高中数学人教版选修1-2 第三章 数系的扩充与复数的引入 数系的扩充和复数的概念
人教课标版高中数学选修1-2：《数系的扩充与复数的概念》教案-新版
3.1 数系的扩充和复数的概念
一、教学目标
1.核心素养
通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.
2.学习目标
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
（2）理解复数的基本概念，复数的代数形式及复数相等的充要条件.
（3）复数的向量表示.
3.学习重点
复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.
4.学习难点
复数相等的条件，复数的向量表示.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1 阅读教材P102，思考：方程210x在实数集中无解.联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
任务2 阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？
任务3 阅读教材P104-P105，思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
2.预习自测
1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A.±1
B.±i
C.±2i
D.±2i
解：C 2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.2，1
B.2，5
C.±2，5
D.±2，1
解：C
3.如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1
B.0
C.－1
D.－1或1
解：B
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）对因生产和科学发展的需要而逐步扩充数集的过程进行概括
自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数
2.问题探究
问题探究一 数系的扩充 重点知识★
对于实系数一元二次方程210x，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
●活动一 回顾旧知，回顾数集的扩充过程
高中数学选修1-2学案：3.1.1 数系的扩充和复数的概念
高中数学选修1-2
1
3．1 数系的扩充和复数的概念
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
[学习目标] 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．
[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无高中数学选修1-2
2 解，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
答 设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i·i＝－1，方程x2＝－1有解，同时得到一些新数．
[预习导引]
1．复数的有关概念
(1)复数的概念：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b∈R，i叫做虚数单位．a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
(2)复数的表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.
(3)复数集定义：全体复数所构成的集合叫做复数集．通常用大写字母C表示．
2．复数的分类及包含关系
(1)复数(a＋bi，a，b∈R) 实数b＝0虚数b≠0 纯虚数a＝0非纯虚数a≠0
(2)集合表示：
3．复数相等的充要条件
设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d. 高中数学选修1-2
3
要点一 复数的概念
例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数．
①2＋3i；②－3＋12i；③2＋i；④π；⑤－3i；⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．
规律方法 复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．
高中数学教学课例《数系的扩充和复数的概念》课程思政核心素养教学设计及总结反思
高中数学教学课例《数系的扩充和复数的概念》教学设计及总结反思
学科 高中数学
教学课例名称 《数系的扩充和复数的概念》
教材分析 本节主要内容是数系的扩充和复数的概念；重点是对引入复数的必要性的认识及复数概念的理解；难点事学生对数系扩充的只是不熟悉，对了解实数系扩充到复数系的过程比较困难。
教学目标 知识与技能目标：
1.了解数系的扩充过程；
2.理解复数的基本概念；
过程与方法：
通过回顾数系扩充的历史，让学生体会数系扩充的一般方法。
情感态度与价值观：通过数系扩充的过程，让学生体会其中的创新精神和实践能力，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
学生学习能力分析 学生已经掌握了整数与分数，正数与负数，有理数与无理数，以及实数这些概念，但是学生对数的分类主要依靠的是简单记忆，所以对数系扩充的过程以及扩充的必要性不甚了解。，由实数系扩充到复数系比较抽象，
理解起来比较困难.
教学策略选择与设计 创设问题情境，引导学生思考，通过类比思想，使学生了解扩充数系要引入新数，引入复数的概念及分类，降低学生的学习难度。
教学过程 （一）情景引入——得到学习课题，明确学习目标
（二）悬疑探究——探究复数的引入的必要性
①由于生产的需要，产生了自然数
②负数的引入，解决了在自然数集中不够减的矛盾。
③分数的引入，解决了在整数集中不能整除的矛盾。
④无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
那么我们引入什么样的数，才能解决负数不能开平方的矛盾呢？
（三）建构新知——探究复数的概念
（四）巩固练习——知识的应用
（五）学习小结——概括知识体系，布置作业
课例研究综述 本节课通过创设问题情境，引导学生思考，通过类比思想，使学生了解扩充数系要引入新数，引入复数的概念及分类，降低学生的学习难度。学生也掌握了复数的概念及复数相等的定义；对基础薄弱的学生在“练习1，3”中多给他们创造机会，力争使每一个层次的学生都能有所发展。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念课时自测1_2
- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1.在2+,i,8+5i,(1-)i,0.618这几个数中,纯虚数的个数为 ( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】选C.因为2+为实数,i为纯虚数,8+5i为虚数,(1-)i为纯虚数,0.618为实数,所以纯虚数只有2个.
2.(1+)i的实部与虚部分别是 ( )
A.1, B.1+,0
C.0,1+ D.0,(1+)i
【解析】选C.根据复数的代数形式的定义可知(1+)i=0+(1+)i,所以其实部为0,虚部为1+,故选C.
3.以3i-1的虚部为实部,以-2+i的实部为虚部的复数是 ( )
A.-2+3i B.-2i+3
C.-3+i D.1-3i
【解析】选B.3i-1的虚部为3,-2+i的实部为-2,所以所求复数为3-2i.
4.如果复数-a+2i(a∈R)的实部与虚部互为相反数,则a的值等于________.
【解析】因为实部为-a,虚部为2,所以a=2.
答案:2
5.若y为纯虚数,x为实数,且满足1+y=2x-1+2i,求x,y的值.
【解析】设y=ai(a是不为0的实数),则1+ai=2x-1+2i,
所以得所以x=1,y=2i.
人教课标版高中数学选修2-2《数系的扩充与复数的概念》名师教案
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第三章数系的扩充与复数的引入
3.1数系的扩充和复数的概念
一、教学目标
1.核心素养：
通过学习数系的扩充和复数的概念，初步形成基本的数学抽象和逻辑推理能力.
2.学习目标：
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.
（2）理解复数的基本概念，复代数形式及复数相等的充要条件.
（3）复数的向量表示.
3.学习重点：
复数的概念，复数的代数形式，复数的向量表示.
4.学习难点：
复数相等的条件，复数的向量表示.
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
任务1、阅读教材P102，思考：方程210x在实数集中无解.联系从自然数系到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
任务2、阅读教材P103，思考：复数集C和实数集R有什么关系？
任务3、阅读教材P104-P105, 思考：实数与数轴上的点一一对应，因此，实数可以用数轴上的点来表示.类比实数的几何意义，复数的几何意义是什么呢？
2.预习自测
1.下列复数中，满足方程x2＋2＝0的是( )
A.±1
B.±i
C.±2i
D.±2i
2/19
答案：C
解析：略
2.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是( )
A.2，1
B.2，5
C.±2，5
D.±2，1
答案：C
解析：略
3、如果z＝m(m＋1)＋(m2－1)i为纯虚数，则实数m的值为( )
A.1
B.0
C.－1
D.－1或1
答案：B
解析：略
（二）课堂设计
1.知识回顾
（1）对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括
自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数
2.问题探究
问题探究一：数系的扩充 重点知识★
对于实系数一元二次方程210x，没有实数根.我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的
高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2
1 高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算
3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2
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高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2
2 3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义
教学过程
一、推进新课
1.复数的加法
探究新知
我们规定，复数的加法法则如下：
设biaz1,dicz2是任意两个复数，那么
idbcadicbia
提出问题
问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?
问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？
问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？
活动设计:学生独立思考，口答。
活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。2．一致。3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。
第3章 数系的扩充与复数的引入
1 第3章 数系的扩充与复数的引入
§3.1数系的扩充和复数的概念
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
教学重点：复数的概念，虚数单位i，复数的分类(实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念是本节课的教学重点.复数在现代科学技术中以及在数学学科中的地位和作用
教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念是本节课的教学难点.复数的概念是在引入虚数单位i并同时规定了它的两条性质之后，自然地得出的.在规定i的第二条性质时，原有的加、乘运算律仍然成立
学生探究过程：
数的概念是从实践中产生和发展起来的.早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N
随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展
为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然NQ.如果把自然数集(含正整数和0)与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有ZQ、NZ.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集
数集扩到实数集R以后，像x2=－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位.并由此产生的了复数
讲解新课：
1.虚数单位i:(1)它的平方等于-1，即21i(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律成立.
2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i!
3. i的周期性：i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1
4.复数的定义：形如(,)abiabR的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示*
高中数学《3.1.1数系的扩充和复数的概念》导学案 新人教A版选修1-2
1 3.1.-1.2实数系与复数的引入
【使用说明】
1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；
2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
【重点难点】复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用
【学习目标】
1、 知识与技能：实数系的总结，复数定义
（1）通过实例分析复数的定义虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用.
虚数单位;复数集的构成;复数相等的应用，
2、过程与方法：小组合作探究；
3、情感态度与价值观：以极度的热情，自动自发，如痴如醉，投入到学习中，充分享受学习的乐趣感受人类理性思维对数学发展所起的重要作用,进行历史唯物主义教育与辩证唯物主义教育.
。
一，自主学习
1. ：N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？
（让学生感受数系的发展与生活是密切相关的）
2 . 判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系）：
（1）2340xx （2）2450xx （3）2210xx （4）210x
3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。
讨论：若给方程210x一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？
实数a与i相乘、相加的结果应如何？
4请对实数系进行分类
班级： 姓名： 组别： 组号： 使用时间： 教师评价：
2 1.复数的概念：
①定义复数：复数 代数形式
实部 虚部 虚数单位
复数集
《数系的扩充和复数的概念》教学设计
数系的扩充和复数的概念
一、内容和内容解析
1.内容
从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.
2.内容解析
复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充，通过复数的学习，可以使学生对数的概念有一个更加完整的认识．复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础. 复数在力学、电学及其他学科中都有广泛的应用.
在数学中，数系的扩充必须遵循有关的“规则”，即扩充后的数系中规定的加法运算、乘法运算，与原数系中的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律. 从实数系向复数系扩充，同样要符合这样的规则．复数概念的引入，从实系数一元二次方程当判别式小于0时没有实数根出发，回顾从自然数系逐步扩充到实数系、特别是有理数系扩充到实数系的过程，发现数系扩充中体现出的“规则”；进而在“规则”的引导下，考虑为使方程有解，引入新数i，从而可以像实数一样进行加法、乘法运算并保持运算律的角度，将实数集扩充到复数集．这一过程，通过数系扩充“规则”的归纳，提升学生的数学抽象素养；通过实数系向复数系的扩充，让学生体会类比的数学思想，提升学生的逻辑推理素养，并感受人类理性思维在数系扩充中的作用. 复数的概念是整个复数内容的基础.复数的有关概念都是围绕复数的代数表示形式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义，以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数a+bi实质上是有序实数对(a,b). 通过对复数实质的揭示，为后续复数的几何意义、复数的四则运算以及复数的三角表示的学习作准备. 因此，复数的概念，对本章具有奠基性的作用.
基于以上分析，确定本节课的教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念.
二、目标和目标解析
1. 目标
（1）了解引入复数的必要性；
高中数学选修2-2第三章数系的扩充和复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念讲义
- 1 - 3.1.1 数系的扩充和复数的概念
1．虚数单位i
在实数集R中添加新数i，规定：(1)i2＝□01－1，其中i叫做虚数单位；(2)i可与实数进行□02四则运算，且原有的加、乘运算律仍然成立．
2．复数的相关概念
集合C＝{a＋bi|a∈R，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做□03复数，其中i叫做□04虚数单位．全体复数的集合C叫做□05复数集．
复数通用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做□06复数的代数形式．其中的a与b分别叫做复数z的□07实部与虚部．
3．复数的分类
对于复数z＝a＋bi，当且仅当□08b＝0时，它是实数；当且仅当□09a＝b＝0时，它是实数 - 2 - 0；当且仅当□10b≠0时，叫做虚数；当□11a＝0，且b≠0时，叫做纯虚数．
4．复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定：a＋bi与c＋di的充要条件是□12a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
复数相等的充要条件
(1)两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，若忽略这一条件，则不能成立．因此解决复数相等问题时，一定要把复数的实部与虚部分离出来，再利用相等条件．
(2)复数相等的条件是把复数问题转化为实数问题是重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想方法的体现．利用这一结论，可以把“复数相等”这一条件转化为两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，这一思想在解决复数问题中非常重要．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) - 3 - (1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数．( )
(2)若z＝m＋ni(m，n∈C)，则当且仅当m＝0，n≠0时，z为纯虚数．( )
(3)bi是纯虚数．( )
(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( )