第五单元 概率加法公式
概率的加法原理
概率的加法原理
概率的加法原理是概率论中基本的原理之一，用于计算多个事件同时发生的概率。
根据概率的加法原理，如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么它们同时发生的概率可以通过将它们的概率相加来计算。
具体来说，如果事件A和事件B是互斥的，那么它们的概率分别为P(A)和P(B)，则事件A和事件B同时发生的概率可以表示为P(A∪B) = P(A) + P(B)。
这表示了两个互斥事件同时发生的概率等于它们各自发生的概率的和。
需要注意的是，概率的加法原理仅适用于互斥事件，即事件A 和事件B之间不能同时发生。
如果事件A和事件B不是互斥的，即它们之间存在重叠部分，那么在计算它们同时发生的概率时，需要减去它们共同发生的概率。
举例来说，假设有一个袋子中有5个红球和3个蓝球。
现从袋子中随机抽取一个球，定义事件A为“抽到红球”，事件B为“抽到蓝球”。
显然，事件A和事件B是互斥的，因为无法同一时间既抽到红球又抽到蓝球。
根据概率的加法原理，事件A 和事件B同时发生的概率为P(A∪B) = P(A) + P(B) = 5/8 + 3/8 = 1。
通过概率的加法原理，我们可以计算多个互斥事件同时发生的概率。
这个原理在概率论和统计学中有广泛的应用，如在计算随机事件的概率、组合事件的概率等方面起着重要的作用。
1-5 概率的加法公式与概率
)
n
(
1)k
1
Cnk
k 1
(n
k)m nm
P(B)
1
P(B)
n
(1)k
C
k n
k0
(n k)m nm
qm
2.概率的连续性 (1)单调事件序列
若 A1 A2 , 称事件序列 { Aj } 是单调增加的。 若 A1 A2 , 称事件序列 { Aj } 是单调减少的。 (2)概率的连续性
显然看出 pk 表达式的求和项数是 Cnk
证明 (1)因为 A B A AB, 所以 P( A B) P( A AB) P( A) P( AB)
P( A) P( AB) P( AB) P( AB) P( A) P(B) P( AB) (2)因为 A ( A B) B 所以 P( A B) P( A) P(B) (3)用数学归纳法可证(见书P19)
练习(P17例5.2) m个听众随机进入n(n m) 个会场，求每个会场 至少有一个听众的概率。
解 m 个听众随机进入 n 个会场， #() nm B 每个会场至少有一名听众
B 至少有一个会场没有听众 Ai 第i个会场没有听众， 则
B A1 An 由约当公式先计算
第五节 概率的加法公式与 概率的连续性
1.概率的加法公式 2.概率的连续性
1.概率的加法公式
(1)对任意的事件A, B, 有
P( A B) P( A) P(B) P( AB)
(2)若B A, 则 P( A B) P( A) P(B)
(3)Jordan(约当)公式
概率的加法乘法公式
这时就把事件C叫做事件A与事件B的积事件，记作C=A∩B
P A B P A PB
PC P A PB
独立事件的概 率乘法公式
应用
1.一个口袋中有3个红球和2个白球，从中任取一个 球，取后放回去，连续取两次，则两次均取到红 球的概率是 。 第一次取得红球，第二次取得白球的概率是 2.甲、乙两人独立射击，甲击中目标的概率为0.8，
两级均属次品，若生产中出现乙级品的概
率为0.03、丙级品的概率为0.01，则对成
品抽查一件抽得正品的概率为（ D ） A.0.09 B.0.98
C.0.97 D.0.96
6、抛掷骰子，事件A :“朝上一面的数是奇数”， 事件B :“朝上一面的数不超过3”， 求P（A∪B）
解法一： 3 1 3 1 因为P（A）= = ，P（B）= =
PC P A PB
2.互斥事件的概率加法公式
如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生（即 A，B中有一个发生）的概率，等于事件A，B 分别发生的概率的和.
P（A∪B）＝P（A）＋P（B）
一般地，如果事件A1，A2，…，An 彼此互斥，那么事件发生（即A1， A2，…，An中有一个发生）的概 率，等于这n个事件分别发生的概 率的和，即 P（A1∪A2∪…∪An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An)
n
事件的频率
随着n的增大，频率呈现出稳定性。
0.5
概率的统计定义
一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的 频率 ，当n充分大时，事件A的频率总稳定在某个 常数p附近，这时就把这个常数p叫做事件A的概率， 记为P(A)=p 由定义可得概率P(A)满足： 显然，0≤P(A) ≤1.
概率公式大全范文
概率公式大全范文概率公式是数学中一类形式化表示概率的数学等式或等价关系的公式。
在概率论与数理统计中，概率公式可用于计算事件的概率、独立事件的联合概率、条件概率等。
以下是一些常见的概率公式：1.基本概率公式：-对于一个事件A，其概率可以表示为P(A)=n(A)/n(S)，其中n(A)表示事件A发生的次数，n(S)表示样本空间S中的总次数。
2.加法公式：-对于两个事件A和B，其并集事件A∪B的概率可以表示为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，其中P(A∩B)表示事件A和B的交集的概率。
3.乘法公式：-对于两个事件A和B，其交集事件A∩B的概率可以表示为P(A∩B)=P(A)×P(B，A)，其中P(B，A)表示在事件A已经发生的条件下，事件B发生的概率。
4.全概率公式：-对于一系列互斥事件A1,A2,...,An，其并集事件A的概率可以表示为P(A)=P(A，A1)P(A1)+P(A，A2)P(A2)+...+P(A，An)P(An)，其中P(A，Ai)表示在事件Ai已经发生的条件下，事件A发生的概率。
5.贝叶斯公式：-对于一系列互斥事件A1,A2,...,An，且事件A的概率不为零，给定事件B发生的条件下，事件Ai发生的概率可以表示为P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/P(B)，其中P(B，Ai)表示在事件Ai已经发生的条件下，事件B发生的概率。
6.期望值公式：- 对于一个离散随机变量X，其期望值E(X)可以表示为E(X) = Σ(xi × P(X = xi))，其中xi 是X的可能取值，P(X = xi)表示X取值为xi的概率。
7.方差公式：- 对于一个随机变量X，其方差Var(X)可以表示为Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2，其中E(X)表示X的期望值。
8.二项分布的概率公式：-对于n个独立的重复试验，每个试验的成功概率为p，其中x次成功的概率可以表示为P(X=x)=C(n,x)×p^x×(1-p)^(n-x)，其中C(n,x)表示组合数。
课件2：3.2.2概率的一般加法公式
∴小明成绩不及格的概率为P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)＝1－0.96＝0.04.
Hale Waihona Puke 三.迁移运用，巩固提高独立思考后，可以小组讨论，尝试用多种方法解题，理清思路，代 表发言。 10 、 一 盒 中 装 有 各 色 球 12 只 ， 其 中 5 红 、 4 黑 、 2 白 、 1 绿 ， 从 中 取 1
三.迁移运用，巩固提高
3、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，是对立事件的为 (B )
①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．
A．① B．② C．③ D．④
三.迁移运用，巩固提高
4.从一批产品中取出三件产品， 设A＝｛三件产品全不是次品｝ B＝｛三件产品全是次品｝ C＝｛三件产品不全是次品｝ 则下列结论正确的是（ C） A.只有A和C互斥 B.只有B与C互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥
你能写出在掷骰子的试验中出现的其它事件吗？
一.创设情境，引入新课
C1 ={出现1点}；C2={出现2点}； C3={出现3点}； C4 ={出现4点}；C5={出现5点}； C6={出现6点}；
D1={出现的点数不大于1}； D2={出现的点数大于3}； D3={出现的点数小于5}； E={出现的点数小于7}; F={出现的点数大于6}; G={出现的点数为偶数}; H={出现的点数为奇数};……
球．求： (1)取出球的颜色是红或黑的概率； (2)取出球的颜色是红或黑或白的概率．
概率的一般加法公式 ppt课件
概率的一般加法公式
概率的一般加法公式
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• 你怎么称呼老师？
• 如果老师最后没有总结一节课的重点的难点，你 是否会认为老师的教学方法需要改进？
D=A∩B(或D=AB) 事件A∩B是由事件A和B所共同含有的
基本事件组成的集合。如图中阴影部分 就是表示A∩B.
Ω
A
B
A∩B
概率的一般加法公式
在本例中，A∩B为{(4，4)，(4，5)，(4， 6)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，4),
(6，5)，(6，6)}.
解：作点集 Ω={(x，y)| x∈N, y∈N, 1≤x≤6, 1≤y≤6}.
25
概率的一般加法公式
8.从1，2，3，…，9 这9个数字中任取2个 数字， （1）2个数字都是奇数的概率为__1 _5 8 ___； （2）2个数字之和为偶数的概率为__4 ___.
9
概率的一般加法公式
9.连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币 出现正面还是反面. （1）写出这个试验的基本事件空间； （2）求这个试验的基本事件的总数； （3）“恰有两枚正面向上”这一事件包 含哪几个基本事件?
• 你所经历的课堂，是讲座式还是讨论式？ • 教师的教鞭
• “不怕太阳晒，也不怕那风雨狂，只怕先生骂我 笨，没有学问无颜见爹娘 ……”
• “太阳当空照，花儿对我笑，小鸟说早早早……”
在概率的加法公式中，如果A，B不是 互斥事件，那么公式是否成立？
来看下面的例子：
例1. 掷红、蓝两颗骰子，事件A={红骰子 的点数大于3}，事件B={蓝骰子的点数大 于3}，求事件A∪B={至少有一颗骰子的 点数大于3}发生的概率。
概率的加法与乘法原理
概率的加法与乘法原理概率是数学中的一个重要概念，用于描述某个事件发生的可能性。
概率的加法与乘法原理是概率论中的两个基本原理，它们在解决复杂事件的概率计算中起着重要的作用。
一、概率的加法原理概率的加法原理是指对于两个事件A和B，其概率的和等于这两个事件分别发生的概率之和减去两个事件同时发生的概率。
用数学符号表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。
以一个简单的例子来说明概率的加法原理。
假设有一个箱子，里面有红球和蓝球两种颜色的球，红球的数量为3个，蓝球的数量为2个。
现在从箱子中随机抽取一个球，求抽到红球或者蓝球的概率。
根据概率的加法原理，我们可以计算出抽到红球或者蓝球的概率为：P(红球∪蓝球) = P(红球) + P(蓝球) - P(红球∩蓝球) = 3/5 + 2/5 - 0 = 5/5 = 1。
这个例子中，红球和蓝球是两个互斥事件，即不可能同时发生，所以它们的交集为空集，概率为0。
因此，抽到红球或者蓝球的概率等于红球的概率加上蓝球的概率。
二、概率的乘法原理概率的乘法原理是指对于两个独立事件A和B，其同时发生的概率等于这两个事件分别发生的概率之积。
用数学符号表示为：P(A∩B) = P(A) × P(B)。
以一个生日概率的例子来说明概率的乘法原理。
假设有一个班级，有30个学生，每个学生的生日是独立的且均匀分布在一年中的365天。
现在要求至少有两个学生生日相同的概率。
根据概率的乘法原理，我们可以计算出至少有两个学生生日相同的概率为：1 - P(所有学生生日都不相同)。
第一个学生的生日可以是任意一天，概率为1。
第二个学生的生日不能与第一个学生的生日相同，概率为364/365。
以此类推，第30个学生的生日不能与前面29个学生的生日相同，概率为336/365。
因此，至少有两个学生生日相同的概率为：1 - (364/365 × 363/365 × ... ×336/365) ≈ 0.706。
概率与统计常用公式整理速查
概率与统计常用公式整理速查（注意：以下为示例内容，题目涉及的具体公式请根据实际需求自行整理）一、概率公式1. 加法法则P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)2. 乘法法则P(A∩B) = P(A) × P(B|A) = P(B) × P(A|B)3. 全概率公式P(A) = P(A|B₁) × P(B₁) + P(A|B₂) × P(B₂) + ... + P(A|Bₙ) × P(Bₙ)4. 贝叶斯公式P(B|A) = (P(A|B) × P(B)) / P(A)5. 边缘概率P(A) = Σ P(A, B) （对所有可能的事件B求和）6. 条件概率P(A|B) = P(A, B) / P(B)7. 相互独立事件P(A∩B) = P(A) × P(B)二、统计量计算1. 均值（平均值）μ = Σ(xᵢ) / n2. 方差σ² = Σ(xᵢ - μ)² / n3. 标准差σ = √(σ²)4. 协方差Cov(X, Y) = Σ((xᵢ - μₓ)(yᵢ - μᵧ)) / n5. 相关系数ρ = Cov(X, Y) / (σₓ × σᵧ)三、常用分布1. 正态分布概率密度函数：f(x) = (1 / (σ√(2π))) × exp(-((x - μ)² / (2σ²)))期望值：μ方差：σ²2. 二项分布概率质量函数：f(x) = C(n, x) × pˣ × (1-p)ⁿ⁻ˣ期望值：np方差：np(1-p)3. 泊松分布概率质量函数：f(x) = (e⁻ˣ × ʌˣ) / x!期望值：ʌ方差：ʌ4. 指数分布概率密度函数：f(x) = λe⁻ˡᵃᵐᵇᵈᵃ期望值：1/λ方差：1/λ²四、假设检验1. 单样本t检验t = (x - μ₀) / (s / √n)其中，x为样本均值，μ₀为假设的总体均值，s为样本标准差，n为样本容量。
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经济数学基础 第9章 随机事件与概率
——261——
第五单元 概率加法公式
一、学习目标
通过本节课学习，能用概率加法公式进行和事件概率的计算.
二、内容讲解
概率加法公式
有P（A＋B）=P（A）＋P（B）－P（AB）,称为概率加法公式.
当AB＝A,B互不相容（互斥）时， P（AB）＝0，则有P（A＋B）＝P
（A）＋P（B）.
特别地，有P（A）=1－P（A）.
问题思考：下列习题的解法错在哪里？
从1到10的10个数中，能被2整除的数有2，4，6，8，10共5个，能被3整除的数有
3，6，9共3个，于是！～10能被2或3整除的概率是p=8.0103105
经济数学基础 第9章 随机事件与概率
——262——
不对.正确解法：设A＝{被2整除的数}，B＝{被3整除的数}，C={被2或3整除的数}
显然，C＝A＋B. 但是P(C)P(A)+P(B)，因为P(AB)0. AB={被2且3整除的数}＝{6}，故
P(AB)=0.1. 有P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=0.5+0.3－0.1=0.7.
三、例题讲解
例1 三个工厂各有男女职工人数为：男 女
第一分厂： 400 100
第二分厂： 350 50
第三分厂： 250 50
若任抽1名职工，问该职工是女工或第三分厂职工的概率是多少？
解：设A＝{抽到女工}，B＝{抽到三分厂工人}
)()()()(ABPBPAPBAP
例2 盒中有7个棋子（4白3黑），从中任取3个，求能取到白色棋子的概率.
解：
方法1 设Ai＝{恰好取到i个白色棋子}，i=1,2,3，
因为A1，A2，A3互不相容，所求概率为
P（A1＋A2＋A3）＝P(A1)+P(A2)+P(A3)
＝56723412356723431235674223=0.971
方法2 设B＝{所取3个棋子全是黑色棋子}；C＝{取到白色棋子}
1200 450 1200 50 1200 300 1200
200
经济数学基础 第9章 随机事件与概率
——263——
所求概率为P（C）＝)(BP＝1－P（B）＝123156711＝3511=0.971
四、课堂练习
练习1 若产品分一等品、二等品和次品，如果一等品的概率是0.73，二等品
的概率是0.21，并规定一、二等品为合格品. 求产品的合格率和次品率.
产品的一等品和二等品是不能混淆的，又合格品与次品是对立的，故本例要用
互斥事件和的概率加法公式和对立事件的概率计算公式.设Ai＝{任取1件产品是i
等品}，i= 一，二.由题设，一等品、二等品的概率分别为P(A1)=0.73，P(A2)=0.21.
练习2 某射手连续打2枪，已知至少有1枪中靶的概率为0.8，第1枪不中靶
的概率是0.3，第2枪不中靶的概率是0.4. 求
（1）两枪均未中靶的概率；
（2）第1枪中靶，第2枪未中靶的概率.
第（1）问是一个概率加法公式的综合应用题目. 已知是两个事件和的概率. 所求两枪都
不中，是事件之积的概率；第（2）问，求一枪中一枪不中也是事件之积的概率. 而且已知的
是不中的概率，因此对立事件的概率公式以及事件的运算律、摩根律是很有用的.
设A1＝{第1枪中靶}，A2={第2枪中靶}.P（A1＋A2）＝0.8，)(1AP＝0.3，)(2AP＝0.4
（1）所求为P（)21AA 由摩根律，2121AAAA，得到P（)()2121AAPAA）
由对立事件的概率公式)(1)(2121AAPAAP；（2）所求为)(21AAP
五、课后作业
1. 试推导三个事件A，B，C和事件的概率公式P(A+B+C).
2. 袋中有红、黄、白色球各一个，每次任取一个，然后返回. 若连取三次，
求取到的三个球中没有红色球或没有黄色球的概率.
经济数学基础 第9章 随机事件与概率
——264——
3. 某单位订阅甲、乙、丙三种报纸，据调查，职工中40％读甲报，26％读乙
报，24％读丙报，8％兼读甲、乙报，5％兼读甲、丙报，4％兼读乙、丙报，2％兼
读甲、乙、丙报. 现从职工中随机抽查一人，问该职工至少读一种报纸的概率是多
少？不读报的概率是多少？
4. 设三个随机事件A，B，C，已知P(A)=P(B)=P(C)=41，P(AB)=P(BC)=0，
P(AC)=81，求A，B，C至少一个发生的概率.
1.)()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAP．
2. 271． 3. 0.75；0.25． 4. 85．