大学物理05-5麦克斯韦速率分布律

抽气
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当铝钢圆柱体以给定角 速度 转动时，只有满足下 列关系式的原子才能顺利通 过细槽出口：
L t v
长为 L=20.40 cm、刻有螺旋形 细槽的铝钢圆柱体。
v L
这里的斜槽是一速率选择器。
而其它速率的原子则将沉积在槽壁上而不能通 过。改变角速度，检测器D则测出通过细槽的不 同速率的原子射线强度，于是可得原子蒸气的速率 分布，见下图。
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O
v
麦克斯韦（James Clerk Maxwell 1831—1879）
•他提出了有旋电场和位移电流概念，建 立了经典电磁理论（麦克斯韦方程组）， 预言了以光速传播的电磁波的存在。
•1873年，他的《电磁学通论》问世，这 是一本划时代巨著，它与牛顿的《自然哲 学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索 电磁规律的一个里程碑。
将速率分成若干相等的区间，如
0 ~ 10 m/s; 10 m/s ~ 20 m/s; 20 m/s ~ 30 m/s;
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设任一速率区间为： v ~ v v 设总的气体分子数为N，在该区间内的分子数为ΔN
N ——分布在速率 v附近单位速率间隔内的分子数 v N ——分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数 vN 占总分子数的比率。
0
——归一化条件
O dv
v1 v2
v
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三、麦克斯韦速率分布律
早在1859年，麦克斯韦应用统计概念和力学原理 导出在平衡态下气体分子速率分布函数的具体形式
m 32 f (v) 4π( ) e 2πkT
f (v )
mv2 2 kT
v
2
麦克斯韦速 率分布函数
麦克斯韦速率分布曲线 它是二次函数 v2 与指数函数 mv 2 exp 共同作用的结果。 2kT
2
RT 8.31 300 vp 1.41 1.41 394 m / s M 0.032
RT 8.31 300 v 1.60 1.60 447 m / s M 0.032
可见在相同温度下:
v ＞ v ＞ vp
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2
练习二、氦气的速率分布曲线如图所示， (1) 试在图上画出同温度下氢气分子速率分布曲线的大致图； 求： (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。 解： (2) (v p )He
v1
速率在v1→v2区间所有分子速率的平均值
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同一气体，不同温度： f (v)
2kT m不变，T vp m
曲线的峰值右移，由于曲线下 面积为1不变，所以峰值降低。
T2 T1
T2 T1
O
vp1 vp2
同一气体，不同温度
v
不同气体，相同温度： f (v)
2kT T 不变，m vp m
3 2
复杂的系数 是因归一化 的需要！
式中 T 是气体的热力学温度， m是每个分子的质量， k 是 玻耳兹曼常量。 特点：曲线从坐标原点出发，经 过一极大值后，随着速率的增大 而逐渐趋近于横坐标轴。这说明 气体分子速率可以取从 0到∞之间 的一切数值。速率很大和速率很 小的分子数所占的比率都很小， f(0)=f(∞)=0 ，而具有中等速率的 分子数所占的比率却很大。
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四、麦克斯韦速率分布函数 f(v) 的性质
(1)
f (v)dv
Nf (v)dv
v2
速率在v-v+dv内的分子数占总分子数的百分比
(2)
(3) (4) (5) (6)
速率在v-v+dv内的分子数

v1
f (v)dv 速率在v1→v2内的分子数占总分子数的百分比

v2
v1
Nf (v)dv

0

v2
v1

Nvf (v)dv
速率在v1→v2内所有分子速率的总和 速率比 v 大的所有分子平动动能之和
(11)
1 2 v N ( 2 mv ) f (v)dv v2 vf v dv
v1 v2 v1 v2
f v dv (12) vf v dv 无实际物理意义！
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例题5-5 从速率分布函数推算分子的三个统计速率 (1)算术平均速率 2
v vf (v)dv 0
0


m 32 v 4 π( ) e 2πkT

mv 2 kT
v dv
2
8kT πm
(2)方均根速率
2 2
RT 8 RT 1.60 M mol πM mol
曲线的峰值左移，由于曲线下 面积为1不变，所以峰值升高。O
m2 m1
m1 m2
vp2 vp1
v
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练习一、试计算27℃下的氧气分子的三种速率。 解: M 0.032 kg/mol, T 273 27 300 K
RT 8.31 300 v 1.73 1.73 483 m / s M 0.032
当 v 0时， v dv ； N dN； 2. 速率分布函数 f(v) 的定义
f ( v)
注意： 在平衡态下 v 0 vN N dv
v v+Δv
v
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3. 速率分布函数 f(v) 的意义：概率密度函数 ※分布在速率 v 附近单位速率间隔内的分子数占总 分子数的百分比(比率)； ※对单个分子来说，它表示分子速率落在该单位速 率间隔内的概率。 4. 速率分布曲线 在v-v+dv区间的分子数占总分子数的百分比(概率)为 f ( v ) dN dN f (v)dv 面积 N N N 面积 v N 2 N 在v1-v2区间 f (v)dv v1 N 在0-区间有 f (v)dv 1
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速率在v1→v2内的分子数


v v
Nf (v)dv Nf (v)dv
速率比 v 大的分子数
速率比 v 小的分子数

0
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(7) (8) (9) (10)
1 2 所有分子平动动能的平均值 ( mv ) f ( v )d v 0 2 (v) f (v)dv (v)
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分子速率分布实验曲线（柱状图）如下所示：
相 对 分 子 数
O
分子速率分布实验曲线
v
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二、速率分布函数
1.研究气体分子的速率分布 •把速率分成若干相等区间 •求气体在平衡态下分布在各区间内的分子数 •各区间的分子数占气体分子总数的百分比 速率分布：把速率可能出现的值分成若干相等区间， 全部分子如何分配到这些区间中去的问题。 分布表 分布曲线 分布函数
m 2 m 2 v v df m 32 m 2 4 π( ) [2ve 2 kT v ve 2 kT ]v vp 0 dv 2πkT kT
2 RT RT 2kT 1.41 vp M mol M mol m
(4)三种速率的关系
f (v )
vp v v 2
vp : v : v 2 1.41:1.60 :1.73

v v f (v)dv
0
0
m 32 v 4 π( ) e 2πkT
2
mv 2 2 kT
v dv
2
RT 3RT 3kT 1.73 v M mol M mol m
2
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(3)最概然速率(the most probable speed)：vp 最概然速率是指在任一温度T 时，气体中分子最可能 具有的速率值。即在v =vp时，分布函数取极大值。
请作为公式记住此 麦克斯韦速率分布 律的简化式！
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v 99 v 1 现在 W , W vp 100 vp 50
把这些量值代入前式即得
N 4 99 e N π 100
2
99 100
2
1 1.6601% 50
19世纪伟大的英国 物理学家、数学家。 经典电磁理论的奠 •在气体动理论方面，他还提出气体分子 基人，气体动理论 按速率（速度）分布的统计规律。 的创始人之一。
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麦克斯韦速率分布函数（概率密度）
m mv2 / 2 kT 2 f (v ) 4 π v e 2πkT
O
vpv v 2
v
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三个速率都与 T 成正比，与 m或 M 成反比， vp v vrms，在室温下它们的数量级一般在几百米 每秒至几千米每秒。
三种统计速率有不同的应用： 在讨论速率分布时，要用到最概然速率；在计 算分子碰撞频率时，要用到平均速率；在计算分子 的平均平动动能时，则要用到方均根速率。
2 RT RT 1000 m/s 3 M 2 10
f (v )
(v p )H2
RT 103
1.41103 m/s
( v )H2
2
He
H2
3RT M H2
1.73 10 m/s
3
O
1000
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v (m/s)
例题5-6 试计算气体分子热运动速率的大小介于 vp-vp/100 和 vp+vp/100 之间的分子数占总分子数的 百分比。
99 vp 解：按题意 v vp 100 100 vp vp vp v vp vp 100 100 50