2020年河南省南阳市中考数学一模试卷解析版
中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.有理数a，b在数轴上所对应的点的位置如图，下列说法正确的是（ ）A. a＞bB. -b＜-1C. -a＜bD. |-b|＜|a|2.以下四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.下列计算正确的是（ ）A. m（m-1）=m2-mB. （m4）3=m7C. 2m5÷m3=m2D. m4+m3=m74.下列命题是真命题的是（ ）A. 对角线互相平分的四边形是平行四边形B. 相等的两个角是对顶角C. 两边和一角分别对应相等的两个三角形全等D. 圆内接四边形对角相等5.计算×（-）的值在（ ）A. 0到-1之间B. -1到-2之间C. -2到-3之间D. -3到-4之间6.如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光．现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于（ ）A. B. C. D.7.如图，直线y=-x+4与x轴，y轴分别交于A，B把△AOB绕点A顺时针旋转90°后得到△ACD，则点D的坐标是（ ）A. （3.4）B. （4，5）C. （7，4）D. （7，3）8.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交，连接CO，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线交于点E，若DE∥AC，∠BAC=40°，则∠OCD的度数为（ ）A. 65°B. 30°C. 25°D. 20°9.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y=x-1分别交x轴，y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1=（k＞0，x＞0），y2=（x＜0）的图象于点C和点D，过点C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD，若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是（ ）A. 1B.C. 2D. 410.若整数a使得关于x的方程2-=的解为非负数，且使得关于y的不等式组至少有四个整数解，则所有符合条件的整数a的和为（ ）A. 17B. 18C. 22D. 25二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.（-）-2+（1-）0=______．12.新冠状病毒疫情发生以来，截止2月5日全国红十字会共接收社会捐赠款物约65.993亿，65.993亿用科学记数法表示为______．13.如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B=120°，OA=1，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA'B′C'的位置，则点B'的坐标为______．14.如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧交AB于点C，交OB于点D，若OA=4，则阴影部分的面积为______．15.如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上点，连接AE，把∠B沿AE折叠，使点B落在点B'处，当△CB'E为直角三角形时，则AE的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共9.0分）16.如今，不少人购买家具时追求简约大气的风格，图（1）是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意选择，图（2）为其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，且OA=44cm，OD=120cm，BD=40cm，∠ABC=75°，如图（3）将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．（结果精确到1cm，参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）四、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.先化简代数式（1-）÷，再从-2≤a≤2中选一个恰当的整数作为a的值代入求值．18.2020年的春节，对于我们来说，有些不一样，我们每一个人都在面临一个眼睛看不到的敌人，它叫病毒，残酷的病毒会让人患上肺炎，在这个不能出门的悠长假期里，某中学随机对本校部分学生进行“假期中，我在家可以这么做！A．扎实学习、B．快乐游戏、C．经典阅读、D．分担劳动、E．乐享健康”的网络调查，并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图（若每一位同学只能选择一项），请根据图中的信息，回答下列问题：（1）这次调查的总人数是______人；（2）请补全条形统计图，并说明扇形统计图中E所对应的圆心角是______度；（3）若学校共有学生的1700人，则选择C有多少人？19.如图，已知AB是⊙O的直径．如果圆上的点D恰好使∠ADC=∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）过点A作AM⊥CD于点M．若AB=5，sin B=，则AM的长为______．20.某学具制作小组在制作直角三角形和矩形学具时，运用数形结合思想探究两种学具的边长和面积或周长的数量关系．已知，制作矩形学具一组邻边长为x，y，周长为6，由矩形的周长计算公式，可得2（x+y）=6，从而得到y与x的函数关系是y=-x+3；制作的直角三角形学具的边长分别为x，y，面积为2，由三角形的面积计算公式，可得xy=2，从而得到y与x的函数关系是y=，其反比例函数图象如图所示．（1）在图中的直角坐标系中直接画出y=-x+3的图象；（2）把直线y=-x+3的图象向上平移a（a＞0）个单位长度后与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，求此时a的值和公共点坐标．21.在近期“抗疫”期间，某药店销售A、B两种型号的口罩，已知销售800只A型和450只B型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元．（1）求每只A型口罩和B型口罩的销售利润；（2）该药店计划一次购进两种型号的口罩共2000只，其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的3倍，设购进A型口罩x只，这2000只口罩的销售总利润为y元．①求y关于x的函数关系式；②该药店购进A型、B型口罩各多少只，才能使销售总利润最大？（3）在销售时，该药店开始时将B型口罩提价100%，当收回成本后，为了让利给消费者，决定把B型口罩的售价调整为进价的15%，求B型口罩降价的幅度．22.在矩形ABCD中，点P在AD上，AB＝2，AP＝1．将直角尺的顶点放在P处，直角尺的两边分别交AB，BC于点E，F，连接EF（如图①）．（1）当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合（如图②），求PC的长；（2）探究：将直尺从图②中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止．在这个过程中，请你观察、猜想，并解答：①tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由；②直接写出从开始到停止，线段EF的中点经过的路线长．23.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线1经过B，C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，过线段CD上方的抛物线上一动点E作EF⊥CD交线段BC于点F，求四边形ECFD的面积的最大值及此时点E的坐标；（3）点P是在直线l上方的抛物线上一动点，点M是坐标平面内一动点，是否存在动点P，M，使得以C，B，P，M为顶点的四边形是矩形？若存在，请直线写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵-2＜a＜-1，0＜b＜1，∴a＜b，∴选项A不符合题意；∵0＜b＜1，∴-1＜-b＜0，∴选项B不符合题意；∵-2＜a＜-1，0＜b＜1，∴1＜-a＜2，∴-a＞b，∴选项C不符合题意；∵-2＜a＜-1，0＜b＜1，∴0＜|-b|＜1，1＜|a|＜2，∴|-b|＜|a|，∴选项D符合题意．故选：D．根据图示，可得：-2＜a＜-1，0＜b＜1，据此逐项判断即可．此题主要考查了数轴的特征和应用，以及绝对值的含义和求法，要熟练掌握．2.【答案】C【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项正确；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：C．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可．本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3.【答案】A【解析】解：A、原式=m2-m，符合题意；B、原式=m12，不符合题意；C、原式=2m2，不符合题意；D、原式=m，不符合题意．故选：A．各项计算得到结果，即可作出判断．此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4.【答案】A【解析】解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，本选项说法是真命题；B、相等的两个角不一定都是对顶角，例如：等腰三角形的两底角相等，不是对顶角，本选项说法是假命题；C、两边和一角分别对应相等的两个三角形不一定全等，如图，在△ABD和△ABC中，∠B=∠B，AB=AB，AD=AC，但△ABD和△ABC不全等，本选项说法是假命题；D、圆内接四边形对角互补，不一定相等，本选项说法是假命题；故选：A．根据平行四边形的判定定理、对顶角、全等三角形的判定定理、圆内接四边形的性质判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．5.【答案】C【解析】解：×（-）=-=1-，∵3＜＜4，∴-4＜-＜-3，∴-3＜1-＜-2，故选：C．先根据二次根式的乘法进行计算，并对进行估算，利用不等式的性质可得结论．本题考查二次根式的混合运算和无理数的估算，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．6.【答案】B【解析】解：∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，∴小灯泡发光的概率等于：．故选：B．根据题意可得任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，然后利用概率公式求解即可求得答案．此题考查了概率公式的应用．此题比较简单，注意概率=所求情况数与总情况数之比．7.【答案】D【解析】解：过点D作DM⊥x轴于点M，则四边形ACDM为矩形，如图所示．当x=0时，y=-x+4=4，∴OB=4；当y=0时，-x+4=0，解得：x=3，∴OA=3．由旋转的性质，可知：CD=OB=4，CA=OA=3，∴OM=OA+AM=OA+CD=7，DM=CA=3，∴点D的坐标为（7，3）．故选：D．过点D作DM⊥x轴于点M，则四边形ACDM为矩形，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出OA，OB的长，由旋转的性质可得出CD，CA的长，结合矩形的性质可求出OM ，DM的长，进而可得出点D的坐标．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、旋转的性质以及矩形的性质，利用旋转的性质结合矩形的性质，找出OM，DM的长是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：连接OD，如图，∵DE∥AC，∴∠E=∠BAC=40°，∵DE为切线，∴OD⊥DE，∴∠DOE=90°-40°=50°，∵∠BOC=2∠A=80°．∴∠COD=80°+50°=130°，∵OC=OD，∴∠OCD=∠ODC=（180°-130°）=25°．故选：C．连接OD，如图，先利用平行线的性质得∠E=∠BAC=40°，再根据切线的性质得OD⊥DE ，则可计算出∠DOE=50°，接着根据圆周角定理得到∠BOC=2∠A=80°．然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠OCD的度数．本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理．9.【答案】C【解析】解：由题意可求B（0，-1），∵直线y=x-1与y1=交于点C，∴S△OCE=k，设D（x，），∴S△BOD=×1×（-x）=-x，∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴k=-x，∴k=-x，∴D（-k，-2），∵D点在直线y=x-1上，∴-2=-k-1，∴k=2，故选：C．由反比例k的几何意义可得S△OCE=k，设D（x，），所以S△BOD=-x，再由已知可得k=-x，求得D（-k，-2），再将点D代入y=x-1即可求k的值．本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质；熟练掌握反比函数的k的几何意义，函数上点的特征是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：，不等式组整理得：，由不等式组至少有四个整数解，得到-1＜y≤a，解得：a≥3，即整数a=3，4，5，6，…，2-=，去分母得：2（x-2）-3=-a，解得：x=，∵≥0，且≠2，∴a≤7，且a≠3，由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件，得到a为4，5，6，7，之和为22．故选：C．表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.【答案】5【解析】解：原式=4+1=5，故答案为：5．根据负整数指数幂和零指数幂的规定计算可得．本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握实数混合运算顺序和运算法则及零指数幂及负整数指数幂的规定．12.【答案】6.5993×109【解析】解：65.993亿=6599300000用科学记数法表示为：6.5993×109．故答案为：6.5993×109．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13.【答案】（，-）【解析】解：连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，根据题意得：∠BOB′=105°，∵四边形OABC是菱形，∴OA=AB，∠AOB=∠AOC=∠ABC=×120°=60°，∴△OAB是等边三角形，∴OB=OA=1，∴∠AOB′=∠BOB′-∠AOB=105°-60°=45°，OB′=OB=1，∴OE=B′E=OB′•sin45°=1×，∴点B′的坐标为：（，-）．故答案为：（，-）．首先连接OB，OB′，过点B′作B′E⊥x轴于E，由旋转的性质，易得∠BOB′=105°，由菱形的性质，易证得△AOB是等边三角形，即可得OB′=OB=OA=1，∠AOB=60°，继而可求得∠AOB′=45°，由等腰直角三角形的性质，即可求得答案．此题考查了旋转的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度不大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意辅助线的作法．14.【答案】π【解析】解：连接OC，作CH⊥OB于H，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠OAB=60°，AB=2OA=8，由勾股定理得，OB==4，∵OA=OC，∠OAB=60°，∴△AOC为等边三角形，∴∠AOC=60°，∴∠COB=30°，∴CO=CB，CH=OC=2，∴阴影部分的面积=-×4×4×+×4×2-=π，故答案为：π．连接OC，作CH⊥OB于H，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理求出BD，证明△AOC为等边三角形，得到∠AOC=60°，∠COB=30°，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可．本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式、三角形的面积公式是解题的关键．15.【答案】3或6【解析】解：（1）当∠CB′E=90°时，如图：由折叠得：BE=B′E，在Rt△ABC中，AC==10，∵∠B=∠CB′E=90°，∠ECB′=∠ACB，∴△EB′C∽△ABC，∴，设BE=x，则EC=8-x，则，解得：x=3，即：BE=3，在Rt△ABE中，AE==3，（2）当∠CEB′=90°时，由折叠得：BE=B′E，AB=AB′，∠BEA=∠B′EA=（180°-90°）=45°∴ABEB′是正方形，∴AB=BE=B′E=B′A=6，在Rt△ABE中，AE==6，故答案为：3或6．根据折叠可得线段的边和角，当△CB'E为直角三角形时，可能由两种情况即①当∠CB′E=90°时②当∠CEB′=90°时，分别画出相应的图形，由相似三角形和正方形及勾股定理求出结果．考查矩形的性质、正方形的性质、轴对称的性质以及勾股定理等知识，分类讨论各种可能的情况是全面准确解决问题的关键．16.【答案】解：如图（3），过点A作AI⊥BC于点I，过点O作OG⊥BC于点G，∵∠BAC=30°，∠DAE=15°，∴∠OAC=135°，过点A作AH⊥OG于点H，∴∠HAI=90°，∠CAI=15°，∴∠HAC=75°，∴∠OAH=60°，∴OH=OA•sin60°=44×=22，HG=AI=AB•sin75°，如图（2）中∵AD=OD-OA=76cm，∴AB=BD+AD=76+40=116cm，∴HG≈116×0.97≈112.52，∵OG表示端点O到地面BC的距离，∴OG=OH+HG≈22+112.52≈221.73+112.52≈151（cm）．答：端点O到地面BC的距离为151cm．【解析】过点A作AI⊥BC于点I，过点O作OG⊥BC于点G，根据∠BAC=30°，∠DAE=15°，可得∠OAC=135°，过点A作AH⊥OG于点H，可得∠HAI=90°，∠CAI=15°，进而得∠HAC=75°，∠OAH=60°，再根据三角函数分别求出OH和GH的长，进而可得端点O 到地面BC的距离．本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是构造适当的辅助线．17.【答案】解：原式=÷=•=，当a=0时，原式==2．【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．18.【答案】200 104.4【解析】解：（1）这次调查的总人数是：52÷26%=200（人）；故答案为：200；（2）选择B的学生有：200-52-34-16-58=40（人），补全的条形统计图如下图所示：扇形统计图中E所对应的圆心角是：360°×=104.4°，故答案为：104.4；（3）根据题意得：1700×=289（人），答：选择C有289人．（1）根据选择A的人数和所占的百分比，可以求得本次调查的总人数；（2）根据（1）中的结果可以得到选择B的人数，从而可以将条形统计图补充完整，然后根据条形统计图中的数据可以计算出扇形统计图中E所对应的圆心角的度数；（3）用总人数乘以选择C的人数所占的百分比即可．本题考查条形统计图、扇形统计图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19.【答案】【解析】（1）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAB+∠B=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠B=∠ADC，∴∠ADC+∠ODA=90°，∴∠ODC=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）解：∵AB=5，sin B==，∴AD=3，∵AM⊥CD，∴∠AMD=∠ADB，∵∠B=∠CDA，∴△ABD∽△ADM，∴=，∴=，∴AM=．故答案为：．（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，求得∠B=∠ADC，得到∠ODC=90°，于是得到CD是⊙O的切线；（2）根据三角函数的定义得到AD=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．20.【答案】解：（1）函数y=-x+3的图象如图所示；（2）把直线y=-x+3的图象向上平移a（a＞0）个单位长度后得y=-x+3+a，解得，x2-（3+a）x+4=0，∵把直线y=-x+3的图象向上平移a（a＞0）个单位长度后与反比例函数y=的图象有且只有一个交点，∴△=a2+6a-7=0，∴a=-6或a=1，∵a＞0，∴a=1，∴x2-（3+1）x+4=0，∴x=2，∴y=2，∴公共点坐标为（2，2）．【解析】（1）根据题意作出函数图象即可；（2）把直线y=-x+3的图象向上平移a（a＞0）个单位长度后得y=-x+3+a，列方程组得到x2-（3+a）x+4=0，根据△=a2+6a-7=0，求得a=1，解方程即可得到结论．本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，正确的作出图象是解题的关键．21.【答案】解：（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据题意得，解得，答：每只A型口罩销售利润为0.15元，每只B型口罩销售利润为0.2元；（2）①根据题意得，y=0.15x+0.2（2000-x），即y=-0.05x+400；②根据题意得，2000-x≤3x，解得x≥500，∵y=-0.05x+400，k=-0.05＜0；∴y随x的增大而减小，∵x为正整数，∴当x=500时，y取最大值，则2000-x=1500，即药店购进A型口罩500只、B型口罩1500只，才能使销售总利润最大；（3）设B型口罩降价的幅度是x，根据题意得（1+100%）（1-x）=1+15%，解得x=0.425．答：B型口罩降价的幅度42.5%．【解析】（1）设每只A型口罩销售利润为a元，每只B型口罩销售利润为b元，根据“销售800只A型和450只B型的利润为210元，销售400只A型和600只B型的利润为180元”列方程组解答即可；（2）①根据题意即可得出y关于x的函数关系式；②根据题意列不等式得出x的取值范围，再结合①的结论解答即可；（3）设B型口罩降价的幅度是x，根据题意列方程解答即可．本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．22.【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，则PB=，∴∠ABP+∠APB=90°，又∵∠BPC=90°，∴∠APB+∠DPC=90°，∴∠ABP=∠DPC，∴△APB∽△DCP，∴=，即=，∴PC=2；（2）①tan∠PEF的值不变．理由：过F作FG⊥AD，垂足为G，则四边形ABFG是矩形，∴∠A=∠PGF=90°，GF=AB=2，∴∠AEP+∠APE=90°，又∵∠EPF=90°，∴∠APE+∠GPF=90°，∴∠AEP=∠GPF，∴△APE∽△GPF，∴===2，∴Rt△EPF中，tan∠PEF==2，∴tan∠PEF的值不变；②设线段EF的中点为O，连接OP，OB，∵在Rt△EPF中，OP=EF，在Rt△EBF中，OB=EF，∴OP=OB=EF，∴O点在线段BP的垂直平分线上，∴线段EF的中点经过的路线长为O1O2=PC=.【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形．关键是利用互余关系证明相似三角形.（1）由勾股定理求PB，利用互余关系证明△APB∽△DCP，利用相似比求PC；（2）①tan∠PEF的值不变．过F作FG⊥AD，垂足为G，同（1）的方法证明△APE∽△GPF ，得相似比===2，再利用锐角三角函数的定义求值；②如图3，画出起始位置和终点位置时，线段EF的中点O1，O2，连接O1O2，线段O1O2即为线段EF的中点经过的路线长，也就是△BPC的中位线.23.【答案】解：（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y=-x2+bx+c中，则有，∴，∴y=-x2+2x+3；（2）∵y=-x2+2x+3，∴对称轴为x=1，∵CD∥x轴，∴D（2，3），∴CD=2，∵点B（3，0），点C（0，3），∴BC的直线解析式为y=-x+3，设E（m，-m2+2m+3），∵EF⊥CD交线段BC于点F，∴F（m，-m+3），∴S四边形ECFD=S△CDE+S△CDF=×2×（-m2+2m）+×2×m=-m2+3m，当m=时，四边形ECFD的面积最大，最大值为；此时E（，）；（3）设P（n，-n2+2n+3），①当CP⊥CB时，∵∠CBO=45°，∴∠PCD=45°，∴n=-n2+2n，∴n=1，∴P点横坐标为1；②当CP⊥CB时，•=-1，∴（n-2）（n+1）=-1，∴n=或n=（舍），∴P点横坐标为；综上所述：P点横坐标为或1．【解析】（1）将点B（3，0），点C（0，3）代入y=-x2+bx+c中，即可求解析式；（2）求出BC的直线解析式为y=-x+3，设E（m，-m2+2m+3），则F（m，-m+3），所以S四ECFD=S△CDE+S△CDF=-m2+3m，即可求面积的最大值；（3）设P（n，-n2+2n+3），①当CP⊥CB时，n=-n2+2n，可求P点横坐标为1；②当CP⊥CB时，•=-1，可求P点横坐标为．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，掌握矩形的性质是解题的关键．。
【附5套中考模拟试卷】河南省南阳市2019-2020学年中考数学一模试卷含解析
河南省南阳市2019-2020学年中考数学一模试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．下列说法中正确的是（）A．检测一批灯泡的使用寿命适宜用普查.B．抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是12，如果抛掷10次，就一定有5次正面朝上.C．“367人中有两人是同月同日生”为必然事件.D．“多边形内角和与外角和相等”是不可能事件.2．2022年冬奥会，北京、延庆、张家口三个赛区共25个场馆，北京共12个，其中11个为2008年奥运会遗留场馆，唯一一个新建的场馆是国家速滑馆，可容纳12000人观赛，将12000用科学记数法表示应为（）A．12×103B．1.2×104C．1.2×105D．0.12×1053．下列实数0，23，3，π，其中，无理数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．在平面直角坐标系xOy中，四条抛物线如图所示，其解析式中的二次项系数一定小于1的是（）A．y1B．y2C．y3D．y45．cos60°的值等于（）A．1 B．12C．22D．326．如图，二次函数y=ax1+bx+c（a≠0）的图象与x轴正半轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=1，且OA=OC．则下列结论：①abc＞0；②9a+3b+c＞0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax1+bx+c=0（a≠0）有一个根为﹣1a；⑤抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x1，y1），若x1＜1＜x1，且x1+x1＞4，则y1＞y1．其中正确的结论有（）A ．1个B ．3个C ．4个D ．5个7．计算4×（–9）的结果等于 A ．32B ．–32C ．36D ．–368．某机构调查显示，深圳市20万初中生中，沉迷于手机上网的初中生约有16000人，则这部分沉迷于手机上网的初中生数量，用科学记数法可表示为（ ） A ．1.6×104人B ．1.6×105人C ．0.16×105人D ．16×103人9．《九章算术》是中国传统数学的重要著作，方程术是它的最高成就．其中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？译文：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为x 人，物价为y 钱，以下列出的方程组正确的是( )A ．8374y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．8374y x x y -=⎧⎨-=⎩C ．8374x y y x -=⎧⎨-=⎩D ．8374x y x y -=⎧⎨-=⎩10．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3tan 3CAB ∠=，3AB =，点D 在以斜边AB 为直径的半圆上，点M 是CD 的三等分点，当点D 沿着半圆，从点A 运动到点B 时，点M 运动的路径长为（ ）A ．π或2πB ．2π或3π C ．3π或π D ．4π或3π 11．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，点E 在边BC 上，若AE 平分∠BED ，则BE 的长为（ ）A ．35B ．938C ．7D ．4﹣712．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( ) A ．1000(1+x)2=1000+500 B ．1000(1+x)2=500 C ．500(1+x)2=1000 D ．1000(1+2x)=1000+500二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．14．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．如图所示的数据是运动员张华十次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分．则运动员张华测试成绩的众数是_____．15．若反比例函数2ky x-=的图象位于第二、四象限，则k 的取值范围是__. 16．抛物线221y mx mx =++（m 为非零实数）的顶点坐标为_____________. 17．如果75x 3n y m+4与﹣3x 6y 2n 是同类项，那么mn 的值为_____．18．使得关于x 的分式方程111x k kx x +-=+-的解为负整数，且使得关于x 的不等式组322144x x x k+≥-⎧⎨-≤⎩有且仅有5个整数解的所有k 的和为_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图①，在正方形ABCD 中，点E 与点F 分别在线段AC 、BC 上，且四边形DEFG 是正方形．（1）试探究线段AE 与CG 的关系，并说明理由．（2）如图②若将条件中的四边形ABCD 与四边形DEFG 由正方形改为矩形，AB=3，BC=1．①线段AE 、CG 在（1）中的关系仍然成立吗？若成立，请证明，若不成立，请写出你认为正确的关系，并说明理由．②当△CDE 为等腰三角形时，求CG 的长．20．（6分）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝13，AC ＝8，cos ∠BAC ＝513，BD ⊥AC ，垂足为点D ，E 是BD 的中点，联结AE 并延长，交边BC 于点F ． （1）求∠EAD 的余切值； （2）求BFCF的值．21．（6分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数()0y kx b k =+≠的图象分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，与反比例函数()0my m x=≠的图象交于C 、D 两点.已知点C 的坐标是（6，-1），D （n ，3）.求m 的值和点D 的坐标.求tan BAO ∠的值.根据图象直接写出：当x 为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？22．（8分）鄂州某个体商户购进某种电子产品的进价是50元/个，根据市场调研发现售价是80元/个时，每周可卖出160个，若销售单价每个降低2元，则每周可多卖出20个．设销售价格每个降低x 元（x 为偶数），每周销售为y 个．（1）直接写出销售量y 个与降价x 元之间的函数关系式；（2）设商户每周获得的利润为W 元，当销售单价定为多少元时，每周销售利润最大，最大利润是多少元？ （3）若商户计划下周利润不低于5200元的情况下，他至少要准备多少元进货成本？23．（8分）如图，在△ABC 中，∠CAB ＝90°，∠CBA ＝50°，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，点E 在边AC 上，且满足ED ＝EA ． （1）求∠DOA 的度数；（2）求证：直线ED 与⊙O 相切．24．（10分）已知，数轴上三个点A 、O 、P ，点O 是原点，固定不动，点A 和B 可以移动，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b .（1）若A 、B 移动到如图所示位置，计算+a b 的值.（2）在（1）的情况下，B 点不动，点A 向左移动3个单位长，写出A 点对应的数a ，并计算b a -. （3）在（1）的情况下，点A 不动，点B 向右移动15.3个单位长，此时b 比a 大多少？请列式计算.25．（10分）某市政府大力支持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量Y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：y ＝﹣10x+1．设李明每月获得利润为W （元），当销售单价定为多少元时，每月获得利润最大？根据物价部门规定，这种护眼台灯不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润2000元，那么销售单价应定为多少元？ 26．（12分）如图，已知抛物线21322y x x n =--（n ＞0）与x 轴交于A ，B 两点（A 点在B 点的左边），与y 轴交于点C 。
2020年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷(Word 含解析)
2020年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷一、选择题1．如果分式有意义，则x的取值范围是（）A．全体实数B．x≠1C．x＝1D．x＞12．计算：（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1等于（）A．0B．1C．3D．3．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为（）A．B．C．D．4．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则y＞﹣26．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝（）A．1B．2C．6D．97．下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）A．武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件B．检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查C．了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查D．甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数8．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x＝0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的9．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）A．40×1.25x﹣40x＝800B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝4010．如图，点P是▱ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．二.填空题（每小题3分，共15分）11．计算：÷＝．12．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为米．13．如图，l1反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须14．如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE 折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为．三、解答题（共8个大题，满分75分）16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（﹣），其中a＝2+．17．体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中，随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩（个）如下：38 46 42 52 55 43 59 46 25 3835 45 51 48 57 49 47 53 58 49（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数（说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分）（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：平均数中位数满分率46.847.545%得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为；②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：平均数中位数满分率45.34951.2%请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估，并提出相应建议．18．反比例函数y1＝（x＞0）的图象与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2）（1）求这两个函数解析式；（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标．19．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．20．设k是任意实数，讨论二次函数y＝x2﹣1与直线y＝2x+k的交点个数．21．将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE＝CF；（2）若AB＝8，BC＝16，求DE的长．22．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为；②∠AMB的度数为．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长．23．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P的坐标．参考答案一.选择题（每小题3分，共30分）.1．如果分式有意义，则x的取值范围是（）A．全体实数B．x≠1C．x＝1D．x＞1【分析】直接利用分式有意义的条件得出x的值．解：∵分式有意义，∴x﹣1≠0，解得：x≠1．故选：B．2．计算：（π﹣2017）0﹣2sin30°+3﹣1等于（）A．0B．1C．3D．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．解：原式＝1﹣2×+＝1﹣1+＝．故选：D．3．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为（）A．B．C．D．【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出两个小球上的数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．解：根据题意列表得：23452﹣﹣﹣（3，2）（4，2）（5，2）3（2，3）﹣﹣﹣（4，3）（5，3）4（2，4）（3，4）﹣﹣﹣（5，4）5（2，5）（3，5）（4，5）﹣﹣﹣由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，所以两个小球上的数字之积大于9的概率为＝；故选：A．4．如图，快艇从P处向正北航行到A处时，向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时的航行方向为（）A．北偏东30°B．北偏东80°C．北偏西30°D．北偏西50°【分析】根据平行线的性质，可得∠2，根据角的和差，可得答案．解：如图，AP∥BC，∴∠2＝∠1＝50°．∠3＝∠4﹣∠2＝80°﹣50°＝30°，此时的航行方向为北偏东30°，故选：A．5．已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，2）B．y随x的增大而增大C．图象在第二、四象限内D．若x＞1，则y＞﹣2【分析】根据反比例函数的性质：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大进行分析即可．解：A、图象必经过点（﹣1，2），说法正确，不合题意；B、k＝﹣2＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法错误，符合题意；C、k＝﹣2＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，说法正确，不合题意；D、若x＞1，则y＞﹣2，说法正确，不符合题意；故选：B．6．已知a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，则b a＝（）A．1B．2C．6D．9【分析】直接利用的取值范围得出a，b的值，即可得出答案．解：∵a，b为两个连续的整数，且a＜＜b，∴a＝2，b＝3，∴b a＝32＝9．故选：D．7．下列关于统计与概率的知识说法正确的是（）A．武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上获得金牌是必然事件B．检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查C．了解北京市人均月收入的大致情况，适宜采用全面普查D．甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数【分析】根据事件发生的可能性的大小，可判断A，根据调查事物的特点，可判断B；根据调查事物的特点，可判断C；根据方差的性质，可判断D．解：A、武大靖在2018年平昌冬奥会短道速滑500米项目上可能获得获得金牌，也可能不获得金牌，是随机事件，故A说法不正确；B、灯泡的调查具有破坏性，只能适合抽样调查，故检测100只灯泡的质量情况适宜采用抽样调查，故B符合题意；C、了解北京市人均月收入的大致情况，调查范围广适合抽样调查，故C说法错误；D、甲组数据的方差是0.16，乙组数据的方差是0.24，说明甲组数据的波动比乙组数据的波动小，不能说明平均数大于乙组数据的平均数，故D说法错误；故选：B．8．抛物线y＝﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣2﹣1012…y…04664…从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x＝0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的【分析】由表可知抛物线过点（﹣2，0）、（0，6）可判断A、B；当x＝0或x＝1时，y＝6可求得其对称轴，可判断C；由表中所给函数值可判断D．解：当x＝﹣2时，y＝0，∴抛物线过（﹣2，0），∴抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），故A正确；当x＝0时，y＝6，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，6），故B正确；当x＝0和x＝1时，y＝6，∴对称轴为x＝，故C错误；当x＜时，y随x的增大而增大，∴抛物线在对称轴左侧部分是上升的，故D正确；故选：C．9．体育测试中，小进和小俊进行800米跑测试，小进的速度是小俊的1.25倍，小进比小俊少用了40秒，设小俊的速度是x米/秒，则所列方程正确的是（）A．40×1.25x﹣40x＝800B．﹣＝40C．﹣＝40D．﹣＝40【分析】先分别表示出小进和小俊跑800米的时间，再根据小进比小俊少用了40秒列出方程即可．解：小进跑800米用的时间为秒，小俊跑800米用的时间为秒，∵小进比小俊少用了40秒，方程是﹣＝40，故选：C．10．如图，点P是▱ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△BAP的面积的变化趋势．解：通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△BAP的面积大于0；当点P在AD边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大；当P在DC边上运动时，由同底等高的三角形面积不变，△BAP面积保持不变；当点P 带CB边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小；故选：D．二.填空题（每小题3分，共15分）11．计算：÷＝．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式＝＝，故答案为：．12．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为米．【分析】在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，根据tanα＝，即可解决问题．解：在Rt△ABC中，∵∠CAB＝90°，∠B＝α，AC＝800米，∴tanα＝，∴AB＝＝（米）．故答案为：．13．如图，l1反映了某公司产品的销售收人与销售量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断：当该公司赢利（收入大于成本）时，销售量必须大于4【分析】根据图象找出a在b的上方即收入大于成本时，x的取值范围即可．解：根据图象分析可得：当销售量大于4时，a在b的上方，即收入大于成本．故答案为：大于4．14．如果抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是a＞3．【分析】由于抛物线y＝（a+3）x2有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围．解：∵抛物线y＝（a﹣3）x2﹣2有最低点，∴a﹣3＞0，即a＞3．故答案为a＞3．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，点E为射线BC上一动点，将△ABE沿AE 折叠，得到△AB′E．若B′恰好落在射线CD上，则BE的长为或15．【分析】如图1，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝5，B′E＝BE，根据勾股定理得到BE2＝（3﹣BE）2+12，于是得到BE＝，如图2，根据折叠的性质得到AB′＝AB＝5，求得AB＝BF＝5，根据勾股定理得到CF＝4根据相似三角形的性质列方程得到CE＝12，即可得到结论．解：如图1，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，∴AB′＝AB＝5，B′E＝BE，∴CE＝3﹣BE，∵AD＝3，∴DB′＝4，∴B′C＝1，∵B′E2＝CE2+B′C2，∴BE2＝（3﹣BE）2+12，∴BE＝，如图2，∵将△ABE沿AE折叠，得到△AB′E，∴AB′＝AB＝5，∵CD∥AB，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∵AE垂直平分BB′，∴AB＝BF＝5，∴CF＝4，∵CF∥AB，∴△CEF∽△ABE，∴，即＝，∴CE＝12，∴BE＝15，综上所述：BE的长为：或15，故答案为：或15．三、解答题（共8个大题，满分75分）16．先化简，再求值：（a+1﹣）÷（﹣），其中a＝2+．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．解：原式＝÷＝•＝a（a﹣2）＝a2﹣2a，当a＝2+时，原式＝7+4﹣4﹣2＝3+2．17．体育老师为了解本校九年级女生1分钟“仰卧起坐”体育测试项目的达标情况，从该校九年级136名女生中，随机抽取了20名女生，进行了1分钟仰卧起坐测试，获得数据如下：收集数据：抽取20名女生的1分钟仰卧起坐测试成绩（个）如下：38 46 42 52 55 43 59 46 25 3835 45 51 48 57 49 47 53 58 49（1）整理、描述数据：请你按如下分组整理、描述样本数据，把下列表格补充完整：范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数1032734（说明：每分钟仰卧起坐个数达到49个及以上时在中考体育测试中可以得到满分）（2）分析数据：样本数据的平均数、中位数、满分率如下表所示：平均数中位数满分率46.847.545%得出结论：①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为61；②该中心所在区县的九年级女生的1分钟“仰卧起坐”总体测试成绩如下：平均数中位数满分率45.34951.2%请你结合该校样本测试成绩和该区县总体测试成绩，为该校九年级女生的1分钟“仰卧起坐”达标情况做一下评估，并提出相应建议．【分析】（1）根据收集的数据整理即可得；（2）①总人数乘以样本中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数所占比例即可得；②根据平均数和中位数的意义分析，并结合其特点给出相应的建议即可．解：（1）补充表格如下：范围25≤x≤2930≤x≤3435≤x≤3940≤x≤4445≤x≤4950≤x≤5455≤x≤59人数10 3 2 7 3 4（2）①估计该校九年级女生在中考体育测试中1分钟“仰卧起坐”项目可以得到满分的人数为136×≈61，故答案为：61；②从平均数角度看，该校女生1分钟仰卧起坐的平均成绩高于区县水平，整体水平较好；从中位数角度看，该校成绩中等水平偏上的学生比例低于区县水平，该校测试成绩的满分率低于区县水平；建议：该校在保持学校整体水平的同时，多关注接近满分的学生，提高满分成绩的人数．18．反比例函数y1＝（x＞0）的图象与一次函数y2＝﹣x+b的图象交于A，B两点，其中A（1，2）（1）求这两个函数解析式；（2）在y轴上求作一点P，使PA+PB的值最小，并直接写出此时点P的坐标．【分析】（1）将点A坐标分别代入y1＝、y2＝﹣x+b求得k、b的值即可得；（2）作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接A′B，交y轴于点P，即为所求，由直线、双曲线解析式求得点B坐标，求得A′B所在直线解析式，从而求得其与y轴的交点坐标．解：（1）将点A（1，2）代入y1＝，得：k＝2，则y1＝；将点A（1，2）代入y2＝﹣x+b，得：﹣1+b＝2，解得：b＝3，则y2＝﹣x+3；（2）作点A关于y轴的对称点A′（﹣1，2），连接A′B，交y轴于点P，即为所求，如图所示：由得：或，∴B（2，1），设A′B所在直线解析式为y＝mx+n，根据题意，得：，解得：，则A′B所在直线解析式为y＝﹣x+，当x＝0时，y＝，所以点P（0，）．19．某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1：1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1：．（1）求新坡面的坡角a；（2）原天桥底部正前方8米处（PB的长）的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．【分析】（1）由新坡面的坡度为1：，可得tanα＝tan∠CAB＝＝，然后由特殊角的三角函数值，求得答案；（2）首先过点C作CD⊥AB于点D，由坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：．即可求得AD，BD的长，继而求得AB的长，则可求得答案．解：（1）∵新坡面的坡度为1：，∴tanα＝tan∠CAB＝＝，∴∠α＝30°．答：新坡面的坡角a为30°；（2）文化墙PM不需要拆除．过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6，∵坡面BC的坡度为1：1，新坡面的坡度为1：，∴BD＝CD＝6，AD＝6，∴AB＝AD﹣BD＝6﹣6＜8，∴文化墙PM不需要拆除．20．设k是任意实数，讨论二次函数y＝x2﹣1与直线y＝2x+k的交点个数．【分析】由已知可得x2﹣2x﹣k﹣1＝0，则△＝4k+8，根据△的情况，确定方程的根的情况，从而得到函数与直线的交点个数．解：由x2﹣1＝2x+k，得x2﹣2x﹣k﹣1＝0，△＝4k+8，当△＝0时，k＝﹣2，此时方程x2﹣2x﹣k﹣1＝0有一个实数根，此时二次函数y＝x2﹣1与直线y＝2x+k有一个交点；当△＞0时，k＞﹣2，此时方程x2﹣2x﹣k﹣1＝0有两个实数根，此时二次函数y＝x2﹣1与直线y＝2x+k有两个交点；当△＜0时，k＜﹣2，此时方程x2﹣2x﹣k﹣1＝0无实数根，此时二次函数y＝x2﹣1与直线y＝2x+k没有交点．21．将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，折痕为EF．（1）求证：CE＝CF；（2）若AB＝8，BC＝16，求DE的长．【分析】（1）由将一矩形纸片ABCD折叠，使顶点A与C重合，易得∠1＝∠2＝∠3，即可证得结论；（2）连接AF，由矩形纸片ABCD折叠，易证四边形AFCE为平行四边形；在Rt△CED 中，设DE为x，则CE为16﹣x，CD＝AB＝8，根据勾股定理列方程可求得DE的长．【解答】（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠，顶点A与C重合，折痕为EF，∴∠1＝∠2，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE＝CF；（2）解：连接AF，∵AD∥BC，AE＝CE＝CF，∴四边形AFCE为平行四边形，设DE为x，则CE为16﹣x，CD＝AB＝8，在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2，∴x2+82＝（16﹣x）2，解得：x＝6，∴DE＝6．22．（1）问题发现如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M．填空：①的值为1；②∠AMB的度数为40°．（2）类比探究如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC交BD的延长线于点M．请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由；（3）拓展延伸在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点A与点O、D在同一条直线上时AD的长．【分析】（1）如图1中，设BD交AD于J．证明△OAC≌△OBD（SAS），推出AC ＝BD，∠CAO＝∠DBO可得结论．（2）设AO交BM于J．证明△COA∽△DOB，推出＝＝，∠JAM＝∠JBO 可得结论．（3）分两种情形：如图3﹣1中，当点D在线段OA上时，如图3﹣2中，当点D在AO 的延长线上时，解直角三角形求出OA即可解决问题．解：（1）如图1中，设BD交AD于J．∵OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠DOB＝∠COA，∴△OAC≌△OBD（SAS），∴AC＝BD，∠CAO＝∠DBO，∵∠AJM＝∠BJO，∴∠AMJ＝∠BOJ＝40°，∴＝1，∠AMB＝40°，故答案为：1，40°．（2）如图2中，结论：＝，∠AMB＝90°．理由：设AO交BM于J．在Rt△COD中，∵∠DOC＝90°，∠DCO＝30°，∴＝tan60°＝，同理可得：＝，∴＝，∵∠COD＝∠AOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB，∴△COA∽△DOB，∴＝＝，∠JAM＝∠JBO，∵∠AJM＝∠BJO，∴∠AMJ＝∠JOB＝90°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段OA上时，在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OB＝，∠A＝30°，∴OA＝OB＝3，∵OD＝1，∴AD＝OA﹣OD＝3﹣1＝2．如图3﹣2中，当点D在AO的延长线上时，AD＝OA+OD＝3+1＝4，综上所述，满足条件的AD的值为2或4．23．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝ax2+bx+c经过原点，且与直线y＝﹣kx+6交于则A（6，3）、B（﹣4，8）两点．（1）求直线和抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，解决下列问题：①在直线AB下方的抛物线上求点P，使得△PAB的面积等于20；②连接OA，OB，OP，作PC⊥x轴于点C，若△POC和△ABO相似，请直接写出点P 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法确定函数解析式即可；（2）如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则易得线段PQ的长度，利用三角形面积公式得到S△PAB＝﹣（x﹣1）2+＝20，然后解方程求出x即可得到点P的坐标；②设P（x，x2﹣x），如图2，利用勾股定理的逆定理证明∠AOB＝90°，根据三角形相似的判定，由于∠AOB＝∠PCO，则当＝时，△CPO∽△OAB，当＝时，△CPO∽△OBA，由此得到相似三角形的对应边成比例，然后分别解关于x的绝对值方程即可得到对应的点P的坐标．解：（1）把A（6，3）代入y＝﹣kx+6，得3＝﹣6x+6．解得k＝﹣．故直线的解析式是：y＝﹣x+6．把O（0，0）、A（6，3）、B（﹣4，8）分别代入y＝ax2+bx+c，得．解得．故该抛物线解析式是：y＝x2﹣x；（2）①如图1，作PQ∥y轴，交AB于点Q，设P（x，x2﹣x），则Q（x，﹣x+6），则PQ＝（﹣x+6）﹣（x2﹣x）＝﹣（x ﹣1）2+，∴S△PAB＝（6+4）×PQ＝﹣（x﹣1）2+＝20，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴点P的坐标为（4，0）或（﹣2，3）；②设P（x，x2﹣x），如图2，由题意得：AO＝3，BO＝4，AB＝5，∵AB2＝AO2+BO2，∴∠AOB＝90°，∵∠AOB＝∠PCO，∴当＝时，△CPO∽△OAB，即＝．整理，得4|x2﹣x|＝3|x|．解方程4（x2﹣x）＝3x，得x1＝0（舍去），x2＝7，此时P点坐标为（7，）；解方程4（x2﹣x）＝﹣3x，得x1＝0（舍去），x2＝1，此时P点坐标为（1，﹣）；当＝时，△CPO∽△OBA，即＝，整理，得3|x2﹣x|＝4|x|，解方程3（x2﹣x）＝4x，得x1＝0（舍去），x2＝，此时P点坐标为（，）．解方程3（x2﹣x）＝﹣4x，得x1＝0（舍去），x2＝﹣，此时P点坐标为（﹣，）．综上所述，点P的坐标为：（7，）或（1，﹣）或（﹣，）或（，）．。
河南省南阳市淅川县2020年中考数学一模试卷含答案
河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．在已知实数：﹣1，0，，﹣2中，最大的一个实数是（）A．﹣1 B．0 C．D．﹣22．2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（）A．15×105B．1.5×106C．1.5×107D．0.15×1083．观察如图所示的两个物体，其主视图为（）A．B．C．D．4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列计算正确的是（）A．+= B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=36．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）跳高成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75跳高人数 1 3 2 3 5 1A．1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D．3，57．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4 B．4C．8 D．8二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．2的相反数是．10．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，它的弧长为．11．袋中有4个红球，x个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为，则x的值为．12．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为．13．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（•淅川县一模）如图，▱ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．15．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是．三、解答题（共8小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中．17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，连结CE，交AD于点H．（1）求证：AD⊥CE；（2）如果过点E作EF∥BC交AD于点F，连结CF，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．18．某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（2010•义乌市）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．20．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图②）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据=1.73）21．甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息，解答如下问题：（1）求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？22．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，点P从B出发，以1厘米/秒的速度沿射线BO 运动，设点P运动时间为t（t＞0）秒．△APC是以AP为斜边的等腰直角三角形，且C，O两点在直线BO的同侧，连接OC．（1）当t=1时，求的值；（2）求证：△APB∽△ACO；（3）设△POC的面积为S，求S与t的函数解析式．23．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B 点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，求直线BD 和直线EF的解析式；（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．在已知实数：﹣1，0，，﹣2中，最大的一个实数是（）A．﹣1 B．0 C．D．﹣2【考点】实数大小比较．【分析】根据正数大与负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵﹣2＜﹣1＜0＜，∴最大的一个实数是，故选：C．【点评】本题考查了实数比较大小，解决本题的关键是熟记正数大与负数和0，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小．2．2014年4月25日青岛世界园艺博览会成功开幕，预计将接待1500万人前来观赏，将1500万用科学记数法表示为（）A．15×105B．1.5×106C．1.5×107D．0.15×108【考点】科学记数法—表示较大的数．【专题】常规题型．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将1500万用科学记数法表示为：1.5×107．故选：C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．观察如图所示的两个物体，其主视图为（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看左边是一个高矩形，右边是一个低矩形，故选：B．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．4．下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故A选项不合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故C选项不合题意；D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．5．下列计算正确的是（）A．+= B．﹣=﹣1 C．×=6 D．÷=3【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．【分析】分别根据二次根式的加减法则、乘除法则结合选项求解，然后选出正确答案．【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；B、和不是同类二次根式，不能合并，故本选项错误；C、×=，计算错误，故本选项错误；D、÷==3，计算正确，故本选项正确．故选D．【点评】本题二次根式的加减法、二次根式的乘除法等运算，掌握各运算法则是解题的关键．6．在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表：这些运动员跳高成绩的中位数和众数分别是（）跳高成绩（m） 1.50 1.55 1.60 1.65 1.70 1.75跳高人数 1 3 2 3 5 1A．1.65，1.70 B．1.70，1.65 C．1.70，1.70 D．3，5【考点】众数；中位数．【分析】根据一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，及中位数的定义，结合所给数据即可得出答案．【解答】解：跳高成绩为170的人数最多，故跳高成绩的众数为176；共15名学生，中位数落在第8名学生处，第8名学生的跳高成绩为165，故中位数为165；故选A．【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是掌握众数及中位数的定义，在求中位数的时候注意数据的奇偶性．7．如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D恰落在AB边上的点M处，折痕为AN，那么对于结论①MN∥BC，②MN=AM，下列说法正确的是（）A．①②都对B．①②都错C．①对②错D．①错②对【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，推出∠B=∠D=∠AMN，即可推出结论①，由AM=DA推出四边形AMND为菱形，因此推出②．【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴∠B=∠D=∠AMN，∴MN∥BC，∵AM=DA，∴四边形AMND为菱形，∴MN=AM．故选A．【点评】本题主要考查翻折变换的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键在于熟练掌握有关的性质定理，推出四边形AMND为菱形．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点．若BD=2，则AC的长是（）A．4 B．4C．8 D．8【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．【分析】求出∠ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出∠ACD、∠DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可．【解答】解：如图，∵在Rt△ABC中，∠ACB=60°，∴∠A=30°．∵DE垂直平分斜边AC，∴AD=CD，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠DCB=60°﹣30°=30°，∵BD=2，∴CD=AD=4，∴AB=2+4=6，在△BCD中，由勾股定理得：CB=2，在△ABC中，由勾股定理得：AC==4，故选：B．【点评】本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）9．2的相反数是﹣2．【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义可知．【解答】解：﹣2的相反数是2．【点评】主要考查相反数的定义：只有符号相反的两个数互为相反数．0的相反数是其本身．10．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，它的弧长为2π．【考点】弧长的计算．【分析】直接利用弧长公式求出即可．【解答】解：∵扇形的圆心角为120°，半径为6，∴扇形的弧长是：=2π．故答案为：2π．【点评】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练记忆弧长公式是解题关键．11．袋中有4个红球，x个黄球，从中任摸一个恰为黄球的概率为，则x的值为12．【考点】概率公式．【分析】根据黄球的概率为，列出关于x的方程，解方程即可求出x的值．【解答】解：设袋中有x个黄球，根据题意得=，解得x=12．故答案为：12．【点评】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．12．把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=40°，则∠2的度数为130°．【考点】平行线的性质；直角三角形的性质．【分析】根据直角三角形两锐角互余求出∠3，再根据邻补角定义求出∠4，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可．【解答】解：∵∠1=40°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°，∴∠4=180°﹣50°=130°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠4=130°．故答案为：130°．【点评】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，是基础题，准确识图是解题的关键．13．如图，△ABC的三个顶点都在5×5的网格（•淅川县一模）如图，▱ABCD中，E是边BC上一点，AE交BD于F，若BE=2，EC=3，则的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，AD=BC，继而可判定△BEF∽△DAF，根据相似三角形的对应边成比例，即可得BF：DF=BE：AD问题得解．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵BE=2，EC=3，∴BC=AD=BE+CE=2+3=5，∵AD∥BC，∴△BEF∽△DAF，∴BE：AD=BF：DF=2：5，即=，故答案为：．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与平行四边形的性质．此题比较简单，解题的关键是根据题意判定△BEF∽△DAF，再利用相似三角形的对应边成比例定理求解．15．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），M，N分别是AE、PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动过程中，a不断变化，则a的取值范围是4＜a＜5．【考点】矩形的性质；三角形中位线定理．【分析】根据矩形的性质求出AC，然后求出AP的取值范围，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得MN=AP．【解答】解：∵矩形ABCD中，AB=6，BC=8，∴对角线AC==10，∵P是CD边上的一动点（不与点C、D重合），∴8＜AP＜10，连接AP，∵M，N分别是AE、PE的中点，∴MN是△AEP的中位线，∴MN=AP，∴4＜a＜5．故答案为：4＜a＜5．【点评】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质以及定理并求出AP的取值范围是解题的关键．三、解答题（共8小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中．【考点】分式的化简求值．【专题】计算题．【分析】线将括号内的分式通分，进行加减后再算除法，计算时，要将除法转化为乘法．【解答】解：原式=[﹣]×=×=，当x=时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，垂足为E，连结CE，交AD于点H．（1）求证：AD⊥CE；（2）如果过点E作EF∥BC交AD于点F，连结CF，猜想四边形是什么图形？并证明你的猜想．【考点】全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）欲证明AD⊥CE，只需证得△ACE为等腰三角形；（2）四边形CDEF是菱形．由（1）的结论结合已知条件可以推知对角线FD、CE相互垂直平分．【解答】证明：（1）如图，∵∠ACB=90°，∠CAB的平分线交BC于D，DE⊥AB，∴在△ACD与△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE，∴AH⊥CE，即AD⊥CE；（2）四边形CDEF是菱形．理由如下：∵由（1）知，AC=AE，AD⊥CE，∴CH=EH，∵EF∥BC，∴=，∴FH=HD，∴四边形CDEF是菱形．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，菱形与平行四边形的判定，以及角平分线的性质，题目综合性较强，关键是需要同学们熟练掌握基础知识．18．某校为了开设武术、舞蹈、剪纸等三项活动课程以提升学生的体艺素养，随机抽取了部分学生对这三项活动的兴趣情况进行了调查（2010•义乌市）如图，一次函数y=kx+2的图象与反比例函数y=的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且S△PBD=4，=．（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．【考点】反比例函数综合题．【专题】数形结合；待定系数法．【分析】（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D的坐标为（0，2）．（2）由AP∥OD得Rt△PAC∽Rt△DOC，又=，可得==，故AP=6，BD=6﹣2=4，由S△PBD=4可得BP=2，把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2反比例函数解析式为：y=（3）当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围由图象能直接看出x＞2．【解答】解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2，∴点D的坐标为（0，2）（2）∵AP∥OD，∴∠CDO=∠CPA，∠COD=∠CAP，∴Rt△PAC∽Rt△DOC，∵=，即=，∴==，∴AP=6，又∵BD=6﹣2=4，∴由S△PBD=BP•BD=4，可得BP=2，∴P（2，6）把P（2，6）分别代入y=kx+2与y=可得一次函数解析式为：y=2x+2，反比例函数解析式为：y=；（3）由图可得x＞2．【点评】考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．20．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C，利用三角板测得雕塑顶端A点的仰角为30°，底部B点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D，利用三角板测得A点的俯角为60°（如图②）．若已知CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据=1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题．【分析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．【解答】解：过点C作CE⊥AB于E．∵∠ADC=90°﹣60°=30°，∠ACD=90°﹣30°=60°，∴∠CAD=90°．∵CD=10，∴AC=CD=5．在Rt△ACE中，∵∠AEC=90°，∠ACE=30°，∴AE=AC=，CE=AC•cos∠ACE=5•cos30°=．在Rt△BCE中，∵∠BCE=45°，∴BE=CE=，∴AB=AE+BE=≈6.8（米）．故雕塑AB的高度约为6.8米．【点评】本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．21．甲、乙两人沿同一路线登山，图中线段OC、折线OAB分别是甲、乙两人登山的路程y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象．请根据图象所提供的信息，解答如下问题：（1）求甲登山的路程与登山时间之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求乙出发后多长时间追上甲？此时乙所走的路程是多少米？【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设甲登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=kx，根据图象得到点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；（2）根据图形写出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段AB的解析式，再与OC的解析式联立求解得到交点的坐标，即为相遇时的点．【解答】解：（1）设甲登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=kx，∵点C（30，600）在函数y=kx的图象上，∴600=30k，解得k=20，∴y=20x（0≤x≤30）；（2）设乙在AB段登山的路程y与登山时间x之间的函数解析式为y=ax+b（8≤x≤20），由图形可知，点A（8，120），B（20，600）所以，，解得，所以，y=40x﹣200，设点D为OC与AB的交点，联立，解得，故乙出发后10分钟追上甲，此时乙所走的路程是200米．【点评】本题考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，利用待定系数法求函数解析式是本题考查了的重点．22．在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=OB=4厘米，点P从B出发，以1厘米/秒的速度沿射线BO 运动，设点P运动时间为t（t＞0）秒．△APC是以AP为斜边的等腰直角三角形，且C，O两点在直线BO的同侧，连接OC．（1）当t=1时，求的值；（2）求证：△APB∽△ACO；（3）设△POC的面积为S，求S与t的函数解析式．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据t=1求出BP、OP，根据勾股定理求出AP，根据余弦的定义求出AC，计算即可；（2）根据等腰直角三角形的性质求出==和∠BAO=∠PAC=45°，根据相似三角形的判定定理证明；（3）分0＜t＜4、t=4和t＞4三种情况，根据等腰直角三角形的性质和正弦的定义以及三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）当t=1时，OP=3，OA=4，在Rt△AOP中，AP==5，∵△ACP为等腰三角形，∴AC=AP•cos45°=，∴=；（2）证明：∵△AOB，△ACP都是等腰三角形，∴==，∵∠BAO=∠PAC=45°，∴∠BAP=∠OAC，∴△APB∽△ACO；（3）①当0＜t＜4时，∵△APB∽△ACO，∴==，∠AOC=∠ABP=45°，∴OC=BP=t，作CM⊥BO，垂足为M，则CM=OC•sin45°=t，∴S=×OP×CM=×（4﹣t）×t=﹣t2+t；②当t=4时，点P与点O重合，△POC不存在；③当t＞4时，BP=t，则OP=t﹣4．由①得，S=×=×（t﹣4）×t=t2﹣t；∴S=．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的定义以及等腰直角三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．23．如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，且A点坐标为（﹣3，0），经过B 点的直线交抛物线于点D（﹣2，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）过x轴上点E（a，0）（E点在B点的右侧）作直线EF∥BD，交抛物线于点F，求直线BD 和直线EF的解析式；（3）是否存在实数a使四边形BDFE是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）将A、D两点的坐标代入解析式求出b、c即可；（2）先求出B点坐标，再根据B、D两点坐标求出BD解析式，进而求出EF解析式；（3）由于EF已经与BD平行了，只需让DF∥BE就可以了，此时，F点的纵坐标与D点相同，从而可求出F点的坐标，进而求出E点坐标，即求出a的值．【解答】解：（1）将A、D两点代入y=x2+bx+c可求得：b=2，c=﹣3，∴抛物线解析式为y=x2+2x﹣3（2）由抛物线解析式y=x2+2x﹣3可求B的坐标是（1，0），由B、D两点坐标求得直线BD的解析式为y=x﹣1；∵EF∥BD，∴直线EF的解析式为：y=x﹣a（3）若四边形BDFE是平行四边形，则DF∥x轴，如图，∴D、F两点的纵坐标相等，即点F的纵坐标为﹣3．∴F点的坐标为（0，﹣3），∴DF=2，∴BE=DF=2，∴E（3，0），即：a=3．所以存在实数a=3，使四边形BDFE是平行四边形．【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与x轴的交点坐标、待定系数法求直线解析式、平行四边形的判定与性质等知识点，虽有一定综合性，但难度不大，属于较基础的题．。
2020年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷 (解析版)
2020年河南省南阳市宛城区中考数学一模试卷一、选择题（共10小题）.1．在下列四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．2﹣1C．D．02．5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元．数据“79.26亿”用科学记数法表示为（）A．79.26×108B．7.926×109C．79.26×109D．7.926×108 3．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°4．下列运算正确的是（）A．2+3＝5B．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a5D．+＝5．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同6．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC 交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，1）D．（）9．为迎接文明城市的验收，某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组，分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E 为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．π+5C．D．二、填空题（共5小题）.11．计算：（﹣2020）0﹣＝．12．九年级2班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是．14．如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x 变化的函数关系如图2所示，则边BC的长为．15．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝15，沿着过该矩形顶点的一条直线将∠B折叠，当B的对应点恰好落在矩形的边AD上时，折痕的长为．三、解答题（共8个小题）16．先化简，再求值：（），其中x的值从不等式组的整数解中选取．17．为进一步推动各级各类学校新型冠状病毒肺炎疫情防控工作，向广大教职工和学生普及新型冠状病毒肺炎疫情防控知识，做好师生返校前的卫生安全防护教育，上好开学第一课，省教育厅要求各级各类学校认真学习相关资料．某中学为了解学生的学习成果，对学生进行了新型冠状病毒肺炎防控知识测试，德育处随机从七、八两个年级各抽取20名学生的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据八年级：858095100909585657585959070901008080909575七年级：806080956510090858580957580907080957510090整理数据60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100成绩x（分）人数年级八年级25a b七年级3755分析数据统计量平均数中位数众数八年级85.7587.5c七年级83.5d80应用数据（1）填空：a＝，b＝，c＝，d＝；（2）看完统计数据，你认为对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是；（3）若八年级共有500人参与答卷，请估计八年级成绩大于90分的人数；（4）在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，请判断两人在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AB上，以线段OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，⊙O分别交BC、AB于点M、N，连接ND并延长交BC延长线于点P．（1）求证：∠BOD＝2∠P；（2）已知⊙O的半径为5．①若AN＝8，则DC＝；②连接DM，当AN＝时，四边形OBMD是菱形．19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．（结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）经过C、D两点的直线的解析式是；（3）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是．21．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）猜想：的值是，直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是；（2）探究：直线DE与AF垂直时，求线段CD的长；（3）拓展：取AE的中点M，连接FM，直接写出线段FM长的取值范围．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是y轴正半轴上的一点，OM＝，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q的坐标；（3）直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．参考答案一、选择题（共10小题）.1．在下列四个数中，最小的数是（）A．﹣2B．2﹣1C．D．0【分析】根据实数的大小比较法则（正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小）比较即可．解：∵﹣2＜0＜2﹣1＜，∴最小的数是﹣2．故选：A．2．5月5日，从省文化和旅游厅获悉，今年“五一”假期，全省累计接待国内游客1692.11万人次，实现旅游总收入79.26亿元．数据“79.26亿”用科学记数法表示为（）A．79.26×108B．7.926×109C．79.26×109D．7.926×108【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：79.26亿＝7926000000＝7.926×109．故选：B．3．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于（）A．35°B．30°C．25°D．15°【分析】直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠BDE＝45°，进而得出答案．解：由题意可得：∠EDF＝30°，∠ABC＝45°，∵DE∥CB，∴∠BDE＝∠ABC＝45°，∴∠BDF＝45°﹣30°＝15°．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．2+3＝5B．（a2）3＝a5C．a3•a2＝a5D．+＝【分析】利用二次根式的加减、积的乘方、同底数幂的乘法法则进行计算即可．解：A、2和3不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；B、（a2）3＝a6，故原题计算错误；C、a3•a2＝a5，故原题计算正确；D、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；故选：C．5．如图，甲、乙、丙三个图形都是由大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数．其中主视图相同的是（）A．仅有甲和乙相同B．仅有甲和丙相同C．仅有乙和丙相同D．甲、乙、丙都相同【分析】由已知条件可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2．据此可即可求解．解：根据分析可知，甲的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；乙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，1；丙的主视图有2列，每列小正方数形数目分别为2，2；则主视图相同的是甲和丙．故选：B．6．如图，顽皮的小聪在小芳的作业本上用红笔画了个“×”（作业本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等），A、B、C、D、O都在横格线上，且线段AD、BC 交于点O．若线段AB＝4cm，则线段CD长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则由相似三角形（△AOB∽△DOC），根据平行线分线段成比例可得＝，代入计算即可解答．解：如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥CD于点F，则OE、OF分别是△AOB、△DOC的高线，∵练习本中的横格线都平行，∴△AOB∽△DOC，∴＝，即＝，∴CD＝6cm．故选：C．7．关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k＝0的根的情况是（）A．有两不相等实数根B．有两相等实数根C．无实数根D．不能确定【分析】先计算判别式得到△＝（k+3）2﹣4×k＝（k+1）2+8，再利用非负数的性质得到△＞0，然后可判断方程根的情况．解：△＝（k+3）2﹣4×k＝k2+2k+9＝（k+1）2+8，∵（k+1）2≥0，∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选：A．8．如图：已知菱形ABCD的顶点B（﹣2，0），且∠ABC＝60°，点A在y轴的正半轴上．按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边AB、BC于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内交于点P；③作射线BP，交菱形的对角线AC于点E，则点E的坐标为（）A．（1，）B．（1，2）C．（，1）D．（）【分析】如图，作EH⊥BC于H．证明△ABC是等边三角形，求出OA＝BE＝2即可解决问题．解：如图，作EH⊥BC于H．∵四边形ABCD都是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵B（﹣2，0），∴OB＝2，OA＝2，由作图可知：BE平分∠ABC，∴BE⊥AC，∴BE＝OA＝2，∴EH＝，BH＝EH＝3，∴OH＝1，∴E（1，），故选：A．9．为迎接文明城市的验收，某居委会组织了“垃圾处理”和“违规停车”两个检查组，分别对辖区内甲、乙、丙三个小区中的一个进行随机抽查，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．B．C．D．【分析】根据题意画出树状图得出所有等情况数和两个检查组恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．解：根据题意画图如下：共有9种等可能结果，其两个检查组恰好抽到同一个小区的结果有3种，则两个检查组恰好抽到同一个小区的概率是＝；故选：C．10．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E 为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是（）A．πB．π+5C．D．【分析】作DH⊥AE于H，根据勾股定理求出AB，根据阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积、利用扇形面积公式计算即可．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，∴AB＝＝，由旋转，得△EOF≌△BOA，∴∠OAB＝∠EFO，∵∠FEO+∠EFO＝∠FEO+∠HED＝90°，∴∠EFO＝∠HED，∴∠HED＝∠OAB，∵∠DHE＝∠AOB＝90°，DE＝AB，∴△DHE≌△BOA（AAS），∴DH＝OB＝1，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×3×1+×1×2+﹣＝﹣π，故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（﹣2020）0﹣＝3．【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．解：原式＝1+2＝3．故答案为：3．12．九年级2班同学根据兴趣分成五个小组，各小组人数分布如图所示，则在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是72°．【分析】根据条形统计图可以得到第1组在五个小组中所占的比重，然后再乘以360°，即可解答本题．解：∵第1组人数占总人数的比例为＝，∴在扇形图中，第1小组对应的圆心角度数是×360°＝72°，故答案为：72°．13．在平面直角坐标系中，将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1）2+3．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．解：将抛物线y＝（x+1）2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x+1﹣2）2+3，即y＝（x﹣1）2+3．故答案为：y＝（x﹣1）2+3．14．如图，在Rt△ABC中，点D为AC边中点，动点P从点D出发，沿着D→A→B的路径以每秒1个单位长度的速度运动到B点，在此过程中线段CP的长度y随着运动时间x 变化的函数关系如图2所示，则边BC的长为．【分析】当x＝0时，y＝PC＝PD＝2，则AC＝4，当x＝2+，PC⊥AB，则AP＝x﹣AD＝2﹣2＝，而BC＝AC•tan A，即可求解．解：当x＝0时，y＝PC＝PD＝2，则AC＝4，当x＝2+时，PC⊥AB，则AP＝x﹣AD＝2﹣2＝，而cos A＝＝，则tan A＝，∴BC＝AC•tan A＝4×＝，故答案为：．15．在矩形纸片ABCD中，AB＝9，BC＝15，沿着过该矩形顶点的一条直线将∠B折叠，当B的对应点恰好落在矩形的边AD上时，折痕的长为9或5．【分析】沿着过矩形顶点的一条直线将∠B折叠，可分为两种情况：（1）过点A的直线折叠，（2）过点C的直线折叠，分别画出图形，根据图形分别求出折痕的长．解：（1）如图1，沿着过点A的直线将∠B折叠，使点B的对应点E落在矩形的AD边上，此时折痕为AM，由折叠得：ABME是正方形，此时：AM＝＝9，（2）如图2，沿着过点C的直线将∠B折叠，使点B的对应点E落在矩形的AD边上，此时折痕为CN，由折叠得：CB＝CE＝15，在Rt△CDE中，DE＝＝＝12，∴AE＝15﹣12＝3，设BN＝x＝EN，则AN＝3﹣x，在Rt△AEN中，由勾股定理得：（9﹣x）2+32＝x2，解得：x＝5，在Rt△BCN中，由勾股定理得：CN＝＝＝5，折痕长为：9或5．故答案为9或5．三、解答题（共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：（），其中x的值从不等式组的整数解中选取．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，解不等式组求出x的范围，代入计算得到答案．解：（）＝（﹣）•＝•＝，解方程组，得﹣1≤x＜3，其中整数解有﹣1、0、1、2，由题意得，x≠﹣1、0、1，当x＝2时，原式＝＝1．17．为进一步推动各级各类学校新型冠状病毒肺炎疫情防控工作，向广大教职工和学生普及新型冠状病毒肺炎疫情防控知识，做好师生返校前的卫生安全防护教育，上好开学第一课，省教育厅要求各级各类学校认真学习相关资料．某中学为了解学生的学习成果，对学生进行了新型冠状病毒肺炎防控知识测试，德育处随机从七、八两个年级各抽取20名学生的答卷成绩（单位：分）进行统计、分析，过程如下：收集数据八年级：858095100909585657585 959070901008080909575七年级：806080956510090858580 957580907080957510090整理数据60≤x≤7070＜x≤8080＜x≤9090＜x≤100成绩x（分）人数年级八年级25a b七年级3755分析数据统计量平均数中位数众数八年级85.7587.5c七年级83.5d80应用数据（1）填空：a＝7，b＝6，c＝90与95，d＝82.5；（2）看完统计数据，你认为对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是八年级；（3）若八年级共有500人参与答卷，请估计八年级成绩大于90分的人数；（4）在这次测试中，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，请判断两人在各自年级的排名谁更靠前，并说明理由．【分析】（1）根据表格可得a与b的值，根据众数与中位数的定义可得c、d的值；（2）根据平均数、中位数、众数的意义即可求解；（3）利用样本估计总体，用500乘以样本中成绩大于90分的人数所占的百分比即可；（4）根据中位数的意义说明即可．解：（1）根据表格可得a＝7，b＝6．八年级学生的20个数据中，90与95均出现了4次，次数最多，所以众数c＝90与95，将七年级学生的20个数据按从小到大的顺序排列为：60，65，70，75，75，80，80，80，80，80，85，85，90，90，90，95，95，95，100，100，位于中间的两个数是80，85，所以中位数d＝（80+85）÷2＝82.5．故答案为7，6，90与95，82.5；（2）七年级与八年级比较：八年级的平均分高于七年级的平均分，中位数、众数也都比七年级的高，所以对新型冠状病毒肺炎防护知识掌握更好的年级是八年级．故答案为：八年级；（3）800×＝520（人）．故估计八年级成绩大于90分的人数是520人；（4）七年级的排名更靠前，理由如下：在20个数据中，七年级的中位数是82.5，八年级的中位数是87.5，八年级学生甲与七年级学生乙的成绩都是85分，那么八年级学生甲的成绩排在10名之后，而七年级学生乙的成绩排在10名之前，所以七年级的排名更靠前．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在AB上，以线段OB的长为半径的⊙O与AC相切于点D，⊙O分别交BC、AB于点M、N，连接ND并延长交BC延长线于点P．（1）求证：∠BOD＝2∠P；（2）已知⊙O的半径为5．①若AN＝8，则DC＝；②连接DM，当AN＝5时，四边形OBMD是菱形．【分析】（1）根据切线的性质得到OD⊥AC，根据平行线的性质得到∠ODN＝∠P，由等腰三角形的性质得到∠ODN＝∠OND，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）①连接BD，根据圆周角定理得到∠BDN＝90°，根据余角的性质得到∠BDO＝∠ADN，根据相似三角形的性质得到即可得到结论；②连接OM交BD于E，根据菱形的性质得到OM⊥BD，OE＝EM＝OM＝OB，根据直角三角形的性质得到∠OBD＝30°，得到∠A＝30°，于是得到结论．【解答】（1）证明：∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∵∠ACB＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODN＝∠P，∵ON＝OD，∴∠ODN＝∠OND，∴∠OND＝∠P，∵∠BOD＝∠OND+∠ODN，∴∠BOD＝2∠P；（2）解：①连接BD，∵BN是⊙O的直径，∴∠BDN＝90°，∴∠BDO+∠ODN＝90°，∵∠ADN+∠ODN＝90°，∴∠BDO＝∠ADN，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ADN＝∠OBD，∵∠A＝∠A，∴△ADN∽△ABD，∴＝，∴AD2＝AN•AB＝8×18＝144，∴AD＝12，∵OD∥BC，∴△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AC＝，∴CD＝；②当AN＝5时，四边形OBMD是菱形，理由：连接OM交BD于E，∵四边形BMDO是菱形，∴OM⊥BD，OE＝EM＝OM＝OB，∴∠OBD＝30°，∴∠OBC＝60°，∴∠A＝30°，∴AO＝2OD＝10，∴AN＝AO﹣ON＝10﹣5＝5，故答案为：，5．19．如图，甲、乙两座建筑物的水平距离BC为78m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求乙建筑物的高度CD．（结果取整数，参考数据：tan58°≈1.60，tan48°≈1.11）．【分析】作AE⊥CD交CD的延长线于点E，根据正切的定义分别求出CE、DE，结合图形计算即可．解：如图，作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78m，在Rt△ACE中，tan∠CAE＝，∴CE＝AE•tan58°≈78×1.60＝124.8（m）在Rt△ADE中，tan∠DAE＝，∴DE＝AE•tan48°≈78×1.11＝86.58（m）∴CD＝CE﹣DE＝124.8﹣86.58≈38（m）答：乙建筑物的高度CD约为38m．20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直x轴于点B，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过AO的中点C，与边AB相交于点D，若D的坐标为（4，m），AD＝3．（1）求反比例函数y＝的解析式；（2）经过C、D两点的直线的解析式是y＝﹣x+3；（3）设点E是线段CD上的动点，过点E且平行y轴的直线与反比例函数的图象交于点F，则△OEF面积的最大值是．【分析】（1）先确定出点A坐标，进而得出点C坐标，将点C，D坐标代入反比例函数中即可得出结论；（2）由m＝1，求出点C，D坐标，利用待定系数法即可得出结论；（3）设出点E坐标，进而表示出点F坐标，即可建立面积与n的函数关系式即可得出结论．解：（1）∵AD＝3，D（4，m），∴A（4，m+3），∵点C是OA的中点，∴C（2，），∵点C，D在双曲线y＝上，∴，∴，∴反比例函数解析式为y＝；（2）∵m＝1，∴C（2，2），D（4，1），设直线CD的解析式为y＝ax+b，∴，∴，∴直线CD的解析式为y＝﹣x+3，故答案为：y＝﹣x+3；（3）如图，由（2）知，直线CD的解析式为y＝﹣x+3，设点E（n，﹣n+3），由（2）知，C（2，2），D（4，1），∴2＜n＜4，∵EF∥y轴交双曲线y＝于F，∴F（n，），∴EF＝﹣n+3﹣，∴S△OEF＝（﹣n+3﹣）×n＝（﹣n2+3n﹣4）＝﹣（n﹣3）2+，∵2＜n＜3，∴n＝3时，S△OEF最大，最大值为，故答案为：．21．受“新冠”疫情影响，全国中小学延迟开学，很多学校都开展起了“线上教学”，市场上对手写板的需求激增．重庆某厂家准备3月份紧急生产A，B两种型号的手写板，若生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元．（1）请问生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本？（2）经测算，生产的A型号手写板每个可获利200元，B型号手写板每个可获利400元，该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，总获利w元，设生产了A型号手写板a个，求w关于a的函数关系式；（3）在（2）的条件下，若要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，请你设计出总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．【分析】（1）根据生产20个A型号和30个B型号手写板，共需要投入36000元；若生产30个A型号和20个B型号手写板，共需要投入34000元，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得生产A，B两种型号手写板，每个各需要投入多少元的成本；（2）根据题意和（1）中的结果可以得到w与a的函数关系式；（3）要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，可以得到a的取值范围，再根据（2）中的函数关系式和一次函数的性质可以得到总获利最大的生产方案，并求出最大总获利．解：（1）设生产A种型号的手写板需要投入成本a元，生产B种型号的手写板需要投入成本b元，，得，即生产A种型号的手写板需要投入成本600元，生产B种型号的手写板需要投入成本800元；（2）∵该厂家准备用10万元资金全部生产这两种手写板，生产了A型号手写板a个，∴生产B型号的手写板的数量为：＝（个），∴w＝200a+400×＝﹣100a+50000，即w关于a的函数关系式为w＝﹣100a+50000；（3）∵要求生产A型号手写板的数量不能少于B型号手写板数量的2倍，∴a≥×2，∴a≥100，∵w＝﹣100a+50000，∴当a＝100时，w取得最大值，此时w＝40000，＝50，答：总获利最大的生产方案是生产A型号的手写板100台，B型号的手写板50台，最大总获利是40000元．22．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，正方形BDEF的边长为2，将正方形BDEF绕点B旋转一周，连接AE、BE、CD．（1）猜想：的值是，直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是45°；（2）探究：直线DE与AF垂直时，求线段CD的长；（3）拓展：取AE的中点M，连接FM，直接写出线段FM长的取值范围．【分析】（1）证明△CBD∽△ABE，得出，由旋转的性质可得出直线CD与直线AE相交所成的锐角度数是45°；（2）证明△ABE∽△CBD，得出，则CD＝AE，求出AE，分两种情况画出图形，则可得出答案；（3）延长EF到K，使得FK＝EF，连接AK，BK，由中位线定理得出MF＝AK，求出AK的范围，则可得出答案．解：（1）∵△ABC，△EBD都是等腰直角三角形，∴，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴∠CBD＝∠ABE，∴△CBD∽△ABE，∴，则△ABE可以看成是△CBD绕点B旋转45°后放大倍得到的，故直线CD与直线AE 相交所成的锐角的度数是45°；故答案为：，45°．（2）∵△ABC是腰长为4 的等腰直角三角形，四边形BDEF的边长为2的正方形，∴AB＝BC＝4，BE＝BD＝2，∠ABC＝∠EBD＝45°，∴，∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△CBD，∴，∴CD＝AE，∵DE⊥EF，∴当DE⊥AF时，A，E，F三点在一直线上时，在Rt△ABF中，∵∠AFB＝90°，∴AF＝＝＝2，如图1，当点E在线段AF上时，AE＝AF﹣EF＝2﹣2，∴CD＝﹣．如图2，当点E在线段AF的延长线上时，AE＝AF+EF＝2+2，∴CD＝+．综合以上可得，当DE⊥AF时，线段CD的长为﹣或+；（3）延长EF到K，使得FK＝EF，连接AK，BK，则△BFK为等腰直角三角形，∴BK＝BF＝2，∵M为AE的中点，F为EK的中点，∴MF为△EAK的中位线，∴MF＝AK，在△ABK中，∵AB﹣BK≤AK≤AB+BK，∴2，∴．23．如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M是y轴正半轴上的一点，OM＝，点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，直线OQ交抛物线的对称轴于点N，连接MN，当MN平分∠OND时，求点Q的坐标；（3）直线AC交对称轴于点E，P是坐标平面内一点，当△PCE与△BCD全等时，请直接写出点P的坐标．【分析】（1）将点A，点B坐标代入解析式，可求解；（2）由角平分线的性质和平行线的性质可求OM＝ON＝，由两点距离公式可求点N 坐标，可求ON解析式，联立方程组可求点Q坐标；（3）由题意可得CD＝CE，分两种情况讨论，由全等三角形的性质和两点距离公式可求点P坐标．解：（1）由题意可得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4；∴点D的坐标为（﹣1，4），∵MN平分∠OND，∴∠DNM＝∠ONM，∵ND∥OM，∴∠DNM＝∠OMN，∴∠OMN＝∠ONM，∴OM＝ON＝，设点N（﹣1，n），∴（﹣1﹣0）2+（n﹣0）2＝2，∴n＝±1，∴N1（﹣1，1）或N2（﹣1，﹣1），当N1（﹣1，1）时，∴直线ON1的解析式为：y＝﹣x，联立方程组可得：，∴，，∵点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，∴点Q（﹣，）；当N2（﹣1，﹣1）时，∴直线ON2的解析式为：y＝x，联立方程组可得：，∴，，∵点Q在对称轴左侧的抛物线上运动，∴点Q（，）；综上所述：点Q的坐标为（﹣，）或（，）；（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交于点C，∴点C（0，3），∵点A（﹣3，0），点C（0，3），∴直线AC解析式为：y＝x+3，∴当x＝﹣1时，y＝2，∴点E（﹣1，2），∵点A（﹣3，0），点B（1，0），点E（﹣1，2），点C（0，3），D（﹣1，4），∴BC＝，BD＝2，CD＝，AE＝2，CE＝，∴CD＝CE，如图2，设点P（x，y），当PC＝BC，PE＝BD，CD＝CE，则△PCE≌△BCD（SSS），∴，解得：，，∴点P1（3，4），点P2（1，6）；当PC＝BD，PE＝BC，CD＝CE时，则△PCE≌△BDC（SSS），∴，解得：，，∴点P3（﹣4，1），点P4（﹣2，﹣1）；综上所述：点P坐标为（3，4）或（1，6）或（﹣4，1）或（﹣2，﹣1）．。
2020年河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷 (含解析)
2020年河南省南阳市淅川县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中最大的数是()A. 5B. √3C. πD. −82.下列计算正确的是()A. 2a2+4a2=6a4B. (a+1)2=a2+1C. (a2)3=a5D. x7÷x5=x23.2017年我省粮食总产量为695.2亿斤，其中695.2亿用科学记数法表示为()A. 6.952×106B. 6.952×108C. 6.952×1010D. 695.2×1084.如图，直线a//b，∠1=30°，∠2=40°，且AD=AC，则∠3的度数是()A. 70°B. 40°C. 45°D. 35°5.如图所示的几何体是由五个完全相同的小正方体组成的，则不是它的三视图的是()A. B.C. D.6.方程x2−2x−m=0无实数根，一次函数的图象y=(m+1)x+m−1不经过第()象限．A. 四B. 三C. 二D. 一7.数学老师给出如下数据1，2，2，3，2，关于这组数据的正确说法是()A. 众数是2B. 极差是3C. 中位数是1D. 平均数是48.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以点B和点C为圆心，BC的长为半径作弧，两弧相交于D、E两点，作直线DE大于12交AB于点F，交BC于点G，连结CF.若AC=3，CG=2，则CF的长为()A. 52B. 3C. 2D. 729.如图，将平面直角坐标系中的△AOB绕点O顺时针旋转90°得△A′OB′.已知∠AOB=60°，∠B=90°，AB=√3，则点B′的坐标是()A. (√32,1 2 )B. (√32,3 2 )C. (32,√3 2)D. (12,√3 2)10.如图，在△ABC中，AB=BC，AC=m，D，E分别是AB，BC边的中点，点P为Ac边上的一个动点，连接PD，PB，PE，设AP=x，左图中某条线段长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则这条线段可能是()A. PEB. PBC. PDD. PC二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.计算：(−12)−1−√4=______．12.不等式组{3x−2<14x<8的解集为______ ．13.不透明的袋子中装有三个标有一1、1、2的小球，它们除数字外其余均相同，随机抽取两个小球，它们标记的数字之积是负数的概率为______．14.如图，将△ABC绕点B逆时针旋转到△A′BC′，使A，B，C′在同一直线上，若∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，则图中阴影部分面积为_________cm2．15.如图，直角三角形纸片的两直角边AC=6cm，BC=8cm.现将直角边AC沿AD折叠，使它落在斜边AB上，点C与点E重合，则CD=_______________________．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分）16.先化简：(x+1x−1+1)÷x2+xx2−2x+1+2−2xx2−1，然后从−2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．17.为了解某市市民上班时常用交通工具的状况，某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如表所示)，并根据调查结果绘制了如图所示的尚不完整的统计图：根据以上统计图，解答下列问题：(1)本次接受调查的市民共有______人；(2)扇形统计图中，扇形B的圆心角度数是______；(3)请补全条形统计图；(4)若该市“上班族”约有15万人，请估计乘公交车上班的人数．18.如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A，B重合的一个动点，连接CA、CB，点D是过点C的切线上的一点，连接AD交半圆O于点E，且∠ADC=90∘，CF⊥AB于点F．(1)求证：DE=BF．(2)填空：①当∠CAB=________°，四边形OBCE为菱形；②当CD=4，AD=6时，半圆O的半径为________．19.如图，为了测量一座大桥的长度，在一架水平飞行的无人机AB的尾端A点测得桥头P点的俯角α=74°，前端B点测得桥尾Q点的俯角β=30°，此时无人机的飞行高度AC=868米，AB=1米．求这座大桥PQ的长度(结果保留整数)(参考数据：sin74°≈0.9，cos74°≈0.3，tan74°≈3.5，√3≈1.7，√2≈1.4)20.某单位准备购进一批换气扇，从电器商场了解到：一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元;三台A型换气扇和两台B型换气扇共需300元．(1)求一台A型换气扇和一台B型换气扇的售价各是多少元;(2)若该单位准备同时购进这两种型号的换气扇共80台，并且A型换气扇的数量不多于B型换气扇数量的3倍，如果B型打八折，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．21.课本上，在画y=6x 图象之前，通过讨论函数表达式中x，y的符号特征以及取值范围，猜想出y=6x的图象在第一、三象限．据此经验，猜想函数y=−2x的图象在第______象限．22.如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，AE的延长线交CD于点F，交BC的延长线于点G，M是FG的中点．(1)求证：∠DAE=∠DCE；(2)判断线段CE与CM的位置关系，并证明你的结论；(3)当AD=√3+1，并且△CEG恰好是等腰三角形时，求DE的长．x2+bx+c过点A(3,0)，B(0,2).M(m,0)为线段OA上一个动点(点M与点23.如图，抛物线y=−43A不重合)，过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．(1)求直线AB的解析式和抛物线的解析式；(2)如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；(3)在对称轴的左侧是否存在点M使四边形OMPB的面积最大，如果存在求点M的坐标；不存在请说明理由．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了实数大小比较的方法，估算无理数的大小，要熟练掌握常用二次根式的大小估计与π的大小，解答此题的关键是要明确：正实数>0>负实数，√3≈1.732，π≈3.14．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，√3≈1.732，π≈3.14，据此判断即可．解：由√3≈1.732，π≈3.14，(或1<√3<2<3<π<4)，根据实数比较大小的方法，可得−8<√3<π<5，所以各数中最大的数是5．故选：A．2.答案：D解析：解：A、2a2+4a2=6a2，所以A选项不正确；B、(a+1)2=a2+2a+1，所以B选项不正确；C、(a2)3=a6，所以C选项不正确；D、x7÷x5=x2，所以D选项正确．故选：D．根据合并同类项对A进行判断；根据完全平方公式对B进行判断；根据幂的乘方法则对C进行判断；根据同底数幂的除法法则对D进行判断．本题考查了完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.也考查了合并同类项、幂的乘方以及同底数幂的除法法则．3.答案：C解析：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．解：695.2亿=69520000000=6.952×1010，故选C．4.答案：B解析：解：∵∠4=∠1+∠2=70°，∵AD=AC，∴∠5=180°−2∠4=40°，∵直线a//b，∴∠3=∠5=40°，故选：B．根据三角形的外角的性质得到∠4=∠1+∠2=70°，根据等腰三角形的性质得到∠5=180°−2∠4= 40°，根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．5.答案：B解析：本题考查几何体的三视图，根据几何体的三视图即可解答．解：由题意可知，题中几何体的三视图如图所示，故选B．6.答案：D解析：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，一次函数图象与系数的关系．根据判别式的意义得到Δ=(−2)2+4m<0，解得m<−1，然后根据一次函数的性质可得到一次函数y=(m+1)x+m−1图象不经过哪个象限．解：∵一元二次方程x2−2x−m=0无实数根，∴Δ<0，∴Δ=4−4(−m)=4+4m<0，∴m<−1，∴m+1<1−1，即m+1<0，m−1<−1−1，即m−1<−2<0，∴一次函数y=(m+1)x+m−1的图象不经过第一象限，故选D．7.答案：A解析：本题考查了极差、中位数、众数及平均数的知识，中位数是将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(最中间两个数的平均数)，众数是一组数据中出现次数最多的数，极差是用最大值减去最小值．根据极差、中位数、众数及平均数的定义，结合数据进行分析即可．解：A.众数是2，故A选项正确；B.极差是3−1=2，故B选项错误；C.将数据从小到大排列为：1，2，2，2，3，中位数是2，故C选项错误；D.平均数是(1+2+2+2+2)÷5=95，故D选项错误；，故选A．8.答案：A解析：本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图，也考查了线段垂直平分线的性质．利用线段垂直平分线的性质得到FG⊥BC，FB=FC，CG=BG=2，再证明BF=AF，则CF为斜边AB上的中线，然后根据勾股定理计算出AB，从而得到CF的长．解：由作法得GF垂直平分BC，∴FG⊥BC，FB=FC，CG=BG=2，即BC=4，∴∠FCB=∠B,∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠FCB=∠A+∠B=90°，∴∠ACF=∠A，∴AF=CF，∴AF=CF=BF,∴CF为斜边AB上的中线，∵AB=√32+42=5，∴CF=12AB=52．故选：A．9.答案：A解析：本题考查了坐标与图形变化−旋转，用到的知识点是旋转变换的性质，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．过点B′作B′C⊥x轴于点C，根据旋转变换的性质和解直角三角形可得OB′=OB=1，再根据平角等于180°求出∠B′OC的度数，然后解直角三角形求出OC，B′C的长度，即可得解．解：如图，过点B′作B′C⊥x轴于点C，∵△AOB绕O点顺时针旋转90°得△A′OB′，∴OB′=OB，∠BOB′=90°，∵∠AOB=60°，AB=√3，∴OB=OB′=1，∠B′OC=180°−∠AOB−∠BOB′=180°−60°−90°=30°，∴OC=OB′cos30°=1×√32=√32，B′C=OB′sin30°=1×12=12，∴B′的坐标为(√32,12 )，故选A．10.答案：A解析：本题主要考查的是动点问题的函数图象，灵活运用等腰三角形的性质和二次函数图象的对称性是解题的关键．解题时需要深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义.先设等边三角形的边长为1个单位长度，再根据等腰三角形的性质确定各线段取最小值时x的范围，最后结合函数图象得到结论．解：分别过D、B、E作AC边的垂线，垂足分别为F、G、H．∵AB=BC，AC=m，∴AG=CG=12AC=12m．∴DF是△ABG的中位线，EH是△BCG的中位线．∴AF =FG =GH =CH =14AC =14m ．当0<x <m 时，根据题意和等腰三角形的性质可知，当x =34m 时，线段PE 有最小值；当x =12m 时，线段PB 有最小值；当x =14m 时，线段PD 有最小值；线段DE 的长为定值12m ．结合图像可知当x =34m 时，y 有最小值．故选A ．11.答案：−4解析：此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．直接利用负指数幂的性质以及算术平方根的性质分别化简得出答案．解：原式=−2−2=−4．故答案为−4．12.答案：x <1解析：解：{3x −2<1①4x <8②，由①得，x <1，由②得，x <2， 故不等式组的解集为：x <1．故答案为：x <1．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．13.答案：23解析：解：根据题意画树状图如下：共有6种等情况数，其中它们标记的数字之积是负数的有4种结果，所以它们标记的数字之积是负数的概率为46=23，故答案为：23．根据题意先画出树状图，得出所有等情况数，再找出标记的数字之积是负数的情况，利用概率公式计算可得．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14.答案：4π解析：本题考查了扇形的面积公式，直角三角形的性质，三角形的面积以及旋转的性质；根据图形及已知条件分析出阴影面积的求解方法是解此题的关键；阴影部分的面积为，即阴影部分面积为圆心角为120°，两个半径分别为4和2的圆环的面积差．解：∵∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=4cm，∴BC=2cm，AC=2√3cm，∠A′BA=120°，∠CBC′=120°，∴阴影部分面积为：==S扇形BAA′−S扇形BCC′=120π360×(42−22)=4π(cm2).故答案为4π．15.答案：3cm解析：本题考查了翻折变换及勾股定理，以及方程的应用.解答此类题目时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．由折叠的性质知CD=DE，AC=AE.根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．解：∵△ABC是直角三角形，AC=6cm，BC=8cm，∴AB=√AC2+BC2=√62+82=10(cm)，∵△AED是△ACD翻折而成，∴AE=AC=6cm，∴BE=AB−AE=10−6=4cm，设DE=CD=xcm，∠AED=90°，在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2，即(8−x)2=42+x2，解得x=3．CD的长为3cm．故答案为3cm．16.答案：解：(x+1x−1+1)÷x2+xx2−2x+1+2−2xx2−1=x+1+x−1x−1⋅(x−1)2x(x+1)+2(1−x)(x+1)(x−1) =2x⋅(x−1)2−2=2x−4x+1；满足−2≤x≤2的整数有：−2、−1、0、1、2但x=−1、0、1时，原式无意义，∴x=−2或2，∴当x=2时，原式=0．解析：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时根据除法法则变形，约分得到最简结果，将x=2代入计算即可求出值．17.答案：(1)200(2)43.2°(3)C组人数=200×40%=80(人)，A组人数=200−24−80−50−16=30(人)．条形统计图如图所示：(4)15×40%=6(万人)．答：估计乘公交车上班的人数为6万人．解析：解：(1)本次接受调查的市民共有：50÷25%=200(人)，故答案为200．=43.2°；(2)扇形统计图中，扇形B的圆心角度数=360°×24200故答案为43.2°(3)见答案(4)见答案本题考查条形统计图，扇形统计图，样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．(1)根据D组人数以及百分比计算即可．(2)根据圆心角度数=360°×百分比计算即可．(3)求出A，C两组人数画出条形图即可．(4)利用样本估计总体的思想解决问题即可．18.答案：(1)解：如图，连接CE，OC∵CD是半圆O的切线，∴OC⊥CD，∴∠ACO+∠DCA=90°．∵AD⊥CD，∴∠CAD+∠DCA=90°，∴∠ACO=∠CAD．∵OA=OC，∴∠OAC=∠ACO，∴∠CAD=∠OAC．∵CF⊥AB，AD⊥CD，∴DC=CF．∵四边形ABCE是圆的内接四边形，∴∠FBC+∠AEC=180°，∵∠DEC+∠AEC=180°，∴∠DEC=∠FBC．∵∠CDE=∠CFB=90°，∴△DCE≌△FCB(AAS)，∴DE=BF．(2)①30．②13．3解析：此题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，矩形的判定，正方形的判定，菱形的判定，圆周角定理及其推论，切线的性质．(1)连接OC，根据直线l是半圆O的切线，得到OC⊥CD，根据AD⊥CD，得到AD//OC，∠ACO=∠CAD，根据OA=OC，得到∠OAC=∠ACO，∠CAD=∠OAC，根据CF⊥AB，CD⊥AD，即可得到CD=CF；(2)连接EC，EO，当∠CAB=30°时，根据AB是半圆O的直径，得到∠ACB=90°，∠CBA=60°，证明△COB是等边三角形，得到OB=BC，证明△OEA是等边三角形，得到∠EOA=60°，∠EOC=60°，证明△OEC是等边三角形，得到OE=EC，即OB=BC=OE=EC，即可得到四边形OBCE为菱形．(1)见答案；(2)①连接EC，EO，当∠CAB=30°时，∴∠ACB=90°，∠CBA=60°，∴△COB是等边三角形，∴OB=BC，∴△OEA是等边三角形，∴∠EOA=60°，∠EOC=60°，∴△OEC是等边三角形，∴OE=EC，即OB=BC=OE=EC，即可得到四边形OBCE为菱形．故答案为30；②13．319.答案：解：作BM ⊥CQ 于M ，在Rt △ACP 中，tan∠APC =AC CP ， ∴CP =AC tan∠APC ≈8683.5=248(米)在Rt △BMQ 中，tan∠BQM =BM QM ，QM =BMtan∠BQM =868√3≈1475.6(米)PQ =CM +MQ −CP =1+1475.6−248=1228.6≈1229(米)答：这座大桥PQ 的长度约为1229米．解析：作BM ⊥CQ 于M ，根据正切的定义分别求出CP 、MQ ，结合图形计算即可．本题考查的是解直角三角形的应用−仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.答案：解：(1)设一台A 型换气扇x 元，一台B 型换气扇的售价为y 元，根据题意得：{x +3y =2753x +2y =300， 解得{x =50y =75， 答：一台A 型换气扇50元，一台B 型换气扇的售价为75元．(2)设购进A 型换气扇z 台，总费用为w 元，则有z ≤3(80−z)，解得：z ≤60，∵z 为换气扇的台数，∴z ≤60且z 为正整数，w =50z +75×0.8(80−z)=−10z +4800，∵−10<0，∴w 随着z 的增大而减小，∴当z =60时，w 最小=−10×60+4800=4200，此时80−z =80−60=20．答：最省钱的方案是购进60台A 型换气扇，20台B 型换气扇．解析： 此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识．(1)设一台A型换气扇x元，一台B型换气扇的售价为y元，根据“一台A型换气扇和三台B型换气扇共需275元；三台A型换气扇和二台B型换气扇共需300元”列方程组求解即可；(2)首先确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和换气扇的台数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．21.答案：二、四解析：解：：y=6x 图象在第一、三象限．据此经验，猜想函数y=−2x的图象在第二、四象限，故答案为：二、四根据反比例函数的性质，可得答案．本题考查了反比例函数的性质，利用反比例函数的性质是解题关键．22.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠ADB=∠CDB，在△ADE和△CDE中，{DA=DC∠ADE=∠CDEDE=DE ∴△ADE≌△CDE(SAS)，∴∠DAE=∠DCE；(2)EC⊥MC，理由如下：∵AD//BG，∴∠DAE=∠G，∵M是FG的中点，∴MC=MG=MF，∴∠G=∠MCG，又∵∠DAE=∠DCE，∴∠DCE=∠MCG，∵∠FCG=∠MCG+∠FCM=90°，∴∠ECM=∠DCE+∠FCM=90°，∴EC⊥MC；(3)∵∠FCG=90°，∴∠ECG一定是钝角，∴△CEG为等腰三角形必有CE=CG，∴∠CEM=∠G，FG，∵MC=MF=MG=12∴∠MCG=∠G，又∵∠EMC=∠MCG+∠G，∴∠EMC=2∠G，∵∠ECM=90°，∴∠CEM+∠EMC=90°，∴∠G+2∠G=90°，∴∠G=30°，∴∠AFD=∠CFG=90°−∠G=90°−30°=60°，∴∠DAE=90°−∠AFD=90°−60°=30°，过点E作EH⊥AD于H，∴∠EHA=∠EHD=90°，设EH=x，∵在Rt△EFA中，∠DAE=30°，∴AE=2EH=2x，∴AH=√AE2−EH2=√3x，∵在Rt△EHD中，∠ADE=45°，∴DH=EH=x，∴DE=√DH2+EH2=√2x，则AD=AH+HD=√3x+x=√3+1，解得，x=1，∴DE=√2x=√2．解析：本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，直角三角形的性质，掌握正方形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．(1)根据正方形的性质得到DA=DC，∠ADB=∠CDB，证明△ADE≌△CDE，根据全等三角形的性质证明即可；(2)根据直角三角形的性质得到MC =MG =MF ，证明∠ECM =90°即可；(3)过点E 作EH ⊥AD 于H ，设EH =x ，根据题意求出∠G =30°，根据直角三角形的性质用x 表示出AH 、HD ，列方程求出x ，得到答案．23.答案：解：(1)设直线AB 的解析式为y =px +q ，把A(3,0)，B(0,2)代入得{3p +q =0q =2，解得{p =−23q =2， ∴直线AB 的解析式为y =−23x +2；把A(3,0)，B(0,2)代入y =−43+bx +c 得{−43×32+3b +c =0c =2，解得{b =103c =2， ∴抛物线解析式为y =−43x 2+103x +2； (2)∵M(m,0)，MN ⊥x 轴，∴N(m,−43m 2+103m +2)，P(m,−23m +2)， ∴NP =−43m 2+4m ，PM =−23m +2，而NP =PM ，∴−43m 2+4m =−23m +2，解得m 1=3(舍去)，m 2=12， ∴N 点坐标为(12,103)；(3)在对称轴的左侧不存在点M 使四边形OMPB 的面积最大，理由如下：B(0,2)，M(m,0)，MN ⊥x 轴，∴P(m,−23m +2)， S 梯形OMPB =12(PM +OB)⋅OM =12(−23m +2+2)m =−13m 2+2m =−1(m −3)2+3 ∵对称轴是x =−b 2a =54，M 在对称轴的左侧，∴0<m <54，∴m 的值无法确定，在对称轴的左侧不存在点M使四边形OMPB的面积最大．解析：(1)利用待定系数法求直线和抛物线解析式；(2)先表示出N(m,−43m2+103m+2)，P(m,−23m+2)，则计算出NP=−43m2+4m，PM=−23m+2，则利用NP=PM得到−43m2+4m=−23m+2，然后解方程求出m即可得到N点坐标；(3)根据梯形的面积公式，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．本题考查了二次函数的综合题，解(1)的关键是待定系数法；解(2)的关键是利用中点得出−43m2+4m=−23m+2；解(3)的关键是利用梯形的面积公式得出二次函数，又利用了二次函数的性质．。
2020年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷(Word 含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣2．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为（）A．0.9×10﹣7毫米B．9×10﹣6毫米C．9×10﹣5毫米D．90×10﹣6毫米3．如图，是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中，与“若”字相对的面上的汉字是（）A．有B．必C．召D．回4．为了解学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确（）A．中位数是95分B．众数是90分C．平均数是95分D．方差是155．不等式的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（）A．10B．8C．6D．47．将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）A．B．C．D．8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．9．如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（）A．2B．6C．12D．2410．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移，平移后点A'的横坐标为4，则点B'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（6，﹣2）D．（6，﹣2）二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（）﹣1﹣＝．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠BAD＝120°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为．13．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n），则c和n的大小关系是c n．（填“＜““＞”“＝”）14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A'B'C'，A'C'交AB于点E，若AD＝BE，则阴影部分的面积是．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中x＝，y＝．17．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次随机抽取的学生共有名；（2）补全条形统计图；（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数；（4）在所调査的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．18．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是劣弧的中点，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：DE⊥BE；（2）填空：①连接AD，CD，当∠BOC＝°时，四边形AOCD是菱形；②若AB＝5，AD＝3，则CE＝．19．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征．某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶点A（此时∠AEB＝∠FED），在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.6米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.8，tan50°≈1.2，tan85°≈11）20．某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．21．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝（x≠0）的图象与性质，因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…＝…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到的：③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）函数y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．22．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为；②∠BEC＝°．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3．将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B 时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h 取得最大值时，点P的坐标．②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l 的解析式．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．1．﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质求解．解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．故选：A．2．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为（）A．0.9×10﹣7毫米B．9×10﹣6毫米C．9×10﹣5毫米D．90×10﹣6毫米【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：90纳米＝90×10﹣6毫米＝9×10﹣5毫米，故选：C．3．如图，是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中，与“若”字相对的面上的汉字是（）A．有B．必C．召D．回【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知，与“若”字相对的面上的汉字是“必”．故选：B．4．为了解学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确（）A．中位数是95分B．众数是90分C．平均数是95分D．方差是15解：A、中位数是90分，错误；B、众数是90分，正确；C、平均数＝，错误；D、方差＝＝21.25，错误；故选：B．5．不等式的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3，则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：C．6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（）A．10B．8C．6D．4解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF＝2，∴EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝4，∵在▱ABCD中，∴BD＝2OB＝8，故选：B．7．将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）A．B．C．D．解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种，则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是＝；故选：D．8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．故选：B．9．如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（）A．2B．6C．12D．24【分析】点P运动到点C处时，x＝AB+BC＝6，y＝AB×BC＝4，进而求解．解：当点P运动到点C处时，x＝AB+BC＝6①，此时，y＝×AB×BC＝4②，联立①②并解得：，则AC＝＝＝2，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移，平移后点A'的横坐标为4，则点B'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（6，﹣2）D．（6，﹣2）【分析】根据等边三角形的性质得出A的坐标，进而利用平移规律解答即可．解：∵等边三角形△OAB的边长为4，点A在第二象限内，∴点A坐标为（﹣2，2），∵平移后点A'的横坐标为4，∴平移规律为点A向右平移6，向下平移6个单位可得点A'，∴点B'的坐标为（6，﹣2），故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（）﹣1﹣＝﹣6．【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值．解：原式＝﹣2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠BAD＝120°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为2．【分析】根据平行四边形的性质可得角B＝60°，BC＝AD＝8，再根据作图过程可得EF 是AB的垂直平分线，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BF的长，进而可求出CF的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，BC∥AD，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，根据作图过程可知：EF是AB的垂直平分线，∴FE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，∴BF＝2BE＝6，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2．所以CF的长为2．故答案为：2．13．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n），则c和n的大小关系是c＜n．（填“＜““＞”“＝”）【分析】由点A、B的坐标利用二次函数的对称性可求出b的值，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出c和n的大小关系．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m）、B（4，m），∴﹣＝＝1，∴b＝﹣2，∵点C（5，n）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴n＝25﹣10+c，∴n﹣c＝15，∴c＜n，故答案为＜．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A'B'C'，A'C'交AB于点E，若AD＝BE，则阴影部分的面积是π﹣18．【分析】先利用勾股定理计算出AB＝10，设AD＝BE＝x，则DE＝10﹣2a，再根据旋转的性质得∠BDB′＝∠ADA′＝90°，∠A′＝∠A，DA′＝DA＝x，△ABC≌△A'B'C'，接着证明△A′DE∽△ACB，利用相似比得到＝，则求出x得到A′D＝3，DE＝4，DB＝7，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣（S△A′B′C′﹣S△A′DE）进行计算．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，设AD＝BE＝x，则DE＝10﹣2a，∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A'B'C'，∴∠BDB′＝∠ADA′＝90°，∠A′＝∠A，DA′＝DA＝x，△ABC≌△A'B'C'，∴∠A′＝∠A，∠A′DE＝∠ACB，∴△A′DE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝3，∴A′D＝3，DE＝4，DB＝7，∴阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣（S△A′B′C′﹣S△A′DE）＝﹣（×6×8﹣×3×4）＝π﹣18．故答案为π﹣18．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为4或1．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC ＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出AB的长度．解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝4，DC＝AB＝a，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝2，∴CE2＝CD2+DE2＝a2+4，∵BF＝3，BC＝4，∴CF＝＝＝5，由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∴CE2＝CF•CD，∴a2+4＝5a，解得：a＝4或1．故答案为：4或1．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中x＝，y＝．【分析】首先计算分式的除法，再计算减法，化简后，再代入x、y的值计算即可．解：原式＝•﹣，＝﹣，＝，＝，当x＝，y＝时，原式＝＝＝．17．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次随机抽取的学生共有50名；（2）补全条形统计图；（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数；（4）在所调査的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．【分析】（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）根据题意补全条形统计图即可；（3）用该校学生总人数乘以参与了4项活动的学生人数所占比例进而求出答案；（4）用参与了5项活动的学生人数和除以总人数得到结论；解：（1）本次随机抽取的学生共有14÷28%＝50（人）；故答案为：50；（2）活动数为5项的学生的数量万50﹣8﹣14﹣10﹣12＝6（人），补全条形统计图如图所示；（3）估计该校参与了4项活动的学生人数为3000×＝720（人）；（4）∵共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的学生有6名，∴选中参与了5项活动的学生的概率为＝．18．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是劣弧的中点，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：DE⊥BE；（2）填空：①连接AD，CD，当∠BOC＝60°时，四边形AOCD是菱形；②若AB＝5，AD＝3，则CE＝．【分析】（1）连接OD，BD，根据DE是⊙O的切线，推出∠ODE＝90°，由点D是的中点，推出，所以∠ABD＝∠DBC，由等腰三角形的性质∠ODB＝∠OBD，所以∠ODB＝∠DBC，推出OD∥BE，所以∠E＝90°，即DE⊥BE；（2）①若四边形AOCD是菱形，则OC＝CD，CD∥AB，根据OD＝OC，可推出△OCD为等边三角形，进而得出∠BOC度数；②由∠ECD＝∠A，∠ADB＝∠E＝90°，推出△ADB∽△CED，所以，代入CE＝．解：（1）如图，连接OD，BD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴点D是的中点，∵，∴∠ABD＝∠DBC，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BE，∴∠E＝90°，即DE⊥BE；（2）①∵四边形AOCD是菱形，∴OC＝CD，CD∥AB，∵OD＝OC，∴OD＝OC＝CD，即△OCD为等边三角形，∴∠DCO＝60°，∴∠BOC＝∠DCO＝60°；②∵∠ECD+∠DCB＝180°，∠DCB+∠A＝180°，∴∠ECD＝∠A，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴△ADB∽△CED，∴，即，∴CE＝．故答案为60，．19．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征．某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶点A（此时∠AEB＝∠FED），在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.6米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.8，tan50°≈1.2，tan85°≈11）【分析】过点F作FG⊥AB于G，构造矩形FGBD和直角△AGF，通过解该直角三角形求得线段AB的长度即可．解：如图，过点F作FG⊥AB于G，则BG＝DF，BD＝FG．设AB＝x米，则BE＝AB＝x米，DE＝DF＝1.6米．∴BD＝DE+BE＝FG＝x+1.6，AG＝x﹣1.6．在直角△AGF中，∠AFG＝40°，∴tan40°＝，即＝tan40°≈0.8．∴x＝14.4≈14．即：AB≈14米．答：旗杆AB的高度约为14米．20．某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．【分析】（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）①根据（1）的结论结合题意即可得出两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②根据①中函数关系式可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，根据题意得：，解得，答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．②当y1＝y2时，1920x+69600＝2160x+54000，解得x＝65；当y1＞y2时，即1920x+69600＞2160x+54000，解得：x＜65；当y1＜y2时，即1920x+69600＜2160x+54000，解得x＞65．∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．21．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝（x≠0）的图象与性质，因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…＝…235﹣3﹣10…（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x 的增大而增大；（“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到的：③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）函数y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题；解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．故答案为：增大，上，1，（0，1）；（3）根据题意得：＝﹣2x+1，解得：x＝±1，当x＝1时，y＝﹣2x+1＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，∴交点为（1，﹣1），（﹣1，3），当y＝0时，﹣2x+1＝0，x＝，∴△AOB的面积＝×（3+1）×＝1．22．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3．将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B 时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）【分析】（1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，据此判断出∠BAD＝∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；（2）首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB ＝∠AED＝90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故答案为：BD＝CE；60；（2）∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∴△BAD∽△CAE，∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEC＝135°﹣90°＝45°，∴∴BD＝CE，（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝cos30°＝，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，∵∠BEC＝30°，∴点C到直线DE的距离等于CE•sin30°＝﹣．如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，点C到直线DE的距离等于CE•sin30°＝+．综上所述，点C到直线DE的距离等于．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取得最大值时，点P的坐标．②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l的解析式．【分析】（1）求出B、C两点坐标并代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求二次函数的解析式；（2）①过点E作EM⊥PG于点M，能证明△PEG是等腰直角三角形，所以PE＝GP，设点P（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），可求h＝PE＝PG＝﹣（m﹣）2+即可求h的最大值和P点坐标；②直线l与直线BC平行，过点C作CS⊥l交于点S，直线l与y轴交于点T，可知△CST是等腰三角三角形，CT＝，则可求OT＝+3＝，同时在直线BC的下方仍有与BC平行的直线l，此时OT＝3﹣＝，由此可求直线l的解析式．解：（1）y＝﹣x+3与x轴交点B（3，0），与y轴交点（0，3），把点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①如图，过点E作EM⊥PG于点M，∴EM∥AB，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∴∠MEG＝45°，∵EM⊥PG，∴∠EGM＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEG是等腰直角三角形，∴PE＝GP，设点P（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，则PE＝PG＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），即h＝PG＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，h取最大值，此时P（，）；②由①可知PE＝，如图：直线l与直线BC平行，过点C作CS⊥l交于点S，直线l与y轴交于点T，∵线l到直线BC的距离等于PE，∴CS＝，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，∴∠STC＝45°，∴△CST是等腰三角三角形，∴CT＝，∴OT＝+3＝，∴直线l的解析式为y＝﹣x+；在直线BC的下方存在l，此时OT＝3﹣＝，∴直线l的解析式为y＝﹣x+；综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝﹣x+．。
精品解析2020年河南省南阳市新野县中考数学一模试题(解析版)
中考数学一模试题一．选择题1.|﹣3|的相反数是()A. ﹣3B. 3C. 13D. ﹣13【答案】A【解析】【分析】根据绝对值的性质先求出|−3|的值，然后进一步利用相反数的性质求解即可.【详解】∵|−3|=3，∴3的相反数是−3．故选：A．【点睛】本题主要考查了绝对值与相反数的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.2.目前世界上能制造的芯片最小工艺水平是5纳米，而我国能制造芯片的最小工艺水平是16纳米，已知1纳米＝10﹣9米，用科学记数法将16纳米表示为（）A. 1.6×10﹣9米B. 1.6×10﹣7米C. 1.6×10﹣8米D. 16×10﹣7米【答案】C【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】∵1纳米＝10﹣9米，∴16纳米表示为：16×10﹣9米＝1.6×10﹣8米．故选C．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3.如图所示的几何体的俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】从上边看是一个大矩形，大矩形里面是两个相邻的小矩形， 故选：B ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上边看得到的图形是俯视图是关键． 4.下列运算正确的是（ ） A. 235()a a -=- B. 3515a a a ⋅=C. 23246()ab a b -=D. 22321a a -=【答案】C 【解析】 【分析】分别根据幂的乘方法则，积的乘方法则，合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：A.()326a a -=- ，故此选项错误，不合题意；B.358a a a ⋅=，故此选项错误，不合题意；C.()22346a ba b -=，正确；D.22232a a a -=，故此选项错误，不合题意． 故选C ．【点睛】本题考查幂的乘方与积的乘方，合并同类项，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键． 5.某交警在一个路口统计的某时段来往车辆的车速情况如表： 车速(km/h) 48 49 50 51 52 车辆数(辆) 5 4821则上述车速的中位数和众数分别是( ) A. 50，8 B. 49，50C. 50，50D. 49，8【答案】C【详解】试题分析：要求一组数据的中位数，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第10、11两个数的平均数是50，所以中位数是50，在这组数据中出现次数最多的是50，即众数是50． 故选C ．考点：中位数和众数6.如图，在▱ABCD 中，AB 5=，BAD ∠的平分线与DC 交于点E ，BF AE ⊥，BF 与AD 的延长线交于点F ，则BC 等于( )A. 2B. 2.5C. 3D. 3.5【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形性质证，△AEF ≌△AEB ，EF=EB ，AB=AF=5，再证△DEF ≌△CEB ，得BC=DF ， 可得AF=AD+DF=AD+BC=2BC=5．【详解】解：因为，四边形ABCD 是平行四边形， 所以，AD ∥BC,AD=BC ∠C=∠FDE,∠EBC=∠F 因为，BAD ∠的平分线与DC 交于点E ，BF AE ⊥ 所以，∠FAE=∠BAE,∠AEB=∠AEF 所以，△AEF ≌△AEB 所以，EF=EB,AB=AF=5 所以，△DEF ≌△CEB 所以，BC=DF所以，AF=AD+DF=AD+BC=2BC=5 所以，BC=2.5． 故选B ．【点睛】本题考核知识点：平行四边形、全等三角形. 解题关键点：熟记平行四边形性质、全等三角形判定7.在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出．．．．两个球．．．，这两个球都是红球的概率是（）A. 12B.13C.23D.14【答案】A【解析】【分析】列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树形图得：一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况，故这两个球都是红球相同的概率是61= 122，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．8.我国古代数学著作《九章算术》卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出8钱，则剩余3钱：如果每人出7钱，则差4钱．问有多少人，物品的价格是多少？设有x人，物品的价格为y元，可列方程（组）为（）A.8374x yx y-=⎧⎨+=⎩B.8374x yx y+=⎧⎨-=⎩C.3487x x+-= D.3487y y-+=【答案】A【解析】【分析】设有x人，物品的价格为y元，根据所花总钱数不变列出方程即可．【详解】设有x人，物品的价格为y元，根据题意，可列方程：8374x yx y -=⎧⎨+=⎩， 故选A ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系．9.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根，m 为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m 的和为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法结合已知条件进行分析解答即可. 【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2+2x+m ﹣2=0有两个实数根， ∴△=()224120m =⨯⨯-≥，解得：3m ≤，又∵m 为正整数， ∴m=1或2或3，（1）当m=1时，原方程为x 2+2x-1=0，此时方程的两根均不为整数，故m=1不符合要求； （2）当m=2时，原方程为x 2+2x=0，此时方程的两根分别为0和-2，符合题中要求； （3）当m=3时，原方程为x 2+2x+1=0，此时方程的两根都为1，符合题中要求； ∴ m=2或m=3符合题意，∴m 的所有符合题意的正整数取值的和为：2+3=5. 故选B.【点睛】读懂题意，熟知“在一元二次方程()200ax bx c a ++=≠中，若方程有两个实数根，则△=240b ac -≥”是解答本题的关键.10.如图，正方形ABCD 的边长为3cm ，动点P 从B 点出发以3cm/s 的速度沿着边BC ﹣CD ﹣DA 运动，到达A 点停止运动；另一动点Q 同时从B 点出发，以1cm/s 的速度沿着边BA 向A 点运动，到达A 点停止运动．设P 点运动时间为x （s ），△BPQ 的面积为y （cm 2），则y 关于x 的函数图象是（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题意可得BQ=x．①0≤x≤1时，P点在BC边上，BP=3x，则△BPQ的面积=12BP•BQ，解y=12•3x•x=232x；故A选项错误；②1＜x≤2时，P点在CD边上，则△BPQ的面积=12BQ•BC，解y=12•x•3=32x；故B选项错误；③2＜x≤3时，P点在AD边上，AP=9﹣3x，则△BPQ的面积=12AP•BQ，解y=12•（9﹣3x）•x=29322x x；故D选项错误．故选C．考点：动点问题的函数图象．二．填空题11.写出一个比2大比3小的无理数（用含根号的式子表示）_____．5【解析】【分析】先利用4＜5＜9，再根据算术平方根的定义有25＜3，这样就可得到满足条件的无理数．【详解】∵4＜5＜9，∴253，即52大比3小的无理数．5【点睛】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算是解题的关键．12.如图，有一块含有30°角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠2=28°，那么∠1的度数是______．【答案】32°【解析】【分析】依据∠ABC=60°，∠2=28°，即可得到∠EBC=32°，再根据BE∥CD，即可得出∠1=∠EBC=32°．【详解】如图，∵∠ABC=60°，∠2=28°，∴∠EBC=32°，∵BE∥CD，∴∠1=∠EBC=32°，故答案为：32°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是关键．13.若点P（1-m，-2m-4）在第四象限，且m为整数，则m的值为______．【答案】-1，0【解析】【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出m的取值范围，进而得出答案．【详解】∵点P（1-m，-2m-4）在第四象限，且m为整数，∴10 240mm->⎧⎨--<⎩解得：-2＜m＜1，则m为：-1，0．故答案为-1，0．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确得出m的取值范围是解题关键．14.如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=60°，∠BCA=90°，AB的长为2cm，将△ABC绕点A逆时针旋转至△B′AC′，且点C′在射线BA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为______cm2．（结果保留π）【答案】π【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出AC、BC，再根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵∠BAC=60°，∠BCA=90°，∴∠ABC=30°，∴AC=12AB=1，BC=3，∴边BC扫过区域的面积为：21202360π⨯+12×3×1-21201360π⨯-12×3×1=πcm2．故答案为：π．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算、旋转变换的性质，掌握扇形的面积公式：S=2360n Rπ是解题的关键．15.菱形ABCD的边长是4，∠DAB=60，点M，N分别在边AD，AB上，MN⊥AC，垂足为P，把△AMN沿MN折叠得到△A'MN，若△A'DC恰为等腰三角形，则AP的长为_____．【答案】3243 3【解析】解：设AP=x，则A′P=AP=x．∵菱形ABCD的边长是4，∠DAB=60，∴菱形较短的对角线为4，较长的对角线AC=43A′C=432x．∵△A'DC为等腰三角形，∴分三种情况讨论：①A′C=DC，即432x=4，解得：x=232；②DC=DA′．∵DC=4，∴DA′=4，此时A′与A重合，此种情况不成立；③DA ′=CA ′=432x -．∵ABCD 是菱形，∠DAB =60，∴∠DCA =30°，过A ′作A ′F ⊥DC 于F ．∵DA ′=CA ′，∴DF =FC =2，∴A ′F =233=，∴A ′C =2 A ′F =43， ∴432x -=433，解得：x =433． 综上所述：AP 的长为232-或433． 故答案为232-或43．点睛：本题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，分类讨论是解答本题的关键．三．解答题16.先化简，再求值：221443(1)21x x x x x x x -+-÷+-+--，其中x 是不等式2513x x -<-的最小整数解 【答案】-2. 【解析】试题分析：先把所给的代数式进行化简，然后再解不等式，求出x 的最小整数解，代入求值即可.试题解析：221443(1)21x x x x x x x -+-÷+-+-- 21(2)(1)(1)32(1)1x x x x x x x -+--=-÷+-- 21(2)1·2(1)(2)(2)x x x x x x x --=-+-+- 122(2)x x x x -=-++2(2)x x =+解不等式得：x ＞-2； 所以x 的最小整数解为x=-1 把x=-1代入上式得：原式=22112（）=---+.考点: 1.分式的化简求值；2.解一元一次不等式组.17.某社区组织“献爱心”捐款活动，并对部分捐款户数进行调查和分组统计，数据整理成如下统计图表（图中信息不完整）． 捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x ）元 户数 A 1≤x ＜100 2 B 100≤x ＜200 10 C 200≤x ＜300 c D 300≤x ＜400 d E x≥400e请结合以上信息解答下列问题： （1）本次调查的样本容量是______； （2）d=______，并补全图1；（3）图2中，“B”所对应扇形的圆心角为______度；（4）若该社区有500户住户，根据以上信息估计全社区捐款不少于300元的户数是______．【答案】（1）50；（2）14；补图见解析；（3）72；（4）180户．【解析】 【分析】（1）由条形图中C 组户数及扇形图中其对应百分比可得总户数； （2）总户数乘以D 组百分比可得；（3）用360°乘以B 组户数所占百分比可得； （4）总户数乘以样本中D 、E 组的百分比之和可得． 【详解】(1）本次调查的样本容量为20÷40%=50， 故答案为：50； （2）d=50×28%=14， 补全图1如下：故答案为：14；（3）图2中，“B”所对应扇形的圆心角为360°×1050=72°， 故答案为：72；（4）估计全社区捐款不少于300元的户数是500×（28%+8%）=180户， 故答案为：180户．【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察．分析．研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 18.如图，已知△ABC 内接于O e ，AB 是直径，OD∥AC，AD=OC. (1)求证：四边形OCAD 平行四边形；(2)填空：①当∠B= 时，四边形OCAD 是菱形； ②当∠B= 时，AD 与O e 相切.【答案】（1）证明见解析；（2）① 30°，② 45° 【解析】试题分析：（1）根据已知条件求得∠OAC =∠OCA ，∠AOD =∠ADO ，然后根据三角形内角和定理得出∠AOC =∠OAD ，从而证得OC ∥AD ，即可证得结论；（2）①若四边形OCAD 是菱形，则OC =AC ，从而证得OC =OA =AC ，得出∠60AOC ∠=o ，即可求得1302B AOC ∠=∠=o ；②AD 与O e 相切，根据切线的性质得出90OAD ∠=o ，根据AD ∥OC ，内错角相等得出90AOC ∠=o ，从而求得145.2B AOC ∠=∠=o试题解析：(方法不唯一) (1)∵OA =OC ，AD =OC ， ∴OA =AD ，∴∠OAC =∠OCA ，∠AOD =∠ADO ， ∵OD ∥AC ， ∴∠OAC =∠AOD ，∴∠OAC =∠OCA =∠AOD =∠ADO ， ∴∠AOC =∠OAD ， ∴OC ∥AD ，∴四边形OCAD 是平行四边形； (2)①∵四边形OCAD 是菱形， ∴OC =AC ， 又∵OC =OA ， ∴OC =OA =AC ， ∴60AOC ∠=o ， ∴1302B AOC ∠=∠=o ；故答案为30.o ②∵AD 与O e 相切， ∴90OAD ∠=o ， ∵AD ∥OC ， ∴90AOC ∠=o ， ∴145.2B AOC ∠=∠=o故答案为45.o19.如图，为了测量一座大桥的长度，在一架水平飞行的无人机AB 的尾端A 点测得桥头P 点的俯角α=74°，前端B 点测得桥尾Q 点的俯角=30°，此时无人机的飞行高度AC=868米，AB=1米．求这座大桥PQ 的长度（结果保留整数）（参考数据：sin74°≈0.9，cos74°≈0.3，tan74°≈3.5，3≈1.7，2≈1.4）【答案】这座大桥PQ 的长度约为1229米． 【解析】 【分析】作BM ⊥CQ 于M ，根据正切的定义分别求出CP 、MQ ，结合图形计算即可． 【详解】作BM ⊥CQ 于M ，在Rt △ACP 中，tan ∠APC=ACCP， ∴CP=AC tan APC ∠≈8683.5=248（米）在Rt △BMQ 中，tan ∠BQM=BMQM，QM=BMtan BQM∠（米）PQ=CM+MQ-CP=1+1475.6-248=1228.6≈1229（米）答：这座大桥PQ的长度约为1229米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念．熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20.某企业开展献爱心扶贫活动，将购买的60吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民，现有甲、乙两种货车可以租用．已知一辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送29吨大米，2辆甲种货车和3辆乙种货车一次可运送37吨大米．（1）求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米？（2）已知甲种货车每辆租金为500元，乙种货车每辆租金为450元，该企业共租用8辆货车．请求出租用货车的总费用w（元）与租用甲种货车的数量x（辆）之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？【答案】（1）甲车装8吨，乙车装7吨；（2）w=500x+450（8﹣x）=50x+3600（1≤x≤8）；（3）租用4辆甲车，4辆乙车时总运费最省，为50×4+3600=3800元．【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组求解即可；（2）将两车的费用相加即可求得总费用的函数解析式；（3）根据一次函数得到当x越小时，总费用越小，分别代入1，2，3，4得到最小值即可．详解】(1)设每辆甲种货车一次可装运x吨大米，每辆乙种货车一次可装运y吨大米，根据题意得：329 2337 x yx y+=⎧⎨+=⎩解得：87 xy=⎧⎨=⎩答：每辆甲种货车一次可装运8吨大米，每辆乙种货车一次可装运7吨大米.(2)设甲车x辆,则乙车为(8−x)辆，根据题意得：w=500x+450(8−x)=50x+3600(1≤x≤8)；(3)∵当x=1时，则8−x=7，w=8+7×7=57<60吨，不合题意；当x=2时，则8−x=6，w=8×2+7×6=58<60吨，不合题意；当x=3时，则8−x=5，w=8×3+7×5=59<60吨，不合题意；当x=4时，则8−x=4，w=8×4+7×4=60吨，符合题意；∴租用4辆甲车，4辆乙车时总运费最省，为50×4+3600=3800元.【点睛】该题主要考查了列二元一次方程组或一次函数来解决现实生活中的实际应用问题；解题的关键是深入把握题意，准确找出命题中隐含的数量关系，正确列出方程或方程组来分析、推理、解答．21.（1）观察猜想如图①点B、A、C在同一条直线上，DB⊥BC，EC⊥BC且∠DAE=90°，AD=AE，则BC、BD、CE之间的数量关系为______；（2）问题解决如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CB=4，AB=2，以AC为直角边向外作等腰Rt△DAC，连结BD，求BD的长；（3）拓展延伸如图③，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，CB=4，AB=2，DC=DA，请直接写出BD的长．【答案】（1）BC=BD+CE，（2）10（3）32【解析】【分析】（1）证明△ADB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=AC，EC=AB，即可得到BC、BD、CE之间的数量关系;（2）过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，证明△ABC≌△DEA，得到DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE 中，BE=6，根据勾股定理即可得到BD的长；（3）过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，证明△CED≌△AFD，根据全等三角形的性质得到CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，根据CB=4，AB=2，列出方程组，求出,x y的值，根据勾股定理即可求出BD的长.【详解】解：（1）观察猜想结论：BC=BD+CE，理由是：如图①，∵∠B=90°，∠DAE=90°，∴∠D+∠DAB=∠DAB+∠EAC=90°，∴∠D=∠EAC，∵∠B=∠C=90°，AD=AE，∴△ADB≌△EAC，∴BD=AC，EC=AB，∴BC=AB+AC=BD+CE；（2）问题解决如图②，过D作DE⊥AB，交BA的延长线于E，由（1）同理得：△ABC≌△DEA，∴DE=AB=2，AE=BC=4，Rt△BDE中，BE=6，由勾股定理得：2262210BD+=；（3）拓展延伸如图③，过D作DE⊥BC于E，作DF⊥AB于F，同理得：△CED≌△AFD，∴CE=AF，ED=DF，设AF=x，DF=y，则42x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得：13,xy=⎧⎨=⎩∴BF=2+1=3，DF=3，由勾股定理得：223332BD=+=．【点睛】考查全等三角形的判定与性质，勾股定理，二元一次方程组的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键. 22.如图，直线y=-34x+1与x 轴．y 轴分别交于A ．B 两点，抛物线y=-12x 2+bx+c 经过点B ，且与直线AB 的另一交点为C （4，n ）．（1）求n 的值及该抛物线所对应的函数关系式；（2）设抛物线上的一个动点P 的横坐标为t （0＜t ＜4），过点P 作PD ⊥AB 于点D ，作PE ∥y 轴交直线AB 于点E ，①y 轴上存在点Q ，使得四边形QEPB 是矩形，请求出点Q 的坐标； ②求线段PD 的长的最大值； ③当t 为何值时，点D 为BE 的中点．【答案】（1）n=-2；y=12-x 2+54x+1；（2）①点Q 的坐标为708⎛⎫- ⎪⎝⎭，；②PD 最大=85；③当t=2312时，E 为BE 的中点． 【解析】 【分析】（1）把x=4．y=n 代入314y x =-+中，即可求出n 的值，从而求出212y x bx c =-++中b ，c 的值； （2）①由P 点的横坐标为t ，则可知P 点的纵坐标为215124t t -++，E 点的坐标为314t -+，而四边形BPEQ为矩形，点B 的坐标为（0，1），则可求得2151124t t -++=，解得t 值；②易证△PED ∽△EBQ ，则有PE PD BE QE =，PD=PE QEBE⋅，得出关于t 的二次函数，即可求最大值； ③点D 为BE 的中点，即DE=12BE ，代入②中PE PD BE QE =，即求得此时的t 值． 【详解】（1）把x=4．y=n 代入314y x =-+中，得：n=34-×4+1=-2 ∴点C 的坐标为（4，-2）将点C （4，-2）和（0，1）代入212y x bx c =-++，得：-8+4b+1=-2 解得：b=54∴y=12-x 2+54x+1 （2）①∵P 点的横坐标为t ，则P 点的纵坐标为215124t t -++，E 点的纵坐标为314t -+， ∵四边形BPEQ 为矩形，故PB ⊥y 轴 ∵点B 的坐标为（0，1） ∴2151124t t -++=， 解得：t 1=0（舍去），t 2=52∴t=52， 则点E 的纵坐标为：3571428-⨯+=- ∴点Q 的坐标为708⎛⎫- ⎪⎝⎭，②∵PE=12-t 2+54t+1-（-34t+1）=21122t t -+QE=t QB=331144t t +-==54t ∵∠BQE=∠PDE=90° ∠PEB=∠EBQ ∴△PED ∽△EBQ∴PE PD BE QE =，得2112254t t t -+=PD t PD=()22282825555t t t -+=--+∵205-＜∴PD 有最大值 PD 最大=85③∵点D 为BE 的中点 ∴由PE DE BE BQ =，DE=12BE ，得212BE PE QB =⋅ 代入得215()24t ⨯=2113224t t t ⎛⎫-+⨯ ⎪⎝⎭整理得，225363284t t t =-+⇒25t=-12t 2+48t 解得t 1=0（舍去），t 2=2312∴当t=2312时，E 为BE 的中点【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 23.反比例函数y=kx（k 为常数，且k≠0）图象经过点A （1，3）、B （3，m ）． （1）求反比例函数解析式及B 点的坐标；（2）在x 轴上找一点P ，使PA+PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标．【答案】(1)3y x =; B 点坐标为（3，1）；(2) P 点坐标为（52，0）． 【解析】【分析】（1）先把A 点坐标代入y=kx求出k 得到反比例函数解析式；然后把B （3，m ）代入反比例函数解析式求出m 得到B 点坐标；（2）作A 点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于P 点，则A′（1，﹣3），利用两点之间线段最短可判断此时此时PA+PB 的值最小，再利用待定系数法求出直线BA′的解析式，然后求出直线与x 轴的交点坐标即可得到P 点坐标．【详解】（1）把A （1，3）代入y=kx 得k=1×3=3， ∴反比例函数解析式为y=3x ；把B （3，m ）代入y=3x得3m=3，解得m=1，∴B 点坐标为（3，1）；（2）作A 点关于x 轴的对称点A′，连接BA′交x 轴于P 点，则A′（1，﹣3）， ∵PA+PB=PA′+PB=BA′， ∴此时PA+PB 的值最小， 设直线BA′的解析式为y=mx+n ， 把A′（1，﹣3），B （3，1）代入得331m n m n +=-⎧⎨+=⎩，解得25m n =⎧⎨=-⎩， ∴直线BA′的解析式为y=2x ﹣5， 当y=0时，2x ﹣5=0，解得x=52， ∴P 点坐标为（52，0）．【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、最短路径问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键.21。
河南省南阳市镇平县2020年中考数学一模试卷(含解析)
河南省南阳市镇平县2020年中考数学一模试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）9的平方根是（）A．3 B．±3 C．D．812．（3分）科学家可以使用冷冻显微术以高分辨率测定溶液中的生物分子结构，使用此技术测定细菌蛋白结构的分辨率达到0.22纳米，也就是0.000 000 000 22米．将0.000 000 000 22用科学记数法表示为（）A．0.22×10﹣9B．2.2×10﹣10C．22×10﹣11D．0.22×10﹣8 3．（3分）如右图所示的几何体的俯视图为（）A．B．C．D．4．（3分）下列运算正确的是（）A．b5÷b3＝b2B．（b5）2＝b7C．b2•b4＝b8D．a•（a﹣2b）＝a2+2ab5．（3分）在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为（）A．B．C．D．6．（3分）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．7．（3分）下表是某校合唱团成员的年龄分布表：年龄/岁12 13 14 15频数 5 15 x10﹣x 对于不同的x，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）A．平均数、中位数B．众数、中位数C．平均数、方差D．中位数、方差8．（3分）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（5，2），C（5，5）．若反比例函数在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．2≤k≤25 B．2≤k≤10 C．1≤k≤5 D．10≤k≤25 9．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿A﹣B﹣C匀速运动，到点C停止运动．点P运动时，线段AP的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中D为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是（）A．10 B．12 C．20 D．24二.填空题（每小题3分，共15分）11．（3分）计算：（﹣）2＝．12．（3分）如图，AB∥CD，DB⊥BC，∠2＝50°，则∠1的度数是．13．（3分）关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，c的值：a＝，c＝．14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为A（1，0），等腰直角三角形ABC 的边AB在x轴的正半轴上，∠ABC＝90°，点B在点A的右侧，点C在第一象限．将△ABC绕点A逆时针旋转75°，如果点C的对应点E恰好落在y轴的正半轴上，那么点C 的坐标为．15．（3分）如图，已知正方形ABCD，边长为8，E是AB边上的一点，连接DE，将△DAE沿DE所在直线折叠，使点A的对应点A1落在正方形的边CD或BC的垂直平分线上，则AE 的长度是．三.解答题（共8个大题，满分75分）16．（8分）先化简，再求值：（﹣x﹣y）÷x2，其中x﹣y＝﹣．17．（9分）某教研机构为了了解初中生课外阅读名著的现状，随机抽取了某校50名初中生进行调查，依据相关数据绘制成了以下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：类别重视一般不重视人数a15 b （1）求表格中a，b的值；（2）请补全统计图；（3）若某校共有初中生2000名，请估计该校“重视课外阅读名著”的初中生人数．18．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边上一点，以BD为直径的⊙O 与边AC相切于点E，连接DE并延长DE交BC的延长线于点F．（1）求证：BD＝BF；（2）填空：①若⊙O的半径为5，tan B＝，则CF＝；②若⊙O与BF相交于点H，当∠B的度数为时，四边形OBHE为菱形．19．（9分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA＝35°，∠ECB＝45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）20．（9分）已知函数y＝（x＞0）的图象与一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象交于点A （3，n）．（1）求实数a的值；（2）设一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，若点C在y轴上，且S△ABC ＝2S△AOB，求点C的坐标．21．（10分）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：A B进价（元/件）1200 1000售价（元/件）1380 1200（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元？22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．在平面内任取一点D，连结AD （AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．（1）直线BD和CE的位置关系是；（2）猜测BD和CE的数量关系并证明；（3）设直线BD，CE交于点P，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°，AB＝2，AD＝1时，直接写出PB的长．23．（11分）如图甲，抛物线y＝ax2+bx﹣1经过A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的表达式和直线BC的表达式．（2）如图乙，点P为在第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线PE交直线BC于点D．①在点P运动过程中，四边形ACPB的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．②是否存在点P使得以点O，C，D为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．2020年河南省南阳市镇平县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．【解答】解：±＝±3，故选：B．2．【解答】解：0.000 000 000 22＝2.2×10﹣10，故选：B．3．【解答】解：从上面看是一个矩形，矩形中间有一个圆．故选：C．4．【解答】解：A、b5÷b3＝b2，正确；B、（b5）2＝b10，错误；C、b2•b4＝b6，错误；D、a•（a﹣2b）＝a2﹣2ab，错误；故选：A．5．【解答】解：根据题意列表得：2 3 4 52 ﹣﹣﹣（3，2）（4，2）（5，2）3 （2，3）﹣﹣﹣（4，3）（5，3）4 （2，4）（3，4）﹣﹣﹣（5，4）5 （2，5）（3，5）（4，5）﹣﹣﹣由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，所以两个小球上的数字之积大于9的概率为＝；故选：A．6．【解答】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．7．【解答】解：由表可知，年龄为14岁与年龄为15岁的频数和为x+10﹣x＝10，则总人数为：5+15+10＝30，故该组数据的众数为13岁，中位数为：岁，即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，故选：B．8．【解答】解：∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数y＝经过点A时k最小，经过点C时k最大，∴k最小＝1×2＝2，k最大＝5×5＝25，∴2≤k≤25．故选：A．9．【解答】解：连接OE．∵S△ADC＝AD•CD＝×2×2＝2，S扇形OCE＝π×12＝，S△COE＝×1×1＝，∴S弓形CE＝，∴阴影部分的面积为2﹣（）＝﹣．故选：D．10．【解答】解：根据图象可知，点P在AB上运动时，此时AP不断增大，由图象可知：点P从A向B运动时，AP的最大值为5，即AB＝5，点P从B向C运动时，AP的最小值为4，即BC边上的高为4，∴当AP⊥BC，AP＝4，此时，由勾股定理可知：BP＝3，由于图象的曲线部分是轴对称图形，∴PC＝3，∴BC＝6，∴△ABC的面积为：×4×6＝12，故选：B．二.填空题（每小题3分，共15分）11．【解答】解：（﹣）2＝．故答案为：．12．【解答】解：在△BCD中，∠CBD＝90°，∠2＝50°，∴∠BCD＝180°﹣∠CBD﹣∠2＝180°﹣90°﹣50°＝40°．∵AB∥CD，∴∠1＝∠BCD＝40°．故答案为：40°．13．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2+2x+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，∴△＝22﹣4ac＝0，∴ac＝1，即当a＝1时，c＝1．故答案为：1；1．14．【解答】解：依题可知，∠BAC＝45°，∠CAE＝75°，AC＝AE，∴∠OAE＝60°，在Rt△AOE中，OA＝1，∠EOA＝90°，∠OAE＝60°，∴AE＝2，∴AC＝2．∴在Rt△ABC中，AB＝BC＝，∴OB＝+1，∴C（+1，），故答案为：（+1，）．15．【解答】解：分两种情况：①当点A的对应点A1落在正方形的边CD的垂直平分线MN上时，如图1所示：由折叠的性质得：∠DA1E＝∠A＝90°，A1D＝AD＝8，则MN⊥AB，MN⊥AB，DM＝CD＝4，A1D＝AD＝8，∴∠DA1M＝30°，A1M＝＝4，∴∠EA1N＝180°﹣30°﹣90°＝60°，A1N＝8﹣4，∴∠A1EN＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝A1E＝2A1N＝16﹣8；②当点A的对应点A1落在正方形的边BC的垂直平分线GH上时，作AP⊥AB于P，如图2所示：则DG＝A1P＝AD＝4，A1D＝AD＝8，∠DA1E＝90°，AE＝A1E，∴DG＝A1D，∴∠DA1G＝30°，∴∠PA1E＝30°，∴AE＝A1E＝＝＝；综上所述，AE的长为16﹣8或；故答案为：16﹣8或．三.解答题（共8个大题，满分75分）16．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x﹣y＝﹣，即y﹣x＝时，原式＝＝．17．【解答】解：（1）根据题意得：b＝5，a＝50﹣（15+5）＝30；（2）补全条形统计图，如图所示：（3）根据题意得：2000×＝1200（人），则该校“重视课外阅读名著”的初中生人数约有1200人．18．【解答】（1）证明：如图1中，连接OE．∵AE是⊙O的切线，∴OE⊥AC，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OE∥BC，∵OB＝OD，∴DE＝EF，∴BF＝2OE，∵BD＝2OE，∴BD＝BF．（2）①解：如图1中，由题意BD＝BF＝2OE＝10，∵OE∥BC，∴∠AOE＝∠B，∴tan∠AOE＝tan∠B＝＝，∵OE＝5，∴AE＝，∵AE2＝AD•AB，∴＝AD（AD+10），解得AD＝或﹣（舍弃）∵∠ACB＝90°，设AC＝4k，BC＝3k，则有（10+）2＝16k2+9k2，解得k＝或﹣（舍弃），∴BC＝3k＝8，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣8＝2．故答案为2．②解：结论：当∠B＝60°时，四边形BOEH是菱形．理由：如图2中，连接OE，EH．∵BD＝BF，∠B＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴∠BDE＝60°，∵∠BHE+∠BDE＝180°，∴∠BHE＝120°，∴∠B+∠BHE＝180°，∴OB∥HE，∵OE∥BH，∴四边形BOEH是平行四边形，∵OB＝OE，∴四边形BOEH是菱形．故答案为60°．19．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB＝∠CBD＝45°，∠ECA＝∠CAD＝35°，AB＝9．设CD＝x，∵在Rt△CDB中，∠CDB＝90°，∠CBD＝45°，∴CD＝BD＝x，∵在Rt△CDA中，∠CDA＝90°，∠CAD＝35°，∴tan∠CAD＝，∴AD＝，∵AB＝9，AD＝AB+BD，∴9+x＝，解得x＝21，答：CD的长为21米．20．【解答】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象过A（3，n），∴3n＝3，n＝1，∴A（3，1）∵一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象过点A（3，1），∴1＝3a﹣1，解得a＝1；（2）∵一次函数y＝ax﹣2（a≠0）的图象与y轴交于点B，∴B（0，﹣2），①当C点在y轴的正半轴上时，设C（0，m），∵S△ABC＝2S△AOB，∴×（m+2）×3＝2××2×3，解得：m＝2，②当C点在y轴的负半轴上时，设C（0，h），∵S△ABC＝2S△AOB，∴×（﹣2﹣h）×3＝2××2×3，解得：h＝﹣6，∴C（0，2）或（0，﹣6）．21．【解答】解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，根据题意得化简得，解之得．答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．（2）由于第二次A商品购进400件，获利为（1380﹣1200）×400＝72000（元）从而B商品售完获利应不少于81600﹣72000＝9600（元）设B商品每件售价为z元，则120（z﹣1000）≥9600解之得z≥1080所以B种商品最低售价为每件1080元．22．【解答】解：（1）BD⊥CE，理由：延长CE交BD于P，∵将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∵∠DAB+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝90°，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝∠ABP+∠ABC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴BD⊥CE，故答案为：BD⊥CE；（2）BD和CE的数量是：BD＝CE；由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD＝CE；（3）①当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝1．∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，同（1）可证△ADB≌△AEC．∵∠AEC＝∠BEP，∴∠BPE＝∠EAC＝90°，∵∠PBE＝∠ABD，∴△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴BP＝．②当点E在BA延长线上时，BE＝3，∵∠EAC＝90°，∴CE＝＝，由△BPE∽△BAD，∴＝，∴＝，∴PB＝，综上所述，PB的长为或．23．【解答】解：（1）二次函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣2）＝ax2﹣ax﹣2a，即：﹣2a＝﹣1，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣1，点C（0，﹣1），则直线BC的表达式为：y＝kx﹣1，将点B的坐标代入上式得：0＝2k﹣1，解得：k＝，故直线BC的表达式为：y＝x﹣1；（2）①设点P（x，x2﹣x﹣1），则点D（x，x﹣1），S四边形ACPB＝S△ABC+S△BCP＝×AB×OC+×PD×OB＝×3×1+×2（x﹣1﹣x2+x+1）＝﹣x2+x+，∵﹣0，故S有最大值，当x＝1时，S最大值为2；②设点D坐标为（m，m﹣1），则CD2＝m2+m2，OC2＝1，DO2＝m2+（m﹣1）2＝m2﹣m+1，当CD＝OC时，m2+m2＝1，解得：m＝，同理可得：当CD＝OD时，m＝1，当OC＝OD时，m＝，则点P坐标为（，）或（1，﹣1）或（，﹣）．。
2020年河南省南阳市新野县中考数学一模试卷(含答案解析)
2020年河南省南阳市新野县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列各数中，最小的数是()A. −2018B. 2018C. −12018D. 120182.小明正在读一则消息：“某品牌手机预计销量2000万……”，其中“2000万”用科学记数法表示为()A. 2×107B. 2×108C. 0.2×108D. 20×1073.图中所示几何体的主视图是()A.B.C.D.4.将方程x2+x −32−x=1+84−x2去分母，得()．A. 2x−x2−6−3x=4−x2+8B. x2−2x+6+3x=4−x2+8C. 2x−x2+6+3x=4−x2+8D. x2+2x−3x=1−85.数据1，2，3，0，5，5，6的中位数和众数分别是()A. 3和2B. 3和3C. 3和5D. 0和56.关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A. m≤B. m<C. m≥D. m>7.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，若BF=12，AB=10，则AE的长为()A. 13B. 14C. 15D. 168.市“双创”活动中，某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行榆查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是A. 19B. 16C. 13D. 239.如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE//AB交AD于点E.若OE=3，BC=8，则OB的长为()A. 4B. 5C. √342D. √3410.如图，小手盖住的点的坐标可能是()A. (6,−4)B. (5,2)C. (−3,−6)D. (−3,4)二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.化简：√64=______．12.若m是方程x2−2x=2的一个根，则2m2−4m+2010的值是______ ．13.点P1(−1,y1)，P2(3,y2)，P3(5,y3)均在二次函数y=ax2−2ax+c(a<0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______．14.如图(1)所示，E为矩形ABCD的边AD上一点动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE−ED−DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P 、Q 同时出发t 秒时，△BPQ 的面积为ycm 2.已知y 与t 的函数关系图象如图(2)(其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段)，则下列结论：①0<t ≤5时，y =45t 2；②当t =6秒时△ABE≌△PQB ；③cos∠CBE =45；④当t =292秒时，△ABE∽△QBP ；⑤线段NF 所在直线的函数关系式为：y =−4x +96.其中正确的是________.(填序号)15. 如图，菱形ABCD 中，AB =AC =2，点E 、F 是AB ，AD 边上的动点，且AE =DF ，则EF 长的最小值为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16. 先化简，再求值：(x +y)(x −y)+(x +y)2−2x(x −y)，其中x =√2−1，y =√2+1．四、解答题（本大题共7小题，共67.0分）17.学校开展“书香校园”活动以来，受到同学们的广泛关注，学校为了解全校学生课外阅读的情况，随机调查了部分学生在一周内借阅图书的次数，并制成如图不完整的统计表．学生借阅图书的次数统计表借阅图书的次数0次1次2次3次4次及以上人数713a103学生借阅图书的次数统计图请你根据统计图表中的信息，解答下列问题：(1)a=________，b=________．(2)请计算扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数；(3)若该校共有2000名学生，根据调查结果，估计该校学生在一周内借阅图书“3次及以上”的人数．18.如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，AC交⊙O于点E，D为AC，求OD上一点，∠AOD=∠C.⑴求证：OD⊥AC；⑴若AE=8，cosA=45的长．19.如图，高楼顶部有一信号发射塔(FM)，在矩形建筑物ABCD的D、C两点测得该塔顶端F的仰角分别为45°、64.5°，矩形建筑物高度DC为22米．求该信号发射塔顶端到地面的距离FG.(精确到1m)(参考数据：sin64.5°≈0.90，cos64.5°≈0.43，tan64.5°≈2.1)(x<0)的图象交于点A(−1,m)，与x轴交于点B(1,0)20.直线y=kx+b与反比例函数y=2x(1)求m的值；(2)求直线AB的解析式；(3)若直线x=t(t>1)与直线y=kx+b交于点M，与x轴交于点N，连接AN，S△AMN=3，求2 t的值．21.一批机器零件共840个，如果甲先做4天，乙加入和甲一起做，那么再做8天才能完成；如果乙先做4天，甲加入和乙一起做，那么再做9天才能完成.问：甲、乙两人每天各做多少个零件？22.如图1，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．(1)观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是______，位置关系是______；(2)探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；(3)拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=10，请直接写出△PMN面积的最大值．x2−2x+6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．23.如图，已知抛物线y=−12(1)连接BC，求直线BC的解析式；(2)点P在第二象限的抛物线上，连接PB，PC，求当S△PBC=27时，点P的坐标；2(3)在(2)问的条件下，在抛物线上取一点Q，且∠PCB+∠OBQ=90°，求Q的坐标．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了有理数的大小比较：正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小．利用正数大于一切负数和两个负数，绝对值大的其值反而小可得到四个数的大小关系．解：由题意知：−2018<−12018<12018<2018．故选A．2.答案：A解析：此题主要考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2000万有8位，所以可以确定n=8−1=7．解：2000万=20000000=2×107．故选A．3.答案：A解析：解：几何体的主视图为：故选：A．从正面看几何体，确定出主视图即可．此题考查了简单几何体的三视图，主视图即为从正面看几何体得到的视图．4.答案：A解析：本题考查了分式方程的解法.将分式方程转化成整式方程是解分式方程的基本思想．根据法则在方程两边同乘以最简公分母(2+x)(2−x)即可求解．解：方程两边乘以最简公分母(2+x)(2−x)得x(2−x)−3(2+x)=(2+x)(2−x)+8，去括号得：2x−x2−6−3x=4−x2+8．故选A．5.答案：C解析：此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大(或从大到小)重新排列后，最中间的那个数(或最中间两个数的平均数)叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．解：将数据从小到大排列为：0，1，2，3，5，5，6，则中位数是3，5出现了2次，出现的次数最多，则众数是5．故选C．6.答案：B解析：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；(3)△<0⇔方程没有实数根．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．解：∵关于x的一元二次方程x2−3x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×1×m>0，∴m<9．4故选：B．7.答案：D解析：解：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF，∴四边形ABEF是菱形，BF=6，∴AE⊥BF，OA=OE，OB=OF=12∴OA=√AB2−OB2=√102−62=8，∴AE=2OA=16；故选：D．先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可得出四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，BF=6，由勾股定理求出OA，即可得出AE的长．OA=OE，OB=OF=12本题考查平行四边形的性质与判定、等腰三角形的判定、菱形的判定和性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ABEF是菱形是解决问题的关键．8.答案：C解析：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．解：将三个小区分别记为A，B，C，列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13．故选C．9.答案：B解析：解：∵四边形ABCD是矩形∴AB//CD，AD=BC=8，∵OE//AB∴OE//CD∴AOAC =OECD，且AO=12AC，OE=3∴CD=6，在Rt△ADC中，AC=√AD2+CD2=10∵点O是斜边AC上的中点，∴BO=12AC=5故选：B．由平行线分线段成比例可得CD=6，由勾股定理可得AC=10，由直角三角形的性质可得OB的长．本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，求CD的长度是本题的关键．10.答案：A解析：解：因为小手盖住的点在第四象限，第四象限内点的坐标横坐标为正，纵坐标为负，且横坐标的绝对值大于纵坐标的绝对值．故只有选项A符合题意，故选：A．先判断手所在的象限，再判断象限横纵坐标的正负即可．解答此题的关键是熟记平面直角坐标系中各个象限内点的坐标符号，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．11.答案：8解析：解：√64=8，故答案为：8．根据算术平方根的定义求出即可．本题考查了对算术平方根的定义的应用，主要考查学生的计算能力．12.答案：2014解析：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．根据一元二次方程的解的定义得到m2−2m=2，再变形2m2−4m+2010得到2(m2−2m)+2010，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m2−2m=2，所以2m2−4m+2010=2(m2−2m)+2010=2×2+2010=2014．故答案为2014．13.答案：y1=y2>y3=1，解析：解：二次函数y=ax2−2ax+c(a<0)的图象的对称轴为直线x=−−2a2a而P1(−1,y1)和P2(3,y2)到直线x=1的距离都为2，P3(5,y3)到直线x=1的距离为4，所以y1=y2>y3．故答案为y1=y2>y3．先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到y1，y2，y3的大小关系．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：熟练掌握二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．14.答案：①②④解析：本题考查了动点问题的函数图象，根据图(2)判断出点P到达点E用了10s，点Q到达点C用了5s 是解题的关键，也是本题的突破口．根据图(2)可以判断三角形的面积变化分为四段，①当点P在BE上运动，点Q到达点C时；②当点P到达点E时，点Q静止于点C，从而得到BC、BE的长度；③点P到达点D时，点Q静止于点C；④当点P在线段CD上，点Q仍然静止于点C时．解：当0<t≤5时，点P在线段BE上运动．如图(1)所示：过点P作PF⊥BQ，垂足为F．S△BPQ=12PF⋅BQ=12BP⋅sin∠CBE⋅BQ=12t⋅sin∠CBE⋅2t=sin∠CBEt2．将(5,20)代入得25sin∠CBE=20，解得：sin∠CBE=45，0<t≤5时，y=45t2，故①正确．∵sin∠CBE=45，∴COS∠CBE=35，故③错误．由图(2)可知：当t=5时，点Q与点C重合，当t=10时，点P与点E重合，则BC=10，BE=10.则BC=BE．∵∠AEB=∠CBE，∴AB=BEsin∠AEB=10×45=8．在△ABE中，AE=2−AB2=6．当t =6时，如图2所示：在△ABE 与△PQB 中，{AE =BP =6∠1=∠2BE =BC，∴△ABE≌△PQB(SAS)．故②正确．当t =292秒时，如图3所示：∵当t =292秒时，PD =292−14=12， ∴PQ =8−12=7.5．∴PQ BQ =7.510=34． 又∵AE AB =68=34，∴PQ BQ =AE AB ．又∵∠BQP =∠A ，∴△AEB∽△QBP ．故④正确．由DC =8，可知点F(22,0)设NF 的解析式为y =kx +b ．将N 、F 的坐标代入得：{14k +b =4022k +b =0， 解得：k =−5，b =110．∴NF所在直线解析式为y=−5x+110．故⑤错误．故答案为①②④．15.答案：√3解析：本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，灵活运用垂线段最短解决最值问题，属于中考常考题型．首先证明△CEF是等边三角形，构建垂线段最短可知，当CE⊥AB时，CE最短，即EF最短．解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD=AC，∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∴∠EAC=∠D=60°，在△EAC和△FDC中，{EA=FD∠EAC=∠D AC=DC，∴△EAC≌△FDC，∴EC=CF，∠ACE=∠DCF，∴∠ECF=∠ACD=60°，∴△ECF是等边三角形，∴CE=EF=CF，∵CE⊥AB时，线段CE最小，最小值为√32×2=√3，∴EF的最小值为√3．故答案为√3．16.答案：解：原式=x2−y2+x2+2xy+y2−2x2+2xy=4xy ，当x =√2−1，y =√2+1时，原式=42−12+1=4×12−1 =4．解析：原式利用完全平方公式及平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，把x 与y 的值代入计算即可求出值．此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.答案：解：(1)17；20；(2)扇形统计图中“3次”所对应扇形的圆心角的度数为360°×20%=72°；(3)估计该校学生在一周内借阅图书“3次及以上”的人数为2000×1350=520(人)．解析：(1)先由1次的人数及其所占百分比求得总人数，总人数减去其他次数的人数求得a 的值，用3次的人数除以总人数求得b 的值；(2)用360°乘以“3次”对应的百分比即可得；(3)用总人数乘以样本中“4次及以上”的人数所占比例即可得．本题考查的是扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：(1)∵被调查的总人数为13÷26%=50人，∴a =50−(7+13+10+3)=17，b%=1050×100%=20%，即b =20，故答案为：17；20；(2)(3)见答案． 18.答案：(1)证明：∵BC 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴∠ABC =90°，∴∠A +∠C =90°，又∵∠AOD=∠C，∴∠AOD+∠A=90°，∴∠ADO=90°，∴OD⊥AC；(2)解：∵OD⊥AE，O为圆心，∴D为AE中点，AE=8，AE=4，∴AD=12又cosA=4，5∴OA=5，∴AB=10，∴OD=3．解析：本题主要考查的是垂径定理及其推论，垂线的定义，切线的性质，锐角三角函数的定义，解直角三角形的有关知识．(1)根据切线的性质得出∠ABC=90°，进而得出∠A+∠C=90°，再由∠AOD=∠C，可得∠AOD+∠A=90°，即可证明；(2)由垂径定理可得，D为AE中点，根据已知可利用锐角三角函数求出即可．19.答案：解：设DE=x，由题意得EG=DC=22米，CG=DE=x米．，在Rt△FDE中，tan45°=FEDE∴FE=DE⋅tan45°=x米，，在Rt△FCG中，tan64.5°=FGCG∴FG=CG⋅tan64.5°=2.1x米，∵FG=FE+EG，∴2.1x=x+22，解得x=20，FG=2.1x=42米．答：该信号发射塔顶端到地面的距离FG约为42米．解析：在Rt △FDE 中，根据tan45°=FE DE ，tan64.5°=FG CG ，得到FG =FE +EG ，列方程解答即可． 本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 20.答案：解：(1)将点A(−1,m)代入y =2x ，得：m =−2；(2)由(1)知点A 坐标为(−1,−2)，将点A(−1,−2)、B(1,0)代入y =kx +b ，得：{−k +b =−2k +b =0， 解得：{k =1b =−1， ∴直线AB 的解析式为：y =x −1；(3)当x =t 时，y =t −1，∴点M 坐标为(t,t −1)，点N 坐标为(t,0)，∵S △AMN =32，∴12×(t −1)(t +1)=32， 解得：t =2或t =−2(舍)，∴t =2．解析：(1)将点A 坐标代入y =2x 可得m 的值；(2)将点A 、B 坐标代入y =kx +b 可得关于k 、b 的方程，解方程求出k 、b 的值，可得直线解析式；(3)根据直线x =t 与直线y =kx +b 交于点M 、与x 轴交于点N 表示出M 、N 的坐标，由S △AMN =32可得关于t 的方程，解方程可得t 的值．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 21.答案：解：设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件，根据题意，得：，即{3x +2y =210,(1)9x +13y =840,(2)，由(1)×3−(2)，解得y =30，将其代入(1)，解得，x =50，故原方程的解为：{x =50y =30． 答：甲每天做50个机器零件，乙每天做30个机器零件．解析：设甲每天做x 个机器零件，乙每天做y 个机器零件，由题意得甲做12天，乙做8天能够完成任务；而甲做9天，乙做13天也能完成任务，根据题意列出方程组，最后解答．本题主要考查对于二元一次方程组的应用，要注意找好题中的等量关系．22.答案：解：(1)PM =PN PM ⊥PN(2)△PMN 是等腰直角三角形．由旋转知，∠BAD =∠CAE ，∵AB =AC ，AD =AE ，∴△ABD≌△ACE(SAS)，∴∠ABD =∠ACE ，BD =CE ，利用三角形的中位线得，PN =12BD ，PM =12CE ，∴PM =PN ，∴△PMN 是等腰三角形，同(1)的方法得，PM//CE ，∴∠DPM =∠DCE ，同(1)的方法得，PN//BD ，∴∠PNC =∠DBC ，∵∠DPN =∠DCB +∠PNC =∠DCB +∠DBC ，∴∠MPN =∠DPM +∠DPN =∠DCE +∠DCB +∠DBC=∠BCE +∠DBC =∠ACB +∠ACE +∠DBC=∠ACB +∠ABD +∠DBC =∠ACB +∠ABC ，∵∠BAC =90°，∴∠ACB +∠ABC =90°，∴∠MPN =90°，∴△PMN 是等腰直角三角形；(3)方法1：如图2，同(2)的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE//BC且DE在顶点A上面，∴MN最大=AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD=AE=4，∠DAE=90°，∴AM=2√2，在Rt△ABC中，AB=AC=10，AN=5√2，∴MN最大=2√2+5√2=7√2，∴S△PMN最大=12PM2=12×12MN2=14×(7√2)2=492．方法2：由(2)知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=12BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD=AB+AD=14，∴PM=7，∴S△PMN最大=12PM2=12×72=492．解析：此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判断出PM=12CE，PN=12BD，解(2)的关键是判断出△ABD≌△ACE，解(3)的关键是判断出MN最大时，△PMN的面积最大．(1)利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD=CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM//CE得出∠DPM=∠DCA，最后用互余即可得出结论；(2)先判断出△ABD≌△ACE，得出BD=CE，同(1)的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM=PN，同(1)的方法即可得出结论；(3)方法1：先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大=AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+ AD=14，即可得出结论．解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN//BD，PN=12BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM//CE，PM=12CE，∵AB=AC，AD=AE，∴BD=CE，∴PM=PN，∵PN//BD，∴∠DPN=∠ADC，∵PM//CE，∴∠DPM=∠DCA，∵∠BAC=90°，∴∠ADC+∠ACD=90°，∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM=PN，PM⊥PN；(2)(3)见答案23.答案：解：(1)当y=−12x2−2x+6=0，解得：x1=−6，x2=2，∴B(−6,0)，A(2,0)，当x=0时y=6，∴C(0,6)，设BC 的解析式为：y =kx +b ，则{−6k +b =0b =6，解得：{k =1b =6， ∴直线BC 的解析式为：y =x +6；(2)如图1，过P 作PG//y 轴，交BC 于G ，设P(x,−12x 2−2x +6)，则G(x,x +6)， ∴PG =(−12x 2−2x +6)−(x +6)=−12x 2−3x ，∴S △PBC =12PG ⋅OB =12(−12x 2−3x)×6=272，x 2+6x +9=0，解得：x 1=x 2=−3，则y =−12×(−3)2−2×(−3)+6=152，P(−3,152)； (3)分两种情况：①当Q 在x 轴的下方时，如图2，过Q 作QH ⊥x 轴于H ，过P 作PE ⊥x 轴于E ，交BC 于M ，作PF ⊥BC 于F ，∵OB =OC =6，∠BOC =90°，∴△BOC 是等腰直角三角形，BC =6√2，∴∠CBO =45°，∴△BEM 和△PMF 都是等腰直角三角形，∵P(−3,152)，B(−6,0)， ∴BE =EM =3，∴BM =3√2，PM =152−3=92， ∴PF =FM =92√2=9√24，∴CF =BC −BM −FM =6√2−3√2−9√24=3√24， 设Q(x,−12x 2−2x +6)(x >0)，则BH =6+x ，∵∠PCB +∠OBQ =90°，∠PCB +∠FPC =90°，∴∠OBQ=∠FPC，∵∠PFC=∠BHQ=90°，∴△PFC∽△BHQ，∴PFBH =FCHQ，∴PF⋅HQ=BH⋅FC，∴9√24×(12x2+2x−6)=3√24(x+6)，3x2+10x−48=0，(x+6)(3x−8)=0，解得：x1=−6(舍)，x2=83，∴Q(83,−269)；②当Q在x轴的上方时，如图3，过Q作QH⊥x轴于H，过P作PE⊥x轴于E，交BC于M，作PF⊥BC 于F，设Q(x,−12x2−2x+6)(−6<x<2)，则BH=6+x，同理得△PFC∽△BHQ，∴PFBH =FCHQ，∴PF⋅HQ=BH⋅FC，∴9√24×(−12x2−2x+6)=3√24(x+6)，3x2+14x−24=0，(x+6)(3x−4)=0，解得：x1=−6(舍)，x2=43，∴Q(43,229)；综上所述，Q的坐标是：Q(83,−269)或(43,229).解析：(1)分别令x=0和y=0求C、A、B的坐标，利用待定系数法求直线BC的解析式；(2)如图1，设P(x,−12x2−2x+6)，则G(x,x+6)，根据三角形面积等于铅直高度与水平宽度积的一半列式可得P的坐标；(3)分两种情况：①当Q在x轴的下方时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，根据等腰三角形的判定和性质求得BE=EM=3，则BM=3√2，PM=152−3=92，得FC的长和FM的长，设Q(x,−12x2−2x+6)(因为∠PCB+∠OBQ=90°，可知∠OBQ是锐角，不可能在第三象限，所以x>0，证明△PFC∽△BHQ，列比例式可得结论；②当Q在x轴的上方时，如图3，同理可得结论．本题考查二次函数综合题、一次函数、锐角三角函数、勾股定理、面积法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，需要熟练应用相似三角形的判定和性质，属于中考压轴题．。
2020年河南省南阳市邓州市中考数学一模试卷(Word 含解析)
2020年中考数学一模试卷一、选择题1．﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣2．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为（）A．0.9×10﹣7毫米B．9×10﹣6毫米C．9×10﹣5毫米D．90×10﹣6毫米3．如图，是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中，与“若”字相对的面上的汉字是（）A．有B．必C．召D．回4．为了解学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确（）A．中位数是95分B．众数是90分C．平均数是95分D．方差是155．不等式的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（）A．10B．8C．6D．47．将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）A．B．C．D．8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．9．如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（）A．2B．6C．12D．2410．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移，平移后点A'的横坐标为4，则点B'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（6，﹣2）D．（6，﹣2）二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（）﹣1﹣＝．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠BAD＝120°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为．13．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n），则c和n的大小关系是c n．（填“＜““＞”“＝”）14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A'B'C'，A'C'交AB于点E，若AD＝BE，则阴影部分的面积是．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中x＝，y＝．17．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次随机抽取的学生共有名；（2）补全条形统计图；（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数；（4）在所调査的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．18．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是劣弧的中点，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：DE⊥BE；（2）填空：①连接AD，CD，当∠BOC＝°时，四边形AOCD是菱形；②若AB＝5，AD＝3，则CE＝．19．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征．某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶点A（此时∠AEB＝∠FED），在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.6米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.8，tan50°≈1.2，tan85°≈11）20．某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．21．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝（x≠0）的图象与性质，因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…＝…235﹣3﹣10…描点：在平面直角坐标系中以自变量x的取值为横坐标，以y＝相应的函数值为纵坐标，描出相应的点如图所示；（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向平移个单位而得到的：③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）函数y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．22．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为；②∠BEC＝°．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3．将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B 时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h 取得最大值时，点P的坐标．②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l 的解析式．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）请将唯一正确答案的序号涂在答题卡上．1．﹣5的绝对值是（）A．5B．﹣5C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质求解．解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣5|＝5．故选：A．2．2020年1月24日，中国疾控中心成功分离病毒毒种，该毒种直径大约为90纳米（1纳米＝0.000001毫米），数据“90纳米”用科学记数法表示为（）A．0.9×10﹣7毫米B．9×10﹣6毫米C．9×10﹣5毫米D．90×10﹣6毫米【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解：90纳米＝90×10﹣6毫米＝9×10﹣5毫米，故选：C．3．如图，是正方体的一种展开图，其每个面上都标有一个汉字，则在原正方体中，与“若”字相对的面上的汉字是（）A．有B．必C．召D．回【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点可知，与“若”字相对的面上的汉字是“必”．故选：B．4．为了解学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确（）A．中位数是95分B．众数是90分C．平均数是95分D．方差是15解：A、中位数是90分，错误；B、众数是90分，正确；C、平均数＝，错误；D、方差＝＝21.25，错误；故选：B．5．不等式的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．解：解不等式2x﹣4＜0，得：x＜2，解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3，则不等式组的解集为﹣3≤x＜2，将不等式的解集表示在数轴上如下：故选：C．6．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，若EF＝2，则BD的长为（）A．10B．8C．6D．4解：∵点E，F分别是AB，AO的中点，连接EF，EF＝2，∴EF是△OAB的中位线，则OB＝2EF＝4，∵在▱ABCD中，∴BD＝2OB＝8，故选：B．7．将分别标有“停”“课”“不”“停”“学”汉字的五个小球装在一个不透明口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是（）A．B．C．D．解：根据题意画图如下：共有20种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的有4种，则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字是“不”“停”的概率是＝；故选：D．8．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx+b 的大致图象可能是（）A．B．C．D．【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．解：∵x2﹣2x+kb+1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝4﹣4（kb+1）＞0，解得kb＜0，A．k＞0，b＝0，即kb＝0，故A不正确；B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；C．k＞0，b＞0，即kb＞0，故C不正确；D．k＜0，b＜0，即kb＞0，故D不正确．故选：B．9．如图①，点P为矩形ABCD边上一个动点，运动路线是A→B→C→D→A，设点P运动的路径长为x，S△ABP＝y，图②是y随x变化的函数图象，则矩形对角线AC的长是（）A．2B．6C．12D．24【分析】点P运动到点C处时，x＝AB+BC＝6，y＝AB×BC＝4，进而求解．解：当点P运动到点C处时，x＝AB+BC＝6①，此时，y＝×AB×BC＝4②，联立①②并解得：，则AC＝＝＝2，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形△OAB的边长为4，点A在第二象限内，将△OAB沿射线AO平移，平移后点A'的横坐标为4，则点B'的坐标为（）A．（﹣6，2）B．（6，﹣2）C．（6，﹣2）D．（6，﹣2）【分析】根据等边三角形的性质得出A的坐标，进而利用平移规律解答即可．解：∵等边三角形△OAB的边长为4，点A在第二象限内，∴点A坐标为（﹣2，2），∵平移后点A'的横坐标为4，∴平移规律为点A向右平移6，向下平移6个单位可得点A'，∴点B'的坐标为（6，﹣2），故选：D．二、填空题（每小题3分，共15分）11．计算：（）﹣1﹣＝﹣6．【分析】原式利用负整数指数幂法则，以及算术平方根定义计算即可求出值．解：原式＝﹣2﹣4＝﹣6．故答案为：﹣6．12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠BAD＝120°，分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点P、Q，作直线PQ，交AB于点E，交BC于点F，则CF的长为2．【分析】根据平行四边形的性质可得角B＝60°，BC＝AD＝8，再根据作图过程可得EF 是AB的垂直平分线，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BF的长，进而可求出CF的长．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝8，BC∥AD，∵∠BAD＝120°，∴∠B＝180°﹣120°＝60°，根据作图过程可知：EF是AB的垂直平分线，∴FE⊥AB，AE＝BE＝AB＝3，∴BF＝2BE＝6，∴CF＝BC﹣BF＝8﹣6＝2．所以CF的长为2．故答案为：2．13．二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m），B（4，m），C（5，n），则c和n的大小关系是c＜n．（填“＜““＞”“＝”）【分析】由点A、B的坐标利用二次函数的对称性可求出b的值，利用二次函数图象上点的坐标特征可找出c和n的大小关系．解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，m）、B（4，m），∴﹣＝＝1，∴b＝﹣2，∵点C（5，n）在二次函数y＝x2+bx+c的图象上，∴n＝25﹣10+c，∴n﹣c＝15，∴c＜n，故答案为＜．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，把△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A'B'C'，A'C'交AB于点E，若AD＝BE，则阴影部分的面积是π﹣18．【分析】先利用勾股定理计算出AB＝10，设AD＝BE＝x，则DE＝10﹣2a，再根据旋转的性质得∠BDB′＝∠ADA′＝90°，∠A′＝∠A，DA′＝DA＝x，△ABC≌△A'B'C'，接着证明△A′DE∽△ACB，利用相似比得到＝，则求出x得到A′D＝3，DE＝4，DB＝7，然后根据扇形的面积公式，利用阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣（S△A′B′C′﹣S△A′DE）进行计算．解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10，设AD＝BE＝x，则DE＝10﹣2a，∵△ABC绕AB边上的点D顺时针旋转90°得到△A'B'C'，∴∠BDB′＝∠ADA′＝90°，∠A′＝∠A，DA′＝DA＝x，△ABC≌△A'B'C'，∴∠A′＝∠A，∠A′DE＝∠ACB，∴△A′DE∽△ACB，∴＝，即＝，解得x＝3，∴A′D＝3，DE＝4，DB＝7，∴阴影部分的面积＝S扇形BAB′﹣（S△A′B′C′﹣S△A′DE）＝﹣（×6×8﹣×3×4）＝π﹣18．故答案为π﹣18．15．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝a，点E为AD的中点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF＝3，若将△AEF沿直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为4或1．【分析】连接EC，利用矩形的性质，求出DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC ＝90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出AB的长度．解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝4，DC＝AB＝a，∵E为AD中点，∴AE＝DE＝AD＝2，∴CE2＝CD2+DE2＝a2+4，∵BF＝3，BC＝4，∴CF＝＝＝5，由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝×180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∴CE2＝CF•CD，∴a2+4＝5a，解得：a＝4或1．故答案为：4或1．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．先化简，再求值：，其中x＝，y＝．【分析】首先计算分式的除法，再计算减法，化简后，再代入x、y的值计算即可．解：原式＝•﹣，＝﹣，＝，＝，当x＝，y＝时，原式＝＝＝．17．为响应“学雷锋、树新风、做文明中学生”的号召，某校开展了志愿者服务活动，活动项目有“防疫宣传”、“文明交通岗”、“关爱老人”、“义务植树”、“社区服务”五项，活动期间，随机抽取了部分学生对志愿者服务情况进行调查，结果发现，被调查的每名学生都参与了活动，最少的参与了1项，最多的参与了5项，根据调查结果绘制了如图不完整的条形统计图和扇形统计图．根据以上统计图，解答下列问题：（1）本次随机抽取的学生共有50名；（2）补全条形统计图；（3）若该校有3000名学生，请估计参与了4项活动的学生人数；（4）在所调査的学生中随机选取一人谈活动心得，求选中参与了5项活动的学生的概率．【分析】（1）利用活动数为2项的学生的数量以及百分比，即可得到被随机抽取的学生数；（2）根据题意补全条形统计图即可；（3）用该校学生总人数乘以参与了4项活动的学生人数所占比例进而求出答案；（4）用参与了5项活动的学生人数和除以总人数得到结论；解：（1）本次随机抽取的学生共有14÷28%＝50（人）；故答案为：50；（2）活动数为5项的学生的数量万50﹣8﹣14﹣10﹣12＝6（人），补全条形统计图如图所示；（3）估计该校参与了4项活动的学生人数为3000×＝720（人）；（4）∵共抽取了50名学生，其中参与了5项活动的学生有6名，∴选中参与了5项活动的学生的概率为＝．18．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一点，点D是劣弧的中点，过点D作⊙O的切线交BC的延长线于点E．（1）求证：DE⊥BE；（2）填空：①连接AD，CD，当∠BOC＝60°时，四边形AOCD是菱形；②若AB＝5，AD＝3，则CE＝．【分析】（1）连接OD，BD，根据DE是⊙O的切线，推出∠ODE＝90°，由点D是的中点，推出，所以∠ABD＝∠DBC，由等腰三角形的性质∠ODB＝∠OBD，所以∠ODB＝∠DBC，推出OD∥BE，所以∠E＝90°，即DE⊥BE；（2）①若四边形AOCD是菱形，则OC＝CD，CD∥AB，根据OD＝OC，可推出△OCD为等边三角形，进而得出∠BOC度数；②由∠ECD＝∠A，∠ADB＝∠E＝90°，推出△ADB∽△CED，所以，代入CE＝．解：（1）如图，连接OD，BD，∵DE是⊙O的切线，∴∠ODE＝90°，∴点D是的中点，∵，∴∠ABD＝∠DBC，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠ODB＝∠DBC，∴OD∥BE，∴∠E＝90°，即DE⊥BE；（2）①∵四边形AOCD是菱形，∴OC＝CD，CD∥AB，∵OD＝OC，∴OD＝OC＝CD，即△OCD为等边三角形，∴∠DCO＝60°，∴∠BOC＝∠DCO＝60°；②∵∠ECD+∠DCB＝180°，∠DCB+∠A＝180°，∴∠ECD＝∠A，∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵DE⊥BE，∴∠E＝90°，∴△ADB∽△CED，∴，即，∴CE＝．故答案为60，．19．五星红旗作为中华民族五千年历史上第一面代表全体人民意志的民族之旗、团结之旗、胜利之旗、希望之旗、吉祥之旗，是中华人民共和国的标志和象征．某校九年级综合实践小组开展了测量学校五星红旗旗杆AB高度的活动．如图，他们在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶点A（此时∠AEB＝∠FED），在F处分别测得旗杆顶点A的仰角为40°、平面镜E的俯角为45°，FD＝1.6米，问旗杆AB的高度约为多少米？（结果保留整数）（参考数据：tan40°≈0.8，tan50°≈1.2，tan85°≈11）【分析】过点F作FG⊥AB于G，构造矩形FGBD和直角△AGF，通过解该直角三角形求得线段AB的长度即可．解：如图，过点F作FG⊥AB于G，则BG＝DF，BD＝FG．设AB＝x米，则BE＝AB＝x米，DE＝DF＝1.6米．∴BD＝DE+BE＝FG＝x+1.6，AG＝x﹣1.6．在直角△AGF中，∠AFG＝40°，∴tan40°＝，即＝tan40°≈0.8．∴x＝14.4≈14．即：AB≈14米．答：旗杆AB的高度约为14米．20．某社会团体准备购进甲、乙两种防护服捐给一线抗疫人员，经了解，购进5件甲种防护服和4件乙种防护服需要2万元，购进10件甲种防护服和3件乙种防护服需要3万元．（1）甲种防护服和乙种防护服每件各多少元？（2）实际购买时，发现厂家有两种优惠方案，方案一：购买甲种防护服超过20件时，超过的部分按原价的8折付款，乙种防护服没有优惠；方案二：两种防护服都按原价的9折付款，该社会团体决定购买x（x＞20）件甲种防护服和30件乙种防护服．①求两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②请你帮该社会团体决定选择哪种方案更合算．【分析】（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）①根据（1）的结论结合题意即可得出两种方案的费用y与件数x的函数解析式；②根据①中函数关系式可以列出相应的不等式，从而可以解答本题．解：（1）设甲种防护服每件x元，乙种防护服每件y元，根据题意得：，解得，答：甲种防护服每件2400元，乙种防护服每件2000元；（2）①方案一：y1＝2400×20+2400×0.8×（x﹣20）+2000×30＝1920x+69600；方案二：y2＝（2400x+2000×30）×0.9＝2160x+54000．②当y1＝y2时，1920x+69600＝2160x+54000，解得x＝65；当y1＞y2时，即1920x+69600＞2160x+54000，解得：x＜65；当y1＜y2时，即1920x+69600＜2160x+54000，解得x＞65．∴当购买甲种防护服65件时，两种方案一样；当购买甲种防护服的件数超过20件而少于65件时，选择方案二更合算；当购买甲种防护服多于65件时，选择方案一更合算．21．参照学习函数的过程与方法，探究函数y ＝（x≠0）的图象与性质，因为y ＝，即y ＝﹣+1，所以我们对比函数y ＝﹣来探究．列表：x…﹣4﹣3﹣2﹣1﹣1234…y＝﹣…124﹣4﹣2﹣1﹣﹣…＝…235﹣3﹣10…（1）请把y轴左边点和右边各点分别用一条光滑曲线，顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x 的增大而增大；（“增大”或“减小”）②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到的：③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）函数y＝与直线y＝﹣2x+1交于点A，B，求△AOB的面积．【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）联立方程求出点A、B的坐标，由此即可解决问题；解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y＝的图象是由y＝﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．故答案为：增大，上，1，（0，1）；（3）根据题意得：＝﹣2x+1，解得：x＝±1，当x＝1时，y＝﹣2x+1＝﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2x+1＝3，∴交点为（1，﹣1），（﹣1，3），当y＝0时，﹣2x+1＝0，x＝，∴△AOB的面积＝×（3+1）×＝1．22．（1）【问题发现】如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一直线上．请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）【解决问题】如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3．将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B 时，点C到直线DE的距离是多少？（要求画出示意图并直接写出答案）【分析】（1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，据此判断出∠BAD＝∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；（2）首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB ＝∠AED＝90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（3）分两种情形分别求解即可解决问题．解：（1）①∵△ACB和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，∵点B，D，E在同一直线上，∴∠ADB＝180﹣60＝120°，∴∠AEC＝120°，∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°，综上，可得∠AEB的度数为60°；线段BD与CE之间的数量关系是：BD＝CE．②∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120﹣60＝60°；故答案为：BD＝CE；60；（2）∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∴AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，∠DAE＝∠BAC＝45°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∴△BAD∽△CAE，∴∠AEC＝∠ADB＝180°﹣45°＝135°，∴∠BEC＝135°﹣90°＝45°，∴∴BD＝CE，（3）如图3中，∵AEB＝∠ACB＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠CEB＝∠CAB＝30°，∠ABD＝∠ACE，∵∠FAE＝∠BAC＝30°，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴＝cos30°＝，∴EC＝BD，在Rt△ADE中，∵DE＝，∠DAE＝30°，∴AE＝DE＝3，∴BE＝＝4，∴BD＝BE﹣DE＝4﹣，∴CE＝BD＝2﹣，∵∠BEC＝30°，∴点C到直线DE的距离等于CE•sin30°＝﹣．如图4中，当D，EB在同一直线上时，同法可知BD＝DE+EB＝4+，CE＝BD＝2+，点C到直线DE的距离等于CE•sin30°＝+．综上所述，点C到直线DE的距离等于．23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交x轴于点B，交y轴于C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，且与x轴交于另一点A．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限内抛物线上一动点，过点P作PH⊥x轴于点H，交直线BC于点G，设点P的横坐标为m．①过点P作PE⊥BC于点E，设PE的长度为h，请用含m的式子表示h，并求出当h取得最大值时，点P的坐标．②在①的条件下，当直线l到直线BC的距离等于PE时，请直接写出符合要求的直线l的解析式．【分析】（1）求出B、C两点坐标并代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求二次函数的解析式；（2）①过点E作EM⊥PG于点M，能证明△PEG是等腰直角三角形，所以PE＝GP，设点P（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），可求h＝PE＝PG＝﹣（m﹣）2+即可求h的最大值和P点坐标；②直线l与直线BC平行，过点C作CS⊥l交于点S，直线l与y轴交于点T，可知△CST是等腰三角三角形，CT＝，则可求OT＝+3＝，同时在直线BC的下方仍有与BC平行的直线l，此时OT＝3﹣＝，由此可求直线l的解析式．解：（1）y＝﹣x+3与x轴交点B（3，0），与y轴交点（0，3），把点B、C代入y＝﹣x2+bx+c中，得，解得，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）①如图，过点E作EM⊥PG于点M，∴EM∥AB，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∴∠MEG＝45°，∵EM⊥PG，∴∠EGM＝45°，∵PE⊥BC，∴△PEG是等腰直角三角形，∴PE＝GP，设点P（m，﹣m2+2m+3），G（m，﹣m+3），∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m＝﹣（m﹣）2+，则PE＝PG＝﹣（m﹣）2+（0＜m＜3），即h＝PG＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，h取最大值，此时P（，）；②由①可知PE＝，如图：直线l与直线BC平行，过点C作CS⊥l交于点S，直线l与y轴交于点T，∵线l到直线BC的距离等于PE，∴CS＝，∵B（3，0），C（0，3），∴OB＝OC，∴∠STC＝45°，∴△CST是等腰三角三角形，∴CT＝，∴OT＝+3＝，∴直线l的解析式为y＝﹣x+；在直线BC的下方存在l，此时OT＝3﹣＝，∴直线l的解析式为y＝﹣x+；综上所述：直线l的解析式为y＝﹣x+或y＝﹣x+．。