2013年厦门市高中毕业班适应性考试数学(理科)试卷
2013年福建厦门中考数学试卷及解析
2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试数 学(试卷满分:150分 考试时间:120分钟)准考证号 姓名 座位号注意事项:1．全卷三大题,26小题,试卷共4页,另有答题卡．2．答案一律写在答题卡上,否则不能得分．3．可直接用2B 铅笔画图．一、选择题(本大题有7小题,每小题3分,共21分.每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确)1.(2013福建厦门,1,3分)．下列计算正确的是( )A ．－1＋2＝1．B ．－1－1＝0．C ．(－1)2＝－1．D ．－12＝1．【答案】A(2013福建厦门,2,3分)．已知∠A ＝60°,则∠A 的补角是A ．160°．B ．120°．C ．60°．D ．30°．【答案】B(2013福建厦门,3,3分)．图1是下列一个立体图形的三视图,则这个立体图形是A ．圆锥．B ．球．C ．圆柱．D ．正方体．俯视图左视图主视图图1【答案】C(2013福建厦门,4,3分)．掷一个质地均匀的正方体骰子,当骰子停止后,朝上一面的点数为5的概率是A ．1．B ．15．C ．16． D ．0．【答案】C.(2013福建厦门,5,3分)．如图2,在⊙O中,︵AB＝︵AC,∠A＝30°,则∠B＝A．150°．B．75°．C．60°．D．15°．图2【答案】B(2013福建厦门,6,3分)．方程2x -1＝3x的解是A．3．B．2．C．1．D．0．【答案】A(2013福建厦门,7,3分)．在平面直角坐标系中,将线段OA向左平移2个单位,平移后,点O,A的对应点分别为点O1,A1.若点O(0,0),A(1,4),则点O1,A1的坐标分别是A．(0,0),(1,4)．B．(0,0),(3,4)．C．(－2,0),(1,4)．D．(－2,0),(－1,4)．【答案】D.二、填空题(本大题有10小题,每小题4分,共40分)(2013福建厦门,8,4分)．－6的相反数是 ．【答案】6(2013福建厦门,9,4分)．计算:m 2·m 3＝ ．【答案】m 5(2013福建厦门,10,4分)．式子x －3在实数范围内有意义,则实数x 的取值范围是 ．【答案】x ≥3(2013福建厦门,11,4分)．如图3,在△ABC 中,DE ∥BC ,AD ＝1,AB ＝3,DE ＝2,则BC ＝ ．图3E DCBA【答案】6(2013福建厦门,12,4分)．在一次中学生田径运动会上,参加男子跳高的15名运动员的成绩如下表所示: 成绩/米1.50 1.60 1.65 1.70 1.75 1.80 人数 2 3 3 2 4 1则这些运动员成绩的中位数是 米．【答案】1.65.(2013福建厦门,13,4分)．x 2－4x ＋4= ( )2．【答案】x —2(2013福建厦门,14,4分)．已知反比例函数y ＝m －1x的图象的一支位于第一象限, 则常数m 的取值范围是 ．【答案】m ＞1(2013福建厦门,15,4分)．如图4,□ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,点E ,F 分别是线段AO ,BO 的中点．若AC ＋BD ＝24厘米,△OAB 的周长是18厘米,则EF ＝ 厘米．图4FEO DC B A【答案】3(2013福建厦门,16,4分)．某采石场爆破时,点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到400米以外的安全区域．甲工人在转移过程中,前40米只能步行,之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为0.01米/秒, 步行的速度为1米/秒,骑车的速度为4米/秒．为了确保甲工人的安全,则导火线的长要大于 米．【答案】1.3 .(2013福建厦门,17,4分)．如图5,在平面直角坐标系中,点O 是原点,点B (0,3),点A 在第一象限且AB ⊥BO ,点E 是线段AO 的中点,点M在线段AB 上．若点B 和点E 关于直线OM 对称,且则点M的坐标是 ( , ) ．【答案】(1,3)三、解答题(本大题有9小题,共89分)(2013福建厦门,18(1),7分)．(1)计算:5a＋2b＋(3a—2b)；解:(1)解:5a＋2b＋(3a—2b)＝5a＋2b＋3a—2b＝8a.(2013福建厦门,18(2),7分)．在平面直角坐标系中,已知点A(－4,1), B(－2,0),C(－3, －1),请在图6上画出△ABC,并画出与△ABC关于原点O对称的图形；【解答过程】解: 正确画出△ABC正确画出△DEF(2013福建厦门,18(3),7分)．如图7,已知∠ACD＝70°,∠ACB＝60°, ∠ABC＝50°. 求证:AB∥CD.D CBA图7证明∵∠ACD＝70°,∠ACB＝60°,∴∠BCD＝130°.∵∠ABC＝50°,∴∠BCD＋∠ABC＝180°.∴AB∥CD.(2013福建厦门,19(1),7分)．(1):)；解: 20×0.15＋5×0.20＋10×0.1820＋5＋10≈0.17(公顷/人).∴这个市郊县的人均耕地面积约为0.17公顷.(2013福建厦门,19(2),7分)．先化简下式,再求值:2x2＋y2 x＋y －x2＋2y2x＋y,其中x＝2＋1, y＝22—2；解:(2)解: 2x2＋y2x＋y—2y2＋x2x＋y＝x 2—y 2x ＋y＝x －y .当 x ＝2＋1, y ＝22—2时,原式＝ 2＋1－(22—2)＝3—2.(2013福建厦门,19(3),7分)．如图8,已知A ,B ,C ,D 是⊙O 上的四点,延长DC ,AB 相交于点E ．若BC ＝BE ．求证:△ADE 是等腰三角形.图8证明∵BC ＝BE ,∴∠E ＝∠BCE .∵ 四边形ABCD 是圆内接四边形,∴∠A ＋∠DCB ＝180°.∵∠BCE ＋∠DCB ＝180°,∴∠A ＝∠BCE .∴∠A ＝∠E .∴ AD ＝DE .∴△ADE 是等腰三角形.(2013福建厦门,20,6分)．有一个质地均匀的正12面体,12个面上分别写有1~12这12个整数(每个面上只有一个整数且每个面上的整数互不相同).投掷这个正12面体一次,记事件A 为 “向上一面的数字是2或3的整数倍”,记事件B 为 “向上一面的数字是3的整数倍”,请你判断等式“P(A)＝12＋P(B)”是否成立,并说明理由.解: 不成立∵ P(A)＝812＝23, 又∵P(B) ＝412＝13,而12＋13＝56≠23. ∴ 等式不成立.(2013福建厦门,21,6分)．如图9,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,对角线AC ,BD 相交于点E ,若AE ＝4,CE ＝8,DE ＝3,梯形ABCD 的高是365,面积是54.求证:AC ⊥BD . 图9ED C B A证明∵AD ∥BC ,∴∠ADE ＝∠EBC ,∠DAE ＝∠ECB .∴△EDA ∽△EBC .∴ AD BC ＝AE EC ＝12. 即:BC ＝2AD .∴54＝12×365( AD ＋2AD ) ∴AD ＝5.在△EDA 中,∵DE ＝3,AE ＝4,∴DE 2＋AE 2＝AD 2.∴∠AED ＝90°.∴ AC ⊥BD .(2013福建厦门,22,6分)．一个有进水管与出水管的容器,从某时刻开始的3分内只进水不出水,在随后的9分内既进水又出水,每分的进水量和出水量都是常数.容器内的水量y (单位:升)与时间x (单位:分)之间的关系如图10所示.当容器内的水量大于5升时,求时间x 的取值范围.解1: 当0≤x ≤3时,y ＝5x .当y ＞5时,5x ＞5,解得 x ＞1.∴1＜x ≤3.当3＜x ≤12时,设 y ＝kx ＋b .则⎩⎨⎧15＝3k ＋b ，0＝12k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53，b ＝20.∴ y ＝－53x ＋20. 当y ＞5时,－53x ＋20＞5, 解得 x ＜9.∴ 3＜x ＜9.∴容器内的水量大于5升时,1＜x ＜9 .解2: 当0≤x ≤3时,y ＝5x .当y ＝5时,有5＝5x ,解得 x ＝1.∵ y 随x 的增大而增大,∴当y ＞5时,有x ＞1.∴ 1＜x ≤3.当3＜x ≤12时,设 y ＝kx ＋b .则⎩⎨⎧15＝3k ＋b ，0＝12k ＋b .解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－53，b ＝20.∴ y ＝－53x ＋20. 当y ＝5时,5＝－53x ＋20. 解得x ＝9.∵ y 随x 的增大而减小,∴当y ＞5时,有x ＜9.∴3＜x ＜9.∴容器内的水量大于5升时,1＜x ＜9 .(2013福建厦门,23,6分)．如图11,在正方形ABCD 中,点G 是边BC 上的任意一点,DE ⊥AG ,垂足为E ,延长DE 交AB 于点F .在线段AG 上取点H ,使得AG ＝DE ＋HG ,连接BH .求证:∠ABH ＝∠CDE .HGFEDC B 图11A证明∵四边形ABCD 是正方形,∴∠F AD ＝90°.∵DE ⊥AG ,∴∠AED ＝90°.∴∠F AG ＋∠EAD ＝∠ADF ＋∠EAD∴∠F AG ＝∠ADF .∵AG ＝DE ＋HG,AG ＝AH ＋HG∴DE ＝AH又AD ＝AB,∴ △ADE ≌△ABH∴∠AHB ＝∠AED ＝90°.∵∠ADC ＝90°,∴∠BAH ＋∠ABH ＝∠ADF ＋∠CDE∴∠ABH ＝∠CDE.(2013福建厦门,24,6分)．已知点O 是坐标系的原点,直线y ＝－x ＋m ＋n 与双曲线y ＝1x交于两个不同的点A (m ,n )(m ≥2)和B (p ,q ),直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ,求△OBC 的面积S 的取值范围．解:∵ 直线y ＝－x ＋m ＋n 与y 轴交于点C ,∴ C (0,m ＋n ).∵点B (p ,q )在直线y ＝－x ＋m ＋n 上,∴q ＝－p ＋m ＋n .又∵点A 、B 在双曲线y ＝1x上, ∴1p ＝－p ＋m ＋1m. 即p －m ＝p －m pm, ∵点A 、B 是不同的点.∴ p －m ≠0.∴ pm ＝1.∵ nm ＝1,∴ p ＝n ,q ＝m .∵1＞0,∴在每一个象限内,反比例函数y ＝1x的函数值y 随自变量x 的增大而减小. ∴当m ≥2时,0＜n ≤12. ∵S ＝12( p ＋q ) p ＝12p 2＋12pq ＝12n 2＋12又∵12＞0,对称轴n ＝0, ∴当0＜n ≤12时,S 随自变量n 的增大而增大. 12＜S ≤58.(2013福建厦门,25,6分)．如图12,已知四边形OABC 是菱形,∠O ＝60°,点M 是OA 的中点.以点O 为圆心,r 为半径作⊙O 分别交OA ,OC 于点D ,E ,连接BM .若BM ＝7, ︵DE 的长是3π3．求证:直线BC 与⊙O 相切.图12证明∵︵DE 的长是3π3,∴2πr 360·60＝3π3. ∴ r ＝3. 延长BC ,作ON ⊥BC ,垂足为N .∵ 四边形OABC 是菱形∴ BC ∥AO ,∴ ON ⊥OA .∵∠AOC ＝60°,∴∠NOC ＝30°.设NC ＝x ,则OC ＝2x ,ON ＝3x .连接CM , ∵点M 是OA 的中点,OA ＝OC ,∴ OM ＝x .∴四边形MONC 是平行四边形.∵ ON ⊥BC ,∴四边形MONC 是矩形.∴CM ⊥BC . ∴ CM ＝ON ＝3x . 在Rt △BCM 中,(3x )2＋(2x )2＝(7)2,解得x ＝1.∴ON ＝CM ＝3.∴ 直线BC 与⊙O 相切.(2013福建厦门,26,11分)．若x 1,x 2是关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个实数根,且x 1＋x 2＝2k (k 是整数),则称方程x 2＋bx ＋c ＝0为“偶系二次方程”.如方程x 2－6x －27＝0,x 2－2x －8＝0,x 2＋3x －274＝0,x 2＋6x －27＝0, x 2＋4x ＋4＝0都是“偶系二次方程”. (1)判断方程x 2＋x －12＝0是否是“偶系二次方程”,并说明理由；(2)对于任意一个整数b ,是否存在实数c ,使得关于x 的方程x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”,并说明理由.(1)解: 不是解方程x 2＋x －12＝0得,x 1＝－4,x 2＝3. x 1＋x 2＝4＋3＝2×3.5.∵3.5不是整数,∴方程x 2＋x －12＝0不是“偶系二次方程”.(2)解法1:存在∵方程x 2－6x －27＝0,x 2＋6x －27＝0是“偶系二次方程”,∴ 假设 c ＝mb 2＋n .当 b ＝－6,c ＝－27时,有 －27＝36m ＋n .∴n ＝0,m ＝－ 34. 即有c ＝－ 34b 2. 又∵x 2＋3x －274＝0也是“偶系二次方程”, 当b ＝3时,c ＝－ 34×32＝－274.∴可设c ＝－ 34b 2. 对任意一个整数b ,当c ＝－ 34b 2时, ∵△＝b 2－4c＝4b 2.∴ x ＝－b ±2b 2. ∴ x 1＝－32b ,x 2＝12b . ∴ x 1＋x 2＝32b ＋12b ＝2b . ∵b 是整数,∴对任意一个整数b ,当c ＝－ 34b 2时,关于x 的方程 x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”.解法2:存在∵方程x 2－6x －27＝0,的两个根是x 1＝3,x 2＝－9,而3＝12×6,－9＝32×6, 又“偶系二次方程”x 2＋6x －27＝0,x 2＋3x －274＝0的两根的绝对值x 1、 x 2与b 也有同样的规律.假设方程x 2＋bx ＋c ＝0两根的绝对值x 1、x 2与b 满足x 1＝12b ,x 2＝32b (x 1＜x 2). 可得c ＝－ 34b 2. 对任意一个整数b ,当c ＝－ 34b 2时, △＝b 2－4c＝4b 2.∴x ＝－b ±2b 2. ∴ x 1＝－32b ,x 2＝12b . ∴ x 1＋x 2＝32b ＋12b ＝2b .∵b 是整数,∴对任意一个整数b ,当c ＝－ 34b 2时,关于x 的方程 x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”.解法3: 存在∵x 2－6x －27＝0可化为(x －3)2＝62,同理“偶系二次方程”x 2－2x －8＝0,x 2＋3x －274＝0, x 2＋6x －27＝0可化为(x －1)2＝32,(x ＋32)2＝32,(x ＋3)2＝62. 由x 2＋bx ＋c ＝0 得(x ＋b 2)2＝b 24－c . 假设 b 24－c ＝m 2(m 是整数). 即c ＝b 24－m 2,取m ＝b . 得c ＝－34b 2. 对任意一个整数b ,当c ＝－34b 2时, △＝b 2－4c＝4b 2.∴x ＝－b ±2b 2. ∴ x 1＝－32b ,x 2＝12b . ∴ x 1＋x 2＝32b ＋12b ＝2b . ∵b 是整数,∴对任意一个整数b ,当c ＝－ 34b 2时,关于x 的方程 x 2＋bx ＋c ＝0是“偶系二次方程”.解法4: 存在当c ＝－ 154b 2时, △＝b 2－4c＝16b 2.∴x ＝－b ±4b 2. ∴ x 1＝－52b ,x 2＝32b .∴x1＋x2＝52b＋32b＝4b＝22b.∵b是整数,∴2b也是整数.∴当c＝－154b2(b是整数)时,关于x的方程x2＋bx＋c＝0是“偶系二次方程”.。
福建省厦门六中2013-2014学年高二上学期期中数学理试卷 Word版含答案
O246810xy63y=-2x+3x+2y-10=0厦门六中2013-2014学年上学期高二期中考试数 学（理科） 试 卷满分150分 考试时间120分钟 考试日期：2013。
10一、选择题：本题共10个小题，每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置上。
1.若a b >且c R ∈，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．22a b >B ．ac bc >C ．22ac bc >D ．a c b c ->-2. 已知数列{}n a 满足：＜0，n+1n a 1=a 2,则数列{}n a 是( ） A. 递增数列 B. 递减数列 C 。
摆动数列 D. 不确定3．如右图所示的不等式的区域为（ ）A ．⎩⎨⎧<-++-≤010232y x x y B ．⎩⎨⎧<-++-≥010232y x x y C ．⎩⎨⎧≥-++-<010232y x x y D ．⎩⎨⎧>-++->010232y x x y4.已知等比数列{}n a 的各项均为正数,前n 项之积为n T ,若5T ＝1，则一定有( ） A ．1a ＝1 B ．3a ＝1 C ．4a ＝1 D ．5a ＝15.若2221425x y M x y x y ≠≠-=+-+-且，则的值与 的大小关系是( ） A 、5M >- B 、5M <- C 、5M =- D 、不能确定 6．若三条线段的长分别为5,6，7，则用这三条线段（ ）A.能构成直角三角形 B 。
能构成锐角三角形 C 。
能构成钝角三角形 D.不能构成三角形 7．在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高为( ） A.3400米 B 。
33400米 C. 2003米 D 。
200米8．设关于x 的不等式220x ax -->的解集为M ，若2M ∉，则实数a 的取值范围是（ )A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．[1,)+∞D ．(1,)+∞9．在数列{}n a 中,若()*21212121,,2n n n n n a a a a n N a a a ++++===∈,则20a =（ ） A ．172- B ．192C ．191()2D ．12010、在R 上定义运算:m n m(1n).⊗⊗=-若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( ）A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11。
2013年厦门市中考数学试卷
2013年福建省厦门市中考数学一、选择题（共7小题；共35分）1. 下列计算正确的是 ( )A. B. C. D.2. ，则的补角是 ( )A. B. C. D.3. 如图是下列一个立体图形的三视图，则这个立体图形是 ( )A. 圆锥B. 球C. 圆柱D. 正方体4. 掷一个质地均匀的正方体骰子，当骰子停止后，朝上一面的点数为的概率是 ( )A. B. C. D.5. 如图所示，在中，，，则 ( )A. B. C. D.6. 方程的解是 ( )A. B. C. D.7. 在平面直角坐标系中，将线段向左平移个单位，平移后，点，的对应点分别为点，．若点，，则点，的坐标分别是 ( )A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题（共10小题；共50分）8. 的相反数是．9. 计算：．10. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是．11. 如图，在中，，，，，则 = ．12. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的名运动员成绩如下表则这些运动员成绩的中位数是米．13. （）14. 已知反比例函数的图象的一支位于第一象限，则常数的取值范围是．15. 如图平行四边形的对角线，相交于点，点，分别是线段，的中点，若厘米，的周长是厘米，则厘米．16. 某采石场爆破时，点燃导火线的甲工人要在爆破前转移到米以外的安全区域．甲工人在转移过程中，前米只能步行，之后骑自行车．已知导火线燃烧的速度为米秒，步行的速度为米秒，骑车的速度为米秒．为了确保甲工人的安全，则导火线的长要大于米．17. 如图，在平面直角坐标系中，点是原点，点，点在第一象限且，点是线段的中点，点在线段上．若点和点关于直线对称，则点的坐标是（，）．三、解答题（共9小题；共117分）18. （1）计算：；（2）在平面直角坐标系中，已知点，，．请在图1上画出，并画出与关于原点对称的图形；（3）如图2所示，已知，，．求证：．19. （1）甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如表所示：（2）先化简，再求值：，其中，；（3）如图，已知，，，是上的四点，延长，相交于点，若．求证：是等腰三角形．20. 有一个质地均匀的正面体，个面上分别写有这个整数（每个面只有一个整数且互不相同）．投掷这个正面体一次，记事件为“向上一面的数字是或的整数倍”，记事件为“向上一面的数字是的整数倍”，请你判断等式是否成立，并说明理由．21. 如图，在梯形中，，对角线，相交于点．若，，，梯形的高是，面积是．求证：．22. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的分内只进水不出水，在随后的分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于升时，求时间的取值范围．23. 如图所示，在正方形中，点是边上任意一点，，垂足为，延长交于点．在线段上取点，使得，连接．求证：．24. 已知点是平面直角坐标系的原点，直线与双曲线交于两个不同的点和．直线与轴交于点，求的面积的取值范围．25. 如图所示，已知四边形是菱形，，点是边的中点，以点为圆心，为半径作分别交，于点，，连接．若，的长是．求证：直线与相切．26. 若，是关于的方程的两个实数根，且（是整数），则称方程为“偶系二次方程”．如方程，，，，，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数，是否存在实数，使得关于的方程是“偶系二次方程”，并说明理由．答案第一部分1. A2. B3. C 【解析】根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆柱．4. C5. B【解析】在中，，，是等腰三角形，；又，（三角形内角和定理）．6. A 【解析】去分母得解得经检验是分式方程的解．7. D 【解析】线段向左平移个单位，点，，点，的坐标分别是，．第二部分8.9.10.11.12.13.14.15.【解析】提示：由题意知，，．16.17. ，【解析】有题意可知，为的中点，．，，， ．点 和点 关于直线 对称， 平分 ， ， ， ． 第三部分18. （1）（2） 如图所示： 与 关于原点 对称；（3） ， ， ， ， ．19. （1） 甲市郊县所有人口的人均耕地面积是（公顷）．（2）原式当 ， 时， 原式（3） 因为 ， ， ， 四点共圆， 所以 ， 因为 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即是等腰三角形． 20. 不成立，理由：投掷这个正面体一次，记事件为“向上一面的数字是或的整数倍”，符合要求的数有，，，，，，，一共个，则，事件为“向上一面的数字是的整数倍”，符合要求的数有，，，一共有个，则，，．21. ，，，，，，，梯形，，过作交延长线于，则四边形是平行四边形，，，在中，，，，，，．22. ①时，设，则，解得，；②时，设，函数图象经过点，，解得．当时，由得，，由得，，当容器内的水量大于升时，时间的取值范围是．23.在正方形中，，，，，又，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，，，．24. 如图，直线与轴交于点，点坐标为，点坐标为，则为等腰直角三角形，点与点关于直线对称，则点坐标为，，点在双曲线上，，即．．，，，．25. 如图，过点作于，过点作于，则四边形为矩形，．设菱形的边长为，则．菱形中，，，，，．在中，，，，，，即，解得，．的长为，，，即圆心到直线的距离等于圆的半径，直线与相切．26. （1）不是，解方程得，．．不是整数，不是“偶系二次方程．（2）存在．理由如下：和是偶系二次方程，假设，当，时，．是偶系二次方程，时，，．是偶系二次方程，当时，．可设．对于任意一个整数，时，，，，．，是整数，对于任何一个整数，时，关于的方程是“偶系二次方程”．。
福建省2025届高中毕业班适应性练习卷(二)数学试题(含答案)
福建省2025届高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A={x|x>5},B={x|x2−(a+1)x+a<0}，若A∩B=⌀，则a的取值范围为( )A. (−∞, 5]B. [5, +∞)C. (−∞, 5)D. (5, +∞)2.若(1−2i)(z−i)=5，则|z|=( )A. 2B. 22C. 5D. 103.在▵ABC中，点D是边BC上一点，若AD=xAB+yAC，则2x+5yxy的最小值为( )A. 7−210B. 7+210C. −210D. 74.将函数f(x)=8sin x图象向右平移π8后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的4倍，得到g(x)的图象，若方程g(x)=4在[0, 8π]内有两不等实根α, β，则cos(α+β+π6)=( )A. −32B. 32C. −1D. −125.已知正四棱台下底面边长为42，若内切球的体积为323π，则其外接球表面积是( )A. 49πB. 56πC. 65πD. 130π6.设数列{a n}的前n面和为S n，若a n+1=2S n+1，且a1=1，则( )A. a5<5B. a5>10C. S100>1000D. S100<100007.设曲线D的方程为ax3+by3=xy(a,b为系数)，则( )A. 曲线D一定经过第一象限B. 当a=0，曲线D可能为抛物线C. 曲线D一定经过第三象限D. 当a=b，曲线D一定关于直线y=x对称8.已知函数f(x)的定义域为R，且f(x+3)为奇函数，f(2−x)为偶函数，记f(x)的导函数为f′(x)，则下列函数为奇函数的是( )A. f(x−1)B. f′(−x+3)C. f(x+2)D. f(x)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
2013年厦门市中考数学试卷及答案
“向上一面的数字是2或3的整数倍”，记事件B为“向上一面的数字是3的整数倍”，
1
请你判断等式“P（A）=2+P（B）”是否成立，并说明理由•
21.（本题满分6分）如图9，在梯形ABCD中，AD//BC,对角线AC,BD相交于点E,若AE=4,CE=8,DE=3,
2013年厦门市初中毕业及高中阶段各类学校招生考试
数学参考答案及评分标准
、选择题（本大题共7小题，每小题3分，共21分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
选项
A
B
C
C
B
A
D
二、填空题（本大题共10小题，每题4分，共40分）
5
8.69.m10.x>311.6
12. 1.6513.x—214.m>1
15.316.1.317.（1,.3）
/ABC=50°.求证：AB/CD.
19.(本题满分21分)
(1)甲市共有三个郊县，各郊县的人数及人均耕地面积如下表所示:
郊县
人数/万
人均耕地面积/公顷
A
20
0.15
B
5
0.20
C
10
0.18
求甲市 郊县所有人口的人均耕地面积（精确到0.01公顷）;
（2）先化简下式，再求值：
20.（本题满分6分）有一个质地均匀的正12面体，12个面上分别写有1〜12这12个整数（每
梯形ABCD的高是 西，面积是54.求证：AC丄BD.
5
22.（本题满分6分）一个有进水管与出水管的容器， 从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是 常数.容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图10所示.
数学理卷·2013届福建省漳州市普通高中高三毕业班适应性训练
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数3i 12i +（i 是虚数单位）的实部是A ．25B ．25-C ．15D ．15-2．集合{}{}32log M a N a b ==，，，，若{}1M N =I ，则M ∪N = A ．{}012，， B ．{}013，， C ．{}023，， D ．{}123，， 3．执行如图所示的程序框图，输出的结果是 A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 4．下列说法中，正确的是( )A .命题“若22am bm <,则a <b ”的逆命题是真命题B .命题“x ∃∈R 20x x ,->”的否定是“x ∀∈R ，20x x -<” C .命题“p ∨q ”为真命题，则命题p 和命题q 均为真命题 D .“x >2”是“2320x x -+>”的充分不必要条件5．某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg )数据进行整理后分成五组，并绘制频率分布直方图（如图所示）．根据一般标准，高三男生的体重超过65kg 属于偏胖，低于55kg 属于偏瘦．已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25、0.20、0.10、0.05，第二小组的频数为400，则该校高三年级的男生总数和体重正常的频率分别为（ ） A ．1000060，. B ．800050，.C ．800060，.D ．1000050，.6．平面向量a 与b 的夹角为60o ，(20)1==，，，a b 则2+=a bAB． C ．4 D ．127．已知函数π()sin()(0)6f x x ωω=+＞的最小正周期为4π，则函数()f x 的图象A ．关于点（π,03）对称 B ．关于直线π=3x 对称）第5题图C ．向右平移π3个单位后，图象关于原点对称 D ．在区间(0π)，内单调递增 8．某班有50名学生，其中正、副班长各1人，现要选派5人参加一项社区活动，要求正、副班长至少1人参加，问共有多少种选派方法？下面是学生提供的四个计算式，其中错．误．的是 A ．14249C C B ．555048C C - C ．3142249248C C C C - D ．3142248248C C C C +9．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=＞＞与抛物线22()y px p =＞0相交于A,B 两点，公共弦AB 恰好过它们的公共焦点F ，则双曲线C 的离心率为AB．1+ C． D．2+10．已知集合{123}M =，，，={1234}N ，，，，定义函数f M N →：.若点(1(1))A f ，，(2(2))B f ，，(3(3))C f ，，ABC V 的外接圆圆心为D ，且DA DC DB λ+=uu u r uuu r uu u r，则满足条件的函数()f x 有 A ．6个B ．8个C ．10个D ．12个第Ⅱ卷(非选择题，共100分)二．填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分)11. 某几何体的三视图如图（其中侧视图中的圆弧是半圆）， 则该几何体的表面积为_________.12. 在平面直角坐标系中，若不等式组 101010x y x ax y +-≥,⎧⎪-≤,⎨⎪-+≥⎩(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为 . 13.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，24a =，10110S =，_____. 14.从棱长为1，2，3的长方体的8个顶点中随机选两个点，则这两个点的距离大于3的概率为____.15．已知定义域为R 的函数()f x 满足：①(1)1f =，②(5)()5x f x f x ∀∈+≥+，，R (1)()1f x f x +≤+，则(2013)f =_________.三、解答题：本大题共6小题,共80分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.16. 某选手欲参加“开心辞典”节目，但必须通过一项包含5道试题的达标测试。
2013年福建省高考试题数学试卷答案及解析
2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学试题（理工农医类）第Ⅰ卷(选择题 共50分)一．选择题1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ． 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】D【解析】z 的共轭复数12z i =+，则12z i =-，对应点的坐标为(1,2)-，故答案为D ． 2．已知集合{}1,A a =,{}1,2,3B =,则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】3,a A B =⇒⊆2A B a ⊆⇒=，或3．因此是充分不必要条件．3．双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A ．25 B ．45CD 【答案】C【解析】 2214x y -=的顶点坐标为(2,0)±，渐近线为2204x y -=，即20x y ±=．带入点到直线距离公式d ==． 4．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分为6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ） A ．588 B ．480 C ．450D ．120【答案】B【解析】由图知道60分以上人员的频率为后4项频率的和，由图知道(0.030.0250.0150.01)*100.8P =+++=故分数在60以上的人数为600*0．8=480人．5．满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．6．阅读如图所示的程序框图，若输入的10k =，则该算法的功能是（ ）A ．计算数列{}12n -的前10项和 B ．计算数列{}12n -的前9项和 C ．计算数列{}21n -的前10项和 D ．计算数列{}21n -的前9项和【答案】C【解析】第一循环：1,2S i ==，10i <第二条：3,3,10S i i ==<第三条：7,4,10S i i ==< …．．第九循环：921,10,10S i i =-==．第十循环：1021,11,10S i i =-=>，输出S ．根据选项，101(12)12S -=-，故为数列12n -的前10项和．故答案A ．7．在四边形ABCD 中，(1,2)AC = ，(4,2)BD =-，则四边形的面积为（ ）A B ． C ．5 D ．10【答案】C【解析】由题意，容易得到AC BD ⊥．设对角线交于O 点，则四边形面积等于四个三角形面积之和 即S=11(****)(*)22AO DO AO BO CO DO CO BO AC BD +++=．容易算出AC BD ==，则算出S=5．故答案C8．设函数()f x 的定义域为R ，00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤B ．0x -是()f x -的极小值点C ．0x -是()f x -的极小值点D ．0x -是()f x --的极小值点 【答案】D【解析】A ．0,()()x R f x f x ∀∈≤，错误．00(0)x x ≠是()f x 的极大值点，并不是最大值点． B ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于y 轴的对称图像，故0x -应是()f x -的极大值点C ．0x -是()f x -的极小值点．错误．()f x -相当于()f x 关于x 轴的对称图像，故0x 应是()f x -的极小值点．跟0x -没有关系．D ．0x -是()f x --的极小值点．正确．()f x --相当于()f x 先关于y 轴的对象，再关于x 轴的对称图像．故D 正确9．已知等比数列{}n a 的公比为q ，记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=∙∙∙∈则以下结论一定正确的是（ ）A ．数列{}n b 为等差数列，公差为mq B ．数列{}n b 为等比数列，公比为2mq C ．数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D ．数列{}n c 为等比数列，公比为mm q【答案】C【解析】等比数列{}n a 的公比为q,同理可得2222222,m m m mm m m a a a a a a ++++=∙=∙112...m c a a a =∙∙∙,212...,m m m m c a a a +++=∙∙∙321222...,m m m m c a a a +++=∙∙∙2213c c c ∴=∙∴数列{}n c 为等比数列，2221212211212............mm m m m m m m m ma a a a a a q c q q c a a a a a a +++∙∙∙∙∙∙∙====∙∙∙∙∙∙ 故选C 10．设S ，T ，是R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足：(){()|};()i T f x x S ii =∈对任意12,,x x S ∈当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合“保序同构”．以下集合对不是“保序同构”的是（ ）A ．*,A N B N == B ．{|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C ．{|01},A x x B R =<<= D ．,A Z B Q == 【答案】D【解析】根据题意可知，令()1f x x =-，则A 选项正确；令55(13)()228(1)x x f x x ⎧+-<≤⎪=⎨⎪-=-⎩，则B 选项正确； 令1()tan ()2f x x π=-，则C 选项正确；故答案为D ．二．填空题11．利用计算机产生0~1之间的均匀随机数a ，则时间“310a ->”发生的概率为________ 【答案】23【解析】13103a a ->∴> a 产生0~1之间的均匀随机数1(,1)3a ∴∈112313p -∴== 12．已知某一多面体内接于一个简单组合体，如果该组合体的正视图．测试图．俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是_______________【答案】12π【解析】由图可知，图形为一个球中间是内接一个棱长为2的正方体，24122R S R ππ∴====球表13．如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，sin 33BAC AB AD ∠===则BD 的长为_______________【解析】sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD +-∠=∙BD ==14．椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左．右焦点分别为12,F F ，焦距为2c ，若直线)y x c =+与椭圆Γ的一个交点M 满足12212MF F MF F ∠=∠，则该椭圆的离心率等于__________1【解析】由直线方程)y x c =+⇒直线与x 轴的夹角12233MF F ππ∠=或，且过点1-F （c,0）12212MF F MF F ∠=∠∴122123MF F MF F π∠=∠=即12F M F M ⊥12RT F MF ∴∆在中，12122,,F F c F M c F M ===∴由椭圆的第一定义可得21c a c a =∴==15．当,1x R x ∈<时，有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：122311111111()()...()_____2223212nn n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【答案】113[()1]12n n +-+ 【解析】由01221......(1)n nn n n n n C C x C x C x x +++++=+两边同时积分得：111112222220001......(1).nn n n n n C dx C xdx C x dx C x dx x dx +++++=+⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式：122311*********()()...()[()1]222321212n n n n n n nn n C C C C ++⨯+⨯+⨯++⨯=-++ 三．解答题16．（本小题满分13分）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲．乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为23，中将可以获得2分；方案乙的中奖率为25，中将可以得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中将与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,X Y ，求3X ≤的概率；（2）若小明．小红两人都选择方案甲或方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计的得分的数学期望较大？本小题主要考查古典概型．离散型随机变量的分布列．数学期望等基础知识，考查数据处理能力．运算求解能力．应用意识，考查必然和或然思想，满分13分． 解：（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分3≤X ”的事件为A ，则A 事件的对立事件为“5=X ”，224(5)3515==⨯= P X ，11()1(5)15∴=-==P A P X∴这两人的累计得分3≤X 的概率为1115． （Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为1X ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为2X ，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为1(2)E X ，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为2(3)E X由已知：12~(2,)3X B ，22~(2,)5X B124()233∴=⨯=E X ，224()255=⨯=E X 118(2)2()3∴==E X E X ，2212(3)3()5==E X E X12(2)(3)> E X E X∴他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．17．（本小题满分13分）已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈ （1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的极值．本小题主要考查函数．函数的导数．不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想．分类与整合思想，数形结合思想．化归与转化思想．满分13分． 解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1'=-a f x x． （Ⅰ）当2=a 时，()2ln =-f x x x ，2()1(0)'=->f x x x， (1)1,(1)1'∴==-f f ，()∴=y f x 在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)-=--y x ，即20+-=x y ．（Ⅱ）由()1,0-'=-=>a x a f x x x x可知： ①当0≤a 时，()0'>f x ，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值； ②当0>a 时，由()0'=f x ，解得=x a ；(0,)∈ x a 时，()0'<f x ，(,)∈+∞x a 时，()0'>f x()∴f x 在=x a 处取得极小值，且极小值为()ln =-f a a a a ，无极大值．综上：当0≤a 时，函数()f x 无极值当0>a 时，函数()f x 在=x a 处取得极小值ln -a a a ，无极大值．18．（本小题满分13分）如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*(,19)i P i N i ∈≤≤．（1）求证：点*(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ∆与OCN ∆的面积比为4:1，求直线l 的方程．本小题主要考查抛物线的性质．直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力．推理论证能力，考查化归与转化思想，数形结合思想．函数与方程思想．满分13分． 解：（Ⅰ）依题意，过*(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i(10,) i B i ，∴直线i OB 的方程为10=iy x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=⎧⎪⎨=⎪⎩x ii y x 得：2110=y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10=+y kx由21010=+⎧⎨=⎩y kx x y得2101000--=x kx 此时2100+4000∆=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=⎧⎨⋅=-⎩x x kx x4∆∆= OCM OCN S S ∴124=x x又120⋅< x x ，∴124=-x x分别带入21010=+⎧⎨=⎩y kx x y，解得32=±k直线l 的方程为3+102=±y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y19．（本小题满分13分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA ABCD ⊥底面，//AB DC ，11AA =，3AB k =，4AD k =，5BC k =，6DC k =(0)k >．（1）求证：11;CD ADD A ⊥平面（2）若直线1AA 与平面1AB C 所成角的正弦值为67，求k 的值； （3）现将与四棱柱1111ABCD A B C D -形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱，规定：若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案．问：共有几种不同的方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为()f k ，写出()f k 的表达式（直接写出答案，不必要说明理由）本小题主要考查直线与直线．直线与平面的位置关系．柱体的概念及表面积等基础知识，考查空间想象能力．推理论证能力．运算求解能力，考查数形结合思想．分类与整合思想．化归与转化思想，满分13分． 解：（Ⅰ）取CD 中点E ，连接BE//AB DE Q ，3AB DE k == ∴四边形ABED 为平行四边形 //BE AD ∴且4BE AD k ==在BCE V 中，4,3,5BE k CE k BC k ===Q222BE CE BC ∴+=90BEC ∴∠=︒,即BE CD ⊥，又//BE AD Q ，所以CD AD ⊥1AA ⊥Q 平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD 1AA CD ∴⊥，又1AA AD A =I ，CD ∴⊥平面11ADD A（Ⅱ）以D 为原点，1,,DA DC DD uu u r uuu r uuur的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系(4,0,0)A k ，(0,6,0)C k ，1(4,3,1)B k k ，1(4,0,1)A k所以(4,6,0)AC k k =-uuu r ，1(0,3,1)AB k =uuu r ，1(0,0,1)AA =uuu r设平面1AB C 的法向量(,,)n x y z =，则由100AC n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uuu r uuu r得46030kx ky ky z -+=⎧⎨+=⎩取2y =，得(3,2,6)n k =-设1AA 与平面1AB C 所成角为θ，则111,sin |cos ,|||||AA nAA n AA n θ=〈〉=⋅uuu ruuur uuu r67==，解得1k =．故所求k 的值为1 （Ⅲ）共有4种不同的方案2257226,018()53636,18k k k f k k k k ⎧+<≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩20．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式； （2）是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数； 若不存在，说明理由．（3）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点． 本小题主要考查同角三角函数的基本关系．三角恒等变换．三角函数的图像与性质．函数．函数的导数．函数的零点．不等式等基础知识，考查运算求解能力．抽象概括能力，考查函数与方程思想，数形结合思想，分类与整合思想．化归与转化思想，满分14分． 解：（Ⅰ）由函数()sin()f x x ωϕ=+的周期为π，0ω>，得2ω= 又曲线()y f x =的一个对称中心为(,0)4π，(0,)ϕπ∈故()sin(2)044f ππϕ=⨯+=，得2πϕ=，所以()cos 2f x x =将函数()f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得cos y x =的图象，再将cos y x =的图象向右平移2π个单位长度后得到函数()sin g x x =（Ⅱ）当(,)64x ππ∈时，1sin 22x <<，10cos 22x << 所以sin cos2sin cos2x x x x >>问题转化为方程2cos2sin sin cos2x x x x =+在(,)64ππ内是否有解设()sin sin cos 22cos 2G x x x x x =+-，(,)64x ππ∈ 则()cos cos cos 22sin 2(2sin )G x x x x x x '=++- 因为(,)64x ππ∈，所以()0G x '>，()G x 在(,)64ππ内单调递增又1()064G π=-<，()042G π=> 且函数()G x 的图象连续不断，故可知函数()G x 在(,)64ππ内存在唯一零点0x ，即存在唯一的0(,)64x ππ∈满足题意 （Ⅲ）依题意，()sin cos 2F x a x x =+，令()sin cos 20F x a x x =+=当sin 0x =，即()x k k Z π=∈时，cos21x =，从而()x k k Z π=∈不是方程()0F x =的解，所以方程()0F x =等价于关于x 的方程cos 2sin xa x=-，()x k k Z π≠∈ 现研究(0,)(,2)x πππ∈U 时方程解的情况 令cos 2()sin xh x x=-，(0,)(,2)x πππ∈U 则问题转化为研究直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)x πππ∈U 的交点情况22cos (2sin 1)()sin x x h x x +'=，令()0h x '=，得2x π=或32x π=当x 变化时，()h x 和()h x '变化情况如下表当0x >且x 趋近于0时，()h x 趋向于-∞ 当x π<且x 趋近于π时，()h x 趋向于-∞ 当x π>且x 趋近于π时，()h x 趋向于+∞ 当2x π<且x 趋近于2π时，()h x 趋向于+∞故当1a >时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有无交点，在(,2)ππ内有2个交点； 当1a <-时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内无交点； 当11a -<<时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)π内有2个交点，在(,2)ππ内有2个交点 由函数()h x 的周期性，可知当1a ≠±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内总有偶数个交点，从而不存在正整数n ，使得直线y a =与曲线()y h x =在(0,)n π内恰有2013个交点；当1a =±时，直线y a =与曲线()y h x =在(0,)(,2)πππU 内有3个交点，由周期性，20133671=⨯，所以67121342n =⨯=综上，当1a =±，1342n =时，函数()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点 21．（本题满分14分） （1）（本小题满分7分）矩阵与变换已知直线:1l ax y +=在矩阵1201A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下变为直线':1l x by +=． （1）求实数,a b 的值；（2）若点00(,)p x y 在直线l 上，且0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求点p 的坐标． 本小题主要考查矩阵．矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力．考查化归与转化思想．满分7分．解：解：（Ⅰ）设直线:1l ax y +=上任意一点(,)M x y 在矩阵A 对应的变换作用下的像是(,)M x y '''由12201x x x y y y y '+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x y y y '=+⎧⎨'=⎩又点(,)M x y '''在l '上，所以1x by ''+=，即(2)1x b y ++=依题意121a b =⎧⎨+=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩（Ⅱ）由0000x x A y y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得000002x x y y y =+⎧⎨=⎩解得00y =又点00(,)P x y 在直线l 上，所以01x = 故点P 的坐标为(1,0)（2）（本小题满分7分）坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系．已知点A 的极坐标为)4π，直线l 的极坐标方程为cos()4a πρθ-=，且点A 在直线l 上． （1）求a 的值及直线l 的直角坐标方程；（2）圆c 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩，（α为参数），试判断直线l 与圆的位置关系．本小题主要考查极坐标与直角坐标的互化．圆的参数方程等基础知识．考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）由点)4A π在直线cos()4aπρθ-=上，可得a =所以直线l 的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线l 的直角坐标方程为20x y +-=（Ⅱ）由已知得圆C 的直角坐标方程为22(1)1x y -+= 所以圆心为(1,0)，半径1r =以为圆心到直线的距离12d =<，所以直线与圆相交 （3）（本小题满分7分）不等式选讲 设不等式*2()x a a N -<∈的解集为A ，且32A ∈，12A ∉． （1）求a 的值；（2）求函数()2f x x a x =++-的最小值．本小题主要考查绝对猪不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分．解：（Ⅰ）因为32A ∈，且12A ∉，所以322a -<，且122a -≥解得1322a <≤，又因为*a N ∈，所以1a = （Ⅱ）因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--=当且仅当(1)(2)0x x +-≤，即12x -≤≤时取得等号，所以()f x 的最小值为3。
2013年厦门市高中阶段招生考试-数学
2013年某某市高中阶段招生考试数学〔试卷总分为：150分考试时间：120分〕某某号__________________某某__________________座位号_________须知事项：1．解答内容一律写在答题卡上，否如此不能得分．2．选择题使用2B．一、选择题〔本大题共6小题，每一小题4分，共24分．每一小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的〕1.在实数0，－π，3-，－3中，最小的数是A.0B.－πC.－3D.3-2．在如下列图的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是3和－1，如此点C所对应的实数是A．1+3B．2+3C．23－1D．23+13．点(2,3)M在双曲线kyx上，如此如下各点一定在该双曲线上的是A．(3,2)B．(2,3)C．(2,3)D．(3,2)4. 文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，假如输入7，如此输出的结果为A. 5B. 6C. 7D. 85.区思明湖里集美海沧翔安同安最高气温27 28 27 28 29 28如此这6个区该日最高气温的众数和中位数分别是A．27，28 B．27，27 C．28，28 D．28，296. 如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心，OD为半径的DE上，假如OA=2，∠1=∠2，如此扇形ODE的面积为A.43πB.53πC. 2πD. 3π二、填空题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分〕 7. 反比例函数xy 2=，当42≤≤x 时，y 的取值X 围是. 8. 假如x x -+-33有意义，如此=x . 9. 5m n +=，2-=mn ，如此()()33m n --=. 10.分解因式：23123xy x-=．11. 从－1，1，－2，2四个数中任取两个数，将它们的乘积作为一次函数y=kx+3的k 值，如此所得一次函数中y 随x 的增大而增大的概率是___________.12. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝10，BC ＝5，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，将矩形ABCD沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在矩形ABCD 外部的点A 1、D 1处，如此阴影局部图形的周长为________________.13. 正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如下列图的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…和点C 1，C 2，C 3，…分别在直线y kx b =+(k ＞0)和x 轴上，点B 1(1，1)， B 2(3，2)， 如此B n 的坐标. 14. 正比例函数1y x =，反比例函数21y x =，由1y 、2y 构造一个新函数1y x x=+，其图象如下列图．〔因其图象似双钩，我们称之为“双钩函数〞〕给出如下几个命题： ① 该函数的图象是中心对称图形；② 当0x <时，该函数在1x =-时取得最大值－2； ③y 的值不可能为1；④ 在每个象限内，函数值y 随自变量x 的增大而增大．其中正确的命题是〔请写出所有正确命题的序号〕．三、解答题〔本大题共8小题，共86分〕15.〔此题总分为7分〕︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-60tan 3320133101π16.〔此题总分为9分〕如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF . 求证：AF=DC17.〔此题总分为9分〕a 是一元二次方程2320x x +-=的实数根， 求代数式2352362a a a a a -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值.18. 〔此题总分为10分〕在实施“中小学校舍安全工程〞之际，某县计划对A 、B 两类学校的校舍进展改造．根据预测，改造一所A 类学校和三所B 类学校的校舍共需资金480万元，改造三所A 类学校和一所B 类学校的校舍共需资金400万元． 〔1〕改造一所A 类学校和一所B 类学校的校舍所需资金分别是多少万元？ 〔2〕该县A 、B 两类学校共有8所需要改造．改造资金由国家财政和地方财政共同承当，假如国家财政拨付资金不超过770万元，地方财政投入的资金不少于210万元，其中地方财政投入到A 、B 两类学校的改造资金分别为每所20万元和30万元，请你通过计算求出有几种改造方案，每个方案中A 、B 两类学校各有几所．19.〔此题总分为12分〕在平面直角坐标系中，点A ()0,2，P 是函数()0>=x x y 图象上一点，PQ ⊥AP 交y 轴 于点Q .〔1〕求证：AP =PQ ；〔2〕设点P 的横坐标为a ，点Q 的纵坐标为b ，假如210<OP ，求b 的取值X 围.20.〔此题总分为13分〕如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 分别在两个半圆上〔不与点A 、B 重合〕，AD ，BD 的长分别是方程22123(213)04x x m m -+-+=的两个实数根.〔1〕假如∠ADC =︒15,求CD 的长；〔2〕求证：AC+BC =2CD .21．〔此题总分为13分〕点P 是函数y ＝12x 〔x ＞0〕图象上一点，P A ⊥x 轴于点A ，交函数y ＝k x 〔x ＞0〕图象于点E ，PB ⊥y 轴于点B ，交函数y ＝kx 〔x ＞0〕图象于点F ．〔点E 、F 不重合〕〔1〕求证：EF ∥AB ；〔2〕假如k ＝1，试问：△OEF 能否为直角三角形？假如能，请求出此时点P 的坐标；假如不能，请说明理由．22.〔此题总分为13分〕抛物线2412++=x x y ，过点F 〔－2，2〕的直线交该抛物线于M 、N 两点〔点M 在点N 的左边〕，MA ⊥x 轴于点A ，NB ⊥x 轴于点B ． 〔1〕求证：NF =NB ；〔2〕假如射线NM 交x 轴于点P ，且P A •PB =，求点M 的坐标．第20题OABC2013年某某市高中阶段招生考试数学参考答案与评分标准一、选择题〔本大题共6小题，每一小题4分，共24分．每一小题都有四个选项，其中有且只有一个选项是正确的〕 题号 1 2 3 4 5 6 选项BDABCA二、填空题〔本大题共8小题，每一小题5分，共40分〕 7.121≤≤y 8. 39. -810.)2)(2(3y x y x x -+ 11.3112. 30 13.()12,12--n n 14. ①②③ 三、解答题〔本大题有8小题，共86分〕15.〔此题总分为7分〕︒-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-60tan 3320133101π 原式=3313⋅-+=116.〔此题总分为9分〕 证明： E 是AD 的中点， ED AE =∴AF //BC,DBE AFE ∠=∠∴又DEB AEF ∠=∠DEB AEF ∆≅∆∴ BD AF =∴D 是BC 的中点DC BD =∴DC AF =∴解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+÷--252)2)(2()2(33a a a a a a a =29)2(332--÷--a a a a a =aa a a 931)3(312+=+ a 是方程0232=-+x x 的实数根∴232=+a a ∴原式=61231)3(312=⨯=+a a18. 〔此题总分为10分〕 解：〔1〕设改造一所A 类学校的校舍需资金x 万元，改造一所B 类学校的校舍所需资金y 万元，如此34803400x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得90130x y =⎧⎨=⎩答：改造一所A 类学校的校舍需资金90万元，改造一所B 类学校的校舍所需资金130万元．〔2〕设A 类学校应该有a 所，如此B 类学校有〔8-a 〕所． 如此()()()()203082109020130308770a a a a +-≥⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩，解得31a a ≤⎧⎨≥⎩∴1≤a ≤3，即a=1，2，3．答：有3种改造方案．方案一：A 类学校有1所，B 类学校有7所； 方案二：A 类学校有2所，B 类学校有6所； 方案三：A 类学校有3所，B 类学校有5所．证明：(1) 过P 作x PM ⊥轴于M ，过P 作y PN ⊥轴于N ,︒=∠=∠∴90PNQ PMAP 在直线)0(,>=x x y 上，OMPN ∴是正方形PNPM MPN =︒=∠∴,90又PA PQ ⊥ ︒=∠∴90APQ︒=∠+∠=∠+∠∴9021MPQ MPQ PNPM PNQ PMA =∠=∠∠=∠∴,,21又PNQ PMA ∆≅∆∴PQ AP =∴(2) a OM A =),0,2( a AM -=∴2 又PNQ PMA ∆≅∆a AM NQ -==∴2正方形OMPN ON OM =∴b a a +-=∴222-=∴a b在21022<==∆a OM OP POM Rt 中， 0,10><∴a a 又100<<∴a又在0222>-=中，a b b ∴随a 的增大而增大，182<<-∴bEE解：过D 做于BC DH ⊥HBD AD , 的长是方程的实数根，0)1()132(1222≥--=+--=∆∴m m m1=∴m 3==∴BD ADAB 是直径，︒=∠=∠︒=∠∴45,90DBA DAB ADB又︒=∠∴︒=∠=∠60,15DBH ADC ABC2360sin =︒•=∴BD DH 22345sin ,45=︒=︒=∠=∠∴DH CD DAB DCB (2)方法一：延长CA 至E ，使DE CB AE 连,= CBD EAD BD AD ∠=∠=,DE CD BDC ADE BDC ADE =∠=∠∴∆≅∆∴,,︒=∠=∠=∠∴45AC D DC B E∴Rt CDE ∆中，CD CE 2= CD BC AC 2=+∴方法二：延长CB 至G ，使DG CA BG 连,= 易证：AC D BGD ∆≅∆︒=∠=∠∴45G DC BCD CDG Rt 2CG =∆中， CD BC AC 2=+∴解：设),0)(,2(>a a a P 如此),(),2,2(),,0(),0,2(a akF a k a E a B a A 2122,212=--===∴ak a a k a PFPE a a PB PA EF PBPAPF PE ∴=∴,//AB (2)设),1(),21,2(),,0(),0,2(,1),,2(a aF a a E a B a A k a a P ∴= 5455)21()12(1,41422222222222-+=-+-=+=+=∴aa a a a a EF a a OF aa OE易知︒<∠90EOF当︒=∠90OEF 时，有222OF EF OE =+22222215455414a a a a a a +=-+++∴，解得22,4221==a a 当22=a 时，F E ,点重合，不合题意，舍去 )42,22(,42P a ∴=∴ 同理当︒=∠90OFE 时，可得)2,22(2P a ∴= 综上所述，当)42,22(为P )2,22(为或P 时，OEF ∆为直角三角形〔1〕∵点N 在抛物线上，∴点N 的纵坐标为2124a a ++ 即点N (a ,2124a a ++) 过点F 作FC ⊥NB 于点C ， 在Rt △F 中，FC =a +2，NC =NB -CB =214a a +, ∴2NF ＝22NC FC +＝2221()(2)4a a a +++=2221()(4)44a a a a ++++而2NB =221(2)4a a ++＝2221()(4)44a a a a ++++∴2NF ＝2NB ，NF =NB〔2〕方法一：连结AF 、BF由NF =NB ，得∠NFB =∠NBF ， 由〔2〕的结论知，MF =MA ，∴∠MAF =∠MF A ,∵MA ⊥x 轴，NB ⊥x 轴， ∴MA ∥NB ,∴∠AMF +∠BNF =180° ∵△MAF 和△NFB 的内角总和为360°, ∴2∠MAF +2∠NBF =180°，∠MAF +∠NBF =90°, ∵∠MAB +∠NBA =180°， ∴∠FBA +∠F AB =90° 又∵∠F AB +∠MAF =90° ∴∠FBA =∠MAF =∠MF A 又∵∠FP A =∠BPF ， ∴△PF A ∽△PBF ，∴PF PBPA PF=，2PF PA PB =⨯=1009 过点F 作FG ⊥x 轴于点G ,在Rt △PFG 中，PG =22PF FG -=83，∴PO =PG +GO =143，∴P (－143, 0)设直线PF ：y kx b =+，把点F 〔－2 , 2〕、点P (－143, 0)代入y kx b =+ 解得k =34，b =72，word11 / 11 ∴直线PF ：3742y x =+ 解方程21372442x x x ++=+，得x =－3或x =2〔不合题意，舍去〕 当x =－3时，y =54，∴M 〔－3 ,54〕 方法二：设直线MN 的解析式为上在MN )2,2(),0(-≠+=F k b kx y22+=∴k b 22:++=∴k kx y l MN ，)0,22(kk P +- 联立⎪⎩⎪⎨⎧++=++=22412k kx y x x y 整理得：08)44(2=---k x k x设方程两根k x x k x x x x 8,44,212121-=⋅-=+则21,x x x x x x B N A M ====又,9100))((=--=•p B p A x x x x PB PA 解之得43),0(1692=∴>=k k k 2,3,06212=-=∴=-+∴x x x x )45,3(-∴M。
福建省厦门市高三数学适应性考试题 理(厦门5月质检)
福建省厦门市2012年高中毕业班适应性考试数学（理）试题注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答，答题前，请在答题卷内填写学校、班级、学号、姓名；2．本试卷分为第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：锥体体积公式：13V Sh =（其中S 为底面面积，h 为高）第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合要求．1．复数241i z i-=+（i 为虚数单位）的共轭复数等于 A ．1+3i B ．1- 3i C ．-1 +3i D ．-1 -3i2．“2<x<3”是“x （x-5）<0”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．某赛季甲、乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况用茎叶图记录，下列四个结论中，不正确的是A ．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差B ．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数C ．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值D ．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定4．已知圆C:（x+l ）2+y 2=1，过点P （ -3，0）作圆的两条切线，切点为A ，B ，则四边形PACB的面积等于A B C ．2 D ．5．等差数列{n a }中，14(*)n n a a n n N ++=∈，则其公差d 等于A ．2B ．4C ．±2D ．+46．某校3名艺术生报考三所院校，其中甲、乙两名学生填报不同院校，则填报结果共有A ．18种B ．19种C ．21种D ．24种7．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体中相互垂直的棱共有A ．3对B ．4对C ．5对D ．6对 8．函数,sin x y a y ax ==（a>0且a ≠1）在同一个直角坐标系中的图象可以是9．已知F 1，F 2分别是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线C 在第二象限的交点为P ，若双曲线的离心率为5，则cos 21PF F ∠等于A ．35B ．34C ．45D ．5610．将ln y x =的图象绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y 轴相切，则角θ满足的条件是A ．esin θ= cos θB ．sin θ= ecos θC ．esin θ=lD ．ecos θ=1第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．执行右边的程序，输出的结果是 ．12．已知函数2()122cos f x x x =-+，则函数()y f x =的单调递减区间是 ． 13．已知△ABC 外接圆的圆心为O ，且320,OA OB OB ++=则∠AOC= ．14．如图，射线(0)x ≥上的点A 1，A 2，…，A n ，其中A 1（1，A 2（，且111||||(2,3,4,...).2n n n n n A A A A n A +-==则的横坐标是 ．15．定义在R 上的函数()f x ，其图象是连续不断的，如果存在非零常数λ（λ∈R ，使得对任意的x ∈R ，都有f （x+λ）=λf （x ），则称y=f （x ）为“倍增函数”，λ为“倍增系数”，下列命题为真命题的是____（写出所有真命题对应的序号）．①若函数()y f x =是倍增系数λ=-2的倍增函数，则()y f x =至少有1个零点；②函数()21f x x =+是倍增函数，且倍增系数λ=1；③函数()x f x e -=是倍增函数，且倍增系数λ∈（0，1）； ④若函数()sin(2)(0)f x x ωω=>是倍增函数，则(*)2k k N πω=∈. 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分13分）为适应2012年3月23日公安部交通管理局印发的《加强机动车驾驶人管理指导意见》，某驾校将小型汽车驾照考试科目二的培训测试调整为：从10个备选测试项目中随机抽取4个，只有选中的4个项目均测试合格，科目二的培训才算通过．已知甲对10个测试项目测试合格的概率均为0．8；乙对其中8个测试项目完全有合格把握，而对另2个测试项目却根本不会．（I ）求甲恰有2个测试项目合格的概率；（Ⅱ）记乙的测试项目合格数力ξ，求ξ的分布列及数学期望E ξ．17．（本小题满分13分）如图，三棱柱ADF — BCE 中，所有棱长均为2，∠ABC=60°，∠ABE=90°，平面ABCD ⊥平面ABEF ，M ，N 分别是AC ，BF 上的动点．（I ）若M ，N 分别是AC ，BF 的中点，求证：MN ∥平面ADF ；（Ⅱ）若AM=FN =a （0≤a ≤2），当四面体AMNB 的体积最大时，求实数a 的值．18．（本小题满分13分）已知函数()sin(2),f x A x θ=+其中A ≠0,(0,)2πθ∈，试分别解答下列两小题．（I ）若函数()f x 的图象过点E (,1),(126F ππ-，求函数()y f x =的解析式； （Ⅱ）如图，点M ，N 分别是函数()y f x =的图象在y 轴两侧与x 轴的两个相邻交点，函数图象上的一点P （t ）满足2,16PN MN π⋅=求函数f （x ）的最大值．19．（本小题满分13分）如图，在一段笔直的国道同侧有相距120米的A ，C 两处，点A ，C 到国道的距离分别是119米、47米，拟规划建设一个以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的临时仓库，且四周围墙总长为400米，根据公路法以及省公路管理条例规定：建筑物离公路距离不得少于20米．若将临时仓库面积建到最大，该规划是否符合规定？20．（本小题满分14分）已知函数f （x ）=21nx+ax 2 -1 （a ∈R ）（I ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若a=l ，试解答下列两小题． （i ）若不等式(1)(1)f x f x m ++-<对任意的0<x<l 恒成立，求实数m 的取值范围；（ii ）若x 1，x 2是两个不相等的正数，且以12()()0,f x f x +=求证：12 2.x x +>21．本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．（1）（本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换已知111e ⎛⎫= ⎪⎝⎭是矩阵10a M b ⎛⎫= ⎪⎝⎭属于特征值1λ=2的一个特征向量．（I ）求矩阵M ；(Ⅱ)若21a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求10M a ． （2）（本小题满分7分）选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，A （l ，0），B （2，0）是两个定点，曲线C 的参数方程为2cos (sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）． （I ）将曲线C 的参数方程化为普通方程；（Ⅱ）以A （l ，0为极点，|AB |为长度单位，射线AB 为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲（I ）试证明柯西不等式：22222()()()(,,,);a b x y ax by a b x y R ++≥+∈（Ⅱ）若222,x y +=且2211||||,()()x y x y x y ≠+++求的最小值．。
高三数学月考试题及答案-丰城市2013届高三高考适应性考试试卷4(理)
江西省丰城市2013届高三高考适应性考试数学理科试卷4一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．设A 、B 为非空集合,定义集合A*B 为如图非阴影部分表示的集合，若{|A x y =={|3,0},x B y y x ==>则A*B= （ ）A ．（0，2）B ．[0,1]∪[2，+∞）C ．（1,2]D ．[0,1]∪（2，+∞） 2．“非空集合M 不是P 的子集”的充要条件是（ ） A ．P x M x ∉∈∀, B ．M x P x ∈∈∀, C ．P x M x ∈∈∃11,又P x M x ∉∈∃22,D ．P x M x ∉∈∃00,3．若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该 命题称为“可换命题”下列四个命题，其中是“可换命题”的是（ ）①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行； ③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行． A ．①② B ．①④ C ．①③ D ．③④ 4．阴影部分面积s 不可用()()[]⎰-=badx x g x f s 求出的是（ ）5．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02的形状是（ ）A ．∠C 为钝角的三角形B ．∠B 为直角的直角三角形C ．锐角三角形D ．∠A 为直角的直角三角形6．若复数1a i =-，则1019228101010222a C a C a -+-+= （ ） A ．32i - B ． 32 C ．32i D ．32-7．临川二中的某教学楼共五层，甲、乙、丙、丁四人走进该教学楼2～5层的某一层楼上课， 则满足有且仅有一人上5楼上课，且甲不在2楼上课的所有可能的情况有（ ）种 A ．81 B ．27 C ．54 D ．108 8．如图：已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点．如果一只蜜蜂在 正方体ABC －A 1B 1C 1D 1内部任意飞，则它飞入三棱锥A 1－BDE 内部的概率为 （ ）A ．41 B ．31C ．21D ．529．椭圆)0(1:22221>>=+b a by a x C 的左准线为，左、右焦点分别为21,F F ，抛物线2C 的准线也为，焦点为2F ，记1C 与2C 的一个交点为P ，则AB=-||||||||21121PF PF PF F F ( )A ．12B ．1C ．2D ．与a ，b 的取值有关10．已知函数32()31,f x x x =-+21,0()468,0x x g x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪---≤⎩，关于方程[()]0g f x a -= （a 为正实数）的根的叙述有下列四个命题①存在实数a ，使得方程恰有3个不同的实根； ②存在实数a ，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数a ，使得方程恰有5个不同的实根； ④存在实数a ，使得方程恰有6个不同的实根； 其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题（每题5分，共25分）11. 在样本的频率分布直方图中，一共有n 个小矩形，若中间一个小矩形的面积等于其余（n-1）个小矩形面积之和的15，且样本容量为240，则中间一组的频数是 12．观察下列几个三角恒等式:①tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=； ②tan13tan35tan35tan 42tan 42tan131++=；③tan5tan100tan100tan(15)tan(15)tan51+-+-=④tan(160)tan(22)tan(22)tan 272tan 272tan(160)1--+-+-=一般地,若tan ,tan ,tan αβγ都有意义,你从这四个恒等式中猜想得到的一个结论为 .13．如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3，4，5，6的横纵坐标分别对应数列{}*()n a n N ∈的前12项，如下表所示：按如此规律下去，则200920102011a a a ++= .14.已知正四面体ABCD 的棱长为1，若以的方向为左视方向，则该正四面体的左视图与俯视图面积和的取值范围为 .15．选做题（请考生在两个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分）．(1)在极坐标系中,过圆6cos ρθ=的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 1x 1y 2x 2y 3x 3y 4x 4y 5x 5y 6x 6y为 . （2）若对于任意角θ，都有1sin cos =+ba θθ，则下列不等式中恒成立的是 A. 122≤+b a B. 122≥+b a C. 11122≤+b a D. 11122≥+ba三、解答题(本大题共6小题，计75分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷的指定区域内) 16．（本小题满分12分） 已知向量(2c m x =向量(c s ,3s i nn x =，2220102010()1cot 1tan f x m n x x=⋅++++（1）化简()f x 的解析式，并求函数的单调递减区间；（2）在△ABC 中，c b a ,,分别是角A,B,C 的对边，已知ABC b A f ∆==,1,2012)(的面积为23，求C A c a sin sin )(1005++.17．（本小题满分12分）为了评估天气对大运会的影响，制定相应预案，深圳市气象局通过对最近50多年的气象数据资料的统计分析，发现8月份是本市雷电天气高峰期，在31天中平均发生雷电14.57天如图．如果用频率作为概率的估计值，并假定每一天发生雷电的概率均相等，且相互独立．（1）求在大运会开幕（8月12日）后的前3天比赛中，恰好有2天发生雷电天气的概率（精确到0.01）；（2）设大运会期间（8月12日至23日，共12天），发生雷电天气的天数为X ，求X的数学期望和方差．18．（本小题满分12分）一个几何体是由圆柱11ADD A 和三棱锥E ABC -组合而成，点A 、B 、C 在圆O 的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图所示，其中EA ABC ⊥平面， AB AC ⊥，AB AC =，2AE =． （1）求证：AC BD ⊥；（2）求二面角A BD C --的平面角的大小．246819．（本小题满分12分）执行下面框图所描述的算法程序，记输出的一列数依次为1a ，2a ，…，n a ，*N ∈n ，2011≤n ．（1）若输入2＝λ，写出输出结果；（2）若输入2＝λ，求数列}{n a（3）若输入2>λ，令1--=n n n pa pa c ，求常数p （1±≠p ），使得}{n c20．（本小题满分13分）已知抛物线C ：y x 42=的焦点为F ，过点F 作直线交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率23=e ． （1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥；（3） 椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线MA''、MB ''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线MA ''、MB ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分14分） 已知函数x b ax x f sin )(+=，当3π=x 时，)(x f 取得极小值33-π.（1）求a ，b 的值；AODE正（主）视图E A侧（左）视图 A 1D 1A D 1A 1EBCO D（2）设直线)(:x g y l =，曲线)(:x F y S =.若直线与曲线S 同时满足下列两个条件：①直线与曲线S 相切且至少有两个切点；②对任意R x ∈都有)()(x F x g ≥.则称直线为曲线S 的“上夹线”. 试证明：直线2:+=x y l 是曲线x b ax y S sin :+=的“上夹线”. （3）记)](5[81)(x f x x h -=，设1x 是方程0)(=-x x h 的实数根，若对于)(x h 定义域中任意的2x 、3x ，当1||12<-x x ，且1||13<-x x 时，问是否存在一个最小的正整数M ，使得32|()()|h x h x M -≤恒成立，若存在请求出M 的值；若不存在请说明理由.参考答案1～10 DDCDD CAABD11.40 12. 90,tan tan tan tan tan tan 1αβγαββγγα++=++=当时13.1005 14. ]422,22[+ 15．（1）3cos =θρ （2）D 16.（1）()f x 的单调递减区间为：2,,()6223k k k k k Z ππππππππ⎡⎫⎛⎤++++∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦6分（2）由()2012,1,f A b ABC ==∆,2,3A c a π===…9分∴1005()2010sin sin a c A C +==+……………………………………………12分 17（1）设8月份一天中发生雷电天气的概率为p ，由已知47.03157.14==p ．…2分 )47.01(47.0223-⨯⨯=C P 351231.0=35.0≈． ……………6分 （2）由已知X ～)47.0,12(B ． …………………8分所以，X 的数学期望64.547.012)(=⨯=X E ． …………………………10分X 的方差9892.247.0147.012)(）＝－（⨯⨯=X D ． …………………………12分 18.（1）BD 在平面上的射影为AB ，而AC AB ⊥，由三垂线定理得，BD AC ⊥…4分 （2）由已知得：2=AD ，2=OA ， 22=AB ， 32=BD ………………6分 过A 点作BD AH ⊥于H ，连结CH ，由AC BD ⊥，故AHC ∠为所求二面角的平面角22=AC ∴3tan ==∠AH AC AHC 故3π=∠AHC ，所求二面角平面角的大小为3π…12分 19. 解 （1）输出结果是：0，22，2．……3分（2）（法一）由程序框图知，01=a ，nn a a -λ=+11，*N ∈n ，2010≤n ．所2＝λnn a a -=+211，… 5分nn n n a a a a --=--=-+2112111，而}{n a 中的任意一项均不为1，（否则的话，由11=+n a 可以得到1=n a ，…，与101≠=a 矛盾），所以，11112111--=--=-+n n n n a a a a ，111111-=---+n n a a （常数），*N ∈n ，2010≤n ．故⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为1-，公差为1-的等差数列， ……………………7分所以，n a n -=-11，数列}{n a 的通项公式为n a n 11-=，*N ∈n ，2011≤n ．…8分（3）当2>λ时，)(11111222111p p pa p p p a p p a p pa a p p a pa p a c n n n n nn n n n -λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ-⋅=+λ-+λ-=--λ--λ=--=+++， 令112=-λp p ，则p p 1+=λ，012=+λ-p p ，242-λ±λ=p ． ………10分此时，1122=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-λp p p p p p ， 所以n n c p c 21=+，*N ∈n ，2011≤n ，又01≠=p c ，故存在常数242-λ±λ=p （2>λ），使得}{n c 是以p 为首项，2p 为公比的等比数列． ………12分20. 解：（1）设椭圆E 的方程为 22221(0)x y a b a b+=>>，半焦距为c .由已知条件得)1,0(F ，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222231c b a acb 解得E 1422=+y x . ……………… ……………4分 （2）显然直线的斜率存在，否则直线与抛物线C 只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为 1+=kx y ，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠， 由⎩⎨⎧=+=yx kx y 412消去y并整理得 2440x kx --=，∴421-=x x . ∵241x y =，得12y x '=，………5分∴过抛物线C 上A 、B 两点的切线方程分别是)(21111x x x y y -=-，)(21222x x x y y -=-，即 2114121x x x y -= ， 2224121x x x y -=，解得两条切线1l 、2l 的交点M 的坐标为)4,2(2121x x x x +，即)1,2(21-+x x M ，……7分 ∴122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--0)4141(2)(2121222122=---=x x x x ∴MF AB ⊥. ………8分（3）假设存在点M '满足题意，由（2）知点M '必在直线1-=y 上，又直线1-=y 与椭圆E有唯一交点，故M '的坐标为)1,0(-'M ，设过点M '且与抛物线C 相切的切线方程为：)(21000x x x y y -=-，其中点),(00y x 为切点.令1,0-==y x 得，)0(214110020x x x -=--， 解得20=x 或20-=x ， ………10分故不妨取)1,2(),1,2(B A '-'，即直线B A ''过点F .综上所述，椭圆E 上存在一点)1,0(-'M ，经过点M '作抛物线C 的两条切线A M ''、B M '' （A '、B '为切点），能使直线B A ''过点F .此时，两切线的方程分别为1y x =--和1-=x y . …………11分222320011142(1)2()41223S x x dx x x x ⎡⎤=--=-+=⎢⎥⎣⎦⎰ . …………13分21．（1）1=a ，2-=b …………………………………………3分（2）由1c o s 21)(=-='x x f ，得0c o s =x ，当2π-=x 时，0cos =x 此时221+-=πy ，222+-=πy ，21y y =所以)22,2(+--ππ是直线与曲线S 的一个切点，当23π=x 时，0cos =x ，2231+=πy ，2232+=πy ，21y y =所以)223,23(+ππ是直线与曲线S 的一个切点 所以直线与曲线S 相切且至少有两个切点……6分对任意R x ∈，0sin 22)sin 2()2()()(≥+=--+=-x x x x x F x g所以)()(x F x g ≥,因此直线：2+=x y 是曲线S ：x b ax y sin +=的“上夹线” …9分 （3）方法一：4sin 2)(x x x h +=，1x 为04sin 2=+-x x 的根，即01=x ，也即1||3<x ，1||2<x ………10分而04cos 2)(>+='x x x h ∴4sin 21)1()(max x h x h +==，4sin 21)1()(min xh x h --=-=∴221sin 1|)1()1(||)()(|max 23<+=--=-h h x h x h ………………………………13分 所以存在这样最小正整数2=M 使得M x h x h ≤-|)()(|23恒成立.………………14分 方法二：不妨设32x x <，因为0)(>'x h ，所以)(x h 为增函数，所以)()(32x h x h <又因为01)(<-'x h ，所以x x h -)(为减函数，所以3322)()(x x h x x h ->-所以2323)()(0x x x h x h -<-<，………………………………………………………………11分 即2|||||)(||||)()(|121312132323<-+-≤---=-<-x x x x x x x x x x x h x h ………13分 故存在最小正整数2=M ，使得M x h x h ≤-|)()(|23恒成立………………………14分。
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2013年厦门市高中毕业班适应性考试
数学（理科）试题
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的.把答案填写在答题卷的相应位置。
1. 若集合{1},{(0)}xAxyxByyex，则AB等于
.A[1,) .B(0,1] .CR .D
{1}
2.“1,,9x成等比数列”是“3x”的
.A充分不必要条件 .B必要不充分条件 .C充要条件 .D
既不不充分也不必要条件
3. 以下四个命题中错误的是
.A已知随机变量(2,9),XN(1)(1)PXcPXc，则2c
.B
两个随机变量相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1
.C
在回归直线方程ˆ0.212yx中，当解释变量x每增加一个单位时，预报变量ˆy平均增加0.2个单位
.D
对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k，k越小，“X与Y有关系”的把握程度越大.
4. 执行如图所示的程序框图，输出s的值等于
.A98 .B100 .C2450 .D
2550
5. 已知三棱锥的底面是正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为
.A32 .B338 .C34 .D
2
3
6. 已知函数sin()yAx的图象如图所示，则该函数的解析式可能是
.A441sin()555yx .B31sin(2)25yx .C441sin()555yx .D
41
sin(2)55yx
Q
C
A
B
P
7.若变量,xy满足约束条件02143yxyxy则35zxy的取值范围是
.A[3,) .B[8,3] .C(,9] .D
[8,9]
8.已知12,AA为椭圆2214xy的左右顶点，在长轴12AA上随机任取点M，过M作垂直于x轴的直线交椭
圆于点P，则使01245PAA的概率为
.A45 .B710 .C310 .D
1
5
9. 如图，PQ是半径为1的圆A的直径，ABC是边长为1的正三角形，
则BPCQ的最大值为
.A14 .B12 .C32 .D
1
10. 有限集合的元素可以一一数出来，无限集合的元素虽然不能数尽，但是可以比较两个集合元素个数的多
少. 例如，对于集合{1,2,3,...,,...}An与{2,4,6,...,2,...}Bn，我们可以设计一种方法得出A与B的元素
个数一样多的结论.类似地，给出下列4组集合：
（1）{1,2,3,...,,...}An与{2,4,8,...,2,...}nB （2）[0,1]A与[0,2]B
（3）(0,2]A与[1,)B （4）22{(,)1}Axyxy与22{(,)1}4xBxyy
元素个数一样多的有
.A1组 .B2组 .C3组 .D
4组
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卷的相应位置．
11.若复数22(1)zmmmi（i为虚数单位）为纯虚数，则实数m______
12.已知14endxx，则1()nxx的二项展开式中2x的系数是_________. （用数字作答）
13. 已知双曲线系22*:()()1()1nxnynNn，记第n条双曲线的渐近线的
斜率为(0)nnkk，则12...nkkk________
14.
如图，树顶A离地面9米，树上另一点B离地面3米，欲使小明从
离地面1米处看A、B两点的视角最大，则他应离此树____米
15. 若函数()yfx对定义域D的每一个1x，都存在唯一的2xD，使12()()1fxfx成立，则称()fx为
“自倒函数”，下列命题正确的是______________.(把你认为正确自倒函数命题的序号都填上)
B
A
C
（1）()sin2([,])22fxxx是自倒函数； （2）自倒函数()fx的值域可以是R
（3）自倒函数()fx的可以是奇函数
（4）若(),()yfxygx都是自倒函数，且定义域相同，则()()yfxgx是自倒函数
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写在答题卷相应位置，要写出文字说明、证明过程或演算
步骤．）
16.(本题满分13分) 如图（1），正方体1111ABCDABCD的棱长为2，点11,EF分别是边1111,ABCD的中点.
沿平面11BCFE将正方体切割成左右两个几何体，再将
右边的几何体补到左边，形成如图（2）的几何体.
（1）判断直线11AF与直线EC是否平行，并加于证明
（2）求直线1FD与平面11BCFE所成角的正弦值
17. (本题满分13分) 已知向量2(3sin,1),(cos,cos)222xxxmn，函数
1
()2fxmn
（1）若(,)36x，求()fx的取值范围
（2）在ABC中,角,,ABC的对应边分别是,,abc,若()1fB,()1,5,53fBab，求ABC的面积.
18. (本题满分13分) 已知点(1,0)F,直线:1lx，点P在直线l上运动，PQl，线段PF与y轴的交
点为R，且
0RQFP
.
（1）求动点Q的轨迹C的方程
（2）直线l与x轴交于点M，过F的直线1l交轨迹C于,AB两点，试探究点M与以AB为直径的圆的位
置关系，并加以说明.
19. (本题满分13分)
“五一”期间，甲乙两个商场分别开展促销活动．
(1)甲商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖一次．从装有大小、形状相同的4个白球、
4个黑球的袋中摸出4个球，中奖情况如下表：
摸出的结果 获得奖金（单位：元）
4个白球或4个黑球 200
3个白球1个黑球或3个黑球1个白球 20
2个黑球2个白球 10
记X为抽奖一次获得的奖金，求X的分布列和期望。
(2)乙商场的规则是：凡购物满100元，可抽奖10次. 其中，第n（(1,2,3,...,10)n次抽奖方法是：从编号
为n的袋中（装有大小、形状相同的n个白球和n个黑球）摸出n个球，若该次摸出的n个球颜色都相同，
则可获得奖金152n元. 各次摸奖的结果互不影响，最终所获得的总奖金为10次奖金之和.
若某顾客购买120元的商品，不考虑其它因素，从获得奖金的期望分析，他应该选择哪一家商场？
20. (本题满分14分)函数2()ln()fxxaxaR
（1）讨论()fx的单调性
（2）设函数()yfx在点(1,(1))Af处的切线为l，若l在点A处穿过函数()yfx的图象（即动点在点A
附近沿曲线()yfx运动，经过点A时，从l的一侧进入另一侧），求a的值
（3）若0a，函数()yfx的图象与直线yax有且只有一个公共点，求a的值
21. 本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按
所做的前两题计分。
(1)（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换
如图，矩形OABC和平行四边形111CBOA的部分顶点坐标为：
)0,2(),1,21(),2,1(),0,1(11CABA
．
（Ⅰ）求将矩形OABC变为平行四边形111CBOA的线性变换对应的
矩阵M；
（Ⅱ）矩阵M是否存在特征值？若存在，求出矩阵M的所有特征值及其对应的一个特征
向量；若不存在，请说明理由．
(2)（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C的圆心坐标为
(2,)3C
，半径为2. 以极点为原点，极轴为x的正半轴，取相
同的长度单位建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为312132xtyt（t为参数）
（1）求圆C的极坐标方程
（2）设
l与圆C的交点为,AB，l
与x轴的交点为P，求PAPB
(3)（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲
（1）证明二维形式的柯西不等式：22222()()()(,,,)abcdacbdabcdR
（2）若实数,,xyz满足2223,xyz求22xyz的取值范围
x
y
B
1
C
A
1
C1BAO