【优化方案】2020高中数学 第1章1.2.2知能优化训练 湘教版选修1-1

1．下列含有存在量词的命题，真命题个数是( ) ①存在一个实数a，使a为正整数；
②存在一个实数x，使10
x为正整数；
③存在一个实数y，使11
y为整数．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D.对于①，当a＝4时，a＝2为正整数；
对于②，当x＝1时，10
x＝1为正整数；
对于③，当y＝1时，11
y＝1为整数，故选D.
2．下列命题，真命题的个数为( )
①末位是0的整数，可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等．
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：选C.用偶数的定义判断①正确；用角平分线的性质判定②正确；用正四面体的概念及二面角的定义判断③正确．
3．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( )
A．一次函数都不是单调函数
B．非一次函数都不是单调函数
C．有些一次函数是单调函数
D．有些一次函数不是单调函数
解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”．4．(1)用符号“∀”表示命题“不论m取什么实数，方程x2＋x－m＝0必有实根”为________________________________________________________________________；
(2)用符号“∃”表示命题“存在实数x，使sin x>tan x”为________________________________________________________________________．
答案：(1)∀m∈R，x2＋x－m＝0有实根
(2)∃x0∈R，sin x0>tan x0
一、选择题
1．下列命题中，假命题的个数是( )
①∀x∈R，x2＋1≥1；
②∃x0∈R,2x0＋1＝3；
③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；
④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．
2．(2020年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( )
A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1
C．∀x∈R，x3>0 D．∀x∈R,2x>0
解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π
4
时，tan x ＝1，正确；对
于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x
>0，正确． 3．下列命题的否定是假命题的是( )
A ．p ：能被3整除的整数是奇数； p
：存在一个能被3整除的整数不是奇数 B ．p ：每一个四边形的四个顶点共圆； p
：存在一个四边形的四个顶点不共圆 C ．p ：有的三角形为正三角形； p
：所有的三角形不都是正三角形 D ．p ：∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2≤0； p ：
∀x ∈R ，都有x 2
＋2x ＋2>0 解析：选C.p 为真命题，则 p 为假命题．
4．(2020年高考辽宁卷)已知命题p ：∃n ∈N,2n
>1000，则 p 为( )
A ．∀n ∈N,2n ≤1000
B ．∀n ∈N,2n
>1000
C ．∃n ∈N,2n ≤1000
D ．∃n ∈N,2n
<1000
解析：选A.“∃x ∈I ，p (x )”的否定是“∀x ∈I ，
p (x )” ∴ p 为∀n ∈N,2n
≤1000.
5．(2020年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2
≥3”的否命题是( )
A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2
<3
B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2
<3
C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2
≥3
D ．若a 2＋b 2＋c 2
≥3，则a ＋b ＋c ＝3
解析：选A.由于一个命题的否命题既否定题设又否定结论，因此原命题的否命题为“若a ＋b
＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2
<3”．
6．(2020年高考安徽卷)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( ) A ．所有不能被2整除的整数都是偶数 B ．所有能被2整除的整数都不是偶数 C ．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D ．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析：选D.“∀x ∈I ，p (x )”的否定是“∃x ∈I ，
p (x )”； “∃x ∈I ，p (x )”的否定是“∀x ∈I ，
p (x )”． 故“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是“存在一个能被2整除的整数不是偶数”． 二、填空题
7．(2020年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤3 8．下列命题：①存在x 0<0，使|x 0|>x 0； ②对于一切x <0，都有|x |>x ；
③已知a n ＝2n ，b n ＝3n ，对于任意n ∈N ＋，都有a n ≠b n ；
④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，对于任意n ∈N ＋，都有A ∩B ＝∅. 其中，所有正确命题的序号为________．
解析：命题①②显然为真命题；③由于a n －b n ＝2n －3n ＝－n <0，对于任意n ∈N ＋，都有a n <b n ，即a n ≠b n ，故为真命题；④已知A ＝{a |a ＝2n }，B ＝{b |b ＝3n }，例如n ＝1,2,3时，A ∩B ＝{6}，故为假命题． 答案：①②③
9．若对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≥－2x 2
＋1恒成立，则a 的取值范围是________． 解析：这是一个全称命题，
只须：(a ＋2)x 2
＋4x ＋a －1≥0恒成立，借助二次函数图象可知只须⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋2＞0Δ＝16－4a －1a ＋2≤0成立． ∴a ≥2即为所求． 答案：a ≥2 三、解答题
10．将下列命题用量词符号“∀”或“∃”表示，并判断真假． (1)实数的平方是非负数； (2)整数中1最小；
(3)方程ax 2
＋2x ＋1＝0(a <1)至少存在一个负根； (4)对于某些实数x ，有2x ＋1>0；
(5)若直线l 垂直于平面α内的任一直线，则l ⊥α.
解：(1)∀x ∈R ，x 2
≥0，真． (2)∀x ∈Z ，x ≥1，假．
(3)∃x 0<0，有ax 2
0＋2x 0＋1＝0(a <1)，真． (4)∃x 0∈R ，有2x 0＋1>0，真．
(5)若∀a ⊂α，l ⊥a ，则l ⊥α，真．
11．写出下列命题的否定，并判断其真假：
(1)p ：不论m 取何实数，方程x 2
＋x －m ＝0必有实数根；
(2)q ：存在x 0＞1，使x 2
0－2x 0－3＝0； (3)r ：等圆的面积相等，周长相等；
(4)s ：对任意角α，都有sin 2α＋cos 2
α＝1.
解：(1)这一命题可以表述为p ：“对所有的实数m ，方程x 2
＋x －m ＝0都有实数根”，其否定
形式是：“存在实数m ，使得x 2
＋x －m ＝0没有实数根”．注意到当Δ＝1＋4m ＜0时，即m
＜－1
4
时，一元二次方程没有实数根，所以它是真命题．
(2)这一命题的否定是：“对任意x ＞1，都有x 2
－2x －3≠0”．是假命题．
(3)这一命题的否定形式是：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”．由平面几何知识知，这是一个假命题．
(4)这一命题的否定形式是：“存在一个角α，使sin 2α＋cos 2
α≠1”．由于命题s 是真命题，所以它是假命题．
12．命题p ：“对f (x )的定义域内的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，则函数f (x )是增函数”．(由定义可知，此命题为真命题) (1)写出命题p 中的全称量词；
(2)若f (x )＝x ＋4
x
，写出命题p ，并判断命题p 的真假．
解：(1)命题p 中的全称量词是：(定义域内的)“任意”(两个自变量的值)．
(2)命题p ：“对f (x )＝x ＋4
x
的定义域内的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)
＜f (x 2)成立”．
取x 1＝－2，x 2＝－13，则f (x 1)＝－4，f (x 2)＝－1213
，
由x 1＜x 2，得f (x 1)＞f (x 2)，与f (x 1)＜f (x 2)矛盾， 所以命题p 为假命题．。