高中数学必修4第三章单元测试题及答案必修4_北师大版
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第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．已知，，则的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ．或 Ｄ．或
2. 如果，那么等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于（ ）
A．－12 B.12 C．－32 D.
3
2
4．化简：的值为（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5．在△ABC中，如果sinA＝2sinCcosB，那么这个三角形是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 6．若β∈(0,2π)，且1－cos2β＋1－sin2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是 A．[0，π2] B．[π2，π] C．[π，3π2] D．[π2，2π] 7．若为锐角三角形的两个锐角，则的值（ ） Ａ．不大于 Ｂ．小于 Ｃ．等于 Ｄ．大于 8．已知θ为第四象限角，sinθ＝－32，则tanθ等于（ ） A.33 B．－33 C．±33 D．－3 9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是 A．－1 B．1 C．－12 D.12 10．已知sin(α－β)＝1010，α－β是第一象限角，tanβ＝12，β是第三象限角，则cosα的值等于 A.7210 B．－7210 C.22 D．－22 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 把答案填第Ⅱ卷题中横线上 11．若0＜α＜π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝34，则α＋β的值是________． 12．已知函数f(x)＝(sinx－cosx)sinx，x∈R，则f(x)的最小正周期是________． 13．若，则______． 14. 函数]),0[)(26sin(2xxy为增函数的区间是 。 15．把函数4cos()3yx的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则的最小正值为________________
xkb1.com
题号 二 三 总分
总分人
17 18 19 202 21
4cos()54
cos()5
coscos
0450450
4
5
sin()sin()mn
tan
tan
mnmnmnmnnmnmnmnm
ππ
cossin44ππcossin44xxxx
tan
2
x
tan2x
tanxcotx
AB，tantanAB
1111
π3
sin25
cos2
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得分
复核人
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上)
11.________________________ 12._______________________
13._________________________ 14.______________________
15._________________________ 16._______________________
三、解答题(本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(14分)
已知函数，求函数的最大值及对应自变量的
集合．
18. (14分)
已知函数f(x)＝cos(2x－
π3)＋2sin(x－π4)sin(x＋π
4
)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)在区间[－π12，π2]上的值域
19.(14分)
已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0<β<α<
π
2
.
(1)求tan2α的值；
(2)求β的值.
20.(14分)
已知函数xxbxaxfcossincos2)(2，且2321)3(,2)0(ff。
（1）求)(xf的最大值与最小值；
2
13
cossincos1()22yxxxxR
x
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（2）若)(Zkk，且)()(ff，求)tan(的值
21（14分）
已知函数,3cos22sin3)(2baxaxaxf]43,4[x，是否存在常数Qba,，
其中Q为有理数集，使得)(xf的值域为]13,3[，若存在，求出对应的ba,的值；若不存在，请
说明理由。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)(4)
一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（ ）A ．15B C D2．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D3．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或24．在ABC 中，cos 2A =-，1tan 3B =，则()tan A B -=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．25．已知0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos 45x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin x 的值为（ ）A ．BCD ． 6．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（ ） A ．5665-B ．3365-C ．5665D ．33657．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π8．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．3+9．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ） A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)2210．已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．811．已知()0,απ∈，()2sin 2cos21παα-=-，则sin α=（ ）A ．15B C ．-D 12．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．3-B ．3C ．13-D ．13二、填空题13．已知cos 0,42ππθθ⎛⎫⎛⎫+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______14．tan 80tan 4080tan 40︒+︒︒︒=________.15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若3sin 4α=，则()cos αβ-=______.16．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.17________.18．如果函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，那么该函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最小值为_______________． 19．在△ABC 中，cosA 35=，cosB 45=，则cosC ＝_____.20．已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______.三、解答题21．设函数()4sin cos 16f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，其中0>ω.（1）求函数()f x 的递增区间； （2）若函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围.22．在ABC 中，A B C <<且 tan A ，tan B ，tan C 均为整数. （1）求A 的大小； （2）设AC 的中点为D ，求BCBD的值.23．已知函数2()2cos sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭，其最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （2）将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位得到函数()y g x =，求函数()y g x =在区间70,12π⎛⎫⎪⎝⎭上的值域.24．已知函数())2cos sin 3f x x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值； （2）设函数()g x 对任意x ∈R ，有()2g x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-.求()g x 在区间[],0π-上的解析式.25．已知函数()sin (cos )2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.2．A解析：A 【分析】由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，所以cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭133==. 故选：A.【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.3．C解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 410πα⎛⎫-=⎪⎝⎭， ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭. 故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-= ⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．4．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.5．B解析：B 【分析】先求得πsin 4x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，然后利用ππsin sin 44x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，展开后计算得出正确选项. 【详解】 由于πππ3π0,,,2444x x ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π4sin 45x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭.故ππsin sin 44x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ππππsin cos cos sin4444x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭43525210=⨯-⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.6．A解析：A 【分析】 由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.7．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=， ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.8．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 22222x f x x x x -=+=+12cos 2222262x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x =. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.9．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，11．D解析：D 【分析】先利用诱导公式化简，再利用正弦、余弦的二倍角公式化简可得结果 【详解】解：由()2sin 2cos21παα-=-，得2sin 2cos21αα=-， 所以24sin cos 12sin 1ααα=--，即22sin cos sin ααα=-，因为()0,απ∈，所以sin 0α≠， 所以2cos sin αα=-， 因为22sin cos 1αα+=， 所以221sin sin 14αα+=，所以24sin 5α=， 因为()0,απ∈，所以sin 0α>，所以sin α=， 故选：D 【点睛】此题考查诱导公式的应用，考查二倍角公式的应用，考查同角三角函数的关系，属于中档题12．A解析：A 【分析】首先根据三角函数诱导公式，可由等式()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求出tan 2α=；再由两角和的正切公式可求出tan 4απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 【详解】 解：()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， ∴由三角函数诱导公式化简得：sin 2cos αα-=-，即得tan 2α=，tantan 124tan()34121tan tan 4παπαπα++∴+===---⋅.故选：A. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题型.二、填空题13．【分析】先由求得的值进而求得的值再根据两角差的正弦公式求得的值【详解】依题意即故由于而所以故因此所以【点睛】本小题主要考查二倍角公式考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数【分析】 先由cos 4πθ⎛⎫+⎪⎝⎭求得πcos 22θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，进而求得sin 2,cos 2θθ的值，再根据两角差的正弦公式，求得sin 23πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值. 【详解】 依题意πcos 22θ⎛⎫+⎪⎝⎭2π42cos 145θ⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，即4sin 25θ-=-，故4sin 25θ=，由于πππ3π0,,,2444θθ⎛⎫⎛⎫∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而πcos 04θ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以πππ,442θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故ππ0,,20,42θθ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此3cos 25θ===.所以ππsin 2sin 2cos cos 2sin 333πθθθ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=【点睛】本小题主要考查二倍角公式，考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.14．【分析】逆用两角和的正切公式进行化简即可得所求的值【详解】解：根据两角和的正切公式可得所以所以故答案为：【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用考查化简运算能力属于基础题解析： 【分析】逆用两角和的正切公式进行化简，即可得所求的值. 【详解】解：根据两角和的正切公式，可得tan80tan 40tan120tan(8040)1tan 40tan80︒︒︒︒︒︒︒+=+==-所以tan 40tan 80tan 40tan 80)40tan 80︒︒︒︒︒︒+=-=，所以tan 80tan 4080tan 40︒︒︒︒+=故答案为：. 【点睛】本题考查两角和的正切公式的逆用，考查化简运算能力，属于基础题.15．；【分析】根据角的终边关于轴对称得到以及两角差的余弦公式即可求出【详解】因为角与角均以为始边它们的终边关于轴对称所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用两角差的余弦公式同角三角函数解析：18； 【分析】根据角的终边关于y 轴对称得到cos cos ,sin sin αβαβ=-=，以及两角差的余弦公式即可求出. 【详解】因为角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称， 所以3cos cos ,sin sin 4αβαβ=-==， 所以()22cos cos cos sin sin sincos αβαβαβαα-=+=-22sin 1α=-92116=⨯- 18= 故答案为：18【点睛】本题主要考查了三角函数定义的应用，两角差的余弦公式，同角三角函数的关系，属于中档题.16．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈所以()2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．17．【分析】利用同角三角函数的基本关系式二倍角公式结合根式运算化简求得表达式的值【详解】依题意由于所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式二倍角公式考查根式运算属于基础题 解析：34-【分析】利用同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，结合根式运算，化简求得表达式的值. 【详解】22sin 4cos8-+()2221cos 42cos 41+=---23cos 434==，由于342ππ<<33cos4=- 故答案为：34- 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式、二倍角公式，考查根式运算，属于基础题.18．【分析】根据三角公式得辅助角公式结合三角函数的对称性求出值再利用的取值范围求出函数的最小值【详解】解：令则则因为函数的图象关于直线对称所以即则平方得整理可得则所以函数因为所以当时即函数有最小值为故答解析：【分析】根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出a 值，再利用x 的取值范围求出函数的最小值. 【详解】解：sin 2cos 2sin 2cos 2y x a x x x ⎫=+=+，令cos θ=，则sin θ=则)()sin 2cos cos 2sin 2y x x x θθθ=⋅+⋅=+. 因为函数sin 2cos 2y x a x =+的图象关于直线12x π=对称，所以sin 2cos 21212a ππ⎛⎫⎛⎫⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin cos 66a ππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则122+=平方得2213144a a ++=+.整理可得(20a -=，则a =所以函数1sin 222sin 2cos 22sin 2223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫==+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦ ， 当4233x ππ+=时，即2x π=，函数有最小值为故答案为：. 【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.19．0【分析】计算得到再利用和差公式计算得到答案【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数关系和差公式意在考查学生的计算能力解析：0 【分析】 计算得到43sin ,sin 55A B ==，再利用和差公式计算得到答案. 【详解】34cos ,cos 55A B ==，则43sin ,sin 55A B ==.()()cos cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B A B π=--=-+=-=.故答案为：0. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，和差公式，意在考查学生的计算能力.20．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan β=可求得tan α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-=根据tan 1α=<及tan 0β=<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】 因为()tan αβ-=,tan β= 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan 3αβαβαβ--==+⋅代入tan β=tan α+=⎝⎭化简可求得tan α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<<则20παβ-<-<所以223παβ-=- 故答案为: 23π- 【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.三、解答题21．（1）递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）(]2,1--. 【分析】（1）利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简，再根据正弦函数的周期和单调递增区间可得答案； （2）由x 的范围求出26x π-及sin 26x π⎛⎫-⎪⎝⎭的范围，利用换元法分析()2sin F u u =的单调性和最值，结合()y F u =与y m =-两函数的图象的交点个数可得答案. 【详解】（1）()24sin cos 1cos 2sin 16f x x x x x x πωωωωω⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭2cos22sin 26x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，∵()f x 的最小正周期为π，且0>ω，∴22ππω=，解得1ω=, ∴()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，设26u x π=-， ∵函数sin y u =的递增区间是()2,222k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z , 由()222262k x k k πππππ-≤-≤+∈Z ，得()63k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的递增区间是(),63k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由（1）()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，520,66u x ππ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，令()2sin F u u =，则5166F F ππ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∵()2sin F u u =在0,2u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递增，在5,26u ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上递减， ∴()max 22F u F π⎛⎫==⎪⎝⎭， ∵函数()()g x f x m =+在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点， ∵.函数()y f x =与y m =-两图象在,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点， ∴函数()y F u =与y m =-两图象在50,6u π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不同的交点，∴12m ≤-<，解得21m -<≤-， ∴实数m 的取值范围是(]2,1--. 【点睛】本题考查了三角函数的化简和性质，关键点是利用两角差的正余弦公式、正余弦的二倍角公式对()f x 进行化简和利用三角函数的性质解题，考查了学生分析问题、解决问题的能力. 22．（1）45A =︒；（2）1BCBD= 【分析】（1）A B C <<，A 不能是钝角，且若tan 2A ≥，与A B C π++=矛盾，可得45A =︒；（2）由（1）结合两角和与差的正切公式，以及tan B ，tan C 均为整数，可得tan ,tan B C ，再利用正弦定理结合平面向量求出BD ，进而得出答案．【详解】 （1）A B C <<，A ∴不能是钝角，tan 0A >若tan 2A ≥，tan 60︒=tan y x =在0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭内单调递增，60A ∴>︒又A B C <<，,B C ∴都大于60︒，与A B C π++=矛盾tan 1A ∴=，即45A =︒（2）45,135A B C =︒∴+=︒，()tan tan1351B C +=︒=-又()tan tan tan 11tan tan B CB C B C++==--，即tan tan 1tan tan B C B C -=+由tan B ，tan C 均为整数，且B C <，可得tan 2,tan 3B C ==则cos B B ==；cos C C ==由正弦定理sin 45sin sin a b c B C ==︒，可得,b c ==又AC 的中点为D ，则2214BA BC BD AC ⋅=-，即221cos 4c a ABC BD AC ⋅⋅∠=-即2215545a a BD a ⎛⎫⋅⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭解得BD a =，故1BC aBD a== 【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换，考查同角三角函数的关系，考查正弦定理以及平面向量的应用，解决本题的关键点是充分利用A B C <<且tan A ，tan B ，tan C 均为整数，结合两角和与差的正切公式以及同角三角函数的关系，得出所求的比值，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．23．（1）1ω=，单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）(2]. 【分析】（1）化简得()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据最小正周期得1ω=，进而整体代换求解得()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）根据题意得()2cos 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，由于70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故52336x πππ-<-<，故cos 2123x π⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤，进而得函数值域. 【详解】（1）因为2()2cos sin 1(0)2f x x x x πωωωω⎛⎫=-+-> ⎪⎝⎭22cos 1cos x x x ωωω=--cos 22x x ωω=-12cos 2222x x ωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭2cos 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 所以2|2|T πππωω===，即1ω=， ()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令222()3k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得2()36k x k k Z ππππ-≤≤-∈， 所以()f x 的单调递增区间为2,()36k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦. （2）()2cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移3π个单位得到()2cos 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当70,12x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，52336x πππ-<-<，所以cos 2123x π⎛⎫-<-≤ ⎪⎝⎭，()2g x <≤， 所以函数()y g x =的值域为(2⎤⎦. 【点睛】本题考查三角函数恒等变换，三角函数的性质等，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据三角恒等变换化简得函数()2cos 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，进而根据三角函数的性质求解.24．（1）最大值为14，最小值为12-；（2）()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤<⎪⎪⎝⎭⎩.【分析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将()f x 化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-，对x 分类求出函数的解析式即可. 【详解】（1）()2cos sin 34f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=++2cos sin cos cos sin 334x x x x ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭1sin 2244x x =- 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的最大值为14；()f x 的最小值为12-； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()11sin 2223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0,22x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()11sin 22223g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,2x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，0,2x ππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； ()()11sin 2223g x g x x ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 综上：()g x 在区间[],0π-上的解析式为：()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.25．（15,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 12f x x x x x x =+=+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 3332f ππππ⎛⎛⎫= ⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ （2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解. 【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=， 由3222232k x k πππππ+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y＝A sin(ωx＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2Tωπ=，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为Tπω=.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(有答案解析)(4)
一、选择题1．已知23cos sin2αβ+=，1sin sin cos 3αββ+=，则)os(c 2αβ+=（ ）A ．49B ．59C ．536D ．518-2．已知θ为锐角，且满足如tan 311tan θθ=，则tan 2θ的值为（ ） A ．34 B ．43 C ．23 D ．323．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ）A ．1 B．2-或1 C ．34-或1 D ．1或-14．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23B ．23-C ．32D ．32-5．函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间是（ ）A ．(,)()44k k k Z ππππ-+∈ B ．3(,)()44k k k Z ππππ++∈ C ．(,)()4k k k Z πππ+∈D ．(,)()42k k k Z ππππ++∈ 6．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（ ） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-97．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A．2B．C．D．3+8．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（ ） A ．7B ．11C ．14D ．289．在ABC ∆中，已知其面积为22()S a b c =--，则tan A =（ ） A ．34B ．817C ．815D ．1719 10．求sin10°sin50°sin70°的值（ ） A ．12B．2C ．18D．811．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A． B ．12-C ．12D12．若sin 2α=()sin βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（ ） A ．74π B ．94πC ．54π或74πD ．54π或94π 二、填空题13．在ABC 中，三个内角A 、B 、C 满足2A+C =B ，且4cos 5A =，则cos C ________．14．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 15．若函数f (x )=sin 2x+cos 2x ,且函数y=f 2x ϕ⎛⎫+⎪⎝⎭(0<φ<π)是一个偶函数,则φ的值等于_____. 16．将22sin cos x x x +化简为sin()A x B ωϕ++（0A >，0>ω，π2ϕ<）的形式为______.17．化简tan 20tan 25tan 20?tan 25︒+︒+︒︒=_____. 18．已知sin 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()0,απ∈，则cos 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．19．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.20．设)sin17cos172a =︒+︒,22cos 131b =︒-,2c =,则a ,b ,c 的大小关系是______.三、解答题21．先将函数2sin 226y x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，再将所得到的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数()f x 的图像. （1）求函数()f x 的解析式； （2）若α，β满足()()3f f αβ⋅=，且4παβ+=，设2)sin()()cos x x g x xαβ+⋅+=，求函数()g x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最大值. 22．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线43y x =上. （1）求2sin()cos()3cos sin 22πααππαα++-⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（2）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos()αβ+=，求tan β的值. 23．已知300cos 25παβπα<<<<=，，． （1）分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值；（2）若1sin()3αβ+=，求cos β． 24．在①2sin 3sin 2αα=，②cos 2α=③tan α=个，补充在下面问题中，并解决问题. 已知10,,0,,cos()224ππαβαβ⎛⎫⎛⎫∈∈+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，_______，求cos β. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 25．在①64f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()f x 的最大值在12x π=处取到，③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个，补充并解答下面问题．问题：已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,3ω∈．若_______，求实数ω的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．26．已知函数2()[2sin()sin ]cos 3f x x x x x π=++．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，求正数m 的最小值；【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】将所给条件分别用二倍角公式变形可以得到2cos cos22αβ-=，22sin sin 23αβ+=，然后平方相加化简计算即可求得结果. 【详解】 由23cos sin2αβ+=知2cos cos22αβ-=①，在1sin sin cos 3αββ+=两边同时乘以2得22sin sin 23αβ+=②，将①②两个等式平方相加得()4414cos 249βα+-+=+，解得()5cos 236αβ+=.故选：C. 【点睛】思路点睛：出现两个角的三角函数的和差，求两角和的正弦或余弦时常采用平方相加或平方相减，化简计算可得到两角和或差的三角函数值.2．B解析：B 【分析】先利用两角和的正切计算tan tan 2tan 31tan tan 2θθθθθ+=-，再利用二倍角的正切化简前者，结合tan 311tan θθ=可得1tan 2θ=，从而可求tan 2θ.32222tan tan tan tan 23tan tan 1tan tan 32tan 1tan tan 213tan 1tan 1tan θθθθθθθθθθθθθθ++--===---⨯-，故32223tan tan tan 33tan 13tan 11tan tan 13tan θθθθθθθθ---===-，故21tan 4θ=， 因为θ为锐角，故1tan 2θ=，故1242tan 21314θ⨯==-， 故选：B. 【点睛】思路点睛：已知θ的三角函数值，求()*n n N θ∈的三角函数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.3．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】 ∵1sin cos 2αα-=，∴sin 224αα-=sin()44πα-=， 1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=±， sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ．关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．4．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 5．D解析：D 【分析】先利用二倍角公式化简整理，再根据对数函数的定义域及复合函数单调性的性质求解单调递增区间即可. 【详解】由11221log (sin cos )log (sin 2)2y x x x ==， 得1sin 2022222x k x k k x k ππππππ>⇒<<+⇒<<+， 故函数的定义域为(,)()2k k k z πππ+∈，又求函数12log (sin cos )y x x =的单调增区间，利用复合函数单调性的性质， 可得222242k x k k x k ππππππππ+<<+⇒+<<+.故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合函数单调性的性质及应用，对数函数定义域的特殊要求.属于中档题.6．A解析：A 【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π3)4αα=+得出cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin 22sin cos cos 2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 46πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又4cos 2sin 229παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，所以4sin 29α=，所以1sin cos 1229tan 4tan cos sin sin cos sin 229ααααααααα+=+====.故选：A. 【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.7．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】 依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 所以()f x22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.8．D解析：D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数. 【详解】已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩；②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =，可得6x π=、56π、136π、176π；解方程cos 0x =，可得2x π=、32π、52π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.9．C解析：C 【分析】由题结合余弦定理可得1si s 2n 22co bc A c A bc b +=，整理化简有22sincos 42sin 222A A A =⨯，进而可计算出1tan 24A =，再由正切的二倍角公式计算可得答案． 【详解】 由题意得222221sin 2()2S bc A a b c b c a bc =--+=+=--， 又因为2222cos b c a bc A +-=，所以1si s 2n 22co bc A c A bc b +=， 整理得()41s c s i o n A A =-，所以22sincos 42sin 222A A A =⨯ 即cos 4sin 22A A =，所以1tan 24A = ，则28tan 1512tan2tan 2A AA ==- 故选C. 【点睛】本题考查的知识点有三角形的面积公式，余弦定理，二倍角公式，属于一般题．10．C解析：C 【分析】由诱导公式可转化为cos20cos40cos80︒︒︒，利用二倍角公式正弦公式求解即可. 【详解】sin10sin50sin70cos20cos40cos80︒︒︒=︒︒︒ 1sin160sin 20cos 20cos 40cos8018sin 20sin 208︒∴︒︒︒︒==︒︒ 即1sin10sin 50sin 708︒︒︒= 故选：C 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角的正弦公式，考查了运算能力，属于中档题.11．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.12．A解析：A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围，根据取值范围解出cos2α和()cos βα-的值，再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 25α=，∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 25α=-. ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()cos βα-=， ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦2⎛⎛=⨯= ⎝⎭⎝⎭. 又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦， ∴74αβπ+=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.二、填空题13．【分析】利用及易得由同角三角函数的关系易得的值然后由代值计算即可得解【详解】因为又所以因为所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式并结合两角和的余弦公式展开进行计算解析：410【分析】利用2A+C =B 及A B C π++=易得3B π=，由同角三角函数的关系易得sinA 的值，然后由()cos cos cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+代值计算即可得解. 【详解】因为2A+C =B ，又A B C π++=， 所以3B π=，因为4cos 5A =，所以3sin 5A ===，()4134cos cos cos cos sin sin 525210C A B A B A B =-+=-+=-⨯+⨯=.故答案为：410. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是利用公式()cos cos C A B =-+并结合两角和的余弦公式展开进行计算.14．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-， ∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．15．【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件解得φ的值【详解】因为f(x)=sin2x+cos2x=sin 所以y=fsin 则有φ++kπ因此φ=+kπ(k ∈Z)当k解析：π4【分析】先根据配角公式将函数化为基本三角函数，再根据正弦函数对称轴确定φ满足条件，解得φ的值. 【详解】因为f (x )=sin 2x+cos 2sin π24x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,所以y=f 2x ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π24x ϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,则有φ+ππ42=+k π,因此φ=π4+k π(k ∈Z),当k=0时,φ=π4. 【点睛】本题考查正弦函数对称性，考查基本分析求解能力.16．【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解【详解】故答案为：【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式属于基础题解析：π2sin(2)16x -+【分析】利用正弦二倍角和余弦二倍角公式及辅助角公式化简得解. 【详解】2π2sin cos 1cos 222sin(2)16x x x x x x +=-=-+故答案为：π2sin(2)16x -+ 【点睛】本题考查二倍角公式及辅助角公式，属于基础题.17．1【详解】分析：首先从式子中分析得出角的大小借助于两角和的正切公式得到与之间的关系借助于角的正切值求得结果详解：因为所以所以有故答案为：1点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题在解题的过程中涉及解析：1 【详解】分析：首先从式子中分析得出2025︒︒+角的大小，借助于两角和的正切公式，得到tan 20tan 25︒︒+与tan 20tan 25︒︒⋅之间的关系，借助于45︒角的正切值，求得结果. 详解：因为tan 20tan 25tan(2025)1tan 20tan 25︒︒︒︒︒︒++=-，所以1tan 20tan 25tan 20tan 25︒︒︒︒-=+， 所以有tan 20tan 25tan 20tan 251︒︒︒︒++=， 故答案为：1.点睛：该题考查的是有关三角函数化简求值问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有两角和的正切公式的逆用，注意45︒角的正切值的大小.18．【分析】构造角再用两角和的余弦公式及二倍公式打开【详解】故答案为：【点睛】本题是给值求值题关键是构造角应注意的是确定三角函数值的符号解析：26- 【分析】 构造角22643πππαα⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求，再用两角和的余弦公式及二倍公式打开. 【详解】()50,,,444πππαπα⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，sin 42πα⎛⎫+=< ⎪⎝⎭，cos 4πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，22cos 22cos 1443ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，sin 22sin cos 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 6434343πππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2132⎛=⨯+= ⎝⎭故答案为：26【点睛】本题是给值求值题，关键是构造角，应注意的是确定三角函数值的符号.19．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin ,3522β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．【分析】根据两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式即可将化简再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系【详解】所以故答案为：【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式二倍角公式诱导公式的应用以及正弦函数的单调性 解析：c a b <<【分析】根据两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式，即可将,a b 化简，再根据正弦函数的单调性即可比较出大小关系． 【详解】)sin17cos17sin17cos 45cos17sin 45sin 62a =︒+︒=︒+︒=，22cos 131cos 26sin 64b =︒-==，sin 60c ==， 所以，c a b <<． 故答案为：c a b <<． 【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，诱导公式的应用，以及正弦函数的单调性的应用，属于基础题．三、解答题21．（1）()2cos f x x =；（2）4. 【分析】（1）先对函数化简变形可得cos 2y x =，再由三角函数图像变换规律可求出()f x 的解析式；（2）由已知条件可得cos cos 3αβ=，sin sin 6αβ=-2()2tan 3tan 1g x x x =+-，然后令tan [1,1]t x =∈-，则2()231h t t t =+-，从而可求出其最值 【详解】（1）原函数化简得到2sin 2coscos 2sin2cos 266y x x x x ππ⎡⎤=+=⎢⎥⎣⎦，将cos 2y x =图像上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，可得2cos2y x =，再将2cos2y x =的图像横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到2cos y x = 所以()2cos f x x =. （2）由题意知cos cos 3αβ=， 因为4παβ+=所以cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=，解得sin sin αβ=2cos cos sin )(sin cos cos sin )()cos x x x x g x xααββ++=.222sin cos cos sin cos sin()cos sin sin cos x x x x xαβαβαβ⎤+++⎣⎦=222sin sin cos cos 326cos x x x x x⎤⎛⋅+⋅+⋅-⎥⎥⎝⎭⎣⎦=22tan 3tan 1x x =+-令tan [1,1]t x =∈-，2()231h t t t =+-，则对称轴为34t =-.所以max ()(1)4h t h ==.【点睛】关键点点睛：此题考查三角恒等变换公式的应用，考查三角函数图像变换规律，考查数学转化思想，解题的关键是由()()3f f αβ⋅=求出cos cos 3αβ=，再对4παβ+=两边取余弦化简可求出sin sin 6αβ=-()g x 化简可得2()2tan 3tan 1g x x x =+-，再利用换元法可求得结果，属于中档题22．（1）57-；（2）2.【分析】（1）根据题意可知4tan 3α=，利用同角三角函数的诱导公式将原式化简，再给分子分母同除以cos α，得到关于tan α的表达式，代入4tan 3α=求值即可； （2）根据,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭及cos()5αβ+=-求解出()sin αβ+的值，再根据()sin sin βαβα⎡⎤=+-⎣⎦，将上式展开，代入sin α，cos α，()sin αβ+及()cos αβ+的值求解sin β的值，从而得出cos β的值.【详解】解：（1）由题意得，4tan 3α=， 2sin()cos()2sin cos 3sin cos cos sin 22πααααππαααα++--+=+⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12tan 5tan 17αα-==-+， （2）若,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos()5αβ+=-，4tan 3α=，则4sin 5α，3cos 5α=，sin()αβ+=，所以sin sin[()]βαβα=+-sin()cos sin cos()αβαααβ=+-+，3455⎛=-⨯= ⎝⎭，cos β=，故sin tan 2cos βββ==. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的运用、考查和差角公式的运用，解答的一般思路如下： （1）当已知关于sin α、cos α的齐次式时，可将原式化为关于tan α的表达式求解；（2）当已知角α、αβ±的三角函数值，求解β的三角函数值时，可运用正弦、余弦及正切的和差角公式进行求解. 23．（1）724cos 2,sin 2,sin 252525ααα=-==；（2）415- ． 【分析】 （1）先由30cos 25παα<<=，，求出sin α，然后分别求cos 2sin 2sin 2ααα，，的值； （2）先判断αβ+的范围，再凑角()βαβα=+-，利用两角差的余弦公式即可求解． 【详解】 （1）因为30,cos 25παα<<=，所以24sin 1cos 5αα．所以27cos 22cos 1,2524sin 22sin cos ,25sin 25αααααα=-=-====；（2）因为0,02παβπ<<<<，所以302παβ<+<， 因为14sin()sin 35αβα+=<=，所以αβ+不可能是锐角，所以cos()3αβ+==-， 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++=． 【点睛】利用三角公式求三角函数值的关键： (1)角的范围的判断；(2)根据条件进行合理的拆角，如()()2()βαβαααβαβ=+-=++-，等． 24．112【分析】①②③任选一个条件，均可求出sin ,cos αα，求出sin()αβ+，利用()βαβα=+-，结合两角差的余弦公式，即可求解.【详解】 若选条件①因为2sin 3sin 2αα=，所以2sin 32sin cos ααα=⨯，即1cos 3α=.因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin α== 因为1cos()4αβ+=-，由平方关系22sin ()cos ()1αβαβ+++=， 解得215sin ()16αβ+=. 因为0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以0αβ<+<π，所以sin()αβ+=所以cos cos[()]βαβα=+-cos()cos sin()sin αβααβα=+++114343=-⨯+112=. 若选条件②因为cos2α=21cos 2cos 123αα=-=. 由平方关系22sin cos 1αα+=，得28sin 9α=. 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 3α=以下同①的解法. 若选条件③因为tan α=sin cos αα= 由平方关系22sin cos 1αα+=，解得sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 或sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 1cos 3αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 以下同①的解法. 【点睛】关键点点睛：本题根据不同的条件，利用三角恒等变换、同角三角函数的基本关系求出sin α，cos α，再利用1cos()4αβ+=-求出sin()αβ+，根据角的变换()βαβα=+-求解是关键，属于中档题.25．①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ω=； ②()f x 的最大值在12x π=处取到，1ω=；③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=，1ω=.【分析】可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，再利用其性质逐一求解. 【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos sin 22x x x ωωω=⋅-11cos 2sin 2422x x ωω-=-11sin 2cos 22224x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2234x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭. 选①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 033ωππ-⎛⎫+=⎪⎝⎭，()33k k Z ωπππ-+=∈ 解得13k ω=-，(]0,3ω∈，1ω∴= 选②()f x 的最大值在12x π=处取到，则有sin 163ωππ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+，(]0,3ω∈，1ω∴=选③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12min 2x x π-= 意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛：对于三角函数，解决最小正周期和最值，单调区间，对称轴等问题时，可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式，再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=，最大值为A B +，最小值为A B -+. 26．（1）T π=，7[,],1212++∈k k k Z ππππ；（2）3π. 【分析】（1）先利用三角恒等变换，将函数转化为()2sin(2)3f x x π=+，再利用正弦函数的性质求解.（2）根据函数()f x 的图象关于点(,)m n 对称，令2()3m k k Z ππ+=∈求解. 【详解】（1）2()[2sin()sin ]cos 3=++f x x x x x π2(sin sin )cos =++-x x x x x2(2sin )cos =+x x x x222sin cos sin )x x x x =+-sin 222sin(2)3x x x π==+， T π=， 由3222232k x k πππππ+≤+≤+， 解得71212k x k ππππ+≤≤+， 则()f x 的单调递减区间是7[,],1212++∈k k k Z ππππ. （2）2()3+=∈m k k Z ππ，,26∴=-∈k m k Z ππ 又0m >m ∴的最小值为3π. 【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测卷(有答案解析)(3)
一、选择题1．已知sin 410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，02πα<<，则tan α的值为（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12-或2 2．已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中,a b ∈R ，且0ab ≠，若()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，则（ ）. A ．ππ56f f ⎛⎫⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()5π2f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．π4f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是偶函数D ．π4f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数3．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B ．6C ．D ．164．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56655．角α的终边与单位圆的交点坐标为1,)22，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ）A B C D ．06．已知α为锐角，且3cos()65πα+=，则sin α=（ ）A B C D7．已知αβ、均为锐角，满足sin cos αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π 8．已知函数22()2sin cos ()sin (0)24x f x x x ωπωωω=-->在区间25[,]36ππ-上是增函数，且在区间[0,]π上恰好取得一次最大值，则ω的范围是（ ）A ．3(0,]5B ．13[,]25C ．13[,]24D ．15[,)229．已知直线524x π=是函数21()sin 8)22x f x x ωωω=+<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2B ．4C ．6D ．810．已知cos()63πα+=sin(2)6πα-的值为（ ）A B ．13C ．13-D ． 11．已知()1sin 30cos 3αα︒+=+，则()sin 230α+︒=（ ）A ．79-B ．79C D ．12．已知()0,απ∈，sin cos 3αα+=cos2=α（ ）A ．BC ．9-D ．9二、填空题13．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.14．若cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．15．求值：sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10︒+︒︒︒-︒︒=_______16．已知1sin cos 5αα-=，0απ≤≤，则sin(2)4απ-=__________；17．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知b =22cos c a b A -=，则a c +的取值范围为______.18．若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ=______. 19．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______.20．已知α，()0,βπ∈，且()tan 3αβ-=，tan 11β=-，2αβ-的值为_______.三、解答题21．已知函数()23sin 22cos f x x x m =++在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为6. （1）求常数m 的值以及函数()f x 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时的最小值 （2）将函数()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象 （i ）求函数()g x 的解析式；（ii ）若关于x 的方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，有两个不同实数解，求实数t 的取值范围.22．函数2()sin 3sin cos (0)f x x x x ωωωω=+⋅>且满足___________. ①函数()f x 的最小正周期为π；②已知12x x ≠，()()1212f x f x ==，且12x x -的最小值为2π，在这两个条件中任选一个，补充在上面横线处，然后解答问题. （1）确定ω的值并求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的值域. 23．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04(,)5y -.（1）求tan sin 2θθ-的值；（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ+︒的值.24．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.25．已知函数2()22cos 1f x x x =--，x ∈R ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）设ABC 的内角A 、B 、C ，满足()0f C =且sin 2sin B A =，求角A ，B 的值． 26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由同角间的三角函数关系先求得cos()4πα-，再得tan()4πα-，然后由两角和的正切公式可求得tan α． 【详解】 ∵02πα<<，∴444πππα-<-<，∴cos 4πα⎛⎫-=⎪⎝⎭ ∴sin 14tan 43cos 4παπαπα⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭， ∴tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1tan 11432111tan 34παπα⎛⎫-++ ⎪⎝⎭===⎛⎫--- ⎪⎝⎭.故选：C ． 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数的求值．考查同角间的三角函数关系，两角和的正切公式．三角函数求值时首先找到“已知角”和“未知角”之间的联系，选用恰当的公式进行化简求值．注意三角公式中“单角”与“复角”的区别与联系，它们是相对的．不同的场景充当的角色可能不一样．如题中4πα-在tan tan4tan 41tan tan 4παπαπα-⎛⎫-=⎪⎝⎭+作为复角，但在tan tan 44ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦中充当“单角”角色．2．B解析：B 【分析】利用辅助角公式可得()()f x x ϕ=+，又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立知π422f a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭a b =，整理得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性可判断A ，利用诱导公式以及三角函数的奇偶性可判断选项BCD ，进而可得正确选项. 【详解】由0ab ≠知0a ≠且0b ≠，利用辅助角公式可得()()sin cos f x a x b x x ϕ=+=+，其中tan baϕ=， 又()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最值，所以πππsin cos 444f b a ⎛⎫=+=+= ⎝⎪⎭， 即22221122a b ab a b +++=，所以2211022a b ab +-=，即()2102a b -=， 所以a b =，tan 1b a ϕ==，可得4πϕ=， 所以()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于选项A：9sin sin 55420f ππππ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5sin sin 66412f ππππ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为5912202πππ<<，则59sin sin 1220ππ<，当0a >时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当0a <时，ππ56f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项A 不正确； 对于选项B ：sin sin 5π5π11π3π2244sin 4f x x x x π⎛⎫-=--- ⎪⎝⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭()ππ4sin sin 4x f x x π⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--+，故选项B 正确；对于选项C ：sin sin ππ444x x f x π⎛⎫--⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭是奇函数，故选项C 不正确；对于选项D ：si πππ442n sin cos 4f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎛⎫+++ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎝是偶函数，故选项D 不正确， 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是从已知条件()π4f x f ⎛⎫≤⎪⎝⎭对一切x ∈R 恒成立，知π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的最值，π422f a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，从而得()sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，属于中档题.3．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11332=-⨯=故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.4．B解析：B 【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.5．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)22，得1sin ,cos 22αα==， 因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin (4442πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.6．B解析：B 【分析】由同角三角函数可得in （α6π+）4=5，再利用两角差的正弦公式展开sinα＝sin[（α6π+）6π-]即可. 【详解】∵cos （α6π+）3=5（α为锐角），∴α6π+为锐角，∴sin （α6π+）4=5，∴sinα＝sin[（α6π+）6π-]＝sin （α6π+）cos 6πcos （α6π+）sin 6π4313525210=⋅-⋅=， 故选:B ． 【点睛】本题考查了三角函数的同角公式和两角差的正弦公式，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.7．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos 510αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．8．B解析：B 【分析】先化简函数，根据()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，则为函数含有零的增区间的子集，再根据区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则取得最大值时对应的最小正数解属于[]0,π，最后取交集.【详解】因为()222sin cos sin 24x f x x x ωπωω⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()2sin 1sin sin x x x ωωω=+-，22sin sin sin x x x ωωω=+-，sin x ω=，令22,22k x k k Z πππωπ-+≤≤+∈，则22,22k k x k Z ππππωωωω-+≤≤+∈， 因为()f x 在区间25,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数， 25,23,2262,k k k Z ππππωωωωππ⎡⎤∴-++∈⎢⎥⎣⎦⎡⎤-⊆⎢⎥⎣⎦ 所以223562ππωππω⎧-≤-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得35ω≤，令2,2x k k Z πωπ=+∈，因为在区间[]0,π上恰好取得一次最大值， 所以02ππω≤≤，所以12ω≥， 所以ω的取值范围是1325ω≤≤. 故选：B. 【点睛】本题主要考查三角函数的单调性和最值以及二倍角公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.9．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，10．B解析：B 【解析】∵cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．B解析：B【分析】根据条件展开化简得到()1sin 303α-︒=，再利用角的变换，得到()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒，再利用二倍角公式化简求值.【详解】由()1sin 30cos 3αα︒+=+，得11cos cos 223ααα+=+， 化简得()1sin 303α-︒=； ()()()sin 230sin 26090cos 260ααα+︒=-︒+︒=-︒ ()21712sin 301299α=--︒=-⨯=故选:B ． 【点睛】本题考查三角恒等变换，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.12．A解析：A 【分析】在等式sin cos 3αα+=两边同时平方可求得cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<，()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin 3αα∴-=-，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin ααααααα=-=-+== 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数， ∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析： 【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan332ααα===-==-．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.15．【分析】根据代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值需要根据所给的角度与特殊角的关系并利用三角恒等变换进行求解属于中档题【分析】根据506010︒=︒-︒，代入原式利用正余弦的和差角公式求解即可. 【详解】()()sin 6010sin 30sin10sin 50sin 30sin10cos50cos30sin10cos 6010cos30sin10︒-︒+︒︒︒+︒︒=︒-︒︒︒-︒-︒︒sin 60cos10cos60sin10sin 30sin10cos60cos10sin 60sin10cos30sin10︒︒-︒︒+︒︒=︒︒+︒︒-︒︒sin 60cos10tan 60cos60cos10︒︒==︒=︒︒【点睛】本题主要考查了非特殊角的三角函数化简与求值，需要根据所给的角度与特殊角的关系，并利用三角恒等变换进行求解.属于中档题.16．【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得和进而由二倍角公式可得和代入两角差的正弦公式计算可得【详解】又故解得故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式属解析：50【分析】由题意和同角三角函数基本关系可得sin α和cos α，进而由二倍角公式可得sin 2α和cos2α，代入两角差的正弦公式计算可得． 【详解】221sin cos ,sin cos 15αααα-=+=又0απ≤≤，sin 0α∴≥，故解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，24sin 22sin cos 25ααα∴==， 227cos 2cos sin 25ααα=-=-，sin(2)sin 22422πααα∴-=-247()22525=+50=.故答案为：50. 【点睛】本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及同角三角函数的基本关系和二倍角公式，属中档题．17．【分析】将已知等式化边为角结合两角和的正弦公式化简可得已知由余弦定理和基本不等式求出的最大值结合即可求解【详解】由正弦定理及得因为所以化简可得因为所以因为所以由已知及余弦定理得即因为所以得所以当且仅解析：【分析】将已知等式化边为角，结合两角和的正弦公式化简可得B ，已知b ，由余弦定理和基本不等式，求出a c +的最大值，结合a c b +>，即可求解. 【详解】由正弦定理及22cos c a b A -=， 得2sin sin 2sin cos C A B A -=. 因为()C A B π=-+，所以()2sinsin 2sin cos A B A B A +-=.化简可得()sin 2cos 10A B -=.因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =. 因为0B π<<，所以3B π=.由已知及余弦定理，得2223b a c ac =+-=， 即()233a c ac +-=，因为0a >，0c >，所以()22332a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭，得()212a c +≤，所以a c +≤，当且仅当a c ==.又因三角形任意两边之和大于第三边，所以a c +>，a c <+≤故a c +的取值范围为.故答案为： 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角恒等变换解三角形，利用基本不等式求最值，属于中档题.18．【分析】先用辅助角公式函数化简为由偶函数的条件可知是函数的对称轴则又由求得的值【详解】由得因为是偶函数故为其对称轴则又因为所以故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换三角函数的奇偶性对称性属于解析：4π【分析】先用辅助角公式函数化简为())4f x x πϕ=++，由偶函数的条件可知，0x =是函数的对称轴，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，又由2πϕ<求得ϕ的值.【详解】由()()()sin cos ()2f x x x πϕϕϕ=+++<得())4f x x πϕ=++，因为()f x 是偶函数，故0x =为其对称轴，()42k k Z ππϕπ+=+∈，则()4k k ϕπ=π+∈Z ， 又因为2πϕ<，所以4πϕ=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的奇偶性，对称性，属于中档题.19．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±，又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.20．【分析】根据正切差角公式代入可求得将角配凑后可求得根据及可得的范围即可求得的范围进而求得的值【详解】因为由正切差角公式展开可得代入化简可求得则因为所以即所以则所以故答案为:【点睛】本题考查了正切差角 解析：23π-【分析】根据正切差角公式,代入tan 11β=-可求得tan 9α=.将角配凑后可求得()tan 2αβ-=根据tan 19α=<及tan 011β=-<可得,αβ的范围,即可求得2αβ-的范围,进而求得2αβ-的值.【详解】 因为()tan 3αβ-=,tan 11β=- 由正切差角公式展开可得()tan tan tan 1tan tan 3αβαβαβ--==+⋅代入tan 11β=-tan 311α=⎝⎭化简可求得tan 9α=则()()tan 2tan αβααβ-=+-⎡⎤⎣⎦()()tan tan 1tan tan ααβααβ+-=-⋅-93+==因为tan 19α=< 所以04πα<<,即022πα<<tan 0β=< 所以2πβπ<<则20παβ-<-<所以223παβ-=- 故答案为: 23π- 【点睛】本题考查了正切差角与和角公式的应用,配凑角的形式求正切值,根据三角函数值判断角的取值范围,属于中档题.三、解答题21．（1）3, 3（2）（i ）()2sin(2)3g x x π=-（ii ）4t ≤<【分析】（1）化简函数解析式，根据自变量范围求函数最值即可；（2）先由平移变换得到函数()g x 解析式，再由数形结合求t 的取值范围. 【详解】 （1）2()22cos 2cos 212sin(2)16f x x x m x x m x m π=++=+++=+++，又72666x πππ≤+≤ 6x π∴=时，max ()216f x m =++=，解得3m =，当x π=时，min 1()2()3132f x =⨯-++=. （2）（i ）()f x 的图象向下平移4个单位，再向右平移4π个单位得函数 ()2sin[2()]442sin(2)463g x x x πππ=-++-=-，（ii ）由2()0g x t -=可得()2t g x =， 在同一直角坐标系内作出(),2ty g x y ==的图象，322t≤<时，即234t ≤<时，图象有2个交点， 即2()0g x t -=有2个根. 【点睛】关键点点睛：求方程2()0g x t -=在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时有2个根，可转化为(),2t y g x y ==有2个不同的交点，数形结合求解即可，属于中档题. 22．条件选择见解析；（1）1ω=，单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【分析】化简()f x 1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）若选① ，根据周期公式可得ω；若选②，由12min22T x x π-==，可得周期和ω，再根据正弦函数的单调性可得()f x 单调区间； （2）由x 的范围求出26x π-及1sin 262x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的范围可得答案. 【详解】1cos 2()3cos 2xf x x x ωωω-=+ 3112cos 2222x x ωω=-+1sin 262x πω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.（1）若选① ，则有T π=，222πωπ∴==，即1ω=，若选②，则有12min22T x x π-==， 222πωπ∴==，即1ω=，综上1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 于是由222()262πππππ-+≤-≤+∈k x k k Z ，解得()63ππππ-+≤≤+∈k x k k Z ，即()f x 单调增区为,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，由3222()262k x k k Z πππππ+≤-≤+∈， 解得5()36k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 所以()f x 单调减区间为5,()36k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.（2）1()sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，若0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,662x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则13sin 20,622x π⎛⎫⎡⎤-+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了()()sin f x A x b ωϕ=++的性质，有关三角函数的解答题，考查基础知识、基本技能和基本方法，且难度不大，主要考查以下四类问题；（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角三角函数的基本关系和诱导公式求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期、对称性有关的问题，考查了计算能力. 23．（1）21100；（2）11m m+-.【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒． 【详解】解：（1）由题意得：4cos 5θ=-，且角θ为第二象限的角则3sin 5θ==，3tan 4θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭（2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒ 则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒11m m +=-． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．24．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 22f x x x x =+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当2262x k πππ+=-+，即,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =.（2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.25．（1）,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，；（2）,62A B ππ==. 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化为()2sin 226f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈求解. （2）由()2sin 2206f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，求得3C π=，再由sin 2sin B A =，利用两角和的正弦公式，由sin 2sin 3A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解. 【详解】（1）因为函数2()22cos 1f x x x =--，2cos22x x =--，2sin 226x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 令222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得 ,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈，所以函数()f x 的单调递增区间是,63k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，； （2）由()2sin 2206f C C π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，得sin 216C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以22,62C k k Z πππ-=+∈，即,3C k k Z ππ=+∈， 因为()0,C π∈， 所以3C π=， 又sin 2sin B A =， 所以sin 2sin 3A A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin 2sin 2A A A =，所以tan 3A =， 因为()0,A π∈， 所以,62A B ππ==.【点睛】 方法点睛：1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2T ωπ=，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T πω=. 3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．26．（1）b =2）． 【分析】 ()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩， 所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得b =520∆=->， 又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>， ∴sin cos 2θθ-===，∴12+12sin cos 1cos sin 6θθθθ⨯+==--. 【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cos θθ+和cos sin θθ的表达式，再结合()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(有答案解析)(2)
一、选择题1．若10,0,cos ,sin 2243423ππππβαβα⎛⎫⎛⎫<<-<<+=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A B ．C ． D 2．已知tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根，且()tan 1αβ+=，则实数a =（ ）A ．16B ．116C ．512D ．7123．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，且4cos 5α=，2sin()3αβ+=，则（ ）A ．0,3πβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．,32ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．2,23ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．2,3πβπ⎛⎫∈⎪⎝⎭4．化简22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-=( )A ．12B 1C ．14D ．15．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin α的值等于（ ）A B C ．16D ． 6．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π7．已知cos 5α=，,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．13 B ．3C ．13D ．13-8．已知αβ、均为锐角，满足sin cos αβ==，则αβ+=（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．34π9．设a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，定义在区间[]0,3π上的函数sin 2y x =的图象与cos y x =的图象交点的横坐标是d ，则满足条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为（ ） A ．7B ．11C ．14D ．2810．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3511．人体满足黄金分割比的人体是最美人体，0．618是黄金分割比12m =的近似值，黄金分割比还可以表示为2cos72︒，则22cos 271︒-（ ） A ．4B1C ．2D112．已知()0,απ∈，sin cos αα+=cos2=α（ ） A．BC．9-D．9二、填空题13．已知1cos 3α=，且02πα-<<，则()()()cos sin 2tan 23sin cos 22αππαπαππαα--+-=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 14．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin cos a Bb C=，且()3sin sin 4A CB -=-，则sin B =_______．16．若函数()2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，则m 的取值范围是________.17．若角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2=α______.18．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 19．已知α，β均为锐角，()5cos 13αβ+=-，π3sin 35β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πsin 3α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.20．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．三、解答题21．已知310,2,tan ,sin 223ππαβπαβ<<<<==. （1）求cos()αβ-的值； （2）求αβ+的值.22．已知函数()cos sin )0)f x x x x ωωωω=+->，且()f x 的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递减区间； （2）若2()2f x ，求x 的取值范围.23．在①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，②()f x 的最大值在12x π=处取到，③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个，补充并解答下面问题．问题：已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,3ω∈．若_______，求实数ω的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．24．已知函数()sin (cos )2f x x x x =+-. （1）求3f π⎛⎫⎪⎝⎭的值及函数()f x 的单调增区间； （2）若,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2m f x m <<+恒成立，求实数m 的取值集合.25．已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最值及取到最值时x 的值；（3）若函数()()g x f x m =-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的零点1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求()12tan x x +的值.26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】 由cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦展开计算正余弦值代入可得答案. 【详解】 因为10,cos 243ππαα⎛⎫<<+= ⎪⎝⎭，所以3444πππα<+<，sin +43πα⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为02πβ-<<，所以4422ππβπ<-<，又因为sin 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 而cos cos +2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， cos +cos sin +sin 442442ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭13==. 故选：A. 【点睛】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.2．A解析：A 【分析】首先利用韦达定理求得5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=，再结合()tan 1αβ+=，利用两角和正切公式得到关于a 的等量关系式，求得结果. 【详解】因为tan α，tan β是方程2506x x a -+=的两个实数根， 所以有5tan tan 6αβ+=，tan tan a αβ⋅=， 因为()tan 1αβ+=，所以有5611a=-，所以16a =，故选：A. 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关两角和正切公式，解题思路如下： （1）先利用韦达定理，写出两根和与两根积；（2）利用两角和正切公式，结合题中条件，得到等量关系式，求得结果.3．C解析：C 【分析】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈，再由()βαβα=+-展开式结合同角三角函数关系可得1cos (,0)2β=-，从而得解. 【详解】 由0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，,02πα⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，可得()0,βπ∈.又4cos 5α=，2sin()3αβ+=，且0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,2παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以3sin 5α==，cos()3αβ+==-. 所以cos cos[()]cos()cos sin()sin βαβααβααβα=+-=+++4236(0353515-=-⨯+⨯=<.因为6127015230--+=>，所以1cos (,0)2β∈- 所以2,23ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. 故选：C. 【点睛】方法点睛：在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有：()ααββ=+-，2()()ααβαβ=++-，2()αβααβ-=+-等.4．A解析：A 【分析】由原式利用二倍角公式，和同角三角函数基本关系进行化简，即可得到结果. 【详解】()()2222cos 2cos 2cos sin cos sin αβααββ=--22222222cos cos cos sin sin cos sin sin αβαβαβαβ=--+，所以22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ+-()2222222222221sin sin cos cos cos cos cos sin sin cos sin sin 2αβαβαβαβαβαβ=+---+()222222221sin sin cos cos +cos sin +sin cos 2αβαβαβαβ=+ ()()()2222221sin sin +cos cos cos +sin 2αββαββ=+()2211sin cos 22αα=+=. 故选：A 【点睛】本题主要考查三角函数的化简求值，涉及到同角三角函数基本关系和三角恒等变换，属于中档题.5．C解析：C 【分析】 求出sin 6απ⎛⎫+⎪⎝⎭，然后由两角差的正弦公式计算． 【详解】∵0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴2,663πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，∴sin 63πα⎛⎫+==⎪⎝⎭， ∴sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦11332=-⨯=故选：C ． 【点睛】本题考查两角差的正弦公式，考查同角间的三角函数关系，在应用三角公式化简求值时，要注意已知角与未知角之间的关系，以确定先用哪一个公式变形．6．C解析：C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin 0B ≠，可得2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)A π∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A 的值. 【详解】解：∵ bsin cos 2A B b -=，∴由正弦定理可得：sin sin cos 2sin B A A B B C =，∴sin sin cos 2sin B A A B B C =2sin cos cos sin )B A B A B =-+，∴sin sin 2sin sin B A B A B =，又∵sin 0B ≠，∴sin 2A A +=， ∴2sin 23A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得232A k πππ+=+，Z k ∈， 又(0,)A π∈，∴6A π=.故选：C . 【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.7．D解析：D 【分析】根据同角三角函数基本关系式求出tan α，再代入两角和的正切公式求tan 4απ⎛⎫+⎪⎝⎭的值.cos α=,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，sin 5α∴==-，sin tan 2cos ααα==-， 1tan 121tan 41tan 123πααα+-⎛⎫+===- ⎪-+⎝⎭.故选：D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，两角和的正切公式，重点考查计算能力，属于基础题型.8．B解析：B 【分析】依题意，求cos （α+β），结合角的范围可求得α+β的值． 【详解】由已知α、β均为锐角，sin αβ==，cos αβ∴==又cos （α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝2， ∵0＜α+β＜π，∴α+β＝4π． 故选B ． 【点睛】解答给值求角问题的一般思路：①求角的某一个三角函数值，此时要根据角的范围合理地选择一种三角函数；②确定角的范围，此时注意范围越精确越好；③根据角的范围写出所求的角．9．D解析：D 【分析】 根据()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭结合a 、b R ∈，[)0,2c π∈可得出a 、b 、c 的取值组合，求得方程sin 2cos x x =在区间[]0,3π的解，可得出d 的可能取值，进而可求得符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数.已知a 、b R ∈，[)0,2c π∈，若对任意实数x 都有()2sin 3sin 3x a bx c π⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭， ①当2a =时，则353b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或343b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩；②当2a =-时，则323b c π=⎧⎪⎨=⎪⎩或33b c π=-⎧⎪⎨=⎪⎩.解方程sin 2cos x x =，即2sin cos cos x x x =，可得()2sin 1cos 0x x -=，即1sin 2x =或cos 0x =.当[]0,3x π∈时，解方程1sin 2x =，可得6x π=、56π、136π、176π；解方程cos 0x =，可得2x π=、32π、52π. 所以，d 的取值集合为5313517,,,,,,6262626πππππππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭. 因此，符合条件的有序实数组(),,,a b c d 的组数为4728⨯=. 故选：D. 【点睛】本题考查乘法计数原理的应用，同时也考查了三角方程与三角函数解析式中参数的求解，考查计算能力，属于中等题.10．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.11．C解析：C 【分析】根据2cos72m ︒=，结合三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算，即可求解. 【详解】根据题意，可得2cos72m ︒=，则22cos722sin1442cos 271cos54cos54︒==︒-︒︒()2sin 90542cos542cos54cos54︒+︒︒===︒︒. 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了三角函数的化简、求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本关系式，诱导公式和余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．A解析：A 【分析】在等式sin cos αα+=cos sin αα-的值，然后利用二倍角的余弦公式可求得cos2α的值. 【详解】()0,απ∈，sin cos 3αα+=，两边平方后得：112sin cos 3αα+=，即1sin cos 3αα=-，sin 0α∴>，cos 0α<， ()215cos sin 12sin cos 1233αααα⎛⎫-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭，cos sin 3αα∴-=-，则()()22cos 2cos sin cos sin cos sin 333ααααααα=-=-+=-=-. 故选：A. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，同时也考查了同角三角函数平方关系的应用，考查计算能力，属于中等题.二、填空题13．【分析】用同角间的三角函数关系计算用诱导公式化简后再计算然后计算可得【详解】∵且∴∴故答案为：【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式同角间的三角函数关系三角函数求值问题首先要进行化简应用诱导公式化简应用解析：-【分析】用同角间的三角函数关系计算sin α，用诱导公式化简后再计算．然后计算tan α，可得． 【详解】∵1cos 3α=，且02πα-<<，∴sin 3α==-， ∴()()()cos sin 2tan 2cos sin (tan )sin tan 3cos (sin )cos sin cos 22αππαπααααααππααααα--+---=====---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：-． 【点睛】方法点睛：本题考查诱导公式，同角间的三角函数关系．三角函数求值问题，首先要进行化简，应用诱导公式化简，应用同角间的三角函数关系化简，最后才代入求值．应用诱导公式应牢记：奇变偶不变，符号看象限，应用同角间的三角函数关系应注意在应用平方关系求函数值需确定角的范围，以确定正弦余弦值的正负．14．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值. 【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，PD ==PA ===19tan 1919DAPA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．15．【分析】代入展开整理得①化为与①式相加得转化为关于的方程求解即可得出结论【详解】因为所以所以因为所以则整理得解得故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的边角互化考查三角函数化简求值属于中档题 解析：12【分析】sin sin()B A C =+代入()3sin sin 4A CB -=-，展开整理得32cos sin 4A C =，①2sin cos a B b C=化为22sin cos sin A C B =，与①式相加得 ()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+，转化为关于sin B 的方程，求解即可得出结论.【详解】因为()3sin sin 4A CB -=-，所以()()3sin sin 4A C A C -=+-，所以32cos sin 4A C =，因为2sin cos a B b C=，所以22sin cos sin A C B =，则()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+， 整理得23sin 2sin 04B B -+=，解得1sin 2B =. 故答案为:12. 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.16．【分析】化简函数解析式为做出函数的图象数形结合可得的取值范围【详解】解：因为所以由可得则函数的图象与直线恰有两个不同交点即方程在上有两个不同的解画出的图象如下所示：依题意可得时函数的图象与直线恰有两 解析：[4,6)【分析】化简函数解析式为()4sin()26f x x π=-+，做出函数的图象，数形结合可得m 的取值范围． 【详解】解：因为()23sin 2cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈ 所以()23sin 2cos 24sin()26f x x x x π=-+=-+，[0,]x π∈，由[]0,x π∈，可得5,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则函数()f x ，[]0,x π∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，即方程4sin()26x m π-+=在[]0,x π∈上有两个不同的解，画出()f x 的图象如下所示：依题意可得46m ≤<时，函数()232cos 2,[0,]f x x x x π=-+∈的图象与直线y m =恰有两个不同交点，故答案为：[)4,6 【点睛】本题主要考查正弦函数的最大值和单调性，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，正弦函数的图象特征，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．17．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得再利用二倍角公式求得的值【详解】由题意角的终边与单位圆的交点为可得解得即又由故答案为：【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义二倍角的正弦公式的应用其解析：79【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得cos α，再利用二倍角公式求得cos2α的值. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆的交点为1,()3m m R ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 可得2119m +=，解得3m =±，即cos 3α=±， 又由287cos 22cos 12199αα=-=⋅-=. 故答案为：79. 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦公式的应用，其中解答中熟记三角函数的定义，结合余弦的倍角公式求解是解答的关键，属于基础题.18．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-.【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.19．【分析】先求出再由并结合两角和与差的正弦公式求解即可【详解】由题意可知则又则或者因为为锐角所以不成立即成立所以故故答案为：【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用考查同角三角函数基本关系的应用考查 解析：3365-【分析】先求出()sin αβ+，πcos 3β⎛⎫+⎪⎝⎭，再由()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并结合两角和与差的正弦公式求解即可. 【详解】由题意，可知0,παβ，则()sin 1213αβ+===，又π31sin 352β⎛⎛⎫+=∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，则πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，或者π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 因为β为锐角，所以πππ,364β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭不成立，即π3π5π,346β⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭成立，所以π4cos 35β⎛⎫+===- ⎪⎝⎭.故()ππsin sin 33ααββ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()ππsin cos cos sin 33αββαββ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭533311245651533⎛⎫-⨯=- ⎪⎛⎫=⨯--⎝ ⎪⎝⎭⎭.故答案为：3365-. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦公式的应用，考查同角三角函数基本关系的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.20．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.三、解答题21．（1）10；（2）74π. 【分析】（1）由tan α求得sin ,cos αα，由sin β求得cos β，然后由两角差的余弦公式计算； （2）由两角和的正弦公式求得sin()αβ+后，由3522ππαβ<+<可得αβ+ 【详解】 因为1tan 3α=，所以sin 1cos 3αα=，又因为22sin cos 1αα+=，02πα<<，所以10sin α=，cos 10α=sin β=322πβπ<<，所以cos β===.（1）cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+⎛=⎝⎭10=.（2）因为sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+⎛= ⎝⎭2=-. 因为02πα<<，322πβπ<<，所以3522ππαβ<+<，所以74αβπ+=． 【点睛】方法点睛：本题考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查同角间的三角函数关系，求角求值．解题关键是确定“已知角”和“未知角”的关系，以便选用恰当的公式求值．在求角，一般先确定出这个角的范围，在这个范围内选三角函数值是一对一的函数求得这个三角函数值，然后得角，如果不能直接得出一对一的函数，常常需要由已知或已求出的三角函数值缩小角的范围，从而得出角．22．（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）523,()2424k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【分析】利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简()f x ，由周期求出ω， （1）根据正弦函数的单调性可得答案； （2）根据正弦函数的值域可得答案. 【详解】)2()cos sin sin cos 22f x x x x x x x ωωωωωω=+-=+-1cos 2sin 222x x ωω+=+12sin 2sin 223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又函数()f x 的最小正周期为x ，所以22ππω=，故1ω=， 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）由题意，得3222,232k x k k πππππ+++∈Z ， 解得7,1212k xk k ππππ++∈Z ， 所以()f x 的单调递减区间是7,()1212k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）因为2()sin 232f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以39222()434k x k k πππππ+++∈Z ， 解得523()2424k x k k ππππ++∈Z ， 所以523,()2424x k k k ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦Z .【点睛】本题考查了三角函数的性质，关键点是求出正弦函数的解析式，利用正弦函数的性质解题，要求学生熟练掌握三角函数的基础知识.23．①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ω=； ②()f x 的最大值在12x π=处取到，1ω=；③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=，1ω=.【分析】可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，再利用其性质逐一求解. 【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 2x x x ωωω=⋅11cos 2sin 242x x ωω-=11sin 2222x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 2234x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.选①64f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 033ωππ-⎛⎫+= ⎪⎝⎭，()33k k Z ωπππ-+=∈ 解得13k ω=-，(]0,3ω∈，1ω∴= 选②()f x 的最大值在12x π=处取到，则有sin 163ωππ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+，(]0,3ω∈，1ω∴=选③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12min 2x x π-=意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛：对于三角函数，解决最小正周期和最值，单调区间，对称轴等问题时，可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式，再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=，最大值为A B +，最小值为A B -+.24．（1）2，单调增区间5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）根据三角恒等变换化简函数()f x ，代值求3f π⎛⎫⎪⎝⎭，用整体代换法求单调递增区间； （2）求出函数在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域，原不等式等价于函数()f x 在,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域是(),2m m +的子集，列出不等式组化简即可.【详解】解：（1）)21()sin (cos )sin 22sin 1222f x x x x x x =+-=+-1sin 22sin 2223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以sin 2s 3in 333f ππππ⎛⎛⎫=⎫⎛⎫⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭ 由222()232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈得5()1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈， 故函数的单调增区间为5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦（2）当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，22,363x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 所以1(),12f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为,122x ππ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦不等式()2m f x m <<+恒成立 所以1112212m m m ⎧<-⎪⇒-<<-⎨⎪<+⎩所以实数m 的取值集合11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】求三角函数单调区间的2种方法:（1）代换法:就是将比较复杂的三角函数处理后的整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性来求所要求的三角函数的单调区间；（2）图象法:函数的单调性表现在图象上是从左到右，图象上升趋势的区间为单调递增区间，图象下降趋势的区间为单调递减区间，画出三角函数的图象，结合图象易求它的单调区间.25．（1）最小正周期π，单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈；（2）4x π=时，()f x 取得最大值1；12x π=-时，()f x 取得最小值2-；（3）)m ∈，()12tan 3x x +=-. 【分析】（1）利用和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为()sin y A ωx φ=+的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间； （2）当,64x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，利用正弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值，并指出()f x 取得最值时对应的x 的值. （3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x ，2x ，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点；可求m 的范围，结合三角函数的图象可知，1x ，2x ，关于对称轴是对称的，可知12x x +，即可求()12tan x x +的值. 【详解】解：（1）函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭化简可得：()2112sin cos sin 2cos 222f x x x x x x ⎫=-=-++⎪⎭sin 222sin 23x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以函数的最小正周期22T ππ==， 由222232k x k πππππ-≤-≤+，解得：1212k x k π5ππ-≤≤π+， 所以函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）由于64x ππ-≤≤，可得22336x πππ-≤-≤， 当236x ππ-=，即4x π=时，()f x 取得最大值1； 当232x ππ-=-，即12x π=-时，()f x 取得最小值2-.（3）函数()()g x f x m =-所在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦匀上有两个不同的零点1x '，2x '，转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点， 令23u x π=-，∵ 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2,33u ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得sin y u =的图象(如图).从图可知：)m ∈时，函数sin y u =与函数y m =有两个交点，其横坐标分别为1x '，2x '.故得实数m 的取值范围是)m ∈， 由题意可知1x '，2x '是关于对称轴是对称的： 那么函数在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的对称轴512x π=， 所以1256x x π''+=，所以()125tan tan6x x π''+==.【点睛】本题第三问解题的关键在于将问题转化为函数()f x 与函数y m =有两个交点，进而讨论函数在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的图象，根据数形结合思想求解，考查运算求解能力，化归转化思想，是中档题. 26．（1）5b =2）53． 【分析】 ()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩， 所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得5b =520∆=->，又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos 2θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>， ∴sin cos θθ-===，∴12+12sin cos 1cos sin 6θθθθ⨯+==--. 【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cos θθ+和cos sin θθ的表达式，再结合()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(有答案解析)(1)
一、选择题1．已知4sin cos 3θθ+=，,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．13-B ．13C．3-D．32．已知tan 2α=，则sin cos 2sin cos αααα+=-（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．已知cos 2π)4αα=+1tan tan αα+等于（ ） A ．92B ．29C ．9-2D ．2-95．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，已知sin cos 2b A B b =-，则A =（ ）A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 6．已知()sin 2cos x x x ϕ+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ）A ．25-B ．25C ．35D ．357．若tan 2θ=，则cos2(θ= )A ．45B ．45-C ．35D ．35-8．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A．9-B．9C ．79-D ．799．函数2()3sin cos f x x x x =+的最大值为（ ）A．2B．C．D．3+10．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h，且h =2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A．B．C ．4D ．611．已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3512．若0||4πα<<，则下列说法①sin2α＞si nα，②cos2α＜cosα，③tan2α＞tanα，正确的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①③二、填空题13．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 14．已知4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________． 15．已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 16．若函数()()()sin cos 2f x x x πϕϕϕ⎛⎫=+++<⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ=______. 17．函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_________.18．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 19．若函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则常数ϕ的一个取值为________．20．已知角θ的终边经过点(4,3)P -，则22cos sin 12)4--=+θθπθ_____________．三、解答题21．已知函数2()cos sin 32233x x x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）若,2x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求()f x 的递增区间和值域； （2）若0043(),54f x x ππ=+≤≤，求点02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭．22．①角α的终边上有一点()2,4M ；②角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13；③2α为锐角且22sin 42cos 22sin 2ααα=-.在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并加以解答.问题：已知角α的顶点在原点O ，始边在x 轴的非负半轴上，___________.求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分.23．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04(,)5y -.（1）求tan sin 2θθ-的值；（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ+︒的值.24．已知0πx <<，5sin cos x x +=． （Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．25．设函数2()cos 22sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最大值及取得最大值时x 的集合； （2）若,42⎛⎫∈⎪⎝⎭ππα，且2()5f α=，求sin 2α.26．已知函数2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. （1）求512f π⎛⎫⎪⎝⎭；（2）求()f x 的单调递增区间及最小正周期. （3）若(0,)2πα∈，且()22f α=，求sin α.（4）若tan 2β=，求3()cos 22f ββ+的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】首先根据题意得到72sin cos 9θθ=，再计算()22sin cos 9θθ-=，根据,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭判断出sin cos θθ-的符号再进行开方计算即可得到答案. 【详解】 因为4sin cos 3θθ+=，所以()216sin cos 12sin cos 9θθθθ+=+=， 所以72sin cos 9θθ=， 所以()22sin cos 12sin cos 9θθθθ-=-=， 因为,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，即sin θcos θ0，所以sin cos θθ-= 故选：D ． 【点睛】易错点睛：本题求sin cos θθ-的值时，采用的方法是先对其平方而后再开方，再开方时应注意根据θ的取值范围正确判断sin cos θθ-的符号，从而得到正确的答案.2．A解析：A 【分析】已知正切值要求正余弦值，可以利用商的关系将“弦化切”，代入数值即可. 【详解】原式分子分母同除以cos α得原=tan 12112tan 141αα++==--故选：A. 【点睛】已知正切值求正余弦值,通常有两种做法：一是将所求式子分子分母同除cos α或2cos α，化为tan α求解； 二是利用sin tan cos ααα=得sin tan cos ααα=代入消元即可. 3．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.4．A解析：A【分析】先利用cos 2sin 22παα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭结合cos 2π)4αα=+cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭的值，然后利用二倍角公式得到24cos 22cos 1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即4sin 29α=，又12tan tan sin 2ααα+=，将4sin 29α=代入便可解出答案. 【详解】因为sin22sin coscos2244π4)444πππααααπαππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭===+⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，则cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭所以24cos22cos1249ππαα⎛⎫⎛⎫+=+-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又4cos2sin229παα⎛⎫+=-=-⎪⎝⎭，所以4sin29α=，所以1sin cos1229tan4tan cos sin sin cos sin229ααααααααα+=+====.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，考查正弦、余弦的二倍角公式及其应用，难度一般，解答时公式的变形运用是关键.5．C解析：C【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式，结合sin0B≠，可得2sin23Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，根据题意可求范围(0,)Aπ∈，根据正弦函数的图象和性质即可求解A的值.【详解】解：∵ bsin cos2A B b-=，∴由正弦定理可得：sin sin cos2sinB A A B B C=，∴sin sin cos2sinB A A B B C=2sin cos cos sin)B A B A B=-+，∴sin sin2sin sinB A B A B=，又∵sin0B≠，∴sin2A A+=，∴2sin23Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，可得232A kπππ+=+，Zk∈，又(0,)Aπ∈，∴6Aπ=.故选：C.【点睛】本题考查正弦定理和三角恒等变换的运用，考查运算求解能力，求解时注意角的范围.6．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.7．D解析：D 【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式把要求的式子化为221tan 1tan θθ-+，把已知条件代入运算，求得结果． 【详解】tan 2θ=，22222222cos sin 1tan 3cos2cos sin cos sin 1tan 5θθθθθθθθθ--∴=-===-++， 故选D ． 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．8．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．9．A解析：A 【分析】利用降次公式、二倍角公式和辅助角公式化简()f x ，由此求得()f x 的最大值. 【详解】依题意()1cos 233sin 2sin 2222222x f x x x x -=+=-+12cos 2226x x x π⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，所以()f x 22=. 故选：A 【点睛】本小题主要考查降次公式、二倍角公式和辅助角公式，考查三角函数的最值的求法，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc+++++===+，而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．11．B解析：B 【分析】根据两角和与差的余弦函数的公式，联立方程组，求得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-，再结合三角函数的基本关系式，即可求解.【详解】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=，联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B. 【点睛】本题主要考查了两角和与差的余弦函数，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.12．B解析：B 【分析】 取6πα=-判断①③，根据余弦函数的性质结合二倍角公式判断②.【详解】当6πα=-时，1sin 2sin ,sin sin ,sin 2sin 3262ππαααα⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 2tan tan tan ,tan 2tan 363ππαααα⎛⎫⎛⎫=-==-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则①③错误；0||4πα<<，cos cos ||αα⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭2cos 2cos 2cos cos 1(cos 1)(2cos 1)0αααααα∴-=--=-+<即cos2cos αα<，②正确； 故选：B 【点睛】本题主要考查了求余弦函数的值域以及二倍角的余弦公式的应用，属于中档题.二、填空题13．【分析】首先根据诱导公式将然后结合两角和正弦公式的逆用化简即可求值【详解】sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°co解析：2【分析】首先根据诱导公式将sin347cos77︒=-︒、cos148sin58︒=-︒，然后结合两角和正弦公式的逆用化简，即可求值 【详解】sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°) ＝sin 135°＝2故答案为：2【点睛】本题考查了利用三角函数的诱导公式、两角和正弦公式化简求值，注意有大角要根据诱导公式将其转化为小角，进而应用三角恒等变换化简求值14．【分析】由且求得得到再结合两角和的正切公式即可求解【详解】因为且可得所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式以及两角和的正切公式的化简求证其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角解析：17【分析】由4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求得3sin 5θ=-，得到3tan 4θ=-，再结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】 因为4cos 5θ=，且,02πθ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得3sin 5θ===-，所以sin 3tan cos 4θθθ==-， 又由311tan 14tan 341tan 714πθθθ-+⎛⎫+=== ⎪-⎝⎭+. 故答案为：17.【点睛】本题主要考查了三角函数的基本关系式，以及两角和的正切公式的化简、求证，其中解答中熟记三角函数的基本关系式和两角和的正切公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.15．【分析】由已知式求出利用同角三角函数间的平方关系和商数关系将化为代入即可求值【详解】则故答案为：【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系正余弦其次式的计算二倍角的正弦公式属于中档题 解析：2425【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值. 【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.16．【分析】先用辅助角公式函数化简为由偶函数的条件可知是函数的对称轴则又由求得的值【详解】由得因为是偶函数故为其对称轴则又因为所以故答案为：【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换三角函数的奇偶性对称性属于解析：4π【分析】先用辅助角公式函数化简为())4f x x πϕ=++，由偶函数的条件可知，0x =是函数的对称轴，则()42k k Z ππϕπ+=+∈，又由2πϕ<求得ϕ的值.【详解】由()()()sin cos ()2f x x x πϕϕϕ=+++<得())4f x x πϕ=++，因为()f x 是偶函数，故0x =为其对称轴，()42k k Z ππϕπ+=+∈，则()4k k ϕπ=π+∈Z ， 又因为2πϕ<，所以4πϕ=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的奇偶性，对称性，属于中档题.17．4【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数再结合二次函数图像求解即可【详解】令则原函数等价于对称轴为画出大致图像如图：显然在时取到最大值所以函数最大值为4故答案为：4【点睛】本题考查诱导解析：4 【分析】采用二倍角公式和诱导公式转化为关于cos x 的二次函数，再结合二次函数图像求解即可 【详解】22()3sin cos 23cos 2cos 12cos 3cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+-=+- ⎪⎝⎭，令cos t x =[]11t ,∈-，则原函数等价于()2231f t t t =+-，对称轴为34t =-，画出大致图像，如图：显然在1t =时取到最大值，()max 4f t =，所以函数()3sin cos22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭最大值为4故答案为：4 【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，二次函数型三角函数最值的求解，属于中档题18．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题 3【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以243sin 1cos αα=-=，()()233sin 1cos αβαβ-=--=()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．（答案不唯一）【分析】根据函数为偶函数有化简得对任意恒成立所以有取其中一个值即可得出答案【详解】解：因为函数为偶函数则所以所以等价于对任意恒成立所以所以所以常数的一个取值为故答案为：（答案不唯一）【解析：π2（答案不唯一） 【分析】根据函数为偶函数有()()f x f x =-，化简得sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以有()2k k Z πϕπ=+∈，取其中一个值即可得出答案.【详解】解：因为函数()sin()cos f x x x ϕ=++为偶函数，则()()f x f x =- 所以sin()cos sin()cos()x x x x ϕϕ++=-++-所以sin cos cos sin cos sin()cos cos()sin cos x x x x x x ϕϕϕϕ++=-+-+ 等价于sin cos 0x ϕ=对任意x 恒成立，所以cos 0ϕ=， 所以()2k k Z πϕπ=+∈，所以常数ϕ的一个取值为π2. 故答案为：π2（答案不唯一） 【点睛】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法（1）求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解；（2）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于()f x 的方程(组)，从而得到()f x 的解析式；（3）求函数解析式中参数的值：利用待定系数法求解，根据()()0f x f x ±-=得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值； （4）画函数图象和判断单调性：利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.20．7【分析】根据角终边定义得将所求分式用倍角公式和差公式化简化为齐次式代化简即可【详解】解：由角的终边经过点得所以故答案为：7【点睛】任意角的三角函数值：（1）角与单位圆交点则；（2）角终边任意一点则；解析：7 【分析】根据角终边定义得3tan 4θ=-，将所求分式用倍角公式、和差公式化简，化为齐次式，代3tan 4θ=-化简即可.【详解】解：由角θ的终边经过点(4,3)P -得3tan 4θ=-所以222cos sin 1(2cos 1)sin cos sin 22sin cos )coscos sin )444-----==+++θθθθθθπππθθθθθ31cos sin 1tan 473sin cos tan 114θθθθθθ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====++-+.故答案为：7 【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x xααα===≠； （2）角α终边任意一点(,)P x y，则sin tan (0)yx xααα===≠； 三、解答题21．（1）,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，值域,122⎤+⎥⎣⎦；（2）024sin 310x +⎛⎫= ⎪⎝⎭. 【分析】（1）先利用诱导公式和降幂公式可将()f x 化为()2sin 33x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭数的性质可得函数的单调区间和值域.（2）利用两角差的正弦公式可求02sin 3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值. 【详解】①2()sin cos 1cos 333x x x f x ⎫=++⎪⎝⎭2sin 33x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由2222332x k k πππππ-≤+≤+得53344k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 又2x ππ-≤≤，所以()f x 的递增区间为,24ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 又2x ππ-≤≤，故2033x ππ≤+≤，所以20sin 133x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，()f x ∴值域为1⎤+⎥⎣⎦.②由024()sin 33252x f x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭得024sin 335x π⎛⎫+=⎪⎝⎭， 因04x ππ≤≤，所以02233x πππ≤+≤，故023cos 335x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭00002222sin sin sin cos cos sin 3333333333x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4134525210+=⨯+⨯=. 【点睛】方法点睛：形如()22sinsin cos cos f x A x B x x C x ωωωω=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()'sin 2'f x A x B ωϕ=++的形式，再根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．三角函数的化简求值问题，可以从四个角度去分析：（1）看函数名的差异；（2）看结构的差异；（3）看角的差异；（4）看次数的差异．对应的方法是：弦切互化法、辅助角公式（或公式的逆用）、角的分拆与整合（用已知的角表示未知的角）、升幂降幂法． 22．答案见解析 【分析】选条件①，则根据三角函数定义得cosα=，sin α=，进而根据二倍角公式得3cos25α=-，4sin 25α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件②，由三角函数单位圆的定义得1cos 3α=，sin α=，进而根据二倍角公式得7cos 29α=-，sin 29α=，再结合余弦的和角公式求解即可；选条件③，由二倍角公式得222sin 42tan 22cos 22sin 212tan 2ααααα==--，并结合题意得1tan 22α=，故cos 2α=，sin 2α=【详解】解：方案一：选条件①. 由题意可知2cos ||OM α===4sin ||OM α===. 所以23cos 22cos 15αα=-=-，4sin 22sin cos 5ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭314525=-⨯-310+=-. 方案二：选条件②.因为角α的终边与单位圆的交点在第一象限且横坐标为13，所以1cos 3α=，sin 3α==.所以27cos 22cos 19αα=-=-，sin 22sin cos 9ααα==.所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭719292=-⨯-⨯=. 方案三：选条件③.22222sin 42sin 2cos 22tan 22cos 22sin 2cos 22sin 212tan 2ααααααααα===---，结合2α为锐角，解得1tan 22α=， 所以cos 2α=，sin 2α=. 所以cos 2cos 2cos sin 2sin 333πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭12==. 【点睛】本题解题的关键在于根据三角函数的定义求得cos ,sin αα，进而根据三角恒等变换求解，考查运算求解能力，是基础题. 23．（1）21100；（2）11m m+-. 【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒． 【详解】解：（1）由题意得：4cos 5θ=-，且角θ为第二象限的角则3sin 5θ==，3tan 4θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭（2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒ 则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒11m m +=-． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．24．（1 ；（2）415【分析】（1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解． 【详解】（1）∵sin cos x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=， ∴2sin cos 5x x =-， ∵0πx <<，∴sin 0x >，cos 0x <，sin cos 0x x -> ∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=，∴sin cos x x -=. （2）sin cos x x +=，sin cos x x -=解得sin 5x =，cos 5x =-， ∴sin tan 2cos xx x==- ∵4sin 25x =-，24sin 5x =，∴24sin 22sin 4551tan 81215x xx -++==-+． 【点睛】方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.25．（1）,3x xx k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =；（2. 【分析】（1）利用两角和的余弦展开和正弦的降幂公式化简，再利用两角和的正弦写成()()sin f x A x ωϕ=+形式可求最值及对应的x 的值；（2）由3sin 265πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭和α的范围利用平方关系求出cos 26πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再利用凑角sin 2sin 266ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可得答案.【详解】（1）1()cos 221cos 222f x x x x =-+-1sin 26x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 当2262x k πππ+=-+，即,3x x x k k Z ππ⎧⎫∈=-+∈⎨⎬⎩⎭∣时，max ()2f x =. （2）21sin 265πα⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，3sin 265πα⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， ,42ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，272,636πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，4cos 265πα⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭341sin 2sin 266552ππαα⎡⎤-⎛⎫=+-=-⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的性质、三角函数的化简求值，关键点是正用两角和的余弦、正弦公式和逆用两角和的正弦公式，利用凑角求三角函数值，考查了学生的基础知识、基本运算能力.26．（11（2）5[,],1212k k k Z ππππ-+∈，π（3）6（4）15+ 【分析】（1）化简函数解析式代入直接求值即可；（2）由正弦型函数的性质求解即可； （3）先求出cos()3πα-，sin()3πα-再利用33ππαα=-+求解即可； （4）由两角差的正弦化简后再利用弦化切求解.【详解】 （1）2()sin 22sin 6f x x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭ sin2cos cos2sin 1cos 266x x x ππ⋅-⋅+-1cos21cos22x x x =-+-3cos212x x =-+213x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,故55sin()111263f πππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭.（2）由（1）知()213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,令222,232k x k k Z πππππ-≤-≤+∈, 解得5,1212k x k k Z ππππ-≤≤+∈, 所以函数()f x 的单调递增区间为5[,],1212k k k Z ππππ-+∈， 函数()f x 的周期为22T ππ==. （3）(0,)2πα∈，且()22f α=，())1223f απα=-+=，即sin()3πα-= 因为(0,)2πα∈，所以cos()33πα-=， 故sin sin[()]sin()cos cos()sin 333333ππππππαααα=-+=-+-12=+=（4）33()cos 2)1cos 2232f πββββ+=-++3sin 221cos 2222βββ=-++211β=+=+1=+1= 【点睛】关键点点睛：涉及三角函数的求值化简问题，关键要根据式子结构特征，选择合适的公式，正用、逆用公式，并结合切化弦、弦化切思想，角的变换技巧，灵活运用公式，熟练运算，属于中档题.。
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(包含答案解析)(3)
一、选择题1．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα-=，则cos α的值为（ ）A ．15B C D 2．已知2tan 23θ=，则1cos sin 1cos sin θθθθ-+++的值为（ ） A ．23 B ．23-C ．32D ．32-3．在ABC 中，cos 2A =-，1tan 3B =，则()tan A B -=（ ）A ．2-B ．12-C ．12D ．24．已知2π()2sin ()1(0)3f x x ωω=+->，给出下列判断： ①若函数()f x 的图象的两相邻对称轴间的距离为π2，则=2ω； ②若函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则ω的最小值为5； ③若函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增，则ω的取值范围为1(0,]2； ④若函数()f x 在[0,2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147[,)2424. 其中判断正确的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．45．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形（另一种是顶角为108的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC 中，BC AC =.根据这些信息，可得sin126=（ ）A ．154- B ．358+ C ．154+ D ．458+ 6．函数()sin 3([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是（ ） A ．5[,]6ππ--B ．5[,]66ππ-- C ．[,0]3π-D ．[,0]6π-7．已知()5sin 2cos x x x ϕ-+=+对x ∈R 恒成立，则cos 2ϕ=（ ） A ．25-B ．25C ．35D ．358．角α的终边与单位圆的交点坐标为31)2，将α的终边绕原点顺时针旋转34π，得到角β，则cos()αβ+=（ ） A ．624B ．624C ．314D ．09．已知直线524x π=是函数213()3sin (08)222x f x x ωωω=+-<≤图象的一条对称轴，则ω=（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．810．若()tan 804sin 420α+=，则()tan 20α+的值为（ ）A ．35-B ．35C 3D 3 11．已知()()()ππcos sin 22cos πtan πf ααααα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=---，则2020π3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．3B ．12-C ．12D 312．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形D ．等边三角形二、填空题13．经过点(4,1)P -作圆2220x y y +-=的切线，设两个切点分别为A ，B ,则tan APB ∠=__________．14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2sin cos a B b C=，且()3sin sin 4A C B -=-，则sin B =_______．15．2cos10sin 20sin 70︒︒︒-=______. 16．()sin 501︒+︒的值__________.17．tan 25tan 3525tan 35+︒︒︒︒的值为________. 18．已知tan 3α=-，则cos2=α_____________. 19．已知tan （3π+α）＝2，则()()()()3222sin cos sin cos sin cos ππαππααααπα⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--++_____.20．已知,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且222coscos cos 2αβγ++=，则cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++++的最小值为______.三、解答题21．已知函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++．（1）若[,]126x ππ∈-，求函数()f x 的最值； （2）记锐角△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，若()0f A =，4b c +=，求△ABC 面积的最大值． 22．已知00,2x x π+是函数22()cos sin (0)6f x x x πωωω⎛⎫=--> ⎪⎝⎭的两个相邻的零点. （1）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）求()f x 在[]0,π上的单调递增区间. 23．已知0πx <<，sin cos x x +=． （Ⅰ）求sin cos x x -的值；（Ⅱ）求2sin 22sin 1tan x xx+-的值．24．已知函数()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的单调增区间； （2）当,64x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，求实数m 的取值范围.25．已知函数()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求6f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的最大值和最小值； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，所得函数图象与函数cos 2y x =的图象重合，求实数m 的最小值.26．在直角坐标系xOy 中，已知锐角α和β的顶点都在坐标原点，始边都与x 轴非负半轴重合，且终边与单位圆分别交于点5,13P m ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫⎪⎝⎭，求()sin αβ-的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】利用二倍角公式化简得到2sin cos ,αα=再利用同角的平方关系求解. 【详解】由题得24sin cos 12cos 1,ααα+-= 所以24sin cos 2cos ,ααα= 因为0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 所以2sin cos ,αα=因为22221sin cos 1,cos cos 14αααα+=∴+=，所以24cos ,(0,),cos 52πααα=∈∴= 故选：D 【点睛】方法点睛：三角函数求值常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角、变名、变式）.2．A解析：A 【分析】根据半角公式得22sin sin cos 221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，再分子分母同除以2cos 2θ得2tan 1cos sin 21cos si tan2n 31ta 2n 2θθθθθθθ-+=++=++. 【详解】解：根据半角公式得：22cos 12sin2cos 122θθθ=-=-，sin 2sincos22θθθ=所以22222sin 2sin cos sin sin cos2222222cos 2sin cos cos sin cos 21cos sin 1cos 222n 2i 2s θθθθθθθθθθθθθθθθ-+==++++++， 对上述式子分子分母同除以2cos 2θ得： 222sin sin cos tan22222cos s 42ta in cos 22n 1cos sin 1029321cos sin 1531tan 1322θθθθθθθθθθθθθ+-+==+++===++++. 故选：A. 【点睛】本题解题的关键在于利用半角公式化简得22sin sin cos221cos sin 1co 2cos sin cos 22s s 2in θθθθθθθθθθ=+++++-，进而构造齐次式求解即可，考查运算求解能力，是中档题. 3．A解析：A 【分析】根据已知条件计算出tan A 的值，然后根据两角差的正切公式结合tan ,tan A B 的值计算出()tan A B -的值.【详解】因为cos 2A =-且()0,A π∈，所以34A π=，所以tan 1A =-，所以()()11tan tan 3tan 211tan tan 113A BA B A B ----===-++-⨯，故选：A. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是根据特殊角的余弦值求出其正切值以及两角差的正切公式的熟练运用.4．C解析：C 【分析】先将()f x 化简，对于①，由条件知，周期为π，然后求出ω；对于②，由条件可得2()612k k Z ωπππ+=∈，然后求出16()k k Z ω=-+∈，即可求解；对于③，由条件，得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩，然后求出ω的范围；对于④，由条件，得74221212πππππωωωω-<-，然后求出ω的范围；，再判断命题是否成立即可． 【详解】解：2π2ππ()2sin ()1=-cos(2)=sin(2)336f x x x x ωωω=+-++， ∴周期22T ππωω==． ①．由条件知，周期为π，1w ∴=，故①错误；②．函数()f x 的图象关于点π(,0)12对称，则2()612k k Z ωπππ+=∈， 16()k k Z ω∴=-+∈，(0)>ω∴ω的最小值为5， 故②正确；③．由条件，ππ[,]63x ∈-，ππ2π236636x πωπωω-+≤+≤+ 由函数()f x 在ππ[,]63-上单调递增得2362()22362k k Z k ωππππωππππ⎧-+-+⎪⎪∈⎨⎪++⎪⎩， 12ω∴≤， 又0>ω，102ω∴<， 故③正确．④．由()sin(2)06f x x πω=+=得2()6x k k Z πωπ+=∈,解得()212k x k Z ππωω=-∈ ()sin(2)6f x x πω=+且()f x 在[0，2]π上恰有7个零点，可得74221212πππππωωωω-<-， ∴41472424ω<， 故④正确； 故选：C 【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了转化思想和推理能力，属中档题．关键点点睛：利用整体思想，结合正弦函数的图像和性质是根据周期，对称，单调性，零点个数求求解参数的关键.5． C解析：C 【分析】 计算出51cos 724=，然后利用二倍角公式以及诱导公式可计算得出sin126cos36=的值，即可得出合适的选项.【详解】因为ABC 是顶角为36的等腰三角形，所以，72ACB ∠=，则12cos72cos BCACB AC =∠==，()sin126sin 9036cos36=+=，而2cos722cos 361=-，所以，131cos364+====.故选：C. 【点睛】本题考查利用二倍角公式以及诱导公式求值，考查计算能力，属于中等题.6．D解析：D 【解析】()sin 23f x x x sin x π⎛⎫==-⎪⎝⎭，因为[],0x π∈-4,,333x πππ⎡⎤∴-∈--⎢⎥⎣⎦，由1,323x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，得,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，函数()[]()sin ,0f x x x x π=∈-的单调递增区间是,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选D.7．D解析：D 【分析】利用两角和的正弦公式进行展开，结合恒成立可得cos ϕ，最后根据二倍角公式得结果. 【详解】由题可知，cos sin sin 2cos x x x x ϕϕ+=+， 则cosϕ=，sin ϕ=， 所以283cos22cos 1155ϕϕ=-=-=，故选：D. 【点睛】本题主要考查了两角和的余弦以及二倍角公式的应用，通过恒成立求出cos ϕ是解题的关键，属于中档题.8．A解析：A 【分析】先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案. 【详解】由角α的终边经过点1)2，得1sin ,cos 22αα==，因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转34π得到的，所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-=-=⨯=3331cos cos()cos cos sin sin ()444222πππβααα=-=+=+=1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-==， 故选：A. 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义以及两角和与差的正余弦公式的应用，属于中档题.9．B解析：B 【分析】首先通过三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果． 【详解】解：函数211()sin cos )sin sin()2223xf x x x x x ωπωωωω=+=-+=-， 令：5()2432k k Z πππωπ-=+∈，解得244()5kk Z ω=+∈， 由于08ω<， 所以4ω=． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，10．D解析：D 【分析】 由()tan804sin 420α+=得：()tan 804sin 4204sin 6023α+===，然后将()tan 20α+化为()tan 8060α⎡⎤+-⎣⎦，用正切的差角公式求解.【详解】 因为()tan804sin 4204sin 6023α+===，则()()()()tan 80tan 6023tan 20tan 80601tan 80tan 6012αααα+-⎡⎤+=+-===⎣⎦++⋅+ 故选:D .【点睛】本题考查诱导公式、正切的差角公式的运用，难度一般.解答时要注意整体思想的运用，即观察目标式与条件式角度之间的和差关系，然后运用公式求解.11．B解析：B 【分析】根据诱导公式和同角三角函数关系式，化简函数式，最后代值计算即可. 【详解】()()()cos sin 22cos tan f ππαααπαπα⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--- ()()sin sin 2cos tan πααπαα⎡⎤⎛⎫-⋅-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=+⋅- ()()sin cos cos tan αααα-⋅-=-⋅-sin cos sin cos cos ααααα⋅=⋅cos α=，所以2020202020201cos cos cos 673cos 333332f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-==+=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故选：B . 【点睛】本题考查利用诱导公式和同角三角函数关系式化简三角函数式并求值，注意三角函数值的符号变化，属于基础题.12．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．二、填空题13．【分析】由圆的方程可以求出圆心坐标及半径进而可以求出从而求出的值由利用二倍角的正切公式可以求出的值【详解】圆的方程可化为则圆心为半径为r=1设则【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系考查了圆的性质考查 解析：199 【分析】 由圆的方程可以求出圆心坐标及半径，进而可以求出25PD =，1DA =，从而求出tan APD ∠的值，由2APB APD ∠∠=，利用二倍角的正切公式，可以求出tan APB ∠的值.【详解】圆的方程可化为()2211x y +-=，则圆心为()0,1D ，半径为r =1，设APD ∠θ=，AP DA ⊥，()2241125PD =+--=，2220119PA PD r =-=-=，则19tan 1919DA PA θ===,22192tan 1919 tan tan211tan 9119APB θθθ∠====--.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，考查了圆的性质，考查了两点间的距离公式，二倍角的正切公式，属于基础题．14．【分析】代入展开整理得①化为与①式相加得转化为关于的方程求解即可得出结论【详解】因为所以所以因为所以则整理得解得故答案为:【点睛】本题考查正弦定理的边角互化考查三角函数化简求值属于中档题解析：12【分析】sin sin()B A C =+代入()3sin sin 4A CB -=-，展开整理得32cos sin 4AC =，① 2sin cos a B b C=化为22sin cos sin A C B =，与①式相加得 ()232sin cos cos sin sin 4A C A CB +=+，转化为关于sin B 的方程，求解即可得出结论. 【详解】因为()3sin sin 4A CB -=-，所以()()3sin sin 4AC A C -=+-， 所以32cos sin 4A C =，因为2sin cos a B b C=， 所以22sin cos sin A C B =，则()232sin cos cos sin sin 4A C A C B +=+， 整理得23sin 2sin 04B B -+=，解得1sin 2B =. 故答案为:12. 【点睛】 本题考查正弦定理的边角互化，考查三角函数化简求值，属于中档题.15．【分析】观察角之间的特殊关系：运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填：【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题【分析】观察角之间的特殊关系：103020=-，709020=-，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解.【详解】原式()2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒︒--=- ()2cos30cos 20sin30sin 20sin 20cos 20︒︒︒︒+-=1220sin 20sin 202cos 20︒︒︒︒⎫+-⎪⎝⎭====.【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.16．1【分析】由结合辅助角公式可知原式为结合诱导公式以及二倍角公式可求值【详解】解：故答案为:1【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系考查了二倍角公式考查了辅助角公式考查了诱导公式本题的难点是熟练运用 解析：1【分析】 由sin10tan10cos10︒︒=︒，结合辅助角公式可知原式为2sin50sin 40cos10︒︒︒，结合诱导公式以及二倍角公式可求值.【详解】 解：()cos10sin501sin50cos10︒+︒︒+︒=︒⨯︒()2sin50cos30sin10sin 30cos102sin50sin 402sin50cos50cos10cos10cos10︒︒︒+︒︒︒︒︒︒===︒︒︒ ()sin 10902sin50cos50sin100cos101cos10cos10cos10cos10︒+︒︒︒︒︒====︒︒︒︒. 故答案为:1.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式，考查了辅助角公式，考查了诱导公式.本题的难点是熟练运用公式对所求式子进行变形整理.17．【分析】根据展开化简得到答案【详解】故故答案为：【点睛】本题考查了正切和差公式的应用意在考查学生的计算能力【分析】根据()tan60tan 2535︒=︒+︒，展开化简得到答案.【详解】()tan 25tan 35tan 60tan 25351tan 25tan 35︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒故tan 25tan 3525n 3ta 5︒︒︒+︒=【点睛】本题考查了正切和差公式的应用，意在考查学生的计算能力.18．【分析】由题意根据二倍角公式同角三角函数的基本关系求得的值【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角公式同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用属于基础题 解析：45- 【分析】由题意，根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得2cos α的值．【详解】3tan α=-，222222cos sin 1tan 1942cos sin 1tan 195cos ααααααα---∴====-+++． 故答案为：45-． 【点睛】本题主要考查二倍角公式、同角三角函数的基本关系在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 19．2【分析】计算化简得到原式计算得到答案【详解】原式故答案为：【点睛】本题考查了诱导公式化简齐次式意在考查学生的计算能力解析：2【分析】计算tan 2α=，化简得到原式tan tan 1αα=-，计算得到答案. 【详解】 ()tan 3tan 2παα+==. 原式sin cos cos 2sin sin tan 2sin cos sin cos tan 1ααααααααααα--++====---. 故答案为：2.【点睛】本题考查了诱导公式化简，齐次式，意在考查学生的计算能力. 20．【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式可得同理证明另外两组式子成立不等式两边同时相加化简即可得解【详解】由题意知则因为则不等式两边同时加可得开平方可得同理相加可得化简得故答案为:【点睛】本题考查【分析】根据同角三角函数关系式及基本不等式,可得sin sin αβγ+≤,同理证明另外两组式子成立,不等式两边同时相加,化简即可得解.【详解】由题意知222sin sin sin 1αβγ++=,则2222sin sin 1sin cos αβγγ+=-=2222sin sin 1sin cos αγββ+=-=2222sin sin 1sin cos βγαα+=-= 因为,,0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则222sin sin sin sin αβαβ⋅≤+,不等式两边同时加22sin sin αβ+ 可得()()222sin sin 2sinsin αβαβ+≤+开平方可得sin sin αβγ+≤=,同理sin sin βγα+≤=,sin sin γαβ+≤=,相加可得2sin 2sin 2sin αβγαβγ++≤++化简得cos cos cos sin sin sin αβγαβγ++≥++故答案为【点睛】本题考查了三角函数式的化简求值,同角三角函数关系式的应用,根据基本不等式求最值,属于中档题.三、解答题21．（1）最大值为2，最小值为1（2【分析】（1）利用两角和差的正弦、余弦公式、二倍角公式化简函数的解析式为()f x ＝2sin （2x +3π），由,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，再根据正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最值； （2）锐角△ABC 中，由f （A ）＝0 可得A ＝3π，利用基本不等式求得bc ≤4，即bc 的最大值为4，由此求得△ABC 的面积1sin 2S bc A =的最大值． 【详解】（1）∵函数2()2cos sin()sin cos 3f x x x x x x π=++22cos s s sin cos in x x x x x x -+=sin 222sin(2)3x x x π==+ ∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， ∴6π≤2x +3π≤23π， 1sin(2)123x π∴≤+≤ 故函数f （x ）的最大值为2，最小值为1．（2）锐角△ABC 中，由()0f A =可得 sin （2A +)03π=， ∴A ＝3π． ∵b +c ＝当且仅当b ＝c 时取等号，故bc ≤4，即bc 的最大值为 4．故△ABC面积1sin 24S bc A ==≤ 故△ABC【点睛】 关键点点睛：求三角形面积的最值问题，一般需要利用面积公式111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===．根据题目条件选择合适的方法求出两边之积的最值，一般考虑余弦定理及均值不等式，属于中档题.22．（1）2；（2）70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【分析】化简三角函数的解析式，（1）12π代入解析式计算可得答案；（2）根据三角函数的单调性可得答案.【详解】化简解析式得1cos 21cos 23()22wx wx f x π⎛⎫-- ⎪+⎝⎭=-11cos 2cos 2cos sin 2sin 2233wx wx wx ππ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭3cos 2224423wx wx wx π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 周期002()2T x x ππ=+-=，22T wππ==，所以1w =，()23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭.（1）21221232f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）因为222232k x k πππππ-+≤+≤+k Z ∈， 所以51212k x k ππππ-+≤≤+， 又[]0,x π∈()f x ∴的单调递增区间为70,,,1212πππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的化简与性质，关键点是利用二倍角公式、两角和的正弦公式对函数进行化简为()223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，要熟练掌握三角函数的性质，考查了学生的基本运算.23．（1 ；（2）415 【分析】（1）先根据sin cos x x +的值和二者的平方关系联立求得 sin cos x x 的值，再把sin cos x x -平方即可求出；（2）结合（1）求sin x ，cos x 的值，最后利用商数关系求得tan x 的值，代入即可得解．【详解】（1）∵sin cos 5x x +=， ∴21(sin cos )12sin cos 5x x x x +=+=， ∴2sin cos 5x x =-， ∵0πx <<， ∴sin 0x >，cos 0x <，sin cos 0x x ->∴249(sin cos )12sin cos 155x x x x -=-=+=，∴sin cos 5x x -=. （2）sin cos 5x x +=，sin cos x x -=解得sin x =cos x = ∴sin tan 2cos x x x==- ∵4sin 25x =-，24sin 5x =， ∴24sin 22sin 4551tan 81215x x x -++==-+． 【点睛】 方法点睛：三角恒等常用的方法：三看（看角、看名、看式），三变（变角、变名、变式）.24．（1）5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈（2）1144m << 【分析】（1）化简()f x 的解析式，根据正弦函数的增区间可得结果；（2）转化为221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，根据二次函数列式可得结果.【详解】（1）()212sin sin 2cos 32f x x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭ 12sin sin cos cos sin 1cos 2332x x x x ππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21cos sin 1cos 22x x x x =-++-212cos cos 222x x x =++-1cos 212cos 222x x x +=++-32cos 22x x =+)3x π=+， 由222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈， 得51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调增区间为5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈. （2）当,64x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，52(0,)36x ππ+∈，())3f x x π=+∈， 因为函数()()()221216g x f x mf x m =-+-有四个零点，令()t f x =，则(t ∈且221()216h t t mt m =-+-在内有两个零点，所以2214401600m m m h h ⎧⎛⎫∆=--> ⎪⎪⎝⎭<<⎨⎪>⎪⎝⎭⎪⎪>⎪⎩，即22316043160m m m <<⎪⎪+->⎨⎪⎪-+->⎪⎩，解得m <<⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩1144m <<， 所以实数mm <<. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.25．（Ⅰ）12；（Ⅱ）最小值为12-，最大值为1；（Ⅲ）3π【分析】（Ⅰ）利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，代入6x π=可求； （Ⅱ）由0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，在利用正弦函数的性质即可求解； （Ⅲ）求出平移后的解析式，可得22,62m k k Z πππ-=+∈，即可解出m ，得出最小值. 【详解】（Ⅰ）()22sin cos 213f x x x π⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ cos 2cos 2cossin 2sin 33x x x ππ=-++12cos 222x x =- sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 1sin 26662f πππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （Ⅱ）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则当266x ππ-=-，()f x 取得最小值为12-， 当226x ππ-=，()f x 取得最大值为1； （Ⅲ）将函数()f x 的图象向左平移()0m m >个单位长度，可得sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则sin 226y x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭和cos 2y x =的图象重合， 22,62m k k Z πππ∴-=+∈，解得,3m k k Z ππ=+∈，0m >，则当0k =时，m 取得最小值为3π. 【点睛】 本题考查利用三角恒等变换化简求三角函数性质，解题的关键是利用二倍角公式、差的余弦公式和辅助角公式化简函数可得()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 26．3365- 【分析】 利用已知求出1213m =和45n =，再利用差角的正弦公式求解. 【详解】锐角α和β的顶点都在坐标原点始边都与x 轴非负半轴重合， 且终边与单位圆交于点5,13P m ⎛⎫⎪⎝⎭和点3,5Q n ⎛⎫ ⎪⎝⎭， cos 0m α∴=>，5sin 13α=，2251169m +=，3cos 5β=，sin 0n β=>，29125n +=， 求得1213m =，45n =， 5312433sin()sin cos cos sin 13513565αβαβαβ∴-=-=⨯-⨯=-． 【点睛】结论点睛：三角函数的坐标定义：点(,)P x y 是角α终边上的任意的一点（原点除外）,r代表点到原点的距离，r =sin α=y r ， cos α=x r ，tan α=y x .。
高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第三章章末测试含解析
A. B.
C. D.
答案：B
解析：∵tan(α－β)＝ ＝ ＝1，
α，β∈(0， )，∴－ ＜α－β＜ ，
∴α－β＝ .
6．当x∈[－ ， ]时，y＝ 的最小值为()
A．－ B．－
C．－ D．－
答案：B
解析：∵y＝ ＝ tanx，∴当x＝－ 时，ymin＝－ .
解：(1)由题设知f(x)＝ [1＋cos(2x＋ )]．
因为x＝x0是函数y＝f(x)图像的一条对称轴，所以2x0＋ ＝kπ(k∈Z)，
即2x0＝kπ－ (k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋ sin2x0＝1＋ sin(kπ－ )．
当k为偶数时，g(x0)＝1＋ sin(－ )＝ ；
当k为奇数时，g(x0)＝1＋ sin ＝ .
第三章章末测试
时间：90分钟分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知sinα＝ 且α∈( ，π)，则tanα的值为()
A．－ B.
C．－ D.
答案：C
解析：∵α∈( ，π)，由同角基本关系易知cosα＝－ .
tanα＝ ＝－ .
15．已知α∈(0， )，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝ ，tanβ＝－ ，求2α－β.
解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ ＝ ，∴tan(2α－β)＝tan[(α－β)＋α]＝ ＝1.
又∵β∈(0，π)，tanβ＝－ ，∴ ＜β＜π，又α∈(0， )，
∴－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－ .
12．函数f(x)＝sin x＋cos x的图像相邻两条对称轴之间的距离是________．
北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知sin cos sin cos θθθθ-=，则角θ所在的区间可能是（ ）．A ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．3,24ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭2．已知,(0,2)αβπ∈，且满足1sin cos 2αα-=，1cos sin 2ββ-=，则sin()αβ+=（ ）A ．1B ．2-或1 C ．34-或1 D ．1或-13．已知函数()f x 满足()cos 1cos21f x x -=-，则()f x 的解析式为（ ） A ．()()22420f x x x x =+-≤≤B ．()()224f x x x x R =+∈C ．()()2120f x x x =--≤≤D ．()()21f x x x R =-∈4．函数2()sin 2f x x x =+()cos(2)2 3 (0)6g x m x m m π=--+>，若对任意1[0,]4x π∈，存在2[0,]4x π∈，使得12()()g x f x =成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．4(1,)3 B ．2(,1]3C ．2[,1]3D ．4[1,]35．已知α∈3π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭,cos α=-45,则tan π4α⎛⎫- ⎪⎝⎭等于( ) A ．7B ．17C ．-17D ．-76．已知角α满足1cos()63πα+=，则sin(2)6πα-=（ ）A ．9-B ．9C ．79-D ．797．已知直线3x −y +1=0的倾斜角为α，则1sin22α= A ．310 B ．35 C ．−310D ．1108．平面直角坐标系xOy 中，点()00,P x y 在单位圆O 上，设xOP α∠=，若3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则0x 的值为( )A ．10B ．10C ．10-D ．10-9．已知函数()222cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π10．已知cos()63πα+=，则sin(2)6πα-的值为（ ）A ．3 B ．13 C ．13- D ．3-11．在ABC 中，若sin 2sin cos B A C =，那么ABC 一定是（ ）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等边三角形12．若sin 25α=，()sin 10βα-=，且,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，则αβ+的值是（ ） A ．74π B ．94π C ．54π或74πD ．54π或94π 二、填空题13．在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭范围内,函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有_______个.14．已知tan 2α=，则2sin 2cos αα+=________． 15．已知1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，则cos()αβ-=______. 16．下列判断正确的有___________. ①如果θ是第一象限角，那么恒有sin 02θ>；②sin 200a ︒=，则tan 200︒=；③若()f x 的定义域为R ，周期为4，且满足()()f x f x -=-，则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点；④若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且cos tan x y x ⋅=，则x y <. 17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是A ,B ,双曲线的右焦点F 为()2,0,点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上,当ABP ∆的外接圆面积达到最小时,点P 恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为________. 18．化简4cos803tan10︒︒+=________.19．在半径为2的半圆形钢板上截取一块面积最大的矩形，则最大面积是________. 20．已知x 是第二象限的角.化简：1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+---+的值为____________. 三、解答题21．已知函数23()3cos sin cos (0)f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π． （1）求()f x 的解析式；（2）将()f x 图象上所有的点向左平移4π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若对于任意的12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，求ϕ的取值范围．22．如图，角θ的顶点与平面直角坐标系xOy 的原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点P ，若点P 的坐标为04(,)5y -.（1）求tan sin 2θθ-的值；（2）若将OP 绕原点O 按逆时针方向旋转40︒，得到角α，设tan m α=，求()tan 85θ+︒的值.23．已知函数2()3)2cos1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+=++-><<为偶函数，且()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π．（1）当5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象．求函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．24．如图，以x 轴非负半轴为始边，角α的终边与单位圆相交于点43,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将角α的终边绕着原点O 顺时针旋转4π得到角β．（1）求3sin()5cos()2sin sin()2πααπαπα-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭的值； （2）求sin 22cos ββ+的值． 25．（1）化简：(cos 20tan 203sin 40-⋅°°°；（2）证明：()()21tan 31sin 21tan 312sin πx xπx x+--=---. 26．已知函数())23cos sin 33f x x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值； （2）设函数()g x 对任意x ∈R ，有()2g x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-.求()g x 在区间[],0π-上的解析式.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】先化简已知得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，然后根据各个选项确定等式两端的取值范围从而得到答案. 【详解】由sin cos sin cos θθθθ-=得，sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对于A ， 当0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，,044ππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，sin 04πθ⎛⎫-< ⎪⎝⎭， 而0,22θπ⎛⎫⎪⎝⎭∈，sin20θ>，两个式子不可能相等，故错误；对于B ，当,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，0,44ππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎛⎛⎫-∈ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，()0,24πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ ，22,ππθ∈⎛⎫⎪⎝⎭，()sin20,1θ∈，存在θ使得sin24πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故正确；对于C ， 3,24ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，42,4πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，(2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,22πθπ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误；对于D ， 当3,4πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，3,424πππθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，sin 4πθ⎫⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， (2,4πθ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而3,222ππθ⎛∈⎫⎪⎝⎭，()sin21,0θ∈-，不可能相等，所以错误 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用，三角函数在各象限内的符号，关键点是根据各个选项确定等号两端式子的取值范围，考查了学生分析问题、解决问题的能力.2．C解析：C 【分析】由两角与差的正弦、余弦公式变形由已知求得sin()4πα-和cos()4πβ+，用平方关系求得cos()4πα-和sin()4πα+，而sin()sin ()()44ππαβαβ⎡⎤+=-++⎢⎥⎣⎦，展开后计算，注意分类讨论． 【详解】∵1sin cos 2αα-=，∴αα=sin()4πα-=，1cos sin 2ββ-=，4cos 22ββ-=，cos()44πβ+=，∴cos()44πα-=±，sin()44πα+=± sin()sin ()()sin()cos()cos()sin()444444ππππππαβαβαβαβ⎡⎤+=-++=-++-+⎢⎥⎣⎦，当7cos()sin()448ππαβ-+=时，17sin()188αβ+=+=， 当7cos()sin()448ππαβ-+=-时，173sin()884αβ+=-=-， 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查两角和与差正弦、余弦公式．解题关键是确定已知角和未知角之间的关系，本题中已知等式变形得出4πα-和4πβ+，未知角有()()44ππαβαβ+=-++，这样易确定使用的公式与顺序．3．A解析：A 【分析】利用换元法，设[]cos 12,0x t -=∈-，将原函数转化成关于t 的关系式，进行整理即得()f x 的解析式.【详解】函数()f x 满足()22cos 1cos212cos 112cos 2f x x x x -=-=--=-，设cos 1x t -=，则cos 1x t =+，由[]cos 1,1x ∈-知[]2,0t ∈-，故原函数可转化为()()2221224f t t t t =+-=+，[]2,0t ∈-，即()f x 的解析式为()()22420f x x x x =+-≤≤.故选：A. 【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法（1）待定系数法：已知函数类型，可用待定系数法求解，先设出()f x ，再利用题目中给的已知条件，列出关于待定系数的方程组，进而求出待定的系数；（2）换元法：主要用于解决已知复合函数()f g x ⎡⎤⎣⎦的表达式求()f x 的解析式的问题，令()g x t =，解出x ，然后代入()f g x ⎡⎤⎣⎦中即可求得()f t ，从而求得()f x ，要注意新元的取值范围；（3）配凑法：配凑法是将()f g x ⎡⎤⎣⎦右端的代数式配凑成关于()g x 的形式，进而求出()f x 的解析式；（4）构造方程组法（消元法）：主要解决已知抽象函数关系式求解函数解析式的问题.方法是根据不同的变量之间的关系，利用变换形式构造不同的等式，通过解方程组求解.4．D解析：D 【解析】222221f x sin x x sin x cos x =+-（））1222222223sin x x sin x x sin x π===+（）（）， 当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，552[]21[12]3366min x f x sin f x ππππ+∈∴==∴∈，，（），（），， 对于22306g x mcos x m m π=--+（）（）（＞），2[]2[]36662m x mcos x m ππππ-∈--∈，，（），，3[33]2g x m m ∴∈-+-（），， ∵对任意10,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12g x f x =成立，331232m m ⎧-+≥⎪∴⎨⎪-≤⎩ ，解得实数m 的取值范围是41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故选D ．【点睛】本题考查三角函数恒等变换，其中解题时问题转化为求三角函数的值域并利用集合关系是解决问题的关键，5．B解析：B【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果. 【详解】 由已知得tan α=34,则tan π1tan 141tan 7ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭. 选B 【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.6．D解析：D 【分析】由已知利用诱导公式可求133sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2263cos ππαα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由二倍角公式化简，即可得结果． 【详解】162633cos sin sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2sin 2cos 2cos 2262633cos πππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦22171212()339sin πα⎛⎫=--=-⨯= ⎪⎝⎭．故选D ． 【点睛】本题主要考查了诱导公式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．7．A解析：A 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值． 【详解】直线3x-y+1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴2221133sin222219110sin cos tan a sin cos sin cos tan αααααααα=⋅====+++， 故选A ． 【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题．8．C解析：C 【分析】利用两角和差的余弦公式以及三角函数的定义进行求解即可． 【详解】3,44ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,42ππαπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭， 3sin 45πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，4cos 45πα⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，则0cos cos cos cos sin sin 444444x ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4355=-=， 故选C ． 【点睛】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，结合三角函数的定义是解决本题的关键．9．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()22cos 12cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈；其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.10．B解析：B 【解析】∵cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则5sin 2sin 2sin 26662ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦][221cos 2[2cos 11]6633ππαα⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选B.11．B解析：B 【分析】利用两角和与差公式化简原式，可得答案． 【详解】因为sin 2sin cos B A C =， 所以sin()2sin cos A C A C +=所以sin cos cos sin 2sin cos A C A C A C += 所以sin cos cos sin 0A C A C -= 所以sin()0A C -=, 所以0A C -=, 所以A C =.所以三角形是等腰三角形. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变换在解三角形中的应用，考查两角和与差公式以及两角和与差公式的逆用，考查学生计算能力，属于中档题．12．A解析：A 【分析】先计算2α和βα-的取值范围，根据取值范围解出cos 2α和()cos βα-的值，再利用()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦求解()cos αβ+的值.【详解】 ∵,4απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴2,22απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦.∵sin 2α=∴2,2απ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴,42ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 2α= ∵3,2βπ⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，∴5,24βαππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，∴()cos βα-=， ∴()()()()cos cos 2cos 2cos sin 2sin αβαβααβααβα+=+-=---⎡⎤⎣⎦⎛⎛=⨯-= ⎝⎭⎝⎭又∵5,24αβπ⎡⎤+∈π⎢⎥⎣⎦， ∴74αβπ+=. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换中和差角公式的运用，难度一般.解答时，要注意三角函数值的正负问题，注意目标式与条件式角度之间的关系，然后通过和差角公式求解.二、填空题13．1【分析】将函数图象交点个数等价于方程在根的个数即可得答案【详解】∵函数图象交点个数等价于方程在根的个数∴解得：∴方程只有一解∴函数与函数的图象交点有1个故答案为：1【点睛】本题考查函数图象交点个数解析：1 【分析】将函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，即可得答案. 【详解】∵函数图象交点个数等价于方程tan sin x x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭根的个数，∴sin 1tan sin sin 0sin (1)0cos cos x x x x x x x=⇔-=⇔-=，解得：0x =， ∴方程只有一解，∴函数tan y x =与函数sin y x =的图象交点有1个. 故答案为：1. 【点睛】本题考查函数图象交点个数与方程根个数的等价性，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.14．1【分析】本题先求出再化简代入求值即可【详解】解：∵∴或①当且时；②当且时故答案为：1【点睛】本题考查了同角三角函数关系二倍角公式是基础题解析：1 【分析】本题先求出sin α、cos α，再化简2sin 2cos αα+代入求值即可. 【详解】解：∵ tan 2α=，sin tan cos ααα=，22sin cos 1αα+=， ∴sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或sin cos αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩①当sin α=cos α=时，222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα+=⋅+==⎝⎭； ②当sin α=且cos α=222sin 2cos 2sin cos cos 21ααααα⎛⎛⎛+=⋅+=⨯⨯+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故答案为：1. 【点睛】本题考查了同角三角函数关系，二倍角公式，是基础题.15．【分析】把两个条件平方相加再利用两角差的余弦公式求得的值【详解】将两式平方可得：①②将①和②相加可得：即解得故答案为：【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用考查逻辑思维能力 解析：5972-【分析】把两个条件平方相加，再利用两角差的余弦公式求得cos()αβ-的值． 【详解】1cos cos2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，将两式平方可得： 221cos 2cos cos cos 4ααββ++=①， 221sin 2sin sin sin 9ααββ++=②， 将①和②相加可得：1322cos cos 2sin sin 36αβαβ++=， 即1322cos()36αβ+-=，解得59cos()72αβ-=-. 故答案为：5972-. 【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系和两角差的余弦公式的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题.16．③【分析】①利用来判断；②利用来判断；③通过来判断；④通过当时有恒成立来判断【详解】解：①由已知则此时在第一或第三象限有可能小于零错误；②是第三象限角所以则与矛盾错误；③由已知为奇函数故则又所以则有解析：③ 【分析】 ①利用24k k θπππ来判断；②利用sin 2000a ︒=<来判断； ③通过(0)0f =，(2)0f =来判断； ④通过当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立来判断. 【详解】 解：①由已知22,2k k k Z ππθπ，则,24k k k Z θπππ，此时2θ在第一或第三象限，sin2θ有可能小于零，错误；②200︒是第三象限角，所以sin 2000a ︒=<， 则tan 2000︒=<，与tan 2000︒>矛盾，错误；③由已知()f x 为奇函数，故(0)0f =，则(4)(4)(8)(0)0f f f f -====， 又(2)(24)(2)(2)f f f f =-=-=-，所以(2)0f =，则有(2)(2)(6)0f f f =-==， 则()f x 在[4,8]x ∈-至少有7个零点，正确； ④当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立， 证明：单位圆中当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，如图点P 为角α的终边与单位圆的交点，由图可知OPA 的面积小<扇形OPA 的面积小<OTA 的面积 则211111sin 111tan 222ααα⋅⋅⋅<⋅⋅<⋅⋅⋅，整理得tan sin ααα>>. 若0,,0,66x y ππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，tan cos tan tan x x x y y >=⋅>，所以x y >，故错误. 故答案为：③ 【点睛】本题考查函数周期性的应用，考查当0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，有tan sin ααα>>恒成立这个性质的灵活应用，考查角所在象限和三角函数值符号的关系，是中档题.17．【分析】设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最小值也等价于取得最大值结合已知即可求得答案【详解】不妨设点的坐标为由于为定值由正弦定理可知当取得最大值时的外接圆面积取得最解析：22122x y -=.【分析】设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,结合已知,即可求得答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()()2,0m m >,由于AB 为定值,由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时,APB ∆的外接圆面积取得最小值,也等价于tan APB ∠取得最大值,2tan a APF m +∠=,2tan aBPF m-∠=, ∴()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+, 当且仅当()20b m m m=>,即当m b =时,等号成立,此时APB ∠最大,即APB ∆的外接圆面积取最小值.点P 的坐标为()2,b ,代入22221x y a b-=,可得a =b∴双曲线的方程为22122x y -=.故答案为:22122x y -=.【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程,解题关键是掌握双曲线基础知识和灵活使用均值不等式,考查了分析能力和计算能力,属于难题.18．1【分析】利用诱导公式得到通分整理后由利用两角差的正弦公式展开化简后得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值利用两角差的正弦公式进行化简求值属于中档题解析：1 【分析】利用诱导公式，得到cos80sin10︒︒=，通分整理后，由()sin 20sin 3010︒︒︒=-，利用两角差的正弦公式，展开化简后，得到答案. 【详解】4cos80︒︒=()2sin 3010cos10︒︒︒︒-==cos10cos110︒︒︒︒+==.故答案为：1. 【点睛】本题考查诱导公式进行化简求值，利用两角差的正弦公式进行化简求值，属于中档题.19．4【分析】做出图像由三角函数定义设其中一个顶点坐标从而表示矩形的长与宽进而表示面积求出最大值【详解】由题可构建图像根据三角函数的定义可知所以矩形的面积当时故答案为：4【点睛】本题考查三角函数定义的实解析：4 【分析】做出图像，由三角函数定义设其中一个顶点坐标，从而表示矩形的长与宽，进而表示面积，求出最大值. 【详解】 由题可构建图像根据三角函数的定义，可知()2cos ,2sin A αα 所以矩形的面积4cos 2sin 4sin 2S ααα=⋅= 当4πα=时，max 4sin 244S π⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故答案为：4 【点睛】本题考查三角函数定义的实际应用，注意建模，再借助三角函数求最值，属于中档题.20．【分析】本题可以先通过是第二象限的角得出然后对进行化简即可得到结果【详解】因为是第二象限的角所以所以故答案为：【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是 解析：2tan x -【分析】本题可以先通过x 是第二象限的角得出cos 0x <1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+--+进行化简即可得到结果． 【详解】因为x 是第二象限的角，所以cos 0x <， 1sin 1sin 1sin 1sin x xx x+--+==1sin 1sin cos cos x xx x+-=---11tan tan cos cos x x x x=--+- 2tan x =-.故答案为：2tan x -. 【点睛】关键点睛：本题主要考查三角函数式的化简，利用三角函数的同角三角函数关系式进行化简是本题的关键．三、解答题21．（1）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）08πϕ<≤【分析】（1）利用二倍角公式以及辅助角公式可得()sin 23f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由22T ππω==即可求解.（2）由三角函数的平移变换可得()cos 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，设()()()212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，将不等式化为()h x 在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，只需22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即可.【详解】（1）()2sin 2()sin cos 1cos 22222x f x x x x x ωωωωω=+-=++-1cos 2sin 2sin 2223x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 又0>ω，22T ππω==，解得1ω=， 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由题意可得()sin 2cos 2433g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 设()()()sin 2cos 233h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223412x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12,,66x x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，当12x x >时，()()()()1212f x f x g x g x ->-恒成立，即()()()()1122f x g x f x g x ->-恒成立， 即()()12h x h x >恒成立，()h x ∴在区间,66ππϕϕ⎛⎫---+ ⎪⎝⎭上单调递增，,66x ππϕϕ⎛⎫∈---+ ⎪⎝⎭，则22,22,2,124422x k k k Z πππππϕϕππ⎛⎫⎡⎤+∈---+⊆-++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 224222422244k k ππϕπππϕπππϕϕ⎧--≥-+⎪⎪⎪∴-+≤+⎨⎪⎪--<-+⎪⎩，8380k k πϕππϕπϕ⎧≤-⎪⎪⎪∴≤+⎨⎪>⎪⎪⎩，08πϕ∴<≤【点睛】关键点点睛：本题考查了三角恒等变换、三角函数的平移变换，三角函数的单调性，解题的关键是结合不等式将问题转化为()()()212h x f x g x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭在区间是单调递增函数，考查了计算能力、分析能力以及转化能力. 22．（1）21100；（2）11m m+-. 【分析】（1）由三角函数定义求得cos θ，再由同角间三角函数关系求得sin θ，tan θ，用二倍角公式得sin 2θ后可得结论；（2）由角的关系得8545θα+︒=+︒，利用两角和的正切公式可求得tan(85)θ+︒． 【详解】解：（1）由题意得：4cos 5θ=-，且角θ为第二象限的角则3sin 5θ==，3tan 4θ=- ∴tan sin 2tan 2sin cos θθθθθ-=-334324212455425100⎛⎫=--⨯⨯-=-+= ⎪⎝⎭（2）由题意知40αθ=+︒，则40θα=-︒ 则()()tan 85tan 45θα+︒=+︒tan tan 451tan tan 45αα+︒=-︒11m m+=-． 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的定义，两角和与差的正切公式，二倍角公式，同角韹三角函数关系．解题确定角的关系是关键．由旋转得40αθ=+︒，则40θα=-︒，从而有8545θα+︒=+︒，再结合已知条件柯得结论．确定已知角和未知角的关系选用恰当的公式也是解题关键．23．（1）单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）最大值为2，最小值1-.【分析】（1）首先利用二倍角公式和辅助角公式对()f x 化简，再利用偶函数求出ϕ的值，再利用T π=求出ω的值，即可得()f x 的解析式，再利用余弦函数的单调递增区间即可求解；（2）利用三角函数图象变换的规律求出()g x 的解析式，再利用余弦函数的性质即可求值域. 【详解】（1）由题意函数2())2cos12x f x x ωϕωϕ+=++-)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 图象的相邻两个最高点的距离为π， 所以T π=，可得2ω=．又由函数()f x 为偶函数可得(0)2sin 26f πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以62k ππϕπ+=+，k ∈Z ，则3k πϕπ=+，k ∈Z ．因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，所以函数()2cos 2f x x =，令222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解得2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，当0k =时，02x ；当1k =时，2x ππ≤≤，又5,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦， 可得函数()f x 的单调递增区间为,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦和5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． （2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度可得2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把各点的横坐标缩小为原来的12，得到函数()2cos 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象， 当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦． 当2433x ππ-=-，即12x π=-时， 函数()g x 取得最小值，最小值为1-； 当403x π-=，即12x π=时， 函数()g x 取得最大值，最大值为2．所以函数()g x 在区间,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值是2，最小值是1-.【点睛】方法点睛：已知三角函数的解析式求单调区间先将解析式化为()()sin 0y A x A ωϕω=+>>0,或()()cos 0,0y A x A ωϕω=+>>的形式，然后将x ωϕ+看成一个整体，根据sin y x =与cos y x =的单调区间列不等式求解.24．（1）1；（2）. 【分析】（1）先利用三角函数的定义分别求出cos α，sin α，tan α，用诱导公式先化简，再求值；（2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-，用二倍角公式即可求解. 【详解】解：（1）由题得4cos 5α=-，3sin 5α=，3tan 4α=-．3sin()5cos()3sin 5cos 3tan 512cos sin 2tan 2sin sin()2παααααπααααπα-+-++===--⎛⎫-++ ⎪⎝⎭． （2）由题意得4αβ-=π，得4πβα=-， 所以sin 22cos sin 22cos 44ππββαα⎛⎫⎛⎫+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin 22cos cos 22cos 244πππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2164312cos sin )122555ααα⎫=-+=-⨯-+⎪⎭725+=-． 【点睛】 (1) 三角函数值的大小与点P （x ,y ）在终边上的位置无关，严格代入定义式子就可以求出对应三角函数值；当角的终边在直线上时，或终边上的点带参数必要时，要对参数进行讨论．(2)根据题意把角进行合理转化，还要注意角的范围.25．（1）2-；（2）详见解析.【分析】（1）首先变形sin 20tan 20cos 20=，再通分变形，利用辅助角公式化简求值；（2）利用诱导公式化简正切，即sin tan cos x x x =，代入后化简证明. 【详解】 （1）原式sin 20cos 203cos 20sin 40⎛⎫=-⋅ ⎪⎝ sin 203cos 20cos 2020sin 40⎫-=⋅⎪⎪⎝⎭ ()2sin 2060cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2sin 40cos 20cos 20sin 40-=⋅ 2=- ；（2）原式sin 11tan cos sin 1tan 1cos xx x xx x --==++()()()2cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x x --==++- ()222222cos sin sin 21sin 2cos sin 1sin sin x x x x x x x x +--==---21sin 212sin x x -=- 【点睛】思路点睛：三角函数化简求值或证明，如果有正切，正弦和余弦时，第一步先正切化为正弦和余弦公式，第一题通分后利用辅助角公式化简；第二题，也可以左右都化简，证明等于同一个式子.26．（1）最大值为14，最小值为12-；（2）()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【分析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将()f x 化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-，对x 分类求出函数的解析式即可.【详解】（1）()2cos sin 3f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=+2cos sin cos cos sin 33x x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin 224x x = 1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 则1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的最大值为14；()f x 的最小值为12-；（2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()11sin 2223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0,22x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， ()11sin 22223g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当,2x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，0,2x ππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； ()()11sin 2223g x g x x ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 综上：()g x 在区间[],0π-上的解析式为：()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩. 【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键.。
高中(北师大版)数学必修4(45分钟课时作业与单元测试卷)：第三章 章末测试 Word版含解析
A．－B.
C．－D.
答案：A
解析：由题知，cosα＝－，α是第三象限的角，所以sinα＝－，由两角和的正弦公式可得sin(α＋)＝sinαcos＋cosαsin＝(－)×＋(－)×＝－，故选A.
3．若cosθ＝－，θ是第三象限的角，则＝()
10．如图，在5个并排的正方形图案中作出一个∠AOnB＝135°(n＝1,2,3,4,5,6)，则n＝()
A．1,6 B．2,5
C．3,4 D．2,3,4,5
答案：C
解析：若n＝1或n＝6，显然∠AOnB<90°，若n＝2，则有∠AO2O1＝45°，∠BO2O6<45°，∴∠AOnB>135°，根据对称性可知，若n＝5，∠AOnB>135°，若n＝3，则有tan(∠AO3O1＋∠BO3O6)＝＝1，又∵∠AO3O1，∠BO3O6∈(0,45°)，∴∠AO3O1＋∠BO3O6＝45°，∴∠AO3B＝135°，同理根据对称性有∠AO4B＝135°.
第三章章末测试
时间：90分钟 分值：100分
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知sinα＝且α∈(，π)，则tanα的值为()
A．－B.
C．－D.
答案：C
解析：∵α∈(，π)，由同角基本关系易知cosα＝－.
tanα＝＝－.
A.B．－
C.D．－2
答案：D
解析：由已知得＝＝＝，
因＝＝－2.
4．已知cosθ＝，θ∈(0，π)，则cos(π＋2θ)的值为()
A．－B．－
C.D.
答案：C
(常考题)北师大版高中数学必修四第三章《三角恒等变形》检测题(含答案解析)(1)
一、选择题1．若1sin 34a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C ．1516-D ．15162．已知3cos 25α=，()0,2απ∈，则sin 4απ+⎛⎫=⎪⎝⎭（ ）A B ． C D ． 3．已知3(,)4παβπ∈，，3sin()5αβ+=-，12sin()413πβ-=，则cos()4πα+=（ ） A ．5665-B ．3365-C ．5665D ．33654．已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A B C ．D 5．已知α为锐角，且1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin α的值为（ ）A B C D 6．已知α，β均为锐角，5cos()13αβ+=-，3sin()35πβ+=，则sin()3πα-=（ ）A ．3365B ．3365-C ．6365D ．56657．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．23C ．43D ．838．已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．4-B ．4C ．13-D ．139．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，BC 边上的高为h ，且33ah =，则2c a b c c b b ++的最大值是（ ） A ．22B ．23C ．4D ．610．已知函数()23sin 22cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x ⋅=，则12x x -的值可能为（ ） A ．54π B ．34π C ．2π D ．3π 11．若，则的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()()()()213cos cos 02f x x x x ωωωω=+->，若()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A ．(]0,2B ．(]0,1C ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦二、填空题13．若2cos()3πα-=-,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α的值是____________．14．若1tan 20201tan αα+=-，则1tan 2cos 2αα+=____________.15．2cos10sin 20sin 70︒︒︒-=______. 16．已知tan 2α=，则22sin cos αα-=______________. 17．若tan 30,2tan 10αβ-=-=，则()tan αβ+=________. 18．已知cosα17=，cos(α﹣β)1314=，且0<β<α2π<，则sinβ=_____. 19．已知()tan 2tan αββ+=，,(0,)2παβ∈，则当α最大时，tan2α=________.20．已知3tan 4α=-，()1tan 4αβ+=，则tan β=______. 三、解答题21．如图，在扇形OPQ 中，半径2OP =，圆心角3POQ π∠=，B 是扇形弧上的动点，矩形ABCD 内接于扇形．记BOC α∠=，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大值．22．已知函数()22cos 7cos f x a x x x a =-，其中x ∈R ，a 为常数. （1）当1a =时，若函数()()cos 2f x A x θ=+，求A 与tan θ的值；（2）若函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方，求a 的取值范围23．已知函数())23cos sin 334f x x x x x R π⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （1）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值；（2）设函数()g x 对任意x ∈R ，有()2g x g x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-.求()g x 在区间[],0π-上的解析式. 24．在①364f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，②()f x 的最大值在12x π=处取到，③当()()121f x f x -=，则12min 2x x π-=这三个条件中任选一个，补充并解答下面问题．问题：已知函数()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(]0,3ω∈．若_______，求实数ω的值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点(1,0)Q ，当2()k k απβ≠+∈Z 时，以x 轴非负半轴为始边作角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于点1(cos ,sin )P αα，1(cos ,sin )Q ββ．（1）叙述并利用上图证明两角差的余弦公式；（2）利用两角差的余弦公式与诱导公式．证明：sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-． （附：平面上任意两点()111,P x y ，()222,P x y 间的距离公式()()22122121PP x x y y =-+-26．已知关于x 的方程21204x bx -+=的两根为sin θ和cos θ，3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． （1）求实数b 的值； （2）求2sin cos 1cos sin θθθθ+-的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】 化简sin 2cos 2()63a ππα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，再利用二倍角公式化简求值. 【详解】22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα⎛⎫-=-+=--=- ⎪⎝⎭=21712sin ()123168πα--=-⨯=. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角恒等变换常用的方法有：三看（看角、看名、看式）三变（变角变名变式），要根据已知条件灵活选择方法化简求值.2．C解析：C 【分析】根据2α是4α的二倍角求出sin α的值，再求cos 4α和sin 4απ+⎛⎫⎪⎝⎭的值. 【详解】因为2α是4α的二倍角，所以2311cos 152sin 4225αα--===， 又()0,2απ∈，所以0,42a π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 4545αα===cos ；所以sin sin sin cos cos sin 4444444απαπαπαπ+⎛⎫⎛⎫=+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：C. 【点睛】 本题考查了二倍角的余弦公式，考查了同角公式，考查了两角和的正弦公式，属于中档题.3．A解析：A 【分析】由角的变换可知()()44ππααββ+=+--，利用同角三角基本关系及两角差的余弦公式求解即可. 【详解】3(,)4παβπ∈，, 3(,2)2παβπ∴+∈,3(,)424πππβ-∈,4cos()5αβ∴+=,5cos()413πβ-=-,cos()cos[()()cos ()]cos (()s )sin ()444in 4πππααβαβαπββββ∴+=+-++-=-+-453125651351365=-⨯-⨯=-，故选：A 【点睛】本题主要考查了角的变换，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，属于中档题.4．D解析：D 【分析】结合同角三角函数基本关系计算sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可.【详解】 由,22ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭可得2,633πππα⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， 又11cos cos 6323ππα⎛⎫+=<= ⎪⎝⎭，所以2,633πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以sin 63πα⎛⎫+== ⎪⎝⎭， sin sin sin cos cos sin 666666ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11132326-=⨯-⨯=. 故选:D 【点睛】本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式.5．B解析：B 【分析】通过三角恒等式可求出cos 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据两角和的正弦即可得出结果.【详解】 ∵02πα<<，∴336πππα-<-<，又∵1sin 34πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴cos 34πα⎛⎫-=== ⎪⎝⎭∴111sin sin 3342428ππαα+⎛⎫=-+=⨯+= ⎪⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角恒等式的应用以及通过两角和正弦公式求值，属于中档题.6．B解析：B【分析】由所给三角函数值利用同角三角函数的关系求出()sin αβ+、cos 3πβ⎛⎫+⎪⎝⎭，3πα-记为()3παββ⎛⎫+-+⎪⎝⎭，利用两角差的正弦公式展开代入相应值计算即可.【详解】α，β均为锐角，5cos()013αβ+=-<，,2παβπ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，∴()12sin 13αβ+==，β均为锐角，5,336πππβ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，则1cos 32πβ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 35πβ⎛⎫∴+==- ⎪⎝⎭或45（4152>，舍去），()sin()sin 33ππααββ⎡⎤⎛⎫∴-=+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()sin cos cos sin 33ππαββαββ⎛⎫⎛⎫=+⋅+-+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭124533313513565⎛⎫⎛⎫=⨯---⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的关系、两角差的正弦公式、三角函数在各象限的符号，属于中档题.7．C解析：C 【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 因为cos()2cos()2παπα+=-，所以sin 2cos tan 2ααα-=-⇒=，所以1tan 1tan()41tan 3πααα--==-+，故选C. 9．C解析：C 【分析】由余弦定理化简可得2222cos c b a a A b c bc bc ++=+，利用三角形面积公式可得2sin a A =，解得22cos 4sin(6c b a A A A b c bc π++=+=+)，利用正弦函数的图象和性质即可得解其最大值． 【详解】由余弦定理可得：2222cos b c a bc A +=+，故：22222222cos 22cos c b a a b c a bc A a A b c bc bc bc bc +++++===+， 而2111sin 222ABC S bc A ah a ∆===，故2sin a A =，所以：2222cos 2cos 4sin()46c b a a A A A A b c bc bc π++=+=+=+． 故选C ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于中档题．10．C解析：C 【分析】根据三角恒等变换化简函数()f x ，再由图象的平移得到函数()g x 的解析式，利用函数()g x 的值域，可知12x x -的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，从而得出选项.【详解】函数2()3sin 22cos 13sin 2cos 22sin 26f x x x x x x π⎛⎫=-+=-=- ⎪⎝⎭， 将函数()y f x =的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12倍，得2sin 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象；再把所得图象向上平移1个单位，得函数()2sin 416y g x x π⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭的图象，所以函数()y g x =的值域为[1,3]-.若()()129g x g x ⋅=，则()13g x =且()23g x =，均为函数()y g x =的最大值， 由42()62x k k Z πππ-=+∈，解得()62k x k Z ππ=+∈； 其中1x ､2x 是三角函数()y g x =最高点的横坐标，12x x ∴-的值为函数()y g x =的最小正周期T 的整数倍，且242T ππ==. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，三角函数的图象的平移，以及函数的值域和周期，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 试题分析：因，故应选C ．考点：同角三角函数的关系及运用．12．D解析：D 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简函数()f x ，根据()f x 在,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，建立不等关系，解出ω的取值范围． 【详解】 因为()31cos 21sin 2sin 22226x f x x x ωπωω+⎛⎫=+-=+ ⎪⎝⎭，由题意得,362,262ωπππωπππ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤. 故选：D 【点睛】本题考查正弦函数单调性的应用，考查三角恒等变换，属于中档题．二、填空题13．【分析】由诱导公式化简再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案【详解】由且得故答案为：【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系在运用公式时注意角的范围属于基础题解析： 【分析】由诱导公式化简cos()πα-，再利用同角三角函数间的关系和角的范围可得答案. 【详解】由cos()3πα-=-，且,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得cos tan 332ααα===-==-．故答案为：2-. 【点睛】本题考查三角函数的诱导公式和同角三角函数间的关系，在运用公式时，注意角的范围，属于基础题.14．2020【分析】由条件求出化简待求式为的形式即可求解【详解】因为解得所以故答案为：2020【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系考查了运算能力属于中档题解析：2020 【分析】由条件求出tan α，化简待求式为tan α的形式即可求解. 【详解】 因为1tan 20201tan αα+=-，解得2019tan 2021α=，所以222222221cos sin 2tan 1tan 2tan tan 2cos 2cos sin 1tan 1tan 1tan αααααααααααα+++=+=+---- 2220191(1tan )1tan 2021=202020191tan 1tan 12021αααα+++===---， 故答案为：2020 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，考查了运算能力，属于中档题.15．【分析】观察角之间的特殊关系：运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解【详解】原式故填：【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式关键在于观察出题目的角之间的特殊关系属于中档题【分析】观察角之间的特殊关系：103020=-，709020=-，运用两角差的余弦公式和诱导公式可得解. 【详解】原式()2cos(3020)sin 20sin 9020︒︒︒︒--=-()2cos30cos 20sin30sin 20sin20cos 20︒︒︒︒+-=1220sin 20sin 202cos 20︒︒︒︒⎫+-⎪⎝⎭=20sin 20sin 2020cos 20cos 20︒︒︒︒︒︒+-===.【点睛】本题考查两角差的余弦公式和诱导公式，关键在于观察出题目的角之间的特殊关系，属于中档题.16．【分析】原式分母看做利用同角三角函数间的基本关系化简将的值代入计算即可求出值【详解】∵∴原式故答案为【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用熟练掌握基本关系是解本题的关键属于基础题解析：35【分析】原式分母看做“1”，利用同角三角函数间的基本关系化简，将tan α的值代入计算即可求出值． 【详解】 ∵tan 2α=，∴原式22222222sin cos tan 1413sin cos sin cos tan 1415αααααααα---=-====+++，故答案为35. 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.17．【分析】由题得再利用两角和公式求解即可【详解】因为所以所以故答案为:【点睛】本题考查正切函数的两角和公式属于基础题 解析：7-【分析】由题得tan 3α=,1tan 2β=,再利用两角和公式求解即可. 【详解】因为tan 30,2tan 10αβ-=-=, 所以tan 3α=,1tan 2β=, 所以()1t 32731n 2a αβ++==--, 故答案为:7-. 【点睛】本题考查正切函数的两角和公式,属于基础题.18．【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得的值由的值【详解】依题意则所以所以所以故答案为：【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查两角差的正弦公式考查化归与转化的数学思想方法属于基础题【分析】利用同角三角函数的基本关系式求得()sin ,sin ααβ-的值，由()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦的值. 【详解】 依题意02πβα<<<，则02πβ>->-，所以02παβ<-<，所以sin 7α==，()sin 14αβ-==()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦()()sin cos cos sin ααβααβ=---1317147147142=⨯-⨯==⨯.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查两角差的正弦公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19．【分析】根据正切的和角公式将用的函数表示出来利用均值不等式求最值求得取得最大值的再用倍角公式即可求解【详解】故可得则当且仅当即时此时有故答案为：【点睛】本题考查正切的和角公式以及倍角公式涉及均值不等解析：7【分析】根据正切的和角公式，将tan α用tan β的函数表示出来，利用均值不等式求最值，求得取得最大值的tan α，再用倍角公式即可求解. 【详解】0,,0,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan 0,tan 0αβ∴>> tan()2tan αββ+=故可得tantan 2tan 1tan tanαββαβ+=-则2tan 1tan 112tan 42tan tan βαβββ==≤=++当且仅当12tan tan ββ=，即tan 2β=时，max tan α=此时有222tan 4tan 221tan 7116ααα===-- . 【点睛】本题考查正切的和角公式，以及倍角公式，涉及均值不等式的使用.20．【分析】根据以及两角差正切公式求解【详解】故答案为：【点睛】本题考查两角差正切公式考查基本分析求解能力属基础题 解析：1613【分析】根据()βαβα=+-以及两角差正切公式求解. 【详解】13tan()tan 1644tan tan[()]31tan()tan 13116αβαβαβααβα++-=+-===++- 故答案为：1613【点睛】本题考查两角差正切公式，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题21．当6πα=时，矩形ABCD. 【分析】由题意可得2cos CD αα=-，2sin BC α=，从而可得矩形ABCD 的面积为S CD BC =⋅(2cos )2sin ααα=⋅)6πα=+-，再由03πα<<可得52666πππα<+<，由此可得262ππα+=时，S 取得最大值 【详解】在Rt OBC 中，2sin BC α=，2cos OC α=. 在Rt ADO中，tan 3AD OD π==,所以OD AD α===,所以2cos CD OC OD αα=-=. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅ 24sin cosααα= 2sin 22αα=- )6πα=+.由03πα<<，得52666πππα<+<，所以当262ππα+=，即6πα=时，max S ==因此，当6πα=时，矩形ABCD 【点睛】关键点点睛：此题考查三角函数的应用，解题的关键是将四边形ABCD 的面积表示为S CD BC =⋅(2cos )2sinααα=⋅)6πα=+-，再利用三角函数的性质可求得其最大值，属于中档题22．（1）A ，tan θ=；（2）a . 【分析】（1）利用降幂公式与辅助角公式将()y f x =()()2cos 2x A x ϕθ-=+，进而可得答案；（2）问题等价于()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立，即cos22a x x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，可得sin 211cos2tan x a x x ≤-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立，从而可得答案 【详解】 （1）当1a =时，()22cos 1cos cos 2222f x x x x x x x x ⎫=-=+=+⎪⎪⎭)()()cos cos2sin sin 22cos 2x x x A x ϕϕϕθ=+=-=+∴A =，sin tan tan tan cos ϕθϕϕϕ=-=-=-==（）（2）由函数()y f x =在[,]63ππ的图象恒在函数y a =图象的上方可知，()f x a ≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立故cos22a x x a +≥在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立即2sin 22sin cos 11cos 22sin tan x x x a x x x ≤==-在,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上 恒成立.∵min11tan tan 3x π⎫==⎪⎪⎝⎭∴a ≤【点睛】方法点睛：对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数, 这样就把问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参数法.23．（1）最大值为14，最小值为12-；（2）()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤< ⎪⎪⎝⎭⎩.【分析】（1）利用两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式将()f x 化简，再由三角函数的性质求得最值；（2）利用0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()12g x f x =-，对x 分类求出函数的解析式即可. 【详解】（1）()2cos sin 3f x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭π=++2cos sin cos cos sin 33x x x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin 224x x =1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 111sin 2,2324x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()f x 的最大值为14；()f x 的最小值为12-； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， ()11sin 2223g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 当,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π时，0,22x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，()11sin 22223g x g x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,2x ππ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭时，0,2x ππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭； ()()11sin 2223g x g x x ππ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭， 综上：()g x 在区间[],0π-上的解析式为：()11sin 2,0223211sin 2,2232x x g x x x πππππ⎧⎛⎫+--≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪---≤<⎪⎪⎝⎭⎩.【点睛】关键点睛：本题考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法.熟练掌握两角和的正弦公式，二倍角公式以及辅助角公式是解决本题的关键. 24．①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1ω=； ②()f x 的最大值在12x π=处取到，1ω=；③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=，1ω=.【分析】可先利用倍角公式将()f x 化简为()sin A x B ωϕ++的形式，再利用其性质逐一求解. 【详解】()sin cos 3f x x x πωω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ωωω⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos sin 22x x x ωωω=⋅-11cos 2sin 2422x x ωω-=-11sin 2cos 22224x x ωω⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭1sin 223x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.选①6f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 033ωππ-⎛⎫+=⎪⎝⎭，()33k k Z ωπππ-+=∈ 解得13k ω=-，(]0,3ω∈，1ω∴= 选②()f x 的最大值在12x π=处取到，则有sin 163ωππ⎛⎫+=⎪⎝⎭ ()2632k k Z ωππππ+=+∈112k ω=+，(]0,3ω∈，1ω∴=选③当()()121f x f x -=，则12min2x x π-=代入可得1211sin 2sin 212323x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12sin 2sin 2233x x ππωω⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12min 2x x π-=意味着函数()sin 23g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴距离为2π T π∴=22T πππωω∴=== 1ω∴=【点睛】方法点睛：对于三角函数，解决最小正周期和最值，单调区间，对称轴等问题时，可先把所给三角函数式化为()sin A x B ωϕ++或()cos A x B ωϕ++的形式，再利用其性质求解.它们的最小正周期为2T πω=，最大值为A B +，最小值为A B -+.25．（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+，证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）先构造向量()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，再利用数量积111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠代入计算即得结果；（2）利用诱导公式知()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭，再结合两角差的余弦公式展开即得结论. 【详解】解：（1）两角差的余弦公式为：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+. 证明：依题意，()()11cos ,sin ,cos ,sin OP OQ ααββ==，则11cos cos sin sin OP OQ αβαβ⋅=+，11111,OP AQ POQ αβ==∠=- 故由111111cos OP OQ OP AQ POQ ⋅=⋅∠得，()cos cos sin sin 11cos αβαβαβ+=⨯⨯-，即cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+， 当()2k k απβ=+∈Z 时，容易证明上式仍然成立． 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+成立； （2）证明：由诱导公式可知，()sin cos 2παβαβ⎛⎫-=-+-⎪⎝⎭. 而cos cos 22ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ sin cos cos sin αβαβ=-+，故[]sin()sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβ-=--+=-. 即证结论. 【点睛】本题解题关键在于构造向量，综合运用数量积的定义法运算和坐标运算，即突破难点.26．（1）b =2）． 【分析】()1根据题意,利用韦达定理列出关系式，利用完全平方式和同角三角函数的基本关系化简求出b 的值，利用3,44θππ⎛⎫∈⎪⎝⎭对b 的值进行取舍即可. ()2由()1可知sin cos θθ+的值,利用()2sin cos 12sin cos θθθθ-=-，求出sin cos θθ-的值，代入原式即可.【详解】（1）∵sin ,cos θθ为关于x 的方程21204x bx -+=的两根，∴220sin cos 21sin cos 8b b θθθθ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⎪⎩，所以()221sin cos 1+2sin cos 1+44b θθθθ+===，即21144b =+，解得b =520∆=->，又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin cos 0θθ+>，∴b = （2）由（1），得sin cos θθ+=,又3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos θθ>，∴sin cos 2θθ-===，∴12+12sin cos 1cos sin 6θθθθ⨯+==--. 【点睛】关键点点睛：本题考查同角三角函数的基本关系与一元二次方程中的韦达定理相结合，通过利用韦达定理得到sin cos θθ+和cos sin θθ的表达式，再结合()2sin cos 12sin cos θθθθ+=+是求解本题的关键；其中由3,44θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对取值进行取舍是本题的易错点.。