2018年秋人教B版数学选修1-1练习：3.3.1 利用导数判断函数的单调性含解析
高二人教B版数学选修1-1课件3-3-1利用导数判断函数的单调性 39张
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1．知识与技能 借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系， 能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式 函数的单调区间． 2．过程与方法 通过对函数单调性与导数关系的研究，掌握用导数研 究函数单调性的方法． 3．情感、态度与价值观 通过实例探究函数的单调性与导数的关系，体会知识 间的相互联系和运动变化的观点，提高理性思维能力．
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解法2：依题意，得f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1) ＝－x3＋x2＋tx＋t. f′(x)＝－3x2＋2x＋t. ∵函数f(x)在区间(－1,1)上是增函数， ∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)恒成立． 又∵f′(x)的图象是开口向下的抛物线， ∴当且仅当f′(1)＝t－1≥0，且f′(－1)＝t－5≥0时，即t≥5 时，f′(x)在区间(－1,1)上满足f′(x)＞0. 即f(x)在(－1,1)上是增函数． 故t的取值范围是t≥5.
第十九页，编辑于星期一：点 四十九分。
∴当b>0时，f′(x)<0.∴函数f(x)在(0,1)上是减函数； 当b<0时，f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,1)上是增函数． 又函数f(x)是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称， 所以可知： 当b>0时，f(x)在(－1,1)上是减函数； 当b<0时，f(x)在(－1,1)上是增函数．
2．函数f(x)＝2x－sinx在(－∞，＋∞)上 ( ) A．是增函数 B．是减函数 C．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上减 D．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 [答案] A [解析] f′(x)＝2－cosx>0在(－∞，＋∞)上恒成立．
高中数学选修1-1(人教B版)第三章导数及其应用3.3知识点总结含同步练习题及答案
三、知识讲解
1.利用导数研究函数的单调性 描述： 一般地，函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间 (a, b) 内，如果 f ′ (x) > 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递增；如果 f ′ (x) < 0 ，那么函数 y = f (x) 在这个区间内单调递减． 注：在 (a, b) 内可导的函数 f (x) 在 (a, b) 上递增（或递减）的充要条件是 f ′ (x) ⩾ 0 （或 f ′ (x) ⩽ 0 ），x ∈ (a, b) 恒成立，且 f ′ (x) 在 (a, b) 的任意子区间内都不恒等于 0 ． 例题： 求下列函数的单调区间： （1）f (x) = x 3 − 3x 2 − 9x + 5 ；（2）f (x) = x 函数的极值定义 已知函数 y = f (x) ，设 x 0 是定义域 (a, b) 内任一点，如果对 x0 附近的所有点 x，都有 f (x) < f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极大值，记作
y 极大 = f (x0 ).
并把 x 0 称为函数 f (x) 的一个极大值点． 如果在 x 0 附近都有 f (x) > f (x0 ) 成立，则称函数 f (x) 在点 x0 处取得极小值，记作
1 3 x − x2 + 2x + 1 ． 3 解：（1）函数的定义域为 R．
（3）f (x) =
f ′ (x) = 3x2 − 6x − 9 = 3(x − 3)(x + 1),
令 f ′ (x) > 0 ，解得
x < −1或x > 3,
令 f ′ (x) < 0 ，解得
−1 < x < 3.
2018年秋人教B版数学选修1-1练习3.3.2 利用导数研究函数的极值 Word版含解析
利用导数研究函数的极值 课时过关·能力提升 .在下面函数()图象中既是函数的极大值点又是最大值点的是()
答案 .在上题的函数图象中,是'()的根但不是函数()的极值点的是()
答案 .函数的极小值为()
答案 .函数() 在[]上的最小值和最大值分别为()
.
解析'(). 当≤≤时'()>,故()在[]上是增函数. 因此,当时()取得最小值;当时()取得最大值. 答案 .若函数()在区间[]上的最大值、最小值分别为,则的值为()
解析:令'()(),得±, 又∈[],∴. 则∈()时'()<∈()时'()>. 又()()(), ∴,∴.
答案 .关于函数(),给出下列四个命题: ①()是增函数,无极值;
②()是减函数,无极值;
③()单调递增区间是(∞)和(∞),单调递减区间是();
④()在处取得极大值,在处取得极小值.
其中正确命题是.(填序号) 答案:③④ .已知函数()()的两个极值点为,且,则. 解析'()(). ∵是()的两个极值点,
∴'()'(),
即是()的两个根,
从而. 答案 .已知函数()()既有极大值又有极小值,则实数的取值范围是. 解析'()(). 令'(),即. ∵()既有极大值又有极小值,
∴'()有两个不相同的实数根.
∴Δ()>.
解得>或<. 答案
.求曲线( 上切线斜率的极小值点. 分析:先求曲线()上的切线的斜率,即函数()的导数'(),再求'()的极小值.
解:函数()的定义域为(∞)'()
令(),则'(). 当<当>时'()>()在 (∞)内是增函数.
所以()在处取得极小值,且(),故曲线()上切线斜率的极小值点为. ★.设函数() <分析:按照求函数极值的步骤求解即可. 解:由()<知'(),
于是'() 令'(),从而π或 当变化时'()()的变化情况如下表:
(,π) π '() () ↗ 极大值π ↘ 极小值 ↗ 因此,由上表知()的单调递增区间是
2018学年高中数学选修1-1课件：3.3.1 单调性 精品
[小组合作型] 函数与其导函数图象之间的关系
(1)如图 3-3-1，设 f′(x)是函数 f(x)的导函数，将 y＝f(x)和 y＝f′(x) 的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是________(填序号).
图 3-3-1
(2)已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3-3-2(其中 f′(x)是函数 f(x)的导函数)，下 面四个图象中，y＝f(x)的图象大致是________(填序号).
(2)由题图知，当 x＜－1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＜－1 时，函数 y＝f(x)单调递增；当－1＜x＜0 时，xf′(x)＞0，∴f′(x) ＜0， ∴当－1＜x＜0 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 0＜x＜1 时，xf′(x)＜0，∴f′(x) ＜0， ∴当 0＜x＜1 时，函数 y＝f(x)单调递减；当 x＞1 时，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， ∴当 x＞1 时，y＝f(x)单调递增.综上可知，③是 y＝f(x)的大致图象.
1.可导函数 f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且 f′(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于 0.
2.已知 f(x)在区间 D 上单调，求 f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法.通 常将 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参 数的取值范围.特别地，若 f′(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参 数的取值范围.
[再练一题] 1.f′(x)是 f(x)的导函数，若 f′(x)的图象如图 3-3-3 所示，则 f(x)的图象可能是 ________(填序号).
【导学号：24830079】
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修1-1 3.3.1 利用导数判断函数的单调性》
3.3.1 利用导数判断函数的单调性教学设计考纲分析：导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。
教材分析: 微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用，一方面开创了近代数学过渡的新时期，为研究变量和函数提供了重要的方法和手段；另一方面，它还极大的促进了力学、天文学以及物理学的发展体现了数学是微积分的核心概念之一，是高中数学新教材新增知识，在研究函数性质时有独到之处，体现了现代数学思想本节的教学内容属导数的应用，是在学习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容学好它既可加深对导数的理解，又为研究函数的极值和最值打好基础由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义，并会用定义判定函数在给定区间上的单调性通过本节课的学习应使学生体验到，用导数判断函数的单调性比用定义要简捷的多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图像难以画出的函数而言），充分展示了导数的优越性学情分析:在必修一中，学生学习了单调函数的定义，并会用定义判断或证明函数在给定区间上的单调性，在前几节，学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则，已经掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号而对大部分函数而言，变形环节是非常繁琐，甚至是无法做到的，并且不清楚“给定区间”是如何给出的，这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调性和探求函数的单调区间，以此来激发学生的学习兴趣由于我执教班级的学生基础知识相对比较扎实,在以往的探究性课题学习方面都比较成功,基本上能适应以探究为主导策略的教学模式,并对探究性课题的学习有积极的兴趣、善于探索，因此，这节课我采用“问题探究”式的教学方法教学目标:知识与技能: 能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象．过程与方法: 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程． 情感态度价值观:通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间． 难点：利用导数信息绘制函数的大致图象教法：采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，图、表并用，使抽象的知识直观化、形象化，以促进学生的理解【教学过程】一、 复习引入：1 常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=;x x 1)'(ln = ;e x x a a log 1)'(log =;x x e e =)'( ;a a a x x ln )'(=二、 讲授新课引例1： 如何判断函数 =-243 的单调（1）学生 自己画图研究探索。
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-3-1利用导数判断函数的单调性
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
[解析]
所给函数为非基本函数，故求单调区间和最
值可利用导数分析，解题的重点是求导的准确性及函数定 义域的确定． 函数f(x)的定义域为(0,2)，
1 1 f′(x)＝ x－ ＋a， 2－x －x2＋2 (1)当 a＝1 时，f′(x)＝ ，所以 f(x)的单调递增 x(2－x) 区间为(0， 2)，单调递减区间为( 2，2)；
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2．如果函数y＝f(x)在x的某个开区间内，总有f′(x)＞0，
则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间上为 严格增函数 ；如果函数y＝f(x)在自变量x的某区间 上，总有f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为 严格减函数 ．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
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[解析] (1)函数f(x)的定义域为R
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，则3x2－3＞0. 即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1. ∴函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞) 令f′(x)＜0，则3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
一、选择题
1．函数y＝x3的递减区间是 A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，0)
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(
)
D．不存在
[答案] D [解析] ∵y′＝3x2≥0，(x∈R)恒成立， ∴函数y＝x3在R上是增函数．
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《3.3.1利用导数判断函数的单调性》课件2-优质公开课-人教B版选修1-1精品
应正确理解“某个区间”的含义，它必是 定义域 内的某个区间.
(三).知识应用 1．应用导数求函数的单调区间
基础训练：
(1)．函数y=x－3在[－3，5]上为______函数
(填“增”或“减”). (学生口答)
(2)．函数 y = x2－3x 在[2，+∞)上为______函数，
在(-∞，1]上为___函数，在[1，2]上为___ 函数 (填“增”或“减”或“既不是增函数，也不是减函 数”).
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x
(A)
y y f (x)
o 1 2x
(B)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
o
2x
(教师引导 学生分析解答)
(四)、心得与体会
(引导学生按这一模式进行小结：)
通过这堂课的研究，我明确了 ，
我的收获与感受有
理解训练：
求函数 y 3x2 3x 的单调区间.
(引导学生得出解题思路)
变1：求函数 y 3x3 3x2 的单调区间. (竞赛活动)
巩固训练：
变2：求函数 y 3ex 3x 的单调区间.
(学生上黑板解答)
变3：求函数
y 1 x
的单调区间.
(引导学生总结以下两个问题：)
(一)．回顾与思考
提问引入： 1．判断函数的单调性有哪些方法？ (引导学生回答“定义法”，“图象法”.)
2．比如，要判断 y=x2 的单调性，如何进行？ (引导学生回顾分别用定义法、图象法完成.)
3．还有没有其它方法？
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3.3 导数的应用
3.3.1 利用导数判断函数的单调性
课时过关·能力提升
1.函数y=2x-x2的单调递增区间为( )
A.(-∞,2) B.(-∞,1)
C.(1,+∞) D.(2,+∞)
答案:B
2.函数y-9x+5的单调递减区间为( )
A.(-∞,-3)和(0,3) B.(-3,3)
C.(-3,0) D.(-∞,-3)和(3,+∞)
答案:B
3.在区间(a,b)内,f'(x)>0,且f(a)≥0,则在区间(a,b)内有( )
A.f(x)>0 B.f(x)<0
C.f(x)=0 D.不能确定
解析:由f'(x)>0,知f(x)在区间(a,b)内是增函数.
又f(a)≥0,故f(x)>0.
答案:A
4.函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为( )
C.(0,+∞) D.(0,a)
解析:令f'(x(ax-1)x<0.又a>0,所以0
★5.
已知函数y=xf'(x)的图象如图所示(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
解析:由函数y=xf'(x)图象,知在(-∞,-1)上,f'(x)>0,f(x)在此区间上是增函数;在(-1,0)上,f'(x)<0,f(x)在此区间上是减函数;
在(0,1)上,f'(x)<0,f(x)在此区间上是减函数;在(1,+∞)上,f'(x)>0,f(x)在此区间上是增函数.结合所给选项应选C.
答案:C
6.函数f(x)=sin x,x∈(0,2π)的单调递减区间为 .
解析:f'(x)=cos x,令f'(x)<0,即cos x<0,又x∈(0,2π),所以x∈
答案
7.函数y=x3-6x2+3x+1的单调递增区间为 ,单调递减区间为 .
解析:令f(x)=x3-6x2+3x+1,则f'(x)=3(x-x-.
当x∈(-∞,f'(x)>0,f(x)在(-∞;
当x∈,f'(x)<0,f(x);
当x∈+∞)时,f'(x)>0,f(x)+∞)上是增函数.
综上,f(x)的单调递增区间是(-∞+∞),f(x)的单调递减区间.
答案:(-∞+∞)
8.若函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,则a的取值范围为 .
解析:y'=3ax2-1,
∵
函数y=ax3-x在(-∞,+∞)上是减函数,
∴
3ax2-1≤0在R上恒成立,当x=0时,恒成立,当x≠0时,a≤.
a≤0.
答案:(-∞,0]
9.已知函数f(x)=x3+ax+8的单调递减区间为(-5,5),求函数f(x)的单调递增区间.
分析:先根据f(x)在区间(-5,5)内为减函数求得a值,再应用导数求f(x)为增函数的区间.
解:f'(x)=3x2+a.
∵
在(-5,5)上函数f(x)是减函数,
则-5,5是方程3x2+a=0的根.
∴
a=-75.此时,f'(x)=3x2-75.
令f'(x)>0,则3x2-75>0.
解得x>5或x<-5.
∴
函数y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-5)和(5,+∞).
★10.已知函数f(x)=x3-ax-1,
(1)若f(x)在R上单调递增,求实数a的取值范围.
(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)内单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(3)求证f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.
分析:(1)利用函数的单调性与导数的关系可得到f'(x)≥0在R上恒成立,然后用分离参数法可求参数a的范围.
(2)若找到a的值满足不等式f'(x)≥0在(-1,1)上恒成立,则a存在,否则不存在.
(3)特值验证,若找到图象上点的坐标小于等于a,则命题得以证明.
解:(1)由已知f'(x)=3x2-a.
∵
f(x)在R上是增函数,
∴
f'(x)=3x2-a≥0在R上恒成立,
即当a≤3x2时,x∈R恒成立.
∵3x2≥0,∴
只需a≤0.
又当a=0时,f'(x)= 3x2≥0,f(x)=x3-ax-1在实数集R上是增函数,∴a≤0.
(2)由f'(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立,得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立.
∵-1
由求a的过程知当a≥3时,f(x)在(-1,1)上是减函数,故这样的实数a存在.
实数a的取值范围为[3,+∞).
(3)∵f(-1)=a-2
f(x)的图象不可能总在直线y=a上方.
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