天津市第一中学2021届高三上学期第二次月考语文试题(含答案解析)
2021届哈尔滨市呼兰区第一中学高三语文上学期期中考试试卷及答案解析
2021届哈尔滨市呼兰区第一中学高三语文上学期期中考试试卷及答案解析一、现代文阅读（36分）(一)现代文阅读I(9分)阅读下面的文字，完成下面小题。
材料一：“复兴号”是我国具有完全自主知识产权的中国标准动车组。
目前，“复兴号”中国标准动车组有“CR400AF”和“CR400BF”两种型号。
按照中国铁路总公司新的动车组编制规则，新型自主化动车组均采用“CR”开头的型号，“CR”是中国铁路总公司英文缩写，也是指覆盖不同速度等级的中国标准动车组系列化产品平台。
型号中的“400”为速度等级代码，代表该型动车组试验速度可达400km/h及以上，持续运行速度为350km/h。
“A”和“B”为企业标识代码，代表生产厂家；“F”为技术类型代码，红色的是中车四方的AF，黄色的是中车长客的BF。
今后，中国铁路总公司将根据运输市场需求，逐步研发CR300和CR200系列中国标准动车组。
作为中国最新一代的标准动车组，“复兴号”真正实现了从“洋基因”到“纯中国”的转变。
在高速动车组254项重要标准中，中国标准占84%，中国标准动车组整体设计以及车体、转向架、牵引、制动、网络等关键技术都是我国自主研发，因此，具有完全自主知识产权。
与“和谐号”相比，“复兴号”整车性能指标实现较大提升。
“复兴号”“寿命”更长，它的设计寿命达到了30年，而“和谐号”是20年。
“身材”更好，采用全新低阻力流线型头型和车体平顺化设计，车型看起来线条更优雅，“和谐号”动车组车顶有一个“鼓包”（受电弓和空调系统）。
“复兴号”把这个“鼓包”下沉到了车顶下的风道系统中。
“容量”更大，列车高度从3700毫米增高到了4050毫米，座位间距更宽敞。
舒适度更高，“复兴号”空调系统充分考虑减小车外压力波的影响，通过隧道或交会时减小耳部不适感，列车设有多种照明控制模式。
车厢内实现了WiFi网络全覆盖。
（摘编自《中国高铁大揭秘，“复兴号”来了！》《人民日报》）材料二：中国目前已经成功拥有世界先进的高铁集成技术、施工技术、装备制造技术和运营管理技术，具有组团出海的实力，可以挑战任何竞争对手。
安徽省六安市第一中学(2024年版)高三上学期11月月考语文试题(含答案)
六安一中2025届高三年级第三次月考语文试卷时间：150分钟满分：150分一、阅读下面的文字，完成小题。
（19分）材料一：①《论语·学而》中写道：“人不知而不愠，不亦君子乎？”以此为起点，书中相继提出“不患人之不己知，患不知人”“不患莫己知，求为可知”等观点。
如果从现代心理学的角度对其加以审视会发现，《论语》围绕自我了解与自我实现等问题，进行了关于自我认同的一系列建构。
②《论语》中认为不怨恨是面对负面评价时的正确态度。
《论语·学而》中写道：“人不知而不愠，不亦君子乎？”不因他人的不了解而怨恨，这可以看作是孔子面临认同危机时所采取的基本态度。
孔子真正受到无限的敬仰和尊崇是从汉代开始，而在其所处的春秋时期，孔子也会遭遇负面评价。
如《论语·子罕》中记载：“达巷党人曰：‘大哉孔子！博学而无所成名。
’”该评价颇有讽刺意味，博学与一无所成的鲜明对比，几乎要让人对孔子的博学都有所质疑。
而孔子面对质疑真正做到了“不愠”。
③同时，孔子并不一味屈从他人的评价。
如《论语·八佾》中记载：“子入太庙，每事问。
或曰：‘孰谓郓人之子知礼乎？入太庙，每事问。
’子闻之曰：‘是礼也。
’”孔子当时已经以知礼而闻名乡里，但他入太庙助祭时却凡事都要问清楚，因而便有人质疑他不知礼。
对此，孔子并未急于辩解自己是否知礼，而是从礼的内涵出发来回应对方：凡事都问仔细才真正符合礼的要求。
这样，对方的质疑便不攻自破。
④当面临认同危机时，孔子在态度上展现出的君子之风，从根本上源自思维上“内自省”的归因方式。
归因是人们对自己或他人活动及其结果的原因所做的解释和评价。
心理学家韦纳将行为结果的归因分为内部归因与外部归因。
内部归因着重从个体自身寻找行为或结果成败的原因。
当面对认同危机时，孔子所采取的是内部归因的思维方式。
《论语·宪问》中写道：“不患人之不己知，患其不能也。
”《论语·卫灵公》中也有相似的阐述：“君子病无能焉，不病人之不己知也。
天津市南开中学2021-2022学年高三上学期第一次月考英语Word版含解析
英语试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题），共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至13页，第Ⅱ卷第14页至15页。考生务必将客观题答案涂写在答题卡上，将主观题答在答题纸上。在试卷上答题无效。
第Ⅰ卷（共115分）
第一部分：听力(20分）
第一节（共5小题；每小题1分，满分5分）
A.in favor ofB.in honor ofC.in charge ofD.in search of
【答案】B
【解析】
【详解】考查介词短语词义辨析。句意：为了纪念希腊神宙斯的妻子赫拉，单身女性被允许参加他们在古代奥运会上的比赛。A.in favor of赞成；B. in honor of为了纪念；C.in charge of负责；D. in search of寻找。根据句意可知，此处是指为了纪念宙斯的妻子，in honor of符合题意。故选B。
7.Between the two halves of the football game is a 15-minute break, __________ the audience can have a rest．
A.whenB.whereC.whichD.that
【答案】A
【解析】
【详解】考查定语从句的引导词。句意：足球比赛两半场之间有15分钟的休息时间，观众可以休息。分析句子可知__________ the audience can have a rest为非限制性定语从句，修饰先行词break，关系词在从句中做时间状语，用when。故选A。
4.Excuse me, Madam. Ellen, a journalist from theDaily Mailall day. Could you speak to him now?
精品解析：2023届天津市第一百中学高三毕业生语文试题(黑卷)
天津市第一百中学2023届高三毕业生语文试题（黑卷）阅读下面文字，完成下面小题。
近年来，包括网络文学，网络音乐等组成的网络文艺取得的长足的发展，成为我国数字文化产业的重要支柱，并被逐步纳入国家顶层设计和文化发展。
网络文艺创作不能脱离时代文化语境，而必须立足______的时代潮流，描摹时代画卷。
要在注重流量和粉丝经济的同时，脚踏实地去感受______的伟大变革，为人民创作有温度、有情怀的文艺作品。
坚持与时代同步伐，就是要引领时代文化风向。
以坚定的文化自信讲述中国故事、展现中国气派、传播中国文化，成为当代文艺引领时代文化风向的使命与担当。
但客观而言，与______全球的好莱坞电影、韩剧、日本动漫等成功的文化输出相比，中国网络文学扬帆出海的历程和经验还处于不断探索阶段，对外传播的文化影响力也还不够。
未来网络文学若要持续引领文化风向，要在世界文学舞台呈现连接网络空间共同体的目标，除了不断加强原创品质的提升，还应更加深刻、更加全面地______时代精神，使中国网络文学真正成为讲述中国故事、传播中国文化的有力载体。
1．文中画横线的句子有语病，下列修改最恰当的一项是（）A．包括网络文学、网络音乐等组成的网络文艺取得了长足的发展，成为我国数字文化产业的重要支柱，并被逐步纳入国家顶层设计和文化发展战略。
B．由网络文学、网络音乐等组成的网络文艺取得了长足的发展，成为我国数字文化产业的重要支柱，并被逐步纳入国家顶层设计和文化发展战略。
C．包括网络文学、网络音乐等在内的网络文艺取得了长足的发展，成为我国数字文化产业的重要支柱，并被逐步纳入国家顶层设计和文化发展。
D．由网络文学、网络音乐等组成的网络文艺取得的长足的发展，成为我国数字文化产业的重要支柱，并被逐步纳入国家顶层设计和文化发展战略。
2．依次填入文中横线上的词语，全都恰当的一项是（）A．一日千里气势磅礴席卷反应B．日新月异波澜壮阔席卷反映C．日新月异气势磅礴包罗反映D．一日千里波澜壮阔包罗反应3．下列有关文学文化常识的说法不正确的一项是（）A．“举孝廉不行”“前太守臣逵察臣孝廉”中的“孝廉”，在汉魏时期都是指由地方官向中央举荐的品行端正的人。
天津市第一中学2022届高三上学期第一次月考物理试题 Word版含答案
天津一中2021—2022学年度高三班级一月考物理学科试卷班级姓名成果本试卷分为第Ι卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。
第Ι卷1至3页，第Ⅱ卷3至4页。
考生务必将答案涂写答题纸或答题卡的规定位置上，搭在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺当！第Ι卷（选择题，共44分）一、单项选择题（本题共8小题，每题3分，共24分。
每小题只有一个正确选项。
）1.关于惯性,下列说法正确的是( )2.A.高速运动的物体不简洁让它停下来,所以物体运动速度越大,惯性越大3.B.用相同的水平力分别推放在地面上的两个材料不同的物体,则难以推动的物体惯性大4.C.两个物体只要质量相同,那么惯性就肯定相同5.D.在月球上举重比在地球上简洁,所以同一个物体在月球上比在地球上惯性小2.一个小滑块以肯定的初速度滑上倾角为37°的光滑斜面,在第ls内与前3s内通过的位移相等,取初速度方向为正方向,g=10m/s2，则下列推断正确的是( )A.滑块在前3s内的平均速度为9m/sB.滑块在前3s内的平均速率为3m/sC.滑块在第3s内的平均速度为3m/sD.滑块在第3s内的平均速率为3m/s3.如图所示，A和B两物块的接触面是水平的，A与B保持相对静止一起沿粗糙斜面加速下滑，在A和B下滑过程中，斜面保持静止不动，下列说法错误的是( )A.斜面对B的作用力方向为竖直向上B.斜面对B的摩擦力方向为沿斜面对上C.B对A的摩擦力方向为水平向左D.地面对斜面的摩擦力方向为水平向左4.如图所示，一小球左端固连一根轻杆（轻杆另一端插在墙内），右端连接一根弹簧，上面用轻绳连接，下面用平台托住（不连接）。
初始时，轻绳处于竖直方向，绳上张力小于小球的重力，弹簧处于水平方向拉伸状态。
除弹簧外，一切形变都可忽视不计。
则下列说法正确的是( )A.撤去绳的瞬间，平台对小球的支持力增大，小球有瞬时向上的加速度B.撤去杆的瞬间，弹簧对小球的作用力不变，小球有瞬时向右的加速度C.撤去弹簧的瞬间，杆对小球的作用力不变，小球有瞬时向左的加速度D.撤去平台的瞬间，绳对小球的拉力增大，小球有瞬时向下的加速度5.在升降电梯内的地板上放一体重计，电梯静止时，某同学站在体重计上，体重计示数为50kg，电梯运动过程中，某一段时间内该同学发觉体重计示数为40kg，已知重力加速度为g，则在这段时间内，下列说法中正确的是( )A.该同学处于失重状态，他所受的重力变小了B.该同学对体重计的压力与体重计对该同学的支持力是一对平衡力C.电梯的加速度大小为g/5，方向肯定竖直向下D.电梯肯定在竖直向下运动6.在粗糙水平地面上放着一个截面为四分之一圆弧的柱状物体A，A的左端紧靠竖直墙，A与竖直墙之间放一光滑圆球B，整个装置处于平衡状态，截面如图所示。
天津市第一中学2015届高三上学期第二次月考语文试题
天津市第一中学2015届高三上学期第二次月考语文试题第Ⅰ卷一、（27分，每小题3分）１．下列各组词语中加点的字，注音错误最多的一组是（）A.彳．(chì)亍．（chù）頽圮．(qǐ) 漫溯．(sù) 昭．告世人（zhào）B.惩创．(chuāng) 敛裾．(jū) 混．沌(hùn) 揠．苗助长（yà）C.弭．谤(mǐ) 当．轴(dāng) 嘎．吱(gē）旁稽．博采（jī）D.挫．折（cuō）祈．祷（qǐ）阜．盛(fǔ) 燕侣莺俦．（chóu）２．下列词语中加点字的读音，全部注音相同的一组是（）A．晕．场眩晕．日晕．头晕．目眩B．取缔．真谛．烟蒂．莺啼．鸟啭C．恰当．当．真当．做长歌当．哭D．靡．费奢靡．靡．散靡靡．．之音3．下列各组词语书写没有错误的一组是（）A. 纂夺荒疏内帏穿流不息B. 窈陷璀灿畏葸参差班驳C.猗郁贻误嬉笑绿树成荫D. 鹊桥雀跃鹊起门可罗鹊4．下列各组词语加点字的解释全对的一项是（）Ａ．峥嵘岁月稠．（多）苟余情其信．芳（确实）女也不爽．（过错）信誓旦旦．．（诚恳的样子）Ｂ．汝岂得自由．．（自由自在）事事四五通．（遍）枉用相存．（问候怀念）少无适．俗韵（迎合）Ｃ．扪．参历井（摸）画图省．识东风面（曾经）使快．弹数曲（快速）低眉信．手（随意）Ｄ．遥岑．远目（小而高的山）此情可．待成追忆（可以）却．坐促弦（退回）这次第．．（状况）5．下列各句中，标点符号使用正确的一项是 ( )A.压力过大、工作时间过长、作息不规律、以及忽视营养均衡等，均会导致健康状况的下降。
B.艾滋病有三个传播途径：血液传播，性传播和母婴传播，日常接触是不会传播艾滋病的。
C.在万户的飞天尝试过了六百多年之后，又一个勇敢的中国人——杨利伟，向太空飞去……D.各国政府——无论专制政府或共和政府，都驱逐他，资产者——无论保守派或极端民主派，都竞相诽谤他，诅咒他。
2021届吉林省洮南市第一中学高三上学期期中考试语文试题(解析版)
吉林省洮南市第一中学2021届高三上学期期中考试语文试题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
从文学的角度观照传统节日，并不牵强。
传统节日作为民族历史文化遗存，在漫长的岁月传承中，一些原初的价值与功能或有所丢失，或发生变异，节日仪式中的功利作用悄悄向审美作用转移，例如本来是象征驱除侵害人类生活的力量与因素的仪式，在反复举行之后，就变得别有意味了。
端午节就是例子。
为避萌动的邪气，需沐浴兰草汤、采药、置菖艾、戴香包等方式防五毒、送瘟神。
延习既久，这些处理人与自然关系的活动，具备了功利和美感的双重作用。
可见，在审美这一人类需求的层面，传统节日与文学有相通之处，因为所有的节日都带有娱乐性，能给人带来精神的愉悦。
清明节扫墓祭拜，是追念自家先人与逝者，祈求保佑的虔诚表达；中元节送河灯，活着的人希望那些无所归依的魂灵也被善待。
这些在固定时间里反复进行的活动，跟文学里对生者与死者、此岸与彼岸关系的思考，如出一辙。
有些节日，由人类对自然的崇拜演化为对生活愿望的象征性表达，比如七夕节。
七夕节由“天河”两岸的牛郎织女星座而来，反映了人类对天象的崇拜。
根据这一天象，产生了牛郎织女鹊桥相会的凄美爱情故事。
这个节日的诞生，可以说与文学生产同时进行。
传统节日通过人的行为方式流传下来的。
但这些节日能够作为民族文化的物化形式得以保存并成为中国人精神里不可剔除的部分，更依赖文学书写所创造的艺术形象和语言篇章。
从古代开始，对传统节日的吟咏和描写，产生了大量的诗词歌赋，乃至只要提到某个节日，人们就会立即联想到某一首诗词或某一篇文章。
传统节日由民俗风习向审美对象转化，文学起了主要作用。
可以说，历代有关传统节日的文学作品，装点了传统节日，强化了民族的集体记忆，牢牢绾结起中华儿女的民族情感和文化认同。
中华民族的传统节日，是民族文化里值得珍存的部分。
成体系的传统节日，是中华民族文化的重要标识。
贵州省贵阳市第一中学2025届高三上学期高考适应性月考卷(一)语文试题 Word版含解析
A.常民的生活充满诗意、风景，且与自然相配、与人生相合，但当代历史学家关注不多。
B.在许倬云看来，唐朝也是常民生活宽容、幸福的朝代，但与汉朝相比，国家基础不同。
C.人找不到目的、意义，某种程度上可能与今天网络、媒体发达有关，人较难拣选信息。
D.相较于轴心时代，当代人更喜欢寻找答案，而不是给问题做注脚，以致精神空虚苍白。
尤其今天网络、媒体很发达，每个人彼此影响，但是难得有人自己想。听到的信息很多，不一定知道怎么拣选，也不知道人生往哪个方向走。只有失望的人，只有无可奈何之人，会想想我怎么过日子，为什么过日子。顺境里的人不会想这些。
许知远：这种盲目最终会导向一个很大的灾难吗？
许倬云：自古以来人类历史上最重要的阶段，用德国人雅斯贝尔斯的说法，是轴心时代。那个时代冒出一群人来，提出大的问题，多半是提出问题而不是给出答案。那些问题今天还在我们脑子里边。那一批人问的问题，历代都有人跟着想，我们也都在做注脚。可现在对大问题做注脚的人越来越少，因为答案太现成，都像思想上的麦当劳，随手一抓就一个，短暂吃下去，够饱了，不去想了。所以今天物质生活丰富方便，精神上空虚苍白，甚至没有。人这么走下去，也就等于变成活的机器，没有自己了。
许倬云：汉朝。汉朝国家的基础放在农村。真正讲起来，唐朝也不错，可唐朝的基础不在农村，而在商业道路上。历史上，中国面对一波一波游牧民族的侵略，欧洲也面对一波一波骑射民族的侵略，为什么中国站得住，他们站不住？
地理条件是一个原因，中国的长江黄河之间有一大块完完整整的土地，农业发展快，村子挨村子，一大片，坚实得很。黄河长江下面是湖泊河流区，再下面是沿海河流的灌溉平原，这三片形成一整块。这扎扎实实一大块，是世界最大块的农耕地区，最精致的精耕细作，这个便是中国的本钱。所以现在人为加快的城市化（毁掉农村）是不智之举。发达到一定的地步，城市化自然会出现。城市富，城市强，但城市是不固定的，人口是流动的，农村稳定、安全。
【高三】2021届高考语文第二轮考点标点符号专项归纳复习教案
【高三】2021届高考语文第二轮考点标点符号专项归纳复习教案标点符号复习学案（三）【复习目标】正确使用标点符号【复习范围】掌握几种常见的标号的用法【前预习案】一、注音绷带绷脸绷亮横肉横财蛮横呼天抢地首当其冲安步当车退避三舍应有尽有得心应手应接不暇果脯胸脯攒射角色口角二、改正词语中的错别字蝉娟斐声喝采蜂踊观摹呕气偶而嘎然清绿水坦护通辑诌诌调济自翊修茸眼敛整齐化一经纬分明三、名言名句默写(1)蟹六跪而二螯，____________________，________。
)(2)________，多于在庾之粟粒；瓦缝参差，______________。
(3)______________，______________。
飞湍瀑流争喧?，?崖转石万壑雷。
(4)住近湓江地低湿，________________。
其间旦暮闻何物？______________。
(5)________，________，齐楚之精英。
(6)惟江上之清风，与间之明月，__________，__________。
(7)信誓旦旦，不思其反。
________，________！(8)忽反顾以游目兮，将往观乎四荒。
______________，____________。
【堂学习案】【知识积累】标号（引号、括号、省略号、破折号、书名号）一、引号(双引号“”单引号‘’)引号是表示中引用等的符号。
1．许多社会学家认为：“重建家园应该有两重含义，一是要重建物质家园；一是要重建精神家园，帮助灾区群众树立起生活的信心”。
( )2．中国人民是爱好和平的，中国政府也一向致力于维护世界和平；同时中国人民也有决心有能力保卫自己的国家，“人不犯我，我不犯人；人若犯我，我必犯人。
”()3．墙上写有“只生一个好！”的标语。
( )辨析修改： 1句标点使用错误，“认为”后边是直接引用社会学家的话，句末的句号应放在引号的里边，引号外边不用标点符号。
2句标点使用错误，句末引用毛泽东的话，虽然单独作为一个分句出现，但仍然是整个句子的一部分而不是单独作为毛泽东说话的情况出现，因此句末引号内的句号应该去掉，在引号后边加上句号，作为全句的标点。
专题16 数列(解答题)(12月)(人教A版2019)(解析版)
专题16 数 列（解答题）1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10n n a a +->，23a =，且1a ，3a ，712a +成等比数列．（1）求n a 和n S ； （2）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：112n T ≤<． 【试题来源】广东省湛江市2021届高三上学期高中毕业班调研测试题【答案】（1）21n a n =-，2n S n =；（2）证明见解析．【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ， 由10n n a a +->，得0d >，则223173,(12),a a a a =⎧⎨=+⎩所以121113,(2)(126).a d a d a a d +=⎧⎨+=++⎩ 解得11a =，2d =，所以21n a n =- ，()21212n n n S n +-==．（2）因为111(1)1n b n n n n ===-++． 所以1111111111112233411n T n n n =-+-+-++-=-<++． 因为111nT n =-+单调递增．所以112n T T ≥=，综上，112T ≤<．【名师点睛】数列求和的方法：（1）倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些像可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列：或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如a n =(−1)n f(n)类型，可采用两项合并求解．2．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知71a =，432S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（理）【答案】（1）213n a n =-；（2）212n n S n =-，6n =时，n S 的最小值为36-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由71a =，432S =-，即1161434322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1112a d =-⎧⎨=⎩， 所以()11213n a a n d n =+-=-． （2）()221111122n n n S na d n n n n n -=+=-+-=-， ()2212636n S n n n =-=--，所以当6n =时，n S 的最小值为36-． 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，且10n n S a +-=（*n N ∈）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若()21log nn b n a =-+⋅，数列()*N 1n n b ⎧⎫⎬⎭∈⎨⎩的前n 项和为n S ，求证：112n S ≤<．【试题来源】四川省内江市第六中学2020-2021学年高三上学期第三次月考（文） 【答案】（1）12n na =；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为10n n S a +-=①，所以()11102n n S a n --+-=≥②，①-②得112n n a a -=，2n ≥； 所以数列{}n a 是首项和公比都为12的等比数列，于是1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭，*n N ∈．（2）由（1）得()()21log 1n n b n a n n =-+⋅=+，所以()111111n b n n n n ==-++， 所以12111111*********11n n S b b b n n n =+++=-+-++-=-++． 又易知函数()111f x x =-+在[)1,+∞上是增函数，且()1f x <，而112S =， 所以112n S ≤<． 【名师点睛】裂项相消法求数列和的常见类型： （1）等差型111111n n n n a a da a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列； （2=（3）指数型()11nn n a a a a +-=-；（4）对数型11log log log n aa n a n na a a a ++=-． 4．已知数列{}n a 前n 项和n S 满足()2*n S n n N =∈（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【试题来源】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二第一学期期中考试（文） 【答案】（1）21n a n =-；（2）n 21nT n =+． 【解析】（1）当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()22121n S n n n =-=-+，121n n n a S S n -=-=-， 当1n =时上式也符合．所以21n a n =-． （2）由题意知，可设111111(21)(21)22121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪-+-+⎝⎭n 12111111(1)()()23352121n T b b b n n ⎡⎤=+++=-+-++-⎢⎥-+⎣⎦则n 11122121n T n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭． 5．从①前n 项和()2n S n p p R =+∈②611a =且122n n n a a a ++=+这两个条件中任选一个，填至横线上，并完成解答．在数列{}n a 中，11a =，________，其中n *∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若1a ，n a ，m a 成等比数列，其中m ，n *∈N ，且1m n >>，求m 的最小值． （注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分）【试题来源】广东省深圳、汕头、潮州、揭阳名校2021届高三上学期联考 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】选择①：（1）当1n =时，由111S a ==，得0p =．当2n ≥时，由题意，得()211n S n -=-，所以()1212n n n a S S n n -=-=-≥．经检验，11a =符合上式，所以()*21n a n n =-∈N ．（2）由1a ，n a ，m a 成等比数列，得21nm a a a =， 由（1）得()*21n a n n =-∈N，即()()221121n m -=⨯-．化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． 因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5． 选择②：（1）由122n n n a a a ++=+，得121 n n n n a a a a +++-=-， 所以数列{}n a 是等差数列．设数列{}n a 的公差为d ． 因为11a =，61511a a d =+=，所以2d =． 所以()()*1121n a a n d n n =+-=-∈N ．（2）因为1a ，n a ，m a 成等比数列，所以21nm a a a =，即()()221121n m -=⨯-． 化简，得2211221222m n n n ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭．因为m ，n 是大于1的正整数，且m n >，所以当2n =时，m 有最小值5．【名师点睛】()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩，检验11a =是否符合通项是解题的关键． 6．在数列{}n a 中，12a =，1541n n a a n +=-+，*n N ∈． （1）证明：数列{}n a n -是等比数列； （2）求{}n a 的前n 项和n S ．【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高二（上）期中（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）()1(1)5142n n n +-+． 【解析】（1）1541n n a a n +=-+，*n N ∈，1(1)5()n n a n a n +∴-+=-．因为111a -=， ∴数列{}n a n -是首项为1，公比为5的等比数列，（2）由（1）可得15n n a n --=，15n n a n -∴=+，{}n a ∴的前n 项和211555(12)n n S n -=+++⋯⋯++++⋯⋯+()115(1)51(1)1(1)(51)15251242nnn n n n n n n ⨯-+-++=+=+=-+-- 7．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知410a =-，864S =-． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文）【答案】（1）426n a n =-；（2）2224n S n n =-，6n =时，n S 的最小值为72-．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，由410a =-，864S =-得11310878642a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩， 解得1224a d =-⎧⎨=⎩，所以{}n a 的通项公式为()2241426n a n n =-+-=-；（2）由（1）得()()1244822422n n n a a n n S n n +-===-， 又222242(6)72n S n n n -=--=，所以当6n =时，n S 取得最小值，最小值为72-．8．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项，12a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令222log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【试题来源】天津市滨海新区大港一中2021届高三（上）第一次月考【答案】（1）2nn a =；（2）12443n n n +-++．【解析】（1）正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足22S a +是12a 和4a 的等差中项， 设公比为q ，则22142()2S a a a +=+，整理得12142(2)2a a a a +=+，由于12a =，即32(24)42q q +=+，即34q q =，因为0q >，所以解得2q ，所以2nn a =．（2）由于222log 24nn n b a a n =+=+，所以12324446424n n T n =++++++++12(2462)(444)n n =++++++++4(41)(1)41n n n -=++-12443n n n +-=++．9．已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列，92a =-，且满足3a ，13a ，8a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n n b a a a ++=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得n S 最小的n 的值． 【试题来源】河南省焦作市2020—2021学年高三年级第一次模拟考试（文） 【答案】（1）329n a n =-；（2）7【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ()0d ≠，因为92a =-，3a ，13a ，8a 成等比数列，所以21338a a a =，即()()()224262d d d -+=----，整理得230d d -=， 解得3d =或0d =（舍去）．故()99329n a a n d n =+-=-． （2）当19n ≤≤时，0n a <，当10n ≥时，0n a >，因为12n n n n b a a a ++=，当17n ≤≤时，0n b <，当10n ≥时，0n b >， 而且()()8891052110b a a a ==-⨯-⨯=，9910112148b a a a =-⨯⨯==-， 因此97S S >，所以使得n S 最小的n 为7．10．已知各项均为正数的等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，且236a a ⋅=，238b b a ⋅=（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）若2221log n n n c a b +=⋅，求12n c c c +++…．【试题来源】黑龙江宾县第一中学2020-2021学年高三第一学期第二次月考（理） 【答案】（1）n a n =，12n n b -=；（2）()21nn +．【解析】（1）因为{}n a 为等差数列，且11a =，所以可设公差为d ， 则()11n a n d =+-，所以21a d =+，312a d =+． 因为236a a ⋅=，所以()()1126d d ++=，解得1d =或52d =-． 又等差数列{}n a 各项均为正数，所以52d =-不合题意，舍去，所以n a n =． 因为{}n b 为等比数列，且11b =，所以可设公比为(0)q q ≠，则1n n b q -=．因为2388b b a ⋅==，所以128q q ⋅=，解得2q，满足各项均为正数，所以12n n b -=．（2）由（1）知1,2n n n a n b -==，所以2221log n n n c a b +=⋅()121n n =+111=21n n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭．所以12n c c c +++111111122231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭11121n ⎛⎫=⋅- ⎪+⎝⎭()21n n =+．11．在等比数列{}n a 中，已知11a =，48a =． （1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）在等差数列{}n b 中，若15b a =，82b a =，求数列{}n b 前n 项和n S ． 【试题来源】甘肃省临夏州临夏中学2019-2020学年高二（上）第二次月考（文） 【答案】（1）12n na ；（2）217n S n n =-．【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题设知3418a q a ==， 2q ∴=，因此12n na ；（2）由（1）可得415216b a ===，822b a ==，∴公差81281b b d -==--，2(1)16(2)172n n n S n n n -∴=+⨯-=-． 12．已知数列{}n a 满足12a =，()121n n n a a n++=．设nn a b n=． （1）求证：数列{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和为n S ．【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2020-2021学年高三上学期期中考试（文） 【答案】（1）证明见解析；（2）()1122n n S n +=-+．【解析】（1）由()121n n n a a n++=，可得121n n a an n+=⋅+，即12n n b b += 则数列{}n b 是以1121a b ==为首项，2为公比的等比数列； （2）由（1）可得，2nn n a b n ==，2n n a n ∴=⋅，23122232...2n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，则有()23412122232 (122)nn n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯，两式作差得()231111212222 (22222212)n n n n n n nS n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=--⨯-()1122n n S n +∴=-+．13．在数列{}n a 中，11a =，24a =，2134n n n a a a ++=-． （1）求证：数列{}1n n a a +-是等比数列；（2）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S m m ≥-对任意正整数n 恒成立，求实数m 的取值范围．【试题来源】河南省商丘市虞城高级中学2020~2021学年高三11月质量检测（理）【答案】（1）证明见详解；（2）1⎡⎣．【解析】（1）由2134n n n a a a ++=-，得214133n n n a a a ++=-． 则()1112111141113333n n n n n n n n nn n n n a a a a a a a a a a a a a ++++++++----===---，所以数列{}1n n a a +-是以213a a -=为首项，13为公比的等比数列． （2）由（1）得11211333n n n n a a -+-⎛⎫-=⨯=⎪⎝⎭．当2n ≥时，()()()()12132431n n n a a a a a a a a a a -=+-+-+-+⋅⋅⋅+-01231111133333n -=+++++⋅⋅⋅+2111119134122313n n --⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+=-⨯ ⎪⎝⎭-．当1n =时，11a =适合11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．所以11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，所以1111927111273122432413nnn S n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=⨯+-⎪⎝⎭-． 因为11191223n n a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭是关于n 的递增数列，且110a =>，所以n S 也关于n 单调递增，从而n S 的最小值为11S =．因为22n S m m ≥-恒成立．所以212m m ≥-，解得11m ≤≤．即实数m的取值范围是1⎡+⎣．【名师点睛】根据数列不等式恒成立求参数时，一般通过分离参数，得到参数大于某个式子或小于某个式子恒成立的问题，再根据分离后的式子，由函数（或数列）的性质求出最值，即可求解参数范围．14．已知等差数列{}n a 满足323a a -=，2414a a +=． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n S 是公比为正数的等比数列{}n b 的前n 项和，若22b a =，46b a =，求7S ． 【试题来源】湖北省荆州市滩桥高级中学2019-2020学年高二下学期期末（文） 【答案】（1）32n a n =-；（2）254． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为32243,14-=+=a a a a ．所以3d =，12414a d +=，解得11a =， 所以()1132n a a n d n =+-=-； （2）设等比数列{}n b 的公比为q ，则2124b b q a ===，341616b b q a ===，解得122b q =⎧⎨=⎩或122b q =-⎧⎨=-⎩， 因为公比为正数，所以122b q =⎧⎨=⎩，所以()7721225412S ⨯-==-． 15．已知数列{}n a 为正项等比数列，12a =，数列{}n b 满足25b =，且11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-．（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若11{}n n b b +的前n 项和n T ，求n T 的取值范围． 【试题来源】甘肃省永昌县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考数学理试题【答案】（1）2nn a =，21n b n =+；（2）[11,)156． 【解析】（1）令1n =，则2112(21)26a b =+-=，所以13b =，令2n =，则112226a b a b +=，所以2220a b =，因为25b =，所以24a =， 设数列{}n a 的公比为q ，则212a q a ==，所以2n n a =． 因为11122332(21)2n n n a b a b a b a b n ++++⋅⋅⋅+=+-，①当2n ≥时，112233112(23)2nn n a b a b a b a b n --+++⋅⋅⋅+=+-，② 由①-②得1[2(21)2][2(23)2](21)2n n nn n a b n n n +=+--+-=+，所以21n b n =+，当1n =时也成立，所以21n b n =+，（2）由（1）可知111111()(21)(23)22123n n b b n n n n +==-++++， 所以1111111[()()()]235572123n T n n =-+-+⋅⋅⋅+-++111()2323n =-+， 因为n T 随着n 的增大而增大，当1n =时，1115T =，当n →+∞时，16n T →， 所以n T 的取值范围是11[,)156． 【名师点睛】数列求和的方法常用的有：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组求和法；（5）倒序相加法．要根据数列通项的特征，灵活选择方法求和． 16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312n n S a =-*()n N ∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n b 中，15b =，1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式．【试题来源】安徽省马鞍山市和县第二中学2020-2021学年高一上学期期中联考（理）【答案】（1）123n n a -=⋅；（2）134n n b -=+．【解析】（1）当n =1时，11312a a =-， 所以 a 1=2． 当2n ≥时，因为312n n S a =- ①，1131(2)2n n S a n --=-≥ ②，①-②得133(1)(1)22n n n a a a -=---，即13n n a a -=所以 数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列，所以123n n a -=⋅．（2）因为1n n n b b a +=+，所以当2n ≥时，2123n n n b b --=+⋅ ，……，13223b b =+⋅，2123b b =+⋅，相加得 12111132(333)523413n n n n b b ----=+⋅+++=+⋅=+-．当n =1时，111345b -+==，所以 134n n b -=+．【名师点睛】递推数列求数列通项公式，对于形如a (n+1)=a n +f (n )或者a (n+1)-a n =f (n )的关系式，其中f (n )可以为常数(此时为等差数列)、也可以是关于n 的函数如一次函数、分式函数、二次函数和指数函数等，此时求解通项公式时均可使用累加法．17．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和n T ．【试题来源】湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】（1）n a n =；（2）()1114213n n T n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦．【解析】（1）由211n n n a S S ++=+，又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥，因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥，又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=，因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1， 所以()11n a a n d n =+-=； （2）()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以 ()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦． 【名师点睛】常见的数列中可进行裂项相消的形式：（1）()11111n n n n =-++；（2）211114122121n n n ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭； （31=-（4）()()1121121212121n n n n n ++=-----． 18．已知数列{}n a 中，11a =，13nn n a a a +=+． （1）求证：112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足()312nn n n nb a =-⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式1(1)2n n n nT λ--<+对一切*n ∈N 恒成立，求λ的取值范围． 【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】（1）证明见解析，231n na =-；（2）23λ-<<． 【解析】（1）由13n n n a a a +=+得13131n n n n a a a a ++==+，即11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 又111322a +=，所以112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以32是为首项，3为公比的等比数列． 所以111333222n n n a -+=⨯=，即231n n a =-． （2）()12231nnnn n b an n --⋅==， 所以0122111111123(1)22222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯， 211111112(1)22222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯． 两式相减得121011111222222222n n n n T n n -+=+++⋯+-⨯=-，所以1242n n n T -+=-，所以12(1)42nn λ--<-． 令()()*1242n f n n -=-∈N ，易知()f n 单调递增，若n 为偶数，则()21242f n λ-<-≤，所以3λ<； 若n 为奇数，则()11242f n λ--<-≤，所以2λ-<，所以2λ>-． 综上所述23λ-<<．【名师点睛】利用构造等比数列可求解形如递推关系1n n a pa q -=+的通项公式；根据数列的单调性求数列的最值，可求得参数的取值范围．19．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，满足410S =，55a =，n T 为数列{}n b 的前n 项和，满足()4413nn T =-，*n ∈N ． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设211log n n n n c b a a +=+，若数列{}n c 的前n 项和100n C <，求n 的最大值． 【试题来源】河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】（1）*n a n n N =∈，，4n nb ，*n N ∈；（2）9．【解析】（1）{}n a 为等差数列，因为410S =，55a =，所以14610a d +=，145a d +=，解得11a =，1d =，所以*n a n n N =∈，．因为()4413n n T =-，所以当2n ≥时，()()11444141433n n n n n n b T T --=-=---=； 当1n =时，114b T ==．综上，4n n b ，*n N ∈．（2）()2111log 4211nn c n n n n n ⎛⎫=+=+- ⎪++⎝⎭，所以()12111111212312231n n C c c c n n n ⎛⎫=+++=+++++-+-++- ⎪+⎝⎭()()111111n n n n n n n ⎛⎫=++-=++ ⎪++⎝⎭，所以()11nn C n n n =+++， 因为()11001n nC n n n =++<+， 当1n ≥时，()1111n C n n n =++-+为关于n 的递增数列，8999010010C C <=+<，101011010011C =+>，所以n 的最大值为9． 【名师点睛】已知数列的通项和前n 项和的递推关系，常采用多递推一项再相减的思想；通过研究数列的单调性，进而研究数列项的最值或解不等式，是常用的方法．20．在①112n n a a +=-，②116n n a a +-=-，③a n +1＝a n +n -8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，_________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．【试题来源】湖北省宜昌市秭归县第一中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】答案不唯一，具体见解析 【解析】选①因为112n n a a +=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公比为12-的等比数列，所以13114()()22n n n a --=⨯-=-．当n 为奇数时，14[1()]812(1)13212n n nS --==++，因为81(1)32n +随着n 的增加而减少，所以此时S n 的最大值为S 1＝4．当n 为偶数时，81(1)32n n S =-，且818(1)4323n n S =-<<．综上，S n 存在最大值，且最大值为4．选②因为116n n a a +-=-，a 1＝4，所以{a n }是首项为4，公差为16-的等差数列，所以11254(1)()666n a n n =+--=-+．由125066n -+≥，得n ≤25，所以S n 存在最大值，且最大值为S 25（或S 24），因为2525241254()5026S ⨯=⨯+⨯-=，所以S n 的最大值为50．选③因为a n +1＝a n +n -8，所以a n +1-a n ＝n -8，所以a 2-a 1＝-7，a 3-a 2＝-6，…，a n -a n -1＝n -9，则12132n a a a a a a -=-+-+…21(79)(1)171622n n n n n n a a --+---++-==，又a 1＝4，所以217242n n n a -+=．当n ≥16时，a n ＞0，故S n 不存在最大值．21．已知数列{}n a 中，11a =，1(1)(2)1n n n a n a ++-+=*()n N ∈，n S 为数列{}n a 的前n项和．数列{}n b 满足*1()n nb n N S =∈．（1）证明：数列{}n a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ．问是否存在正整数,(3)p q p q <<，使得3,,p q T T T 成等差数列？若存在，求出,p q 的值；若不存在，请说明理由．【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中 【答案】（1）证明见解析，n a n =；（2）存在，11,5q p ==或27,6q p == 【解析】（1）1(1)(2)1n n n a n a ++-+=，则()()1111211212n n a a n n n n n n +-==-++++++， 设1n n a c n =+，则112c =，11112n n c c n n +-=-++，1122111111111123211n n n n n nc c c c c c c c n n n n ---=-+-+⋅⋅⋅+-+=-+⋅⋅⋅+-+=-=+++，故11n n a nc n n ==++，n a n =，11n n a a --=，故数列{}n a 为等差数列．（2）()12n n n S +=，()1211211⎛⎫===- ⎪++⎝⎭n nb S n n n n ， 故1111122122311n n T n n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪++⎝⎭． 3,,p q T T T 成等差数列，则32p q T T T =+，即423112p q p q =+++， 化简整理得到：5730pq p q +--=，即()()7532p q -+=-，3p q <<，故58q +>，且*,p q N ∈，故516q +=或532q +=，故11,5q p ==或27,6q p ==．22．在①123,1,a a a +成等差数列；②430S =；③12364a a a =三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并作答．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和．若12()n n S a a n N *=-∈，10a ≠，且满足（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11b =，*1()n n n b b a n N +-=∈，求数列{}n b 的通项公式． 【试题来源】江苏省无锡市锡山高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）2nn a =；（2）21n n b =-．【解析】（1）因为12n n S a a =-，所以1112n n S a a ++=-，所以()1111122n n n n n a S S a a a a +++--==--，化简得12n n a a +=，若选择①：因为123,1,a a a +成等差数列，所以()21321a a a +=+即()1112214a a a +=+，解得12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =；若选择②：因为2413411530a a a a S a =+++==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =； 若选择③：因为31231864a a a a ==，所以12a =，所以数列{}n a 是以2为首项，公比为2的等比数列，所以2nn a =； （3）由（1）得2nn a =，则12n n n b b +-=，所以当2n ≥时，()()()()2311213243112222n n n n b b b b b b b b b b --+-+-+-+⋅⋅⋅+-=+++⋅⋅⋅+= ()1122112n n ⋅-==--，当1n =时，11b =满足上式，所以21nn b =-．23．阅读本题后面有待完善的问题，在下列三个关系①1112n n a a +=+，②12n n a a +=+，③21n n S a =-中选择一个作为条件，补充在题中横线标志的__________处，使问题完整，并解答你构造的问题．（如果选择多个关系并分别作答，在不出现逻辑混乱的情况下，按照第一个解答给分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，对任意的*N n ∈，都有_________；等比数列{}n b 中，对任意的*N n ∈，都有0n b >，2123n n n b b b ++=+，且11b =，问：是否存在*N k ∈，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤？若存在，试求出k 的值；若不存在，试说明理由． 【试题来源】江苏省南京市三校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】答案见解析【解析】设等比数列{}n b 的公比为q ．因为对任意的*n ∈N ，都有2123n n n b b b ++=+，所以223q q =+，解得1q =-或32． 因为对任意的*n ∈N ，都有0n b >，所以0q >，从而32q =． 又11b =，所以132n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭．显然，对任意的*n ∈N ，0n b >．所以，存在*n ∈N ，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤，即n kn ka ab b ≤． 记nn na cb =，*n ∈N ．下面分别就选择①②③作为条件进行研究． ①因为对任意的*n ∈N ，都有1112n n a a +=+，即()11222n n a a +-=-．又11a =，即1210a -=-≠，所以20n a -≠，从而12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是等比数列，公比为12，得1122n n a -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭．所以1123n n n n n a c b --==，从而()1112321n n n nc c ++-=-． 由()1121122132n nn n +--≤⇔≥⇔≥，得12c c =，当1n ≥时，1n n c c +<， 所以，当1n =或2时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有2121n n a a a b b b ≤=，即11n n a b a b ≤，22n n a b a b ≤， 所以存在1k =，2，使得对任意的*n ∈N ，都有n k k n a b a b ≤． ②因为对任意的*n ∈N ，都有12n n a a +=+，即12n n a a +-=，所以数列{}n a 是等差数列，公差为2．又11a =，所以12(1)21n a n n =+-=-．所以12(21)03n n n n a c n b -⎛⎫==-> ⎪⎝⎭，从而12(21)3(21)n n c n c n ++=-． 由2(21)51253(21)2n n n n +≤⇔≥⇔≥-，得当2n ≤时，1n n c c +>；当3n ≥时，1n n c c +<，所以，当3n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*n ∈N ，都有33n n a a b b ≤，即33n n a b a b ≤． 所以存在3k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． ③因为对任意的*N n ∈，都有21n n S a =-，所以1121n n S a ++=-， 从而()1111212122n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=---=-，即12n n a a +=．又110a =>，所以0n a >，且12n na a +=， 从而数列{}n a 是等比数列，公比为2，得12n na ．所以1304n n n n a c b -⎛⎫==> ⎪⎝⎭，从而1314n n c c +=<，所以1n n c c +<， 所以，当1n =时，n c 取得最大值，即nna b 取得最大值． 所以对任意的*N n ∈，都有11n n a a b b ≤，即11n n a b a b ≤． 所以存在1k =，使得对任意的*N n ∈，都有n k k n a b a b ≤． 24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21(*)n n S a n N =-∈ （1）求1a 和2a 的值；（2）证明数列{}n a 是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；（3）设13log n n b a =，n n n c a b =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．【试题来源】广东省东莞市第四高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）113a =；219a =；（2）证明见解析，13n n a =；（3）n T =332443nn +-⨯． 【解析】（1）1121S a =-，得113a =，当2n =时，2221S a =-，所以1222()1a a a +=-，解得219a =．（2）由21n n S a =-，1121(2)n n S a n --=-≥， 两式相减得11(2)3n n a a n -=≥，即11(2)3n n a n a -=≥， 所以数列{}n a 是以首项为13，公比为13的等比数列，得13n n a =． （3）13log n n b a n ==，3n n nnn c a b ==， 则12n n T c c c =+++=21111112(1)3333n n n n -⨯+⨯++-⨯+⨯，得3×n T =21231333n-n++++，上两式相减得 2×n T =1+211113333n n n -+++-=311)233n n n--（， 得n T =13133244323443n n nn n-+--=-⨯⨯⨯． 【名师点睛】已知条件是n S 和n a 的关系的，可用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求通项公式．如果一个数列的结构是等差数列乘以等比数列，则数列求和采用错位相减求和法． 25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S n a +=-．（1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中，12b =，12n n b b +=-，求数列{}n n a b +的前n 项和n T ． 【试题来源】云南省德宏州2020届高三上学期期末教学质量检测（文）【答案】（1）证明见解析；121n n a +=-；（2）n T 2224n n +=+-．【解析】（1）证明：当1n =时，13a =，当2n ≥时，22n n S n a +=- ①，11(1)22n n S n a --∴+-=- ②， 由①－②得121n n a a -+=， 1221n n a a -∴+=+，即1121n n a a -+=+，故数列{}1n a +是以2为公比，首项为114a +=的等比数列，112n n a +∴+=，得121n n a +=-．（2）由题得12nnb b ，故{}n b 是以2为公差，2为首项的等差数列，2n b n ∴=．()231(242)222n n T n n +∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+-()412(1)22212n n n n n --=+⨯+--2224n n +=+-．【名师点睛】本题考查数列求通项公式与求和问题，求数列和常用的方法： （1）等差+等比数列：分组求和法；（2）倒序相加法； （3）11n n n b a a +=（数列{}n a 为等差数列）：裂项相消法； （4）等差⨯等比数列：错位相减法．26．已知数列{}n a 满足12a =，1(1)2(2)n n n a n a ++=+ （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，求证：2nn S a <．【试题来源】浙江省温州市2020-2021学年高三上学期11月高考适应性测试（一模） 【答案】（1）1(1)2n n a n -=+⋅；（2）证明见解析．【解析】（1）因为1(1)2(2)n n n a n a ++=+，所以12(2)(1)n n a n a n ++=+，则 1123411123134512(1)2(2)234n n n n n a a a a n a a a n n a a a a n ---+⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⨯⨯⨯⨯=+⋅≥ ⎪⎝⎭当1n =时，12a =满足上式，所以1(1)2n n a n -=+⋅．（2）0121223242(1)2n n S n -=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅①，123122232422(1)2n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅②，①-②得123122222(1)2n n n S n --=+++++-+⋅，化简得()12122(1)2212---=+-+⋅=-⋅-n nn nS n n ，所以2nn S n =⋅，又2(1)2220nnnn n a S n n -=+⋅-⋅=>，所以2n n S a <．【名师点睛】本题考查根据递推关系式求数列的通项公式，考查错位相减法求和，难度一般．（1）当数列{}n a 满足()1n na f n a +=时，可采用累乘法求通项公式； （2）当数列n n n c ab =⋅，其中{}n a 和{}n b 分别为等差数列与等比数列时，采用错位相减法求和．27．已知数列{}n a 满足122nn n a a a +=+，且12a =，数列{}n b 满足1n n n n b b a b +-=，且12b =，(n *∈N )． （1）求证：数列1na 是等差数列，并求通项n a ； （2）解关于n 的不等式：22n a nb <．【试题来源】江苏省盐城市一中、射阳中学等五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】（1）证明见解析，2n a n=；（2）{}2,3,4n ∈． 【解析】（1）由122nn n a a a +=+，且12a =知，0n a >， 故有11112n n a a +-=得，所以数列1na 是等差数列， 由于1111,22d a ==，所以12n n a =，即2n a n=； （2）由1n n n n b b a b +-=得，121n n n b n a b n++=+=，由累乘法得，(1)n b n n =+ 则不等式22na nb <可化为2(1)nn n <+，即(1)12nn n +>， 令(1),2n nn n c n N *+=∈，则1n c >． 当1n =时，11c =，不符合；当2n =时，2312c =>，符合；当3n =时，3312c =>，符合；当4n =时，4514c =>，符合； 当5n =时，515116c =<，不符合；而当5,n n N *≥∈时，()()1111(2)1(2)(1)0222n n n nn n n n n n n c c ++++++-+-=-=<故当5,n n N *≥∈不符合；综上所述，{}2,3,4n ∈．28．已知数列1n n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭的前n 项和为n ，数列{}n b 满足11b =，1n n n b b a +-=，*n N ∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足22nnn a c b =，*n N ∈，求满足126316n c c c +++≤的最大整数n ． 【试题来源】浙江省杭州地区重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】（1）1n a n =+()n N ∈，(1)2n n nb +=()n N ∈；（2）证明见解析 【解析】（1）因为1212111n nn a a a +++=---①， 2n ≥时，1211211111n n n a a a --+++=----②，由-①②得11n na =-，所以1(2)n a n n =+≥， 当1n =时，1111a =-，12a =符合1n a n =+，所以1n a n =+()n N ∈，因为11n n n b b a n +-==+，所以()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-1121n b a a a -=++++(1)122n nn +=+++=， 当1n =时，11b =也符合，(1)2n n nb +=． （2）因为22224(21)(1)n n n a n c b n n +==+，22224(21)114()(1)(1)n n c n n n n +==-++， 所以，12216341(1)16n c c c n ⎛⎫+++=-≤ ⎪+⎝⎭，21631(1)64n -≤+，211(1)64n ≥+，2(1)64n +≤，所以()18n +≤即7n ≤． 所以满足126316n c c c +++≤的最大整数n 为7． 29．已知数列{a n }中，已知a 1＝1，a 2＝a ，a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意n ∈N *都成立，数列{a n }的前n 项和为S n ．（1）若{a n }是等差数列，求k 的值； （2）若a ＝1，k ＝－12，求S n ． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文）【答案】（1）12k =；（2）()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ． 【解析】（1）若{}n a 是等差数列，则对任意*n N ∈，121n n n n a a a a +++-=-， 即122n n n a a a ++=+，所以()1212n n n a a a ++=+，故12k =. （2）当12k =-时，()1212n n n a a a ++=-+，即122n n n a a a ++=--． 所以()211n n n n a a a a ++++=-+，故()32211n n n n n n a a a a a a ++++++=-+=+， 所以，当n 是偶数时，()()()1234112341n n n n n S a a a a a a a a a a a a --=++++++=++++++()122na a n =+=， 当n 是奇数时，()23212a a a a +=-+=-，()()()12341123451n n n n n S a a a a a a a a a a a a a --=++++++=+++++++11(2)22n n -=+⨯-=- 综上，()2,21,,2n n n k S k n n k*-=-⎧=∈⎨=⎩N ．30．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，918a =，10110S =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）设1n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二第一学期第二次联考试题 （文） 【答案】（1）2n a n =；（2）1n nT n =+． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由911018181045110a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得12a d ==，所以，()112n a a n d n =+-=，故数列{}n a 的通项公式2n a n =； （2）由（1）可得()()2212n n n S n n +==+， 所以()111111n n b S n n n n ===-++， 所以111111111122334111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【名师点睛】数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法．31．已知等比数列{}()n a n N*∈满足234a aa =，13223a a a +=．（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”，证明：数列{}n a 是“M -数列”；（2）记等差数列{}n b 的前n 项和记为n S ，已知59b =，864S =，求数列{}21n n b a -的前n 项的和n T ．【试题来源】内蒙古呼和浩特市2021届高三质量普查调研考试（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）()4727nn T n =-+．【解析】（1）由题意可设公比为q ，则23311a q a q =，得11a =，211123a a q a q +=得1q =或2q，所以数列{}n a 是“M -数列”．（2）设数列{}n b 的公差为d ，易得()458464b b S +==得47b =， 所以542d b b =-=，得21n b n =-，由（1）知若1q =，则2143n n b a n -=-，所以()214322n n n T n n +-==-，若2q，则12n na ，所以()121432n n nb a n --=-⋅，所以()()0221125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-①， 所以()()2312125292472432n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-②，①-②得()()231125292472432n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+-，所以()()1812143212n n nT n ---=+---，所以()4727nn T n =-+．32．在①535S =，②13310a a +=，③113n a n a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答．已知{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前n 项和为n S ，________，且1a ，412a ，9a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()1nn n b a =-，求1ni i b =∑．【试题来源】江苏省南通市平潮高级中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】（1）32n a n =-；（2）13,213,2n i i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数 【解析】{}n a 是各项均为正数的等差数列，1a ，412a ，9a 成等比数列． 所以241914a a a =⋅，即()()2111348a d a a d +=⋅+，整理可得221132690a a d d +-=，若选①：535S =，则1545352a d ⨯+=，即127a d +=， 由127a d +=可得172a d =-代入221132690a a d d +-=可得2230d d --=，解得3d =或1d =-（舍），所以11a =， 所以()11332n a n n =+-⨯=-，若选②：13310a a +=，即152d a =-，代入221132690a a d d +-=得2111762450a a -+=，即 ()()11117450a a --=解得113a d =⎧⎨=⎩或145175017a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-<⎪⎩不符合题意；若选③：113n a n a +=+，则419a a =+，9124a a =+， 代入241914a a a =⋅可得21126270a a +-= 解得113a d =⎧⎨=⎩或1273a d =-⎧⎨=⎩不符合题意；综上所述：113a d =⎧⎨=⎩，32n a n =-，（2）()()132nn b n =--，()()()()()12311231111111nn nin n i b a a a a a --==-+-+-+-+-∑()()()()114710135132n nn n -=-+-++--+--当n 为偶数时，13322ni i n n b ==⨯=∑，当n 为奇数时，()11131322ni i n nb =--=-+-⨯=∑，所以13,213,2ni i nn b n n =⎧⎪⎪=⎨-⎪⎪⎩∑是偶数是奇数．【名师点睛】本题得关键点是分别由条件①②③结合1a ，412a ，9a 成等比数列计算出1a 和d 的值，由{}n a 是各项均为正数的等差数列，所以10a >，0d >，第二问中()1nn nb a =-正负交错的数列求和，需要用奇偶并项求和，注意分n 为奇数和偶数讨论．33．已知函数f (x )=x a ( a 为常数，a >0且a ≠1 )（1）在下列条件中选择一个条件___ (仅填序号)，使得依次条件可以推出数列{a n }为等差数列，并说明理由；①数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列； ②数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列；③数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列；（2）在（1）的选择下，若a =2，b =12n⎛⎫ ⎪⎝⎭(n ∈*N )，求数列{n a ．n b }的前n 项和n S ， 【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期期中 【答案】（1） 选①，理由见解析（2）332n n +-【解析】（1）②③不能推出数列{a n }为等差数列，①能推出数列{a n }为等差数列． 若选①，数列{f (n a )}是首项为4，公比为2的等比数列， 所以f (n a )1+1422n a n n a -==⨯=， 解得1log 2(1)log 2n n a a a n +==+，故数列{a n }为等差数列，若选②，数列{f (n a )}是首项为4，公差为2的等差数列， 所以()42(1)22n f a n n =+-=+，即22na a n =+，解得log 22)a n a n =+（，故数列{a n }不为等差数列，若选③，数列{f (n a )}是首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和构成的数列，因为首项为4 ，公比为2的等比数列的前n 项和为4(12)4(21)12n n n S -==--，所以()4(21)na n n f a a==-，解得log 4(21)n n a a =-，显然数列{a n }不为等差数列．（2）由（1）及a =2可得1n a n =+，所以11(1)22nn n n n a b n +⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， 234345n+112222n n S =+++++，345111345n+1222222n n S +∴=+++++， 两式相减可得23451111111112222222n n n n S ++∴=++++++-。