数学九年级上册圆周角知识点
【初中数学】初中数学知识点：圆心角,圆周角,弧和弦
【初中数学】初中数学知识点：圆心角，圆周角，弧和弦圆的定义:在同一平面上，到固定点的距离等于固定长度的一组点称为圆。
这个固定点叫做圆心。
圆的长度是圆的周长。
弧：圆上任意两点之间的部分称为弧，简称弧。
弧用符号“⌒”表示以a，b为端点的弧记作“，读“弧AB”或“弧AB”。
优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）；下弧：比半圆小的弧（通常用两个字母表示）圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。
圆弧、弦、弦中心距与圆心角的关系定理：在同一圆或等圆中，等中心角的圆弧相等，等中心角的弦相等，等中心角弦的弦中心距相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
中心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。
圆周角：顶点位于圆上且两侧与圆相交的角度称为圆周角。
圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。
中心角特征识别：①顶点是圆心；② 两边都与圆周相交。
计算公式:① L（弧长）=n/180XπR（n为圆心角的度数，下同）；②s(扇形面积)=n/360xπr二；③ 扇形中心角n=（180L）/（πR）（度）。
④k=2rsin(n/2)k=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
中心角定理：圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
理解：（定义）（1）等弧对等圆心角（2）将圆心顶点的圆周角分成360个部分时，每个部分的中心角为1°（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆的中心角的度数等于它们相对的弧的度数推论：如果每组（2）中的两个和弦具有相同的中心，那么如果每组（2）中的两个和弦具有相同的中心，则其他两个和弦对应于相同的圆与圆周角关系:在同一圆或等圆中，同一圆弧或弦的圆周角等于中心角的一半。
定理证明：分三种情况讨论，始终做直径cod，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。
人教版数学九年级上册24.1.4圆周角的概念和圆周角的定理(教案)
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆周角相关的实际问题，如如何计算某个特定圆周角的度数。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用量角器和圆规来测量和验证圆周角定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆周角的概念和圆周角的定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算圆上角度的情况？”比如，在制作圆形桌面或设计轮子时。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆周角的奥秘。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-圆周角的概念：确保学生理解圆周角的定义，即顶点在圆上，两边分别与圆相交的角。
-圆周角定理：强调圆周角等于其所对圆心角的一半，这是本节课的核心知识点。
-定理的应用：培养学生将圆周角定理应用于解决具体问题，如计算圆周角或圆心角的度数。
举例：通过图形展示，让学生观察并总结出圆周角的定义，进而引导他们理解圆周角定理。在实际例题中，如给出一个圆和其上的圆周角，要求学生计算圆周角或圆心角的度数，强化定理的应用。
首先，关于导入新课的部分，我通过提出与生活相关的问题来激发学生的兴趣，这是一个很好的开始。我发现学生们对这个问题产生了浓厚的兴趣，积极思考圆周角在日常生活中的应用。但在今后的教学中，我还可以尝试更多元化的导入方式，比如利用多媒体展示一些实际案例，让学生更直观地感受到圆周角的应用。
其次，在新课讲授环节，我注意到有些学生对圆周角定理的证明过程理解得不够透彻。在今后的教学中，我需要更加注重引导学生逐步推导和证明圆周角定理，让他们在这个过程中锻炼逻辑思维能力。此外，对于重点难点的讲解，我要更加耐心和细致，尽可能用简单的语言让学生明白。
人教九年级数学上册圆周角
∴ ∠ACB= ∠ADB=90°．
在Rt△ABC中，
∵CD平分∠ACB，
∴AD=BD.
例题讲解:
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练一练
1、如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（ ）A、50°； B、80°；C、90°； D、100°
D
2、如图，△ABC是等边三角形，动点P在圆周的劣弧AB上，且不与A、B重合，则∠BPC等于（ ）A、30°； B、60°；C、90°； D、45°
B
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3如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4个内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
A
B
D
C
∠1 = ∠4
∠5 = ∠8
∠2 = ∠7
∠3 = ∠6
利用同弧所对的圆周角的相等练习
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(1)一个概念（圆周角）
内容小结：
D
O
·
方法一
方法二
方法三
方法四
A
B
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感谢您的观看。
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1
2
∠DAC= ∠DOC，
1
2
所以∠DAC-∠DAB= （∠DOC-∠DOB）
1
2
即∠BAC= ∠BOC
1
2
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结论1：
在同圆或等圆中
,同弧或等弧
所对的圆周角相等，
都等于该弧或等弧所对的
复习旧知：请说说我们是如何给圆心角下定义的，试回答？
顶点在圆心的角叫圆心角。
考考你：你能仿照圆心角的定义， 给下图中象∠ACB 这样的角下个定义吗？
九年级数学圆中的角知识点
九年级数学圆中的角知识点在九年级数学学习中，圆是一个重要的几何图形，而圆中的角也是其中的一个重要概念。
本文将为您介绍九年级数学圆中的角的知识点。
一、圆心角圆心角是指以圆心为顶点的角。
在一个圆中，以圆心为顶点的角所对的弧长恰好等于该角的大小。
这是因为在圆的任意两点之间，弧长与圆心角是相等的。
二、弧度制和度数制在计量圆心角时，我们通常使用度数制和弧度制。
度数制是我们较为熟悉的角度计量方式，一圆的度数为360°。
而弧度制则是将角度的度数转换为弧长与半径之比的计量方式，通常用π来表示。
三、圆内切、圆心角在圆内切问题中，我们经常遇到的一个重要概念是圆心角。
当两个圆相切时，连接切点与圆心所形成的角即为圆心角。
在圆内切问题中，我们可以利用相关的角关系来求解问题。
四、弦和弦心角在圆中，一条弦是连接圆上两个点的线段。
而以圆内任意一点为顶点的角，它的两条边分别为切线和与切线相交的弦，我们称之为弦心角。
在求解弦心角时，我们可以利用圆周角的性质来推导和计算。
五、相交弦和相交弦心角当两条弦在圆内相交时，所形成的角即为相交弦心角。
相交弦心角是圆内切角和圆周角的重要推论。
我们可以利用相交弦心角的性质来解决圆内相交问题，如求解弦的长度以及圆内接四边形的性质等。
六、正多边形的圆内角和圆心角在正多边形中，每个内角都相等，且每个内角都对应一个圆心角。
通过研究正多边形的特性，我们可以得出正多边形内角的计算公式，从而在解决相关题目时能够更加便捷地计算。
七、切割圆和弧长的概念圆的切割是指通过特定的线段将圆分割成几个部分。
在切割圆的过程中，我们需要关注到切割弧的长度。
通过计算切割弧的长度，我们可以更好地掌握切割圆的相关知识点，并应用到实际问题中。
结语通过本文的介绍，希望能够帮助九年级的同学们掌握圆中的角的知识点。
在数学学习中，理论的掌握和实践能力的培养同样重要，希望同学们能够通过大量的练习和实例分析，不断提升自己的数学能力。
加油！。
人教版九年级数学上册《 圆周角定理及其应用—有关角度的计算》课件
例 2．如图，在△ABC 中∠A=25°，以点 C 为圆心，BC 为半径的圆交 AB 于点 D，交
AC 于点 E，则 BD 的度数为
．
B D
C
E
A
【点评】此题考查了圆心角、弧之间
的关系，用到的知识点是三角形内角
和定理、圆心角与弧的关系，关键是
谢谢观赏
You made my day!
圆周角定理及其应用—有关角度的计算
课标引路
易混淆的概念：优 弧和劣弧 圆周角和圆心角
解题方法 圆心角与圆周角关系 构建直角三角形 垂径定理的应用
解题方法 90°的圆周角所对 的弦是圆的直径
C1
C2
C3
A
O
B
C
A
O
B
D
【解析】解： ∵线段 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 丄 AB， ∴ CB BD ， ∵∠CAB=20°，∴∠BOD=40°， ∴∠AOD=140°． 故选：C．
做出辅助线求出∠BCD的度数．
B D
C
E
A
A
OD B
C
【答案】B. 【解析】分析： ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC=90°， ∵∠C=50°，∴∠BAC=40°， ∵∠ABC 的平分线 BD 交⊙O 于点 D， ∴∠ABD=∠DBC=45°， ∴∠CAD=∠DBC=45°， ∴∠BAD=∠BAC +∠CAD=40°+45°=85°． 【考点】1．圆周角定理；
2．圆心角、Βιβλιοθήκη 、弦的关系．例 4．已知，⊙O 的弦 AB 长等于圆的 半径，求该弦所对的圆心角和圆周角的 度数.
人教版数学九年级上册 第24章 圆 24.1.4 圆周角 课件(共16张PPT)优质课件PPT
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我们很容易遭遇逆境，也很容易被一次次的失败打垮。但是人生不容许我们停留在失败的瞬间，如果不前进，不会自我激励的话，就注定只能被这个世界抛弃。自我激励能力是人自我调节系
统中重要的组成部分，主要表现在对于在压力或者困境中，个体自我安慰、自我积极暗示、自我调节的能力，在个体克服困难、顶住压力、勇对挑战等情况下，都发挥着关键性的作用。具备
D
的圆周角”的数量关系，就转化为圆
内接四边形的对角之间的数量关系，
也就是本节课的主题。
探究性质
B
O
A
C
D
圆内接四边形ABCD的对角 有什么数量关系？
通过学生自己动手画图、测量、 猜想，最后证明结论，探究得出 圆内接四边形的性质
B
性质：
50
圆内接四边形的对角互补.
O
延伸：
A
130 50C D
圆内接四边形的任意一个 外角等于它的内对角.
自我激励能力的人，富有弹性，经常表现出反败为胜、后来居上、东山再起的倾向，而缺乏这种能力的人，在逆境中的表现就大打折扣，表现为过分依赖外界的鼓励和支持。一个小男孩在自
家的后院练习棒球。在挥动球棒前，对自己大喊：“我是世界上最棒的棒球手！”然后扔出棒球，挥动……但是没有击中。接着，他又对自己喊：“我是世界上最棒的棒球手！”扔出棒球，
难对于脑力运动者来说，不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会动力
O A OB
C
C
AB 2.半圆(或直径)所
O
对的圆周角是直
O
角, 90的圆周角
人教版数学九年级上册课件22-第二十四章24.1.4圆周角
图24-1-直径,由圆周角定理的推论可知直径所对的圆周角等
知识点三 圆内接四边形的性质
圆内接多边形
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上,则这个多边形叫做圆内接多边形, 这个圆叫做这个多边形的外接圆
圆内接四边形的性质 圆内接四边形的对角互补
符号语言
如图所示,如果四边形ABCD内接于☉O,那么∠A+∠C=∠B+∠D=180°
方法总结 在与圆的内接四边形有关的计算或证明中,利用圆内接四边形对 角互补进行角度转化是解决问题的关键.
经典例题全解
题型一 构造圆内接四边形求角度 例1 (2019山东德州中考)如图24-1-4-6,点O为线段BC的中点,点A,C,D到点O的距 离相等,若∠ABC=40°,则∠ADC的度数是 ( )
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°.
∵∠BAC=25°,
∴∠B=90°-∠BAC=90°-25°=65°.
∵∠B为
︵
AC
所对的圆周角,且根据翻折的性质知
︵
ABC
所对的圆周角的度数等于∠ADC
的度数,
∴∠ADC+∠B=180°, ∴∠ADC=180°-65°=115°. ∴∠DCA=180°-∠BAC-∠ADC=180°-25°-115°=40°.
例2 (2019辽宁营口中考)如图24-1-4-3,BC是☉O的直径,A,D是☉O上的两点,连接 AB,AD,BD,若∠ADB=70°,则∠ABC的度数是 ( )
A.20°
B.70°
图24-1-4-3
C.30°
D.90°
解析 如图24-1-4-4,连接AC, ∵BC是☉O的直径, ∴∠BAC=90°. ∵∠ACB=∠ADB=70°, ∴∠ABC=90°-70°=20°.故选A.
《圆周角》九年级数学初三上册PPT课件
时间：20XX
前言
学习目标
1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。
2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;
3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。
重点难点
重点：理解并掌握圆周角定理及推论。
难点：圆周角定理的证明。
Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
时间：20XX
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
人 教 版
数 学 九 年 级 上 册
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Concise And Concise Do Not Need Too Much Text
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景二（证明∠BAC=
1 2
3
5
D
4
6
1
∠BOC）:
2
连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D
证明二：
OA=OC=>∠4＝∠2
OA=OB=>∠1＝∠3
∠5＝∠1 ＋∠3
∠6＝∠5 ＋∠4
∠=∠5+∠6
=> ∠ = ∠。
圆心角和圆周角之间存在的关系
情景三（证明∠BAC=
B
A
个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。
O
这个圆叫做这个多边形的外接圆。
例：四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
⊙O是四边形ABCD的外接圆。
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数学九年级上册圆周角知识点
圆周角最初叫詹妮特角，因为它的顶点在圆周上，于是就将其更名为圆周角。
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。
下面是整理的数学九年级上册圆周角知识点，仅供参考希望能够帮助到大家。
数学九年级上册圆周角知识点
一、圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
①定理有三方面的意义：
a.圆心角和圆周角在同一个圆或等圆中;(相关知识点如何证明四点共圆)
b.它们对着同一条弧或者对的两条弧是等弧
c.具备a、b两个条件的圆周角都是相等的，且等于圆心角的一半.
②因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半.
二、圆周角定理的推论
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等
推论2：半圆(或直径)所对的`圆周角等于90°;90°的圆周角所对的弦是直径
推论3：如果三角形一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形
三、推论解释说明
圆周角定理在九年级数学知识点中属于几何部分的重要内容。
①推论1是圆中证明角相等最常用的方法，若将推论1中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不成立.因为一条弦所对的圆周角有两个.
②推论2中“相等的圆周角所对的弧也相等”的前提条件是“在同圆或等圆中”
③圆周角定理的推论2的应用非常广泛，要把直径与90°圆周角联系起来，一般来说，当条件中有直径时，通常会作出直径所对的圆周角，从而得到直角三角形，为进一步解题创造条件
④推论3实质是直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.
数学不等式与不等式组知识点
1.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
2.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
3.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
4.一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
5.不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
数学相交线与平行线知识点
1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：相交和平行，垂直是相交的一种特殊情况。
2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
如果两条直线只有一个公共点，称这两条直线相交;如果两条直线没有公共点，称这两条直线平行。
3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。
邻补角的性质：邻补角互补。
如图1所示，与互为邻补角，与互为邻补角。
+ = 180°; + = 180°; + = 180°;+ = 180°。
4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。
对顶角的性质：对顶角相等。
如图1所示，与互为对顶角。
5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时，称这
两条直线互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。
如图2所示，当= 90°时，⊥ 。
垂线的性质：
性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
性质3：如图2所示，当a ⊥ b 时，= = = = 90°。
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距离。
6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：
①在两条直线(被截线)的同一方，都在第三条直线(截线)的同一侧，这样
的两个角叫同位角。
图3中，共有对同位角：与是同位角; 与是同位角; 与是同位角; 与是同位角。
②在两条直线(被截线) 之间，并且在第三条直线(截线)的两侧，这样的两个角叫内错角。
图3中，共有对内错角：与是内错角; 与是内错角。
③在两条直线(被截线)的之间，都在第三条直线(截线)的同一旁，这样的两个角叫同旁内角。
图3中，共有对同旁内角：与是同旁内角; 与是同旁内角。
7、平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。
平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质：
性质1：两直线平行，同位角相等。
如图4所示，如果a‖b，则= ; = ; = ; = 。
性质2：两直线平行，内错角相等。
如图4所示，如果a‖b，则= ; = 。
性质3：两直线平行，同旁内角互补。
如图4所示，如果a‖b，则+ = 180°;+ = 180°。
性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a‖b，a‖c，则‖。
8、平行线的判定：
判定1：同位角相等，两直线平行。
如图5所示，如果=或= 或= 或= ，则a‖b。
判定2：内错角相等，两直线平行。
如图5所示，如果= 或= ，则a‖b 。
判定3：同旁内角互补，两直线平行。
如图5所示，如果+ = 180°;+ = 180°，则a‖b。
判定4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
如果a‖b，a‖c，则‖。
9、判断一件事情的语句叫命题。
命题由题设和结论两部分组成，有真命题和假命题之分。
如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫真命题;如果题设成立，那么结论不一定成立，这样的命题叫假命题。
真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以作为继续推理的依据。
10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。
平移后得到的新图形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做对应点。
平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等;②对应线段相等;③对应角相等。