对两个几何最值问题的一般性研究

对两个几何最值问题的一般性研究湖北省阳新县高级中学 ４３５２００ 邹生书

笔者最近学习了《中学数学杂志》２０１３年第９期

崔志荣老师《把控测试信度　减少无效“投机”》一文，读后收获不浅，并对文中的三道题目“测试题”、“改编１”和“改编２”产生兴趣．原文三题如下：

测试题　在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝６，ＢＣ边上的高ＡＤ＝４，则ＡＢ·ＡＣ的最小值是 ．

改编１　在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝６，ＢＣ边上的高ＡＤ＝２，则ＡＢ·ＡＣ的最小值是 ．

改编２　在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝６，ＢＣ边上的高ＡＤ＝４，则ＡＢ→·ＡＣ→

的取值范围是 ．

这是一类动态几何最值问题，笔者觉得有研究价值，于是，将这类问题作一般化处理概括成如下两个问题，并对问题的解法进行研讨，以求对问题全面和深层次的理解．问题１　在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＢＣ边上的高ＡＤ＝ｈ，求ＡＢ·ＡＣ的取值范围．

问题２　在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＢＣ边上的高ＡＤ＝ｈ，求ＡＢ→·ＡＣ→

的取值范围．

分析　求取值范围问题通常运用函数思想将所求的值表示成某个变量的函数，将问题转化为函数的最值问题或值域问题，其中自变量的选择至关重要，自变量直接决定函数的解析式和解题的繁与简，本文以自变量的选择为主线先对问题１进行解法研究．思路一　以角Ａ为自变量建立函数

由三角形面积公式得１２ａｈ＝１

２ＡＢ·ＡＣｓｉｎＡ，从而

ＡＢ·ＡＣ＝ａｈｓｉｎＡ．法１　（用几何法求角Ａ的范围，用三角法求ｓｉｎＡ的最大值）过点Ａ作直线ｌ∥ＢＣ，设ＢＣ的垂直平分线交ｌ于点Ｍ交ＢＣ于点Ｎ，过三点Ｂ，Ｃ，Ｍ作☉Ｏ，因为半径ＯＭ⊥ｌ，所以直线ｌ与☉Ｏ相切于点Ｍ．于是，当点Ａ不同于点Ｍ时，点Ａ在☉Ｏ外，如图１，当点Ａ在Ｍ右侧时，设ＡＢ交☉Ｏ于点Ｐ，连ＰＣ，则∠ＢＡＣ＜∠ＢＰＣ，而∠ＢＰＣ＝∠ＢＭＣ，所以∠ＢＡＣ＜∠ＢＭＣ；当

点Ａ与点Ｍ重合时，∠ＢＡＣ＝∠ＢＭＣ；又当ＭＡ→

＋∞时，∠ＢＡＣ→０．综上可知∠ＢＡＣ的取值范围是（０，∠ＢＭＣ］．评注　这里求∠ＢＡＣ的最大值实际上是如下问题：已知定直线ｌ和在ｌ同侧的两个定点Ｂ，Ｃ，且ＢＣ∥ｌ，试在ｌ上求作一点Ａ使∠ＢＡＣ最大．这是与“米勒问题”类似的问题，１４７１年，德国数学家米勒向诺德尔教授提出了如下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上１００个著名的极值问题中第一个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角问题又称之为“米勒问题”，更一般的米勒问题如下：米勒问题　已知定直线ｌ和在ｌ同侧的两个定点Ｂ，Ｃ，试在ｌ上求作一点Ａ使∠ＢＡＣ最大．对米勒问题有如下重要结论我们不妨称之为米勒定理．米勒定理　已知定直线ｌ和在ｌ同侧的两个定点Ｂ，Ｃ，则当且仅当△ＡＢＣ的外接圆与ｌ相切于点Ａ时，∠ＢＡＣ最大．图１ 图２（１）如图１，当圆心Ｏ在△ＭＢＣ外或ＢＣ边上时，∠ＢＭＣ为钝角或直角，此时ｈ＝ＭＮ≤ＢＮ＝ａ２，所以ＡＢ·ＡＣ＝ａｈｓｉｎＡ当∠ＢＡＣ＝９０°时最小，其最小值为ａｈ．（２）如图２，当圆心Ｏ在△ＭＢＣ内时，∠ＢＭＣ为锐角，此时ｈ＝ＭＮ＞ＢＮ＝ａ２，所以ＡＢ·ＡＣ＝ａｈｓｉｎＡ当∠ＢＡＣ＝∠ＢＭＣ时最小，其最小值为ａｈｓｉｎ∠ＢＭＣ．又ｓｉｎ∠ＢＭＣ＝ｓｉｎ２∠ＢＭＮ＝２ｓｉｎ∠ＢＭＮｃｏｓ∠ＢＭＮ＝２·ＢＮＢＭ·ＭＮＢＭ＝ａｈｈ２＋ａ２４，

所以ａｈｓｉｎ∠ＢＭＣ＝ｈ２＋１４ａ２．

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中学数学杂志　２０１４年第１期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ　综上所述，当ｈ≤ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ａｈ，＋∞）；当ｈ＞ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ｈ２＋１４ａ２，＋∞）．图３法２　（用坐标法、到角公式和三角函数求ｓｉｎＡ的最大值）以ＢＣ中点为坐标原点，以ＢＣ所在直线作为ｘ轴，建立平面直角坐标系如图３所示，则Ｂ（－ａ２，０），Ｃ（ａ２，０）．设Ａ（ｘ，ｈ），则ｋＡＢ＝ｈｘ＋ａ２，ｋＡＣ＝ｈｘ－ａ２，由到角公式得，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ｋＡＣ－ｋＡＢ１＋ｋＡＣｋＡＢ＝ｈｘ－ａ２－ｈｘ＋ａ２１＋ｈｘ－ａ２·ｈｘ＋ａ２＝ａｈｘ２＋ｈ２－１４ａ２．（１）若ｈ＞ａ２，则当ｘ＝０即ＡＢ＝ＡＣ时，ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ａｈｈ２－１４ａ２最大，此时∠ＢＡＣ最大且为锐角，设为θ０，故∠ＢＡＣ的取值范围是（０，θ０］，所以ｓｉｎ∠ＢＡＣ的取值范围是（０，ｓｉｎθ０］．由ｔａｎθ０＝ａｈｈ２－１４ａ２得，ｓｉｎθ０＝ａｈｈ２＋１４ａ２，所以ＡＢ·ＡＣ＝ａｈｓｉｎＡ的最小值为ｈ２＋１４ａ２．（２）若ｈ≤ａ２，则当ｘ２＝１４ａ２－ｈ２时，ｔａｎ∠ＢＡＣ不存在，此时∠ＢＡＣ＝９０°，ＡＢ·ＡＣ＝ａｈｓｉｎＡ最小，其值为ａｈ．综上所述，当ｈ≤ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ａｈ，＋∞）；当ｈ＞ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ｈ２＋１４ａ２，＋∞）．

思路二　以△ＡＢＣ外接圆半径Ｒ为自变量建立函数

法３　由三角形面积公式得１２ａｈ＝１

２ＡＢ·

ＡＣｓｉｎＡ，从而ＡＢ·ＡＣ＝ａｈｓｉｎＡ．设△ＡＢＣ外接圆半径为Ｒ，由正弦定理得，ｓｉｎＡ＝ａ２Ｒ，所以ＡＢ·ＡＣ＝２ｈＲ，故当

△ＡＢＣ外接圆半径Ｒ取最小值时ＡＢ·ＡＣ最小．（１）如图１，当ｈ≤ａ２时，在过Ｂ，Ｃ两点的所有圆

中以ＢＣ为直径的圆半径最小，且这个圆的圆心到直线ｌ的距离小于或等于半径ａ２，所以直线ｌ与这个圆有

公共点，故△ＡＢＣ外接圆半径Ｒ的最小值为ａ２，所以

ＡＢ·ＡＣ的最小为ａｈ．（２）如图２，当ｈ＞ａ２时，以ＢＣ为直径的圆与直

线ｌ没有公共点，当且仅当△ＡＢＣ的外接圆与直线ｌ相切于点Ａ（即点Ａ与点Ｍ重合）时半径Ｒ最小．在Ｒｔ△ＯＮＢ中，由勾股定理得，ＢＮ２＋ＯＮ２＝ＯＢ２，

即（ａ２）２＋（Ｒ－ｈ）２＝Ｒ２，由此得２ｈＲ＝ｈ２＋１４ａ２，所

以ＡＢ·ＡＣ的最小值为ｈ２＋１４ａ２．

综上所述，当ｈ≤ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ａｈ，＋∞）；当ｈ＞ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ｈ２＋

１４ａ２，＋∞）．

思路三　建立合适的坐标系，以点Ａ的横坐标为自变量建立函数法４　以ＢＣ中点为坐标原点，以ＢＣ所在直线作

为ｘ轴，建立平面直角坐标系如图３所示，则Ｂ（－ａ２，

０），Ｃ（ａ２，０）．设Ａ（ｘ，ｈ），于是ＡＢ·ＡＣ＝（ｘ＋ａ２）２＋ｈ２·（ｘ－ａ２）２＋ｈ２

＝（ｘ２＋ａｘ＋ａ２４＋ｈ２）（ｘ２－ａｘ＋ａ２４＋ｈ２

）

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　ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ 中学数学杂志　２０１４年第１期＝（ｘ２＋ａ２４＋ｈ２）２－ａ２ｘ２．

设ｔ＝ｘ２，则

ＡＢ·ＡＣ＝（ｔ＋ａ２４＋ｈ２）２－ａ２ｔ＝ｆ（ｔ）（ｔ≥０）①，所以ｆ（ｔ）＝ｔ２＋２（ｈ２－ａ２４）ｔ＋（ｈ２＋ａ２４）２．

（１）若ｈ＞ａ２，则当ｔ＝０即ｘ＝０也就是ＡＢ＝ＡＣ

时，ＡＢ·ＡＣ＝ｆ（ｔ）取最小值ｆ（０）＝ｈ２＋１４ａ２．

（２）若ｈ≤ａ２，则当ｔ＝ａ２４－ｈ２＞０时，ＡＢ·ＡＣ＝

ｆ（ｔ）取最小值，由①得ｆ（ａ２４－ｈ２）＝ａ４４－ａ２（ａ２４－ｈ２

）＝ａｈ．

综上所述，当ｈ≤ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ａｈ，＋∞）；当ｈ＞ａ２时，ＡＢ·ＡＣ的取值范围是［ｈ２＋

１４ａ２，＋∞）．

问题２　在△ＡＢＣ中，ＢＣ＝ａ，ＢＣ边上的高ＡＤ＝ｈ，求ＡＢ→·ＡＣ→

的取值范围．

思路一　以角Ａ为自变量建立函数

法１　ＡＢ→·ＡＣ→＝ＡＢ·ＡＣｃｏｓＡ＝ａｈ

ｓｉｎＡ·ｃｏｓＡ＝

ａｈｃｏｔＡ．由问题１的解法１知，∠ＢＡＣ的取值范围是（０，∠ＢＭＣ］，而∠ＢＭＣ＜π，所以ｃｏｔＡ≥ｃｏｔ∠ＢＭＣ．而

ｔａｎ∠ＢＭＮ＝ＢＮＢＭ＝ａ２ｈ＝ａ２ｈ，由倍角公式得，ｔａｎ∠ＢＭＣ＝ｔａｎ２∠ＢＭＮ

＝２ｔａｎ∠ＢＭＮ１－ｔａｎ２∠ＢＭＮ＝２·ａ２ｈ１－（ａ２ｈ）２＝４ａｈ４ｈ２－ａ２

，所以

ｃｏｔ∠ＢＭＣ＝４ｈ２－ａ２４ａｈ，所以ＡＢ→·ＡＣ→≥ｈ２－１４ａ２．

故ＡＢ→·ＡＣ→的取值范围是［ｈ２－１４ａ２，＋∞）．若增加条件“点Ｄ在线段ＢＣ上时（不包括端点）”，则过点Ｃ作ＣＥ⊥ｌ垂足为Ｅ，知∠ＢＡＣ的取值范围是（∠ＢＥＣ，∠ＢＭＣ］．ｃｏｔ∠ＢＥＣ＝ＣＥＣＢ＝ｈａ，所以ｃｏｔ∠ＢＭＣ≤ｃｏｔ∠ＢＡＣ

＜ｃｏｔ∠ＢＥＣ，即４ｈ２－ａ２

４ａｈ≤ｃｏｔ∠ＢＡＣ＜ｈａ，所以ｈ２－

１４ａ２≤ａｈｃｏｔ∠ＢＡＣ＜ｈ２，即ＡＢ→·ＡＣ→的取值范围是［ｈ２

－１４ａ２，ｈ２）．在“改编２”中，若增加条件“点Ｄ在线段

ＢＣ上时（不包括端点）”，则ＡＢ→·ＡＣ→的取值范围是［－５，４），与原文答案一致．

法２　ＡＢ→·ＡＣ→＝ＡＢ·ＡＣｃｏｓＡ＝ａｈ

ｓｉｎＡ·ｃｏｓＡ＝

ａｈｃｏｔＡ．同问题１的解法２用坐标法、到角公式求得ｔａｎ∠ＢＡＣ＝ａｈ

ｘ２＋ｈ２－１４ａ２．

所以ＡＢ→·ＡＣ→＝ａｈｃｏｔＡ

＝ｘ２＋ｈ２－１４ａ２≥ｈ２－１４ａ２．故ＡＢ→·ＡＣ→

的取值范

围是［ｈ２－１４ａ２，＋∞）．思路二　建立合适的坐标系，以点Ａ的横坐标为自变量建立函数法３　以ＢＣ中点为坐标原点，以ＢＣ所在直线作

为ｘ轴，建立平面直角坐标系如图３所示，则Ｂ（－ａ２，

０），Ｃ（ａ２，０）．设Ａ（ｘ，ｈ），则ＡＢ→＝（－ａ２－ｘ，－ｈ），ＡＣ→

＝（ａ２－ｘ，－ｈ），所以ＡＢ→·ＡＣ→＝（－ａ２－ｘ）（ａ２－ｘ）

＋ｈ２＝ｘ２＋ｈ２－１４ａ２≥ｈ２－１４ａ２．当且仅当ｘ＝０即ＡＢ

＝ＡＣ时等号成立，故ＡＢ→·ＡＣ→的取值范围是［ｈ２－１４ａ２，

＋∞）．若增加条件“点Ｄ在线段ＢＣ上时（不包括端点）”，则ｘ２∈［０，ａ２４），从而ＡＢ→·ＡＣ→＝ｘ２＋ｈ２－１４ａ２∈

［ｈ２－１４ａ２，ｈ２）．根据上述结论，在“测试题”中，由于ａ＝６，ｈ＝４，ｈ＞ａ２，所以ＡＢ·ＡＣ的最小值是ｈ２＋１４ａ２＝２５；在“改

编１”中，ａ＝６，ｈ＝２，ｈ＜ａ２，所以ＡＢ·ＡＣ的最小值

是ａｈ＝１２；在“改编２”中，ａ＝６，ｈ＝２，则ｈ２－１４ａ２＝－５，所以ＡＢ→·ＡＣ→的取值范围是［－５，＋∞）．

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中学数学杂志　２０１４年第１期 ＺＨＯＮＧＸＵＥＳＨＵＸＵＥＺＡＺＨＩ