高一数学函数的单调性与最值
§2.2函数的单调性与最值1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．2．函数的最值前提设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ；(2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值概念方法微思考1．在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？提示对∀x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在D 上是增函数；对∀x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在D 上是增函数．减函数类似．2．写出函数y ＝x ＋ax (a >0)的增区间．提示(－∞，－a ]和[a ，＋∞)．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．(×)(2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．(×)(3)函数y ＝1x 的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(×)(4)所有的单调函数都有最大值和最小值．(×)题组二教材改编2.如图是函数y ＝f (x )，x ∈[－4,3]的图象，则下列说法正确的是()A ．f (x )在[－4，－1]上是减函数，在[－1,3]上是增函数B ．f (x )在区间(－1,3)上的最大值为3，最小值为－2C ．f (x )在[－4,1]上有最小值－2，有最大值3D ．当直线y ＝t 与f (x )的图象有三个交点时－1<t <2答案C3．函数y ＝2x －1在[2,3]上的最大值是______．答案24．若函数f (x )＝x 2－2mx ＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围是________．答案(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.题组三易错自纠5．函数f(x)＝12log(－2x2＋x)的单调增区间是________；f(x)的值域是________．答案14，[3，＋∞)6．函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)<f(2a)，则实数a的取值范围是________．答案[－1,1)解析2≤a＋1≤2，2≤2a≤2，＋1>2a，解得－1≤a<1.7．设函数f(x)x≥1，是单调函数．则a的取值范围是________；若f(x)的值域是R，则a＝________.答案(0,2]2解析当x≥1时，f(x)＝x2＋1x＝x＋1x，则f′(x)＝1－1x2≥0恒成立，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝2，当x<1时，f(x)＝ax，由于f(x)是单调函数，∴f(x)＝ax在(－∞，1)上也单调递增，且ax≤2恒成立，>0，≤2，故a的取值范围为(0,2]，∵当x≥1时，f(x)≥2，由f(x)的值域是R，可得当x＝1时，ax＝2，故a＝2.确定函数的单调性命题点1求具体函数的单调区间例1(1)(2019·郴州质检)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是() A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得f(x)的定义域为{x|x>4或x<－2}．设t＝x2－2x－8，则y＝ln t为增函数．要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数t＝x2－2x－8的单调递增区间(定义域内)．∵函数t＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增，在(－∞，－2)上单调递减，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞)．故选D.(2)设函数f(x)1，x>0，0，x＝0，－1，x<0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．答案[0,1)解析由题意知g(x)x2，x>1，0，x＝1，－x2，x<1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．命题点2判断或证明函数的单调性例2讨论函数f(x)＝axx－1(a>0)在(－∞，1)上的单调性．解方法一∀x1，x2∈(－∞，1)，且x1<x2，f(x)＝x－1＋1x－1＝1＋1x－1f(x1)－f(x2)＝a 1＋1x1－11＋1x2－1＝a(x2－x1)(x1－1)(x2－1)，由于x1<x2<1，∴x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0，故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴函数f (x )在(－∞，1)上单调递减．方法二f ′(x )＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2，∵(x －1)2>0，a >0，∴f ′(x )<0，故a >0时，f (x )在(－∞，1)上是减函数．思维升华确定函数单调性的四种方法(1)定义法：利用定义判断．(2)导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．跟踪训练1(1)(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A ．y ＝12xB ．y ＝2－xC ．y ＝12log x D ．y ＝1x答案A解析y ＝12x ＝x ，y ＝2－x，y ＝12log x ，y ＝1x 的图象如图所示．由图象知，只有y ＝12x 在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是________．答案[1,2]解析f (x )2－2x ，x ≥2，x 2＋2x ，x <2.画出f (x )的大致图象(如图所示)，由图知f (x )的单调递减区间是[1,2]．(3)函数f (x )＝110log (6x 2＋x －1)的单调增区间为________．答案解析由6x 2＋x －1>0得，f (x )|x <－12或x >13由复合函数单调性知f (x )的增区间即y ＝6x 2＋x －1的减区间(定义域内)，∴f (x )∞函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3(1)若函数f (x )＝x 2，设a ＝log 54，b ＝15log 13，c ＝152，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系是()A ．f (a )>f (b )>f (c )B ．f (b )>f (c )>f (a )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (a )>f (b )答案D解析因为函数f (x )＝x 2在(0，＋∞)上单调递增，而0<15log 13＝log 53<log 54<1<152，所以f (b )<f (a )<f (c )．故选D.(2)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |＋1(m ∈R )为偶函数．记a ＝f (log 22)，b ＝f (log 24)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <a <bC ．a <c <bD ．c <b <a答案B解析∵定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |＋1(m ∈R )为偶函数，∴m ＝0，∴f (x )＝2|x |＋1，∴当x ∈(－∞，0)时，f (x )是减函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数．∵a ＝f (log 22)＝f (1)，b ＝f (log 24)＝f (2)，c ＝f (2m )＝f (0)，∴a ，b ，c 的大小关系为c <a <b .命题点2求函数的最值例4(1)函数f (x )－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．答案3解析由于y 在R 上单调递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1,1]上单调递增，所以f (x )在[－1,1]上单调递减，故f (x )在[－1,1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)(2020·深圳模拟)函数y ＝x 2＋4x 2＋5的最大值为________．答案25解析令x 2＋4＝t ，则t ≥2，∴x 2＝t 2－4，∴y ＝tt 2＋1＝1t ＋1t，设h (t )＝t ＋1t ，则h (t )在[2，＋∞)上为增函数，∴h (t )min ＝h (2)＝52，∴y ≤152＝25(x ＝0时取等号)．即y 最大值为25.命题点3解函数不等式例5(1)已知函数f (x )＝3，x ≤0，(x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案(－2,1)解析根据函数f (x )的图象可知，f (x )是定义在R 上的增函数．∴2－x 2>x ，∴－2<x <1.(2)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是______________．答案(－5，－2)∪(2，5)解析因为函数f (x )＝ln x ＋2x 在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)<2得，f (x 2－4)<f (1)，所以0<x 2－4<1，解得－5<x <－2或2<x < 5.命题点4求参数的取值范围例6(1)已知f (x )a －1)x ＋4a ，x ＜1，a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是()A ．(0,1)C.17，D.17，答案C解析由f (x )a －1＜0，＜a ＜1.3a －1)×1＋4a ≥log a 1，∴17≤a ＜13，∴实数a 的取值范围是17，(2)已知函数f (x )2＋12a －2，x ≤1，x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．答案(1,2]解析由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又y ＝a x －a (x >1)是增函数，故a >1，所以a 的取值范围为1<a ≤2.(3)已知函数y ＝log a (2－ax )在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是________．答案(1,2)解析设u ＝2－ax ，∵a >0且a ≠1，∴函数u在[0,1]上是减函数．由题意可知函数y＝log a u在[0,1]上是增函数，∴a>1.又∵u在[0,1]上要满足u>0，－a×1>0，－a×0>0，得a<2.综上得1<a<2.思维升华函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小．(2)求最值．(3)解不等式．利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域．(4)利用单调性求参数．①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较．②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．跟踪训练2(1)(2019·唐山模拟)已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f f(1)的实数x 的取值范围是________．答案(－1,0)∪(0,1)解析因为f(x)在R上为减函数，且f f(1)，所以1|x|>1，即0<|x|<1，所以0<x<1或－1<x<0.(2)函数f(x)x≥1，x2＋2，x<1的最大值为________．答案2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x<1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知函数y＝12log(6－ax＋x2)在[1,2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．答案[4,5)解析设u＝6－ax＋x2，∵y ＝12log u 为减函数，∴函数u 在[1,2]上是减函数，∵u ＝6－ax ＋x 2，对称轴为x ＝a2，∴a2≥2，且u >0在[1,2]上恒成立．≥4，－2a ＋4>0，解得4≤a <5，∴实数a 的取值范围是[4,5)．1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是()A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．yD ．y ＝x ＋1x答案A解析函数y ＝ln(x ＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．2．函数f (x )＝1－1x －1()A ．在(－1，＋∞)上单调递增B ．在(1，＋∞)上单调递增C ．在(－1，＋∞)上单调递减D ．在(1，＋∞)上单调递减答案B解析f (x )图象可由y ＝－1x图象沿x 轴向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度得到，如图所示．3．(2019·沧州七校联考)函数f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)的单调递减区间是() A．(3，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，－1)答案A解析＋1>0，－3>0，即x>3，f(x)＝log0.5(x＋1)＋log0.5(x－3)＝log0.5(x＋1)(x－3)，x>3，令t＝(x＋1)(x－3)，则t在[3，＋∞)上单调递增，又0<0.5<1，∴f(x)在(3，＋∞)上单调递减．4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a的取值范围是() A．(－1,0)∪(0,1)B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)D．(0,1]答案D解析因为f(x)＝－x2＋2ax在[1,2]上是减函数，所以a≤1，又因为g(x)＝ax＋1在[1,2]上是减函数，所以a>0，所以0<a≤1.5．已知函数f(x)＝x|x＋2|，则f(x)的单调递减区间为() A．[－2,0]B．[－2,1] C．[－2，－1]D．[－2，＋∞)答案C解析由于f(x)＝x|x＋2|2＋2x，x≥－2，x2－2x，x<－2，当x≥－2时，y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，显然，f(x)在[－2，－1]上单调递减；当x<－2时，y＝－x2－2x＝－(x＋1)2＋1，显然，f(x)在(－∞，－2)上单调递增．综上可知，f(x)的单调递减区间是[－2，－1]．6．(2020·青岛模拟)已知定义在R上的奇函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(x2－2x＋a)<f(x ＋1)对任意的x∈[－1,2]恒成立，则实数a的取值范围为()B．(－∞，－3)C ．(－3，＋∞)答案D 解析依题意得f (x )在R 上是减函数，所以f (x 2－2x ＋a )<f (x ＋1)对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于x 2－2x ＋a >x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立，等价于a >－x 2＋3x ＋1对任意的x ∈[－1,2]恒成立．设g (x )＝－x 2＋3x ＋1(－1≤x ≤2)，则g (x )＋134(－1≤x ≤2)，当x ＝32时，g (x )取得最大值，且g (x )max ＝＝134，因此a >134，故选D.7．(多选)已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，则()A ．πe <3eB ．3e －2π<3πe －2C ．log πe<log 3eD ．πlog 3e>3log πe答案CD解析已知π为圆周率，e 为自然对数的底数，∴π>3>e>2，>1，πe >3e ，故A 错误；∵0<3π<1,0<e －2<1，－2>3π，∴3e －2π>3πe －2，故B 错误；∵π>3，∴log πe<log 3e ，故C 正确；由π>3，可得log 3e>log πe ，则πlog 3e>3log πe ，故D 正确．8．函数y ＝－x 2＋2|x |＋1的单调递增区间为________，单调递减区间为________．答案(－∞，－1]和[0,1](－1,0)和(1，＋∞)解析由于y x 2＋2x ＋1，x ≥0，x 2－2x ＋1，x <0，即y (x －1)＋2，x ≥0，(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．9．如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是______________．答案－14，0解析当a ＝0时，f (x )＝2x －3在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－14，0.10．(2019·福州质检)如果函数f (x )＝(2－a )x ＋1，x <1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么实数a 的取值范围是________．答案32，2解析对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以y ＝f (x )在R 上是增函数．2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a <2.故实数a 的取值范围是32，211．试判断函数f (x )＝x 3－1x在(0，＋∞)上的单调性，并加以证明．证明方法一设0<x 1<x 2，f (x )＝x 3－1x＝x 2－1x ，f (x 1)－f (x 2)＝x 21－x 221x 1－1x 2(x 1－x 2x 1＋x 2＋1x 1x 2∵x 2>x 1>0，∴x 1－x 2<0，x 1＋x 2＋1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．方法二f′(x)＝2x＋1 x2 .当x>0时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上为增函数．12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且x>0时，f(x)<0.(1)求证：f(x)在R上是奇函数；(2)求证：f(x)在R上是减函数；(3)若f(1)＝－23，求f(x)在区间[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，令x＝y＝0得f(0)＝0，令y＝－x得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在R上是奇函数．(2)证明在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)，∵x>0时，f(x)<0，∴f(x1－x2)<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在R上是减函数．(3)解∵f(x)是R上的减函数，∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)和f(3)，而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2，∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.13．若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析由题意可得，存在正数x使a>x成立．令f(x)＝x，该函数在(0，＋∞)上为增函数，可知f(x)的值域为(－1，＋∞)，故a>－1时，存在正数x使原不等式成立．14．设函数f (x )x 2＋4x ，x ≤4，2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．答案(－∞，1]∪[4，＋∞)解析作函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.15．(2019·石家庄模拟)已知函数f (x )＝2021x －2021－x ＋1，则不等式f (2x －1)＋f (2x )>2的解集为____________．答案解析由题意知，f (－x )＋f (x )＝2，∴f (2x －1)＋f (2x )>2可化为f (2x －1)>f (－2x )，又由题意知函数f (x )在R 上单调递增，∴2x －1>－2x ，∴x >14，∴16．已知函数f (x )＝＋a x－a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定实数a 的取值范围．解(1)由x ＋a x －2>0，得x 2－2x ＋a x>0.①当a >1时，x 2－2x ＋a >0恒成立，定义域为(0，＋∞)；②当a ＝1时，定义域为{x |x >0且x ≠1}；③当0<a <1时，定义域为{x |0<x <1－1－a 或x >1＋1－a }．(2)设g (x )＝x ＋a x －2，当a ∈(1,4)，x ∈[2，＋∞)时，g (x )＝x ＋a x－2在[2，＋∞)上是增函数．∴f (x )＝lg ＋a x－[2，＋∞)上是增函数，∴f (x )＝lg ＋a x －[2，＋∞)上的最小值为f (2)＝lg a 2.(3)对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，即x ＋a x－2>1对x ∈[2，＋∞)恒成立．∴a >3x －x 2，x ∈[2，＋∞)．设h (x )＝3x －x 2，x ∈[2，＋∞)，则h (x )＝3x －x 2＋94在[2，＋∞)上是减函数，∴h (x )max ＝h (2)＝2.∴a >2.即实数a 的取值范围是(2，＋∞)．。
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。
2.3函数的单调性和最值(第1课时函数的单调性)课件高一上学期数学北师大版
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析 由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数 增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论 称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析
高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.画出函数y＝|x－1|的图象，并根据图象写出函数的单调区间，以及在各单调区间上，函数是增函数还是减函数。
【答案】见解析【解析】对于画含绝对值的函数的图像，先去绝对值号（注意一定要明确自变量的取值范围，选择与之对应的对应关系），写成分段函数，画出函数图像，函数图象从左到右上升的区间为增区间，下降的区间为减区间，结合图象可得答案．试题解析：由y＝|x－1|=画出函数的图像，可得函数的单调区间是，1）减函数，）增函数。
【考点】查函数的单调性，数形结合是解决问题的关键2.函数的最小值为．【答案】5.【解析】首先将函数化简为，该式子可以看作是点到两个定点、的距离.即将求“函数的最小值”问题转化为“求的最小值” ，作出函数图像如下图所示，过点作其关于轴的对称点，连接，交轴于点.此时由三角形的两边之和大于第三边可得：此时取得最小值，即，即为所求.【考点】直线方程的应用.3.已知奇函数f(x)在[－1,0]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形两内角且，则下列结论正确的是()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵奇函数在[-1,0]上是减函数，∴在[0,1]上是增函数，又∵是锐角三角形两内角，∴，又∵，∴，∴，B正确，A错误；.对于C,D：∵为锐角三角形两内角，∴，∴，即，∴，∴C正确，D错误.【考点】1、奇函数单调性的判断；2、三角函数值的大小比较.4.下列函数在其定义域上，既是奇函数又是减函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由奇函数和减函数的概念可知选C.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数增减性.5.设定义域为的函数（Ⅰ）在平面直角坐标系内作出函数的图象，并指出的单调区间（不需证明）；（Ⅱ）若方程有两个解，求出的取值范围（只需简单说明，不需严格证明）. （Ⅲ）设定义为的函数为奇函数，且当时，求的解析式.【答案】（Ⅰ）作图岁详解．单增区间：，，单减区间，；（Ⅱ）或；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）利用一次函数、二次函数的图象及对称性可作出图象，然后根据图象可写单调区间；（Ⅱ）考虑直线与函数的图象只有两个交点时，写出满足的条件；（Ⅲ）当时，，由此可得到的解析式，然后利用函数奇偶性可求得的解析式，又由奇函数的特性易知，进而可求得的解析式．试题解析：（Ⅰ）如图.单增区间：，，单减区间，．（Ⅱ）在同一坐标系中同时作出图象，由图可知有两个解，须或，即或．（Ⅲ）当时，，因为为奇函数，所以，且，所以．【考点】1、分段函数的图象；2、函数单调性及奇偶性．6.提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度（单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当时，车流速度是车流密度x的一次函数．（1）当时，求函数的表达式；（2）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时.【解析】(1)分析可知当时，车流速度为常数所以此时。
高一数学函数单调性和最值_zhou
函数的单调性及应用1、定义：对于给定区间D 上的函数f (x )，若对于D 上的任意两个值x 1,x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<(>)f (x 2),则称f (x )是D 上的增（减）函数，区间D 称为f (x )的增（减）区间．2、证明函数单调性的步骤：证明函数单调性应该按下列步骤进行：第一步：取值 第二步：作差变形 第三步：定号 第四步：判断下结论3、现在已经学过的判断函数单调性的方法；数值列表法（不常用），图象法，定义法．题型一：用定义证明函数的单调性例1、判断函数f (x )=－x 3+1在(－∞,0)上是增函数还是减函数，并证明你的结论；如果x ∈（0，＋∞），函数f (x )是增函数还是减函数？所以f(x)在(－∞,0)上是减函数题型二：图象法对单调性的判断例2：指出下列函数的单调区间：是减函数，证明如下：上，在解：)0(1)(3-∞+-=x x f ))(()1()1()()(22221123231211x x x x x x x x x f x f ++-=+--+-=- 2121,,)0(x x x x <-∞且上任取，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=222211243)2()(x x x x x 043)2(,02222112>++>-x x x x x 又)()(,0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即()()2211223y x y x x =-=-++题型三：利用已知函数单调性进行判断例3：判断函数 在(1，+∞)上的单调性．结论1：y ＝f (x ) (f (x ) 恒不为0），与 )(1x f y = 的单调性相反． 例4：设f (x )在定义域A 上是减函数，试判断y ＝3－2f (x )在A 上的单调性，并说明理由． 解：y=3－2f (x )在A 上是增函数，因为：任取x 1，x 2∈A ，且x 1<x 2,由f (x )在A 上为减函数，所以f (x 1)>f (x 2),故－2 f (x 1)<－2f (x 2) 所以3－2 f (x 1)<3－2f (x 2)即有y 1<y 2,由定义可知，y ＝3－2f (x )在A 上为增函数．结论2： y ＝f (x )与y ＝kf (x ) 当k >0时，单调性相同；当k <0时，单调性相反．结论3：若f (x )与g (x )在R 上是增函数，则f (x )+g (x )也是增函结论4：若f (x ) 在R 上是增函数， g (x )在R 上是减函数，则f (x ) －g (x )也是增函数．结论5：若f (x )(其中f (x )>0)在某个区间上为增函数，则)1()(,)(>n x f x f n n 也是增函数． 结论6：复合函数f [g (x )]由f (x )和g (x )的单调性共同决定．它们之间有如下关系：题型四：函数单调性解题应用例1：已知函数y=x 2－2ax ＋a 2－1在(－∞，1)上是减函数，求a 的取值范围． x x x y 4)2(22++=222412)41(2)4424(1y x x u x x =++->=+-∴-+∞解：，（而当时，为正数且增函数，递减，故原函数（＋）在，）上为减函数．2221y x ax a =-+-解：解此类由二次函数单调性求参数范围的题，最好将二次函数的图象画出来，通过图象进行分析，可以将抽象的问题形象化．练习：如果f (x )=x 2－(a －1)x +5在区间（0.5，1）上是增函数，那么f (2)的取值范围是什么？答案：[7，＋∞）例2：已知x ∈[0，1]，则函数 x x y --+=122 的最大值为_______ 最小值为_________ 利用函数的单调性求函数的值域，这是求函数值域和最值的又一种方法．例3：已知：f (x )是定义在[－1，1]上的增函数，且f (x －1)<f (x 2－1)求x 的取值范围．注： 在利用函数的单调性解不等式的时候，一定要注意定义域的限制．保证实施的是等价转化．例4：已知f (x )在其定义域R ＋上为增函数，f (2)=1，f (xy )=f (x )+f (y )解不等式,f (x )+f (x －2) ≤3 21120]1,0[)()(]1,0[)(]1,0[)(1)(22)(max min ===∴-=∴-=+=y x y x x g x f y x g x f x x g x x f 时，当－＝时，当上的增函数，是上的减函数是上的增函数，是则解：令可转化为不等式组解：依题意，)1x ()1(2-<-f x f ⎪⎩⎪⎨⎧-<-≤-≤-≤-≤-1111111122x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤≤≤∴1020202x x x x 或21≤<∴x 3)2()4()8(2)2()2()4()()()(=+=∴=+=∴+=f f f f f f y f x f xy f 解：解此类题型关键在于充分利用题目所给的条件，本题就抓住这点想办法构造出f (8)=3,这样就能用单调性解不等式了．题型五：复合函数单调区间的求法例1：设y=f (x )的单增区间是(2，6)，求函数y=f (2－x )的单调区间．)8()2(2f x x f ≤-由题意有⎪⎩⎪⎨⎧≤->->∴82020R )(2x x x x x f 上的增函数为＋ (]42，解得∈x 上是单调递减的。
函数的单调性与最大(小)值课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
f(x1)-f(x2)=(2x1+1)-(2x2+1)=2x1-2x2
=2(x1-x2)
∵x1<x2 ∴x1 -x2<0 ∴2(x1-x2)<0
∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1) < f(x2)
∴函数f(x)=2x+1在其定义域上是增函数.
取值
作差变形
定号
下结论
探究三
那么，我们称M为函数y = f ( x)的最大值
图1
1
2
3
x
f ( x) = x 2
y
通过观察图2，可以发现二次函数 f ( x) =
的图像上有一个最低点（0，0）即
x2
x R, 都有f ( x) f (0)
5
当一个函数f(x)的图像有最低点时，我们就
说函数f(x)有最小值。
4
3
2
1
-3
A．f(x)＝x
2
C．f(x)＝|x|
答案：B
(
1
B．f(x)＝
x
D．f(x)＝2x＋1
)
2
5．函数 f(x)＝ ，x∈[2,4]，则 f(x)的最大值为______；最小值为
x
________．
答案：1
1
2
题型一 利用图象确定函数的单调区间
例1 求下列函数的单调区间,并指出其在单调区间上是
增函数还是减函数:
∴x1x2>0,x1x2-1<0,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
1
故函数f(x)=x+ 在区间(0,1)内为减函数.
高一数学复习知识讲解课件25 单调性与最大(小)值(第1课时) 函数单调性
3.2函数的基高一数学复习知3.2.1单调性与最大函数单调数的基本性质复习知识讲解课件最大(小)值(第1课时)数单调性在区间D上单调递增在区间D上单调递减要点2 函数的单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上__________这一区间具有_________________，区间注意：(1)函数单调性关注的是整个区间单调递增或(严格的)单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域点不属于定义域则只能开．(2)单调区间D ⊆定义域I .(3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大_______________，那么就说函数y ＝f (x )在区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．个区间上的性质，单独一点不存在单调性递增或单调递减义域，则该点处区间可开可闭，若区间端可能大．3．通过上面两道题，你对函数的单调 答：函数单调性定义中的，必须是x 1x 2时，要注意保持其任意性．的单调性定义有什么新的理解？ 必须是任意的，应用单调性定义解决问题课时学案探究1 (1)证明函数的单调性的常用方是：①取值，在给定区间上任取两个自变量进行代数恒等变形，一般要出现乘积形式根据条件判断f (x 1)－f (x 2)变形后的正负；(2)讨论函数的单调性常见有两种：一种数在定义域的子区间上具有不同的单调性常用方法是利用函数单调性的定义，其步骤自变量x 1，x 2；②作差变形，将f (x 1)－f (x 2)形式，且含有x 1－x 2的因式；③判断符号，；④得出结论．一种是参数对单调性的影响，一种是函调性．思考题2 (1)如图所示为函数f (x )的图________________________，单调递减区间[－1，0]，[1，2]，[3，4] 的图象，其单调递增区间是_________减区间是________________________．[0，1]，[2，3](2)【多选题】设f (x )，g (x )都是单调函数A ．若f (x )单调递增，g (x )单调递增，B ．若f (x )单调递增，g (x )单调递减，C ．若f (x )单调递减，g (x )单调递增，D ．若f (x )单调递减，g (x )单调递减，调函数，则下列命题中正确的是()，则f (x )－g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增BC ，则f (x )－g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减探究3求函数的单调区间常用方法方法：①图象法；②利用已知函数的单调性；③定义法．课 后 巩 固1．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，A．减函数C．先减后增函数4)上是()B．增函数CD．先增后减函数2．设(a ，b )，(c ，d )都是函数f (x )的单调d )，x 1<x 2，则f (x 1)与f (x 2)的大小关系是(A ．f (x 1)＝f (x 2) C ．f (x 1)>f (x 2) 的单调递增区间，且x 1∈(a ，b )，x 2∈(c ，)D B ．f (x 1)<f (x 2) D ．不能确定3．函数y ＝|x |－1的单调递减区间为A ．(0，＋∞) C ．(－∞，－1)解析解析 y ＝|x |－1＝x －1，x ≥0，－x －1，x <0，易知( )B ．(－∞，0)B D ．(－1，＋∞)易知其单调递减区间为(－∞，0)．故选B.4．【多选题】已知四个函数的图象如的函数是()BC图象如图所示，其中在定义域内具有单调性自助 餐一、证明单调性的探究1 单调性的证明证明某个函数在给定区间上的单调性明．它的步骤如下：第一步：取值．设x 1，x 2是给定区间上第二步：作差变形．写出差式f (x 1)方等手段，向有利于判断差的符号的方向变形式．第三步：判断符号．根据已知条件，第四步：下结论．根据定义，作出结论调性的方法与技巧调性，最常用的方法就是用定义去证区间上的任意两个自变量的值，且x 1<x 2. －f (x 2)，并且通过提取公因式、通分、配方向变形，一般写成几个最简因式相乘的，确定f (x 1)－f (x 2)的符号． 出结论．(5)图象变换对单调性的影响．①上下平移不影响单调区间，即y ②左右平移影响单调区间．如＝2的减y x 间为(－∞，－1]．③y ＝kf (x )，当k ＞0时单调区间与f (x＝f (x )和y ＝f (x )＋b 的单调区间相同． 的减区间为－∞，，＝＋2的减区(0]y (x 1))相同，当k ＜0时与f (x )相反．例2 已知f (x )>0在R 上恒成立，并且满f (x )>1，求证：f (x )在R 上是增函数．【证明证明】】 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则∵x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1，又f (x )＞0在R 上恒成立∴f (x 2)＝f ((x 2－x 1)＋x 1)＝f (x 2－x 1)·f (∴f (x )在R 上是增函数． 并且满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y )，当x >0时，则x 2－x 1>0，成立，x 1)>f (x 1)．。
3.2.1单调性与最大(小)值(第2课时)-高一数学精品课件(人教A版2019必修第一册)
f(x) ≤ M
f(x) ≥
M
∃x 0∈D,使得 f(x0)=M
称 M 是 函 数 y=f(x) 称 M 是函数 y=f(x)的
结论
的最大值
最小值
4
课堂导入
课前思考
学习目标
探究新知
课堂练习
知识总结
课后作业
例1. “菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般
是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面高度h
函数的最小值、最大值分别是
( C )A.-2,f(2)
B.2,f(2) C.-2,f(5) D.2,f(5)
解析:由函数的图象知,当x=-2时,有最小值-2;当x=5时,有最大值f(5).
2.函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象如图所示,则它的最大值为 3 ,最小值为 -2.
解析:观察函数图象可知,图象上位置最高的点是(3,3),最低的点是(-1.5,-2),所
所以，函数() =
， ∈ [, ])在区间[2,6]的两个 是减函数，复习一下
判定函数单调性的
基本步骤。
−
端点上分别取最大值和最小值.
解：∀x1,x2∈[2,6],且x1<x2,则( ) − ( ) =
[( −)−( −)]
( − )
=
=
−
最小值为f(3)=2-3×3=-7,最大值为f(-2)=2-3×(-2)=8.
函数的最值与单调性的关系
(1)若函数在区间【, 】上是减函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
最小值为();
()若函数在区间【, 】上是增函数，则()在区间【, 】上的最大值为(),
区间端点取到的函数值是
函数单调性与最值(第1课时)-课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
D. ( 3]
总结：判断函数单调性的方法
1、图像法
2、定义法
3、直接法
4、性质法
增+增=增，增-减=增，减+减=减，减-增=减
5、复合函数法（同增异减）
题型二、用定义法证明函数的单调性
x＋2
例 1：证明函数 f(x)＝
在(－1，＋∞)上单调递减．
x＋1
[证明] ∀ x1，x2∈(－1，＋∞)，且 x1＜x2，
1
1
得 ≤< .
7
3
7
3
五、已知单调性求参
ax 1
例3：函数 f（x )
在区间（ 2，
)上单调递增，
x2
则a的取值范围是（
）
1
A（
. 0, )
2
C.( 2, )
1
B. ( ,)
2
D. (,1) (1, )
1
解：当a 0时，f（x)
在区间（ 2，
例3.函数f ( x) | x 2 6 x 8 | 的单调递增区间为（
A.[3, )
C.( 2,3), (4, )
B. (,2), (4, )
D. (,2], [3,4]
）
题型一、求函数的单调区间或判断函数单调性
3
A（
. - ，
]
2
C.[ 0, )
3
B. ( ,)
．
题型二、用定义法证明函数的单调性
例3.定义在（0，
）上的函数f ( x)满足f ( xy ) f ( x) f ( y ),
1
f ( ) 1, 当x 1时，f ( x) 0.
3
（1）求f (1)的值；
高一数学中函数的单调性与最值如何判断
高一数学中函数的单调性与最值如何判断在高一数学的学习中，函数的单调性与最值是非常重要的概念，它们不仅在数学理论中有着关键的地位，更是解决许多实际问题的有力工具。
理解和掌握如何判断函数的单调性与最值，对于我们深入学习数学、提高解题能力都具有重要意义。
首先，让我们来明确一下函数单调性的定义。
如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值\（x_1\）、＼（x_2\），当\（x_1 ＜x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜f(x_2)＼）（或者\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在这个区间上是增函数（或者减函数）。
那怎么去判断函数的单调性呢？常见的方法有以下几种：第一种方法是定义法。
这是最基本也是最直接的方法。
假设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），区间\（D ＼subseteq I\）。
我们任取\（x_1\），＼（x_2 ＼in D\），且\（x_1 ＜ x_2\），然后计算\（f(x_2) f(x_1)＼），如果\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），则函数在区间\（D\）上是增函数；如果\（f(x_2) f(x_1) ＜0\），则函数在区间\（D\）上是减函数。
例如，对于函数\（f(x) ＝ x^2\），我们要判断它在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上的单调性。
任取\（0 ＜ x_1 ＜ x_2\），则\（f(x_2) f(x_1)＝ x_2^2 x_1^2 ＝（x_2 ＋ x_1)（x_2 x_1)＼）。
因为\（x_1\），＼（x_2 ＞ 0\），所以\（x_2 ＋ x_1 ＞ 0\），又因为\（x_2 x_1 ＞ 0\），所以\（f(x_2) f(x_1) ＞ 0\），即函数\（f(x) ＝ x^2\）在区间\（（0, ＋＼infty)＼）上是增函数。
第二种方法是导数法。
如果函数\（f(x)＼）在某个区间内可导，那么当\（f'（x) ＞ 0\）时，函数在这个区间上是增函数；当\（f'（x) ＜ 0\）时，函数在这个区间上是减函数。
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
函数单调性引入对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ，，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.一、 函数单调性的判断与证明 1、函数增减性的定义一般地，设函数 的定义域为 ： 如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是增函数（increasing function ）如果对于定义域 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D 上是减函数（decreasing function ）.【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 【解析】选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.【例2】判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．【解】任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0，因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 【例3】 求下列函数的单调区间．(1)f (x )＝3|x |； (2)f (x )＝|x 2＋2x －3|； (3)y ＝－x 2＋2|x |＋1.【解】(1)∵f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， x ≥0，－3x ， x <0.图象如图所示．f(x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(2)令g (x )＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4.先作出g (x )的图象，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图象翻到x 轴上方就得到f (x )＝|x 2＋2x －3|的图象，如图所示．由图象易得：函数的递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)； 函数的递减区间是(－∞，－3]，[－1,1]．(3)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x ＜0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x ＜0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)． 【例4】求函数y ＝x 2＋x －6的单调区间．【解】令u ＝x 2＋x －6，y ＝x 2＋x －6可以看作有y ＝u 与u ＝x 2＋x －6的复合函数．由u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.∵u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数， 而y ＝u 在(0，＋∞)上是增函数．∴y ＝x 2＋x －6的单调减区间为(－∞，－3]，单调增区间为[2，＋∞)． 【例5】证明：函数 在R 上是增函数【变式1】利用函数单调性的定义，证明函数 在区间 上是增函数。