导数含参单调性问题
高二数学周测
导数含参讨
论单调区间问题
1.
讨论xaxxf)(的单调性，求其单调区间．
2．讨论xaxxfln)(的单调性，求其单调区间．
3.讨论xaxxfln21)(2的单调性．
4. 求1)(232xaxxaxf的单调区间．
5. 求12131)(23xaxxxf的单调区间．
6.已知函数()lnafxxx，求()fx的单调区间.
7.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，讨论函数的单调性,求出其单调区间.
8.已知函数.讨论的单调性.
9.设0a，讨论函数2()ln(1)2(1)fxxaaxax的单调性．
10.已知函数f(x)=ln(1+x)-x+212kx(k≥0)，求f(x)的单调区间.
用导数讨论含参函数的单调性
单调性是描述函数的变化趋势的重要概念，其中，用导数讨论含参函数的单调性尤为重要。
首先，我们来解释“含参函数”一词的意思。
含参函数是指具有参数的函数，也叫带参数函数，它们可以用参数来控制函数的变化趋势。
其次，让我们来看看如何用导数讨论含参函数的单调性。
在微积分中，导数是用来表示函
数变化率的重要概念，它可以帮助我们确定函数的单调性。
通常情况下，当函数的导数大于0时，函数在此处是单调递增的；当函数的导数小于0时，函数在此处是单调递减的。
例如，考虑函数$y=ax^2+bx+c$，其中a，b，c均为常数。
该函数的导数为$y'=2ax+b$。
因此，当$2a>0$时，函数是单调递增的；当$2a<0$时，函数是单调递减的。
更一般地，如果函数$f(x)$的导数$f'(x)$满足$f'(x)>0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递
增的；如果$f'(x)<0$，则函数$f(x)$在$[a, b]$内是单调递减的。
再比如，考虑函数$y=sin(x)$，其导数为$y'=cos(x)$，当$cos(x)>0$时，函数$y=sin(x)$是单调递增的；当$cos(x)<0$时，函数$y=sin(x)$是单调递减的。
总之，用导数讨论含参函数的单调性是很有用的，我们可以用它来判断函数是单调递增还是单调递减。
正如著名数学家高斯所说：“数学是一种分析、综合和抽象的技术，它既是
一种艺术，也是一种科学。
”。
用导数解决含参数的函数的单调性
用导数解决含参数的函数的单调性单调性是数学中一个重要的概念，用于描述函数在特定区间内的增减性质。
在解决含参数的函数的单调性时，我们可以利用导数的概念和性质进行分析和推导。
本文将介绍如何使用导数解决含参数的函数的单调性，并给出相应的示例。
首先，我们来回顾一下导数的定义。
对于函数$f(x)$在点$x=a$处可导，其导数$f'(a)$表示函数曲线在该点处的斜率，可以通过以下公式计算：$$f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$其中，$h$为一个无限趋近于0的值。
导数可以帮助我们研究函数的变化趋势、最值以及单调性等性质。
接下来，我们将探讨含参数的函数的单调性。
含参数的函数形式可以表示为$f(x;a)$，其中$a$为参数。
我们的目标是找到使函数单调的参数范围。
解决这个问题的关键是求导。
首先，我们需要计算函数的一阶导数$f'(x;a)$和二阶导数$f''(x;a)$。
一阶导数反映了函数的变化趋势，二阶导数揭示了函数的曲率性质。
接下来，我们需要找出函数的临界点和在其定义域内的驻点。
临界点是导数为0或不存在的点，驻点是导数在该点处为0的点。
当我们求出一阶导数$f'(x;a)$后，我们可以通过求解方程$f'(x;a)=0$来计算临界点和驻点。
这些点将给出函数的极值或拐点。
通过对导数方程进行求解，我们可以找到参数$a$满足$f'(x;a)=0$，从而得到临界点和驻点。
接下来，我们需要进行符号分析，确定函数的区间性质。
具体来说，当一阶导数$f'(x;a)$在一些区间内大于0时，函数$f(x;a)$是递增的；当一阶导数在一些区间内小于0时，函数是递减的；当一阶导数的正负性在一些点发生改变时，该点可能是函数的拐点。
当我们确定函数的单调性时，还应该考虑到函数的定义域。
特别是当参数$a$对函数的定义域有影响时，我们需要对不同的参数范围进行分析，以确定函数的单调性。
使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结
155使用导数来解决含参函数单调性的讨论方法的总结蓝荣升作者发现，使用导数来解决函数的单调性，它在高中数学试卷中占有相当大的份额。
函数的单调性是求解函数极值，最值（范围）以及零点个数问题的基础，它经常出现在压轴题的第一问，并且存在一定的困难。
求函数单调性的最困难的部分是含参函数的分类讨论，而分类讨论的思想又是高中阶段着重培养的思想方法。
因此,利用分类讨论来解决带参数的函数单调性问题已成为近年来高考的重点和热点。
这类问题的难点在于学生不懂得如何讨论，或者讨论不全面，这里总结了带参函数单调性的分类讨论的一般步骤，在学会之后，没有不知道如何讨论或讨论不全面的情况。
以下是对单调性一般步骤的讨论（解决了讨论的大部分单调性问题）:第一步：求定义域，单调区间是定义域的子集，因此求单调区间必须先求定义域，定义域有三种常见的情况需要讨论。
（1）偶次根式，根号下整体不小于0。
（2）分式，分母不等于0。
（3）对数，真数大于0。
第二步：求函数导数，令0)('=x f ，求出它的根21,x x ，根的个数一般有三种情况：无根、一个根，两个根。
导函数是分式一般先通分，并且还要考虑能不能因式分解。
第三步：如果方程有两根，则要考虑4种情况；如果只有一根则只需考虑第一种情况；如果根不能被求解，并且导数不能被判断出正的或负的，那么我们就需要求函数的二阶导数，利用二阶导数的正负来确定一阶导数的单调性，然后利用最值得到一阶导数的正负，进而判断出原函数的单调性。
（1）是否存在根（判断根是否在定义域中），得到参数的讨论点。
（2）21x x =，得到参数的讨论点。
（3）21x x >，得到参数的讨论点。
（4）21x x <，得到参数的讨论点。
第四步：判断21,x x 分定义域的每个区间的导数的正负情况，如果导数大于0，则函数单调递增，如果导数小于0，则函数单调递减。
以下三种常见方法可用来判断导数的正负：（1）数轴穿根法：（2）函数图像法：（3）区域判断法：只需要判断每个因式的正负。
第3讲 导数中含参问题的分类讨论(解析版)
导数中含参问题的分类讨论本讲义由作业帮周永亮老师(白哥)独家编撰，侵权必究或知识导航★ 1.-次型导函数一次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是一次函数形式，或者说导函数中，除去里面的一次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (x) = ax + b；f (a:) = (ax + b) e x ; f' (a;) = 口“ * " (z > 0)X★ 2.二次型导函数二次型导函数：二次型导函数，是指能够影响原函数单调性的部分是二次函数形式，或者说导函数中，除去里面的二次函数形式，剩余的部分全部恒为正(负).例：f (a:) = ax2 +bx + c；f (x) = (ax2 +bx + cj e x ; f (x) —* 况* ° (a； > 0)注：以上a尹0，若不确定a是否可以为0,就先讨论是一次型还是二次型；★ 3 .含参函数单调性的分类讨论(1)先确定导函数是一次型还是二次型，一次型按照一次型的讨论方式讨论;①判断是否有根，没有根会出现恒成立状况；②求出导函数的根，判断根是否在定义域内，不在定义域会出现恒成立问题；③根在定义域内，穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；(2)若是二次型，先判断二次型函数是否有根，没有根会出现恒成立状况；①如果二次型函数有根，就先求出根(能因式分解就因式分解)；②判断根是否在定义域内(讨论根与定义域端点值的大小关系)；③如果两根全在定义域，那么确定两根大小关系；④穿根法确定导函数正负，进而确定原函数的单调性；★ 4.拟合函数(1)拟合函数是指，根据散点图，拟合出函数的解析式，这里考虑到的点越多，拟合的解析式就越精确.(2 )在求导中，我们会发现很多函数的导函数是指数型或者对数型的，如：f' (x) = e x—2 ; (/ (x) = (a; — a) (In x — S),这种类型的导函数，我们判断原函数的单调性比较麻烦，所以我们会采用拟合函数的形式进行讨论就可以了；(3)在单调性讨论中，拟合的形式比较简单，只需要参考两个关键点就可以了，分别是：①等于0的解，②所需拟合函数单调性；例如：f (a；) = e x -2，①当 / (a:) = 0 时，c = ln2 :② f (时=e x -2单调递增；则，我们也可以找到一个具有相同性质的一次函数，所以f (x) = 可以拟合成f' {x) — x — \n.2 ;再如：寸(x) = (a; — a) (In a: — 3),只需要讨论g = In r - 3这部分就可以了，此函数可以拟合成：y = x-^(x>0)；则寸(c) = (z — a) (Ina: — 3)可以拟合成(/ (x) = (x — a) (x — e3) (z > 0).知识札记歩经典例题考点1 一次型含参导函数的分类讨论已知函数f(x) = lnx + --l ^R)，讨论函数六z)的单调性. X解答：由题意知该函数的定义域为(0, +8)，且/ (^) = - - 4 = 与凸从而当a W0时，/(苛>0,则,(z)在(0,+8)上单调递增当a > 0时(1 )若z € (0,a)，则「(r) < 0,从而/(a:)在(0,a)上单调递减(2)若z€(a,+8),则f(z)>0,从而f(3!)在(a,+8)上单调递增综上所述，当aWO时，义时在(0,+8)上单调递增；当a>0时，山z)在(0,a)上单调递减，在(a, +oo)上单调递增讨论函数f(x)=ax-inx的单调区间.解答：函数，(z)的定义域是(0,+8) m—，若aWO,则/ (x) <。
一元函数的导数及其应用(利用导函数研究单调性(含参)问题)(解答题压轴题)(原卷版)高考数学必刷题
专题05一元函数的导数及其应用（利用导函数研究单调性（含参）问题）利用导函数研究单调性（含参）问题①导函数有效部分为一次型（或类一次型）②导函数有效部分为可因式分解的二次型（或类二次型）③导函数有效部分为不可因式分解的二次型①导函数有效部分为一次型（或类一次型）角度1：导函数有效部分为一次型1．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））已知函数lnfxxaxaR.判断函数fx的单调性：解lnfxxax的定义域为0,，11axfxa
xx
当0a时，0fx恒成立，fx在0,上单调递增，当0a时，令0fx，10xa.令0fx，1xa，
所以fx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.综上，当0a时，fx在0,上单调递增；当0a时，fx在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.2．（2022·江苏南通·高二期中）已知函数
ln
a
fxx
x，
esinx
gxxaR
讨论函数fx的单调性；解由题意知：fx定义域为0,，221axafxxxx；当0a时，0fx恒成立，fx在0,上单调递减；当0a时，令0fx，解得：xa；当0,xa时，0fx；当,xa时，0fx；
fx在0,a上单调递增，在,a上单调递减；
综上所述：当0a时，fx在0,上单调递减；当0a时，fx在0,a上单调递增，在,a上单调递减.3．（2022·广东·东涌中学高二期中）已知函数
1lnfxxax（其中a为参数）.
求函数fx的单调区间：解由题意得：fx定义域为0,，1axafxxx；当0a时，0fx，则fx的单调递增区间为0,，无单调递减区间；当0a时，令0fx，解得：xa；当0,xa时，0fx；当,xa时，0fx；
【导数专题(三)】与函数单调性有关的参数问题
与函数单调性有关的参数问题一、亮点1. 通过整体归纳解题思路让教学更加系统性：可以让学生更加全面地掌握函数单调性相关的参数问题的解决方法；2. 专题素材来源于近三年各高中院校考试与练习试题，（推荐用于综合复习、期末备考），提高老师讲解例题的时效性.二、教学目标1. 利用可导函数在某一区间单调，得出导函数大于或等于零（小于或等于零）恒成立情况，然后分离参数，单调性问题转化为不等式问题；2. 如果函数式中有参数，那么再求导之后，可以根据参数范围，讨论函数单调性；3. 掌握函数在不定区间上的最值解法。
三、专题讲解题型一：已知单调性求参数1、解题思路第一步：对函数进行求导第二步：判断单调性，可进一步求导列出大于等于0和小于等于0第三步：分离参数求值[点拨]列出导函数不等式的前提是单调性，分离参数求函数最值很容易，就是进行简单的算式变形，然后求解函数的最值.2、经典例题例1：（2019盐城三模）设函数()x f x x ae =-（e 为自然对数的底数，a R ∈）若函数()f x 在区间(0,1)上单调，求a 的取值范围.[思路分析]第一步：对函数()x f x x ae =-进行求导，得出导函数.第二步：因为函数()f x 在区间(0,1)上单调，所以，可以分为单调递增与单调递减两种情况.然后列出导函数大于等于0和小于等于0.第三步：对函数不等式分离参数求值.[解答]对函数求导可得'()1x f x ae =-由于函数()f x 在区间(0,1)上单调，可分两种情况，单调递增与单调递减.第一种：若()f x 在区间(0,1)单调递增，则'()10x f x ae =-≥恒成立，得x a e -≤恒成立，又因为(0,1)x ∈，所以1(,1)x e e -∈，因此1a e≤. 第二种情况：若()f x 在区间(0,1)单调递减，'()10x f x ae =-≤恒成立，x a e -≥恒成立，又因为(0,1)x ∈，所以1(,1)x e e-∈，因此1a ≥. 综上，a 的取值范围是1(,][1,)e -∞⋃+∞.[点拨]对函数求导后，分单调递增与单调递减两种情况，然后分离参数计算.3、举一反三练1：（2019江苏高考原创4）已知函数2()(1)x f x x e ax =-+，其中a R ∈，e 是自然对数的底数，若函数()f x 为R 上的单调增函数，求a 的值.[思路分析]第一步：对函数2()(1)x f x x e ax =-+，得出导函数'()(2)x f x x e a =+第二步：因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以'()0f x ≥在R 上恒成立.第三步：对x 进行分类，计算参数a 的值.[解答]'()(2)x f x x e a =+，因为函数()f x 为R 上的单调增函数，所以'()0f x ≥在R 上恒成立.当0x =时，'()(2)0x f x x e a =+=，'()0f x ≥显然成立；当0x >时，'()(2)0x f x x e a =+≥恒成立，则20x e a +≥恒成立，由2x a e ≥-，此时12a ≥-； 当0x <时，'()(2)0xf x x e a =+≥恒成立，则20x e a +≤恒成立，由2x a e ≤-，此时12a ≤-， 综上，12a =-. [点拨]对函数求导之后，可以先对x 进行分类，然后分离参数计算.题型二：讨论含参数函数的单调性1、解题思路第一步：对函数进行求导，得出导函数第二步：对参数分情况，计算导函数的正负第三步：由导函数的值，判断区间的增减性2、经典例题例2：（2020江苏高三入学模拟试卷）已知函数2()ln 12a f x x x =-+（a R ∈），讨论()f x 的单调性. [思路分析]第一步：先对函数2()ln 12a f x x x =-+进行求导，得出2'1()ax f x x-=， 第二步：根据导函数式的性质，对参数进行分类；第三步：进一步对导函数进行计算.[解答]()f x 的定义域为(0,)+∞，2'1()ax f x x -=， 若0a ≤，则'()0f x >，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；若0a >，令'()0f x =，得x =，则当0x <<时，'()0f x >，所以()f x 在上单调递增；当x >'()0f x <，所以()f x 在)+∞上单调递减. [点拨]先对函数进行求导，然后对参数分类判断导函数正负，得出单调性.3、举一反三练1：（2019南京四校联考）已知函数1()(3)ln f x ax a x x =---，讨论()f x 的单调性. [思路分析]第一步：对函数1()(3)ln f x ax a x x=---进行求导，得出导函数2'2(3)1()ax a x f x x --+=； 第二步：对参数a 进行分类；第三步：根据导函数正负，得出函数单调区间.[解答]显然函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且由2'2(3)1()ax a x f x x --+=， 若0a =，则'231()x f x x-+=， 所以当1(0,)3x ∈时，'()0f x >，()f x 单调递增， 当1(,)3x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减， 若0a ≠，记2()(3)1m x ax a x =--+，则22(3)4109a a a a ∆=--=-+，当19a ≤≤时，0∆≤，'()0f x ≥，函数()f x 单调递增.当1a <时，0∆≥，()m x 的两个根式1(3)04a x a -=>，2(3)04a x a-+=>， 由二次函数开口向上，可得函数()f x 在区间1(0,)x 和2(,)x +∞是单调递增的，在区间12(,)x x 上时单调递减的.当9a >时，0∆≥，()m x 的两个根式10x =<，20x =<， 由函数定义域可知，函数()f x 在区间(0,)+∞单调递增..当0a <时，0∆≥，()m x 的两个根式10x =<，20x =>， 由二次函数开口向下，可得，函数在区间2(0,)x 上单调递增，在区间2(,)x +∞上时单调递减。
高中数学_导数与含参函数单调性之含参不等式的求解问题教学课件设计
例3、已知函数
f
(x)
x
2 x
1 a ln
x
，a 0
，
讨论 f (x) 的单调性。
你是如何判断 两根的符号及 大小的？
变式、（2018全国1理）已知函数
f (x) 1 x a ln x ，讨论 f (x) 的单调性。 x
小结：
1、一次： 直线，与x轴的交点及单调性； 2、两个因式的乘积：
a R ， 讨论 f (x) 的单调性。
如何避免这个 问题？
变式、（2016全国1文）已知函数
f (x) （x 2）ex a(x 1)2 ，讨论 f (x) 的单调性。
问题1： (x 1)2 如何求导？
问题2： ex 2a 0 有根时，如何确定不等式 (ex 2a)( x 1) 0 ，(ex 2a)( x 1) 0
导数与含参函数单调性 ----------含参不等式的求解问题
例1、（2017年全国3文）已知函数
f (x) ln x ax2 (2a 1)x ，讨论 f (x) 的单调性。
当 a 0时，如何准确写出不 等式 2ax 1 0 或 2ax 1 0
的解集呢？
例2、已知函数 f (x) x2 (a 2)x a ln x ，
①两根的大小关系反，开口向下的抛物线。
3、二次函数（不能因式分解）： ①分类依据 0 和 0 ； ②画图像，开口方向，定点，对称轴。
作业布置： 学案后面的作业部分
利用导数研究含参函数单调性
利用导数研究含参函数单调性导数是研究函数的一个重要工具，可以用来研究函数的单调性。
含参函数即包含一个或多个参数的函数，我们可以通过对导数的研究来研究含参函数的单调性，下面我们就来详细介绍。
首先，我们先回顾一下导数的定义。
对于含有一个自变量的函数y=f(x)，我们可以通过求导来得到函数在其中一点的斜率。
导数的定义为：f'(x) = lim(h->0) {f(x+h)-f(x)} / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
如果函数在其中一点的导数大于0，我们可以认为该点函数是递增的；如果导数小于0，则是递减的。
如果导数恒大于0，则函数是严格递增的；如果导数恒小于0，则函数是严格递减的。
对于含参函数y=f(x，a，b，c...)，其中a，b，c...为参数，我们也可以研究其单调性。
我们可以首先将含参函数看作一个关于自变量x的函数，然后求导。
求导后的函数中不再含有参数，其导数的正负号和零点即可以用来研究函数在不同参数取值情况下的单调性。
接下来，我们通过一个具体的例子来说明。
考虑函数y=f(x,a)=ax^2，其中a为参数。
我们可以先固定a的值，然后研究函数关于x的变化情况，再通过参数a的取值来研究函数的单调性。
首先，我们分别求导得到函数关于自变量x的导数：f'(x,a) = 2ax现在我们可以根据导数的正负号来研究函数的单调性。
当a>0时，f'(x,a)恒大于0，即导数恒大于0，说明函数递增；当a<0时，f'(x,a)恒小于0，即导数恒小于0，说明函数递减。
接下来，我们可以通过研究参数a的取值来研究函数的单调性。
当a>0时，函数为开口向上的抛物线，随着a的增大，函数的正值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强；当a<0时，函数为开口向下的抛物线，随着a的减小，函数的负值部分会更接近x轴，说明函数递减的速度会更快，即单调性变强。
利用导数推理含参单调性题型大全
如何进行分类讨论？1.先明确是哪类不等式，不同类型的不等式，分类讨论的策略不同！ 考试中常碰到的不等式有：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、指数不等式2.再观察一下区间（定义域）和参数范围．3.结合导函数图象，开始讨论不同类型不等式的讨论策略：1）一元一次不等式型：①参数在一次项系数上：如：讨论例、讨论()()x x e e 1-x a x f +=的单调性变式、已知函数()ln a f x x x=-，a R ∈，求()f x 的单调区间.②参数在常数项上：例、讨论()()x x ae e 1-x x f +=的单调性变式、已知函数()x -alnx x f =，求()f x 的单调区间.2）一元二次不等式型：①参数在二次项系数：第一种，能因式分解型；例、讨论()()x a -x a -1a 21ax 31x f 223+=的单调性变式、讨论()()1x a 6x 1a a 3-ax 2x f 223+++=的单调性第二种，不能因式分解型； 例、讨论()1-x x 21ax 31x f 23++=的单调性②参数不在二次项系数上： 第一种，能因式分解型例、讨论()()1-ax x a 121-x 31x f 23++=的单调性变式、讨论()()1-ax 2-x 2-a 21x 31x f 23+=的单调性第二种，不能因式分解型例、讨论()2-x ax 21x 31x f 23++=的单调性变式、求函数()3213f x x ax x =++，a R ∈的单调区间.3）指数不等式型例、讨论()1-ax e x f x +=的单调性变式、讨论函数()2x f x e ax =--，a R ∈的单调性.4）对数不等式型例、讨论()1ax x lnx x f -+=的单调性。
利用导数研究含参函数的单调性
1 f ( x )在 （ ， 2） 上 为 减 函 数 。 a
综上：
(1)当a 0时 ， f ( x)在 （0,2） 上 递 增 ， 在 （
2， ） 上 递 减 。
1 (2)当a 时 ， f ( x )在 （0， ） 上 为 增 函 数 。 2 1 1 (3)当0 a 时 ， f ( x )在 （0， 2） 和 （ ,)上 为 增 函 数 ; 2 a 1 f ( x )在 （2， ） 上 为 减 函 数 。 a 1 1 (4)当a 时 ， f ( x )在 （0， ） 和 （ 2,)上 为 增 函 数 ; 2 a
1、能利用导数法判断含参函数的单调性
2、掌握讨论含参函数单调性的几种常见 分类标准
独立自学
1 用导数判断函数单调性的法则 、 :
如果在(a,b)内， f ( x)＞0， 则f ( x)在此区间是增函数；
则f ( x)在此区间是减函数。 如果在(a,b)内，f ( x)＜0，
2、求函数单调区间的一般步骤是 1、求定义域 2、求导f'(x) 3、令f'(x)>0,求出增区间，令f'(x)<0,求出减区间。
课题导入 安徽高考真题展示：
2 (09年)已知函数 f ( x) x a(2 ln x), a 0.讨论 f ( x)的单调性 x
含参数函数的单调性问题是历年高考中的一个重要 考点，同时也是学习中的一个难点。那么我们该如 何应对这一类问题呢？
利用导数研究含参函数的单调性
目标引领
探究： 1、在求导计算前应注意什么问题？ 2、导函数中影响符号变化的部分是什么函数？ 3、在利用导函数判别单调性时，应如何讨论？ 无法确定导函数中二次结构的判别式符号，故应对判别式进行 分类讨论。 归纳总结： 对于二次函数取值正负,当根的情况 不能确定时，要对判别式进行讨论。