2017年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
第1页（共23页） 2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（5分）为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 3．（5分）已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 4．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十
万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）
A． B． C． D． 5．（5分）已知，则的值等于（ ） 第2页（共23页）
A． B． C． D． 6．（5分）已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2017的值为（ ）
A． B． C． D． 7．（5分）如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（ ）
A． B． C． D． 8．（5分）已知等比数列{an}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 9．（5分）若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（ ） A．﹣1 B．+1 C．2+2 D．2﹣2
10．（5分）椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（ ） A． B． C． D． 11．（5分）四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（ ） A．50π B．100π C．200π D．300π
12．（5分）已知函数f（x）=，且f（2017）=2016，则f（﹣2017）=（ ） 第3页（共23页）
A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2017 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 ． 14．（5分）已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ． 15．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ． 16．（5分）在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M
为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．（12分）已知数列{an}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．（12分）2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区 的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下： 组别 PM2.5浓度（微克/立方米） 频数（天） 第一组 （0，35] 32 第二组 （35，75] 64 第三组 （75，115] 16 第4页（共23页）
第四组 115以上 8 （Ⅰ）在这120天中抽取30天的数据做进一步分析，每一组应抽取多少天？ （Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随 机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率． 19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1
（λ为实数）．
（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E； （2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．
20．（12分）已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点． （1）求点M的轨迹C的方程； （2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 21．（12分）已知函数h（x）=（x﹣a）ex+a． （1）若x∈[﹣1，1]，求函数h（x）的最小值； （2）当a=3时，若对∀x1∈[﹣1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22﹣2bx2
﹣ae+e+成立，求b的范围．
22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2α﹣2cosα=0． 第5页（共23页）
（1）求曲线C的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值． 23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|． （1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围； （2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集． 第6页（共23页） 2017年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科） 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论． 【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）， 对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0， m=﹣1时，x∈∅． m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）． m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）． ∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=． ∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件． 故选：A． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、分类讨论、集合的运算性质、不等式解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
2．（5分）为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则分段的间隔为（ ） A．20 B．30 C．40 D．50 【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可． 【解答】解：根据系统抽样的特征，得； 第7页（共23页）
从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30． 故选：B． 【点评】本题考查了系统抽样的应用问题，解题时应熟知系统抽样的特征，是基础题目．
3．（5分）已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（ ） A．（﹣1，2） B．（﹣2，1） C．（1，+∞） D．（﹣∞，﹣2） 【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出． 【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限， ∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1． 则实数m的取值范围是（﹣2，1）． 故选：B． 【点评】本题考查了复数的几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（5分）中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：
表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十
万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（ ）
A． B． C． D． 第8页（共23页）
【分析】根据新定义直接判断即可． 【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间， 个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，
则5288 用算筹可表示为11， 故选：C． 【点评】本题考查了新定义的学习，属于基础题．
5．（5分）已知，则的值等于（ ） A． B． C． D． 【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解． 【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，
∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣． 故选：D． 【点评】本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
6．（5分）已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为Sn，则S2017的值为（ ）
A． B． C． D． 【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算
即可得到所求和． 【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c， 由f（0）=0，可得c=0． 可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3， 解得m=1， 即f（x）=x2+x，
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)含答案解析
2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A．B．C．2+i D．2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣24．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）5．执行如图程序，输出的结果为（）A．513 B．1023 C．1025 D．20476．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．1697．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2 B．2+C．3+D．3+8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）A．B．﹣C．5 D．89．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω=πB．φ=C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）A． B． C．0 D．111．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B 关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．2017年河南省郑州市、平顶山市、濮阳市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z，满足（z﹣1）i=i﹣1，则|z|=（）A．B．C．2+i D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【解答】解：（z﹣1）i=i﹣1，∴﹣i•（z﹣1）i=﹣i•（i﹣1），∴z﹣1=1+i，∴z=2+i．则|z|==．故选：D．2．已知集合A={x|log2x≤1}，B={x|＞1}，则A∩（∁R B）=（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求函数定义域求出集合A，解不等式求出集合B，根据补集与交集的定义写出A∩（∁R B）．【解答】解：集合A={x|log2x≤1}={x|0＜x≤2}，B={x|＞1}={x|﹣1＞0}={x|0＜x＜1}，∴∁R B={x|x≤0或x≥1}，∴A∩（∁R B）={x|1≤x≤2}=[1，2]．故选：C．3．已知=（2，m），=（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4 B．4 C．0 D．﹣2【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】根据题意，由向量、的坐标可得+2=（4，m﹣4），又由∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），解可得m的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，=（2，m），=（1，﹣2），则+2=（4，m﹣4），若∥（+2），则有4×m=2×（m﹣4），即m﹣4=2m，解可得m=﹣4；故选：A．4．已知直线y=k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，] C．（0，] D．（，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，直线y=kx﹣1过定点（0，﹣1），利用数形结合即可得到结论【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，∵直线y=k（x+1）过定点D（﹣1，0），∴由图象可知要使直线y=k（x+1）与区域Ω有公共点，则直线的斜率k≤k BD，由，得B（1，3），此时k BD=，故0＜k，故选：C．5．执行如图程序，输出的结果为（）A．513 B．1023 C．1025 D．2047【考点】程序框图．【分析】执行循环体，依此类推，当n=11，不满足条件此时s=2047，退出循环体，从而输出此时的s即可．【解答】第一次循环，x=3，i=2＜10，第二次循环，x=7，i=3＜10，第三次循环，x=15，i=4＜10，第四次循环，x=31，i=5＜10，第五次循环，x=63，i=6＜10，第六次循环，x=127，i=7＜10，第七次循环，x=255，i=8＜10，第八次循环，x=511，i=9＜10，第九次循环，x=1023，i=10≤10，第十次循环，x=2047，i=11＞10，输出x=2047，故选：D．6．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42 B．65 C．143 D．169【考点】归纳推理．【分析】首先从特殊四边形的对角线观察起，则四边形是2条对角线，五边形有5=2+3条对角线，六边形有9=2+3+4条对角线，则七边形有9+5=14条对角线，则八边形有14+6=20条对角线．根据对角线条数的数据变化规律进行总结即得．【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；13边形有2+3+4+…+11==65条对角线．故选B．7．刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2 B．2+C．3+D．3+【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为S=S正方形ABCD+S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD=12+×1×1+×1×+×1×+×1×1=2+．故选：B．8．已知f（x）=asinx+b+4，若f（lg3）=3，则f（lg）=（）A．B．﹣C．5 D．8【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由已知中f（x）=asinx+b+4，可得：f（x）+f（﹣x）=8，结合lg=﹣lg3可得答案．【解答】解：∵f（x）=asinx+b+4，∴f（x）+f（﹣x）=8，∵lg=﹣lg3，f（lg3）=3，∴f（lg3）+f（lg）=8，∴f（lg）=5，故选：C9．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω=πB．φ=C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，可判断出A；把点（，0）代入解析式化简后，由题意求出φ的值判断出B；由整体思想和正弦函数的单调性求出递减区间，判断出C；由整体思想和正弦函数的对称中心求出f（x）的对称中心，判断出D．【解答】解：由图象得，A=1，T==1，则T=2，由得，ω=π，则A正确；因为过点（，0），所以sin（π+φ）=0，则π+φ=kπ（k∈Z），φ=+kπ（k∈Z），又|φ|＜π，则φ=或，所以f（x）=sin（πx）或f（x）=sin（πx+），则B错误；当f（x）=sin（πx+）时，由得，，所以函数的递增区间是（2k﹣，2k+），k∈Z，则C正确；当f（x）=sin（πx）时，由πx=kπ（k∈Z）得，x=k+（k∈Z），所以f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z，则D正确；故选B．10．设函数f（0）x=sinx，定义f（1）x=f′[f（0）（x）]，f（2）（x）=f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）=f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）A． B． C．0 D．1【考点】导数的运算．【分析】求函数的导数，得到函数导数具备周期性，结合三角函数的运算公式进行求解即可．【解答】解：f（0）x=sinx，则f（1）x=cosx，f（2）（x）=﹣sinx，f（3）（x）=﹣cosx，f（5）x=sinx，则f（5）x=f（1）（x），即f（n+4）（x）=f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）=sinx+cosx﹣sinx﹣cosx=0，则f（1）=cos15°=cos=cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=，故选：A．11．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据条件求出圆柱的体积，利用基本不等式研究函数的最值即可．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x=2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）=πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π=∴圆柱的最大体积为，此时r=，故选：B．12．已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2=1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△PAB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，求出|PA||PB|，即可得出结论．【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB=∠AOB，tan=2，sin∠AOB=，设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y=±2x，则|PA||PB|==，∴△PAB的面积为•=．故选C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r=|MN|==，则r2=5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．14．在等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19=76．【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1+9d=a10=4，再由等差数列的前n项和公式得S19=（a1+a19）=19a10，由此能求出结果．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7=a4+4，∴，解得a1+9d=a10=4，S n为数列{a n}的前n项和，则S19=（a1+a19）=19a10=76．故答案为：76．15．已知点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【考点】对数的运算性质；基本不等式．【分析】点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，可得，两边取对数可得lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，可得lnt=lna•lnb，利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：点P（a，b）在函数y=上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb=2﹣lna，即lna+lnb=2．（lna＞0，lnb＞0）．令t=a lnb，∴lnt=lna•lnb≤=1，当且仅当lna=lnb=1，即a=b=e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．已知双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求解面积最大值时的点的坐标，利用焦点坐标，转化求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1： +=1具有相同的焦点，可得c=1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S=4mn，≥2=，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m=，n=，可得双曲线的实轴长2a=﹣===，双曲线的离心率为：=．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B=2C，2b=3c．（1）求cosC；（2）若c=4，求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由题意和正弦定理列出方程后，由二倍角的正弦公式化简后求出cosC；（2）由条件求出b，由内角的范围和平方关系求出sinC，由余弦定理列出方程化简后求出a，代入三角形的面积公式求出△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B=2C，2b=3c，∴由正弦定理得，，则，即cosC==；（2）∵2b=3c，且c=4，∴b=6，∵0＜C＜π，cosC=，∴sinC==，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC，则，即a2﹣9a+20=0，解得a=4或a=5，当a=4时，△ABC的面积S===，当a=5时，△ABC的面积S===．18．经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图；茎叶图．【分析】（Ⅰ）利用茎叶图能求出女生打分的平均分和男生打分的平均分，从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为0.45，由此能求出最高矩形的高．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，由此利用对立事件概率计算公式能求出有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：=（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）=78，男生打分的平均分为：=（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）=69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：=0.45，∴最高矩形的高h==0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n==20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p=1﹣=1﹣=．19．如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=AB=1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB=2PA，使AD∥平面MPC，证明AD∥OP，即可证明AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，利用等体积方法，即可求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB 边上存在点P ，满足PB=2PA ，使AD ∥平面MPC ． 连接BD ，交MC 于O ，连接OP ，则由题意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD ， ∵PB=2PA ， ∴OP ∥AD ，∵AD ⊄平面MPC ，OP ⊂平面MPC ， ∴AD ∥平面MPC ；（Ⅱ）由题意，AM ⊥MD ，平面AMD ⊥平面MBCD ，∴AM ⊥平面MBCD ，∴P 到平面MBC 的距离为，△MBC 中，MC=BC=，MB=2，∴MC ⊥BC ，∴S △MBC ==1，△MPC 中，MP==CP ，MC=，∴S △MPC ==．设点B 到平面MPC 的距离为h ，则由等体积可得，∴h=．20．已知动圆M 恒过点（0，1），且与直线y=﹣1相切． （1）求圆心M 的轨迹方程；（2）动直线l 过点P （0，﹣2），且与点M 的轨迹交于A 、B 两点，点C 与点B 关于y 轴对称，求证：直线AC 恒过定点． 【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．【分析】（1）由题意可知圆心M 的轨迹为以（0，1）为焦点，直线y=﹣1为准线的抛物线，根据抛物线的方程即可求得圆心M 的轨迹方程；（2）由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为：y=kx ﹣2，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则C （﹣x 2，y 2）．代入抛物线方，由韦达定理及直线直线AC 的方程为：y ﹣y 2=﹣（x +x 2），把根与系数的关系代入可得4y=（x 2﹣x 1）x +8，令x=0，即可得出直线恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y=﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且=1，解得：p=2，∴动点M的轨迹方程为x2=4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8=0，△=16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2=4k，x1x2=8．直线直线AC的方程为：y﹣y2=﹣（x+x2），又∵y1=kx1﹣2，y2=kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）=（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y=（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1=4k﹣x2，∴4y=（x2﹣x1）x+8，令x=0，则y=2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．已知函数f（x）=ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（I）令f′（x）≥0在（0，1）上恒成立，使用分离参数法求出a的范围；（II）令h′（x）=0，结合二次函数的性质和极值点的定义可判断h（x1）＜h（x2），根据根与系数的关系化简|h（x1）﹣h（x2）|=﹣x12++2lnx1，求出右侧函数的最大值即可证明结论．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）=a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）=﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）=﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）=0得x2+ax+1=0，∵函数h（x）=﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1=0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2=1，x1+x2=﹣a，且ax1=﹣1﹣x12，ax2=﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|=h（x2）﹣h（x1）=﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1=x22﹣x12+ln=﹣x12++2lnx1，令H（x1）=﹣x12++2lnx1，则h′（x1）=﹣x1﹣+==﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）=﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．已知曲线C1的极坐标方程是ρ=1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）先求出曲线C2方程，再求出参数方程；（Ⅱ）将直线的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，化简整理，运用韦达定理，即可得到所求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ=1，直角坐标方程为x2+y2=1，曲线C2方程为x2+y2=1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2=1，化简得5t2+t﹣8=0，即有t1t2=﹣，可得|MA|•|MB|=|t1t2|=．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．【考点】一元二次不等式的解法．【分析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）=3（ab+bc+ca）=3；∴a+b+c的最小值是．2017年4月5日。
河南省商丘市2017-2018学年高考数学三模试卷(文科) Word版含解析
河南省商丘市2017-2018学年高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为( )A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2}2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=( )A．B．C．2 D．3．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为( )A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣44．给出下面四个：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p45．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为( )A．B．﹣C．±D．﹣6．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为( )①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；②在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；③某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A．0 B．1 C．2 D．37．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6 B．8 C．10 D．128．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20等于( ) A．50 B．25 C．75 D．1009．运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣100710．已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为( )A．8πB．12πC．16πD．32π12．若定义在R上的函数满足f（﹣x）=f（x），f（4﹣x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=，则函数H（x）=|xe x|﹣f（x）在区间[﹣6，2]上的零点个数为( )A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若cos（α+）=，则cos（2α+）=__________．14．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=__________．15．如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB 的面积小于的概率为__________．16．圆心在曲线y=（x＞0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，cosB=，sin（﹣C）=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面积．18．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28） 5 0.5第2组[28，38） 18 a第3组[38，48） 27 0.9第4组[48，58） x 0.36第5组[58，68） 3 0.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜恒成立，求实数m的取值范围．选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC•QC；（Ⅱ）求弦AB的长．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．河南省商丘市2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为( )A．{1} B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：图表型．分析：先观察Venn图，图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中，得出图中阴影部分表示的集合，再结合已知条件即可求解．解答：解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中．由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U B）∩A，又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，∵C U B={x|x＜3}，∴（C U B）∩A={1，2}．则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}．故选B．点评：本小题主要考查V enn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．2．若复数z满足（1+i）z=2﹣i，则|z|=( )A．B．C．2 D．考点：复数求模．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．解答：解：复数z满足（1+i）z=2﹣i，∴==，则|z|==．故选：B．点评：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，属于基础题．3．若x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最小值为( )A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（0，2）时，直线y=2x﹣z的截距最大，此时z最小．此时z的最小值为z=0﹣2=﹣2，故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．4．给出下面四个：p1：∃x∈（0，+∞），；p2：∃x∈（0，1），，p3：∀x∈（0，+∞），；p4：∀x∈（0，），x，其中的真是( )A．p1，p3B．p1，p4C．p2，p3D．p2，p4考点：的真假判断与应用．专题：探究型；数形结合．分析：分别根据全称和特称判断真假的方法去判断四个．p1可利用两个指数函数的图象进行判断．p2可以利用对数的图象来判断．p3可以利用对数和指数函数的图象来判断．p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断．解答：解：对应p1可，分别作出函数的图象如图：由图象可知：∀x∈（0，+∞），，所以p1错误．p2：作出对数函数的图象，由图象知：∃x∈（0，1），使p2正确．p3：作出函数的图象，由图象知p3不正确．P4：当x∈（0，）时，，所以恒有成立，所以P4正确．故选D．点评：本题考查了全称和特称的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想．5．若{a n}为等差数列，S n是其前n项和，且S15=10π，则tana8的值为( )A．B．﹣C．±D．﹣考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．解答：解：由等差数列{a n}的前n项和的性质，S15=15a8=10π，∴∴，故选B．点评：由等差数列{a n}的前n项和的性质，n为奇数时，，求出a8，进而根据特殊角的三角函数值求出结果．6．关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为( )①将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数与方差均没有变化；②在线性回归分析中，相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱；③某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A．0 B．1 C．2 D．3考点：众数、中位数、平均数；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，平均数发生变化，标准差均没有变化，可判断（1）；（2）在线性回归分析中，相关系数r→﹣1，表明两个变量负相关越强，可判断（2）；（3）利用分层抽样的概念及运算公式可求得样本容量为n的值，从而可判断（3）．解答：解：（1）将一组数据中的每个数据都减去同一个数a后，平均数为原平均数减去a，其标准差没有变化，故（1）错误；（2）在线性回归分析中，相关系数r接近﹣1，表明两个变量负相关越强，故（2）错误；（3）某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，设样本容量为n，则=，解得n=15，故（3）正确．故正确结论的个数为1个，故选：B．点评：本题考查概率统计中的均值与方差、回归分析中的相关系数的概念及应用、分层抽样及线面垂直的定义，属于中档题7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )A．6 B．8 C．10 D．12考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据三视图得到几何体的直观图，利用直观图即可求出对应的体积．解答：解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB⊥面ABC，VE⊥AB，CD⊥AB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=×AB•CD•VE==10，故选：C点评：本题主要考查三视图的应用，利用三视图还原成直观图是解决本题的关键．8．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5，则lna1+lna2+…+lna20等于( ) A．50 B．25 C．75 D．100考点：等比数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：直接由等比数列的性质结合已知得到a10a11=e5，然后利用对数的运算性质化简后得答案．解答：解：∵数列{a n}为等比数列，且a10a11+a9a12=2e5，∴a10a11+a9a12=2a10a11=2e5，∴a10a11=e5，∴lna1+lna2+…lna20=ln（a1a2…a20）=ln（a10a11）10=ln（e5）10=lne50=50．故选：A．点评：本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题．9．运行如如图所示的程序框图，则输出的结果S为( )A．1008 B．2015 C．1007 D．﹣1007考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：程序运行的功能是求S=1﹣2+3﹣4+…+（﹣1）k﹣1•k，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值，利用并项求和求得S．解答：解：执行程序框图，有k=1，S=0满足条件n＜2015，S=1，k=2；满足条件n＜2015，S=﹣1，k=3；满足条件n＜2015S=2，k=4；满足条件n＜2015S=﹣2，k=5；满足条件n＜2015S=3，k=6；满足条件n＜2015S=﹣3，k=7；满足条件n＜2015S=4，k=8；…观察规律可知，有满足条件n＜2015S=1006，k=2012；满足条件n＜2015S=﹣1006，k=2013；满足条件n＜2015S=1007，k=2014；满足条件n＜2015，S=﹣1007，k=2015；不满足条件n＜2015，输出S的值为﹣1007．故选：D．点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据计算变量n判断程序终止运行时的k值是解答本题的关键，属于基础题．10．已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay﹣m﹣an=0与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|•d=1，∴||•=1，∵，∴a=2，∴c=，∴e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．11．四面体ABCD的四个顶点都在球O的表面上，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．若AB=2，则球O的表面积为( )A．8πB．12πC．16πD．32π考点：球的体积和表面积．专题：球．分析：取CD的中点E，连结AE，BE，作出外接球的球心，求出半径，即可求出表面积．解答：解：取CD的中点E，连结AE，BE，∵在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，△BCD是边长为3的等边三角形．∴Rt△ABC≌Rt△ABD，△ACD是等腰三角形，△BCD的中心为G，作OG∥AB交AB的中垂线HO于O，O为外接球的中心，BE=，BG=，R===2．四面体ABCD外接球的表面积为：4πR2=16π．故选：C．点评：本题考查球的内接体知识，考查空间想象能力，确定球的切线与半径是解题的关键．12．若定义在R上的函数满足f（﹣x）=f（x），f（4﹣x）=f（x），且当x∈[0，2]时，f（x）=，则函数H（x）=|xe x|﹣f（x）在区间[﹣6，2]上的零点个数为( )A．2 B．4 C．6 D．8考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：求出函数f（x）=xe x的导函数，由导函数等于0求出x的值，以求出的x的值为分界点把原函数的定义域分段，以表格的形式列出导函数在各区间段内的符号及原函数的增减性，从而得到函数的单调区间及极值点，把极值点的坐标代入原函数求极值．然后判断y=|xe x|的极值与单调性，然后推出零点的个数解答：解：定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f（2﹣x）=f（x），∴函数是偶函数，关于x=1对称，∵函数f（x）=xe x的定义域为R，f′（x）=（xe x）′=x′e x+x（e x）′=e x+xe x令f′（x）=e x+xe x=e x（1+x）=0，解得：x=﹣1．列表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，+∞）f′（x）﹣0 +f（x）↓极小值↑由表可知函数f（x）=xe x的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），单调递增区间为（﹣1，+∞）．当x=﹣1时，函数f（x）=xe x的极小值为f（﹣1）=﹣．y=|xe x|，在x=﹣1时取得极大值：，x∈（0，+∞）是增函数，x＜0时有3个交点，x＞0时有1个交点共有4个交点．故选：B．点评：题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，在求出导函数等于0的x值后，借助于表格分析能使解题思路更加清晰，此题是中档题二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若cos（α+）=，则cos（2α+）=．考点：二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由二倍角的余弦函数公式根据已知即可求值．解答：解：cos（2α+）=2cos2（α+）﹣1=2×﹣1=．故答案为：．点评：本题主要考查了二倍角的余弦函数公式的应用，属于基本知识的考查．14．设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将已知的两个等式分别平方相减即得．解答：解：由已知得到|+|2=15，|﹣|2=11，即=15，=11，两式相减得到4，所以=1；故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的模的平方与向量的平方相等的运用．属于基础题．15．如图所示，OA=1，在以O为圆心，以OA为半径的半圆弧上随机取一点B，则△AOB 的面积小于的概率为．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：利用OA=1，△AOB的面积小于，可得0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π，即可求出△AOB的面积小于的概率．解答：解：∵OA=1，△AOB的面积小于，∴＜，∴sin∠AOB＜，∴0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π∴△AOB的面积小于的概率为．故答案为：．点评：本题考查△AOB的面积小于的概率，确定0＜∠AOB＜或＜∠AOB＜π是关键．16．圆心在曲线y=（x＞0）上，且与直线3x+4y+3=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣）2=9．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：，再由a的值化简，并利用均值不等式求出r的最小值，即可求出圆的方程．解答：解：设圆心为（a，），a＞0，圆心到直线的最短距离为：=|3a++3|=r∴|3a++3|=5r∵a＞0，∴3a++3=5r欲求面积最小的圆的方程，即求r最小时a和r的值，5r=3a++3≥2+3=15∴r≥3，当3a=，即a=2时，取等号，∴面积最小的圆的半径r=3，圆心为（2，）所以面积最小的圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣）2=9点评：本题考查圆的标准方程的求法，考查点到直线的距离公式和圆的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意均值定理的灵活运用．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，cosB=，sin（﹣C）=．（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若AB=2，求△ABC的面积．考点：两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；正弦定理．专题：计算题．分析：（Ⅰ）根据同角三角函数间的基本关系由cosB求出sinB，利用诱导公式先把sin（﹣C）变为cosC，然后利用同角三角函数间的基本关系求出sinC，把A变为π﹣（B+C），所以sinA=sin[π﹣（B+C）]，利用两角和的正弦函数公式化简后代入即可求出值；（Ⅱ）根据正弦定理求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式求出即可．解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，求得，由sin（﹣C）=，求得．所以sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=．（Ⅱ）根据正弦定理得：，所以．所以．点评：本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力．做题时应注意三角形内角和定理的运用．18．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28） 5 0.5第2组[28，38） 18 a第3组[38，48） 27 0.9第4组[48，58） x 0.36第5组[58，68） 3 0.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．解答：解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…∴P（A）=．…答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…点评：本题考查列举法求解古典概型的概率，涉及频率分布表的应用和分层抽样的特点，属基础题．19．如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．求证：（Ⅰ）EC⊥CD；（Ⅱ）求证：AG∥平面BDE；（Ⅲ）求：几何体EG﹣ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明EC⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质证明EC⊥CD；（Ⅱ）在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，证明四边形ADMG为平行四边形，可得AG∥DM，即可证明AG∥平面BDE；（Ⅲ）利用分割法即可求出几何体EG﹣ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：由平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，CE⊥BC，CE⊂平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，…又CD⊂平面BCDA，故EC⊥CD…（Ⅱ）证明：在平面BCEG中，过G作GN⊥CE交BE于M，连DM，则由已知知；MG=MN，MN∥BC∥DA，且，∴MG∥AD，MG=AD，故四边形ADMG为平行四边形，∴AG∥DM…∵DM⊂平面BDE，AG⊄平面BDE，∴AG∥平面BDE…（Ⅲ）解：…=…点评：本题考查面面垂直、线面平行，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用面面垂直、线面平行的判定定理是关键．20．如图，抛物线C1：y2=2px与椭圆C2：在第一象限的交点为B，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，△OAB的面积为．（Ⅰ）求抛物线C1的方程；（Ⅱ）过A点作直线l交C1于C、D两点，求△OCD面积的最小值．考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）通过△OAB的面积为，求出，然后求出抛物线的方程．（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，求出三角形的面积；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），与抛物线联立，然后求出三角形的面积，推出S△OCD最小值．解答：解：（Ⅰ）因为△OAB的面积为，所以，…代入椭圆方程得，抛物线的方程是：y2=8x…（Ⅱ）直线CD斜率不存在时，；直线CD斜率存在时，设直线CD方程为y=k（x﹣4），代入抛物线，得ky2﹣8y﹣32k=0，y1+y2=，y1•y2=32，，综上S△OCD最小值为．…点评：本题考查抛物线方程的求法，直线与圆锥曲线的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．21．已知函数f（x）=在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，f（x）＜恒成立，求实数m的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（I）求导函数，利用函数在点（1，f（1））处的切线方程为x+y=2，建立方程组，即可求a，b的值；（II）对函数f（x）定义域内的任一个实数x，恒成立，等价于恒成立，求出函数的最值，即可求实数m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）∵，∴∵点（1，f（1））在直线x+y=2上，∴f（1）=1，∵直线x+y=2的斜率为﹣1，∴f′（1）=﹣1∴有，∴（Ⅱ）由（Ⅰ）得由及x＞0，可得令，∴，令h（x）=1﹣x﹣lnx，∴，故h（x）在区间（0，+∞）上是减函数，故当0＜x＜1时，h（x）＞h（1）=0，当x＞1时，h（x）＜h（1）=0从而当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0∴g（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数，故g（x）max=g（1）=1要使成立，只需m＞1故m的取值范围是（1，+∞）．点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-1：几何证明选讲（共1小题，满分10分）22．如图，直线PQ与⊙O相切于点A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分线AC交⊙O于点C，连结CB，并延长与直线PQ相交于点Q，若AQ=6，AC=5．（Ⅰ）求证：QC2﹣QA2=BC•QC；（Ⅱ）求弦AB的长．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；推理和证明．分析：（Ⅰ）利用切割线定理得：QA2=QB•QC=（QC﹣BC）•QC=QC2﹣BC•QC，即可证明QC2﹣QA2=BC•QC；（Ⅱ）求出AC=BC=5，QC=9，由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，即可求弦AB的长．解答：（Ⅰ）证明：∵PQ与⊙O相切于点A，∴由切割线定理得：QA2=QB•QC=（QC﹣BC）•QC=QC2﹣BC•QC．…∴QC2﹣QA2=BC•QC．…（Ⅱ）解：∵PQ与⊙O相切于点A，∴∠PAC=∠CBA，∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5，…又知AQ=6，由（Ⅰ）可知QA2=QB•QC=（QC﹣BC）•QC，∴QC=9．…由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，…∴．…点评：本题考查切割线定理，考查三角形相似的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程（共1小题，满分0分）23．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），它与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A、B两点．（1）求|AB|的长；（2）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为（2，），求点P到线段AB中点M的距离．考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）设点A，B的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得t2﹣4t﹣10=0．利用|AB|=|t1﹣t2|=即可得出．（2）利用把点P的极坐标化为直角坐标，线段AB中点M所对的参数t=，即可得出点M的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得出．解答：解：（1）设点A，B的参数分别为t1，t2．把直线l的参数方程（t为参数）代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，化为t2﹣4t﹣10=0．∴t1+t2=4，t1t2=﹣10．∴|AB|=|t1﹣t2|===．（2）由点P的极坐标（2，），可得x P==﹣2，y P==2，∴P （﹣2，2）．线段AB中点M所对的参数t==2，∴x M=﹣2﹣=﹣3，y M==2+．∴M．∴|PM|==2．点评：本题考查了直线的参数方程及其应用、两点之间的距离公式、弦长公式、极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞0；（Ⅱ）若∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，平方后解一元二次不等式求得它的解集．（Ⅱ）根据f（x）的解析式，求出f（x）的最小值为f（），再根据f（）+2m2＜4m，求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）不等式f（x）＞0，即|2x﹣1|＞|x+2|，即4x2﹣4x+1＞x2+4x+4，即3x2﹣8x+3＞0，求得它的解集为{x|x＜﹣，或x＞3}．（Ⅱ）f（x）=|2x﹣1|﹣|x+2|=，故f（x）的最小值为f（）=﹣，根据∃x0∈R，使得f（x0）+2m2＜4m，可得4m﹣2m2＞﹣，即4m2﹣8m﹣5＜0，求得﹣＜m＜．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对会的函数，函数的能成立问题，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)-有答案
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m 取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣112．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为．16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．19．某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图：（1）求甲小区和乙小区的中位数；（2）身体综合素质测试成绩在60分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”．以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，（附：k=）20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ 的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．21．已知函数f（x）=asinx+ln（1﹣x）．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在区间22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=（）2==i，则=﹣i．故选：B．2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．【解答】解：集合M={x|+=1}=，N={y|+=1}=R，则M∩N=，故选：D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可．【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．5．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π，再根据等差中项的性质即可求出．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a2016+a2018=dx=π，∵数列{a n}为等差数列，∴a2017=（a2016+a2018）=，故选：A6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z ≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．8．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈故选：A．9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】可得平面a1，a3平行或相交，而a3⊥a4，可得a1与a4的位置关系不确定，【解答】解：∵若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，∴平面a1，a3平行或相交，∵a3⊥a4，∴a1与a4的位置关系不确定，故选D．10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a1、a2、a3、a4的值，再计算．【解答】解：由（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，且二项式展开式的通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣x）r，∴a1=﹣•24=﹣80，a2=•23=80，a3=﹣•22=﹣40，a4=•2=10；∴==﹣．故选C．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m 取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．12．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意可知n为方程f（x）=kx的解的个数，判断f（x）的单调性，作出y=f（x）与y=kx的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：设==…=k，则方程有n个根，即f（x）=kx有n个根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，2）上单调递减．当x＞2时，f′（x）=e x﹣2（﹣x2+8x﹣12）+e x﹣2（﹣2x+8）=e x﹣2（﹣x2+6x﹣4），设g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴当2时，g（x）＞0，当x＞3+时，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上单调递增，在（3+，+∞）上单调递减，作出f（x）与y=kx的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）=kx的交点个数可能为1，2，3，4，∵n≥2，故n的值为2，3，4．故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为90°．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ﹣．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b（﹣2）n﹣1﹣a﹣，上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为33π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LG：球的体积和表面积．【分析】求出外接球的半径、内切球的半径，即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和．【解答】解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为=，∴外接球的半径为，外接球的表面积为29π，△ABC的内切圆的半径为=1，∴该三棱柱内切球的表面积4π，∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π，故答案为：33π．16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知﹣θn是直线OA n的倾斜角，化==tan（﹣θn）=，再求出+++…+的解析式g（n），利用g（n）＜t恒成立求出t的最小值．【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只须使实数t的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式化简f（x），利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小值列方程求出m；（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+cosB得出关于A函数，根据A的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB 的范围．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx﹣cos2x+m=sin2x﹣cos2x+m﹣=sin（2x﹣）+m﹣，∴g（x）=sin+m﹣=sin（2x+）+m﹣，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，g（x）取得最小值+m﹣=m，∴m=．（2）∵g（）=sin（C+）+﹣=﹣+，∴sin（C+）=，∵C∈（0，），∴C+∈（，），∴C+=，即C=．∴sinA+cosB=sinA+cos（﹣A）=sinA﹣cosA+sinA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）．∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，∴A﹣∈（，），∴＜sin（A﹣）＜，∴＜sin（A﹣）＜．∴sinA+cosB的取值范围是（，）．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则=（﹣2，0，m﹣2），=（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴=﹣2﹣2（m﹣2）=0，解得m=1，∴M（0，0，1），=（1，1，﹣1），=（0，2，1），设平面MEC1的法向量=（x，y，z），则，取y=﹣1，得=（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），∴cos＜＞==﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．19．某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图：（1）求甲小区和乙小区的中位数；（2）身体综合素质测试成绩在60分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”．以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，（附：k=）【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）利用茎叶图，可得甲小区和乙小区的中位数； （2）列出列联表，求出k ，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，甲小区的中位数为55，乙小区的中位数为42.5；（2）2×2列联表，k=≈5.698＞5.024，∴有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，右焦点为F ，上顶点为A ，且△AOF 的面积为（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在以椭圆C 的短轴为直径的圆上，且M 在第一象限，过M 作此圆的切线交椭圆于P ，Q 两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）设点P在第一象限，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，∴|PF|=====，连结OM，OP，则|PM|====，∴|PF|+|PM|=，同理，|QF|+|QM|=，∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2，∴△PFQ的周长为定值2．21．已知函数f（x）=asinx+ln（1﹣x）．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在区间；（3）由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，可得f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln，由＜及=ln[]=＜ln2．即可证得＜ln2．则e＜2，（n∈N*）．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=asinx+ln（1﹣x），f′（x）=cosx﹣，∴f′（0）=0，又f（0）=0，∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（2）解：∵f（x）在区间；（3）证明：由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln，而∈（0，1），∴＜，∴＜，而=ln[]=＜ln2．∴＜ln2．∴e＜2，（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铪笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．相减消去参数化为普通方程．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|•|BP|=|BA|2，可得|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：y2=mx（m＞0）．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．消去参数化为普通方程：y=x﹣2．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．则t1+t2=（m+8），t1•t2=4（m+8）．∵|AP|•|BP|=|BA|2，∴|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．【考点】R5：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小．【分析】（1）先求出M，再利用绝对值不等式证明即可；（2）利用作差方法，比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小．【解答】（1）证明：记f（x）=|x+2|﹣|1﹣x|=，∴由0＜2x+1＜2，解得﹣＜x＜，∴M=（﹣，）∴|a+b|≤|a|+|b|=＜；（2）解：由（1）可得a2＜，b2＜，∴（4ab﹣1）2﹣4（b﹣a）2=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，∴|4ab﹣1|＞2|b﹣a|．2017年5月23日。
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科) 有答案
2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．55．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．75398．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣112．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为．16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．19．某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图：（1）求甲小区和乙小区的中位数；（2）身体综合素质测试成绩在60分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”．以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，（附：k=）20．已知椭圆C ： +=1（a ＞0，b ＞0）的离心率为，右焦点为F ，上顶点为A ，且△AOF 的面积为（O 为坐标原点）．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点M 在以椭圆C 的短轴为直径的圆上，且M 在第一象限，过M 作此圆的切线交椭圆于P ，Q 两点．试问△PFQ 的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由． 21．已知函数f （x ）=asinx+ln （1﹣x ）． （1）若a=1，求f （x ）在x=0处的切线方程； （2）若f （x ）在区间22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=mcos θ（m ＞0），过点P （﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点．（1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； （2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m 的值．23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．2017年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z=（）2（其中i为虚数单位），则=（）A．1 B．﹣i C．﹣1 D．i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：z=（）2==i，则=﹣i．故选：B．2．已知集合M={x|+=1}，N={y|+=1}，M∩N=（）A．∅B．{（3，0），（0，2）} C． D．【考点】1E：交集及其运算．【分析】根据椭圆的定义得到集合M，根据直线方程得到集合N，再求交集即可．【解答】解：集合M={x|+=1}=，N={y|+=1}=R，则M∩N=，故选：D．3．已知a、b∈R，则“ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．【解答】解：由ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行，可得ab=1．反之不成立，例如a=b=1时，两条直线重合．∴ab=1”是“直线“ax+y﹣l=0和直线x+by﹣1=0平行”的必要不充分条件．故选：C．4．利用如图算法在平面直角坐标系上打印一系列点，则打印的点在圆x2+y2=25内的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】EF：程序框图．【分析】由程序框图知，得出打印的点坐标，判定该点是否在圆内即可．【解答】解：由程序框图知，i=6时，打印第一个点（﹣3，6），在圆x2+y2=25外，i=5时，打印第二个点（﹣2，5），在圆x2+y2=25外，i=4时，打印第三个点（﹣1，4），在圆x2+y2=25内，i=3时，打印第四个点（0，3），在圆x2+y2=25内，i=2时，打印第五个点（1，2），在圆x2+y2=25内，i=1时，打印第六个点（2，1），在圆x2+y2=25内，∴打印的点在圆x2+y2=25内有4个．故选：C．5．已知数列{a n}为等差数列，且a2016+a2018=dx，则a2017的值为（）A．B．2πC．π2D．π【考点】84：等差数列的通项公式．【分析】根据定积分的几何意义求出a2016+a2018=dx=π，再根据等差中项的性质即可求出．【解答】解：dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a2016+a2018=dx=π，∵数列{a n}为等差数列，∴a2017=（a2016+a2018）=，故选：A6．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．此即祖暅原理．利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为h（0＜h＜2）的平面截该几何体，则截面面积为（）A．4πB．πh2C．π（2﹣h）2D．π（4﹣h2）【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．【解答】解：由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径为r，大圆半径为2，设小圆半径为r，则，得到r=h，所以截面圆环的面积为4π﹣πh2=π（4﹣h2）；故选D．7．已知随机变量Z～N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）附：若Z～N（μ，σ2），则 P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）=0.6826；P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）=0.9544；P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）=0.9974．A．6038 B．6587 C．7028 D．7539【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】求出P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，即可得出结论．【解答】解：由题意P阴影=P（0＜X≤1）=1﹣×0.6826=1﹣0.3413=0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587=6587．故选：B．8．已知实数x，y满足若目标函数Z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，则实数a的取值范围是（）A．{a|﹣1≤a≤1} B．{a|a≤﹣1} C．{a|a≤﹣1或a≥1} D．{a|a≥1}【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合分类讨论进行求解．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（3，9），B（﹣3，3），C（3，﹣3），∵z=ax+y的最大值为3a+9，最小值为3a﹣3，可知目标函数经过A取得最大值，经过C取得最小值，若a=0，则y=z，此时z=ax+y经过A取得最大值，经过C取得最小值，满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即a≤1，可得a∈（0，1]．若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最大值，在C处取得最小值，可得﹣a≤k BA=1∴﹣1≤a＜0，综上a∈故选：A．9．若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，则下列结论一定正确的是（）A．a1⊥a4B．a1∥a4C．a1与a4既不垂直也不平行D．a1与a4的位置关系不确定【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．【分析】可得平面a1，a3平行或相交，而a3⊥a4，可得a1与a4的位置关系不确定，【解答】解：∵若空间中四个不重合的平面a1，a2，a3，a4满足a1⊥a2，a2⊥a3，a3⊥a4，∴平面a1，a3平行或相交，∵a3⊥a4，∴a1与a4的位置关系不确定，故选D．10．设（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则的值为（）A．﹣B．﹣C．﹣ D．﹣【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】利用二项式展开式的通项公式求出a1、a2、a3、a4的值，再计算．【解答】解：由（2﹣x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，且二项式展开式的通项公式为T r+1=•25﹣r•（﹣x）r，∴a1=﹣•24=﹣80，a2=•23=80，a3=﹣•22=﹣40，a4=•2=10；∴==﹣．故选C．11．已知点A是抛物线x2=4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．﹣1【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义，结合|PA|=m|PB|，可得=，设PA的倾斜角为α，则当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，求出P的坐标，利用双曲线的定义，即可得出结论．【解答】解：过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，∵|PA|=m|PB|，∴|PA|=m|PN|∴=，设PA的倾斜角为α，则sinα=，当m取得最大值时，sinα最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx﹣1，代入x2=4y，可得x2=4（kx﹣1），即x2﹣4kx+4=0，∴△=16k2﹣16=0，∴k=±1，∴P（2，1），∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2（﹣1），∴双曲线的离心率为=+1．故选B．12．已知函数f（x）=，若在区间（1，∞）上存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，x3，…，x n，使得==…成立，则n的取值集合是（）A．{2，3，4，5} B．{2，3} C．{2，3，5} D．{2，3，4}【考点】5B：分段函数的应用．【分析】由题意可知n为方程f（x）=kx的解的个数，判断f（x）的单调性，作出y=f（x）与y=kx的函数图象，根据图象交点个数判断．【解答】解：设==…=k，则方程有n个根，即f（x）=kx有n个根，f（x）=，∴f（x）在（1，）上单调递增，在（，2）上单调递减．当x＞2时，f′（x）=e x﹣2（﹣x2+8x﹣12）+e x﹣2（﹣2x+8）=e x﹣2（﹣x2+6x﹣4），设g（x）=﹣x2+6x﹣4（x＞2），令g（x）=0得x=3+，∴当2时，g（x）＞0，当x＞3+时，g（x）＜0，∴f（x）在（2，3+）上单调递增，在（3+，+∞）上单调递减，作出f（x）与y=kx的大致函数图象如图所示：由图象可知f（x）=kx的交点个数可能为1，2，3，4，∵n≥2，故n的值为2，3，4．故选D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知||=1，||=2，与的夹角为120°，，则与的夹角为90°．【考点】9P：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】利用向量的数量积运算和向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵||=1，||=2，与的夹角为120°，∴===﹣1．∵，∴，∴=，∴﹣（﹣1）=，∴=0．∴．∴与的夹角为90°．14．等比数列{a n}的前n项和为S n，S n=b（﹣2）n﹣1﹣a，则= ﹣．【考点】89：等比数列的前n项和．【分析】利用递推关系、等比数列的定义与通项公式即可得出．【解答】解：n=1时，a1=b﹣a．n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=b（﹣2）n﹣1﹣a﹣，上式对于n=1时也成立，可得：b﹣a=b+．则=﹣．故答案为：﹣．15．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为33π．【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LG：球的体积和表面积．【分析】求出外接球的半径、内切球的半径，即可求出该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和．【解答】解：将三棱柱扩充为长方体，对角线长为=，∴外接球的半径为，外接球的表面积为29π，△ABC的内切圆的半径为=1，∴该三棱柱内切球的表面积4π，∴三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为29π+4π=33π，故答案为：33π．16．已知函数f（x）=，点O为坐标原点，点A n（n，f（n））（n∈N*），向量=（0，1），θn是向量与的夹角，则使得+++…+＜t恒成立的实数t的最小值为．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据题意知﹣θn是直线OA n的倾斜角，化==tan（﹣θn）=，再求出+++…+的解析式g（n），利用g（n）＜t恒成立求出t的最小值．【解答】解：根据题意得，﹣θn是直线OA n的倾斜角，∴==tan（﹣θn）===﹣，∴+++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1+﹣﹣=﹣﹣；要使﹣﹣＜t恒成立，只须使实数t的最小值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，且y=g（x）在区间[，]内的最小值为．（1）求m的值；（2）在锐角△ABC中，若g（）=﹣+，求sinA+cosB的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据二倍角公式化简f（x），利用平移规律得出g（x）的解析式，根据最小值列方程求出m；（2）根据条件求出C，用A表示出B，化简sinA+cosB得出关于A函数，根据A的范围得出正弦函数的性质得出sinA+cosB的范围．【解答】解：（1）f（x）=sinxcosx﹣cos2x+m=sin2x﹣cos2x+m﹣=sin（2x﹣）+m﹣，∴g（x）=sin+m﹣=sin（2x+）+m﹣，∵x∈[，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，g（x）取得最小值+m﹣=m，∴m=．（2）∵g（）=sin（C+）+﹣=﹣+，∴sin（C+）=，∵C∈（0，），∴C+∈（，），∴C+=，即C=．∴sinA+cosB=sinA+cos（﹣A）=sinA﹣cosA+sinA=sinA﹣cosA=sin（A﹣）．∵△ABC是锐角三角形，∴，解得，∴A﹣∈（，），∴＜sin（A﹣）＜，∴＜sin（A﹣）＜．∴sinA+cosB的取值范围是（，）．18．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=2，E是BC中点．（1）求证：A1B∥平面AEC1；（2）在棱AA1上存在一点M，满足B1M⊥C1E，求平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，推导出EO∥A1B，由此能证明A1B∥平面AEC1．（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值．【解答】证明：（1）连结A1C交AC1于点O，连结EO，∵ACC1A1是正方形，∴O为A1C的中点，又E为CB的中点，∴EO∥A1B，∵EO⊂平面AEC1，A1B⊄平面AEC1，∴A1B∥平面AEC1．解：（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），B1（2，0，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（1，1，0），设M（0，0，m），（0≤m≤2），则=（﹣2，0，m﹣2），=（1，﹣1，﹣2），∵B1M⊥C1E，∴=﹣2﹣2（m﹣2）=0，解得m=1，∴M（0，0，1），=（1，1，﹣1），=（0，2，1），设平面MEC1的法向量=（x，y，z），则，取y=﹣1，得=（3，﹣1，2），∵AC⊥平面ABB1A1，∴取平面ABB1A1的法向量为=（0，2，0），∴cos＜＞==﹣，∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为．19．某市为了了解全民健身运动开展的效果，选择甲、乙两个相似的小区作对比，一年前在甲小区利用体育彩票基金建设了健身广场，一年后分别在两小区采用简单随机抽样的方法抽取20人作为样本，进行身体综合素质测试，测试得分分数的茎叶图（其中十位为茎，个们为叶）如图： （1）求甲小区和乙小区的中位数；（2）身体综合素质测试成绩在60分以上（含60）的人称为“身体综合素质良好”，否则称为“身体综合素质一般”．以样本中的频率作为概率，两小区人口都按1000人计算，填写下列2×2列联表，（附：k=）【考点】BO ：独立性检验的应用．【分析】（1）利用茎叶图，可得甲小区和乙小区的中位数；（2）列出列联表，求出k ，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（1）由题意，甲小区的中位数为55，乙小区的中位数为42.5； （2）2×2列联表，k=≈5.698＞5.024，∴有97.5%把握认为“身体综合素质良好”与“小区是否建设健身广场”有关．20．已知椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）若点M在以椭圆C的短轴为直径的圆上，且M在第一象限，过M作此圆的切线交椭圆于P，Q两点．试问△PFQ的周长是否为定值？若是，求此定值；若不是，说明理由．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点），列出方程组，求出a=，b=1，由此能求出椭圆C的方程．（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），，连结OM，OP，求出|PF|+|PM|=|QF|+|QM|=，从而求出△PFQ的周长为定值2．【解答】解：（1）∵椭圆C： +=1（a＞0，b＞0）的离心率为，右焦点为F，上顶点为A，且△AOF的面积为（O为坐标原点）．∴，解得a=，b=1，∴椭圆C的方程为．（2）设点P在第一象限，设P（x1，y1），Q（x2，y2），，∴|PF|=====，连结OM，OP，则|PM|====，∴|PF|+|PM|=，同理，|QF|+|QM|=，∴|PF|+|QF|+|PQ|=|PF|+|QF|+|PM|+|QM|=2，∴△PFQ的周长为定值2．21．已知函数f（x）=asinx+ln（1﹣x）．（1）若a=1，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）若f（x）在区间；（3）由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，可得f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln，由＜及=ln[]=＜ln2．即可证得＜ln2．则e＜2，（n∈N*）．【解答】（1）解：a=1时，f（x）=asinx+ln（1﹣x），f′（x）=cosx﹣，∴f′（0）=0，又f（0）=0，∴f（x）在x=0处的切线方程为y=0；（2）解：∵f（x）在区间；（3）证明：由（2）知，当a=1时，f（x）=sinx+ln（1﹣x）在（0，1）上单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，即sinx＜ln，而∈（0，1），∴＜，∴＜，而=ln[]=＜ln2．∴＜ln2．∴e＜2，（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铪笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l与曲线C相交于A，B两点．（1）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若|AP|•|BP|=|BA|2，求m的值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），利用互化公式可得直角坐标方程．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．相减消去参数化为普通方程．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．由于|AP|•|BP|=|BA|2，可得|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，利用根与系数的关系即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=mcosθ（m＞0），即ρ2sin2θ=mρcosθ（m＞0），可得直角坐标方程：y2=mx（m＞0）．过点P（﹣2，﹣4）且倾斜角为的直线l参数方程为：（t为参数）．消去参数化为普通方程：y=x﹣2．（2）把直线l的方程代入曲线C的方程为：t2﹣（m+8）t+4（m+8）=0．则t1+t2=（m+8），t1•t2=4（m+8）．∵|AP|•|BP|=|BA|2，∴|t1•t2|=，化为：5t1•t2=，∴20（m+8）=2（m+8）2，m＞0，解得m=2．23．设不等式0＜|x+2|﹣|1﹣x|＜2的解集为M，a，b∈M（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小，并说明理由．【考点】R5：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小．【分析】（1）先求出M，再利用绝对值不等式证明即可；（2）利用作差方法，比较|4ab﹣1|与2|b﹣a|的大小．【解答】（1）证明：记f（x）=|x+2|﹣|1﹣x|=，∴由0＜2x+1＜2，解得﹣＜x＜，∴M=（﹣，）∴|a+b|≤|a|+|b|=＜；（2）解：由（1）可得a2＜，b2＜，∴（4ab﹣1）2﹣4（b﹣a）2=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，∴|4ab﹣1|＞2|b﹣a|．。
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷(文科)(解析版)
2017年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z，满足（z﹣1）i＝i﹣1，则|z|＝（）A．B．C．2+i D．2．（5分）已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）3．（5分）已知＝（2，m），＝（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．﹣24．（5分）已知直线y＝k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，]C．（0，]D．（，+∞）5．（5分）执行如图程序，输出的结果为（）A．513B．1023C．1025D．20476．（5分）平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42B．65C．143D．1697．（5分）刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2B．2+C．3+D．3+8．（5分）已知f（x）＝a sin x+b+4，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝（）A．B．﹣C．5D．89．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω＝πB．φ＝C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z10．（5分）设函数f（0）x＝sin x，定义f（1）x＝f′[f（0）（x）]，f（2）（x）＝f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）＝f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）的值是（）A．B．C．0D．111．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．12．（5分）已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2＝1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△P AB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点M（2，0）、N（0，4），以MN为直径的圆的标准方程为．14．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a7＝a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19＝．15．（5分）已知点P（a，b）在函数y＝上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为．16．（5分）已知双曲线C2与椭圆C1：+＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝2C，2b＝3c．（1）求cos C；（2）若c＝4，求△ABC的面积．18．（12分）经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．19．（12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．20．（12分）已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y＝﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）＝﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n，求a+b+c的最小值．2017年河南省郑州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知复数z，满足（z﹣1）i＝i﹣1，则|z|＝（）A．B．C．2+i D．【解答】解：（z﹣1）i＝i﹣1，∴﹣i•（z﹣1）i＝﹣i•（i﹣1），∴z﹣1＝1+i，∴z＝2+i．则|z|＝＝．故选：D．2．（5分）已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|＞1}，则A∩（∁R B）＝（）A．（﹣∞，2]B．（0，1]C．[1，2]D．（2，+∞）【解答】解：集合A＝{x|log2x≤1}＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|＞1}＝{x|﹣1＞0}＝{x|0＜x＜1}，∴∁R B＝{x|x≤0或x≥1}，∴A∩（∁R B）＝{x|1≤x≤2}＝[1，2]．故选：C．3．（5分）已知＝（2，m），＝（1，﹣2），若∥（+2），则m的值是（）A．﹣4B．4C．0D．﹣2【解答】解：根据题意，＝（2，m），＝（1，﹣2），则+2＝（4，m﹣4），若∥（+2），则有4×m＝2×（m﹣4），即m﹣4＝2m，解可得m＝﹣4；故选：A．4．（5分）已知直线y＝k（x+1）与不等式组表示的区域有公共点，则k的取值范围为（）A．[0，+∞）B．[0，]C．（0，]D．（，+∞）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域阴影部分，∵直线y＝k（x+1）过定点D（﹣1，0），∴由图象可知要使直线y＝k（x+1）与区域Ω有公共点，则直线的斜率k≤k BD，由，得B（1，3），此时k BD＝，故0＜k，故选：C．5．（5分）执行如图程序，输出的结果为（）A．513B．1023C．1025D．2047【解答】第一次循环，x＝3，i＝2＜10，第二次循环，x＝7，i＝3＜10，第三次循环，x＝15，i＝4＜10，第四次循环，x＝31，i＝5＜10，第五次循环，x＝63，i＝6＜10，第六次循环，x＝127，i＝7＜10，第七次循环，x＝255，i＝8＜10，第八次循环，x＝511，i＝9＜10，第九次循环，x＝1023，i＝10≤10，第十次循环，x＝2047，i＝11＞10，输出x＝2047，故选：D．6．（5分）平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为（）A．42B．65C．143D．169【解答】解：可以通过列表归纳分析得到；13边形有2+3+4+…+11＝＝65条对角线．故选：B．7．（5分）刘徽的《九章算术注》中有这样的记载：“邪解立方有两堑堵，邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．”意思是说：把一块立方体沿斜线分成相同的两块，这两块叫做堑堵，再把一块堑堵沿斜线分成两块，大的叫阳马，小的叫鳖臑，两者体积比为2：1，这个比率是不变的，如图是一个阳马的三视图，则其表面积为（）A．2B．2+C．3+D．3+【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；根据图中数据，计算其表面积为S＝S正方形ABCD+S△P AB+S△PBC+S△PCD+S△P AD＝12+×1×1+×1×+×1×+×1×1＝2+．故选：B．8．（5分）已知f（x）＝a sin x+b+4，若f（lg3）＝3，则f（lg）＝（）A．B．﹣C．5D．8【解答】解：∵f（x）＝a sin x+b+4，∴f（x）+f（﹣x）＝8，∵lg＝﹣lg3，f（lg3）＝3，∴f（lg3）+f（lg）＝8，∴f（lg）＝5，故选：C．9．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则下列说法错误的是（）A．ω＝πB．φ＝C．f（x）的单调减区间为（2k﹣，2k+），k∈ZD．f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z【解答】解：由图象得，A＝1，T＝＝1，则T＝2，由得，ω＝π，则A正确；因为过点（，0），所以sin（π+φ）＝0，则π+φ＝kπ（k∈Z），φ＝+kπ（k∈Z），又|φ|＜π，则φ＝或，所以f（x）＝sin（πx）或f（x）＝sin（πx+），则B错误；当f（x）＝sin（πx+）时，由得，，所以函数的递减区间是（2k﹣，2k+），k∈Z，则C正确；当f（x）＝sin（πx）时，由πx＝kπ（k∈Z）得，x＝k+（k∈Z），所以f（x）的对称中心是（k+，0），k∈Z，则D正确；故选：B．10．（5分）设函数f（0）x＝sin x，定义f（1）x＝f′[f（0）（x）]，f（2）（x）＝f′[f（1）（x）]，…，f（n）（x）＝f′[f（n﹣1）（x）]，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）的值是（）A．B．C．0D．1【解答】解：f（0）x＝sin x，则f（1）x＝cos x，f（2）（x）＝﹣sin x，f（3）（x）＝﹣cos x，f（5）x＝cos x，则f（5）x＝f（1）（x），即f（n+4）（x）＝f（n）（x），则f（n）（x）是周期为4的周期函数，则f（1）（x）+f（2）（x）+f（3）（x）+f（4）（x）＝sin x+cos x﹣sin x﹣cos x＝0，则f（1）（15°）+f（2）（15°）+f（3）（15°）+…+f（2017）（15°）＝f（1）（15°）（15°）＝cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°＝×+×＝，故选：A．11．（5分）将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱最大体积为（）A．B．C．D．【解答】解：设圆柱的半径为r，高为x，体积为V，则由题意可得，∴x＝2﹣2r，∴圆柱的体积为V（r）＝πr2（2﹣2r）（0＜r＜1），则V（r）≤π＝∴圆柱的最大体积为，此时r＝，故选：B．12．（5分）已知P（x，y）（其中x≠0）为双曲线﹣x2＝1上任一点，过P点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为A、B，则△P AB的面积为（）A．B．C．D．与点P的位置有关【解答】解：由题意，O，P，A，B四点共圆，∠APB＝∠AOB，tan＝2，sin∠AOB ＝，设P（x，y），双曲线的渐近线方程为y＝±2x，则|P A||PB|＝＝，∴△P AB的面积为•＝．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）已知点M（2，0）、N（0，4），以MN为直径的圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，又由点M（2，0）、N（0，4）；则有，解可得，又有2r＝|MN|＝＝，则r2＝5；故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5；故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5．14．（5分）在等差数列{a n}中，a n＞0，a7＝a4+4，S n为数列{a n}的前n项和，S19＝152．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a n＞0，a7＝a4+4，∴，解得a1+9d＝a10＝8，S n为数列{a n}的前n项和，则S19＝（a1+a19）＝19a10＝152．故答案为：152．15．（5分）已知点P（a，b）在函数y＝上，且a＞1，b＞1，则a lnb的最大值为e．【解答】解：点P（a，b）在函数y＝上，且a＞1，b＞1，∴，可得lnb＝2﹣lna，即lna+lnb＝2．（lna＞0，lnb＞0）．令t＝a lnb，∴lnt＝lna•lnb≤＝1，当且仅当lna＝lnb＝1，即a＝b＝e时取等号．∴t≤e．故答案为：e．16．（5分）已知双曲线C2与椭圆C1：+＝1具有相同的焦点，则两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大时双曲线C2的离心率为．【解答】解：双曲线C2与椭圆C1：+＝1具有相同的焦点，可得c＝1，两条曲线相交四个交点形成四边形面积最大，设在第一象限的交点为：（m，n），可得S＝4mn，≥2＝，当且仅当时，mn≤，此时四边形的面积取得最大值，解得m＝，n＝，可得双曲线的实轴长2a＝﹣＝＝＝，双曲线的离心率为：＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知B＝2C，2b＝3c．（1）求cos C；（2）若c＝4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵B＝2C，2b＝3c，∴由正弦定理得，，则，即cos C＝＝；（2）∵2b＝3c，且c＝4，∴b＝6，∵0＜C＜π，cos C＝，∴sin C＝＝，由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，则，即a2﹣9a+20＝0，解得a＝4或a＝5，当a＝4时，△ABC的面积S＝＝＝，当a＝5时，△ABC的面积S＝＝＝．18．（12分）经国务院批复同意，郑州成功入围国家中心城市，某校学生团针对“郑州的发展环境”对20名学生进行问卷调查打分（满分100分），得到如图1所示茎叶图．（Ⅰ）分别计算男生女生打分的平均分，并用数学特征评价男女生打分的数据分布情况；（Ⅱ）如图2按照打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]绘制的直方图中，求最高矩形的高；（Ⅲ）从打分在70分以下（不含70分）的同学中抽取3人，求有女生被抽中的概率．【解答】解：（Ⅰ）女生打分的平均分为：＝（68+69+75+76+70+79+78+82+87+96）＝78，男生打分的平均分为：＝（55+53+62+65+71+70+73+74+86+81）＝69．从茎叶图来看，女生打分相对集中，男生打分相对分散．（Ⅱ）20名学生中，打分区间[0，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]中的学生数分别为：2人，4人，9人，4人，1人，打分区间[70，80）的人数最多，有9人，所点频率为：＝0.45，∴最高矩形的高h＝＝0.045．（Ⅲ）打分在70分以下（不含70分）的同学有6人，其中男生4人，女生2人，从中抽取3人，基本事件总数n＝＝20，有女生被抽中的对立事件是抽中的3名同学都是男生，∴有女生被抽中的概率p＝1﹣＝1﹣＝．19．（12分）如图，高为1的等腰梯形ABCD中，AM＝CD＝AB＝1，M为AB的三等分点，现将△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，连接AB、AC．（Ⅰ）在AB边上是否存在点P，使AD∥平面MPC？（Ⅱ）当点P为AB边中点时，求点B到平面MPC的距离．【解答】解：（Ⅰ）在AB边上存在点P，满足PB＝2P A，使AD∥平面MPC．连接BD，交MC于O，连接OP，则由题意，DC＝1，MB＝2，又∵DC∥MB，∴△MOB∽△COD，∴OB：OD＝MB：DC，∴OB＝2OD，∵PB＝2P A，∴OP∥AD，∵AD⊄平面MPC，OP⊂平面MPC，∴AD∥平面MPC；（Ⅱ）由题意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，∴P到平面MBC的距离为，△MBC中，MC＝BC＝，MB＝2，∴MC⊥BC，∴S△MBC＝＝1，△MPC中，MP＝＝CP，MC＝，∴S△MPC＝＝．设点B到平面MPC的距离为h，则由等体积可得，∴h＝．20．（12分）已知动圆M恒过点（0，1），且与直线y＝﹣1相切．（1）求圆心M的轨迹方程；（2）动直线l过点P（0，﹣2），且与点M的轨迹交于A、B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．【解答】解：（1）∵动点M到直线y＝﹣1的距离等于到定点C（0，1）的距离，∴动点M的轨迹为抛物线，且＝1，解得：p＝2，∴动点M的轨迹方程为x2＝4y；（2）证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），则C（﹣x2，y2）．联立，化为x2﹣4kx+8＝0，△＝16k2﹣32＞0，解得k＞或k＜﹣．∴x1+x2＝4k，x1x2＝8．直线直线AC的方程为：y﹣y2＝﹣（x+x2），又∵y1＝kx1﹣2，y2＝kx2﹣2，∴4ky﹣4k（kx2﹣2）＝（kx2﹣kx1）x+kx1x2﹣kx22，化为4y＝（x2﹣x1）x+x2（4k﹣x2），∵x1＝4k﹣x2，∴4y＝（x2﹣x1）x+8，令x＝0，则y＝2，∴直线AC恒过一定点（0，2）．21．（12分）已知函数f（x）＝ax+lnx．（Ⅰ）若f（x）在区间（0，1）上单调递增，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设函数h（x）＝﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），求证：|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．【解答】解：（I）∵f（x）在区间（0，1）上单调递增，∴f′（x）＝a+≥0，x∈（0，1），即a，∵x∈（0，1），∴﹣＜﹣1，∴a≥﹣1．（II）证明：h（x）＝﹣﹣ax﹣lnx，h′（x）＝﹣x﹣a﹣，x∈（0，+∞）．令h′（x）＝0得x2+ax+1＝0，∵函数h（x）＝﹣x2﹣f（x）有两个极值点x1、x2，且x1∈[，1），∴方程x2+ax+1＝0有两解x1、x2，且x1∈[，1），∴x1•x2＝1，x1+x2＝﹣a，且ax1＝﹣1﹣x12，ax2＝﹣1﹣x22，x2∈（1，2]．∴当0＜x＜x1时，h′（x）＜0，当x1＜x＜x2时，h′（x）＞0，当x＞x2时，h′（x）＜0，∴x1为h（x）的极小值点，x2为h（x）的极大值点，∴|h（x1）﹣h（x2）|＝h（x2）﹣h（x1）＝﹣x22﹣ax2﹣lnx2+x12+ax1+lnx1＝x22﹣x12+ln＝﹣x12++2lnx1，令H（x1）＝﹣x12++2lnx1，则H′（x1）＝﹣x1﹣+＝＝﹣＜0，∴H（x1）在[，0）上是减函数，∴H（x1）≤H（）＝﹣2ln2＜2﹣ln2，即|h（x1）﹣h（x2）|＜2﹣ln2．请考生在第22、23二题中任选一题作答【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知曲线C1的极坐标方程是ρ＝1，在以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线C1所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线C2．（Ⅰ）求曲线C2的参数方程；（Ⅱ）直线l过点M（1，0），倾斜角为，与曲线C2交于A、B两点，求|MA|•|MB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，曲线C1的极坐标方程是ρ＝1，直角坐标方程为x2+y2＝1，曲线C2方程为x2+y2＝1，参数方程为（θ为参数）．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，将直线l的参数方程代入圆的直角坐标方程x2+y2＝1，化简得5t2+t﹣8＝0，即有t1t2＝﹣，可得|MA|•|MB|＝|t1t2|＝．【选修4-5：不等式选讲】23．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n，求a+b+c的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜3，∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞1，∴1＜x＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x2﹣mx+n＝0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n＝4﹣3＝1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac＝m﹣n＝1，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）＝3（ab+bc+ca）＝3；∴a+b+c的最小值是．。
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷(文科)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．9104．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．35．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( ) AB ．2C．D ．49．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD11．（5分）函数()f x 的定义域为D ，若()f x 满足在D 内是单调函数且存在[m ，]n D ⊆使()f x 在[m ，]n 上的值域为[2m ，]2n，那么就称()y f x =为“半保值函数”，若函数()log ()(0x a f x a t a =+>且1)a ≠是“半保值函数”，则正实数t 的取值范围是( ) A ．(0，1]4B ．1(0,)4C ．(0,)+∞D ．1(4，)+∞12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．）13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 ．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 ．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = ．16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e =⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． （二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知集合{|13}A x N x =∈-<<，集合{|0}B x x π=<<，则(A B = )A ．{|03}x x <<B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{|0}x x π<<【解答】解：{0A =，1，2}； {1AB ∴=，2}．故选：C ．2．（5分）已知i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=+，则在复平面内z 的对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：由(1)2z i i -=+，得2(2)(1)131(1)(1)22i i i z i i i i +++===+--+， ∴1322z i =-， 则在复平面内z 的对应的点的坐标为1(2，3)2-，在第四象限．故选：D ．3．（5分）我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为( ) A ．35B ．710C ．45D ．910【解答】解：《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》， 这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容， 基本事件总数2510n C ==，所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著，包含的基本事件个数2113239m C C C =+=， ∴所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为910m p n ==． 故选：D ．4．（5分）已知双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，则该双曲线的离心率为( )A B C D ．3【解答】解：双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的一条渐近线经过点，∴a b =222b a ∴=，可得223c a =，所以e =． 故选：C ．5．（5分）同时具有性质“①最小正周期是π；②图象关于(6π，0)对称；③在[0，]4π上是增函数”的一个函数可以是( ) A ．3sin(2)4y x π=- B ．sin(2)3y x π=- C ．2cos(2)3y x π=+D ．sin(2)6y x π=+【解答】解：由①周期T π=可知，2ω=，A ，B ，C ，D 都符合； ②图象关于(6π，0)对称，结合正弦，余弦函数的对称性可排除A ，C ；③在[0，]4π上是增函数，结合正弦函数的单调性可排除D ；故选：B ．6．（5分）在ABC ∆中，若点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点，则(MD = ) A ．2136AB AC - B ．1136AB AC -C ．2133AB AC -D ．2136AB AC + 【解答】解：在ABC ∆中，点D 满足2CD DB =，点M 为AC 中点， ∴MD MC CD =+1223AC CB =+12()23AC AB AC =+- 2136AB AC =-． 故选：A ．7．（5分）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，若(1)a f =-，21(log )4b f =，0.3(2)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【解答】解：()()f x f x -=，即函数()f x 为偶函数，函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，根据偶函数的对称性可知，函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，(1)a f f =-=（1），21(l o g )4b f f ==（2），0.3(2)c f =，而0.3122<<，则a c b <<， 故选：B ．8．（5分）在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆锥的底面半径与圆柱的底面半径之比为( )A B ．2C ．D ．4【解答】解：如图所示，90AMB ∠=︒，设圆柱的底面圆半径为r ，高为h ；圆锥的底面半径为R ，则圆锥的高为R； 由题意知，2222r rh R R πππ+=， 即2222r rh +； 由相似边成比例得r R hR R-=， 即h R r =-；2222()r r R r ∴+-=，即2r=，∴Rr =， 故选：A ．9．（5分）已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，113n n n nb a a b ++-==，*n N ∈，则数列{}n a b 的前10项的和为( ) A ．101(31)2-B ．101(91)8-C ．91(271)26- D ．101(271)26- 【解答】解：由13n n a a +-=，知{}n a 为公差为3的等差数列，则1(1)332n a n n =+-⨯=-； 由13n nb b +=，知{}n b 为公比为3的等比数列，则13n n b -=； ∴331327n n n a b --==，{}n a b ∴为首项为1，公比为27的等比数列，则{}n a b 的前10项的和为：10101271(271)12726-=--，故选：D ．10．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某集合体的三视图，则该几何体的体积为( )ABCD【解答】解：几何体是四棱锥，挖去一个八分之一的球的几何体，球的半径为：棱锥的底面边长为4，高为4．几何体的体积为：3114444383π⨯⨯⨯-⨯⨯．故选：A．11．（5分）函数()f x的定义域为D，若()f x满足在D内是单调函数且存在[m，]n D⊆使()f x在[m，]n上的值域为[2m，]2n，那么就称()y f x=为“半保值函数”，若函数()log()(0xaf x a t a=+>且1)a≠是“半保值函数”，则正实数t的取值范围是() A．(0，1]4B．1(0,)4C．(0,)+∞D．1(4，)+∞【解答】解：由题意可知函数()log()xaf x a t=+，(0,1)a a>≠在其定义域内为增函数，若函数()y f x=为“半保值函数”，则()f x在[m，]n上的值域为11[,]22m n∴1()21()2f m mf n n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1()21()2manalog a t mlog a t n⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，∴方程1()2f x x=必有两个不同实数根，1log()2xa a t x+=，12xxa t a∴+=，xa a∴-120xt+=令12xb a=，则0b>∴方程20b b t -+=有两个不同的正数根，∴1400t t =->⎧⎨>⎩104t ∴<<． 故选：B ．12．（5分）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>与双曲线222:19y C x -=有公共焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则()A ．2878a =B ．212a =C ．298b =D ．21b =【解答】解：双曲线222:19y C x -=的焦点(0)，2210a b ∴-=．取2C 的一条渐近线3y x =，与椭圆相交于点M ，N ．联立222231y xx y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得222229M a b x a b =+，2222299M a b y a b =+， 222222240||4()9M Ma b MN x y a b ∴=+=+， 以1C 的长轴(2)a 为直径的圆相交于A 、B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，∴22222401(2)99a b a a b =⨯+，与2210a b -=联立． 解得298b =．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上．） 13．（5分）若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………则32z x y =-的最大值为 5 ．【解答】解：画出实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-⎧⎪--⎨⎪-+⎩………表示的平面区域，如图所示；目标函数3122y x z =-的几何意义是直线32z x y =-的纵截距的相反数， 由10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，可得交点坐标为(3,2)，平移直线3122y x z =-，根据图形可知， 当直线3122y x z =-在经过(3,2)时，3122y x z =-取得最大值，最大值为5． 故答案为：5．14．（5分）在三棱锥D ABC -中，AB AC AD ==，2BC BD CD ===，则三棱锥D ABC -外接球的表面积为 6π ．【解答】解：由已知可得，三棱锥A BCD -为正三棱锥， 如图，又AB AC AD ==2BC BD CD ===，得222AB AD BD +=，222AB AC BC +=，222AC AD CD +=， 则三棱锥A BCD -的三条侧棱两两互相垂直，把三棱锥A BCD -补形为正方体，则正方体的外接球即三棱锥A BCD -设为外接球，．∴三棱锥D ABC -外接球的表面积为246ππ⨯=． 故答案为：6π．15．（5分）在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)(2n n n a na n a n a n -+==-++…且*)n N ∈，则8a = 518-． 【解答】解：在数列{}n a 中，满足11a =，2114.2(1)(1)n n n a na n a n a -+==-++， 当2n =时，21343a a a =+，解得：35a =． 当3n =时，324624a a a =+，解得：4112a =． 当4n =时，435835a a a =+，解得：5295a =． 当5n =时，5461046a a a =+，解得：676a =． 当6n =时，6571257a a a =+，解得：7227a =-． 当7n =时，7681468a a a =+，解得：8518a =- 故答案为：518-16．（5分）已知函数21()()2f x a x lnx =-+，若在区间(1,)+∞上函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的图象的下方，则实数a 的取值范围是 1[2-，1]2 ．【解答】解：令21()()2()22g x f x ax a x ax lnx =-=--+，则()g x 的定义域为(0,)+∞．在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方 等价于()0g x <在区间(1,)+∞上恒成立．21(21)21(1)[(21)1]()(21)2a x ax x a x g x a x a x x x--+---'=--+==． ①若12a >，令()0g x '=，得极值点11x =，2121x a =-，当211x x >=，即112a <<时，在(0,1)上有()0g x '>， 在2(1,)x 上有()0g x '<，在2(x ，)+∞上有()0g x '>， 此时()g x 在区间2(x ，)+∞上是增函数，并且在该区间上有2()(()g x g x ∈，)+∞，不合题意； 当211x x =…，即1a …时，同理可知，()g x 在区间(1,)+∞上，有()(g x g ∈（1），)+∞，也不合题意； ②若12a …，则有210a -…，此时在区间(1,)+∞上恒有()0g x '<， 从而()g x 在区间(1,)+∞上是减函数；要使()0g x <在此区间上恒成立，只须满足g （1）102a =--…，得12a -…．由此求得a 的范围是1[2-，1]2．综合①②可知，当1[2a ∈-，1]2时，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方．故答案为：1[2-，1]2．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4AC =，1cos 3CAB ∠=，点D 在线段BC 上，且12BD CD =，AD =（Ⅰ）求AB 的长； （Ⅱ）求ABD ∆的面积．【解答】解：（Ⅰ）依题意13BD a =，23CD a =，因为cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，∴222264264()()0a a c b +-+-+=， 化简得：2212403a c -+=，①由余弦定理得222212cos 1683a b c bc A c c =+-=+-⨯②由①②消去2a 得6c =，即6AB =；（Ⅱ）11111sin 463323233ABD ABC S S b c A ∆∆==⨯=⨯⨯⨯⨯=． 18．（12分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，FO ⊥平面ABCD ，四边形OAEF 为平行四边形．（Ⅰ）求证：平面DEF ⊥平面BDF ；（Ⅱ）若2AB FO BD ===，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=，三棱锥B AHC -的体积等于三棱锥O DEF -的体积，求λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）四边形ABCD 为菱形，AO BD ∴⊥． FO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ， AO FO ∴⊥．又四边形OAEF 为平行四边形，//EF AO ∴，EF BD ∴⊥，EF FO ⊥，BDFO O =，EF ∴⊥平面BDF ．EF ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面BDF ．解：（Ⅱ）2AB FO BD ===，四边形ABCD 为菱形，ABD ∴∆为等边三角形，且AO =1DO BO ==．BD AC ⊥，BD FO ⊥，ACFO O =，BD ∴⊥平面OAEF ，∴四棱锥D AOFE -的体积为112)133D AOFE AOFE V S DO -=⨯⨯=⨯⨯=．∴12O DEF D OEF D AOFE V V V ---===FO ⊥平面ABCD ，点H 在线段BF 上，且FH FB λ=， ∴点H 到平面ABCD 的距离||2h FO λλ==．111(22sin120)2332B AHC H ABC ABC V V S h λ--∆∴==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯︒⨯==， 解得12λ=．19．（12分）某企业为确定下一年度投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x （单位：千万元）对年销售量y （单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x 与年销售量(1i y i =，2，⋯，10)的数据，得到如图散点图．（1）利用散点图判断，y a bx =+和d y c x =（其中c ，d 为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x 和年销售量y 的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）． （2）对数据作出如下处理：令i i u lnx =，i i v lny =，得到相关统计量的值如表：根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程； （3）已知企业年利润z （单位：千万元）与x ，y 的关系为27z y x e=-（其中 2.71828)e=⋯，根据（2）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？ 附：对于一组数据1(u ，1)v ，2(u ，2)v ，⋯，(n u ，)n v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为1221ˆni i i nii u vnu v unu β==-=-∑∑，ˆˆv u αβ=-．【解答】解：（1）由散点图知，选择回归类型，d y c x =更适合．（2）对d y c x =两边取对数，得Iny lnc dlnx =+，即v lnc du =+．由表中数据得122130.510 1.5 1.51ˆ46.510 1.5 1.53ni i i nii u vmu vdunu ==--⨯⨯===-⨯⨯-∑∑，所以11.5 1.513lnc v du =-=-⨯=，所以ˆce =． 所以年研发费用x 与年销售量y 的回归方程为13y e x =． （3）由（2）知，13()27z x x x =-，求导得23()91z x x -'=-，令23()910z x x-'=-=，得27x =，函数13()27z x x x =-在(0,27)上单调递增，在(27,)+∞上单调递减， 所以当27x =时，年利润z 取最大值5.4亿元．答：要使得年利润取最大值．预计下一年度投入2.7亿元．20．（12分）已知抛物线22(0)y px p =->的焦点为F ，x 轴上方的点(2,)M m -在抛物线上，且5||2MF =，直线l 与抛物线交于A ，B 两点（点A ，B 与M 不重合），设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ． （Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）当122k k +=-时，求证：直线l 恒过定点并求出该定点的坐标． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线的定义可以5||(2)22P MF =--=， 1p ∴=抛物线的方程为22y x =-；（Ⅱ）证明：由（1）可知，点M 的坐标为(2,2)- 当直线l 斜率不存在时，此时A ，B 重合，舍去． 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y kx b =+ 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，将直线l 与抛物线联立得：222122222(22)02y kx b kb k x kb x b x x y x k =+⎧--+++=+=⎨=-⎩，2122b x x k=------------------①又12121222222y y k k x x --+=+=-++， 即122112121212121212(2)(2)(2)(2)2(2)(2)22()()2()4824()8kx b x kx b x x x kx x k x x b x x x x b x x x x +-+++-+=-++++++-++-=--+-将①带入得，222(1)0b b k b ---+= 即(1)(22)0b b k +--= 得1b =-或22b k =+．当1b =-时，直线l 为1y kx =-，此时直线恒过(0,1)-当22b k =--时，直线l 为22(2)2y kx k k x =++=++，此时直线恒过(2,2)-（舍去） 所以直线l 恒过定点(0,1)-．21．（12分）设函数()x f x ae x =-，()g x blnx =．（Ⅰ）设()()()h x f x g x =+，函数()h x 在(1，h （1）)处切线方程为21y x =-，求a ，b 的值；（Ⅱ）若1a =，k 为整数，当0x >时，()()10x k f x x '-++>成立，求k 的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）()()()x h x f x g x ae blnx x =+=+-， ()1x bh x ae x'=+-， 由题意可知(1)11(1)12h ae h ae b =-=⎧⎨'=+-=⎩，解得2a e=，1b =； （Ⅱ）当0x >时，()()10x k f x x '-++>等价于11x x k x e +<+-． 设1()1x x F x x e +=+-，则2(2)()(1)x x x e e x F x e --'=-， 令()2x R x e x =--，则()1x R x e '=-．当0x >时，()0R x '>恒成立，()R x 在(0,)+∞上单调递增， 又R （1）0<，R （2）0>，()R x ∴在(0,)+∞上有唯一零点0x ，且0(1,2)x ∈，0020x e x --=． ()F x ∴单减区间为0(0,)x ，单增区间为0(x ，)+∞，()F x ∴在(0,)+∞的最小值为000001()1(2,3)1x x F x x x e +=+=+∈-． 0()k F x ∴<，故2max k =．（二）选考题：共l0分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,(1x t t y t =--⎧⎨=+⎩为参数），曲线1:C y =．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρα=-．（Ⅰ）若直线l 与x ，y 轴的交点分别为A ，B ，点P 在1C 上，求BA BP 的取值范围； （Ⅱ）若直线l 与2C 交于M ，N 两点，点Q 的直角坐标为(2,1)-，求||||||QM QN -的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：直线l 的普通方程为10x y ++=，(1,0)A ∴-，1(0,1)B C -的方程可化为221(0)x y y +=…， 设点P 的坐标为(cos ,sin )θθ，0θπ剟，∴cos sin 1)11]4BA BP πθθθ=-++=-+∈．（Ⅱ）曲线2C 的直角坐标方程为：22(2)(2)8x y ++-= 直线l的标准参数方程为()21x m y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数，代入2C得：270m -=设M ，N 两点对应的参数分别为1m ，2m ，12m m +=1270m m =-<故1m ，2m 异号，∴12||||||||QM QN m m -=+=[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()|1||2|f x x a x =+++． （Ⅰ）求1a =时，()3f x …的解集；（Ⅱ）若()f x 有最小值，求a 的取值范围，并写出相应的最小值． 【解答】解析：（1）当1a =时，23,2,()|1||2|1,21,23,1,x x f x x x x x x ---⎧⎪=+++=-<<-⎨⎪+-⎩……()3f x …，当2x -…时()233f x x =--…解得32x --剟， 当21x -<<-时()13f x =…恒成立， 当1x -…时()233f x x =+…解得10x -剟， 综上可得解集[3-，0]；（2）(1)21,2,()|1||2|(1)21,21,(1)21,1,a x a x f x x a x a x a x a x a x -+---⎧⎪=+++=-+--<<-⎨⎪+++-⎩……当(1)0a -+>，即1a <-时，()f x 无最小值； 当(1)0a -+=，即1a =-时，()f x 有最小值1-；当(1)0a -+<且(1)0a -…，即11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当(1)0a -+<且(1)0a ->，即1a >时，()(2)1min f x f =-=， 综上：当1a <-时，()f x 无最小值； 当1a =-时，()f x 有最小值1-； 当11a -<…时，()(1)min f x f a =-=， 当1a >时，()(2)1min f x f =-=．。
河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题(1)
一、单选题二、多选题1. 设p ：，q ：，则p 是q 成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）A．B．C．D．3. 若直线与直线互相垂直，则实数的值为（ ）A．B．C．D ．24. 在正三棱柱中，，，以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（ ）A．B．C．D．5. 在圆柱内有一个球，球分别与圆柱的上、下底面及母线均有且只有一个公共点.若，则圆柱的表面积为（ ）.A．B．C．D．6. “华东五市游”作为中国一条精品旅游路线一直受到广大旅游爱好者的推崇．现有4名高三学生准备2021年高考后到“华东五市”中的上海市、南京市、苏州市、杭州市四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅游，则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A．B．C．D．7. 设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A．B．C．D．8.已知定义在上的偶函数在间上递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）A．B．C．D．9. 已知复数，复数满足，则（ ）A．B．C ．复数在复平面内所对应的点的坐标是D ．复数在复平面内所对应的点为，则10. 给定数集M ，若对于任意，有，且，则称集合M 为闭集合，则下列说法中不正确的是（ ）A ．集合为闭集合B ．正整数集是闭集合C．集合为闭集合D．若集合，为闭集合，则为闭集合11. 采购经理指数（PMI ）是国际上通用的监测宏观经济走势的指标，具有较强的预测、预警作用．2023年12月31日，国家统计局发布了中国制造业PMI 指数（经季节调整）图，如下图所示，则下列说法正确的是（ ）河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题(1)河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题(1)三、填空题四、解答题A．图中前三个数据的平均值为B ．2023年四个季度的PMI 指数中，第一季度方差最大C ．图中PMI指数的极差为D ．2023年PMI 指数的分位数为12.已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．B．的单调减区间为C．图象的一条对称轴方程为D ．点是图象的一个对称中心13.设且，若，则______．14. 某射击运动员次的训练成绩分别为:，则这次成绩的第百分位数为__________.15. 已知的展开式中所有项的系数之和为81，则展开式中含的项的系数为______.16. 某省举办了一次高三年级化学模拟考试，其中甲市有10000名学生参考．根据经验，该省及各市本次模拟考试成绩（满分100分）都近似服从正态分布．(1)已知本次模拟考试甲市平均成绩为65分，87分以上共有228人．甲市学生的成绩为76分，试估计学生在甲市的大致名次；(2)在该省本次模拟考试的参考学生中随机抽取40人，记表示在本次考试中化学成绩在之外的人数，求的概率及的数学期望．参考数据：参考公式：若，有，17. 已知函数．(1)求的值;(2)求的最小正周期和单调递增区间．18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，的一条渐近线的倾斜角为，直线与轴的交点为，且.(1)求的方程；(2)过点作斜率为的直线与交于，两点，为线段的中点，过点且与垂直的直线交轴于点，求证：为定值.19. 已知正项数列中，，和分别表示的前项和与前项积，从①，②，③，中选取一个作为条件，解答以下问题（多选不得分）.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和.20.如图，在梯形中，，，，，与交于点，将沿翻折至，使点到达点的位置.(1)证明：；(2)若平面PBC与平面PBD的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积.21. 已知函数，(1)证明：函数f（x）在内有且仅有一个零点；(2)假设存在常数λ>1，且满足f（λ）=0，试讨论函数的零点个数.。
河南省郑州市2020届高考数学三模试卷(文科)(有答案)(已审阅)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2019的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2019二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2019的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2019=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q 可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2019【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2019）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC ，BD ，B1，B2，CD ， C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有： A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A 的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA 1=2，点D 为AB 的中点，点E 在线段AA 1上，AE=λAA 1（λ为实数）． （1）求证：不论λ取何值时，恒有CD ⊥B 1E ；（2）当λ=时，求多面体C 1B ﹣ECD 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX ：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD ⊥AB ．再由AA 1⊥平面ABC ，得AA 1⊥CD ．利用线面垂直的判定可得CD ⊥平面ABB 1A 1．进一步得到CD ⊥B 1E ；（2）当λ=时，．再由△ABC 是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ． ∵AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥CD ． 又∵AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，AA 1∩AB=A ， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1．∵点E 在线段AA 1上，∴B 1E ⊂平面ABB 1A 1， ∴CD ⊥B 1E ；（2）解：当λ=时，．∵△ABC 是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．//【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。
河南省郑州市2020届高考数学三模试卷(文科)(有答案)(精校版)
2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．503．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2019的值为（）A．B．C．D．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．169．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣210．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2019二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA1=2，点D为AB的中点，点E在线段AA1上，AE=λAA1（λ为实数）．（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B1E；（2）当λ=时，求多面体C1B﹣ECD的体积．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．2019年河南省郑州市高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x|x﹣x2＞0}，B={x|（x+1）（m﹣x）＞0}，则“m＞1”是“A∩B≠∅”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1）．对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，对m与﹣1的大小关系分类讨论，再利用集合的运算性质即可判断出结论．【解答】解：集合A={x|x﹣x2＞0}=（0，1），对于B：（x+1）（m﹣x）＞0，化为：（x+1）（x﹣m）＜0，m=﹣1时，x∈∅．m＞﹣1，解得﹣1＜x＜m，即B=（﹣1，m）．m＜﹣1时，解得m＜x＜﹣1，即B=（m，﹣1）．∴“m＞1”⇒“A∩B≠∅”，反之不成立，例如取m=．∴“m＞1”是“A∩B≠∅”的充分而不必要条件．故选：A．2．为了解600名学生的视力情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为20的样本，则需要分成几个小组进行抽取（）A．20 B．30 C．40 D．50【考点】B4：系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可．【解答】解：根据系统抽样的特征，得；从600名学生中抽取20个学生，分段间隔为=30．故选：B．3．已知z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣2）【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的几何意义、不等式的解法即可得出．【解答】解：z=m﹣1+（m+2）i在复平面内对应的点在第二象限，∴m﹣1＜0，m+2＞0，解得﹣2＜m＜1．则实数m的取值范围是（﹣2，1）．故选：B4．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”．其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则5288用算筹式可表示为（）A．B．C．D．【考点】F1：归纳推理．【分析】根据新定义直接判断即可．【解答】解：由题意各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，则5288 用算筹可表示为11，故选：C5．已知，则的值等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由已知利用诱导公式即可计算得解．【解答】解：∵，可得：cos（﹣α）=﹣，∴sin[﹣（﹣α）]=sin（+α）=﹣．故选：D．6．已知f'（x）=2x+m，且f（0）=0，函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为3，数列的前n项和为S n，则S2019的值为（）A．B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】由题意可设f（x）=x2+mx+c，运用导数的几何意义，由条件可得m，c的值，求出==﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，计算即可得到所求和．【解答】解：f'（x）=2x+m，可设f（x）=x2+mx+c，由f（0）=0，可得c=0．可得函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线的斜率为2+m=3，解得m=1，即f（x）=x2+x，则==﹣，数列的前n项和为S n，则S2019=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．故选：A．7．如图是某个几何体的三视图，则这个几何体体积是（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．【解答】解：由三视图可知：该几何体由一个半圆柱与三棱柱组成的几何体．这个几何体体积V=+×（）2×2=2+．故选：A．8．已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】8G：等比数列的性质．【分析】将式子“a8（a4+2a6+a8）”展开，由等比数列的性质：若m，n，p，q∈N*，且m+n=p+q，则有a m a n=a p a q 可得，a8（a4+2a6+a8）=（a6+a8）2，将条件代入得到答案．【解答】解：由题意知：a8（a4+2a6+a8）=a8a4+2a8a6+a82，∵a6+a8=4，∴a8a4+2a8a6+a82=（a6+a8）2=16．故选D．9．若实数a、b、c＞0，且（a+c）•（a+b）=6﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1 B． +1 C．2+2 D．2﹣2【考点】7F：基本不等式．【分析】根据题意，将2a+b+c变形可得2a+b+c=（a+c）+（a+b），由基本不等式分析可得2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2，计算可得答案．【解答】解：根据题意，2a+b+c=（a+c）+（a+b），又由a、b、c＞0，则（a+c）＞0，（a+b）＞0，则2a+b+c=（a+c）+（a+b）≥2=2=2（﹣1）=2﹣2，即2a+b+c的最小值为2﹣2，故选：D．10．椭圆+=1的左焦点为F，直线x=a与椭圆相交于点M、N，当△FMN的周长最大时，△FMN的面积是（）A．B．C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设右焦点为F′，连接MF′，NF′，由于|MF′|+|NF′|≥|MN|，可得当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y，即可得出此时△FMN的面积S．【解答】解：设右焦点为F′，连接MF′，NF′，∵|MF′|+|NF′|≥|MN|，∴当直线x=a过右焦点时，△FMN的周长最大．由椭圆的定义可得：△FMN的周长的最大值=4a=4．c==1．把c=1代入椭圆标准方程可得： =1，解得y=±．∴此时△FMN的面积S==．故选：C．11．四面体A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，则四面体A﹣BCD外接球的表面积为（）A．50π B．100πC．200πD．300π【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，由此能求出球的半径，进而求出球的表面积．【解答】解：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以10，2，2为三边的三角形作为底面，且以分别为x，y，z，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x，y，z的长方体，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，设球半径为R，则有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面积为S=4πR2=200π．故选C．12．已知函数f（x）=，且f=（）A．﹣2014 B．﹣2015 C．﹣2016 D．﹣2019【考点】3T：函数的值．【分析】推导出函数f（x）=1++，令h（x）=，则h（x）是奇函数，由此能求出结果．【解答】解：∵函数f（x）=，=1++=1++，令h（x）=，则h（﹣x）=﹣+=﹣h（x），即h（x）是奇函数，∵f=2016，∴h=1+h（﹣2019）=1﹣h13．设变量x，y满足约束条件：，则目标函数z=x+2y的最小值为 4 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），化目标函数z=x+2y为y=﹣，由图可知，当直线y=﹣过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为4．故答案为：4．14．已知向量，，若向量，的夹角为30°，则实数m= ．【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，求得m的值．【解答】解：∵，，向量，的夹角为30°，∴=m+3=•2•cos30°，求得，故答案为：．15．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b=a，A=2B，则cosA= ．【考点】HP：正弦定理．【分析】由已知及正弦定理，二倍角的正弦函数公式化简可得cosB=，进而利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．【解答】解：∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∵b=a，∴由正弦定理可得： ===2cosB，∴cosB=，∴cosA=cos2B=2cos2B﹣1=．故答案为：．16．在△ABC中，∠A=，O为平面内一点．且||，M为劣弧上一动点，且．则p+q的取值范围为．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，设外接圆的半径为r，对=p+q两边平方，建立p、q的解析式，利用基本不等式求出p+q的取值范围．【解答】解：如图所示，△ABC中，∠A=，∴∠BOC=；设|=r，则O为△ABC外接圆圆心；∵=p+q，∴==r2，即p2r2+q2r2+2pqr2cos=r2，∴p2+q2﹣pq=1，∴（p+q）2=3pq+1；又M为劣弧AC上一动点，∴0≤p≤1，0≤q≤1，∴p+q≥2，∴pq≤=，∴1≤（p+q）2≤（p+q）2+1，解得1≤（p+q）2≤4，∴1≤p+q≤2；即p+q的取值范围是．故答案为：．三、解答题（本大题共7小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}是等差数列，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）设等差数列的公差为d，首项a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项即可求出公差d，再写出通项公式即可，（2）化简b n根据式子的特点进行裂项，再代入数列{b n}的前n项和S n，利用裂项相消法求出S n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a1=2，且a3是a2与a4+1的等比中项．∴（2+2d）2=（3+3d）（2+d），解得d=2，∴a n=a1+（n﹣1）d=2+2（n﹣1）=2n，（2）b n====（﹣），∴S n=（﹣+﹣+﹣+…+﹣+﹣）=（+﹣﹣）=﹣18．2012年3月2日，国家环保部发布了新修订的《环境空气质量标准》，其中规定：居民区的PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米．某城市环保部门在2013年1月1日到 2013年4月30日这120天对某居民区的PM2.5平均浓度的监测数据统计如下：（Ⅱ）在（I）中所抽取的样本PM2.5的平均浓度超过75（微克/立方米）的若干天中，随机抽取2天，求恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B3：分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由这120天中的数据中，各个数据之间存在差异，故应采取分层抽样，计算出抽样比k后，可得每一组应抽取多少天；（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2，列举出从6天任取2天的所有情况和满足恰有一天平均浓度超过115（微克/立方米）的情况数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．【解答】解：（Ⅰ）这120天中抽取30天，应采取分层抽样，抽样比k==，第一组抽取32×=8天；第二组抽取64×=16天；第三组抽取16×=4天；第四组抽取8×=2天（Ⅱ）设PM2.5的平均浓度在（75，115]内的4天记为A，B，C，D，PM2.5的平均浓度在115以上的两天记为1，2．所以6天任取2天的情况有：AB，AC，AD，A1，A2，BC ，BD ，B1，B2，CD ， C1，C2，D1，D2，12，共15种记“恰好有一天平均浓度超过115（微克/立方米）”为事件A ，其中符合条件的有： A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，共8种所以，所求事件A 的概率P=19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面△ABC 是等腰直角三角形，且斜边AB=，侧棱AA 1=2，点D 为AB 的中点，点E 在线段AA 1上，AE=λAA 1（λ为实数）． （1）求证：不论λ取何值时，恒有CD ⊥B 1E ；（2）当λ=时，求多面体C 1B ﹣ECD 的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LX ：直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由已知可得CD ⊥AB ．再由AA 1⊥平面ABC ，得AA 1⊥CD ．利用线面垂直的判定可得CD ⊥平面ABB 1A 1．进一步得到CD ⊥B 1E ；（2）当λ=时，．再由△ABC 是等腰直角三角形，且斜边，得AC=BC=1．然后利用结合等积法得答案．【解答】（1）证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，点D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ． ∵AA 1⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥CD ． 又∵AA 1⊂平面ABB 1A 1，AB ⊂平面ABB 1A 1，AA 1∩AB=A ， ∴CD ⊥平面ABB 1A 1．∵点E 在线段AA 1上，∴B 1E ⊂平面ABB 1A 1， ∴CD ⊥B 1E ；（2）解：当λ=时，．∵△ABC 是等腰直角三角形，且斜边，∴AC=BC=1．∴，，∴．20．已知点P是圆F1：（x﹣1）2+y2=8上任意一点，点F2与点F1关于原点对称，线段PF2的垂直平分线分别与PF1，PF2交于M，N两点．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）过点的动直线l与点M的轨迹C交于A，B两点，在y轴上是否存在定点Q，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】KS：圆锥曲线的存在性问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）判断轨迹方程是椭圆，然后求解即可．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，利用，求得m=﹣1．推出结果即可．【解答】解：（1）由题意得，∴点M的轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆∵，∴点M的轨迹C的方程为．（2）直线l的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立可得9（1+2k2）x2+12kx﹣16=0．由求根公式化简整理得，假设在y轴上是否存在定点Q（0，m），使以AB为直径的圆恒过这个点，则即．∵，===．∴求得m=﹣1．因此，在y轴上存在定点Q（0，﹣1），使以AB为直径的圆恒过这个点．21．已知函数h（x）=（x﹣a）e x+a．（1）若x∈，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈，∃x2∈，使得h（x1）≥x22﹣2bx2﹣ae+e+成立，求b的范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出极值点x=a﹣1．通过当a≤0时，当0＜a＜2时，当a≥2时，利用函数的单调性求解函数的最小值．（2）令，“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．推出h（x）min≥f（x）min．通过①当b≤1时，②当1＜b＜2时，③当b≥2时，分别利用极值与最值求解b的取值范围．【解答】解：（1）h'（x）=（x﹣a+1）e x，令h'（x）=0得x=a﹣1．当a﹣1≤﹣1即a≤0时，在上h'（x）≥0，函数h（x）=（x﹣a）e x+a递增，h（x）的最小值为．当﹣1＜a﹣1＜1即0＜a＜2时，在x∈上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a﹣1）=﹣e a﹣1+a．当a﹣1≥1即a≥2时，在上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1﹣a）e+a．综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为，当a≥2时h（x）的最小值为（1﹣a）e+a，当0＜a＜2时，h（x）最小值为﹣e a﹣1+a．（2）令，由题可知“对∀x1∈，∃x2∈，使得成立”等价于“f（x）在上的最小值不大于h（x）在上的最小值”．即h（x）min≥f（x）min．由（1）可知，当a=3时，h（x）min=h（1）=（1﹣a）e+a=﹣2e+3．当a=3时，，x∈，①当b≤1时，，由得，与b≤1矛盾，舍去．②当1＜b＜2时，，由得，与1＜b＜2矛盾，舍去．③当b≥2时，，由得．综上，b的取值范围是．22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．【解答】解：（1）由ρsin2θ﹣2cosθ=0，得ρ2sin2θ=2ρcosθ．∴曲线C的直角坐标方程为y2=2x；（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，，==．当时，|AB|的最小值为2．23．已知函数f（x）=|x﹣5|﹣|x﹣2|．（1）若∃x∈R，使得f（x）≤m成立，求m的范围；（2）求不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0的解集．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，求出m的范围即可；（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可．【解答】解：（1），当2＜x＜5时，﹣3＜7﹣2x＜3，所以﹣3≤f（x）≤3，∴m≥﹣3；（2）不等式x2﹣8x+15+f（x）≤0，即﹣f（x）≥x2﹣8x+15由（1）可知，当x≤2时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；当2＜x＜5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣10x+22≤0，∴；当x≥5时，﹣f（x）≥x2﹣8x+15，即x2﹣8x+12≤0，∴5≤x≤6；综上，原不等式的解集为．。
河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题
河南省郑州市2023届高三三模文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________三、解答题17．2023 U. I. M. F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日~30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力．为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；(2)若先采用分层抽样的方法从成绩在[)80,90，[]90,100的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在[]90,100的概率．18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ^底面ABCD ，//AB DC ，AD ⊥AB ，4PD DC ==，2AB AD ==．(1)证明：平面PBC ^平面PBD ；(2)求点D 到平面PBC 的距离．19．已知数列{}n a 满足：13a =，()1*122,N n n n a a n n --=+³Î．(1)求数列{}na 的通项公式；(2)令()()211log 1n n nn b a a =-+--，求数列{}n b 的前n 项和n T ．故答案为：3π.17．(1)平均数73，中位数73(2)3 5由（1）可知，直线():242l x y ++-2121(2)||452DE y y m =+--=×。