｏ （ ，
Ｓ ａｇ ａ，Ｃ ｉ ； ．Ｃ ｌ ｇ ｆＭａｈ ａｄＰ ｙｉ ，Ｎ ｎｉｇＵｎｖ ｒｉ ｈｎ ｈ ｉ ｈｎ ２ ｏｌ ｅｏ ｔ ｎ ｈ ｓ ｓ ａｊ ｉｅｓ ｙ ａ ｅ ｃ ｎ ｔ
Ｈｅｍｉ 多项 式作 为 基 函数 作 逼 近 的 文献 ［ ］但 其 ｒ ｔ ｅ ２ ， 书 中大 部 分 的权 函 数 都是 非 一 致 的 ， 而会 加 大在 理 从
Ｈｅ ｔ 谱 方法 ， ｒ ｅ ｍｉ 时间方 向采用二阶差分格式 ， 出了格式 的 论分析和数值实现过程的复杂性． 给 因此一些 学者考 收敛 性和稳定性分析． 通过数值 算例验证 了方法 的高 精度性 虑 采用 Ｈｅｍｉ ｒ ｔ ｅ函数 作为 基 函数来 逼 近［ ］ ４．
Ｔｌ ｕｌ ｉｃ ｅ ｅ ｓ ｅ ｔａ ｃ ｅ ｓ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｏ ｈ ａ ｉ ｌ ｆ ｌ ｄｓ ｒ ｔ ｐ ｃ ｒ ｌ ｈ ｍｅ ｉ ｏ ｓ ｒ ｃ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓｓ ｅ ｙ ｓ
的 周 期 问 题 的 三 层 差 分 格 式 ，其 收 敛 速 度
文 章 编 号 ：０ ５—７ Ｘ ２ １ ）４０ ３ —５ ２ ３３４ （ ０ ２ ０ —６５０
Ｄ Ｉ１ ．９ ９ ｊｉ ｎ ０ ５—７ ｘ ２ １ ．４ ０ ３ Ｏ ：０ ３ ６ ／． ｓ ．２ ３３４ ．０ ２０ ． ２ ｓ
无 界 域 上 一 类半 线性 波 动 方 程 的全 离散 谱 格 式
黄 瑜 ， 承龙 徐 。
（． １ 同济大学 数学系 ， 上海 ２ ０ ９ ； ． ０ ０ ２ ２ 南京信 息工 程大学 数理学 院， 江苏 南京 ２ ０ ４ ； １０ ４
３上海市科学计算 Ｅ研究院及上海市科学计算重点实验室 ， ． ＿ 上海 ２ ０ ３ ） ０ ２ ４
摘要 ： 考察一类带有 强阻尼项 的半 线性波动方程在无界 区域 上 的数值解问题． 建立 了全离 散 的谱格 式 ， 间方 向上 采用 空
第４ Ｏ卷第 ４期
２１ ０ ２年 ４月
同 济 大 学 学 报 （ 然 科 学 版） 自
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｏ Ｇ Ｉ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｎ Ｈ 瓜Ａ Ｃ Ｅ Ｃ ） Ｏ Ｒ Ａ ＦＴ Ｎ Ｊ ＩＥ ＳＴ （ Ａ Ｕ ＩＳ Ｉ Ｎ Ｅ
Ｖｏ ． ０Ｎｏ ４ １４ ．
Ａｐ ．２ ２ ｒ ０１