高中数学24个最易错点
人生不会重来，机会只有一次。 24个最易失分点，查查你是否中枪
01.遗忘空集致误 由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝?时也满足B?A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．
02.忽视集合元素的三性致误 集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求．
03.混淆命题的否定与否命题 命题的“否定”与命题的“否命题”是两个不同的概念，命题p的否定是否定命题所作的判断，而“否命题”是对“若p，则q”形式的命题而言，既要否定条件也要否定结论．
04.充分条件、必要条件颠倒致误 对于两个条件A，B，如果A?B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B?A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A?B，则A，B互为充分必要条件．解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充分条件和必要条件的概念作出准确的判断．
05.“或”“且”“非”理解不准致误 命题p∨q真?p真或q真，命题p∨q假?p假且q假(概括为一真即真)；命题p∧q真?p真且q真，命题p∧q假?p假或q假(概括为一假即假)；綈p真?p假，綈p假?p真(概括为一真一假)．求参数取值范围的题目，也可以把“或”“且”“非”与集合的“并”“交”“补”对应起来进行理解，通过集合的运算求解．
06.函数的单调区间理解不准致误 在研究函数问题时要时时刻刻想到“函数的图像”，学会从函数图像上去分析问题、寻找解决问题的方法．对于函数的几个不同的单调递增(减)区间，切忌使用并集，只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可．
07.判断函数奇偶性忽略定义域致误 判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域，一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称，如果不具备这个条件，函数一定是非奇非偶函数． 08.函数零点定理使用不当致误 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但f(a)f(b)＞0时，不能否定函数y＝f(x)在(a，b)内有零点．函数的零点有“变号零点”和“不变号零点”，对于“不变号零点”函数的零点定理是“无能为力”的，在解决函数的零点问题时要注意这个问题．
09.导数的几何意义不明致误 函数在一点处的导数值是函数图像在该点处的切线的斜率．但在许多问题中，往往是要解决过函数图像外的一点向函数图像上引切线的问题，解决这类问题的基本思想是设出切点坐标，根据导数的几何意义写出切线方程．然后根据题目中给出的其他条件列方程(组)求解．因此解题中要分清是“在某点处的切线”，还是“过某点的切线” ． 10. 导数与极值关系不清致误 f′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件，即必须有这个条件，但只有这个条件还不够，还要考虑是否满足f′(x)在x0两侧异号．另外，已知极值点求参数时要进行检验．
11.三角函数的单调性判断致误 对于函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性，当ω＞0时，由于内层函数u＝ωx＋φ是单调递增的，所以该函数的单调性和y＝sin x的单调性相同，故可完全按照函数y＝sin x的单调区间解决；但当ω＜0时，内层函数u＝ωx＋φ是单调递减的，此时该函数的单调性和函数y＝sin x的单调性相反，就不能再按照函数y＝sin x的单调性解决，一般是根据三角函数的奇偶性将内层函数的系数变为正数后再加以解决．对于带有绝对值的三角函数应该根据图像，从直观上进行判断．
12.图像变换方向把握不准致误 函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，x∈R)的图像可看作由下面的方法得到：(1)把正弦曲线上的所有点向左(当φ＞0时)或向右(当φ＜0时)平行移动|φ|个单位长度；(2)再把所得各点横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的1ω倍(纵坐标不变)；(3)再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)．即先作相位变换，再作周期变换，最后作振幅变换．若先作周期变换，再作相位变换，应左(右)平移|φ|ω个单位．另外注意根据φ的符号判定平移的方向．
13.忽视零向量致误 零向量是向量中最特殊的向量，规定零向量的长度为0，其方向是任意的，零向量与任意向量都共线．它在向量中的位置正如实数中0的位置一样，但有了它容易引起一些混淆，稍微考虑不到就会出错，考生应给予足够的重视． 14.向量夹角范围不清致误 解题时要全面考虑问题．数学试题中往往隐含着一些容易被考生所忽视的因素，能不能在解题时把这些因素考虑到，是解题成功的关键，如当a·b＜0时，a与b的夹角不一定为钝角，要注意θ＝π的情况．
15.忽视斜率不存在致误 在解决两直线平行的相关问题时，若利用l1∥l2?k1＝k2来求解，则要注意其前提条件是两直线不重合且斜率存在．如果忽略k1，k2不存在的情况，就会导致错解．这类问题也可以利用如下的结论求解，即直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的必要条件是A1B2－A2B1＝0，在求出具体数值后代入检验，看看两条直线是不是重合从而确定问题的答案．对于解决两直线垂直的相关问题时也有类似的情况．利用l1⊥l2?k1·k2＝－1时，要注意其前提条件是k1与k2必须同时存在．利用直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0，就可以避免讨论．
16.忽视零截距致误 解决有关直线的截距问题时应注意两点：一是求解时一定不要忽略截距为零这种特殊情况；二是要明确截距为零的直线不能写成截距式．因此解决这类问题时要进行分类讨论，不要漏掉截距为零时的情况．
17.忽视圆锥曲线定义中条件致误 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件．如在双曲线的定义中，有两点是缺一不可的：其一，绝对值；其二，2a＜|F1F2|.如果不满足第一个条件，动点到两定点的距离之差为常数，而不是差的绝对值为常数，那么其轨迹只能是双曲线的一支．
18.误判直线与圆锥曲线位置关系 过定点的直线与双曲线的位置关系问题，基本的解决思路有两个：一是利用一元二次方程的判别式来确定，但一定要注意，利用判别式的前提是二次项系数不为零，当二次项系数为零时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，也就是直线与双曲线最多只有一个交点；二是利用数形结合的思想，画出图形，根据图形判断直线和双曲线各种位置关系．在直线与圆锥曲线的位置关系中，抛物线和双曲线都有特殊情况，在解题时要注意，不要忘记其特殊性．
19.两个计数原理不清致误 分步加法计数原理与分类乘法计数原理是解决排列组合问题最基本的原理，故理解“分类用加、分步用乘”是解决排列组合问题的前提，在解题时，要分析计数对象的本质特征与形成过程，按照事件的结果来分类，按照事件的发生过程来分步，然后应用两个基本原理解决．对于较复杂的问题既要用到分类加法计数原理，又要用到分步乘法计数原理，一般是先分类，每一类中再分步，注意分类、分步时要不重复、不遗漏，对于“至少、至多”型问题除了可以用分类方法处理外，还可以用间接法处理．
20.排列、组合不分致误 为了简化问题和表达方便，解题时应将具有实际意义的排列组合问题符号化、数学化，建立适当的模型，再应用相关知识解决．建立模型的关键是判断所求问题是排列问题还是组合问题，其依据主要是看元素的组成有没有顺序性，有顺序性的是排列问题，无顺序性的是组合问题．
21.混淆项系数与二项式系数致误 在二项式(a＋b)n的展开式中，其通项Tr＋1＝Crnan－rbr是指展开式的第r＋1项，因此展开式中第1,2,3，…，n项的二项式系数分别是C0n，C1n，C2n，…，Cn－1n，而不是C1n，C2n，C3n，…，Cnn.而项的系数是二项式系数与其他数字因数的积．
22.循环结束判断不准致误 控制循环结构的是计数变量和累加变量的变化规律以及循环结束的条件．在解答这类题目时首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．
23.条件结构对条件判断不准致误 条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．
24.复数的概念不清致误 对于复数a＋bi(a，b∈R)，a叫做实部，b叫做虚部；当且仅当b＝0时，复数a＋bi(a，b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z＝a＋bi叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数．解决复数概念类试题要仔细区分以上概念差别，防止出错．另外，i2＝－1是实现实数与虚数互化的桥梁，要适时进行转化，解题时极易丢掉“－”而出错。
这些易错点其实并不难，都是非常简单的基础题目，但是为什么出错率还这么高呢？ 因为很多同学一看到是简单题目就不认真对待，粗心导致失分。
(规避易错题系列)高中数学选择性必修三
第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错典例 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．[错解] 分四步完成这件事．第一步，第1名同学去夺3门学科的冠军，有可能1个也没获得，也可能获得1个或2个或3个，因此，共有4种不同情况．同理，第二、三、四步分别由其他3名同学去夺这3门学科的冠军，却各自有4种不同情况．由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4×4＝256(种)． [辨析] 用分步乘法计数原理求解对象可重复选取的问题时，哪类对象必须“用完”就以哪类对象作为分步的依据．本题中要完成的“一件事”是“争夺3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生”，而错解中可能出现某一学科冠军被2人、3人甚至4人获得的情形，另外还可能出现某一学科没有冠军产生的情况．[正解] 由题知，研究的对象是“3门学科”，只有3门学科各产生1名冠军，才算完成了这件事，而4名同学不一定每人都能获得冠军，故完成这件事分三步．第一步，产生第1个学科冠军，它一定被其中1名同学获得，有4种不同的获得情况；第二步，产生第2个学科冠军，因为夺得第1个学科冠军的同学还可以去争夺第2个学科的冠军，所以第2个学科冠军也是由4名同学去争夺，有4种不同的获得情况；第三步，同理，产生第3个学科冠军也有4种不同的获得情况． 由分步乘法计数原理知，不同的冠军获得情况共有4×4×4 ＝64(种)．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例 解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．[辨析] 在排列数公式A m n 中，隐含条件m ≤n ，m ∈N *，n ∈N *，错解没有考虑到x －2>0,8≥x ，导致错误．[正解] 由A x 8<6A x －28，得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12，①又⎩⎪⎨⎪⎧8≥x ，x －2>0，∴2<x ≤8，② 由①②及x ∈N *得x ＝8．[点评] 注意公式的适用条件．数学中有好多公式、定理、法则等都是有限制条件的，如在排列数公式A mn 中，m ，n ∈N *，n ≥m ，忽视限制条件就可能导致错误．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种． [错解一] 分步完成，第一步，安排第一排的2人，有A 26种排法； 第二步，安排中同一排的2人，有A 24种排法； 第三步，余下的2人排在最后一排．由分步乘法计数原理可知，不同排法共有A 26·A 24＝360(种)．[错解二] 分步完成，第一步，安排第一排的2人，有A 26种排法； 第二步，安排中间一排的2人，有A 24种排法；第三步，安排余下的2人，有A 22种排法．因为排在第一排、中间一排和最后一排不同，所以三排再排列，有A 33种排法． 由分步乘法计数原理可知，不同排法有A 26·A 24·A 22·A 33＝4 320(种)．错解一中错在第三步，余下的2人还要去排最后一排的2个不同位置．错解二中错在前三步已经分清了三排，不需要再排列了．[辨析] 排列问题的重点是弄清“按怎样的顺序排列”，结合问题情境找出排序的依据，在求出答案后要还原实际情境，看是否把每一种情况都考虑进去了，切忌重复或遗漏．[正解] 6个人站在前、中、后三排，每排2人，分3步完成，不同的排法有A 26·A 24·A 22＝720种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．[错解]先从10人中选出4人，共有C410种不同选法．再从选出的4人中选出2人参加会议甲有C24种选法，剩下的2人参加会议乙、丙有C22种选法，所以共有C410C24C22＝1 260(种)．[辨析]计数问题中，首先要分清楚是排列问题还是组合问题，即看取出的对象是“合成一组”还是“排成一列”，不能将二者混淆．若将排列问题误认为是组合问题，会导致遗漏计数，反之，会导致重复计数．[正解一]先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人中选出1人参加会议乙，最后从剩下的7人中选出1人参加会议丙．根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C210C18C17＝2 520(种)．[正解二]先从10人中选出2人参加会议甲，再从余下8人中选出2人分别参加会议乙、丙．根据分步乘法计数原理，不同的安排方法共有C210A28＝2 520(种)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．[错解一]从4个小球中任取3个小球，有C34种取法，从4个盒子中任取3个盒子，有C34种取法，将3个小球放入取出的3个盒子中，有A33种放法，再把余下的1个小球放入3个盒子中的1个，有3种放法．所以满足题意的放法有C34·C34·A33·3＝288(种)．[错解二]将3个球放入4个盒子中，有A34种放法，再把余下的1个球放入3个盒子中的1个，有3种放法，所以满足题意的放法有A34·3＝72(种)．[辨析]导致错解的原因；错解一是重复计数；错解二是遗漏计数，分析如下．设4个不同的小球为a，b，c，d，从4个小球中取出3个，若取出的是a，b，c，则d与a，b，c搭配，有a，d；b，d；c，d．若取出的是b，c，d，则a与b，c，d搭配，有b，a；c，a；d，a．其中a，d与d，a是同一种情况．这就是错解一中出错的地方．取3个小球，若取出的是a，b，c，则d与a，b，c搭配有a，d；b，d；c，d 3种情况．遗漏了a，b；b，c；a，c这3种情况．这就是错解二中出错的地方．[正解]由题意知，必有1个盒子内放入2个小球．从4个小球中取出2个小球，有C24种取法，此时把它看作1个小球，与另2个小球(共3个小球)分别放入4个盒子中，有A34种放法，所以满足题意的放法有C24A34＝144(种)或C34C24A33＝144．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例设(x－2)n(n∈N*)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x2的项．[错解](x－2)n的展开式中第二项与第四项的系数分别为C1n，C3n，则C1n∶C3n＝1∶2，化简得n2－3n－10＝0．又n∈N*，所以n＝5．因为(x－2)5展开式的通项为T k＋1＝(－2)k C k5 x5－k，令5－k＝2，则k＝3，所以含x2的项为(－2)3C35x2＝－202x2．[辨析]①错解将“二项展开式的某项的系数”与“二项展开式的某项的二项式系数”混为一谈，从而导致错误．②(a＋b)n的展开式中的第k＋1项的二项式系数是C k n(k＝0,1,2，…，n)，仅与n，k 有关；第k＋1项的系数不是二项式系数C k n，但有时这个系数与二项式系数相等．注意二项式系数C k n一定为正，而对应项的系数可能为负．[正解]由题设，得T2＝C1n x n－1(－2)＝－2nx n－1，T4＝C3n x n－3，(－2)3＝－22C3n x n－3，于是有－2n－22C3n ＝12，化简得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1(舍去)．所以(x－2)4的展开式的通项为T k＋1＝(－2)k C k4x4－k，令4－k＝2，则k＝2，所以含x2的项为(－2)2C24x2＝12x2．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例(1＋2x)20的展开式中，x的奇次项系数的和与x的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．[错解一]∵二项展开式中奇次项系数的和与偶次项系数的和相同，∴奇次项系数的和与偶次项系数的和均为219．∴所求比为1∶1．[错解二]由二项展开式中知x的奇次项系数的和为C120·2＋C320·23＋C520·25＋…＋C1920·219，x的偶次项系数的和为C020＋C220·22＋C420·24＋…＋C2020·220．∴所求比为(C120·2＋C320·23＋…＋C1920·219)∶(C020＋C220·22＋…＋C2020·220)．[辨析]错解一是将系数和与二项式系数和混淆了；错解二解法欠妥，很难求出数值，其原因在于没有把握住求系数和的根本方法．对于求系数和的问题，要注意用赋值法解决．奇、偶次项是针对x的指数而言，奇、偶数项是针对第几项而言．[正解]设x的奇次项系数的和为A，x的偶次项系数的和为B，则令x＝1，得A＋B ＝320，令x＝－1，得B－A＝1，∴2B＝320＋1，∴B＝320＋12，A＝320－12．即奇次项系数的和为320－12，偶次项系数的和为320＋12．∴所求之比(320－1)∶(320＋1)．第七章随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P(B|A)与积事件的概率P(AB)相同典例袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．[错解]记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事件C，∴P(C)＝P(AB)＝4×610×9＝415．[辨析]应注意P(AB)是事件A和B同时发生的概率，而P(B|A)是在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率．[正解]记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B，“在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球”为事件C．在事件A已经发生的条件下，袋中只有9个球，其中3个白球，故此时取到黄球的概率为P(C)＝P(B|A)＝69＝23或者P(C)＝P(B|A)＝P(AB)P(A)＝41525＝23．[点评]记A1为“两次都取到黄球”，A2为“第一次取到黄球，第二次取到白球”，A3为“两次都取到白球”，A4为“第一次取到白球，第二次取到黄球”，A 为“第一次取到白球”，B为“第二次取到黄球”，C为“第一次取到白球的条件下，第二次取到黄球”，则A4＝AB，P(A1)＝6×510×9＝13，P(A2)＝6×410×9＝415，P(A3)＝4×310×9＝215，P(A4)＝4×610×9＝415，P(A)＝410＝25，P(B)＝6×5＋4×610×9＝35，P(B|A)＝P(AB)P(A)＝41525＝23，要将以上各事件的关系及其概率切实弄清，准确理解条件概率的含义．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)[错解]BC由条件概率的计算公式知A、D错误，B、C显然正确．[辨析]记忆公式时要抓住公式的结构特性，同时还要正确理解各个随机事件的含义．[正解]由条件概率的计算公式知A错误；B，C显然正确；D选项中，因为P(A)P(B|A)＝P(B)P(A|B)，故D正确．易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．[错解]X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．X＝0表示一关没过；X＝1 000表示只过第一关；X＝3 000表示只过第二关；X＝6 000表示只过第三关．[辨析]①对题目背景理解不准确；比赛设三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的；②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高奖不会超过6 000元．[正解]X的可能取值为0,1 000,3 000,6 000．{X＝0}表示“第一关就没有通过”；{X＝1 000}表示“第一关通过，而第二关没有通过”；{X＝3 000}表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通过”；{X＝6 000}表示“三关都通过”．[点评]理解题目背景，弄清各条件的含义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可能取值是本章学习的重要基本功．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A) A．0B．1C．2E(X)D．不确定[错解]∵E(E(X)－X)＝E(E(X))－E(X)由于E(E(X))不确定，故选D．[辨析]离散型随机变量的均值E(X)是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．[正解]由离散型随机变量均值的性质知，当Y＝aX＋b，其中a，b为常数时，有E(Y)＝aE(X)＋b．又E(X)是常数，∴E(E(X)－X)＝E(X)＋E(－X)＝E(X)－E(X)＝0．易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．[辨析]首先这不是五次独立重复试验，从5把钥匙中取一把试开房门，若不能打开，则除去这把后，第二次试开就只有4把钥匙了．其次X＝k的含义是前k－1把钥匙没有打开房门，而第k把钥匙打开了房门．[正解]设X为打开此门所需的试开次数，则X的可能取值为1、2、3、4、5．X＝k表示前k－1次没打开此门，第k次才打开了此门．P (X ＝1)＝15，P (X ＝2)＝C 14C 15·14＝15，P (X ＝3)＝C 24C 25·13＝15，P (X ＝4)＝C 34C 35·12＝15，P (X ＝5)＝C 44C 45·1＝15，故随机变量X 的概率分布列为：E (X )＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝3．D (X )＝(1－3)2×15＋(2－3)2×15＋(3－3)2×15＋(4－3)2×15＋(5－3)2×15 ＝15×(22＋12＋02＋12＋22)＝2． 易错点6：审题不清致误典例 9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．[错解] 设需要补种的坑数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3． 由独立重复试验知P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎪⎫123＝18，P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎪⎫12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝38，P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫122×12＝38，P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫123＝18．则所求分布列为：[辨析] 每粒种子发芽的概率与每坑不需要补种的概率混淆致误．[正解] 因为单个坑内的3粒种子都不发芽的概率为(1－0.5)3＝18，所以单个坑不需补种的概率为1－18＝78．设需要补种的坑数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，这是三次独立重复试验，P (X ＝0)＝C 03×⎝⎛⎭⎪⎫180×⎝ ⎛⎭⎪⎫783＝343512， P (X ＝1)＝C 13×⎝⎛⎭⎪⎫181×⎝ ⎛⎭⎪⎫782＝147512， P (X ＝2)＝C 23×⎝⎛⎭⎪⎫182×⎝ ⎛⎭⎪⎫781＝21512， P (X ＝3)＝C 33×⎝⎛⎭⎪⎫183×⎝ ⎛⎭⎪⎫780＝1512． 所以需要补种坑数的分布列为：[点评] 审题不细是解题致误的主要原因之一，审题时要认真分析，弄清条件与结论，发掘一切可用的解题信息．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．[错解] ∵X ～H (12,3,3)，∴P (X ＝k )＝C k 3C 3－k9C 312(k ＝0,1,2,3)，∴P (X ＝0)＝C 03C 39C 312＝2155，P(X＝1)＝C13C29C312＝2755，P(X＝2)＝C23C19C312＝27220，P(X＝3)＝C33C312＝1 220．∴X的分布列为[正解]X的所有可能取值为0,1,2,3．P(X＝0)＝A19A112＝34，P(X＝1)＝A13A19A212＝944，P(X＝2)＝A23A19A312＝9220，P(X＝3)＝A33A19A412＝1220．因此，随机变量X的分布列为[点评]本题易错认为X～H(12,3,3)，得到取出的次品数X．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例设ξ～N(1,4)，那么P(5<ξ<7)＝__0.021_5__．[错解]因为ξ～N(1,4)，所以μ＝1，σ＝2，P(5<ξ<7)＝P(－5<ξ<－3)．则P(5<ξ<7)＝P(－5<ξ<7)－P(－3≤ξ≤5)＝P(1－6<ξ<1＋6)－P(1－4≤ξ≤1＋4)＝P(μ－3σ<ξ<μ＋3σ)－P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.997－0.954＝0.043．上述错解中，由正态曲线关于直线x ＝1对称，得到P (5<ξ<7)＝P (－5<ξ<－3)＝P (－5<ξ<7)－P (－3≤ξ≤5)，事实上，P (5<ξ<7)＝12[P (－5<ξ<7)－P (－3≤ξ≤5)]．[正解] 因为ξ～N (1,4)，所以μ＝1，σ＝2， P (5<ξ<7)＝P (－5<ξ<－3)， 则P (5<ξ<7)＝12[P (－5<ξ<7)－P (－3≤ξ≤5)]＝12[P (1－6<ξ<1＋6)－P (1－4≤ξ≤1＋4)] ＝12[P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)－P (μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)] ≈12×(0.997－0.954) ＝0.021 5．[点评] 因为正态曲线关于直线x ＝μ对称，所以随机变量在对称轴两侧的对称区间上的概率相等．在求概率的转化过程中易漏乘12，从而出现错误．第八章 成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1[错解] ∵所有样本点都在直线y ＝12x ＋1上，x 的系数为12， 故选C ．[正解] 因为所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，且x ，y 的变化趋势相同，所以样本相关系数为1．易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4试建立y 与x 之间的经验回归方程． [错解] ∵x ＝0.25＋0.5＋1＋2＋45＝1.55； y ＝16＋12＋5＋2＋15＝7.2， ∑i ＝15x i y i ＝0.25×16＋0.5×12＋1×5＋2×2＋4×1＝23．∑i ＝15x 2i ＝0.252＋0.52＋12＋22＋42＝21.312 5． ∑i ＝15y 2i ＝162＋122＋52＋22＋12＝430． ∴b^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝23－5×1.55×7.221.3125－5×1.552＝－3.526 9≈－3.53．a^＝y －b ^ x ＝7.2＋3.53×1.55≈12.67． ∴y ^＝12.67－3.53x ．[辨析] 此题解法是错误的，原因是这两个变量之间不是线性相关关系．此类问题的解决，应先对两个变量间的相关关系进行相关性检验，然后结合作出的散点图，选择适宜的回归方程．[正解] 由数值表可作散点图如图所示：根据散点图可知y 与x 近似地呈反比例函数关系，设y ＝k x ，令t ＝1x ，则y ＝kt ，原数据变为：由置换后的数值表作散点如图所示：由散点图可以看出y 与t 呈近似的线性相关关系．列表如下：所以t ＝1.55，y ＝7.2，所以b^＝∑i ＝15t i y i －5t y∑i ＝15t 2i －5t 2≈4.134 4．a^＝y －b ^ t ≈0.8． 所以y ^＝4.134 4t ＋0.8．所以y 与x 的经验回归方程是y ^＝4.134 4x ＋0.8．[点评] 只有当两变量间呈线性相关关系时，才可以求回归系数，得到回归直线方程y ^＝b^x ＋a ^：若两变量间的关系不是线性相关关系，应观察分析其散点图，找出拟合函数，通过变量代换再作线性回归．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？[错解] 由公式得χ2＝90×(10×7－35×38)217×73×45×45＝56.86，56.86＞6.635所以有99%的把握认为“成绩与班级有关系”．[辨析] 由于对2×2列联表中a 、b 、c 、d 的位置不清楚，在代入公式时代错了数值导致计算结果的错误．[正解] χ2＝90×(10×38－7×35)217×73×45×45＝0.653，0.653＜3.841，所以没有充分证据认为成绩与班级有关．[点评] 独立性检验中，参数χ2公式复杂计算量大，要弄清公式特点熟记公式，小心计算避免粗心致误．。
例析高中数列中常见的易错点
＋口 ９ ＋… ＋ ）
：
三 七 一 竺七 ＋ １ ５ ４
２ ２
所 以 ｓ ： 要 七 ２
５ ４ 。
ａ ｎ １ ｓ 一 Ｓ （ ＞ ２ ）
正解 ：当 月 ＝１ 时 ，ａ ｌ ＝Ｓ ｌ ＝５ ；当 ， ｚ ≥２时 ，ａ ｎ ＝２ ｎ ＋
一
ｑ 一ｑ ４ ＿ｑ ＋１ ＝０
，
即 （ ｑ 一１ ） （ ｑ 一１ ）＝Ｏ 。
，
‘
．
。 ｇ≠ １ ， ． ’ ． ｑ ２ — １ ≠０
．
ｑ ４ ＝ １ ｇ＝ 一 １ 。 ，
・
．
ｇ ＝１ 或ｑ ＝ 一１ 。
方 面是 数 列 的基本 概念 ， 另 一方 面是数 列 的运算 。 下 面对
２ ＋１ —２（ 一 １） 一２（ 一 １ ）一 １ ＝４ ｎ ，
Ｉ ５ ， ：１
‘ ・ ・
［ 出错 原 因与 防范措 施 ］ 在数 列 ｛ ａ ｝ 中， 若ａ ， ａ ： ，… ，
ａ ｍ ≤０ ，ａ ＋ １ ，… ，ａ ｎ ＞０ ，数列｛ ｝ 的前 项和为 ｓ ，数列
常见 的几 种 易错 点进 行归 纳 总结 ，同 时结合 例题 进行 剖析 ，
三 忽视分 类讨 论 或讨论 不 当导 致错 误 例３ ，若 等差数 列 ｛ ｝ 的首项 ａ ＝２ ０ ，公 差 ＝ －３ ， 求 Ｓ ｋ ＝ｌ ａ ｌ Ｉ ＋ｌ ａ ２ ｌ ＋ｌ ａ ３ ｌ ＋…＋１ Ｉ 。 错 解 ：由题 意 可知 ａ ｎ ＝２ ０ －３（ 一１ ）＝２ ３ －３ ｎ ，因此
以便今后我们在碰到类似的问题时不至于再 出错 。
一
忽视 数 列首项 的重 要性 导致 错误
高中数学易错点及规律总结(五)
中能确定不同点的个数 是 数（ 包括 （ ）２的正 约 ２ 个 （ ：２ ；５ 答 ｌ） （ ） 的一边
联欢晚会原定的 ５ 节 目已排成节 目单 ， 个 开演前 又增加 了两 个新节 目． 如果将这 两个节 目插入原 节 目单 中， 那么不 同的
０ ， １２ ，２４ ， ６ ３ ， ） （ ，） （ ，） （ ， ） （一１ 一 ） （一２ 一１ 可 以确 定 ， ２ ， ， ） 三 角 形 的 个 数 为 （ ：５ ． 答 １）
２ 排列数公式 ： ，＝ｎ ｎ一１ （ ． Ａ ７ （ ） ｎ一２ … （ ） ｎ—ｍ＋１ ）＝
（ ｏ≤ｍ≤ｎ ｍ∈Ｎ、 ∈Ｎ ， Ｈ ） ，
ｌ
镰 ｌＺ ｌ Ａ ｌ ｌ Ｘｌ 黝
师在 线 掌 【 数
Ｉ— 羹
规 律 总 结，
一ｌ Ｉ
新课程 新
掰挺究
排 列 、 合 、 项 式 定 理 组 二
４ 主要 解 题 方 法 ： 优 先 法 ： 殊 元 素 优 先 或 特 殊 位 置 ． ① 特
１计数原理 ： ． 分类相加 （ 类方法 都能独立 地完 成这件 每 事， 它是相互独立 的 ， 一次的且每 次得 出的是最后 的结果 ， 只
优先 ， ： 如 某单位准备 用不 同花色 的装 饰石 材分别 装饰办公 楼 中的办公 室 、 走廊 、 大厅 的地 面及楼 的外墙 ， 现有编号 为 １
到 ６的 ６种 不 同花 色 的石 材 可 选 择 ， 中 １ 石 材 有 微 量 的 其 号
放 射性 ， 可 用 于 办 公 室 内 ， 不 同 的装 饰 效 果 有 不 则
种（ ：０ ） ． 答 ３０ ；②捆绑法． （ ） ４名 男生和 ４名 女生排成 如 １把
高中数学学霸笔记
数学典型易错题（一）集合一、混淆集合中元素的形成 例1 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B = 。
错解：解方程组02x y x y +=⎧⎨-=⎩ 得11x y =⎧⎨=-⎩{}11A B =-，∴【易错分析】 产生错误的原因在于没有弄清楚集合中元素的形式，混淆点集与数集．集合A B ，中的元素都是有序数对，即平面直角坐标系中的点，而不是数，因而A B ，是点集，而不是数集。
{}(11)AB =-，∴二、忽视空集的特殊性 例2 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ⊆，则m 的值为 。
错解： 由(1)10m x -+= 得11x m =-由2230x x --= 得1x =-或3x =1|1A x x m ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∴ {}13B =-， A B ⊆∵111m =--∴或3 2m =∴或23m = 【易错分析】由于忽视空集的特殊性――空集是任何集合的子集，产生丢解的错误，以上只讨论了A ≠∅的情形，还应讨论A =∅的情形，当A =∅时，1m =。
m ∴的值为2123， ， 。
三、忽视集合中的元素的互异性这一特征 例3 已知集合{}22342A a a =++，，，{}207422B a a a =+--，，，，且{}37AB =，，求a 的值．错解： ∵{}37AB =，， ∴必有2427a a ++=2450(5)(1)0a a a a +-=⇔+-=∴5a =-∴或1a =【易错分析】由于忽视集合中元素应互异这一特征，产生增解的错误．求出a 的值后，还必须检验是否满足集合中元素应互异这一特征．事实上，（1）当5a =-时，2423a a +-=，27a -=不满足B 中元素应互异这一特征，故5a =-应舍去．（2）当1a =时，2423a a +-=，21a -=满足{}37AB =，且集合B 中元素互异．a ∴的值为1。
高中数学易错题整理
高中数学错题集1、“直线ax+y +1=0和直线4x+ay -2=0”平行的充要条件为”a = “.22、.已知函数f(x)是R 上的减函数，A(0,-2),B(-3,2)是其图像上的两点，那么不等式|f(x -2)|>2的解集为 .请将错误的一个改正为 .3、已知正数x,y 满足x+ty =1，其中t 是给定的正实数，若1/x +1/y 的最小值为16，则实数t 的值为 .4、已知,,x y z R +∈，230x y z -+=，则2y xz的最小值 ．34、若不等式｜3x -b ｜＜4的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围 。
（5，7）.5、已知正数x,y 满足4x-y=xy 则,x-y 的做小值为 .6、偶函数f(x)在[0，+∞]上是增函数，若f(ax+1)>f(x-3)在[1,2]上恒成立，则实数的取值范围为 .(a>1ora<-3)7、若数列{a n }的通项公式⋅⋅2n-2n-1n 22a =5()-4()55，数列{a n }的最大项为第x 项，最小项为第y 项，则x+y=_______________. 12. 38、已知a ,b 是两个互相垂直的单位向量, 且1=⋅=⋅b c a c 2=,则对0>t a t ++的最小值是 。
9、定义：区间)](,[2121x x x x <的长度为12x x -.已知函数|log |5.0x y =定义域为],[b a ，值域为]2,0[，则区间],[b a 的长度的最大值为 10．154函数f(x)=sin(ωx+π/3)（ω>0）在[0，2]上恰有一个最大值和最小值，则ω的取值范围是 .10.设D 、P 为△ABC 内的两点，且满足,51),(41+=+=则ABCAPDS S ∆∆= .0.1 11、设D 为ABC ∆的边AB 上的点，P 为ABC ∆内一点，且满足52,43+==，则=∆∆ABCAPD S S ．10312、若函数2()x f x x a =+（0a >）在[)1,+∞上的最大值为3,则a 的值为113、 已知函数M,最小值为m,则mM的值为 ___________。
高中数学三角函数图像和性质易错点梳理(附例题详解)
3π 2
；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
题组一：三角函数的图像与性质
1．（2011 新课标）设函数 f (x) sin(2x ) cos(2x ) ，则（ ）
4
4
A． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
2
4
B． y f (x) 在 (0, ) 单调递增，其图象关于直线 x 对称
12
个
单位长度，得到曲线 C2
【解析】把C2 的解析式运用诱导公式变为余弦，
C2
：
y
sin(2x
2 3
)
cos[
2
(2x
2 3
)]
cos[(2x
6
)]
cos(2x
6
)
则由
C1
图象横坐标缩短为原来的
1 2
，再把得到的曲线向左平移
12
个单位长度，得到曲线
C2 ．选 D
9．（2016 全国 II）若将函数 y 2sin 2x 的图像向左平移 个单位长度，则平移后图象的对
4
D. π
【解析】解法一 f (x) cos x sin x 2 cos(x π) ，且函数 y cos x 在区间
4
[0, ]上单调递减，则由 0 ≤ x ≤ ，得 ≤ x ≤ 3 ．
4
4
4
因为
f
(x)
在[a,
a]
上是减函数，所以
aa≤≥344
，解得
a
≤
4
，
解法二 因为 f (x) cos x sin x ，所以 f (x) sin x cos x ，
2
y sin(2x ) 的图象重合，则 _________．
高中概率知识点考点易错点归纳
高中数学第十一章-概率学问要点3.1．随机事务的概率3.1.1 随机事务的概率1、必定事务：一般地，把在条件S 下，肯定会发生的事务叫做相对于条件S 的必定事务。
2、不行能事务：把在条件S 下，肯定不会发生的事务叫做相对于条件S 的不行能事务。
3、确定事务：必定事务和不行能事务统称相对于条件S 确实定事务。
4、随机事务：在条件S 下可能发生也可能不发生的事务，叫相对于条件S 的随机事务。
5、频数：在一样条件S 下重复n 次试验，视察某一事务A 是否出现，称n 次试验中事务A 出现的次数n A 为事务A 出现的频数。
6、频率：事务A 出现的比例()=An n A n f 。
7、概率：随机事务A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.3.1.2 概率的意义1、概率的正确说明：随机事务在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。
相识了这种随机中的规律性，可以比拟精确地预料随机事务发生的可能性。
2、嬉戏的公允性：抽签的公允性。
3、决策中的概率思想：从多个可选答案中选择出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。
——极大似然法、小概率事务4、天气预报的概率说明：明天本地降水概率为70%说明是“明天本地下雨的时机是70%”。
5、试验与发觉：孟德尔的豌豆试验。
6、遗传机理中的统计规律。
3.1.3 概率的根本性质1、事务的关系与运算（1）包含。
对于事务A与事务B，假如事务A发生，则事务B 肯定发生，称事务B包含事务A（或事务A包含于事务B），记作或A B)。
⊇⊆B A(不行能事务记作∅。
（2）相等。
若B A A B⊇⊇且，则称事务A与事务B相等，记作A=B。
（3）事务A与事务B的并事务（和事务）：某事务发生当且仅当事务A发生或事务B发生。
（4）事务A与事务B的交事务（积事务）：某事务发生当且仅当事务A发生且事务B发生。
（5）事务A与事务B互斥：A B为不行能事务，即=A B∅，即事务A与事务B在任何一次试验中并不会同时发生。
高中数学易错题库
第一章 空间向量与立体几何易错点一：空间向量的加减运算1．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 1的中点为O ,则下列命题中正确的是( ) A ．OA OD +与11OB OC +是一对相等向量 B ．OB OC -与11OA OD -是一对相反向量 C ．1OA OA -与1OC OC -是一对相等向量D ．OA OB OC OD +++与1111OA OB OC OD +++是一对相反向量2．已知在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，M 为空间任意两点，如果1111764PM PB BA AA A D =++-，那么点M 必（ ） A ．在平面1BAD 内 B ．在平面1BA D 内 C ．在平面11BA D 内D ．在平面11AB C 内3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D',则下列四式中:①AB CB AC -=;②''''AC AB B C CC =++;③''AA CC =;④'''AB BB BC C C AC +++=. 其中正确的是_____.易错点二：空间向量的数量积1．平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）1111ABCD A B C D -所有棱长都为1，且1160,45,A AD A AB DAB ︒∠=∠=∠=︒则1BD =（ ） A ．31-B ．21-C ．32-D ．32-2．在空间直角坐标系O xyz -中，(0,0,0),(22,0,0),(0,22,0)O E F ，B 为EF 的中点，C 为空间一点且满足||||3CO CB ==，若1cos ,6EF BC <>=，，则OC OF ⋅=（ ） A ．9B ．7C ．5D ．33．设a b c ，，是单位向量，且0⋅＝a b ，则()()a cbc -⋅-的最小值为__________． 易错点三：用空间基底表示向量1．在三棱柱111A B C ABC -中，D 是四边形11BB C C 的中心，且1,,AA a AB b AC c ===，则1A D =（ ）A ．111222a b c ++B ．111222a b c -+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++2．如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）A ．1122a b c -+B ．a b c +-C ．a b c -+D ．1122a b c -+-3．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.易错点四：空间向量的坐标运算1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为( ) A ． 715(,,)222-B ． 3(,3,2)8-C ． 7(,1,1)3--D ． 573(,,)222-2．已知()1,1,2P -，()23,1,0P 、()30,1,3P ，则向量12PP 与13PP 的夹角是（ ）A ．30B ．45C ．60D ．903．如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为D 1C 1，B 1C 1的中点，若以{}1,,AB AD AA 为基底，则向量AE 的坐标为___，向量AF 的坐标为___，向量1AC 的坐标为___.易错点五：空间向量运算的坐标表示1．在空间直角坐标系中，已知()1,2,3A ，()1,0,4B ，()3,0,5C ，()4,1,3D -，则直线AD 与BC 的位置关系是（ ） A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法判定2．已知A(1,2,3)，B(2,1,2)，C(1,1,2)，O 为坐标原点，点D 在直线OC 上运动，则当DA ·DB 取最小值时，点D 的坐标为A ．444,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．848,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．884,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭3．已知AB ＝(1，5，－2)，BC ＝(3，1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(1x -，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x y +=________． 易错点六：空间位置关系的向量证明1．已知正方体1111ABCD A B C D -，E 是棱BC 的中点，则在棱1CC 上存在点F ，使得（ ） A ．1//AF D E B ．1AF D E ⊥ C ．//AF 平面11C D ED ．AF ⊥平面11C D E2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M=AN=23a，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是（ ） A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定3．若直线l 1的方向向量为1u =(1,3,2),直线l 2上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的位置关系是_____. 易错点七：异面直线夹角的向量求法1．如图所示，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，已知PA =BC =2，AB =4，CB ⊥AB ，则异面直线PC ，AD 所成角的余弦值为A ．3010-B ．305-C ．305D ．30102．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，若E 为11D C 的中点，则11AC →与DE →所成角的余弦值为（ ）A ．1010B ．13C ．24D ．553．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是___________.易错点八：线面角的向量求法A ．6πB ．3π C ．2π D ．56π2．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为棱1CC 的中点，则直线1B M 与平面11A D M 所成角的正弦值是（ ）A ．215B ．25 C ．35D ．453．在正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面内的投影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面PAC 的夹角是________．易错点九：面面角的向量求法1．如图，在空间直角坐标系D xyz -中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体，12AA AB AD ==，点E ，F 分别为11C D ，1A B 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．322．如图，在空间直角坐标系Dxyz 中，四棱柱1111ABCD A B C D -为长方体， 12AA AB AD ==，点E 为11C D 的中点，则二面角11B A B E --的余弦值为（ ）A ．33-B ．32-C ．33D ．323．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，点E 在棱AB 上.若二面角1D EC D --的大小为4π，则AE =__________．第二章 直线和圆的方程易错点一：两条直线平行和垂直的判定1．若过点A (2,-2)，B (5,6)的直线与过点P (2m ,1)，Q (-1,-m )的直线平行，则m 的值为（ ） A ．-1B ．-513C ．2D ．122．若直线a ，b 的斜率分别为方程2410x x --=的两个根，则a 与b 的位置关系为（ ） A ．互相平行B ．互相重合C ．互相垂直D ．无法确定3．经过点A (1,2)和点B (-3,2)的直线l 1与经过点C (4,5)和点D (a ,-7)的直线l 2垂直，则a =________. 易错点二：直线的方程1．在x 轴和y 轴上的截距分别为4-和5的直线方程是（ ） A ．154x y +=- B ．145x y +=- C ．145x y +=- D ．154x y +=- 2．直线()2(2)232m x m m y m ++--=在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为（ ）A ．65B ．6-C ．65-D ．63．过点P (1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为____________________. 易错点三：两条直线的交点坐标1．直线x －2y ＋3＝0与2x －y ＋3＝0的交点坐标为（ ） A ．(－1，1) B ．(1，－1) C ．(1，1)D ．(－1，－1)2．两条直线1l ：x =2和2l ：32120x y +-=的交点坐标是 A ．(2,3)B ．(2,3)-C ．(3,2)-D ．(3,2)-3．已知直线1:l 3250x y +-=与直线2:l 4110x ay +-=，且12l l ⊥，则直线1l 与直线2l 的交点坐标是______． 易错点四：两点间的距离公式1．点()2,5P -为平面直角坐标系内一点，线段PM 的中点是()1,0，那么点M 到原点O 的距离为（ ） A ．41B ．41C ．39D ．392．光线从点(3,5)A -射到x 轴上，经x 轴反射后经过点(2,10)B ，则光线从A 到B 的距离为 A ．52B ．25C ．510D ．1053．已知点()2,1A ，点()5,1B -，则AB =________． 易错点五：圆的方程1．以()3,1A -，()2,2B -为直径的圆的方程是 A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-=D ．2290x y x y +++-=2．圆224630x y x y ++--=的标准方程为（ ） A ．22(2)(3)16x y -+-= B ．22(2)(3)16x y -++= C ．22(2)(3)16x y ++-=D ．22(2)(3)16x y +++=3．圆心为直线20x y -+=与直线280x y +-=的交点，且过原点的圆的标准方程是________． 易错点六：直线与圆的位置关系 1．直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为 A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离2．已知过点P(2,2) 的直线与圆22(1)5x y -+=相切, 且与直线10ax y -+=垂直, 则a =（ ） A ．12-B ．1C ．2D ．123．直线()0kx y k k R --=∈与圆222x y +=交点的个数为______. 易错点七：圆与圆的位置关系1．圆M ：x 2+y 2+4x ＝0与圆N ：(x +6)2+(y ﹣3)2＝9的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离2．已知圆C 1：x 2+y 2+2x ﹣4y +4＝0，圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣1＝0，则圆C 1与圆C 2（ ） A ．相交B ．外切C ．内切D ．外离3．已知圆221:1C x y +=，圆222:2210C x y x y +--+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系为______.第三章 圆锥曲线的方程易错点一：利用椭圆定义求方程1．椭圆的焦点坐标为(﹣5，0)和(5，0），椭圆上一点与两焦点的距离和是26，则椭圆的方程为（ ） A ．22+169144x y ＝1 B ．2144x +2169y ＝1C ．2169x +225y ＝1D ．2144x +225y ＝12．已知ABC 的两个顶点分别为(4,0),(4,0),A B ABC -的周长为18，则点C 的轨迹方程为（ ）A ．221(0)259x y y +=≠B ．221(0)259y x y +=≠C ．221(0)169x y y +=≠D ．221(0)169y x y +=≠3．已知圆221:(2)36F x y ++=，定点2(20)F ，，A 是圆1F 上的一动点，线段2F A 的垂直平分线交半径1F A 于P 点，则P 点的轨迹C 的方程是_____________. 易错点二：求椭圆的焦点1．若直线l ：2x ＋by ＋3＝0过椭圆C ：10x 2＋y 2＝10的一个焦点，则b 等于（ ） A ．1B ．±1C ．－1D ．±22．已知12,F F 分别为椭圆221169x y+=的左，右焦点，A 为上顶点，则12AF F △的面积为（ ）A ．6B ．15C ．67D ．373．设椭圆221129x y +=的短轴端点为1B 、2B ，1F 为椭圆的一个焦点，则112B F B ∠=________.易错点三：求椭圆的长轴、短轴1．已知椭圆9x 2+4y 2＝36，则其长轴长为（ ） A ．2B ．4C ．6D ．92．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为（ ） A ．2B ．4C ．12D ．143．已知椭圆()2222:111x y C a a a +=>-的左，右焦点分别为1F ，2F ，点()0,6A ，椭圆C 短轴的一个端点恰为12AF F △的重心，则椭圆C 的长轴长为________. 易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围1．在Rt ABC 中，1AB AC ==，如果一个椭圆通过A ､B 两点，它的一个焦点为点C ，另一个焦点在AB 上，则这个椭圆的离心率e =（ ）A ．32-B ．21-C ．31-D ．63-2．曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）上点()00,P x y 处的曲率半径公式为3222220044x y R a b a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．若椭圆C 上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C 的离心率为（ ）A ．12B ．22C ．32D ．1443．已知椭圆M ：2222x y a b+＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从F 1，F 2，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为__． ①512-；②312-；③32；④22． 易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程 1．焦点在y 轴上的椭圆mx 2＋y 2＝1的离心率为32，则m 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42．阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积公式，设椭圆的长半轴长、短半轴长分别为,a b ，则椭圆的面积公式为S ab π=.若椭圆C 的离心率为32，面积为8π，则椭圆的C 的标准方程为（ ） A ．221164x y +=或221164y x +=B ．2211612x y +=或2211612y x += C ．221124x y +=或221124y x +=D ．221169x y +=或221916x y +=3．已知焦点在x 轴上的椭圆2215x y m +=的离心率105e =，则m 的值为______．易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题1．已知O 为坐标原点，设12,F F 分别是双曲线221x y -=的左、右焦点，点P 为双曲线左支上任一点，自点1F 作12F PF ∠的平分线的垂线，垂足为H ，则||OH = A ．1B ．2C ．4D ．122．已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则APF 的面积为 A ．13B ．1 2C ．2 3D ．323．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：221x y -=的左､右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|等于________.易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围1．若方程22191x y k k +=--表示焦点在y 轴上的双曲线，则k 的取值范围为（ ）A ．9k >B ．1k <C ．19k <<D ．(1,5)(5,9)k ∈⋃2．已知方程2211-2x y m m +=+表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）A ．(-1，+∞)B ．(2，+∞)C ．(-∞，-1)∪(2，+∞)D ．(-1，2)3．已知双曲线的一个焦点到其一条渐近线的距离为，则实数的值是_______．易错点八：根据a,b,c 求双曲线的标准方程1．过双曲线2222:1x y C a b-=的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于点A ，若以C 的右焦点为圆心，以2为半径的圆经过A ､O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213x y -=B ．2213y x -=C ．22122x y -=D ．22126x y -=2．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x,焦点坐标为(-6,0),(6,0),则双曲线方程为( ) A ．22x y 28-=1B ．22x y 82-=1C ．22x y 24-=1D ．22x y 42-=13．已知双曲线中心在原点，一个焦点为1(5,0)F -，点P 在双曲线上，且线段1PF 的中点坐标为（0，2），则此双曲线的方程是________________. 易错点九：求双曲线的焦点坐标1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182x y +=有公共焦点.则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．77y x =±B ．7y x =±C ．55y x =±D ．5y x =±2．过双曲线221169x y -=的一个焦点F 作弦AB ，则11||||AF BF +的值等于（ ） A ．92B ．89C ．49D ．293．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程1．已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为 A ．12B ．1C ．2D ．42．以坐标轴为对称轴，焦点在直线34120x y --=上的抛物线的标准方程为（ ） A ．216x y =或212y x = B ．216y x =或212x y = C ．216y x =或212x y =-D ．216x y =或212y x =-3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为____．第四章 数列易错点一：判断或写出数列中的项 13,5,7,3,11,,21,n +51 ） A ．第12项B ．第13项C ．第14项D ．第25项2．已知数列{}n a 的通项公式为21nn a =+，则257是这个数列的（ ）A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项3．已知数列210，4，…()231n -…，则8是该数列的第________项 易错点二：判断等差数列1．若{}n a 是等差数列，则下列数列中也成等差数列的是 A ．{}2n aB ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．{}3n aD ．{}n a2．数列{}n a 中，15a =，13n n a a +=+，那么这个数列的通项公式是（ ） A ．31n -B ．32n +C ．32n -D ．31n +3．给出下列命题，正确命题的是（ ）(多选题） A ．数列6，4，2，0是公差为2的等差数列； B ．数列1,23a a a a ---,,是公差为1-的等差数列；C ．等差数列的通项公式一定能写成n a kn b =+的形式(k ，b 为常数)；D ．数列{}()21n n N*+∈是等差数列．易错点三：等差数列通项公式的基本两计算1．在等差数列{a n }中，a 3＝2，d ＝6.5，则a 7＝（ ） A ．22B ．24C ．26D ．282．已知数列{}n a 是等差数列，若35715a a a ++=，8212a a -=，则10a 等于（ ） A ．10B ．12C ．15D ．183．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小16，则公差为__________． 易错点四：利用等差数列的性质计算1．在等差数列{a n }中，a 3+a 4+a 5＝6，则a 1+a 7＝（ ） A ．2B ．3C ．4D ．52．在等差数列{}n a 中，2510a a +=，3614a a +=，则58a a +=（ ） A ．12B ．22C ．24D ．343．在等差数列{}n a 中，194a a +=，那么238a a a ++⋅⋅⋅+等于______. 易错点五：等差数列前n 项和的基本量计算1．已知等差数列{}n a 的前5项和为25，且11a =，则7a =（ ） A ．10B ．11C ．12D ．132．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若254a a +=，7S =21，则7a 的值为 A ．6B ．7C ．8D ．93．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若63511a a =，则115SS =__________. 易错点六：等比数列通项公式的基本量计算1．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比为2，若415S =，则6a 的值为（ ） A ．16B ．32C ．48D ．642．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S =，621S =-，则1a =（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．23．设正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若423S S =，则q =_______________. 易错点七：求等比数列前n 项和1．已知数列{}n a 的通项公式212n n n a -=，则数列{}n a 的前5项和5S 等于（ ）A ．3132B ．2516C ．12932D ．211322．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列.若11a =，则3S =（ ） A ．15B ．7C ．8D ．163．对于数列{}n a ，若点()()n n a n ∈*N ,都在函数()2x f x =的图象上，则数列{}n a 的前4项和4S =___________.第五章 一元函数的导数及其应用易错点一：平均变化率1．设函数2()1f x x =-，当自变量x 由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） A ．2.1B ．0.21C ．1.21D ．0.1212．函数1y x=在1x =到3x =之间的平均变化率为（ ） A ．23B ．23-C ．13-D ．133．函数()ln f x x =在区间[]1,e 上的平均变化率为_________. 易错点二：瞬时变化率的概率及辨析1．如果一个物体的运动方程为()()30s t t t =>，其中s 的单位是千米，t 的单位是小时，那么物体在4小时末的瞬时速度是（ ） A ．12千米/小时B ．24千米/小时C ．48千米/小时D ．64千米/小时2．已知某物体的运动方程是39t s t =+，则当3t s =时的瞬时速度是A ．2/m sB ．3/m sC ．4/m sD ．5/m s3．质点M 按规律()()21s t t =-做直线运动（位移单位：m ，时间单位：s ），则质点M 在3t s=时的瞬时速度为______（单位：/m s ）. 易错点三：导数定义中极限的简单计算 1．已知函数()sin f x a x =-，且0()()lim 2x f x f xππ∆→+∆-=∆，则实数a 的值为（ ）A ．2πB ．2π-C ．2D ．2-2．已知(1)1f '=，0(13)(1)lim x f x f x∆→+∆-∆等于（ ）A ．1B ．1-C ．3D ．133．已知()03f x '=，则()()0002limx x x f x f x∆→+∆-=∆______.易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）1．已知函数()32f x x x =-，则()f x 在点()()1,1f 处的切线的倾斜角为 （ ）A ．34π B ．3π C ．4πD ．6π2．设()()22lim2x f x f x x∆→+∆--∆=-∆，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线的倾斜角是（ ）A ．4πB ．3π C ．34π D ．23π 3．已知函数()321313f x x x x =---+，则在曲线()y f x =的所有切线中，斜率的最大值为______.易错点五：基本初等函数的导数公式 1．若函数()31f x x =--，则()f x '=（ ） A ．0B ．3x -C ．3D ．3-2．函数()3ln 2x f x =+的导数为（ ） A ．3ln 3xB ．13ln 32x+C ．132x+D ．3x3．若()()23,f x x g x x ==，则满足()1()f x g x ''+=的x 值为________.易错点六：导数的运算1．已知函数2()2x f x x x xe =+-，则(0)f '=（ ） A ．1B ．0C ．1-D ．22．下列导数运算正确的是（ ） A ．()122x x x -'=⋅ B ．(sin cos 1)cos2x x x +=' C ．1(lg )x x'=D ．()12x x --'=3．已知函数2()x f x x e =，'()f x 为()f x 的导函数，则(1)f '的值为___________. 易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性 1．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞,＋∞)上是（ ） A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．不确定2．已知()'f x 是定义在R 上的函数()f x 的导函数，且满足()()0xf x f x '+>对任意的x ∈R 都成立，则下列选项中一定正确的是（ ）A ．(2)(1)2f f >B ．(1)(2)2f f > C ．(2)(1)2f f <D ．(1)(2)2f f < 3．已知定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为'()f x ，且满足'()()f x x f x ⋅<，()30f =，则()0f x x>的解集为_________. 易错点八：求已知函数的极值1．函数y ＝x ＋1x(－2<x <0)的极大值为（ ）A ．－2B ．2C ．－52D ．不存在2．函数f (x )＝1－x ＋x 2的极小值为（ ） A ．1 B ．34C ．14D ．123．已知函数()ln f x x x =，则()y f x =的极小值为______． 易错点九：由导数求函数的最值1．函数f (x )＝x 2－4x ＋1在[1，5]上的最大值和最小值分别是（ ） A ．f （1），f （2） B ．f （2），f （5） C ．f （1），f （5）D ．f （5），f （2）2．关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A ．没有最小值，有最大值 B ．有最小值，没有最大值 C ．有最小值，有最大值D ．没有最小值，也没有最大值3．已知函数2 ()2ln f x x x =-，则() f x 在[1,]e 上的最大值是__________．第六章 计数原理易错点1：分步标准不清致错典例 甲、乙、丙、丁4名同学争夺数学、物理、化学3门学科知识竞赛的冠军，且每门学科只有1名冠军产生，则不同的冠军获得情况共有__64__种．易错点2：忽视排列数公式的隐含条件致误典例 解不等式A x8<6A x －28．由排列数公式得8！(8－x )！<6×8！(10－x )！，化简得x 2－19x ＋84<0，解之得7<x <12．∵x ∈N *，∴x ＝8,9,10,11．易错点3：重复计数与遗漏计数致误典例 6个人站成前、中、后三排，每排2人，则不同的排法有__720__种．易错点4：混淆“排列”与“组合”的概念致错典例 某单位需派人同时参加甲、乙、丙三个会议，甲需2人参加，乙、丙各需1人参加，从10人中选派4人参加这三个会议，不同的安排方法共有__2_520__种(用数字作答)．易错点5：计数时重复或遗漏致错典例 将4个不同的小球放入编号为1,2,3,4的4个盒子中，则恰好有1个空盒子的放法有__144__种(用数字作答)．易错点6：混淆项的系数与二项式系数典例 设(x －2)n (n ∈N *)的展开式中第二项与第四项的系数之比为1∶2，求含x 2的项．易错点7：错用二项式系数的性质致误典例 (1＋2x )20的展开式中，x 的奇次项系数的和与x 的偶次项系数的和之比为__(320－1)∶(320＋1)__．第七章 随机变量及其分布列易错点1：误认为条件概率P (B |A )与积事件的概率P (AB )相同典例 袋中装有大小相同的6个黄色的乒乓球，4个白色的乒乓球，每次抽取一球，取后不放回，连取两次，求在第一次取到白球的条件下第二次取到黄球的概率．易错点2：概率计算公式理解不清而致误典例(多选题)若0<P(A)<1,0<P(B)<1，则下列式子中成立的为__BCD__．A．P(A|B)＝P(AB) P(A)B．P(AB)＝P(A)P(B|A)C．P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)D．P(A|B)＝P(B)P(A|B)P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)易错点3：离散型随机变量的可能取值搞错致误典例小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1 000元，3 000元，6 000元的奖品(不重复得奖)用X表示小王所获奖品的价值，写出X的所有可能取值．易错点4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误典例若X是一个离散型随机变量，则E(E(X)－X)＝(A)A．0 B．1C．2E(X) D．不确定易错点5：要准确理解随机变量取值的含义典例某人有5把钥匙，其中只有一把能打开某一扇门，今任取一把试开，不能打开者除去，求打开此门所需试开次数X的均值和方差．易错点6：审题不清致误典例9粒种子分别种在3个坑内，每坑放3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，求需要补种坑数的分布列．易错点7：对超几何分布的概念理解不透致错典例 盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，若取出的是次品不再放回，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数X 的分布列．易错点8：对正态曲线的性质理解不准确致错典例 设ξ～N (1,4)，那么P (5<ξ<7)＝__0.021_5__．第八章 成对数据的统计分析易错点1：概念不清致误典例 (2021·陕西西安高三月考)在一组成对样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( D )A ．－1B ．0C ．12D ．1易错点2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．典例 在一次抽样调查中测得样本的5个样本点数值如下表：x 0.25 0.5 1 2 4 y1612521试建立y 与x 之间的经验回归方程．易错点3：没有准确掌握公式中参数的含义致误典例 有甲、乙两个班级进行一门考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如下的列联表班级与成绩列联表试问能有多大把握认为“成绩与班级有关系”？。
高中数学排列组合题型总结与易错点提示
排列组合复习巩固1.分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法．2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =⨯⨯⨯种不同的方法．3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有13C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 由分步计数原理得113434288C C A =练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同的排法乙甲丁丙练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20三.不相邻问题插空策略例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30四.定序问题倍缩空位插入策略例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有47A 种方法。
【高中数学】不等式易错题专练
专题07不等式易错点1．随意消项致误【例1】解不等式;22(1025)(43)0x x x x -+-+≥．【错解】原不等式可化为：2(5)(1)(3)0x x x ---≥，因为2(5)0x -≥，所以(1)(3)0x x --≥，所以31x x ≥≤或，故原不等式的解集为：{}|31x x x ≥≤或．【错因】错误是由于随意消项造成的，事实上，当2(5)0x -=时，原不等式亦成立．【正解】原不等式可化为：50(1)(3)0x x x -≠⎧⎨--≥⎩或50x -=，解得3x ≥或1x ≤或5x =．所以原不等式的解集为：{}315x x x ≥≤=x|或或易错点2．认为分式不等式与二次不等式等价致误【例2】解不等式;102x x -≤+．【错解】原不等式可化为：(1)(2)0x x -+≤，解得21x -≤≤，所以原不等式的解集为[2,1]-．【错因】没有考虑分母不能为0【正解】原不等式可化为：(1)(2)02x x x -+≤⎧⎨≠-⎩，解得21x -<≤，所以原不等式的解集为(2,1]-．易错点3．不等式两边同乘一个符号不确定的数致误【例3】解不等式;122x x -≤+．【错解】不等式两边同乘以2x +得：12(2)x x -≤+，解得5x ≥-，所以原不等式的解集为[5,)-+∞．【错因】两边同乘以2x +，导致错误【正解】原不等式可化为：1520022x x x x -+-≤⇒≥++，解得5x ≤-或2x >-，所以原不等式的解集为(,5](2,)-∞--+∞ ．易错点4．漏端点致误【例4】集合{}2|20,|3A x x x B x a x a =--≤=<<+，且A B = ，则实数的取值范围是______【错解】{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，若使A B φ= ，需满足231a a >+<-或．解得24a a ><-或，所以实数a 的取值范围是24a a ><-或．【错因】忽视了集合{}|12A x x =-≤≤的两个端点值-1和2，其实当2a =时{}|25B x x =<<，满足A B φ= ；当31a +=-时，即4a =-时也满足A B φ= ．【正解】{}{}2|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤若使A B φ= ，需满足231a a ≥+≤-或，解得24a a ≥≤-或，所以实数a 的取值范围是24a a ≥≤-或．易错点5．忽视基本不等式成立的前提“正数”【例5】求函数1y x x =+的值域．【错解】因为12y x x =+≥=，所以函数1y x x =+的值域为[2,)+∞．【错因】没有考虑为负数的情形．【正解】由题意，函数1y x x =+的定义域为{|0}x x ≠．当0x >时，12y x x =+≥=，当1x =时取得等号；当0x <时，11()2y x x x x =+=--+≤-=--，当1x =-时取得等号．综上，求函数1y x x =+的值域是(,2][2,)-∞-+∞ ．易错点6．忽视基本不等式取等的条件【例6】求函数2y =的最小值．【错解】函数222y ==，所以函数的最小值为2．【错因】使用基本不等式求函数的最值时，一定验证等号成立的条件即a b a b +≥=才能取等号．上述解法在等号成立时，在实数范围内是不成立的．【正解】22y ===令2t =≥，1y t t =+在2t ≥时是单调递增的，115222y t t ∴=+≥+=．故函数的最小值是52．易错点7．多次使用基本不等式，忽视等号是否同时成立【例7】已知两个正实数,x y ，满足4x y +=，求14x y+的最小值．【错解】由已知得44x y xy =+≥≤，142x y +≥=≥，所以14x y +最小值是2．【错因】两次使用基本不等式，其中4xy ≤等号成立必须满足x y =，而14x y +≥的等号成立时，必须有4x y =，因为均为正数，所以两个等号不会同时成立，所以上述解法是错误的．【正解】141444(()()59x y x y x y x y y x +=++=++≥ ，当且仅当14x y=且4x y +=，即48,33x y ==时取等号，1494x y ∴+≥，即14x y +最小值为94．。