高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
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2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.3 双曲线的简单几何性质(二)
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．
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36 2 因为|AB|＝ 6，所以 m －6(m2＋2)＝6. 5 所以 m2＝15，m＝± 15. 由(*)式得 Δ ＝24m2－240， 把 m＝± 15代入上式，得 Δ >0， 所以 m 的值为± 15，
所以所求 l 的方程为 y＝2x± 15. 点评：(1)求弦的中点坐标一般用韦达定理． (2)直线 l 的斜率为 k，与椭圆的两个交点坐标为 A(x1，
题型二
例2
与弦长、中点有关的问题
斜率为 2 的直线 l 在双曲线 － ＝1 上截得 3 2
栏 目 链 接
x2 y2
的弦长为 6，求 l 的方程．
解析：设直线 l 的方程为 y＝2x＋m，
y＝2x＋m， 由 x y － ＝1 3 2
2 2
得 10x2＋12mx＋3(m2＋2)＝0.(*)
消去 y 得(4－k2)x2＋2kx－2＝0.
(*)
栏 目 链 接
若 4－k2＝0，即 k＝±2 时，方程(*)为一次方程，只有一解． 若 4－k2≠0 时，Δ ＝4k2＋8(4－k2)＝4(8－k2)． 当 Δ >0，即－2 2<k<2 2时，方程(*)有两个不同的解． 当 Δ ＝0，即 k＝±2 2时，方程(*)有一解．
表示的曲线只可能是( C )
栏 目 链 接
题型一
直线与双曲线的位置关系
例1 已知直线y＝kx－1与双曲线4x2－y2＝1.当k为
何值时，直线与双曲线有两个公共点，有一个公共点， 没有公共点？
y＝kx－1， 解析： 由 2 2 4x －y ＝1，
(±c,0) ________
±＝0
高中数学选修2-1人教A版：2.3.1双曲线及其标准方程及其性质课件
A.双曲线
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
B.双曲线的一支
C.两条射线
D.一条射线
c
)
跟踪检测
下列方程分别表示什么曲线?
(1)
( x 3) y ( x 3) y 10 椭圆
( 2)
( x 3) y ( x 3) y 5 双曲线的右支
(3)
( x 3) 2 y 2 ( x 3) 2 y 2 4 双曲线
＝2|F2A|，则 cos∠AF2F1＝(
) A
1
1
2
2
A.4 B.3 C. 4 D. 3
焦点三角形基本思路：
1.曲线定义；
2.余弦定理；
3.面积公式.
4.双曲线的焦点三角形面积： S b cot
2
2
双曲线的性质
x2 y2
研究双曲线 2 2 1(a 0, b 0) 的简单几何性质
b
b
共渐近线的双曲线方程
x2 y 2
与 2 2 1有相同渐近线的双曲线方程我
a b
们可以假设为：
2
其中：
2
x
y
2 ( 0，为参数)
2
a
b
为什么可以这样做？
λ>0表示焦点在x轴上的双曲线；
λ<0表示焦点在y轴上的双曲线。
跟踪检测
x2 y 2
求与 1 有相同渐近线，且过点 (3,2
y
顶点是A1 ( a,0)、A2 (a,0)
（2）如图，线段 A1 A2 叫做双曲线
的实轴，它的长为2a，a叫
做实半轴长；线段 B1 B2 叫做
B2
b
o
A1 -a
-b
新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程 1双曲线及其标准方程课件新人教A版选择性必修第一册
化化归法.
3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条
件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.
学以致用·随堂检测促达标
2
1.(例1对点题)已知双曲线 9
−
2
=1
16
的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上
一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
2
2
−
=1(b>0),把
2
16
y 轴上时,设所求标准方程为
A 点的坐标代入,得 b2=9.
2
2
故所求双曲线的标准方程为16 − 与双曲线
16
−
2
=1
4
有相同的焦点,且经过点(3 2,2);
解 (方法 1)∵焦点相同,
2
∴设所求双曲线的标准方程为 2
解得
256
+ 25 = 1,
9
2
∴双曲线的标准方程为 9
=
=
1
- 16 ,
1
.
9
2
− 16=1.
规律方法
待定系数法求双曲线的标准方程的步骤
(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的
位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);②与双曲线
-1
解得 k>1 或 k<-4,故实数 k 的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
2
2
(2)将所给方程化为 −
=1,若该方程表示焦点在
1-
-4-
3.常见误区:(1)双曲线焦点位置的判断易出错,易忽略双曲线成立的必要条
件;(2)双曲线在实际生活的应用中,建模容易出错.
学以致用·随堂检测促达标
2
1.(例1对点题)已知双曲线 9
−
2
=1
16
的左、右焦点分别是F1,F2,若双曲线上
一点P使得∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.
2
2
−
=1(b>0),把
2
16
y 轴上时,设所求标准方程为
A 点的坐标代入,得 b2=9.
2
2
故所求双曲线的标准方程为16 − 与双曲线
16
−
2
=1
4
有相同的焦点,且经过点(3 2,2);
解 (方法 1)∵焦点相同,
2
∴设所求双曲线的标准方程为 2
解得
256
+ 25 = 1,
9
2
∴双曲线的标准方程为 9
=
=
1
- 16 ,
1
.
9
2
− 16=1.
规律方法
待定系数法求双曲线的标准方程的步骤
(1)定型:确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴.
(2)设方程:根据焦点位置设出相应的标准方程的形式.①若不知道焦点的
位置,则进行讨论,或设双曲线的方程为Ax2+By2=1(AB<0);②与双曲线
-1
解得 k>1 或 k<-4,故实数 k 的取值范围是(-∞,-4)∪(1,+∞).
2
2
(2)将所给方程化为 −
=1,若该方程表示焦点在
1-
-4-
双曲线的几何性质
高中数学人教A版 选修2－1
双曲线的几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
• 如图，某工厂有一双曲线型 自然通风塔，其外形是双曲 线的一部分绕其虚轴旋转所 成的曲面，已知该塔最小半 径为12米，下口半径为25米， 下口半径到最小圆面距离为 45米，整个通风塔高为55米. 问在建造该塔的过程中，上 口半径大约应该建多少米?
第7课时
双曲线的简单几何性质
• 预学1:双曲线的几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
• 1.双曲线的简单性质 • 例1、分别求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、 焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程. • 【方法指导】本题给出的方程不是标准方程， 应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求 出基本量a，b，c，即可得解，同时注意焦点 在哪条坐标轴上.
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
பைடு நூலகம்
• 1.若方程并非标准形式，首先化成标准形式，然 后研究解决问题.已知双曲线的方程求其几何性 质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定 方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然 后确定双曲线的焦点位置，最后求解双曲线的几 何性质. • 2.若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可 设双曲线的方程为a2x2－b2y2＝λ.
双曲线的几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
• 如图，某工厂有一双曲线型 自然通风塔，其外形是双曲 线的一部分绕其虚轴旋转所 成的曲面，已知该塔最小半 径为12米，下口半径为25米， 下口半径到最小圆面距离为 45米，整个通风塔高为55米. 问在建造该塔的过程中，上 口半径大约应该建多少米?
第7课时
双曲线的简单几何性质
• 预学1:双曲线的几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
• 1.双曲线的简单性质 • 例1、分别求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、 焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线 方程. • 【方法指导】本题给出的方程不是标准方程， 应先化方程为标准形式，然后根据标准方程求 出基本量a，b，c，即可得解，同时注意焦点 在哪条坐标轴上.
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
第7课时
双曲线的简单几何性质
பைடு நூலகம்
• 1.若方程并非标准形式，首先化成标准形式，然 后研究解决问题.已知双曲线的方程求其几何性 质时，若不是标准形式的先化为标准方程，确定 方程中a，b的对应值，利用c2＝a2＋b2得到c，然 后确定双曲线的焦点位置，最后求解双曲线的几 何性质. • 2.若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可 设双曲线的方程为a2x2－b2y2＝λ.
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-1)配套课件第二章 2.3.2 双曲线的简单几何性质(一)
解析：(1)设双曲线的标准方程为
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1(a>0，b>0)． a2 b2 c 5 由题设知：2b＝12， ＝ ，且 c2＝a2＋b2， a 4 ∴b＝6，c＝10，a＝8， x2 y2
∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 64 36
(2)设与双曲线 －y2＝1 有公共渐进线的双曲线方程为 2 2 －y2＝λ (λ ≠0)． 将点 M(2，－2)代入 －y2＝λ (λ ≠0)得：λ ＝－2. 2 y2 x2 ∴所求的双曲线标准方程为 － ＝1. 2 4
n mn 渐近线方程为 y＝± x＝± x. m m
点评：已知双曲线的方程求其几何性质时，若方程不是标准形式的 先化成标准方程，弄清方程中的 a，b 对应的值，再利用 c2＝a2＋b2 得到
栏 目 链 接
c，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．
变 式 迁 移
x 2 y2 1．(2013·北京卷)若双曲线 2－ 2＝1 的离心率为 a b
解析：把方程 nx2－my2＝mn 化为标准方程
栏 目 链 接
x2 y2 － ＝1 ， m n
由此可知，实半轴长 a＝ m， 虚半轴长 b＝ n，c＝ m＋n， 焦点坐标是(－ m＋n，0)，( m＋n，0)，
c m＋n m2＋mn 离心率 e＝ ＝ ＝ . a m m
顶点坐标为(－ m，0)，( m，0)．
x2
y2
)
3 A．y＝± x 4 9 C．y＝± x 4
栏 目 链 接
解析：由双曲线方程可得焦点在 x 轴上，a＝4，b＝3. b 3 ∴渐近线方程为 y＝± x＝± x. a 4 答案：A
自 测 自 评
1．双曲线 － ＝1 的( A ) 5 4 A．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为 2 5 3 5 y＝± x，离心率 e＝ 5 5 B．实轴长为 2 5，虚轴长为 4，渐近线方程为
高中数学人教A版选修21课件2.3.1双曲线及其标准方程(系列二)
2．在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝ |F1F2|，则动点的轨迹是 两；条若射2a线>|F1F2| 则 动 点 的 轨 迹 是 ．不存在
3．双曲线定义中应注意关键词“ ”绝，对若值去掉定义中“
”三个绝字对，值动点轨迹只能是 ．
双曲线一支
题型探究
待定系数法求双曲线的标准方程
3．已知双曲线方程为2x02 －y52＝1，那么它的焦距为
A．10 C. 15
B．5 D．2 15
()
[答案] A
[解析] ∵a2＝20，b2＝5，c2＝25，c＝5，
∴焦距2c＝10.
三、解答题
7．已知双曲线的一个焦点坐标为F1(0，－13)，双曲线上一点 P到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线标准方程．
[解析] 设双曲线方程为：ay22－bx22＝1(a>0，b>0) 由已知得，2a＝24，∴a＝12，c＝13，∴b＝5， ∴双曲线的标准方程为：1y424－2x52 ＝1.
(不合题意舍去)．
当双曲线的焦点在 y 轴上时， 设双曲线的方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．
∵P1、P2 在双曲线上，∴(4a3222－a25()432－b27b4)22＝＝11
a12＝19 解得
b12＝116
，即 a2＝9，b2＝16.
∴所求双曲线方程为y92－1x62 ＝1.
解法二：因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲 线方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)，因 P1、P2 在双曲线上，所 以有
人教版 选修2-1
第二章 圆锥曲线与方程
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程Fra bibliotek学习方法
高中数学选修2-1第二章圆锥曲线
双曲线的标准方程： 双曲线的标准方程：
2
2
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
x2 y2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程：
y2 x2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
y2 = ±2px ( p > 0)
动 M 一 定 F的 离 它 一 定 线的 离 比 点 与 个 点 距 和 到 条 直 l 距 的 是 数e， 常 l d .M
l
d
.M .
F
l
d.M
.
.
e >1
F
F
0 <e <1
e =1
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程：
x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
3．双曲线的几何性质：以 ．双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几 表示的双曲线为例， ＞ 表示的双曲线为例 何性质如下： 何性质如下： (1)范围：x≤-a，或x≥a 范围： 范围 ， (2)关于 轴、y轴、原点对称， 关于x轴 轴 原点对称， 关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率 两顶点是(± 两顶点是 离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a，准线方程是 ±a2/c ± ，准线方程是x=±
椭圆 圆 锥 曲 线
定义 标准方程
双曲线
几何性质
抛物线
直线与圆锥曲线 的位置关系
2
2
y x + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
2
2
x2 y2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
抛物线的标准方程： 抛物线的标准方程：
y2 x2 − 2 =1 (a > 0,b > 0) 2 a b
y2 = ±2px ( p > 0)
动 M 一 定 F的 离 它 一 定 线的 离 比 点 与 个 点 距 和 到 条 直 l 距 的 是 数e， 常 l d .M
l
d
.M .
F
l
d.M
.
.
e >1
F
F
0 <e <1
e =1
定点是焦点，定直线叫做准线，常数e是离心率 .
椭圆的标准方程： 椭圆的标准方程：
x y + 2 =1 (a > b > 0) 2 a b
3．双曲线的几何性质：以 ．双曲线的几何性质： x2/a2-y2/b2=1(a、b＞0)表示的双曲线为例，其几 表示的双曲线为例， ＞ 表示的双曲线为例 何性质如下： 何性质如下： (1)范围：x≤-a，或x≥a 范围： 范围 ， (2)关于 轴、y轴、原点对称， 关于x轴 轴 原点对称， 关于 (3)两顶点是 ±a,0)(4)离心率 两顶点是(± 两顶点是 离心率 e=c/a∈(1,+∞).c=√a2+b2(5)渐近线方程为 ∈ 渐近线方程为 y=±bx/a，准线方程是 ±a2/c ± ，准线方程是x=±
椭圆 圆 锥 曲 线
定义 标准方程
双曲线
几何性质
抛物线
直线与圆锥曲线 的位置关系
2014-2015学年人教A版选修2-1高中数学《2.3.1双曲线及其标准方程》课件
__________________
(0,-c),(0,c) _____________
a2+b2 2 c =_____
1．判一判 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间 距离)的点的轨迹是双曲线.( ) )
2 2 x y (2)在双曲线标准方程 2 2 1 中，a＞0，b＞0且a≠b.( a b
【变式训练】(2014·北京高考)设双曲线C的两个焦点为
(- 2 ,0),( 2 ,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为
.
【解题指南】利用双曲线的几何性质求出a,b,c,进而求出C
的方程.
【解析】由焦点坐标可得c= 2 且焦点在x轴上,由顶点坐标
(1,0)知a=1,
所以b2=c2-a2=2-1=1,
2.对双曲线标准方程的三点说明 (1)标准方程中两个参数a和b,是双曲线的定形条件,确定了其 值,方程也即确定.并且有b2=c2-a2,与椭圆中b2=a2-c2相区别. (2)焦点F1,F2的位置是双曲线定位的条件,它决定了双曲线标
准方程的类型,若x2的系数为正,则焦点在x轴上,若y2的系数为
正,则焦点在y轴上.
(3)双曲线的标准方程可统一表示为:mx2+ny2=1(m·n<0).
【知识拓展】双曲线标准方程与椭圆标准方程的比较
椭 圆 双曲线
|MF1|+|MF2|=2a
a2-c2=b2
x 2 y2 2 1 2 a b y2 x 2 2 1 2 a b
|MF1|-|MF2|=〒2a
c2-a2=b2
因为a=4,c=5, 所以b2=c2-a2=25-16=9.
x 2 y2 所以双曲线的标准方程为 1. 16 9 2 2 x y ②若所求的双曲线标准方程为 2 2 1 (a＞0,b＞0), a b 2 2 x y 则将a=4代入得 2 1. 16 b
浙江专版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版选修2
[典例] 已知方程k－x25－|k|y－2 2＝1 对应的图形是双曲线，
那么 k 的取值范围是
()
A．k>5
B．k>5 或－2<k<2
C．k>2 或 k<－2
D．－2<k<2
[解析] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k－5)(|k|－2)>0． 即k|k－|－52>>00，， 或k|k－|－52<<00，. 解得 k>5 或－2<k<2． [答案] B
设所求标准方程为1y62 －bx22＝1(b>0)， 把 A 点的坐标代入，得 b2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为1y62 －x92＝1． (2)设双曲线的方程为 mx2＋ny2＝1(mn<0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，
∴93m6m＋＋0＝9n1＝，1， 解得mn＝＝－19，13， ∴所求双曲线的标准方程为x92－y32＝1．
1．双曲线标准方程的两种求法 (1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双 曲线的标准方程． (2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程xa22－by22＝1 或ay22－xb22＝ 1(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可． 2．求双曲线标准方程的两个关注点 (1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方 程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式； (2)定量：“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列 方程求解．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的
点的轨迹是双曲线
高中数学人教A版选修2-1全优课堂同步课件2.3.2双曲线的简单几何性质
x2 2 x2 2 (3)设与双曲线 －y ＝1 有公共渐近线的双曲线方程为 －y 2 2 22 ＝k(k≠0)，将点(2，－2)代入得 k＝ －(－2)2＝－2，∴双曲线的 2 y2 x2 标准方程为 － ＝1. 2 4
x2 y2 1．与双曲线 － ＝1 有共同的渐近线，且经过点(－3,2 3) 9 16 的双曲线方程为( ) x2 4y2 y2 4x2 A. － ＝2 B. － ＝1 4 9 4 9 4y2 x2 4x2 y2 C. － ＝1 D. － ＝1 9 4 9 4
在图 2 中，连结顶点 A2 与虚轴的一个端点 B2，在 Rt△A2OB2 中|OA2|＝a，|OB2|＝b，|A2B2|＝c. b 在图 3 中，过焦点 F2 作渐近线 y＝ x 的垂线，交渐近线于点 a M，在 Rt△OF2M 中，|F2M|＝b(由点到直线的距离公式可得)，|OM| ＝a，|OF2|＝c.
)
2 x 【解析】双曲线 mx2＋y2＝1 化为标准方程得 y2－ ＝1，所 1 － m 1 1 1 2 2 以 a ＝1， b ＝－ (m<0).2a＝2,2b＝2 － ， 由已知得 － ＝ m m m 1 2，所以 m＝－ .] 4
【答案】A
4．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的 2倍，且一个 顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( ) x2 y2 y2 x2 A. － ＝1 B. － ＝1 4 4 4 4 y2 x2 x2 y2 C. － ＝1 D. － ＝1 4 8 8 4
x2 y2 【解析】设所求双曲线方程为 － ＝λ(λ≠0)，把(－3，2 3) 9 16 9 12 1 代入方程得 － ＝λ，∴λ＝ . 9 16 4 x2 y2 1 4x2 y2 故双曲线方程为 － ＝ ，即 － ＝1. 9 16 4 9 4