2020年深圳市数学中考试题及答案
第1页，共11页 2020年深圳市数学中考试题 一、选择题（每小题3分，共12小题，满分36分） 1. 2020的相反数是( )
A.2020 B. C.-2020 D. 2. 下列图形中既是轴对称图形，也是中心对称图形的是( )
A. B. C. D. 3. 2020年6月30日，深圳市总工会启动“百万职工消费扶贫采购节”活动，预计撬动扶贫消费额约 150 000 000元。将150 000 000用科学记数法表示为( )
A. B. C. D. 4. 下列哪个图形，主视图、左视图和俯视图相同的是( )
A.圆锥 B.圆柱 C.三棱柱 D.正方体 5. 某同学在今年的中考体育测试中选考跳绳。考前一周，他记录了自己五次跳绳的成绩（次数/分钟）：
247,253,247,255,263.这五次成绩的平均数
．．．和中位数．．．分别是（）( )
A.253，253 B.255，253 C.253，247 D.255，247 6. 下列运算正确的是（
A. B.
C. D. 7. 一把直尺与30°的直角三角板如图所示，∠1=40°，则∠2=( ) A.50° B.60° C.70° D.80° 8. 如图，已知AB=AC，BC=6，山尺规作图痕迹可求出BD=( ) A.2 B.3 C.4 D.5
30021
DCB
A第2页，共11页
9. 以下说法正确的是( ) A.平行四边形的对边相等 B.圆周角等于圆心角的一半
C.分式方程的解为x=2 D.三角形的一个外角等于两个内角的和 10. 如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（） ( )
A.200tan70°米 B.米
C.200sin70°米 D.米 11. 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是( )
A. B.4ac-b2<0
C.3a+c>0 D.ax2+bx+c=n+1无实数根
12. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=12.将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，折痕为EF，点E、F分别在边AD和边BC上。连接BG，交CD于点K,FG交CD于点H。给出以下结论： ① EF⊥BG；②GE=GF；③△GDK和△GKH的面积相等；④当点F与点C重合时，∠DEF=75° 其中正确．．的结论共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题（每小题3分，共4小题，满分12分） 13. 分解因式：m3-m= .
14. 口袋内装有编号分别为1,2,3,4,5,6,7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号
为偶数的球的概率是 . 15. 如图，在平面直角坐标系中，ABCO为平行四边形，O（0，0），A（3，1），
B（1，2），反比例函数的图象经过OABC的顶点C，则
k= .
16. 如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，
，，则= .
xy(-1，n)
(-3，0)O
ODCB
A第3页，共11页
三、解答题（第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，满分52分）
17. 计算：
18. 先化简，再求值：，其中a=2. 19. 以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展，新业态发展对人才的需求更
加旺盛。某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生，现随机调査了m名新聘毕业生的专业情况，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
根据以上信息，解答下列问题： （1）m= ，n= . （2）请补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，“软件”所对应圆心角的度数是 . （4）若该公司新聘600名毕业生，请你估计“总线”专业的毕业生有 名
20. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，
交AD的延长线于点E （1）求证：AE=AB （2）若AB=10，BC=6，求CD的长
人数/名专业类别测试总线硬件软件25201510
05
测试n %软件
硬件40%
总线30%
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21. 端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多
6元 （1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？ （2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
22. 背景：一次小组合作探究课上，小明将两个正方形按背景图位置摆放（点E，A，D在同一条直线上）， 发现BE=DG且BE⊥DG。 小组讨论后，提出了三个问题，请你帮助解答： （1）将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转，（如图1）还能得到BE=DG吗？如果能，请给出证明．如 若不能，请说明理由： （2）把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD，将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转，（如图2）试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时，背景中的结论BE=DG仍成立？请说明理由；
（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转（如图3），连接DE，BG。小组发现：在旋转过程中， BG2+DE2是定值，请求出这个定值
图1 图2 图3 背景图 第5页，共11页
23. 如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D
（1）求解抛物线解析式
（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到,点O、
B、C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点与点A重合时停止移动。记△
与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出．．．．S与时间t的函数解析式;
（3）如图2，过抛物线上任意．．一点M（m，n）向直线l:作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称
轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由。
参考答案 1.C 2.B 3.D 4.D 5.A 6.B 7.D 8.B 9.A
xyD
C
BAO图1 图2 x
yEy=9
2
MD
C
BAO第6页，共11页
10.B 11.B 13.C
13.
14. 15.-2 16. 17.解：
18.解：
当a=2时， 19.由统计图可知，，n=10。硬件专业的毕业生为人，则
统计图为 软件专业的毕业生对应的占比为，所对的圆心角的度数为。若该公司新聘600名毕业生，“总线”专业的毕业生为名。
人数/名专业类别测试总线硬件软件25201510
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20.解：（1）证：连接OC ∵CD与相切于C点 ∴OC⊥CD 又∵CD⊥AE ∴OC//AE
∴ ∵OC=OB ∴
∴ ∴AE=AB （2）连接AC
∵AB为的直径
∴ ∴ ∵AB=AE，AC⊥BE ∴EC=BC=6
∵, ∴△EDC∽△ECA ∴
∴
21.解：（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x,y元，则根据题意可得：
解此方程组得： 答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元 （2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则
∵k=2>0
DECBOA
2021年深圳市中考数学试题及答案
深圳市2021年初中毕业生学业考试数学试卷第一局部 选择题一、〔本局部共12题，每题3分，共36分，每题给出4个选项，其中只有一个选项是正确的〕 1．－2的绝对值是〔 〕A ．－2B ．2C ．－12D ．122．图中立体图形的主视图是〔 〕立体图形 A B C D3．随着“一带一路〞建立的不断开展，我国已与多个国家建立了经贸合作关系，去年中哈铁路〔中国至哈萨克斯坦〕运输量达8200000吨，将8200000用科学计数法表示为〔 〕A ．×105B ．82×105C ．×106D ．82×1074．观察以下图形，其中既是轴对称又是中心对称图形的是〔 〕A B CD5．以下选项中，哪个不可以得到l 1∥l 2？〔 〕A ．∠1＝∠2B ．∠2＝∠3C ．∠3＝∠5D ．∠3＋∠4＝180°6．不等式组32521x x -<⎧⎨-<⎩的解集为〔 〕A ．1x >-B ．3x <C ．1x <-或3x >D ．13x -<<7．一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出x 双，列出方程〔 〕A ．10330%x =B ．()110330%x -=C ．()2110330%x -=D ．()110330%x +=8．如图，线段AB ，分别以A 、B 为圆心，大于12AB 为半径作弧， 连接弧的交点得到直线l ，在直线l 上取一点C ，使得∠CAB ＝25°， 延长AC 至M ，求∠BCM 的度数〔 〕A ．40°B ．50C ．60°D ．70°9．以下哪一个是假命题〔 〕A ．五边形外角和为360°B ．切线垂直于经过切点的半径C ．〔3，－2〕关于y 轴的对称点为〔－3，2〕D ．抛物线242017y x x =-+对称轴为直线x ＝210．某共享单车前a 公里1元，超过a 公里的，每公里2元，假设要使使用该共享单车50%的人只花1元钱，a 应该要取什么数〔 〕A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差 11．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD 旁一棵树AB 的高度，他们先在点C 处测得树顶B 的仰角为60°，然后在坡顶D 测得树顶B 的仰角为30°，斜坡CD 的长度为20m ，DE 的长为10m ，那么树AB 的高度是〔 〕mA ．203B ．30C ．303D ．4012．如图，正方形ABCD 的边长是3，BP ＝CQ ，连接AQ 、DP 交于点O ，并分别与边CD 、BC 交于点F ，E ，连接AE ，以下结论：①AQ ⊥DP ；②OA 2＝OE ·OP ；③AODOECF S S =四边形，④当BP ＝1时，1316tan OAE ∠=． 其中正确结论的个数是〔 〕A ．1B ．2C ．3D ．4第11题 第12题 第16题第二局部 非选择题二、填空题〔此题共4题，每题3分，共12分〕13．因式分解：34a a -= ．14．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部一样，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是 ． 15．阅读理解：引入新数i ，新数i 满足分配率，结合律，交换律，i 2＝－1，那么()()11i i +-＝ ． 16．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，Rt △MPN ，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 与点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ ．三、解答题〔567889952''''''''++++++=〕 17()22224518cos ---+-+18．先化简，再求值：22224x x x x x x ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中x ＝－1．19．深圳市某学校抽样调查，A 类学生骑共享单车，B 类学生坐公交车、私家车，C 类学生步行，D 类学生〔其它〕，根据调查结果绘制了不完好的统计图．类型 频数 频率 A 30 x B 18 C m Dny（1）学生共 人，x ＝ ，y ＝ ； （2）补全条形统计图；（3）假设该校共有2000人，骑共享单车的有 人．20．一个矩形周长为56厘米，〔1〕当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别是多少？ （2）能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．21．如图，一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数my x=〔x ＞0〕交于A 〔2，4〕、B 〔a ，1〕，与x 轴、y 轴分别交于点C 、D ．（1）直接写出一次函数y ＝kx ＋b 的表达式和反比例函数my x=〔x ＞0〕的表达式； （2）求证：AD ＝BC ．22．如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4． （1）求⊙O 的半径r 的长度； （2）求s i n ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE HF •的值．23．如图，抛物线22y ax bx =++经过A 〔－1，0〕，B 〔4，0〕，交y 轴于点C ． （1）求抛物线的解析式〔用一般式表示〕；（2）点D 为y 轴右侧抛物线上一点，是否存在点D 使得23ABC ABDS S ∆=，假设存在请直接给出点D 坐标，假设不存在请说明理由；（3）将直线BC 绕点B 顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E ，求BE 的长．F深圳市2021年中考试数学试卷参考答案1-5．BACDC 6-10．DDBCB 11-12．BC 13．()()22a a a +-； 14．23； 15．2； 16．3； 17．3； 18．原式＝()()()()()()2222222x x x x x x x x x++-+-•+-＝3x ＋2 把x ＝－1代入得：原式＝3×〔－1〕＋2＝－1．19．〔1〕18÷＝120人，x ＝30÷120＝，m ＝120×＝48，y ＝1－－－＝，n ＝120×＝24；〔2〕如以下图； 〔3〕2000×＝500．20．〔1〕解：设长为x 厘米，那么宽为〔28－x 〕厘米， 列方程：x 〔28－x 〕＝180， 解方程得110x =，218x =， 答：长为18厘米，宽为10厘米；〔2〕解：设长为x 厘米，那么宽为〔28－x 〕厘米，列方程得：x 〔28－x 〕＝200， 化简得：2282000x x -+=， 224284200160b ac ∆=-=-⨯=-<， 方程无解，所以不能围成面积为200平方厘米的矩形． 21．〔1〕将A 〔2，4〕代入my x=中，得m ＝8， ∴反比例函数的解析式为8y x =， ∴将B 〔a ，1〕代入8y x=中得a ＝8， ∴B 〔8，1〕， 将A 〔2，4〕与B 〔8，1〕代入y ＝kx ＋b 中，得 8124k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得125k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴152y x =-+；（2）由〔1〕知，C 、D 两点的坐标为〔10，0〕、〔0，5〕，如图，过点A 作y 轴的垂线与y 轴交于点E ，过B 作x 轴的垂线与 x 轴交于点F ， ∴E 〔0，4〕，F 〔8，0〕，∴AE ＝2，DE ＝1，BF ＝1，CF ＝2，∴在Rt △ADE 和Rt △BCF 中，根据勾股定理得， AD ＝225AE DE +=，BC ＝225CF BF +=， ∴AD ＝BC ． 22．〔1〕连接OC ，在Rt △COH 中，CH ＝4，OH ＝r －2，OC ＝r ， 由勾股定理得：〔r －2〕2＋42＝r 2，解得：r ＝5； （2）∵弦CD 与直径AB 垂直， ∴12AD AC CD ==，∴∠AOC ＝12∠COD ， ∵∠CMD ＝12∠COD ，∴∠CMD ＝∠AOC ，∴sin ∠CMD ＝sin ∠AOC ，在Rt △COH 中，s i n ∠AOC ＝45OH OC =，即s i n ∠CMD ＝45； （3）连接AM ，那么∠AMB ＝90°，在Rt △ABM 中，∠MAB ＋∠ABM ＝90°，在Rt △EHB 中，∠E ＋∠ABM ＝90°， ∴∠MAB ＝∠E ，∵BM BM =，∴∠MNB ＝∠MAB ＝∠E ， ∵∠EHM ＝∠NHF ，∴△EHM ∽△NHF ， ∴HE HMHN HF=，∴HE ·HF ＝HM ·HN ，∵AB 与MN 相交于点H ， ∴HM ·HN ＝HA ·HB ＝HA ·〔2r －HA 〕＝2×〔10－2〕＝16， 即HE ·HF ＝16．23．〔1〕由题意得2016420a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴213222y x x =-++；〔2〕依题意知：AB ＝5，OC ＝2，∴1125522ABC S AB OC ∆=⨯=⨯⨯=，∵23ABC ABD S S ∆=，∴315522ABD S =⨯=，设D 〔m ，213222m m -++〕〔m ＞0〕，∵11522ABDD SAB y ==，∴211315522222m m ⨯⨯-++=，解得：m ＝1或m ＝2或m ＝－2〔舍去〕或m ＝5，∴D 1〔1，3〕、D 2〔2，3〕、D 3〔5，－3〕；（3）过C 点作CF ⊥BC ，交BE 于点F ，过点F 作y 轴的垂线交y 轴于点H ，∵∠CBF ＝45°，∠BCF ＝90°，∴CF ＝CB ， ∵∠BCF ＝90°，∠FHC ＝90°，∴∠HCF ＋∠BCO ＝90°，∠HCF ＋∠HFC ＝90°，即∠HFC ＝∠OCB ，∵CHF COB HFC OCB FC CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CHF ≌△BOC 〔AAS 〕， ∴HF ＝OC ＝2，HC ＝BO ＝4，∴F 〔2，6〕， ∴易求得直线BE ：y ＝－3x ＋12，联立213222312y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=-+⎩， 解得15x =，24x =〔舍去〕，故E 〔5，－3〕， ∴()()22543010BE =-+--=．。
深圳市近10年中考数学试题及答案
6．一件标价为 元的商品，若该商品按八折销售，则该商品的实际售价是（ ）
Ａ． 元Ｂ． 元Ｃ． 元Ｄ． 元
7．一组数据 ， ， ， ， 的方差是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
8．若 ，则 的值是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
9．如图2，直线 ，则 的度数是（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
Ａ．百亿位Ｂ．亿位Ｃ．百万位Ｄ．百分位
４．下列图形中，是轴对称图形的为
ＡＢＣＤ
５．下列不等式组的解集，在数轴上表示为如图２所示的是
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ． 图2
６．班主任为了解学生星期六、日在家的学习情况，家访了班内的六位学生，了解到他们
在家的学习时间如下表所示．那么这六位学生学习时间的众数与中位数分别是
∴ＯＣ＝２ （－２ 舍去）
∴线段ＯＣ的长为２ ……3分
（２）解：∵△OCA∽△OBC
∴
设ＡＣ＝ｋ，则ＢＣ＝ ｋ
由ＡＣ ＋ＢＣ ＝ＡＢ 得
ｋ ＋（ ｋ） ＝（６－２）
解得ｋ＝２（－２舍去）
∴ＡＣ＝２，ＢＣ＝２ ＝ＯＣ……1分
过点Ｃ作ＣＤ⊥ＡＢ于点Ｄ
∴ＯＤ＝ ＯＢ＝３
∴ＣＤ＝
∴Ｃ的坐标为（３， ）……2分
Ａ．至多６人Ｂ．至少６人Ｃ．至多５人Ｄ．至少５人
９．如图4，王华晚上由路灯A下的B处走到Ｃ处时，测得
影子CD的长为１米，继续往前走３米到达Ｅ处时，测
得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么
路灯A的高度AB等于
Ａ．4.5米Ｂ．6米
Ｃ．7.2米Ｄ．8米
图4
10．如图5，在□ABCD中，AB:AD = 3:2，∠ADB=60系式．
解：
2022年广东省深圳市中考数学真题试题及答案
22.（1）【探究发现】如图①所示，在正方形 中， 为 边上一点，将 沿 翻折到△BEF处，延长 交 边于 点．求证：
（2）【类比迁移】如图②，在矩形 中， 为 边上一点，且 将 沿 翻折到△BEF处，延长 交 边于点 延长 交 边于点 且 求 长．
16.解：原式 ．
17.解：原式
=
将 代入得原式 ．
18.
（1）解：本次抽查的总人数为 （人 ，
“合格”人数的百分比为 ，
故答案为：50人， ；
（2）解：不合格的人数为： ；
补全图形如下：
（3）解：扇形统计图中“不合格”人数的度数为 ，
故答案为： ；
（4）解：列表如下：
甲
乙
丙
甲
（乙，甲）
（丙，甲）
乙
（3）【拓展应用】如图③，在菱形 中， 为 边上的三等分点， 将△ADE沿 翻折得到 ，直线 交 于点 求 的长．
参考答案
一、选择题
1.A2.D3.D4.B5.A6.D7.C8.C9.C10.B
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11. ．
12.900人
13.9
14.
15.
三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）
（1）求甲乙两种类型笔记本的单价．
（2）该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
20.二次函数 先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．
2021年广东省深圳市中考数学试题(含答案)
初中毕业生学业考试数学试卷说明：1．答题前，请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位置上，将条形码粘贴好。
2．全卷分二部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题，共4页。
考试时间90分钟，满分1 00分。
3．本卷试题，考生必须在答题卡上按规定作答；凡在试卷、草稿纸上作答的，其答案一律无效。
答题卡必须保持清洁，不能折叠。
4．本卷选择题1-12，每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；非选择题13-23，答案(含作辅助线）必须用规定的笔，按作答题目序号，写在答题卡非选择题答题区内。
5．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回。
（本部分共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．-3的倒数是A ．3B ．-3 31.c 31.-D 2．第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高．将数143 300 000 000用科学记数法表示为1010433.1.⨯A 1110433.1.⨯B 1210433.1.⨯C 12101433.0.⨯D3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是4．下列运算正确的是ab b a A 532.=+ 532.a a a B =⋅ 336)2.(a a c = 326.a a a D =÷5．体育课上，某班两名同学分别进行5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较这两名学生成绩的A ．平均数 B.频数分布 C.中位数 D.方差6．如图1所示，一个60o角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到 一个四边形，则么21∠+∠的度数为A. 120OB. 180O .C. 240OD. 30007．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只咸肉粽，粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个，吃到红豆粽的概率是101.A 51.B 31.c 21.D8．下列命题①方程x x =2的解是1=x②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形 其中真命题有：A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个9．如图2，⊙C 过原点，且与两坐标轴分别交于点A 、点B ，点A 的坐标为(0，3)，M 是第三象限内上一点，∠BM 0=120o，则⊙C的半径长为A ．6B ．5C ．3 23.D10.已知点P(a+l ，2a -3)关于x 轴的对称点在第一象限，则a 的取值范围是1.-<a A 231.<<-a B 123.<<-a C 23.>a D 11.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图3，此时测得地面上的影长为8米， 坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30度，同一时 刻，一根长为l 米、垂直于地面放置的标杆在地面上的 影长为2米，则树的高度为)36.(+A 米 12.B 米 )324(.+C 米 D ．10米12．如图4，已知：∠MON=30o，点A 1、A 2、A 3 在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…．．在射线OM 上，△A 1B 1A 2. △A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4……均为等边三角形，若OA 1=l ，则△A 6B 6A 7 的边长为A ．6B ．12C ．32D ．64填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） ．13．分解因式：=-23ab a15．如图5，双曲线)0(>=k xky 与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ．16．如图6，Rt△ABC 中，C= 90o，以斜边AB 为边向外作正方形ABDE ，且正方形对角线交于点D ，连接OC ，已知AC=5，OC=62， 则另一直角边BC 的长为 ．解答题（本题共7小题，其中第17题5分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题9分，第23题9分，共52分）17．（5分）计算： 45cos 8)13()21(|4|01---+-18．（6分）已知a= -3，b=2，求代数式b a b ab a ba +++÷+222)11(的值．19.（7分）为了解2012年全国中学生创新能力大赛中竞赛项目“知识产权”笔试情况，随机抽查了部分参赛同学的成绩，整理并制作图表如下：请根据以上图表提供的信息，解答下列问题： (1)本次调查的样本容量为 (2)在表中：m= ．n= ； (3)补全频数分布直方图：(4)参加比赛的小聪说，他的比赛成绩是所有抽查同学成绩的中位数，据此推断他的成绩 落在 分数段内；(5)如果比赛成绩80分以上（含80分）为优秀，那么你估计该竞赛项目的优秀率大约是 20.（8分）如图7，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 与点A 重合，折痕交AD 于点E 、 交BC 于点F ，连接AF 、CE. (1)求证：四边形AFCE 为菱形；(2)设AE=a ，ED=b ，DC=c.请写出一个a 、b 、c 三者之 间的数量关系式．21.（8分）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种 生活方式，某家电商场计划用11.8万元购进节能型和售价如右表所示：(1)在不超出现有资金前提下，若购进电视机的数 量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机 的数量的3倍．请问商场有哪几种进货方案？ (2)在“2012年消费促进月”促销活动期问，商家针对这三种节能型)品推出“现金每 购满1000元送50元家电消费券一张、多买多送”的活动．在(1)的条件下若三种电 器在活动期间全部售出，商家预估最多送出消费券多少张？ 22．（9分）如图8，已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)． (1)求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式； (2)设直线BC 交y 轴于点E ，连接AE ，(3)设抛物线与y 轴交于点D ，连接AD 交BC 于点F ， 试问以A 、B 、F ，为顶点的三角形与△ABC 相似吗？ 请说明理由．12、［2012深圳］如图1，在平面直角坐标系中，直线l ：2y x b =-+(0b ≥)的位置随b 的不同取值而变化．(1)已知⊙M 的圆心坐标为(4，2)，半径为2．当b = 时，直线l ：2y x b =-+(0b ≥)经过圆心M ： 当b = 时，直线l ：2y x b =-+(0b ≥)与⊙M 相切：(2)若把⊙M 换成矩形ABCD ，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B （6，O ）、C(6，2). 设直线l 扫过矩形ABCD 的面积为S ，当b 由小到大变化时，请求出S 与b 的函数关系式，≤ ≤ 深圳市2012年初中毕业生学业考试数 学 试 卷·参 考 答 案第一部分：选择题题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答 案DBABDCBDCBAC第二部分：填空题：13、a (a ＋b )(a －b ) 14、5 15、4 16、7解答题：17、原式＝3 18、化简＝1ab，带入数值，原式＝16-。
2024年广东省深圳市33校联考中考一模数学试题及答案
深圳市2024年初三年级3月质量检测数学（33校联考）一、选择题（每题3分，共30分）1. 2024的倒数是（ ）A 2024− B. 2024 C. 12024− D. 120242. 2023年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（ ）A. 61.310×B. 71.310×C. 80.1310×D. 61310× 3. 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D. 4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）A. B. C. D. 5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程（ ）A. ()22001728x +=B. ()()220012001728x x +++=C. ()22001728x x ++=D. ()()220020012001728x x ++++= 6. 下列计算正确的是（ ）A. 236326a a a ⋅=B. 020=C. ()236416x x =D. 2139−=− 7. 对一组数据：4,6,4,6,8−，描述正确的是（ ）.A. 中位数是4−B. 平均数是5C. 众数是6D. 方差是78. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，2AD AO =，若ABC 的周长是5，则DEF 的周长是（ ）A. 10B. 15C. 20D. 259. A ，B 两地相距60千米，一艘轮船从A 地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少45分钟， 已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x 千米/时（20x <）， 则可列方程为（ ） A. 6060320204x x −=−+ B.6060320204x x −=+− C. 6060452020x x −=+− D. 6060452020x x −=−+ 10. 如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ；BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论：①12AE FC =；②15PDE ∠=°；③PBC PCD S S =△△12DHC BHC S S =△△；⑤2DE PF FC =⋅．其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共5小题）11. 实数范围内分解因式：2318a −=_____． 12. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a ，b ），若规定以下三种变换：①△（a ，b ）=（﹣a ，b ）；②○（a ，b ）=（﹣a ，﹣b ）；③Ω（a ，b ）=（a ，﹣b ），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于在_______________．13. 如图，A 是反比例函数k y x=的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点C 在x 轴上，且2ABC S ∆=，则k 的值为_____．14. 如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，与OA OB 、分别于点C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 为半径画弧，两弧相交于点E ，过OE 上一点M 作MN OA ∥，与OB 相交于点N ，50MOB ∠=°，则AOM ∠=______．15. 如图，在直角坐标系中，已知A （4，0），点B 为y 轴正半轴上一动点，连接AB ，以AB 为一边向下作等边△ABC ，连接OC ，则OC 的最小值为_______．三．解答题（共55分）16. ()101220246cos304π− −−−+−−° ．17. 化简求值：22112242x x x x x x ++− ÷− −−，其中x 为数据4，5，6，5，3，2的众数． 18. 某校为了调查本校学生对航空航天知识知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人 频率 6070x ≤<10 0.1 7080x ≤<15 b 8090x ≤< a 0.3590100x ≤≤ 40c请根据图表信息解答下列问题：（1）求a ，b ，c 的值；（2）补全频数直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．19. 如图，O 是ABC 的外接圆，直径BD 与AC 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，连接DF ，F BAC ∠=∠．（1）求证：DF 是O 的切线；的（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF AC ∥成立，并说明理由；①AB AC =；② AD DC=；③CAD ABD ∠=∠； 你选的条件是：______．20. 某经销商销售一种成本价为10元/kg 的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg ；如图，在销售过程中发现销悬()kg y 与售价x （元/kg ）之间满足一次函数关系．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）设销售这种商品每天所获得利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg 时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？21. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H 离地竖直高度为 1.2h =米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度2DE =米，竖直高度0.7EF =米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口04．米，灌溉车到绿化带的距离OD 为d 米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC ；（2）求下边缘抛物线与x 轴交点B 的坐标；（3）若 3.2d =米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带． 22. 在矩形ABCD 中，点E 是射线BC 上一动点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点G ，交直线CD 于点F ．的（1）当矩形ABCD 是正方形时，以点F 为直角顶点在正方形ABCD 的外部作等腰直角三角形CFH ，连接EH ．①如图1，若点E 在线段BC 上，则线段AE 与EH 之间的数量关系是________，位置关系是_________； ②如图2，若点E 在线段BC 延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E 在线段BC 上，以BE 和BF 为邻边作BEHF ，M 是BH 中点，连接GM ，3AB =，2BC =，求GM 的最小值．的深圳市2024年初三年级3月质量检测数学（33校联考）一、选择题（每题3分，共30分）1. 2024的倒数是（ ）A. 2024−B. 2024C. 12024−D. 12024【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可． 【详解】解：∵1202412024×=， ∴2024的倒数是12024， 故选∶D ．2. 2023年“亚运＋双节”让杭州火出圈，相关数据显示，国庆期间杭州共接待游客约13000000人次，将数据13000000用科学记数法表示为（ ）A. 61.310×B. 71.310×C. 80.1310×D. 61310×【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．将一个数表示成10n a ×的形式，其中110a ≤＜，n 为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得到答案． 【详解】13000000=71.310×故选：B ．3. 第19届亚运会于9月23日至10月8日在杭州成功举办，下列图形中是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据轴对称图形的定义逐项判断即可．【详解】解：A ，不是轴对称图形，不合题意；B ，是轴对称图形，符合题意；C ，不是轴对称图形，不合题意；D ，不是轴对称图形，不合题意；故选B ．【点睛】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．4. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可．【详解】解：卷纸的主视图应是：，故选：C ．5. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆200人次，前三个月累计进馆728人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程（ ）A. ()22001728x +=B. ()()220012001728x x +++=C. ()22001728x x++=D. ()()220020012001728x x ++++= 【答案】D【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第一个月的进馆人次加第二和第三个月的进馆人次等于728，列方程即可．【详解】解：设进馆人次的月增长率为x ，依题意可列方程为()()220020012001728x x ++++=， 故选D ．6. 下列计算正确的是（ ）A. 236326a a a ⋅=B. 020=C. ()236416x x =D. 2139−=− 【答案】C【解析】【分析】本题主要考查单项式乘以单项式，积的乘方与幂的乘方，零指数幂和负整数指数幂，运用相关运算法则进行计算即可判断出正确结果．【详解】解：A. 235326a a a ⋅=，故选项A 计算错误，不符合题意；B. 021=，故选项B 计算错误，不符合题意；C. ()236416x x =，计算正确，故C 符合题意； D. 2139−=，故选项D 计算错误，不符合题意； 故选：C ．7. 对一组数据：4,6,4,6,8−，描述正确的是（ ）A. 中位数是4−B. 平均数是5C. 众数是6D. 方差是7【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了求方差，中位数，平均数和众数，根据方差，中位数，平均数和众数的定义进行求解判断即可． 【详解】解：把这组数据从小到大排列为44,6,6,8−，，处在最中间的数为6， ∴中位数为6，故A 不符合题意；∵数字6出现的次数最多，∴众数是6，故C 符合题意； 平均数为4466845−++++=，故B 不符合题意；方差为()()()()222244442648417.65−−+−+−+−=，故D 不符合题意； 故选：C ． 8. 如图，ABC 与DEF 位似，点O 为位似中心，2AD AO =，若ABC 周长是5，则DEF 的周长是（ ）A. 10B. 15C. 20D. 25【答案】B【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到ABC DEF ∽△△，AB DE ∥，根据相似三角形的性质求出AB DE ，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可．【详解】解：∵ABC 与DEF 位似，2AD AO =，∴ABC DEF ∽△△，AB DE ∥， ∴ABO DEO ∽，∴13ABOA DE OD ==， ∴ABC 的周长：DEF 的周长1:3=，∵ABC 的周长是5，∴DEF 的周长是15．故选：B ．【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．9. A ，B 两地相距60千米，一艘轮船从A 地顺流航行至 B 地所用时间比从B 地逆流航行至A 地所用时间少45分钟， 已知船在静水中航行的速度为20千米/时．若设水流速度为x 千米/时（20x <）， 则可列方程为（ ）A. 6060320204x x −=−+B. 6060320204x x −=+− 的C. 6060452020x x −=+−D. 6060452020x x−=−+ 【答案】A【解析】【分析】本题考查分式方程的应用，根据时间的关系列方程是解题的关键．顺流的速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度，根据路程、速度、时间的关系表示出船顺流所用的时间和逆流所用的时间，根据时间的关系建立分式方程即可．详解】解：由题意可得，6060320204x x −=−+， 故选：A ．10. 如图，在正方形ABCD 中，BPC △是等边三角形，BP ，CP 的延长线分别交AD 于点E ，F ，连接BD ，DP ；BD 与CF 相交于点H ．给出下列结论：①12AE FC =；②15PDE ∠=°；③PBC PCD S S =△△12DHC BHC S S =△△；⑤2DE PF FC =⋅．其中正确的结论有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】D【解析】 【分析】由BPC △是等边三角形，得12AE BE =，而BE FC =，故①正确；由PC BC CD ==，906030PCD ∠=°−°=°，可判定②正确；过点D 作DM CP ⊥于M ，过点P 作PN BC ⊥于N ，则30DCM ∠=°，30CPN ∠=，可推出12DM CD =，PN =，则PBC PCD S S = ，判定③正确；由FE BC ∥可得FDH CBH ∽，进而得到DH FD BH BC=，得到DHC BHC S DH S BH = ，又因为F 不是AD 中点，故12DHC BHC S S ≠ ，可判定④错误；由PED DEB ∽，得PE ED ED BE=，则2ED PE BE =⋅，可【判定⑤正确．【详解】解：BPC 为等边三角形，PB PC ∴=，60PBC PCB ∠=∠=°，四边形ABCD 是正方形∴FE BC ∥，90ABC ∠=°，FEP CPB ∴△∽△，又PB PC = ，PE PF ∴=，FC EB ∴=，60PBC ∠=° ，90ABC ∠=°，30ABE ∴∠=°，在Rt ABE 中，30ABE ∠=°，12B AE E ∴=， 又BE FC = ，12AE FC ∴=，故①正确； PC BC CD == ，906030PCD ∠=°−°=°，18030752DPC PDC °−°∴∠=∠==°， 907515PDE ADC PDC ∴∠=∠−∠=°−°=°，故②正确；过点D 作DM CP ⊥于M ，过点P 作PN BC ⊥于N ，由题意可得30DCM ∠=°，30CPN ∠=， 12DM CD ∴=，PN =，∴PBC PCD S S = ，故③正确；FE BC ∥，FDH CBH ∴△∽△， ∴DH FD BH BC=， 又BHC △与DHC 同高， ∴DHC BHC S DH S BH= ， 又 DH FD BH BC=，F 不是AD 中点， ∴12DHFD BH BC =≠， ∴12DHC BHC S S ≠ ，故④错误； 180180607545EPD EPF DPC ADB ∠=°−∠−∠=°−°−°=°=∠ ，PED PED ∠=∠，PED DEB ∴△∽△， ∴PE ED ED BE=， 2ED PE BE ∴=⋅，又PE PF = ，BE FC =，2DE PF FC ∴=⋅，故⑤正确，综上所述：正确的结论有4个，故选：D ．【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．二、填空题（共5小题）11. 在实数范围内分解因式：2318a −=_____．【答案】(3a a +【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． 先提取公因数3，再运用平方差公式进行分解即可．【详解】解：()(22318363a a a a −=−=．故答案为(3a a +．12. 在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（a ，b ），若规定以下三种变换：①△（a ，b ）=（﹣a ，b ）；②○（a ，b ）=（﹣a ，﹣b ）；③Ω（a ，b ）=（a ，﹣b ），按照以上变换例如：△（○（1，2））=（1，﹣2），则○（Ω（3，4））等于_______________．【答案】（﹣3，4）．【解析】【详解】解：○（Ω（3，4））=○（3，﹣4）=（﹣3，4故答案为（﹣3，4）．13. 如图，A 是反比例函数k y x=的图象上一点，过点A 作AB y ⊥轴于点B ，点C 在x 轴上，且2ABC S ∆=，则k 的值为_____．【答案】4−【解析】【分析】此题考查了求反比例函数的比例系数，设点A 的坐标为(,)x y ，利用2ABC S ∆=得到4xy =−，即可得到答案．【详解】解：设点A 的坐标为(,)x y ，点A 在第二象限，0x ∴<，0y >，111||||2222ABC S AB OB x y xy ∆∴=⋅=⋅=−=， 4xy ∴=−，A 是反比例函数k y x=的图象上一点，4k xy ∴==−，故答案为：4−．14. 如图，已知AOB ∠，以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，与OA OB 、分别于点C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 为半径画弧，两弧相交于点E ，过OE 上一点M 作MN OA ∥，与OB 相交于点N ，50MOB ∠=°，则AOM ∠=______．【答案】25度##25°【解析】【分析】通过两直线平行，同位角相等，再利用角平分线定义求解即可．【详解】∵MN OA ，∴50AOB MNB ∠=∠=°，由题意可知：OM 平分AOB ∠， ∴1252AOM MOB AOB ∠=∠=∠=°． 故答案为：25°．【点睛】本题考查了基本作图，作已知角的角平分线及其定义和平行线的性质，解此题的关键是熟练掌握基本作图和平行线的性质及角平分线定义的应用．15. 如图，在直角坐标系中，已知A （4，0），点B 为y 轴正半轴上一动点，连接AB ，以AB 为一边向下作等边△ABC ，连接OC ，则OC 的最小值为_______．【答案】2【解析】【分析】以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，先确定点C在直线DE上运动，根据垂线段最短计算即可．【详解】如图，以OA为对称轴，构造等边三角形ADF，作直线DC，交x轴于点E，∵△ABC，△ADF都是等边三角形，∴AB=AC，AF=AD，∠F AC+∠BAF=∠F AC+∠CAD=60°，∴AB=AC，AF=AD，∠BAF=∠CAD，∴△BAF≌△CAD，∴∠BF A=∠CDA=120°，∴∠ODE=∠ODA=60°，∴∠OED=30°，∴OE=OA=4，∴点C在直线DE上运动，∴当OC⊥DE时，OC最小，此时OC =12OE =2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判断，三角形的全等判定和性质，垂线段最短，熟练掌握三角形全等和垂线段最短原理是解题的关键． 三．解答题（共55分）16. ()101220246cos304π− −−−+−−° ．【答案】3−【解析】【分析】本题考查了锐角三角函数的运算，实数的运算，解题的关键是掌握特殊的锐角三角函数值．先算锐角三角函数、绝对值、零指数幂和负整数指数幂，再算加减即可．【详解】解：原式2416=++−241=++−3=−17. 化简求值：22112242x x x x x x ++− ÷− −−，其中x 为数据4，5，6，5，3，2的众数． 【答案】122x x +−，34【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，众数．先根据分式混合运算法则进行化简，根据众数的定义求出x 的值，最后代入计算即可． 【详解】解：22112242x x x x x x ++− ÷− −−()()221212222x x x x x x +−−+÷−− ()()()()2111222x x x x x ++−÷−− ()()()()2122211x x x x x +−⋅−+−122x x +=−， 4，5，6，5，3，2的众数为5，将5x =代入，得： 原式5132524+=×−． 18. 某校为了调查本校学生对航空航天知识的知晓情况．开展了航空航天知识竞赛，从参赛学生中，随机抽取若干名学生的成绩进行统计，得到如下不完整的统计图表：成绩/分频数/人 频率 6070x ≤<10 0.1 7080x ≤<15 b 8090x ≤< a 0.3590100x ≤≤ 40c请根据图表信息解答下列问题：（1）求a ，b ，c 的值；（2）补全频数直方图；（3）某班有2名男生和1名女生的成绩都为100分，若从这3名学生中随机抽取2名学生参加演讲，用列表或画树状图的方法，求抽取的2名学生恰好为1男1女的概率．【答案】（1）35a =，0.15b =，0.4c =．（2）见解析 （3）23【解析】【分析】（1）根据6070x ≤<的人数和频率可求抽取总人数，再由频率的定义求出a 、b 、c 即可； （2）由（1）中a 的值，补全频数分布直方图即可；（3）画树状图，共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：由题意得：抽取学生总数100.1100÷=（人）， 1000.3535a =×=，151000.15b =÷=，401000.4c ÷==．【小问2详解】解：补全频数分布直方图如图：【小问3详解】画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有4种，∴选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的概率为4263=． 【点睛】此题考查的是用树状图法求概率以及频数分布表和频数分布直方图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．19. 如图，O 是ABC 的外接圆，直径BD 与AC 交于点E ，点F 在BC 的延长线上，连接DF ，F BAC ∠=∠．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）从以下三个选项中选一个作为条件，使DF AC ∥成立，并说明理由；①AB AC =；② AD DC=；③CAD ABD ∠=∠； 你选的条件是：______．【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，直角三角形两锐角互余，理解并掌握相关图形的性质定理是解决问题的关键．（1）由直径所对圆周角为直角可知90BAC DAC ∠+∠=°，结合圆周定理可知DAC DBC ∠=∠，由F BAC ∠=∠，可知90F DBC ∠+∠=°，进而可知B D D F ⊥，即可证明结论；（2）若选②，由等弧所对圆周角相等可知ABD DBF ∠=∠，结合（1）证ADB F ∠=∠，由圆周角定理可知ADB BCA ∠=∠，证得F BCA ∠=∠，进而可得结论；若选③由同弧所对圆周角相等可知CAD DBC ∠=∠，结合CAD ABD ∠=∠，可知ABD DBC ∠=∠，得 AD DC=，同②，可证DF AC ∥． 【小问1详解】证明：∵BD 是O 的直径，∴90BAD ∠=°，∴90BAC DAC ∠+∠=°，∵ CDCD =， ∴DAC DBC ∠=∠，又∵F BAC ∠=∠，∴90F DBC ∠+∠=°，则90BDF ∠=°，∴B D D F ⊥，∴DF 是O 的切线；【小问2详解】若选② AD DC=； ∵ AD DC=， ∴ABD DBF ∠=∠，由（1）可知：9090ABD ADBDBF F ∠+∠=°=∠+∠=°， ∴ADB F ∠=∠，由圆周角定理可知ADB BCA ∠=∠，∴F BCA ∠=∠，∴DF AC ∥；若选③CAD ABD ∠=∠；∵ CDCD =， ∴CAD DBC ∠=∠，∵CAD ABD ∠=∠，∴ABD DBC ∠=∠，∴ AD DC=， 同②，可知DF AC ∥；20. 某经销商销售一种成本价为10元/kg 的商品，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不得高于18元/kg ；如图，在销售过程中发现销悬()kg y 与售价x （元/kg ）之间满足一次函数关系．（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）设销售这种商品每天所获得的利润为W 元，求W 与x 之间的函数关系式，并求出该商品售价定为多少元/kg 时，才能使经销商所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y 与x 的之间的函数解析式为：260y x =−+，自变量x 的取值范围为：1018x ≤≤； （2）W 与x 之间的函数关系式为：22(20)200W x =−−+；当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大；最大利润是192元．【解析】【分析】考查一次函数、二次函数的应用，求出相应的函数关系式和自变量的取值范围是解决问题的关键，在求二次函数的最值时，注意自变量的取值范围，容易出错．（1）根据一次函数过(12,36)，(14,32)可求出函数关系式，然后验证其它数据否符合关系式，进而确定函数关系式，（2）先求出总利润W 与x 的函数关系式，再依据函数的增减性和自变量的取值范围确定何时获得最大利润，但应注意抛物线的对称轴，不能使用顶点式直接求．【小问1详解】解：设y 与x 的解析式为y kx b =+，把(12,36)，(17,26)代入， 得：12361726k b k b += +=， 解得：260k b =− =， ∴y 与x 的之间的函数解析式为：260y x =−+，自变量x 的取值范围为：1018x ≤≤；【小问2详解】解：2(10)(260)280600W x x x x =−−+=−+−22(20)200x =−−+20a =−< ，抛物线开口向下，对称轴20x ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，1018x ≤≤ ，∴当18x =时，W 最大22 (1820) 200192=−−+=元答：W 与x 之间的函数关系式为22(20)200W x =−−+，当该商品销售单价定为18元时，才能使经销商所获利润最大，最大利润是192元．21. 如图1，一灌溉车正为绿化带浇水，喷水口H 离地竖直高度为 1.2h =米．建立如图2所示的平面直角坐标系，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG ，其水平宽度2DE =米，竖直高度0.7EF =米，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，是为上边缘抛物线最高点A 离喷水口的水平距离为2米，高出喷水口04．米，灌溉车到绿化带的距离OD 为d 米．（1）求上边缘抛物线喷出水的最大射程OC ；（2）求下边缘抛物线与x 轴交点B 的坐标；（3）若 3.2d =米，灌溉车行驶时喷出的水______（填“能”或“不能”）浇灌到整个绿化带．【答案】（1）上边缘抛物线喷出水的最大射程OC 为6m ；（2）()2,0B ；（3）不能．【解析】【分析】（1）求得上边缘的抛物线解析式，即可求解；（2）根据二次函数的性质，确定平移的单位，求得下边缘抛物线解析式，即可求解；（3）根据题意，求得点F 的坐标，判断上边缘抛物线能否经过点F 即可；【小问1详解】解：由题意可得：()0,1.2H ，()2,1.6A且上边缘抛物线的顶点为A ，故设抛物线解析式为：()22 1.6y a x =−+将()0,1.2H 代入可得：110a =− 即上边缘的抛物线为：()212 1.610y x =−−+ 将0y =代入可得：()212 1.6010x −−+= 解得：12x =−（舍去）或26x =即6m OC =上边缘抛物线喷出水的最大射程OC 为6m ；【小问2详解】由（1）可得，()0,1.2H 上边缘抛物线为：()212 1.610y x =−−+，可得对称轴为：2x = 点H 关于对称轴对称的点为：()4,1.2下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，可得上边缘抛物线向左平移4个单位，得到下边缘抛物线，即下边缘的抛物线解析式为：()212 1.610y x =−++ 将0y =代入可得：()212 1.6010x −++= 解得：16x =−（舍去）或22x =即点()2,0B ；【小问3详解】∵2 3.26<<， ∴绿化带的左边部分可以灌溉到，由题意可得：()5.2,0.7F将 5.2x =代入到()212 1.610y x =−−+可得：()21 5.22 1.60.5760.710y =−−+=< 因此灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．【点睛】此题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求解析式，与x 轴交点等问题，解题的关键是理解题意，正确求得解析式．22. 在矩形ABCD 中，点E 是射线BC 上一动点，连接AE ，过点B 作BF AE ⊥于点G ，交直线CD 于点F ．（1）当矩形ABCD 是正方形时，以点F 为直角顶点在正方形ABCD 的外部作等腰直角三角形CFH ，连接EH．①如图1，若点E在线段BC上，则线段AE与EH之间的数量关系是________，位置关系是_________；②如图2，若点E在线段BC的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；，M是BH中点，连接GM，（2）如图3，若点E在线段BC上，以BE和BF为邻边作BEHFBC=，求GM的最小值．AB=，23【答案】（1）①相等；垂直；②成立，理由见解析；（2【解析】【分析】（1）①证明△ABE≌△BCF，得到BE=CF，AE=BF，再证明四边形BEHF为平行四边形，从而可得结果；②根据（1）中同样的证明方法求证即可；（2）说明C、E、G、F四点共圆，得出GM的最小值为圆M半径的最小值，设BE=x，证明△ABE∽△BCF，得到CF，再利用勾股定理表示出GM的最小值．【详解】解：（1）①∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，即∠BAE+∠AEB=90°，∵AE⊥BF，∴∠CBF+∠AEB=90°，∴∠CBF=∠BAE，又AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE=CF，AE=BF，∵△FCH为等腰直角三角形，∴FC=FH=BE，FH⊥FC，而CD⊥BC，∴FH∥BC，∴四边形BEHF为平行四边形，∴BF∥EH且BF=EH，∴AE=EH，AE⊥EH，故答案为：相等；垂直；②成立，理由是：当点E 在线段BC 的延长线上时，同理可得：△ABE ≌△BCF （AAS ），∴BE=CF ，AE=BF ，∵△FCH 等腰直角三角形，∴FC=FH=BE ，FH ⊥FC ，而CD ⊥BC ，∴FH ∥BC ，∴四边形BEHF 为平行四边形，∴BF ∥EH 且BF=EH ，∴AE=EH ，AE ⊥EH ；（2）∵∠EGF=∠BCD=90°，∴C 、E 、G 、F 四点共圆，∵四边形BCHF 是平行四边形，M 为BH 中点，∴M 也是EF 中点，∴M 是四边形BCHF 外接圆圆心，则GM 的最小值为圆M 半径的最小值，∵AB=3，BC=2，设BE=x ，则CE=2-x ，同（1）可得：∠CBF=∠BAE ，又∵∠ABE=∠BCF=90°，∴△ABE ∽△BCF ， ∴AB BE BC CF=，即32x CF =， ∴CF=23x ， ∴设y=213449x x −+， 为当x=1813时，y取最小值1613，∴EF，故GM【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键．。
2022年广东省深圳市中考数学试题及参考答案
2022年深圳市初中学业水平测试数学试卷说明: 1.答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好。
2.全卷共6页。
考试时间90分钟，满分100分。
3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题11-22,用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内。
写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4.考试结束后，请将答题卡交回。
第一部分选择题一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.下列互为倒数的是（▲）A.3和13B.2-和2C.3和13- D.2-和122.下列图形中，主视图和左视图一样的是（▲）A. B. C. D.3.某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是：9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6.请问这组评分的众数是（▲）A.9.5B.9.4C.9.1D.9.34.某公司一年的销售利润是1.5万亿元.1.5万亿用科学记数法表示（▲）A.130.1510⨯B.121.510⨯C.131.510⨯ D 121.510⨯ 5.下列运算正确的是（ ▲ ）A.268a a a ⋅= B.()3326a a -= C.()22a b a b +=+ D.235a b ab +=6.一元一次不等式组102x x -≥⎧⎨<⎩的解集为（ ▲ ）A.B.C. D.7.将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则1∠的度数为（ ▲ ）A.5︒B.10︒C.15︒D.20︒8.下列说法错误．．的是（ ▲ ）A.对角线垂直且互相平分的四边形是菱形B.同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等C.对角线相等的四边形是矩形D.对角线垂直且相等的四边形是正方形 9.张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草.他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数.设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是（ ▲ ） A.51177255y x y x -=⎧⎨-=⎩ B.51177255x y x y +=⎧⎨+=⎩ C.51177255x y x y -=⎧⎨-=⎩ D.71155257x yx y-=⎧⎨-=⎩10.如图所示，已知三角形ABE 为直角三角形，90,ABE BC ∠=︒为圆O 切线，C 为切点，,CA CD =则ABC 和CDE 面积之比为（ ▲ ）A.1:3B.1:2C.2:2D.()21:1-第二部分 非选择题二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）第7题图第10题图11.分解因式：21a -= ▲ ．12.某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查.从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么则该工厂1200人中符合选拔条件的人数为 ▲ ．13.已知一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值为 ▲ ． 14.如图，已知直角三角形ABO 中，1AO =，将ABO 绕点O 点旋转至''A B O 的位置， 且'A 在OB 的中点，'B 在反比例函数ky x=上，则k 的值为 ▲ ． 15.已知ABC 是直角三角形，90,3,5,25,B AB BC AE ∠=︒===连接CE 以CE 为底作直角三角形CDE 且,CD DE =F 是AE 边上的一点，连接BD 和,BF BD 且45,FBD ∠=︒则AF 长为 ▲ ．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16.()11192cos 45.5π-⎛⎫--+︒+ ⎪⎝⎭17.先化简，再求值：2222441,x x x x x x --+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭其中 4.x = 第14题图第15题图18.某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”. (1)本次抽查总人数为 ▲ ，“合格”人数的百分比为 ▲ ． (2)补全条形统计图.(3)扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ▲ ．(4)在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ▲ ．19.某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本。
2021年广东省深圳市数学中考试题(含答案)
深圳市2021年初中毕业生学业考试数学试卷说明：1．答题前,请将姓名、考生号、考场、试室号和座位号用规定的笔写在答题卡指定的位置上,将条形码粘贴好。
2．全卷分二部分,第一部分为选择题,第二部分为非选择题,共4页。
考试时间90分钟,满分1 00分。
3．本卷试题,考生必须在答题卡上按规定作答。
凡在试卷、草稿纸上作答的,其答案一律无效。
答题卡必须保持清洁,不能折叠。
4．本卷选择题1-12,每小题选出答案后,用2B 铅笔将答题卡选择题答题区内对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。
非选择题13-23,答案(含作辅助线）必须用规定的笔,按作答题目序号,写在答题卡非选择题答题区内。
5．考试结束,请将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分选择题（本部分共12小题,每小题3分,共36分．每小题给出4个选项,其中只有一个是正确的）1．-3的倒数是A ．3B ．-3 2．第八届中国（深圳）文博会以总成交额143 300 000 000元再创新高．将数143 300 000 000用科学记数法表示为3．下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是4．下列运算正确的是5．体育课上,某班两名同学分别进行5次短跑训练,要判断哪一名同学的成绩比较稳定,通常需要比较这两名学生成绩的A ．平均数 B.频数分布 C.中位数 D.方差6．如图1所示,一个60o 角的三角形纸片,剪去这个600角后,得到 一个四边形,则么的度数为A. 120OB. 180O .C. 240OD. 30031.c 31.-D 1010433.1.⨯A 1110433.1.⨯B 1210433.1.⨯C 12101433.0.⨯D ab b a A 532.=+532.a a a B =⋅336)2.(a a c =326.a a a D =÷21∠+∠7．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗,妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只咸肉粽,粽子除内部馅料不同外其它均相同．小颖任意吃一个,吃到红豆粽的概率是8．下列命题①方程的解是②4的平方根是2③有两边和一角相等的两个三角形全等④连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形其中真命题有：A ．4个 B.3个 C.2个 D.1个9．如图2,⊙C 过原点,且与两坐标轴分别交于点A 、点B,点A 的坐标为(0,3),M 是第三象限内上一点,∠BM 0=120o ,则⊙C 的半径长为A ．6B ．5C ．3 10.已知点P(a+l,2a -3)关于x 轴的对称点在第一象限,则a 的取值范围是11.小明想测量一棵树的高度,他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上。
2022年广东省深圳市中考数学试卷(含答案解析)
2022年深圳市初中学业水平考试数学试题说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好。
2．全卷共6页。
考试时间90分钟，满分100分。
3．作答选择题1—10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
作答非选择题11—22,用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内。
写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．下列互为倒数的是A．3和13B．﹣2和2C．3和−13D．﹣2和122．下列图形中，主视图和左视图一样的是A B C D3．某学校进行演讲比赛，最终有7位同学进入决赛，这七位同学的评分分别是9.5，9.3，9.1，9.4，9.7，9.3，9.6．请问这组评分的众数是A．9.5B．9.4C．9.1D．9.34．某公司一年的销售利润是1.5万亿元．1.5万亿用科学记数法表示为A．0.15×1013B．1.5×1012C．1.5×1013D．15×10125．下列运算正确的是A．a2•a6＝a8B．（﹣2a）3＝6a3C．2（a+b）＝2a+b D．2a+3b＝5ab6．一元一次不等式组{x −1≥0x ＜2的解集为A ．B ．C ．D ．7．一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°8．下列说法错误的是A ．对角线垂直且互相平分的四边形是菱形B ．同圆或等圆中，同弧对应的圆周角相等C ．对角线相等的四边形是矩形D ．对角线垂直且相等的平行四边形是正方形9．张三经营了一家草场，草场里面种植有上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等于七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的 根数．设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是 A ．{5y −11=7x 7y −25=5xB ．{5x +11=7y7x +25=5yC ．{5x −11=7y 7x −25=5yD ．{7x −11=5y5x −25=7y10．已知三角形ABE 为直角三角形，∠ABE ＝90°，BC 为圆O 切线，C 为切点，CA ＝CD ，则△ABC 和△CDE 面积之比为 A ．1：3B ．1：2C ．√2：2D ．（√2−1）：1二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．分解因式：a 2﹣1＝ ．12．某工厂一共有1200人，为选拔人才，提出了一些选拔的条件，并进行了抽样调查．从中抽出400人，发现有300人是符合条件的，那么该工厂1200人中符合选拔条件的人数 为 ．13．已知一元二次方程x 2+6x +m ＝0有两个相等的实数根，则m 的值为 ．14．已知直角三角形ABO中，AO＝1，将△ABO绕O点旋转至△A'B'O的位置，且A'在OB 中点，B'在反比例函数y=kx上，则k的值．15．已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2√5，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为．三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（π﹣1）0−√9+√2cos45°+（15）﹣1．17．化简求值：（2x−2x −1）÷x2−4x+4x2−x，其中x＝4．18．某工厂进行厂长选拔，从中抽出一部分人进行筛选，其中有“优秀”，“良好”，“合格”，“不合格”．（1）本次抽查总人数为 ，“合格”人数的百分比为 ； （2）补全条形统计图；（3）扇形统计图中“不合格人数”的度数为 ；（4）在“优秀”中有甲乙丙三人，现从中抽出两人，则刚好抽中甲乙两人的概率为 ．20．二次函数y ＝2x 2，先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上．y ＝2x 2 y ＝2（x ﹣3）2+6（0，0） （3，m ） （1，2） （4，8） （2，8） （5，14） （﹣1，2） （2，8） （﹣2，8）（1，14）（1）m 的值为 ；（2）在坐标系中画出平移后的图象并写出y =−12x 2+5与y =12x 2的交点坐标；（3）点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在新的函数图象上，且P ，Q 两点均在对称轴同一侧，若y 1＞y 2，则x 1 x 2．（填不等号）21．一个玻璃球体近似半圆O，AB为直径．半圆O上点C处有个吊灯EF，EF∥AB，CO⊥AB，EF的中点为D，OA＝4．（1）如图①，CM为一条拉线，M在OB上，OM＝1.6，DF＝0.8，求CD的长度．（2）如图②，一个玻璃镜与圆O相切，H为切点，M为OB上一点，MH为入射光线，NH为反射光线，∠OHM＝∠OHN＝45°，tan∠COH=3，求ON的长度．4（3）如图③，M是线段OB上的动点，MH为入射光线，∠HOM＝50°，HN为反射光线交圆O于点N，在M从O运动到B的过程中，求N点的运动路径长．22．（1）发现：如图①所示，在正方形ABCD中，E为AD边上一点，将△AEB沿BE翻折到△BEF处，延长EF交CD边于G点．求证：△BFG≌△BCG；（2）探究：如图②，在矩形ABCD中，E为AD边上一点，且AD＝8，AB＝6．将△AEB 沿BE翻折到△BEF处，延长EF交BC边于G点，延长BF交CD边于点H，且FH＝CH，求AE的长．（3）拓展：如图③，在菱形ABCD中，AB＝6，E为CD边上的三等分点，∠D＝60°．将△ADE沿AE翻折得到△AFE，直线EF交BC于点P，求PC的长．2022年深圳市初中学业水平考试数学试题参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1．A2．D3．D4．B5．A6．D7．C8．C9．C10．B二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）11．（a+1）（a﹣1）．12．90013．914．√315．34√5三、解答题（本题共7小题，其中第16题5分，第17题7分，第18题8分，第19题8分，第20题8分，第21题9分，第22题10分，共55分）16．（5分）解：原式＝1﹣3+√2×√22+5＝3+1．17．（7分）解：（2x−2x −1）÷x2−4x+4x2−x=2x−2−xx ÷(x−2)2x(x−1)=x−2x ⋅x(x−1) (x−2)2=x−1x−2，当x＝4时，原式=4−14−2=32．18．（8分）解：（1）本次抽查的总人数为8÷16%＝50（人），“合格”人数的百分比为1﹣（32%+16%+12%）＝40%，故答案为：50人，40%；（2）补全图形如下：（3）扇形统计图中“不合格”人数的度数为360°×32%＝115.2°，故答案为：115.2°；（4）列表如下：甲乙丙甲（乙，甲）（丙，甲）乙（甲，乙）（丙，乙）丙（甲，丙）（乙，丙）由表知，共有6种等可能结果，其中刚好抽中甲乙两人的有2种结果，所以刚好抽中甲乙两人的概率为26=13．故答案为：13．20．（8分）解：（1）将（0，0）先向上平移6个单位，再向右平移3个单位后对应点的坐标为（3，6），∴m＝6，故答案为：6；（2）平移后的函数图象如图：联立方程组{y =−12x 2+5y =12x 2， 解得{x 1=√5y 1=52，{x 2=−√5y 2=52∴y =−12x 2+5与y =12x 2的交点坐标为（√5，52），（−√5，52）；（3）∵点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）在新的函数图象上，且P ，Q 两点均在对称轴同一侧， 当P ，Q 两点同在对称轴左侧时，若y 1＞y 2，则x 1＜x 2， 当P ，Q 两点同在对称轴右侧时，若y 1＞y 2，则x 1＞x 2， 故答案为：＜或＞． 21．（9分）解：（1）∵OM ＝1.6，DF ＝0.8，EF ∥AB ， ∴DF 是△COM 的中位线， ∴点D 是OC 的中点， ∵OC ＝OA ＝4， ∴CD ＝2；（2）如图②，过点N 作ND ⊥OH 于点D ，∵∠OHN ＝45°，∴△NHD 是等腰直角三角形，∴ND ＝HD ，∵tan ∠COH =34，∠NDO ＝90°，∴ND OD =34，设ND ＝3x ＝HD ，则OD ＝4x ， ∵OH ＝OA ＝4， ∴OH ＝3x +4x ＝4， ∴x =47， ∴ND =47×3=127，OD =47×4=167，∴ON =√OD 2+ND 2=207；（3）如图，当点M 与点O 重合时，点N 也与点O 重合，当点M 运动至点B 时，点N 运动至点T ，故点N 的运动路径长为OA +AT̂的长，∵∠HOM ＝50°，OH ＝OB ， ∴∠OHB ＝∠OBH ＝65°， ∵∠OHM ＝∠OHT ，OH ＝OT ， ∴∠OTH ＝∠OHT ＝65°， ∴∠TOH ＝50°，∴∠AOT ＝180°﹣50°﹣50°＝80°， ∴AT̂的长=80×π×4180=169π，∴点N 的运动路径长＝4+169π． 22．（10分）（1）证明：∵将△AEB 沿BE 翻折到△BEF 处，四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BF ，∠BFE ＝∠A ＝90°， ∴∠BFG ＝90°＝∠C ， ∵AB ＝BC ＝BF ，BG ＝BG ， ∴Rt △BFG ≌Rt △BCG （HL ）；（2）解：延长BH ，AD 交于Q ，如图：设FH ＝HC ＝x ，在Rt △BCH 中，BC 2+CH 2＝BH 2， ∴82+x 2＝（6+x ）2， 解得x =73， ∴DH ＝DC ﹣HC =113，∵∠BFG ＝∠BCH ＝90°，∠HBC ＝∠FBG ， ∴△BFG ∽△BCH ， ∴BFBC =BGBH =FGHC ，即68=BG6+73=FG73，∴BG =254，FG =74， ∵EQ ∥GB ，DQ ∥CB ，∴△EFQ ∽△GFB ，△DHQ ∽△CHB ， ∴BCDQ =CHDH ，即8DQ =736−73，∴DQ =887，设AE ＝EF ＝m ，则DE ＝8﹣m ， ∴EQ ＝DE +DQ ＝8﹣m +887=1447−m ，∵△EFQ ∽△GFB ， ∴EQBG =EFFG ，即1447−m 254=m74，解得m =92， ∴AE 的长为92；（3）解：（Ⅰ）当DE =13DC ＝2时，延长FE 交AD 于Q ，过Q 作QH ⊥CD 于H ，如图：设DQ ＝x ，QE ＝y ，则AQ ＝6﹣x ，∵CP ∥DQ ，∴△CPE ∽△QDE ，∴CP DQ =CE DE =2，∴CP ＝2x ，∵△ADE 沿AE 翻折得到△AFE ，∴EF ＝DE ＝2，AF ＝AD ＝6，∠QAE ＝∠F AE ， ∴AE 是△AQF 的角平分线，∴AQ AF =QE EF ，即6−x 6=y 2①， ∵∠D ＝60°，∴DH =12DQ =12x ，HE ＝DE ﹣DH ＝2−12x ，HQ =√3DH =√32x ， 在Rt △HQE 中，HE 2+HQ 2＝EQ 2，∴（2−12x ）2+（√32x ）2＝y 2②，联立①②可解得x =34，∴CP ＝2x =32；（Ⅱ）当CE =13DC ＝2时，延长FE 交AD 延长线于Q '，过Q '作Q 'H '⊥CD 交CD 延长线于H '，如图：设DQ '＝x '，Q 'E ＝y '，则AQ '＝6+x '， 同理∠Q 'AE ＝∠EAF ，∴AQ′AF =Q′E EF ，即6+x′6=y′4，由H 'Q '2+H 'E 2＝Q 'E 2得：（√32x '）2+（12x '+4）2＝y '2，可解得x '=125， ∴CP =12x '=65，综上所述，CP 的长为32或65．。
中考数学专卷2020届中考数学总复习(23)尺规作图-精练精析(1)及答案解析
图形的性质——尺规作图1一．选择题（共8小题）1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④4．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠BAD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④5．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B．PA=PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ6．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧二．填空题（共6小题）9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为_________ ．10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是_________ °．11．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是_________ ．12．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为_________ ．13．如图，图中的两条弧属于同心圆，你认为是否存在一条也属于此同心圆的能平分此阴影部分的面积_________ （填写“存在”或“不存在”）；若你认为存在，请你将图中的阴影部分分为面积相等但不全等的两部分，简要说明作法；若你认为不存在，请说明理由．_________ ．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= _________ ．三．解答题（共6小题）15．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．18．如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）19．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．图形的性质——尺规作图1参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是（）A．（SAS）B．（SSS）C．（ASA）D．（AAS）考点：作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．分析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得．解答：解：作图的步骤：①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；②任意作一点O′，作射线O′A′，以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以C′为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D′；④过点D′作射线O′B′．所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角；作图完毕．在△OCD与△O′C′D′，，∴△OCD≌△O′C′D′（SSS），∴∠A′O′B′=∠AOB，显然运用的判定方法是SSS．故选：B．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．2．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）作法：①以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E；②分别以D，E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线．A．ASA B．SAS C．SSS D．A AS考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．分析：根据作图的过程知道：OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得△EOC≌△DOC．解答：解：如图，连接EC、DC．根据作图的过程知，在△EOC与△DOC中，，△EOC≌△DOC（SSS）．故选：C．点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是BC边的中点，分别以B、C为圆心，大于线段BC长度一半的长为半径画弧，两弧在直线BC上方的交点为P，直线PD交AC于点E，连接BE，则下列结论：①ED⊥BC；②∠A=∠EBA；③EB平分∠AED；④ED=AB中，一定正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．专题：几何图形问题．分析：根据作图过程得到PB=PC，然后利用D为BC的中点，得到PD垂直平分BC，从而利用垂直平分线的性质对各选项进行判断即可．解答：解：根据作图过程可知：PB=CP，∵D为BC的中点，∴PD垂直平分BC，∴①ED⊥BC正确；∵∠ABC=90°，∴PD∥AB，∴E为AC的中点，∴EC=EA，∵EB=EC，∴②∠A=∠EBA正确；③EB平分∠AED错误；④ED=AB正确，故正确的有①②④，故选：B．点评：本题考查了基本作图的知识，解题的关键是了解如何作已知线段的垂直平分线，难度中等．4．如图，分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于B，D两点，连接BD，AB，BC，CD，DA，以下结论：①BD垂直平分AC；②AC平分∠B AD；③AC=BD；④四边形ABCD是中心对称图形．其中正确的有（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；中心对称图形．分析：根据线段垂直平分线的作法及中心对称图形的性质进行逐一分析即可．解答：解：①∵分别以线段AC的两个端点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，∴AB=BC，∴BD垂直平分AC，故此小题正确；②在△ABC与△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴AC平分∠BAD，故此小题正确；③只有当∠BAD=90°时，AC=BD，故本小题错误；④∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是中心对称图形，故此小题正确．故选C．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．5．观察图中尺规作图痕迹，下列结论错误的是（）A．PQ为∠APB的平分线B． PA=PB C．点A、B到PQ的距离不相等D．∠APQ=∠BPQ考点：作图—基本作图．分析：根据角平分线的作法进行解答即可．解答：解：∵由图可知，PQ是∠APB的平分线，∴A，B，D正确；∵PQ是∠APB的平分线，PA=PB，∴点A、B到PQ的距离相等，故C错误．故选C．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法及性质是解答此题的关键．6．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条考点：作图—应用与设计作图；等腰三角形的判定．专题：压轴题．分析：利用等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．解答：解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时，都能得到符合题意的等腰三角形．故选：B．点评：此题主要考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，正确利用图形分类讨论得出是解题关键．7．尺规作图作∠AOB的平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，再分别以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP．由作法得△OCP≌△ODP的根据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．S SS考点：作图—基本作图；全等三角形的判定．分析：认真阅读作法，从角平分线的作法得出△OCP与△ODP的两边分别相等，加上公共边相等，于是两个三角形符合SSS判定方法要求的条件，答案可得．解答：解：∵以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C，D，即OC=OD；以点C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，即CP=DP；在△OCP和△ODP中，，∴△OCP≌△ODP（SSS）．故选D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角8．如图，点C在∠AOB的边OB上，用尺规作出了∠BCN=∠AOC，作图痕迹中，弧FG是（）A．以点C为圆心，OD为半径的弧B．以点C为圆心，DM为半径的弧C．以点E为圆心，OD为半径的弧D．以点E为圆心，DM为半径的弧考点：作图—基本作图．分析：运用作一个角等于已知角可得答案．解答：解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．故选：D．点评：本题主要考查了作图﹣基本作图，解题的关键是熟习作一个角等于已知角的方法．二．填空题（共6小题）9．如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD，若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为105°．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．分析：首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线，然后利用垂直平分线的性质解题即可．解答：解：由题中作图方法知道MN为线段BC的垂直平分线，∴CD=BD，∵∠B=25°，∴∠DCB=∠B=25°，∴∠ADC=50°，∵CD=AC，∴∠A=∠ADC=50°，∴∠ACD=80°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=80°+25°=105°，故答案为：105°．点评：本题考查了基本作图中的垂直平分线的作法及线段的垂直平分线的性质，解题的关键是了解垂直平分线的做法．10．如图，在△ABC中，AC=BC，∠B=70°，分别以点A、C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，分别交AC、BC于点D、E，连结AE，则∠AED的度数是50 °．考点：作图—基本作图；等腰三角形的性质．分析：由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，故可得出结论．解答：解：∵由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，∴CE=AE，∴∠C=∠CAE，∵AC=BC，∠B=70°，∴∠C=40°，∴∠AED=50°，故答案为：50．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，熟知线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．11．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b，∠B=35°，若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是sin35°=或b≥a．考点：作图—复杂作图；切线的性质；解直角三角形．专题：开放型．分析：首先画BC=a，再以B为顶点，作∠ABC=35°，然后再以点C为圆心、b为半径画圆弧交AB于点A，然后连接AC即可，①当AC⊥AB时，②当b≥a时三角形只能作一个．解答：解：如图所示：若这样的三角形只能作一个，则a，b间满足的关系式是：①当AC⊥AB时，即sin35°=；②当b≥a时．故答案为：sin35°=或b≥a．点评：此题主要考查了复杂作图，关键是掌握作一角等于已知角的方法．12如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．若∠ACD=120°，则∠MAB的度数为30°．考点：作图—基本作图；平行线的性质．分析：根据AB∥CD，∠ACD=120°，得出∠CAB=60°，再根据AM是∠CAB的平分线，即可得出∠MAB的度数．解答：解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°，又∵∠ACD=120°，∴∠CAB=60°，由作法知，AM是∠CAB的平分线，∴∠MAB=∠CAB=30°．故答案为：30°．点评：此题考查了作图﹣复杂作图，用到的知识点是平行线的性质、角平分线的性质等，解题的关键是得出∠MAB=∠CAB．13．如图，图中的两条弧属于同心圆，你认为是否存在一条也属于此同心圆的能平分此阴影部分的面积存在（填写“存在”或“不存在”）；若你认为存在，请你将图中的阴影部分分为面积相等但不全等的两部分，简要说明作法；若你认为不存在，请说明理由．作OD的垂线OM，取OM=OA，连接MD，以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，以O为圆心，以MN为半径作弧，交BC于Q，交AD于P，弧PQ即为所求．．考点：作图—应用与设计作图；扇形面积的计算．分析：利用已知作MO⊥OD，连接MD，再以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，进而以MN为半径作弧，即可得出答案．解答：解：作OD的垂线OM，取OM=OA，连接MD，以MD为斜边作等腰直角三角形△MND，以O为圆心，以MN为半径作弧，交BC于Q，交AD于P，弧PQ即为所求．点评：此题主要考查了应用作图与设计以及扇形面积公式应用，得出MN的长是解题关键．14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，按以下步骤作图：①分别以A，B为圆心，以大于AB的长为半径做弧，两弧相交于点P和Q．②作直线PQ交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若CE=4，则AE= 8 ．考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形．专题：压轴题．分析：根据垂直平分线的作法得出PQ是AB的垂直平分线，进而得出∠EAB=∠CAE=30°，即可得出AE的长．解答：解：由题意可得出：PQ是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵在△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，∴∠CBA=30°，∴∠EAB=∠CAE=30°，∴CE=AE=4，∴AE=8．故答案为：8．点评：此题主要考查了垂直平分线的性质以及直角三角形中，30°所对直角边等于斜边的一半，根据已知得出∠EAB=∠CAE=30°是解题关键．三．解答题（共6小题）15．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD=∠A．（1）作∠BDC的平分线DE，交BC于点E（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系（不要求证明）．考点：作图—基本作图；平行线的判定．专题：作图题．分析：（1）根据角平分线基本作图的作法作图即可；（2）根据角平分线的性质可得∠BDE=∠BDC，根据三角形内角与外角的性质可得∠A=∠BDC，再根据同位角相等两直线平行可得结论．解答：解：（1）如图所示：（2）D E∥AC∵DE平分∠BDC，∴∠BDE=∠BDC，∵∠ACD=∠A，∠ACD+∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDC，∴∠A=∠BDE，∴DE∥AC．点评：此题主要考查了基本作图，以及平行线的判定，关键是正确画出图形，掌握同位角相等两直线平行．16．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，分别以点A、C为圆心，大于AC长为半径画弧，两弧相交于点M、N，连接MN，与AC、BC分别交于点D、E，连接AE．（1）求∠ADE；（直接写出结果）（2）当AB=3，AC=5时，求△ABE的周长．考点：作图—基本作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用．分析：（1）根据题意可知MN是线段AC的垂直平分线，由此可得出结论；（2）先根据勾股定理求出BC的长，再根据线段垂直平分线的性质即可得出结论．解答：解：（1）∵由题意可知MN是线段AC的垂直平分线，∴∠ADE=90°；（2）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，AC=5，∴BC==4，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AE=CE，∴△ABE的周长=AB+（AE+BE）=AB+BC=3+4=7．点评：本题考查的是作图﹣基本作图，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．17．如图，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°．（1）用尺规作图作AB边上的中垂线DE，交AC于点D，交AB于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）连接BD，求证：BD平分∠CBA．考点：作图—复杂作图；线段垂直平分线的性质．专题：作图题；证明题．分析：（1）分别以A、B为圆心，以大于AB的长度为半径画弧，过两弧的交点作直线，交AC于点D，AB于点E，直线DE就是所要作的AB边上的中垂线；（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，再根据等边对等角的性质求出∠ABD=∠A=30°，然后求出∠CBD=30°，从而得到BD平分∠CBA．解答：（1）解：如图所示，DE就是要求作的AB边上的中垂线；（2）证明：∵DE是AB边上的中垂线，∠A=30°，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠ABC=90°﹣∠A=90°﹣30°=60°，∴∠CBD=∠ABC﹣∠ABD=60°﹣30°=30°，∴∠ABD=∠CBD，∴BD平分∠CBA．点评：本题考查了线段垂直平分线的作法以及线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，难度不大，需熟练掌握．18．如图，在△ABC中，利用尺规作图，画出△ABC的外接圆或内切圆（任选一个．不写作法，必须保留作图痕迹）考点：作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心．专题：作图题．分析：分别利用三角形外心的确定方法以及内心的确定方法得出圆心位置，进而得出即可．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了复杂作图，正确把握三角形内心和外心位置确定方法是解题关键．19．已知△ABC中，∠A=25°，∠B=40°．（1）求作：⊙O，使得⊙O经过A、C两点，且圆心O落在AB边上．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）（2）求证：BC是（1）中所作⊙O的切线．考点：作图—复杂作图；切线的判定．专题：作图题；证明题．分析：（1）作出线段AC的垂直平分线进而得出AC垂直平分线与线段AB的交点O，进而以AO为半径做圆即可；（2）连接CO，再利用已知得出∠OCB=90°，进而求出即可．解答：解：（1）作图如图1：（2）证明：如图2，连接OC，∵OA=OC，∠A=25°∴∠BOC=50°，又∵∠B=40°，∴∠BOC+∠B=90°∴∠OCB=90°∴OC⊥BC∴BC是⊙O的切线．点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定利用线段垂直平分线的性质得出圆心位置是解题关键．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．（1）先作∠ABC的平分线交AC边于点O，再以点O为圆心，OC为半径作⊙O（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请你判断（1）中AB与⊙O的位置关系，并证明你的结论．考点：作图—复杂作图；直线与圆的位置关系．专题：作图题．分析：（1）根据角平分线的作法求出角平分线BO；（2）过O作OD⊥AB交AB于点D，先根据角平分线的性质求出DO=CO，再根据切线的判定定理即可得出答案．解答：解：（1）如图：（2）AB与⊙O相切．证明：作OD⊥AB于D，如图．∵BO平分∠ABC，∠ACB=90°，OD⊥AB，∴OD=OC，∴AB与⊙O相切．点评：此题主要考查了复杂作图以及切线的判定等知识，正确把握切线的判定定理是解题关键．。
2020年数学中考试卷(及答案)
2020年数学中考试卷(及答案)一、选择题1．如图，菱形ABCD 的一边中点M 到对角线交点O 的距离为5cm ，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．5cmB ．10cmC ．20cmD ．40cm2．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图，则下列结论中正确的是( )A ．abc ＞0B ．b 2﹣4ac ＜0C ．9a+3b+c ＞0D ．c+8a ＜0 3．如果一组数据6、7、x 、9、5的平均数是2x ，那么这组数据的方差为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，点C 为AB 的中点，若∠ABC=30°，则弦AB 的长为（ ）A ．12B ．5C ．532D ．535．已知AC 为矩形ABCD 的对角线，则图中1∠与2∠一定不相等的是（ ） A ．B ．C ．D ．6．若点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）在反比例函数ky x=（k ＞0）的图象上，且x 1＝﹣x 2，则（ ） A ．y 1＜y 2B ．y 1＝y 2C ．y 1＞y 2D ．y 1＝﹣y 27．如图，四个有理数在数轴上的对应点M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ）A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q8．如果，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．9．如图，点A ，B 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，点C ，D 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，AC ∥BD ∥y 轴，已知点A ，B 的横坐标分别为1；2，△OAC 与△CBD 的面积之和为，则k 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．10．如图，O 为坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(34)-，，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数(0)ky x x=<的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）A ．12-B ．27-C ．32-D ．36-11．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则下面所列方程中正确的是（ ）A ．606030(125%)x x-=+ B ．606030(125%)x x-=+C ．60(125%)6030x x⨯+-=D ．6060(125%)30x x⨯+-= 12．cos45°的值等于( )A ．2B ．1C ．32D ．22二、填空题13．分解因式：x 3﹣4xy 2=_____． 14．分解因式：2x 3﹣6x 2+4x =__________．15．已知圆锥的底面圆半径为3cm ，高为4cm ，则圆锥的侧面积是________cm 2. 16．如图，是将菱形ABCD 以点O 为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为 ．17．我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，“一带一路”地区覆盖总人口约为4400000000人，将数据4400000000用科学记数法表示为______． 18．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是 ．19．在一个不透明的口袋中，装有A ，B ，C ，D4个完全相同的小球，随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球，两次摸到同一个小球的概率是___．20．若关于x 的一元二次方程kx 2+2(k+1)x+k －1=0有两个实数根，则k 的取值范围是三、解答题21．解方程：x 21x 1x-=-. 22．如图，点D 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 平分BAC ∠，DC AC ⊥，过点B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于点E ． (1)求证：直线CD 是⊙O 的切线． (2)求证：CD BE AD DE ⋅=⋅．23．数学活动课上，张老师引导同学进行如下探究：如图1，将长为的铅笔斜靠在垂直于水平桌面的直尺的边沿上，一端固定在桌面上，图2是示意图．活动一如图3，将铅笔绕端点顺时针旋转，与交于点，当旋转至水平位置时，铅笔的中点与点重合．数学思考（1）设，点到的距离．①用含的代数式表示：的长是_________，的长是________；②与的函数关系式是_____________，自变量的取值范围是____________．活动二（2）①列表：根据（1）中所求函数关系式计算并补全．．表格．654 3.53 2.5210.5000.55 1.2 1.58 1.0 2.473 4.29 5.08②描点：根据表中数值，描出①中剩余的两个点．③连线：在平面直角坐标系中，请用平滑的曲线画出该函数的图象．数学思考（3）请你结合函数的图象，写出该函数的两条性质或结论．24．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：232212+=+（），善于思考的小明进行了以下探索： 设()2a b 2m n 2+=+（其中a b m n 、、、均为整数），则有22a b 2m 2n 2mn 2+=++．∴22a m 2n b 2mn =+=，．这样小明就找到了一种把部分a b 2+的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： 当a b m n 、、、均为正整数时，若()2a b 3m n 3+=+，用含m 、n 的式子分别表示a b 、，得a ＝ ，b ＝ ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a b m n 、、、，填空： ＋ ＝( ＋3)2；（3）若()2433a m n +=＋，且ab m n 、、、均为正整数，求a 的值．25．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE ⊥BC 于点E ．（1）试判断DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）过点D 作DF ⊥AB 于点F ，若BE=33，DF=3，求图中阴影部分的面积．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据菱形的性质得出AB=BC=CD=AD ，AO=OC ，根据三角形的中位线求出BC ，即可得出答案． 【详解】∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB=BC=CD=AD ，AO=OC ， ∵AM=BM ，∴BC=2MO=2×5cm=10cm ， 即AB=BC=CD=AD=10cm ， 即菱形ABCD 的周长为40cm ， 故选D ． 【点睛】本题考查了菱形的性质和三角形的中位线定理，能根据菱形的性质得出AO=OC 是解此题的关键．2．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据图象可知抛物线开口向下，抛物线与y 轴交于正半轴，对称轴是x=1＞0，所以a ＜0，c ＞0，b ＞0，所以abc ＜0，所以A 错误；因为抛物线与x 轴有两个交点，所以24b ac -＞0，所以B 错误；又抛物线与x 轴的一个交点为（-1,0），对称轴是x=1，所以另一个交点为（3,0），所以930a b c ++=，所以C 错误；因为当x=-2时，42y a b c =-+＜0，又12bx a=-=，所以b=-2a ，所以42y a b c =-+8a c =+＜0，所以D 正确，故选D.考点：二次函数的图象及性质.3．A解析：A 【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x 的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案． 详解：根据题意，得：67955x ++++=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为15[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4， 故选A ．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．4．D解析：D 【解析】 【分析】连接OC 、OA ，利用圆周角定理得出∠AOC=60°，再利用垂径定理得出AB 即可． 【详解】 连接OC 、OA ，∵∠ABC=30°， ∴∠AOC=60°，∵AB 为弦，点C 为AB 的中点， ∴OC ⊥AB ， 在Rt △OAE 中，53∴AB=53， 故选D ． 【点睛】此题考查圆周角定理，关键是利用圆周角定理得出∠AOC=60°．5．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】解：A 选项中，根据对顶角相等，得1∠与2∠一定相等； B 、C 项中无法确定1∠与2∠是否相等；D 选项中因为∠1=∠ACD ，∠2＞∠ACD ，所以∠2＞∠1． 故选：D6．D解析：D【解析】 由题意得：1212k ky y x x ==-=- ，故选D. 7．C解析：C 【解析】试题分析：∵点M ，N 表示的有理数互为相反数，∴原点的位置大约在O 点，∴绝对值最小的数的点是P 点，故选C ．考点：有理数大小比较．8．B解析：B 【解析】试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B..考点：二次根式的性质.9． C解析：C 【解析】 【分析】由题意，可得A （1，1），C （1，k ），B （2，），D （2，k ），则△OAC 面积＝(k-1)，△CBD 的面积＝×(2-1)×(k-)=(k-1)，根据△OAC 与△CBD 的面积之和为，即可得出k 的值． 【详解】∵AC ∥BD ∥y 轴，点A ，B 的横坐标分别为1、2， ∴A （1，1），C （1，k ），B （2，），D （2，k ），∴△OAC 面积＝×1×(k-1)，△CBD 的面积＝×(2-1)×(k-)=(k-1)， ∵△OAC 与△CBD 的面积之和为， ∴(k-1)+ (k-1)=， ∴k ＝4． 故选C ． 【点睛】本题考查反比例函数系数k 的几何意义，三角形面积的计算，解题的关键是用k 表示出△OAC 与△CBD 的面积．10．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】 ∵A （﹣3，4），∴， ∵四边形OABC 是菱形，∴AO=CB=OC=AB=5，则点B 的横坐标为﹣3﹣5=﹣8， 故B 的坐标为：（﹣8，4），将点B 的坐标代入k y x=得，4=8k -，解得：k=﹣32．故选C ．考点：菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．11．C解析：C 【解析】分析：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合提前 30 天完成任务，即可得出关于x 的分式方程．详解：设实际工作时每天绿化的面积为x 万平方米，则原来每天绿化的面积为125%x+万平方米，依题意得：606030125%x x-=+，即()60125%6030x x⨯+-=． 故选C ．点睛：考查了由实际问题抽象出分式方程．找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．12．D解析：D 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解：cos45°= 2． 故选D ．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．二、填空题13．x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x再利用平方差公式分解即可详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y）故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式解析：x（x+2y）（x﹣2y）【解析】分析：原式提取x，再利用平方差公式分解即可．详解：原式=x（x2-4y2）=x（x+2y）（x-2y），故答案为x（x+2y）（x-2y）点睛：此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．2x（x﹣1）（x﹣2）【解析】分析：首先提取公因式2x再利用十字相乘法分解因式得出答案详解：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）点解析：2x（x﹣1）（x﹣2）．【解析】分析：首先提取公因式2x，再利用十字相乘法分解因式得出答案．详解：2x3﹣6x2+4x=2x（x2﹣3x+2）=2x（x﹣1）（x﹣2）．故答案为2x（x﹣1）（x﹣2）．点睛：此题主要考查了提取公因式法以及十字相乘法分解因式，正确分解常数项是解题关键．15．15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l根据勾股定理求出母线长再根据圆锥侧面积公式即可得出答案【详解】设圆锥母线长为l∵r=3h=4∴母线l=∴S 侧=×2πr×5=×2π×3×5=15π故答案为15π解析：15π【解析】【分析】设圆锥母线长为l，根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式即可得出答案.【详解】设圆锥母线长为l，∵r=3，h=4，∴母线5=，∴S侧=12×2πr×5=12×2π×3×5=15π，故答案为15π.【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，熟知圆锥的母线长、底面半径、圆锥的高以及圆锥的侧面积公式是解题的关键.16．12﹣4【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接ACBD交于点E 连接DFFMMNDN∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°180°270°后形成的图形∠BAD=60°AB=2解析：12﹣43【解析】【分析】【详解】试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=3，∴∠AOE=45°，ED=1，∴AE=EO=3，DO=3﹣1，∴S正方形DNMF=2（3﹣1）×2（3﹣1）×12=8﹣43，S△ADF=12×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣43=12﹣43．故答案为12﹣43．考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．17．4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式其中1≤|a|＜10n为整数确定n的值时要看把原数变成a时小数点移动了多少位n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值＞10时n是正解析：4×109【解析】【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】4400000000的小数点向左移动9位得到4.4，所以4400000000用科学记数法可表示为：4.4×109，故答案为4.4×109．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．18．【解析】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°AF=AD=5根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF根据余弦的概念计算即可由翻转变换的性质可知∠AFE=∠D=90°AF=AD=5∴∠EF解析：.【解析】试题分析：根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，∴∠EFC+∠AFB=90°，∵∠B=90°，∴∠BAF+∠AFB=90°，∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF==，∴cos∠EFC=，故答案为：．考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.19．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）==故答案为考点：列表法与树状图法；概率公式解析：14．【解析】【分析】【详解】试题分析：画树状图如下：∴P（两次摸到同一个小球）=416=14.故答案为14．考点：列表法与树状图法；概率公式．20．k≥-13且k≠0【解析】试题解析：∵a=kb=2（k+1）c=k-1∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0解得：k≥-13∵原方程是一元二次方程∴k≠0考点：根的判别式解析：k≥，且k≠0【解析】试题解析：∵a=k，b=2（k+1），c=k-1，∴△=4（k+1）2-4×k×（k-1）=3k+1≥0，解得：k≥-，∵原方程是一元二次方程，∴k≠0．考点：根的判别式．三、解答题x=.21．2【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】去分母得：x2-2x+2=x2-x，解得：x=2，检验：当x=2时，方程左右两边相等，所以x=2是原方程的解．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；（2）连接BD，根据切线的性质得到∠ABE=∠BDE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：证明：(1)连接OD，∠，∵AD平分BAC∠=∠，∴CAD BAD∵OA OD =，∴BAD ADO =∠∠，∴CAD ADO ∠=∠，∴AC OD ∥，∵CD AC ⊥，∴CD OD ⊥，∴直线CD 是⊙O 的切线；(2)连接BD ，∵BE 是⊙O 的切线，AB 为⊙O 的直径，∴90ABE BDE ︒∠=∠=，∵CD AC ⊥，∴90C BDE ︒∠=∠=，∵CAD BAE DBE ∠=∠=∠，∴ACD BDE ∆∆∽， ∴CD AD DE BE=， ∴CD BE AD DE ⋅=⋅． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 23．(1) ），，;(2)见解析；（3）①随着的增大而减小；②图象关于直线对称；③函数的取值范围是． 【解析】【分析】（1）①利用线段的和差定义计算即可．②利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．（2）①利用函数关系式计算即可．②描出点，即可．③由平滑的曲线画出该函数的图象即可．（3）根据函数图象写出两个性质即可（答案不唯一）．【详解】解：（1）①如图3中，由题意，，，，故答案为：，．②作于．，，，，，，故答案为：，．（2）①当时，，当时，，故答案为2，6．②点，点如图所示．③函数图象如图所示．（3）性质1：函数值的取值范围为．性质2：函数图象在第一象限，随的增大而减小．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了平行线分线段成比例定理，函数的图象等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．（1）22m 3n +，2mn ；（2）4，2，1，1（答案不唯一）；（3）a ＝7或a ＝13．【解析】【分析】【详解】(1)∵23(3)a b m n +=+，∴223323a b m n mn +=++，∴a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．故答案为m 2＋3n 2，2mn ．(2)设m ＝1，n ＝2，∴a ＝m 2＋3n 2＝13，b ＝2mn ＝4．故答案为13，4，1，2(答案不唯一)．(3)由题意，得a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ．∵4＝2mn ，且m 、n 为正整数，∴m ＝2，n ＝1或m ＝1，n ＝2，∴a ＝22＋3×12＝7，或a ＝12＋3×22＝13． 25．（1）DE 与⊙O 相切，理由见解析；（2）阴影部分的面积为2π﹣332． 【解析】【分析】（1）直接利用角平分线的定义结合平行线的判定与性质得出∠DEB=∠EDO=90°，进而得出答案；（2）利用勾股定理结合扇形面积求法分别分析得出答案．【详解】（1）DE 与⊙O 相切，理由：连接DO ，∵DO=BO，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，∴∠EBD=∠DBO，∴∠EBD=∠BDO，∴DO∥BE，∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠EDO=90°，∴DE 与⊙O 相切；（2）∵∠ABC 的平分线交⊙O 于点D ，DE⊥BE，DF⊥AB，∴DE=DF=3，=6， ∵sin∠DBF=31=62， ∴∠DBA=30°，∴∠DOF=60°，∴sin60°=3DF DO DO ==则1322π-= 【点睛】此题主要考查了切线的判定方法以及扇形面积求法等知识，正确得出DO 的长是解题关键．。