正弦余弦正切函数的图象与性质

讲解新课：正弦、余弦函数的图象

（1）函数y=sinx 的图象：叫做正弦曲线

第一步：在直角坐标系的x 轴上任取一点1O ，以1O 为圆心作单位圆，从这个圆与x 轴的交点A 起把圆分成n(这里n=12)等份.把x 轴上从0到2π这一段分成n(这里n=12)等份.（预备：取自变量x 值—弧度制下角与实数的对应）.

第二步：在单位圆中画出对应于角

0π

，

3π

，2

,…，2π的正弦线正弦线（等价于“列表” ）.把角x 的正弦线向右平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点就是正弦函数图象上的点（等价于“描点” ）.

第三步：连线.用光滑曲线把正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象．

根据终边相同的同名三角函数值相等，把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=sinx ，x ∈R 的图象.

把角x ()x R ∈的正弦线平行移动，使得正弦线的起点与x 轴上相应的点x 重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y=sinx 的图象.

（2）余弦函数y=cosx 的图象：叫做余弦曲线根据诱导公式,可以把正弦函数y=sinx 的图象向左平移

单位即得余弦函数y=cosx 的图象.

（3）

用五

点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：

正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (2

3π

,-1) (2π,0) 余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是哪几个？(0,1) (

2π,0) (π,-1) (2

3π,0) (2π,1) 讲解范例：

例1 作下列函数的简图

(1)y=1+sinx ，x ∈[0，2π]，（2）y=-COSx

探究如何利用y=sinx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到（1）y ＝1＋sinx ,ｘ∈〔0，２π〕的图象；（2）y=sin(x- π/3)的图象？

y=cosx

y=sinx

2π

3π

4π

5π

6π-π

-2π-3π

-4π-5π

-6π-6π

-5π

-4π

-3π

-2π

-π

6π5π

4π

3π

2π

-1

y x

-11

o x

小结：函数值加减，图像上下移动；自变量加减，图像左右移动。

探究如何利用y=cos x ，x ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝-cosx ，

x ∈〔0，２π〕的图象？

小结：这两个图像关于X 轴对称。

探究如何利用y=cos x ，ｘ∈〔0，２π〕的图象，通过图形变换（平移、翻转等）来得到y ＝2-cosx ，ｘ∈〔0，２π〕的图象？

小结：先作 y=cos x 图象关于x 轴对称的图形，得到 y ＝-cosx 的图象，

再将y ＝-cosx 的图象向上平移2个单位，得到 y ＝2-cosx 的图象。

讲解新课：正弦、余弦函数的性质(一)

1．周期函数定义：对于函数f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有： f (x+T)=f (x)那么函数f (x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。说明：y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2 （一般称为周期）；从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；

cos y x =，

x R ∈的最小正周期为2π；

要点：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+，x R ∈的周期2||

T π

ω= 2、例题讲解：求下列函数的周期例 y=sin(2x+

4π)+2cos(3x-6

) 解： y 1=sin(2x+

4π) 最小正周期T 1=π y 2=2cos(3x-6π) 最小正周期 T 2=3

2π

∴T 为T 1 ,T 2

例 y=|sinx|

解： T=π 作图

练习：求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()2

y x π

=-，x R ∈．

讲解新课：正弦、余弦函数的性质(二)

1.奇偶性：从图象上可看出函数y=cosx 是偶函数，函数y=sinx 是奇函数。

2.单调性：

正弦函数在每一个闭区间［－

2π＋2k π，2π

＋2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［2π＋2k π，2

3π

＋2k π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.

余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；

在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 3.有关对称轴：y=sinx 的对称轴为x=2

π+

k k ∈Z ； y=cosx 的对称轴为x=πk k ∈Z

练习（1）写出函数x y 2sin 3=的对称轴；（2）)4

sin(π

=x y 的一条对称轴是（）

(A) x 轴， (B) y 轴， (C) 直线4

x ， (D) 直线4π

4.例题讲解

例1 判断下列函数的奇偶性 (1)1sin cos ();1sin cos x x

f x x x

+-=

(2)()lg(sin f x x =+

例2 函数f (x )＝sin x 图象的对称轴是；对称中心是 .

例3．P38面例3

例4 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0；

①)10sin()18

sin(π

②)4

17cos()523cos(ππ---

例5 求函数)321sin(2π

+=x y 的单调递增区间；

思考：你能求]2,2[)

3sin(πππ-∈-=x x y 的单调递增区间吗？

讲解新课：正切函数的性质与图象 1

正切函数的性质（1）定义域：⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧∈+≠

z k k x x ,2|ππ

；（2）值域：R 观察：当x 从小于()z k k ∈+2

π，2

π+π−→−k x 时，tan x −−

→+∞ 当x 从大于

()z k k ∈+ππ

，ππ

k x +−→−

2时，-∞−→−

x tan 。（3）周期性：π=T ；：函数的周

期T π

（4）奇偶性：由()x x tan tan -=-知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭

⎫ ⎝⎛++-ππππ2,2内，函数单调递增。

()()

tan 0,0y A x A ωϕω=+≠≠

（6）正切曲线是由被相互平行的直线()2

x k k Z π

π=+∈所隔开的无穷多支曲线组成的。

讲解范例：例1比较⎪⎭⎫ ⎝⎛-

413tan π与⎪⎭

⎫

⎝⎛-

17tan π

的大小解：tan 413tan -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-

π 4π，52tan

517tan ππ-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，⎪⎭

⎫

⎝⎛=<<2,0tan ,5240πππ在x y 内单调递增， ⎝⎛->⎪⎭⎫ ⎝⎛-->-∴<∴ππππππ

517tan 413tan ,52tan 4tan ,52tan

tan

即例2：求下列函数的周期：（1）3tan 5y x π⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭

（2）tan 36y x π⎛⎫

⎪⎝

⎭

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质

高中数学正弦、余弦、正切函数的图象及其主要性质一、正弦函数的图象与性质 1、正弦函数图象的作法：（1）描点法：关键是选定一个周期，把这个周期分成四等份，根据三个分点及两个端点所对应的函数值确定出的点，确定函数图象的大致形状；（2）几何法：一般是用三角函数线来作出图象。注意：①的图象叫正弦曲线；②作图象时自变量要用弧度制；③在对精确度要求不太高时，作的图象一般使用“五点法”。 2、正弦函数的性质（1）定义域为，值域为；（2）周期性：正弦函数具有周期性，这可由诱导公式来推导，其最小正周期是。函数的最小正周期是；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在每一个闭区间，上为增函数，在每一个闭区间，上为减函数。 3、周期函数函数周期性的定义：对于函数y＝，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数y＝就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数y＝的最小正周期。 4、关于函数的图象和性质（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；

（2）函数图象与x轴的交点是其对称中心，相邻的两个对称中心间的距离也是函数的半个周期；（3）函数取最值的点与其相邻的与x轴的交点间的距离为函数的个周期。 5、正弦型图象的变换方法（1）先平移后伸缩的图象的图象的图象的图象的图象。（2）先伸缩后平移的图象的图象的图象的图象的图象。二、余弦函数、正切函数的图象与性质 1、余弦函数的图象和性质（1）由函数可知，用平移变换法可以得到余弦函数的图象，也可以使用“五点法”得到，同时还要学会用这两种方法画出函数的图象。

正切函数和余切函数的图像和性质

正切函数和余切函数的图像和性质知识点： 1.正切函数和余切函数的概念； 2.正切函数与余切函数的图像和性质； 3.正切函数与余切函数性质的应用；教学过程： 1.正切函数和余切函数的概念：（1）正切函数---形如tan =的函数称为正切函数； y x 余切函数--形如cot y x =的函数称为余切函数； 2.函数的图像和性质：（1）正切函数的图像：见正切函数图像课件。（2）正切函数图像： - （3）与切函数的图像：

例1.求下列函数的周期：（1）tan(3) 3 y x π =-+；（2）2 21tgx y tg x = +；（3）cot tan y x x =-；（4）2 2tan 2 1tan 2 x y x = -；（5）sin 1tan tan 2x y x x ??=+ ?? ? 例2.求下列函数的单调区间：（1）tan(2)24 y x π =++；（2）tan()123 x y π =- + -；（3）12 log cot 3y x ?=- ?? 例3.求下列函数的定义域：

（1）tan 4y x π ?? =- ??? ；（2）y = （3）y = 例4.（1）求函数21)tan tan ]y x x =-+的定义域；（2）解不等式：23tan (2)(3tan(2)0 4 4 x x π π +--+ -≤ 例5.已知2tan tan y x a x =-，当1 [0,],[0,]3 4 x a π∈∈时，函数max y =，求实数a 的值；例6.已知函数tan ,(0,)2y x x π=∈，若1212,(0,),2 x x x x π ∈≠。求证：1212 ()() ( ) 2 2 f x f x x x f ++>。

三角函数图像及其性质

【本讲教育信息】一.教学内容：三角函数的图象与性质二.教学目的：了解三角函数的周期性，知道三角函数y＝A sin（ωx＋φ）， y＝A cos（ωx＋φ）的周期为。能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，并能根据图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－，）上的性质（如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等）。了解三角函数y＝A sin（ωx+φ）的实际意义及其参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；会画出y＝A sin（ωx+φ）的简图，能由正弦曲线y＝sin x 通过平移、伸缩变换得到y＝A sin（ωx+φ）的图象。会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。三.教学重点：三角函数的性质与运用教学难点：三角函数的性质与运用。四.知识归纳 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像 2.三角函数的单调区间：的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，

递减区间是，的递增区间是， 3.函数最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是，初相是；其图象的对称轴是直线，凡是该图象与直线的交点都是该图象的对称中心。 4.由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换) 先将y＝sinx的图象向左(＞0)或向右(＜0＝平移｜｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0)，便得y＝sin(ωx＋)的图象。途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍(ω＞0),再沿x轴向左(＞0)或向右(＜0＝平移个单位，便得y＝sin(ωx＋)的图象。 5.由y＝Asin(ωx＋)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y=Asin（ωx+）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个零点的位置. 6.对称轴与对称中心：的对称轴为，对称中心为；的对称轴为，对称中心为；对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。 7.求三角函数的单调区间：一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，要特别注意A、的正负。利用单调性三角函数大小一般要化为同名函数,并且在同一单调区间； 8.求三角函数周期的常用方法：经过恒等变形化成“、”的形式，再利用周期公式，另外还有图像法和定义法。 9.五点法作y=Asin（ωx+）的简图：五点取法是设x=ωx+，由x 取0、、π、、2π来求相应的x 值及对应

第20讲-三角函数的图象与性质(解析版)

第20讲-三角函数的图象与性质一、考情分析 1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值； 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在? ?? ?? －π2，π2上的性质. 二、知识梳理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，? ????π2，1，(π，0)，? ???? 3π2，－1， (2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ????3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π 2} 值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间 ??? ? ??2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ? ? ? ??k π－π2，k π＋π2 递减区间 ??? ? ??2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无对称中心 (k π，0) ? ? ???k π＋π2，0 ? ???? k π2，0 对称轴方程 x ＝k π＋π 2 x ＝k π 无 [微点提醒] 1.对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期. 2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间? ? ???k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数. 三、经典例题考点一三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ? ? ? ??2x ＋π6的定义域是( ) A.??????x |x ≠π6 B.??????x |x ≠－π12 C.??????x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ） D.??????x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________. (3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π 6(k ∈Z ). (2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－3 2，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cos x ≥－3 2的解集为??????x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为???? ??x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z . (3)由题意，得???64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π

第8讲正切函数图像及其性质(讲义)解析版

第8讲正切函数图像及其性质知识梳理 1、正切函数的图像：可选择的区间作出它的图像，通过单位圆和正切线，类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数的图像根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数tan ,y x x R =∈，且()2 x k k Z π π≠+ ∈的图像，称“正切曲线”. 由正弦函数图像可知：（1）定义域：{|()}2 x x k k Z π π≠+∈，（2）值域：R 观察：当x 从小于，时，tan x →+∞ 当x 从大于，时，tan x →-∞. （3）周期性：T π= （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数 ⎪⎭⎫ ⎝ ⎛- 2,2ππ()z k k ∈+ 2 π π2 π +π−→−k x ()z k k ∈+ππ 2 ππ k x +−→ −2 x y y x

（5）单调性：在开区间(,), 22 k k k Z ππ π π -++∈内，函数单调递增. （6）中心对称点：,0, 2 k k Z π ⎛⎫ ∈ ⎪ ⎝⎭ 2、余切函数的图象： ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - - = ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - = = 2 tan 2 tan cot π π x x x y 即将x y tan =的图象，向左平移 2 π 个单位，再以x轴为对称轴上下翻折，即得x y cot =的图象由余弦函数图像可知：（1）定义域：{|()} x x k k Z π ≠∈，（2）值域：R （3）周期性：Tπ = （4）奇偶性：tan()tan x x -=-，所以是奇函数（5）单调性：在开区间(,), k k k Z πππ +∈内，函数单调递增.

三角函数图象和性质(总结的很全面不看后悔)

三角函数专题辅导课程安排制作者：程国辉

专题辅导一三角函数的基本性质及解题思路课时：4-5学时学习目标： 1. 掌握常用公式的变换。 2. 明确一般三角函数化简求值的思路。第一部分三角函数公式 1、两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β cos(α-β)=cos α·cos β+sin α·sin β sin(α±β)=sin α·cos β±cos α·sin β tan(α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·tan β) tan(α-β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·tan β 2、倍角公式： sin(2α)=2sin α·cos α=2/(tan α+cot α) cos(2α)=(cos α)^2-(sin α)^2=2(cos α)^2-1=1-2(sin α)^2 tan(2α)=2tan α/(1-tan^2α) cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cot α) 3、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式： ()sin sin cos cos sin sin 22sin cos 令αβ αβαβαβααα=±=±−−−→= ()()2222222cos cos cos sin sin cos 2cos sin 2cos 112sin tan tan 1+cos2tan cos 1tan tan 2 1cos2sin 2 2tan tan 21tan 令＝＝ αβαβαβαβααα αααβα αβααβα αα αα=±=−−−→=-↓=-=-±±= ⇒-↓= - 4、同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系：2 2 2 2 2 2 sin cos 1,1tan sec ,1cot csc αααααα+=+=+= （2）倒数关系：sin αcsc α=1,cos αsec α=1,tan αcot α=1, （3）商数关系：sin cos tan ,cot cos sin αα αααα = = 第二部分：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函

高中数学必修一三角函数图像性质总结(精华版)

正弦函数、余弦函数、正切函数的图像

（一）三角函数的性质 1、定义域与值域 2、奇偶性（1）基本函数的奇偶性奇函数：y＝sinx，y＝tanx；偶函数：y＝cosx. （2）型三角函数的奇偶性（ⅰ）g（x）＝（x∈R） g（x ）为偶函数由此得；同理，为奇函数 . （ⅱ）为偶函数；为奇函数 . 3、周期性（1）基本公式（ⅰ）基本三角函数的周期y＝sinx，y＝cosx的周期为；y＝tanx，y＝cotx 的周期为 . （ⅱ）型三角函数的周期的周期为；

的周期为 . （2）认知（ⅰ）型函数的周期的周期为；的周期为 . （ⅱ）的周期的周期为；的周期为 . 均同它们不加绝对值时的周期相同，即对y＝的解析式施加绝对值后，该函数的周期不变.注意这一点与（ⅰ）的区别. （ⅱ）若函数为型两位函数之和，则探求周期适于“最小公倍数法”. （ⅲ）探求其它“杂”三角函数的周期，基本策略是试验――猜想――证明. （3）特殊情形研究（ⅰ）y＝tanx－cotx的最小正周期为；（ⅱ）的最小正周期为；（ⅲ）y＝sin4x＋cos4x的最小正周期为 . 由此领悟“最小公倍数法”的适用类型，以防施错对象. 4、单调性（1）基本三角函数的单调区间（族）依从三角函数图象识证“三部曲”： ①选周期：在原点附近选取那个包含全部锐角，单调区间完整，并且最好关于原点对称的一个周期； ②写特解：在所选周期内写出函数的增区间（或减区间）； ③获通解：在②中所得特解区间两端加上有关函数的最小正周期的整数倍，即得这一函数的增区间族（或减区间族）循着上述三部曲，便可得出课本中规范的三角函数的单调区间族. 揭示：上述“三部曲”也适合于寻求简单三角不等式的解集或探求三角函数的定义域. （2）y＝型三角函数的单调区间

1.3.2余弦函数、正切函数的图像和性质

普通高中课程标准实验教科书—数学第四册[人教版B] 第一章基本初等函数（II ） 1.3.3余弦函数、正切函数的图像和性质教学目标： 1、理解并掌握作余弦函数和正切函数图象的方法． 2、理解并掌握余弦函数、正切函数教学重点：掌握余弦函数和正切函数图象作法和性质教学过程一、复习引入：正弦函数的图像和性质二、讲解新课： 1、用单位圆中的余弦线作余弦函数的图象（几何法）：为了作三角函数的图象，三角函数的自变量要用弧度制来度量，使自变量与函数值都为实数．在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识． 2、余弦函数y=cosx x ∈[0,2π]的五个点关键是 (0,1) (2π ,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1) 现在把上述图象沿着x 轴向右和向左连续地平行移动，每次移动的距离为2π，就得到y=cosx ，x ∈R 的图象，

3、正切函数x y tan =的图象：我们可选择⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- 2,2ππ的区间作出它的图象根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数R x x y ∈=tan ，且()z k k x ∈+≠ππ 2的图象，称“正切曲线” 4、余弦函数的性质：（1）、定义域：余弦函数的定义域是实数集R ［或(－∞，＋∞)］，

（2）、值域余弦函数的值域是［－1，1］ y ＝cos x ，x ∈R ①当且仅当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1 ②当且仅当x ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，取得最小值－1（3）、周期性余弦函数是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）、奇偶性 y ＝cos x 为偶函数余弦曲线关于y 轴对称（5）、单调性余弦函数在每一个闭区间［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数，其值从1减小到－1 5、正切函数的性质： (1)．定义域：⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠ z k k x x ,2|ππ， (2)．值域：R (3)．观察：当x 从小于()z k k ∈+ 2ππ，2π+π−→−k x 时，∞−→−x tan 当x 从大于()z k k ∈+ππ 2，ππ k x +−→−2时，-∞−→−x tan (4)．周期性：π=T (5)．奇偶性：()x x tan tan -=-奇函数 (6)．单调性：在开区间z k k k ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++- ππππ2,2内，函数单调递增6、例子：例1 求使y ＝cos x ＋1，x ∈R 取得最大值的自变量x 的集合，并说出最大值是什么例2求y ＝x cos 的定义域例3求函数y ＝－cos x 的单调区间例4 求y ＝3cos x 的周期例5 判断cos(－ 523π)－cos(－417π)大于0还是小于0例6 求函数y ＝2cos 1 cos 3++x x 的值域小结：本节课我们学习了余弦函数和正切函数图象作法和性质

第四讲正弦、余弦、正切函数的图象与性质(解析版)

第四讲正弦、余弦和正切函数的图像与性质知识提要 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(π2，1)，(π，0)，(3π 2 ，－1)，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π 2 ， 0)，(2π，1)． 2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象定义域 R R {x |x ∈R 且x ≠π 2＋k π， k ∈Z } 值域 [－1,1] [－1,1] R 单调性 [-π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增； [π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减 [-π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增； [2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减 (-π2＋k π，π 2＋k π) (k ∈Z )上递增最值 x ＝π 2 ＋2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝－π 2 ＋2k π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1 奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π 2 ＋k π，0) (k ∈Z ) (k π 2 ，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π 2 ＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z ) 周期 2π 2π π ※ 学习评价 1、判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)常数函数f (x )＝a 是周期函数，它没有最小正周期． ( √ ) (2)y ＝cos x 在第一、二象限上是减函数． ( × ) (3)y ＝tan x 在整个定义域上是增函数． ( × )

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质定义域 {|,}2 x x k k Z π π≠ +∈ 值域 R 单调性递增区间(,)()2 2 k k k Z ππππ-+∈ 奇偶性奇函数对称性对称中心：( ,0)()2 k k Z π ∈（含原点）最小正周期 π 函数 y ＝sin x y ＝cos x 图象定义域 R R 值域 [－1,1] [－1,1] 单调性递增区间：2,2() 2 2k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣ ⎦ 递减区间：32,2()2 2k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣ ⎦ 递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z ) 最值 x ＝2k π＋π 2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π 2 (k ∈Z )时，y min ＝－1 x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1 奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋π 2 ，k ∈Z 对称中心：(k π＋π 2，0)(k ∈Z ) 对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期 2π 2π

三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换 1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象注意：定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。 2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性： )sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2 ππϕ±=k 时为偶函数；（3）最小正周期：ω π2=T 3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义 (1) A 称为振幅； (2)2T πω=称为周期； (3)1f T =称为频率； (4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率. 七年级英语期末考试质量分析一、试卷分析：本次试卷的难易程度定位在面向大多数学生。该份试卷紧扣教材，突出重点，注重对基础知

2020届高三理科数学一轮复习讲义教师用书第24讲三角函数的图象与性质

第4讲三角函数的图象与性质 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图在正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，(π 2，1)，(π，0)， (3π 2，－1)，(2π，0)．在余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，( π 2，0)，(π，－ 1)，(3π 2，0)，(2π，1)．五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑)．2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质

导师提醒 1．关注一个易错点求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω>0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误． 2．会用三个重要结论 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝ 2π |ω|，函数y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝ π |ω| . (2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是1 4 周期．正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． (3)三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ω x 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin |x |是偶函数．( ) (6)若sin x > 2 2，则x >π4 .( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)× 函数f (x )＝sin(2x ＋π 3 )的最小正周期为( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π2

高中数学知识点总结(第四章-三角函数、解三角形-第三节-三角函数的图象与性质)

第三节三角函数的图象与性质一、基础知识 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)“五点法”作图原理：在正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，0)，⎝⎛⎭ ⎫3π2，－1，(2π，0)．在余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，⎝⎛⎭⎫ π2，0，(π，－1)， ⎝⎛⎭ ⎫3π2，0，(2π，1). 函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]，y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的五个关键点的横坐标是零点和极值点最值点. (2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 图象定义域 R R ⎩⎨⎧⎭ ⎬⎫x ⎪⎪ x ∈R ，且x ≠k π＋π 2，k ∈Z 值域 [－1,1] [－1,1] R 奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π 2＋2k π(k ∈Z)上是递增函数，在 ⎣⎡⎦ ⎤π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈ Z)上是递减函数在[2k π－π，2k π](k ∈Z)上是递增函数，在[2k π，2k π＋π](k ∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π 2＋k π (k ∈Z)上是递增函数周期性周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π 周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是2π 周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期是π

三角函数性质的注意点 (1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期；y ＝tan x 无单调递减区间；y ＝tan x 在整个定义域内不单调． (2)要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω>0的形式，避免出现增减区间的混淆. 二、常用结论 1．对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． 2．与三角函数的奇偶性相关的结论 (1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π 2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π (k ∈Z)． (2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π 2 (k ∈Z)． (3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)． [解题技法] 已知三角函数的单调区间求参数范围的3种方法 (1)求出原函数的相应单调区间，由所给区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解． (2)由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解． (3)由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过1 4周期列不等式(组)求解． [解题技法] 三角函数图象的对称轴和对称中心的求解方法求三角函数图象的对称轴及对称中心，须先把所给三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y

最全正切余切图像的性质反三角函数概念完整版.doc

正切、余切函数图象和性质反三角函数 [知识要点] 1．正切函数、余切函数的图象与性质 2．反三角函数的图象与性质 3．已知三角函数值求角 [目的要求] 1．类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点. 2．从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质. 3．能熟练运用正、余弦函数性质解决问题. 4．能用反三角函数值表示不同范围内的角. [重点难点] 1．正切函数图象与性质2．已知三角函数值求角 [内容回顾] 一、正切函数与余切函数图象由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象. 作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法. 与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图象上三点及两条重要的辅导线——渐近线，来作正切函

数在区间上的简图，不妨称之为“三点两线法”. 若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢？请大家看余切函数的图象，不难得到答案. 二、正、余切函数的性质由图象可得: 上单减，奇函数注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点（不连续点）. 2、每个单调区间一定是连续的. 3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内. 三、反三角函数的概念和图象四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该（1）离原点较近；（2）包含所有的锐角；（3）能取到所有的函数值；（4）最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义: 1．y=sinx, x∈的反函数记作y=arcsinx, x∈[-1,1]，称为反正弦函数. y=cosx, x∈[0, π]的反函数记作y=arccosx, x∈[-1,1]，称为反余弦函数.

正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数题目与答案

正弦函数的性质与图像、余弦函数的图像与性质和正切函数正弦函数的性质与图像【要点链接】 1．正弦函数的图像 (1)掌握正弦函数的图像的画法； (2)会熟练运用五点法画有关正弦函数的简图． 2．对于正弦函数x y sin =要掌握： (1)定义域为R ； (2)值域[-1，1]； (3)最小正周期π2； (4)单调增区间],2 2,22[π πππ+-k k 单调减区间]2 32,2 2[π ππ π+ + k k ，Z k ∈； (5)是奇函数，图像关于原点对称. 同时要求会求有关正弦函数的一些简单组合的函数的定义域、值域与最值、单调性、周期与判断奇偶性问题. 【随堂练习】 1．sin y x =，[0,2]x π∈的图像与2y =-的交点个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．()f x 为奇函数，且在[,0]2π-上为减函数，则()f x 可以为（） A ．()sin f x x = B ．()sin f x x =- C ．()1sin f x x =+ D ．()1sin f x x =- 3．函数y =的值域是（） A ．1[0,]2 B ．[2 C ．

D ．[0, ]2 4．下列不等式正确的是（） A ．ππ74sin 75sin > B ．9 sin()sin 77 ππ-> C ．)6 sin()75sin(ππ->- D ．sin()sin 37 ππ -> 5．函数11sin ,2y x x =-∈R 的最大值为，当取得这个最大值时自变量x 的取值的集合是． 6．已知02θπ≤<，则满足1sin 2θ≤的θ的范围为 __________． 7．构造一个周期为2π，最小值为32-，在[0,]2π 上是减函数的奇函数()f x = __ ． 8．利用“五点法”画出函数1sin 2y x =-在长度为一个周期的闭区间的简图． 9．求函数2 sin sin 1,[,]44 y x x x ππ =-++∈-的值域．答案 1．C 在同一坐标系内画出sin y x =，[0,2]x π∈的图像与y = 可以看出交点个数为2． 2．B 对于A ，在[,0]2π-上为增函数；C 、D 都既不是奇函数，也不是偶函数． 3．D 知311sin 222x -≤-≤，又在根号下，则11 0sin 22x ≤-≤，则y ∈．