(完整版)高考解三角形大题(30道)
解三角形大题全国卷高考题汇总
解三角形大题全国卷高考题汇总(11-19)(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--解三角形全高考国题汇总一全国1卷(19年1卷）17.的角内A ，B ，C 的分对边别为a ，b ，c ，设．（1）求A ；（2）若，求sin C ．【分析】（1）利用正弦定理化已知角系式可得：简边关，而可整理出从，根据可求得果；（结2）利用正弦定理可得，利用、角和差正弦公式可得于两关和的方程，合同角三角函系解方程可求得果结数关结.【解】（详1）即：由正弦定理可得：（2），由正弦定理得：又，整理可得：解得：或因为所以，故.（2）法二：，由正弦定理得：又，整理可得：，即由，所以.90ADC ∠=，45A ∠= ，（1（2）（1）在ABD ∆中，由正弦定理得：∵90ADB ∠< ,（2∴【2017，17】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积为（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长【解析】（1）面积．且，，，由正弦定理得，由得．（2）由（1）得，，，，又，，，，由余弦定理得①由正弦定理得，，②由①②得，，即周长为．【2016，17】的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．【解析】⑴，由正弦定理得：，∵，，∴∴，∵，∴，⑵，，∴，∴，，∴周长为【2013，17】如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求P A；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解：(1)由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得P A2＝，故P A＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得，化简得cos α＝4sin α，所以tan α＝，即tan∠PBA＝.【2012，17】已知，，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，．（1）求A；（2）若，△ABC的面积为，求，．【解析】（1）根据正弦定理，得，，，因为，所以，即，（1）由三角形内角和定理，得，代全（1）式得，化简得，因为，所以，即，而，，从而，解得．（2）若，△ABC的面积为，又由（1）得，则，化简得，从而解得，．二．全国2卷（2017·17）的内角的对边分别为 ,已知．（1）求；（2）若 , 面积为2，求．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC 面积的2倍．（）求；Ⅰ（）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．Ⅱ（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（）求A；Ⅰ（）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.Ⅱ2011—平新课标全国卷理科数学试题分类汇编平2017Ⅱ8．三角函数与解三角形（逐题解析版）一、选择题（2016·7）B解析：平移后图像表达式为，令，得对称轴方程：，故选B．（2016·9）D解析：∵，，故选D．（2014·4）B解析：∵，即：，∴，即或．又∵，∴或5，又∵为钝角三角形，∴，即：.（2012·9）A解析：由得，，.（2011·5）B解析：由题知,，故选B.（2011·11）A解析：的最小正周期为π，所以，又，∴f (x)为偶函数，，，故选A.二、填空题（2017·14）【解析】∵，，∴，设，，∴，函数对称轴为，∴．（2016·13）解析：∵，，∴，，，．（2014·14）1 解析：∵∵，∴的最大值为1.（2013·15）解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ. 将其代全sin2θ＋cos2θ＝1，得. 因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝.（2011·16）解析：,，，，，故最大值是.三、解答题（2017·17）的内角的对边分别为 ,已知．（1）求；（2）若 , 面积为2，求．解析：Ⅰ（）【解法1】由题设及，故，上式两边平方，整理得，解得.【解法2】由题设及，所以，又，所以，.（）由，故，又Ⅱ，由余弦定理及得，所以b=2．（2015·17）在∆ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，∆ABD面积是∆ADC 面积的2倍．（）求；Ⅰ（）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．Ⅱ解析：（Ⅰ），，因为，，所以，由正弦定理可得.（Ⅱ）因为，，所以，在和中，由余弦定理知，，，故，由（Ⅰ）知，所以.（2013·17）在△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin A＝sin B cos C＋sin C sin B ①，又A＝π-(B+C)，故sin A＝sin(B+C)＝sin B cos C+cos B sin C ②，由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，又B∈(0，π)，所以.（Ⅱ）△ABC的面积. 由已知及余弦定理得. 又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△ABC面积的最大值为.（2012·17）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，.（）求A；Ⅰ（）若a=2，△ABC的面积为，求b，c.Ⅱ（）由及正弦定理可得解析：Ⅰ，，，，，，，，，，.（），，，Ⅱ，，，解得.三．全国3卷（17年）17．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上一点，且，求的面积．【解析】（1得，即，又，，得由余弦定理.又∵代入并整理得，故.（2）∵，由余弦定理.∵，即为直角三角形，则，得由勾股定理.，则.。
高考数学解三角形专题复习100题（含答案详解）
⾼考数学解三⾓形专题复习100题（含答案详解）2018年⾼考数学解三⾓形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上⼀点，且AD AC,求△ABD的⾯积．4.在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的⾯积．5.的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上⼀点，且，求的⾯积．6.在△ABC中， =60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的⾯积.7.△ABC的三个内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直⾓；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求⾓A的值；(2)若的⾯积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿⽔平⽅向在A,B两点进⾏测量，A,B,C,D在同⼀个铅垂平⾯内. 海底探测仪测得同时测得海⾥。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，⾓A,B,C对边分别为a,b,c，⾓，且.（1）证明：；（2）若⾯积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求⾓C；（Ⅱ）若c=，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长．15.在中，⾓，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若⾓为锐⾓，求的值及的⾯积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平⾏.(I)求A；(II)若,求△ABC的⾯积.18.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的⾯积为．（1）求；（2）若，，求的周长．20.在△ABC中，⾓的对边分别为a，b，c, ，c=，⼜△ABC的⾯积为，求：(1)⾓的⼤⼩；(2)的值．21.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB?sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC⾯积的最⼤值．22.在△ABC中，已知⾓A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求⾓C的⼤⼩；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐⾓△ABC中，内⾓A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满⾜条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内⾓A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的⼤⼩；（2）在锐⾓△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的⼤⼩（II）求的最⼤值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最⼩正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是⾓A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的⾯积为，求的值.28.△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的⼤⼩；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最⼤值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内⾓，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求⾓A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=（Ⅱ）若△ABC 的⾯积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内⾓A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的⼤⼩；（Ⅱ）求的最⼤值.32.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的⾯积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
高考数学大题专练—解三角形(周长问题)
cos (2)cos a B c b A=-解三角形（周长问题）1、ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A．（1）求sin sin B C ；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长．2、△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2a =，（1）求角A 的大小；（2）求△ABC 周长的最大值．3、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cA bB aC =+)cos cos (cos 2（1）求C（2）若7=c ，ABC ∆的面积为233，求ABC ∆的周长4、ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知222sin sin sin sin sin B A C A C --=．（1）求B ；（2）若3b =，当ABC ∆的周长最大时，求它的面积．5、在ABC ∆中，已知3a =，2b c =．（1）若23A π=，求ABC S ∆．（2）若2sin sin 1BC -=，求ABC C ∆．6、已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足51sin()sin(664A A ππ-+=-．（1）求角A 的大小；（2）若ABC ∆为锐角三角形，1a =，求ABC ∆周长的取值范围．7、在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为ABC ∆的面积，且20S AC +⋅=．（1）求A 的大小；（2）若a =1b =，D 为直线BC 上一点，且AD AB ⊥，求ABD ∆的周长．(3sin )sin (1cos cos )b c A C c A C -=-8、已知函数2()sin(sin()2cos 662x f x x x ππ=++--，x R ∈．（1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若2a =且f （A ）0=，ABC ∆3ABC ∆的周长．9、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知（Ⅰ）求B 的值；（Ⅱ）在①934ABC S ∆=，②4A π=，③2a c =这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解决问题．若3b =，_______，求ABC ∆的周长．10、如图，在四边形ABCD 中，33CD =，7BC =7cos 14CBD ∠=-．（1）求BDC ∠；（2）若3A π∠=，求ABD ∆周长的最大值．参考答案1、（1）∵ABC △面积23sin a S A=.且1sin 2S bc A =∴21sin 3sin 2a bc A A =∴223sin 2a bc A =∵由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠得2sin sin 3B C =.（2）由（1）得2sin sin 3B C =，1cos cos 6B C =∵πA B C ++=∴()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=又∵()0πA ∈，∴60A =︒，3sin 2A =，1cos 2A =由余弦定理得2229a b c bc =+-=①由正弦定理得sin sin a bB A =⋅，sin sin a cC A=⋅∴22sin sin 8sin a bc B C A=⋅=②由①②得b c +=∴3a b c ++=+ABC △周长为32、解：（Ⅰ）∵cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C===,得sin cos (2sin sin )cos A B c B A =-，sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=，即sin()2sin cos A B C A +=，又∵A B C π+=-，sin 2sin cos C C A∴=∵(0,)C π∈，∴1cos ,23A A π==．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知3A π=432sin 3a R A ==，22sin 2sin 2(sin sin )32(sin()sin )33a b cR A R BB C C C ππ++=++=++=+--+24sin()6C π=++250,3666C C ππππ<<∴<+< ∴当,623C C πππ+==时，ABC ∆周长最大最大值为2+4=6，即ABC ∆周长最大值是63、（1）由正弦定理得：∵，∴∴，∵∴（2）由余弦定理得：∴∴∴周长为4、解：（1）因为222sin sin sin sin sin B A C A C --=，所以222b a c ac --=，可得222a c b ac +-=-，由余弦定理可得2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，因为(0,)B π∈，所以23B π=．（2）因为23B π=，3b =，所以由余弦定理知，2222222392cos ()()()()24a c b a c ac B a c ac a c a c +==+-=+-+-=+，当且仅当3a c ==所以23a c +ABC ∆的周长最大值为323+3ac =，所以ABC ∆的面积11333sin 322S ac B ==⨯⨯5、解：（1）由余弦定理得22222159cos 224b c a c A bc c +--=-==，解得297c =，21393sin 22414ABC S bc A c ∆∴===；（2）2b c = ，∴由正弦定理得sin 2sin B C =，又2sin sin 1B C -= ，1sin 3C ∴=，2sin 3B =，sin sinC B ∴<，C B ∴<，C ∴为锐角，2122cos 1()33C ∴=-=．由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，又3a = ，2b c =，229482c c c ∴=+-，得：23290c c -+=，解得：425c ±=当4253c +=时，82253b +=325ABC C ∆∴=+当4253c =时，82253b -=，3ABC C ∆∴=+．6、解：（1）因为51sin()sin()664A A ππ-+=-，所以111(cos )()22224A A A A --+=-，即22311cos sin cos 444A A A A --=-，3112(1cos 2)cos 2)884A A A ---+=-112cos 244A A +=，所以可得1sin(2)62A π+=，因为(0,)A π∈，可得2(66A ππ+∈，13)6π，所以5266A ππ+=，可得3A π=．（2）由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，且1a =，3A π=，所以b B =，c C =；所以232321sin )1[sin sin(?)]12sin()3336a b c B C B B B ππ++=++=++=++．因为ABC ∆为锐角三角形，所以得022032B B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62B ππ<<．所以12sin((16B π++∈+，3]；即ABC ∆周长的取值范围是(1+3]．7、解：（1）20S AC ⋅= ，∴12sin cos 02b c A c A ⨯⋅⋅+⋅⋅=，又0b c ⋅>，∴sin 0A A +=，即tan A =，又(0,)A π∈，∴23A π=；（2）在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-⋅，又a =、1b =，23A π=，260c c ∴+-=，又0c >，2c ∴=，在ABC ∆中，由正弦定理得21sin 14B =，又a b >，B ∴为锐角，∴cos 14B =，在Rt ABD ∆中，cos AB B BD =，∴BD 21sin 14AD BD B =⋅==ABD ∴∆的周长为235710234725145+++=．8、解：（1）23131()sin cos 2cos 22222x f x x x x x =++--cos 12sin(16x x x π=--=--，∴当2sin()16x π-=-时，()f x 取得最小值3-，当2sin()16x π-=时，()f x 取得最大值1，即函数()f x 的值域是[3-，1]．（2）由f （A ）2sin()106A π=--=得1sin()62A π-=，0A π<< ，5666A πππ∴-<-<，则66A ππ-=，得3A π=，ABC ∆ ，2a =，∴1sin 23bc π==4bc =，又22222cos()23a b c bc b c bc bc π=+-=+--，即24()12b c =+-，得2()16b c +=，即4b c +=，则周长426a b c ++=+=．9、解：（Ⅰ）因为sin )sin (1cos cos )c A C c A C -=-，sin cos()0C c A C c ++-=，即sin cos )sin C B B C -=，因为(0,)C π∈，sin 0C ≠，cos 2sin()16B B B π-=-=，即1sin(62B π-=，因为0B π<<，5666B πππ-<-<，所以66B ππ-=，可得3B π=．（Ⅱ）若选择条件①，因为1sin 23ABC S ac π∆=，所以9ac =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以2218a c +=，可得2()36a c +=，又0a c +>，解得6a c +=，因此ABC ∆的周长为9a b c ++=．若选择条件②4A π=，在ABC ∆中，由正弦定理可得3sin sin sin sin 3a b c A B C π====所以4a π==，sin()34c ππ=+=所以ABC ∆的周长为32632366322a b c ++=+=．若选择条件③2a c =，由余弦定理可得2291cos 322a c ac π+-==，所以222492c c c +-=，即23c =，解得c =，a =，因此ABC ∆的周长为3a b c ++=+．10、解：（1）在BCD ∆中，cos CBD ∠=，所以321sin 14CBD ∠===，利用正弦定理得sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，所以321sin 114sin 2BC CBD BDC CD ⋅∠∠==，又因为CBD ∠为钝角，所以BDC ∠为锐角，故6BDC π∠=；（2）在BCD ∆中，由余弦定理得2222cos214BC BD CD CBD BC BD +-∠===-⋅，解得4BD =或5BD =-（舍去），在ABD ∆中，3A π∠=，设AB x =，AD y =，由余弦定理得22222161cos 222AB AD BD x y A AB AD xy +-+-===⋅，即2216x y xy +-=，整理得2()163x y xy +-=，又0x >，0y >，利用基本不等式得223()()1634x y x y xy ++-=，即2()64x y +，当且仅当4x y ==时，等号成立，所以x y +的最大值为8，所以AB AD BD ++的最大值为8412+=，所以ABD ∆周长的最大值为12．。
(完整版)解三角形练习题及答案
第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为（）．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是（）．A．a∶b＝∠A∶∠B B．a∶b＝sin A∶sin BC．a∶b＝sin B∶sin A D．a sin A＝b sin B3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为( )．A．1∶2∶3 B．1∶3∶2C．1∶4∶9 D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于( ）．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小 ( ）．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0,则△ABC是( ）．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°,则a＝( )．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中,a,b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列,∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝（）．A．231+B．1＋3C．232+D．2＋39．某人朝正东方向走了x km后，向左转150°,然后朝此方向走了3 km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是( )．A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°,若AB＝120米，则电视塔的高度为（ )．A ．603米B ．60米C ．603米或60米D ．30米 二、填空题11．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝10，b ＝ ．12．在△ABC 中，∠A ＝105°,∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．13．在△ABC 中，∠A ＝60°,a ＝3，则C B A c b a sin sin sin ++++＝ ． 14．在△ABC 中，若a 2＋b 2＜c 2，且sin C ＝23，则∠C ＝ ． 15．平行四边形ABCD 中,AB ＝46，AC ＝43，∠BAC ＝45°,那么AD ＝ ．16．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝ ．三、解答题17． 已知在△ABC 中,∠A ＝45°，a ＝2,c ＝6，解此三角形．18．在△ABC 中,已知b ＝3，c ＝1,∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．19． 根据所给条件，判断△ABC 的形状．(1)a cos A ＝b cos B ;（2)A a cos ＝B b cos ＝Cc cos ．20．△ABC 中,己知∠A ＞∠B ＞∠C ，且∠A ＝2∠C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．第一章 解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k ,7k ，8k （k ＞0)，中间角为， 由cos ＝k k k k k 85249－64＋25222⨯⨯＝21，得 ＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B 3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧︒︒30cos 2－＋＝23＝30sin 212＝＋222ac c a b ac b c a ⇒⎪⎩⎪⎨⎧ac ac c a b ac b c a 3－2－)＋(＝6＝2＝＋22 代入后消去a ,c ，得b 2＝4＋23，∴b ＝3＋1,故选B ．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设A a sin ＝B b sin ＝C c sin ＝k ，则C B A c b a ＋sin ＋sin sin ＋＋＝k ＝A a sin ＝︒60sin 3＝23． 14．32π．15．43．16．－41．三、解答题17．解析:解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1:由正弦定理得sin C ＝26sin 45°＝26·22＝23． ∵c sin A ＝6×22＝3，a ＝2，c ＝6,3＜2＜6， ∴本题有二解，即∠C ＝60°或∠C ＝120°,∠B ＝180°－60°－45°＝75°或∠B ＝180°－120°－45°＝15°．故b ＝Aa sin sin B ，所以b ＝3＋1或b ＝3－1， ∴b ＝3+1,∠C ＝60°,∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．解法2：由余弦定理得b 2＋(6)2－26b cos 45°＝4,∴b 2－23b ＋2＝0，解得b ＝3±1． 又（6）2＝b 2＋22－2×2b cos C ，得cos C ＝±21,∠C ＝60°或∠C ＝120°,所以∠B ＝75°或∠B ＝15°．∴b ＝3＋1，∠C ＝60°，∠B ＝75°或b ＝3－1，∠C ＝120°，∠B ＝15°．18．解析:已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解． 解：∵B b sin ＝Cc sin , ∴sin C ＝b B c sin ⋅＝360sin 1︒⋅＝21． ∵b ＞c ，∠B ＝60°,∴∠C ＜∠B ,∠C ＝30°，∴∠A ＝90°．由勾股定理a ＝22＋c b ＝2，即a ＝2，∠A ＝90°,∠C ＝30°．19．解析:本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得a cos A ＝b cos B ⇒a ·（bc a c b 2222-+)＝b ·（acc b a 2222+-）⇒a 2c 2－a 4－b 2c 2＋b 4＝0, ∴（a 2－b 2）（c 2－a 2－b 2)＝0,∴a 2－b 2＝0或c 2－a 2－b 2＝0，∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2．∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．解法2:由正弦定理得sin A cos A ＝sin B cos B⇒sin 2A ＝sin 2B⇒2∠A ＝2∠B 或2∠A ＝－2∠B ，∠A ,∠B ∈（0，)⇒∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝2π， ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．（2）由正弦定理得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C 代入已知等式，得A A R cos sin 2＝BB R cos sin 2＝C C R cos sin 2， ∴A A cos sin ＝B B cos sin ＝CC cos sin ， 即tan A ＝tan B ＝tan C ．∵∠A ，∠B ,∠C ∈（0，π），∴∠A ＝∠B ＝∠C,∴△ABC 为等边三角形．20．解析:利用正弦定理及∠A ＝2∠C 用a ，c 的代数式表示cos C ；再利用余弦定理,用a ,c 的代数式表示cos C ,这样可以建立a ，c 的等量关系;再由a ＋c ＝8，解方程组得a ,c ． 解：由正弦定理A a sin ＝Cc sin 及∠A ＝2∠C ,得 C a 2sin ＝C c sin ，即C C a cos sin 2⋅＝Cc sin ， ∴cos C ＝ca 2． 由余弦定理cos C ＝abc b a 2222-+， ∵b ＝4，a ＋c ＝8，∴a ＋c ＝2b ,∴cos C ＝)()(c a a c c a a ＋－4＋＋222＝)())((c a a c a c a ＋4＋3－5＝a c a 43－5， ∴c a 2＝ac a 43－5， 整理得（2a －3c ）(a －c ）＝0，∵a ≠c ，∴2a ＝3c ． 又∵a ＋c ＝8，∴a ＝524，c ＝516．。
大题训练01 解三角形-2023年高考数学三轮复习课件(新高考专用)
A=1×3×2
2
2× 2=3,
2
所以△ABC 的面积为3或 3.
2
2.(2023·南京模拟)在平面四边形 ABCD 中,∠ABD=45°,AB=6,AD=3 2,对角线 AC 与 BD 交于点 E,且 AE=EC,DE=2BE. (1)求 BD 的长; (2)求 cos∠ADC 的值.
【解析】(1)在△ABD
,解得
sin
A=
1740.
6
4.在钝角△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知1c−ossinAA=1c−ossinA+A+cossinBB.
(1)若 C=2π,求 sin A;
3
(2)求
2+
2
2
的取值范围.
【解析】(1)由已知得 cos A-sin Acos A+sin Bcos A=cos A-sin Acos A+cos B-sin Acos B,
B+ta3n
=3
C2
tan A+tan1 A
≥32×2
tan
A· 1
tan
A=3,
当且仅当 tan A= 1 ,即 tan A=1,A=π时取等号.
tan A
4
所以 1
tan
A+tan2
B+tan3
的最小值为
C
3.
6.(2023·湖南三湘联考)已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,S 为
=31313.
所以 CD2=AD2+AC2-2AD·AC·cos∠DAC=50,即 CD=5 2,
所以 cos∠ADC=
2+ 2
(完整版)解三角形练习题及答案
解三角形习题及答案一、选择题(每题5分，共40分）1、己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为( ）． A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°2、在△ABC 中，下列等式正确的是（ )．A ．a ∶b ＝∠A ∶∠B B ．a ∶b ＝sin A ∶sin BC ．a ∶b ＝sin B ∶sin AD ．a sin A ＝b sin B3、若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则它们所对的边长之比为( )． A ．1∶2∶3 B ．1∶3∶2C ．1∶4∶9D ．1∶2∶34、在△ABC 中,a ＝5，b ＝15，∠A ＝30°,则c 等于( ）．A ．25B ．5C ．25或5D ．10或55、已知△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝6,b ＝4,那么满足条件的△ABC 的形状大小( ）．A ．有一种情形B ．有两种情形C ．不可求出D ．有三种以上情形 6、在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＜0，则△ABC 是( )． A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不能确定 7、)( 37sin 83sin 37cos 7sin 的值为︒︒-︒︒A.23- B 。
21- C 。
21D 。
238、化简1tan151tan15+-等于 ( ）AB．2C ．3D ．1二、填空题（每题5分,共20分）9、已知cos α－cos β=21,sin α－sin β=31，则cos （α－β)=_______．10、在△ABC 中,∠A ＝105°，∠B ＝45°，c ＝2，则b ＝ ．11、在△ABC 中，∠A ＝60°，a ＝3，则C B A cb a sin sin sin ++++＝ ． 12、在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则最大角的余弦值等于 ．班别: 姓名： 序号： 得分：9、10、11、12、 三、解答题13、（12分）已知在△ABC 中，∠A ＝45°，a ＝2，c ＝6，解此三角形．14、（14分)已知21)tan(=-βα，71tan -=β，求)2tan(βα-的值15、（16分）已知x x x x f cos sin 32cos 2)(2-=,(1）求函数)(x f 的取最小值时x 的集合; （2）求函数单调增区间及周期。
(完整版)解三角形大题及答案
1．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 2．（2013四川）在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.3．（2013山东）设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.4．（2013湖北）在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.5．（2013新课标）△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.6．（2013新课标1）如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA[7．（2013江西）在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ABC ,,ABC ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C(1) 求角B 的大小;(2)若a+c=1,求b 的取值范围33．（2013大纲）设的内角的对边分别为,.(I)求(II)若,求. 【答案】4．（2013年高考四川卷（理））在中,角的对边分别为,且. (Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,,求向量在方向上的投影.【答案】解:由,得 , 即, 则,即 ABC ∆,,A B C ,,a b c ()()a b c a b c ac ++-+=B sin sin AC =C ABC ∆,,A B C ,,a b c 232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-cosA a =5b =BA BC ()I ()()232cos cos sin sin cos 25A B B A B B A C ---++=-()()3cos 1cos sin sin cos 5A B B A B B B -+---=-⎡⎤⎣⎦()()3cos cos sin sin 5A B B A B B ---=-()3cos 5A B B -+=-3cos 5A =-由,得, 由正弦定理,有,所以,. 由题知,则,故.根据余弦定理,有,解得或(舍去).故向量在方向上的投影为 35．（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设△的内角所对的边分别为,且,,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求的值.【答案】解:(Ⅰ)由余弦定理,得,又,,,所以,解得,.(Ⅱ)在△中,,由正弦定理得,因为,所以为锐角,所以因此.36．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数的最小正周期为.()II 3cos ,05A A π=-<<4sin 5A =sin sin a bA B=sin sin 2b A B a ==a b >A B >4B π=(22235255c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭1c =7c =-BABC cos BA B =ABC ,,A B C ,,a b c 6a c +=2b =7cos 9B =,a c sin()A B -2222cos b a c ac B =+-()222(1cos )b ac ac B =+-+6a c +=2b =7cos 9B =9ac =3a =3c =ABC sin 9B ==sin sin 3a B A b ==a c=A 1cos 3A ==sin()sin cos cos sin A B A B A B -=-=()4cos sin (0)4f x x x πϖϖϖ⎛⎫=⋅+> ⎪⎝⎭π(Ⅰ)求的值; (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.【答案】解:(Ⅰ).所以 (Ⅱ)所以37．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知函数的周期为,图像的一个对称中心为,将函数图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),在将所得图像向右平移个单位长度后得到函数的图像. (1)求函数与的解析式;(2)是否存在,使得按照某种顺序成等差数列?若存在,请确定的个数;若不存在,说明理由(3)求实数与正整数,使得在内恰有2013个零点. 【答案】解:(Ⅰ)由函数的周期为,,得又曲线的一个对称中心为,故,得,所以将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)后可得的图象,再将的图象向右平移个单位长度后得到函数ϖ()f x []0,22)42sin(2)12cos 2(sin 2)cos (sin cos 22++=++=+⇒πωωωωωωx x x x x x 122=⇒=⇒ωπωπ1,2)42sin(2)(=++=ωπx x f ；解得，令时，当8242]4,4[)42(]2,0[ππππππππ==++∈+∈x x x x .]28[]8,0[)(上单调递减，上单调递增；在在πππx f y =(Ⅱ)当时,,所以问题转化为方程在内是否有解设,则因为,所以,在内单调递增又,且函数的图象连续不断,故可知函数在内存在唯一零点,即存在唯一的满足题意(Ⅲ)依题意,,令当,即时,,从而不是方程的解,所以方程等价于关于的方程,现研究时方程解的情况令,则问题转化为研究直线与曲线在的交点情况,令,得或当变化时,和变化情况如下表当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于 当且趋近于时,趋向于故当时,直线与曲线在内有无交点,在内有个交点; 当时,直线与曲线在内有个交点,在内无交点;当时,直线与曲线在内有个交点,在内有个交点 由函数的周期性,可知当时,直线与曲线在内总有偶数个交点,从而不存在正整数,使得直线与曲线在内恰有个交点;当时,直线与曲线在内有个交点,由周期性,,所以综上,当,时,函数在内恰有个零点38．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分14分.已知,. (1)若,求证:;(2)设,若,求的值.【答案】解:(1)∵ ∴ 即,又∵,∴∴∴(cos ,sin )(cos ,sin )a b ααββ=＝，παβ<<<0||2a b -=a b ⊥(0,1)c =a b c +=βα,2||=-b a 2||2=-b a ()22222=+-=-b b a a b a 1sin cos ||2222=+==ααa a 1sin cos ||2222=+==ββb b 222=-b a 0=b a b ⊥a(2)∵∴即两边分别平方再相加得: ∴ ∴ ∵ ∴ 39．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））已知函数,.(Ⅰ) 求的值; (Ⅱ) 若,,求.【答案】(Ⅰ); (Ⅱ) 因为,,所以, 所以, 所以. 40．（2013年高考湖南卷（理））已知函数.(I)若是第一象限角,且.求的值; (II)求使成立的x 的取值集合.【答案】解: (I))1,0()sin sin ,cos (cos b a =++=+βαβα⎩⎨⎧=+=+1sin sin 0cos cos βαβα⎩⎨⎧-=-=βαβαsin 1sin cos cos βsin 221-=21sin =β21sin =απαβ<<<0πβπα61,65==()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭x ∈R 6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3cos 5θ=3,22πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭4sin 5θ=-24sin 22sin cos 25θθθ==-227cos 2cos sin 25θθθ=-=-23f πθ⎛⎫+⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---= ⎪⎝⎭2()sin()cos().()2sin 632x f x x x g x ππ=-+-=α()f α=()g α()()f x g x ≥.(II) 41．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.如图,游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到,另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从沿直线步行到.现有甲.乙两位游客从处下山,甲沿匀速步行,速度为.在甲出发后,乙从乘缆车到,在处停留后,再从匀速步行到.假设缆车匀速直线运动的速度为,山路长为,经测量,,. (1)求索道的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?【答案】解:(1)∵, ∴∴,∴ 根据得 533sin 3)(sin 3sin 23cos 21cos 21sin 23)(==⇒=++-=ααf x x x x x x f 51cos 12sin 2)(,54cos )2,0(,53sin 2=-===⇒∈=⇒ααααπααg 且21)6sin(cos 21sin 23cos 1sin 3)()(≥+=+⇒-≥⇒≥πx x x x x x g x f Z k k k x k k x ∈+∈⇒++∈+⇒],322,2[]652,62[6ππππππππA C A C AB BC A AC min /50m min 2A B B min 1C min /130m AC m 12601312cos =A 53cos =C AB C 31312cos =A 53cos =C ），（、20π∈C A 135sin =A 54sin =C []6563sin cos cos sin sin sin sin =+=+=+-=C A C A C A C A B ）（）（πsinB sinC AC AB =m C AC AB 1040sin sinB==CBA(2)设乙出发t 分钟后,甲.乙距离为d,则∴ ∵即 ∴时,即乙出发分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. (3)由正弦定理得(m) 乙从B 出发时,甲已经走了50(2+8+1)=550(m),还需走710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V ,则∴∴ ∴为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在范围内法二:解:(1)如图作BD ⊥CA 于点D , 设BD =20k ,则DC =25k ,AD =48k , AB =52k ,由AC =63k =1260m, 知:AB =52k =1040m.(2)设乙出发x 分钟后到达点M , 此时甲到达N 点,如图所示. 则:AM =130x ,AN =50(x +2),由余弦定理得:MN 2=AM 2+AN 2-2 AM ·AN cos A =7400 x 2-14000 x +10000,其中0≤x ≤8,当x =3537(min)时,MN 最小,此时乙在缆车上与甲的距离最短.(3)由(1)知:BC =500m,甲到C 用时:126050=1265(min).若甲等乙3分钟,则乙到C 用时:1265+3=1415 (min),在BC 上用时:865 (min) .此时乙的速度最小,且为:500÷865=125043m/min. 1312)50100(1302)50100()130(222⨯+⨯⨯-++=t t t t d )507037(20022+-=t t d 13010400≤≤t 80≤≤t 3735=t 3735sinBsinA ACBC =50013565631260sin sinB ===A AC BC min /m 350710500≤-v 3507105003≤-≤-v 14625431250≤≤v C 3⎥⎦⎤⎢⎣⎡14625,431250若乙等甲3分钟,则乙到C 用时:1265-3=1115 (min),在BC 上用时:565 (min) .此时乙的速度最大,且为:500÷565=62514m/min. 故乙步行的速度应控制在[125043,62514]范围内.42．（2013年高考湖北卷（理））在中,角,,对应的边分别是,,.已知.(I)求角的大小;(II)若的面积,,求的值.【答案】解:(I)由已知条件得:,解得,角 (II),由余弦定理得:, 43．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））△在内角的对边分别为,已知.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.【答案】ABC ∆A B C a b c ()cos23cos 1A B C -+=A ABC∆S =5b =sin sin B C cos23cos 1A A +=22cos 3cos 20A A ∴+-=1cos 2A =60A =︒1sin 2S bc A ==4c ⇒=221a =()222228sin a R A ==25sin sin 47bc B C R ∴==CBADMN44．（2013年高考新课标1（理））如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=3,BC=1,P 为△ABC 内一点,∠BPC=90°(1)若PB=12,求PA;(2)若∠APB=150°,求tan ∠PBA [【答案】(Ⅰ)由已知得,∠PBC=,∴∠PBA=30o ,在△PBA 中,由余弦定理得==,∴PA=;(Ⅱ)设∠PBA=,由已知得,PB=,在△PBA 中,由正弦定理得,,化简得,,∴=,∴=.45．（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）本题共有2个小题,第一小题满分4分,第二小题满分9分.在平面直角坐标系中,点在轴正半轴上,点在轴上,其横坐标为,且 是首项为1、公比为2的等比数列,记,.(1)若,求点的坐标; (2)若点的坐标为,求的最大值及相应的值.[解](1)(2) 【答案】[解](1)设,根据题意,.由,知, 而, 所以,解得或. 故点的坐标为或. (2)由题意,点的坐标为,. 因为所以, xOy A y n P x n x {}n x 1nn n P AP θ+∠=n N *∈31arctan 3θ=A A (0n θn (0 )A t ，12n n x -=31arctan 3θ=31tan 3θ=3443343223443()4tan tan()321x x t x x t t t OAP OAP x x t x x t t tθ--=∠-∠===+⋅++⋅241323t t =+4t =8t =A (0 4)，(0 8)，n P 1(2 0)n -，1tan n n OAP -∠=111212tan tan()12n n n n n n n n OAP OAP θ--+-=∠-∠===2n n ≥tan 4n θ≤=当且仅当,即时等号成立. 易知在上为增函数, 因此,当时,最大,其最大值为. 46．（2013年高考江西卷（理））在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知cosC+(conA-√3sinA)cosB=0.(1) 求角B 的大小;若a+c=1,求b 的取值范围【答案】解:(1)由已知得 即有因为,所以,又,所以, 又,所以. (2)由余弦定理,有.因为,有. 又,于是有,即有.2nn =4n =0 tan 2n y x πθ<<=，(0 )2π，4n =nθarctan4cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=sin sin cos 0A B A B =sin 0A≠sin 0B B =cos 0B≠tan B =0B π<<3B π=2222cos b a c ac B =+-11,cos 2a c B +==22113()24b a =-+01a <<2114b ≤<112b ≤<。
高考真题——三角函数及解三角形真题(加答案)
全国卷历年高考三角函数及解三角形真题归类分析三角函数一、三角恒等变换（3题）1.（2015年1卷2）o o o o sin 20cos10cos160sin10- =（ ） （A） （B（C ）12- （D ）12【解析】原式=o o o o sin 20cos10cos 20sin10+ =o sin30=12，故选D. 考点：本题主要考查诱导公式与两角和与差的正余弦公式.2.（2016年3卷）（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+=（ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625【解析】由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ．考点：1、同角三角函数间的基本关系；2、倍角公式．3.（2016年2卷9）若π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（A ）725（B ）15（C ）15-（D ）725-【解析】∵3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，2ππ7sin 2cos 22cos 12425ααα⎛⎫⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．二、三角函数性质（5题）4.（2017年3卷6）设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A ．()f x 的一个周期为2π-B ．()y f x =的图像关于直线8π3x =对称C ．()f x π+的一个零点为π6x =D ．()f x 在π(,π)2单调递减【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到，如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，D 选项错误，故选D.π5.（2017年2卷14）函数()23sin 3cos 4f x x x =+-（0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦）的最大值是 ．【解析】()22311cos 3cos cos 3cos 44f x x x x x =-+-=-++ 23cos 12x ⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则[]cos 0,1x ∈，当3cos 2x =时，取得最大值1. 6．（2015年1卷8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈（C ）13(,),44k k k Z -+∈（D ）13(2,2),44k k k Z -+∈【解析】由五点作图知，1+4253+42πωϕπωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 考点：三角函数图像与性质7. （2015年2卷10）如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x ．将动点P 到A 、B 两点距离之和表示为x 的函数f （x ），则f （x ）的图像大致为的运动过程可以看出，轨迹关于直线2x π=对称，且()()42f f ππ>，且轨迹非线型，故选B ．8.（2016年1卷12）已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-， 为()f x 的零点,4x π=为()y f x =图像的对称轴,且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调,则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5考点：三角函数的性质 三、三角函数图像变换（3题）9.（2016年2卷7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ26k x k =+∈Z （C ）()ππ212Z k x k =-∈ （D ）()ππ212Z k x k =+∈【解析】平移后图像表达式为π2sin 212y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令ππ2π+122x k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，得对称轴方程：()ππ26Z k x k =+∈，故选B ． 10.（2016年3卷14）函数sin 3cos y x x =-的图像可由函数sin 3cos y x x =+的图像至少向右平移_____________个单位长度得到．考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．11.（2017年1卷9）已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2【解析】：熟识两种常见的三角函数变换，先变周期和先变相位不一样。
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专题精选习题----解三角形
1.在 ABC 中，内角A, B, C 的对边分别为 a , b, c ，已知
cosA 2 cosC
cosB = 2c a b
.
(2) 若 cosB =
,b = 2 ，求 ABC 的面积 S .
4
2.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，已知sin C + cosC = 1 sin
2 .
(1) 求sin C 的值；
(2) 若a 2 + b 2
= 4(a + b) 8 ，求边 c 的值.
3.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c .
(1) 若 sin(A + ) = 2 cosA ，求 A 的值； 6 (2) 若 cosA = ,b = 3c ，求sin C 的值. 3
4.
ABC 中， D 为边 BC 上的一点， BD = 33, sin B = , cos 三ADC= ，求 AD .
13 5
5 3
1 C (1) 求
sin C
sinA
的值；
1
5.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，已知 a = 1,b = 2, cosC = (1) 求 ABC 的周长；
(2) 求cos(A 一 C) 的值.
6.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c . 已知sin A+ sin C = psin B(p R) ，且 ac = 1
b 2 .
4
5
(1) 当 p = 4
, b = 1时，求 a , c 的值； (2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围 .
7.在
ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c .且 2asin A = (2b + c)sin B + (2c + b)sin C .
(1) 求 A 的值；
(2) 求sin B +sin C 的最大值.
8.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，已知cos2C = 一 (1) 求sin C 的值；
(2) 当 a = 2,2sin A = sin C 时，求b, c 的长.
1
4 .
1
4 .
9.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且满足cos = , AB . AC = 3
2 5 .
(1) 求
ABC 的面积；
(2) 若b + c = 6 ，求 a 的值.
10.在 ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， cos(C + 几 ) + cos(C 几 ) = 2 . 4 4 2
(1) 求角 C 的大小；
(2) 若 c = 2 3， sin A = 2sin B ，求 a, b .
11.在 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且.
(1)求角 A 的大小； (2) 若a = 1 ，求
ABC 的周长l 的取值范围.
a cosC + c =
b 2
12.在
ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且满足 (2b c) cosA a cosC = 0 .
(1)求角 A 的大小；
(2) 若 a = 3， S ABC =
3 3
4 ， ABC 的形状，并说明理由 .
A 2 5 试判断
1
13.在ABC中，角A, B, C 的对边分别是a, b, c ，且2(a2 + b2 c2 ) = 3ab.
(1) 求sin 2 ；
(2) 若c = 2 ，求ABC面积的最大值 .
14.在ABC中，角A, B, C 的对边分别是a, b, c ，且满足4a2 cosB 2accosB = a2 + b2 c2 .
(1)求角B 的大小；
(2) 设m = (sin 2A,cos2C),n = ( 3,1) ，求m .n 的取值范围 .
15.已知m = (sin x, cos x),n = (cos x,cos x)( > 0)，若函数f (x) = m . n 1
的最小正周期为
2 4几.
(1)求函数y = f (x) 取最值时x 的取值集合；
(2) 在ABC中，角A, B, C 的对边分别是a, b, c，且满足(2a c) cosB = bcosC，求f (A) 的取值范围.
16.如图，ABC中，
(1)求BC 的长；
(2)求DBC 的面积. sin = , AB = 2 ，点D 在线段AC 上，且AD = 2DC , BD = .
2 3 3
A
D
C 三ABC 3 4 3
B
17.已知向量 a = (cosa , sin a ), b = (cos b , sin b ), a 一 b =
5 .
(1) 求cos(a 一 b ) 的值； (2) 若 0 想 a 想
几
,一 几 想 b 想 0， sin b = 一 5
，求sin a . 2 2 13
18.在 编ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， 已知 sin 2 2C + sin 2C . sin C + cos2C = 1， 且
a +
b = 5，
c = 7 .
(1)求角 C 的大小； (2) 求 编ABC 的面积.
19.在 编ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且满足 cosA . ( 3 sin A 一 cosA) = (1)求角 A 的大小；
(2) 若 a = 2 2, S 编ABC = 2 3 ，求b, c 的长.
20.已知函数 f (x) =
sin 几x + cos 几x, (x 仁 R) ，当 x 仁 [一1,1] 时，其图象与 x 轴交于 M , N 两点，
2 2
最高点为 P .
(1) 求 PM, PN 夹角的余弦值；
(2)将函数 f (x) 的图象向右平移 1 个单位， 再将所得图像上每点的横坐标扩大为原来的 2 倍，而得
2 8
3 3
到函数 y = g(x) 的图象，试画出函数 y = g(x) 在[ , ] 上的图象.
3 1 1
2 .
2 5
21.已知函数 f (x) = 2asin 2 x + 2 sinx cosx 一 a (a 为常数)在x = 3
处取得最大值 .
8
(1) 求 a 的值；
(2) 求 f (x) 在[0, ]上的增区间.
22.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且b 2 + c 2 一 a 2 = bc .
(1)求角 A 的大小； (2)若函数 f (x) = sin 2x
cos 2x + cos 2 2x
，当 f (B) = 22+1 时，若 a = 3 ，求b 的值.
23.在
ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， 已知. B = , sin A = ,b =
3 5
(1) 求sin C 的值； (2) 求 ABC 的面积.
24.在
ABC 中，角 A, B, C 的对边分别是 a, b, c ，且b cosC = (3a 一 c) cosB .
(1) 求sin B 的值；
(2) 若b = 2 ，且a = c ，求
ABC 的面积.
3 3
25.已知函数 f (x) = 3 sin x
cos x
+ cos 2 x + 1
2 2 2 2 .
(1)求 f (x) 的单调区间； (2)在锐角三角形
ABC 中， 角 A, B, C 的对边分别是a, b, c ， 且满足(2b a) cosC = c .cosA ，
求 f (A) 的取值范围 .
26.在
ABC 中，角A, B, C 的对边分别是 a, b, c ， a sin Asin B + b cos 2 A = 2a .
(1) 求
； a
(2) 若 c 2 = b 2 + 3a 2 ，求角 B .
27.港口 A 北偏东 30O 方向的 C 处有一检查站， 港口正东方向的 B 处有一轮船， 距离检查站为31海里， 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 海里后到达 D 处观测站，已知观测站与检查站距离为 21 海里，问 此时轮船离港口 A 还有多远？
b
28.某巡逻艇在A 处发现在北偏东45o距A 处 8 海里的B 处有一走私船，正沿东偏南15o的方向以 12 海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12 3 海里/小时的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船，并指出巡逻艇航行方向 .
29.在海岛A 上有一座海拔1km 的山峰，山顶设有一个观察站 P.有一艘轮船按一固定方向做匀速直线航行，上午 11:00 时，测得此船在岛北偏东15o 、俯角为30o 的B 处，到 11:10 时，又测得该船在岛北偏西45o、俯角为60o的C 处.
(1)求船航行速度；
(2) 求船从 B 到 C 行驶过程中与观察站 P 的最短距离 .
30.如图所示，甲船由 A 岛出发向北偏东45o的方向做匀速直线航行，速度为15 2 海里/小时，在甲
1
船从 A 到出发的同时，乙船从 A 岛正南 40 海里处的 B 岛出发，朝北偏东9 ( tan9 = )的方向做
2
匀速直线航行，速度为 m 海里/小时.
(1) 求 4 小时后甲船到 B 岛的距离为多少海里；
(2)若两船能相遇，求 m.。