2020年上海市闵行区部分学校中考数学一模试卷解析版
中考数学一模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列各数中，无理数是（ ）A.- B. 9 C. D.2.不等式-2x ＞3的解集是（ ）A.B. C. D.3.下列方程中，有实数根的是（ ）A.=-x B.+=0C.D. x 2+2020x -1=04.已知反比例函数y =，当x ＞0时，y 的值随x 的值增大而增大，下列四个选项中，可能是二次函数y =2kx 2-x -k 图象的选项是（ ）A. B.C. D.5.要判断一个四边形门框是否为矩形，在下面四个拟定方案中，正确的方案是（ ）A. 测量对角线是否相互平分B. 测量两组对边是否分别相等C. 测量对角线是否互相垂直D. 测量其中三个角是否是直角6.如果两个圆的圆心距为3，其中一个圆的半径长为4，另一个圆的半径长大于1，那么这两个圆的位置关系不可能是（ ）A. 内含 B. 内切 C. 外切 D. 相交．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：a 2•a 3=______．8.在实数范围内分解因式：x 2-2x -2=______．9.已知f （x ）=2x 2-1，且f （a ）=3，那么a =______．10.如图．函数y =kx +b （k 、b 为常数，k ≠0）的图象如图，则关于x 的不等式kx +b ＞0的解集为______．11.某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所示的男鞋尺码对照表．中码CHN220225230…250255260…美码USA 4.55 5.5…7.588.5…如果美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，那么y关于x的函数关系式为______．12.一个不透明的袋子中装有8个大小、形状、都一样的小球，其中有3个红球与5个黄球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：______．13.如果一段斜坡的坡角是30°，那么这段斜坡的坡度是______ ．（请写成1：m的形式）14.如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，设向量=，=，如果用向量，表示向量，那么向量可以表示为______．15.已知正三角形的边长为2，那么该三角形的半径长为______．16.如果两点A（2，a）和B（x，b）在抛物线y=x2-4x+m上，那么a和b的大小关系为：a______b．（从“＞”“≥”“＜”“≤”中选择）．17.平移抛物线y=2x2-4x，可以得到抛物线y=2x2+4x，请写出一种平移方法______．18.如果三角形的两个内角∠α与∠β满足2α+β=90°，那么，我们将这样的三角形称为“准互余三角形”．在△ABC中，已知∠C=90°，BC=3，AC=4（如图所示），点D在AC边上，联结BD．如果△ABD为“准互余三角形”，那么线段AD的长为______（写出一个答案即可）．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：|-1|-×+-820.解方程组：21.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在边AC上，且∠DBC=45°，求sin∠ABD的值．22.某电脑公司2019年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为800万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2021年经营总收入要达到2880万元，且计划从2019年到2021年，每年经营总收入的年增长率相同，问2020年预计经营总收入为多少万元？23.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，D在斜边AB上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E，F．（1）当∠ACD=∠BCD时，求证：四边形DECF是正方形；（2）当∠BCD=∠A时，求证：．24.如图，已知一个抛物线经过A（0，1），B（1，3），C（-1，1）三点．（1）求这个抛物线的表达式及其顶点D的坐标；（2）联结AB、BC、CA，求tan∠ABC的值；（3）如果点E在该抛物线的对称轴上，且以点A、B、C、E为顶点的四边形是梯形，直接写出点E的坐标．25.在圆O中，弦AB与CD相交于点E，且弧AC与弧BD相等．点D在劣弧AB上，联结CO并延长交线段AB于点F，联结OA、OB．当OA=，且tan∠OAB=．（1）求弦CD的长；（2）如果△AOF是直角三角形，求线段EF的长；（3）如果S△CEF=4S△BOF，求线段AF的长．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A.，是整数，属于有理数；B.，是整数，属于有理数；C.是无理数；D.是分数，属于有理数．故选：C．根据无理数的概念及其三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项解答即可．本题主要考查了无理数的概念，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．2.【答案】D【解析】解：不等式的两边同时除以-2得，x＜-．故选D．直接把x的系数化为1即可．本题考查的是解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质是解答此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵≥0，x-1≥0，∴x≥1，∴-x＜0，∴≠-x，∴A不正确；∵≥0，≥0，当x=1时+有最小值1，∴+≥1，∴B不正确；=两边同时乘以x2-1，得x=1，经检验x=1是方程的增根，∴方程无解；∴C不正确；x2+2020x-1=0，∵△=20202+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根，∴D正确；故选：D．A选项中，≥0，-x＜0，则方程无实数根；B选项中，当x=1时+有最小值1，则方程无实数根；C选项中，解得x=1是方程的增根，则方程无实数根；D选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．本题考查分式方程、无理方程、二元一次方程；熟练掌握分式方程解法、一元二次方程根的判别式、掌握二次根式成立的条件是解题的关键．4.【答案】D【解析】解：∵反比例函数y=，当x＞0时，y的值随x的值增大而增大，∴k＜0，∴二次函数y=2kx2-x-k中，2k＜0，则图象开口向下，-k＞0，则图象与y轴交在正半轴上，又∵b=-1＜0，∴二次项与一次项系数相同，则对称轴在y轴左侧，符合题意的只有选项D．故选：D．直接利用反比例函数的性质得出k的符号，再利用二次函数的性质得出答案．此题主要考查了反比例函数的性质以及二次函数的性质，正确掌握系数与图象的关系是解题关键．5.【答案】D【解析】解：∵三个角是直角的四边形是矩形，∴在下面四个拟定方案中，正确的方案是D，故选：D．由矩形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定；熟记三个角是直角的四边形为矩形是解题的关键．6.【答案】C【解析】解：∵一个圆的半径R为4，另一个圆的半径r大于1，∴R-r＜4-1，R+r＞5即：R-r＜3，∵圆心距为3，∴两圆不可能外切，故选：C．首先利用一个圆的半径为4，另一个圆的半径大于1来求得两圆的半径之差的范围，然后根据圆心距d与两半径的关系判断即可．本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是根据两圆的半径的大小或取值范围求得两圆的半径之差，然后根据圆心距与半径的关系确定本题的答案．7.【答案】a5【解析】解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．8.【答案】【解析】解：原式=（x-1）2-3=故填：．先组完全平方，再利用平方差公式而得．本题考查实数范围内分解因式，从完全平方，再平方差公式很容易而得．9.【答案】±【解析】解：∵f（x）=2x2-1，f（a）=3，∴f（a）=2a2-1=3，∴2a2-1=3时，a=±，故答案为±．由已知可得f（a）=2a2-1=3，解出a即可．本题考查函数值；理解题意，能够将所求问题转化为一元二次方程求解是关键．10.【答案】x＜2【解析】【分析】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得不等式kx+b＞0的解集．【解答】解：函数y=kx+b的图象经过点（2，0），并且函数值y随x的增大而减小，所以当x＜2时，函数值小于0，即关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2．故答案为x＜2．11.【答案】y=0.1x-17.5【解析】解：设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，由题意可得：解得：∴y关于x的函数关系式为y=0.1x-17.5，故答案为：y=0.1x-17.5．设y关于x的函数关系式为：y=kx+b，利用待定系数法求解析式．本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，理解题意是本题的关键．12.【答案】【解析】解：在口袋中放有3个红球与5个黄球，共8个，这两种球除颜色外完全相同，随机从口袋中任取一个球，从这8个球中任取一个球是红球的概率是：．故答案为：．让红球的个数除以球的总数即为摸到红球的概率．本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．13.【答案】1：【解析】解：i=tanα=tan30°==1：，故答案是：1：．坡比等于坡角的正切值，据此即可求解．本题主要考查了坡比与坡角的关系，注意坡比一般表示成1：a的形式．14.【答案】+【解析】解：如图，延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，CE．∵AD=DE，BD=CD，∴四边形ABEC是平行四边形，∴==，∵=+=+，∴==+．故答案为+．如图，延长AD到E，使得DE=AD，连接BE，CE．证明四边形ABEC是平行四边形，利用三角形法则求出即可解决问题．本题考查平面向量，平行四边形的判定和性质，三角形法则等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行四边形解决问题，属于中考常考题型．15.【答案】【解析】解：如图所示：连接OA、OB、OC，过O作OD⊥BC于D，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴AB=AC=BC=2，∠ABC=60°，∴∠OBD=30°，∵OD⊥BC，∴∠ODB=90°，BD=CD=BC=1，∴OD=BD•tan30°=1×=，∴OB=2OD=，∴该三角形的半径长为，故答案为：．根据题意作出图形，构造直角三角形求得外接圆的半径即可求得本题的答案．本题考查的是正三角形的性质、边心距、半径、周长和面积的计算；熟练掌握正三角形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．16.【答案】≤【解析】解：∵抛物线y=x2-4x+m的对称轴为x=2，∴当x=2时函数有最小值，∴b≥a，故答案为≤．由已知可得当x=2时函数有最小值，则可求b≥a．本题考查二次函数图象上点的特征；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．17.【答案】向左平移2个单位【解析】解：∵y=2x2-4x=2（x-1）2-2，y=2x2+4x=2（x+1）2-2，∴两抛物线的顶点坐标分别为（1，-2）和（-1，-2），∴将抛物线y=2x2-4x先向左平移2个单位长度，可以得到抛物线y=2x2+4x．故答案为：向左平移2个单位．把y=2x2-4x和y=2x2+4x改写成顶点式，进而解答即可．本题考查了二次函数图象与几何变换：先把二次函数的解析式配成顶点式，然后把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题．18.【答案】或【解析】解：过点D作DM⊥AB于M．设∠ABD=α，∠A=β．①当2α+β=90°时，∵α+β+∠DBC=90°，∴∠DBC=∠DBA，∵DM⊥AB，DC⊥BC，∴DM=DC，∵∠DMB=∠C=90°，DM=DC，BD=BD，∴Rt△BDC≌Rt△BDM（HL），∴BM=BC=3，∵∠C=90°，BC=3，AC=4，∴AB==5，∴AM=5-3=2，设AD=x，则CD=DM=4-x，在Rt△ADM中，则有x2=（4-x）2+22，解得x=．∴AD=．②当α+2β=90°时，∵α+β+∠DBC=90°，∴∠DBC=β=∠A，∵∠C=∠C，∴△CBD∽△CAB，∴BC2=CD•CA，∴CD=，∴AD=AC-CD=4-=．故答案为或．作DM⊥AB于M．设∠ABD=α，∠A=β．分两种情形：①当2α+β=90°时．②当α+2β=90°时，分别求解即可．本题考查的是勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．19.【答案】解：|-1|-×+-=-1-2+2+-4=-3【解析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．20.【答案】解：，由②得：x+6y=0，x-y=0，原方程组可化为或，故原方程组的解为，．【解析】先将第2个方程变形为x+6y=0，x-y=0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．21.【答案】解：如图，过点D作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH=DH，连接DH．设DM=a．∵∠C=90°，∠A=30°，∴∠ABC=90°-30°=60°，∵∠DBC=45°，∴∠ABD=60°-45°=15°，∵HB=HD，∴∠HBD=∠HDB=15°，∴∠DHM=∠HBD+∠HDB=30°，∴DH=BH=2a，MH=a，BM=2a+a，∴BD===（+）a，∴sin∠ABD===．【解析】如图，作DM⊥AB于M，在BA上取一点H，使得BH=DH，连接DH．设DM=a ．解直角三角形求出BD即可解决问题．本题考查解直角三角形，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．22.【答案】解：从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据题意可得：800÷40%（1+x）2=2880，解得：x1=0.2=20%，x2=2.2（不合题意舍去），则800÷40%×（1+20%）=2400（万元），答：2020年预计经营总收入为2400万元．【解析】设从2019年到2021年，平均经营总收入增长率为x，根据等量关系：2019年经营总收入×（1+增长率）2=2021年经营总收入，列出方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x ）2=后来的量，其中增长用+，减少用-．23.【答案】证明：（1）∵DE⊥AC，DF⊥BC，∴∠DEC=∠DFC=90°，又∵∠ECF=90°，∴四边形DECF为矩形．∵∠ACD=∠BCD，∴CD平分∠ACB，∴DE=DF，∴四边形DECF是正方形．（2）∵∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∠BCD=∠A，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=180°-90°=90°．∵∠DCF=∠A，∠DFC=∠ADC=90°，∴△CDF∽△ACD，∴=．【解析】（1）由垂直的定义可得出∠DEC=∠DFC，结合∠ECF=90°可得出四边形DECF 为矩形，由∠ACD=∠BCD可得出CD平分∠ACB，利用角平分线的性质可得出DE=DF，再利用“邻边相等的矩形是正方形”可证出四边形DECF是正方形；（2）由∠BCD+∠ACD=∠ACB=90°，∠BCD=∠A可得出∠A+∠ACD=90°，利用三角形内角和定理可求出∠ADC=90°，由∠DCF=∠A，∠DFC=∠ADC=90°可证出△CDF∽△ACD，再利用相似三角形的性质可证出=．本题考查了相似三角形的判定与性质以及正方形的判定，解题的关键是：（1）利用“邻边相等的矩形是正方形”，证出四边形DECF是正方形；（2）利用“两角对应相等两三角形相似”证出△CDF∽△ACD．24.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0）．由题意可得：解得：∴抛物线的解析式为：y=x2+x+1，∵y=x2+x+1=（x+）2+，∴顶点D的坐标（-，）；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，∴BF=3，∵A（0，1），C（-1，1），∴AC∥x轴，∴CD⊥BF，∴CD=BD=2，AD=1，CA=1，∴BC=2，∠BCD=∠CBD=45°，∵AM⊥BC，∴∠MAC=∠MCA=45°，∴CM=AM，∴CM=AM==，∴BM=BC-CM=，∴tan∠ABC==；（3）∵A（0，1），B（1，3），C（-1，1），∴直线AC解析式为：y=1，直线AB解析式为：y=2x+1，直线BC解析式为：y=x+2，若BE∥AC，则点E的纵坐标为3，且点E在对称轴上，∴点E（-，3）；若CE∥AB，则CE的解析式为；y=2x+3，∵点E在对称轴上，∴x=-，∴y=2，即点E（-，2）；若AE∥BC，则AE解析式为：y=x+1，∵点E在对称轴上，∴x=-，∴y=，即点E（-，），综上所述：点E的坐标为（-，3）或（-，2）或（-，）．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将A（0，1）、B（1，3）、C（-1，1）代入，求a、b、c的值，可得结果；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F，延长CA交BF于点D，过点A作AM⊥BC于M，通过勾股定理和等腰直角三角形的性质可求AM和BM的长，即可求解；（3）分三种情况讨论，由梯形的性质可求解．本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，勾股定理，梯形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，∵tan∠OAB==，∴设OH=a，AH=2a，∵AO2=OH2+AH2=5，∴a=1，∴OH=1，AH=2，∵OH⊥AB，∴AB=2AH=4，∵弧AC=弧BD∴=，∴AB=CD=4；（2）∵OA=OB，∴∠OAF=∠OBA，∴∠OAF=∠ECF，①当∠AFO=90°时，∵OA=，tan∠OBA=，∴OC=OA=，OF=1，AB=4，∴EF=CF•tan∠ECF=CF•tan∠OBA=；②当∠AOF=90°时，∵OA=OB，∴∠OAF=∠OBA，∴tan∠OAF=tan∠OBA=，∵OA=，∴OF=OA•tan∠OAF=，∴AF=，∵∠OAF=∠OBA=∠ECF，∠OFA=∠EFC，∴△OFA∽△EFC，∴==，∴EF=OF=，即：EF=或；（3）如图，连接OE，∵∠ECB=∠EBC，∴CE=EB，∵OE=OE，OB=OC，∴△OEC≌△OEB，∴S△OEC=S△OEB，∵S△CEF=4S△BOF，∴S△CEO+S△EOF=4（S△BOE-S△EOF），∴=，∴=，∴FO=CO=，∵△OFA∽△EFC，∴===，∴BF=BE-EF=CE-EF=EF，∴AF=AB-BF=4-EF，∵△OAF∽△EFC，∴=，∴=，∴EF=3-，∴AF=4-EF=2+．【解析】（1）如图，过点O作OH⊥AB于点H，由锐角三角函数可求OH=1，AH=2，由垂径定理可得AB=4，即可求CD=4（2）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解；（3）先利用面积关系得出=，进而利用△OAF∽△EFC得出比例式，即可得出结论．此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，分类讨论的思想，判断出===是解本题的关键．。
2020年上海市中考数学模拟试题及答案(解析版) (2)
∵ ，
∴ ，
∴抛物线 开口向上；对称轴为y轴（即x=0）；在y轴左侧；y随x的增大而减小；在y轴右侧；y随x的增大而增大
A(-3； )；B(-1； )；
点A距对称轴的距离为|-3|=3；点B距对称轴的距离为|-1|=1.
又 抛物线开口向上；抛物线上的点距对称轴越远；y值越大；
> .
故答案：>.
11．函数 的图象是开口向下的抛物线．（______）
12．如果向量 、 、 之间满足关系式 ，那么 _________（用向量 、 表示）
13．鄂尔多斯市成陵旅游区到响沙湾旅游区之间的距离为100km，在一张比例尺为 的交通旅游图上，它们之间的距离相当于_____cm．
14．若 ，则 ______.
本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
5．已知二次函数 自变量x与函数值y之间满足下列数量关系：
x
2
4
5
y
0．37
0．37
4
那么 的值为（）
A．24B．20C．10D．4
（2）如图3，∠ACB≠ 90°，若当点M为线段AB上不与点A重合的一个动点，MP⊥CM交线段BN于点P，且∠CBA＝45°，BC＝ ，当BM＝时，BP的最大值为．
21．为缓解“停车难”问题，某单位拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的设计示意图（如
22．如图，直线EF分别交△ABC的边AC，AB于点E，F，交边BC的延长线于点D，且AB·BF＝BC·BD．求证：AE·EC＝EF·ED．
A． ∥ B．
上海市2020版数学中考一模试卷(II)卷
上海市2020版数学中考一模试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分）下列各数中，负数是（）A . (－3)2B . －(－3)C . (－3)3D . －(－3)32. （2分） (2019八下·丹东期中) 在多项式中① x2 ＋2xy－y2；②－x2＋2xy－y 2；③x2＋xy＋y2 ；④1＋x＋ x2 中，能用完全平方公式分解因式的有（）A . ①②B . ①④C . ①③D . ②④3. （2分）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）A . 顶角B . 底角C . 顶角的一半D . 底角的一半4. （2分）我们知道是一个无理数，那么－1的大小在（）A . 4和5之间B . 2和3之间C . 3和4之间D . 1和2之间5. （2分）化简的结果是（）A . x+2B . x﹣1C . ﹣xD . x6. （2分） (2019八上·确山期中) 如图，在中，分别是的中点，若，则（）A .B .C .D .7. （2分）一次智力测验,有20道选择题.评分标准是:对1题给5分,错1题扣2分,不答题不给分也不扣分.小明有两道题未答.至少答对几道题,总分才不会低于60分.则小明至少答对的题数是（）A . 11道B . 12题C . 13题D . 14题8. （2分）如图，在⊙O中，A，C，D，B是⊙O上四点，OC，OD交AB于点E，F，且AE＝FB，下列结论中不正确的是（）A . OE＝OFB . 弧AC=弧BDC . AC＝CD＝DBD . CD∥AB9. （2分） (2016八上·靖远期中) 下列各图中，每个小正方形网格的边长为1，其中阴影部分的面积是的是（）A .B .C .D .10. （2分） (2019九上·临城期中) 抛物线y＝ x2+bx+3的对称轴为直线x＝ 1．若关于x的一元二次方程 x2+bx+3﹣t＝0（t为实数）在﹣2＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A . 12＜t≤3B . 12＜t＜4C . 12＜t≤4D . 12＜t＜3二、填空题 (共6题；共6分)11. （1分）在一个不透明的袋子中有2个黑球、3个白球，它们除颜色外其他均相同.充分摇匀后,先摸出1个球不放回,再摸出1个球,那么两个球都是黑球的概率为 ________.12. （1分） (2017八下·君山期末) 直角三角形ABC中，AB=AC=3，那么BC=________．13. （1分） (2016九上·南充开学考) 某市2007年5月份某一周的日最高气温（单位：℃）分别为：25，28，30，29，31，32，28，这周的日最高气温的平均值是________．14. （1分） (2018九上·萧山开学考) 要使代数式有意义，x的取值范围是________．15. （1分） (2016九上·玉环期中) 在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点P在以C为圆心，5为半径的圆上，连结PA，PB．若PB=4，则PA的长为________．16. （1分） (2017七下·萧山期中) 对于有理数x，y定义新运算：x*y=ax+by﹣5，其中a，b为常数，已知1*2=﹣9，（﹣3）*3=﹣2，则2a﹣b=________．三、解答题 (共7题；共75分)17. （10分） (2016九上·长春期中) “今天你光盘了吗？”这是国家倡导“厉行节约，反对浪费”以来的时尚流行语．某校团委随机抽取了部分学生，对他们进行了关于“光盘行动”所持态度的调查，并根据调查收集的数据绘制了如下两幅不完整的统计图：根据上述信息，解答下列问题：（1）抽取的学生人数为________；（2）将两幅统计图补充完整；（3）请你估计该校1200名学生中对“光盘行动”持赞成态度的人数．18. （10分） (2020八上·淮安期末) 一次函数的图象经过点和点 .（1）求一次函数的表达式；（2）若此一次函数的图像与轴交于点，求的面积.19. （10分） (2019七下·海港期中) 阅读下列推理过程，将空白部分补充完整．（1）如图1，∠ABC=∠A1B1C1，BD，B1D1分别是∠ABC，∠A1B1C1的角平分线，对∠DBC=∠D1B1C1进行说理．理由：因为BD，B1D1分别是∠ABC，∠A1B1C1的角平分线所以∠DBC=________，∠D1B1C1=________（角平分线的定义）又因为∠ABC=∠A1B1C1所以∠ABC= ∠A1B1C1所以∠DBC=∠D1B1C1（________）（2）如图2，EF∥AD，∠1=∠2，∠B=40°，求∠CDG的度数．因为EF∥AD，所以∠2=________（________）又因为∠1=∠2 （已知）所以∠1=________（等量代换）所以AB∥GD（________）所以∠B=________（________）因为∠B=40°（已知）所以∠CDG=________（等量代换）（3）下面是“积的乘方的法则“的推导过程，在括号里写出每一步的依据．因为（ab）n= （________）= （________）=anbn（________）所以（ab）n=anbn．20. （10分）(2016·海曙模拟) 张师傅驾车从甲地去乙地，途中在加油站加了一次油，加油时，车载电脑显示还能行驶50千米．假设加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．（1）求张师傅加油前油箱剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系式；（2）求出a的值；（3）求张师傅途中加油多少升？21. （10分） (2019八下·宜兴期中) 在数学兴趣小组活动中,小明进行数学探究活动,将边长为2的正方形ABCD与边长为2 的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一直线上，AB与AG在同一直线上.连接DG,BE,易得DG=BE且DG⊥BE（不需要说明理由）（1）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，旋转角为（30︒﹤﹤180︒）①连接DG,BE,求证：DG=BE且DG⊥BE；②在旋转过程中，如图3，连接BG,GE,ED,DB,求出四边形BGED面积的最大值.（2）如图4，分别取BG,GE,ED,DB的中点M,N,P,Q,连接MN,NP,PQ,QM,则四边形MNPQ的形状为________，四边形MNPQ面积的最大值是________,22. （10分）(2019·黄埔模拟) 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于，点两点，与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式：（2）若点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，且点P的横坐标为t，连接PA、PC、AC．求的面积S关于t的函数关系式．求的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．23. （15分） (2019八上·海州期中) 如图(1), ,.点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动,同时,点Q在线段BD上由点B向点D运动.它们运动的时间为 .（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,当时, 与是否全等,请说明理由,并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系;（2）如图(2),将图(1)中的“ ,”为改“”，其他条件不变.设点Q的运动速度为 ,是否存在实数x，使得与全等？若存在,求出相应的x、t的值;若不存在,请说明理由.参考答案一、单选题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共6题；共6分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共75分)17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
2020年上海闵行初三数学一模试卷及答案
闵行区2019学年第一学期九年级质量监控考试数学试卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．如果把Rt△ABC的各边长都扩大到原来的n倍，那么锐角A的四个三角比值（A）都缩小到原来的n倍；（B）都扩大到原来的n倍；（C）都没有变化；（D）不同三角比的变化不一致．2．已知P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，那么下列比例式能成立的是（A）AB AP；（B）AB BP；（C）BP AB；（D）AB51．AP BP AP AB AP BP AP 2 3．k为任意实数，抛物线ya(x k)2k（a0）的顶点总在（A）直线yx上；（B）直线y x上；（C）x轴上；（D）y轴上．4．如图在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且AD1，AE=BE，那么有AC 3（A）△AED∽△BED；（B）△BAD∽△BCD；（C）△AED∽△ABD；（D）△AED∽△CBD．5．下列命题是真命题的是（A）经过平面内任意三点可作一个圆；（B）相等的圆心角所对的弧一定相等；（C）相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线；（D）内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和．ADEB C（第4题图）6．二次函数yax2bxc(a 0)的图像如图所示，现有以下结论：①a0；②abc 0；③ab c0；④b24ac0；y其中正确的结论有（A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个．-1O123x（第6题图）第1页共9页二、填空题：（本大题共 12题，每题4分，满分 48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段 a 和c 的比例中项 ▲厘米． 8．在Rt △ABC 中，∠C=90o ，AB=10，sinA 2，那么BC= ▲ ．59．抛物线y 2(x 1)23在对称轴右侧的部分是 ▲的．（填“上升”或“下降”）10．如果两个相似三角形的相似比为2︰3，两个三角形的周长的和是 100cm ，那么较小的三角形的周长为 ▲cm ．r r r r r11．e 为单位向量， a 与e 的方向相反，且长度为 6，那么a= ▲ e ．12．某人从地面沿坡度 i 1:3 的山坡走了100 米，这时他离地面的高度是 ▲米．13．已知正方形 ABCD 的边长为 2，如果将线段 BD 绕着点B 旋转后，点D 落在BC 的延长线上的点E 处，那么tanBAE=▲ ．14．已知在 Rt △ABC 中，∠C=90o ，AC=3，BC=4，⊙C 与斜边AB 相切，那么⊙C 的半径为 ▲ ．15．设抛物线 l ：y ax 2bx c(a 0)的顶点为 D ，与y 轴的交点是 C ，我们称以 C为顶点，且过点 D 的抛物线为抛物线 l 的“伴随抛物线” ，请写出抛物线y x 24x 1的伴随抛物线的解析式 ▲ ．16．半径分别为3cm 与17cm 的⊙O1与⊙O2相交于A 、B 两点，如果公共弦AB=4 2cm ，那么圆心距O 1O 2的长为▲ cm ． 17．正五边形的边长与边心距的比值为 ▲．（用含三角比的代数式表示）18．如图，在等腰△ABC 中，AB= AC=4，BC=6，A点 D 在底边BC 上，且∠DAC=∠ACD ，将△ACD沿着AD 所在直线翻折，使得点 C 落到点E 处， 联结BE ，那么BE 的长为▲ ．BD C 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）（第18题图）19．（本题满分10分）已知二次函数图像的最高点是 A （1，4），且经过点 B （0，3），与x 轴交于C 、D 两点（点 C 在点D 的左侧）．求△BCD 的面积．20．（本题共2小题，第（1）小题2分，第（2）小题8分，满分 10分）已知：在平行四边形ABCD 中，AB ︰BC=3︰2． D C （1）根据条件画图：作∠BCD 的平分线，交边 AB 于点E ， 取线段BE 的中点 F ，联结DF 交CE 于点G ．uuurr uuur r uuur （2）设AB=a ，AD= b ，那么向量CG= ▲；AB r r uuur（第20题图）（用向量a 、 b 表示），并在图中画出向量 DGuuur uuur在向量AB和AD方向上的分向量．第2页共9页21．（本题共 2小题，第（1）小题6分，第（2）小题4分，满分 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90o ，AD=2，BC=为直径作⊙O ，交边DC 于E 、F 两点． （ 1）求证：DE=CF ；（ 2）求：直径AB 的长． A10 分）4，tanB 3．以ABBODEFC（第21题图）22．（本题共 2小题，第（1）小题3分，第（2）小题7分，满分10分）2019年第18号台风“米娜”于 9月29日早晨5点整，由位于台湾省周边的 B 岛东 南方约980千米的西北太平洋洋面上（ A 点）生成，向西北方向移动．并于 9月30日20 时30分到达B 岛后风力增强且转向，一路向北于24小时后在浙江省舟山市登陆 ．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时20千米的速度向北偏东 30o 的方向移动，距台风中心170千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西7o 方向，且距舟山市250千米．（ 1）台风中心从生成点（A 点）到达B 岛的速度是每小时多少千米？（ 2）10月2日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin23o0.39，cos23o0.92，tan23o0.42 ；sin37o 0.60，cos37o0.80，tan37o0.75 ．） C ND上海 浙江SZ上海台 湾BZ 北舟山 东A（第22题图）第 3页共9页23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，点E在边AB上，联结CE交BD于点O，且ADOCABOD，AF是∠BAC的平分线，交BC于点F，交DE于点G．求证：（1）CE⊥AB； A（2）AFDEAGBC．DGEOB F C（第23题图）24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）已知：在平面直角坐标系 xOy中，对称轴为直线x=-2 与x轴交于A（-3，0）、B两点（点A在点B的左侧）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）联结BC，求∠BCO的余切值；（3）如果过点C的直线，交x轴于点E，交抛物线于点P，且∠CEO=∠BCO，求点P的坐标．的抛物线经过点 C（0，2），y54321–5–4–3–2–1O 1 2 3 4 5 x–1–2–3–4–5（第24题图）25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题4分，满分14分）已知：如图，在Rt△ABC和Rt△ACD中，AC=BC，∠ACB=90°，∠ADC=90°，CD=2，（点A、B分别在直线CD的左右两侧），射线CD交边AB于点E，点G是Rt△ABC的重心，射线CG交边AB于点F，AD=x，CE=y.（1）求证：∠DAB=∠DCF；（2）当点E在边CD上时，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；（3）如果△CDG是以CG为腰的等腰三角形，试求AD的长.A DE FG BC（第25题图）第4页共9页闵行区2019学年第一学期九年级质量监控试卷答案要点及评分标准一、选择题：1．C；2．A；3．B；4．D；5．C；6．B．二、填空题：7．6；8．4；9．下降；10．40；11．-6；12．50；13．2；14．12；o15．y x21；16．2或4；17．2tan36o（2sin36 ）．；5 cos36o18．1．三、解答题：19．解：设所求的二次函数解析式为y a(x 1)24(a 0)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）把B（0，3）代入得 3 a(0 1)2 4 解得：a 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 2 分）令y 0，那么(x 1)24=0，解得：x13,x21．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）∴CD=4．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在△BCD中，S BCD1·CD·OB=143=6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 22 2分）D C 20．解：（1）角平分线⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）整体画对；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）G（2）CG= 1r3r A E F Ba b．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）2 4画图及结论正确．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分）（第20题图）21．解：（1）过点O作OH⊥DC，垂足为H．∵A D∥BC，∠ADC=90o，OH⊥DC，∴∠BCN=∠OHC=∠ADC=90o．⋯⋯（1分）∴AD∥OH∥BC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）BOA G第5页共9页D E H F C N（第21题图）又∵OA=OB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∴DH=HC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∵OH⊥DC，OH过圆心，∴EH=HF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∴DH-EH=HC-HF．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）即：DE=CF．（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，∠AGB=90°，∵∠AGB=∠BCN=90°，∴AG∥DC．∵AD∥BC，∴AD=CG．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∵AD=2，BC=4，∴BG=BC-CG=2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）在Rt△AGB中，∵tanB3，∴AG BGtanB 2 3 6．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）在Rt△AGB中，AB2AG2BG2∴AB=210．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）22．解：（1）由题意得，AB=980千米，台风中心到达B岛的时间是39.5小时．⋯（1分）∴v980（千米）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12539.5分）分）分）分）答：台风中心从生成点（ A点）到达B岛的速度是每小时25千米．⋯（1（2）过点S作SH⊥ZD，垂足为点H，∴∠SHZ=90°，∵∠NZD=30°，∠CZN=7°，∴∠CZD=∠CZN+∠NZD=7°+30°=37°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1在Rt△SHZ中，sin∠CZD=SH．∵∠CZD=37°，SZ=250千米，SZ∴SH=SZ·sin∠CZD=250sin37o2500.60 150（千米）．⋯⋯⋯（2C ND ∵150千米<170千米，∴设台风中心移动到E处时上海开始遭受台风影响到F处影响结束．即SE=SF=170（千米）．∵在Rt△SEH中，∠SHE=90°，SE2SH2HE2，S F上海∴HE=SE2SH21702150280．（2分）HE第 6页共9页Z舟山（第22题图）∴E F=2EH≈160（千米）．⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∴上海遭受这次台风影响的时间为EF 16020 208（小时）．⋯⋯⋯⋯（1分）答：上海遭受这次台风影响的时间为8小时．23．证明：（1）∵ADOC ABOD，∴AD AB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1OD OC分）∵BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°，△ADB和△ODC是直角三角形．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∴Rt△ADB∽Rt△ODC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1 分）∴∠ABD=∠OCD．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）又∵∠EOB=∠DOC，∠DOC+∠OCD+∠ODC=180°，∠EOB+∠ABD+∠OEB=180°．∴∠OEB=90°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）∴CE⊥AB．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1 分）（2）在△ADB和△AEC中，∵∠BAD=∠CAE，∠ABD=∠OCD，∴△ADB∽△AEC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）∴AD AB，即AD AE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1AE AC AB AC分）在△DAE和△BAC中∵∠DAE=∠BAC，AD AE．AB AC∴△DAE∽△BAC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2 分）∵AF是∠BAC的平分线，∴AG DE，即AFDEAGBC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1AF BC分）第7页共9页24．解：（1）设抛物线的表达式为 y ax 2bxc(a0)． b22a1 由题意得：9a 3bc 0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（c 2 分）解得：a2，b8．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（23 3分）∴这条抛物线的表达式为y 2 x 28 x2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 13 3 分）注：用对称性求解析式酌情给分．（2）令y=0，那么2x 28 x 2 0， 3 3解得x 13 ，x 2 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （1分）∵点A 的坐标是（ 3，0）∴点B 的坐标是（1，0）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∵C （0，2）∴OB 1，OC 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1分）在 Rt △OBC 中，∠BOC=90o ，∴cot BCOOC2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （1 OB分）（3）设点E 的坐标是（x ，0），得OE=x ．∵CEOBCO ，∴cotCEO cot BCO ．在Rt △EOC 中，∴cotCEO OEx2．OC 2∴x=4，∴点E 坐标是（4，0）或（4，0）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∵点C 坐标是（0，2），∴l CE 1 1x 2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ （1 :y x2或y=2 2分）y 1 2 y 1 2x x ∴ 2 ，或 22x 2 8x22x 2 8x2y y3 3 3 3第8页共9页x 13x 0 x19x 04和 4和解得3 y （舍去），或 y （舍去）；y 2 y 35 28 8∴点P 坐标是（13，3）或（ 19 ，35）．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）4 84 825．（1）证明：∵点G 是Rt △ABC 的重心，∴CF 是Rt △ABC 的中线．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）又∵在Rt △ABC ，AC=BC ，∠ACB=90°，∴CF ⊥AB ，即∠AFC=90°．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分）∵∠DEF=∠ADE+∠DAE=∠EFC+∠ECF ，且∠ADE=∠EFC=90°，∴∠DAB=∠DCF ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）（2）解：如右图，过点 B 作BH ⊥CD 于点H ．A D可证△CAD ≌△BCH.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1分） EF B ∴BH=CD=2，CH=AD=x ，DH=2-x ．（1分）H G 可证AD ∥BH.∴ADDE．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（ 1分）BH EHCx DE ，x 2 DE EH DH ，EH 4 2x．⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 2 EH2 EH EH x 2y CE CH HE 4 2x x 242)．⋯⋯⋯⋯（1+1分） x 2 x (0＜xx 2（ 3）解：当GC=GD 时，如图1，取 AC 的中点M ，联结MD.那么MD=MC ，联结MG ，MG ⊥CD ，且直线MG 经过点B ．那么BH 与MG 共线．又CH=AD ，那么AD=CH=1CD1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）2当 CG=CD 时，如图2，即CG=2，点G 为△ABC 的重心， CF 3CG3，AB=2CF=6，AC 2AB32，2 2ADAC 2CD 218414．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）综上所述，AD=1或 14．第9页共9页。
2020-2021学年最新上海市中考数学一模试卷及答案
中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1.下列函数中，y关于x的二次函数是（） A．y=ax2+bx+c B．y=x（x﹣1）C．D．y=（x﹣1）2﹣x2【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．【解答】解：A、当 a=0 时，y=bx+c 不是二次函数；B、y=x（x﹣1）=x2﹣x 是二次函数；C、y=不是二次函数；D、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1 为一次函数．故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，下列结论中，正确的是（）A．AB=2sinA B．AB=2cosA C．BC=2tanA D．BC=2cotA【分析】直接利用锐角三角函数关系分别计算得出答案．【解答】解：∵∠C=90°，AC=2，∴cosA==，故AB=，故选项 A，B 错误；tanA= = ，则 BC=2tanA，故选项 C 正确；则选项 D 错误．故选：C．【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确将记忆锐角三角函数关系是解题关键．3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，下面比例式中，不能判断ED∥BC的是（）B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理，对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A．当时，能判断ED∥BC；B.当时，能判断ED∥BC；C.当时，不能判断ED∥BC；D.当时，能判断ED∥BC；故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．4.已知，下列说法中，不正确的是（）A．B．与方向相同C．D．【分析】根据平行向量以及模的定义的知识求解即可求得答案，注意掌握排除法在选择题中的应用．【解答】解：A、错误．应该是﹣5=；B、正确．因为，所以与的方向相同；C、正确．因为，所以∥；D、正确．因为，所以||=5||；故选：A．【点评】本题考查了平面向量，注意，平面向量既有大小，又由方向，平行向量，也叫共线向量，是指方向相同或相反的非零向量．零向量和任何向量平行．5.如图，在平行四边形ABCD中，F是边AD上的一点，射线CF和BA的延长线交于点E，如果，那么的值是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的性质进行解答即可．【解答】解：∵在平行四边形 ABCD 中，∴AE∥CD，∴△EAF∽△CDF，∵，∴，∴，∵AF∥BC，∴△EAF∽△EBC，∴=，故选：D．【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，综合运用了平行四边形的性质和相似三角形的性质是解题关键．6.如图，已知AB和CD是⊙O的两条等弦．OM ⊥AB，ON⊥CD，垂足分别为点M、N，BA、DC的延长线交于点P，联结OP．下列四个说法中：①；②OM=ON；③PA=PC；④∠BPO=∠DPO，正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】如图连接 OB、OD，只要证明 Rt△OMB≌Rt△OND，Rt△OPM≌Rt△OPN 即可解决问题．【解答】解：如图连接 OB、OD；∵AB=CD，∴=，故①正确∵OM⊥AB，ON⊥CD，∴AM=MB，CN=ND，∴BM=DN，∵OB=OD，∴Rt△OMB≌Rt△OND，∴OM=ON，故②正确，∵OP=OP，∴Rt△OPM≌Rt△OPN，∴PM=PN，∠OPB=∠OPD，故④正确，∵AM=CN，∴PA=PC，故③正确，故选：D．【点评】本题考查垂径定理、圆心角、弧、弦的关系、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．如果 =，那么= ．【分析】利用比例的性质由=得到=，则可设a=2t，b=3t，然后把a=2t，b=3t代入中进行分式的运算即可．【解答】解：∵=，∴=，设 a=2t，b=3t，∴==．故答案为．【点评】本题考查了比例的性质：常用的性质有：内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．8．已知线段a=4厘米，b=9厘米，线段c是线段a和线段b的比例中项，线段c的长度等于6厘米．【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可得出中项，注意线段不能为负．【解答】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积．所以c2=4×9，解得c=±6（线段是正数，负值舍去），∴c=6cm，故答案为：6．【点评】本题考查比例线段、比例中项等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．9．化简：=﹣4+7 ．【分析】根据屏幕绚丽的加法法则计算即可【解答】解：：=﹣4+6=﹣4+7，故答案为；【点评】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．10.在直角坐标系平面内，抛物线y=3x2+2x在对称轴的左侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向，再结合二次函数的增减性则可求得答案．【解答】解：∵在 y=3x2+2x 中，a=3＞0，∴抛物线开口向上，∴在对称轴左侧部分 y 随 x 的增大而减小，即图象是下降的，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的性质，利用二次函数的解析式求得抛物线的开口方向是解题的关键．11.二次函数y=（x﹣1）2﹣3的图象与y轴的交点坐标是（0，﹣2）．【分析】求自变量为0时的函数值即可得到二次函数的图象与y轴的交点坐标．【解答】解：把x=0代入y=（x﹣1）2﹣3得y=1﹣3=﹣2，所以该二次函数的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣2），故答案为（0，﹣2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，在y轴上的点的横坐标为0．12.将抛物线y=2x2平移，使顶点移动到点P（﹣3，1）的位置，那么平移后所得新抛物线的表达式是y=2（x+3）2+1 ．【分析】由于抛物线平移前后二次项系数不变，然后根据顶点式写出新抛物线解析式．【解答】解：抛物线 y=2x2 平移，使顶点移到点 P（﹣3，1）的位置，所得新抛物线的表达式为 y=2（x+3）2+1．故答案为：y=2（x+3）2+1．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.在直角坐标平面内有一点A（3，4），点A与原点O的连线与x轴的正半轴夹角为α，那么角α的余弦值是．【分析】利用锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解．【解答】解：∵在直角坐标平面内有一点A（3，4），∴OA==5，∴cosα= ．故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识，此题比较简单，易于掌握．14.如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边BC、AB上，且∠ADE=∠B，如果DE：AD=2：5，BD=3，那么AC= ，．【分析】根据∠ADE=∠B，∠EAD=∠DAB，得出△AED∽△ABD，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】解：∵∠ADE=∠B，∵∠EAD=∠DAB，∴△AED∽△ABD，∴，即，∴AB=，∵AB=AC，∴AC=，故答案为：，【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．15.如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD=6米，坝高是20 米，背水坡AB的坡角为30°，迎水坡CD的坡度为1：2，那么坝底BC 的长度等于（46+20）米（结果保留根号）【分析】过梯形上底的两个顶点向下底引垂线AE、DF，得到两个直角三角形和一个矩形，分别解 Rt△ABE、Rt△DCF求得线段BE、CF的长，然后与EF 相加即可求得 BC 的长．【解答】解：如图，作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，则四边形ADFE 是矩形．由题意得，EF=AD=6 米，AE=DF=20 米，∠B=30°，斜坡 CD 的坡度为 1： 2，在 Rt△ABE 中，∵∠B=30°，∴BE=AE=20米．在Rt△CFD中，∵=，∴CF=2DF=40 米，∴BC=BE+EF+FC=20+6+40=46+20（米）．所以坝底BC的长度等于（46+20）米．故答案为（46+20）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，难度适中，解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，注意理解坡度与坡角的定义．16.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=，CD⊥AB，垂足为点D，以点D为圆心作⊙D，使得点A在⊙D外，且点B在⊙D内．设⊙D的半径为r，那么r的取值范围是．【分析】先根据勾股定理求出AB的长，进而得出CD的长，由点与圆的位置关系即可得出结论．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90，AC=3，BC=，∴AB==4．∵CD⊥AB，∴CD=．∵AD•BD=CD2，设AD=x，BD=4﹣x．解得x=∴点 A 在圆外，点 B 在圆内，r的范围是，故答案为：．【点评】本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键．17.如图，点D在△ABC的边BC上，已知点E、点F分别为△ABD和△ADC 的重心，如果BC=12，那么两个三角形重心之间的距离EF的长等于4 ．【分析】连接AE并延长交BD于 G，连接AF并延长交CD于 H，根据三角形的重心的概念、相似三角形的性质解答．【解答】解：如图，连接 AE 并延长交 BD 于 G，连接 AF 并延长交 CD 于 H，∵点 E、F 分别是△ABD 和△ACD 的重心，∴DG=BD，DH=CD，AE=2GE，AF=2HF，∵BC=12，∴GH=DG+DH= （BD+CD）= BC= ×12=6，∵AE=2GE，AF=2HF，∠EAF=∠GAH，∴△EAF∽△GAH，∴==，∴EF=4，故答案为：4．【点评】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．18.如图，△ABC中，AB=5，AC=6，将△ABC翻折，使得点A落到边BC 上的点A′处，折痕分别交边AB、AC于点E，点F，如果A′F∥AB，那么BE= ．【分析】设BE=x，则AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，依据△A'CF∽△BCA，可得=，即=，进而得到BE=．【解答】解：如图，由折叠可得，∠AFE=∠A'FE，∵A'F∥AB，∴∠AEF=∠A'FE，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，由折叠可得，AF=A'F，设 BE=x，则 AE=5﹣x=AF=A'F，CF=6﹣（5﹣x）=1+x，∵A'F∥AB，∴△A'CF∽△BCA，∴=，即=，解得x=，∴BE=，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题以及相似三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等．三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分）19．（10分）计算：45°．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入化简得出答案．【解答】解：原式=﹣×= ﹣= ．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）已知一个二次函数的图象经过A（0，﹣3），B（1，0），C（m，2m+3），D（﹣1，﹣2）四点，求这个函数解析式以及点C的坐标．【分析】设一般式y=ax2+bx+c，把A、B、D点的坐标代入得，然后解法组即可得到抛物线的解析式，再把 C（m，2m+3）代入解析式得到关于 m 的方程，解关于 m 的方程可确定 C 点坐标．【解答】解：设抛物线的解析式为 y=ax2+bx+c，把A（0，﹣3），B（1，0），D（﹣1，﹣2）代入得，解得，∴抛物线的解析式为 y=2x2+x﹣3，把C（m，2m+3）代入得2m2+m﹣3=2m+3，解得m1=﹣，m2=2，∴C点坐标为（﹣，0）或（2，7）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．21．（10分）如图，已知⊙O经过△ABC的顶点A、B，交边BC于点D，点A恰为的中点，且BD=8，AC=9，sinC=，求⊙O的半径．【分析】如图，连接OA．交BC于H．首先证明OA⊥BC，在Rt△ACH中，求出AH，设⊙O的半径为r，在Rt△BOH中，根据BH2+OH2=OB2，构建方程即可解决问题；【解答】解：如图，连接 OA．交 BC 于 H．∵点A为的中点，∴OA⊥BD，BH=DH=4，∴∠AHC=∠BHO=90°，∵sinC==，AC=9，∴AH=3，设⊙O 的半径为 r，在 Rt△BOH 中，∵BH2+OH2=OB2，∴42+（r﹣3）2=r2，∴r=，∴⊙O的半径为．【点评】本题考查圆心角、弧、弦的关系、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．22．（10分）下面是一位同学的一道作图题：已知线段a、b、c（如图），求作线段x，使a：b=c：x他的作法如下：（1）、以点O为端点画射线OM，ON．（2）、在OM上依次截取OA=a，AB=b．（3）、在ON上截取OC=c．（4）、联结AC，过点B作BD∥AC，交ON于点D．所以：线段CD就是所求的线段x．①试将结论补完整②这位同学作图的依据是平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例③如果OA=4，AB=5，，试用向量表示向量．【分析】①根据作图依据平行线分线段成比例定理求解可得；②根据“平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例”可得；③先证△OAC∽△OBD得= ，即BD= AC，从而知= =﹣=﹣．【解答】解：①根据作图知，线段 CD 就是所求的线段 x，故答案为：CD；②这位同学作图的依据是：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；故答案为：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得对应线段成比例；③∵OA=4、AB=5，且 BD∥AC，∴△OAC∽△OBD，∴=，即=，∴BD=AC，∴= =﹣=﹣．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及向量的计算．23．（12分）已知：如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE•DB，求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB•BC=BD•BE．【分析】（1）由∠DAC=∠DCA，对顶角∠AED=∠BEC，可证△BCE∽△ADE．（2）根据相似三角形判定得出△ADE∽△BDA，进而得出△BCE∽△BDA，利用相似三角形的性质解答即可．【解答】证明：（1）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA，∵DC2=DE•DB，∴=，∵∠CDE=∠BDC，∴△CDE∽△BDC，∴∠DCE=∠DBC，∴∠DAE=∠EBC，∵∠AED=∠BEC，∴△BCE∽△ADE，（2）∵DC2=DE•DB，AD=DC∴AD2=DE•DB，同法可得△ADE∽△BDA，∴∠DAE=∠ABD=∠EBC，∵△BCE∽△ADE，∴∠ADE=∠BCE，∴△BCE∽△BDA，∴= ，∴AB•BC=BD•BE．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解．24．（12分）如图，已知在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+2ax+c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是（﹣3，0），与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4（1）求抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP=∠CAO，试直接写出点P的坐标．【分析】（1）先求得抛物线的对称轴方程，然后再求得点 C 的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入求得a的值即可；（2）先求得A、B、C的坐标，然后依据两点间的距离公式可得到BC、AB、AC的长，然后依据勾股定理的逆定理可证明∠ABC=90°，最后，依据锐角三角函数的定义求解即可；（3）记抛物线与x轴的另一个交点为D．先求得D（1，0），然后再证明∠DBO= ∠CAB，从而可证明∠CAO=ABD，故此当点P与点D重合时，∠ABP=∠CAO；当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．先证明∠EPB=∠CAB，则tan∠EPB=，设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t），将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式可求得t的值，从而可得到点P的坐标．【解答】解：（1）抛物线的对称轴为x=﹣=﹣1．∵a＜0，∴抛物线开口向下．又∵抛物线与 x 轴有交点，∴C 在 x 轴的上方，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）．设抛物线的解析式为 y=a（x+1）2+4，将点（﹣3，0）代入得：4a+4=0，解得：a=﹣1，∴抛物线的解析式为 y=﹣x2﹣2x+3．（2）将x=0代入抛物线的解析式得：y=3，∴B（0，3）．∵C（﹣1，4）、B（0，3）、A（﹣3，0），∴BC=，AB=3，AC=2，∴BC2+AB2=AC2，∴∠ABC=90°．∴tan∠CAB= =．（3）如图1所示：记抛物线与x轴的另一个交点为D．∵点 D 与点 A 关于 x=﹣1 对称，∴D（1，0）．∴tan∠DBO=．又∵由（2）可知：tan∠CAB=．∴∠DBO=∠CAB．又∵OB=OA=3，∴∠BAO=∠ABO．∴∠CAO=∠ABD．∴当点 P 与点 D 重合时，∠ABP=∠CAO，∴P（1，0）．如图2所示：当点P在AB的上时．过点P作PE∥AO，过点B作BF∥AO，则PE∥BF．∵BF∥AO，∴∠BAO=∠FBA．又∵∠CAO=∠ABP，∴∠PBF=∠CAB．又∵PE∥BF，∴∠EPB=∠PBF，∴∠EPB=∠CAB．∴tan∠EPB=．设BE=t，则PE=3t，P（﹣3t，3+t）．将P（﹣3t，3+t）代入抛物线的解析式得：y=﹣x2﹣2x+3得：﹣9t2+6t+3=3+t，解得t=0（舍去）或t=．∴P（﹣，）．综上所述，点P的坐标为P（1，0）或P（﹣，）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、锐角三角函数的定义，用含 t 的式子表示点 P 的坐标是解题的关键．25．（14分）如图1，∠BAC的余切值为2，AB=2，点D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F在点E的右侧，联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，④⑤是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．【分析】（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，利用三角函数的定义得到=2，设BM=t，则AM=2t，利用勾股定理得（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，即BM=2，AM=4，设正方形的边长为x，则AE=2x，AF=3x，由于tan∠GAF==，则可判断∠GAF为定值；再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC，则可判断∠BDG为定值；在Rt△BMP中，利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化，∠BPM在变化，PF在变化；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，证明△BDG∽△BAP，利用相似比可得到y与x的关系式；（3）由于∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，利用相似比得到PF=x，讨论：当点P在点F点右侧时，则AP=x，所以=x，当点P在点F点左侧时，则AP= x，所以=x，然后分别解方程即可得到正方形的边长．【解答】解：（1）作BM⊥AC于M，交DG于N，如图，在Rt△ABM中，∵cot∠BAC==2，设 BM=t，则 AM=2t，∵AM2+BM2=AB2，∴（2t）2+t2=（2）2，解得t=2，∴BM=2，AM=4，设正方形的边长为 x，在Rt△ADE中，∵cot∠DAE==2，∴AE=2x，∴AF=3x，在Rt△GAF中，tan∠GAF===，∴∠GAF 为定值；∵DG∥AP，∴∠BDG=∠BAC，∴∠BDG 为定值；在Rt△BMP中，PB=，而PM在变化，∴PB 在变化，∠BPM 在变化，∴PF 在变化，所以∠BDG 和∠GAC 是始终保持不变的量；故答案为④⑤；（2）易得四边形DEMN为矩形，则NM=DE=x，∵DG∥AP，∴△BDG∽△BAP，∴=，即=，∴y= （1≤x＜2）（3）∵∠AFG=∠PFG=90°，△PFG与△AFG相似，且面积不相等，∴=，即=，∴PF=x，当点P在点F点右侧时，AP=x，∴=x，解得x=，当点P在点F点左侧时，AP=AF﹣PF=3x﹣x=x，∴=x，解得x=，综上所述，正方形的边长为或．【点评】本题考查了相似形综合题：熟练掌握锐角三角函数的定义、正方形的性质和相似三角形的判定与性质．。
上海市闵行区2020届高三一模数学试卷及详细解析(Word版)
上海市闵行区2020届高三一模数学试卷及详解2019.12一. 填空题(本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分) 1. 已知集合A ={-3,-1,0,1,2}，B ={x ||x |>1},则A ∩B =______ 2. 复数52i -的共轭复数是______ 3. 计算23lim 13(21)x n n →∞+++-L =______4. 已知0<x <1,使得()1x x -取到最大值时，x =______5. 在△ABC 中，已知AB a =u u u r r ，BC b =u u u r r ，G 为△ABC 的重心，用向量a r 、b r表示向量AG u u u r=______6. 设函数()f x =22log (1)1log 1x x --，则方程()f x =1的解为______7. 已知()22416012881x a a x a x a x -=+++⋯+则3a =______ (结果用数字表示)8. 若首项为正数的等比数列{n a }，公比q =lg x ,且100a <99a <101a ，则实数x 的取值范围是______9. 如图，在三棱锥D -AEF 中，A 1、B 1、C 1 分别是DA 、DE 、DF 的中点，B 、C 分别是 AE 、AF 的中点，设三棱柱ABC - A 1B 1C 1的 体积为V 1,三棱锥D -AEF 的体积为V 2, 则V 1:V 2=______10. 若O 是正六边形123456A A A A A A 的中心，Q ={i OA u u u r|i =1,2,3,4,5,6}，,,a b c r r r ∈Q,且a r 、b r 、c r 互不相同，要使得()·0b c a +=r r r ，则有序向量组),(,a c b r r r的个数为______11. 若()f x =3x a x a -⋅-，且x ∈(0,1)上的值域为[0,f (1)]，则实数a 的取值范围是______12. 设函数()f x =sin(x )6A πω-(ω>0，A >0)，x ∈[0,2π]，若()f x 恰有4个零点，则下述结论中：①若0()()f x f x ≥恒成立，则x 的值有且仅有2个；②()f x 在[0,819π]上单调递增；③存在ω和1x ，使得11()()()2f x f x f x π≤≤+对任意x ∈[0,2π]恒成立；④“A ≥1”是“方程()f x =12-在[0,2π]内恰有五个解”的必要条件；所有正确结论的编号是______二. 选择题(本大题共4题，每题5分，共20分)13. 已知直线l 的斜率为2，则直线l 的法向量为（ ）A. (1,2)B. (2,1)C. (1,-2)D. (2,-1) 14. 命题“若x a >，则10x x->”是真命题，实数a 的取值范围是（ ） A. (0,+∞) B. (-∞,1] C. [1,+∞) D. (-∞,0] 15. 在正四面体A -BCD 中，点P 为△BCD 所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值θ，θ∈(0,2π)，则动点P 的轨迹是（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 16. 已知各项为正数的非常数数列{a n }满足11n a n a a +=，有以下两个结论:①若32a a >，则数列{a n }是递增数列；②数列{a n }奇数项是递增数列；则（ ）A. ①对②错B. ①错②对C. ①②均错误D. ①②均正确三. 解答题(本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分)17. 如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱(圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上)，圆锥的母线长为4，AB 、CD 是底面的两条直径，且AB =4，AB ⊥CD ，圆柱与圆锥的公共点F 恰好为其所在母线P A 的中点，点O 是底面的圆心.(1) 求圆柱的侧面积；(2) 求异面直线OF 和PC 所成的角的大小.18. 已知函数()f x =22x xa +. (1) 若()f x 为奇函数，求a 的值；(2) 若()f x <3在x ∈[1,3]上恒成立，求实数a 的取值范围.19. 某地实行垃圾分类后，政府决定为A 、B 、C 三个校区建造一座垃圾处理站M ，集中处理三个小区的湿垃圾，已知A 在B 的正西方向，C 在B 的北偏东30°方向，M 在B 的北偏西20°方向，且在C 的北偏西45°方向，小区A 与B 相距2 km ，B 与C 相距3 km .(1) 求垃圾处理站M 与小区C 之间的距离；(2) 假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a 元，一辆小车的行车费用为每公里λa 元(其中λ为满足100λ是1-99内的正整数)，现有两种运输湿垃圾的方案:方案1：只用一辆大车运输，从M 出发，依次经A 、B 、C 再由C 返回到M ； 方案2：先用两辆小车分别从A 、C 运送到B ，然后并各自返回到A 、C ，一辆大车从M 直接到B 再返回到M ；试比较哪种方案更合算？请说明理由. (结果精确到小数点后两位)20. 已知抛物线Γ：2y =8x 和圆Ω:2240x y x +-=，抛物线Γ的焦点为F . (1) 求Ω的圆心到Γ的准线的距离；(2) 若点T (x,y )在抛物线Γ上，且满足x ∈[1,4],过点T 作圆Ω的两条切线,记切线为A 、B ，求四边形TAFB 的面积的取值范围；(3) 如图，若直线l 与抛物线Γ和圆Ω依次交于M 、P 、Q 、N 四点，证明：“|MP |=|QN |=12|PQ |”的充要条件是“直线l 的方程为2x =”.21. 已知数列{a n }满足1a =1，2a =a (a >1)，211n n n n a a a a d +++-=-+（d >0）， n ∈N *.(1) 当d =a =2时，写出4a 所有可能的值；(2) 当d =1时，若221n n a a ->且221n n a a +> 对任意n ∈N *恒成立，求数列{n a }的通项公式；(3) 记数列{n a }的前n 项和为n S ，若{2n a }、{21n a }分别构成等差数列，求2n S .上海市闵行区2020届高三一模数学答案详解一．填空题1. {-3,2}，将A 中元素逐个代入|x |>1，符合条件的有-3、2，即A ∩B ={-3,2}；2. -2+i ，522z i i ==---，2z i ∴=-+；3. 3，1+3+...+(2n -1)2(121)2n n n +-=，22233limlim 313(21)x x n n n n →∞→∞==++-L ；4.12，(1)x x +-≥12≤，当且仅当1x x =-时等号成立，12x =.或设2(1)t x x x x =-=-+，01x <<，转化为二次函数最值问题；5. 211111121,(),333333333a b BG BA BC b a AG AB BG a b a a b+=+=-=+=+-=+u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r r r r r r r r r ；6. ()()()222222log 1log log 1,2(2)1x f x x x x x x x x x ==-+=-=-===-，，或舍；7. ()()5652638335615656a x C x x a -=-=-=-，，；8. 221999999991(0,),0,0,11,1,,10a q a a a a q q q q <>∴><∴<>∴<-Q 由且1lg 1,010x x <-∴<<即；9．3:8，1,ABC S S A ABC h =令，点到平面的距离为121218,4S 2,:3:833V Sh V h Sh V V ∴==⋅⋅==；10. 48，①如左图，这样的a r 、b r 有6对，且a r 、b r 可交换，此时c r有2种情况，∴个数为62224⨯⨯=个；②如右图，这样的a r 、b r 有3对，且a r 、b r可交换，此时c r有4种情况，∴个数为32424⨯⨯=3x 2x 4=24个.综上所述，总数为24+24=48个；11. [0，14]，()()()()()230030min f x x a x a a f x f a =--<==>，当，，不符题意；()()[]()()()2200320,101max a f a f a a x f x f f ≥=≥=∈=Q 当，，结合图像，当，或，()()()21101313[0,4)]4(1f f f a a a a a ∴--≥≥∴≤∈Q 值域为[0,(1)]，，即，,综上，；12. ①③④，()()254324.61219[)12f x f x A πππωπω∴≤-<∈=Q 恰有个零点，，，①即有两个交点，正确；②结合右图，当2512ω=时，f (x )在[0,825π]递增，∴②错误;③192512121212]]12122192521925T ππωππππω∈∴∈∈∴Q Q [,]，=(,，(,，存在1()f x 为最小值，1(x )2f π+为最大值，正确;④结合右图，若方程(x)f =12-在[0，2π]内恰有五个解，需满足1(0)2f ≤-，即A ≥1，同时结合左图，当A ≥1，不一定有五个解，正确.二.选择题13.选D ，斜率为2，方向向量可以为(1,2)，∴法向量可以是(2,-1)； 14.选C ，“x >a ”⇒“x >1或x <0”，Q 范围小的推出范围大的，∴a ≥1；15.选B ，以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.当截面与圆锥母线垂直时，轨迹为抛物线，当截面与轴线垂直时，轨迹为圆，由题意可知，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹不可能为圆，可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为，即θ=arctan 时，轨迹为抛物线，0<θ<arctan 时，轨迹为椭圆，<θ<2π时，轨迹为双曲线一支，Q θ∈(0,4π)，故选B ； 16.选D ，Q {n a }为各项为正数的非常数数列，10a ∴>且10a ≠；(1)当11a >时，显然{n a }为递增数列，①②均正确；(2)当0<1a <1时，3212113111(,1),(,)a a a a a a a a a a =∈=∈，不满足①的前提32a a >，又由，332142411132511134(,)(,),(,)(,)a a a a a a a a a a a a a a a a a a =∈==∈=，依此可得，2212221212(,),(,)k k k k k k a a a a a a --+-∈∈，即偶数项递减，奇数项递增；综上，选D.三.解答题17. (1)设圆柱上底面的圆心为O '，在△P AO 中，F 是P A 的中点，FO '//AO ，OA =2，∴FO '=1，OO '=2S rh π==圆柱侧.(2)F 、O 分别是P A 、AB 的中点，∴FO //PB ，∴异面直线OF 和PC 所成的角等于PB 和PC 的夹角∠BPC ，PB =PC =4，BC =，161683cos BPC 2444+-∠==⨯⨯，∴异面直线OF 和PC 所成的角为3arccos418. (1)解法1：Q x ∈R ，(x)f 为奇函数，∴(0)0f =，即1+a =0，∴a =-1， 当a =-1，1()22x x f x =-，11()22()22x xx x f x f x ---=-=-=-，满足奇函数的条件，∴a =-1. 解法2：()22x x af x =+，x ∈R ，Q ()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=- 1()2222x x x x a f x a ---=+=+⋅，()22x x af x -=--，∴2(a 1)(21)0x ++=恒成立，∴a =-1.(2)Q x ∈[1,3]，()f x <3恒成立，∴由232x x a+<得2322x x a <⋅-恒成立，而2239322(2)24x x x y =⋅-=--+，又2x ∈[2,8]，min 40y ∴=-，40a ∴<-19. (1)在△MBC 中，∠MBC =50°，∠MCB =105°，BC =3，∠BMC =25°，由正弦定理得：3sin 50sin 25MC =o o，3sin 50 5.44sin 25MC ∴=≈oo 答:垃圾处理站M 与小区C 间的距离为5.44公里.(2)在△MBC 中，由3sin105sin 25MB =o o得：3sin105 6.857sin 25MB =≈oo ，在△MAB 中，∠MBA =70°，AB =2，222270MA AB MB AB MB cos =⋅∴+-⋅o ， 6.452MA ∴≈，方案一费用：()()1 6.45223 5.43816.890y a MA AB BC CM a a =+++=+++=； 方案二费用：()()22213.71310|y a MB a AB BC a λλ=++=+， 当12y y >时，方案二合算，此时00.32λ<<； 当12y y <时，方案一合算，此时0.320λ<<;∴当00.32λ<<时，方案二合算；当0.320λ<<时，方案一合算.20. (1)由2240x y x +-=可得：()2224x y -+=，∴Ω的圆心与Γ的焦点F 重合，∴Ω的圆心到Γ的准线的距离为4.(2)四边形TAFB 的面积为：222S =⋅⋅===，∴当x ∈[1,4]时，四边形TAFB 的面积的取值范围为[(2)证明(充分性)：若直线l 的方程为x =2，将x =2分别代入28y x =，2240x y x +-=得：M (2,4)、P (2,2)、Q (2,-2)、N (2,-4)，2N MP Q ∴==，122PQ ⋅=，12MP QN PQ ∴==⋅；(必要性)：若12MP QN PQ ==，则线段MN 与线段PQ 的中点重合， 设l 的方程为x =ty +m ，M (11,x y )、N (22,x y )、P (33,x y )、Q (44,x y )， 则12y y +=34y y +，将x =ty +m 代入28y x =得：2880y ty m --=，12y y +=8t ，△=26432t m +>0，220t m +>，同理可得：()342221m y y t -+=+，()22281m t t -=+即t =0或()22281m t -=+， 即t =0或242m t =--而当242m t =--时，将其代入220t m +>得：2220t -->不可能成立；当t =0时，由280y m -=得：1y =，2y =-；将x =m 代入2240x y x +-=得：3y =4y =12MP PQ =Q ，12=⋅即= 220m m ∴-=，m =2或m =0(舍)，∴直线l 的方程为x =2，∴“12MP QN PQ ==”的充要条件是“直线l 的方程为x =2”.21.(1)当d =a =2时，2112n n n n a a a a +++-=-+，即{1n n a a +-}是以1为首项、2为公差的等差数列，121n n a a n +∴-=- 可得：323a a -=±，435a a -=±，35,1a ∴=，435a a =±410a =或40a =或44a =或46a =-.(2)当d =1时，2111n n n n a a a a +++-=-+，即{1n n a a +-}是首项为a -1、公差为1的等差数列，1112n n a a a n a n +-=-+-=-+21222n n a a a n +-=-+∴，22132n n a a a n --=-+221n n a a ->Q 且221n n a a +>，22122n n a a a n +∴-=-+，22132n n a a a n --=-+21211n n a a +-∴-=-，212n a n -∴=-，221321n n a a n a a n -∴=-++=-+3212n n n a n n a -⎧⎪⎪∴=⎨⎪+-⎪⎩为奇数为偶数(或21n k n a k k n k a -⎧=⎨+-⎩=2-1=2) (3)由己知得：11(1)n n a a a n d +-=-+-（*n N ∈） 若{2n a }、{21n a -}分别构成等差数列，则()221)2(122n n a a a n d n --=±-+⎤⎣⎦≥⎡-②()21212(1)1n n a a a n d n +-=±-+-⎤⎦≥⎡⎣，()2221()121n n a a a nd n ++-=±-+≥，由②+③得：()()2121122(12)12n n a a a n d a n d n +-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-=±-+-±-+-≥， Q {21n a -}是等差数列，2121n n a a +--必为定值，()()2121121122n n a a a n d a n d +-⎡⎤⎡⎤⎣∴-=-+---+-⎦⎣⎦， 或()()2121121122n n a a a n d a n d +--=--+-+-+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即2121n n a a d +--=(n 2)>或2121n n a a d +--=-(n 2)> 而由①知321a a a d -=-+，即32(1)a a a d -=±-+ ()3111a a a a d -=-±-+∴，即31a a d -=-或312(a 1)a a d -=-+(舍)， 2121n n a a d +-∴-=-(n ∈N *)，211(n 1)n a d -∴=--(n ∈N *) 同理，由③+④得：[]()22212121n n a a a nd a n d +-=±-++-+-⎡⎤⎣⎦(1)n ≥， 222n n a a d +-=∴或222n n a a d +-=-，由上面的分析可知：()32112a a a d a d -=-+-±-+∴， 而()4312a a a d -=±-+，()42112a a a d a d -=-+-±-+， 即42a d a -=或42222a a a d -=-+-(舍)，222n n a a d +-=∴， ()21n a a n d ∴=+-，从而21221221k k k k a a a a a -+++=+=+(k ∈N *)，()()()()21221...11...11n n n aS a a a a a a n a +∴=+++=++++++=+1444442444443个.。
〖汇总3套试卷〗上海市闵行区2020年全真中考数学试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．二次函数y=ax 2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=c x 在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：∵二次函数图象开口方向向下，∴a ＜0，∵对称轴为直线2b x a=-＞0，∴b ＞0，∵与y 轴的正半轴相交，∴c ＞0，∴y ax b =+的图象经过第一、二、四象限，反比例函数c y x=图象在第一三象限，只有C 选项图象符合．故选C ．考点：1．二次函数的图象；2．一次函数的图象；3．反比例函数的图象． 2．如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，﹣4），顶点C 在x 轴的正半轴上，函数y=k x（k ＜0）的图象经过点B ，则k 的值为（ ）A ．﹣12B ．﹣32C ．32D ．﹣36【答案】B【解析】解： ∵O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为（3，﹣4），顶点C 在x 轴的正半轴上，∴OA=5，AB ∥OC ，∴点B 的坐标为（8，﹣4），∵函数y=k x （k ＜0）的图象经过点B ， ∴﹣4=k 8，得k=﹣32. 故选B.【点睛】本题主要考查菱形的性质和用待定系数法求反函数的系数，解此题的关键在于根据A 点坐标求得OA 的长，再根据菱形的性质求得B 点坐标，然后用待定系数法求得反函数的系数即可.3．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33【答案】D 【解析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ，∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°，∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°，∴BD=2AD=6，∴CD=6，∴3，故选D ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的对称轴为直线x ＝1，与x 轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac ＜b 2；②方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1＝－1，x 2＝3；③3a ＋c ＞0；④当y ＞0时，x 的取值范围是－1≤x ＜3；⑤当x ＜0时，y 随x 增大而增大．其中结论正确的个数是( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B 【解析】解：∵抛物线与x 轴有2个交点，∴b 2﹣4ac ＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1=﹣1，x 2=3，所以②正确；∵x=﹣2b a=1，即b=﹣2a ，而x=﹣1时，y=0，即a ﹣b+c=0，∴a+2a+c=0，所以③错误； ∵抛物线与x 轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x ＜3时，y ＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当x ＜1时，y 随x 增大而增大，所以⑤正确．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2﹣4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．5．如图，AB 是⊙O 的直径，点E 为BC 的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）A ．1B ．32C 3D ．3【答案】C 【解析】连接AE ，OD ，OE ．∵AB 是直径， ∴∠AEB=90°．又∵∠BED=120°，∴∠AED=30°．∴∠AOD=2∠AED=60°．∵OA=OD ．∴△AOD 是等边三角形．∴∠A=60°．又∵点E 为BC 的中点，∠AED=90°，∴AB=AC ．∴△ABC 是等边三角形，∴△EDC 是等边三角形，且边长是△ABC 边长的一半2，高是3． ∴∠BOE=∠EOD=60°，∴BE 和弦BE 围成的部分的面积=DE 和弦DE 围成的部分的面积．∴阴影部分的面积=EDC 1S =23=32∆⋅⋅．故选C ． 6．一次函数y ax c =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】D【解析】本题可先由一次函数y=ax+c 图象得到字母系数的正负，再与二次函数y=ax 2+bx+c 的图象相比较看是否一致．【详解】A 、一次函数y=ax+c 与y 轴交点应为（0，c ），二次函数y=ax 2+bx+c 与y 轴交点也应为（0，c ），图象不符合，故本选项错误；B 、由抛物线可知，a ＞0，由直线可知，a ＜0，a 的取值矛盾，故本选项错误；C 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＞0，a 的取值矛盾，故本选项错误；D 、由抛物线可知，a ＜0，由直线可知，a ＜0，且抛物线与直线与y 轴的交点相同，故本选项正确． 故选D ．【点睛】本题考查抛物线和直线的性质，用假设法来搞定这种数形结合题是一种很好的方法．7．如图是二次函数2y ax bx c =++的图象，有下面四个结论：0abc >①；0a b c ②-+>； 230a b +>③；40c b ->④，其中正确的结论是( )A ．①②B ．①②③C ． ①③④D ． ①②④【答案】D 【解析】根据抛物线开口方向得到a 0>，根据对称轴02b x a=->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >；1x =-时，由图像可知此时0y >，所以0a b c -+>；由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=；当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将23a b =-代入可得40c b ->. 【详解】①根据抛物线开口方向得到0a >，根据对称轴02b x a =->得到b 0<，根据抛物线与y 轴的交点在x 轴下方得到c 0<，所以0abc >，故①正确.②1x =-时，由图像可知此时0y >，即0a b c -+>，故②正确.③由对称轴123b x a =-=，可得230a b +=，所以230a b +>错误，故③错误； ④当2x =时，由图像可知此时0y >，即420a bc ++>，将③中230a b +=变形为23a b =-，代入可得40c b ->，故④正确.故答案选D.【点睛】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，注意用数形结合的思想解决问题。
2020年上海闵行初三数学一模试卷及答案
闵行区2019学年第一学期九年级质量监控考试数 学 试 卷（考试时间100分钟，满分150分）考生注意：．本试卷含三个大题，共 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． ．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共 题，每题 分，满分 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】．如果把 △ 的各边长都扩大到原来的 倍，那么锐角 的四个三角比值 （ ）都缩小到原来的 倍； （ ）都扩大到原来的 倍； （ ）都没有变化； （ ）不同三角比的变化不一致． ．已知 是线段 的黄金分割点，且 ，那么下列比例式能成立的是 （ ）AB AP AP BP =； （ ）AB BP AP AB =； （ ）BP ABAP BP=； （）AB AP = ． 为任意实数，抛物线2()0y a x k k a =--≠（）的顶点总在（ ）直线y x =上； （ ）直线y x =-上； （ ） 轴上； （ ） 轴上． ．如图在正三角形 中，点 、 分别在 、 上，且13AD AC =， ，那么有（ ）△ ∽△ ； （ ）△ ∽△ ； （ ）△ ∽△ ； （ ）△ ∽△ ． ．下列命题是真命题的是（第 题（ ）经过平面内任意三点可作一个圆； （ ）相等的圆心角所对的弧一定相等；（ ）相交两圆的公共弦一定垂直于两圆的连心线； （ ）内切两圆的圆心距等于两圆的半径的和．．二次函数2(0)y a x bx c a =++≠的图像如图所示，现有以下结论： ①0a <；②0abc >；③0a b c -+<；④240b ac -<其中正确的结论有（ ） 个； （ ） 个； （ ） 个； （ ） 个．二、填空题：（本大题共 题，每题 分，满分 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】．已知线段 厘米， 厘米，那么线段 和 的比例中项 厘米． ．在 △ 中，∠ º， ，2sin 5A =，那么 ． ．抛物线22(1)3y x =--+在对称轴右侧的部分是 的．（填“上升”或“下降”） ．如果两个相似三角形的相似比为 ︰ ，两个三角形的周长的和是 ，那么较小的三角形的周长为 ．．e 为单位向量，a 与e 的方向相反，且长度为 ，那么a e ．．某人从地面沿坡度i =的山坡走了 米，这时他离地面的高度是 米．．已知正方形 的边长为 ，如果将线段 绕着点 旋转后，点 落在 的延长线上的点 处，那么tan BAE ∠ ．．已知在 △ 中，∠ º， ， ，⊙ 与斜边 相切，那么⊙ 的半径为 ．．设抛物线 ：2(0)y a x bx c a =++≠的顶点为 ，与 轴的交点是 ，我们称以 为顶点，且过点 的抛物线为抛物线 的“伴随抛物线”，请写出抛物线241y x x =-+的伴随抛物线的解析式 ．图）．半径分别为的⊙ 与⊙ 相交于 、 两点，如果公共弦，那么圆心距 的长为 ．．正五边形的边长与边心距的比值为 ．（用含三角比的代数式表示） ．如图，在等腰△ 中， ， ，点 在底边 上，且∠ ∠ ，将△ 沿着 所在直线翻折，使得点 落到点 处，联结 ，那么 的长为 ．三、解答题：（本大题共 题，满分 分） ．（本题满分 分）已知二次函数图像的最高点是 （ ， ），且经过点 （ ， ），与x 轴交于 、 两点（点 在点 的左侧）．求△ 的面积．．（本题共 小题，第（ ）小题 分，第（ ）小题 分，满分 分） 已知：在平行四边形 中， ︰ ︰ ．（ ）根据条件画图：作∠ 的平分线，交边 于点 ， 取线段 的中点 ，联结 交 于点 ．（ ）设AB a ，AD b ，那么向量CG ； （用向量a 、b 表示），并在图中画出向量DG 在向量AB 和AD 方向上的分向量．．（本题共 小题，第（ ）小题 分，第（ ）小题 分，满分 分）如图，梯形 中， ， º， ， ，tan 3B ．以 为直径作⊙ ，交边 于 、 两点． （ ）求证： ；（ ）求：直径 的长．（第 题．（本题共 小题，第（ ）小题 分，第（ ）小题 分，满分 分）年第 号台风“米娜”于 月 日早晨 点整，由位于台湾省周边的岛东南方约 千米的西北太平洋洋面上（ 点）生成，向西北方向移动．并于 月 日 时 分到达 岛后风力增强且转向，一路向北于 小时后在浙江省舟山市登陆．“米娜”在登录后风力减弱且再一次转向，以每小时 千米的速度向北偏东 º的方向移动，距台风中心 千米的范围内是受台风影响的区域．已知上海位于舟山市北偏西 º方向，且距舟山市 千米．（ ）台风中心从生成点（ 点）到达 岛的速度是每小时多少千米？（ ） 月 日上海受到“米娜”影响，那么上海遭受这次台风影响的时间有多长？（结果保留整数，参考数据：sin 230.39≈，cos230.92≈，tan 230.42≈；sin370.60≈，cos370.80≈，tan370.75≈．）上海浙江台湾北东（第 题图）上海舟山．（本题共 小题，每小题 分，满分 分）如图，在△ 中， 是 边上的高，点 在边 上，联结 交 于点 ，且AD OC AB OD⋅=⋅， 是∠ 的平分线，交 于点 ，交 于点 ．求证：（ ） ⊥ ；（ ）AF DE AG BC⋅=⋅．．（本题共 题，每小题 分，满分 分）已知：在平面直角坐标系 中，对称轴为直线 的抛物线经过点 （ ， ），与 轴交于 （ ， ）、 两点（点 在点（ ）求这条抛物线的表达式；（ ）联结 ，求∠ 的余切值；（ ）如果过点 的直线，交 轴于点点 ，且∠ ∠ ，求点 的坐标．（第．（本题共 小题，第（ ）小题 分，第（ ）小题 分，第（ ）小题 分，满分 分）已知：如图，在 和 中， ， ， ， ，（点 、 分别在直线 的左右两侧），射线 交边 于点 ，点 是 的重心，射线 交边 于点 ， ，（ ）求证： ；（ ）当点 在边 上时，求 关于 的函数关系式，并写出 的取值范围； （ ）如果 是以 为腰的等腰三角形，试求 的长闵行区 学年第一学期九年级质量监控试卷答案要点及评分标准一、选择题：（第 题． ； ． ； ． ； ． ； ． ； ． ．二、填空题： ． ； ． ；．下降； ． ；． ；． ；．125； ．21y x =-+； ． 或 ； ．2tan36（2sin36cos36）．； ． ．三、解答题：．解：设所求的二次函数解析式为2(1)4(0)y a x a =-+≠，………………………（ 分）把 （ ， ）代入得23(01)4a =-+解得：1a =-．…………………………（ 分）令0y =，那么2(1)4=0x --+，解得：123,1x x ==-．………………………（ 分）∴ ．…………………………………………………………………………（ 分）在△ 中，12BCD S ∆= 143=62⨯⨯．………………………………（ 分）．解：（ ）角平分线………………………………（ 分） 整体画对；……………………………（ 分） （ ）CG 12a -34b -．…………………（ 分）（第画图及结论正确．……………………（ 分）．解：（ ）过点 作 ⊥ ，垂足为 ． ∵ ∥ ， º， ⊥ ， ∴ º．……（ 分） ∴ ∥ ∥ ．……………………（ 分） 又∵ ．……………………………（ 分） ∴ ．……………………………（ 分） ∵ ⊥ ， 过圆心，∴ ．……………………………（ 分） ∴ ．………………（ 分） 即： ．（ ）过点 作 ⊥ ，垂足为点 ， ， ∵ ，∴ ∥ ．∵ ∥ ，∴ ．……………………………………………………（ 分） ∵ ， ，∴ ．………………………………（ 分） 在 中，∵tan 3B =，∴tan 236AG BG B =⋅=⨯=．…………… ……… ……… ……（ 分） 在 中，222AB AG BG =+∴……… ……… …… ……… ……（ 分）．解：（ ）由题意得， 千米，台风中心到达 岛的时间是 小时．…（ 分）∴9802539.5v =≈（千米）．…………………………………………………（ 分）（第答：台风中心从生成点（ 点）到达 岛的速度是每小时 千米．…（ 分） （ ）过点 作 ⊥ ，垂足为点 ，∴ ， ∵∠ ，∠ ，∴∠ ∠∠．………………………………（ 分）在 中， ∠SHSZ．∵∠ ， 千米， ∴ · ∠ 250sin372500.60150⨯≈⨯≈（千米）．………（ 分） ∵ 千米 千米，∴设台风中心移动到 处时上海开始遭受台风影响 到 处影响结束．即 （千米）． ∵在 中， ，222SE SH HE =+，∴80HE ≈．（ 分）∴ ≈ （千米）．……………（ 分）∴上海遭受这次台风影响的时间为16082020EF =≈（小时）．…………（ 分） 答：上海遭受这次台风影响的时间为 小时．．证明：（ ）∵AD OC AB OD ⋅=⋅，∴AD ABOD OC=．………………………………（ 分）∵ 是 边上的高，∴ ，△ 和△ 是直角三角形．…………………（ 分）（第∴ ∽ ．………………………………………………（ 分） ∴ ．……………………………………………………（ 分） 又∵ ， ， ．∴ ．…………………………………………………………（ 分） ∴ ⊥ ．………………………………………………………………（ 分） （ ）在△ 和△ 中， ∵ ， ，∴△ ∽△ ．………………………………………………………（ 分） ∴AD AB AE AC =， 即AD AEAB AC=．…………………………………………（ 分） 在△ 和△ 中 ∵ ，AD AEAB AC=． ∴△ ∽△ ．………………………………………………………（ 分） ∵ 是∠ 的平分线，∴AG DEAF BC=， 即AF DE AG BC ⋅=⋅．…………………………………（ 分）．解：（ ）设抛物线的表达式为2(0)y ax bx c a =++≠．由题意得：229302ba abc c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩………………………………………………（ 分）解得：23a =，83b =．……………………………………………………（ 分）∴这条抛物线的表达式为228233y x x =++．……………………………（ 分） 注：用对称性求解析式酌情给分．（ ）令 ，那么2282033x x ++=， 解得13x =-，21x =-．………………………………………………………（ 分）∵点 的坐标是（- ， ）∴点 的坐标是（- ， ）．…………………（ 分） ∵ （ ， ）∴1OB =，2OC =．…………………………………………（ 分） 在 中， ， ∴cot 2OC BCO OB ∠==．………………………………………………………（ 分）（ ）设点 的坐标是（ ， ），得 x ．∵CEO BCO ∠=∠， ∴cot cot CEO BCO ∠=∠．在 中，∴cot 22x OE CEO OC ∠===． ∴x ，∴点 坐标是（ ， ）或 （- ， ）．………………………（ 分） ∵点 坐标是（ ， ）， ∴11:2=222CE l y x y x =+-+或．……………………………………………（ 分） ∴212228233y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ，或212228233y x y x x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩解得13438x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去），或194358x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩和02x y =⎧⎨=⎩（舍去）； ∴点 坐标是（134-，38）或（194-，358）．………………………（ 分） ．（ ）证明：∵点 是 △ 的重心，∴ 是 的中线．…………………………………………（ 分）又∵在 ， ， ，∴ ⊥ ，即 ．…………………………………………（ 分） ∵∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ，且∠ ∠ ， ∴ ．…………………………………………………（ 分） （ ）解： 如右图，过点 作 ⊥ 于点 ． 可证△ ≌△ ………………………（ 分）， ， ．（ 分）可证 EH DE BH AD =．………………（ 分） EH DE x =2，EHDH EH EH DE x =+=+22，224+-=x x EH ．……………（ 分） )20(242242≤++=+-+=+==x x x x x x HE CH CE y ＜．…………（ 分） （ ）解： 当 时，如图 ，取 的中点 ，联结 那么 ，联结 ， ⊥ ，且直线 经过点 ．那么 与 共线．又 ，那么 112CD =．………………………………（ 分） 当 时，如图 ，即 ，点 为 的重心，332CF CG ==， ，2322AC AB ==， 2218414AD AC CD =-=-=．…………………………………（ 分） 综上所述， 或14．G E F H BD CA。
〖汇总3套试卷〗上海市闵行区2020年中考数学阶段模拟试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．已知函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，则关于x 的方程ax 2+bx+c ﹣4＝0的根的情况是A ．有两个相等的实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【答案】A 【解析】根据抛物线的顶点坐标的纵坐标为4，判断方程ax 2+bx+c ﹣4＝0的根的情况即是判断函数y ＝ax 2+bx+c 的图象与直线y ＝4交点的情况．【详解】∵函数的顶点的纵坐标为4，∴直线y ＝4与抛物线只有一个交点，∴方程ax 2+bx+c ﹣4＝0有两个相等的实数根，故选A ．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，熟练掌握一元二次方程与二次函数间的关系是解题的关键. 2．如图，在直角坐标系中，直线122y x =-与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2k y x=（0x >）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA=AD ，则以下结论：①ΔADB ΔADC S S =；②当0＜x ＜3时，12y y <；③如图，当x=3时，EF=83； ④当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】试题分析：对于直线122y x =-，令x=0，得到y=2；令y=0，得到x=1，∴A （1，0），B （0，﹣2），即OA=1，OB=2，在△OBA 和△CDA 中，∵∠AOB=∠ADC=90°，∠OAB=∠DAC ，OA=AD ，∴△OBA ≌△CDA （AAS ），∴CD=OB=2，OA=AD=1，∴ΔADB ΔADC S S =（同底等高三角形面积相等），选项①正确； ∴C （2，2），把C 坐标代入反比例解析式得：k=4，即24y x =，由函数图象得：当0＜x ＜2时，12y y <，选项②错误；当x=3时，14y =，243y =，即EF=443-=83，选项③正确； 当x ＞0时，1y 随x 的增大而增大，2y 随x 的增大而减小，选项④正确，故选C ．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．3．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=-B ．120100x x 10=+C ．120100x 10x =-D ．120100x 10x=+ 【答案】A【解析】分析：甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，120100x x 10=-。
2020上海市各区初三一模数学汇编—18题汇编(含答案)(精校版)
2020上海市各区初三一模汇编—18题汇编（含答案）（精校版）图形的移动（宝山区20年一模18题）如图，点A 在直线x y 43=上，如果把抛物线2x y =沿OA 方向平移5个单位，那么平移后的抛物线的表达式为 ▲ ．【答案】 2(4)3y x =-+图形的翻折（崇明区20年一模18题）如图，在Rt ABC △中，90C =︒∠，10AB =，8AC =，点D 是AC 的中点，点E 在边AB 上，将ADE △沿DE 翻折，使得点A 落在点A '处，当A E AB '⊥时，那么A A '的长为 ▲ ．【答案】（虹口区20年一模18题）如图7，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，4sin 5C =，9AB =，6AD =，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，联结EF ，将BEF ∆沿着EF 翻折，使BF 的对应线段B F '经过顶点A ，B F '交对角线BD 于点P ，当A B F B '⊥时，AP 的长为 ▲ ．【答案】（静安区20年一模18题）如图3，有一菱形纸片ABCD ，60A ︒∠=，将该菱形纸片折叠，使点A 恰好与CD 的中点E 重合，折痕为FG ，点F 、G 分别在边AB 、AD 上，联结EF ，那么cos EFB ∠的值为 ▲ ．【答案】71（闵行区20年一模18题）如图，在等腰ABC ∆中，4AB AC ==，6BC =，点D 在底边BC 上，且DAC ACD ∠=∠，将A C D ∆沿着AD 所在直线翻折，使得点C 落到点E 处，联结BE ，那么BE 的长为 ▲ ．【答案】1．（青浦区20年一模18题）已知，在矩形纸片ABCD 中，AB =5cm ，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，折叠矩形纸片ABCD ，折痕BM 交AD 边于点M ，在折叠的过程中，如果点A 恰好落在线段EF 上，那么边AD 的长至少是 ▲ cm ．【答案】2247图3ABCD（杨浦区20年一模18题）在Rt △ABC 中，∠A =90°，AC =4，AB =a ，将△ABC 沿着斜边BC 翻折，点A 落在点A 1处，点D 、E 分别为边AC 、BC 的中点，联结DE 并延长交A 1B 所在直线于点F ，联结A 1E ，如果△A 1EF 为直角三角形时，那么a = ▲ ．【答案】4图形的旋转（长宁、金山区20年一模18题）如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，2=AB ，4=BC ，点P 在边BC 上，联结AP ，将ABP ∆绕着点A 旋转，使得点P 与边AC 的中点M 重合， 点B 的对应点是点B '，则B B '的长等于 ▲ ．【答案】5102（徐汇区20年一模18题）如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形D C B A '''，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，D A ''与边BC 交于点E ，那么BE 的长是 ▲ ．【答案】825（松江区20年一模18题）如图，矩形ABCD 中，AD =1,AB =k .将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转90°得到矩形A ′BC ′D ′.联结A D ′,分别交边CD ,A ′B 于E 、F .如果,那么k = ▲ .'AE F =第18题图ABC（第18题图）ABC DF ED C BAC′ A′D′1（浦东新区20年一模18题）在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =2，BC =4，点D 、E 分别是边BC 、AB 的中点，将△BDE 绕着点B 旋转，点D 、E 旋转后的对应点分别为点D ’、E ’，当直线D ’E ’经过点A 时，线段CD ’的长为 ▲ ．【答案】（普陀区20年一模18题）如图8，在Rt △ABC 中，90C ∠=︒，5AC =，5sin 13B =，点P 为边BC 上一点，3PC =，将△ABC 绕点P 旋转得到△A B C '''（点A 、B 、C 分别与点A '、B '、C '对应），使B C ''//AB ，边A C ''与边AB 交于点G ，那么A G '的长等于 ▲ ． 【答案】2013．（奉贤区20年一模18题）如图4，已知矩形ABCD ()AB AD >，将矩形ABCD 绕点B 顺时针旋转90︒，点A 、D 分别落在点E 、F 处，联结DF ，如果点G 是DF 的中点， 那么BEG ∠的正切值是 ▲ ．【答案】 1图8ABC图4DCBA（嘉定区20年一模18题）在ABC ∆中， ︒=∠90ACB ，10=AB ，53cos =A （如图4），把ABC ∆绕着点C 按照顺时针的方向旋转，将A 、B 的对应点分别记为点A '、B '.如果A B ''恰好经过点A ，那么点A 与点A '的距离为 ▲ .【答案】536相似（黄浦区20年一模18题）如图8，在ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 在边BC 上，30DAE B ︒∠=∠=，且32AD AE=，那么DE BC的值是 ▲ ．【答案】118-图8。
上海市闵行区2020-2021学年九年级(上)期末数学试卷(一模) 解析版
2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝﹣﹣3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，那么AC的长为（）A．5cosβB．5sinβC．D．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点O（0，0），那么根据图象，下列判断正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．ab＞0D．c＝04．以下说法错误的是（）A．如果k＝，那么＝B．如果＝﹣2，那么||＝2||C．如果＝（为非零向量），那么∥D．如果是与非向量同方向的单位向量，那么＝||．5．已知⊙A与⊙B的半径分别是6和8，圆心距AB＝2，那么⊙A与⊙B的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果2a＝3b（b≠0），那么＝．8．化简：（﹣3+）+＝．9．抛物线y＝﹣x2﹣3x在对称轴的右侧部分是的（填“上升”或“下降”）．10．将抛物线y＝x2+2x向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为．11．已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为．12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，如果，那么＝．13．在直角坐标平面内有一点A（12，5），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ＝．14．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是．15．正六边形的边心距与半径的比值为．16．如图，在△ABC中，AB＝2AC，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，那么＝．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在边AC上，⊙P的半径为1．如果⊙P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2cos60°﹣cot30°+．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设＝，＝．（1）填空：向量＝；（2）填空：向量＝，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（10分）如图，⊙O是△BC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）⊙O的半径．22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．23．（12分）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B 不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y．（1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值；（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值．2020-2021学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题（本大共6题，每题4分，满分24分）1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝﹣﹣3x B．y＝﹣（x﹣1）2+x2C．y＝11x2+29x D．y＝ax2+bx+c【分析】利用二次函数定义进行分析即可．【解答】解：A、含有分式，不是二次函数，故此选项不合题意；B、y＝﹣（x﹣1）2+x2＝2x﹣1，不是二次函数，故此选项不合题意；C、是二次函数，故此选项符合题意；D、当a＝0时，不是二次函数，故此选项不合题意；故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数，关键是掌握判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，那么AC的长为（）A．5cosβB．5sinβC．D．【分析】根据锐角三角函数的定义即可得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝β，AB＝5，∴sin B＝sinβ＝，∴AC＝AB•sinβ＝5sinβ，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键．3．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c图象经过点O（0，0），那么根据图象，下列判断正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．ab＞0D．c＝0【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点进行判断即可．【解答】解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，故A错误；∵﹣＞0，a＞0，∴b＜0，故B错误；∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，故C错误；∵图象经过点O（0，0），∴c＝0，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．4．以下说法错误的是（）A．如果k＝，那么＝B．如果＝﹣2，那么||＝2||C．如果＝（为非零向量），那么∥D．如果是与非向量同方向的单位向量，那么＝||．【分析】根据共线向量的定义，零向量的意义进行判断．【解答】解：A、如果k＝，那么k＝0，故本选项符合题意．B、如果＝﹣2，那么||＝2||，故本选项不符合题意．C、如果＝（为非零向量），那么与方向相同，则∥，故本选项不符合题意．D、如果是与非向量同方向的单位向量，那么＝||，故本选项不符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．5．已知⊙A与⊙B的半径分别是6和8，圆心距AB＝2，那么⊙A与⊙B的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．内含【分析】求出两圆半径的和与差，再与圆心距比较大小，确定两圆位置关系；设两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为d：外离，则d＞R+r；外切，则d＝R+r；相交，则R﹣r＜d＜R+r；内切，则d＝R﹣r；内含，则d＜R﹣r．【解答】解：因为8﹣6＝2，圆心距AB＝2，所以d＝R﹣r，所以两圆内切．故选：B．【点评】考查了圆与圆的位置关系，本题利用了两圆内切，则d＝R﹣r．6．古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度（上半身的长度）与肚脐至足底的长度（下半身的长度）的比值为“黄金分割数”时，人体的身材是最优美的．一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，为了使自己的身材显得更为优美，计划选择一双合适的高跟鞋，使自己的下半身长度增加．你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳？（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【分析】她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，利用黄金分割的定义得到≈0.618，然后解方程即可．【解答】解：∵一位女士身高为154cm，她上半身的长度为62cm，∴她下半身的长度为92cm，设鞋跟高为x厘米时，她身材显得更为优美，根据题意得≈0.618，解得x≈8.3（cm）．经检验x＝8.3为原方程的解，所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳．故选：C．【点评】本题考查了因式分解的应用：利用因式分解解决求值问题．利用因式分解解决证明问题．利用因式分解简化计算问题．也考查了黄金分割．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．如果2a＝3b（b≠0），那么＝．【分析】根据比例的性质直接解答即可．【解答】解：∵2a＝3b（b≠0），∴＝．故答案为：．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握两内项之积等于两外项之积是解题的关键．8．化简：（﹣3+）+＝﹣+．【分析】先利用乘法结合律去括号，然后计算加减法．【解答】解：原式＝﹣++＝﹣+．故答案是：﹣+．【点评】本题主要考查了平面向量，实数的运算法则同样能应用于平面向量的计算之中．9．抛物线y＝﹣x2﹣3x在对称轴的右侧部分是下降的（填“上升”或“下降”）．【分析】根据抛物线解析式可求得其开口方向和对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】解：∵y＝﹣x2﹣3x，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣＝﹣，∴在y轴右侧，y随x增大而减小，∴其图象在y轴右侧部分是下降，故答案为：下降．【点评】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向下的二次函数在对称轴右侧y随x 的增大而减小是解题的关键．10．将抛物线y＝x2+2x向下平移1个单位，那么所得抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1）．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则写出新抛物线解析式，然后将二次函数解析式转化为方程，通过解解方程求解．【解答】解：由“左加右减、上加下减”的原则可知，把抛物线y＝x2+2x＝（x+1）2﹣1的图象向下平移1个单位，则平移后的抛物线的表达式为y＝x2+2x＝（x+1）2﹣2，令x＝0，则y＝﹣1．所以所得抛物线与y轴的交点的坐标为（0，﹣1）．故答案是：（0，﹣1）．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．已知两个相似三角形的相似比为4：9，那么这两个三角形的周长之比为4：9．【分析】直接利用相似三角形的周长比等于相似比，进而得出答案．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为4：9，∴它们的周长比等于相似比，即：4：9．故答案为4：9．【点评】本题考查对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，如果，那么＝．【分析】由DE∥BC证△ADE∽△ABC，得＝＝，继而可得答案．【解答】解：如图，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质．13．在直角坐标平面内有一点A（12，5），点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为θ，那么cosθ＝．【分析】根据题意，作出合适的平面直角坐标系，然后作AB⊥x轴于点B，再根据点的A的坐标和勾股定理，可以得到OA的长，然后即可得到cosθ的值．【解答】解：作AB⊥x轴于点B，如右图所示，∵点A（12，5），∴OB＝12，AB＝5，∠ABO＝90°，∴OA＝＝13，∴cos∠AOB＝，即cosθ＝，故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．14．如果港口A的南偏东52°方向有一座小岛B，那么从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．【分析】根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解．【解答】解：如图，∵∠1＝∠2＝52°，∴从小岛B观察港口A的方向是北偏西52°．故答案为：北偏西52°．【点评】此题主要考查了方向角，正确画出方位角，根据平行线的性质解答是解题关键．15．正六边形的边心距与半径的比值为．【分析】设正六边形的半径与外接圆的半径相等，构建直角三角形利用勾股定理即可求出边心距．【解答】解：设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是，则可知正六边形的边心距与半径的比值为．【点评】正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．16．如图，在△ABC中，AB＝2AC，点D在边AB上，且∠ACD＝∠B，那么＝．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得结论．【解答】解：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，点P在边AC上，⊙P的半径为1．如果⊙P与边BC和边AB都没有公共点，那么线段PC长的取值范围是1＜CP ＜．【分析】根据勾股定理得到AC＝4，当⊙P与AB相切时，设切点为D，如图，连接PD，则PD⊥AB，根据相似三角形的性质可得到结论．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，当⊙P与AB相切时，设切点为D，如图，连接PD，则PD⊥AB，∴∠C＝∠ADP＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADP∽△ACB，∴，∴＝，∴P A＝，∴PC＝AC﹣P A＝，∴线段PC长的取值范围是1＜CP＜，故答案为：1＜CP＜．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，tan B＝．将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，点C落在点E处，射线DE与边AB相交于点F，那么BF＝3﹣．【分析】过点F作FG⊥AC于点G，由旋转的性质得出∠B＝∠D，得出tan∠B＝tan∠D ＝，由平行线的性质得出∠B＝∠AFG，设AG＝x，则FG＝2x，则，求出AG＝1，则可得出答案．【解答】解：如图，过点F作FG⊥AC于点G，∵将△ABC绕着点A顺时针旋转后，点B恰好落在射线CA上的点D处，∴∠B＝∠D，∴tan∠B＝tan∠D＝，∵∠ACB＝∠FGA＝90°，∴BC∥FG，∴∠B＝∠AFG，∴tan∠B＝tan∠AFG＝，设AG＝x，则FG＝2x，∴，解得x＝1，∴AG＝1，FG＝2，∴AF＝＝＝，∴BF＝AB﹣AF＝3﹣．故答案为：3﹣．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：2cos60°﹣cot30°+．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的性质化简得出答案．【解答】解：原式＝2×﹣+＝1﹣+＝1﹣+＝1﹣++1＝2．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为OC的中点，联结BE并延长，交边CD于点F．设＝，＝．（1）填空：向量＝﹣；（2）填空：向量＝+，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本体结果用含向量、的式子表示，画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）【分析】（1）利用三角形法则求出，再证明AE＝AC即可解决问题．（2）利用平行线分线段成比例定理，求出，再利用三角形法则即可解决问题．【解答】解：（1）∵＝+，＝，＝．∴＝﹣，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，∵OE＝EC，∴AE＝AC，∴＝﹣．故答案为：﹣．（2）∵CF∥AB，∴CF：AB＝EC：AE＝1：3，∴CF＝BA，∴＝，∴＝+＝+．在向量和方向上的分向量分别为和．故答案为：+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平四边形的性质，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O是△BC的外接圆，AB长为4，AB＝AC，联结CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点．求：（1）边BC的长；（2）⊙O的半径．【分析】（1）利用垂径定理的推论可判断CD垂直平分AB，所以CB＝CA＝4；（2）连接OB，如图，先证明ABC为等边三角形得到∠A＝60°，利用圆周角定理得到∠BOC＝120°，则∠BOD＝60°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OB 即可．【解答】解：（1）∵E点为的中点，CE为直径，∴CE⊥AB，∴AD＝BD，即CD垂直平分AB，∴CB＝CA＝4；（2）连接OB，如图，∵AB＝BC＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°，∴∠BOD＝60°，在Rt△BOD中，BD＝AB＝2，∴OD＝BD＝，∴OB＝2OD＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．22．（10分）为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点P处，离地面的铅锤高度PQ为9米，区间测速的起点为下引桥坡面点A处，此时电子眼的俯角为30°；区间测速的终点为下引桥坡脚点B处，此时电子眼的俯角为60°（A、B、P、Q四点在同一平面）．（1）求路段BQ的长（结果保留根号）；（2）当下引桥坡度i＝1：2时，求电子眼区间测速路段AB的长（结果保留根号）．【分析】（1）根据BQ＝PQ•tan∠BPQ，求解即可．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠P AH＝∠TP A＝30°，设AM＝a米，则BM＝2a米，在Rt△APH中，根据tan∠P AH＝，构建方程求出a，再利用勾股定理求出AB即可．【解答】解：（1）由题意，∠PBQ＝∠TPB＝60°，∵∠PQB＝90°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝PQ•tan30°＝9×＝3（米）．（2）如图，过点A作AM⊥QB于M，AH⊥PQ于H．由题意，∠P AH＝∠TP A＝30°，设AM＝a米，则BM＝2a米，∵∠AHQ＝∠HQM＝∠AMQ＝90°，∴四边形AHQM是矩形，∴AH＝QM＝（3+2a）米，QH＝AM＝a米，PH＝PQ﹣HQ＝（9﹣a）米，在Rt△APH中，tan∠P AH＝，∴＝，解得a＝2，∴AM＝2（米），BM＝4（米），∴AB＝＝＝2（米）．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．23．（12分）如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD⊥BA，交BA的延长线于点D，交EA的延长线于点F，且AF•CD＝BC•AD．（1）求证：AE⊥BC；（2）如果BE＝CE，求证：BC2＝2BD•AC．【分析】（1）通过证明△ADF∽△CDB，可得∠F＝∠B，由余角的性质可求解；（2）通过证明△ABE∽△CBD，可得，可得结论．【解答】证明：（1）∵AF•CD＝BC•AD，∴，又∵∠ADF＝∠BDC，∴△ADF∽△CDB，∴∠F＝∠B，∵∠B+∠BCD＝90°，∴∠F+∠BCD＝90°，∴AE⊥BC；（2）∵BE＝CE，AE⊥BC，∴AB＝AC，∵∠ABE＝∠DBC，∠BDC＝∠AEB＝90°，∴△ABE∽△CBD，∴，∴BC•BC＝AB•BD，∴BC2＝2BD•AC．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键．24．（12分）在平面直角坐标系xOy中，如果抛物线y＝ax2+bx+c上存在一点A，使点A关于坐标原点O的对称点A′也在这条抛物线上，那么我们把这条抛物线叫做回归抛物线，点A叫做这条抛物线的回归点．（1）已知点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，且点M的横坐标为2，试判断抛物线y＝﹣x2+2x+4是否为回归抛物线，并说明理由；（2）已知点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，如果点C是这条抛物线的回归点，求这条抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，所求得的抛物线的对称轴与x轴交于点D．联结CO并延长，交该抛物线于点E，点F是射线CD上一点，如果∠CFE＝∠DEC，求点F的坐标．【分析】（1）先求出点M坐标，M'的坐标，代入解析式可求解；（2）先求出点C坐标，C'的坐标，利用回归点的定义可求解；（3）通过证明△CEF∽△CDE，可得，可求CF＝10，即可求解．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线，理由如下：∵点M在抛物线y＝﹣x2+2x+4上，∴y＝﹣4+4+4＝4，∴点M（2，4），∴点M关于坐标原点O的对称点M'（﹣2，﹣4），当x＝﹣2时，y＝﹣4﹣4+4＝﹣4，∴点M'在抛物线上，∴抛物线y＝﹣x2+2x+4是回归抛物线；（2）∵点C为回归抛物线y＝﹣x2﹣2x+c的顶点，∴点C（﹣1，c+1），∴点C关于原点O的对称点C'（1，﹣c﹣1），∵点C是这条抛物线的回归点，∴﹣c﹣1＝﹣1﹣2+c，∴c＝1，∴抛物线解析式为：y＝﹣x2﹣2x+1；（3）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+1，∴对称点为x＝﹣1，∴点D（﹣1，0），点C（﹣1，2），∴直线CO解析式为y＝﹣2x，联立方程组，∴，，点E（1，﹣2），在△CEF和△CDE中，∠CFE＝∠CED，∠FCE＝∠ECD，∴△CEF∽△CDE，∴，∴CE2＝CD•CF，∴（﹣1﹣1）2+（2+2）2＝2CF，∴CF＝10，∴F（﹣1，﹣8）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，理解新定义并运用是解题的关键．25．（14分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点E在边AB上（点E与端点A、B 不重合），联结DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，联结EF，与对角线AC、边CD分别交于点G、H．设AE＝x，DH＝y．（1）求证：△ADE∽△CDF，并求∠EFD的正切值；（2）求y关于x的函数解析式，并写出该函数的定义域；（3）联结BG，当△BGE与△DEH相似时，求x的值．【分析】（1）根据矩形的性质得到∠ADC＝∠DCB＝90°，根据余角的性质得到∠ADE ＝∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据矩形的性质和相似三角形的判定和性质解答；（3）根据相似三角形的性质分两种情况解答．【解答】解：（1）∵∠ADE+∠CDE＝90°，∠CDF+∠CDE＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在Rt△EAD与Rt△FCD中，，∴△F AD∽△FCD，∴，∴tan∠EFD＝，（2）由（1）可知FC＝2EA＝2x，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△FCH∽△FBE，∴，∴，可得：y＝（0＜x＜2）；（3）BE＝2﹣x，DH＝y，DE＝，EH＝，∴，∴EG＝，∵∠BEG＝∠DHE，若△BEG∽△DHE，则有两种情况，第一种：∵∠EGB＝∠HED，∴，∴，即，解得：x＝，第二种：∵∠EGB＝∠HDE，∴，∴，即，解得：x＝1.5．综上所述，x的值为或1.5．【点评】本题考查了相似综合题，综合运用了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，矩形的性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．。