一道经典高考题解法探讨
一道经典高考题解法探讨
发表时间：2012-09-27T10:48:55.920Z 来源：《学习方法报·语数教研周刊》2012年第46期供稿 作者： 李瑞英
[导读] 经典总是让人难以忘怀，经典的数学题和经典电影、经典文章一样，让我们回味无穷．
山西沁县中学 李瑞英
经典总是让人难以忘怀，经典的数学题和经典电影、经典文章一样，让我们回味无穷．请看2010年全国卷的一个高考题：
已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体 的体积的最大值为（ ）
一类轨迹问题的解法探讨
- 1 - y
B C
A O x P
图2 B C
A O x y
图1 一类轨迹问题的解法探讨
严立芳——洞口二中
轨迹问题是平面解析几何中非常重要的一类问题，在高考中经常出现。求轨迹方程的方法比较多，但从宏观上说不外乎两个途径：一是利用平面几何知识和圆锥曲线的定义，这类题目对计算的要求不高，主要考查观察、联想的能力；二是利用代数的方法，通过消参数得出轨迹方程，计算、对式子的变形是解决问题的关键。
在众多的与轨迹有关的数学题目中，有一类涉及垂直或直角三角形的题目很具有代表性，下面我们就对这类问题的解法进行深入探索，同时也对题目形式上的变化加以分析。
【问题1】．已知B为圆122yx上的一个动点，A（2，0），△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形（A，B，C按顺时针排列），如图，求点C的轨迹方程。
分析：根据求轨迹方程的一般步骤，求C点轨迹就有
设C（yx,），B是所谓的相关点，设为（11,yx），由AB⊥AC和|AB|＝|AC|和12121yx可以得到如下解法。
解：设C（yx,），B（11,yx），则12121yx，
∵△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，
∴12211xyxy ① ∴222121)2()2(yxyx ②
由①得yxxy)2)(2(11 ③ 把③代入②得221)2(yx，
∵0,21yx，∴yx21，21yx，
把21yx代入①得21xy，从而所求的轨迹方程为1)2()2(22yx．
解题过程看上去不太麻烦，但有些环节并不是一下子就
一下12121yx，得确定的，例如，有人可能把②展开，然后先利用 - 2 - 出1x，这种方法虽然可行，但求1y时计
算量比较大。上述方法是把1y和21x看成两个未知数，应当说是比较简单的。这是一种基本方法，考试中可能最先想到它，要是计算、变形能力差，中途放弃也有可能，但无论如何是我们必须掌握的一种方法。
2008年江苏高考物理第15题解法探讨与评析
2008年江苏高考物理第15题解法探讨与评析
应用数学处理物理问题的能力是高考的一项基本要求,2008年江苏高考物理压轴
题的命题继承和发展了近几年高考命题的理念,再一次在压轴题(第15题)中出现
了”研究对象”(研究过程)不是理想化的物理模型(过程)的题型,此类问题一般不能
直接运用物理规律,导致学生的思维受阻.这一命题意图在于遏制那种”死教死学”
的现象.此类问题渗透了高等数学的重要思想)))微元思想和数学近似,也是研究物
理问题的基本思想方法,具有广泛的应用.善于对实际问题进行合理的近似处理,
也是从事创造性研究的重要能力之一.原题如下：
如图1所示,间距为l的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为H,导轨光
滑且电阻忽略不计,磁感应强度为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直,磁场区
域的宽度为d1,间距为d2,两根质量均为m,有效电阻为R的导体棒a和b放在导
轨上,并与导轨垂直(设重力加速度为g)
(1)若a进入第2个磁场区域时,b以与a
同样的速度进入第1个磁场区域,求b穿
过第1个磁场区域过程中增加的动能Δ
Ek.
(2)若a进入第2个磁场区域时,b恰好离
开第1个磁场区域;此后a出第2个磁场
区域时,b又恰好进入第2个磁场区域,且
a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域
的运动时间均相等,求a穿过第2个磁场
区域过程中,两导体棒产生的总焦耳热
Q.
(3)对于第(2)问所述的运动情况,求a穿出第k个磁场区域的速率v.
解析: (1)a和b两导体棒以相同速度切割磁感线产生的动生电动势相互抵消,因此
a和b
不受安培力作用,由机械能守恒定律可知:
ΔEk=mgd1sinθ
(2)设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1,刚离开无磁场区域时的速度为v2,
由能量
守恒定律可知:
在磁场区域中:
Q =mgd1sinθ+1/2mv22-1/2mv12
在无磁场区域中: mgd2sinθ=1/2mv22-1/2mv12
两式相加得:Q =mg(d1+d2)sinθ
高考选择题解法论文
高考选择题解法探讨
高考数学选择题试题多、考查面广，不仅要求应试者有正确分辨能力，还要有较快的解题速度，为此，需要研究解答选择题的一些特殊技巧。总的说来，选择题属小题，解题的基本原则是：“小题不能大做”。解题的基本策略是：要充分利用题设和选择这两方面所提供的信息作出判断。一般说来，能定性判定的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判定的，也不必采用常规解法；能使用间接解法的，也不必采用直接解法；对于明显可以否定的选择支，应及早排除，以缩小选择的范围；对于具有多种解题思路的，宜于选择最简解法等。本文将针对解选择题的4种基本方法分别作举例说明。
一、直接法
直接从条件出发，运用定义、定理、公式、性质进行推理或演算，得出一个正确的结论，再与所给的选择支核对，选择相同结论的题号，这种判断方法称为直接法。
例1已知函数y=f（x）存在反函数y=g（x），若f（3）=－1，而函数y=g（x－1）的图像在下列各点中必经过（）
a．（－2，3）b．（0，3）c．（2，－1）d．（4，－1）
解：由题意可知函数y=f(x)的图像经过点(3，－1)，它的反函数y=g(x)的图像经过点（－1，3），由此可得函数y=g（x－1）的图像经过点（0，3），应选b．
例2有三个命题：其中正确命题的个数为（ｄ）
①垂直于同一个平面的两条直线平行；
②过平面α的一条斜线l有且仅有一个平面与α垂直；
③异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直．
a．0b．1c．2d．3
解：利用立体几何中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，应选d．
二、筛选法
从题设出发，通过推理或演算，对于明显错误的结论，通过逐步“筛选”予以剔除，从而获得正确的结论，这种判断方法称为筛选法。
新高考全国1卷数学(经典版)(全)多种方法解析压轴题
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构造函数，不等式放缩，泰勒展开：两个方法解析2022年高考新全国1卷数学试题第7题
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多角度解析2022年新高考全国1卷数学试题第11题
特殊化，常规推导：从两个不同方向解析2022年新高考全国1卷数学试题第12题
两圆公切线问题——几何法，代数法：两个角度解析2022年新高考全国1卷数学试题第14题
判别式，分离参数：从两个不同角度解析2022年新高考全国1卷数学试题第15题
几何法，代数法，结论秒杀法：三种方法解析2022年新高考全国1卷数学试题第16题
方法三：使用结论
使用前作《圆锥曲线焦半径与焦点弦相关40多个结论在2015-2021年高考数学试题中的应用》中的推论2.1.2 .
2022年高考新全国1卷数学试题第21题（多种方法解析）——探究圆锥曲线张角模型中三角形面积问题以及相关定理应用
注：也可以使用到角公式求直线的斜率. 多种方法解析2022年高考新全国1卷数学试题第22题
高考开放题解法探讨
高考开放题解法探讨
罗利平
数学开放题进入高考，我们需要研究这类试题
的解法，提高复习教学的有效性．
一、条件开放型开放题
这类题型可抓住条件开放特征，或从结论递推
出条件；或加进一些假设条件，看能否推出结论，从
而使条件完备；或一一验证多个条件组合后能否推
出结论；或依题意和有关知识直接排除干扰条件．
例１．如图１，在直四棱柱ＡＢＣＤ－Ａ。Ｂ Ｃ Ｄ１中，当
底面四边形满足——条件时，有Ａ ｃ上Ｂ Ｄ （注：
填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可
能的情形）．
分析：这道题的结论已经给出，需要补充其中一
个条件，我们可以从结论人手，逆推出条件；或者以
常见的立体模型，猜想条件．
（１）因为Ａ ｃＤ ， 。ｃ。Ｄ 是直四棱柱，所以Ａ ｃ
在平面ＡＢＣＤ的射影为４￡而ＢＤ∥Ｂ Ｄ ，所以当 探 囊 匠垂蛋目｜Ｉ
线单位时间内可以 图２
通过的最大信息量．现从结点４向结点曰传递信
息，信息可以分开并沿不同的路线同时传递，则单
位时问内传递的最大信息量为（ ）．
Ａ．２６ Ｂ．２４ Ｃ．２０ Ｄ．１９ 分析：该题是规划问题，情境陌生．其实只要把
“传递的最大信息量”类比成“水流量”的“瓶颈”问
题，即一条水管所流过的水量等于水管最窄地方所
流过的水量，问题即迎刃而解．
四、探索型开放题
由于探索型开放题从解题过程来看，较少组成
的法则和套路，较多分析、探索和创造，因此解题要
注意综合运用类比、化归、特殊化、一般化、反证法等
数学思想和方法．
例４．在等差数列｛ １中，若 ＝０，则有等式ａｊ＋ｏ／２＋
…＋ ＝ｎｌ＋ ＋…＋ｎｌ９一 （ｎ＜１９，ｎ∈Ｎ ）成立．类比上述
性质，相应地：在等比数列｛ｂ ）中，若ｂ９＝１，则有等
式——成立．
分析：由经验可知：一般地，在等差数列中有项
的和的性质，在等比数列中就有类似的项的积的性
质．而已知性质中的关键数为１９＝２￣１０—１，则等比数
列中由ｂｇ＝ｌ可得２￣９～ｌ＝１７，因此猜想６ ６２…６ ＝６ｉｂ：…
一道不等式题的解法探讨
■田发胜 【题目】已知ａ＞０，ｂ＞Ｏ，Ｒｈ＝ｍｅｎ｛ａ， ）＿ 求证： ． 这是一道考察思维能力的好题．从不同的角度 入手思考，可得到多种不同的解法，且各种解法难 易程度差别较大，体现了分析问题，思考问题的能 力． 【思路１】 从条件 ＝： 扔（口， ｂ川 手思考，明 确确定ｈ，再对问题进行讨论，这种思路需要用到 分类讨论的思想． 【解答】Ｉ￥１￣ｈ＝ （ｎ， ），所以， ，则 ＝口． 因为口＞０，６＞ｏ，所以，日 — 一 一 。 ，即２ ≤ｌ，所以，口ｓ半，即 ，此时命题 １ ，１ ，’ 成立． ；ｇａ 删＾＝ ． 由口 南得：口ｂ 一６＋ ０，这是一个关于６的 一元二次不等式，因为ｂ是存在的，所以不等式对 应的方程ａｆｔ－ｂ＋ａ Ｏ应有解，从而其判别式 ＝１—４ａ ≥ｏ，解得：ａ ，从而 ≤ ，此 时命题成立． 综上所述， ，命题得证． 【思路２】 从条件 ： 加｛ａ， ）入手，进行 整体思考． 【碗答】 因为 ＝ （ａ， ），所以，ｏ＜＾≤ａ， Ｄ＜ ≤ ｂ．所以，Ｄ＜ ≤ ． 因为ａ＞ｏ，６＞０，所以， ａ ｂ≤ ，即： Ｄ＜ ≤ ，亦即： ．命题成立． 【评注】这也是一种常规解法．这种解法从整 体入手，整体思考，简捷明了，较为灵活． ．【思路３】从数字 的大小与需要的结论 入手思考，有： 【解答】 因为口＞０，６＞ｏ，所以 ． ｂ’ 击所以， 、若 ｓ击 ，则可得ａ ，此时 ＝ ． 若 ≤孚 去，则可得 ，此时不管厅 是那个，都有＾ ． 若 去，则可得 ，此时 ： ａ≤ ． 综上所述，有 ２． ‘
５０ ｉ毒热卦受 曩 。 蠢 銎姥， 南！ 警 臻 震 ｉ 潦数讣学司高考数学
高考数学真题高等数学解法
高考数学真题高等数学解法
高考数学真题一直是考生备考的焦点和难点，尤其是高等数学部分的题目更是让很多学生望而却步。下面将从不同类型的高考数学真题中选取几道高等数学题目，进行详细的解析和解题思路。
1. 有一曲线的切线方程为 $y = x^2 - 2x$，过曲线上一点 $P$ (2, 2)
作该切线的垂线，所得直线与 $y$ 轴相交于一点 $Q$，求 $PQ$ 的长度。
解析：首先求出曲线的斜率，由 $y' = 2x - 2$ 可得切线斜率为 $2
\cdot 2 - 2 = 2$。过点 $P$ (2, 2) 作斜率为负倒数的直线，即斜率为 $-\frac{1}{2}$ 的直线，其方程为 $y - 2 = -\frac{1}{2}(x - 2)$，化简得 $y
= -\frac{1}{2}x + 3$。将该直线与 $y$ 轴相交，可得 $x = 0$ 时，$y =
3$，因此 $Q$ 点坐标为 $(0, 3)$。利用两点间距离公式，可得 $PQ$ 的长度为 $\sqrt{(0-2)^2 + (3-2)^2} = \sqrt{5}$。
2. 已知方程组 $\begin{cases} y = mx - 2 \\ y^2 + (mx - 1)y = 0
\end{cases}$，其中 $m$ 为实数，求 $m$ 的取值范围。
解析：将第一个方程代入第二个方程中，得到 $(mx - 2)^2 + (mx -
1)(mx - 2) = 0$。化简得 $m(2m - 5)x^2 + 2(2 - m)x + 4 = 0$。由二次方程有实根的条件可得 $\Delta = 4(m^2 - 5m + 4) \geq 0$，解得 $1 \leq m
\leq 4$。
3. 设函数 $f(x) = e^{2x} \cdot (\sin x - \cos x)$，求 $f'(x)$ 和 $f''(x)$。 解析：首先对 $f(x)$ 进行求导，利用乘积法则和链式法则可得 $f'(x)
对一道高考全国物理题的解法研究
对一道高考全国物理题的解法研究 刘伯华 （浙江省永嘉中学，浙江永嘉３２５１００） ２００８年高考全国物理第２３题是一道非数值型的纯运动学 试题，题意简单明了，初看此题，考生便会激起拿下它的强烈 的求解欲望。但据当年考后调查，历经了“练兵千日。用在一 时”磨练的莘莘学子却大多在此题面前败下阵来。我最近探讨 了该题的解法，发现犹如进入科学迷宫，其解题思路的切入 点，各种思路的解及其解的变化绵延不绝，奥妙无穷，令人叹 为观止，最终不得不给该题定论：这是一道看起来容易，解起 来难，同时又是考查考生科学的思维能力、解决问题的能力及 应变能力的好题。现将自己对该题解法研究的结果呈现给大 家．以抛砖引玉 【题目】已知Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃ为同一直线上的四点，ＡＢ间的距离 为１．，ＢＣ间的距离为１，，一物体自Ｏ点由静止出发，沿此直线做 匀加速运动，依次经过Ａ、Ｂ、Ｃ三点，已知物体通过ＡＢ段与ＢＣ 段所用的时间相等。求０与Ａ的距离。 （原解略） 思路１：利用并围绕速度公式求解。 该思路是以匀变速直线运动的速度公式ｖ．－Ｖ ＋ａｔ为基准， 然后根据运动学的其余规律及特点，逐个确定该式中的各个 物理量，最后代人该式求出结果。 解：设物体加速度为ａ，通过ＡＢ、ＢＣ段的时间为ｔ，Ａ、Ｂ点速 度分别为ｖ 、ｖ ，ＯＡ间距离为ｌ。根据速度公式有 ＶＢ Ｖａ＋ａｔ ＡＢ、ＢＣ段时间相等，故 ｌ１＋ｌ２ 且ｌ２－１１＝ａｔ 对ＯＡ段有 ｖ￣＝２ａｌ 将（２）（３）（４）代入（１）式 （２） （３） （４） １１＋１２： ２ｌ（１ 二ｌＩ） ２ｔ ｔ ｔ 即得 （３ｌｌ—ｉ２） 变解：列出（１）（２）（３）式，再对０Ａ段列出ＶＡ＝ａｔｏＡ－－Ｌｊ１： １ ａｔ。２Ａ 两式，也可得解。 思路２：利用位移公式求解。 该思路是根据匀变速直线运动的位移公式Ｘ＝Ｖｏｔ＋ １ ａｔ ， 分别列出ＯＡ、ＡＢ、ＢＣ三段的位移方程，然后解这些方程即 可。 解：设物体通过０Ａ段的时间为ｔｏ，其余如上。有 ｌ： １ ａｔ。２ （１） ｌ￣＝ａｔｏ．ｔ＋１ａｔ （２） １２＝ａ（ｔｏ＋ｔ）¨ １ ａｔ （３） 解得ｌ： ‘ ８（１２－１１） 变解：列出（１）式，再列出以下两式 ｌ＋ｌ１＝ １ ａ（ｔｏ＋ｔ） （２） ｌ＋ｌＪ ＝＿＿１ ａ（ｔｏ＋２ｔ） （３） 由（１）（２） （３） 式可得所求。 思路３：利用位移差的等量关系求解。 位移差的等量关系表现在两个方面，其一是位移之差的 几何关系，￣／ＪＯＡ间距离等：ＦＯＢ与ＡＢ问距离之差：其二是做匀 变速直线运动的物体，通过连续相邻相等时间内的位移差等 于恒量。本题可用该思路求解。 解：假设如上。 根据位移差的几何关系有 ｌ＝ｓｏＢ－１ｌ （１） 物体通过ＡＢ和ＢＣ段的时间相等有 １２－１ｌ－－ａｔ （２） 因为ｓｎＲ： 且 所以ｓ１） ： （３） ８ａｔ 解得ｌ： ８（１２－１１） 变解：列出（１）（２）式，再列￣ＳｏＢ＝ １ ｖＢｔｏＢ，ＶＢ＝ａｔ０Ｂ与ｖＢ＝ １１２＋ｔ１２￣即可。 思路４：利用速度一位移公式求解。 根据匀变速直线运动的速度公式和位移公式．消去时间 ｔ，导出的公式ｖ —ｖｏ ＝２ａｘ叫速度一位移公式。本思路利用该公 式，再列出一个辅助方程，即可得解。 解：假设如上，再设Ｃ点速度ｖ ，则 从。到Ａ：ｖ：＝２ａ１ （１） 从Ａ至０Ｂ：ｖ：一ｖ：＝２ａｌ （２） 从Ｂ到ｃ：ｖｃ－ｖ￣＝２ａｌ２ （３） 又物体在Ｂ点时的速度ｖ ：—Ｖｃ ＋ＶＡ （４） 解得： ２ ：（３ｌＩ ． （５）… ４（１２－１ ）
高考数学解题方法探讨_数学破题36计(1-9计)
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1 第1计 芝麻开门 点到成功
●计名释义
七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.
数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.
●典例示范
［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数rnC都换成分数rnCn)1(1，就得到一个如下图所示的分数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出
rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1，其中x .
令221)1(1160130112131nnnCnnCa，则nnalim .
［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.
莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点11的主意.
［解Ⅰ］ 将等式rnxnrnnCCnCn11)1(1)1(1与右边的顶点三角形对应（图右），自然有21)1(1rnCn 21)1(1xnCn 1111rnnC
对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1
对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.
［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.
“等效重力”思想的应用——从一道高考题说起
“等效重力”思想的应用———从一道高考题说起
陈笃杰(福建省漳州市第三中学 ３６３０００)
摘 要:本文应用“等效重力”思想解答２０１８年高考全国Ⅰ卷第１８题ꎬ并以此为母题进行变形拓展ꎬ探讨
了“等效重力”在处理一些复杂问题时的简捷性.
关键词:等效思想ꎻ等效重力
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０１９)０４－００６３－０３
收稿日期:２０１８－１１－１５作者简介:陈笃杰(１９７７.１１－)ꎬ男ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究. 一、２０１８年全国Ⅰ卷第１８题的探讨
原题:如图１ꎬａｂｃ是竖直面内的光滑固定轨道ꎬａｂ水
平ꎬ长度为２Ｒꎻｂｃ是半径为Ｒ的四分之一的圆弧ꎬ与ａｂ相
切于ｂ点.一质量为ｍ的小球始终
受到与重力大小相等的水平外力
的作用ꎬ自ａ点处从静止开始向右
运动ꎬ重力加速度大小为ｇ.小球
从ａ点开始运动到其轨迹最高点ꎬ
机械能的增量为( ).Ａ.２ｍｇＲ Ｂ.４ｍｇＲ Ｃ.５ｍｇＲ Ｄ.６ｍｇＲ
分析 本题用很基本、简洁的物理模型来考查物理
规律和思维方法ꎬ这也是全国卷命题的特点之一.学生对
熟悉的物理情景容易上手ꎬ解题的关键是小球始终受到
一个水平恒力ꎬ对文字表述“运动到其轨迹最高点”要细
心审题ꎬ避免跳进“陷阱”.此题将运动的合成与分解、功
能关系等核心考点有机
融合ꎬ突出考查学生分
析综合能力.
解法一 设小球运
动到ｃ点的速度大小为ｖｃꎬ如图２ꎬ小球从ａ到ｃ
的过程中
由动能定理得Ｆ３Ｒ－ｍｇＲ＝１２ｍｖ２ｃ
又Ｆ＝ｍｇꎬ解得ｖｃ＝２ｇＲ.
小球离开ｃ点到轨迹最高点的过程中ꎬ由运动的分解得
竖直方向上:小球只在重力的作用下ꎬ速度从ｖｃ匀减
速到０所需的时间ｔ＝ｖｃｇ＝２ｇＲ
水平方向上:小球做初速度
为零的匀加速直线运动ꎬ加速度ａ＝ｇ
水平位移大小ｘ＝１２ｇｔ２＝２Ｒ
小球从ａ点开始运动到其轨迹最高点的过程中ꎬ总
水平位移大小为５Ｒ
由功能关系得:小球机械能的增加量ΔＥ＝Ｆ５Ｒ＝５ｍｇＲ
该解法中规中矩ꎬ要求学生具有扎实的基本功和一