2020-2021学年河南省洛阳市高一(下)期末数学试卷 答案和解析
【最新】河南省洛阳市高一（下）期末数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．集合A={（x ，y ）|y=3x ﹣2}，B={（x ，y ）|y=x+4}，则A∩B=（ ） A ．{3，7} B ．{（3，7）} C ．（3，7） D ．[3，7] 2．计算：1﹣2sin 2105°=（ ） A ．﹣ B ． C ．﹣D ．3．过点(3,1)且与直线230x y --=垂直的直线方程是( ) A ．270x y +-= B ．250x y +-= C ．210x y --=D ．250x y --=4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于y 轴对称的函数是（ ） A ．y=sin2x+cos2x B ．y=sinx•cosx C ．y=|cos2x| D ．y=sin （2x+）5．如图所示的程序框图输出的结果是S=5040，则判断框内应填的条件是（ ）A ．i ≤7B ．i ＞7C ．i ≤6D ．i ＞66．某工厂生产某种产品的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）有如表几组样本数据： x3 4 5 6 y 2.53m4.5据相关性检验，这组样本数据具有线性相关关系，求得其回归方程是=0.7x+0.35，则实数m的值为（）A．3.5 B．3.85 C．4 D．4.157．在区间[﹣1，2]上随机取一个数，则﹣1＜2sin＜的概率为（）A． B． C． D．8．（2012•镜湖区校级四模）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A．12 B． C． D．49．设向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），若∥，则等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．10．（2016•白山一模）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中ω＞0|φ|＜）图象相邻对称轴的距离为，一个对称中心为（﹣，0），为了得到g（x）=cosωx的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位 B．向右平移个单位C．向左平移个单位 D．向左平移个单位11．已知函数f（x）=|lgx|，若0＜a＜b，且f（a）=f（b），则坐标原点O与圆（x﹣）2+（y+）2=2的位置关系是（）A．点O在圆外 B．点O在圆上 C．点O在圆内 D．不能确定12．已知⊙O的半径为2，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若点A，B，O不共线，且|﹣t|≥||对任意t∈R恒成立，则•=（）A．4 B．4 C．2 D．2二、填空题13．某工厂生产A、B、C、D四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5：2，现用分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号的产品有16件，那么此样本的容量n=_____．14．如图程序运行后输出的结果是_____．15．设f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，其中m，n，α，β均为实数，若f（2000）=﹣2000，则f（2015）=___________．16．已知符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）的零点个数为_____．三、解答题17．已知||=4，||=，（+）•（﹣2）=16．（1）求•；（2）求|+|．18．学校达标运动会后，为了解学生的体质情况，从中抽取了部分学生的成绩，得到一个容量为n的样本，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出了如图的频率分布直方图，已知[50，60）与[90，100]两组的频数分别为24与6．（1）求n及频率分布直方图中的x，y的值；（2）估计本次达标运动会中，学生成绩的中位数和平均数；（3）已知[90，100]组中有2名男生，4名女生，为掌握性别与学生体质的关系，从本组中选2名作进一步调查，求2名学生中至少有1名男生的频率．19．已知函数f（x）=cos（2ωx﹣）+sin2ωx﹣cos2ωx（ω＞0）的最小正周期是π．（1）求函数f（x）图象的对称轴方程；（2）求函数f（x）的单调递增区间．20．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为1，且侧棱与底面垂直，M是BC的中点．（1）求证：A1C∥平面AB1M；（2）求直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值；（3）求点C到平面AB1M的距离．21．已知f（x）=是奇函数，g（x）=x2+nx+1为偶函数．（1）求m，n的值；（2）不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，求实数λ的取值范围．22．如图，已知点A（﹣3，0），B（3，0），M是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别作正方形AMCD、MBEF，⊙P和⊙Q是两个正方形的外接圆，它们交于点M，N．（1）证明：直线MN恒过一定点S，并求S的坐标；（2）过A作⊙Q的割线，交⊙Q于G、H两点，求|AH|•|AG|的取值范围．参考答案1．B【解析】解：联立A与B中方程得：，消去y得：3x﹣2=x+4，解得：x=3，把x=3代入得：y=9﹣2=7，∴方程组的解为，∵A={（x，y）|y=3x﹣2}，B={（x，y）|y=x+4}，∴A∩B={（3，7）}，故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．C【解析】解：1﹣2sin2105°=1﹣2sin275°=1﹣（1﹣cos150°）=﹣cos30°=﹣．故选：C．【点评】本题主要考查了诱导公式，降幂公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．3．A【解析】解：由两直线垂直的性质可知，所求的直线的斜率k=﹣2所求直线的方程为y﹣1=﹣2（x﹣3）即2x+y﹣7=0故选A．【点评】本题主要考查了直线方程的求解，解题的关键是利用垂直关系求解出直线的斜率．4．D【解析】解：由于y=sin2x+cos2x=sin（2x+）为非奇非偶函数，故它的图象不关于y 轴对称，故排除A；由于y=sinx•cosx=sin2x，为奇函数，它的图象关于原点对称，故排除B；由于y=|cos2x|的周期为•=，故排除C；由于y=sin（2x+）=cos2x，它的周期为=π，且它为偶函数，它的图象关于y轴对称，故满足条件，故选：D．【点评】本题主要考查两角和差的三角函数，三角函数的周期性和奇偶性的应用，属于基础题．5．D【解析】解：模拟执行程序框图，可得i=10，S=1满足条件，执行循环体，S=10，i=9满足条件，执行循环体，S=90，i=8满足条件，执行循环体，S=720，i=7满足条件，执行循环体，S=5040，i=6由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为5040．故判断框内应填入的条件是i＞6．故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，根据运行条件是解决本题的关键，属于基础题．6．C【解析】解：根据所给的表格可以求出=×（3+4+5+6）=4.5，=×（2.5+3+m+4.5）=，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=4，故选C．【点评】本题考查线性回归方程的应用，是一个基础题，题目的运算量不大，解题的关键是理解样本中心点在线性回归直线上．7．C【解析】解：由可﹣1＜2sin＜得﹣＜sin＜，∵﹣1≤x≤2，∴﹣≤≤，则﹣≤＜，即﹣≤x＜1，则对应的概率P===，故选：C【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出不等式的等价条件是解决本题的关键．8．D【解析】解：由已知中的三视图可得这是一个底面为梯形的四棱锥其中底面的上底为2，下底为4，高为2，则底面面积S==6棱锥的高H为2则这个几何体的体积V===4故选D【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据三视图分析出几何体的形状及几何体的几何特征，特别是棱长，高，侧高等数据，是解答此类问题的关键．9．D【解析】解：∵向量=（1，sinθ），=（1，3cosθ），∥，∴3cosθ=sinθ，可得：tanθ=3，∴====，故选：D．【点评】本题考查了两向量平行的坐标表示以及同角的三角函数关系的应用问题，是基础题目．10．D【解析】解：由题意可得函数的最小正周期为=2×，∴ω=2．再根据﹣×2+φ=kπ，|φ|＜，k∈z，可得φ=，f（x）=sin（2x+），故将f（x）的图象向左平移个单位，可得y=sin[2（x+）+]=sin（2x+）=cos2x 的图象，故选：D．【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．11．A【解析】解：画出y=|lgx|的图象如图：∵0＜a＜b，且f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|且0＜a＜1，b＞1∴﹣lga=lgb即ab=1，则a+b＞2，故坐标原点O在圆（x﹣）2+（y+）2=2外，故选：A．【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，对数函数的图象和性质，点与圆的位置关系，难度中档．12．B【解析】解：∵|﹣t|≥||，∴|﹣t|≥|﹣|，两边平方可得：2﹣2t•+t22≥2﹣2•+2，设•=m，则有：4t2﹣2tm﹣（4﹣2m）≥0恒成立，则有判别式△=4m2+16（4﹣2m）≤0，即m2﹣8m+16≤0，化简可得（m﹣4）2≤0，即m=4，即有•=4，故选：B【点评】本题考查平面向量的运用，考查平方法的运用，考查向量的平方即为模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意运用判别式小于等于0，考查运算能力，注意解题方法的积累，属于中档题．13．96【解析】解：由题意知，总体中中A种型号产品所占的比例是=，因样本中A种型号产品有16件，则×n=16，解得n=96．故答案为96．【点评】本题考查了分层抽样的定义应用，即保证样本结构与总体结构一致按一定的比例进行抽取，再由条件列出式子求出值来．14．61【解析】解：经过分析，本题为直到型循环结构，模拟执行程序如下：i=1，S=1执行循环体，S=5，i=3不满足条件i＞8，执行循环体，S=13，i=5不满足条件i＞8，执行循环体，S=29，i=7不满足条件i＞8，执行循环体，S=61，i=9此时，满足条件i＞8，跳出循环，输出S=61．故答案为61．【点评】本题考查直到型循环结构，考查对程序知识的综合运用，属于基础题．15．2016【解析】解：∵f（x）=msin（πx+α）+ncos（πx+β）+8，f（2000）=﹣2000，∴f（2000）=msin（2000π+α）+ncos（2000π+β）+8=msinα+ncosβ+8=﹣2000，∴可得：msinα+ncosβ=﹣2008，则f（2015）=msin（2015π+α）+ncos（2015π+β）+8=﹣msinα﹣ncosβ+8=﹣（msinα+ncosβ）+8=2016．故答案为2016．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键，属于基础题．16．5【解析】解：符号函数sgn（x）=，f（x）=x2﹣2x，则函数F（x）=sgn[f（x）]﹣f（x）=，当x∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，﹣x2+2x+1=0，解得x=满足题意．当x=0或x=2时，﹣x2+2x=0，x=0或x=2是函数的零点．当x∈（0，2）时，﹣x2+2x﹣1=0，解得x=1满足题意．所以函数的零点个数是5．故答案为5．【点评】本题考查新函数的应用，函数的零点个数的求法，考查分析问题解决问题的能力．17．（1）﹣6（2）7【解析】解：（1）∵（+）•（﹣2）=16，∴2﹣22﹣•=16，即•=2﹣22﹣16=16﹣2×3﹣16=﹣6；（2）|+|==．【点评】本题主要考查向量数量积的运算以及利用向量数量积求向量长度，根据向量数量积的公式是解决本题的关键．比较基础．18．见解析【解析】解：（1）由题意知样本容量n==150，y==0.004，x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．（2）估计学生成绩的中位数m=70+×10=71，估计学生成绩的平均数=55×0.16+65×0.30+75×0.40+85×0.10+95×0.04=70.6．（3）记2名男生分别为a1，a2，4名女生分别为b1，b2，b3，b4，抽取两名学生的结果有：基本事件总数n==15，其中至少有一名男生的对立事件为抽到2名女生，∴2名学生中至少有1名男生的频率p=1﹣=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对立事件概率计算公式的合理运用．19．（1）（2）【解析】解：（1）由题意得，f（x）=cos2ωx+sin2ωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=，∴最小正周期T==π，解得ω=1，则f（x）=由得，，∴f（x）图象的对称轴方程是；（2）由（1）得f（x）=，由得，，∴函数f（x）的单调递增区间是．【点评】本题考查正弦函数的性质，二倍角的正弦公式，以及两角差的余弦、正弦公式，考查化简、变形能力．20．见解析【解析】（1）证明：连接A1B，交AB1于O，连接OM因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以O是A1B的中点因为O，M分别是A1B和BC的中点，所以OM∥A1C因为A1C⊄面AB1M，OM⊂面AB1M所以A1C∥面AB1M；（2）解：由题意BB1⊥AM，∵M是BC的中点，∴BC⊥AM，∴AM⊥平面B1BM，∴平面AB1M⊥平面B1BM，过B作BD⊥B1M于D，易得BD⊥平面AB1M故∠BB1D是直线BB1与平面AB1M所成角．Rt△BB1D中，BD==，∴sin∠BB1D=，∴直线BB1与平面AB1M所成角的正弦值为；（3）解：M是BC的中点，点C与点B到平面AB1M的距离相等，由（2）可知点B到平面AB1M的距离BD=，∴点C到平面AB1M的距离为．【点评】证明线面平行，通常运用线面平行的判定定理，求线面角遵循：作证求的步骤，属于中档题．21．（1）m=0 n=0（2）（4，+∞）【解析】解：（1）∵f（x）=是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=﹣m=0，则m=0，∵g（x）=x2+nx+1为偶函数．∴对称轴x=﹣=0，即n=0．（2）由（1）知f（x）=，g（x）=x2+1，则3f（sinx）•g（sinx）=（sin2x+1）=3sinx，则不等式3f（sinx）•g（sinx）＞g（cosx）﹣λ对任意x∈R恒成立，等价为不等式3sinx＞g（cosx）﹣λ=cos2x+1﹣λ对任意x∈R恒成立，即λ＞cos2x﹣3sinx+1恒成立，∵cos2x﹣3sinx+1=﹣（sinx+）2+∈[﹣2，4]，∴λ＞4，即实数λ的取值范围是（4，+∞）．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用以及不等式恒成立问题，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的常方法．22．见解析【解析】解：（1）设点M（m，0），其中m∈（﹣3，3），则C（m，m+3），F（m，3﹣m），P（，），Q（，）；易知⊙P的方程为：+=，即x2+y2﹣（m﹣3）x﹣（m+3）y﹣3m=0；①⊙Q的方程为：+=，即x2+y2﹣（3+m）x﹣（3﹣m）y+3m=0；②①﹣②得，公共弦MN所在的直线方程为6x﹣2my﹣6m=0，整理得3x﹣m（3+y）=0，所以MN恒过定点S（0，3）；（2）过点Q作QT⊥GH于T，则|TH|=|TG|，从而|AH|•|AG|=（|AT|﹣|TH|）•（|AT|+|TG|）=|AT|2﹣|TH|2=（|AQ|2﹣|QT|2）﹣（|HQ|2﹣|QT|2）=|AQ|2﹣|HQ|2=+﹣=6m+18；由于m∈（﹣3，3），|AH|•|AG|∈（0，36），即|AH|•|AG|的取值范围是（0，36）．【点评】本题考查了直线与圆的方程的应用问题，也考查了直线恒过的定点的应用问题以及垂径定理与切割线定理的应用问题，是综合性题目．。
2020-2021学年必修二高一数学下学期期末第八章 立体几何初步(章节专练解析版)
第八章 立体几何初步（章节复习专项训练）一、选择题1．如图，在棱长为1正方体ABCD 中，点E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，将ABF ∆沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE ∆沿DE 所在直线进行翻折，在翻折的过程中，下列说法错误．．的是A ．无论旋转到什么位置，A 、C 两点都不可能重合B ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C ．存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D ．存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒【答案】D【详解】解：过A 点作AM⊥BF 于M ，过C 作CN⊥DE 于N 点在翻折过程中，AF 是以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的母线，同理，AB ，EC ，DC 也可以看成圆锥的母线；在A 中，A 点轨迹为圆周，C 点轨迹为圆周，显然没有公共点，故A 正确；在B 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为60°，又AF ，EC 分别可看成是圆锥的母线，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于60°即可，故B 正确；在C 中，能否使得直线AF 与直线CE 所成的角为90°，只需看以F 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故C 正确；在D 中，能否使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒，只需看以B 为顶点，AM 为底面半径的圆锥的轴截面的顶角是否大于等于90°即可，故D 不成立；故选D ．2．如图所示，多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，//EF AB ，32EF =，EF 到平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积V 为（ ）A ．92B ．5C ．6D ．152【答案】D【详解】解法一：如图，连接EB ，EC ，AC ，则213263E ABCD V -=⨯⨯=.2AB EF =，//EF AB2EAB BEF S S ∆∆∴=.12F EBC C EFB C ABE V V V ---=∴= 11132222E ABC E ABCD V V --==⨯=. E ABCDF EBC V V V --∴=+315622=+=. 解法二：如图，设G ，H 分别为AB ，DC 的中点，连接EG ，EH ，GH ，则//EG FB ，//EH FC ，//GH BC ，得三棱柱EGH FBC -，由题意得123E AGHD AGHD V S -=⨯ 1332332=⨯⨯⨯=， 133933332222GH FBC B EGH E BGH E GBCH E AGHD V V V V V -----===⨯==⨯=⨯， 915322E AGHD EGH FBC V V V --=+=+=∴. 解法三：如图，延长EF 至点M ，使3EM AB ==，连接BM ，CM ，AF ，DF ，则多面体BCM ADE -为斜三棱柱，其直截面面积3S =，则9BCM ADE V S AB -=⋅=.又平面BCM 与平面ADE 平行，F 为EM 的中点，F ADE F BCM V V --∴=，2F BCM F ABCD BCM ADE V V V ---∴+=， 即12933233F BCM V -=-⨯⨯⨯=， 32F BCM V -∴=，152BCM ADE F BCM V V V --=-=∴. 故选：D 3．下列命题中正确的是A ．若a ，b 是两条直线，且a ⊥b ，那么a 平行于经过b 的任何平面B ．若直线a 和平面α满足a ⊥α，那么a 与α内的任何直线平行C ．平行于同一条直线的两个平面平行D ．若直线a ，b 和平面α满足a ⊥b ，a ⊥α，b 不在平面α内，则b ⊥α【答案】D【详解】解：如果a ，b 是两条直线，且//a b ，那么a 平行于经过b 但不经过a 的任何平面，故A 错误； 如果直线a 和平面α满足//a α，那么a 与α内的任何直线平行或异面，故B 错误；如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线可能平行，也可能相交，也可能异面，故C 错误； D 选项：过直线a 作平面β，设⋂=c αβ，又//a α//a c ∴又//a b//b c ∴又b α⊂/且c α⊂//b α∴．因此D 正确．故选：D ．4．如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱BB 1的中点，则下列结论中错误的是( )A ．D 1O⊥平面A 1BC 1B ．MO⊥平面A 1BC 1C ．二面角M －AC －B 等于90°D ．异面直线BC 1与AC 所成的角等于60°【答案】C【详解】对于A ，连接11B D ，交11AC 于E ，则四边形1DOBE 为平行四边形 故1D O BE1D O ⊄平面11,A BC BE ⊂平面111,A BC DO ∴平面11A BC ，故正确对于B ，连接1B D ，因为O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，1MO B D ∴,易证1B D ⊥平面11A BC ，则MO ⊥平面11A BC ，故正确；对于C ，因为,BO AC MO AC ⊥⊥，则MOB ∠为二面角M AC B --的平面角，显然不等于90︒，故错误对于D ，1111,AC AC AC B ∴∠为异面直线1BC 与AC 所成的角，11AC B ∆为等边三角形，1160AC B ∴∠=︒，故正确故选C5．如图，在长方体1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面【答案】A【详解】 在长方体1111ABCD A BC D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴，∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴， EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴， 又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.6．如图所示，点S 在平面ABC 外，SB⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是A ．1 BC ．2D ．12【答案】B【详解】取BC 的中点D ，连接ED 与FD⊥E 、F 分别是SC 和AB 的中点，点D 为BC 的中点⊥ED⊥SB ，FD⊥AC,而SB⊥AC ，SB=AC=2则三角形EDF 为等腰直角三角形,则ED=FD=1即故选B.7．如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆O 上一点（不同于A ，B 两点），且PA AC =，则二面角P BC A --的大小为A ．60°B ．30°C ．45°D ．15°【答案】C【详解】 解：由条件得,PA BC AC BC ⊥⊥.又PAAC A =，PA ⊂平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，所以BC ⊥平面PAC .又因为PC ⊂平面PAC ， 所以BC PC ⊥.所以PCA ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt PAC ∆中，由PA AC =得45PCA ︒∠=. 故选：C .8．在空间四边形ABCD 中，若AD BC BD AD ⊥⊥，，则有A ．平面ABC ⊥平面ADCB ．平面ABC ⊥平面ADBC ．平面ABC ⊥平面DBCD ．平面ADC ⊥平面DBC【答案】D【详解】 由题意，知AD BC BD AD ⊥⊥，，又由BC BD B =，可得AD ⊥平面DBC ，又由AD ⊂平面ADC ，根据面面垂直的判定定理，可得平面ADC ⊥平面DBC9．直三棱柱111ABC A B C -中，若90BAC ∠=︒，1AB AC AA ==，则异面直线1BA 与1AC 所成的角等于 A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C【详解】本试题主要考查异面直线所成的角问题，考查空间想象与计算能力．延长B 1A 1到E ，使A 1E =A 1B 1，连结AE ，EC 1，则AE ⊥A 1B ，⊥EAC 1或其补角即为所求，由已知条件可得⊥AEC 1为正三角形，⊥⊥EC 1B 为60，故选C ．10．已知两个平面相互垂直，下列命题⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线⊥一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线⊥一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面⊥过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】A【详解】由题意，对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故⊥错误；对于⊥，设平面α∩平面β=m ，n⊥α，l⊥β，⊥平面α⊥平面β， ⊥当l⊥m 时，必有l⊥α，而n⊥α， ⊥l⊥n ，而在平面β内与l 平行的直线有无数条，这些直线均与n 垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即⊥正确；对于⊥，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；对于⊥，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，若该直线不在第一个平面内，则此直线不一定垂直于另一个平面，故⊥错误；故选A ．11．在空间中，给出下列说法：⊥平行于同一个平面的两条直线是平行直线；⊥垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则//αβ；⊥过平面α的一条斜线，有且只有一个平面与平面α垂直.其中正确的是（ ）A ．⊥⊥B ．⊥⊥C ．⊥⊥D ．⊥⊥ 【答案】B【详解】⊥平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，不正确；易知⊥正确；⊥若平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，不正确；易知⊥正确.故选B.12．下列结论正确的选项为( )A ．梯形可以确定一个平面；B ．若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；C ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l⊥αD ．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．【答案】A【详解】因梯形的上下底边平行，根据公理3的推论可知A 正确．两条直线和第三条直线所成的角相等，这两条直线相交、平行或异面，故B 错．当直线和平面相交时，该直线上有无数个点不在平面内，故C 错．如果两个平面有三个公共点且它们共线，这两个平面可以相交，故D 错．综上，选A ．13．已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为A ．27πB ．36πC ．54πD ．81π 【答案】B【详解】设圆柱的底面半径为r ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为2r ．因为该圆柱的体积为54π，23π2π54πr h r ==，解得3r =，所以该圆柱的侧面积为2π236r r ⨯=π．14．用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为A ．8π3B ．32π3C ．8πD 【答案】C【详解】设球的半径为R ，则截面圆的半径为，⊥截面圆的面积为S ＝π2＝（R 2－1）π＝π，⊥R 2＝2，⊥球的表面积S ＝4πR 2＝8π．故选C. 15．已知圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，那么这个圆柱的体积是A ．2πB ．1πC ．22πD ．21π【答案】A【详解】由题意可知，圆柱的高为2，底面周长为2，故半径为1π，所以底面积为1π，所以体积为2π，故选A ． 16．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对其中的线段说法不正确的是（ ）A ．原来相交的仍相交B ．原来垂直的仍垂直C ．原来平行的仍平行D ．原来共点的仍共点【答案】B【详解】解：根据斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的规则，与x 轴平行的线段长度不变，与y 轴平行的线段长度变为原来的一半，且倾斜45︒，故原来垂直线段不一定垂直了；故选：B ．17．如图所示为一个水平放置的平面图形的直观图，它是底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则原平面图形为 ( )A ．下底长为1B ．下底长为1+C ．下底长为1D ．下底长为1+【答案】C【详解】45A B C '''∠=，1A B ''= 2cos451B C A B A D ''''''∴=+=∴原平面图形下底长为1由直观图还原平面图形如下图所示：可知原平面图形为下底长为1故选：C18．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是（ ）A 3RB 3RC 3RD 3R 【答案】C【详解】设底面半径为r ，则2r R ππ=，所以2R r =.所以圆锥的高2h R ==.所以体积22311332R V r h R ππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭.故选：C .19．下列说法中正确的是A ．圆锥的轴截面是等边三角形B ．用一个平面去截棱锥，一定会得到一个棱锥和一个棱台C ．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所围成的几何体是由一个圆台和两个圆锥组合而成D ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱【答案】D【详解】圆锥的轴截面是两腰等于母线长的等腰三角形，A 错误；只有用一个平行于底面的平面去截棱锥，才能得到一个棱锥和一个棱台，B 错误；等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周的几何体，是由一个圆柱和两个圆锥组合而成，故C 错误；由棱柱的定义得，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，故D 正确．20．如图，将矩形纸片ABCD 折起一角落()EAF △得到EA F '△，记二面角A EF D '--的大小为π04θθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，直线A E '，A F '与平面BCD 所成角分别为α，β，则（ ）．A ．αβθ+>B ．αβθ+<C ．π2αβ+>D ．2αβθ+> 【答案】A【详解】如图，过A '作A H '⊥平面BCD ，垂足为H ，过A '作A G EF '⊥，垂足为G ，设,,A G d A H h A EG γ'''==∠=，因为A H '⊥平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，故A H EF '⊥，而A G A H A '''⋂=，故EF ⊥平面A GH '，而GH ⊂平面A GH '，所以EF GH ⊥，故A GH θ'∠=，又A EH α'∠=，A FH β'∠=.在直角三角形A GE '中，sin d A E γ'=，同理cos d A F γ'=， 故sin sin sin sin sin h h d dαγθγγ===，同理sin sin cos βθγ=， 故222sin sin sin αβθ+=，故2cos 2cos 21sin 22αβθ--=， 整理得到2cos 2cos 2cos 22αβθ+=， 故()()2cos cos cos 22αβαβαβαβθ+--⎡⎤++-⎣⎦+=， 整理得到()()2cos cos cos αβαβθ+-=即()()cos cos cos cos αβθθαβ+=-， 若αβθ+≤，由04πθ<< 可得()cos cos αβθ+≥即()cos 1cos αβθ+≥， 但αβαβθ-<+≤，故cos cos αβθ->，即()cos 1cos θαβ<-，矛盾， 故αβθ+>.故A 正确，B 错误. 由222sin sin sin αβθ+=可得sin sin ,sin sin αθβθ<<，而,,αβθ均为锐角，故,αθβθ<<，22παβθ+<<，故CD 错误.故选：D.二、填空题 21．如图，已知六棱锥P ﹣ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝AB ，则下列结论正确的是_____．（填序号）⊥PB ⊥AD ；⊥平面P AB ⊥平面PBC ；⊥直线BC ⊥平面P AE ；⊥sin⊥PDA =．【答案】⊥【详解】⊥P A ⊥平面ABC ，如果PB ⊥AD ，可得AD ⊥AB ，但是AD 与AB 成60°，⊥⊥不成立，过A 作AG ⊥PB 于G ，如果平面P AB ⊥平面PBC ，可得AG ⊥BC ，⊥P A ⊥BC ，⊥BC ⊥平面P AB ，⊥BC ⊥AB ，矛盾，所以⊥不正确；BC 与AE 是相交直线，所以BC 一定不与平面P AE 平行，所以⊥不正确；在R t⊥P AD 中，由于AD ＝2AB ＝2P A ，⊥sin⊥PDA =，所以⊥正确；故答案为: ⊥22．如图，已知边长为4的菱形ABCD 中，,60AC BD O ABC ⋂=∠=︒.将菱形ABCD 沿对角线AC 折起得到三棱锥D ABC -，二面角D AC B --的大小为60°，则直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为______.【详解】⊥四边形ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，,,AC OD AC OB OB OD ∴⊥⊥==，DOB ∴∠为二面角D AC B --的平面角，60DOB ∠=︒∴，OBD ∴△是等边三角形.取OB 的中点H ，连接DH ，则,3DH OB DH ⊥=.,,AC OD AC OB OD OB O ⊥⊥⋂=，AC ∴⊥平面,OBD AC DH ∴⊥，又,AC OB O AC ⋂=⊂平面ABC ，OB ⊂平面ABC ，DH ∴⊥平面ABC ，2114333D ABC ABC V S DH -∴=⋅=⨯=△4,AD AB BD OB ====ABD ∴∆的边BD 上的高h =1122ABD S BD h ∴=⋅=⨯=△设点C 到平面ABD 的距离为d ，则13C ABD ABD V S d -=⋅=△.D ABC C ABD V V --=，d ∴=∴=⊥直线BC 与平面DAB 所成角的正弦值为d BC = 23．球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为_______． 【答案】932或332【解析】设圆锥的底面半径为r,高为h,球的半径为R ．由立体几何知识可得，连接圆锥的顶点和底面的圆心，必垂直于底面，且球心在连线所成的直线上．分两种情况分析：（1）球心在连线成构成的线段内因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为（2）球心在连线成构成的线段以外因为球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，所以,故圆锥的体积为．该圆锥的体积和此球体积的比值为24．如图，四棱台''''ABCD A B C D -的底面为菱形，P 、Q 分别为''''B C C D ，的中点．若'AA ⊥平面BPQD ，则此棱台上下底面边长的比值为___________．【答案】2 3【详解】连接AC，A′C′，则AC⊥A′C′，即A，C，A′，C′四点共面，设平面ACA′C′与PQ和QB分别均于M，N点，连接MN，如图所示：若AA′⊥平面BPQD，则AA′⊥MN，则AA'NM为平行四边形，即A'M＝AN，即31''42A C=AC，''23A BAB∴=，即棱台上下底面边长的比值为23．故答案为23．三、解答题25．如图，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，点P是侧棱C1C的中点．（1）求证：AC 1⊥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 是正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在⊥ACC 1中，11C P AO OC PC==，所以AC 1⊥OP ， 又因为OP ⊥面PBD ，AC 1⊥面PBD ，所以AC 1⊥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊥平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊥面AC 1，CC 1⊥面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ⊥CC 1，CC 1⊥面ACC 1A 1，所以P ⊥面ACC 1A 1，因为A 1⊥面ACC 1A 1，所以A 1P ⊥面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．26．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1BC BB =，12BAC BCA ABC ∠=∠=∠，点E 是1A B 与1AB 的交点，D 为AC 的中点.（1）求证：1BC 平面1A BD ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC .【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】分析：（1）连结ED ，E 为1A B 与1AB 的交点，E 为1AB 中点，D 为AC 中点，根据三角形中位线定理可得1//ED B C ，由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等腰三角形的性质可得AB BC ⊥，由菱形的性质可得11AB A B ⊥，1BB ⊥平面ABC ，可得1BC BB ⊥，可证明1BC AB ⊥，由线面垂直的判定定理可得结果.详解：（1）连结ED ，⊥直棱柱111ABC A B C -中，E 为1A B 与1AB 的交点，⊥E 为1AB 中点，D 为AC 中点，⊥1//ED B C又⊥ED ⊂平面1A BD ，1B C ⊄平面1A BD⊥1//B C 平面1A BD .（2）由12BAC BCA ABC ∠=∠=∠知,AB BC AB BC =⊥ ⊥1BB BC =，⊥四边形11ABB A 是菱形，⊥11AB A B ⊥. ⊥1BB ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC⊥1BC BB ⊥⊥1AB BB B ⋂=,1,AB BB ⊂平面11ABB A ，⊥BC ⊥平面11ABB A⊥1AB ⊂平面11ABB A ，⊥1BC AB ⊥⊥1BC A B B ⋂=，1,BC A B ⊂平面1A BC ，⊥1AB ⊥平面1A BC27．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，平面PBC ⊥平面ABCD ，⊥BCD 4π=，BC ⊥PD ，PE ⊥BC ．（1）求证：PC ＝PD ；（2）若底面ABCD 是边长为2的菱形，四棱锥P ﹣ABCD 的体积为43，求点B 到平面PCD 的距离．【答案】（1）证明见解析 （2）3． 【详解】 （1）证明：由题意，BC ⊥PD ，BC ⊥PE ，⊥BC ⊥平面PDE ，⊥DE ⊥平面PDE ，⊥BC ⊥DE .⊥⊥BCD 4π=，⊥DEC 2π=，⊥ED ＝EC ，⊥Rt⊥PED ⊥Rt⊥PEC ，⊥PC ＝PD .（2）解：由题意，底面ABCD 是边长为2的菱形，则ED ＝EC =⊥平面PBC ⊥平面ABCD ，PE ⊥BC ，平面PBC ∩平面ABCD ＝BC ，⊥PE ⊥平面ABCD ，即PE 是四棱锥P ﹣ABCD 的高.⊥V P ﹣ABCD 13=⨯2PE 43=，解得PE = ⊥PC ＝PD ＝2.设点B 到平面PCD 的距离为h ，⊥V B ﹣PCD ＝V P ﹣BCD 12=V P ﹣ABCD 23=， ⊥1132⨯⨯2×2×sin60°×h 23=，⊥h 3=.⊥点B 到平面PCD 的距离是3. 28．如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，面ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，面ABFE 是矩形，平面ABFE ⊥平面ABCD ，BC CD AE a ===，60DAB ∠=.（1）求证：平面⊥BDF 平面ADE ；（2）若三棱锥B DCF -a 的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）1.【详解】（1）因为四边形ABFE 是矩形，故EA AB ⊥，又平面ABFE ⊥平面ABCD ，平面ABFE 平面ABCD AB =，AE ⊂平面ABFE ， 所以AE ⊥平面ABCD ，又BD ⊂面ABCD ，所以AE BD ⊥，在等腰梯形ABCD 中，60DAB ∠=，120ADC BCD ︒∴∠=∠=，因BC CD =，故30BDC ∠=，1203090ADB ∠=-=，即AD BD ⊥， 又AE AD A =，故BD ⊥平面ADE ，BD ⊂平面BDF ，所以平面⊥BDF 平面ADE ；（2）BCD 的面积为2213sin12024BCD S a ==， //AE FB ，AE ⊥平面ABCD ，所以，BF ⊥平面ABCD ，2313D BCF F BCD V V a --∴==⋅==，故1a =.。
河南省洛阳市2020-2021学年高一下学期期中试题文 (数学)
第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上． 2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．11πsin3的值为（ ）．A ．2-B ．2C ．12-D ．122．关于平面向量a ，b ，c ，下列结论正确的是（ ）． A ．b a b c ⋅=⋅，则a c =B ．0a b ⋅=，则a 与b 中至少有一个为0C ．()()a b c b c a ⋅=⋅ D ．a b a b ⋅=⋅，则//a b3．在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是（ ）． A ．矩形B ．平行四边形C ．梯形D ．无法判断4．点P 为圆224x y +=与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周逆时针旋转至点P '，当转过的弧长为2π3时，点P '的坐标为（ ）．A ．1,2⎛ ⎝⎭B ．12⎛- ⎝⎭C ．12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎫-⎪⎪⎝⎭5．已知ABC △是边长为2的正三角形，则向量AB 在BC 上的投影是（ ）．A ．1-B ．1C ．D 6．为了得到sin 2y x =，x ∈R 的图象，只需把πsin 22y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，x ∈R 图像上所有的点（ ）．A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度7．函数()()()sin 0,,f x A x A ωϕωϕ=+>∈R 的部分图象如图所示，那么π4f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）．A 62+ B ．12C ．22D 3 8．在ABC △中，若tan tan 1A B ⋅>，则ABC △的形状是（ ）． A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法判断9．AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE EO =，则EC ED ⋅=（ ）． A ．14-B ．34-C ．54-D ．1516-10．已知函数()sin cos f x x x =+，下列结论正确的是（ ）． A ．函数()f x 的最小正周期为π2B ．函数()f x 的最小正周期为2π2C ．函数()f x 的最小正周期为π，最大值为2 D ．函数()f x 的最小正周期为π2，最小值为2 11．函数()3sin πlog f x x x =-的零点的个数为（ ）． A ．3B ．4C ．5D ．612．函数()sin cos 2f θθθ=-，[]0,πθ∈的最小值为（ ）．A ．0B ．12-C ．33-D ．3-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．sin15sin 75︒+︒=______．14．已知向量a ，b 满足1a b a b ==+=，那么a b -=______． 15．若函数()ππ2sin sin 44f x x m x ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，则m =______． 16．已知点P 在圆221x y +=上，点A 的坐标为()2,0-，O 为原点，则AO AP ⋅的最大值为______．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分）（1）已知向量()1,1a =-，()6,4b =-．若()a tab ⊥+，求实数t 的值． （2）若向量m ，n 不共线，向量m n λ+与2m n +共线，求实数λ的值． 18．（本小题满分12分） 已知1sin cos 5θθ-=，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求sin θ，cos θ的值； （2）求πsin 24θ⎛⎫-⎪⎝⎭的值． 19．（本小题满分12分）如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，O 是其中心，12BG GC =．设AB a =，AF b =．（1）用a ，b 分别表示AO 及AG ； （2）求AG 及AD 与AG 夹角θ的余弦． 20．（本小题满分12分）已知A ，B ，C 是ABC △的三个内角，向量(1,3m =-，()cos ,sin n A A =，且m n ⊥． （1）求角A ； （2）若cos sin 3cos sin B BB B+=--，求tan C ．21．（本小题满分12分）已知()()2sin sin cos f x x x x =+．（1）求函数()f x 的单调递增区间及最大值；（2）用“五点法”画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象． 22．（本小题满分12分） 已知向量33cos,sin 22a x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cos ,sin 22x x b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （1）求a b ⋅及a b +；（2）若()2a a b f x b λ⋅-+=的最小值是32-，求λ的值． 洛阳市2020--2021学年第二学期期中考试 高一数学试卷参考答案（文） 一、选择题 1-5 ADCBA 6-10 BDBBA 11-12 CC二、填空题13．21415．2-16．6三、解答题17．（1）()6,4ta b t t +=+--，∵()a b ta ⊥+，∴()2100a b ta t ⋅+=+=．∴5t =-． （2）∵()()//2m n m n λ++， ∴存在实数x 使()2m n x m n λ+=+． 即()()120x m x n λ-+-=． ∵//m n ，∴0120x x λ-=⎧⎨-=⎩．∴12λ=．18．解：（1）∵1sin cos 5θθ-=， 两边平方得：242sin cos 25θθ=． ∵π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴sin cos 0θθ+>，∴7sin cos 5θθ+==．∴4sin 5θ=，3cos 5θ=． （2）∵4sin 5θ=，3cos 5θ=，∴24sin 225θ=，27cos 22cos 125θθ=-=-，∴πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭)sin 2cos 2θθ=+=19．解：（1）AO AF FO AF AB b a =+=+=+．11413333AG AB BG AB BC AB AO a b =+=+=+=+．（2）∵1cos1202a b a b ⋅=⋅︒=-，又()222241168113339999AG a b a a b b ⎛⎫=+=+⋅+= ⎪⎝⎭，∴AG =． 又()2AD a b =+，2AD =．∴()()()41224333AD AG a b a b a b a b ⎛⎫⎡⎤⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪⎣⎦⎝⎭()2254533a ab b =+⋅+=．∴5cos 262AD AG AD AGθ⋅===⨯． 即AD与AG 夹角θ． 20．解：（1）∵m n ⊥，∴3sin cos 0m n A A ⋅=-=，∴tan A =． ∵()0,πA ∈，∴π6A =．（2）∵cos sin 3cos sin B BB B +=--，∴1tan 31tan BB+=--，∴tan 2B =． 又()()tan tan tan tan πtan 1tan tan A BC A B A B A B+=-+=-+=-⎡⎤⎣⎦-326338532323313++=-==+--．21．解：（1）()()22sin sin cos 2sin 2sin cos f x x x x x x x =+=+π1cos 2sin 22sin 214x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．∴当πππ2π22π242k x k -+≤-≤+， 即π3πππ88k x k -+≤≤+时()f x 单调递增， 即()f x 的单调递增区间为π3ππ,π88k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦．当且仅当ππ22π42x k -=+， 即3ππ8x k =+时，()f x 取得最大值，()max 21f x =+．（以上k ∈Z ）． （2）列表：π24x -π4-π2 π3π2 7π4x 0 π83π85π87π8π()f x121+ 112-22．解：（1）33coscos sin sin cos 22222x xa b x x x ⋅=-=． ()222222cos 22cos a b a b a a b b x x +=+=+⋅+=+=,∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0x ≥，∴2cos a b x +=．（2）()()222cos 24cos 2cos 4cos 12cos 21f x x x x x x λλλλ=-=--=---，∵π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴[]cos 0,1x ∈，当0λ<时，当且仅当cos 0x =时，()f x 取得最小值为1-． 与题意不符，舍去．当01λ≤≤时，当且仅当cos x λ=时，()f x 取得最小值为221λ--．∴23212λ--=-，∴12λ=． 当1λ>时，当且仅当cos 1x =时，()f x 取得最小值为14λ-， ∴3142λ-=-，∴518λ=<，不合题意，舍去． 综上可知，12λ=．编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
2020-2021学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. cos2010°=( )A. −√32B. −12C. √33D. √322. AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ C. DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D. DC ⃗⃗⃗⃗⃗3. 函数f(x)=sin 2(2x)的最小正周期是( )A. π4B. π2C. πD. 2π4. 如图程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ，那么在◇和□两个空白框中，可以分别填入( )A. A >1000和n =n +1B. A >1000和n =n +2C. A ≤1000和n =n +1D. A ≤1000和n =n +25. 一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是27，则男运动员应抽取( )A. 18人B. 16人C. 14人D. 12人6. 函数f(x)=sinx+xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.7.若向量m⃗⃗⃗ =(sin x2,√3)，n⃗=(cos x2,cos2x2)，函数f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗，则f(x)的图象的一条对称轴方程是()A. x=π3B. x=π6C. x=−π3D. x=π28.如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为()A. 29B. 49C. 59D. 129.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)= sin2x的图象，则只要将f(x)的图象()A. 向右平移π6个单位长度 B. 向右平移π12个单位长度C. 向左平移π6个单位长度 D. 向左平移π12个单位长度10.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法正确的个数是( ) ①54周岁以上参保人数最少 ②18～29周岁人群参保总费用最少 ③丁险种更受参保人青睐④30周岁以上的人群约占参保人群20%A. 1B. 2C. 3D. 411. 已知O 为△ABC 所在平面内一点，D 为BC 中点，且OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设△OBC ，△OAC ，△OAB 的面积分别为S A ，S B ，S C ，则( )A. S A =S BB. S B =S CC. S A =S CD. S A =S B =S C12. 在锐角△ABC 中，B =60°，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围为( ) A. (0,12)B. [−14,12)C. (0,4]D. (0,2]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(2,5)，b ⃗ =(λ,4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则λ=______． 14. 已知sina+3cosa3cosa−sinα=5，则cos 2α+12sin2α=______．15. 某企业生产甲、乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测结果如表：由于表格被污损，数据a ，b 看不清，统计员只记得甲、乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab =______．16. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，当|f(x)−f(n)|=4时，|m −n|的最小值为π3，若将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后所得函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知a ⃗ ,b ⃗ ,c ⃗ 在同一平面内，且a⃗ =(1,2)． (1)若|c ⃗ |=2√5，且c⃗ //a ⃗ ，求c ⃗ ； (2)若|b ⃗ |=√52，且(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )，求a ⃗ 与b ⃗ 的夹角．18. 某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下的对应数据： x 2456 8 y30 40 605070(1)画出散点图；(2)求y 关于x 的线性回归方程．(3)如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？ 参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：b ̂=∑x i n i=1y i −nx −⋅y−∑x i 2n i=1−n(x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 的横坐标分别为2√55,3√1010(1)求tan(α−β)的值； (2)求α+β的值．20.2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试(6选3)，每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学.为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160,180)，[180,200)，[200,220)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]，画出频率分布直方图如图所示．(1)求频率分布直方图中a的值；(2)由频率分布直方图；(i)求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；(ii)估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220,240)和[260,280)的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．)+1，(A>0,ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称21.函数f(x)=Asin(ωx−π6．轴之间的距离为π2(1)求函数f(x)的解析式和函数f(x)的单调递增区间；(2)f(x)的图像向右平行移动π个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g(x)的12图像，写出函数g(x)的解析式并作出g(x)在[0,π]内的图像．)=2．22.已知函数f(x)=2sin2x+bsinxcosx满足f(π6(1)求实数b的值以及函数f(x)的图像的对称中心坐标；]上有且只有两个零点，求实数a的取值范围．(2)若函数g(x)=f(x)+a在区间(0,π2答案和解析1.【答案】D【解析】解：cos2010°=cos210° =cos(180°+30°)=−cos30°=−√32． 故选：D ．利用三角函数的诱导公式直接求解．本题考查三角函数诱导公式的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．2.【答案】D【解析】解：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 故选D ．根据向量加减的运算性质直接计算即可． 本题考查了向量的加减运算，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵f(x)=sin 2(2x)=12−12cos4x 即ω=4∴T =2πω=2π4=π2故选：B ．由已知中函数f(x)=sin 2(2x)的解析式，我们利用二倍角公式，可以将函数的解析式化为一个余弦型函数，根据函数的解析式，求出ω值，代入T =2πω即可得到答案．本题考查的知识点是二倍角的余弦，三角函数的周期性及其求法，其中利用二倍角公式，将函数的解析式化为一个余弦型函数，是解答本题的关键．【解析】【分析】本题考查程序框图和循环结构，属于基础题．通过要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，确定“◇”内要填写“A≤1000”，进而通过偶数的特征确定n=n+2．【解答】解：∵要求A>1000时输出，且框图中在“否”时输出，∴“◇”内要填写“A≤1000”，∵要求n为偶数，且n的初始值为0，∴“□”中n依次加2可保证其为偶数，∴D选项满足要求，故选D．5.【答案】B【解析】解：∵有运动员98人，其中女运动员42人，∴男运动员56人，∴每名运动员被抽到的概率都是2，7=16，∴男运动员应抽取56×27故选：B．根据分层抽样的定义即可得到结论．本题主要考查分层抽样的应用，根据条件求出对应的人数比是解决本题的关键．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数图象的识别，函数的奇偶性．由f(x)的解析式知f(x)为奇函数可排除A，然后计算f(π)，判断正负即可排除B，C，从而可得结果．解：∵f(x)=sinx+xcosx+x2，x∈[−π,π]，∴f(−x)=−sinx−xcos(−x)+x2=−sinx+xcosx+x2=−f(x)，∴f(x)为[−π,π]上的奇函数，因此排除A；又f(π)=sinπ+πcosπ+π2=π−1+π2>0，因此排除B，C，故选D．7.【答案】B【解析】解：(Ⅰ)∵f(x)=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗=sin x2cos x2+√3cos2x2=12sinx+√32cosx−√32=sin(x+π3)−√32；令x+π3=kπ+π2⇒x=kπ+π6，k∈Z，当k=0时⇒x=π6；∴f(x)的图象的一条对称轴方程是x=π6．故选：B．由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f(x)=sin(x+π3)−√32；再代入正弦函数的对称轴方程即可求解．本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了相似比及几何概型中的面积型，属中档题．由题中所给条件求出正方形DEFC的边长，根据几何概型中的面积型求得结果．【解答】解：设CD=x，由DE//BC则有ADAC =DECB，即4−x4=x2，解得x =43，设在△ABC 上任取一点，则此点取自正方形DEFC 为事件A ， 由几何概型中的面积型得： P(A)=(43)212×4×2=49， 故选：B ．9.【答案】A【解析】 【分析】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型． 首先根据函数的图象现确定函数解析式，进一步利用平移变换求出结果． 【解答】解：根据函数的图象：A =1 又T4=7π12−π3 解得：T =π， 则：ω=2，当x =π3时，f(π3)=sin(2π3+φ)=0 解得：φ=π3所以：f(x)=sin(2x +π3)要得到g(x)=sin2x 的图象只需将函数图象向右平移π6个单位即可． 故选：A ．10.【答案】B【解析】解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8%=80%，故①对④错；由折线图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故②错误；由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故③正确； 故选：B ．根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断．本题考查通过统计图进行合情推理，数形结合，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：因为D 为BC 中点，所以OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入条件有OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−3OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以A ，O ，D 三点共线， 因为D 为BC 中点，所以S △ABD =S △ADC ，S △OBD =S △ODC ，两式相减，得S △AOB =S △AOC ． 故选：B ．由D 为BC 中点得OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入条件利用数乘关系推出A ，O ，D 共线，进而推出面积的关系．本题考查向量的线性运算，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，∵B =60°，|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， ∴C(1,√3)， 设A(x,0)∵△ABC 是锐角三角形，∴A +C =120°，∴30°<A <90°， 即A 在如图的线段DE 上(不与D ，E 重合)， ∴1<x <4，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x 2−x =(x −12)2−14， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的范围为(0,12)． 故选：A ．以B 为原点，BA 所在直线为x 轴建立坐标系，得到C 的坐标，找出三角形为锐角三角形的A 的位置，得到所求范围．本题考查数量积的应用，根据向量数量积的模长公式，利用解析法建立坐标系，利用坐标法求数量积范围是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．13.【答案】−10【解析】解：∵a ⃗ =(2,5)，b ⃗ =(λ,4)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ， ∴a ⃗ ⋅b⃗ =2λ+20=0，求得λ=−10， 故答案为：−10．由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得λ的值． 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．14.【答案】35【解析】解：因为sina+3cosa3cosa−sinα=tanα+33−tanα=5，所以可得tanα=2， 则cos 2α+12sin2α=cos 2α+sinαcosαsin 2α+cos 2α=1+tanαtan 2α+1=1+222+1=35．故答案为：35．利用同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanα的值，进而根据二倍角公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．15.【答案】72【解析】解：由题意可得，x 甲−=15(7+7+7.5+9+9.5)=8， x 乙−=15(6+a +8.5+8.5+b)∵x 甲−=x 乙−， ∴a +b =17 ①，∵S 甲2=15(1+1+0.25+1+2.25)=1.1， S 乙2=15[4+(a −8)2+0.25+0.25+(b −8)2]，∵S 甲2=S 乙2，∴(a −8)2+(b −8)2=1 ②， 联立①②解得{a =8b =9 或{a =9b =8， ∴ab =72． 故答案为：72．将甲，乙两种产品的平均数与方差分别相等，利用平均数与方差的计算公式，列出方程组，即可求解．本题主要考查平均数和方差公式的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．16.【答案】2π9【解析】解：已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)(ω>0)，当|f(m)−f(n)|=4时，|m −n|的最小值为π3=12⋅2πω，∴ω=3，故f(x)=2sin(3x +π6). 若将函数f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位后，得到y =2sin(3x −3φ+π6)的图象． 根据所得函数图象关于y 轴对称，则−3φ+π6=kπ+π2，k ∈Z ，即φ=−kπ3−π9，令k =−1，可得φ的最小值为2π9， 故答案为：2π9．由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得φ的最小值．本题主要考查函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．17.【答案】解：(1)设c ⃗ =(x,y)，|c ⃗ |=√x 2+y 2=2√5⇒x 2+y 2=20①c ⃗ //a ⃗ ⇒2x −y =0⇒y =2x②把②代入①得x 2+4x 2=20，解得x =±2 当x =2时，y =4；当x =−2时，y =−4 ∴c ⃗ =(2,4)或c ⃗ =(−2,−4)．(2)|a ⃗ |=√5，|b ⃗ |=√52，(a ⃗ +2b ⃗ )⊥(2a ⃗ −b ⃗ )⇒(a ⃗ +2b ⃗ )⋅(2a ⃗ −b ⃗ )=0⇒2a ⃗ 2+3a ⃗ ⋅b ⃗ −2b ⃗ 2=0⇒a ⃗ ⋅b ⃗ =52设a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为θ，则cosθ=a ⃗ ⋅b⃗ |a⃗⃗⃗⃗ |⋅|b ⃗ |=52√5⋅√52=1，θ=0°∴a ⃗ 与b ⃗ 的夹角为0°．【解析】(1)利用向量的莫与向量共线列出方程求解即可． (2)利用向量垂直，通过数量积求解向量的夹角即可．本题考查向量的数量积的应用，向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．18.【答案】(1)绘制散点图如图所示：(2)x −=5,y −=50,∑x i25i=1=145,∑x i5i=1y i =1380b ̂=∑x i ni=1y i −nx −⋅y −∑x i2n i=1−n(x −)2=1380−5×5×50145−5×52=6.5；a ̂=y −−b ̂x −=50−6.5×5=17.5 于是所求的线性回归方程是y ̂=6.5x +17.5 (3)当x =10时，y ̂=6.5×10+17.5=82.5(百万元)【解析】(1)结合所给的数据绘制散点图即可；(2)利用线性回归方程系数计算公式求解线性回归方程即可； (3)利用回归方程的预测作用即可预测销售额．本题考查散点图的绘制，线性回归方程及其应用等，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．19.【答案】解：(1)由条件得cosα=2√55，cosβ=3√1010…2分 ∵角α，β为锐角， ∴sinα=√55，sinβ=√1010，∴tanα=12，tanβ=13…6分 tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=12−131+13×12=17…8分(2)∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=12+131−13×12=1…10分又α，β为锐角，0<α+β<π， ∴α+β=π4…12分【解析】(1)依题意，可求得cosα=2√55，cosβ=3√1010，角α，β为锐角，从而可求得tanα，tanβ及tan(α−β)的值；(2)可求得tan(α+β)=1，由α，β为锐角，可求得α+β的值． 本题考查两角和与差的正切函数，考查运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)由(0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a +0.0025)×20=1，解得a =0.005．(2)(i)∵(0.002+0.0095+0.011)×20=0.45<0.5， ∴三科总分成绩的中位数在[220,240)内，设中位数为x ， 则(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(x −220)=0.5， 解得x =224，即中位数为224． (ii)三科总分成绩的平均数为：170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05=225.6．(3)三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内的学生分别为25人，10人， ∴抽样比为725+10=15，∴三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为：25×15=5人，10×15=2人，设事件A 表示“抽取的这2名学生来自不同组”， 从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n =C 72=21，事件A 包含的基本事件个数m =C 51C 21=10，∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P(A)=m n=1021．【解析】(1)由频率分布直方图能求出a ． (2)(i)由频率分布直方图能求出中位数．(ii)由频率分布直方图能求出三科总分成绩的平均数．(3)先求出抽样比为15，再求出三科总分成绩在[220,240)，[260,280)两组内抽取的学生数量分别为5人，2人，设事件A 表示“抽取的这2名学生来自不同组”，基本事件总数n =C 72=21，事件A 包含的基本事件个数m =C 51C 21=10，由此能求出抽取的这2名学生来自不同组的概率．本题考查频率、中位数、平均数、概率的求法，考查频率分布直方图、分层抽样、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．21.【答案】解：(1)∵函数f(x)=Asin(ωx −π6)+1，(A >0,ω>0)的最大值为A +1=3， ∴A =2．∵其图像相邻两条对称轴之间的距离为12×2πω=π2，∴ω=2，故f(x)=2sin(2x −π6)+1．令2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，求得kπ−π6≤x ≤kπ+π3， 可得函数的增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k ∈Z ．(2)把f(x)的图像向右平行移动π12个长度单位，可得y =2sin(2x −π3)+1的图象； 再向下平移1个长度单位，得到g(x)=2sin(2x −π3)的图像， 故函数g(x)的解析式为g(x)=2sin(2x −π3). 下面用五点法作图作出它在[0,π]内的图像． 列表：由x ∈[0,π]，可得2x −π3∈[−π3,5π3]，做图如下：【解析】(1)由函数的最值求出A ，由周期求出ω，可得函数的解析式，从而利用正弦函数的单调性，求得它的增区间．(2)由题意利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，求得g(x)的解析式，结合五点法作图，得到它在[0,π]内的图象．本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的最值求出A ，由周期求出ω.还考查了函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，五点法作图，于中档题．22.【答案】解：(1)函数满足f(π6)=2，解得b =2√3所以f(x)=2sin 2x +bsinxcosx =1−cos2x +√3sin2x =2sin(2x −π6)+1， 令：2x −π6=kπ，解得x =kπ2+π12(k ∈Z)，所以函数的对称中心为(kπ2+π12,1)(k ∈Z)．(2)由(1)得：g(x)=2sin(2x −π6)+a +1，在区间(0,π2]上有且只有两个零点， 等价于方程2sin(2x −π6)+a +1=0在区间(0,π2]上有且只有两个根， 即函数ℎ(x)=sin(2x −π6)，与函数y =−a+12，在区间(0,π2]上有且只有两个交点，由于x ∈(0,π2], 所以2x −π6∈(−π6,5π6],由于函数ℎ(x)在区间(0,π3]上单调递增，在(π3,π2)上单调递减， 由于ℎ(0)=−12，ℎ(π3)=1，ℎ(π2)=12． 故−a+12∈[12,1)，解得a ∈(−3,−2]．【解析】(1)首先利用三角函数关系式的恒等变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的对称中心；(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用函数的零点和图像的交点的关系的应用求出a的取值范围．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．。
2020-2021学年河南省洛阳市高一(下)期中数学试卷(理科)(附答案详解)
2020-2021学年河南省洛阳市高一（下）期中数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. sin11π3的值等于( )A. 12B. −12C. √32 D. −√322. 关于平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c⃗ ，下列结论正确的是( ) A. b ⃗ ⋅a ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，则a⃗ =c ⃗ B. a ⃗ ⋅b ⃗ =0，则a ⃗ 与b ⃗ 中至少有一个为0⃗ C. (a ⃗ ⋅b ⃗ )c ⃗ =(b ⃗ ⋅c ⃗ )a ⃗D. |a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，则a ⃗ //b ⃗3. 在四边形ABCD 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−4a ⃗ −b ⃗ ，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5a ⃗ −3b ⃗ ，则四边形ABCD 的形状是( )A. 矩形B. 平行四边形C. 梯形D. 以上都不对4. 点P 为圆x 2+y 2=4与x 轴正半轴的交点，将点P 沿圆周顺时针旋转至点P′，当转过的弧长为23π时，点P′的坐标为( )A. (1,√3 )B. (1,−√3)C. (−1,−√3)D. (12,−√32) 5. 已知△ABC 是边长为2的正三角形，则向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影是( ) A. −1 B. 1 C. −√3 D. √36. 为了得到y =sin2x ，x ∈R 的图象，只需把y =cos2x ，x ∈R 图象上所有的点( )A. 向左平移π4个单位长度 B. 向右平移π4个单位长度 C. 向左平移π2个单位长度D. 向右平移π2个单位长度7. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,A,φ∈R)的部分图象如图所示，那么f(π4)=( )8. 在△ABC 中，若tanAtanB >1，则△ABC 是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法确定9. AB ，CD 是半径为1的圆O 的两条直径，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3EO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −45B. −1516C. −14D. −5810. 已知函数f(x)=|cosx|+|sinx|，下列结论正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为π2，最小值为1 B. 函数f(x)的最小正周期为π，最小值为0 C. 函数f(x)的最小正周期为π2，最大值为2 D. 函数f(x)的最小正周期为π，最大值为√211. 函数f(x)=sinπx −log 5x 的零点的个数为( )A. 3B. 4C. 5D. 612. 已知向量a⃗ ≠e ⃗ ，|e ⃗ |=1，对任意t ∈R ，恒有|a ⃗ −t e ⃗ |≥|a ⃗ −e ⃗ |，则( ) A. a⃗ ⊥e ⃗ B. a⃗ ⊥(a ⃗ −e ⃗ ) C. e⃗ ⊥(a ⃗ −e ⃗ ) D. (a⃗ +e ⃗ )⊥(a ⃗ −e ⃗ ) 二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. sin15°+sin75°的值是 ．14. 非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，则|a ⃗ −b ⃗ |=______． 15. 若函数f(x)=2sin(x +π4)+msin(x −π4)是偶函数，则m =______．16. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (1)已知向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(6,−4).若a ⃗ ⊥(t a ⃗ +b ⃗ )，求实数t 的值．(2)若向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，向量λm ⃗⃗⃗ +n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ 共线，求实数λ的值．18. 已知sinθ−cosθ=15，θ∈[0,π]．(1)求sinθ，cosθ的值； (2)求sin(2θ−π4)的值．19. 如图，在边长为1的正六边形ABCDEF 中，O 是其中心，BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12GC ⃗⃗⃗⃗⃗ .设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AF⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 分别表示AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 及AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)求|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |及AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角θ的余弦．20. 已知A 、B 、C 是△ABC 的三内角，向量m ⃗⃗⃗ =(−1,√3)，n ⃗ =(cosA +1,sinA)，且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角A ；(2)若1+sin2Bcos 2B−sin 2B =−3，求tanC ．21.已知f(x)=2sinx(sinx+cosx)．(1)求函数f(x)的单调递增区间及最大值；(2)用“五点法”画出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象．22.已知向量a⃗=(cos32x,sin32x)，b⃗ =(cos x2,−sin x2)，且x∈[0,π2]，(1)求a⃗⋅b⃗ 及|a⃗+b⃗ |；(2)若f(x)=a⃗⋅b⃗ −2λ|a⃗+b⃗ |的最小值是−32，求实数λ的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：sin 11π3=sin(4π−π3)=−sin π3=−√32． 故选：D ．原式中的角度变形后，利用诱导公式化简即可得到结果．此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2.【答案】D【解析】解：选项A ，∵b ⃗ ⋅a ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，∴|b ⃗ |⋅|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|b ⃗ |⋅|c ⃗ |cos <b ⃗ ，c ⃗ >，即|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|c ⃗ |cos <b ⃗ ，c⃗ >，不能说明a ⃗ =c ⃗ ，即选项A 错误； 选项B ，当两个非零向量a ⃗ ⊥b ⃗ 时，满足a ⃗ ⋅b ⃗ =0，但a ⃗ ，b ⃗ 均不是零向量，即选项B 错误； 选项C ，由于平面向量具有方向，所以不满足数量积的结合律，即选项C 错误； 选项D ，∵|a ⃗ ⋅b ⃗ |=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，∴|b ⃗ |⋅|a ⃗ |cos <a ⃗ ，b ⃗ >=|a ⃗ |⋅|b ⃗ |，∴cos <a ⃗ ，b ⃗ >=1，∴<a ⃗ ，b ⃗ >=0，∴a ⃗ ，b ⃗ 方向相同，即选项D 正确． 故选：D ．A ，根据平面向量数量积的运算法则，可判断；B ，举反例，两个非零向量a ⃗ ⊥b ⃗ ；C ，平面向量数量积不满足结合律；D ，根据平面向量数量积的运算法则和平面向量夹角的范围，可判断．本题考查平面向量数量积的运算法则，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．3.【答案】C【解析】 【分析】本题考查向量的平行的判定，属基础题．由向量的知识可得AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行，进而可得四边形ABCD 是梯形． 【解答】∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，同理可判AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 不平行， ∴四边形ABCD 是梯形． 故选C ．4.【答案】B【解析】解：由题意，|OP′|=2，转过的弧长为23π，则旋转角为−π3， ∴点P′的横坐标x =2cos(−π3)=1，纵坐标为y =2sin(−π3)=−√3， ∴点P′的坐标为(1,−√3). 故选：B ．由已知结合弧长公式可得旋转角，再由任意角的三角函数的定义求解． 本题考查弧长公式及任意角的三角函数，是基础题．5.【答案】A【解析】解：由题意知，向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°， ∴向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 上的投影是|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos120°=2×(−12)=−1． 故选：A ．根据平面向量数量积的几何意义，即可得解．本题考查平面向量数量积的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：只需把y =cos2x =sin(2x +π2)，x ∈R 图象上所有的点向右平移π4个单位长度，即可得到y =sin2x ，x ∈R 的图象， 故选：B ．角函数的名称，是解题的关键，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象知，A=1，且T4=π3−π12=π4，解得T=π，所以ω=2π T=2，又(π12,0)是f(x)的五点法画图中的第一个点，所以2×π12+φ=0，解得φ=−π6，所以f(x)=sin(2x−π6)，所以f(π4)=sin(2×π4−π6)=sinπ3=√32．故选：D．由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象求出A、T和ω、φ的值，写出f(x)的解析式，再求f(π4)的值，即可得解．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，考查了数形结合思想，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：因为A和B都为三角形中的内角，由tanAtanB>1，得到1−tanAtanB<0，且得到tanA>0，tanB>0，即A，B为锐角，所以tan(A+B)=tanA+tanB1−tanAtanB<0，则A+B∈(π2,π)，即C都为锐角，所以△ABC是锐角三角形．故选：A．利用两角和的正切函数公式表示出tan(A+B)，根据A与B的范围以及tanAtanB>1，得到tanA和tanB都大于0，即可得到A与B都为锐角，然后判断出tan(A+B)小于0，得到A+B为钝角即C为锐角，所以得到此三角形为锐角三角形．此题考查了三角形的形状判断，用的知识有两角和与差的正切函数公式．解本题的思路为锐角，进而根据两角和与差的正切函数公式得到tan(A +B)的值为负数，进而得到A +B 的范围，判断出C 也为锐角．9.【答案】B【解析】解：如图所示：O 为圆心，|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，由题意知：OE ⃗⃗⃗⃗⃗=14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −14OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−116OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2)=−(1−116)=−1516． 故选：B ．做出图形，以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 作为基底，由题意表示出EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，代入结论计算即可． 本题考查平面向量基本定理以及数量积的运算，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：根据函数f(x)=|cosx|+|sinx|={cosx +sinx,x ∈[0,π2]−cosx +sinx,x ∈(π2,π]−cosx −sinx,x ∈(π,3π2]cosx −sinx,x ∈(3π2,2π]的图象，可得函数的最小正周期为π2，且最小值为1，故A 正确且BD 错误．由函数f(x)的图象可得它的最大值 为√2，故C 错误． 故选：A ．的关键，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：由f(x)=sinπx−log5x=0得sinπx=log5x，设ℎ(x)=sinπx，g(x)=log5x，则所求的函数的零点个数转化为：函数ℎ(x)和g(x)图象的交点个数，在同一坐标系内作出g(x)和ℎ(x)的图象：由函数图象知(0,5]函数在上有5个交点．故选：C．将条件f(x)=sinπx−log5x的零点个数转化为ℎ(x)=sinπx，g(x)=log5x交点个数判断．本题给出含有三角函数和对数的函数，求函数的零点的个数转化为两个函数图象的交点个数问题，数形结合思想，关键是正确作图．12.【答案】C【解析】解：已知向量a⃗≠e⃗，|e⃗|=1，对任意t∈R，恒有|a⃗−t e⃗|≥|a⃗−e⃗|即|a⃗−t e⃗|2≥|a⃗−e⃗|2∴t2−2a⃗⋅e⃗t+2a⃗⋅e⃗−1≥0即△=(2a⃗⋅e⃗ )2−4(2a⃗⋅e⃗−1)≤0即(a⃗⋅e⃗−1)2≤0∴a⃗⋅e⃗−1=0a⃗⋅e⃗−e⃗2=0∴e⃗⋅(a⃗−e⃗ )=0故选：C．对|a⃗−t e⃗|≥|a⃗−e⃗|两边平方可得关于t的一元二次不等式t2−2a⃗⋅e⃗t+2a⃗⋅e⃗−1≥0，为使得不等式恒成立，则一定有△≤0．本题主要考查向量的长度即向量的模的有关问题，属于基础题．13.【答案】√62本题考查两角和的正弦函数，三角函数的化简求值，考查计算能力． 方法一：利用诱导公式以及两角和的正弦函数化简求解即可． 方法二：利用两角和与差的三角函数公式化简求解即可． 【解答】解：方法一：sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=√2(sin15°cos45°+cos15°sin45°) =√2sin60°=√62． 方法二：原式=sin(45°−30°)+sin(45°+30°)=sin45°cos30°−cos45°sin30°+sin45°cos30°+cos45°sin30° =2sin45°cos30°=2×√22×√32=√62． 故答案为√62．14.【答案】√3【解析】解：∵非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，∴√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =√2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =1，可得a ⃗ ⋅b ⃗ =−12． 则|a ⃗ −b ⃗ |=√a ⃗ 2+b ⃗ 2−2a ⃗ ⋅b ⃗ =√1+1−2×(−12)=√3．故答案为：√3．非零向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=1，可得√a ⃗ 2+b ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ =1，可得a⃗ ⋅b ⃗ ，进而得出．本题考查了数量积运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】−2【解析】解：函数f(x)=2sin(x +π4)+msin(x −π4)是偶函数，整理得：−m =2， 整理得：m =−2． 故答案为：−2．直接利用赋值法和三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．16.【答案】−3+2√2【解析】解：设PA 与PO 的夹角为a ，则|PA|=|PB|=1tanαy =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos2α =1(tanα)2⋅cos2α=cos 2αsin 2α⋅cos2α =1+cos2α1−cos2α⋅cos2α记cos2a =u.则y =u(u+1)1−u=(−u −2)+21−u =−3+(1−u)+21−u≥−3+2√2即PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为−3+2√2 故答案为：−3+2√2利用圆切线的性质：与圆心切点连线垂直；设出一个角，通过解直角三角形求出PA ，PB 的长；利用向量的数量积公式表示出PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ；利用三角函数的二倍角公式化简函数，通过换元，再利用基本不等式求出最值．本题考查圆切线的性质、三角函数的二倍角公式、向量的数量积公式、基本不等式求函数的最值．17.【答案】解：(1)∵向量a ⃗ =(1,−1)，b ⃗ =(6,−4)，若a ⃗ ⊥(t a ⃗ +b ⃗ )，∴a ⃗ ⋅(t a ⃗ +b ⃗ )=t a ⃗ 2+a ⃗ ⋅b ⃗ =2t +(6+4)=0，∴实数t =−5．(2)∵向量m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ 不共线，向量λm ⃗⃗⃗ +n ⃗ 与m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ 共线， ∴λ1=12，∴实数λ=12．【解析】(1)由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．(2)由题意利用两个向量平行的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．18.【答案】解：(1)将sinθ−cosθ=15两边平方得，2sinθcosθ=2425，∵θ∈[0,π]， ∴sinθ+cosθ>0，∴sinθ+cosθ=√1+2sinθcosθ=75， ∴sinθ=45，cosθ=35． (2)∵sinθ=45，cosθ=35， ∴sin2θ=2425，cos2θ=2cos 2θ−1=−725， ∴sin(2θ−π4)=√22(sin2θ−cos2θ)=√22×[2425−(−725)]=31√250．【解析】(1)将sinθ−cosθ=15两边平方，可得2sinθcosθ的值，再由sinθ+cosθ=√1+2sinθcosθ，求得sinθ+cosθ的值，然后解方程组，即可；(2)由二倍角公式可得sin2θ和cos2θ的值，再由两角差的正弦公式，展开，代入数据运算即可．本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，二倍角公式和两角差的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =43a ⃗ +13b ⃗ ；(2)正六边形ABCDEF 的边长为1，则a ⃗ ⋅b ⃗ =1×1×cos120°=−12； 由(1)的结论，AG ⃗⃗⃗⃗⃗=43a ⃗ +13b ⃗ ， 则|AG ⃗⃗⃗⃗⃗|2=(43a ⃗ +13b ⃗ )2=169+19+89a ⃗ ⋅b ⃗ =139，故|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√133，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a ⃗ +2b ⃗ ，则|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2， 则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43a ⃗ +13b ⃗ )⋅(2a ⃗ +2b ⃗ )=23(4a ⃗ 2+5a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2)=53，故cosθ=AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=532×√133=5√1326， 故AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 夹角θ的余弦cosθ=5√1326．【解析】(1)根据题意，由平面向量基本定理分析可得答案；(2)根据题意，先求出a ⃗ ⋅b⃗ 的值，结合(1)的结论可得|AG ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(43a ⃗ +13b ⃗ )2，变形可得答案，进而求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 和|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值，由向量夹角公式可得cosθ的值，即可得答案． 本题考查向量数量积的运算以及性质的应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于基础题．20.【答案】解：(1)∵m⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ，∴m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0． ∴−(cosA +1)+√3sinA =0，化为2sin(A −π6)=1， ∴sin(A −π6)=12．∵0<A <π，∴−π6≠A −π6<5π6，∴A −π6=π6，解得A =π3． (2)由1+sin2Bcos 2B−sin 2B =−3，化为sin 2B −sinBcosB −2cos 2B =0， ∵cosB ≠0，∴tan 2B −tanB −2=0， ∴tanB =2或tanB =−1；而tanB =−1使cos 2B −sin 2B =0，故应舍去 ，∴tanB =2，∴tanC =−tan(A +B)=−tanA+tanB1−tanAtanB =√31−2√3=8+5√311．【解析】(1)利用数量积运算性质、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性即可得出； (2)利用同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式即可得出．本题考查了数量积运算性质、两角和差正弦公式、正弦函数的单调性、同角三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式，考查了推理能力和计算能力，属于较难题．21.【答案】解：(1)f(x)=2sinx(sinx +cosx)=sin2x −cos2x +1=√2sin(2x −π4)+1， 可得f(x)的最大值M =√2+1，令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈z，故函数的增区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈z．(2)由题意列表如下：x0π83π85π87π8π2x−π4−π40π2π3π27π4f(x)01√2+111−√20描点连线可得函数图像如下：【解析】(1)利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，根据两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，进而利用正弦函数的性质即可求解．(2)用“五点法”列表，描点，连线即可．本题考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象和正弦函数性质的运用，属于基础题．22.【答案】解：(1)由题意可得a⃗⋅b⃗ =cos32xcos x2−sin32xsin x2=cos2x，a⃗+b⃗ =(cos32x+cos x2,sin32x−sin x2)，∴|a⃗+b⃗ |=√(sin3x2+cos x2)2+(sin3x2−sin x2)2=√2+2cos2x=2|cosx|．∵x∈[0,π2]，∴1≥cosx≥0，∴|a⃗+b⃗ |=2cosx．(2)由(Ⅰ)得 f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −2λ|a ⃗ +b ⃗ |=cos2x −4λcosx =2(cosx −λ)2−1−2λ2， 再结合1≥cosx ≥0可得，当λ<0时，则cosx =0时，f(x)取得最小值为−1，这与已知矛盾． 当0≤λ≤1时，则cosx =λ时，f(x)取得最小值为−1−2λ2． 当λ>1时，则cosx =1时，f(x)取得最小值为1−4λ． 由已知得1−4λ=−32，λ=58，这与λ>1相矛盾． 综上所述，λ=12为所求．【解析】(1)由题意利用两个向量的数量积公式求得a ⃗ ⋅b ⃗ ，再根据a ⃗ +b ⃗ 的坐标，求得|a ⃗ +b⃗ |的值． (2)由(Ⅰ)得 f(x)=2(cosx −λ)2−1−2λ2，再结合1≥cosx ≥0可得，分类讨论，利用二次函数的性质，根据f(x)的最小值是−32，分别求得实数λ的值，综合可得结论． 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角恒等变换，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．。
人教版2020-2021学年下学期高一数学期末检测卷及答案(含两套题)
【点睛】一般地，如果 为等差数列， 为其前 项和，则有性质：
（1）若 ，则 ；
（2） 且 ；
（3） 且 为等差数列；
（4） 为等差数列.
6.A
【解析】
【分析】
利用正弦定理将边转化为角得到 ，再由角C的范围可得选项.
【详解】因为 ，
所以由正弦定理得 ，所以 ，即 ，
又因为 为 的内角，
所以 ．
解得 ， ，
， ；
（2） ，
，
又 ，由题得 ，即 ，
，即
由题知 且 ，故 ，
故 ，
故只需考虑 ， 时 ， 时 ， 时 ，
17.（10分）已知 中，点 .
（1）求直线 的方程；
（2）求 的面积.
18.（12分）已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若关于x的不等式 的解集为R，求a的取值范围.
19.（12分）己知向量 ， .
（1）若 ，其中 ，求 坐标；
（2）若 与 的夹角为 ，求 的值.
20.（12分）自我国爆发新冠肺炎疫情以来，各地医疗单位都加紧了医疗用品的生产，某医疗器械厂统计了口罩生产车间每名工人的生产速度，将所得数据分成五组并绘制出如图所示的频率分布直方图.已知前四组的频率成等差数列，第五组与第二组的频率相等.
故 ，
故答案为：
【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 来求；（2）计算角， .特别地，两个非零向量 垂直的等价条件是 .
15.9
【解析】
【分析】
将 变形后利用基本不等式可求其最小值
【详解】 ，
，等号成立时 ， .
故答案为：9.
【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.
2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷及答案
2020-2021学年高一下学期期末考试 数学试题试题说明：本试卷满分150分，答题时间120分钟第一卷：选择题部分一选择题（每小题只有一个选项正确，共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知向量(,2),(3,4)a b λ=-=，且//a b ，则λ的值为（ ） A ．6- B ．6 C ．23D ．32-2.设复数102z i=-（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．2 B ．2i C ．2- D ．2i -3.由于疫情期间大多数上上课，某校高一、高二、高三共有学生1800名，为了了解同学们对“钉钉”授课软件的意见，计划采用按比例分配的分层抽样的方法从这1800名学生中抽取一个容量为72的样本，若从高一、高二、高三抽取的人数恰好是从小到大排列的连续偶数，则该校高三年级的人数为( ) A. 800 B. 750 C. 700 D. 6504. 在ABC 中，点M 满足2BM MC =，则（ ）A. 1233AM AB AC =+ B. 2313AM AB AC =+ C. 1233AM AB AC =- D. 2313AM AB AC =-5.已知m ，n ，l 是三条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论一定正确的（ ） A ．若n ⊂α，l α⊂，m n ⊥，m l ⊥，则m α⊥ B ．若//m α，n β⊥，//αβ，则m n ⊥ C ．若m n ⊥，n l ⊥，l β⊥，则m β⊥D ．若//m l ，//l α，则//m α6.从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个黑球与都是黑球 B ．恰好有一个黑球与都是红球 C ．至少有一个黑球与都是红球 D ．恰好有两个黑球与至少一个红球7. 已知一圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的侧面积与底面积的比值为（ ）A ．2B ．3C ．12D ．138. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，如果60A =︒，3b =，△ABC 的面积332S =，那么a 等于（ ） A. 17B. 7C. 7D. 179.某班有50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班6名男生和4名女生在某次数学测验中的成绩,6名男生的成绩分别为86分,94分,88分,92分,90分,90分,4名女生的成绩分别为90分,93分,93分,88分,则下列说法不正确的有 A.这种抽样方法是按比例分配的分层抽样B.该班男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数C.这6名男生成绩的方差大于这4名女生成绩的方差D.抽取的10名学生成绩的平均数和方差分别为90.4分和6.04分210.一块边长为10cm 的正方形铁片如图所示，将它的阴影部 分截下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个 正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的外接球的表面积 A2894π B28916π C 28948π D28964π 11. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，，点D 在AC 上，2AD ＝DC ，BD ＝2，则△ABC 的面积的最大值为（ ）A ．4B ．6C ．D ．12.给出下列四个命题：（1）一个圆柱的底面半径为1，高为2，则该圆柱的体积为 2π； （2）若样本数据1x ，2x ，，10x 标准差为2，则数据121x -，221x -，，1021x - 的方差为16；.（3）若ABC △中，π3A =，2AB =，若满足上述条件的三角形有两个，则BC 边的范围是()3,2.（4）设a ，e 均为单位向量，当a ，e 的夹角为23π时，a 在e 方向上的投影向量为12e其中你认为正确的个数是； A.1 B. 2 C.3D. 4第二卷：非选择题部分二．填空题：（共4个小题，每题5分，满分20分）13一个袋子中有2个红球，3个白球，采用不放回方式从中依次随机地摸出2个球，则第一次摸到红球的概率________； 14.已知复数z 满足(1)13i z i i +=⋅-，则复数z 对应的点在复平面的第________象限； 15. 如图，小明为了测量楼前穿天杨树的高度，他在正西方向选取 与穿天杨树根部C 在同水平面的A ，B 两点，在A 点测得树根部C 在西偏北30︒的方向上，步行40米到B 处，测得树根部C 在西偏 北75︒的方向上，树梢D 的仰角为30︒，则该穿天杨树的高度 为__________米；16. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、F 、G 分别为棱AB 、1AA 、11C D 的中点，则下列结论中（1）过E 、F 、G 三点作正方体的截面，所得截面面积为3341112B D DB 0B C ︒（）与平面所成的角为：6； （3）异面直线EF 与1BD 所成角的正切值为22（4）四面体11A CB D -的体积等于12；其中正确的结论________；三．解答题：（本题共6道大题，共70分，解答题要求写出文字说明、证明过程或运算步骤） 17.（满分10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a =2，cosB =35． （1）若b =4，求sin A 的值；（2）若△ABC 的面积S △ABC =4，求b 、c 的值．18.（满分12分）为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、平均数；（3）根据评奖规则，排名靠前10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分? 19．（满分12分）我校举行爱我中华的诗词大赛，经过层层选拔，最后决赛在甲、乙两个代表队之间进行，每个代表队由10名队员组成，其得分情况如下：甲队 91 84 93 85 95 88 85 87 86 86 乙队87928684958589888688（1）计算甲、乙两个代表队的方差，说明哪个代表队的成绩更稳定；（2）如果以成绩不低于90分的队员为优秀选手，从两个代表队中的优秀选手中任选2人决出最佳选手，则这两人来自不同代表队的概率是多少？20.（满分12分）如图，在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD= 60∘，AB=2，PD=√6，O为AC与BD的交点，E为棱PB上一点．(Ⅰ)证明：平面EAC⊥平面PBD；(Ⅱ)若PD//平面EAC，求三棱锥P−EAD的体积．21.（满分12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c.若满足：cos(cos3sin)cos0C A A B++=．（1）求角B的大小；（2）设BC的中点为D，且AD=√3，求a+2c的取值范围．22. （满分12分）如图1，平面四边形ABCD中，AB=AC=√2，AB⊥AC，AC⊥CD，E为BC的中点，将△ACD沿对角线AC折起，使CD⊥BC，连接BD，得到如图2所示的三棱锥D−ABC．(1)证明：平面ADE⊥平面BCD；(2)已知直线DE与平面ABC所成的角为π，求二面角A−BD−C的余弦值．4数学试题参考答案：一选择题：DCDA BBAC BADC 二．填空题： 13、25； 14、 一 ； 15、2063 ； 16、（1）（3）三．解答题：17.解：(1)∵cosB =35>0，且0<B <π，∴sinB =√1−cos 2B =45 ， 由正弦定理得asinA =bsinB ， ∴sinA =asinB b=2×454=25. (2)∵S △ABC =12acsinB =4， ∴12×2×c ×45=4， ∴c =5.由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB ， ∴b =√a 2+c 2−2accosB =√22+52−2×2×5×35=√17．18.解：（1）0.25 图中长方形高度0.025 （2）由图知，众数为：75和85平均数为：450.10550.15650.2750.25850.25950.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （3）因为分数在[80,90)内的频率为0.25，[)90,100内的频率为0.05， 而0.0510%(0.250.05)<<+所以得分前10%的分界点应在80至90之间． 设所求的分界点为90x -，则0.0250.0051010%x +⨯=，解得2x = 所以得分前10%的分界点为88，即获奖的同学至少需要88分．19. .解：（1）9184868810x +++==甲，8792888810x +++==乙，()21916259490914412.610s =+++++++++=甲， ()2111641649910401010s =+++++++++=乙，因为22s s >甲乙，所以乙队成绩更稳定.…….................................（2由表可知，甲队有3个优秀选手，分别记为A ，B ，C ，乙队中有两个优秀选手，分别记为a ，b .则从这5人中任选两人，有(),A B ，(),A C ，(),A a ，(),A b ，(),B C ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，(),a b ，共10种彼此互斥的选取方法，且每种选法都是等可能的，其中两人来自不同代表队的方法有(),A a ，(),A b ，(),B a ，(),B b ，(),C a ，(),C b ，共6种， 所以两人来自不同代表队的概率63105P ==.20解(Ⅰ)证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴AC ⊥PD ． ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，又∵PD ∩BD =D ，PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ， ∴AC ⊥平面PBD ．而AC ⊂平面EAC ，∴平面EAC ⊥平面PBD ．(Ⅱ)解：∵PD//平面EAC ，平面EAC ∩平面PBD =OE ，PD ⊂平面PBD ， ∴PD//OE ，∵O 是BD 中点，∴E 是PB 中点． 取AD 中点H ，连接BH ，∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD =60°， ∴BH ⊥AD ，又∵PD ⊥平面ABCD ，BH ⊂平面ABCD ， ∴BH ⊥PD ，又∵AD ∩PD =D ，AD 、PD ⊂平面PAD ， ∴BH ⊥平面PAD ， BH =√32AB =√3．∴V P−EAD =V E−PAD =12V B−PAD=12×13×S △PAD ×BH =16×12×2×√6×√3=√22．21.解：(1)由题意得−cos(A +B)+cosAcosB +√3sinAcosB =0，化简得sinAsinB +√3sinAcosB =0． ∵sinA ≠0，∴sinB +√3cosB =0．∴tanB =−√3,又B ∈(0,π)，∴B =2π3．(2)设∠BAD =θ， 则△ABD 中，由B =2π3可知θ∈(0,π3)， 由正弦定理及AD =√3，可得BDsinθ=ABsin(π3−θ)=ADsin2π3=2，所以a2=2sinθ,c=2sin(π3−θ)∴a+2c=4sinθ+4sin(π3−θ)=4(12sinθ+√32cosθ)=4sin(θ+π3)．由θ∈(0,π3)，可知，θ+π3∈(π3,2π3)，∴sin(θ+π3)∈(√32,1],∴a+2c∈(2√3,4]22. (1)证明：在三棱锥D−ABC中，因为CD⊥BC，CD⊥AC，AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABC，所以CD⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，所以AE⊥CD，因为AB=AC，E为BC中点，所以AE⊥BC，又BC∩CD=C，BC，CD⊂平面BCD，所以AE⊥平面BCD，又AE⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCD；(2)由(1)可知∠DEC即为直线DE与平面ABC所成的角，所以∠DEC=π4，故CD=CE=1；由(1)知AE⊥平面BCD，过E作EH⊥BD于H，连接AH，∵AE⊥BD，AE∩EH=E，AE，EH⊂面AEH，∴BD⊥面AEH，可知AH⊥BD，故∠AHE为二面角A−DB−C的平面角．由△BHE∼△BCD，得BEBD =EHCD，即1√5=EH1，得EH=√55，所以AH=√305，故cos∠AHE=EHAH=√66，所以二面角A−DB−C的余弦值为√66．。
2020-2021学年河南省南阳市高一(下)期末数学试卷(解析版)
2020-2021学年河南省南阳市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．cos2010°＝（）A．B．C．D．2．+﹣＝（）A．B．C．D．3．函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π4．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+25．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）A．18人B．16人C．14人D．12人6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．若向量，，函数，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．8．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（）A．B．C．D．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法正确的个数是（）①54周岁以上参保人数最少②18～29周岁人群参保总费用最少③丁险种更受参保人青睐④30周岁以上的人群约占参保人群20%A．1B．2C．3D．411．已知O为△ABC所在平面内一点，D为BC中点，且+++＝，设△OBC，△OAC，△OAB的面积分别为S A，S B，S C，则（）A．S A＝S B B．S B＝S C C．S A＝S C D．S A＝S B＝S C 12．在锐角△ABC中，B＝60°，||＝2，则•的取值范围为（）A．（0，12）B．[，12）C．（0，4]D．（0，2]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知＝（2，5），＝（λ，4），若⊥，则λ＝．14．已知＝5，则＝．15．某企业生产甲、乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测结果如表：甲777.599.5乙6a8.58.5b 由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲、乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab＝．16．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），当|f（m）﹣f（n）|＝4时，|m﹣n|的最小值为，若将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知在同一平面内，且．（1）若，且，求；（2）若，且，求与的夹角．18．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）画出散点图；（2）求y关于x的线性回归方程．（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：＝，＝﹣．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求tan（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．20．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．21．函数f（x）＝A sin（ωx﹣）+1，（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数f（x）的解析式和函数f（x）的单调递增区间；（2）f（x）的图像向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图像，写出函数g（x）的解析式并作出g（x）在[0，π]内的图像．22．已知函数f（x）＝2sin2x+b sin x cos x满足f（）＝2．（1）求实数b的值以及函数f（x）的图像的对称中心坐标；（2）若函数g（x）＝f（x）+a在区间（0，]上有且只有两个零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.1．cos2010°＝（）A．B．C．D．解：cos2010°＝cos210°＝cos（180°+30°）＝﹣cos30°＝﹣．故选：A．2．+﹣＝（）A．B．C．D．解：故选：D．3．函数f（x）＝sin2（2x）的最小正周期是（）A．B．C．πD．2π解：∵f（x）＝sin2（2x）＝﹣cos4x即ω＝4∴T＝＝＝故选：B．4．如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n＞1000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入（）A．A＞1000和n＝n+1B．A＞1000和n＝n+2C．A≤1000和n＝n+1D．A≤1000和n＝n+2解：因为要求A＞1000时输出，且框图中在“否”时输出，所以“”内不能输入“A＞1000”，又要求n为偶数，且n的初始值为0，所以“”中n依次加2可保证其为偶数，所以D选项满足要求，故选：D．5．一支田径队共有运动员98人，其中女运动员42人，用分层抽样的方法抽取一个样本，每名运动员被抽到的概率都是，则男运动员应抽取（）A．18人B．16人C．14人D．12人解：∵有运动员98人，其中女运动员42人，∴男运动员56人，∴每名运动员被抽到的概率都是，∴男运动员应抽取56×＝16，故选：B．6．函数f（x）＝在[﹣π，π]的图象大致为（）A．B．C．D．解：∵f（x）＝，x∈[﹣π，π]，∴f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）为[﹣π，π]上的奇函数，因此排除A；又f（π）＝，因此排除B，C；故选：D．7．若向量，，函数，则f（x）的图象的一条对称轴方程是（）A．B．C．D．解：（Ⅰ）∵＝sin cos+cos2＝sin x+cos x﹣＝sin（x+）﹣；令x+＝kπ+⇒x＝kπ+，k∈Z，当k＝0时⇒x＝；∴f（x）的图象的一条对称轴方程是x＝．故选：B．8．如图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC＝2，AC＝4，在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC的概率为（）A．B．C．D．解：设CD＝x，由DE∥BC则有，即，解得x＝，设在△ABC上任取一点，则此点取自正方形DEFC为事件A，由几何概型中的面积型得：P（A）＝＝＝，故选：B．9．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到g（x）＝sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度解：根据函数的图象：A＝1又解得：T＝π则：ω＝2当x＝，f（）＝sin（+φ）＝0解得：所以：f（x）＝sin（2x+）要得到g（x）＝sin2x的图象只需将函数图象向右平移个单位即可．故选：A．10．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险：戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法正确的个数是（）①54周岁以上参保人数最少②18～29周岁人群参保总费用最少③丁险种更受参保人青睐④30周岁以上的人群约占参保人群20%A．1B．2C．3D．4解：由扇形图可得，54周岁以上参保人数最少，30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8%＝80%，故①对④错；由折线图可知，18～29周岁人群参保费用最少，但是因为参保人数并不是最少的，故其总费用不是最少，故②错误；由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故③正确；故选：B．11．已知O为△ABC所在平面内一点，D为BC中点，且+++＝，设△OBC，△OAC，△OAB的面积分别为S A，S B，S C，则（）A．S A＝S B B．S B＝S C C．S A＝S C D．S A＝S B＝S C解：因为D为BC中点，所以，代入条件有，即，所以A，O，D三点共线，因为D为BC中点，所以S△ABD＝S△ADC，S△OBD＝S△ODC，两式相减，得S△AOB＝S△AOC．故选：B．12．在锐角△ABC中，B＝60°，||＝2，则•的取值范围为（）A．（0，12）B．[，12）C．（0，4]D．（0，2]解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，∵B＝60°，|﹣|＝||＝2，∴C（1，），设A（x，0）∵△ABC是锐角三角形，∴A+C＝120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），∴1＜x＜4，则＝x2﹣x＝（x﹣）2﹣，∴的范围为（0，12）．故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知＝（2，5），＝（λ，4），若⊥，则λ＝﹣10．解：∵＝（2，5），＝（λ，4），若⊥，∴•＝2λ+20＝0，求得λ＝﹣10，故答案为：﹣10．14．已知＝5，则＝．解：因为＝＝5，所以可得tanα＝2，则＝＝＝＝．故答案为：．15．某企业生产甲、乙两种产品，现从一批产品中随机抽取两种产品各5件进行检测，检测结果如表：甲777.599.5乙6a8.58.5b 由于表格被污损，数据a，b看不清，统计员只记得甲、乙两种产品检测数据的平均数和方差都相等，则ab＝72．解：由题意可得，，∵，∴a+b＝17 ①，∵，，∵，∴（a﹣8）2+（b﹣8）2＝1 ②，联立①②解得或，∴ab＝72．故答案为：72．16．已知函数f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），当|f（m）﹣f（n）|＝4时，|m﹣n|的最小值为，若将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后所得函数图象关于y轴对称，则φ的最小值为．解：已知函数f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+）（ω＞0），当|f（m）﹣f（n）|＝4时，|m﹣n|的最小值为＝，∴ω＝3，故f（x）＝2sin（3x+）．若将函数f（x）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位后，得到y＝2sin（3x﹣3φ+）的图象．根据所得函数图象关于y轴对称，则﹣3φ+＝kπ+，k∈Z，即φ＝﹣﹣，令k＝﹣1，可得φ的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知在同一平面内，且．（1）若，且，求；（2）若，且，求与的夹角．解：（1）设，①②把②代入①得x2+4x2＝20，解得x＝±2当x＝2时，y＝4；当x＝﹣2时，y＝﹣4∴或．（2），，设与的夹角为θ，则，θ＝π．∴与的夹角为π．18．某种产品的广告费支出x（单位：百万元）与销售额y（单位：百万元）之间有如下的对应数据：x24568y3040605070（1）画出散点图；（2）求y关于x的线性回归方程．（3）如果广告费支出为一千万元，预测销售额大约为多少百万元？参考公式用最小二乘法求线性回归方程系数公式：＝，＝﹣．【解答】（1）绘制散点图如图所示：（2）；于是所求的线性回归方程是（3）当x＝10时，19．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为（1）求tan（α﹣β）的值；（2）求α+β的值．解：（1）由条件得cosα＝，cosβ＝…2分∵角α，β为锐角，∴sinα＝，sinβ＝，∴tanα＝，tanβ＝…6分tan（α﹣β）＝＝＝…8分（2）∵tan（α+β）＝＝＝1…10分又α，β为锐角，0＜α+β＜π，∴α+β＝…12分20．2020年开始，山东推行全新的高考制度，新高考不再分文理科，采用“3+3”模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还需要依据想考取的高校及专业要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科满分100分，2020年初受疫情影响，全国各地推迟开学，开展线上教学．为了了解高一学生的选科意向，某学校对学生所选科目进行线上检测，下面是100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩，以组距20分成7组：[160，180），[180，200），[200，220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]，画出频率分布直方图如图所示．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）由频率分布直方图；（i）求物理、化学、生物三科总分成绩的中位数；（ii）估计这100名学生的物理、化学、生物三科总分成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）为了进一步了解选科情况，由频率分布直方图，在物理、化学、生物三科总分成绩在[220，240）和[260，280）的两组中，用分层随机抽样的方法抽取7名学生，再从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，求抽取的这2名学生来自不同组的概率．解：（1）由（0.0025+0.0095+0.011+0.0125+0.0075+a+0.0025）×20＝1，解得a＝0.005．（2）（i）∵（0.002+0.0095+0.011）×20＝0.45＜0.5，∴三科总分成绩的中位数在[220，240）内，设中位数为x，则（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（x﹣220）＝0.5，解得x＝224，即中位数为224．（ii）三科总分成绩的平均数为：170×0.04+190×0.19+210×0.22+230×0.25+250×0.15+270×0.1+290×0.05＝225.6．（3）三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内的学生分别为25人，10人，∴抽样比为＝，∴三科总分成绩在[220，240），[260，280）两组内抽取的学生数量分别为：25×＝5人，10×＝2人，设事件A表示“抽取的这2名学生来自不同组”，从这7名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查，基本事件总数n＝，事件A包含的基本事件个数m＝＝10，∴抽取的这2名学生来自不同组的概率P（A）＝．21．函数f（x）＝A sin（ωx﹣）+1，（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求函数f（x）的解析式和函数f（x）的单调递增区间；（2）f（x）的图像向右平行移动个长度单位，再向下平移1个长度单位，得到g（x）的图像，写出函数g（x）的解析式并作出g（x）在[0，π]内的图像．解：（1）∵函数f（x）＝A sin（ωx﹣）+1，（A＞0，ω＞0）的最大值为A+1＝3，∴A＝2．∵其图像相邻两条对称轴之间的距离为×＝，∴ω＝2，故f（x）＝2sin（2x ﹣）+1．令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（2）把f（x）的图像向右平行移动个长度单位，可得y＝2sin（2x﹣）+1的图象；再向下平移1个长度单位，得到g（x）＝2sin（2x﹣）的图像，故函数g（x）的解析式为g（x）＝2sin（2x﹣）．下面用五点法作图作出它在[0，π]内的图像．列表：由x∈[0，π]，可得2x﹣∈[﹣，]，2x﹣﹣0πx0πy﹣020﹣2﹣做图如下：22．已知函数f（x）＝2sin2x+b sin x cos x满足f（）＝2．（1）求实数b的值以及函数f（x）的图像的对称中心坐标；（2）若函数g（x）＝f（x）+a在区间（0，]上有且只有两个零点，求实数a的取值范围．解：（1）函数满足f（）＝2，解得b＝2所以f（x）＝2sin2x+b sin x cos x＝1﹣cos2x+＝2，令：，解得（k∈Z），所以函数的对称中心为（）（k∈Z）．（2）由（1）得：g（x）＝2sin（2x﹣）+a+1，在区间（0，]上有且只有两个零点，等价于方程2sin（2x﹣）+a+1＝0在区间（0，]上有且只有两个根，即函数h（x）＝sin（2x﹣），与函数y＝﹣，在区间（0，]上有且只有两个交点，由于x，所以，由于函数h（x）在区间（0，]上单调递增，在（）上单调递减，由于h（0）＝﹣，h（）＝1，h（）＝．故，解得a∈（﹣3，﹣2]．。