人教版八年级数学上直角三角形.docx
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桑水出品 直角三角形 知识导引 1、直角三角形的性质：（1）直角三角形的两个锐角互余；（2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（3）直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半；（4）直角三角形中，如果有一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的角是30°。 2、直角三角形的判定方法：（1）有一个角是直角的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形；（3）如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、注意直角三角形的性质和判定之间的互逆关系。 4、等腰直角三角形是特殊的直角三角形，它的两个底角都是45°，且两条直角边相等，等腰直角三角形具有等腰三角形和直角三角形的所有性质，是很常见的特殊三角形。 典例精析
例1：已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=21BC，则△ABC底角的度数为（ ） A、45° B、75° C、45°或75° D、60° 例2：两个大小不同的等腰直角三角板按如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连结CD。 （1）请找出图②中的全等三角形并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）； （2）试说明：CD⊥BE。 例3：如图所示，四边形ABCD由一个∠ACB=30°的Rt△ABC与等腰Rt△ACD拼成，E为斜边AC的中点，则∠BDE= 。 例3—1：如图，已知AD⊥BD，AC⊥BC，E为AB的中点，试判断DE与CE是否相等并说明理由。 例4：已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点F，试说明AE=AF。 例5：如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，∠ABC的平分线BD交AC于
点D，CE⊥BD，交其延长线于点E，求证：CE=21BD 探究活动 例：小华将一张矩形纸片（如图1）沿对角线AC剪开，得到两张三角形纸片（如图2），其中∠ACB=，然后将这两张三角形纸片按如图3所示的位置摆放，△DEF纸片的直角顶点D落在纸片△ABC的斜边AC上，直角边DF落在AC所在的直线上。 & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 &
鑫达捷 （1）若DE与BC相交于点G，取AG中点M，连接BM、DM，当△DEF纸片沿CA方向平移时（如图3），请你观察、测量BM、DM的长度，猜想并写出BM与DM的数量关系，然后证明你的猜想； （2）在（1）条件下，求出∠BMD的大小（用含式子表），并说明当=45°时，△BMD是什么三角形； （3）在图3的基础上，将△DEF绕点C逆时针旋转一定的角度（旋转角度小于90°），此时△CGD变成△CHD，同样取AH的中点M，连接BM、DM（如图4），请继续探究BM与DM的数量关系和∠BMD的大小，直接写出你的猜想，不需要证明，并说明为何值时，△BMD为等边三角形． 学力训练 A组 务实基础 1、下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②全等三角形的周长相等；③直角都相等；④等边对等角。它们的逆命题是真命题的个数为（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 2、设M表示直角三角形，N表示等腰三角形，P表示等边三角形，Q表示等腰直角三角形，则下列四个图中，能表示它们之间关系的是（ ）
A、 B、
C、 D、 3、如图，Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D。E、F分别是CD，AD上的点，且CE=AF。如果∠AED=62°，那么∠DBF=（ ） A、62° B、38° C、28° D、26°
（第3题图） （第4题图） （第5题图） 4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AC、AB的中点，连结DE、CE，则下列结论中不一定正确的是（ ） A、DE∥BC B、DE⊥AC C、∠ACE=∠BCE D、AE=CE 5、如图，将一副三角板叠放在一起且直角的顶点重合于点O，则∠AOB＋∠DOC＝ 度 6、如图，Rt△ABC中，CD，CE分别是斜边AB上的高和中线，如果∠A=30°，BD=1cm，那么∠BCD= ，BC= cm，AD= cm。 & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 鑫达捷 （第6题图） （第7题图） （第8题图） 7、如图所示，已知△ABC是等边三角形，AD∥BC，CD⊥AD，垂足为点D，E为AC的中点，AD=DE=6cm，则∠ACD= ，AC= cm，∠DAC= ，△ADE是 三角形。 8、如图所示，一根长a米的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P，若木棍的A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行，请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离 （填“发生”或“不发生”）变化，理由是 9、如图，只剪两刀把一个直角三角形分割成三个直角三角形。（至少给出三种剪法，用铅笔作出分割线，只要有一条分割线不同，就视作不同的剪法）
10、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数。 11、如图，在直角三角形ABC中，CM是斜边AB上的中线，MN⊥AB，∠ACB的平分线CN交MN于点N，求证：CM=MN 12、（1）等腰直角△ABC和等腰直角△CDE的位置如图1所示，连结BE，并延长交AD于点F，试问：AD与BE之间有什么关系？证明你的结论。 （2）若保持其他条件不变，等腰直角△CDE绕C点旋转，位置如图2所示，试问：AD与BE之间的关系还存在吗？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由。 B组 瞄准中考 1、（枣庄中考）如图，已知△ABC为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1＋∠2等于（ ） A、315° B、270° C、180° D、135°
（第1题图） （第2题图） （第3题图） 2、（潍坊中考）如图，Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC，BE平分∠ABC，交AD于点E，EF∥AC，下列结论一定成立的是（ ） A、AB=BF B、AE=DE C、AD=CD D、∠ABE=∠DFE 3、（贵阳中考）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP的长不可能是（ ） A、3.5 B、4.2 C、5.8 D、7 & 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 鑫达捷 4、（贵阳中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于点F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）
A、3 B、2 C、3 D、1
（第4题图） （第5题图） （第6题图） （第7题图） 5、（威海中考）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=90°，AB=AC，若∠1＝20°，则∠2的度数为（ ） A、25° B、65° C、70° D、75°
6、（日照中考）如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形1111DCBA；在等腰直角三
角形11BOA中，作内接正方形2222DCBA，在等腰三角形22BOA中，作内接正方形3333DCBA；…；依次作下去，则第n个正方形nnnnDCBA的边长是（ ） A、131n B、n31 C、131n D、231n 7、（益阳中考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是地边上的高，E为AC中点，则DE＝ 8、（内江中考）下面的方格图案中的正方形顶点叫做格点，图1中以格点为顶点的等腰直角三角形共有4个，图2中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图3中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个，图4中以格点为顶点的等腰直角三角形共有 个。
（第8题图） 9、（珠海中考）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线。 （1）用尺规作图的方法，作∠ADC的平分线DN。（保留作图痕迹，不写作法和证明） （2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状（只写结果） 10、（朝阳中考）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在AC上，点E在BC上，且CD=CE，连结DE。 （1）线段BE与AD的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）如图2，当△CDE绕点C顺时针旋转一定角度后，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。 11、（杭州中考）已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，其中∠ABC=∠ADE=90°，点M为CE的中点。 （1）如图1，当点D，E分别在AC，AB上时，求证：△BMD为等腰直角三角形； （2）如图2，将图中的△ADE绕点A逆时针旋转45°，使点D落在AB上，此时问题（1）中的结论“△BMD为等腰直角三角形”还成立吗？请对你的结论加以证明。 12、（河北中考）如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，& 鑫达捷致力于精品文档 精心制作仅供参考 & 鑫达捷 边EF与边AC重合，且EF=FP。 （1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系； （2）将△EFP沿直线l向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ，猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； （3）将△EFP沿直线l向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ，你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由。
C组 冲击金牌 1、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M，N分别是AD，BC的中点，若∠B与∠C互余，则MN与BC－AD的关系是（ ） A、2MN＜BC－AD B、2MN＞BC－AD C、2MN＝BC－AD D、MN＝2（BC－AD） 2、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE，连结DE，DF，EF，在此运动变化过程中，有下列五个结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8，其中正确的结论是 3、如图所示的△ABC是电子跳蚤游戏盘，AB=AC=BC=6，如果跳蚤开始时在
BC边的0P处，20BP，跳蚤第一步从0P跳到AC边的1P（第1次落点）处，且01CPCP；第二步从1P跳到AB边的2P（第2次落点）处，且12APAP；第三步从2P跳到BC边的3P（第3次落点）处，且
23BPBP；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为nP（n为正整
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)
人教版 八年级数学上册 竞赛专题：直角三角形(含答案)【例l 】（1）直角△ABC 三边的长分别是x ，1x 和5，则△ABC 的周长＝_____________.△ABC 的面积＝_____________.（2）如图，已知Rt △ABC 的两直角边AC ＝5，BC ＝12，D 是BC 上一点，当AD 是∠A 的平分线时，则CD ＝_____________.（太原市竞赛试题）解题思路：对于（1），应分类讨论；对于（2），能在Rt △ACD 中求出CD 吗？从角平分线性质入手.【例2】如图所示的方格纸中，点A ，B ，C ，都在方格线的交点，则∠ACB ＝（ ） A.120° B.135° C.150° D.165°（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：方格纸有许多隐含条件，这是解本例的基础.【例3】如图，P 为△ABC 边BC 上的一点，且PC ＝2PB ，已知∠ABC ＝45°，∠APC ＝60°，求∠ACB 的度数.（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：不能简单地由角的关系推出∠ACB 的度数，综合运用条件PC ＝2PB 及∠APC ＝60°，构造出含30°的直角三角形是解本例的关键.【例4】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，分别以AB ，AC 为边在△ABC 的外侧DCBC作等边△ABE 和等边△ACD ，DE 与AB 交于F ，求证：EF ＝FD.（上海市竞赛试题）解题思路：已知FD 为Rt △FAD 的斜边，因此需作辅助线，构造以EF 为斜边的直角三角形，通过全等三角形证明.【例5】如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝30°，∠ADC ＝60°，AD ＝CD ，求证：222BD AB BC +=（北京市竞赛试题）解题思路：由待证结论易联想到勾股定理，因此，三条线段可构成直角三角形，应设法将这三条线段集中在同一三角形中.【例6】斯特瓦尔特定理：如图，设D 为△ABC 的边BC 上任意一点，a ，b ，c 为△ABC 三边长，则222b BDc DC AD BD DC a+=-⋅.请证明结论成立.解题思路：本题充分体现了勾股定理运用中的数形结合思想.能力训练A 级1.如图，D 为△ABC 的边BC 上一点，已知AB ＝13，AD ＝12，AC ＝15，BD ＝5，则BC ＝_____________.BACCBB2.如图，在Rt △ABC 中∠C ＝90°，BE 平分∠ABC 交AC 于E ，DE 是斜边AB 的垂直平分线，且DE ＝1cm ，则AC ＝_____________cm.3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝90°，则∠DAB ＝_____________.（上海市竞赛试题）4.如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝13，边BC 上的中线AD ＝6，则BC 的长为_____________.（湖北省预赛试题）5.如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30 º，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B. 钝角三角形C. 锐角三角形D.不能确定（山东省竞赛试题）6.如图，小正方形边长为1，连结小正方形的三个顶点可得△ABC ，则AC 边上的高为（ ）第1题D 第2题第3题ABC第4题DBB.C.D.（福州市中考试题）7.如图，一个长为25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑（ ） A. 15分米 B. 9分米 C. 8分米 D. 5分米8.如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝4，AD ＝5，那么BC CD等于（ ） A.1 B. 2C.D.549. 如图，△ABC 中，AB ＝BC ＝CA ，AE ＝CD ，AD ，BE 相交于P ，BQ ⊥AD 于Q ，求证：BP ＝2PQ.（北京市竞赛试题）第6题C第7题第8题AC10. 如图，△ABC 中，AB ＝AC.（1）若P 是BC 边上中点，连结AP ，求证：22BP CP AB AP ⋅=-（2）P 是BC 边上任意一点，上面的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）若P 是BC 边延长线上一点，线段AB ，AP ，BP ，CP 之间有什么样的关系？请证明你的结论.11.如图，直线OB 是一次函数2y x =图象，点A 的坐标为（0，2），在直线OB 上找点C ，使得△ACO 为等腰三角形，求点C 的坐标.12.已知：如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，求△BED 的面积.（山西省中考试题）B 级1.若△ABC 的三边a,b,c 满足条件：222338102426a b c a b c +++=++，则这个三角形最长边上的高为_____________.2.如图，在等腰Rt △ABC 中，∠A ＝90°，P 是△ABC 内的一点，PA ＝1，PB ＝3，PC，则∠CPA ＝_____________.BD3. 在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为_____________.4.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AF 平分∠CAB 交CD 于E ，交CB 于F ，且EG ∥AB 交CB 于G ，则CF 与GB 的大小关系是（ ） A. CF ＞GB B. CF ＝GB C. CF ＜GB D. 无法确定5. 在△ABC 中，∠B 是钝角，AB ＝6，CB ＝8，则AD 的范围是（ ） A. 8＜AC ＜10 B. 8＜AC ＜14 C. 2＜AC ＜14 D. 10＜AC ＜14（江苏省竞赛试题）6.满足两条直角边长均为整数，且周长恰好等于面积的整数倍的直角三角形的个数有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D.4个（浙江省竞赛试题）7.如图，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E ，F 分别是AB ，AC边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5，求△DEF 的面积.（四川省联赛试题）8.如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，D 为斜边BC 中点，DE ⊥DF ，求证：222EF BE CF =+第2题A第4题D ABDBCDB（江苏省竞赛试题）9.周长为6，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明有几个.（全国联赛试题）10.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝45°，AD ⊥BC 于D ，BD ＝3，CD ＝2，求△ABC 面积.（天津市竞赛试题）11.如图，在△ABC 中，∠B AC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间数量关系，并说明理由.12.已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠MCN ＝45°. （1）如图1，当M ，N 在AB 上时，求证：222MN AM BN =+（2）如图2，将∠MCN 绕点C 旋转，当M 在BA 的延长线上时，上述结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（天津市中考试题）BCA C图1NAB M图2N BM参考答案例1 （1）12或30；6或30； 提示：()22125x x ++=，得3x =；由()22251x x +=+，得12x =，（2）103提示：作DE ⊥AB 于E ，设CD =x ，则BE =13-5=8，DE =x ，BD =12-x ，由()222812x x +=-，得103x =． 例2 B 提示：过B 作BD ⊥AC 延长线于D 点，设CD =x ，BD =y ，可求得：x =y ，则∠BCD =45°，故∠BCA =135°．例3 ∠ACB =75° 提示：过C 作CQ ⊥AP 于Q ，连接BQ ，则AQ =BQ =CQ ．例4 提示：过E 作EG ⊥AB 于G ，先证明Rt △EAG ≌Rt △ABC ，再证明△EFG ≌△DF A ．例5 连接AC∵AD =DC ，∠ADC =60°，∴△ADC 是等边三角形，DC =CA =AD ，以BC 为边向四边形外作等边三角形BCE ，即BC =BE =CE ， 则∠BCE =∠EBC =∠CEB =60°，∴∠ABE =∠ABC +∠EBC =90°，连接AE ，则22222AE AB BE AB BC =+=+，易证△BDC ≌△EAC ，得BD =AE ，故222BD AB BC =+． 例6 过A 作AE ⊥BC 于E ，设DE =x ，BD =u ，DC =v ，AD =t ，则()()2222222AE b v x c u x t x =--=-+=-，故2222t b v ux =-+，2222t c u ux =--，消去x 得222b u c v t uv u v +=-+，即222b BD c CDAD BD DC a+=-⋅． A 级1．14 2．3 3．135°4． 提示：延长AD 至E ，使DE =AD ，连接BE ，则△ACD ≌△EBD ，∴BE =AC =13，AE =12，又AB =5，则∠BAD =90°，5．D 6．C 7．C 8．B 9．提示：△ADC ≌△BEA ，∠BPQ =60°． 10．（1）（2）略 （3）提示：AB ，AP ，BP ，CP ，之间的关系是22AP AB BP CP -=⋅ 11．提示：满足提议的点有4个，作别分别为：8161,,,,,1552⎛⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 12．10．B 级1．60132．135° 提示：将△P AC 绕A 点顺时针旋转90°， 3．32或42 提示：分类讨论。
人教版数学八年级上册13.3.4含30角的直角三角形的性质优秀教学案例
在本节课的教学过程中，我注重引导学生主动探究，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。在教学设计上，我尽量采用生动有趣的教学方法，激发学生的学习兴趣。在教学评价方面，我关注学生的知识掌握和能力培养，充分考虑学生的个体差异。总体来说，本节课的教学效果较好，学生在探究过程中得到了锻炼，提高了能力。但在今后的工作中，我还需要不断学习，提高自己的教育教学水平，为学生的全面发展贡献自己的力量。
2.引导学生相互倾听、交流、讨论，培养学生的沟通能力和团队协作能力。
3.组织小组展示和评价，让学生充分展示自己的成果，提高学生的自信心和表达能力。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结学习方法和经验，提高自我认知能力。
2.教师对学生的学习过程和成果进行评价，关注学生的知识掌握和能力培养。
（四）总结归纳
1.各小组汇报讨论成果：小组代表汇报本组的探究过程和结果。
2.教师总结：归纳含有30°角的直角三角形的性质，强调重点和难点。
3.布置课后作业：设计相关习题，巩固学生对含有30°角的直角三角形性质的理解和应用。
（五）作业小结
1.学生完成课后作业，巩固所学知识。
2.教师对学生的作业进行批改，了解学生的学习情况，针对性地进行辅导。
3.学生对作业进行自我检查和反思，总结学习经验和方法。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：通过展示实际生活中的含30°角的直角三角形图片，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.问题导向：本节课以问题为导向，引导学生主动探究含30°角的直角三角形的性质。通过设计具有挑战性和启发性的问题，激发学生的好奇心，培养学生的思维能力和问题解决能力。
3.小组合作：在教学过程中，组织学生进行小组合作，鼓励学生分工合作，共同完成探究任务。通过小组讨论、交流和展示，培养学生的沟通能力和团队协作能力，提高学生的自主学习能力。
人教版数学八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》教案
人教版数学八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》教案一. 教材分析人教版数学八年级上册《含30°角的直角三角形的性质》这一节，主要让学生掌握含30°角的直角三角形的性质。
在学习了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识的基础上，通过探索含30°角的直角三角形的性质，培养学生的观察、思考、归纳能力。
二. 学情分析学生在之前的学习中，已经掌握了锐角三角函数、直角三角形的性质等知识，具备了一定的观察、思考、归纳能力。
但对于含30°角的直角三角形的性质，可能还较为陌生，需要通过实例来引导学生探索、总结。
三. 教学目标1.理解含30°角的直角三角形的性质。
2.能够运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的观察、思考、归纳能力。
四. 教学重难点1.含30°角的直角三角形的性质的掌握。
2.运用含30°角的直角三角形的性质解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、小组合作法等，引导学生观察、思考、探索，培养学生的观察、思考、归纳能力。
六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示含30°角的直角三角形的图片，引导学生观察，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师通过三角板演示含30°角的直角三角形，让学生直观地感受其性质。
同时，引导学生思考、归纳，总结出含30°角的直角三角形的性质。
3.操练（10分钟）学生分组合作，利用三角板和练习题，进行实践活动，巩固含30°角的直角三角形的性质。
4.巩固（10分钟）教师通过PPT课件，呈现一些有关含30°角的直角三角形的性质的题目，让学生独立完成，检查学生对知识点的掌握情况。
5.拓展（10分钟）教师引导学生运用含30°角的直角三角形的性质，解决实际问题，如测量高度、距离等。
2022年秋八年级数学上册 第12章 全等三角形 12.2 三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全
易错点：将“HL”与“AAS”混淆．
自我诊断 3. 如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂 足分别为 E、F，∠B＝∠C，则△BDE 与△CDF 全等的依据是( C )
A．HL C．AAS
B．SAS D．SSS
1．如图，可直接用“HL”判断 Rt△ABC 和 Rt△DEF 全等的条件是( C )
12．如图①，E、F 分别为线段 BC 上两个动点，AB＝CD，AE⊥BC 于点 E， DF⊥BC 于点 F，CE＝BF，AD 交 EF 于点 O. (1)猜想 O 是哪些线段的中点，选择一个结论给出证明； (2)当 E、F 两点移动至如图②所示的位置时，其余条件不变，(1)中的猜想 是否成立？直接写出结论，不需证明．
2018秋季
数学 八年级 上册•R
第十二章 全等三角形
12.2 三角形全等的判定 第4课时 直角三角形全等的判定
用“HL”证明三角形全等 斜边 和 一直角边 对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、 直角边”或“HL”)． 自我诊断 1. 如图所示，BD、CE 是△ABC 的高，且 BD＝CE，则可以判定 Rt△BCD≌Rt△CBE 的依据是 HL .
A．AC＝DF，BC＝EF
B．∠A＝∠D，AB＝DE
C．AC＝DF，AB＝DE
D．∠B＝∠E，BC＝EF
2．如图所示，已知 AB＝CD，AE⊥CD 于点 E，CF⊥BD 于点 F，AE＝CF，
则图中全等三角形有( C )
A．1 对
B．2 对
C．3 对
D．4 对
3．如图所示，AB⊥BC 于 B，AD⊥CD 于 D，若 CB＝CD，且∠BAC＝35°， 则∠BAD＝ 70° . 4．如图，AD⊥BC 于点 D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”来判定，还 需要加条件 AB＝AC ，若加条件∠B＝∠C，则可用 AAS 判定．
八年级上册数学专题第7讲 双直角三角形模型
双直角三角形模型双直角三角形模型是在解三角形中最常见的模型，模型的特点为：有一条直角边为公共边，另外一条直角边共线。
但在不同的背景下会有不同的变化，需要从中看出模型的本质．模型讲解105°30°30°45°30°135°30°45°15°45°60°45°60°45°45°60°βα一般类型：将两个直角三角形组合，一条直角边为公共边，其中∠a 和∠β的三角函数值为已知．【例题讲解】例题1、如图，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB ＝2(单位：km )．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．(1)求点P 到海岸线l 的距离；(2)小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．(上述两小题的结果都保留根号)．解：(1)如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD＝x km．在R t△PBD中，∠BDP＝90°，∠PBD＝90°－45°＝45°，∴BD＝PD＝x km．在R t A△PAD中，∠ADP＝90°，∠PAD＝90°－60°＝30°，∴AD＝3PD＝3x km．∵BD＋AD＝AB，∴x＋3x＝2，x＝3－1，∴点P到海岸线l的距离为(3－1)km；(2)如图，过点B作BF⊥AC于点F．AB＝l km．在R t△ABF中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，∴BF＝12在△ABC中，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°．在R t△BCF中，∠BFC＝90°，∠C＝45°，∴BC＝2BF＝2km，∴点C与点B之间的距离为2km．例题2、如图，在一条笔直的东西向海岸线l上有一长为1.5km的码头MN和灯塔C，灯塔C距码头的东端N有20km．一轮船以36km/h的速度航行，上午10：00在A处测得灯塔C位于轮船的北偏西30°方向，上午10：40在B处测得灯塔C位于轮船的北偏东60°方向，且与灯塔C相距12km．(1)若轮船照此速度与航向航行，何时到达海岸线？(2)若轮船不改变航向，该轮船能否停靠在码头？请说明理由．(参考数据：2≈1.4，3≈1.7)解：(1)延长AB交海岸线于点D，过点B作BE⊥海岸线于点E，过点A作AF⊥l于F，如图所示．∵∠BEC＝∠AFC＝90°，∠EBC＝60°，∠CAF＝30°，∴∠ECB＝30°，∠ACF＝60°，∴∠BCA＝90°，∵BC＝12，AB＝36×40＝24，∴AB＝2BC，∴∠BAC＝30°，∠ABC＝60°，60∵∠ABC＝∠BDC＋∠BCD＝60°，∴∠BDC＝∠BCD＝30°，∴BD＝BC＝12，∴时间t＝1236＝13小时＝20分钟，∴轮船照此速度与航向航行，上午11：00到达海岸线．(2)∵BD＝BC，BE⊥CD，∴DE＝EC，在RT△BEC中，BC＝12，∠BCE＝30°，∴BE＝6，EC＝63≈10.2，∴CD＝20.4，∵20＜20.4＜21.5，∴轮船不改变航向，轮船可以停靠在码头．【巩固练习】1、如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为．2、如图，在高楼前D点测得楼顶的仰角为30°，向高楼前进60米到C点，又测得仰角为45°，则该高楼的高度大约为．(保留整数)3、如图是一山谷的横断面示意图，宽AA′为15m，用曲尺(两直尺相交成直角)从山谷两侧测量出OA＝1m，OB＝3m，O′A′＝0.5m，O′B′＝3m(点A，O，O′,A′在同一条水平线上)，则该山谷的深h为m．4、如图所示，一条自西向东的观光大道l上有A、B两个景点，A、B相距2km，在A处测得另一景点C位于点A的北偏东60°方向，在B处测得景点C位于景点B的北偏东45°方向，求景点C到观光大道l 的距离．(结果精确到0.1km)5、如图，在直角坐标系中，直线y＝－34x＋6与坐标轴分别交于A、B两点，AB中点为点P，则点P到直线y＝－x的最短距离PQ的长度为．6、如图，在△ABC，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转．(1)当AC平分∠A′CB′时，BD的长为；(2)连接AA′，当△AA′C为等边三角形时，BD的长为．A'B'EAB CD7、如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝45°，∠ADB＝∠ABC＝105°．(1)若AD＝2，求AB；(2)若AB＋CD＝23＋2，求A B．A B CD8、如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干倾斜角∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝4m．(1)求∠CAE的度数；(2)求这棵大树折断前的高度．(结果精确到个位，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.4)9、2014年3月8日凌晨，马来西亚航空公司吉隆坡飞北京的MH 370航班在起飞一个多小时后在雷达上消失，至今没有被发现踪迹．飞机上有239名乘客，其中154名是中国同胞，中国政府启动了全面应急和搜救机制，派出多艘中国舰船在相关海域进行搜救．如图，某日在南印度洋海域有两艘自西向东航行的搜救船A 、B ，B 船在A 船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两船同时测得在A 的东北方向，B 的北偏东15°方向有一疑似物C ，求此时疑似物C 与搜救船A 、B 的距离各是多少？(结果保留根号)10、如图，一艘船以每小时24海里的速度向北偏西75°方向航行，在点A 处测得灯塔P 在船的西北方向．航行40分钟后到达点B 处，这时灯塔P 恰好在船的正北方向．已知距离灯塔9海里以外的海区为安全航行区域．问：这艘船能否按原方向继续向前航行？为什么？11、学习了勾股定理的逆定理，我们知道：在一个三角形中，如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形为直角三角形．类似地，我们定义：对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x °、y °和z °，若满足x 2＋y 2＝z 2，则称这个三角形为勾股三角形．(1)根据“勾股三角形”的定义，请你直接判断命题：“直角三角形是勾股三角形”是真命题还是假命题？(2)如图，△ABC 内接于⊙0，AB＝6，AC ＝1＋3，BC ＝2，⊙O 的直径BE 交AC 于点D ，①求证：△ABC 是勾股三角形；②求DE 的长．AC DEOB参考答案1.解：∵∠ECA ＝30°，∠FCB ＝60°，又∵CD ⊥AB ，CD ⊥EF ，∴∠ACD ＝60°，∠BCD ＝30°，在R t △ADC 中，t a n ∠ACD ＝A DC D ∴4D ＝t a n 60° DC ＝3×90＝903，在R t △BCD 中，t a n ∠BCD ＝B D C D ，BD ＝t a n 30° DC ＝33×90＝303，∴AB ＝AD ＋BD ＝903＋303＝1203．答：建筑物A 、B 间距离为1203米．2.解：设楼高AB 为x ．在R t △ADB 中有：DB ＝t a n 30x＝3x ，在R t △ACB 中有：BC ＝t a n 45x ＝x ．而CD ＝BD －BC ＝(3－1)x ＝60，解得x ＝82．3.解：设A 、A ′到谷底的水平距离为AC ＝m ，A ′C ＝n ，∴m ＋n ＝15，根据题意知，OB ∥CD ∥O ′B ′．∵OA ＝1，OB ＝3，0′A ′＝0.5，O ′B ′＝3．∴h m ＝O B O A ＝3，h n ＝''''O B O A ＝6，∴(13＋16)h ＝15，解得h ＝30(m )．4.解：如图，过点C 作CD ⊥l 于点D ，设CD＝x km ，在△ACD 中，∵∠ADC ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝3CD ＝3x km ，在△BCD 中，∵∠BDC ＝90°，∠CBD ＝45°，∴BD ＝CD ＝x km ，∵AD －BD ＝AB ，∴3x －x ＝2，∴X ＝3＋1＝2.7(k m )．答：景点C 到观光大道的距离约为2.7km ．5.解：可知点P 为(4，3),作PH ⊥y 轴交直线y＝－x 于点H ，则H (4，－4)，PH ＝7,∴最短距离PQ ＝2P H ＝72＝7226.解：过D 作DH ⊥BC 于H ，(1)可知∠BCD ＝45°，设CH ＝DH ＝t ，则BH ＝43t ，∴BC ＝t ＋43t ＝4，解得t ＝127，∴BD ＝53t ＝207.(2)可知∠BCD ＝∠A ′CA ＝60°，设CH ＝DH ＝t ，则BH ＝3t ，∴BC ＝t ＋3t ＝4，解得t ＝2(3－1)，∴BD ＝53×2(3－1)＝103103 .H A 'B 'E ABC D7.解：(1)过D 点作DE ⊥AB ，过点B 作BF⊥CD ，∵∠A ＝∠C ＝45°，∠ADB ＝∠ABC＝105°，∴∠ADC ＝360°﹣∠A ﹣∠C ﹣∠ABC ＝360°﹣45°﹣45°﹣105°＝165°，∴∠BDF ＝∠ADC ﹣∠ADB ＝165°﹣105°＝60°，△ADE 与△BCF 为等腰直角三角形，∵AD ＝2，∴AE ＝DE ＝22＝2，∵∠ABC ＝105°，∴∠ABD ＝105°﹣(180°﹣45°﹣60°)＝30°，∴BE ＝t a n 30D E＝233＝6，∴AB＝2＋6；(2)设DE ＝x ，则AE ＝x ，BE ＝t a n 30x＝33x ＝3x ，∴BD ＝2x ，∵∠BDF ＝60°，∴∠DBF ＝30°，∴DF ＝12BD ＝x ，∴BF ＝3x ，∴CF ＝3x ，∵AB ＝AE ＋BE ＝x ＋3x ，CD ＝DF＋CF ＝x ＋3x ，AB ＋CD ＝23＋2，∴AB ＝3＋1A E BCFD8.解：(1)延长BA 交EF 于点G ．在R t △AGE中，∠E ＝23°，∴∠GAE ＝67°，又∵∠BAC ＝38°，∴∠CAE ＝180°﹣67°﹣38°＝75°．(2)过点A 作AE ⊥CD ，垂足为H ．在△ADH中，∠ADC＝60°，AD＝8，c os∠ADC＝D HA D，∴DH＝4，sin∠ADC＝A HA D，∴AH＝43．在R t△ACH中，∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∴CH＝AH＝43，AC＝46．∴AB＝AC＋CD＝46＋43＋4≈20(米)．答：这棵大树折断前高约20米．9.解：过点B作BD⊥AC于D．由题意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝90°＋15°＝105°，∴∠ACB＝180°﹣∠BAC﹣∠ABC＝30°．在R t△ABD中，AD＝BD＝AB•sin∠BAD＝20×22＝102(海里)，在R t△BCD中，BC＝si n B DB C D＝10212＝202(海里)，DC＝t a n B DB C D＝10233＝106(海里)，∴AD＋CD＝102＋106＝10(2＋6)(海里)．答：疑似物C与搜救船A的距离是10(2＋6)海里，与搜救船B的距离是20海里．10.解：这艘船能按原方向继续向前航行．理由如下：如图，过点B作BH⊥AP于H，过点P作PM⊥AB，交AB延长线于M．由题意，知AB＝24×4060＝16(海里)，∠BAP＝75°﹣45°＝30°．∵PB∥AC，∴∠BPH＝∠CAP＝45°．在R t △ABH 中，BH ＝12AB ＝8，AH ＝3BH ＝83．在R t △PBH 中，PH ＝BH ＝8，∴PA ＝PH ＋AH ＝8＋83，∴PM＝PA •sin ∠PAM ＝12PA ＝4＋43＞9，∴能按原方向继续向前航行．11.解：(1)∵对于任意的三角形，设其三个角的度数分别为x °、y °和z °，若满足x 2＋y 2＝z 2，则称这个三角形为勾股三角形，∴无法得到，所有直角三角形是勾股三角形，故是假命题；(2)由题意可得：2221802160xy z xy x y z ，解得：x ＋y ＝102；(3)①证明：过B 作BH ⊥AC 于H ，设AH＝x ，R t △ABH 中，BH ＝26x ，R t △CBH 中，(26x )2＋(1＋3﹣x )2＝4，解得：x ＝3，所以，AH ＝BH ＝3，HC ＝1，∴∠A ＝∠ABH ＝45°，∴t a n ∠HBC ＝C HB H ＝13＝33，∴∠HBC ＝30°，∴∠BCH ＝60°，∠B ＝75°，∴452＋602＝752，∴△ABC 是勾股三角形；②连接CE ，∵∠A ＝45°，∴∠BEC ＝∠BAC ＝45°，又∵BE 是直径，∴∠BCE ＝90°，∴BC ＝CE ＝2，过D 作DK ⊥AB 于K ，设KD ＝h ，∵∠EBC ＝45°，∠ABC ＝75°，∴∠ABE ＝30°，∴BK ＝3h ，AK ＝h ，∴h ＋3h ＝6，解得：h ＝3262 ，∴BD ＝2KD ＝2h ＝32﹣6，∴BE ﹣BD ＝22﹣(32﹣6)＝6﹣2．AC DEHO B K。
人教版八年级数学上册直角三角形的性质和判定课件
11.2 与三角形有关的角
第2课时 直角三角形的性质和判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.了解直角三角形两个锐角的关系.（重点） 2.掌握直角三角形的判定.（难点） 3.会运用直角三角形的性质和判定进行相关计算. （难点）
讲授新课
一 直角三角形的两个锐角互余
∴ △ABC 是直角三角形．B
C
例4 如图，CE⊥AD，垂足为E，∠A=∠C，△ABD是直角三角 形吗？为什么？
解：△ABD是直角三角形.理由如下： ∵CE⊥AD ∴∠CED=90° ∴△DCE是直角三角形 ∴∠C+∠D=90° ∵∠A=∠C ∴∠A+∠D=90° ∴△ABD是直角三角形
1.在一个直角三角形中，有一个锐角等于40°，则另
A．∠A+∠B=∠C
在Rt解△AB：C 中∵，∠CC=D90°⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴2 ∠与BE三A角=∠形B有∴DF关=的∠90角°，BEA=∠BDF=90°，
直角三角形的两个锐角互余
∴∠ABE+∠A=90°， A．40°
B．50°
证明：∵∠ACB=90°，
∠C有什么关∴系？∠请说A明理+由∠. BFC=180°.
二 有两个角互余的三角形是直角三角形 问题：有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
如图，在△ABC中，已知 ∠A +∠B=90° ，求证：△ABC 是直角三角形
总结归纳
有两个角互余的三角形是直角三角形.
A
几何语言：
在△ABC 中，
∵ ∠A +∠B =90°，
直角三角形的性质与判定人教版八年级数学上册完美课件
图 11－2－15
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
【解析】 由角平分线的性质，得∠ABC＝50°，由三角形内角和的知识，得∠C＝70°，
又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
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11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
【解析】 A．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝2∠B＝3∠C， ∴13∠A＋12∠A＋∠A＝180°，解得∠A＝1 01810°≠90°，错误； B．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝2∠B，不能得出∠C＝90°，错误； C．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5，∴∠C＝75°≠90°，错误； D．∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＋∠B＝∠C， ∴∠C＝90°，正确．故选 D.
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
8．如图 11－2－16 所示，在△ABC 中，∠A＝90°，点 D 在 AC 边上，DE∥BC，若
65°
∠1＝155°，则∠B 的度数为________.
图 11－2－16
11.2.1 第2课时 直角三角形的性质与判定-2020秋人教版 八年级 数学上 册课件 (共24 张PPT)
八年级数学上册-解直角三角形第一课时课件-人教版
一、知识回顾
锐角三角函数
sinA 、cosA
tanA 、cotA 分别等于直角三角形中
A
哪两条边的比？
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1.你知道怎样测电线杆的高度吗？ 2.你知道怎样测政府大楼的高度吗？ 3.你知道怎样测珠穆朗玛峰的高度吗？
1.仰角、俯角
在进行测量时, 从下向上看, 视线与水 平线的夹角叫做仰角； 从上向下看, 视线与水 平线的夹角叫做俯角
铅垂线
视线
仰角 俯角
水平线
视线
例3: 如图，为了测量电线杆的高度
AB，在离电线杆22.7米的C处，用
高1.20米的测角仪CD测 得电线杆
顶端B的仰α=22°，求电线杆AB
的高（精确到0.1米）
tan22°=0.4040
B
D
α
E
C
A
解: 在RtΔBDE中, BE=DE×tan α
=AC×tan α
B
=22.7×tan 22°
≈9.17
D
α=22°
E
AB=BE+AE 1.2
=BE+CD
C
22.7
A
=9.17+1.20
≈10.4(米)
答: 电线杆的高度约为10.4米
三、活学活用
1.某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行 高度AC=1200米，从飞机上看地面控制点B 俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B的距离 （精确到1米）sin 16°31′ =0.2843
例4: 一段路基的横断面是梯形，高为4.2米， 上底的宽是 12.51米，路基的坡面与地面的倾 角分别为32°和28°，求路基下底的宽（精 确到0.1米） tan32°=0.6249 tan28°=0.5371
人教版数学八年级上册《直角三角形判定》说课稿
人教版数学八年级上册《直角三角形判定》说课稿一. 教材分析人教版数学八年级上册《直角三角形判定》这一节的内容，是在学生已经掌握了三角形的基本概念，三角形的分类，以及三角形的性质等基础知识的基础上进行授课的。
这部分内容主要让学生了解直角三角形的定义，以及如何判定一个三角形是否为直角三角形。
教材通过引入“直角三角形”的概念，引导学生通过观察、思考、探究，发现直角三角形的性质，进而掌握直角三角形的判定方法。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和逻辑思维能力，对于三角形的基本概念和性质有一定的了解。
但是，对于直角三角形的判定，他们可能还存在着一些模糊的认识，需要通过实例来进一步理解和掌握。
此外，学生的学习兴趣和主动性也是影响教学效果的重要因素，因此在教学过程中，我将会注重激发学生的学习兴趣，引导他们主动参与课堂讨论和实践活动。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握直角三角形的定义，了解直角三角形的判定方法，能够运用这些方法判断一个三角形是否为直角三角形。
2.过程与方法目标：通过观察、思考、探究，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养他们独立思考和合作交流的能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：直角三角形的定义，直角三角形的判定方法。
2.教学难点：如何引导学生发现并理解直角三角形的判定方法。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、思考、探究，发现直角三角形的性质，掌握直角三角形的判定方法。
同时，我会利用多媒体教学手段，如PPT、视频等，来辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引出直角三角形的定义和判定方法。
2.新课讲解：讲解直角三角形的定义，引导学生通过观察、思考、探究，发现直角三角形的性质，掌握直角三角形的判定方法。
3.课堂练习：让学生通过实际操作，判断一些给定的三角形是否为直角三角形。
人教版八年级上册数学：含30°角的直角三角形的性质
∴BC= 1 AB,
1
DE= AD.
2
2
B
∴BC= 1 AB=1 ×7.4=3.7(m). 22
D
又AD=
1 AB,
∴DE=
1
2 AD=
1
A ×3.7=1.85
E (m).
C
22
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
当堂练习
1.如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°， AB =10，则BC 的长为 5 ．
A 证明方法： 倍长法
延长BC 到D，使BD =AB，
连接AD，
则△ABD 是等边三角形．
∴ BC1 = AB． 2
B
C
D
含30°角的直角三角形的性质
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A 应用格式： ∵ 在Rt△ABC 中，
∠C =90°，∠A =30°，
∴ BC =1 AB．
2
B
C
典例精析
例 如图是屋架设计图的一部分，点D 是斜梁 AB 的中点，立柱BC，DE 垂直于横梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DEB要多长.
D
A EC
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三 角形的直角边？它们所对的锐角分别是多少 度？
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
11 ∴CD= 2 AC= 2 ×20=10.
课堂小结
在直角三角形中，如果一个锐
含
内 容
角等于30°，那么它所对的直
30°
角边等于斜边的一半
角
的 直 角
使 用
找准30 °的角所对的直角边，