2018考研数学(一)真题与答案解析
2018考研数学一真题和答案与解析
WORD 格式整理版2017 年考研数学一真题及答案解析跨考教育数学教研室一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数1 cosf ( x) axx,x0在 x 0 处连续，则（）b, x 01 1 ( A)ab B ab2 2(C) ab 0 D ab 2 【答案】 A【解析】1x1 cos2 1xlim lim , f(x)ax ax 2ax 0 x 0在x 0 处连续1 1bab .2a 2选 A.（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) 0，则（）(A) f (1) f ( 1) B f (1) f ( 1) (C) f (1) f ( 1) D f (1) f ( 1) 【答案】 C【解析】' f (x) 0f (x) f ( x) 0, (1)f '(x) 0或f (x) 0f '( x) 0(2)，只有 C 选项满足 (1)且满足 (2) ，所以选C。
（3）函数2 2f (x, y, z) x y z 在点 (1,2,0) 处沿向量 u 1,2,2 的方向导数为（）( A)12 (B)6 (C)4 ( D)2 【答案】 D【解析】f u 1 2 22gradf {2 xy, x ,2 z}, gradf {4,1,0} gradf {4,1,0} { , , } 2.(1,2,0)u |u| 3 3 3选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v v1(t )（单学习指导参考Born to win!精勤求学 自强不息位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t )，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 t （单位： s ），则（ ） 0v(m / s)10205 10 15 20 25 30 t(s)( A)t10(B)15 t20(C)t 25(D)t 250 0【答案】 B 【解析】从 0 到t 这段时间内甲乙的位移分别为 0t t 0 0v (t)dt, v (t)dt,则乙要追上甲，则 1 2 0 0t 0 0 v (t) v (t)dt 10，当 21 t 025时满足，故选 C.（5）设是n维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（） TT(A)EB E不可逆 不可逆 TT (C)E 2D E 2 不可逆不可逆【答案】 AT TT【解析】选项 A,由( E)得(E) x 0有非零解，故 E0 。
2018年考研数学一
选择题：
1. 假设函数f(x) = 2x² + 3x - 4，求该函数的极值点是：
a) (1, -1)
b) (-1, -1)
c) (2, -4)
d) (0, -4)
2. 函数y = eˣ 的图像是：
a) 一条水平直线
b) 一条上升的曲线
c) 一条下降的曲线
d) 一条直线
3. 若A 和B 是两个矩阵，满足A × B = B × A，那么A 和B 是：
a) 可逆矩阵
b) 零矩阵
c) 对角矩阵
d) 对称矩阵
填空题：
1. 若a + b = 5，且a - b = 3，则a 的值为______。
答案：4
2. 若f(x) = x³ + 2x² + 3x + 4，求f'(x) 的导函数。
答案：f'(x) = 3x² + 4x + 3
3. 解方程组：
2x + y = 7
x - y = 1
得到x 的值为______。
答案：3
应用题：
1. 购买一辆汽车的总费用为2 万元，按银行利率5%的年利率贷款1.5 万元，贷款期为3 年，每月还款利息按简单利息计算。
每月应还多少利息？
答案：62.5 元
2. 一个球从地面上抛出，初速度为20 m/s，抛射角度为30°，求球在空中的时间和最大高度。
答案：时间约为2.04 s，最大高度约为8.16 m
3. 一座塔楼以每秒2 m 的速度向上升高，从塔楼底部到塔楼顶部共计100 m。
一个石子从塔楼顶部自由落下。
求石子落地时的速度。
答案：约为14.14 m/s。
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及答案解析一、选择题（4分×8）1.下列函数在x = 0处不可导的是 （ ）A 、 ()sin f x x x = B、()f x x = C 、()cos f x x = D、()f x = 解 选D 。
由导数定义或左右导数与导数的关系可知：00sin lim lim 0,x x x x x x x x→→==故A 选项不正确；000x x →→==，故B 选项不正确；2002sin cos 12lim lim 0x x x x x x →→-==，故C 选项不正确；20002sin 12lim lim 2x x x x x x→→→-==-，极限不存在，故D 选项正确。
2. 过点(1,0,0),(0,1,0)，且与曲面22z x y =+相切的平面为 （ ）A 、 01z x y z =+-=与B 、022z x y z =+-=与2C 、1x y x y z =+-=与D 、22x y x y z =+-=与2解 选B 。
由已知，点(1,0,0),(0,1,0)在切平面上，而选项C ，D 显然不满足，故排除C ，D 。
又曲面22z x y =+上任一点(,,)x y z 处的法向量为(2,2,1)x y -，如选项A 正确，1x y z +-=的法向量为(1,1,1)-，可得切点的11,22x y ==，代入曲面方程得12z =，而代入1x y z +-=得0z =，矛盾，故排除A 选项。
3. 023(1)(21)!nn n n +∞=+-=+∑（ ） A 、 sin1cos1+ B 、2sin1cos1+C 、2sin12cos1+D 、2sin13cos1+解 选B 。
因00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n +∞+∞+∞===++-=-+-+++∑∑∑ 0011(1)2(1)cos12sin1(2)!(21)!n n n n n n +∞+∞===-+-=++∑∑。
2018考研数一真题答案
2018考研数一真题答案2018年考研数学一真题答案的公布引起了广大考生的关注和讨论。
对于考研生而言，数学一是其中一门重要的科目，因此对于真题答案的掌握和理解具有重要意义。
本文将就2018年考研数学一真题答案进行分析和解读，帮助考生更好地了解考试内容和答题技巧。
首先，我们来看看2018年考研数学一真题的整体难度。
据考生反馈和专业人士的评价，2018年数学一真题整体难度适中，与往年相比并没有出现明显的变化。
题目涵盖了数学一各个重要的知识点，包括线性代数、概率统计、数学分析等。
对于备考的考生而言，掌握这些知识点是必不可少的。
接下来，我们将具体分析一些题目的答案和解题思路。
首先是选择题部分，其中一道典型的题目是关于矩阵的特征值和特征向量的。
考生需要运用矩阵的相关性质和定理，将矩阵进行对角化，然后求出特征值和特征向量。
这道题目考察了考生对于矩阵的理解和运用能力。
在计算题部分，有一道题目是求解一个概率问题。
考生需要根据题目给出的条件，利用概率的基本原理和计算方法，计算出所求的概率。
这道题目考察了考生对于概率统计的掌握程度和解题能力。
除了选择题和计算题，2018年考研数学一真题还包含了一些证明题。
其中一道典型的题目是关于函数极限的证明。
考生需要根据题目给出的条件，运用函数极限的定义和相关的性质，进行严谨的证明。
这道题目考察了考生对于数学分析的理解和证明能力。
综上所述，2018年考研数学一真题的答案涵盖了数学一各个重要的知识点，并且考察了考生的理解能力和解题能力。
对于备考的考生而言，除了掌握各个知识点的内容，还需要注重解题思路和方法的灵活运用。
在备考过程中，考生可以通过参考历年真题和模拟试题来加深对于考试内容和答题技巧的理解。
最后，我们希望广大考生能够充分利用2018年考研数学一真题答案，通过分析和解读真题答案，提高对于考试内容的理解和掌握，从而在考试中取得好成绩。
同时，也希望考生能够注重平时的积累和复习，不断提升自己的数学水平和解题能力。
2018年数学一考研真题答案
2018年数学一考研真题答案2018年数学一考研真题答案近年来，考研成为了许多大学毕业生继续深造的重要途径。
而其中，数学一科目一直备受考生关注。
2018年数学一考研真题的答案也成为了广大考生热议的话题。
在本文中，我们将对2018年数学一考研真题的答案进行一定的分析和探讨。
首先，我们来看看2018年数学一考研真题的整体难度如何。
根据考生的反馈和专业人士的评价，2018年数学一考研真题整体难度适中。
题目涵盖了数学的各个领域，包括高等代数、数学分析、概率统计等。
这也符合考研数学一科目的特点，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识面。
接下来，我们来具体分析一些考题的答案。
首先是高等代数部分的题目。
其中一道题目是求一个线性变换的特征值和特征向量。
解答这道题目需要考生熟悉线性代数的基本概念和定理，通过计算特征多项式和解方程组来求解。
另外一道题目是关于矩阵的秩和行列式的计算。
这道题目考察了考生对矩阵性质的理解和计算能力。
接下来是数学分析部分的题目。
其中一道题目是关于函数极限的计算。
这道题目考察了考生对函数极限的定义和计算方法的掌握。
另外一道题目是求一元函数的极值点和最大值。
这道题目需要考生熟悉函数的导数和极值点的判定条件，通过求导和解方程来求解。
最后是概率统计部分的题目。
其中一道题目是关于随机变量的期望和方差的计算。
这道题目考察了考生对随机变量的概念和性质的理解，通过计算期望和方差的定义式来求解。
另外一道题目是关于正态分布的性质和应用。
这道题目需要考生熟悉正态分布的概率密度函数和累积分布函数的性质，通过计算和应用正态分布的公式来求解。
综上所述，2018年数学一考研真题的答案涵盖了数学的各个领域，考察了考生的数学基础和解题能力。
对于备考考研的同学来说，熟悉和掌握这些题目的答案是非常重要的。
通过分析真题的答案，可以帮助考生更好地理解和掌握数学的知识和方法，提高解题的准确性和效率。
然而，我们也要注意，在备考过程中，单纯追求答案的正确性是不够的。
2018考研数学真题最强解析及点评全集
数三第11题
考差分方程定义的简单理解。见 《金讲》289-291页。
数一第12题
可能是部分同学卷面遇上的第四道难题，考查具有对称 性的重积分的简化运算。积分对称性的应用一直是《金 讲》的反复重点强调的要点，同型题见《金讲》262页 例1.8.5.如若掌握，本题亦是送分题。但《金讲》以外 大部分参考书对重积分的本质定义的理解讲解甚少，只 是繁杂公式的罗列，会让大部分同学对重积分产生畏惧， 简单题亦变成难题，所以本题有可能成为《金讲》以外 学习者的第四道难题。
数一第11题
考查旋度公式的记忆，直接用 旋度公式计算即得答案。旋度 公式的详细计算公式参见《金 讲》288页，属送分题。
数二第11题
考查三种常见有理式积分的求解。这类题只有两种思 路，分解因式或凑方， 《金讲》中对这类题从最简单 到复杂的求解方式都有归纳，并辅以详细例题解析， 稍有掌握，本题一眼可看出分母容易分解因式，因此 采用分解因式法，此类题属最常规的积分计算。
数二第18题
数三第18题
简单函数的级数展开并求通项。展开部分直接套公 式，属于送分。求通项虽偶有难度，但任何求通项 都可以通过适当展开进行归纳这一万能方法，在 《金讲》 中有强调，所以也属于半送分。《金讲》 254页至259页用了一个重点专题予以详解本考点， 足以解决任何函数的展开式。
数一第19题 数三第19题 数二第21题
数三第8题
数一第9题
考查幂指函数的极限求解，幂指函数首先用对数形式 转换。《金讲》中反复强调了这一万能解答步骤，属 送分题。
数二第9题
∞ ⋅ 0 型极限必须化成商式。反三角函 考查常规极限的计算。 数的式子唯一化简的方式是求导，故化为商式用洛必达法 则求解是必然的路径。这是最基本的数学简化思维，《金 讲》全书在不断强化数学中化繁为简的思维，稍有领会本 题必可解。，《金讲》中也有本题的同型题。
2018年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解【圣才出品】
2018年全国硕士研究生招生考试考研数学一真题及详解一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
）1．下列函数中，在x＝0处不可导的是（）。
A．f（x）＝|x|sin|x|B．C．f（x）＝cos|x|D．【答案】D【考点】导数的定义【解析】计算如下A项f－′（0）＝f＋′（0），f（x）在x＝0处可导；B项f－′（0）＝f＋′（0），f（x）在x＝0处可导；C项f－′（0）＝f＋′（0），f（x）在x＝0处可导；D项f－′（0）≠f＋′（0），f（x）在x＝0处不可导。
2．过点（1，0，0）与（0，1，0），且与z＝x2＋y2相切的平面为（）。
A．z＝0与x＋y－z＝1B．z＝0与2x＋2y－z＝2C．y＝x与x＋y－z＝1D．y＝x与2x＋2y－z＝2【答案】B【考点】曲面的切平面的计算【解析】y＝x不过点（1，0，0）与（0，1，0），排除CD两项。
显然z＝0与曲面z ＝x2＋y2相切，曲面z＝x2＋y2的法向量为（2x，2y，－1）。
A项，x＋y－z＝1的法向量为（1，1，－1），可得x＝1/2，y＝1/2，代入z＝x2＋y2和x＋y－z＝1中z不相等，A 项错误。
3．（）。
A．sin1＋cos1B．2sin1＋cos1C．2sin1＋2cos1D．2sin1＋3cos1【答案】B【考点】幂级数展开式【解析】计算如下4．则（）。
A．M＞N＞KB．M＞K＞NC．K＞M＞ND．K＞N＞M【答案】C【考点】定积分的性质与对称区间上定积分的计算【解析】因为2x/（1＋x2）是奇函数，故当x∈[－π/2，π/2]时，得K＞M，排除AB两项。
注意到当x≠0时，e x＞1＋x，则当x∈[－π/2，π/2]时，（1＋x）/e x≤1（且不恒等于1），得N＜M。
综上所述，K＞M＞N。
5．下列矩阵中，与矩阵相似的为（）。
A．B．C．D．【答案】A【考点】矩阵相似的判定【解析】题设矩阵记为X，4个选项矩阵分别记为A、B、C、D。
数1--18真题答案
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分． （1）【答案】D.【解答】选项A 和C ，函数sin sin x x x x =，cos cos x x =，可导；B 选项，00()(0)(0)lim 0x x f x f f x →→−'==−0x →=320lim 0x x x →==，可导； 对于D选项，由定义得0112(0)lim lim 2x x xf x +++→→−'===−；112(0)lim lim 2x x xf x −−−→→−'===. 因为(0)(0)f f +−''≠，所以不可导. 故选D. （2）【答案】B.【解答】设切点的坐标为220000(,,)x y x y +. 由题设可知切平面的法向量为00{2,2,1}x y =−n ，则切平面的方程为220000002()2()[()]0x x x y y y z x y −+−−−+=， 即 22000022()0x x y y z x y +−−+=.将点(1,0,0)与(0,1,0)代入上式22000220002()0,2()0,x x y y x y ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩解得000x y ==或001x y ==，将00,x y 代入方程，得0z =或222x y z +−=. 故选B. （3）【答案】B.【解答】因为，00023212(1)(1)(1)(21)!(21)!(21)!nn n n n n n n n n n ∞∞∞===++−=−+−+++∑∑∑00(1)(1)2(2)!(21)!n nn n n n ∞∞==−−=++∑∑，而，21200(1)(1)sin ,cos (),(21)!(2)!n n n nn n x x x x x n n +∞∞==−−==−∞<<+∞+∑∑ 所以，23(1)cos12sin1(21)!nn n n ∞=+−=++∑，故选B.（4）【答案】C. 【解答】因为，πππ2222πππ22222122d (1)d 1d 11x x x M x x x x x −−−++==+=++⎰⎰⎰，11cos x + 所以，K M >. 设()e 1xf x x =−−，则()e 1xf x '=−，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x 时，()0f x '，()f x 单调递增，故(0)0f =是其最小值，即11exx +. 所以M N >，即N M K <<，故选C. （5）【答案】A.【解答】记矩阵110011,001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭M 则3110011(1)0001λλλλλ−−−=−−=−=−E M ， 所以特征值为1231λλλ===，且()()2r r λ−=−=E M E M ；对于A 选项：记矩阵为A ，解得特征值均为1，且()()2r r λ−=−=E A E A ； 同理对于B 、C 、D 选项：分别记矩阵为,,B C D ，计算可得其特征值均为1，而()()()1r r r −=−=−=E B E C E D .若矩阵,T N 相似，则对应的矩阵λ−E T 和λ−E N 也相似，故秩相等. 由此可以排除选项B ，C ，D ，故选A. （6）【答案】A.【解答】选项A ，易知()()r r A AB A .由分块矩阵的乘法，可知()()=A AB A E B ，因此()min{(),()}r r r A AB A E B ，从而 ()()r r A AB A ，所以 ()()r r =A AB A ， 则选项A 正确. B 选项，令1001,0010⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()1,()2r r ==A A BA ； C 选项，令1000,0001⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则()()1,()2r r r ===A B A B ；D 选项，令1001,0000⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，则T T()1,()2r r ==A B A B ；故选A. （7）【答案】A.【解答】因为(1)(1)f x f x +=−，所以()f x 的图像关于1x =对称，因此{0}{2}P X P X =.因为2()d 0.6f x x =⎰，所以{0}{2}2{0}10.60.4P X P X P X +==−=，从而{0}0.2P X =，故选A. （8）【答案】D.【解答】如右图所示，/2Z α表示标准正态分布的 上2α分位数，即图中阴影部分的面积为2α.区间/2/2(,)Z Z αα−是在显著性水平α下的接受域.若显著性水平0.05α=时接受0H ，即表示检验统计量0/X Z nμσ−=的观察值落在接受域0.0250.025(,)Z Z −内. 区间0.0050.005(,)Z Z −包含0.0250.025(,)Z Z −，因此其观察值也落在区间0.0050.005(,)Z Z −内，即落在接受域内，所以选项D 正确，B 错误；0.05α=时拒绝0H ，即Z 的观察值落在拒绝域0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞内；但区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞包含于0.0250.025(,][,)Z Z −∞−+∞，因此无法判断观察值是否落在区间0.0050.005(,][,)Z Z −∞−+∞内，选项A ，C 无法确定；故选D.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分． （9）【答案】2−.【解答】2tan 11tan sin (1tan )sin 2tan 001tan 2tan lim()lim{[1()}1tan 1tan xx kx x kx x x x x x x x−++−→→−−=+++022lim 1=e e x x kx k →−−⋅=， 所以21k−=，解得2k =−. （10）【答案】2ln 22−.【解答】由题意可知，(0)0,(1)2,(1)2ln 2f f f '===，因此111100()d d ()()()d xf x x x f x xf x f x x '''''==−⎰⎰⎰10[()()]2ln 22xf x f x '=−=−.（11）【答案】(1,0,1)−.【解答】旋度(,,)(,,)x y z y z x x y z x y z PQ R xy yz xz∂∂∂∂∂∂===−−∂∂∂∂∂∂−rot ij k i jk F ， 所以(1,1,0)(1,1,0)(,,)(1,0,1)y z x =−−=−rot F .（12）【答案】3π−. 【解答】由曲线2221:0x y z l x y z ⎧++=⎨++=⎩的表达式可知，,,x y z 有轮换对称性，所以1d ()d 3llxy s xy yz zx s =++⎰⎰.又222211[()()]22xy yz zx x y z x y z ++=++−++=−，交线l 是半径为1的圆弧， 所以111d ()d 23263ll xy s s π=−=−⋅π=−⎰⎰. （13）【答案】1−.【解答】由21212()()+=+A αααα可知212()()−+=0A E αα.12,αα线性无关，因此方程2()−=0A E x 有非零解，从而20−=A E ，所以特征值λ满足方程210λ−=，即1λ=或1λ=−.又A 有两个不同的特征值，所以1(1)1=⋅−=−A . （14）【答案】14. 【解答】由条件可知，()()(),()()(),()0P AB P A P B P AC P A P C P BC ===. 由条件概率的定义可得，(()())()(())()()()()P AC AB C P ACAB ACC P AC AB C P AB C P AB P C P ABC ==+− 1()()1211()()()4()22P C P AC P A P B P C P C ===+⋅+，解得1()4P C =. 三、解答题：15～23小题，共94分．（15）【解】利用分部积分，2e arctan x x ⎰21arctan 2x =⎰2211e e 22xx x x =−⎰2211e arctan 24x x x =211e 24x x x =11222e 1[(e 1)(e 1)]d(e 1)24x x x x −=−−+−−⎰31222e 12[(e 1)2(e 1)]243x x xC =−−+−+ 31222e 11(e 1)(e 1)262x x xC =−−−−+. （16）【解】设圆的周长为x ，正三角周长为y ，正方形的周长z ，由题设2x y z ++=.则目标函数2222221π2π22344π3616x y z x z S y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，构造拉格朗日函数222(,,;)(2)4π3616x zL x y z y x y z λλ=+++++−，对参数求导并令导函数为零，则0,20,3620,1620.x yzx L L z L L x y z λλπλλ⎧'=+=⎪⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪⎪⎪'=++−=⎩解得x =y =，z =此时面积和有最小值为2)S =.（17）【解】记33,,P x Q y z R z ==+=；构造平面22331,:0,y z x ∑⎧+'⎨=⎩取后侧，∑'与∑所围区域2{(,,)|013x y z x y Ω=−.由高斯公式可得，+d d d d d d d d d d d d d d d d d d P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y P y z Q z x R x y ∑∑∑∑''++=++−++⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 22()d d d 0(133)d d d x y z P Q R x y z yz x y z ΩΩ'''=++−=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22220331d d 33)dy z y z y z x +=++⎰⎰222233133)d d y z yz y z +=++⎰⎰220d 3)dr r r θπ=+⋅⎰2212)3)d(13)6r r =π(−+−2232)d(13)3r r π=−−−31222223)2(13)]d(13)3r r rπ=−−−−51222224[(13)(13)353r rπ=−−−1445π=.（18）（Ⅰ）【解】由题可知方程为一阶线性微分方程.当()f x x=时，由公式可得通解为，1d1d()e(e d)x xy x x x C−⎰⎰=+⎰=e(e d)x xx x C−+⎰=e[(1)e]x xx C−−+=(1)e xx C−−+，（C为任意常数）.（Ⅱ）【证】由条件课得通解为，1d1d()e[()e d]x xy x f x x C−⎰⎰=+⎰()e()e dx xf x x C−=+⎰，（C为任意常数）.因为()f x为周期函数，不妨设周期为T，则()()f x T f x+=.而()()()e()e d ex T x T x Ty x T f x T x C−++−++=++⎰()e e()e e dT x x Tf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e e e()e dT x T xf x x C−−=⋅⋅+⎰()1e()e dx xf x x C−=+⎰.欲使()y x为周期函数，即()()y x y x T=+，只需1e TC C−=⋅，再由e0T−>，故0C=.从而()e()e dx xy x f x x−=⎰为方程对应的解，且为周期函数.（19）【证】设()e1,0xf x x x=−−>，则有e1()e10,()(0)0,1xxf x f x fx−'=−>>=>，从而1221e1e1,0xx xx−=>>.猜想0n x >，现用数学归纳法证明:1n =时，10x >，成立；假设(1,2,)n k k ==时，有0k x >，则1n k =+时有11e 1e1,0k k x x k kx x ++−=>>；因此0n x >，有下界. 再证单调性，1e 1e 1ln ln e lne n n nnx x x n n x n n x x x x +−−−=−=. 设()e 1e xxg x x =−−，0x >时，()e e e e 0x x x xg x x x '=−−=−<，所以()g x 单调递减，()(0)0g x g <=，即有e 1e xxx −<，因此1e 1ln ln10e n nx n n x n x x x +−−=<=，即数列{}n x 单调递减. 故由单调有界准则可知极限lim n n x →∞存在.不妨设lim n n x A →∞=，则e e 1A AA =−.因为()e 1e x xg x x =−−只有唯一的零点0x =，所以0A =，即lim 0n n x →∞=.（20）【解】（Ⅰ）由123(,,)0f x x x =得12323130,0,0,x x x x x x ax −+=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 系数矩阵 11110210101110002r a a −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎯⎯→ ⎪ ⎪⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭A ，所以，当2a ≠时，()3r =A ，方程组有唯一解，1230x x x ===.当2a =时，()2r =A ，方程组有无穷解，21,1k k −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭x 为任意常数. （Ⅱ）当2a ≠时，令1123223313,,,y x x x y x x y x ax =−+⎧⎪=+⎨⎪=+⎩为可逆变换，此时规范形为222123y y y ++. 当2a =时，2221231232313(,,)()()(2)f x x x x x x x x x x =−+++++222123121322626x x x x x x x =++−+222323133()2()22x x x x x −+=−+， 此时规范形为2212y y +.（21）【解】（Ⅰ）由题设条件可知矩阵A 与B 等价，则秩()()r r =A B .因为 131212130130027390a ar r a +==−A ，所以 31121201101120111013a a r r a a +==−=−+B ，因此 2a =.（Ⅱ）设矩阵111213212223313233x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，对增广矩阵作初等变换可得， 122122106344(,)130011012111272111000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭A B ，解得，11112213321122223331132233363646421,21,21x k x k x k x k x k x k x k x k x k −+−+−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−=−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪ ⎪⎝⎭P .又P 可逆，因此1231223123231231236364640113,22121211110k k k r r r r k k k k k k k k k k k −+−+−++−=−−−−−=−≠P ， 即23k k ≠.故123123123636464212121k k k k k k k k k −+−+−+⎛⎫ ⎪=−−− ⎪⎪⎝⎭P ，其中123,,k k k 为任意常数，且23k k ≠.（22）【解】（Ⅰ）因为随机变量X 的概率分布为1{1}{1}2P X P X ===−=， 所以，2()0,()1,()1E X E X D X ===. 因为，Y 的分布律为e {},0,1,!k P Y k k k λλ−===，所以，()E Y λ=.因为，2(,)(,)()()()Cov X Z Cov X XY E X Y E X E XY ==−，且X 与Y 相互独立， 所以，(,)Cov X Z 22()()()()()()E X E Y E X E Y D X E Y λ=−==. （Ⅱ）利用全概率公式有，{}{}P Z k P XY k ==={1}{|1}{1}{|1}P X P XY k X P X P XY k X ====+=−==−，再由X 与Y 相互独立可得{}P Z k ={1}{}{1}{}P X P Y k P X P Y k ===+=−=−1[{}{}]2P Y k P Y k ==+=−. 当0k =时，{0}{0}e P Z P Y λ−====；当k 为正整数时，1e {}{}22!kP Z k P Y k k λλ−====⋅；当k 为负整数时，1e {}{}22()!kP Z k P Y k k λλ−−===−=⋅−.综上所述，有e ,0,{}e ,1,2.2!k k P Z k k k λλλ−−⎧=⎪==⎨=±±⎪⋅⎩（23）【解】（Ⅰ）似然函数 11111()e e22niii x nx n n i L σσσσσ=−−=∑==∏， 取对数： 11ln ()ln 2ln nii L n n xσσσ==−−−∑，求导： 21d ln ()10d nii L n xσσσσ==−+=∑，解得 1nii xnσ==∑，所以σ的最大似然估计量 1ˆnii Xnσ==∑.（Ⅱ） 111ˆ()()()e d 2xn i i E E X E X x x n σσσ−+∞−∞====∑⎰e d dexxxx x σσσ−−+∞+∞==−⎰⎰e|e d xxx x σσσ−−+∞+∞=−+=⎰；2221()()()1ˆ()()ni i D X E X E X D D X n n nσ=−===∑22220111(e d )(e d )2xx x xx x n n σσσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−⎰⎰ 22220111(e d )(de )2xx xx x n n σσσσσ−−+∞+∞−∞=−=−−⎰⎰ 222011(2e d )(2)xx x n nσσσσ−+∞=−=−⎰2nσ=.。
2018年考研数学一真题
(A) 如果检验水平α = 0.05 下拒绝 H0 ，那么在检验水平α = 0.01 下必拒绝 H0
(B) 如果检验水平α = 0.05 下拒绝 H0 ，那么在检验水平α = 0.01 下必接受 H0
(C) 如果检验水平α = 0.05 下接受 H0 ，那么在检验水平α = 0.01 下必拒绝 H0
13.设 2 阶矩阵 A 有两个不同特征值，α1 ,α2 是 A 的线性无关的特征向量，且满
足 A2 (α1 + α2 ) =α1 + α2 ，则 A = ________.
14.设随机事件 A 与 B 相互独立， A 与 C 相互独立， BC = ∅ ，若
P= (A) P= (B) 1 ， P (A C AB C) = 1 ，
(D) f (x) = cos x
2.过点 (1, 0, 0) 与 (0,1, 0) ，且与曲面=z x2 + y2 相切的平面为 ( )
(A) z = 0 与 x + y − z =1
(B) z = 0 与 2x + 2y − z =2
(C) x = y 与 x + y − z =1
(D) x = y 与 2x + 2y − z =2
(A) r (A, AB) = r (A)
(B) r (A, BA) = r (ห้องสมุดไป่ตู้)
(C) r (A, B) = max{r (A), r (B)}
( ) (D) r (A, B) = r AT , BT
7.设随机变量 X 的概率密度 f (x) 满足 f (1 + x) =
f
(1
−
x
)
，且
2
∫0
2018年考研数学一真题_最新修正版
2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1）下列函数中，在0x =处不可导的是（ ）(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =（2）过点()()1,0,0,0,1,0，且与曲面22z x y =+相切的平面为（ ）(A)01z x y z =+-=与 (B) 022z x y z =+-=与2(C) 1x y x y z =+-=与 (D) 22x y x y z =+-=与2（3）()()023121!n n n n ∞=+-=+∑（ ）(A) sin1cos1+ (B) 2sin1cos1+(C) 2sin12cos1+ (D) 2sin13cos1+（4）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===+⎰⎰⎰则（ ）(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>（5）下列矩阵中与矩阵110011001⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似的为（ ）(A) 111011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (B) 101011001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(C) 111010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (D) 101010001-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（6）()(),A B n r X X X Y 设、为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（） ()()()()（7） 设随机变量X 的概率密度()()()(){}2011,0.6,0f x f x f x f x dx P X +=-=<=⎰满足且则（ ） (A) 0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5 （8）设总体()212,,,,,n X N X X X X μσ服从正态分布是来自总体的简单随机样本，据此样本检测：0010=H H μμμμ≠假设：：，：，则（ ）(A) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平下必拒绝(B) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下拒绝，那么在检验水平必接受(C) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必拒绝(D) 00=0.05=0.01H H αα如果在检验水平下接受，那么在检验水平下必接受二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。