函数思想在高中数学中的应用
Ｎｏ．０３．２０１３
语数外学习
Ｙｕ Ｓｈｕ Ｗａｉ Ｘｕｅ Ｘｉ ２０１３年第３期
函数思想在 高中 数学中的应用
潘政显
（三都民族中学，贵州黔南５５８１００）
摘要：掌握好函数思想，用函数的方法来解决数学中的一些问题，往往可以起到事半功倍的效果。在这一轮课程改革的数学新
课程中，函数思想仍然是高中数学课程的一条主线，函数是高中数学中联系面广、起统帅作用的重要核心概念。
关键词：函数思想；高中数学；应用
中图分类号：Ｇ６３３ 文献标识码：Ａ
一
、
函数与方程
例１：求方程ｌｎｘ＋２ｘ一６＝０的解的个数。
分析：求方程解个数问题可以转化为求函数 ）＝ｌｎｘ＋２
一
６零点个数问题。
由计算机做出 ）的对应值表和图像，可知 （２）・ｆ（３）
＜０，说明在区间（２，３）内有零点。由函数，（ ）在定义域（０，＋ｍ）
内是增函数，所以它仅有一个零点。从而可知方程ｌｎｘ＋２ｘ一６：０
仅有一个解。
例２：方程 一（２一口） ＋（５一Ⅱ）＝０的两个根都大于２，求
实数。的取值范围。
略解：设，（ ）＝ 一（２一ａ）ｘ十（５一ｎ），则方程的两根都大于
２的充要条件是
ｒ
△≥Ｏ
Ｊ，（２）＞０，解之得：一５＜口≤一４ 【
以上两个例题是利用函数的思想解决方程根的分布问题，这
是我们常用的一种方法。
二、函数与数列
例３：在等差数列中，已知ｓ ＝ｇ，Ｓ ＝ｐ（ｐ≠ｇ），求Ｓ 的值．
略解：因为 是ｎ的一次函数，点（ｎ， ）共线，
所以三点（ｐ，詈），（ｇ，寺），（ｐ＋ｇ，毒 ）共线，
卫一卫 一卫
则有Ｌ ＝ 卫，化简即得ｓ ＝一（ｐ＋ｇ）．
ｇ—ｐ ｐ＋ｑ，一ｑ
例４：已知数列｛ａｎ｝的通项公式 — ｅＮ．），贝ｕ数
列｛ ｝的前３Ｏ项中最大项与最小项分别为（ ）
Ａ．ｏｌ，。ｌｏ Ｂ．口ｌ，口９ Ｃ．口ｌｏ，口３ｏ Ｄ．口ｌｏ，口９
解：因 ＝ ｎ－￣￣－＿ｌ＋ 棚象觥Ｄ
．
这道题是利用了函数的图像和性质解决的，即数形结合。
三、函数与不等式
例５：设不等式２ｘ一１＞ｍ（ｘ 一１）对满足ＩｍＩ≤２的一切实数
ｍ的取值都成立，求 的取值范围．
略僻：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于 的不等
式进行分类讨论。然而，若变换一个角度，设ｍ为主元，记ｆ（ｍ）
＝
（ 一１）ｍ一（２ 一１），则问题转化为一次函数（常数函数），
（ｍ）的值在区间［一２，２］内恒为负时系数 应满足的条件。
解不等式组 ｏ＜。
即 ｊ＇２
一（２ｘ：（ － １一）１－）（一２ｘ（２－ １一
）
１＜）０＜。
可轻松地求得 的取值范围是区间
（ ，掣）．
例６：解不等式４ｘ ＋ｌｏｇ２ ＜０
分析：由二次函数和对数函数的单调性
知：
一
ｘ＝．，／９８
图１
文章编号：１００５—６３５１（２０１３）一０３—００３１—０１
）＝４ ２＋１。ｇ ＜ｏ在（ｏ， ）上是增函数，且，（÷）＝ｏ
所以，不等式乍 ）＜，（÷） ÷
故原不等式的解集是（Ｏ， １ ）
利用函数的单调性解不等式、比大小是非常方便的。
四、函数与立体几何
例７：如图１，正方形ＡＢＣＤ，ＡＢＥＦ的边
长都是１，且平面ＡＢ￣Ｄ与平面ＡＢＥ１；＂相互
垂直。点 ，｜７＼ｒ分别在线段ＡＣ，ＢＦ上移动，
若Ｉ ＣＭｌ＿Ｊ ＢＮｌ＝口（０＜ｏ＜√２）
（１）求线段的长ＭＮ的长ｌＭＮ Ｊ；
（２）当。为何值时，线段ＭＮ的长最小．
解：（１）作ＭＰ／／ＡＢ交ＡＢ于点Ｐ，作
。
Ｅ
图２
Ｎｑ／／ＡＢ交ＢＥ于点Ｑ，连接ＰＱ。依题意可得ＭＰ／ＩＮＩ￣，且
Ｉ Ｉ＝Ｉ．７＼，ＱＩ．即ＭＮＱＰ是平行四边形，所以ＭＮ＝ＰＱ，由已知： ，袅
ｌ ＣＭＩ：ＩＢＮＩ：。，ｆ ＣＢ Ｉ船ｌ：ｆＢＥＩ：１，ＩＡＣｌ＿ｌ Ｉ： ，
于是有 老，一１ Ｂ・Ｑ Ｉ 【ｃＰＩ ＱＩ＿老 有
Ｉ ＭＮＩ＝ｆ ＰＱ Ｉ＝ （１一Ｉ ＯＰ Ｉ）２＋Ｊ Ｑ Ｉ
＝
√（－一老） ＋（盖） ＝√（。一譬） ＋÷（ｏ 。 ． 霜
（２）由（１）知ｌ删Ｉ＝√（。一孚） ＋÷≥５ －
厅
罕
且当。 等时，上式取等号。即Ｍ，Ｎ分别移动到线段Ａｃ，引 教
的中点时线段ＭＮ的长最小，最小值为 。 爵
合理设元，构建函数，以代数方法解决几何问题是解决某些 ｌ
几何问题的捷径之一。 ｌ
五、函数与解析几何 Ｉ
例８：已知直线ｚ：Ｙ＝ｋｘ＋１与双曲线ｃ：２ｘ 一广＝１的右支交 ｌ
于不同的两点Ａ，Ｂ．求ｋ的取值范围。 ｌ
解：将直线ｌ的方程ｌ：ｙ＝ｋｘ＋１代人双曲线ｃ的方程ｃ：２ 一 ｌ
Ｙ ＝１并整理得（ 一２） ＋２ｋｘ＋２＝０ Ｉ
依题意，直线与双曲线的右支交于不同的两点，则成立以下 Ｉ
的不等式组 ｌ
解不等式组得 Ｉ
ｆ（ 一２）≠０ ｉ Ｉ
Ａ＝（２ｋ ）一８（ 一２）＞０ Ｉ
｛ 如 ２“（＿ ｌ 【
古 。 ｌ
从上例中，我们已看到了函数思想的应用，函数思想的应用 Ｉ
相当广泛，但这些方面都涉及到最基础知识，只要在学习中扎扎实 ｆ
实地掌握基础知识，学会全面地分析问题，并注意在解题中不断总 Ｉ
结经验，就一定会真正掌握运用函数思想解题的思路和方法。 ｌ
３１——
＿＿Ｊ
数学思想之——函数思想
数学思想之——函数思想数学思想之——函数思想摘要：函数思想是数学思想的有机组成部分,它在数学解题中显得越来越重要，本文就其在方程、不等式、数列、三角函数、解析几何、向量以及在实际中等方面的应用作例说。
关键词：数学思想函数思想应用数学思想是人脑对现实世界的空间形式和数量关系的本质的反映，是思维加工的产物，数学思想不仅是数学知识的重要组成部分，更是数学教学中进行素质教育的重要部分，在高中数学中起到横向联系和纽带连结的主干作用，它包括：分类讨论思想、方程思想、转化思想、数形结合思想、函数思想、换元思想、对称思想、正难则反思想等等。
而函数思想是用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题，是在知识和方法反复学习运用中抽象出的带有观念性的指导方法。
所谓函数思想的运用，就是对于一个实际问题或数学问题，构建一个相应的函数，从而更快更好地解决问题。
构造函数是函数思想的重要体现，运用函数思想要善于抓住事物在运动过程中那些保持不变的规律和性质，结合函数的概念和性质，通过类比联想转化合理地构造函数，去分析、研究问题转化问题并解决问题。
函数思想不仅体现在本身就是函数问题的高考试题中，而且对于诸如方程、不等式、三角函数、数列、解析几何、向量等问题也常常可以通过构造函数来求解。
本文拟就函数思想方面，讨论其在解题中的应用。
一、运用函数思想求解方程问题函数与方程既是两个不同的概念，又存在着密切的联系。
一个函数若能用一个解析式表达，则这个表达式就可看成一个方程；一个二元方程的两个未知数间存在着对应关系，如果这个对应关系是单值的，那么这个方程也可以看成一个函数。
一个方程的两端可以分别看成函数，方程的解就是这两个函数图象交点的横坐标。
因此，许多有关方程的问题都可用函数思想来解决。
例1、求证：不论 a取什么实数，方程x2-(a2+a)x+a-2=0必有两个不相等的实根。
分析：常规解法，若求出判别式△是一个关于a的一元四次多项式，符号不易判断。
高中数学思想方法
高中数学思想方法高中数学思想方法高中数学思想方法1第一：函数与方程思想（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的.分类标准（3）划分只是手段，分类研究才是目的（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四：化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法（3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想（1）把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2）积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3）立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性（2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3）等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点高中数学思想方法2近年来，高考命题方向很明显地朝着对知识网络交汇点、数学思想方法及对数学能力的考查发展，考生在复习的过程中，应对所学知识进行及时的梳理，这里既包含对基础知识的整理，也包括对数学思想方法的总结。
为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？
为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一？首都师范大学王尚志为什么把必修1作为其它必修课程的基础？最主要的原因是突出函数的作用和意义。
20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。
克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。
以函数概念为中心，将全部数学教材集中在他周围，进行充分地综合。
”函数思想是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。
为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据（一批数）是引导儿童进入数学的源泉。
在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。
以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中，有两种量——常量和变量。
在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。
有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。
例如，在引入减法时，我们常常会使用这样的例子，5加多少等于9，即5+？=9。
现在，在小学5、6年级，初步地形成方程的概念，这是对量认识飞跃的一个标志，对方程的认识也是一个很长的过程，把对方程的认识纳入到函数体系，这是克莱因思想的组成部分，是非常重要的。
在近代数学中，用算子理论认识微分方程，这两者本质上是一样的。
从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。
这件事在小学就开始做了。
通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，例如，时间，路程、速度、加速度、温度、湿度等等。
有些变量和变量之间没有依赖关系，例如，速度和湿度就没有依赖关系。
高中数学函数四大思想总结
高中数学函数四大思想总结高中数学中的函数最核心的思想可以总结为四个方面，分别是函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。
第一，函数的定义域与值域思想。
在高中数学中，函数的定义域与值域的确定是非常重要的。
定义域指的是函数能够取到的自变量的值的范围，值域则是函数能够取到的因变量的值的范围。
这个思想在解决函数的范围和取值问题时非常关键。
第二，单调性思想。
单调性指的是函数在定义域内的变化趋势。
由于学生在学习中常常会遇到函数的增减性和凹凸性等问题，使用单调性思想可以更好地解决这些问题。
单调函数的概念和性质是高中数学中非常重要的内容，它不仅体现了函数的变化趋势，同时也反映了函数的导数的意义。
第三，奇偶性思想。
奇偶性在函数的对称性与图像的性质方面起到了重要的作用。
奇函数是指满足$f(-x)=-f(x)$的函数，而偶函数是指满足$f(-x)=f(x)$的函数。
通过利用奇偶性的性质，可以更好地简化函数的计算和图像的观察，同时也可以推导出更多的函数性质和结论。
第四，周期性思想。
周期函数是指满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中T称为函数的周期。
周期性思想在高中数学的解题中扮演了非常重要的角色。
通过刻画函数图像的周期性，可以更好地理解和分析函数的特点，推导出函数的周期和对称轴等性质，进一步简化问题。
综上所述，高中数学中的函数主要体现了函数的定义域与值域思想、单调性思想、奇偶性思想和周期性思想。
这四个思想在理论学习和实际问题中的应用非常广泛，是高中数学中的核心内容。
通过深入理解和应用这些思想，可以更好地掌握函数的概念和性质，提高数学解题的能力。
函数思想在高中数学解题中的应用
函数思想在高中数学解题中的应用作者：姜友宝来源：《中学课程辅导·教学研究（下）》 2019年第6期姜友宝摘要：数学思维是数学学习的核心。
而函数思想作为高中数学思想最基本的思想之一，在高中数学熟练的掌握运用函数思想能为高中生解题提供新的方法与途径。
寻求题目已知条件与函数思想隐藏的联系，把题目化难为易，有利于加深对学生的理解与提升学生的数学解题技巧。
关键词：函数思想；高中数学；实际题解运用中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711(2019)06-0110一、引言函数思想是高中数学要求掌握的重要思想，本质是研究变量与定量之间的关系。
通过学生全面分析、仔细观察建立数学模型，利用题目中的已知条件的联系入手，把抽象的数学问题转化具体。
培养学生的函数思想，有利于学生从不同角度解答出不等式、数列、导数、方程等问题中的难题。
基于此，本文选择“函数思想在高中数学解题中的应用”这个选题，结合具体的事例分析高中数学函数思想解题运用的构成。
二、以函数思想为桥梁，可以解决在高中数学数列解题中的应用问题数列问题一直是高考数学考核的重点与难点。
而数列是一个一个有序的数组成的，每一个都可以看作一个函数。
函数思想是研究变量之间关系的。
两者在一定情况下可以互相转化，把复杂的问题简单化。
所以学生在解题过程中要挖掘题目中的隐藏条件，全面分析问题构建函数思想与数列之间的联系与规律。
在解答数列问题中运用函数思想也有利于加深数列的定义、等比、等差方面知识的衔接。
解答数列问题善于分析两者之间的区别与联系，抓住题目中的已知条件与利用函数的单调性与连续性等定义互相转化，找到数列分布的规律与通项公式让问题迎刃而解。
同时，教师在数学教学中要有意识地引导学生寻求最优的解决方法，激发学生学习数学的激情，开拓学生的思维，帮助学生掌握函数思想。
灵活变通，运用数学思想解决实际问题，提升学生数学水平。
教师要注重传授数学知识的同时，加强数学思想的实际运用与训练，在上课讲解中强调数学思想的重要性。
高中数学《函数的应用》课程设计以及思政教育的融合思考
高中数学《函数的应用》课程设计以及思政教育的融合思考引言高中数学《函数的应用》课程是数学教育中重要的一环，它不仅帮助学生理解和掌握函数的基本概念和性质，还培养学生运用函数解决实际问题的能力。
然而，单纯的数学知识传授可能无法满足学生全面发展的需求，因此将思政教育与数学课程相融合，可以更好地培养学生的思想品德和社会责任感。
本文将探讨如何将思政教育与《函数的应用》课程相融合，以及如何设计相应的教学内容。
融合思政教育的目标融合思政教育的目标是培养学生的思想品德和社会责任感，使他们具备正确的人生观、价值观和道德观。
在《函数的应用》课程中，我们可以通过以下方式实现这一目标：1. 引导学生思考数学与社会问题的联系：通过引入与社会问题相关的数学应用，如经济学、环境保护等领域，让学生认识到数学在现实生活中的重要性和应用场景，培养他们对社会问题的思考能力。
2. 培养学生的团队合作和沟通能力：在课堂中引入小组讨论、合作解题等活动，培养学生的团队合作和沟通能力。
通过合作解决复杂的实际问题，学生可以学会倾听他人意见、尊重他人观点，并学会有效地与他人合作。
3. 强调数学知识的应用伦理：在课程中强调数学知识的应用伦理，引导学生思考数学知识的合理应用和责任。
例如，讨论在经济学领域中的数学模型应用时，要引导学生思考模型的局限性、数据的可靠性等伦理问题。
4. 培养学生的创新精神和实践能力：通过设计创新性的数学应用项目，鼓励学生运用所学的数学知识解决实际问题。
同时，引导学生思考如何将数学知识应用到实际创新中，培养他们的创新精神和实践能力。
课程设计在课程设计中，我们可以采用以下策略来融合思政教育和《函数的应用》课程：1. 设计与社会问题相关的数学应用案例：选择与社会问题相关的数学应用案例，如基于函数的环境保护模型、经济学模型等。
通过这些案例，引导学生思考数学与社会问题的联系，培养他们对社会问题的关注和思考能力。
2. 引导学生进行团队合作解题：在课堂中引入小组讨论、合作解题等活动，让学生在小组中共同解决复杂的实际问题。
函数与方程的思想详解
专题函数与方程思想一、考点回顾函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。
函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。
1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。
2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系；3．函数方程思想的几种重要形式(1)函数和方程是密切相关的，对于函数y＝f(x)，当y＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y＝f(x)看做二元方程y－f(x)＝0。
(2)函数与不等式也可以相互转化，对于函数y＝f(x)，当y＞0时，就转化为不等式f(x)＞0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式；(3)数列的通项或前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要；(4)函数f(x)＝(1+x)^n (n∈N*)与二项式定理是密切相关的，利用这个函数用赋值法和比较系数法可以解决很多二项式定理的问题；(5)解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论；(6)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。
二、经典例题剖析(根据近几年高考命题知识点及热点做相应的试题剖析，要求例题不得少于8个)1. (湖北卷)关于x的方程(x2－1)2－|x2－1|＋k＝0，给出下列四个命题：①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是( ).A. 0B. １C. ２D. ４解析：本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.思路分析：1. 根据题意可令｜x 2－1｜＝t(t≥0)，则方程化为t 2－t ＋k ＝0，(*)作出函数t ＝｜x 2－1｜的图象，结合函数的图象可知①当t ＝0或t ＞1时，原方程有两上不等的根，②当0＜t ＜1时，原方程有4个根，③当t ＝1时，原方程有3个根.(1)当k ＝－2时，方程(*)有一个正根t ＝2，相应的原方程的解有2个；(2)当k ＝14时，方程(*)有两个相等正根t ＝12，相应的原方程的解有4个； (3)当k ＝0时，此时方程(*)有两个不等根t ＝0或t ＝1，故此时原方程有5个根；(4)当0＜k ＜14时，方程(*)有两个不等正根，且此时方程(*)有两正根且均小于1，故相应的满足方程|x 2－1|＝t 的解有8个，故选A.2. 由函数f(x)＝(x 2－1)2－|x 2－1|的图象(如下图)及动直线g(x)＝k 可得出答案为A.3. 设t ＝|x 2－1|(t≥0)，t 2－t ＋k ＝0，方程的判别式为Δ＝1－4k ，由k 的取值依据Δ＞0、△＝0、△＜0从而得出解的个数.4. 设函数f(x)＝，利用数轴标根法得出函数与x 轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A. 答案：A点评：思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.2. (广东卷)已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ). Ａ. 5 Ｂ. 4 Ｃ. 3 Ｄ. 2解析：设等差数列的首项为a 1，公差为d 据题意得：答案：C点评：运用等差、等比数列的基本量(a 1，d ，q)列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.3. (安徽卷)已知＜α＜π，tanα＋cotα＝－.(１)求tanα的值；(２)求的值.解析：(１)由tanα＋cotα＝－103得3tan2α＋10tanα＋3＝0，即tanα＝－3或tanα＝－13， 又3π4＜α＜π，所以tanα＝－13=为所求.答案： 点评：第(１)问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα＋cotα＝－103变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.4. (江西卷)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(０，12］成立，则a 的最小值是( ).Ａ. ０ Ｂ. －２ Ｃ. －52Ｄ. －３ 解析：与x 2＋ax ＋1≥0在Ｒ上恒成立相比，本题的难度有所增加.思路分析：１. 分离变量，有a≥－(x ＋1x )，x ∈(０，12］恒成立.右端的最大值为－52，故选Ｃ.2. 看成关于a 的不等式，由f(0)≥0，且f(12)≥0可求得a 的范围. 3. 设f(x)＝x 2＋ax ＋1，结合二次函数图象，分对称轴在区间的内外三种情况进行讨论.4. f(x)＝x 2＋1，g(x)＝－ax ，则结合图形(象)知原问题等价于f(12)≥g(12)，即a≥－52.5. 利用选项，代入检验，Ｄ不成立，而Ｃ成立.故选Ｃ.答案：Ｃ点评：思路１～４具有函数观点，可谓高屋建瓴.思路５又充分利用了题型特点.5. (全国卷Ⅱ)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛物线上的两动点，且(λ＞0).过A 、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明为定值； (2)设△ABM 的面积为S ，写出S ＝f(λ)的表达式，并求S 的最小值.解：(1)证明：由已知条件，得F(0，1)，λ＞0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2).由，得(－x 1，1－y 1)＝λ(x 2，y 2－1)，即将①式两边平方并把代入得 ③ 解②、③式得y 1＝λ，y 2＝1λ，且有x 1x 2＝－λx 22＝－4λy 2＝－4，抛物线方程为y ＝14x 2，求导得y′＝12x.所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是y ＝12x 1(x －x 1)＋y 1，y ＝12x 2(x －x 2)＋y 2， 即. 解出两条切线的交点M 的坐标为，所以＝ .所以为定值，其值为0. (2)由(1)知在△ABM 中，FM ⊥AB ，因而S ＝12|AB| |FM|. |FM|＝＝＝＝＝.因为|AF|、|BF|分别等于A 、B 到抛物线准线y ＝－1的距离，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝y 1＋y 2＋2＝λ＋1λ＋2＝()2.于是S ＝12|AB| |FM|＝12()3由≥2知S≥4，且当λ＝1时，S 取得最小值4.点评：在解析几何中考查三角形面积最值问题是高考的重点和热点，求解的关键是建立面积的目标函数，再求函数最值，至于如何求最值应视函数式的特点而定，本题是用均值定理求最值的.6. 设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞０，且g(－３)＝０，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( ).Ａ. (－3，0)∪(3，＋∞) Ｂ. (－3，0)∪(0，3)Ｃ. (－∞，－３)∪(3，＋∞) Ｄ. (－∞，－３)∪(０，３)解析：以函数为中心，考查通性通法，设Ｆ(x)＝f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以F(－x)＝f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)＝－F(x)，即F(x)为奇函数.又当x ＜0时，F′(x)＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，所以x ＜0时，F(x)为增函数.因为奇函数在对称区间上的单调性相同，所以x ＞0时，F(x)也为增函数.因为F(－3)＝f(－3)g(－3)＝0＝－F(3).如上图，是一个符合题意的图象，观察知不等式F(x)＜0的解集是(－∞，－３)∪(０，３)，所以选D.答案：D点评：善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键.题中就是构建函数F(x)＝f(x)g(x)，再根据题意明确该函数的性质，然后由不等式解集与函数图象间的关系使问题获得解决的.7. 函数f(x)是定义在［０，１］上的增函数，满足f(x)＝２f(x 2)且f(１)＝１，在每一个区间(］(i ＝１，２……)上，y ＝f(x)的图象都是斜率为同一常数k 的直线的一部分.(1) 求f(０)及f(12)，f(14)的值，并归纳出f()(i ＝１，２，……)的表达式； (２)设直线x ＝，x ＝，x 轴及y ＝f(x)的图象围成的梯形的面积为a i (i ＝１，２，……)，记Ｓ(k)＝lim n→∞(a 1＋a 2＋…a n )，求Ｓ(k)的表达式，并写出其定义域和最小值. 解析：以函数为细节，注重命题结构网络化，(１)由f(0)＝２f(０)，得f(０)＝０.由f(１)＝２f(12)及f(１)＝１，得 f(12)＝12f(１)＝12.同理，f(14)＝12f(12)＝14. 归纳得f()＝(i ＝１，２，……).(２)当＜x≤=时，所以｛a n ｝是首项为12(１－k 4)，公比为14的等比数列，所以.Ｓ(k)的定义域为｛k|0＜k≤1｝，当k ＝1时取得最小值12. 点评：高考命题寻求知识网络化已是大势所趋，而函数是把各章知识组合在一起的最好的“粘合剂”.高考试题注重知识的联系，新而不偏，活而不怪.这样的导向，就要求在学习中必须以数学思想指导知识、方法的运用，注意培养我们用联系的观点去思考问题的习惯.8. 对任意实数k ，直线：y ＝kx ＋b 与椭圆：(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 取值范围是 .解析：方法１，椭圆方程为，将直线方程y ＝kx ＋b 代入椭圆方程并整理得. 由直线与椭圆恒有公共点得化简得由题意知对任意实数k，该式恒成立，则Δ′＝12(b－1)2－4［１６－(b－1)2］≤0，即－１≤b≤３方法２，已知椭圆与y轴交于两点(０，－１)，(０，３).对任意实数k，直线：y＝kx＋b与椭圆恒有公共点，则(０，b)在椭圆内(包括椭圆圆周)即有≤1，得－1≤b≤3.点评：方法１是运用方程的思想解题，这是解析几何变几何问题为代数问题的方法.方法２运用数形结合的思想解题，是相应的变代数问题为几何问题的方法.高考试题中设置一题多解的试题就是为了考查学生思维的深度和灵活运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力.评判出能力与素养上的差异.三、方法总结与2008年高考预测(一)方法总结1．函数描述了自然界中量的依存关系，反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律。
“换元、对称、联想”思想方法在高中二次函数解题中的运用
摘要：二次函数是中学阶段中最正规完备的函数之一，在代数和解析几何中都有广泛的应用，对高中阶段的各种数学思想基本都有涉及.二次函数相关的问题一直是高考考查的重点，在解题过程中灵活运用各种数学思想有利于降低解题难度，提高解题效率.本文主要对高中二次函数解题中的“换元、对称、联想”方法的应用进行详细阐述，求教于方家.关键词：换元对称联想二次函数二次函数是高中数学教学的重点也是难点，在实际教学过程中发现学生对二次函数的解题方法还没有完全掌握，或不知如何采用二次函数解决其他问题.二次函数是学习圆锥曲线、一元二次不等式的基础，由于二次函数的图像及其性质充分体现了数形结合的思想，其应用较广泛，有利于学生数学思想及素养的形成.在二次函数问题中涉及各种数学思想，本文主要对“换元、对称、联想”思想在二次函数中的应用进行分析.一、巧用“换元法”，求函数最值换元法具有将次或简化算式的作用，尤其是表达式中多次出现同一个“字式”时，可将其作为一个整体，采用单一的变量替代整体进行换元，并对其求出变量的值或者范围.四、结语二次函数作为高中数学的重要组成部分，在其教学中占有重要地位.关于二次函数的问题灵活多变，灵活利用“换元”、“对称”、“联想”的数学思想，不仅能够帮学生真正认识数学解题，降低解题难度，而且有利于培养学生的数学思维能力.在解题教学过程中，教师应注重培养学生良好的思维习惯，为学生示范解题时，充分暴露解题时的思维过程，同时也应当注重引导学生灵活运用多种方法解题，可要求学生简要画出解题的示意图，以此培养学生良好的解题习惯，拓展学生解题思路，避免思维定势，使学生能够灵活掌握各种方法，针对题型选取适合的解题方法，提高解题效率.参考文献：[1]俞新龙.例析二次函数问题解决的基本思想――分类讨论和数形结合[J].广东教育（高中版），2011（5）：15-17.[2]黄文龙.用“换元、对称、联想”等思想方法来帮你解题[J].初中生世界：初三，2012（6）：51-53.[3]刘家良.在把握联系和寻求转化中提高思辨能力――二次函数、方程和不等式之间的相互转换[J].中学数学，2012（10）：45.。
用函数思想指导高中数学解题
３一 ．可 以 看 出 这 两 个 方 程 的 解 就 是 三 个 函数 的两 个 交 点 ．因 此
获得思路 ：在 同一直 角坐标系 内分别作 出函数 Ｙ＝ｌｘ ｇ ，Ｙ＝１ ， ｚ ，那
象及 其 初 步 的 应 用 ， 因 此 函 数 思 想在 高 中数 学 解题 中的 应 用 就 Ｙ＝３一 的 图 象 （ 图 １所 示 ） 交 点 分 别 为 ４、Ｂ，那 么 Ａ、Ｂ 如 ，
：
＝
盟
３
（ ｓｘ 孚 ｉ ＋ ）Ｖ－ ｎ －３ ２ 丁
～ ． 一ຫໍສະໝຸດ ｘ ＋３ 。 一＿ ３＿ ／ ｓ （ ｙ ｉ ０） ｘ － ／
ｊ Ｏ
得 ＜口 ，故 ＜口＜２ １ ＜３ １ ．
，
因为 ∈（。 ０ ） ０ ，６ 。 ，所 以当 ＋３ 。 ０ ，即 ＝３ 。 ， ０ ＝９ 。 ０时
集 的一 种 特 殊 对 应 ．函数 思 想 是 从 运 动 的 角度 出发 ，用 变 化 的 观
函数 的关 系 ， 由 图形 的 对 称 性 可 轻 易 得
出ｌＢ ｌ ４ ＝ｆＣｌ Ｅ ＝ｉＤ Ｉ Ｄ ，所以ｌＤ Ｉ ＋ Ｏ
＝ｌ ４ ＩＣｌ ＝３ ｆＢ Ｉ Ｄ Ｊ－Ｄ ＝ ｊＣＩ ，即 Ｅ Ｏ Ｏ
解 ：分母 是 正 整 数 列 １ ，３ ，２ ，… ，３ ｎ一１ 的 各 项 ，所 以 中
方 程 是 含 有 未 知 数 的等 式 ，方 程 的 价 值 是 表 述 了 已 知 量 和
未知量之间的数量关系． 利用 函数的思想 ，可以把方程看作是一
个 已 知 函数 值 为 零 ，求 其 自变 量 的 值 的 问题 ，从 而 可 以 实 现 将
１
ａ ＋５恒正． 这个抛物线的对称轴方程为 ｔ 一 ａ ， ＝Ｉ
(完整版)导数大题精析1——放缩思想在高考函数中的应用
放缩思想在高考数学中的应用高中阶段,在数列那一章节的学习中，我们曾接触过放缩思想。
其实在高考函数中，尤其是导数大题中，放缩思想起着举足轻重的作用。
例如,让我们证明x^2-2x+1≥0，这个题目对大家来说根本算不上问题。
但是如果让我们证明x^2—3x+e^x ≥0。
这个式子我们看起来非常陌生，我们对e^x 并不熟悉，我们不喜欢e^x 或者lnx,因此,我们可以把他们转化为x 的形式。
这道题目，我们可以先证明e^x ≥x+1，这里构造辅助函数f(x ）=e^x-x-1即可证明,证明后,我们可以得到x^2—3x+e^x ≥x^2—2x+1≥0当x=1时两等号成立。
在此,我给出以下4个常考的辅助函数供大家参考。
① e^x ≥x+1当x=0时等号成立② lnx ≤x —1当x=1时等号成立③ sinx ≤x 当x=0时等号成立④ cosx ≤x+1当x=0时等号成立接下来我们不妨来试一道高考题，2012年山东高考压轴题。
22（本小题满分13分）已知函数f(x) = x ek x +ln （k 为常数，e=2。
71828……是自然对数的底数)，曲线y= f(x ）在点(1,f （1）)处的切线与x 轴平行。
（Ⅰ)求k 的值；（Ⅱ）求f(x)的单调区间；（Ⅲ）设g （x ）=（x 2+x ） '()f x ，其中'()f x 为f （x ）的导函数，证明：对任意x ＞0,21)(-+<e x g .上面本题的标准答案，前两问在此不做解释。
在第三问中,我们可以看出关键步骤就是把g（x）分成1+x/e^x和1-x-xlnx两部分,但是我们如何想到这一步呢？为什么他要把函数分成这两部分呢?看完上面的文章,我想各位读者已经有了初步的思考，下面，让我们再重新看一遍第三问。
g(x)= （1-x-xlnx)（x+1)/e^x看到这个函数，我们的第一反应应该是:这个函数不好做,e^x和lnx太烦了，我们把它放缩一下.把lnx换成x-1，把e^x换成x+1。