初等数学研究程晓亮刘影版课后习题答案
初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数
1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数
bi a +. 2（略）
3从数的起源至今，总共经历了五次扩充：
为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集.
公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集.
为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集.
直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集.
虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集.
4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合
C A ?的基数c a +大于集合
D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+.
5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15
55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义
8
7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法）
()()()()()()()0
1121,
1111
1
11,1
11101111111,,2,1,0111,,2,1,0)2(2121221212
12
12
1
2
1212
2
22
12
12
122
111
112
111212
222121≥++-+?
≥++-++≥
+-+-≥
++++∴≥???? ??-++???? ??-+???? ??->-=-++-+-=+++++=>+=≥+++=+++=>≥=?+++++++++++++++++k k k k k k k k k k k k k k k i k k k k k k i k k i a k a k k a k k a k k a k
a a k
a a a a a k a a a a a a a a a a a a a a a a a a k i a k n k
a a a a a a k i a k k n ，即要证由归纳假设，得，且得，，且时，由当。
。，且成立，即时假设 7证明：?1当8=n 时，命题成立.（538+=）
?2设),7(N k k k n ∈>=时命题成立.
k 角邮资可能是：
（1）完全用3角的邮票来支付；（2）至少用一张5角的邮票来支付.
在（1）下，3角的邮票至少有3张.把它们换成两张5角的邮票便可支付1+k 角的邮票.
在（2）下，把一张5角的邮票换成两张3角的邮票便可以支付1+k 角的邮票.
综合?1、?2，命题对于不小于8的所有自然数成立. 8证明：（1）()()()32164,2133,12++==+===f f f
（2）()()()12
1
121-=
-+++=n n n n f ?1当4,3,2=n 时，命题成立.
?2假设),7(N k k k n ∈>=时命题成立，即()()12
1
-=
k k k f .那么1+=k n 时，原k 条直线有)1(2
1
-k k 个交点.由条件知，第1+k 条直线与原k 条直线各有一个交点，
且互不相同.故新增k 个交点，所以()()()()[]1112
1
1-++=+=+k k k k f k f .
综合?1、?2，命题对于不小于2的所有自然数成立. 9举例：正整数集N 上定义的整除关系“|”满足半序关系.
证明：（1）（自反性）任意的正整数x ，总有x x |； （2）（反对称性）如果x y y x |,|，那么y x =；
（3）（传递性）如果z y y x |,|，那么z x |. 通常意义的小于等于也构成半序关系，同理可证.
10证明：设N M ?，且 ①M ∈1
②若M a ∈，则M a ∈'.
若N M ≠.
令A 是所有不属于M 的自然数组成的集合，则A 是N 的非空子集，按照最小数原理，A 中有最小数，设为b .由①知1≠b ，于是存在自然数c ，使b c ='，这样就有b c <，所以M c ∈，但根据②有M c ∈'，这与M b ?矛盾.所以N M =. 11证明：（1）根据自然数减法定义有，c d c d b a b a =-+-+=)(),(，两式相加得：c b a b d c d a +-+=-++)()(，于是)()()()(b a c b d c d a -++=-++， 若d c b a -=-，则c b d a +=+ 若c b d a +=+，则d c b a -=-
（2）)()()(d b d c b a ++-+-c a d c d b a b +=-++-+=)()( （3）先证bc ac c b a -=-)(
事实上，由ac c b a b c b a bc =-+=-+)]([)( 可知要证明的自然数乘法对减法的分配律成立.
由此，为了证明（3），只要证明)()()()(bc ad bd ac d c b d c a +-+=---， 根据（1）上式就是)()()()(bd ac d c b bc ad d c a ++-=++- 于是只要证明ac bc bc ac +=+
显然，这个等式是成立的，所以（3）成立.
12证明：（1）根据自然数除法定义有c d
c
d b a b a =??=,，两式相乘，得
b
a bc d c ad ?=?，所以有：若bc ad =，则d c
b a =；若d c
b a =，则b
c a
d =
（2）bc ad d c
d b b a b d d c b a bd +=?+?=+)()()(，根据除法定义，（2）成立.
（3）ac d c
d b a b d c b a bd =??=?))(()(，根据除法定义，（3）成立.
13证明：'''''''')()(n m m n m n n m +=+=+=+.
14证明：设N b a ∈?,，下，下面证明b a b a b a <>=,,三种关系有且仅有一个成立.
（1）先证明三个关系中至多有一个成立.
假若它们中至少有两个成立，若令b a b a >=,同时成立，则存在*N k ∈，使得：k a k b a +=+=
于是a a >，与a a =矛盾.
同理可证，任意两种关系均不能同时成立. （2）再证明三中关系中至少有一个成立.
取定a ，设M 是使三个关系中至少有一个成立的所有b 的集合，当1=b 时，若1=a ，则b a =成立；若1≠a ，则存在*N k ∈，使得k b k k a +=+==1'，这时b a >成立.因此M ∈1.
假若M b ∈，即三个关系中至少有一个成立.
当b a <时，存在*N m ∈，使得m a b +=，则''')(m a m a b +=+=，即'
b a <成立.
当b a >时，存在*N k ∈，使得k b a +=，若1=k ，就有'1b b a =+=； 若1≠k ，就有*N l ∈，且'l k =，使得l b l b l b a +=++=+=''1，即'b a >成立.
综上，M b ∈'，从而*N M =. 15证明：nby nax by ax n n +=+=)(，
bny ab bn ab n a |,|,|∴∴ ，anx ab an ab n b |,|,|∴∴
n nby nax ab =+∴|
16证明：因为))(()(c a d b bc ad cd ab --=+-+，
且cd ab c a +-|，))((|c a d b c a ---，所以))((|c a d b cd ab c a ---+-，即
bc ad c a +-|
17证明：因为)1)(1(121++++-=---p p p p p p p p ，而有限个奇数的乘积仍是奇数，奇数个奇数的和也是奇数，因而121++++--p p p p p 是奇数， 于是Z s s p p p ∈+-=-),12)(1(1，同理有Z t t q q q ∈++=+),12)(1(1，
两式相加：)1)(()1)(1(2+++=++-=+t s q p t s p q p q p ，所以)(|q p q p q p ++.
18解：因为3153=+q p ，所以p 3和q 5必为一奇一偶. 若p 3为偶数，可验证质数5,2==q p ，则13log 2
+q p 1532log 2
+?=81
log 2=3-= 若q 5为偶数，可验证质数2,7==q p ，则13log 2
+q p 1
237
log 2+?=0= 所以031
3log 2
或-=+q p
. 19证明：根据减法是加法的逆运算知，设b a ,是有理数，b a -是这样一个数，它与b 的和等于a ．即a b b a =+-)(．但是，我们有 ])[()]([b b a b b a +-+=+-+(加法结合律)
a a =+=0
因此，)(b a -+这个确定的有理数，它与b 的和等于a ， )(b a b a -+=-∴
又如果差为x ，则有a b x =+，于是，两边同加)(b -有： )()(b a b b x -+=-++ )()]([b a b b x -+=-++ )(b a x -+=
即差只能是)(b a -+，定理得证． 20证明：做差，0332>-=-+a b a b a ，03
)
(232<-=-+b a b b a . 所以有b b
a a <+<
3
2 21证明：首先证明y x ≤当且仅当y x y ≤≤-.
事实上，若y x ≤，当0≥x 时，y x x ≤=且y x -≥，即y x y ≤≤-;当0 y x x ≤=-,有x y ≤-,且y x ≤<0,故y x y ≤≤-.反之，若y x y ≤≤-,当0≥x 时，y x x ≤=;当0 下面来证明：b a b a b a +≤+≤-. 事实上，对于b a ,显然有： a a a ≤≤- b b b ≤≤- 故有b a b a b a +≤+≤+-)(. 由上面的讨论知，b a b a +≤+. 另一方面，b b a b b a b b a a ++=-++≤-+=. 故b a b a b a +≤+≤-. 22证明:(反证法)设,q p e = 其中q p ,是正整数,不妨假定q p ,互素, 取自然数q n >,用!n 乘下列级数表达式两边: ++++=! 31 !21!111e ,得: ++++++ ++-++=) 2)(1(11113)1(!!!n n n n n n n e n 令13)1(!!++-++= n n n n a n , +++++= ) 2)(1(111n n n b n 于是n n b a e n +=!,则e n !应为正整数, n a e n -!应为整数. 但是 )) 3)(2(1211(110 ++++++= 2)1(2))2(1211(1122+<++=+++++≤ n n n n n n 因为1>n ,故10< 23证明：假设1,1),(,≠== q q p q p a n 两边n 次方得n n q p a =， 但是,1),(=q p 所以1,1),(≠=n n n q q p ，所以a 不是整数，这与已知条件矛盾， 所以n a 是无理数. 24证明：假设N q Z p q p b a ∈∈= ,,log ， 所以q p b a =，因为1),(=b a ，所以1),(=q p b a 但是当0≤p 时，上式明显不成立；当0>p 时，上式与1),(=q p b a 矛盾.所以， b a log 不是有理数，又可以证明b a log 是实数，所以b a log 是无理数. 25证明：假设方程有有理数根1,1),(,>== q q p q p x ，将q p x =其代入方程，可得： )(12211---+++-=n n n n n q a q p a p a q p ，由此可知q 的任何素数因子r 必可整除 n p ，因此r 必可整除p ，从而知r 为p 与q 的公因子，但是1),(=q p ，所以1=r ， 所以1=q ，这与1>q 矛盾.所以整系数代数方程011=+++-n n n a x a x 的任何非整实根均为无理数. 26按照字典排序法，先比较实部，再比较虚部. 27证明：将三次本原单位根ω=x 或2ω分别代入)(x f ： 1)(2313++=++n m f ωωω012=++=ωω 1)()()(2321322++=++n m f ωωω012=++=ωω 因此，)(x f 含有因式)(),(2ωω--x x ，而)()(2ωω-?-x x 012=++=x x 所以)(|)1(2x f x x ++ 28证明（反证法）：若π与的和是有理数a ，即a =+8.3π，则π=-8.3a . 因为全体有理数称为一个域，对减法运算封闭，所以差8.3-a 仍是有理数，与π是无理数矛盾，所以π与的和是无理数. 29两个无理数的商可能是有理数.例如：2是无理数，易证22也是无理数， Z ∈=22 22 30不能，因为无理数对四则运算不封闭.例如022=-. 31解：由于xyi y x y x y x xyi y x yi x z )(44)()2()(222222222244-+--=+-=+= 所以4z 是纯虚数的条件是04)(22222=--y x y x ，0)(422≠-xy y x 即0,)21(≠±±=y y x 32证明：设1C 是C 的任一子域，R C ?1，且在1C 中方程12-=z 有解j z =. 按照题意，要证明C C =1.因为C C ?1，所以只需要证明C C ?1. 由1C j ∈，C C ?1，知C j ∈，依C 的四则运算律，有 0))((22=--+=+-j ij ji i j i j i 于是，j i =或j i -=.任取C ∈ω，由),(,R y x yi x ∈+=ω， 知yj x +=ω或yj x -=ω 又由于1,,C j y x ∈，而1C 是域，于是1C ∈ω，因此C C ?1. 第二章习题及答案 1．设0,x > 证明 ln(1).1x x x x <+<+ 证明 取()ln(1).f x x =+ 在(0,)x 上有导数1 ().1f x x '= +利用微分中值定理()(0)ln(1)ln(10)1 (),0.001f x f x f x x x ξξξ -+-+'= ==<<--+ 即ln(1).1x x ξ+= + 又因11ln(1)1,11x x ξ+=<<++ 因此有ln(1).1x x x x <+<+ 2．若,,x y z 均为实数, 且2 2 2 2 1(0),.2 x y z a a x y z a ++=>++= 求证: 2220,0,0.333 x a y a z a ≤≤ ≤≤≤≤ 证明 由22221()2x y a x y a ++--=有22 21()()0.4x y a x y ay a +-+-+= 其判别 式22 21()4()04 y a y ay a ?=---+≥(因x R ∈). 从而, 2320y ay -≤即20.3y a ≤≤ 同理可证22 0,0.33x a z a ≤≤≤≤ 3．设,,a b c 表示一个三角形三边的长, 求证: 222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤ 证明不失一般性, 设,a b c ≥≥ 令,,a c m b c n =+=+ 则0.m n ≥≥ 有 2223()()() abc a b c a b c a b c a b c -+--+--+-()()()()()() a a b a c b b c b a c c a c b =--+--+--()()()()c m m n m c n n n m cmn =+-++-+22()[()()]0.m n c m n m n cmn =--+-+≥ ∴222()()()3.a b c a b c a b c a b c abc +-++-++-≤ 4．设,,x y R ∈ 且2 2 1.x y +≤求证 : 222x xy y +-≤ 证明 设2 2 2,x y λ+= 则由题设可知, 1,λ≤ 并可设cos ,sin .x x λθλθ==于是 222x xy y +-222(cos 2cos sin sin ) λθθθθ=+ -2(cos 2sin 2)).4 π λθθλθ=+=+ ∴222x xy y +-≤ 5．已知1,1,a b << 求证 1.1a b ab +<+ 证明 欲证 11a b ab +<+成立, 只需2 ()11a b ab +<+, 即证22()(1)a b ab +<+. 则只需2 2 (1)()0,ab a b +-+> 也就是22 2 2 10,a b a b +--> 即证 22(1)(1)0.a b --> 而1,1,a b << 所以22(1)(1)0a b -->成立. 命题得证. 6．若 1 1(0),n i i i a a ==>∑ 求1 11 ()().n n i i i a n a n =+ ≥+∏ 证明 21122211111111...n a a a n a n a n a + =++++ 项 22(1)n n ≥+ 2222222222221111...(1)n n a a n a n a n a n a + =++++≥+项 …… …… 2222221111...(1)n n n n n n n n a a n a n a n a n a + =++++≥+项 以上诸式, 当且仅当1 (1,2,...,)i a i n n = =是等号成立. 诸式两端相乘得21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a + ++≥+ 由已知11n i i a ==∑ 2311211,( )....n n n n n n a a a --≤≥ 21212111()()...()(1)n n n n n a a a n a a a +++≥+ 即111()().n n i i i a n a n =+≥+∏ 等号当且仅当121 ...n a a a n ==== 时成立. 7．证明: 函数8 5 2 ()10.f x x x x x =-+-+> 证明 (1) 当(,0)x ∈-∞时, 显然()0;f x > (2) 当(0,1)x ∈时, 823 ()(1)(1)0;f x x x x x =+-+-> (3) [1,)x ∈+∞时, 53 ()(1)(1)10.f x x x x x =-+-+> 综合(1), (2), (3)可知, 可知()f x 恒正. 8．证明 若1(1,2,...,),i a i n ≥=则1 12122(...1)(1)(1)...(1).n n n a a a a a a -+≥+++ 证明 用数学归纳法证明如下: 当1n =时, 命题显然成立; 假设命题对n 成立, 我们来证明它对1n +也成立, 注意到1(1,2,...,).i a i n ≥= 1 11 1 1 11 1 1 1 (1)(1)2 (1)2 (1) n n n n n n i n i i i n i i i i a a a a a a ++--++====+≤+?+=+++∏∏∏∏ 11 11 1 2[1()]n n n i i n i i a a a +-+===+++∏∏1111 11 1 1 1 2[(1)(11)] n n n n n i i i i n i i i i a a a a a +++-+=====+++--++∏∏∏∏111 1 11 11 2(1)2(1) n n n n n i i i n i i i a a a a +++-+====+-+--∏∏∏11 111 1 2(1)2[(1)(1)]n n n n i i n n i i a a a a +-++===+----∏∏11 1 1 2(1)2(1)[1) n n n n i n i i i a a a +-===+---∏∏1 1 2(1).n n i i a +=≤+∏ 故命题对1n +成立. 9．设1(1,2,...,),i a i n ≥= 求证121 2(1)(1...).1n n i n i a a a a n =+≥+++++∏ 证明 11 1(1)2(1)2n n n i i i i a a ==-+=+∏∏112(1)2n n i i a =-≥+∑112(1)1n n i i a n =-≥++∑1 1 2[(1(1)]1n n i i n a n ==?++-+∑12(1).1n n i i a n =++∑ 10．设0,x y z ++=求证: 3332223 6()().x y z x y z ++≤++ 证明 显然0x y z ===是平凡情形. 假定,,x y z 不全为零, 不妨设0,0.x y ><由 (),z x y =-+ 得3333.x y z xyz ++= 记 3 3 32 2 22 2 6()5421622 xy xy I x y z x y z z =++==???3 22322216(22)3xy xy z z xy ??++ ?≤=+ ? ? ??? . 再注意到2 2 2 2 ()22,x y x y xy z xy +=+-=+ 因而2 2 2 2 22,z xy x y z +=++ 这就是所要证的不等式. 11．已知,a b 为小于1的正数, 求证 : 证明 设1234,(1),(1),(1)(1),z a bi z a bi z a b i z a b i =+=-+=+-=-+- 则 1z = , 2z = 3z = , 4z = 12341234z z z z z z z z +++≥++ +22i =+= ∴ 12．设,,,a b c R + ∈求证: ,n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++其中,,,n N p q r ∈, 且.p q r n ++= 证明.........,n n n p q r n n n n n r p q pa qb rc a b c a a b b c c n ++=?? 同理,n n n q r p qa rb pc a b c n ++≤ .n n n r p q ra pb qc a b c n ++≤ 三式相加, 即得.n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++ 13．设,,,a b c R + ∈求证: 333222 .a b c a b b c c a ++≥++ 证明 该不等式关于,,a b c 对称, 不妨设,a b c ≥≥则由左式-右式 222()()()a a b b b c c c a =-+-+-222()()()a a b b b c c c b b a =-+-+-+-2222()()()()0.a c a b b c b c =--+ --≥ 故33322 2 .a b c a b b c c a ++≥++ 14．已知 0,a b >> < 证 < 由于0, a b >> 0>0, > 只要证 , a b a b - <- 0,>< 由于0,a b >> 此不等式显然成立. 15．若2,p R p ∈<且不等式()2 222log log 12log x p x x p ++>+恒成立, 求实数x 的取值范围. 解 令2log ,x a =将不等式转化为: 2 (1)210,a p a a -+-+>令 2()(1)21,f p a p a a =-+-+ 则()0f p >恒成立, 等价于: ()0, (2)0. f p f >??->? 2 2 2(1)210, 2(1)210. a a a a a a ?-+-+>???--+-+>?? 解不等式组得: 1 3180.2 a a x x ><-?><< 或或 16．设e 是自然对数的底, π是圆周率, 求证.e e π π> 证明 因为 2ln ln ln ln 1ln ,e e e e x x x d dx e x x x ππππ π -?? - === ??? ?? 又当(,)x e π∈时, 21ln 0,x x -< 所以21ln 0.e x dx x π- π > 从而有.e e ππ> 17．当x 为何值时, 229x <+成立 解 先将不等式分母有理化, 有 2 2 ??= 2 (122x =+=++ 因此原不等式同解于不等式组112021004522298x x x x x x ? +≥?>-??? -≠?≠???++<+?< ?? 解得 145 0.28 x x -≤<≠且 即原不等式的解集为1450028x x x x ???? - ≤<≤ ?. 19．已知01,a a >≠且解关于x 的不等式1 log (1) 1.a x -> 解 原不等式1log (1)log .a a a x ?-> （1）当1a >时，原不等式 1110,111100.111. x x a a x x x a a x ?->-??-??->? ?? （2）当01a <<时，原不等式110,11.111. x x a a x ?->????< 20．某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元. 甲、乙产 品都需要在A ，B 两种设备上加工，在每台A ，B 上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一件乙所需工时分别为2时、1时，A ，B 两种设备每月有效使用台时数分别为400和500. 如何安排生产可使收入最大 解 这个问题的数学模型是二元线性规划. 设甲、乙两种产品的产量分别为,x y 件，约束条件是2400,2500,0,0. x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，目标函数是 32f x y =+. 要求出适当的,x y ，使32f x y =+取得最大值. （该图来至高中数学课程标准，需重做） 先要画出可行域，如图。考虑32,x y a a +=是参数，将它变形为3,22 a y x =-+这是斜率为32 - ，随a 变化的一族直线。2a 是直线在y 轴上截距，当2a 最大时a 最大，当然直 线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值.在这个问题中，使32x y +取得最大值的(,)x y 是两直线2500x y +=与2400x y +=的交点(200,100). 因此，甲、乙两种产品的每月产时不时分别为200、100件时，可得最大收入800千元. 21． n 个机器人在一条流水线上工作, 加工后需送检验台, 检验合格后再送下一道工序. 问检验台设置在流水线上什么位置时, 才能使机器人送验时, 才能使机器人所走距离之和最短 也即耗时最少 解 不妨设n 个机器人位于同一条数轴上, 每个机器人所在的位置(点)的坐标为 (1,2,...,),i x i n =检验台所在之点的坐标为的坐标为x , 那么机器人送验所走的距离之和为 1234()...s x x x x x x x x x =-+-+-++-(x 为实数), ()s x 何时最小 为了探索问题的内在规律, 不妨从简单的情形开始考虑. 当2n =时, 检验台放在这二个机器人之间的任何位置都一样. 3n =时, 检验台放在第二个机器人所在点时最小. 通过上述试验, 当n 为奇数时, 检验台应放在正中间的机器人所在的地点; 当n 为偶数时, 检验台应放在最中间两个机器人之间任何位置. 22．已知函数3 ()31f x ax x =-+对于[1,1]x ∈-总有()0f x ≥成立, 求实数a 的值. 解 显然当0a ≤时不成立, 故0.a > 2 ()33,f x ax '=- 令()0,f x '= 解得x = 当x =时, ()f x 取得极小值. [1,1]x ∈-总有()0f x ≥ 成立等价于(1)0, 0.f f -≥?? ?≥?? 即4, 4.a a ≤??≥? 从而 4.a = 23．已知()lg(1),f x x =+()2lg(2)g x x t =+(t R ∈是实数). (1)当1t =-时, 解不等式()();f x g x ≤ (2)如果[0,1]x ∈, ()()f x g x ≤恒成立, 求参数t 的取值范围. 解 (1) 原不等式等价于210,20,1(21).x x t x x ?+>?+>??+≤-?即21,2 450.x x x ?>???-≥?则1,250. 4 x x x ?>????≤≥??或 5.4x ∴≥ 所以原不等式的解集为5.4x x ?? ≥??? ? (2) [0,1]x ∈时, ()()f x g x ≤恒成立, 即[0,1]x ∈时, 有210, 210,1(2).x x x x t ?+>? ->??+≤+? 即 10,2, 2x t x t x ?+>? >-?? ≥-+?恒成立, 故[0,1]x ∈时 , 2t x ≥-+恒成立. 于是问题转化成求函数2[0,1]y x x =-∈的最大值. 令u = 则21,x u u =-∈ 则2117 22()48 y x u =-=--+在 上是减函数. 故当1,u = 即0x =时, 2x -+ . t ∴的取值范围是[1,].+∞ 24．某工厂统计资料显示, 一种产品次品率p 与日产量 *(,80100,)x x N x ∈≤≤单位：件之间的关系如下表所示: 其中()p x n x =-(n 为常数). 已知一件正品盈利k 元, 生产一件次品损失3元(k 为不定 常数). (1)求出n , 并将该厂的日盈利额y (元)表示为日生产量x (件)的函数; (2)为获取最大盈利, 该厂日生产量应定为多少 解 (1)根据列表数据, 可得1 108.()(80100,*).108n p x x x N x =∴=≤≤∈-由题意, 当日生产量为x 时, 次品数为 1 ,108x x ?-正品数为 1(1),108x x -?-111(1).1083108y k x k x x x ∴=?-?-??-- 整理得14(3)3108y k x x =- - (80100,*).x x N ≤≤∈ (2) 令 *108,[8,28],.x t x t N -=∈∈14 (108)(3)3y k t t =--11443283()3k t t ??=-+???? 1256 (3283212).33 k k ≤-??= 当且仅当144 ,t t = 即12t =时取得最大盈利. 此时96.x = 25．设函数().x e f x x = (1) 求函数()f x 的单调区间; (2) 若0,k > 求不等式 ()(1)()0f x k x f x '+->的解集. 解 (1) ()f x 的定义域为(,0) (0,),-∞+∞22111(),x x x x x f x e e e e x x x -'=- +?=令()0,f x '=得 1.x =0x <时, ()0,01f x x '<<<时, ()0,f x '<1x >时, ()0.f x '> ()f x ∴的单调增区间是[1,),+∞单调减区间是(,0),(0,1].-∞ (2) 由2 (1)(1)()(1)()0,x x kx f x k x f x e x --+'+-= ?> 得(1)(1)0,x kx --+<故当 01k <<时, 解集是11;x x k ?? <时, 解集是 11.x x k ?? < 26．设函数(),f x x x a b b =-+ 为常数且3,b < 对于任意[0,1],()0x f x ∈<恒成立, 求实数a 的取值范围. 解 从去绝对值展开讨论. 当0a ≤时, 2 0x ax b -+<对[0,1]x ∈恒成立, 0, 1.a a b ≤?∴?>+? 当1a ≥时, 2 0x ax b -++<对[0,1]x ∈恒成立 , 1,13,a b a ≥??∴-≤ 1,1,1.a b a b ≥?? <-??<-? 当01a <<时, 2 0x ax b -+<对[0,1]x ∈恒成立且2 0x ax b -++<对[0,1]x ∈恒成 立, 201,01,1.40.a a a b a b <<<++ 1,40. a a b a b ?<+??+ ∴0,1.a a b ≤??>+?或1, 1,1.a b a b ≥??<-??<-?或2 01,1,40. a a b a b ?<+??+ 14 b -≤≤- 时化简可得1,a b a ≤≤?+≤<或11 即b a +≤<1 当1 34 b - ≤< 时化简可得1b a ???+<<或或或或 即1b a +<< 27．设a 为实数, 函数2 ()2().f x x x a x a =+--(1)若(0)1,f ≥求a 的取值范围; (2)求()f x 的最小值. 解 (1) (0)1,0,f a a a =--≥∴-> 即0.a <由21a ≥知1,a ≤- 因此a 的取值范 围为(,1].-∞- (2) 记()f x 的最小值为()g a . 我们有 2 ()2()f x x x a x a =+--2 22223(),,33 ()2,.a a x x a x a a x a ?-+>?=??+-≤? ①当0a ≥时, 2 2 ()2,()2,f a a f x a -=-∴≥-此时22().3 g a a = ②当0a <时, 2 2().33 a f a =若x a >, 则22222()3();333a a a f x x =-+ ≥若,x a ≤则2 2 2 2220,()()22.3 x a a f x x a a a a +≤<=+-≥> 此时22 ().3g a a = 综上得, 222,0, ()2,0.3 a a g a a a ?-≥? =? 28．已知函数()12,f x x x =-+-且不等式()a b a b a f x ++-≥对 0,,a a b R ≠∈恒成立, 求实数x 的取值范围. 解 由()a b a b a f x ++-≥且0a ≠得 ().a b a b f x a ++-≥又因为 2a b a b a b a b a a ++-++-≥=, 则只要2().f x ≥ 解不等式122x x -+-≤得 15.22 x ≤≤ 29．已知实数,,,a b c d 满足2 2 2 2 3,2365,a b c d a b c d +++=+++=试求实数a 的取值范围. 解 由柯西不等式得2 2 2 111 (236)()236 b c d +++ +2(),b c d ≥++ 即2222236().b c d b c d ++≥++由条件可得225(3),a a -≥- 解得12,a ≤≤ 当且仅当 == 时等号成立. 当1,2b = 1,3c =16d =时, max 2;a =当21 1,,33 b c d ===时, min 1.a = 故所求实数a 的取值范围是[1,2] 30．已知函数()()f x x R ∈满足下列条件, 对任意实数12,x x 都有 2121212()()[()()],x x x x f x f x λ-≤-- 1212()(),f x f x x x -≤-其中λ是大于0的常 数, 设实数0,,a a b 满足0()0f a =和().b a f a λ=- (1)证明: 1,λ≤并且不存在00,b a ≠使得0()0;f b = (2)证明: 222 00()(1)();b a a a λ-≤-- (3)证明: 222 ()(1)().f b f a λ≤- 证 (1)任取1212,,,x x R x x ∈≠则由2 121212()()[()()](1)x x x x f x f x λ-≤-- 及 1212()(),(2)f x f x x x -≤- 可知 21212121212()()[()()]()()x x x x f x f x x x f x f x λ-≤--≤-- 2 12,x x ≤-从而 1.λ≤ 假设有00,b a =使得0()0,f b =则由(1)式知 20000000()()[()()]0,a b a b f a f b λ<-≤--=产生矛盾. 所以不存在00,b a ≠使得 0()0.f b = 证(2) 由(),(3)b a f a λ=- 可知 222220000()[()]()2()()().(4)b a a a f a a a a a f a f a λλλ-=--=---+ 由0()0f a =和(1)式, 得2 0000()()()[()()](),(5)a a f a a a f a f a a a λ-=--≥- 由0()0f a =和(2)式, 得222 00()[()()](),(6)f a f a f a a a =-≤- 将(5)(6)代入(4)式得2222222 00000()()2()()(1)().b a a a a a a a a a λλλ-=---+-=-- 证(3) 易知a b ≠时, ()()()() 1,1,() f a f b f a f b a b f a λλλ--≤ ≤≤≤-故 22()() ,11,()() f b f b f a f a λλλλ≤ ≤-≤≤-2()(1)(),f b f a λ≤-当a b =此式也成立, 则 222()(1)().f b f a λ≤- 第三章习题及答案 1．如果1122()()()...()0,k k F x f x f x f x ==那么方程()0F x =的解集等于下列各个方程：12()0,()0,...,()0k f x f x f x ===的解集的并集, 其中每一个解都属于这k 个方程的定义域的交集. 解 设()F x 的定义域为,()i M f x 的定义域(1,2,...,),i M i k = 因为 12()()()...(),k F x f x f x f x = 所以, 12....k M M M M =又设()0F x =的交集为,A 1;x A ∈()0i f x =的解集为(1,2,...,).i B i k =因为1,x A M ∈?所以 11 2 ....k x M M M ∈ 因为1()0,F x =于是有1122()()...()0,k k f x f x f x =这个等式的左 端至少有一个因式等于零, 这表明11 2 ....k x B B B ∈ 反之易证1 2 ....k B B B A ? 2．设121...,()(,][,).n n a a a f x a a <<<-∞+∞ 当max (),1,2,...,i A f a i n >=时, 不等 式 1 n i i x a A =-<∑ 的解集为11.n n i i i i a a A A x x n n n n ==? ? ??? ?-<<+???? ??? ? ∑∑ 证明 因()f x 的图象在区间1[,](1,2,...,1)i i a a i n +=-上都是线段, 又 max ()(1,2,...,),i A f a i n >= 则在区间1[,]i i a a +上, ()f x 的图象是一条射线 1 ,n i i y nx a ==-+∑,x a < 且当x →-∞时, ().f x →+∞同理, ()f x 在1[,)i a ++∞上是一 条射线1 ,n i i y nx a ==- ∑ 且x →+∞时, ()f x →+∞. 从而函数1 n i i y x a == -∑的图象与直线y A =的交点只能是在1(,]a -∞与[,)n a +∞内, 初等代数研究课后习题 20071115033 数学院 07（1） 杨明 1、证明自然数的顺序关系具有对逆性与全序性，即 （1）对任何N b a ∈,，当且仅当b a <时，a b >. （2））对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立. 证明：对任何N b a ∈,，设a A ==，b B == （1）“?” b a <，则B B ??,,使,~B A ，A B B ~, ?∴,a b >∴ “?” a b >，则B B ??,,使A B ~,，B B A ?∴,~,b a <∴ 综上 对任何N b a ∈,，b a （2）由（1）b a b a <∴与b a >不可能同时成立， 假设b a <∴与b a =同时成立，则B B ??,,使,~B A 且B A ~， ,~B B ∴与B 为有限集矛盾，b a <∴与b a =不可能同时成立， 综上，对任何N b a ∈,，在b a <，b a =，b a >中有且只有一个成立.. 2、证明自然数的加法满足交换律. 证明：对任何N b a ∈,设M 为使等式a b b a +=+成立的所有b 组成的集合 先证 a a +=+11，设满足此式的a 组成集合k ，显然有1+1=1+1成立 φ≠∈∴k 1，设k a ∈，a a +=+11，则 +++++++=+=+==+a a a a a 1)1()1()(1 k a ∈∴+，N k =∴， 取定a ，则1M φ∈≠，设,b M a b b a ∈+=+，则 ()()a b a b b a b a +++++=+=+=+ ,b M M N + ∴∈∴= ∴ 对任何N b a ∈,，a b b a +=+ 3、证明自然数的乘法是唯一存在的 证明：唯一性：取定a ，反证：假设至少有两个对应关系,f g ，对b N ?∈，有 (),()f b g b N ∈，设M 是由使()()f b g b =成立的所有的b 组成的集合， ()()1f b g b a ==? 1M φ∴∈≠ 设b N ∈则()()f b g b =()()f b a g b a ∴+=+ ()()f b g b ++∴=，b M +∴∈，M N ∴= 即b N ?∈，()()f b g b = 初等数学研究期末专题论文 函数方程与函数的奇偶性 摘要 函数的奇偶性是函数的一种重要性质，也是高中数学教学中的重点内容，如何让学生正确理解函数的奇偶性并能灵活应用，是每位数学教师不断探论的问题。本文详细讲述了函数奇偶性的判断方法，以及应该注意的地方，对比较抽象的题目给出合适的证明方法。 关键词：函数 奇偶性 方程 性质 1.关于函数奇偶性的定义 （1）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意一个x 都有 ()()0 f x f x --=（()()x f x f =-），那么函数()x f 就叫做偶函数，如：2)(x x f =，()x x f =。 （2）一般地，如果对函数()x f 的定义域内任意任意一个x 都有()()0=-+x f x f (()()x f x f -=-)，那么函数()x f 就叫做奇函数，如：()x x f = , ()x x f 1 = 。 例1：判断函数())1lg(2x x x f -+=的奇偶性。 解：x x x ≥>+221 ∴函数()x f 的定义域为R 又()())1lg()1lg(22x x x x x f x f +++-+=-+ 01lg )1lg(22==-+=x x 。 ∴ ()x f 为奇函数。 例2：判断函数x x e e x f -+=)(的奇偶性。 解：显然)(x f 的定义域为R 又)()(x f e e x f x x -=+=- ∴)(x f 为偶函数。 2.函数奇偶性的几个性质 2.1 对称性 函数的定义域关于原点对称 如： 2.2 整体性 奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立。 2.3 可逆性 )()()(x f x f x f ?=-是偶函数 )()()(x f x f x f ?-=-是奇函数 2.4 等价性 0)()()()(=--?=-x f x f x f x f 0)()()()(=-+?=-x f x f x f x f 2.5 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 2.6 可分性 根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数，偶函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。 3.判断函数奇偶性的方法 3.1定义法 1．任取自变量的一个值x ，x -是否有定义，如果存在一个属于定义域的0x 但在0x -没有定义，则既不是奇函数也不是偶函数，若)(x f -存在，则进行下一步。 2．)()(x f x f ±=-着相当于证明一个恒等式，有时，为了运算上的方便可转而验证 0)()(=-±x f x f ， 1)() (±=-x f x f ，???=-+偶函数 奇函数)(20)()(x f x f x f 判断步骤如下： ① 定义域是否关于原点对称； 3.2.设二元对称信道的传的矩阵??? ? ??????32313132。 （1）、若P （0）=43,P(1)=4 1 ,求H(X),H(X/Y),H(Y/X)和I(X;Y); （2）、求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。 解：(1)、H(X)=-symbol bit x p i i /81.0)41 log 4143log 43()(=+?-=∑ H(Y/X) =-)/(log )/()(i j i j i j i x y p x y p x p ∑∑ =-( 3 2 log 324131log 314131log 314332log 3243?+?+?+?) = 0.92bit/symbol P )/()()/()()()()(21211112111x y p x p x y p x p y x p y x p y +=+= =3 1 413243?+?=0.58 同理可得：p(2y )=0.42 H (Y)=-(0.42×log0.42+0.58×log0.58)=0.980bit/symbol 得：H(X/Y)=H(X)-H(Y)+H(Y/X)=0.81-0.98+0.92=0.75bit/symbol I(X;Y)=H(X)-H(X/Y)=0.81-0.75=0.06bit/symbol (2)由题：C=maxI(X;Y)=logm-mi H =log2-(3 2 log 3231log 31+)=0.082bit/symbol 因为信道容量达到最大值即X 等概率出现即：p(i x )=21 3.6、有一个二元对称信道，其信道矩阵为? ? ? ???098.02.002.098.0。设该信源以1500二元符号/每秒的速度传输输入符号。现有一消息序列共有14000个二元符号，并设P(0)=P(1)= 2 1 ,问从消息传输的角度来考虑，10秒钟内能否将这些消息序列无失真的传递完？ 解：由题得： 姓名：苏章燕学号：201102024002 班级：师范1班 分类思想 摘要：分类讨论的问题在这学期做高考题和中考题过程中，很多题上面都有体现。是在问题的解答出现多种情况且综合考虑无法深入时，我们往往把可能出现的所有情况分别进行讨论，得出每种情况下相应的结论，这种思想方法就是分类的思想。 关键词：分类讨论、函数、例题、集合分类 一、分类要素 分类的思想运用到每个具体数学问题中都有三个基本内容，即分类三要素，在分类的合定义中，三要素就是全集，子集和子集的分类根据。分类的逻辑定义中，三要素是母项，子项和分类标准。 二、分类的规则 在问题讨论前，首先应弄清楚我们所研究对象的范围，即全集。分类就要在这个特定范围内进行，要防止在全集不明确的情况下或全集外进行讨论。 每次分类都必须以同一本质属性为标准，被分概念或集合有若干本质属性，确定某一个作为分类标准。那么在分类过程中就要始终使用这个标准。同一次讨论中标准只能是一个。如实数在讨论绝对值时，可分为整数、负数和零；在讨论其他性质和运算时可分为有理数与无理数。又如函数按自变量个数可分为一元函数、二元函数乃至多元函数；按单调性可分为增函数、减函数和非单调函数（在某一区间内）；按定义域可分为在R上都有意义的函数与定义域不是R的函数；按奇偶性可分为奇函数、偶函数和非奇非偶函数（在定义域内）；按属性可分为代数函数和超级函数。诸如此类，按不同标准就有不同的分类。 分类的完整性，把集合A分为A1、A2、···An等n个子集的分类，集合A应是这n 个子集的并集，集合的每一个元素都属于且仅属于其中的一个子集，分类时必须防止遗漏，如把角分为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角，就不是一个完整的分类，因为终边落在坐标轴上的角就不在其中。 分类的互斥性，分类中分成的各部分必须是互相排斥的，即分类中各个子集的交集是空集，如平面几何中把三角形分为锐角三角形、等腰三角形······的分类就是不正确的分类，因为存在着等腰锐角三角形，这是由于破坏了分类的互斥性。 分类的逐级性，被分概念必须分成与它最邻近的概念。有些问题必须要连续分类，这就要求严格按层次逐级进行划分、讨论。 分类的种类，人们对事物的认识有一个由现象到本质逐步深化的无线过程，因此分类也有一个从现象分类到本质这样一个逐步深化的过程。 现象分类就是根据事物的外部标志或外部联系所进行的分类，这种分类往往会把本质上相同的事物分为不同的类别，而把本质上不相同的事物归为同一类别。如平面几何中多边形按边数分类就是一个现象分类，因为凸多变形和凹多边形即使边数相同其性质也大相径庭，而正多边形（不管它边数多少）都具有很多共性，它们本质上是相同的。 本质分类就是根据事物的本质特征或内部联系所进行的分类，本质分类能够揭示数学对象之间的规律，如含角的三角函数的绝对值，用零点分段法对角进行的分类就属于本质分类。 分类方法的解题步骤，确定分类标准，这就是要运用辩证的逻辑思维，对具体事物作具体分析，从表面上极为相似的事物之间看出它们本质的相同点，发现事物的本质特征，只有这样才能揭示数学对象之间的规律，对数学对象进行有意义的分类。 恰当地进行分类，在确定分类标准的基础上，遵守分类的五条规则，对所讨论的问题恰当地分类，问题能否顺利讨论的关键是对所讨论对象进行正确的分类。 逐类讨论，根据分好的各类情况，逐类地加以研究，深入进行讨论，分门别类逐一把 1、 因式分解：32 35113x x x ---= 2、 已知21x a x x =++，则2 421 x x x =++ 3、 已知1abc =，求 111a b c a ab b bc c ca ++++++++的值； 4、 已知 111a b c a ab b bc c ca ++++++++=1，求证1abc =； 5、 = 6、 解不等式： 2233132 x x x x +-≤-+ 7、 求一个方程，使其各根分别等于方程43 67620x x x x -++-=的各根减去2。 8、 解方程22223223132231 x x x x x x x x ++++=-+-+。 9、 求不定方程7517x y -=的整数解。 10、 定义在R 上的函数()f x 满足()()()2(f x y f x f y x y x y R +=++∈、，(1)2f =，则(3)f -等于 11、 若函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数(2)()1f x g x x =-的定义域是 12、 0= 13、 将多项式32 22x x x -++表示成(1)x -的方幂形式是 14、 将分式22233(1)(25) x x x x x ----+分解成部分分式之和 15、 求函数2 y =的值域 16、 已知5,4x <求函数14245 y x x =-+-的最大值。 17、 解方程：4322316320x x x x +-++= 18、 已知x y z 、、是互不相等的正数，且1,x y z ++=求证：111(1)(1)(1)8x y z ---> 19、 利用多项式对称性因式分解： （1）555()()()()f x y z x y y z z x =-+-+-、、 设222(,,)()()()[()()],f x y z x y y z z x L x y z M xy yz xz =---+++++ （2）5555 ()()f x y z x y z x y z =++---、、 设222()()()[()()]x y y z z x k x y z m xy yz zx ++++++++ 初等数学研究(程晓亮、刘影)版课后习题答案 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合C A ?的基数c a +大于集合D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155 )25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''' '===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 4-1 设有一个二元等该率信源{}1,0∈X ,2/110==p p ，通过一个二进制对称信道（BSC ）。其失真函数ij d 与信道转移概率ij p 分别定义为 j i j i d ij =≠???=,0,1 ，j i j i p ij =≠? ??-=,1,εε 试求失真矩阵d 和平均失真D 。 解：由题意得， 失真矩阵为d ??????=0110d ，信道转移概率矩阵为P ?? ????--=εεεε11)(i j 平均失真为ε εεεε=?-+?+?+?-= =∑0)1(211211210)1(21),()()(,j i d i j p i p D j i 4-3 设输入符号与输出符号X 和Y 均取值于{0,1,2,3}，且输入符号的概率分布为P(X=i)=1/4,i=0,1,2,3,设失真矩阵为 ????? ???????=0111101111011110d 求)(),(,,max min max min D R D R D D 以及相应的编码器转移概率矩阵。 解：由题意，得 0min =D 则symbol bit X H R D R /24log )()0()(2min ==== 这时信源无失真，0→0,1→1,2→2,3→3，相应的编码器转移概率矩阵为 ????? ???????=1000 010*********)j (i P ∑===30 3,2,1,0max ),()(min i j j i d i p D ，，14 1141041141141141141041min{?+?+?+??+?+?+?= }04 1141141141141041141141?+?+?+??+?+?+?， 43}43,43,43,43min{== 则0)(max =D R 此时输出概率分布可有多种，其中一种为：p(0)=1,p(1)=p(2)=p(3)=0 则相应的编码器转移概率矩阵为????? ???????=0001000100010001)(i j P 第一章 1、自然数集是有序集 2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b 3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b， 使a 值 例：求00080cos 40cos 20cos ??8 120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000 0000 0000= ===???=解：原式N c N a N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证， 的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-?-?=--=-=-+==a N c N b N c N a N a N b N c N c N b N b N a N b N c N a N b N c N a N b N a c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值 内的两相异实根，求在为方程、例：已知)sin(),0()0(cos sin βαπβα+≠=+mn p x n x m 原式右边（原式左边证明：（综合法）==?-?-?-?-=--?-+?-=13tan cot 3cot tan 23tan cot 3cot tan 2)3cot )(cot 3tan tan 3tan cot 13cot tan 1θ θθθθθθθθθθθθθθθ 《初等数学研究》教学大纲Research on elementary mathematics 课程名称：初等数学研究英文名称：课程性质：专业必修课 4 学分： 64 理论学时： 64 总学时：适用专业：数学与应用数学先修课程：数学分析，高等代数，解析几何一、教学目的与要求应使学生在掌握近、通过本课程的开设，初等数学研究是数学教育专业开设的必修课程。现做到初等与高等相结合。系统深入掌握中学数学内容有关的初等数学知识，代数学的基础上，以填补学生在中学数现代数学思想方法，尽量反映近、一方面，通过初等数学内容的研究，处学与高等数学之间的空白；另一方面，试图用近、现代数学的思想方法居高临下地分析、为当好一名使学生对中学数学内容有个高屋建建瓴的认识与理解，研究中学数学内容，理、使学生进行解题策略的训练，同时通过本课程的开设，中学数学教师打下扎实的知识基础。具有一定的解题能力。由于学生对初等数学内容并非一无所知，因此，必须突出与强调课程的研究性质。在每章、以帮助学生形成自主探索、研究，每节之后提出若干问题让学生进行探索、合作交流的学习方式，以便他们将来走向教学岗位后，能较快地适应课程改革的形势。必要时运用小组合作的方式进行适学生自学为辅的教学方法，本课程主要采用以讲授为主、当的专题讨论。周，有32八学期开设，安排---初等数学研究是专业选修课，系主干课程。一般情况下第七课时。64共,周36条件时可安排二、教学内容与学时分配序 号章节名称学时分配 1 第一章绪论 2 2 第二 章集合与逻辑 6 3 第三章数与式的理论 8 4 第四章函数的理论 8 5 第五章方程、不等式 8 6 公理化方法与演绎推理 6 7 第七章几何变换 8 8 第八章几何的向量结构及坐标 法 6 9 第九章排列、组合 6 10 第十章中学数学解题策略 6 合计学时数 64 三、各章节主要知识点与教学要求课时） 2第一章绪论（中学数学与初等数学的关系，中学数学的特点，中学数学的发展历程，包括数学研究的对象，本课程的研究 对象，学习本课程的目的意义，等等本章重点：中学数学的 特点本章难点：无掌握中学数学的特点，中学数学的发展历程；要求学生了解数学研究的对象，本章教学要求：中学数 学与初等数学的关系，掌握本课程的研究对象，学习本课程的 目的意义课时）6第二章集合与逻辑（集合集合的特性， 集合的运算。集合的运用命题的逻辑演算命题的特征，简 单命题，复合命题的真值定义，等价命题，简单命题的演算 命题中的量词假言命题的四种形式，量词的否定，存在量词， 全称量词，开语句的复合，真值集，开语句，充分条件与必要 条件集合与逻辑的关系本章重点：复合命题的真值定义， 等价命题，假言命题的四种形式本章难点：假言命题的四种 形式，开语句的复合，本章教学要求：要求学生掌握假言命题 习题一 1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10） 答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为： （1）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （2）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。 （3）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。 数系扩展的方式有两种： （1）添加元素法。 （2）构造法。 2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则 （3）,a b ac bc >>若则； 证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。 由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。 （2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有 （P17定义9） 由（1）有()bc a k c =+ ac bc ∴< （P17.定义9） 或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ 3、对自然数证明乘法消去律：,,,a b c N ∈设则 （1）,;ac bc a b ==若则 （2）ac bc a b <<若，则； （3）ac bc a b >>若，则。 证明（1）（用反证法） （2）方法同上。 （3）方法同上。 4、依据序数理论推求： 解： 1313134++=='（）先求，， （P16.例1）323231(31)45,++=+=+=='''再求， （2）31313??=先求，， 5、设n N ∈，证明n 415n 1+-是9的倍数。 证明：1n 141511189,1n =+?-==①当时，是的倍数故时命题成立。 k n k 415k 19=+-②假设当时，命题成立。即是的倍数。则当n=k+1时： k 1k 415k 11 4415k 1315k 18441519(52) k k k +++-=+--?+=+---（）（）（）。 1n k ∴=-当时，命题成立。 由①，②知，对于任一自然数n 成立。 6、用数学归纳法证明下式对于任意自然数都成立： 证明： ①412111--3-3.11-21n +?==== ==?当时，左边，右边左边右边。 ②n k =假设当时，等式成立，即： 初等数学研究答案1 大学数学之初等数学研究，李长明，周焕山版，高等教育出版社 习题一 1答：原则：（1）A ?B （2）A 的元素间所定义的一些运 算或基本关系，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。 （3）在A 中不是总能施行的某种 运算，在B 中总能施行。 (4) 在同构的意义下,B 应当是A 满足上述三原则的最小扩展,而且由A 唯一确定。 方式：（1）添加元素法；（2）构造法 2证明:(1)设命题能成立的所有c 组成集合M 。 a=b ，M 11b 1a ∈∴?=?∴， 假 设 bc ac M c =∈，即，则 M c c b b bc a ac c a ∈'∴'=+=+='， 由归纳公理知M=N ，所以命题对任意 自然数c 成立。 （ 2）若a < b ，则 bc kc ac bc,k)c (a )1(b k a N k =+=+=+∈?即，，由，使得 则ac 初等数学研究期末复习题：选择题与填空题 一．选择题 1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )． A C B D A ．2 B ．4 C ． 6 D ． 8 2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )． A ．正数 B ．负数 C ．零 D ．整数 3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )． A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 4．设A =22211148()34441004 ?++???+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25 5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b <<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182 6 的结果是( )． A ．无理数 B ．真分数 C ．奇数 D ．偶数 7．设4r ≥，1 1 1a r r =-+ ，b = ，c =，则下列各式一定成立 的是( )． A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >> D ．c b a >> 8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－ x 4)(2005－x 5)＝242，则2222212345 x x x x x ++++的未位数字是( )． A ．1 B ．3 C ．5 D ．7 9． 已知1m = 1n =且22(714)(367)m m a n n -+--=8，则a 的值等于( )． A ．5- B ．5 C ．9- D ．9 10．Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线y =x 2上，并且斜边AB 平行于x 轴．若斜边上的高为h ，则( )． A ．h <1 B ．h =1 C ．1 初等数学研究（程晓亮、刘影）版课后习题答案 第一章 数 1添加元素法和构造法，自然数扩充到整数可以看成是在自然数的基础上添加0到扩大的自然数集，再添加负数到整数集；实数扩充到复数可以看成是在实数的基础上构造虚数单位i 满足12-=i ，和有序实数对),(b a 一起组成一个复数 bi a +. 2（略） 3从数的起源至今，总共经历了五次扩充： 为了保证在自然数集中除法的封闭性，像b ax =的方程有解，这样，正分数就应运而生了，这是数的概念的第一次扩展，数就扩展为正有理数集. 公元六世纪，印度数学家开始用符号“0”表示零.这是数的概念的第二次扩充，自然数、零和正分数合在一起组成算术数集. 为了表示具有相反意义的量，引入了负数.并且直到17世纪才对负数有一个完整的认识，这是数的概念的第三次扩充，此时，数的概念就扩展为有理数集. 直到19世纪下半叶，才由皮亚诺、戴德金、维尔斯特拉斯等数学家的努力下构建了严格的实数理论.这是数的概念的第四次扩充，形成了实数集. 虚数作为一种合乎逻辑的假设得以引进，并在进一步的发展中加以运用.这是数学概念的第五次扩充，引进虚数，形成复数集. 4证明：设集合D C B A ,,,两两没有公共元素d c b a ,,,分别是非空有限集D C B A ,,,的基数，根据定义，若b a >，则存在非空有限集'A ，使得B A A ~'?；若d c ≥从而必存在非空有限集'C ，使得D C C ~'?，所以)(C A ?)(D B ??所以集合 C A ?的基数c a +大于集合 D B ?的基数d b +，所以d b c a +>+. 5（1）解：按照自然数序数理论加法定义， 15 55555155155)25(2535''=++=++?=+?=+?=?=? （2）解：按照自然数序数理论乘法定义 8 7)6(])15[()15()25(2535'''''''''===+=+=+=+=+ 6证明：?1当2=n 时，命题成立.（反证法） 第三章 3.1 设二元对称信道的传递矩阵为? ?????????32313132 (1) 若P(0) = 3/4, P(1) = 1/4，求H(X), H(X/Y), H(Y/X)和I(X;Y)； (2) 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布； 解： 1) symbol bit Y X H X H Y X I symbol bit X Y H Y H X H Y X H X Y H Y H Y X H X H Y X I symbol bit y p Y H x y p x p x y p x p y x p y x p y p x y p x p x y p x p y x p y x p y p symbol bit x y p x y p x p X Y H symbol bit x p X H j j i j i j i j i i i / 062.0749.0811.0)/()();(/ 749.0918.0980.0811.0)/()()()/() /()()/()();(/ 980.0)4167.0log 4167.05833.0log 5833.0()()(4167 .03 2 413143)/()()/()()()()(5833.031 413243)/()()/()()()()(/ 918.0 10 log )3 2 lg 324131lg 314131lg 314332lg 3243( ) /(log )/()()/(/ 811.0)41 log 4143log 43()()(222221212221221211112111222=-==-==+-=+-=-=-==?+?-=-==?+?=+=+==?+?= +=+==??+?+?+?-=-==?+?-=-=∑∑∑∑ 2) 2221122 max (;)log log 2(lg lg )log 100.082 /3333 mi C I X Y m H bit symbol ==-=++?=其最佳输入分布为1 ()2 i p x = 3-2某信源发送端有2个符号，i x ，i ＝1，2；()i p x a =，每秒发出一个符号。接受端有3 种符号i y ，j ＝1，2，3，转移概率矩阵为1/21/201/21/41/4P ?? =? ? ?? 。 （1） 计算接受端的平均不确定度； （2） 计算由于噪声产生的不确定度(|)H Y X ； （3） 计算信道容量。 《初等数学研究》考试大纲 Elementary Mathematics Research 一、本大纲适用专业 数学与应用数学。 二、考试目的 测试学生对初等数学的基本内容和方法的熟练程度。 三、考试内容 第一章数系 1. 考试知识点 （1）数的概念的扩展； （2）自然数序数理论及其性质； （3）整数环、有理数域、实数域、复数域的建立及性质。 2. 考试要求 （1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则； （2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造； （3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质； （4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质； （5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。 第二章解析式 1. 考试知识点 （1）多项式的恒等定理； （2）待定系数法； （3）因式分解方法； （4）分式恒等变形； （5）根式的化简和计算； （6）解不等式（组）； （7）不等式的证明； （8）几个著名的不等式。 （1）了解解析式的概念及其分类； （2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法； （3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形； （4）掌握根式的运算和变形； （5）掌握不等式的基本性质、解法和证明； （6）熟悉几个著名的不等式。 第三章方程与函数 1. 考试知识点 （1）方程（组）的同解理论及基本解法； （2）几类特殊的高次方程的解法； （3）分式方程、无理方程和超越方程的解法 （4）函数概念的形成和发展； （5）初等函数的性质。 2. 考试要求 （1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法； （2）掌握特殊的高次方程的解法； （3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法； （4）了解函数概念的发展与几种定义方式； （5）掌握初等函数的基本性质。 第四章数列 1. 考试知识点 （1）数列的通项公式； （2）等差与等比数列； （3）高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）数学归纳法的基本形式和其他形式； （5）数列的母函数。 2. 考试要求 （1）掌握求数列通项的方法； （2）熟练掌握等差与等比数列的综合题； （3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列； （4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用； （5）了解数列的母函数。 第五章排列与组合 课程名称： 初等数学研究 任课教师姓名： 左晓虹 卷面总分： 100 分 考试时长： 100 分钟 考试类别：闭卷 √ 开卷 □ 其他 □ 注：答题内容请写在答题纸上，否则无效． 一、单选题（4*10=40分） 1．设a ，b 是向量，命题“若a b =-，则||||a b =”的逆否命题是 （ ） （A ）若a b ≠-，则||||a b ≠ （B ）若a b =-，则||||a b ≠ （C ）若||||a b ≠，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =- 2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是 （ ） 4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20 5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ） （A ）283π - （B ）83 π - （C ）82π- （D ）23 π 6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ） （A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点 7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈， 1 {|||N x x i =- 习题三 1、已知半径为r 的圆为内接等腰梯形ABCD。它的下底AB 是圆O 的直径，上底CD 的端点在圆周上。 （1）写出梯形的周长y 和腰长x 间的函数关系式，并求其定义域； （2）当腰长为何值时，该等腰梯形的周长有最大值，并求出最大值。 解：（1）作DE ⊥AB 于 E 连DB，则∠ADB = 90°∴ADB∽AED ∴AD AB = AE AD 2 AD 2 ∴AD = AE ? AB ∴AE = AB 又Q DC = AB ? 2 AE ∴y = DC + AB + 2 AD = AB ? 2 AE + AB + 2 AD AD 2 = 2r ? 2 + 2r + 2 x AB 2x2 = 2r ? + 2r + 2 x 2r x2 = 4r ? + 2 x r x2 = ? + 2 x + 4r . r x2 又Q x > 0 ，且= AE < r ，即x < 2r 2r ∴函数的定义域为（0，2r）。（2）y = ? (r ? x) 2 + 5r ，所以当腰长x=r 时，周长y 有最大值5r. 2、设函数y = f ( x) 定义在R 上，当x>0 时，f ( x) > 1 ,且对于任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 又当m ≠ n 时，f (m) ≠ f (n). 求证：（1）f (0) = 1. （2）对于任意x ∈R ，均有f ( x) > 0. 证明：（1）Q对任意m, n ∈R ，有f (m + n) = f (m) ? f (n). 1 r ∴令m=n=0,则有f (0 + 0) = f (0) + f (0) 即f (0) = f (0) + f (0) . ∴f (0) ? [ f (0) ? 1] = 0. ∴f (0) = 1 或f (0) = 0. 若 f (0) = 0.则对于任意m>0,有f ( m) = f ( m + 0) = f ( m) ? f (0) = 0 和题设矛盾。因此，f (0) = 1. （2）由题设和（1）的结论，当x ≥ 0 时， f ( x) ≥ 1 > 0 ，假设x < 0 ，则? x > 0 ，因而 f (? x) > 1。但是 f ( x) ? f (? x) = f ( x ? x) = f (0) = 1 所以， f ( x) = 1 > 0. f (? x) 3、判断下列各组函数是不是同一函数，并说出理由。（1）f ( x) = lg x 2 , （2）f ( x) = x , g ( x) = 2lg rx . g ( x) = 3 x 3 . 解：（1）是同一函数。因为定义域相同：x ∈R ? {0} . 且对每个x,对应值也相等。（2）不是同一函数。因为当x<0 时，f ( x) > 0 ，而g ( x) < 0 . 4、求下列函数的定义域（1）y = (4 x ? 5) + 8 ?1 x （2）y = log (2 x?1) (3 x ? 2) （3）y = log 0.5 (log 2 x 2 + 1) （4）y = 7? x?2 lg(9 ? 3x ) （5）y = 1 ? ( ) 2 x?1 （6）y = lg x + lg(5 ? 2 x ) （7）y = arccos(2 x 2 ? x) （8）y = arcsin( x ? 1) + 1 3 1 5x ? 1 1 4 （9）y = sin x ? 1 + (1 ? sin x ) （10）y = lg cos3x ?4 x ? 5 ≠ 0 ? ?8 解：（1）Q ? ? 1 ≥ 0 ? x ? x ≠0 ? 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? x ≤ 8 ?x ≠0 ? ? 5 4 5 4 5 ? x≠ ? 4 ? ，∴? ?8 ≤ x ≤ 8 ? x≠0 ? ? ∴函数定义域为：[?8,0) U (0, ) U ( ,8] . ?3 x ? 2 > 0 ? （2）Q ? 2 x ? 1 > 0 ?2 x ? 1 ≠ 1. ? 2 3 2 ? x> ? 3 ? 1 ? ∴?x > 2 ? ? x ≠1 ? ? ∴函数的定义域为：( ,1) U (1, +∞). ?log 0.5 (log 2 x 2 + 1) ≥ 0 ? （3）Q ? log 2 x 2 + 1 > 0 ? x2 > 0 ? ? 0 < log 2 x 2 + 1 ≤ 1 ? ∴?log 2 x 2 > ?1 ?x≠0 ? ?2-1 ≤ x 2 ≤ 1 ? ∴? x 2 > 2?1 ?x ≠ 0 ? ? 2 2 ≤ x ≤ 1 或?1 ≤ x ≤ ? ? 2 ? 2 ? 2 2 或x ∴? 2 2 ? ? x≠0 ? ? ? 2 2 函数定义域为：[(?1, ? )U( ,1)] . 2 2 ?lg(9 ? 3x ) ≠ 0 ? Q （4）? 9 ? 3x > 0 ?7 ? x ? 2 ≥ 0 ? ? x ≠ log 3 8 ? ∴? x < 2 ??5 ≤ x ≤ 9 ? ? 9 ? 3x ≠ 1 ? ∴? 3x < 9 ? x?2 ≤ 7 ? ? 3x ≠ 8 ? ∴? 3x < 32 ??7 ≤ x ? 2 ≤ 7 ? ∴log 3 8 < x < 2 或?5 ≤ x < log 3 8 ∴函数定义域为：[(?5,log 3 8) U (log 3 8, 2)]. （5）Q1 ? ( ) 2 x?1 ≥ 0. 1 3 ∴( )2 x?1 ≤ 1. ∴ 2 x ? 1 ≥ 0. ? log x ≥ 0 ? （6）Q ? x > 0 ?5 ? 2 x > 0 ? 1 3 ∴1 ≤ x < log 5 2 1 1 ∴函数定义域为[ , +∞] 2 2 x ≥1 ? ? x ≥1 ? ? ∴? x > 0 ∴? x > 0 5 ? ?2 x < 5 ? x< ? 2 ∴x ≥ 5 ∴函数定义域为：[1, ) . 2 （7）Q ?1 ≤ 2 x 2 ? x ≤ 1 ? 2 x 2 ? x ? 1 ≤ 0LL ①∴? 2 ?2 x ? x + 1 ≥ 0LL ② 1 ? ?由①? ≤ x ≤ 1 ∴? 2 ?由②x ∈R ? ∴函数的定义域为：[1, ) . ??1 ≤ x ? 1 ≤ 1 （8）Q ? ? 5x ? 1 > 0 1 5 ?0 ≤ x ≤ 2 1 ? ∴? ∴初等数学研究课后习题答案(2020年7月整理).pdf
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