变分法初步
理学院邓胜华第19章变分法初步
引言：
从前面的定解问题的解法中，我们容易想到由于边界形状较为复杂，或由于泛定方程较为复杂，或由于其它各种条件发生变化，将使得定解问题难以严格解出，因此又发展了一些切实可用的近似方法，通过本章的学习我们会看到近似解的价值一点也不低于严格解的价值．事实上，我们应该已经注意到，从推导数学物理方程时难免要作一些简化假定，定解条件本身也带有或多或少的近似性，前面所谓的严格解其实也是某种程度的近似．
常用近似解法涉及：有限差分法、模拟法、变分法等．
有限差分法：有限差分法把定解问题转化为代数方程，然后通过电子计算机求定解问题的数值解．
模拟法：即用一定的物理模型来模拟所研究的定解问题，而在模型上实测解的数值．
变分法：是这些方法中最为重要和切实有效的方法，
已经广泛应用于科学研究和工程计算之中。
本课主要介绍经典变分法的基本概念和理论．
变分法是研究求解泛函极值(极大或极小)的方法，变分问题即是求泛函的极值问题，把定解问题转化为
变分问题，再求变分问题的解。
变分法的优点:
(1)变分法在物理上可以归纳定律．因为几乎所有的自然定
律都能用变分原理的形式予以表达；
(2)变分法易于实现数学的统一化．因为一般而言，数学物
理方程的定解问题都可以转化为变分问题．尤其是前面介绍的斯特姆－刘维尔本征值问题可转化为变分问题，变分法提供了施－刘型本征值问题的本征函数系的完备性等结论的证明；
(3)变分法是求解数学物理定解问题常用的近似方法。
基本思想：是把数学物理定解问题转化为变分问题。
由直接解变分问题发展了一些近似解法，其中最有用的是里茨（Ritz）法．由于里茨法中的试探函数的选取较为麻烦，计算系数矩阵也十分困难，随着计算机的展，又迅速发展了一种有限元法；
(4)变分法的应用不仅在经典物理和工程技术域，而且在现
代量子场论，现代控制理论和现代信息理论等高技术领域都有十分广泛的应用．
19.1 变分法的基本概念
变分法变分问题
变分法就是求泛函极值的方法．
变分问题即是求泛函的极值问题．
泛函变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．
为了说明泛函概念先看一个例题：
考虑著名的最速降线落径问题。如图19.1 所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B 间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T 最小．
y x
A
B(x,y)图19.1
我们知道，此时质点的速度是
d 2d s gy
t =因此从A 滑到B 所需的时间为
21+d d d 22B
A t
B B t A A y s T t x
gy gy ′===∫∫∫即为21+[()]d 2B
A y T y x x
gy ′=∫式中y’代表对x 求一阶导数．称T 为y (x ) 的泛函, 而称y (x ) 为可取的函数类，为泛函T [ y (x )] 的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数(不是复合函数的那种含义).
一般来说，设C 是函数的集合，B 是实数或复数的集合，如果对于C 的任一元素y (x )，在B 中都有一个元素J 与之对应，则称J 为y (x )的泛函，记为[()]
J J y x =注意：泛函不同于通常讲的函数．决定通常函数值的因素是自变量的取值，而决定泛函的值的因素则是函数的取形。如上面例子中的泛函T 的变化是由函数y (x )到B 的不同曲线）所引起的。它的值既不取决于某一个x 值，也不取决于某一个y 值，而是取决于整个集合C 中的y 与x 的函数关系。
泛函泛函的核
泛函通常以积分形式出现，比如上面描述的最速降线落径问题的式表达。更为一般而又典型的泛函定义为
[()](,,)d b
a J y x F x y y x
′=∫其中(,,)F x y y ′称为泛函的核．
泛函的极值――变分法
对于不同的自变量函数()y x ，与此相应的泛函[()]J y x 也有不同的数值．找出一个确定的自变量函数()y x ，使泛函[()]J y x 具有极值（极小或极大），这种泛函的极小值与极大值
引入泛函的概念后，对于上述的最速降线落径问题变为泛函J y x的极小值问题．物理学中常见的有光学中的费马[()]
(Fermat)原理，分析力学中的哈密顿(Hamiton)原理等，都是
泛函的极值问题．
变分法：所谓的变分法就是求泛函极值的方法．
研究泛函极值问题的方法可以归为两类：
直接法：直接分析所提出的问题；
间接法：把问题转化为求解微分方程．
为讨论间接方法，先介绍变分和泛函的变分．
变分：
如果我们将泛函取极值时的函数（或函数曲线）定义为();y x 并定义与函数曲线()y x 邻近的曲线（或略为变形的曲线）作为比较曲线，记为
(,)()()
y x y x x εεη=+其中ε是一个小参数；()x η是具有二阶导数的任意选定的函数，规定它在一个小范围内变化, 这限制主要保证泛函在极值处连续．在研究泛函极值时，通常将()x η固定，而令ε变化，这样规定好处在于：建立了由参数到泛函ε[()]J y x 值之间的对应关系，因此泛函[()]J y x 就成为参数的普通ε
ε同时，函数曲线()y x 的变分定义为0(,)|()d y y x x εδεηεε=?==?因此可得()d y x δηε
′′=函数. 原来泛函的极值问题就成为普通函数对
求极值的问题
这里,y η′′代表对x 求一阶导数．所以d d y y x
δδ′=即变分和微分可以交换次序。泛函的变分：
()d b
a F F J y y x y y δδδ??′=+′??∫
在极值曲线()y x 附近，泛函[()]J y x 的增量，定义为
[(,)][()]
J J y x J y x ε?=?依照上述约定，当0ε→时，泛函增量J ?的线性主要部分定义为泛函的变分，记为
0|d J J εδεε
=?=?在求一元或多元函数的极值时，微分起了很大的作用；同样在研究泛函极值问题时，变分起着类似微分的作用．因此，通常称泛函极值问题为变分问题；称求泛函极值的方法为变分法．
【解】1
721[()]()d J y x y e xy x
?′=+∫11
72711
11177111111
1[()]()d (2)d d 2d d 2d |d 2d J y x y e xy x xy y e y x xy y x e y x xy y x e y x xy y x δδδδδδδδδ???????′′=+=+=+=+=∫∫∫∫∫∫注意: 最后一步利用了一般在边界上函数变分为零的事实，即
711|0
e y δ?=例1 计算泛函的变分
19.2 泛函的极值
泛函的极值问题，一般来说是比较复杂的。因为它与泛函包含的自变量个数，未知函数的个数以及函数导数的阶数等相关。另外，在求泛函极值时，有的还要加约束条件，且约束条件的类型也有不同，等等。下面我们首先讨论泛函的极值的必要条件．
泛函的极值的必要条件――欧拉－拉格朗日方程
J y x的极值问题有解
设[()]
=
()
y y x
则[()()]J y x x εη+可视为参数ε的函数
()[()()].J y x x εεηΦ=+而当0ε=时，现在推导这个解所满足的常微分方程，这是用间接法研究泛函极值问题的重要一环．设想这个解有变分
()
x εη()()()y x x y x εη+=即为
[()()]J y x x εη+取极值．于是原来的泛函极值问题，就化为一个求普通函数()εΦ的极值问题．由函数取极值的必要条件，有
0d |0d εε
=Φ=即有0|0J εε=?=?
1. 泛函表示为一个自变量，一个函数及其一阶导数的积分形式
[()](,,)b
a J y x F x y y dx
′=∫若考虑两端固定边界的泛函问题：积分是在区域内通过两点1122(,),(,)x y x y 的任意曲线进行的，其中12,x a x b ==泛函中y 为(,)()()
y x y x x εεη=+由于两端固定，所以要求()0,()0a b ηη==，即
|0,|0
x a x b y y δδ====因此可得
0[()()]|d [()d ()d ]d []d b a b a J y x x J F F x x x y y F F y y x y y εεηδεε
ηεηεδδ=?+=???′=+′
????′=+′
??∫∫对第二项应用分部积分法可使积分号下出现y δd |[()]d d b b a a F F F J y y x y y x y δδδ???=+?′
′???∫由于
0|0J J d εδεε=?==?
故有d |[()]d 0d b b a a F F F J y y x y y x y δδδ???=+?=′′
???∫因为|0,|0x a x b y y δδ====并且y δ是任意的，所以
d ()0d F F y x y ???=′
??此即泛函取极值的必要条件．即泛函J 的极值函数y (x ) 必须是满足泛函的变分0J δ=的函数类y (x )。
此式称为欧拉(Euler)-拉格朗日(Lagrange)方程，简称E-L 方程因此把泛函的极值问题称为变分问题。
变分法的发展与应用
变分法的发展与应用 应用数学11XX班XXX 104972110XXXX 摘要：变分法是研究泛函卡及值的数学分支，其基本问题是求泛函(函数的雨数)的极值及相应的极值函数。变分法是重要的数学分支，与诸如微分方程、数学物理、极小曲面用论、微分几何、黎曼几何、积分力‘程、拓扑学等许多数学分支或部门均有密切联系。变分法有着广泛的应用：变分法构成了物理学中的种种变分原理，成为物理学理论不可缺少的组成部分，是研究力学、弹性理论、电磁学、相对论、量子力学等许多物理学分支的重要工具；变分法通过“直接方法”而成为近似计算的有效于段，为微分方程边值问题的数值解法开辟了一条途径，形成了有限元方法的基础之一。近年来，变分法又在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 关键词：起源；发展；应用 1.引言 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。变分法起源于一些具体的物理问题学问题，最终由数学家研究解决。变分法在科学与技术的各个领域尤其是在物理学中有着十分重要的作用，它提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们在材料学中研
究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是显然的变分性质的领域。 近年来，变分法在经济、电子工程和图像处理等领域得以广泛应用。因此研究变分法的思想演化过程，无论从数学史还足从科学史的角度来说，都具有十分重要的理论价值和现实意义。 2.变分法的起源 物理学中泛函极值问题的提出促进了变分学的建立和发展，而变分学的理论成果则不断渗透到物理学中。 费马从欧几里得确立的光的反射定律出发提出了光的最小时间原理：光线永远沿用时最短的路径传播。他原先怀疑光的折射定律，但在1661年费马发现从他的光的最小时间原理能够推导出折射定律，不仅消除了早先的怀疑，而且更加坚信他的原理。 受费尔马的影响，约翰伯努利研究了“最速降线”问题：给 定空间中的两个点,a b,其中a比b高，求一条连接两点的曲线使得一个质点从a沿曲线下降到b用时最少。 变分法对于几何的应用在早期主要是对曲面上的测地线和欧氏空间中给定边界的极小曲面（Plateau问题）的研究。但在很长时间内仅限于一些特殊情形，没有重要进展。 3.变分法的发展 18世纪是变分法的草创时期，建立了极值应满足的欧拉方程并据此解决了大量具体问题。19世纪人们把变分法广泛应用到数学物理中去，建立了极值函数的充分条件。20世纪伊始，希尔伯
基于变分法的医学超声图像去噪研究
基于变分法的医学超声图像去噪研究 【摘要】目的：医学超声图像中斑点噪声的存在，降低了图像质量，本文着重讨论医学超声图像的去噪问题。方法：针对超声图像的斑点噪声，本文基于全变分正则化模型，首先对超声图像进行对数变换，将乘性斑点噪声转化为加性噪声，再对对数变换后的图像进行全变分正则化处理，最后通过指数变换重构超声图像。结果：子宫超声图像去噪实验中，将全变分法与常用的中值滤波和小波变换去噪方法进行对比，结果显示全变分法的去噪性能指标明显优于其余方法。结论：采用基于全变分正则化的方法，不仅很大程度上抑制了医学超声图像的斑点噪声，而且保留了清晰的边缘细节信息，具有重要的学术价值和现实意义。 【关键词】超声图像处理；斑点噪声去噪；全变分正则化模型 0 引言 与X光透视、CT、MRI等医学成像方法相比，医学超声成像因非侵入无创伤性、成像速度快、成本低、操作简便等优点，成为目前普遍应用的医学成像技术。超声诊断作为一种理想的无损检查方法，有着广阔的发展前景。据报道，近十年，世界医学超声仪器的数量以15%左右的速度增长
[1]。然而，由于成像机制的限制，超声图像存在固有的斑点噪声，极大地降低了超声图像质量，增加了图像特征分析的难度，影响了疾病诊断的准确度。因此，超声图像中对斑点噪声的抑制具有重要的学术价值和现实意义。 目前，超声图像去噪方法常见的有中值滤波[2]、直方图[3]和小波变换[4]等。基于小波域的去噪方法，以其良好的时频特性，广泛运用于超声图像去噪。该方法主要基于图像中有用信息和噪声之间的频率特性存在差异的假设，进行频域分析去噪。但实际上假设条件并不总是成立，图像中的有用信息部分和噪声往往在频带上存在重迭。基于小波域的去噪方法容易丢失部分高频分量――图像中的细节和边缘等有用信息，限制了图像质量的提高。最近的研究表明，全变分正则化法对稀疏或梯度稀疏图像的重构效果显著，很好地保留了图像的边缘信息。Rudin等人首次将全变分去噪法引入到图像处理中[5]。由于全变分正则化在边缘检测中的巨大应用价值，近几年研究人员提出很多基于全变分的去噪算法[6-7]。针对超声图像的去噪特殊性，本文提出基于全变分正则化的超声图像去噪方法。首先对超声图像进行对数变换，将乘性噪声转化为加性噪声，再对对数变换后的图像进行全变分正则化处理，最后通过指数变换重构超声图像。本方法去除斑点噪声的同时，能够很好地保留图像的边缘信息。 1 变分法原理
变分法简介(简单明了易懂)(可编辑修改word版)
? §1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696 年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比· 伯努利（ Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（ Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ， 1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在 1690 年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题(The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线， 从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在 1646 年（当时 17 岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到 1691 年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以 62 岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 ? d 2 y ? dx 2 a 1+ ( dy )2 dx ? y (0) = y ? ? ? 解此方程并适当选取参数，得 y '(0) = 0 即为悬链线。 y = 1 2a (e ax + e -ax ) （1） 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变 = 0
力学中的数学方法-变分法
变分法
取极值必须满足z 1696年瑞士数学家约翰、贝努里提出的“最速降线问题”，发表于《教师学报》，引起广泛关注。z 1697年该杂志刊登了牛顿、莱布尼兹、洛比达和贝努里兄弟的解法，殊途同归！ z 虽蕴含着天才思想，但还是不能建立起变分法！z 历史安排了大数学家尤拉，1734年解决了更广泛的最速降线问题，但他还不满意。最终他找到了，1736年的论文： §4.1 变分法基本概念与基本理论历史往事——导致变分法建立的著名问题: [()](,,)b a J y x F x y y dx ′=∫ d ()0d F F y x y ???=′??z 拉格朗日改进了尤拉证明，非常简洁，1755年告诉了尤
一. 基本概念 变分法就是求泛函极值的方法．变分问题即是求泛函的极值问题． 1. 泛函 变分法研究的对象是泛函，泛函是函数概念的推广．先看一个例题：
考虑著名的最速降线落径问题。如图1 所示，已知A和B为不在同一铅垂线和不同高度的两点，要求找出A、B间的这样一条曲线，当一质点在重力作用下沿这条曲线无摩擦地从A滑到B时，所需的时间T最小． y x A B(x,y)
此时质点的速度是 d 2d s gy t =从A 滑到B 所需的时间为 d B A t t T t =∫21+[()]d 2B A y T y x x gy ′=∫d 2B A s gy =∫21+d 2B A y x gy ′= ∫
y ′x T ()y x ()y x [()]T y x 式中代表对求一阶导数．我们称上述的为的泛函，而称为可取的函数类，为泛函的定义域。简单地说，泛函就是函数的函数（不是复合函数的那种含义）． 泛函定义：一般来说，设C 是函数的集合，B 是实数或复数的集合如果对于C 的任一元素 ()y x 在B 中都有一个元素J 与之对应，所谓泛函不过是更广泛意义下的函数关系罢了！ J ()y x [()] J J y x =则称为的泛函，记为
变分原理与变分法
第一章 变分原理与变分法 1.1 关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、 大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理： 昼/夜，日/月，阴/阳，静止/运动 等矛盾/统一的协调体； 对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理； 对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止(相对稳定状态)事物中的一个普遍适应的数学定律，获称最小作用原理。 Examples : ① 光线最短路径传播； ② 光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron ）； ③ CB AC EB AE +>+ Summary : 实际上光的传播遵循最小能量原理； 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 二、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方 法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义 定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系 特征描述法：{ J :R x R D X ∈=→?r J )(|} Examples : ① 矩阵范数：线性算子（矩阵）空间数域 ‖A ‖1 = ∑=n i ij j a 1 max ；∑=∞=n j ij i a A 1max ；21 )(11 2 2∑∑===n j n i ij a A ② 函数的积分： 函数空间数域
D ?=?n b a n f dx x f J )( Note : 泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 Discussion ： ① 判定下列那些是泛函： )(max x f f b x a <<=； x y x f ??) ,(； 3x+5y=2； ?+∞∞-=-)()()(00x f dx x f x x δ ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： ?=∏l b dx dx w d EJ 02 22)(21 ii. 弹性地基贮存的能量： dx kw l f ?=∏0 221 iii. 外力位能： ?-=∏l l qwdx 0 iv. 系统总的势能： 00 0;})({2 2122202 1===-+=∏?dx dw w x dx qw kw dx w d EJ l 泛函的提法：有一种梁的挠度函数（与载荷无关），就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个w (x ),使 系统势能泛函取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B ,A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从A 到B 所需时间最短（忽略摩擦力）。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。B 点坐标(a , b ),设曲线为y = y (x ),并已知：x = 0,y = 0；x = a ,y = b ii. 建立泛函： x
变分法简介(简单_明了_易懂)
§1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 )(21ax ax e e a y -+= （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变???????='=+=0)0()0()(10222y y y dx dy a dx y d
量子力学的变分法
量子力学的变分法-量子力学的变分法 解薛定谔方程的一种应用范围极广的近似方法。对于束缚定态，它是基于能量本征值方程（即不含时间的薛定谔方程）与能量变分原理的等价性，通过求能量的极值得到能量本征值方程的解。在处理具体问题时，总是采用波函数某种特殊的变化去代替最普遍的任意变分，这样就可得到依赖于波函数特殊形式的近似解。这种方法称为变分法。 若体系的哈密顿量算符为彑，其能量本征值方程为 , (1) 该体系的能量平均值 (2) 是波函数φ的泛函。式中表示对体系全部坐标积分。可以证明，求彑的本征值方程，等价于求解 (3) 也就是满足变分原理(3)的φ为彑的本征函数,唕的极值为所对应的本征值，即 (4) 这样，如果能猜测到一个φ正好满足式(1),则由式(2)所得的唕【φ】等于E，如果猜测的φ与ψ略有不同,则唕【φ】必定大于E，因而唕【φ】总是给出唕的一个上限。当做了多次猜测之后,其中最小的唕一定是这些猜测中最好的，这样就把最小的唕取作E的近似值。应用以上手续可得到一种通过猜测去计算能量近似值的方法。改善波函数通常是通过一个含连续参数的特殊形式的波函数φ(q,α1,α2,α3,…)来实现的，这样唕也就是这些参数的函数。式中q代表体系的全部坐标，所猜测的波函数φ(q, α1,α2,α3,…)称为尝试波函数,变分参数(α1,α2,α3,…)是待定的。根据变分原理，由唕取极值，则有 (5) 通过以上方程组可解得(i=1,2,3,…)，于是φ(q,α嬼, α嬽, α嬿,…)和E(α嬼, α嬽, α嬿,…)分别是ψ和E在φ(q,α1,α2,α3,…)形式下最好的近似。它的近似性来源于用参数的变化代替了普遍形式的任意变分、显然，参数愈多,尝试波函数的变化愈普遍,所得结果愈好。在选取尝试波函数时,要注意使其与ψ满足相同的边界条件。 如果尝试波函数φ与精确解的差为Δ量级,则唕与精确解的差为｜Δ｜2量级，因而即使用粗糙的尝试波函数也可得到近似性很好的能量本征值。通常用这种方法求体系基态能量的近似值。考虑到不同能量的本征函数彼此正交,也可以由低至高逐级求激发态能量的近似值,其近似性较基态为差。变分法的优点在于运用它求解不受什么限制，但是由于结果的好坏完全取决于尝试波函数的选择，致使结果的任意性大。以上是解束缚定态的变分法。 对于散射问题，如将决定能量的变分原理改为决定相移的变分原理，以上方法的基本思想仍适用。变分法也常与量子力学的微扰论结合起来使用。
Matlab建模教程-变分法简介
§1 变分法简介 作为数学的一个分支，变分法的诞生，是现实世界许多现象不断探索的结果，人们可以追寻到这样一个轨迹： 约翰·伯努利（Johann Bernoulli ，1667－1748）1696年向全欧洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短？” 这就是著名的“最速降线”问题（The Brachistochrone Problem ）。它的难处在于和普通的极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数（曲线），来满足所给的条件。这问题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔（Guillaume Francois Antonie de l'Hospital 1661-1704）、雅可比·伯努利（Jacob Bernoulli 1654-1705）、莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz,1646-1716）和牛顿（Isaac Newton1642—1727）都得到了解答。约翰的解法比较漂亮，而雅可布的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉（Euler Lonhard ，1707～1783）和拉格朗日(Lagrange, Joseph Louis ，1736-1813)发明了这一类问题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支——变分学。 有趣的是，在1690年约翰·伯努利的哥哥雅可比·伯努利曾提出著名的悬链线问题 (The Hanging Chain Problem)向数学界征求答案，即，固定项链的两端，在重力场中让它自然垂下，问项链的曲线方程是什么。在大自然中，除了悬垂的项链外，我們还可以观察到吊桥上方的悬垂钢索，挂着水珠的蜘蛛网，以及两根电线杆之间所架设的电线，这些都是悬链线（catenary ）。 伽利略（Galileo, 1564～1643）比贝努利更早注意到悬链线，他猜测悬链线是抛物线，从外表看的确象，但实际上不是。惠更斯（Huygens, 1629～1695）在1646年（当时17岁），经由物理的论证，得知伽利略的猜测不对，但那时，他也求不出答案。到1691年，也就是雅可比·伯努利提出悬链线问题的第二年，莱布尼兹、惠更斯（以62岁）与约翰·伯努利各自得到了正确答案，所用方法是诞生不久的微积分，具体说是把问题转化为求解一个二阶常微分方程 解此方程并适当选取参数，得 )(21ax ax e e a y -+= （1） 即为悬链线。 悬链线问题本身和变分法并没有关系，然而这和最速降线问题一样都是贝努利兄弟间的相互争强好胜、不断争吵的导火索，虽然雅可比·贝努利在解决悬链线问题时略占下风，但他随后所证明的“悬挂于两个固定点之间的同一条项链，在所有可能的形状中，以悬链线的重心最低，具有最小势能”，算是扳回了一局，俩兄弟扯平了！之所以提到悬链线问题，有两方面考虑，其一，这是有关数学史上著名的贝努利家族内的一个趣闻，而这是一个在变分法乃至整个数学物理领域有着巨大贡献的家族，其二，有关悬链线的得几个结论，可以用变 ???????='=+=0)0()0()(102 2 2y y y dx dy a dx y d
第十八章 变分法模型
-218- 第十八章 动态优化模型 动态过程的另一类问题是所谓的动态优化问题，这类问题一般要归结为求最优控制函数使某个泛函达到极值。当控制函数可以事先确定为某种特殊的函数形式时，问题又简化为求普通函数的极值。求解泛函极值问题的方法主要有变分法和最优控制理论方法。 §1 变分法简介 变分法是研究泛函极值问题的一种经典数学方法，有着广泛的应用。下面先介绍变分法的基本概念和基本结果，然后介绍动态系统最优控制问题求解的必要条件和最大值原理。 1.1 变分法的基本概念 1.1.1 泛函 设S 为一函数集合，若对于每一个函数S t x ∈)(有一个实数J 与之对应，则称J 是对应在S 上的泛函，记作))((t x J 。S 称为J 的容许函数集。 通俗地说，泛函就是“函数的函数”。 例如对于xy 平面上过定点),(11y x A 和),(22y x B 的每一条光滑曲线)(x y ，绕x 轴旋转得一旋转体，旋转体的侧面积是曲线)(x y 的泛函))((x y J 。由微积分知识不难写出 dx x y x y x y J x x )('1)(2))((2 12?+=π （1） 容许函数集可表示为 })( ,)(],,[)(|)({2211211y x y y x y x x C x y x y S ==∈= （2） 最简单的一类泛函表为 ?=2 1 ),,())((t t dt x x t F t x J （3） 被积函数F 包含自变量t ，未知函数x 及导数x 。（1）式是最简泛函。 1.1.2 泛函的极值 泛函))((t x J 在S t x ∈)(0取得极小值是指，对于任意一个与)(0t x 接近的 S t x ∈)(，都有))(())((0t x J t x J ≥。所谓接近，可以用距离ε<))(),((0t x t x d 来度量， 而距离定义为 |})()(||,)()({|max ))(),((0002 1t x t x t x t x t x t x d t t t --=≤≤ 泛函的极大值可以类似地定义。)(0t x 称为泛函的极值函数或极值曲线。 1.1.3 泛函的变分 如同函数的微分是增量的线性主部一样，泛函的变分是泛函增量的线性主部。作为泛函的自变量，函数)(t x 在)(0t x 的增量记为 )()()(0t x t x t x -=δ 也称函数的变分。由它引起的泛函的增量记作 ))(())()((00t x J t x t x J J -+=?δ 如果J ?可以表为
变分法在解决物理问题上的应用
变分法在解决物理问题上的应用 陈曼（2008213561） （华中师范大学物理系武汉） 摘要本文是变分法在各个领域的应用的总结篇，总结了作者所了解到的关于变分法的知识。 关键词变分法 MOV A 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强有力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。微分几何中的测地线的研究也是很显然的变分性质的领域。变分问题其实是是泛函极值问题，最后的求解都归结为求欧拉方程的边值问题。由于它是研究泛函极值的一种方法，所以它在多个领域都有着广泛的应用。 有这样一个经典的泛函极值问题： 假设已知函数可导且连续，求函数使 （1）达到极大或极小值。（1）式所给出的泛函称为最简泛函，它分为无约束条件和有约束条件两种，其中无约束条件的泛函极值问题又分为固定端点和可变端点两种情形。可变端点又包含两类：一类是所求函数曲线的左（或右）端点的横坐标确定而纵坐标自由：另一类是左（或右）端点的纵坐标确定而横坐标不确
定。 1.1固定端点的泛函极值问题设端点条件为。因为泛函时取极值，于是有 （2） 但是，（3） 由固定端点条件可知：（4） 将（3）及（4）代入（2）得（5） 由的任意性和变分法的基本引理可知必有（6） 这就是欧拉方程。再加上固定端点条件，即可求得使得泛函取极值的函数曲线。 1.2第一类可变端点问题 设端点条件为。由(5)推导过程知，此时(5)应变为 因为上式对取任意值均成立，所以欧拉方程不变仍 为(6)，但定解条件为 1.3第二类可变端点问题 设端点条件为。显然，此时欧拉方程(6)仍成立,一组定解 条件为至此，所说的都是简单泛函极值问题。事实上有很多的数学建模都可以采用这种方法，光学上的最小路径也可以用这种方法求解，那就是一种可变边界的极值问题。下面我们来看复杂一点的变分问题。 首先介绍多尺度光流变分法（简称MOV A）,它是通过追踪雷达回波的移动，利用外推法推算降雨量。它是一种基于变分法及光流场平滑化的算法，用这种方法可以进行定量降雨的预报，北京奥运会期间也将MOV A应用到雷暴单体路径的预报。该算法是用变分法将总的成本函数
变分原理
变分原理 泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值。 对于弹性力学问题，根据能量关系可以使偏微分方程的边值问题转化为代数方程。弹性体的应变能是基本未知量应力或者应变分量的函数，当然应力或者应变分量是坐标的函数。因此，应变能就是泛函。 在数学分析中，讨论函数和函数的极值。变分法讨论泛函的极值，是极值问题的推广。 下面简单介绍复变函数的定义和基本性质。如果需要深入探讨复变函数问题，请查阅参考资料。 §1 泛函和泛函的极值 首先引入泛函的概念。泛函是指某一个量，它的值依赖于其它一个或者几个函数。因此泛函也称为函数的函数。 变分法的基本问题是求解泛函的极值 作为变分法的简单例题。考察x，y平面上连接两个定点的所有曲线中，求满足边界条件的任意曲线y（x）中的最短曲线。 （补充图） 设P1（x1，y1）和P2（x2，y2）为平面上给定的两点，y（x）为连接两点的任意曲线。于是，这一曲线的长度为
连接P1，P2两点的曲线有无数条，每一条曲线都有一个L值与其对应。满足边界条件的y（x）称为容许函数，问题是要从这些曲线，容许函数中找出使得曲线长度L最小的一条。 根据上式，L [y]依赖于y（x），而y（x）是x的函数，因此称y（x）为自变函数；L [y]是倚赖于自变函数的函数，称为泛函。 求解最短程线问题，即在满足边界条件 在x=x1时，y（x1）=y1，y'（x1）= y'1 在x=x2时，y（x2）=y2，y'（x1）= y'2 的函数y（x）中，求使得泛函L [y]为极值的特定函数。因此y（x）称为容许函数。 上述问题应用变分法可以概括为求解泛函 在边界条件y(x1)=y1，y(x2)=y2的极小值问题。 §2 泛函极值的必要条件-欧拉方程 假设函数y（x）是使得泛函L [y]为最小的特定函数（真实的）。变分法有兴趣研究的是邻近于y（x）的任意容许函数引起泛函L [ ]的改变。设 其中ε 为小参数，而η (x)为边界值为零的任意函数。当x固定时，容许函数 与y（x）的差 δ y称为泛函自变函数的变分，即 类似地，容许函数的斜率与y（x）斜率的差δ y'，称为泛函自变函数斜率的变分，即 应该注意δ y与函数y（x）的微分d y之间的差别，d y是自变量x的改变量d x 引起的y（x）的无穷小增量。而变分δ y是y（x）的任意一个微小的改变量。设泛函增量 按泰勒级数展开，则
变分法
变分法综述 1.变分法 1.1.变分法起源 变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，主要是古典变分法，它理论完整，在力学、光学、物理学、摩擦学、经济学、宇航理论、信息论和自动控制论等诸多方面有广泛应用。20世纪中叶发展起来的有限元法，其数学基础之一就是变分法。[1] 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。譬如，这样的泛函可以通过未知函数的积分和它的导数来构造。变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。有些曲线上的经典问题采用这种形式表达：一个例子是最速降线，在重力作用下一个粒子沿着该路径可以在最短时间从点A 到达不直接在它底下的一点B 。在所有从A 到B 的曲线中必须极小化代表下降时间的表达式。 变分法的关键定理是欧拉－拉格朗日方程。它对应于泛函的临界点。在寻找函数的极大和极小值时，在一个解附近的微小变化的分析给出一阶的一个近似。它不能分辨是找到了最大值或者最小值（或者都不是）。 变分法在理论物理中非常重要：在拉格朗日力学中，以及在最小作用量原理在量子力学的应用中。变分法提供了有限元方法的数学基础，它是求解边界值问题的强力工具。它们也在材料学中研究材料平衡中大量使用。而在纯数学中的例子有，黎曼在调和函数中使用狄力克雷原理。最优控制的理论是变分法的一个推广。[2] 同样的材料可以出现在不同的标题中，例如希尔伯特空间技术，摩尔斯理论，或者辛几何。变分一词用于所有极值泛函问题。微分几何中的测地线的研究是很显然的变分性质的领域。极小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，称为Plateau 问题。 1.2变分问题类型 固定边界的变分问题，可动边界的变分问题，条件极值变分问题和参数形式的变分问题。[3] （1）古典变分问题举例 例1：最速降线或捷线问题（Brachistorone or curve of Steepest descent ）问题。这是历史上出的第一个变分法问题，1696年约翰·伯努利提出的。设A 、B 是沿平面上不在同一直线上的两点，在所有连接A 、B 两点的平面直线中，求出一条曲线，使仅受重力作用且初速为零的质点从A 到B 沿该曲线运动时所需时间最短。 解：以A 为原点建立平面指标坐标系，设B 点的坐标11(,)x y ，曲线方程设为()y y x =，10x x ≤≤，且满足端点条件(0)0y =，11()y x y =。 设(,)M x y 为曲线()y y x =上任意一点，由能量守恒定律得
变分原理与变分法
第一章变分原理与变分法 1.1关于变分原理与变分法（物质世界存在的基本守恒法则） 一、大自然总是以可能最好的方式安排一切，似乎存在着各种安排原理: 昼/夜，日/月， 阴/阳，静止/运动等矛盾/统一的协调体；对静止事物：平衡体的最小能量原理，对称/相似原理；对运动事物：能量守恒，动量（矩）守恒，熵增原理等。 变分原理是自然界静止（相对稳定状态）事物中的一个普遍适应的数学定律, 获称最小作用原理。 Examples: ①光线最短路径传播； ②光线入射角等于反射角，光线在反射中也是光传播最短路径（Heron）； ③光线折射遵循时间最短的途径（Fermat）；, 、变分法是自然界变分原理的数学规划方法（求解约束方程系统极值的数学方法），是计算泛函驻值的数学理论 数学上的泛函定义定义：数学空间（集合）上的元素（定义域）与一个实数域间（值域）间 的（映射）关系特征描述法：{ J: X D R|J(x) r R} Examples: ①矩阵范数：线性算子（矩阵）空间= 数域 Note:泛函的自变量是集合中的元素（定义域）；值域是实数域。 n II A II 1 = max a ij j i 1 max a ij i j 1 n n 2 A 2 ( a ij ) j 1 i 1 ②函数的积分： b J a f n（x）dx 函数空间数域 AE EB AC Summary实际上光的传播遵循最小能量原理；丨 在静力学中的稳定平衡本质上是势能最小的原理。 D
Discussi on ： ① 判定下列那些是泛函: ② 试举另一泛函例子。 物理问题中的泛函举例 ① 弹性地基梁的系统势能 i. 梁的弯曲应变能： 1 l 2 ii. 弹性地基贮存的能量： f — kw 2dx f 2 0 l iii. 外力位能： I 0 qwdx iv. 系统总的势能: 泛函的提法：有一种梁的挠度函数(与载荷无关)，就会有一个对应的系 统势能。 泛函驻值提法：在满足位移边界条件的所有挠度函数中，找一个 w(x),使 系统势能泛函 取最小值。 ② 最速降线问题 问题：已知空间两点A 和B, A 高于B ，要求在两点间连接一条曲线，使 得有重物从A 沿此曲线自由下滑时，从 A 到B 所需时间最短(忽略摩擦 力)。 作法： i. 通过A 和B 作一垂直于水平面的平面，取坐标系如图。 B 点坐标(a, b), 设曲线为 y = y(x),并已知：x = 0, y = 0 ； x = a, y = b ii. 建立泛函： 设P(x , y)是曲线上的点，P 点的速度由能量守恒定律求得： | mv mgy v . 2gy 命ds 为曲线弧长的微分，有: f maxf(x )； f (x, y) ； 3x+5y=2; x (x X o )f(x)dx f(x o ) l 0得EJ ( d 2w dx 」 2 kw 2 qw}dx; x 0 w 0 dw dx q(x) con sts E 、J x = 0,固支；x = l, 2 7 1 ' d w 2 . EJ ( y) dx 2 0 dx 2 x
使用变分法的理由
在热力学系使用变分法的理由及结果 摩尔熵分布函数”的导出 摘 要：当热力学体系达到平衡态时，具有“无耗散”（ 即“无熵产”）的特点。本文就依据这一“平衡态原理”（ “熵增原理”）使用了“变分法”进行“泛函分析”；导出了“欧勒方程”的解──“比熵平衡方程”，还给出了“即使在外场中处于密度不均匀的无‘熵产’状态，类似于最大熵状态时，体系仍然保持着均匀的．．．．．．‘比．熵．’分．布”．． 这个新结果。同时，这都因为大胆地在 “热统”领域引进了“间接变分法”的结果，这增强了对体系“熵函数”的探讨能力；最后还作了一些展望。 1．引言 若有一绝热封闭的刚性壁容器，内盛有一摩尔单原子理想气体，在桌面上静置了一百年；试问该容器内不同高度上的气体密度、压力、温度这三个热力学参量沿着高度的分布情况究竟是怎样的？依据经验,假如容器处在无外力场中且保持惯性运动状态, 则容器内气体必将有0=?P ，0=?ρ，0=?T ,这只是经验认识；对此，笔者一直心存余悸，在惯性空间，究竟当热力学体系达到平衡态时，虽然可以肯定体系的熵达到了极大值，但体系的密度、温度、压力是否真的会均匀分布，这决不能满足于主观臆测，必须建立相应的数学模型进严格的
规范的推导求证。 波尔兹曼早就用统计力学的方法推导出，无论体系是否处在外力场中，体系的平衡态都将保持温度均匀分布的状态；所以教科书将温度均匀分布作为物系达到平衡态的标志。 笔者试图另辟蹊径，依据“最大熵原理”借用“（间接）变分法”（破解相应的“欧勒方程”）首先解出惯性空间的热力学平衡态体系的参量分布函数，接着再导出当存在外场（即当g≠0）时，热力学平衡态体系的参量分布函数…… 2．对热力学体系尝试“变分法”的理由 其实上面的问题可以归结为，当体系的“熵产生率”等于零或曰热孤立体系的总熵不再增长时（最大熵原理），惯性空间中的热力学体系各点介质的‘比熵’（即某小局域的熵与该小局域所含介质的摩尔数的比值）将保持什么样的关系问题；或曰热力学参量的分布函数将是怎样的？这个问题一直困扰着笔者……久思不得其解；思来想去一筹莫展（无从下手）。经过长期的沉思……笔者突然联想到人们在寻求极限条件下的尝试函数，常常运用“变分法”进行泛函分析……譬如在力学中为了寻求最快捷的下滑轨道方程（函数），使用了“间接变分法”，求解“欧勒方程”；也就是说欲使某一滑块从某一点下滑到另一点需要的时间最短，其路径（轨迹曲线）的方程（函数）是怎样的（即“捷线问题”）？“捷线问题”与本文的问题颇为相似。本文的问题就是指一摩尔理想气体在特定的绝热封闭的刚性容器中经过长期静置，试问其最终死寂（平静）状态时的密度、温度、压
《变分法基础》习题2
习题2 2.1 设函数1)',,(C y y x F F ∈=，2)(C x y y ∈=，试求 (1) 微分F d ；(2) 变分F δ。 2.2 试求下列函数的一阶变分，其中a 、b 、c 和d 均为常数。 (1) 22'dy cy by ax F +++=；(2) 2'1y y F +=；(3) 2''cy by a F ++=。 2.3 试求下列泛函的一阶变分 (1) ?++=10 d )'''(][2x x x cy by ay y J ；(2) ?+=1 d '1][22x x x y y y J ； (3) ?--=10 d )cosh 2'(][22x x x x y y y y J ；(4) ?++=1 d )''(][22x x x c bxy y ax y J ； (5) ?-+=1 d )'2(][22x x x y y y xy y J 。 2.4 求泛函?+=1 02d )12'(][x xy y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ，1)1(=y 。 2.5 求泛函?π-=20 22d )'(][x y y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ，12=?? ? ??πy 。 2.6 求泛函?+=1 d )'1('][2x x x y x y y J 的极值曲线。 2.7 求泛函?+=1 d )'(][2x x x y xy y J 的极值曲线。 2.8 求泛函?+=1 d )'2(][2x x x xy y y J 的极值曲线，边界条件为00)(y x y =，11)(y x y =。 2.9 求泛函?+=1 d '1 e ][2x x x x y y J 的极值曲线。 2.10 求泛函?-=2 12d )'(][x y xy y J 的极值曲线，边界条件为0)1(=y ，1)2(=y 。 2.11 求泛函?=1 d '][2 x x k x x y y J 的极值曲线，式中0>k 。 2.12 求泛函?++=2 122d )'2'(][x y yy y y J 的极值曲线，边界条件为1)1(=y ，0)2(=y 。 2.13 求泛函?=1 02d '][x yy y J 的极值曲线，边界条件为1)0(=y ，34)1(=y 。 2.14 求泛函?π-+=022d )'co s 4(][x y y x y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ， 0)(=πy 。 2.15 求泛函?+=e 12d )''(][x yy xy y J 的极值曲线，边界条件为0)1(=y ，1(e)=y 。 2.16 求泛函?+=1 02d )'(][x y x y J 的极值曲线，边界条件为1)0(=y ，2)1(=y 。 2.17 求泛函?+=1 022d )'(][x y y y J 的极值曲线，边界条件为0)0(=y ，1)1(=y 。 2.18 求泛函?+=1 022d )4'(][x y y y J 的极值曲线，边界条件为2e )0(=y ，1)1(=y 。 2.19 求泛函?-=1 d )'(][22x x x y x y y J 的极值曲线，边界条件为a x y =)(0，b x y =)(1。 2.20 求泛函?-=1 2 d ) '(][x x y x xy y y J 的极值曲线，边界条件为a x y =)(0，b x y =)(1。 2.21 求泛函?+=1 d )'(][2x x x by ay y J 的极值曲线，边界条件为00)(y x y =，11)(y x y =。