2018-2019学年上海市松江区八年级(上)期末数学试卷-解析版
2018-2019学年上海市松江区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在二次根式√0.2a，√28，√10x，√a2−b2中，最简二次根式有()A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个2.下列函数中，当x>0时，函数值y随x的增大而减小的是()A. y=2x B. y=x2C. y=2+x2D. y=−2x3.过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x名同学，列方程为()A. 12x(x−1)=380 B. x(x−1)=380C. 2x(x−1)=380D. x(x+1)=3804.下列命题的逆命题为假命题的是()A. 如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根，那么b2−4ac<0．B. 线段垂直平分线上任意一点到这条线段两个端点的距离相等．C. 如果两个数相等，那么它们的平方相等．D. 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．二、填空题（本大题共14小题，共28.0分）5.化为最简二次根式：√24=______．6.函数y=√2−3x的定义域是______ ．7.方程(x−1)2=1的解为______．8.已知√x+5与√3是同类二次根式，写出一个满足条件的x的正整数的值为______．9.在实数范围内分解因式：x2−2x−1=______．10.已知函数f(x)=11+x，则f(√2)=______．11.已知关于x的一元二次方程(m−2)x2+x−1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．12.经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是______．13.已知反比例函数y=1−2kx，当x>0时，y的值随着x的增大而减小，则实数k的取值范围______．14.如图，在四边形ABCD中，已知AD//BC，BD平分∠ABC，AB=2，那么AD=______．15.如图，已知△ABC中，AC=AB═5，BC=3，DE垂直平分AB，点D为垂足，交AC于点E.那么△EBC的周长为______．16. 如图，在△ABC 中，高AD 和BE 交于点H ，且BH =AC ，则∠ABC =______．17. 如图，将Rt △ABC 绕着顶点A 逆时针旋转使得点C 落在AB上的C′处，点B 落在B′处，联结BB′，如果AC =4，AB =5，那么BB′=______．18. 为了探索代数式√x 2+1+√(4−x)2+4的最小值，小明运用了“数形结合”的思想：如图所示，在平面直角坐标系中，取点A(0,1)，点B(4,−2)，设点P(x,0).那么AP =√x 2+1,BP =√(4−x)2+4.借助上述信息，可求出√x 2+1+√(4−x)2+4最小值为______．三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）19. 计算：√50−1√3−2+√(√2−√3)2四、解答题（本大题共8小题，共54.0分）20. 解方程：(x −1)2−3(x −1)=10．21. 已知x =3−2√2，求x 2−6x+2x−3的值．22.如图，AE平分∠BAC，交BC于点D，AE⊥BE，垂足为E，过点E作EF//AC，交AB于点F.求证：点F是AB的中点．23.已知y=y1+y2，y1与(x−1)成反比例，y2与x成正比例，且当x=2时，y1=4，y=2.求y关于x的函数解析式．24.为了预防“流感”，某学校在休息日用“药熏”消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米的含药量y(毫克)与时间x(时)成正比例；药物释放结束后，y与x成反比例；如图所示，根据图中提供的信息，解答下列问题：(1)写出从药物释放开始，y与x之间的两个函数解析式；(2)据测定，当药物释放结束后，每立方米的含药量降至0.25毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多长时间，学生才能进入教室？25.已知：如图，点A(1,m)是正比例函数y=k1x与反比例函数y=k2的图象在第一象限的交点，AB⊥x轴，垂足x为点B，△ABO的面积是2．(1)求m的值以及这两个函数的解析式；(2)若点P在x轴上，且△AOP是以OA为腰的等腰三角形，求点P的坐标．26.在△ABC中，点Q是BC边上的中点，过点A作与线段BC相交的直线l，过点B作BN⊥l于N，过点C作CM⊥l于M．(1)如图1，如果直线l过点Q，求证：QM=QN；(2)如图2，若直线l不经过点Q，联结QM，QN，那么第(l)问的结论是否成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由．27.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，点D是边A上的动点(点D与点A、B不重合)，过点D作DE⊥AB交射线BC于点E，联结AE，点F是AE的中点，过点D、F作直线，交AC于点G，联结CF、CD．(1)当点E在边BC上，设，DB=x，CE=y．①写出y关于x的函数关系式及定义域；②判断△CDF的形状，并给出证明；(2)如果AE=8√3，求DG的长．3答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】根据最简二次根式的概念即可求出答案．本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型．【解答】解：由于√a5=√5a5，√28=2√7，故√10x，√a2−b2是最简二次根式，故选：B．2.【答案】A【解析】【分析】需根据函数的性质得出函数的增减性，即可求出当x>0时，y随x的增大而减小的函数．本题综合考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．【解答】解：A.y=2x是反比例函数，图象位于第一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，故本选项符合题意；B.y=x2是一次函数，k=12>0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；C.y=2+x2是一次函数，k=12>0，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；D.y=−2x是反比例函数，图象位于第二、四象限，在每个象限y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；故选：A．3.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．设该班级共有同学x名，每个人要发(x−1)条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【解答】解：设全班有x名同学，由题意得：x(x−1)=380，故选：B．4.【答案】C【解析】【分析】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．解：A、逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中b2−4ac<0，那么没有实数根，正确，是真命题；B、逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，为真命题；C、逆命题为：如果两个数的平方相等，那么这两个数相等，错误，因为这两个数也可能是互为相反数，是假命题；D、逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，是真命题，故选：C．5.【答案】2√6【解析】【分析】本题考查的是最简二次根式，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：√24=√4×6=2√6，故答案为：2√6．6.【答案】x≤23【解析】【分析】根据二次根式的意义及性质，被开方数大于或等于0，据此作答．主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子√a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数2−3x≥0，．解得x≤23．故函数y=√2−3x的定义域是x≤237.【答案】x1=2，x2=0【解析】【分析】利用直接开平方法求解．本题考查了解一元二次方程：直接开平方法：形如x2=p或(nx+m)2=p(p≥0)的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．【解答】解：x−1=±1，所以x1=2，x2=0．故答案为x1=2，x2=0．8.【答案】22【解析】根据同类二次根式定义可得x=22时，化简后被开方数为3，进而可得x的值．此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【解答】解：当x=22时，x+5=27，√27=3√3，3√3和√3是同类二次根式，故答案为：22．9.【答案】(x−1+√2)(x−1−√2).【解析】【分析】先把前面两项配成完全平方式，然后根据平分差公式进行因式分解即可．本题考查了利用公式进行因式分解的方法：把整式先配成完全平分式或平分差的形式，然后利用公式法进行因式分解．【解答】解：x2−2x−1，=x2−2x+1−2，=(x−1)2−2，=(x−1+√2)(x−1−√2).故答案为：(x−1+√2)(x−1−√2).10.【答案】√2−1【解析】【分析】本题考查了求函数的值，解题的关键能够正确分母有理化．把x=√2代入函数关系式求值即可．【解答】解：因为函数f(x)=11+x，所以f(√2)=1+2=√2−1(2−1)(2+1)=√2−1．故答案为：√2−1．11.【答案】m>74且m≠2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义，得到一个关于m的不等式，解之，根据“一元二次方程(m−2)x2+x−1=0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到一个关于m的不等式，解之，取两个解集的公共部分即可．本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，正确掌握根的判别式公式，一元二次方程的定义是解题的关键．【解答】解：根据题意得：m−2≠0，解得：m≠2，△=1+4(m−2)>0，解得：m>7，4且m≠2，综上可知：m>74故答案为：m>7且m≠2．412.【答案】线段AB的垂直平分线【解析】【分析】要求作经过已知点A和点B的圆的圆心，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质．【解答】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A 和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．故答案为线段AB的垂直平分线．13.【答案】k<12【解析】【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质：①、当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k>0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．先根据反比例函数的性质得出1−2k>0，再解不等式求出k的取值范围．【解答】解：∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随着x的增大而减小，∴1−2k>0，∴k<1．2．故答案为k<1214.【答案】2【解析】【分析】根据平行线的性质和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论．本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．【解答】解：∵AD//BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=∠CBD，∴∠ABC=∠ADB，∴AD=AB=2，故答案为：2．15.【答案】8【解析】【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，再根据AB=AC即可得出AC的长，进而得出结论．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．【解答】解：∵AB的垂直平分线交AC于点E，垂足为点D，∴AE=BE，∴BE+CE=AC，∵AB=AC，AB=5，BC=3，∴△EBC的周长=(BE+CE)+BC=AC+BC=5+3=8．故答案为：8．16.【答案】45°【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．此题先根据已知条件利用AAS 判定△BDH≌△ADC，得出BD=AD，因为∠ADB=90°，所以得出∠ABC=45°．【解答】解：∵△ABC为锐角三角形，∴高AD和BE在三角形内．∵高AD和BE交于点H，∴∠ADC=∠BEC=90°．∵∠EBD+∠BHD=90°，∠AHE+∠HAE=90°，∠BHD=∠AHE，∴∠EAD=∠EBD，又∵BH=AC，∠ADC=∠BDH=90°，∴△BDH≌△ADC(AAS)，∴BD=AD，∵∠ADB=90°，∴△ADB是等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．故答案为45°17.【答案】√10【解析】【分析】在Rt△BC′B′中，求出BC′，B′C′即可解决问题．本题考查旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=5，∠C=90°，∴BC=√AB2−AC2=√52−42=3，∵AC=AC′=4，BC=B′C′=3，∴BC′=AB=AC′=5−4=1，∵∠BC′B′=90°，∴BB′=√BC′2+B′C′2=√12+32=√10，故答案为√10．18.【答案】5【解析】【分析】要求出√x2+1+√(4−x)2+4最小值，即求AP+PB长度的最小值；根据两点之间线段最短可知AP+PB的最小值就是线段AB的长度，求出线段AB长即可．本题主要考查了最短路线问题、两点间的距离公式以及勾股定理应用，利用了数形结合的思想，利用两点间的距离公式求解是解题关键．【解答】解：连接AB，如图：由题意可知：要求出√x2+1+√(4−x)2+4最小值，即求AP+PB长度的最小值，据两点之间线段最短可知求AP+PB的最小值就是线段AB的长度．∵A(0,1)，点B(4,−2)，∴AB=√42+32=5，故答案为：5．19.【答案】解：原式=5√2+√3+2+√3−√2=4√2+2√3+2．【解析】先分母有理化，再利用二次根式的性质化简，然后合并即可．本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．20.【答案】解：方程整理可得：(x−1)2−3(x−1)−10=0，左边因式分解可得：(x−1+2)(x−1−5)=0，即(x+1)(x−6)=0，∴x=−1或x=6．【解析】将x−1看做整体，因式分解即可求解；本题主要考查解一元二次方程，根据方程特点灵活使用简便方法求解是关键．21.【答案】解：x=3−2√2=√2)(3−2√2)(3+2√2)=3+2√2，原式=(x−3)2+2−9x−3=√22 3+2√2−3=12√2 =√22√2×√2=√24．【解析】先将已知化简，再代入即可．本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简再代入是解答此题的关键．22.【答案】证明：∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAD =∠CAD ，∵EF//AC ，∴∠FEA =∠CAD ，∴∠BAD =∠FEA ，∴FA =FE ，∵AE ⊥BE ，∴∠BEF +∠AEF =90°，∵∠ABE +∠BAE =90°，∴∠ABE =∠BEF ，∴FB =FE ，∴FB =FA ，即点F 是AB 的中点．【解析】根据角平分线的性质、平行线的性质得到FA =FE ，根据垂直的定义、同角的余角相等得到FB =FE ，证明结论．本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质、线段的中点，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．23.【答案】解：根据题意，设y 1=k1x−1，y 2=k 2x(k 1、k 2≠0)． ∵y =y 1+y 2，∴y =k 1x−1+k 2x ，∵当x =2时，y 1=4，y =2，∴{k 1=4k 1+2k 2=2． ∴k 1=4，k 2=−1．∴y =4x−1−x ．【解析】根据题意设出反比例函数与正比例函数的解析式，代入y =y 1+y 2，再把当x =2时，y 1=4，y =2代入y 关于x 的关系式，求出未知数的值，即可求出y 与x 之间的函数关系式．本题考查了正比例函数及反比例函数的定义及用待定系数法求函数的解析式的知识点，只要根据题意设出函数的关系式，把已知对应值代入即可． 24.【答案】解：(1)当药物释放结束后，y 与x 成反比例，设y =k′x (k′≠0)， ∵函数图象经过点P(4,0.5)，∴k′=4×0.5=2，∴y=2；x∵点A的纵坐标为1，∴点A的坐标为(2,1)，药物释放过程中，y与x成正比，设y=kx(k≠0)，∵函数图象经过点A(2,1)，∴1=2k，即k=1，2x；∴y=12(2)当y=0.25时，代入反比例函数y=2，可得xx=8，∴从药物释放开始，至少需要经过8小时，学生才能进入教室．【解析】(1)药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(小时)成正比；药物释放完毕后，含药量y(毫克)与时间x(小时)成反比，用待定系数法可得函数关系式；(2)根据函数值为0.25，利用反比例函数即可得到自变量x的值．本题考查了反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．25.【答案】解：(1)∵△ABO的面积是2，∴k2=2×2=4，∴反比例函数的解析式为y=4．x=4，当x=1时，m=4x∴点A的坐标为(1,4)．又∵点A(1,4)在正比例函数y=k1x的图象上，∴k1=4，∴正比例函数的解析式为y=4x．(2)∵△AOP是以OA为腰的等腰三角形，∴OA=OP或OA=AP．①当OA=OP时，∵点A的坐标为(1,4)，∴OA=√(1−0)2+(4−0)2=√17，∴OP=√17，∴点P的坐标为(−√17,0)或(√17,0)；②当OA=AP时，OP=2OB=2，∴点P的坐标为(2,0)．综上所述：点P的坐标为(−√17,0)，(√17,0)，(2,0)．【解析】(1)由△OAB的面积，利用反比例函数系数k的几何意义可求出k2的值，进而可得出反比例函数的解析式，由点A的横坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出m的值，进而可得出点A的坐标，再利用正比例函数图象上点的坐标特征可求出正比例函数的解析式；(2)分OA=OP或OA=AP两种情况考虑：①当OA=OP时，由点A的坐标可求出OA 的长，结合OP=OA及点P在x轴上可得出点P的坐标；②当OA=AP时，利用等于三角形的三线合一可得出OP=2OB=2，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)利用正反比例函数系数k的几何意义及正比例函数图象上点的坐标特征，求出两函数的解析式；(2)分OA= OP或OA=AP两种情况，利用等腰三角形的性质求出点P的坐标．26.【答案】证明：(1)∵点Q是BC边上的中点，∴BQ=CQ，∵BN⊥l，CM⊥l，∴∠BNQ=∠CMQ=90°，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQM，∴△BQN≌△CQM(AAS)∴QM=QN；(2)仍然成立，理由如下：如图，延长NQ交CM于E，∵点Q是BC边上的中点，∴BQ=CQ，∵BN⊥l，CM⊥l，∴BN//CM∴∠NBQ=∠QCM，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQE，∴△BQN≌△CQE(ASA)∴QE=QN，且∠NME=90°，∴QM=NQ=QE．【解析】(1)由“AAS”可证△BQN≌△CQM，可得QM=QN；(2)延长NQ交CM于E，由“ASA”可证△BQN≌△CQE，可得QE=QN，由直角三角形的性质可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．27.【答案】解：(1)①∵∠ACB=90°，AC=BC=4，∴AB=4√2，∠B=∠BAC=45°，又∵DE⊥AB，∴△DEB为等腰直角三角形，∵DB=x，CE=y，∴EB=√2x，又∵EB+CE=4，∴√2x+y=4，∴y=4−√2x(0<x≤2√2)；②∵DE⊥AB，∠ACB=90°，∴∠ADE=90°，∵点F是AE的中点，∴CF=AF=12AE，DF=AF=12AE，∴CF=DF，∵∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD，∴∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+2∠EAD=2∠CAD，∵∠CAB=45°，∴∠CFD=90°，∴△CDF是等腰直角三角形；(2)如图1，当点E在BC上时，AE=8√33，AC=4，在Rt△ACE中，CE=4√33，则AE=2CE，∴∠CAE=30°，又CF=DF=12AE=4√33，在Rt△CFG中，GF=43，∴DG=DF+FG=4√3+43；如图2，当点E在BC延长线上时，∠CFD=90°，同理可得CF=DF=12AE=4√33，在Rt△CFG中，GF=43，∴DG=DF−FG=4√3−43．【解析】(1)①先证△DEB为等腰直角三角形，设DB=x，CE=y知EB=√2x，由EB+ CE=4知√2x+y=4，从而得出答案；②由∠ADE=90°，点F是AE的中点知CF=AF=12AE，DF=AF=12AE，据此得出CF=DF，再由∠CFE=2∠CAE，∠EFD=2∠EAD知∠CFD=∠CFE+∠EFD=2∠CAE+ 2∠EAD=2∠CAD，结合∠CAB=45°知∠CFD=90°，据此可得答案；(2)分点E在BC上和BC延长线上两种情况，分别求出DF、GF的长，从而得出答案．本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．。
2019-2020学年上海市松江区八年级下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年上海市松江区八年级第二学期期末数学试卷一、选择题（共6小题）.1．下列函数中，一次函数是（）A．y＝﹣1B．y＝x2+3C．y＝3x D．y＝k+b（k、b是常数）2．一次函数y＝2x+3的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限3．下列说法正确的是（）A．+＝1分式方程B．x2+3y＝1是二元二次方程C．x2+x﹣1＝0是无理方程D．x2+x＝0是二项方程4．下列方程中，有实数根的方程是（）A．＝0B．+1＝0C．＝3D．+＝1 5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，DE∥AB交BC于点E．下列判断正确的是（）A．向量和向量是相等向量B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量D．向量与向量的和向量是零向量6．下列命题中，真命题的个数是（）①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题（共12小题）.7．已知直线l平行于直线y＝2x，且在y轴上的截距为5，那么直线l的表达式是．8．已知一次函数y＝（m﹣3）x﹣2，其中y随x的增大而减小，那么m的取值范围是．9．布袋中有2个红球、3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是．10．方程x3+64＝0的实数根是．11．用换元法解方程﹣＝1时，如果设＝y，那么原方程可化为关于y的整式方程是．12．方程的实数根是．13．关于x的方程a2（x﹣1）＝2﹣x的解为．14．方程组的解为．15．一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是边形．16．如果一个梯形的上底长为2cm，中位线长是5cm，那么这个梯形下底长为cm．17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．已知AB＝10m，AC＝12cm．那么这个菱形的面积为cm2．18．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD 于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为．三、简答题（本大题共4题，满分20分）19．解方程：﹣＝1．20．解方程组：．21．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，设＝，＝，＝．（1）用向量，，表示下列向量：向量＝；向量；（2）求作：+（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝x 的图象交于点A（2，m），与x轴交于点B．（1）求m、b的值；（2）求△AOB的面积．四．解答题（本大题共4题，满分32分）23．甲，乙两人同时从A地出发，沿相同路线骑自行车前往距离A地15千米的B地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达B地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？24．如图线段AB是辆轿车油箱中剩余油量y（升）关于行驶时间x（小时）的函数图象，请解答下列问题：（1）写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（2）轿车行驶1小时后油箱中的剩余油量是多少升？（3）当油箱中剩余油量为12升时，轿车油表灯亮．①试问轿车行驶多少小时后油表灯亮？②如果轿车的行驶速度平均每小时80千米，问轿车油表灯亮后最多还能行驶多少千米？25．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC边的中点，AE、BD相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）设边CD的中点为G，联结EG．求证：四边形FEGD是矩形．26．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E为线段AC上一点（点E不与A、C重合），联结DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）求证：DE＝EF；（2）联结CG、EG，设AE＝x，△ECG的面积为y．求y关于x的函教关系式并写出定义域；（3）设EG、CD相交于点H，如果△EDH是等腰三角形，求线段AE的长．参考答案一、选择题（本大题共6题，每题2分，满分12分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．下列函数中，一次函数是（）A．y＝﹣1B．y＝x2+3C．y＝3x D．y＝k+b（k、b是常数）【分析】根据一次函数和正比例函数的概念解答即可．解：A、自变量在分母上，不符合一次函数定义；B、y＝x2++3是二次函数，故选项错误；C、y＝3x是正比例函数也是一次函数，故选项正确；D、少x，不符合一次函数定义；故选：C．2．一次函数y＝2x+3的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、三、四象限C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限【分析】由于k＞0，b＞0，根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数y＝2x+3的图象经过第一、二、三象限．解：∵k＝2＞0，∴图象经过第一、三象限，∴b＝3＞0，∴图象与y轴的交点在x轴上方，∴一次函数y＝2x+3的图象经过第一、二、三象限．故选：A．3．下列说法正确的是（）A．+＝1分式方程B．x2+3y＝1是二元二次方程C．x2+x﹣1＝0是无理方程D．x2+x＝0是二项方程【分析】根据一元二次方程的定义对A、B、C进行判断；根据二元二次方程的定义对B 进行判断，解：A、+＝1为一元二次方程，所以A选项的说法错误；B、x2+3y＝1为二元二次方程，所以B选项的说法正确；C、x2+x﹣1＝0是一元二次方程，所以C选项的说法错误；D、x2+x＝0是一元二次方程，所以D选项的说法错误．故选：B．4．下列方程中，有实数根的方程是（）A．＝0B．+1＝0C．＝3D．+＝1【分析】分别解无理方程可对A、B、C进行判断；利用二次根式有意义的条件得到x＝3，通过检验可对D进行判断．解：A、两边平方得x2+4＝0，此方程没有实数解，原方程无解；B、变形为＝﹣1，两边平方得x﹣2＝1，解得x＝3，经检验，原方程无解；C、两边平方得x+1＝4，解得x＝3，经检验，原方程的解为x＝3；D、因为x﹣3≥0且3﹣x≥0，则x＝3，此时方程无解．故选：C．5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，DE∥AB交BC于点E．下列判断正确的是（）A．向量和向量是相等向量B．向量和向量相反向量C．向量和向量是平行向量D．向量与向量的和向量是零向量【分析】根据等腰梯形的性质和共线平面向量的定义作答．解：A、由于向量和向量的方向不同，所以它们不是相等向量，故本选项不符合题意．B、由于||≠||，所以向量和向量不是相反向量，故本选项不符合题意．C、因为AD∥BC即AD∥EC，所以向量和向量是平行向量，故本选项符合题意．D、+＝2≠，故本选项不符合题意．故选：C．6．下列命题中，真命题的个数是（）①对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③对角线相等的菱形是正方形；④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据正方形的判定方法对各命题进行判断．解：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以①正确；对角线互相垂直的矩形是正方形，所以②正确；对角线相等的菱形是正方形，所以③正确；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以④正确．故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7．已知直线l平行于直线y＝2x，且在y轴上的截距为5，那么直线l的表达式是y＝2x+5．【分析】根据直线l与直线y＝2x平行，直线l的解析式的一次项系数等于2，再根据在y轴上的截距是5，可得直线l的解析式．解：∵直线l与直线y＝2x平行，∴设直线l的解析式为：y＝2x+b，∵在y轴上的截距是5，∴b＝5，∴y＝2x+5，∴直线l的表达式为：y＝2x+5．故答案为：y＝2x+5．8．已知一次函数y＝（m﹣3）x﹣2，其中y随x的增大而减小，那么m的取值范围是m ＜3．【分析】根据一次函数的性质得m﹣3＜0，然后解不等式即可．解：∵一次函数y＝（m﹣3）x﹣2，其中y随x的增大而减小，∴m﹣3＜0，解得m＜3．故答案是：m＜3．9．布袋中有2个红球、3个黄球，每一个球除颜色外都相同，从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是．【分析】直接根据概率公式求解．解：∵袋中有2个红球、3个黄球，共有5个球，∴从袋中任意摸出一个球是黄球的概率是．故答案为：．10．方程x3+64＝0的实数根是x＝﹣4．【分析】方程整理后，利用立方根性质计算即可求出解．解：方程整理得：x3＝﹣64，解得：x＝﹣4．故答案为：x＝﹣4．11．用换元法解方程﹣＝1时，如果设＝y，那么原方程可化为关于y的整式方程是y2﹣y﹣2＝0．【分析】把方程变形为﹣＝1，再换元．解：设＝y，原式可转化为y﹣﹣1＝0．整理，得y2﹣y﹣2＝0．故答案为：y2﹣y﹣2＝0．12．方程的实数根是3．【分析】先把要求的方程进行变形，得出2x+3＝x2，求出x的值，再把x的值进行检验，即可求出正确答案．解：∵，∴2x+3＝x2，解得：x1＝3，x2＝﹣1，检验：当x＝3时，＝＝3，当x＝﹣1时，＝1≠﹣1，则x＝﹣1不是原方程的解，x＝3是方程的实数根．故答案为：3．13．关于x的方程a2（x﹣1）＝2﹣x的解为x＝．．【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可表示出解．解：方程a2（x﹣1）＝2﹣x，去括号得：a2x﹣a2＝2﹣x，移项合并得：（a2+1）x＝a2+2，解得：x＝．故答案为：x＝．14．方程组的解为．【分析】设＝u，＝v，方程组变形后求出解得到u与v的值，即可确定出解．解：设＝u，＝v，方程组变形得：，①+②得：5u＝15，解得：u＝3，把u＝3代入①得：v＝﹣1，∴＝3，＝﹣1，则方程组的解为．故答案为：．15．一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是七边形．【分析】根据多边形的内角和，可得答案．解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）•180°＝900，解得n＝7，故答案为：七．16．如果一个梯形的上底长为2cm，中位线长是5cm，那么这个梯形下底长为8cm．【分析】根据梯形的中位线得出EF＝×（AD+BC），代入求出即可．解：∵EF是梯形ABCD（AD∥BC）的中位线，∴EF＝×（AD+BC），∵EF＝5cm，AD＝2cm，∴5cm＝（2cm+BC），解得：BC＝8cm，故答案为：8．17．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O．已知AB＝10m，AC＝12cm．那么这个菱形的面积为96cm2．【分析】根据菱形的性质可得AC⊥BD，然后利用勾股定理求出OB＝8cm，得出BD＝16cm，最后根据菱形的面积公式求解．解：∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6cm，OB＝OD，∴OB＝＝＝8（cm），∴BD＝2OB＝16cm，S菱形ABCD＝AC•BD＝×12×16＝96（cm2）．故答案为：96．18．如图，已知在矩形ABCD中，点E在边BC的延长线上，且CE＝BD，联结AE交BD 于点F，如果∠E＝15°，那么∠AFB的度数为45°．【分析】连接AC交BD于点O，由矩形的性质得出AC＝BD，OB＝OC，则∠OBC＝∠OCB，证出AC＝CE，则∠CAE＝∠E＝15°，由三角形的外角性质求出∠OBC＝∠OCB ＝30°，再由三角形的外角性质即可得出答案．解：连接AC交BD于点O，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵CE＝BD，∴AC＝CE，∴∠CAE＝∠E＝15°，∴∠OBC＝∠OCB＝∠CAE+∠E＝30°，∴∠AFB＝∠OBC+∠E＝30°+15°＝45°；故答案为：45°．三、简答题（本大题共4题，满分20分）19．解方程：﹣＝1．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解：去分母得：5x+7﹣2（x+5）＝x2+4x﹣5，整理得：x2+x﹣2＝0，即（x﹣1）（x+2）＝0，解得：x＝1或x＝﹣2，经检验x＝1是增根，则分式方程的解为x＝﹣2．20．解方程组：．【分析】因式分解方程组中的②，转化为两个二元一次方程，与原方程组中的①组成两个一次方程组，求解即可．解：由②，得（x+3y）（x﹣2y）＝0．∴x+3y＝0③，x﹣2y＝0④．由①③，①④组成新的方程组，解方程组，得；解方程组，得．21．如图，点E在平行四边形ABCD的对角线AC上，设＝，＝，＝．（1）用向量，，表示下列向量：向量＝+；向量﹣；（2）求作：+（不写作法，保留作图痕迹，写出结果）．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及三角形法则即可解决问题．（2）作CF∥DE，且CF＝DE，连接DF，则即为所求．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴＝+＝+，＝+＝﹣．故答案为：+，﹣（2）如图，即为所求．22．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+b的图象与正比例函数y＝x 的图象交于点A（2，m），与x轴交于点B．（1）求m、b的值；（2）求△AOB的面积．【分析】（1）将点A的坐标代入正比例函数的解析式中即可求出m的值．将点A的坐标代入一次函数的解析式中即可求出b的值．（2）先求得B的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可．解：（1）正比例函数y＝x的图象过点A（2，m）．∴m＝×2＝3．又∵一次函数y＝﹣x+b的图象过点A（2，3）．∴3＝﹣+b，∴b＝4．（2）∵一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴交于点B，∴B（8，0），∴S△AOB＝＝12．四．解答题（本大题共4题，满分32分）23．甲，乙两人同时从A地出发，沿相同路线骑自行车前往距离A地15千米的B地，已知甲比乙平均每小时多骑1千米，但由于甲在路上修自行车耽搁了半小时，结果两人同时到达B地，求甲，乙两人每小时各骑行多少千米？【分析】设乙每小时行驶xkm，则甲每小时行驶（x+1）km，根据乙所用时间﹣甲所用时间＝小时列出方程并解答．解：设乙每小时行驶xkm，则甲每小时行驶（x+1）km，根据题意，得﹣＝．解得x＝5．经检验x＝5是所列方程的根．所以x+1＝6．答：甲每小时行驶6km，乙每小时行驶5km．24．如图线段AB是辆轿车油箱中剩余油量y（升）关于行驶时间x（小时）的函数图象，请解答下列问题：（1）写出y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；（2）轿车行驶1小时后油箱中的剩余油量是多少升？（3）当油箱中剩余油量为12升时，轿车油表灯亮．①试问轿车行驶多少小时后油表灯亮？②如果轿车的行驶速度平均每小时80千米，问轿车油表灯亮后最多还能行驶多少千米？【分析】（1）由图象可知：A（0，60），B（4，0），根据待定系数法即可求出答案．（2）令x＝1，代入y＝﹣15x+60即可求出y的值．（3）①令y＝12，代入y＝﹣15x+60即可求出x的值．②轿车油表灯亮后，轿车还能行驶0.8小时，根据速度、路程、时间之间的关系即可求出答案．解：（1）由图象可知：A（0，60），B（4，0），设y＝kx+b，∴，解得：，∴y＝﹣15x+60，其中0≤x≤4．（2）当x＝1时，∴y＝﹣15+60＝45，答：轿车行驶1小时后油箱中的剩余油量是45升（3）①当y＝12，∴12＝﹣15x+60，答：轿车行驶3.2小时后油表灯亮．②轿车油表灯亮后，轿车还能行驶0.8小时，∴轿车油表灯亮后最多还能行驶80×0.8＝64km，答：轿车油表灯亮后最多还能行驶64km．25．如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC．AD＝AB，BC＝2AD．E是BC边的中点，AE、BD相交于点F．（1）求证：四边形AECD是平行四边形；（2）设边CD的中点为G，联结EG．求证：四边形FEGD是矩形．【分析】（1）根据“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明；（2）根据题意，首先判定四边形DFEG是平行四边形，然后推知其有一内角为直角，此题得证．【解答】（1）证明：如图，∵AD∥BC，∴AD∥EC．∵BC＝2AD，E是BC边的中点，∴AD＝EC．∴四边形AECD是平行四边形；（2）证明：如图，连接GE，由（1）知，四边形AECD是平行四边形，则FE∥DG．又∵点E是BC的中点，点G是CD的中点，∴EG∥BD，即EG∥FD，∴四边形DFEG是平行四边形．∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴∠1＝∠2．又∵AD＝AB，∴∠2＝∠3，即BF是∠ABE的平分线．∵BC＝2AD，E是BC边的中点，∴AD＝BE．∴AB＝BE，∴BF⊥AE，∴平行四边形FEGD是矩形．26．如图，已知在正方形ABCD中，AB＝2，点E为线段AC上一点（点E不与A、C重合），联结DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG．（1）求证：DE＝EF；（2）联结CG、EG，设AE＝x，△ECG的面积为y．求y关于x的函教关系式并写出定义域；（3）设EG、CD相交于点H，如果△EDH是等腰三角形，求线段AE的长．【分析】（1）作EM⊥BC，EN⊥CD，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEM≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）由“SAS”可证△ADE≌△CDG，可得AE＝CG，证明∠ACG＝90°即可解决问题．（3）分两种情形：如图1中，当ED＝EH时，如图2中，当HD＝HE时，分别求解即可解决问题．解：（1）如图，作EM⊥BC，EN⊥CD．∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE．（2）∵四边形DEFG是矩形，EF＝DE，∴矩形DEFG是正方形；∵四边形ABCD是正方形，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，∵∠ACD＝45°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°，∵AD＝DC＝2，∠ADC＝90°，∴AC＝＝2，∴y＝•EC•CG＝•x•（2﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜2）．（3）如图1中，当ED＝EH时，∵ED＝EH，∴∠EDH＝∠EHD，∵∠EHD＝∠HEC+∠ECH＝45°+∠CEH，∠CED＝∠CEH+∠DEG＝∠CEH+45°，∴∠CDE＝∠CEH+45°，∴∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE＝2，∴AE＝AC﹣EC＝2﹣2．如图2中，当HD＝HE时，点C与F重合，此时AE＝EC＝．综上所述，满足条件的AE的值为2﹣2或2．。
【七上期末.数学】2018-2019学年上海市松江区七年级(上)期末数学试卷(解析版)
2018-2019学年上海市松江区七年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）1.单项式-2x3y的系数与次数依次是（）A.，3B.，4C.2，3D.2，4【答案】B【解析】【分析】利用单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，进而分析即可．【详解】解：单项式-2x3y中数字因数是-2，所以系数是：-2，单项式-2x3y中所有字母的指数和是4，所以次数是：4．故选：B．【点睛】此题主要考查了单项式，正确把握单项式的次数与系数确定方法是解题关键．2.下列各式运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分别利用同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方以及积的乘方运算法则判断得出即可．【详解】解：A、，故此选项错误；B、，故此选项错误；C、，故此选项错误；D、，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及积的乘方运算法则运算，正确掌握运算法则是解题关键．3.下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，进而判断即可．【详解】解：A.，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；B.，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C.，是几个整式的积的形式，属于因式分解，故本选项符合题意；D.式子右边不是几个整式的积的形式，所以不属于因式分解，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了因式分解的定义，能熟记因式分解的定义的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解．4.计算（-）2018×（）2019的结果为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接利用积的乘方运算法则将原式变形得出答案．【详解】（-）2018×（）2019=[（-）×（）]2018×=（-1）2018×=【点睛】此题主要考查了积的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．5.如果把分式中的都扩大2倍，那么分式的值（）A.扩大4倍B.扩大2倍C.缩小2倍D.不变【答案】B【解析】【分析】观察代数式，显然分子将扩大4倍，分母扩大2倍，从而分式的值扩大2倍．【详解】解：根据题意，得新的分式是，则分式的值扩大为原来的2倍．故答案为扩大2倍．【点睛】此题考查了分式的基本性质，注意仔细观察各个字母的变化．6.在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形这四种图形中，是旋转对称图形的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C【解析】【分析】根据旋转对称图形的定义：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，解答即可．【详解】解：在正三角形、正方形、正五边形和等腰梯形，只有等边三角形、正方形、正五边形是旋转对称图形，共3个．故选：C【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．二、填空题（本大题共12小题，共24.0分）7.用代数式表示：“x的2倍与y的差的平方”是______．【答案】（2x-y）2【解析】【分析】先求x的2倍，再求差，最后写出它们的平方即可求解．【详解】解：由题意得：“x的2倍与y的差的平方”是（2x-y）2．故答案为：（2x-y）2．【点睛】本题考查了列代数式的知识，解答本题的关键是熟练读题，找出题目所给的等量关系．8.将0.000025用科学记数法表示为______．【答案】2.5×10-5【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.000025=2.5×10-5．故答案为：2.5×10-5．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．9.将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：______．【答案】2x3-x2y+xy3-5y2【解析】【分析】按x的指数从大到小排列各项即可．【详解】解：将多项式xy3-x2y+2x3-5y2按字母x降幂排列是：2x3-x2y+xy3-5y2，故答案为：2x3-x2y+xy3-5y2．【点睛】本题考查多项式，考查的知识点为：把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号．10.当x=3时，代数式x2+2x-1的值为______．【答案】8【解析】【分析】将x=3代入代数式，根据代数式要求的运算顺序列式计算可得．【详解】解：当x=3时，x2+2x-1==3+6-1=8故答案为：8．【点睛】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11.当x______时，分式有意义．【答案】x≠-2【解析】【分析】根据分式有意义的条件是：分母不等于0，即可求解．【详解】解：根据题意得：x+2≠0，解得：x≠-2．故答案是：x≠-2．【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，是一个基础题．12.因式分解：2x2-4x═______．【答案】2x（x-2）【解析】【分析】利用提公因式法进行因式分解，直接提取公因式2x，进而分解因式即可．【详解】解：2x2-4x=2x（x-2）．故答案为：2x（x-2）．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．13.(x-3y)(x+3y)=.【答案】x2-9y2【解析】原式==x2-9y214.（2x-1）2=______．【答案】4x2-4x+1【解析】【分析】利用完全平方差公式进行整式计算即可．【详解】利用完全平方差公式进行计算：（2x-1）2=4x2-4x+1【点睛】本题主要考查了公式法整式计算是解题关键．15.计算：（4x2y-2xy2）÷2xy=______．【答案】2x-y【解析】【分析】原式利用多项式除以单项式法则计算即可得到结果．【详解】解：故答案为：2x-y．【点睛】此题考查了整式的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.计算：＝_______．【答案】【解析】【分析】首先把分式变形为，再根据同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减进行计算即可．【详解】解：【点睛】此题主要考查了分式的加减，关键是要异分母分式变为同分母分式．17.计算：=__________________.【答案】1【解析】分析：分别进行零指数幂、负指数幂的运算，然后合并即可得出答案详解：原式=2-1=1点睛：此题考查了零指数幂、负指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.如图，在长方形ABCD中，AB=7cm，BC=10cm，现将长方形ABCD向右平移3m，再向下平移4cm后到长方形A'B'C'D'的位置，A'B'交BC于点E，A'D'交DC于点F，那么长方形A'ECF的周长为______cm．【答案】20【解析】【分析】根据平移的距离表示出长方形A'ECF的长和宽，即可求出结论．【详解】解：由题意得到BE=3cm，DF=4cm，∵AB=DC=7cm，BC=10cm，∴EC=BC-BE=10cm-3cm=7cm，FC=DC-DF=7cm-4cm=3cm，∴长方形A'ECF的周长=2×（7+3）=20（cm），故答案为20．【点睛】本题考查了平移的性质，认准图形，准确求出长方形A'ECF的长和宽是解题的关键．三、计算题（本大题共3小题，共15.0分）19.计算：-【答案】【解析】【分析】根据分式的减法法则计算可得，异分母分式相加减，先通分再加减.【详解】原式=-==．【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则．20.计算：÷（x+）【答案】【解析】【分析】对于本题的混合运算时，有括号的先计算括号内的，然后再同级运算同级运算时把分子分母因式分解，然后把除法运算化为乘法运算后约分即可．【详解】原式=÷=•=．【点睛】本题考查了分式的乘除法：分式乘除法的运算，归根到底是乘法的运算，当分子和分母是多项式时，一般应先进行因式分解，再约分；整式和分式进行运算时，可以把整式看成分母为1的分式．做分式乘除混合运算时，要注意运算顺序，乘除法是同级运算，要严格按照由左到右的顺序进行运算，切不可打乱这个运算顺序．21.解方程：-=．【答案】x=4【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】方程两边都乘以6（x-1），得：3x-6=2（x-1），解得x=4，当x=4时，6（x-1）=18≠0，所以原分式方程的解为x=4．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．四、解答题（本大题共9小题，共49.0分）22.计算：3a2b•（-a4b2）+（a2b）3【答案】-a6b3【解析】【分析】先利用积的乘方运算法则对（a2b）3化简，再利用单项式乘以单项式的计算3a2b•（-a4b2）乘法，再计算加法即可求出答案.【详解】原式=-2a6b3+a6b3=-a6b3．【点睛】此题考查了整式的混合运算知识，熟练应用运算法则是解题关键．23.计算：（a+b）（3a-2b）-b（a-b）．【答案】3a2-b2【解析】【分析】先利用整式乘整式计算乘法，再合并同类项即可．【详解】原式=3a2-2ab+3ab-2b2-ab+b2=3a2-b2．【点睛】本题考查了整式的混合运算，能熟练地运用法则进行计算是解此题的关键．24.计算：（m-n+1）（m+n+1）．【答案】m2+2m+1-n2【分析】通过变形为：[（m+1）-n][（m+1）+n]，发现平方差公式，直接利用平方差公式将原式变形，进而结合完全平方公式计算得出答案．【详解】（m-n+1）（m+n+1）=[（m+1）-n][（m+1）+n]=（m+1）2-n2=m2+2m+1-n2．【点睛】此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确应用公式是解题关键．25.因式分解：（x-4）（x+7）+18．【答案】（x-2）（x+5）【解析】【分析】直接利用多项式乘以多项式化简，再利用十字相乘法分解因式即可．【详解】（x-4）（x+7）+18=x2+3x-10=（x-2）（x+5）．【点睛】此题主要考查了十字相乘法分解因式，正确应用十字相乘法是解题关键．26.因式分解：x2-4+4y2-4xy．【答案】（x-2y+2）（x-2y-2）【解析】【分析】将原式分组（x2+4y2-4xy）-4，再利用完全平方公式分解为（x-2y）2-4，最后利用平方差公式分解因式得出答案．【详解】x2-4+4y2-4xy=x2+4y2-4xy-4=（x-2y）2-4=（x-2y+2）（x-2y-2）．【点睛】此题主要考查了分组分解法分解因式，正确运用公式是解题关键．27.某校为了增强学生对中华优秀传统文化的理解，决定购买一批相关的书籍．据了解，经典著作的单价比传说故事的单价多6元，用10000元购买经典著作与用7000元购买传说故事的本数相同，这两类书籍的单价各是多少元？【答案】传说故事的单价为14元/本，经典著作的单价为20元/本【解析】【分析】设传说故事的单价为x元/本，则经典著作的单价为（x+6）元/本，根据数量=总价÷单价结合用10000元购买经典著作与用7000元购买传说故事的本数相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论．【详解】设传说故事的单价为x元/本，则经典著作的单价为（x+6）元/本，根据题意得：=，解得：x=14，经检验，x=14是所列分式方程的解，且符合题意，∴x+6=20．答：传说故事的单价为14元/本，经典著作的单价为20元/本．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．28.如图是由5个同样的小正方形所组成的，请再补上一个同样的小正方形，使6个小正方形组成的图形成为一个轴对称图形，请至少画出三种方法．【答案】见解析【解析】【分析】利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案，如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.【详解】如图所示：．【点睛】此题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．29.如图，在长方形ABCD中，AB=a，BC=b（a＞2b），点P在边CD上，且PC=BC，长方形ABCD绕点P 顺时针旋转90°后得到长方形A'B'C'D'（点B'、C'落在边AB上），请用a、b的代数式分别表示下列图形的面积．（1）三角形PCC'的面积S1；（2）四边形AA'CC'的面积S，并化简．【答案】（1）△PCC'的面积S1=b2；（2）+【解析】【分析】（1）依据△PCC'是等腰直角三角形，即可得出△PCC'的面积S1=b2；（2）依据△BCC'是等腰直角三角形，可得BC'=BC=b，BB'=2b，进而得到AB'=a-2b，再根据四边形AA'CC'的面积S=S△AB'A'+S梯形A'B'BC-S△BCC'进行计算即可．【详解】（1）由旋转可得，PC=PC'=b，∠CPC'=90°，∴△PCC'是等腰直角三角形，∴△PCC'的面积S1=b2；（2）由题可得，∠BCC'=45°，∠B=90°，A'B'=AB=a，∴∠BCC'=∠BC'C=45°，∴△BCC'是等腰直角三角形，∴BC'=BC=b，BB'=2b，∴AB'=a-b-b=a-2b，∴四边形AA'CC'的面积S=S△AB'A'+S梯形A'B'BC-S△BCC'=a（a-2b）+-=-ab+ab+b2-=+．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质的应用，解题时注意：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．30.分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式是，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，==1-．（1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和；（2）如果分式的值为整数，求x的整数值．【答案】（1）2-；（2）x=2或0【解析】【分析】（1）根据题意，把分式，分子化为“”，再进行化简，写成整式与真分式的和的形式即可；（2）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．【详解】（1）由题可得，==2-；（2）==x+1+，∵分式的值为整数，且x为整数，∴x-1=±1，∴x=2或0．【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．。
专题21.1整式方程-2021-2022学年八年级数学下册同步题典解析版沪教版
2021-2022学年八年级数学下册尖子生同步培优题典【沪教版】专题21.1整式方程姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021春•静安区期末）下列方程属于二项方程的是( )A ．10x +=B 50-=C ．10x x -=D ．31x x -=【分析】根据二项方程的定义去判断和排除选项．如果一元n 次方程(n 是正整数）的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程．【解析】B 选项未知数x 的次数不是正整数，所以不符合．C 选项除了含有x 的1次项还含有1-次项，所以不符合．D 选项除了常数项以外，含有x 的3次项和1次项，所以不符合．根据定义可以判断10x +=是符合的，故选：A ．2．（2021春•杨浦区期末）下列方程是二项方程的是( )A ．220x =B ．20x x -=C ．31102x -=D ．4221y x +=【分析】根据二项方程的定义进行判断即可．【解析】31102x -=为二项方程．故选：C ．3．（2020春•金山区期中）下列方程是一元高次方程的是( )A ．30x +=B ．2310x x --=C ．3120x x x ++=D ．410x +=【分析】根据一元高次方程的定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，即可得出答案．【解析】这四个方程都只含一个未知数，A Q ，B 中未知数的项的次数小于等于2，A \，B 选项不符合题意，C Q 中分母中含有未知数，\是分式方程，C 选项不符合题意，D Q 符合一元高次方程定义：只含一个未知数，未知项的最高次数大于等于3的整式方程，D \选项符合题意，故选：D ．4．（2020春•金山区期中）二元二次方程组2(1)(2)0x y y x +-=ìí=î的解的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】将第二个方程代入第一个方程化为关于x 的方程以达到消元目的，根据两个因式积为0得10x +=或220x -=，达到降次得目的，根据x 的值代入②式求y 的值．【解析】()()2120x y y x ì+-=í=î①②，由①得1x =-或2y =，当1x =-时1y =，当2y =时x =所以方程组的解1122x x x y y y ìì=-ì==ïïííí===ïïîîî或．故选：C ．5．（2019春•黄浦区期中）二元二次方程组2222042x xy y x y ì+-=í+=-î的解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】先将第1个方程变形为20x y +=，0x y -=，从而得到两个二元二次方程组，再分别判断解的个数即可．【解析】2222042x xy y x y ì+-=í+=-î①②，由①得：(2)()0x y x y +-=，20x y +=，0x y -=，与方程②组成新的方程组得：22042x y x y +=ìí+=-î，2042x y x y -=ìí+=-î，第一个方程组无解，第二个方程组有两个解，所以原方程组有两个解，故选：B ．6．（2020秋•杨浦区校级期中）若方程22320x xy y +-=的两个解是1x y =，2x y =，那么2232x xy y +-在实数范围内分解因式是( )A ．(2)()x y x y ++B．(x x -C ．()()x y x y D ．()()x y x y -【分析】直接根据221232()()x xy y x x x x +-=--，进而分解因式即可．【解析】Q 方程22320x xy y +-=的两个解是1x y =，2x y =，2232()()x xy y x y x y \+-=，故选：D ．7．（2019春•松江区期中）在下列关于x 的方程中，是二项高次方程的是( )A ．481160x -=B ．30x =C ．20x x -=D ．31x x -=【分析】根据高次方程的概念判断即可．【解析】A 、481160x -=是二项高次方程；B 、30x =是一项高次方程；C 、20x x -=，不是高次方程；D 、31x x -=是三项高次方程；故选：A ．8．（2018春•浦东新区期中）在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为1124x y =ìí=î，1124x y =-ìí=-î，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是( )A ．68x y xy +=ìí=îB ．26x y y x+=-ìí=îC ．22220y x x y =ìí+=îD ．22820xy x y =ìí+=î【分析】根据方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成即可判断D ，再根据两组解判断A 、B 、C 即可．【解析】A 、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意；B 、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意；C 、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意；D 、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意；故选：C ．9．（2018春•浦东新区期中）下列方程中，是关于x 的一元二次方程的是( )A ．519x =B ．41x x +=C ．559x a =D ．2230x a -=【分析】根据一元二次方程的定义求解，未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．【解析】A 、是关于x 的分式方程，错误；B 、是关于x 的一元四次方程，错误；C 、是关于x 的一元一次方程，错误；D 、是关于x 的一元二次方程，正确；故选：D ．10．（2015春•宝山区期末）方程5320x +=的实数解为( )A ．2B ．2-C ．2±D ．根本无实数解【分析】由5(2)32-=-可得2x =-，即可得出答案．【解析】5320x +=Q ，532x \=-，解得：2x =-，故选：B ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2021春•杨浦区期末）方程组56x y xy -=ìí=-î的解是 121223,32x x y y ==ììíí=-=-îî ．【分析】解二元二次方程组，用代入消元转化成一元二次方程，解出方程即可．【解析】56x y xy -=ìí=-î①②由①得：5y x =-③，将③代入②：(5)6x x -=-，整理得：2560x x -+=，12x =，23x =．将上述x 代入③，得：13y =-，22y =-．\方程组的解：121223,32x x y y ==ììíí=-=-îî．故答案为：121223,32x x y y ==ììíí=-=-îî．12．（2021春•虹口区期末）方程4160x -=的实数根是 2x =或2x =- ．【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．【解析】由490x -=得22(4)(4)0x x +-=，240x \+=或240x -=，而240x +=无实数解，解240x -=得2x =或2x =-，故答案为：2x =或2x =-．13．（2021春•杨浦区期末）方程490x -=的根是 x=x =【分析】将左边因式分解，降次后化为两个一元二次方程即可解得答案．【解析】由490x -=得22(3)(3)0x x +-=，230x \+=或230x -=，而230x+=无实数解，解230x -=得x =或x =，故答案为：x =x =．14．（2021春•长宁区期末）方程42230x x +-=的实数根是 1x =或1x =- ．【分析】用换元法，设2y x =，将原方程转化为关于y 的一元二次方程，解得y ，即可求出原方程的实数根．【解析】设2y x =，则原方程变为：2230y y +-=，解2230y y +-=得13y =-，21y =，当13y =-时，23x =-，无实数根，当21y =时，21x =，解得11x =，21x =-，\方程42230x x +-=的实数根是1x =或1x =-．故答案为：1x =或1x =-．15．（2021春•虹口区校级期末）关于x 、y 的方程组22340x y m y x y -=ìí-++=î有实数解，则m 的取值范围是 158m … ．【分析】由①得出x m y =+③，把③代入②得出22()340y m y y -+++=，整理后得出2(42)0y y m ++-=，根据已知方程组有实数根和根的判别式得出2141(42)0m -´´-…，求出不等式的解集即可．【解析】22340x y m y x y -=ìí-++=î①②，由①，得x m y =+③，把③代入②，得22()340y m y y -+++=，整理得：2(42)0y y m ++-=，Q 关于x 、y 的方程组22340x y m y x y -=ìí-++=î有实数解，2141(42)0m \-´´-…，解得：158m …，故答案为：158m …．16．（2021春•浦东新区期末）若关于x 和y 的二元二次方程21x my +=有一个解是21x y =ìí=-î，则字母m 的值为 3 ．【分析】把方程的解代入方程，求出m 即可．【解析】把方程的解21x y =ìí=-î代入二元二次方程，得41m -=，3m \=．故答案为：3．17．（2021春•普陀区期中）在2、2-、0中，x = 2-或0 是方程42218x x x +=-的解．【分析】将2、2-、0依次代入方程左右两边，相等即是原方程的解．【解析】当2x =时，方程左边4222236=´+=，右边18236=-´=-，左边¹右边，故2x =不是原方程的解；当2x =-时，方程左边422(2)(2)36=´-+-=，右边18(2)36=-´-=，左边=右边，故2x =-是原方程的解；当0x =时，方程左边422000=´+=，右边1800=-´=，左边=右边，故0x =是原方程的解；2x \=-或0是原方程的解，故答案为：2-或0．18．（2021春•虹口区校级期末）方程组2232108710x x y y ì--=í+-=î的解为 111318x y ì=-ïïíï=ïî，22131x y ì=-ïíï=-î，33118x y =ìïí=ïî，4411x y =ìí=-î ．【分析】先求出方程组中每个一元二次方程的解，再得出原方程组的解即可．【解析】2232108710x x y y ì--=í+-=î①②，解方程①，得13x =-或1，解方程②，得18y =或1-，所以原方程组的解是111318x y ì=-ïïíï=ïî，22131x y ì=-ïíï=-î，33118x y =ìïí=ïî，4411x y =ìí=-î，故答案为：111318x y ì=-ïïíï=ïî，22131x y ì=-ïíï=-î，33118x y =ìïí=ïî，4411x y =ìí=-î．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2021春•浦东新区期末）解方程组：222521x y x xy y +=ìí-+=î．【分析】先把2221x xy y -+=，化成2()1x y -=，直接开平方得1x y -=或1x -=-，与原方程组组成二元一次方程组251x y x y +=ìí-=î或251x y x y +=ìí-=-î，求解二元一次方程组即可得出答案．【解析】二元二次方程组22525()11x y x y x y x y +=+=ììÞíí-=-=îî或251x y x y +=ìí-=-î，\原方程组的解为117343x y ì=ïïíï=ïî，2212x y =ìí=î．20．（2021春•松江区期末）解方程组：22725x y x y +=ìí+=î①②．【分析】由①得7y x =-，将7y x =-代入②转化为一元二次方程．用一元二次方程的知识，解出方程的根即可．【解析】22725x y x y +=ìí+=î①②，由①得：7y x =-③，将③代入②得：2(7)225x x +-=，整理得：27120x x -+=，解得：13x =，24x =将上述x 代入①得：14y =，23y =，\该方程组的解为1134x y =ìí=î，2243x y =ìí=î．21．（2021春•宝山区期末）解方程组：222160x xy y í-+-=î．【分析】将32x y =+代入，消去x 可得y 的一元二次方程，解出y ，即可得到原方程组的解．【解析】22322160x y x xy y =+ìí-+-=î①②，把①代入②得：22(32)2(32)160y y y y +-+×+-=，整理得：2230y y +-=，解得：13y =-，21y =，当13y =-时，3(3)27x =´-+=-，当21y =时，3125x =´+=，\方程组的解为：1173x y =-ìí=-î，2251x y =ìí=î．22．（2021春•嘉定区期末）解方程组：222524y x x xy y +=ìí-+=î．【分析】由25y x +=变形为52x y =-，再代入可得y 的一元二次方程，解出y 的值，即可得原方程组的解．【解析】222524y x x xy y +=ìí-+=î①②，由①得：52x y =-③，把③代入②得：22(52)2(52)4y y y y ---×+=，整理得：231070y y -+=，解得：11y =，273y =，当11y =时，5213x =-´=，当273y =时，715233x =-´=，\原方程组的解为：1131x y =ìí=î，221373x y ì=ïïíï=ïî．23．（2021春•长宁区期末）解方程组：2260x xy y í+-=î②．【分析】由①得3y x =--③，把③代入②得关于x 的一元二次方程，可解得x 的值，即可求出原方程组的解．【解析】由①得：3y x =--③，把③代入②得：22(3)6(3)0x x x x +-----=，整理得：2213180x x ++=，解得192x =-，22x =-，当192x =-时，332y x =--=，当22x =-时，31y x =--=-，\原方程组的解为：119232x y ì=-ïïíï=ïî，2221x y =-ìí=-î．24．（2021秋•杨浦区校级期中）解关于x 的方程：3222(1)2()0x t x tx t t +--+-=．【分析】把t 看成主元，将方程整理为2232(21)20t x x t x x -++++=，然后对左边因式分解，即可解出方程．【解析】原方程可化为：2232(21)20t x x t x x -++++=，2(21)()0t x t x ---=，210t x \--=或20t x -=，当0t …时，解得1231,2t x x x -===当0t <时，解得12t x -=．。
上海市松江区2018-2019八年级上期中数学卷(含答案)
2018学年第一学期八年级期中考试数学试卷时间：90分钟 满分：100分 2018.11 题号一 二 三 四 得分 得分一、填空题（每题2分，共30分）1.如果12-a 有意义，那么a 的取值范围是 ．2.计算：2)2(-=． 3.计算：62⋅= ．4.若最简二次根式a +4与1-2a 是同类二次根式，则=a． 5.不等式x x 22-<的解集是______________．6.方程()()525-=-x x x 的根是 ．7.若方程()01312=+--x x n 是关于x 的一元二次方程，则n ．8.已知关于x 的方程()0122=+--x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是． 9.函数x x y -52-=的定义域是 ．10.已知函数xx x f 1)(-=，若2)(=x f ，则________=x ． 11.已知y 与x 成正比例，当8=x 时，12-=y ，则y 与x 的函数的解析式为 ．12. 在实数范围内分解因式：=--342x x ．13.某厂工业废气年排放量为450万立方米，为了改善上海市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到288万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同，每期减少的百分率是 ．14. 如果()()k k x k y 222-+-=是正比例函数，则k=．15. 已知a ，b 是实数，且()()11122=++++b b a a ，问a ，b 之间有怎样的关系： ．二、选择题（每题3分，共15分）16. 下列根式中，能与3合并的二次根式为………………………… （ ）A.24B.23 C.12 D. 18 17. 下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是…… （ ）A. 042=+xB. 01442=+-x xC. 032=++x xD. 01-22=+x x18. 下列各式中，一定成立的是………………………… （ ）A. ()b a b a +=+2B. ()11222+=+a aC. 1112-⋅+=-a a aD. ab bb a 1= 19. 下列说法正确的个数是………………………… （ ）①2+x 是x 的函数；②等腰三角形的面积一定，它的底边和底边上的高成正比例；③在函数x y 2-=中，y 随x 的增大而增大；④已知0<ab ，则直线x ba y -=经过第二、四象限. A. 1个 B.2个 C.3个 D. 4个20. 等腰ABC ∆的一边长为4，另外两边的长是关于x 的方程0012=+-m x x 的两个实数根，则等腰三角形底边的值是………………………… （ ）A.4B.25C.4或6D. 24或25三、简答题（每题5分，共20分）21. 计算：233-3135.012+-+ 22. 计算:()0312323>÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅a a b b a ab b23. 用配方法解方程02532=--x x 24. 解方程：()()33-2)23(2+=-x x x四、解答题（第25、26题每题6分，第27、28题每题7分，第29题9分，共35分） 25. 先化简，再求值：已知2231+=x ,求()2441-122--++-x x x x x 的值26. 已知y 与1-x 成正比例，且当3=x 时，4=y .(1)求y 与x 之间的函数解析式；(2)当1-=x 时，求y 的值；(3)当53-<<y 时，求x 的取值范围.27. 已知直线kx y =过点()12，-， A 是直线kx y =图像上的点，若过A 向x 轴作垂线，垂足为B ，且90=∆AB S ，求点A 的坐标.28. 某商店购进一种商品，进价30元。
2018-2019学年度八年级上数学期末试卷(解析版)
2018-2019学年联考八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共14个小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）近似数0.13是精确到（）A．十分位B．百分位C．千分位D．百位2．（3分）下列四张扑克牌中，左旋转180°后还是和原来一样的是（）A．B．C．D．3．（3分）是2的（）A．倒数B．平方根C．立方根D．算术平方根4．（3分）在3×3的方格中涂有阴影图形，下列阴影图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝2B．a＝1C．a＝0D．a＝﹣16．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角7．（3分）在代数式和中，x均可以取的值为（）A．9B．3C．0D．﹣28．（3分）如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值不变，则W 中可以是（）A．1B．C．ab D．a29．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．10．（3分）若（b为整数），则a的值可以是（）A．B．27C．24D．2011．（3分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE ＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）A．3B．5C．6D．712．（3分）已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②13．（3分）已知x＝，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A．0B．C．D．2﹣14．（3分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A．10B．C．10或D．10或二、填空题（本大题有3个小题，每小题4分，共20分.把答案写在题中横线上）15．（4分）＝．16．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝2∠A，AC的垂直平分线交AB于点E，D 为垂足，连接EC，则∠ECD＝．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝6，则BC的长为．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．如图，以O为圆心，以OB为半径画弧交数轴于A点；（1）说出数轴上点A所表示的数；（2）比较点A所表示的数与﹣2.5的大小．19．（1）发现．①；②；③；…………写出④；⑤；（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；（3）证明这个猜想．20．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，E为AB的中点，连接DE，若DE＝5，AC＝16，求DB的长．21．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG ⊥AC，垂足分别为F、G，则BF＝CG吗？说明理由．22．已知代数式（﹣1）÷，则：（1）当x＝﹣3时，求这个代数式的值；（2）这个代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．23．某超市为了促销，将本来售完后可得1800元的奶糖和900元的水果糖混合后配成杂拌糖出售．这种糖每千克比奶糖便宜4元，比水果糖贵6元．已知这两种糖混合前后质量相同，求杂拌糖的单价．24．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC上一动点，连接AD，过点A 作AE⊥AD，并且始终保持AE＝AD，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AF平分∠DA E交BC于F，探究线段BD，DF，FC之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD＝3，CF＝4，求AD的长．2018-2019学年河北省石家庄市八校联考八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共14个小题，每小题3分，共42分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）近似数0.13是精确到（）A．十分位B．百分位C．千分位D．百位【分析】确定近似数精确到哪一位，就是看这个数的最后一位是什么位即可．【解答】解：近似数0.13是精确到百分位，故选：B．【点评】此题考查了近似数，用到的知识点是精确度，一个数最后一位所在的位置就是这个数的精确度．2．（3分）下列四张扑克牌中，左旋转180°后还是和原来一样的是（）A．B．C．D．【分析】左旋转180°后还是和原来一样的图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义解答即可．【解答】解：左旋转180°后还是和原来一样的是只有C．故选：C．【点评】本题主要考查了中心对称图形的定义，是需要熟记的内容．3．（3分）是2的（）A．倒数B．平方根C．立方根D．算术平方根【分析】根据算术平方根与平方根的定义即可求出答案．【解答】解：是2的算术平方根，故选：D．【点评】本题考查平方根，解题的关键是熟练运用平方根的定义，本题属于基础题型．4．（3分）在3×3的方格中涂有阴影图形，下列阴影图形不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】直接利用轴对称图形的定义判断得出即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，不合题意；C、是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，符合题意；故选：D．【点评】此题主要考查了轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．5．（3分）下列选项中，可以用来证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例是（）A．a＝2B．a＝1C．a＝0D．a＝﹣1【分析】所选取的a的值符合题设，则不满足结论即作为反例．【解答】解：当a＝﹣1时，满足|a﹣1|＞1，但满足a＞2，所以a＝﹣1可作为证明命题“若|a﹣1|＞1，则a＞2”是假命题的反例．故选：D．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．6．（3分）如图是作△ABC的作图痕迹，则此作图的已知条件是（）A．已知两边及夹角B．已知三边C．已知两角及夹边D．已知两边及一边对角【分析】观察图象可知已知线段AB，α，β，由此即可判断．【解答】解：观察图象可知：已知线段AB，∠CAB＝α，∠CBA＝β，故选：C．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是理解题意，属于中考常考题型．7．（3分）在代数式和中，x均可以取的值为（）A．9B．3C．0D．﹣2【分析】根据分式的分母不等于0且二次根式的被开方数是非负数得出x的范围，据此可得答案．【解答】解：由题意知，x﹣3≠0且x﹣3≥0，解得：x＞3，故选：A．【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握分式的分母不等于0且二次根式的被开方数是非负数．8．（3分）如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值不变，则W 中可以是（）A．1B．C．ab D．a2【分析】直接利用分式的基本性质分别代入判断得出答案．【解答】解：如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值不变，则W中可以是：b．故选：B．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题关键．9．（3分）我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．【解答】解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．10．（3分）若（b为整数），则a的值可以是（）A．B．27C．24D．20【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【解答】解：+＝3+＝b当a＝20时，∴＝2，∴b＝5，符合题意，故选：D．【点评】本题考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．11．（3分）如图，AB⊥CD，且AB＝CD，E，F是AD上两点，CE⊥AD，BF⊥AD．若CE ＝4，BF＝3，EF＝2，则AD的长为（）A．3B．5C．6D．7【分析】只要证明△ABF≌△CDE，可得AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，推出AD＝AF+DF ＝4+（3﹣2）＝5；【解答】解：∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，∴∠AFB＝∠CED＝90°，∠A+∠D＝90°，∠C+∠D＝90°，∴∠A＝∠C，∵AB＝CD，∴△ABF≌△CDE（AAS），∴AF＝CE＝4，BF＝DE＝3，∵EF＝2，∴AD＝AF+DF＝4+（3﹣2）＝5，故选：B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．12．（3分）已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出可运用反证法证明这个命题的四个步骤：①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾②因此假设不成立．∴∠B＜90°③假设在△ABC中，∠B≥90°④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．这四个步骤正确的顺序应是（）A．③④①②B．③④②①C．①②③④D．④③①②【分析】通过反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；理顺证明过程即可．【解答】解：由反证法的证明步骤：①假设；②合情推理；③导出矛盾；④结论；所以题目中“已知：△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°”．用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：应该为：假设∠B≥90°；那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°所以∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，；所以因此假设不成立．∴∠B＜90°；原题正确顺序为：③④①②．故选：A．【点评】本题考查反证法证明步骤，考查基本知识的应用，逻辑推理能力．13．（3分）已知x＝，则代数式（7+4）x2+（2+）x+的值是（）A．0B．C．D．2﹣【分析】将x的值代入原式，再利用完全平方公式和平方差公式计算可得．【解答】解：当x＝时，原式＝（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣）+＝（7+4）（7﹣4）+4﹣3+＝49﹣48+1+＝2+，故选：C．【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式、平方差公式及二次根式的运算法则．14．（3分）在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点，分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形，剩下的部分是如图所示的直角梯形，其中三边长分别为2、4、3，则原直角三角形纸片的斜边长是（）A．10B．C．10或D．10或【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后即可求出斜边的长．【解答】解：①如图：因为CD＝＝2，点D是斜边AB的中点，所以AB＝2CD＝4，②如图：因为CE＝＝5，点E是斜边AB的中点，所以AB＝2CE＝10，原直角三角形纸片的斜边长是10或，故选：C．【点评】此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．二、填空题（本大题有3个小题，每小题4分，共20分.把答案写在题中横线上）15．（4分）＝﹣．【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵﹣的立方为﹣，∴﹣的立方根为﹣，故答案为﹣．【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．16．（4分）如图，在△ABC中，∠B＝∠ACB＝2∠A，AC的垂直平分线交AB于点E，D 为垂足，连接EC，则∠ECD＝36°．【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EC，根据等腰三角形的性质解答．【解答】解：设∠A＝x，则∠B＝∠ACB＝2x，则x+2x+2x＝180°，解得，x＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∵DE是AC的垂直平分线，∴EA＝EC，∴∠ECD＝∠A＝36°，故答案为：36°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．17．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，以点C为圆心，CB长为半径作弧，交AB于点D；再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点E，作射线CE交AB于点F，若AF＝6，则BC的长为4．【分析】连接CD，根据在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC为x，可知AB＝2BC＝2x，再由作法可知BC＝CD＝x，CE是线段BD的垂直平分线，故CD是斜边AB 的中线，据此可得出BD＝x，进而可得出结论．【解答】解：连接CD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，设BC＝x，∴AB＝2BC＝2x．∵作法可知BC＝CD＝x，CE是线段BD的垂直平分线，∴CD是斜边AB的中线，∴BD＝AD＝x，∴BF＝DF＝x，∴AF＝AD+DF＝x+x＝6．解得：x＝4．故答案为：4【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知线段垂直平分线的作法和直角三角形的性质是解答此题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18．如图，以O为圆心，以OB为半径画弧交数轴于A点；（1）说出数轴上点A所表示的数；（2）比较点A所表示的数与﹣2.5的大小．【分析】（1）根据勾股定理求出OB的长度，再根据圆的半径定义得到OA，求出A；（2）根据A所代表的数，直接比较与﹣2.5的大小；【解答】解：（1）OB＝，∵OB＝OA＝∴A所代表的数字为﹣\sqrt{5}$；（2）A点表示的数为﹣$\sqrt{5}$≈﹣2.235∴A点表示的数大于﹣2.5【点评】本题运用了勾股定理、数轴上负数大小比较的方法；19．（1）发现．①；②；③；…………写出④；⑤；（2）归纳与猜想．如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律；（3）证明这个猜想．【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例4；（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题．【解答】解：（1）由例子可得，④为：，⑤，故答案为，，（2）如果n为正整数，用含n的式子表示这个运算规律：，故答案为：，（3）证明：∵n是正整数，∴．即．故答案为：∵n是正整数，∴．即．【点评】本题考查二次根式的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．20．如图，在△ABC中，AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，E为AB的中点，连接DE，若DE＝5，AC＝16，求DB的长．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD＝8，AD⊥AC，根据直角三角形的性质求出AB，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB＝BC，BD是∠ABC的平分线，∴AD＝DC＝AC＝8，AD⊥AC，∴∠ADB＝90°，又E为AB的中点，∴AB＝2DE＝10，由勾股定理得，BD＝＝6．【点评】本题考查的是角平分线的定义、等腰三角形的性质、直角三角形的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．21．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG ⊥AC，垂足分别为F、G，则BF＝CG吗？说明理由．【分析】先根据点E在BC的垂直平分线上可求出BE＝CE，再根据点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC可求出EF＝EG，再由HL定理可求出Rt△EFB≌Rt△EGC，由全等三角形的性质即可得出结论．【解答】解：BF＝CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE＝CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF＝EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE＝CE，EF＝EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF＝CG．【点评】本题涉及到角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、直角三角形全等的判定定理及全等三角形的性质，涉及面较广，难度适中．22．已知代数式（﹣1）÷，则：（1）当x＝﹣3时，求这个代数式的值；（2）这个代数式的值能等于﹣1吗？请说明理由．【分析】（1）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得；（2）假设分式的值等于﹣1，根据化简结果列出关于x的方程，解方程求出x的值，依据分式有意义的条件作出判断．【解答】解：（1）原式＝（﹣）÷＝•＝，当x＝﹣3时，原式＝＝﹣2；（2）若原式的值为﹣1，则＝﹣1，解得：x＝﹣1，而当x ＝﹣1时，原式分母为0，无意义；所以原式的值不能等于﹣1．【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．23．某超市为了促销，将本来售完后可得1800元的奶糖和900元的水果糖混合后配成杂拌糖出售．这种糖每千克比奶糖便宜4元，比水果糖贵6元．已知这两种糖混合前后质量相同，求杂拌糖的单价．【分析】设杂拌糖的单价为x 元，则奶糖的单价为（x +4）元，水果糖的单价为（x ﹣6）元，根据这两种糖混合前后质量相同列出方程，解方程即可．【解答】解：设杂拌糖的单价为x 元，则奶糖的单价为（x +4）元，水果糖的单价为（x ﹣6）元，根据题意得+＝，解得：x ＝36．经检验，x ＝36是原方程的解．答：杂拌糖的单价为36元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．24．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 是BC 上一动点，连接AD ，过点A 作AE ⊥AD ，并且始终保持AE ＝AD ，连接CE ．（1）求证：△ABD ≌△ACE ；（2）若AF 平分∠DAE 交BC 于F ，探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若BD ＝3，CF ＝4，求AD 的长．【分析】（1）根据SAS ，只要证明∠1＝∠2即可解决问题；（2）结论：BD 2+FC 2＝DF 2．连接FE ，想办法证明∠ECF ＝90°，EF ＝DF ，利用勾股定理即可解决问题；（3）过点A 作AG ⊥BC 于G ，在Rt △ADG 中，想办法求出AG 、DG 即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AE ⊥AD ，∴∠DAE＝∠DAC+∠2＝90°，又∵∠BAC＝∠DAC+∠1＝90°，∴∠1＝∠2，在△ABD和△ACE中，∴△ABD≌△ACE．（2）解：结论：BD2+FC2＝DF2．理由如下：连接FE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠3＝45°由（1）知△ABD≌△ACE∴∠4＝∠B＝45°，BD＝CE∴∠ECF＝∠3+∠4＝90°，∴CE2+CF2＝EF2，∴BD2+FC2＝EF2，∵AF平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，在△DAF和△EAF中，∴△DAF≌△EAF∴DF＝EF∴BD2+FC2＝DF2．（3）解：过点A作AG⊥BC于G，由（2）知DF2＝BD2+FC2＝32+42＝25∴DF＝5，∴BC＝BD+DF+FC＝3+5+4＝12，∵AB＝AC，AG⊥BC，∴BG＝AG＝BC＝6，∴DG＝BG﹣BD＝6﹣3＝3，∴在Rt△ADG中，AD＝＝＝3．【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
2018-2019学年上海市浦东新区八年级(上)期末数学试卷
2018-2019学年上海市浦东新区八年级（上）期末数学试卷一、单项选择题（本大题共有6小题，每题2分，共12分）1．（2分）下列计算正确的是（）A．B．C．D．2．（2分）下列方程配方正确的是（）A．x2﹣2x﹣1＝（x+1）2﹣1B．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣4C．x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3D．x2﹣2x﹣2＝（x﹣1）2+13．（2分）下列关于x的二次三项式中（m表示实数），在实数范围内一定能分解因式的是（）A．x2﹣2x+2B．2x2﹣mx+1C．x2﹣2x+m D．x2﹣mx﹣1 4．（2分）下列命题的逆命题是真命题的是（）A．对顶角相等B．等角对等边C．同角的余角相等D．全等三角形对应角相等5．（2分）已知点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣2，y3）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，则（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y2＞y1C．y2＞y3＞y1D．y1＞y3＞y2 6．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，点O是∠CAB、∠ACB平分线的交点，且BC ＝4cm，AC＝5cm，则点O到边AB的距离为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm二、填空题（本大题共有12小题，每题3分，共36分）7．（3分）计算：＝．8．（3分）方程x2+2x＝0的根是．9．（3分）已知函数f（x）＝，则f（2）＝．10．（3分）函数y＝的定义域是．11．（3分）关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是．12．（3分）正比例函数y＝kx（k≠0）经过点（2，1），那么y随着x的增大而．（填“增大”或“减小”）13．（3分）平面内到点O的距离等于3厘米的点的轨迹是．14．（3分）已知直角坐标平面内两点A（﹣3，1）和B（3，﹣1），则A、B两点间的距离等于．15．（3分）如果直角三角形的面积是16，斜边上的高是2，那么斜边上的中线长是．16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥AC交BC于点D，AD＝4，则BC＝．17．（3分）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝．18．（3分）如图，已知两个反比例函数C1：y＝和C2：y＝在第一象限内的图象，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形P AOB的面积为．三、解答题（本大题共8小题，第19至22题每题5分，第23、24题每题6分，第25题8分，第26题12分，共52分19．（5分）计算：20．（5分）解方程：2x（x﹣3）+3（x﹣3）＝021．（5分）已知y与2x﹣3成正比例，且当x＝4时，y＝10，求y与x的函数解析式．22．（5分）已知：如图，AB＝12cm，AD＝13cm，CD＝4cm，BC＝3cm，∠C＝90°．求△ABD的面积．23．（6分）为了响应“低碳环保，绿色出行”的公益活动，小燕和妈妈决定周日骑自行车去图书馆借书．她们同时从家出发，小燕先以150米/分的速度骑行一段时间，休息了5分钟，再以m米/分钟的速度到达图书馆，而妈妈始终以120米/分钟的速度骑行，两人行驶的路程y（米）与时间x（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：（1）图书馆到小燕家的距离是米；（2）a＝，b＝，m＝；（3）妈妈行驶的路程y（米）关于时间x（分钟）的函数解析式是；定义域是．24．（6分）已知：如图，∠F＝90°，AE⊥OC于点E，点A在∠FOC的角平分线上，且点A到点B、点C的距离相等．求证：BF＝EC．25．（10分）已知：如图，在△BCD中，CE⊥BD于点E，点A是边CD的中点，EF垂直平分线AB（1）求证：BE＝CD；（2）当AB＝BC，∠ABD＝25°时，求∠ACB的度数．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，简述你的理由．。
专题01二次根式的概念与性质重难点专练
专题01二次根式的概念与性质重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________n一、单选题1．（2021·上海）下列方程中，有实数根的是（ ）A ．210x +=B ．210x -=C 1=-D ．101x =-【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义进行判断即可．【详解】根据一元二次方程根的判别式24b ac ∆=- 计算：A ：21040x +=Þ∆=-<，方程无实根，错误；B ：21040x -=Þ∆=>，方程有两个不等实根，正确；C 10=-<,二次根式无意义，方程无解，错误；D ：101x =-，分式方程需满足分母不为0，此方程无解，错误． 故答案选：B 【点睛】本题一元二次方程根的判别式、二次根式有意义的条件以及分数方程的定义，掌握相关的定义与计算是解题关键．2．（2020·上海松江区·）下列方程中，有实数根的方程是（ ）A 0=B 10=C 2=D 1=．【答案】C 【分析】k =的形式，再根据二次根式成立的条件逐个进行判断即可．【详解】解：A 、x 2+4=0，B 、10+=，1-，∵算术平方根是非负数，∴此时方程无解，故本选项错误；C 、2=，∴x+1=4，∴x=3，故本选项正确；D 、1=，∴x-3≥0且3-x≥0，解得：x=3，代入得：0+0=1，此时不成立，故本选项错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次根式的意义，能根据二次根式成立的条件进行判断是解此题的关键．3．（2020·上海七年级期末）下列等式正确的是（ ）A 7=-B 3=C ．5=D ．=【答案】B 【分析】根据二次根式的性质求出每个式子的值，再得出选项即可．【详解】解：AB 3=，故本选项符合题意；C 、5=-，故本选项不符合题意；D 、=-，故本选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．4．（2019·上海市建平香梅中学）把根号外的因式移入根号内的结果是（ ）A B ．C D ．【答案】B 【分析】本题需注意的是a 的符号，根据被开方数不为负数可得出0a <，因此需先将a 的负号提出，然后再将a 移入根号内进行计算．【详解】解：0a <Q\==．故选B ．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．需注意二次根式的双重非负性，0a ³³．5．（2018·上海七年级期末）下列运算一定正确的是( )A a=B =C ．222()a b a b ×=×D ()0na m=³【答案】C 【分析】直接利用二次根式的性质与化简以及积的乘方运算法则分别计算即可得出答案．【详解】A a |，故此选项错误；B 成立，则a ，b 均为非负数，故此选项错误；C ．a 2•b 2=（a •b ）2，正确；D =mn a （a ≥0），故此选项错误．故选C ．【点睛】题的关键．6．（【新东方】初中数学979【2020年】【初二下】）下列各式中，一定是二次根式的个数为（）12a aö<÷ø…A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】A【分析】根据二次根式的定义即可作出判断．【详解】一定是二次根式；当m＜0不是二次根式；对于任意的数x，x2+1＞0一定是二次根式；﹣m2﹣1＜0(0)a…是二次根式；当a＜12时，2a+1可能小于0不一定是二次根式．0)a…，共3个，故选：A．【点睛】主要考查了二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．7．（2020·上海市格致初级中学八年级期中）下列计算正确的是（ ）A2=B1=C2=D+=【答案】D根据二次根式加法以及二次根式的性质逐项排查即可．【详解】解：A 不是同类二次根式，不能相加，故A 选项错误；B +=+B 选项错误；C ＝22＝1，故C 选项错误；D +=，故D 选项正确．故答案为D ．【点睛】本题主要考查了二次根式加法以及二次根式的性质，掌握二次根式的加法运算法则是解答本题的关键．8．（2021·21a =-，那么（ ）A ．12a <B ．12a £C ．12a >D ．12a ³【答案】D 【分析】根据二次根式的非负性，构造不等式求解即可.【详解】是二次根式，≥0，∴21a -≥0，解得 12a ³，故选D.【点睛】本题考查了二次根式的非负性，熟练将二次根式的非负性转化成对应的不等式是解题的关键.9．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）当01a <<时，1a-=A ．aB ．a-C ．2a a-D ．2a a-【答案】B 【分析】先确定1a a-是正是负，再根据二次根式的性质进行化简即可．【详解】解：211a a a a--=，当01a <<时，210a -<，而0a >，所以10a a-<．原式＝1111a a a a a a a--=--=-，故答案选择B ．【点睛】本题考查了二次根式的性质和分式的运算，解题关键是判断1a a-的正负，再根据二次根式和绝对值的性质熟练进行化简．10．（2021·上海徐汇区·九年级二模）如果m 是任意实数，那么下列代数式中一定有意义的是（ ）A B C ．11m +D 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义，二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义，分母不为零,进行分析即可．【详解】解：A 、当m ＜0无意义，故此选项不符合题意；B 、当m ＜﹣1无意义，故此选项不符合题意；C 、当m ＝﹣1时，11m +无意义，故此选项不符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，熟练掌握二式有意义的基本条件是解题的关键．二、填空题11．（2020·上海市川沙中学南校）函数的定义域____．【答案】0x >．【分析】由根式的被开方数大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值即可．【详解】根据题意得，00x x ³ìí¹î解得，0x > 故答案为：0x >.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，是基础题．12．（2019·上海浦东新区民办协和双语学校八年级月考）已知a ，b ，c 为三角形三边，++．【答案】a b c ++【分析】根据三角形的三边关系定理、二次根式的性质计算即可．【详解】由三角形的三边关系定理得：,,a b c a c b b c a+>+>+>0,0,0a b c b a c b c a \+->--<+->++a b c a c b b c a =+-++-++-故答案为：a b c++．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理、二次根式的运算，掌握理解三角形的三边关系定理是解题关键．13．（2020·上海浦东新区·x=的根是___________．【答案】x=1【分析】先根据二次根式的性质两边同时平方，得到一个一元二次方程，解出x的值，再根据原方程中x的取值范围进行取舍即可得出结果．【详解】解：x=，∴3-2x≥0且x≥0，解得0≤x≤32．原方程两边同时平方，整理得，x2+2x-3=0，∴(x-1)(x+3)=0，∴x1=1，x2=-3．又0≤x≤32，∴x=1．故答案为：x=1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质以及解一元二次方程，掌握基本概念和解法是解题的关键．14．（2020·＝_____．【答案】【分析】进行计算即可．【详解】＝，故答案为：【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是掌握二次根式的性质．【答案】4x =【分析】先将原方程两边同时平方可得到关于x 的一元二次方程，解得x ，再结合原方程中二次根式的双重非负性得出x 的取值范围，从而可得出结果．【详解】解：原方程变形为：3x+4=x 2即x 2−3x−4=0，∴(x+1)(x-4)=0，∴x=-1或x=4，又由题意可得3400x x +³ìí³î，解得x≥0，∴x=−1时不满足题意，∴x=4．故答案为：x=4．【点睛】此题考查了解无理方程，涉及的知识点有二次根式的性质，一元二次方程的解法以及不等式组的解法，解题的关键在于掌握基本性质和运算法则．16．（2019·有意义，则x 的取值范围为__________．【答案】2x ³-且1x ¹【分析】直接利用二次根式有意义、分式有意义的条件分析得出答案．【详解】解：有意义，∴x+2≥0且x-1≠0，解得：x≥-2且x≠1．故答案为：2x ³-且1x ¹．本题考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题的关键．17．（2020·青浦区实验中学八年级期中）已知函数()f x =，则(2)f =___________．【答案】【分析】把2代入函数化简即可．【详解】()f x =2f =+（）==，故答案为：【点睛】本题考查了函数的代入求值以及利用二次根式的性质化简．注意本题需把结果化为最简二次根式．18．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若0,a <且(21,a +-则a =_________．【答案】1【分析】(0)(0)a a a a a ³ì==í-<î化简，再解关于a 的方程即可．【详解】∵0a <，a +∴)1a a +-，221-．∵0a <，∴=1a ．故答案为：1-【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．19．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如果(b a =-，则a 、b 应满足________________．【答案】0b ³且b a³【分析】化简为a -的形式，然后根据二次根式有意义的条件和二(0)a a a ==-£即可得出答案．【详解】解：(a b a ==-=-，∴a 、b 应满足0b ³且0b a -³，即0b ³且b a ³．故答案为：0b ³且b a ³．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、根据二次根式的性质化简，属于基本题型，掌握解答的方法是关键．20．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）化简-=__________；(1a -=__________．【答案】(1a -+【分析】根据二次根式的意义，先判断a 的取值范围，再去化简．【详解】-中的0a ＜，a=-=-，根据二次根式的意义，可知(1a-中的1a<，((((111a a a a-=-=-=-故答案是：(1a-+；【点睛】本题考查二次根式的化简，需要注意的是化简的时候一定要考虑a的取值范围，然后利用二次根式的性质去化简．21．（2019·上海市西南模范中学八年级月考）函数y=的自变量x的取值范围是______.【答案】x≥0且x≠1．【分析】根据分母不等于0，二次根式的被开方数为非负数列式计算即可得解．【详解】根据题意得，x≥0且1-x≠0，解得x≥0且x≠1．故答案为x≥0且x≠1．【点睛】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数为非负数. 22．（2019·上海浦东新区·1x=-，则x的取值范围是__________．【答案】1x£【分析】等式左边为算术平方根，结果为非负数，即1-x≥0．【详解】解：由于二次根式的结果为非负数可知，1-x≥0，解得x≤1，故答案为：1x£．【点睛】本题利用了二次根式的结果为非负数求x的取值范围．23．（2020·能够合并，则mn= _________．【答案】10【分析】根据两个二次根式可以合并可知被开方数相同，从而得到方程求解即可．【详解】能够合并，∴n=2，255m-=，∴5m=．∴5210mn=´=故答案为：10．【点睛】本题考查了同类二次根式，明确同类二次根式的概念是解题的关键．24．（2021·=_____．【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可．【详解】．【点睛】本题主要考查二次根式的化简以及同类二次根式的合并，掌握二次根式的化简以及同类二次根式的合并方法是解题关键．25．（2019·上海市市西初级中学八年级期末）如果2y=+-，那么y x= _______________________．【答案】1 9【分析】根据二次根式的有意义的条件可求出x ，进而可得y 的值，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．【详解】解：∵x －3≥0，3－x ≥0，∴x =3，∴y =﹣2，∴2139y x -==．故答案为：19．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和负整数指数幂的运算，属于常考题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．26．（2020·上海八年级期中）已知4b ==__________．【答案】【分析】根据二次根式有意义的条件求出a 的值，再求出b 的值即可．【详解】由题意可得：3030a a -³ìí-³î，解得：a =3，\b =4，\=．故答案为：【点睛】本题主要考查不等式组的求解以及二次根式有意义的条件，熟记二次根式有意义的条件是解题关键．27．（2020·0)y ³=_______．【答案】【分析】先根据二次根式的定义可得0x ³，再根据二次根式的化简方法即可得．【详解】由二次根式的定义得：320x y ³，解得0x ³，=故答案为：．【点睛】本题考查了二次根式的定义和化简，根据二次根式的定义判断出0x ³是解题关键．28．（2020·上海上外浦东附中八年级期中）当0x >= _________________．【答案】94【分析】先根据二次根式的定义和除法的性质可得0y >，再根据二次根式的性质化简，然后计算二次根式的除法即可得．【详解】由二次根式的定义得：2500x y y xì³ïí³ïî，0x Q >，0y \³，又Q 除法运算的除数不能为0，0y \¹，0y \>，35xy ==，=，49=，故答案为：94．【点睛】本题考查了二次根式的定义与除法运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．29．（2020·x 的取值范围是___________．【答案】12x >【分析】根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件可得2x-1＞0，进而求出x 的取值范围即可．【详解】解：由题意可得：2x-1＞0，∴12x >．故答案为12x >．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键在于掌握二次根式中的被开方数是非负数．30．（2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4【分析】根据同类二次根式的概念列式计算，得到答案．【详解】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，把各二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，这样的二次根式称为同类二次根式．31．（2020·上海第二工业大学附属龚路中学八年级期中）把(2-x的根号外因式移到根号内得____________．【答案】【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可．【详解】解：Q12x>-，20x\->；(2-x(x=--===故答案为：【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键．32．（2021·＝_____．【答案】1-．【分析】直接根据二次的性质进行化简即可．【详解】1，＝|1|(11=--=-1．【点睛】()(0)0(0)a a a a a a >=-<î是解答此题的关键．33．（2020·)0a >=______．【答案】．【分析】先确定b 的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【详解】解：∵a ﹥0，3-ab ﹥0，∴b ﹤0，)0a >=．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质与化简，解题的关键是确定b 的取值范围及理解被开平方数具有非负性．34．（2021·上海长宁区·八年级期末）已知3y x =-+，当x 分别取1,2,3,,2020¼时，所对应的y 值的总和是_________．【答案】2022【分析】将原式化简为23y x x =--+，然后根据x 的不同取值，求出y 的值，最后把所有的y 值加起来即可．【详解】解：3323y x x x x =+=+=--+，当2x ³时，231y x x =--+=，当2x <时，2352y x x x =--+=-，当1x =时，523y =-=，∴当x 分别取1,2,3,,2020¼时，所有y 值的总和是：312019320192022+´=+=．故答案是：2022．【点睛】本题考查二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的性质进行化简．35．（2020·)0b >=________．【答案】5【分析】根据二次根式的性质化简．【详解】=5，故答案为：5．【点睛】此题考查二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．36．（2020·)0x y ×>=_________．【答案】．【分析】直接根据二次根式的性质即可得出结论．【详解】解：∵0x y ×>，则有：0,0x y >>或0,0x y <<当0,0x y >>==；当0,0x y <<==．【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟知二次根式的化简法则是解答此题的关键．37．（2019·上海民办桃李园实验学校八年级月考）已知0a >可化简为_______________【答案】【分析】由0a >，40a b -³可得b ＜0，再化简即可得到答案．【详解】解：Q 0a >，40a b-³,\ 0b <\ ==故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握利用二次根式的性质化简二次根式是解题的关键．38．（2021·上海市川沙中学南校七年级期中） 4.22=42.2=，则y x 的值是______．【答案】100【分析】，即可得到y x 的值．【详解】4.22=42.2=42.2104.22===∴y x =2100=故答案为：100．【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知其运算法则．39．（2021·上海闵行区·=x 的解是________．【答案】1x =【分析】根据一元二次方程和二次根式的性质求解即可；【详解】=x ，∴221x x -=，∴()210x -=，∴121x x ==，∵210x -³，∴12x ³，∴1x =；故答案是1x =．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解和二次根式的性质，准确计算是解题的关键．40．（2019·上海市民办嘉一联合中学八年级月考）化简：23a b = ___________【答案】-行二次根式的化简即可．【详解】解：要使该二次根式有意义，则有109ab->22033ab a ba b \\===-＜故答案为：-．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，以及二次根式的化简，牢记分母有理化的方法与规则是解题的关键，本题中被开方数分子分母同乘以ab 后，分母开出来容易出现符号错误，建议可以先套上绝对值符号再进行化简．三、解答题41．（2019·上海市同洲模范学校七年级期中）先阅读下列的解答过程，然再解答：a 、b ，使,,a b m ab n +==使得22+m ==那么便有：)a b ==>，这里7,12m n ==，由于4+3=7，4×3=12即22+7====（1=______=_______．（2【答案】（11，3+；（22-.【分析】（1）（2的形式，再根据范例分别求出各题中的a 、b ，即可求解．1-；1；3+；（2=2-.【点睛】本题主要考查二次根式根号内含有根号的式子的化简．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．42．（2021·3 0122-æö+ç÷èø【答案】6【分析】根据二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂进行计算，即可得到答案.【详解】3122-æö-+ç÷èø3312=--+2318=--+6=．【点睛】本题考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.43．（2020·)3xy>【答案】【分析】解：原式=xy>，因为3所以原式【点睛】本题考查了二次根式的化简，属于常考题型，熟练掌握二次根式的性质和化简的方法是关键．44．（2020·x，求x的值．【答案】4015【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得出x的取值范围，根据绝对值的性质可去掉绝对值，进而解方程即可得答案．【详解】∴x-2008≥0，解得：x≥2008，-＜0，x==，x x，两边同时平方得：x-2008=2007，解得：x=4015．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数的性质得出x的取值范围是解题关键．45．（2020·根据二次根式的性质先化简二次根式，再约分化简即可．【详解】解：原式25c ==【点睛】本题主要考查了二次根式的化简和分式的乘法，属于常见题型，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．46．（2020·【答案】1-【分析】先进行二次根式的乘法运算，再去绝对值以及化简二次根式，最后合并同类二次根式即可．【详解】1+-1+-=1-=1-．【点睛】本题主要考查二次根式的加减、乘法混合运算以及二次根式的化简，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键．47．（2020·上海上外浦东附中八年级期中）化简62+- (其中x<0)【答案】-【分析】解：由题意知，00，x y <<62+-=2623y x ´+-=2623y x ´-+=-+=-【点睛】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解答此题的关键．48．（2021·0111()2p ---+．【答案】【分析】根据二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质计算，即可得到答案．【详解】0111()2p ---+=112+-+=．【点睛】本题考查了二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的知识，解题的关键是熟练掌握二次根式、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质，然后根据实数的运算法则计算，即可完成求解．49．（2019·上海市北海中学七年级月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a b m +=，72a b -=，使得22m +==，那么便有：)a b ==>即227+=，=2===+（1=；（2【答案】（11，2+（2）4【分析】（1）（2|a | 的形式化简后即可得出结论．【详解】解：（1=1-；专题02二次根式的乘除重难点专练（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2021·上海九年级二模）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可【详解】解：A，不是最简二次根式；B不能化简，符合题意；C，能化简，不符合题意；D，能化简，不符合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了最简二次根式，正确掌握相关定义是解题关键，在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．2．（2021·上海金山区·九年级二模）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．B C D【答案】B【分析】根据最简二次根式的概念，逐一判断即可．【详解】=。
20.1 一次函数的概念(作业)解析版
20.1 一次函数的概念（作业）一、单选题1．（2019·上海普陀区·八年级期末）下列函数中，一次函数是（）．A．B．C． D．【答案】A【分析】根据一次函数的定义分别进行判断即可．【详解】解：．是一次函数，故正确；．当时，、是常数）是常函数，不是一次函数，故错误；．自变量的次数为，不是一次函数，故错误；．属于二次函数，故错误．故选：．【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1．2．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）下列说法中不成立的是（）A．在y=3x﹣1中y+1与x成正比例B．在y=﹣中y与x成正比例C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例D．在y=x+3中y与x成正比例【答案】D【详解】解：A.∵y=3x−1，∴y+1=3x，∴y+1与x成正比例，故本选项正确；B.∵∴y与x成正比例，故本选项正确；C.∵y=2(x+1)，∴y与x+1成正比例，故本选项正确；D.∵y=x+3，不符合正比例函数的定义，故本选项错误．故选：D．3．（2020·上海市南汇第四中学八年级月考）下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）；（5），（6）（是常数），其中一次函数的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【分析】根据一次函数的定义分析即可．【详解】解：（1），（4）是一次函数；（6）当k=0时，（是常数）不是一次函数；（2）的自变量在分母上，不是一次函数；（3），（5）的自变量的次数是2，不是一次函数．故选C．【点睛】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数的定义是解答本题的关键．一般地，形如y=kx+b（k为常数，k≠0）的函数叫做一次函数．4．（2019·上海市敬业初级中学八年级月考）下列命题错误的是（）A．正比例函数是一次函数B．反比例函数不是一次函数C．如果和成正比例，那么是的一次函数D．一次函数也是正比例函数【答案】D【分析】直接利用正比例函数与一次函数的定义判断得出即可．【详解】解：A、正比例函数是一次函数，此选项正确；B、反比例函数不是一次函数，故此选项正确；C、如果和成正比例，则y-1=kx，即y=kx+1，那么是的一次函数，故此选项正确；D、一次函数可能是正比例函数，也可能不是正比例函数，故此选项错误；故选：D．【点睛】此题主要考查了正比例函数与一次函数的定义，正确把握它们的区别与联系是解题关键．5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）若函数y=（2m+6）x2+（1﹣m）x 是正比例函数，则m的值是（）A．m=﹣3 B．m=1 C．m=3 D．m＞﹣3【答案】A【详解】由题意可知：，∴m=-3，故选：A二、填空题6．（2018·上海民办浦东交中初级中学八年级月考）己知一次函数的图像经过，则_______.【答案】【分析】将点代入一次函数的表达式中，得到一个关于m的方程，解方程即可．【详解】∵一次函数的图像经过∴将点代入中得解得，故答案为：-2．【点睛】本题主要考查根据一次函数的表达式求图象上点的坐标，利用方程的思想是解题的关键．7．（2019·上海八年级课时练习）把2x﹣y=3写成y是x的函数的形式为_________ ．【答案】y=2x﹣3【分析】通过移项即可将其变为y是x的函数的形式.【详解】解：2x﹣y=3，移项得y=2x﹣3.故答案为：y=2x﹣3.【点睛】本题主要考查函数的一般形式. y=kx+b（k≠0)是一次函数的解析式，图像是一条直线，斜率是k，截距是b.8．（2019·上海八年级课时练习）．如果函数y=（a﹣2）x+3是一次函数，那么a _________ 【答案】≠2【分析】根据一次函数的定义可知自变量的系数不为零.【详解】解：∵函数y=（a﹣2）x+3是一次函数，∴a﹣2≠0，即a≠2.故答案为：≠2.【点睛】本题考点：一次函数的定义，把握定义是解题的关键.9．（2019·上海八年级课时练习）关于x的一次函数y=x+5m-5，若使其成为正比例函数，则m应取_________。
2018-2019学年上海静安区市西初级中学八年级上学期期末数学试题及答案
市西初级中学2019学年第一学期期末八年级数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.2.下列关于x 的方程中一定没有实数根的是（）A.210x x --= B.24690x x -+= C.2x x=- D.220x mx --=3.下列各点中，在反比例函数2y x =图像上的是（）A.()1,2-- B.16,6⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()2,1-D.(1,2)-4.）A.两点(,)x y 与()2,1-间的距离B.两点(,)x y 与()2,1间的距离C.两点(,)x y 与()2,1--间的距离D.两点(,)x y 与()2,1-间的鉅离.5.若M （12-，y 1）、N （14-，y 2）、P （12，y 3）三点都在函数k y x=（k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A.y 2＞y 3＞y 1B.y 2＞y 1＞y 3C.y 3＞y 1＞y 2D.y 3＞y 2＞y 16.下列说法错误的是（）A.到点P 距离等于1cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆B.等腰ABC ∆的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线C.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨边是这个角的平分线D.到直线l 距离等于2cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线二.填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7.函数 y =的定义域是___________.8.在实数范围内因式分解：231x x -+=___________.9.命题“对顶角相等”的逆命题的题设是___________.10.如果关于x 的一元二次方程22(2)340k x x k -++-=有一个根是0，那么k =___________.11.若函数(1)y k x =+是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________..12.如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数k y x=的图象上，另外三点在坐标轴上，则k =___________.13.如图，已知在ABC ∆中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，交AB 于点E ，若5,4AC cm BC cm ==，则DBC ∆的周长是___________cm .14.如图，在四边形ABCD 中，AB ：BC ：CD ：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB 的度数是______°．15.如图，已知在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，2,,A B BC a AC b ∠=∠==，则AD =___________.（用含a b 、的代数式表示）.16.一种型号的数码相机，原来每台售价5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，假设两次降价的百分率均为x ，那么可列方程___________.17.如图，在教学楼走廊上有一拖把以45︒的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为60︒.如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了___________米（结果保留根号）.18.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ）．如图，若曲线3(0)y x x=>与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是________．三.解答题（本大题共9题，满分66分）19.化简：÷．20.解方程：2410y y -+=.21.，再求当x y ==时的值.22.已知：关于x 的方程2230x x m +-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若0m =时，将m 的值代入方程，并用配方法求出此方程的两个实数根.23.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙(DM 长为15米,DN 长为20米),用28m 长的篱笆围成了一个面积为192m 2的长方形花园ABCD(篱笆只围AB,BC 两边).求篱笆BC 长.24.小华和小晶上山游玩，小华步行，小晶乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合.已知小华歩行的路程是缆车所经线路长的2倍，小晶在小华出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米.图中的折线反映了小华行走的路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数关系.（1）小华行走的总路程是___________米，他途中休息了___________分钟；小华休息之后行走的速度是每分钟___________米；（2）当030x ≤≤时，y 与x 的函数关系式是___________.（3）当小晶到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是___________米.25.已知：如图，,AD CD BC CD ⊥⊥，D C 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，BC DF =.求证：（1）DAF CFB ∠=∠；（2）AF BF ⊥.26.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>在第一象限交于A 点，且点A 的横坐标为4，点B 在双曲线上.（1）求双曲线的函数解析式；（2）若点B 的纵坐标为8，试判断OAB ∆形状，并说明理由.27.如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ︒∠=∠=，对角线AC 与BD 相交于点O ，M N 、分别是边AC 、BD 的中点.（1）求证：MN BD ⊥；（2）当15,10,BCA AC cm OB OM ︒∠===时，求MN 的长.28.如图，已知3,4,,// AB BC AB BC AG BC ==⊥，将一个直角的顶点置于点C ，并将它绕着点C 旋转，两条直角边分别交射线AG 于点D ，交AB 的延长线于点E ，联结DE 交BC 于点F ，设BE x =.（1）当60DCB ︒∠=时，求BE 的长；（2）若AD y =，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）旋转过程中，若DC FC =，求此时BE 的长.市西初级中学2019学年第一学期期末八年级数学试卷一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1.是同类二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先化简二次根式，然后根据同类二次根式的定义即可判定．【详解】解：A.不是同类二次根式B.=C.=是同类二次根式D.2x =不是同类二次根式故选：C【点睛】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．2.下列关于x 的方程中一定没有实数根的是（）A.210x x --= B.24690x x -+= C.2x x =- D.220x mx --=【答案】B【解析】【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【详解】解:A.x 2-x-1=0,△=1+4=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根,B.24x 6x 90-+=,△=36-144=-108<0,∴原方程没有实数根,C.2x x =-,2x x 0+=,△=1>0,∴原方程有两个不相等的实数根,D.2x mx 20--=,△=m 2+8>0,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.3.下列各点中，在反比例函数2y x =图像上的是（）A.()1,2-- B.16,6⎛⎫⎪⎝⎭ C.()2,1- D.(1,2)-【答案】A【解析】【分析】根据反比例函数2y x=中xy=2对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A.1(2)2-⨯-=，∴此点在反比例函数的图象上，故A 正确；B.16126⨯=≠，∴此点不在反比例函数的图象上，故B 错误；C.2122-⨯=-≠，∴此点不在反比例函数的图象上，故C 错误；D.1222-⨯=-≠，∴此点不在反比例函数的图象上，故D 错误．故选：A ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy 的特点是解答此题的关键．4.）A.两点(,)x y 与()2,1-间的距离B.两点(,)x y 与()2,1间的距离C.两点(,)x y 与()2,1--间的距离D.两点(,)x y 与()2,1-间的鉅离.【答案】D【解析】【分析】=，然后根据平面直角坐标系内两点间距离公式求解即可.=可以理解为两点(,)x y 与()2,1-间的距离.故选：D.【点睛】本题考查平面内两点之间的距离，设两个点A 、B 以及坐标分别为1122(,);(,)A x y B x y ，则A 和B 两点之间的距离为：AB =5.若M （12-，y 1）、N （14-，y 2）、P （12，y 3）三点都在函数k y x=（k ＞0）的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（）A.y 2＞y 3＞y 1B.y 2＞y 1＞y 3C.y 3＞y 1＞y 2D.y 3＞y 2＞y 1【答案】C【解析】【分析】根据k 值判断函数图像及增减性，再利用增减性比较大小即可.【详解】∵k ＞0，∴函数图象分布于一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小，∵12-<14-<0，12>0，∴y 2<y 1<0，y 3>0，∴y 3>y 1>y 2.故选C.【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握k 值的意义是解题关键.6.下列说法错误的是（）A.到点P 距离等于1cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径长为1cm 的圆B.等腰ABC ∆的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线C.在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨边是这个角的平分线D.到直线l 距离等于2cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线【答案】B【解析】【分析】利用圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质依次判断即可求解．【详解】解：A 、到点P 距离等于1cm 的点的轨迹是以点P 为圆心，半径为1cm 的圆，故A 选项不符合题意；B 、等腰△ABC 的底边BC 固定，顶点A 的轨迹是线段BC 的垂直平分线（线段BC 中点除外），故B 选项符合题意；C 、在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，故C 选项不符合题意；D 、到直线l 的距离等于2cm 的点的轨迹是两条平行于l 且与l 的距离等于2cm 的直线，故D 选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了轨迹，圆的定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．二.填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7.函数 y =的定义域是___________.【答案】12x ≥-【解析】【分析】根据二次根式成立的条件求解即可.【详解】解：由题意可得：210x +≥ 解得：12x ≥- 故答案为：12x ≥- 【点睛】本题考查二次根式成立的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是本题的解题关键.8.在实数范围内因式分解：231x x -+=___________.【答案】3535()()22x x +---【解析】【分析】根据一元二次方程的解法在实数范围内分解因式即可．【详解】解：解一元二次方程231x x -+=043522b x a -±±=∴2353531()22x x x x +--+=--故答案为：33(22x x ---【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法以及实数范围内分解因式，根据题意得出方程的根是解决问题的关键．9.命题“对顶角相等”的逆命题的题设是___________.【答案】两个角相等【解析】【分析】交换原命题的题设与结论即可得到逆命题，然后根据命题的定义求解．【详解】解：命题“对顶角相等”的逆命题是：“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，题设是：两个角相等故答案为：两个角相等．【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．10.如果关于x 的一元二次方程22(2)340k x x k -++-=有一个根是0，那么k =___________.【答案】-2【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到2-k≠0，由方程的解的定义，把x=0代入已知方程，列出关于k 的新方程，通过解新方程来求k 的值．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(2)340k x x k -++-=的一个根为0，∴240k -=，且2-k≠0，∴k=±2，且2-k≠0，解得，k=-2，故答案是：-2．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意二次项系数不等于零．11.若函数(1)y k x =+是正比例函数，且y 随x 的增大而减小，则k 的取值范围是___________..【答案】k ＜-1【解析】【分析】根据正比例函数的性质，在y=kx(k ≠0)中，当比例系数k ＜0时，y 随x 的增大而减小，从而列不等式求解.【详解】解：由题意可得：k+1＜0解得：k ＜-1故答案为：k ＜-1.【点睛】本题考查的是正比例函数的性质，解题的关键是熟悉函数图象与系数的关系．12.如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数k y x=的图象上，另外三点在坐标轴上，则k =___________.【答案】-3【解析】【分析】因为过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积S 是个定值，即S=|k|．【详解】解：根据题意，知S=|k|=3，k=±3，又因为反比例函数位于第四象限，k ＜0，所以k=-3，故答案为：-3.【点睛】本题主要考查了反比例函数k y x=中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．13.如图，已知在ABC ∆中，AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，交AB 于点E ，若5,4AC cm BC cm ==，则DBC ∆的周长是___________cm .【答案】9【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DB ，则△DBC 的周长为DC+DB+BC=DC+AD+BC=AC+BC ，计算即可．【详解】解：∵AB 的垂直平分线DE 交AC 于点D ，∴DA=DB ，∴△DBC 的周长为DC+DB+BC=DC+AD+BC=AC+BC=5+4=9cm ，故答案为：9．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．14.如图，在四边形ABCD 中，AB ：BC ：CD ：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，则∠DAB 的度数是______°．【答案】135°【解析】【分析】由已知可得AB=BC ，从而可求得∠BAC 的度数.设AB ＝2x ，通过计算证明AC 2+AD 2=CD 2，从而证得ΔACD 是直角三角形，即可得到∠DAC=90°，从而求得∠DAB 的度数．【详解】解：∵AB ：BC ：CD ：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC ，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴设AB ＝2x ，则BC ＝2x ，CD=3x ，DA=x,∴AC 2=AB 2+BC 2=(2x)2+(2x)2=8x 2又CD 2-AD 2=(3x)2-x 2=8x 2∴AC 2=CD 2-AD 2∵AC 2+AD 2=CD 2∴ΔACD 是直角三角形，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．故答案是：135°.【点睛】此题主要考查学生对勾股定理及逆定理的理解和运用能力．15.如图，已知在ABC ∆中，CD 平分ACB ∠，2,,A B BC a AC b ∠=∠==，则AD =___________.（用含a b 、的代数式表示）.【答案】a-b【解析】【分析】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，根据SAS证明△ADC≌△A′DC，根据△ADC≌△A′DC，得出DA′=DA，∠CA′D=∠A，再证明DA′=A′B即可解决问题.【详解】在CB上截取CA′=CA，连接DA′，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠A′CD，在△ADC和△A′DC中，''CA CAACD A CD CD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△A′DC（SAS），∴DA′=DA，∠CA′D=∠A，∵∠A=2∠B，∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴∠A′DB=∠B，∴BA′=A′D=AD，∴BC=CA′+BA′=AC+AD∴AD=BC-AC=a-b，故答案为：a-b.【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.16.一种型号的数码相机，原来每台售价5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，假设两次降价的百分率均为x，那么可列方程___________.【答案】5000（1-x）2=3200【解析】【分析】设两次降价的百分率均为x，根据原来每台售价为5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，可列出方程．【详解】解：设两次降价的百分率均为x，5000（1-x）2=3200．故答案为：5000（1-x）2=3200．【点睛】本题考查理解题意的能力，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，可列出方程．17.如图，在教学楼走廊上有一拖把以45︒的倾斜角斜靠在栏杆上，影响了同学们的行走，小明自觉地将拖把挪动位置，使其倾斜角变为60︒.如果拖把的长为2米，则行走的通道拓宽了___________米（结果保留根号）.1-【解析】【分析】根据余弦函数分别求出两次拖把距墙根的距离，求差得解．【详解】解：∵AB=CD=2，∠ABO=45°，∠CDO=60°，∴BO=AB•cos45°=22⨯=；DO=CD•cos60°=1212⨯=．则1-．1-米．1【点睛】此题主要考查锐角三角函数的运用能力，掌握余弦值的计算公式并灵活应用是本题的解题关键．18.在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为（a ，a ）．如图，若曲线3(0)y x x=>与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是________．【解析】【分析】根据题意得出C 点的坐标（a-1，a-1），然后分别把A 、C 的坐标代入求得a 的值，即可求得a 的取值范围．【详解】解:反比例函数经过点A 和点C ．当反比例函数经过点A 时，即2a =3，解得：（负根舍去）；当反比例函数经过点C 时，即2(1)a -=3，解得：（负根舍去），－．故答案为:－【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，关键是掌握反比例函数y=k x （k 为常数，k≠0）的图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．三.解答题（本大题共9题，满分66分）19.化简：÷．【答案】143．【解析】试题分析：先进行二次根式的化简，然后进行二次根式的除法运算.试题解析：原式=（233）=3﹣13+2=143．20.解方程：2410y y -+=.【答案】1222y y ==【解析】【分析】用配方法解一元二次方程即可.【详解】解：2410y y -+=241y y -=-2224212y y -+=-+2(2)3y -=2y -=∴1222y y =+=【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，掌握配方法的基本方法是本题的解题关键.21.，再求当x y ==时的值.【答案】xy ；1【解析】【分析】数值进行求解即可.+=xy ，当x y ===1.【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，正确确定运算顺序以及运算方法是解题的关键.22.已知：关于x 的方程2230x x m +-=有两个不相等的实数根.（1）求m 的取值范围；（2）若0m =时，将m 的值代入方程，并用配方法求出此方程的两个实数根.【答案】（1）98m >-；（2）1230;2x x ==-【解析】【分析】（1）根据方程解的个数结合根的判别式即可得出关于m 的一元一次不等式，解不等式即可得出结论；（2）取m=0，由此得出关于x 的一元二次方程，利用配方法解一元二次方程即可得出结论．【详解】解：（1）∵关于x 的方程2230x x m +-=有两个不相等的实数根，∴△=32-4×2×（-m ）=8m+9＞0，解得：98m >-．（2）当m=0时，原方程为2230x x +=2302x x +=222333()0(244x x ++=+239()416x +=3344x +=±∴1230;2x x ==-【点睛】本题考查了根的判别式以及利用配方法解一元二次方程，牢记“当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式△＞0”是解题的关键．23.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙(DM 长为15米,DN 长为20米),用28m 长的篱笆围成了一个面积为192m 2的长方形花园ABCD(篱笆只围AB,BC 两边).求篱笆BC 长.【答案】BC 的长为16米．【解析】【分析】根据题意设BC=x 米，得AB=（28-x ）米，根据长×宽=192列出方程，进一步解方程得出答案即可．【详解】设BC=xm ，则AB=（28-x ）m ，由题意得：x （28-x ）=192，解得：x 1=12，x 2=16，当BC=12米时，AB=16米＞15米，不符合题意，舍去.故BC 的长为16米．【点睛】此题考查一元二次方程的实际运用，掌握长方形的面积计算公式是解决问题的关键．24.小华和小晶上山游玩，小华步行，小晶乘坐缆车，相约在山顶缆车的终点会合.已知小华歩行的路程是缆车所经线路长的2倍，小晶在小华出发后50分钟才坐上缆车，缆车的平均速度为每分钟180米.图中的折线反映了小华行走的路程y （米）与时间x （分钟）之间的函数关系.（1）小华行走的总路程是___________米，他途中休息了___________分钟；小华休息之后行走的速度是每分钟___________米；（2）当030x ≤≤时，y 与x 的函数关系式是___________.（3）当小晶到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是___________米.【答案】（1）3600，20，55；（2）y=65x ；（3）1100【解析】【分析】根据图象获取信息：（1）小华到达山顶用时80分钟，中途休息了20分钟，行程为3600米；休息前30分钟行走1950米，休息后30分钟行走（3600-1950）米，利用路程、时间得出速度即可．（2）利用待定系数法解答正比例函数解析式即可；（3）求小晶到达缆车终点的时间，计算小华行走路程，求离缆车终点的路程．【详解】解：（1）根据图象知：小华行走的总路程是3600米，他途中休息了20分钟；小华休息之后行走的速度是（3600-1950）÷（80-50）=55米/分钟，故答案为3600，20，55；（2）设函数关系式为y=kx ，可得：1950=30k ，解得：k=65，所以解析式为：y=65x ，故答案为：y=65x ；（3）小晶所用时间：3600180102÷=，小华到达山顶用时80分钟，小华比小晶迟到80-50-10=20（分），∴小晶到达终点时，小华离缆车终点的路程为：20×55=1100（米），故答案为：1100．【点睛】此题考查一次函数及其图象的应用，从图象中获取相关信息是关键．此题第3问难度较大．25.已知：如图，,AD CD BC CD ⊥⊥，D C 、分别为垂足，AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，BC DF =.求证：（1）DAF CFB ∠=∠；（2）AF BF ⊥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据条件可以得出△ADF ≌△FCB 就可以得出∠DAF=∠CFB ；（2）根据∠DAF+DFA=90°可以得出∠AFB=90°，就可以得出△AFB 是等腰直角三角形，从而求解．【详解】证明：（1）∵AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，∴AF=BF ，AE=BE ．∵AD ⊥CD ，BC ⊥CD ，∴∠D=∠C=90°．在Rt△ADF和Rt△FCB中AF FB DF CB=⎧⎨=⎩，∴△ADF≌△FCB（HL），∴∠DAF=∠CFB；（2）∵∠D=90°，∴∠DAF+∠DFA=90°，∴∠CFB+∠DFA=90°，∴∠AFB=90°．∴AF BF⊥．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，垂直平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键、26.如图，已知直线12y x=与双曲线(0)ky kx=>在第一象限交于A点，且点A的横坐标为4，点B在双曲线上.（1）求双曲线的函数解析式；（2）若点B的纵坐标为8，试判断OAB∆形状，并说明理由.【答案】（1）8y x=；（2）直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）将A 点横坐标x=4代入12y x =中，得A 点纵坐标y=2，可知点A 的坐标为（4，2），再将A （4，2）代入(0)k y k x =>求k 即可；（2）点B 在双曲线8y x=上，将y=8代入得x=1，即B （1，8），已知A （4，2），O （0，0），根据两点间距离公式分别求OA ，AB ，OB ，利用勾股定理的逆定理证明△OAB 是直角三角形．【详解】解：（1）将x=4代入12y x =，得y=2，∴点A 的坐标为（4，2），将A （4，2）代入(0)k y k x=>，得k=8，∴8y x =（2）△OAB 是直角三角形．理由：y=8代入8y x=中，得x=1，∴B 点的坐标为（1，8），又A （4，2），O （0，0），由两点间距离公式得OA ＝，AB ＝OB ∵OA 2+AB 2=20+45=65=OB 2，∴△OAB 是直角三角形．【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标求法，反比例函数关系式的求法，直角三角形的判定．关键是利用交点坐标将问题过渡．27.如图，在四边形ABCD 中，90ABC ADC ︒∠=∠=，对角线AC 与BD 相交于点O ，M N 、分别是边AC 、BD 的中点.（1）求证：MN BD ⊥；（2）当15,10,BCA AC cm OB OM ︒∠===时，求MN 的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2.5【解析】【分析】（1）连接BM、DM，根据直角三角形斜边上的中线的性质求出BM=DM，根据等腰三角形性质求出即可；（2）根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠BMN=30°，求出∠NBM=30°，求BM，根据直角三角形的性质求出即可．【详解】证明：（1）连接BM、DM．∵∠ABC=∠ADC=90°，点M、点N分别是边AC、BD的中点，∴BM=12AC，CM=12AC，∴BM＝DM＝12AC，∵N是BD的中点，∴MN是BD的垂直平分线，∴MN⊥BD（2）解：∵∠BCA=15°，BM＝CM＝12AC，∴∠BCA=∠CBM=15°，∴∠BMA=30°，∵OB=OM，∴∠OBM=∠BMA=30°，∵AC=10，BM＝12AC，∴BM=5，在Rt △BMN 中，∠BNM=90°，∠NBM=30°，∴MN ＝12BM ＝2.5，答：MN 的长是2.5．【点睛】本题主要考查对三角形的外角性质，直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形性质，等腰三角形性质等知识点的理解和掌握，能求出∠MBN 和BM 的长是解此题的关键．28.如图，已知3,4,,// AB BC AB BC AG BC ==⊥，将一个直角的顶点置于点C ，并将它绕着点C 旋转，两条直角边分别交射线AG 于点D ，交AB 的延长线于点E ，联结DE 交BC 于点F ，设BE x =.（1）当60DCB ︒∠=时，求BE 的长；（2）若AD y =，求y 关于x 的函数关系式及定义域；（3）旋转过程中，若DC FC =，求此时BE 的长.【答案】（1）433；（2）y=34-x+4（0≤x≤163）；（3）76.【解析】【分析】（1）首先证明，∠CBE=90°，∠BCE=30°，根据tan30°=BE BC，即可解决问题．（2）如图2中，作DM ⊥BC 于M ．只要证明△DCM ∽△CEB ，得DM CM CB EB=，由此即可解决问题．（3）先证明∠EDA=∠EDC ，由EA ⊥DA ，EC ⊥DC ，推出EA=EC=x+3，在Rt △BCE 中，根据EC 2=BE 2+BC 2，列出方程即可解决问题．【详解】解：（1）如图1中，∵∠DCE=90°，∠DCF=60°，∴∠BCE=30°，∵AB ⊥BC ，∴∠CBE=90°，∴tan30°=BE BC，∴43BE =∴BE=433．（2）如图2中，作DM ⊥BC 于M ．∵AG ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AG ⊥AB ，∴∠A=∠ABM=∠DMB=90°，∴四边形ABMD是矩形，∴BM=AD=y，AB=DM=3，CM=4-y，∵∠DCM+∠CDM=90°，∠DCM+∠BCE=90°，∴∠CDM=∠BCE，∵∠DMC=∠CBE，∴△DCM∽△CEB，∴DM CM CB EB=∴344yx-=，∴y=34-x+4由题意可得xy≥⎧⎨≥⎩，即3404xx≥⎧⎪⎨-+≥⎪⎩解得：0≤x≤16 3∴y=34-x+4（0≤x≤163）（3）如图3中，∵CD=CF，∴∠CDF=∠CFD，∵AG∥BC，∴∠CFD=∠ADF，∴∠EDA=∠EDC，∵EA⊥DA，EC⊥DC，∴EA=EC=x+3，在Rt△BCE中，∵EC2=BE2+BC2，∴（x+3）2=x2+42，∴x=7 6，∴BE=7 6．【点睛】本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 (含详细解析)
2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲（含详细解析）1 / 28(真题测试）2019_2020学年八年级数学上册期末考点大串讲（沪教版）一、填空题1. (2018-2019学年上海市闵行区 期末)平面上到原点O 的距离是2厘米的点的轨迹是______．2. (2017-2018学年上海市金山区 期末)经过已知点P 和Q 的圆的圆心轨迹是______．3. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考期末 )以线段AB 为底边的等腰三角形的顶点的轨迹是______．4. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考 期末)直角三角形中两边长分别为4和5，那么第三边长为______ ．5. (2016-2017学年上海市闵行区九校联考 期末)若平面内点A （-1，-3）、B （5，b ），且AB =10，则b 的值为______ ．6. (2018-2019学年上海市闵行区 期末)如图，△ABC 中，CD ⊥AB于D ，E 是AC 的中点．若AD =6，DE =5，则CD 的长等于______．7. (2018-2019学年上海市闵行区 期末)如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD =2CD ，AD 是∠BAC 的角平分线，∠CAD =______度．8. (2018-2019学年上海市闵行区 期末)已知，在△ABC 中，AB =√3，∠C =22.5°，将△ABC翻折使得点A 与点C 重合，折痕与边BC 交于点D ，如果DC =2，那么BD 的长为______．9. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）如图，△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，AD ⊥AC 交BC 于点D ，AD =4，则BC =______．10. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A ，且另外三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB =2，则CD =______．二、解答题11.(2017-2018学年上海市黄浦区期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，联结EF．（1）如图，当点D在线段CB上时，①求证：△AEF≌△ADC；②联结BE，设线段CD=x，线段BE=y，求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．12.(2018-2019学年上海市闵行区期末)如图，已知点B、F、C、E在同一直线上，AC、DF相交于点G，AB⊥BE垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且BF=CE，AC=DF，求证：点G在线段FC的垂直平分线上．13.(2018-2019学年上海市闵行区期末)已知，如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点EDE，AD∥BC．在AC上，AB=12求证：∠CBA=3∠CBE．2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲（含详细解析）3 / 2814. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）已知：如图，AB =12cm ，AD =13cm ，CD =4cm ，BC =3cm ，∠C =90°．求△ABD 的面积．15. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）已知：如图，∠F =90°，AE ⊥OC 于点E ，点A 在∠FOC 的角平分线上，且点A 到点B 、点C 的距离相等．求证：BF =EC ．16. （2018-2019学年上海市浦东新区期末）已知：如图，在△BCD 中，CE ⊥BD 于点E ，点A 是边CD 的中点，EF 垂直平分线AB（1）求证：BE =12CD ；（2）当AB =BC ，∠ABD =25°时，求∠ACB 的度数．17.(2018-2019学年上海市松江区期末)如图，AE平分∠BAC，交BC于点D，AE⊥BE，垂足为E，过点E作EF∥AC，交AB于点F．求证：点F是AB的中点．18.(2018-2019学年上海市松江区期末)在△ABC中，点Q是BC边上的中点，过点A作与线段BC相交的直线l，过点B作BN⊥l于N，过点C作CM⊥l于M．（1）如图1，如果直线l过点Q，求证：QM=QN；（2）如图2，若直线l不经过点Q，联结QM，QN，那么第（l）问的结论是否成立？若成立，给出证明过程；若不成立，请说明理由．19.(2018-2019学年上海市浦东新区第三教育署期末)已知：如图，BP、CP分别是△ABC的外角平分线，PM⊥AB于点M，PN⊥AC于点N．求证：PA平分∠MAN．2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲（含详细解析）20.(2016-2017学年上海市闵行区九校联考期末)已知：如图，在△ABC中，BC=BA，BE平分∠CBA交边CA于点E，∠ABC=45°，CD⊥AB，垂足为D，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H．（1）求证：BH=CA；（2）求证：BG2=GE2+EA2．21.(2018-2019学年上海市长宁区期末)如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=60°，AC=8√3，点D在边BC上，BD=3CD，线段DB绕点D顺时针旋转α度后（0＜α＜180），点B旋转至点E，如果点E恰好落在Rt△ABC的边上，求：△DBE的面积．22.(2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署期末)已知，如图在△ABC中，AD、BE分别是BC，AC边上的高，AD、BE交于H，DA=DB，BH=AC，点F为BH的中点，∠ABE=15°．（1）求证：△ADC≌△BDH；（2）求证：DC=DF．5 / 2823.(2018-2019学年上海市浦东新区第四教育署期末)已知：如图，AD∥BC，DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，交AB于点E，BD于点O．求证：点O到EB与ED的距离相等．24.(2017-2018学年上海市金山区期末)直角坐标平面内，已知点A（-1，0）、B（5，4），在y轴上求一点P，使得△ABP是以∠P为直角的直角三角形．25.(2018-2019学年上海市长宁区期末)已知，如图，在△ABC中，AE平分∠CAB交BC于点E，AC=6，CE=3，AE=3√5，BE=5，点F是边AB上的动点（点F与点A，B不重合），连接EF，设BF=x，EF=y．（1）求AB的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当△AEF为等腰三角形时，直接写出BF的长．2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲（含详细解析）7 / 2826. (2018-2019学年上海市金山区期末 )已知，如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =2，∠B =30°，P 是边BC 上的一动点，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，延长PE 至点Q ，使PQ =PC ，连接CQ 交边AB 于点D ．（1）求AD 的长；（2）设CP =x ，△PCQ 的面积为y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）过点C 作CF ⊥AB ，垂足为F ，联结PF 、QF ，试探索当点P 在边BC 的什么位置时，△PFQ 为等边三角形？请指出点P 的位置并加以证明．27. (2018-2019学年上海市松江区期末 )如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =4，点D 是边A 上的动点（点D 与点A 、B 不重合），过点D 作DE ⊥AB 交射线BC 于点E ，联结AE ，点F 是AE 的中点，过点D 、F 作直线，交AC 于点G ，联结CF 、CD ． （1）当点E 在边BC 上，设，DB =x ，CE =y ．①写出y 关于x 的函数关系式及定义域；②判断△CDF 的形状，并给出证明；（2）如果AE =8√33，求DG 的长．28.(2018-2019学年上海市浦东新区第三教育署期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．（1）求证：CM=EM；（2）如果BC=√3，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．29.(2018-2019学年上海市嘉定区期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点P是AB边上一个动点，过点P作AB的垂线交AC边与点D，以PD为边作∠DPE=60°，PE交BC边与点E．（1）当点D为AC边的中点时，求BE的长；（2）当PD=PE时，求AP的长；（3）设AP的长为x，四边形CDPE的面积为y，请直接写出y与x的函数解析式及自变量x的取值范围．2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲（含详细解析）30.(2018-2019学年上海市闵行区期末)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，AD∥BC，将一个直角的顶点置于点C，并将它绕着点C旋转，直角的两边分别交AB的延长线于点E，交射线AD于点F，联结EF交BC于点G，设BE=x．（1）旋转过程中，当点F与点A重合时，求BE的长；（2）若AF=y，求y关于x的函数关系式及定义域；（3）旋转过程中，若CF=GC，求此时BE的长．31.(2017-2018学年上海市金山区期末)已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=2√3．D是AC上一个动点，过点D作DE⊥AB交AB于F，且DE=DC，联结CE交AB于G（点G不与点F重合）．（1）求∠A的度数；（2）求BG的长；（3）设CD=x，GF=y，求y与x的函数关系式并写出x的取值范围．32.(2016-2017学年上海市闵行区九校联考期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D是边AC上不与点A、C重合的任意一点，DE⊥AB，垂足为点E，M是BD的中点．9 / 28（1）求证：CM=EM；（2）如果BC=√3，设AD=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当点D在线段AC上移动时，∠MCE的大小是否发生变化？如果不变，求出∠MCE的大小；如果发生变化，说明如何变化．2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析）11 / 28 答案和解析1.【答案】以原点O 为圆心，2厘米长为半径的圆【解析】解：平面上到原点O 的距离是2厘米的点的轨迹是以点O 为圆心，2厘米长为半径的圆．故答案为：以原点O 为圆心，2厘米长为半径的圆．根据圆的定义就可解决问题．本题主要考查的是圆的定义，其中圆是到定点的距离等于定长的点的集合． 2.【答案】线段PQ 的垂直平分线【解析】解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点P 和点Q 的距离相等，即经过已知点P 和点Q 的圆的圆心的轨迹是线段PQ 的垂直平分线．故答案为：线段PQ 的垂直平分线．要求作经过已知点P 和点Q 的圆的圆心，则圆心应满足到点P 和点Q 的距离相等，从而根据线段的垂直平分线性质即可求解．此题考查了点的轨迹问题，熟悉线段垂直平分线的性质．3.【答案】线段AB 的垂直平分线（与AB 的交点除外）【解析】解：∵△ABC 以线段AB 为底边，CA =CB ，∴点C 在线段AB 的垂直平分线上，除去与AB 的交点（交点不满足三角形的条件）， ∴以线段AB 为底边的等腰三角形的顶点C 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，不包括AB 的中点．故答案为线段AB 的垂直平分线，不包括AB 的中点．满足△ABC 以线段AB 为底边且CA =CB ，根据线段的垂直平分线判定得到点C 在线段AB 的垂直平分线上，除去与AB 的交点（交点不满足三角形的条件）．本题考查了轨迹：轨迹是动点按一定条件运动所经过的痕迹．也考查了线段的垂直平分线判定与性质，．解题的关键是熟记线段AB 的垂直平分线的定义．4.【答案】3或√41【解析】解：当5是斜边时，则第三边是√52−42=3，当4和5都是直角边时，则第三边是√42+52=√41．故答案为：3或√41．考虑两种情况：4和5都是直角边或5是斜边，根据勾股定理进行求解．此类题注意考虑两种情况，熟练运用勾股定理进行计算．5.【答案】-11或5【解析】解：由题意可得，√(−1−5)2+(−3−b)2=10，解得，b =-11或b =5，故答案为：-11或5．根据题意和两点间的距离公式可以求得b 的值，本题得以解决．本题考查两点间的距离公式，解题的关键是明确题意、明确两点间的距离公式． 6.【答案】8【解析】解：如图，∵△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，E 是AC 的中点，DE =5，∴DE =12AC =5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，则根据勾股定理，得CD=√AC2−AD2=√102−62=8．故答案是：8．由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD 中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．7.【答案】30【解析】解：过点D作DE⊥AB于E点，∵AD是∠BAC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC=DE．∵BD=2CD，∴BD=2DE．∴∠B=30°．∵∠C=90°，∴∠CAB=60°．∴∠CAD=1×60°=30°．2故答案为30．过点D作DE⊥AB于E点，根据角平分线性质可得DE=DC，从而BD=2DE，则∠B=30°，可知∠CAB=60°，再利用角平分线的定义可求∠CAD度数．本题主要考查了角平分线的性质、根据角平分线的性质作垂线段的解题的关键．8.【答案】√2+1或√2-1【解析】解：分两种情况：①当∠B为锐角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，由折叠可得，折痕DE垂直平分AC，∴AD=CD=2，∴∠ADB=2∠C=45°，∴△ADF是等腰直角三角形，∴AF=DF=√2，又∵AB=√3，∴Rt△ABF中，BF=√AB2−AF2=1，∴BD=BF+DF=1+√2；②当∠ABC为钝角时，如图所示，过A作AF⊥BC于F，同理可得，△ADF是等腰直角三角形，2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析） 13 / 28 ∴AF =DF =√2， 又∵AB =√3， ∴Rt △ABF 中，BF =√AB 2−AF 2=1，∴BD =DF -BF =√2-1；故答案为：√2+1或√2-1．过A 作AF ⊥BC 于F ，构造直角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理以及等腰直角三角形的性质，即可得到BD 的长．本题主要考查了折叠问题以及勾股定理的运用，解决问题的关键是分两种情况画出图形进行求解．解题时注意：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9.【答案】12【解析】解：∵△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =120°，∴∠C =∠B =30°，∵AD ⊥AC 交BC 于点D ，∴CD =2AD =8，∠BAD =30°=∠B ， ∴BD =AD =4，∴BC =BD +CD =4+8=12．故答案为：12．依据等腰三角形的内角和，即可得到∠C =∠B =30°，依据AD ⊥AC 交BC 于点D ，即可得到CD =2AD =8，∠BAD =30°=∠B ，进而得出BC 的长． 本题主要考查了含30°角的直角三角形的性质以及等腰三角形的性质，解题时注意：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．10.【答案】√6-√2【解析】解：如图，过点A 作AF ⊥BC 于F ，在Rt △ABC 中，∠B =45°，∴BC =√2AB =2√2，BF =AF =√22AB =√2， ∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD =BC =2√2，在Rt △ADF 中，根据勾股定理得，DF =√AD 2−AF 2=√6，∴CD =BF +DF -BC =√2+√6-2√2=√6-√2，故答案为：√6-√2．先利用等腰直角三角形的性质求出BC =2√2，BF =AF =√2，再利用勾股定理求出DF ，即可得出结论．此题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键． 11.【答案】（1）①证明：在Rt △ABC 中，∵∠B =30°，AB =10，∴∠CAB =60°，AC =12AB =5，∵点F 是AB 的中点，∴AF =12AB =5，∴AC =AF ，∵△ADE 是等边三角形，∴AD =AE ，∠EAD =60°，∵∠CAB =∠EAD ，即∠CAD +∠DAB =∠FAE +∠DAB ，∴∠CAD =∠FAE ，在△AEF 和△ADC 中，{AD =AE ∠CAD =∠FAE AC =AF，∴△AEF ≌△ADC （SAS ）；②∵△AEF ≌△ADC ，∴∠AEF =∠C =90°，EF =CD =x ，又∵点F 是AB 的中点，∴AE =BE =y ，在Rt △AEF 中，勾股定理可得：y 2=25+x 2，∴函数的解析式是y =√25+x 2，定义域是0＜x ≤5√3；（2）①当点在线段CB 上时，由∠DAB =15°，可得∠CAD =45°，△ADC 是等腰直角三角形，∴AD 2=50，△ADE 的面积为25√32； ②当点在线段CB 的延长线上时，由∠DAB =15°，可得∠ADB =15°，BD =BA =10，∴在Rt △ACD 中，勾股定理可得AD 2=200+100√3，△ADE 的面积为50√3+75，综上所述，△ADE 的面积为25√32或50√3+75．【解析】（1）①在直角三角形ABC 中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC 的长，再由F 为AB 中点，得到AC =AF =5，确定出三角形ADE 为等边三角形，利用等式的性质得到一对角相等，砸由AD =AE ，利用SAS 即可得证；②由全等三角形对应角相等得到∠AEF 为直角，EF =CD =x ，在三角形AEF 中，利用勾股定理即可列出y 关于x 的函数解析式及定义域；（2）分两种情况考虑：①当点在线段CB 上时；②当点在线段CB 的延长线上时，分别求出三角形ADE 面积即可．此题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．12.【答案】证明：∵BF =CE ，∴BF +FC =CE +FC ，即BC =EF ．又∵AB ⊥BE ，DE ⊥BE ，∴∠B =∠E =90°．在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，{AC =DF BC =EF， ∴Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ）∴∠ACB =∠DFE （全等三角形的对应角相等），∴GF =GC （等角对等边），∴点G 在线段FC 的垂直平分线上．【解析】证得Rt △ABC ≌Rt △DEF （HL ），推知∠ACB =∠DFE ，然后由“等角对等边”证得GF =GC ，即可得出结论．本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析）15 / 28 13.【答案】证明：取DE 的中点F ，连接AF ，∵AD ∥BC ，∠ACB =90°，∴∠DAE =∠ACB =90°，∴AF =DF =EF =12DE ，∵AB =12DE ，∴DF =AF =AB ，∴∠D =∠DAF ，∠AFB =∠ABF ，∴∠AFB =∠D +∠DAF =2∠D ，∴∠ABF =2∠D ，∵AD ∥BC ，∴∠CBE =∠D ，∴∠CBA =∠CBE +∠ABF =3∠CBE ．【解析】取DE 的中点F ，连接AF ，根据直角三角形的性质求出AF =DF =FE =12DE ，推出DF =AF =AB ，根据等腰三角形的性质求出∠D =∠DAF ，∠AFB =∠ABF ，求出∠ABF =2∠D ，∠CBE =∠D ，即可得出答案．本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，三角形的外角性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，难度适中．14.【答案】解：∵CD =4cm ，BC =3cm ，∠C =90°， ∴BD =√42+32=5cm ，∵AB =12cm ，AD =13cm ，∴BD 2+AB 2=AD 2，∴∠ABD =90°，∴S △ABD =12AB ⋅BD =12×12×5=30cm 2．【解析】根据勾股定理的逆定理证明△ABD 是直角三角形，即可求解．此题主要是考查了勾股定理及其逆定理．关键是根据勾股定理的逆定理证明△ABD 是直角三角形．15.【答案】证明：∵点A 在∠FOC 的角平分线上，∠F =90°，AE ⊥OC ， ∴AE =AF ，∵点A 到点B 、点C 的距离相等，∴AB =AC ，∵∠F =∠AEC =90°，∴Rt △ABF ≌Rt △ACE （HL ），∴BF =EC ．【解析】证明Rt △ABF ≌Rt △ACE （HL ）即可解决问题．本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16.【答案】（1）证明：连接AE，∵CE⊥BD，点A是边CD的中点，∴AE=AD=1CD，2∵EF垂直平分线AB，∴EA=EB，∴BE=1CD；2（2）∵EA=EB，∴∠EAB=∠ABD=25°，∴∠AED=∠EAB+∠ABD=50°，∵EA=AD，∴∠D=∠AED=50°，∴∠BAC=∠ABD+∠D=75°，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC=75°．CD，根据线段垂直平分【解析】（1）连接AE，根据直角三角形的性质得到AE=AD=12线的性质得到EA=EB，等量代换证明结论；（2）根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质求出∠AED，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．本题考查的是直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半是解题的关键．17.【答案】证明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵EF∥AC，∴∠FEA=∠CAD，∴∠BAD=∠FEA，∴FA=FE，∵AE⊥BE，∴∠BEF+∠AEF=90°，∵∠ABE+∠BAE=90°，∴∠ABE=∠BEF，∴FB=FE，∴FB=FA，即点F是AB的中点．【解析】根据角平分线的性质、平行线的性质得到FA=FE，根据垂直的定义、同角的余角相等得到FB=FE，证明结论．本题考查的是平行线的性质、等腰三角形的性质、线段的中点，掌握等腰三角形的性质定理是解题的关键．18.【答案】证明：（1）∵点Q是BC边上的中点，∴BQ=CQ，∵BN⊥l，CM⊥l，∴∠BNQ=∠CMQ=90°，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQM，∴△BQN≌△CQM（AAS）∴QM=QN；2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲（含详细解析）（2）仍然成立，理由如下：如图，延长NQ交CM于E，∵点Q是BC边上的中点，∴BQ=CQ，∵BN⊥l，CM⊥l，∴BN∥CM∴∠NBQ=∠QCM，且BQ=CQ，∠BQN=∠CQE，∴△BQN≌△CQE（ASA）∴QE=QN，且∠NME=90°，∴QM=NQ=QE．【解析】（1）由“AAS”可证△BQN≌△CQM，可得QM=QN；（2）延长NQ交CM于E，由“ASA”可证△BQN≌△CQE，可得QE=QN，由直角三角形的性质可得结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．19.【答案】证明：作PD⊥BC于点D，∵BP是△ABC的外角平分线，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM=PD，同理，PN=PD，∴PM=PN，又PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【解析】作PD⊥BC于点D，根据角平分线的性质得到PM=PD，PN=PD，得到PM=PN，根据角平分线的判定定理证明即可．本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．20.【答案】解：（1）∵BC=BA，BE平分∠CBA，∴BE⊥CA，∴∠BEA=90°，又CD⊥AB，∠ABC=45°，∴∠BDC=∠CDA=90°，∴∠BCD=∠ABC=45°，∠BAC+∠DCA=90°，∠BAC+∠ABE=90°，∴DB=DC，∠ABE=∠DCA．∵在△DBH与△DCA中，17 / 28∵{∠DBH=∠DCABD=CD∠BDH=∠CDA，∴△DBH≌△DCA（ASA），∴BH=AC；（2）如图，连接CG,AG．∵AB=BC，BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AG=CG．又∵F点是BC的中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC，∴BG=CG，∴AG=BG．在Rt△AGE中，∵AG2=GE2+EA2，∴BG2=GE2+EA2．【解析】（1）由等腰三角形的性质知∠BEA=90°，根据直角三角形的性质即余角的性质得DB=DC、∠ABE=∠DCA，利用ASA证出△DBH≌△DCA即可；（2）证BE垂直平分AC，则由“垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等”推知AG=CG．易证DF垂直平分BC，则BG=CG，所以依据等量代换证得AG=BG，在Rt△AGE中，由勾股定理即可推出答案．本题考查了勾股定理，等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，线段的垂直平分线的性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，等腰三角形具有三线合一的性质，主要考查学生运用定理进行推理的能力．21.【答案】解：∵∠C=90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC∵在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2，∴4BC2=BC2+64×3，∴BC=8，∴AB=16，∵点D在边BC上，BD=3CD，∴BD=6，CD=2，如图，当点E在AB上时，过点E作EF⊥BC于点F，2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析）19 / 28∵旋转∴DE =BD =6，且∠ABC =60°，∴△BDE 是等边三角形 ∴BE =6，且EF ⊥BD ，∠ABC =60°，∴BF =3，EF =√3BF =3√3∴S △BED =12BD ×EF =9√3， 如图，当点E 在AC 上时，∵旋转∴BD =DE =6在Rt △CDE 中，CE =√DE 2−CD 2=√36−4=4√2，∴S △BED =12BD ×EC =12√2， 综上所述：△DBE 的面积为12√2或9√3．【解析】根据勾股定理可求AB ，BC 的长，即可求BD =6，CD =2，分点E 落在AB 上，或AC 上两种情况讨论，根据勾股定理和等边三角形的性质以及三角形面积公式可求△DBE 的面积．本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．22.【答案】证明：（1）∵AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠ADC =∠BDH =90°，在Rt △ADC 和Rt △BDH 中，{AC =BH AD =BD， ∴△ADC ≌△BDH （HL ）；（2）∵DB =DA ，∴∠DBA =∠DAB =45°，∵∠ABE =15°，∴∠DBH =30°，∴DH =12BH ，∵BF =FH ，∴DF =12BH ，∴DF =DH ，∵△ADC ≌△BDH ；∴CD =DH ，∴DC =DF ．【解析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，直角三角形30度角的性质等，全等三角形的判定和性质知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．（1）由全等三角形的判定定理HL证得结论即可；（2）结合（1）中全等三角形的对应边相等得到DC=DH，然后根据含30度角的直角三角形的性质以及直角三角形斜边中线的性质证明即可；23.【答案】证明：∵AD∥BC，∴∠ADC+∠BCD=180°，∵DB平分∠ADC，CE平分∠BCD，∴∠ODC+∠OCD=90°，∴∠DOC=90°，又CE平分∠BCD，∴CE是BD的垂直平分线，∴EB=ED，又∠DOC=90°，∴EC平分∠BED，∴点O到EB与ED的距离相等．【解析】根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DOC=90°，根据等腰三角形的三线合一证明即可．本题考查的是平行线的性质、角平分线的性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．24.【答案】解：设P（0，y）由勾股定理得，AB2=（5+1）2+42，AP2=12+y2，BP2=52+（4-y）2，∵∠P=90°，∴AB2=AP2+BP2，即（5+1）2+42=12+y2+52+（4-y）2，解得，y1=5，y2=-1，∴当点P的坐标为（0，5）或P（0，-1）时，△ABP是以∠P为直角的直角三角形．【解析】设P（0，y），根据勾股定理用y表示出AP、BP，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．本题考查的是勾股定理、坐标与图形性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．25.【答案】解：（1）∵AC=6，CE=3，AE=3√5，∴AC2+CE2=62+32=45，AE2=（3√5）2=45，∴AC2+CE2=AE2，∴∠ACE=90°，∵BE=5，∴BC=8，由勾股定理得：AB=√AC2+BC2=√62+82=10；（2）如图1，过E作EG⊥AB于G，∵AE平分∠BAC，∠C=90°，∴EG=EC=3，∵AE=AE，∴Rt△ACE≌Rt△AGE （HL），∴AG=AC=6，∴BG=10-6=4，∵BF=x，∴FG=|4-x|，在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF=√EG2+FG2，2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析） 21 / 28 ∴y =√32+(4−x)2=√x 2−8x +25（0＜x ＜10）；（3）分两种情况讨论：①当AE =AF =3√5时，如图2，∵AB =10，∴BF =10-3√5，②当AF =EF 时，如图3，过F 作FP ⊥AE 于P ，∴AP =12AE =3√52， ∵∠CAE =∠FAP ，∠APF =∠C =90°，∴△ACE ∽△APF ，∴AE AC =AF AP ，即3√56=3√52，AF =154， ∴BF =10-154=254，综上，当△AEF 为等腰三角形时，BF 的长为10-3√5或254．【解析】（1）先根据勾股定理的逆定理可得∠ACE =90°，再由勾股定理计算AB 的长； （2）作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得：EG =CE =3，表示FG 的长，因为F 可能在G 的左边或右边，所以FG =|4-x |，最后根据勾股定理可得y 关于x 的函数解析式；（3）当△AEF 为等腰三角形时，存在两种情况：①当AE =AF =3√5时，如图2，②当AF =EF 时，如图3，分别根据等腰三角形的性质可得结论．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质定理，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．26.【答案】解：（1）∵∠ACB =90°，∠B =30°， ∴AC =12AB =1，∵PQ =PC ，∴∠PQC =∠PCQ ，∵PE ⊥AB ，∴∠PQC +∠QDE =90°，∵∠ACB =90°，∴∠PCQ +∠ACD =90°，∴∠ACD =∠QDE ，∵∠ACD =∠ADC ，∴∠ACD =∠ADC ，∴AD =AC =1；（2）作QH ⊥BC 于H ，∵∠ACB =90°，∠B =30°，∴∠A =60°，又AD =AC ，∴△ADC 为等边三角形，∴∠QCB =30°，∵PQ =PC =x ，∴∠PQC =∠PCQ =30°，∴∠QPH =60°，∴QH =√32x ， ∴△PCQ 的面积为y =12×x ×√32x =√34x 2（√33＜x ＜√3）； （3）当点P 在边BC 的中点时，△PFQ 为等边三角形，理由如下：如备用图，∵∠BFC =90°，点P 是BC 的中点，∴PF =12BC =CP ，∵∠BFC =90°，∠B =30°，∴FC =12BC =CP ，∠BPE =60°，∴FC =PF =CP ，∴△FPC 为等边三角形，∴∠FPC =60°，∵∠BPE =60°，∴∠QPF =60°，∵PF =PC =PQ ，∴△PFQ 为等边三角形．【解析】（1）根据直角三角形的性质求出AC ，根据直角三角形的性质、等腰三角形的判定定理解答即可；（2）作QH ⊥BC 于H ，根据直角三角形的性质用x 表示出QH ，根据三角形的面积公式计算，得到答案；（3）证明△FPC 为等边三角形，得到∠FPC =60°，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 本题考查的是直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的面积计算，掌握等边三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．27.【答案】解：（1）①∵∠ACB =90°，AC =BC =4， ∴AB =4√2，∠B =∠BAC =45°，又∵DE ⊥AB ，∴△DEB 为等腰直角三角形，∵DB =x ，CE =y ，∴EB =√2x ，又∵EB +CE =4，∴√2x +y =4，∴y =4-√2x （0＜x ≤2√2）；②∵DE ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ADE =90°，∵点F 是AE 的中点，∴CF =AF =12AE ，DF =AF =12AE ，∴CF =DF ，∵∠CFE =2∠CAE ，∠EFD =2∠EAD ，∴∠CFD =∠CFE +∠EFD =2∠CAE +2∠EAD =2∠CAD ，∵∠CAB =45°，∴∠CFD =90°，∴△CDF 是等腰直角三角形；2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析） 23 / 28 （2）如图1，当点E 在BC 上时，AE =8√33，AC =4，在Rt △ACE 中，CE =4√33，则AE =2CE ，∴∠CAE =30°， 又CF =DF =12AE =4√33， 在Rt △CFG 中，GF =43，∴DG =DF +FG =4√3+43； 如图2，当点E 在BC 延长线上时，∠CFD =90°，同理可得CF =DF =12AE =4√33， 在Rt △CFG 中，GF =43，∴DG =DF -FG =4√3−43．【解析】（1）①先证△DEB 为等腰直角三角形，设DB =x ，CE =y 知EB =√2x ，由EB +CE =4知√2x +y =4，从而得出答案；②由∠ADE =90°，点F 是AE 的中点知CF =AF =12AE ，DF =AF =12AE ，据此得出CF =DF ，再由∠CFE =2∠CAE ，∠EFD =2∠EAD 知∠CFD =∠CFE +∠EFD =2∠CAE +2∠EAD =2∠CAD ，结合∠CAB =45°知∠CFD =90°，据此可得答案；（2）分点E 在BC 上和BC 延长线上两种情况，分别求出DF 、GF 的长，从而得出答案．本题主要是三角形的综合问题，解题的关键是掌握等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．28.【答案】（1）证明：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，M 是BD 的中点，∴CM =12BD ．同理ME =12BD ，∴CM =ME ．（2）解：∵在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，BC =√3，∴AB =2BC =2√3．由勾股定理得AC =3，∵AD =x ，∴CD =3-x ，在Rt △BCD 中，∠BCD =90°，∴BD 2=BC 2+CD 2，∴BD =√3+(3−x)2，∵CM =12BD ，CM =y ，∴y =√x 2−6x+122（0＜x ＜3），（3）不变．∵M 是Rt △BCD 斜边BD 的中点，∴MB =MC ，∴∠MBC =∠MCB ．∴∠CMD =∠MBC +∠MCB =2∠MBC ，∵M 是Rt △BED 斜边BD 的中点，同理可得：∠EMD =2∠MBE ，∠CMD +∠EMD =2∠MBC +2∠MBE =2（∠MBC +∠MBE ）=2∠ABC ，即∠CME =2∠ABC =120°，∵MC =ME ，∴∠MCE =∠MEC =30°．【解析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明；（2）根据CM =12BD ，可得BD =2y ，根据勾股定理又可得出BD 用x 表示的形式，换成等式即可得出y 与x 的函数解析式；（3）根据（1）可知，∠MBC =∠MCB ，∠MEB =∠MBE ，易得出∠CMD =2∠CBM ，∠DME =2∠MBE ，即∠CME =2∠CBA 是定值，又知CM =ME ，即可证明∠MCE 是定值，即可得出结论．本题考查了直角三角形斜边上的中线，含30°角的直角三角形以及勾股定理的知识，难度较大，熟练掌握各个知识点是解答本题的关键．29.【答案】解：（1）在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =30°，AB =4， ∴BC =12AB =2，∴AC =√AB 2−BC 2=2√3，∵D 是AC 的中点，∴AD =√3，DP =√32，AP =32， ∴BP =AB -AP =52，∵∠DPE =60°，∴∠EPB =30°，∴EB =12BP =54；2019-2020年沪教版八年级数学上册期末考点大串讲 （含详细解析） 25 / 28 （2）设AP =x ，则BP =4-x ， 在两个有30°的Rt △APD ，Rt △BPE 中，AD =2DP ，BP =2BE ， 由勾股定理解得PD =√33x ，PE =√32（4-x ）， 因为PD =PE ，所以√33x =√32（4-x ）， 解得x =125，即AP =125；（3）由（2）知：AP =x ，PD =√33x ，PE =√32（4-x ），BE =12（4-x ）， ∴y =S △ABC -S △APD -S △BPE=12×2×2-12•x •√33x -12×√32（4-x ）•12（4-x ） =-7√324x 2+√3x （0＜x ＜3）．【解析】（1）由∠A =30°，AB =4求得BC =2，AC =2√3，结合D 是AC 中点知AD =√3，DP =√32，AP =32，从而得出BP =AB -AP =52，再根据∠EPB =30°可得答案； （2）设AP =x ，知BP =4-x ，由勾股定理解得PD =√33x ，PE =√32（4-x ），根据PD =PE 得出关于x 的方程，解之可得；（3）由（2）知：AP =x ，PD =√33x ，PE =√32（4-x ），BE =12（4-x ），依据y =S △ABC -S △APD -S △BPE 可得答案．本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握直角三角形的有关性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识点．30.【答案】解：（1）如图1，∵∠ABC =90°，AB =3，BC =4，∴AC =√32+42=5，∵∠ACE =90°，∴AC 2=AB •AE ，∴52=3AE ，∴AE =253，∴BE =AE -AB =253-3=163；（2）过F 作FH ⊥BC 于H ，∵AD ∥BC ，∴∠BAD =∠CBE =90°，∴∠FAB =∠ABH =∠BHF =90°，∴四边形ABHF 是矩形，∴FH =AB =3，BH =AF =y ，∴CH =4-y ，∵∠FCE =90°，∴∠FCH +∠ECB =∠ECB +∠BEC =90°，∴∠FCH =∠BEC ，∴△CFH ∽△ECB ，∴CH BE =FH BC ，∴4−y x=34， ∴y =34x -4，（0≤x ≤163）；（3）∵CF =GC ，∴∠CGF =∠CFG ，∵AD ∥BC ，∴∠AFE =∠CGF ，∴∠CFG =∠AFE ，∵∠FAE =∠FCE =90°，∴CE =AE =3+x ，在Rt △BCE 中，∵BC 2+BE 2=CE 2，∴（x +3）2=x 2+42，∴x =76，∴BE =76．【解析】（1）如图1，根据勾股定理得到AC =√32+42=5，根据射影定理即可得到结论；（2）过F 作FH ⊥BC 于H ，根据平行线的性质得到∠BAD =∠CBE =90°，根据矩形的性质得到FH =AB =3，BH =AF =y ，求得CH =4-y ，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到∠CFG =∠AFE ，根据角平分线的性质得到CE =AE =3+x ，根据勾股定理即可得到结论．本题考查几何变换综合题、相似三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．31.【答案】解：（1）∵∠ACB =90°，AC =6，BC =2√3， ∴AB =√AC 2+BC 2=√62+(2√3)2=√48=4√3，∴BC =12AB ，∴∠A =30°；（2）∵DE ⊥AB ，∴∠AFD =90°，∵∠A =30°，∴∠ADF =60°，∴∠CDE =120°，∵DE =DC ，∴∠DCE =∠DEC =30°∴∠GCB =60°，。