重庆市巫山中学2015-2016学年高二数学上学期第一次月考试题 理
2015-2016学年高二上学期期末考试数学(理)试卷及答案
2015-2016学年度 第一学期期末质量监测高二数学（理科）试卷一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线023=+-y x 的倾斜角是A.6π B.3π C.23π D.56π 2. 直线l 过点(2,2)P -，且与直线032=-+y x 垂直，则直线l 的方程为 A. 220x y +-= B. 260x y --=C. 260x y --=D. 250x y -+=3. 一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为π12, 则该几何体的体积是A. π4B. 12πC. 16πD. 48π 4. 在空间中，下列命题正确的是 A. 如果直线m ∥平面α,直线α⊂n 内,那么m ∥n ;B. 如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC. 如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m α⊥D. 如果平面α⊥平面β，任取直线m α⊂，那么必有m β⊥5. 如果直线013=-+y ax 与直线01)21(=++-ay x a 平行.那么a 等于A. -1B.31 C. 3 D. -1或316. 方程)0(0222≠=++a y ax x 表示的圆A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于直线x y =轴对称D. 关于直线x y -=轴对称7. 如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是1AA ，AD 的中点，则1CD 与EF 所成角为A. 0︒B. 45︒C. 60︒D. 90︒8. 如果过点M (-2,0)的直线l 与椭圆1222=+y x 有公共点,那么直线l 的斜率k 的取值范围是A.]22,(--∞ B.),22[+∞ C.]21,21[-D. ]22,22[-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知双曲线的标准方程为116422=-y x ，则该双曲线的焦点坐标为，_________________渐近线方程为_________________.10. 已知向量)1,3,2(-=a，)2,,5(--=y b 且a b ⊥ ，则y =________.11. 已知点),2,(n m A -，点)24,6,5(-B 和向量(3,4,12)a =-且AB ∥a .则点A 的坐标为________.12. 直线0632=++y x 与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 13. 抛物线x y 82-=上到焦点距离等于6的点的坐标是_________________.14. 已知点)0,2(A ，点)3,0(B ，点C 在圆122=+y x 上，当ABC ∆的面积最小时，点C 的坐标为________.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15. （本小题共13分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，E ，F ,G 分别是AC ，AD ,BC 的中点. 求证：（I ）AB ∥平面EFG ;（II ）平面⊥EFG 平面ABC .16. （本小题共13分）已知斜率为2的直线l 被圆0241422=+++y y x 所截得的弦长为求直线l 的方程.17. （本小题共14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面⊥PAB 平面ABCD ，AB ∥CD ，AB AD ⊥，2CD AB =，E 为PA 的中点,M 在PD 上(点M 与D P ,两点不重合).（I ） 求证：PB AD ⊥；（II ）若λ=PDPM,则当λ为何值时, 平面⊥BEM 平面PAB ?（III ）在（II ）的条件下,求证：PC ∥平面BEM .18. （本小题共13分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，PD CD =,E 为PC 的中点. （I ） 求证：AC ⊥PB ； （II ） 求二面角P --BD --E 的余弦值.19. （本小题共14分）已知斜率为1的直线l 经过抛物线22y px =(0)p >的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，4=AB .（I ） 求p 的值；（II ） 设经过点B 和抛物线对称轴平行的直线交抛物线22y px =的准线于点D ，求证：DO A ,,三点共线(O 为坐标原点).20. （本小题共13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>的左焦点为F ,离心率为33，过点)1,0(M 且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为6. （I ） 求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于2,求直线OP (O 是坐标原点)的斜率的取值范围.2015-2016学年度第一学期期末质量检测高二数学（理科）试卷参考答案2016.1一、ABB C BA CD二、9.（±52,0），2y x =±10. -411. (1,-2,0)12. 313. (-4,24±)14. （13133，13132） 说明：1.第9题，答对一个空给3分。
重庆市巫山中学2015届高三第一次月考数学文试题
重庆市巫山中学2015届高三第一次月考数学文试题时间：2014-10-14 15：00-17： 00一、选择题:（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{1,1},{|124}xA B x =-=≤<,则A B 等于（ ） A ．{-1,0,1} B ．{1} C ．{-1,1} D ．{0,1}2.下列四个命题中的真命题是（ ）A ．∀x ∈R ，x 2＋3<0B ．∀x ∈N ，x 2≥1C ．∃x ∈Z ，使x 5<1D ．∃x ∈Q ，x 2＝33．有一对酷爱运动的年轻夫妇让他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“14”和“北京”的字块，如果婴儿能够排成“2014北京”或者“北京2014”，则他们就给婴儿奖励．假设婴儿能将字块横着正排，那么这个婴儿能得到奖励的概率是（ ） A ．13 B.12 C.23 D.344.等比数列的前项和为，若，，则（ ） A ．15 B ．30 C.．45 D ．605.已知0,0x y >>，且，则2x y +的最小值为（ ）A B C D ．146.设22,0()log (1),0x x x f x x x ⎧-<=⎨+≥⎩，则不等式()2f x ≥的解集为（ ）A ．(,1][3,)-∞-+∞ B.(,1][2,)-∞-+∞ C.[3,)+∞ D.(,1]-∞- 7．已知函数f(x)是偶函数，在),0(+∞上导数>0恒成立，则下列不等式成立的是 （ ）A.f(-3)<f(-1)<f(2)B.f(-1)<f(2)<f(-3)C.f(2)<f(-3)<f(-1)D.f(2) <f(-1)<f(-3)8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）{}n a n n S 1233a a a ++=4566a a a ++=12S =()f x '59．函数f(x)＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<2π)的最小正周期是π，若其图象向右平移3π个 单位后得到的函数为奇函数，则函数f(x)的图象（ ） A ．关于点(12π，0)对称 B ．关于直线x ＝12π对称C ．关于点(512π，0)对称 D.关于直线x ＝512π对称10.已知点(,0)(0)F c c ->是双曲线的左焦点，离心率为e ，过F 且平行于双曲线渐近线的直线与圆222c y x =+交于点，且点在抛物线24y cx =上，则=2e （ ）A B C D 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
重庆市巫溪中学2015-2016学年高二上学期第二次月考数学试卷(文科)Word版含解析
2015-2016学年重庆市巫溪中学高二（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤3．点A在z轴上，它到点（2，，1）的距离是，则点A的坐标是（）A．（0，0，﹣1）B．（0，1，1）C．（0，0，1）D．（0，0，13）4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面5．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切6．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣27．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=08．圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（）A．81πB．100πC．14πD．169π9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．1610．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]12．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线y=kx+1被圆x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则实数k的值是．14．圆x2+y2=4上有四个点到12x﹣5y+c=0的距离为1，则c的范围是．15．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为．16．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．三、解答题（共6大题，共70分）17．（1）求与直线3x+4y﹣7=0垂直．且与原点的距离为6的直线方程；（2）求经过直线l1：2x+3y﹣5=0与l2：7x+15y+1=0的交点．且平行于直线x+2y ﹣3=0的直线方程．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC．19．已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．20．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？21．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．22．已知圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0，以坐标原点为圆心的圆N内切于圆M．（1）求圆N的方程；（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围．2015-2016学年重庆市巫溪中学高二（上）第二次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．直线y=﹣x+2的倾斜角是（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线的方程求得直线的斜率，再根据倾斜角和斜率的关系求得它的倾斜角即可．【解答】解：由于直线y=﹣x+2，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣，θ=120°，故选：C．2．若方程x2+y2﹣x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是（）A．m＜B．m＞C．m＜0 D．m≤【考点】二元二次方程表示圆的条件．【分析】方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，由此求得实数m的取值范围．【解答】解：方程x2+y2﹣x+y+m=0即=﹣m，此方程表示圆时，应有﹣m＞0，解得m＜，故选A．3．点A在z轴上，它到点（2，，1）的距离是，则点A的坐标是（）A．（0，0，﹣1）B．（0，1，1）C．（0，0，1）D．（0，0，13）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】设A（0，0，z），由题意和距离公式可得z的方程，解方程可得．【解答】解：由点A在z轴上设A（0，0，z），∵A到点（2，，1）的距离是，∴（2﹣0）2+（﹣0）2+（z﹣1）2=13，解得z=1，故A的坐标为（0，0，1），故选：C．4．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面【考点】平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】通过两条直线垂直的充要条件两条线所成的角为90°；判断出B对；通过举常见的图形中的边、面的关系说明命题错误．【解答】解：对于A，通过常见的图形正方体，从同一个顶点出发的三条棱两两垂直，A错；对于B，∵l1⊥l2，∴l1，l2所成的角是90°，又∵l2∥l3∴l1，l3所成的角是90°∴l1⊥l3，B对；对于C，例如三棱柱中的三侧棱平行，但不共面，故C错；对于D，例如三棱锥的三侧棱共点，但不共面，故D错．故选B．5．圆O1：x2+y2﹣2x=0和圆O2：x2+y2﹣4y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】求出半径，求出圆心，看两个圆的圆心距与半径的关系即可．【解答】解：圆O1：x2+y2﹣2x=0，即（x﹣1）2+y2=1，圆心是O1（1，0），半径是r1=1圆O2：x2+y2﹣4y=0，即x2+（y﹣2）2=4，圆心是O2（0，2），半径是r2=2∵|O1O2|=，故|r1﹣r2|＜|O1O2|＜|r1+r2|∴两圆的位置关系是相交．故选B6．直线L1：ax+3y+1=0，L2：2x+（a+1）y+1=0，若L1∥L2，则a的值为（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2【考点】两条直线平行的判定；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系．【分析】由题意可知直线L1：ax+3y+1=0，斜率存在，直线L2：2x+（a+1）y+1=0，斜率相等求出a的值．【解答】解：直线L1：ax+3y+1=0的斜率为：，直线L1∥L2，所以L2：2x+（a+1）y+1=0的斜率为：所以=；解得a=﹣3，a=2（舍去）故选A．7．点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（）A．x+y﹣1=0 B．2x+y﹣3=0 C．x﹣y﹣3=0 D．2x﹣y﹣5=0【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由垂径定理，得AB中点与圆心C的连线与AB互相垂直，由此算出AB 的斜率k=1，结合直线方程的点斜式列式，即可得到直线AB的方程．【解答】解：∵AB是圆（x﹣1）2+y2=25的弦，圆心为C（1，0）∴设AB的中点是P（2，﹣1）满足AB⊥CP因此，PQ的斜率k===1可得直线PQ的方程是y+1=x﹣2，化简得x﹣y﹣3=0故选：C8．圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，则圆台的侧面积为（）A．81πB．100πC．14πD．169π【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】利用圆台的两底面的半径、高、母线构成一个直角梯形，构造直角三角形利用勾股定理求出底面半径，代入圆台的面积公式进行运算．【解答】解：∵圆台的上、下底面半径和高的比为1：4：4，母线长为10，设圆台上底面的半径为r，则下底面半径和高分别为4r 和4r，由100=（4r）2+（4r﹣r）2得，r=2，故圆台的侧面积等于π（r+4r）l=π（2+8）×10=100π，故选B．9．三棱锥S﹣ABC及其三视图中的正视图和侧视图如图所示，则棱SB的长为（）A．2B．4 C． D．16【考点】简单空间图形的三视图．【分析】由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，底面△ABC为等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC边上的高为2，进而根据勾股定理得到答案．【解答】解：由已知中的三视图可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC为等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC边上的高为2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故选B10．曲线y=1+与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】要求的实数k的取值范围即为直线l斜率的取值范围，主要求出斜率的取值范围，方法为：曲线表示以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，在坐标系中画出相应的图形，直线l与半圆有不同的交点，故抓住两个关键点：当直线l与半圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值；当直线l过B点时，由A和B的坐标求出此时直线l的斜率，根据两种情况求出的斜率得出k的取值范围．【解答】解：根据题意画出图形，如图所示：由题意可得：直线l过A（2，4），B（﹣2，1），又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，解得：k=；当直线l过B点时，直线l的斜率为=，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．故答案为：11．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P∥平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是（）A．[1，]B．[，]C．[，]D．[，]【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，易证平面A1MN∥平面AEF，由题意知点P必在线段MN上，由此可判断P在M或N处时A1P最长，位于线段MN中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【解答】解：如下图所示：分别取棱BB1、B1C1的中点M、N，连接MN，连接BC1，∵M、N、E、F为所在棱的中点，∴MN∥BC1，EF∥BC1，∴MN∥EF，又MN⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，∴MN∥平面AEF；∵AA1∥NE，AA1=NE，∴四边形AENA1为平行四边形，∴A1N∥AE，又A1N⊄平面AEF，AE⊂平面AEF，∴A1N∥平面AEF，又A1N∩MN=N，∴平面A1MN∥平面AEF，∵P是侧面BCC1B1内一点，且A1P∥平面AEF，则P必在线段MN上，在Rt△A1B1M中，=，同理，在Rt△A1B1N中，求得A1N=，∴△A1MN为等腰三角形，当P在MN中点O时A1P⊥MN，此时A1P最短，P位于M、N处时A1P最长，==，A1M=A1N=，所以线段A1P长度的取值范围是[，]．故选B．12．二面角α﹣l﹣β为60°，A、B是棱上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l且AB=AC=1，BD=2，则CD的长为（）A．1 B．C．2 D．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】由题设条件，结合向量法求出CD的长．【解答】解：如图，∵在一个60°的二面角的棱上，有两个点A、B，AC、BD分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，AB=AC=1，BD=2，∴，＜＞=120°，∴==1+1+4+2×1×2×cos120°=4．∴|CD|=．故选：C．二、填空题（每小题5分，共20分）13．若直线y=kx+1被圆x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则实数k的值是1．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先判断直线过圆内的一个定点，再利用直线与圆的位置关系即垂径定理，判断直线的斜率【解答】解：直线y=kx+1过定点M（0，1），圆x2+y2﹣2x﹣3=0的圆心为（1，0），半径为r=2，显然点M在圆内若直线y=kx+1被圆x2+y2﹣2x﹣3=0截得的弦最短，则圆心（1，0）与点M（0，1）的连线与直线y=kx+1垂直，即k×=﹣1，故k=1故答案为114．圆x2+y2=4上有四个点到12x﹣5y+c=0的距离为1，则c的范围是（﹣13，13）．【考点】直线与圆相交的性质；点到直线的距离公式．【分析】求出圆心，求出半径，圆心到直线的距离小于半径和1的差即可．【解答】解：∵圆半径为2，圆上有四个点到12x﹣5y+c=0的距离为1，∴圆心（0，0）到直线12x﹣5y+c=0的距离小于1，即＜1，解得：﹣13＜c＜13，则c的取值范围是（﹣13，13）．故答案为：（﹣13，13）15．一个圆柱和一个圆锥的轴截面分别是边长为a的正方形和正三角形，则它们的表面积之比为2：1．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】根据已知求出圆柱和圆锥的表面积，可得答案．【解答】解：∵圆柱的轴截面是边长为a的正方形，故圆柱的底面半径r=a，母线长l=a，故圆柱的表面积S=2πr（r+l）=，∵圆锥的轴截面是边长为a的正三角形，故圆锥的底面半径r=a，母线长l=a，故圆锥的表面积S=πr（r+l）=，故它们的表面积之比为：2：1，故答案为：2：1．16．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【解答】解：取BC的中点G．连接GC1，则GC1∥FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∵E是CC1的中点，∴GC1∥EH∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中，OE=，HE=，OH=．由余弦定理，可得cos∠OEH===．故答案为：三、解答题（共6大题，共70分）17．（1）求与直线3x+4y﹣7=0垂直．且与原点的距离为6的直线方程；（2）求经过直线l1：2x+3y﹣5=0与l2：7x+15y+1=0的交点．且平行于直线x+2y ﹣3=0的直线方程．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】（1）设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0．又与原点的距离为6，可得=6，解得m即可．（2）联立，解得交点P的坐标．设平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程为x+2y+n=0．代入即可得出．【解答】解：（1）设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线方程为：4x﹣3y+m=0．又与原点的距离为6，∴=6，解得m=±30．∴满足条件的直线方程为：4x﹣3y±30=0．（2）联立，解得．设平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程为x+2y+n=0．把代入上述方程可得：n=﹣．∴要求的直线方程为：9x+18y﹣4=0．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD的中点．（1）证明：PB∥平面ACM；（2）证明：AD⊥平面PAC．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）连接BD、OM，由M，O分别为PD和AC中点，得OM∥PB，从而证明PB∥平面ACM；（2）由PO⊥平面ABCD，得PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC，得AD⊥AC，从而证明AD⊥平面PAC．【解答】证明：（1）连接BD和OM∵底面ABCD为平行四边形且O为AC的中点∴BD经过O点在△PBD中，O为BD的中点，M为PD的中点所以OM为△PBD的中位线故OM∥PB∵OM∥PB，OM⊂平面ACM，PB⊄平面ACM∴由直线和平面平行的判定定理知PB∥平面ACM．（2）∵PO⊥平面ABCD，且AD⊂平面ABCD∴PO⊥AD∵∠ADC=45°且AD=AC=1∴∠ACD=45°∴∠DAC=90°∴AD⊥AC∵AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，且AC∩PO=O∴由直线和平面垂直的判定定理知AD⊥平面PAC．19．已知点P（0，5）及圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0．（1）若直线ι过P且被圆C截得的线段长为4，求ι的方程；（2）求过P点的⊙C的弦的中点轨迹方程．【考点】轨迹方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）确定圆的圆心与半径，分类讨论，利用直线ι被圆C截得的线段长为4，可得直线ι与圆心的距离为2，由此可得结论；（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2+4x﹣12y+24=0得圆心坐标为（﹣2，6），半径为4又因为直线ι被圆C截得的线段长为4，所以直线ι与圆心的距离为2当直线斜率存在时，设L的斜率是k，过P（0，5），设直线ι：y=kx+5，即kx﹣y+5=0∵直线ι与圆C的圆心相距为2，∴d==2，解得k=，此时直线的方程为3x﹣4y+20=0当直线的斜率不存在时，直线的方程为x=0，也符合题意．故所求直线的方程为3x﹣4y+20=0或x=0．（2）设过P点的圆c的弦的中点D的坐标为（x，y），则∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y﹣6）•（y﹣5）=0化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x﹣11y+30=0．20．已知△BCD中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别是AC、AD上的动点，且=λ（0＜λ＜1）．（Ⅰ）求证：不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；（Ⅱ）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD？【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．【分析】（Ⅰ）由AB⊥平面BCD⇒AB⊥CD，又CD⊥BC⇒CD⊥平面ABC，再利用条件可得不论λ为何值，恒有EF∥CD⇒EF⊂平面BEF，就可得不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD⇒BE⊥平面ACD⇒BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出λ的值．【解答】证明：（Ⅰ）∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BC且AB∩BC=B，∴CD⊥平面ABC．又∵，∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，∴EF⊥平面ABC，EF⊂平面BEF，∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF，又∵平面BEF⊥平面ACD，∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，∴，∴，由AB2=AE•AC得，∴，故当时，平面BEF⊥平面ACD．21．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．【考点】直线与平面所成的角；异面直线及其所成的角．【分析】（1）连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，则∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，设AB=1，则可得则PO=AO•tan∠PAO设F为AD中点，连FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是侧面PAD 与底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO（2）容易证明EO．可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt △AOE中求解【解答】解：（1）连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=．设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO==．设F为AD中点，连FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角．在Rt△POF中，，∴∠PFO=60°，即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为60°；（2）连接EO，由于O为BD中点，E为PB中点，所以，EO．∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角．在Rt△POD中，．∴．由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO在Rt△AOE中，，即异面直线PD与AE所成角的正切值为．22．已知圆M的方程为x2+y2﹣2x﹣2y﹣6=0，以坐标原点为圆心的圆N内切于圆M．（1）求圆N的方程；（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求•的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用；平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用两圆相内切的性质即可得出；（2）利用等比数列的性质、两点之间的距离公式、数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．【解答】解：圆M的方程可整理为（x﹣1）2+（y﹣1）2=8，可得圆心M（1，1），R=2．（1）圆N的圆心为（0，0），设其半径为r，故|MN|==，∵圆N内切于圆M，∴有|MN|=R﹣r，即=2﹣r，解得r=．∴圆N的方程为x2+y2=2．（2）不妨设E（m，0），F（n，0），且m＜n．由，解得，故E（﹣，0），F（，0）．设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，得|DO|2=|DE|×|DF|，即×=x2+y2，整理得x2﹣y2=1．由于点D在圆N内，故有，由此得y2＜．而=（﹣﹣x，﹣y），=（﹣x，﹣y），∴•=（﹣﹣x）（﹣x）+（﹣y）（﹣y）=x2+y2﹣2=2y2﹣1，∴•∈[﹣1，0）．2017年1月15日。
2015-2016年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)
2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π2．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等3．（5分）椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4．（5分）若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面5．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣6．（5分）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．47．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°8．（5分）已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要9．（5分）a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①②B． ③④C． ③D． ③②10．（5分）P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．11．（5分）已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．412．（5分）已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+C．e2+D．e+二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE 与BC所成的角的余弦值为．14．（5分）设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C 的方程为．15．（5分）圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为弧度．16．（5分）抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（10分）设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．18．（12分）已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．20．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD 1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a ∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．2015-2016学年重庆市巴蜀中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（）A．8πB．6πC．4πD．π【解答】解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，故选：C．2．（5分）若实数k满足0＜k＜9，则曲线﹣=1与曲线﹣=1的（）A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等【解答】解：当0＜k＜9，则0＜9﹣k＜9，16＜25﹣k＜25，即曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25，b2=9﹣k，c2=34﹣k，曲线﹣=1表示焦点在x轴上的双曲线，其中a2=25﹣k，b2=9，c2=34﹣k，即两个双曲线的焦距相等，故选：A．3．（5分）椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，则该椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆的右焦点到原点的距离和到右准线的距离相等，可得c=，解得e=．故选：D．4．（5分）若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（）A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面【解答】解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．故选：B．5．（5分）已知某几何体的三视图如图，其中正（主）视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为（）A．24﹣B．24﹣C．24﹣πD．24﹣【解答】解：该几何体是由一个长方体截去半个圆柱所得，其中长方体的体积为V1=4×3×2=24；半个圆柱的体积为V2==，则V=24﹣．故选：A．6．（5分）已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点，|AF|=2，则|BF|=（）A．1 B．2 C．4 D．4【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F为（1，0），准线为x=﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线的定义可得|AF|=x1+1=2，解得x1=1，y1=±2，即有AB⊥x轴，可得|BF|=|AF|=2．故选：B．7．（5分）如图，已知六棱锥P﹣ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB 则下列结论正确的是（）A．PB⊥ADB．平面PAB⊥平面PBCC．直线BC∥平面PAED．直线PD与平面ABC所成的角为45°【解答】解：∵AD与PB在平面的射影AB不垂直，所以A不成立，又，平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；BC∥AD∥平面PAD，∴直线BC∥平面PAE也不成立．在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，∴∠PDA=45°，故选：D．8．（5分）已知直线l，m，n，平面α，m⊂α，n⊂α，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充要条件D．既不充分也不必要【解答】解：∵l⊥α 由线面垂直的定义知：l⊥m，且l⊥n．又∵由线面垂直的判定定理知l⊥m，且l⊥n推不出l⊥α．∴“l⊥α”是“l⊥m，且l⊥n”的充分不必要条件．故选：A．9．（5分）a、b、c为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合平面，现给出四个命题①②③④其中正确的命题是（）A． ①②B． ③④C． ③D． ③②【解答】解：由α、β、γ为三个不重合的平面，a、b、c为三条不同直线，知：①、a与b相交或a与b异面，故①错误②或α与β相交，故②错误；③，由平面与平面平行的判定定理得③正确；④或a⊂α，故④错误；故选：C．10．（5分）P是椭圆上的一点，F1、F2分别是左右焦点，若|PF1|=3|PF2|，则过点P的椭圆的切线的斜率是（）A．B．C．D．【解答】解：在中，a2=4，b2=2，c2=a2﹣b2=4﹣2=2，则c=，a=2，e==，∵|PF1|=3|PF2|，|PF1|+|PF2|=2a=4，∴4|PF2|=4，则|PF2|=1，设P（x0，y0），则由|PF2|=a﹣ex0=1，得2﹣x0=1，即x0=1，得x0=，则设P（x0，y0），若P为第一象限的点，则y=，则y′=﹣，当x=时，切线斜率k=f′（）=﹣=﹣，若P为第四象限的点，则y=﹣，则y′=，当x=时，切线斜率k=f′（）==，故过点P的椭圆的切线的斜率是，故选：D．11．（5分）已知+=1（m＞0，n＞0），当mn取得最小值时，直线y=﹣+2与曲线+=1的交点的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：∵1=+≥2，∴≤，mn≥8，当且仅当，即m=2，n=4时，mn取得最小值8，故曲线方程为，当x≥0，y≥0时，方程化为当x＜0，y＞0时，方程化为﹣，当x＞0，y＜0时，方程化为，当x＜0，y＜0时，无意义，由圆锥曲线可作出方程和直线y=﹣+2与的图象，由图象可知，交点的个数为2，故选：B．12．（5分）已知函数f（x）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，则k的值为（）A．e+B．e2+C．e2+D．e+【解答】解：函数f（x）=﹣x﹣+2e的定义域为（0，+∞），令f（x）=﹣x﹣+2e=0可得k=﹣x2+2ex；设g（x）=﹣x2+2ex，则g′（x）=﹣2（x﹣e）；故当g′（x）＞0时，则0＜x＜e；当g′（x）＜0时，则x＞e；当g′（x）=0时，则x=e；∴g（x）=﹣x2+2ex在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减；故x=e时g（x）最大值为g（e）=e2+，∵函数f（x）=）=﹣x﹣+2e有且只有一个零点，∴函数y=k与g（x）只有一个交点，故结合图象可知，k=e2+，故选：B．二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成的角的余弦值为．【解答】解：连接DE，设AD=2易知AD∥BC，∴∠DAE就是异面直线AE与BC所成角，在△RtADE中，由于DE=，AD=2，可得AE=3∴cos∠DAE==，故答案为：．14．（5分）设双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，则C的方程为．【解答】解：∵双曲线C经过点（1，3），且与﹣x2=1具有相同渐近线，∴设双曲线C的方程为﹣x2=λ，（λ≠0），把点（1，3）代入，得：，解得λ=2，∴双曲线C的方程为：．故答案为：．15．（5分）圆锥的轴截面是正三角，则它的侧面展开扇形圆心角为π弧度．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，则l=2r，于是侧面展开图的扇形半径为l，弧长为2πr，∴圆心角α==π．故答案为：π．16．（5分）抛物线y2=4x，直线l过焦点F，与其交于A，B两点，且，则△AOB（O为坐标原点）面积为．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），设直线l为x=my+1，代入抛物线方程可得，y2﹣4my﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=﹣4，由=4，可得y1=﹣3y2，由代入法，可得m2=，又△AOB的面积为S=|OF|•|y1﹣y2|===．故答案为：三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）17．（10分）设定函数f（x）=x3+bx2+cx+d（a＞0），且方程f′（x）﹣9x=0的两个根分别为1，4．（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）在（﹣∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．【解答】解：由得f′（x）=ax2+2bx+c因为f′（x）﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1，4，所以（*）（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得解得b=﹣3，c=12又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0，故f（x）=x3﹣3x2+12x．（Ⅱ）由于a＞0，所以“在（﹣∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax2+2bx+c≥0在（﹣∞，+∞）内恒成立”．由（*）式得2b=9﹣5a，c=4a．又△=（2b）2﹣4ac=9（a﹣1）（a﹣9）解得a∈[1，9]即a的取值范围[1，9]18．（12分）已知正方形ABCD，PA⊥平面ABCD，且，E是AB中点．（1）求证：AE⊥平面PBC；（2）求点E到平面PAC的距离．【解答】解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PA⊥BC．又∵正方形ABCD，∴AB⊥BC．∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB∵AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE．又∵PA=AB，E是AB中点，∴PB⊥AE．∵PB∩BC=B，∴AE⊥平面PBC．（2）∵E是AB中点，∴点E到平面PAC的距离为点B到平面PAC的距离的．连接BD，交AC于点O，则AC⊥BO，又∵PA⊥平面ABCD，BO⊂平面ABCD，∴PA⊥BO．∵AC∩PA=A，∴BO⊥平面PAC．∴BO为点B到平面PAC的距离．∵，∴BO=1．∴．19．（12分）已知椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点A，B，求线段AB的最大值．【解答】解：（1）椭圆C：的离心率为，其中左焦点（﹣2，0）．可得：；解得b=2，椭圆的方程为：．（2）设A（x1y1），B（x2y2），由∴，∴∴当．20．（12分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，P是AD1中点，Q是BD中点，E是DD1中点．（1）求证：PQ∥平面D1DCC1；（2）求异面直线CE和DP所成角的余弦值．【解答】证明：（1）连接AC，CD1，∵底面ABCD为正方形，Q是BD中点，∴Q是AC中点，又P是AD1中点，∴PQ∥CD1，∵CD1⊂平面D1DCC1，PQ⊄平面D1DCC1，∴PQ∥平面D1DCC1．解：（2）取A1D1中点F，连接FP，FE，FC，设正方体棱长为a．∴FP，∴，∴．故四边形FPDE是平行四边形，∴FE∥DP∴∠FEC或其补角中的锐角或直角为异面直线CE和DP所成角．在．∴异面直线CE和DP所成角的余弦值为．21．（12分）已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点A的横坐标为x1（x1＞0），过点A作抛物线C的切线l1交x轴于点D，交y轴于点Q，当|FD|=2时，∠AFD=60°．（1）求证：FD垂直平分AQ，并求出抛物线C的方程；（2）若B位于y轴左侧的抛物线C上，过点B作抛物线C的切线l2交直线l1于点P，AB交y轴于点（0，m），若∠APB为锐角，求m的取值范围．【解答】解：（1）设A（x1，y1），则切线AD的方程为：y=，所以D（），Q（0，﹣y1）；|PQ|=，，所以|FQ|=|FA|，且D为AQ中点，所以DF⊥AQ，∵|DF|=2，∠AFD=60°，∴，得p=2，抛物线方程为x2=4y（2）设B（x2，y2）（x2＜0）则B处的切线方程为由，法一：，∵∠APB为锐角，∴直线AB：将（0，m）代入的，∴m的取值范围为（1，+∞）．法二：令y=kx+m，由得x2﹣4kx﹣4m=0x1+x2=4k，x1x2=﹣4m∴∴+（2km﹣2k）（x1+x2）+4k2+4m2=4（m﹣1）k2+4m2﹣4m＞0对任意k恒成立．∴22．（12分）已知函数f（x）=x2﹣lnx+x+1，g（x）=ae x++ax﹣2a﹣1，其中a ∈R．（Ⅰ）若a=2，求f（x）的极值点；（Ⅱ）试讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若a＞0，∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x）（f′（x）为f（x）的导函数），求a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=ax﹣+1，x∈（0，+∞），∴a=2时，f′（x）=2x﹣+1===0，∴解得x=，x=﹣1（舍）；即f（x）的极值点为x0=．（Ⅱ）f′（x）=ax﹣+1=，（1）a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；a≠0时，对二次方程ax2+x﹣1=0，△=1+4a，（2）若1+4a≤0，即a≤﹣时，ax2+x﹣1＜0，而x＞0，故f′（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数；（3）若1+4a＞0，即a＞﹣时，ax2+x﹣1=0的根为x1=，x2=，①若﹣＜a＜0，则＞＞0，∴当x∈（，）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0，得f（x）是增函数；当x∈（0，），（，+∞）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数．②若a＞0，＜0＜，∴当x∈（0，）时，ax2+x﹣1＜0，即f′（x）＜0，得f（x）是减函数；当x∈（，+∞）时，ax2+x﹣1＞0，即f′（x）＞0得f（x）是增函数．∴综上所述，a=0时，f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；当a≤﹣时，f（x）在（0，+∞）上是减函数；当﹣＜a＜0时，f（x）在（，）上是增函数，在（0，），（，+∞）上是减函数；当a＞0时，f（x）在（，+∞）上是增函数，在（0，）上是减函数．（Ⅲ）令h（x）=g（x）﹣f′（x）=ae x+﹣2（a+1），x＞0，于是h′（x）=ae x﹣=．令p（x）=ae x•x2﹣（a+1），则p′（x）=ae x•x（x+2）＞0，即p（x）在（0，+∞）上是增函数．∵p（x）=﹣（a+1）＜0，而当x→+∞时，p（x）→+∞，∴∃x0∈（0，+∞），使得p（x0）=0．∴当x∈（0，x0）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，此时，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，此时，h（x）单调递增，∴h min（x）=h（x0）=ae x0+﹣2（a+1），①由p（x0）=0可得ae x0•﹣（a+1）=0，整理得ae x0=，②代入①中，得h（x0）=+﹣2（a+1），由∀x∈（0，+∞），恒有g（x）≥f′（x），转化为+﹣2（a+1）≥0，③因为a＞0，③式可化为+﹣2≥0，整理得﹣x0﹣1≤0，解得﹣≤x0≤1；再由x0＞0，于是0＜x0≤1；由②可得e x0•=；令m（x0）=e x0•，则根据p（x）的单调性易得m（x0）在（0，1]是增函数，∴m（0）＜m（x0）≤m（1），即0＜≤e，解得a≥，即a的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
重庆市巫山中学高一数学上学期第一次月考试卷(含解析)
2015-2016学年重庆市巫山中学高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题5分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5}2．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．3．函数y=1+2x在区间x∈[0，1]上的值域为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，2] C．[2，3] D．[1，3]4．设集合M={y|y=x2}，N={x|y=}，则M∩N为（）A．M⊊N B．M⊋N C．M=N D．M∩N=∅5．定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（2）B．f（1）＜f（2）＜f（3）C．f（2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（2）＜f（1）6．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x7．若函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，40] B．[40，64] C．（﹣∞，40]∪[64，+∞）D．[64，+∞）8．与函数有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．9．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．﹣B．﹣8 C．D．810．函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）在区间[﹣1，2]上的值域是（）A．[﹣10，2] B．[﹣14，﹣2] C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣14，﹣5]11．已知f（x）的定义域为[﹣2，4]，则f（3x﹣2）的定义域为（）A．[B．[﹣8，10] C．[0，2] D．[﹣2，4]12．已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x1+x2＜4且（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于0 D．可正可负二、填空题13．不等式2x﹣2≤2﹣1的解集为．14．已知f（x）=m+是奇函数，则m= ．15．已知f（x+1）=x2﹣3x+2，则f（x）= ．16．方程2a=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）有两个不同的解，则a的取值范围为．三、解答题17．S={x|1＜x≤7}、A={x|2≤x＜5}，B={x|3≤x＜7}，求：①A∩B②A∪B③∁S A．18．计算：（1）（2）．19．证明函数f（x）=在（1，+∞）上的单调性．20．函数y=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．21．已知函数f（x）=，（1）求f（﹣3），f[f（﹣3）]．（2）若f（a）=8，求a的值．22．已知函数y=的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为f（m），求函数f（m）的值域．2015-2016学年重庆市巫山中学高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分）1．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则∁U（A∩B）=（）A．{2，3} B．{1，4，5} C．{4，5} D．{1，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】求出集合A∩B，然后求出它的补集即可．【解答】解：集合U={1，2，3，4，5}，A={1，2，3}，B={2，3，4}所以A∩B={1，2，3}∩{2，3，4}={2，3}；∁U（A∩B）={1，4，5}；故选B．【点评】本题是基础题，考查集合的基本运算，常考题型．2．函数y=的定义域为（）A．（﹣B．C．D．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】两个被开方数都需大于等于0；列出不等式组，求出定义域．【解答】解：要使函数有意义，需，解得，故选B．【点评】本题考查求函数的定义域时，当函数解析式有开偶次方根的部分，需使被开方数大于等于0．注意：定义域的形式是集合或区间．3．函数y=1+2x在区间x∈[0，1]上的值域为（）A．[1，+∞）B．（﹣∞，2] C．[2，3] D．[1，3]【考点】函数的值域．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据指数函数的性质和单调性进行求解即可．【解答】解：∵y=1+2x在区间x∈[0，1]上是增函数，∴当x=0时，y=1+1=2，当x=1时，y=1+2=3，即函数的值域为[2，3]，故选：C【点评】本题主要考查函数值域的求解，利用函数单调性的性质是解决本题的关键．4．设集合M={y|y=x2}，N={x|y=}，则M∩N为（）A．M⊊N B．M⊋N C．M=N D．M∩N=∅【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出M中y的范围确定出M，求出N中x的范围确定出N，找出两集合的交集即可．【解答】解：由M中y=x2≥0，得到M=[0，+∞），由N中y=，得到x2+2x+1≥0，即（x+1）2≥0，解得：x∈R，即B=R，则M⊊N，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．5．定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（2）B．f（1）＜f（2）＜f（3）C．f（2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（2）＜f（1）【考点】函数单调性的性质．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由条件得出函数f（x）在R上单调递减，由此得出结论．【解答】解：由定义在R上的函数f（x），对任意x1，x2∈R（x1≠x2），有＜0，可得函数f（x）在R上单调递减．故有f（3）＜f（2）＜f（1），故选：D．【点评】本题主要考查函数的单调性的性质，属于基础题．6．下列函数中，既是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．f（x）=B．f（x）=x2+1 C．f（x）=x3D．f（x）=2﹣x【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】函数的性质及应用．【分析】本题利用函数的奇偶性和单调性的定义或者利用图象的特征加以判断，判断函数是偶函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增，得到本题结论．【解答】解：选项A，，∵f（﹣x）==f（x），∴f（x）是偶函数，图象关于y轴对称．∵f（x）=x﹣2，﹣2＜0，∴f（x）在（0，+∞）单调递减，∴根据对称性知，f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增；适合题意．选项B，f（x）=x2+1，是偶函数，在（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）上单调递减，不合题意．选项C，f（x）=x3是奇函数，不是偶函数，不合题意．选项D，f（x）=2﹣x在（﹣∞，+∞）单调递减，不是奇函数，也不是偶函数，不合题意．故选A．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性、函数图象与性质，本题难度不大，属于基础题．7．若函数f（x）=4x2﹣kx﹣8在[5，8]上是单调函数，则k的取值范围是（）A．（﹣∞，40] B．[40，64] C．（﹣∞，40]∪[64，+∞）D．[64，+∞）【考点】二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据二次函数的性质知对称轴，在[5，8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上，，或，解出不等式组求出交集．【解答】解：、根据二次函数的性质知对称轴，在[5，8]上是单调函数则对称轴不能在这个区间上∴，或，得k≤40，或k≥64故选C．【点评】本题考查二次函数的性质，本题解题的关键是看出二次函数在一个区间上单调，只有对称轴不在这个区间上，本题是一个基础题．8．与函数有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是判断两个函数是否为同一函数，我们根据两个函数是否为同一函数的判断方法，要先求函数的定义域，然后再化简解析式，然后再去判断．【解答】解：要使函数解析式有意义则x≤0即函数的定义域为：（﹣∞，0]故==又因为函数的定义域也为：（﹣∞，0]故函数与函数表示同一个函数则他们有相同的图象故选A【点评】两个函数解析式表示同一个函数需要两个条件：①两个函数的定义域是同一个集合；②两个函数的解析式可以化为一致．这两个条件缺一不可，必须同时满足．9．设函数f（x）=，若f（x）是奇函数，则g（3）的值是（）A．﹣B．﹣8 C．D．8【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据奇函数定义，从而有f（﹣3）=﹣f（3）=﹣g（3），而f（﹣3）=2﹣3，这样便可得出g（3）的值．【解答】解：根据f（x）的解析式，∵f（x）为奇函数；∴f（﹣3）=﹣f（3）=﹣g（3）；∴2﹣3=﹣g（3）；∴．故选A．【点评】考查奇函数的定义，以及分段函数求值的方法．10．函数f（x）=ax2+bx﹣2是定义在[1+a，2]上的偶函数，则f（x）在区间[﹣1，2]上的值域是（）A．[﹣10，2] B．[﹣14，﹣2] C．（﹣∞，﹣2] D．[﹣14，﹣5]【考点】二次函数的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】可知偶函数的定义域关于原点对称，这样便可求出a=﹣3，而根据f（x）为偶函数便可得出一次项系数为0，从而得出f（x）=﹣3x2﹣2，这样根据x∈[﹣1，2]便可得出f（x）的最大值、最小值，从而得出f（x）在区间[﹣1，2]上的值域．【解答】解：偶函数的定义域关于原点对称；∴a+1=﹣2；∴a=﹣3；f（x）在[﹣2，2]上为偶函数；∴f（﹣1）=f（1）；∴﹣3﹣b﹣2=﹣3+b﹣2；∴b=0；∴f（x）=﹣3x2﹣2；∵x∈[﹣1，2]；∴x=0时，f（x）取最大值﹣2；x=2时，f（x）取最小值﹣14；∴f（x）在[﹣1，2]上的值域为[﹣14，﹣2]．故选B．【点评】考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，二次函数为偶函数时，一次项系数为0，以及函数值域的概念及求法．11．已知f（x）的定义域为[﹣2，4]，则f（3x﹣2）的定义域为（）A．[B．[﹣8，10] C．[0，2] D．[﹣2，4]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】根据同一对应关系下变量的范围相同来求解．【解答】解：因为f（x）的定义域为[﹣2，4]，所以对f（3x﹣2）有﹣2≤3x﹣2≤4，解得0≤x≤2，所以函数的定义域为[0，2]，故选C．【点评】本题考察抽象函数的定义域，把握两点：（1）同一对应关系下的变量范围一致；（2）定义域是指自变量的取值集合．12．已知定义域为R的函数y=f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x+4），当x＞2时，f（x）单调递增，若x1+x2＜4且（x1﹣2）（x2﹣2）＜0，则f（x1）+f（x2）的值（）A．恒大于0 B．恒小于0 C．可能等于0 D．可正可负【考点】奇偶函数图象的对称性；函数单调性的性质．【专题】压轴题．【分析】设x1＜x2，根据题意推断出x1＜2＜x2，根据已知等式推断出x2＜4﹣x1，进而利用函数的单调性判断出f（x2）＜﹣f（x1），得出结论．【解答】解：设x1＜x2，有x1＜2＜x2，∵f（x1）=﹣f（4﹣x1）∵x1+x2＜4，∴x2＜4﹣x1，∵x＞2，f（x）单调递增∴f（x2）＜f（4﹣x1）=﹣f（x1）f（x1）+f（x2）＜0，故选B．【点评】本题主要考查函数的对称性．二、填空题13．不等式2x﹣2≤2﹣1的解集为{x|x≤1}．【考点】指、对数不等式的解法．【专题】函数思想；转化法；不等式的解法及应用．【分析】根据指数函数y=2x在定义域R上是增函数，把不等式转化为一元一次不等式即可解答．【解答】解：不等式2x﹣2≤2﹣1的可化为x﹣2≤﹣1，解得x≤1，所以该不等式的解集为{x|x≤1}．故答案为：{x|x≤1}．【点评】本题考查了指数不等式的解法与应用问题，是基础题目．14．已知f（x）=m+是奇函数，则m= 1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】利用函数是奇函数，推出结果即可．【解答】解：f（x）=m+是奇函数，可得f（1）=﹣f（﹣1），即m=﹣（m+），解得m=1，此时f（x）=1+，满足f（x）=﹣f（﹣x）．故答案为：1．【点评】本题考查函数的奇偶性的应用，函数值的求法，考查计算能力．15．已知f（x+1）=x2﹣3x+2，则f（x）= x2﹣5x+6 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题．【分析】设x+1=t，则x=t﹣1，由f（x+1）=x2﹣3x+2，知f（t）=（t﹣1）2﹣3（t﹣1）+2，由此能求出f（x）．【解答】解：设x+1=t，则x=t﹣1，∵f（x+1）=x2﹣3x+2，∴f（t）=（t﹣1）2﹣3（t﹣1）+2=t2﹣5t+6，∴f（x）=x2﹣5x+6．故答案为：x2﹣5x+6．【点评】本题考查函数解析式的求解及其常用方法，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．16．方程2a=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）有两个不同的解，则a的取值范围为（0，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】数形结合；分类法；函数的性质及应用．【分析】利用数形结合，结合指数函数的图象和性质进行求解即可．【解答】解：若方程2a=|a x﹣1|（a＞0且a≠1）有两个实数根，则等价为函数f（x）=|a x﹣1|的图象和直线y=2a有2个交点．如图所示：当a＞1和0＜a＜1时对应的图象为数形结合可得 0＜2a＜1，解得 0＜a＜，故a的范围为（0，）．故答案为：（0，）．【点评】本题主要考查指数函数的图象，对于指数函数的图象要分两种情况来考虑，即a＞1和0＜a＜1，利用数形结合是解决本题的关键．．三、解答题17．S={x|1＜x≤7}、A={x|2≤x＜5}，B={x|3≤x＜7}，求：①A∩B②A∪B③∁S A．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】直接按照交集，并集，补集的定义，计算即可．①若将集合A，B在数轴上表示，则根据交集的定义，取两者的公共部分，得出A∩B，②根据并集的定义，取两者的所有部分，得出A∪B，③∁S A为数轴上出去A的部分．【解答】解：①将集合A，B在数轴上表示如下：根据交集的定义，取两者的公共部分，得出A∩B={x|3≤x＜5}．②将集合A，B在数轴上表示如下：根据并集的定义，取两者的所有部分，得出A∪B={x|2≤x＜7}．③根据补集的定义可得：∁S A={x|1≤x＜2或7＞x≥5}．【点评】本题考查了集合的描述法集合的基本运算，属于基础题．集合运算若借助于数轴形象，直观，容易得到正确的结果．此类题目易错点在于端点值是否取到．须特别注意．18．计算：（1）（2）．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的运算性质．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】（1）（2）利用指数与根式的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式=+﹣4+﹣0.1=﹣=﹣=．（2）原式===1．【点评】本题考查了指数与根式的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．证明函数f（x）=在（1，+∞）上的单调性．【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】计算题；规律型；函数思想；函数的性质及应用．【分析】直接利用函数的单调性的定义，证明函数的单调性即可．【解答】证明：任取1＜x1＜x2，则=∵1＜x1＜x2，∴x2﹣1＞x1﹣1＞0x2﹣x1＞0∴＞0∴f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（1，+∞）上是减函数．【点评】本题考查函数的单调性的定义的应用，考查计算能力．20．函数y=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上的最大值比最小值大，求a的值．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】函数的性质及应用．【分析】当a＞1时，由题意可得，由此解得a的值．当0＜a＜1时，由题意可得a﹣a2=，由此解得a的值，综合可得结论．【解答】解：当a＞1时，函数y=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上是增函数，由题意可得，解得a=．当0＜a＜1时，函数y=a x（a＞0，a≠1）在[1，2]上是减函数，由题意可得a﹣a2=，解得a=．综上可得，a=，或 a=．【点评】本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．21．已知函数f（x）=，（1）求f（﹣3），f[f（﹣3）]．（2）若f（a）=8，求a的值．【考点】函数的零点；函数的值．【专题】计算题；分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）判断x的值所在的范围，代入分段函数求解即可；（2）由f（a）=8可得或或，从而解得．【解答】解：（1）f（﹣3）=﹣3+2=﹣1，f[f（﹣3）]=f（﹣1）=（﹣1）2=1；（2）∵f（a）=8，∴或或，解得，a=4．【点评】本题考查了分段函数的一般解法及分类讨论的思想应用．22．已知函数y=的定义域为R．（1）求实数m的取值范围；（2）当m变化时，若y的最小值为f（m），求函数f（m）的值域．【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的最值及其几何意义；一元二次不等式的应用．【专题】计算题．【分析】（1）利用该函数的被开方数大于等于零得出该函数有意义需满足的不等式，结合恒成立问题得出字母m满足的不等式；（2）通过配方法将函数的被开方数写成二次函数的顶点式，求出y的最小值为f（m），借助m的范围求出f（m）的值域．【解答】解：（1）依题意，当x∈R时，mx2﹣6mx+m+8≥0恒成立．当m=0时，x∈R；当m≠0时，即．解之得0＜m≤1，故实数m的取值范围0≤m≤1．（2）当m=0时，y=2；当0＜m≤1，y=．∴y min=．因此，f（m）=（0≤m≤1），易得0≤8﹣8m≤8．∴f（m）的值域为[0，2]．【点评】本题考查偶次根式的定义域的求解，考查不等式恒成立问题的解决办法，关键要进行等价转化，利用单调性求值域是本题的另一个命题点．。
数学上学期期中试题-有色第一中学2015-2016学年高二11月月考(期中考试数学试题及答案)(理)
2015－2016学年度上学期11月月考数学试卷（高二理科）注意事项：1. 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
考试结束，只交答题卷。
2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、考号、姓名填写在试题卷和答题卷上的密封线内指定的条形框内。
3. 选择题每小题选出答案后，将答案标号填涂在答题卷上对应题目的位置上。
答在试题卷上无效。
4. 非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卷上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。
第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ B ．若l α//，m α//，则l m // C ．若l α//，m α⊂，则l m // D ．若l α⊥，l m //，则m α⊥2．若直线过点，则的最小值等于（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．已知等差数列中，则其前3项的积的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若213213(...)n n S a a a -=+++，1238a a a =，则10a 等于（ ）A ．－512B ．1024C ．－1024D ．5125．已知椭圆222212:1,:1,124168x y x y C C +=+=则（ ）A ．1C 与2C 顶点相同.B ．1C 与2C 长轴长相同.1(0,0)x ya b a b+=>>(1,1)a b +{}n a 22a =3T (],4-∞(],8-∞[)4,+∞[)8,+∞C ．1C 与2C 短轴长相同.D ．1C 与2C 焦距相等.6．已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（ ）A ．π33 B ．13π C ．23π D7．圆上的点到直线的距离的最大值是（ ）A ．B ．C ．2D ．8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ） A ．大于5 B ．等于5 C ．至多等于4 D ．至多等于39．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2；则此棱锥的体积为 （ ） A B ．6C ．3 D ．210．已知双曲线，F 1是左焦点，O 是坐标原点，若双曲线上存在点P ，使，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）A ．(2,+∞)B ．C ．D ．11．在数列中，若存在非零整数，使得对于任意的正整数均成立，那么称数列为周期数列，其中叫做数列的周期．若数列满足，如，当数列的周期最小时，该数列的前2010项的和是（ ） A ．669B ．670C ．1339D ．134012．已知圆22:(1)1M x y +-=，圆1)1(:22=++y x N ，直线21l l 、分别过圆心N M 、，且1l 与圆M 相交于B A 、，2l 与圆N 相交于D C 、，P 是椭圆14322=+y x 上的任意222210x y x y +--+=2=-y x 2+1+1+22221x y a b-=1||||PO PF =(1,)+∞[)2,+∞(]1,2}{n a T m T m a a =+m }{n a T }{n a }{n x ),2(||11N n n x x x n n n ∈≥-=-+)0,(,121≠∈==a R a a x x }{n x一动点，则PD PC PB PA ⋅+⋅的最小值为（ ） AB ．C ．3D ．6第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【精品】2015-2016年重庆市部分区县高二上学期数学期末试卷(理科)与答案
2015-2016学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0 2．（5分）直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0之间的距离为（）A．1 B．C．D．23．（5分）已知直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），则（）A．l⊂α B．l⊥α C．l∥α D．l与α斜交4．（5分）已知两直线l1，l2的斜率恰是方程x2+bx﹣1=0的两实根，则l1，l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．无法确定5．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）双曲线﹣=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一焦点的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．127．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°8．（5分）在圆x2+y2+2x﹣4y=0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．9．（5分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②10．（5分）如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．12．（5分）过点M（0，2）的直线l与抛物线y2=﹣4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（）A．|MA|+|MB|=2|MC| B．|MA|•|MB|=|MC|2C．|MA|=|MB|•|MC| D．|MA|2=|MB|2+|MC|2二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是．14．（5分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆O、正方形ABCD绕直线AC 旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1V2，则V1：V2=．15．（5分）已知命题p：+=1表示椭圆，命题q：+=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是．16．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．18．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．19．（12分）已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A﹣BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．20．（12分）平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．22．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，），求弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2015-2016学年重庆市部分区县高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为（）A．∃x∈R，x2＜0 B．∃x∈R，x2≥0 C．∀x∈R，x2＜0 D．∀x∈R，x2≤0【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈R，x2≥0”的否定为：∃x∈R，x2＜0．故选：A．2．（5分）直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0之间的距离为（）A．1 B．C．D．2【解答】解：∵直线l1：x﹣y+1=0，l2：x﹣y=0，∴由平行线间的距离公式可得d==，故选：B．3．（5分）已知直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），则（）A．l⊂α B．l⊥α C．l∥α D．l与α斜交【解答】解：∵直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量=（﹣1，0，﹣2），，∴，∴l⊥α．故选：B．4．（5分）已知两直线l1，l2的斜率恰是方程x2+bx﹣1=0的两实根，则l1，l2的位置关系是（）A．平行B．重合C．垂直D．无法确定【解答】解：设直线l1、l2的斜率分别为k1，k2，∵直线l1、l2的斜率是方程x2+bx﹣1=0的两根，∴k1k2=﹣1．∴l1⊥l2．故选：C．5．（5分）设α、β为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：面面平行的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．因为直线l⊂α，且l⊥β所以由判断定理得α⊥β．所以直线l⊂α，且l⊥β⇒α⊥β若α⊥β，直线l⊂α则直线l⊥β，或直线l∥β，或直线l与平面β相交，或直线l在平面β内．所以“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件．故选：A．6．（5分）双曲线﹣=1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一焦点的距离为（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：双曲线﹣=1的a=4，设双曲线的焦点为F1，F2，由题意可设|PF1|=2，由双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=2a=8，即有|2﹣|PF2||=8，解得|PF2|=10（﹣6舍去），故选：C．7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AD1与BA1所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：∵A1B∥D1C，∴异面直线AD1，BA1所成的角为∠AD1C，∵△AD1C为等边三角形，∴∠AD1C=60°．故选：C．8．（5分）在圆x2+y2+2x﹣4y=0内，过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+1）2+（y﹣2）2=5，∴圆心坐标为（﹣1，2），半径r=，∴过（0，1）的直径斜率为=﹣1，∴与此直径垂直的弦的斜率为1，∴过点（0，1）的最短弦所在直线的倾斜角是故选：B．9．（5分）给出下列四个命题：①平行于同一平面的两条直线互相平行；②分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直其中为真命题的是（）A．②和④B．②和③C．③和④D．①和②【解答】解：在①中，平行于同一平面的两条直线互相平行或相交，故①错误；②分别和两条异面直线均相交的两条直线不一定是异面直线，如右图此各情况下两直线相交，故②错误；③若一个平面经过另一个平面的垂线，那么由面面垂直的判定定理得这两个平面相互垂直，故③正确；④若两个平面垂直，那么由面面垂直的性质定理得一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一平面也不垂直，故④正确．故选：C．10．（5分）如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，则AB与截面ADM所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．无法确定【解答】解：∵如图所示的正四面体A﹣BCD中，截面ADM将其分成体积相等的两部分，∴M是BC的中点，∵AB=AC=BD=DC，∴AM⊥BC，DE⊥BC，∵AM∩DM=M，∴BC⊥平面AMD，∴∠BAM是直线AB与截面ADM所成角，∵BM=，BM⊥AM，∴sin∠BAM==，∴∠BAM=30°．∴AB与截面ADM所成角为30°．故选：A．11．（5分）已知F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的两焦点，过F1且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，若△PQF2为正三角形，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：由已知可得，PF1=∵tan30°====∴∵0＜e＜1∴e=故选：D．12．（5分）过点M（0，2）的直线l与抛物线y2=﹣4x交于A，B两点，与x轴交于点C，则有（）A．|MA|+|MB|=2|MC| B．|MA|•|MB|=|MC|2C．|MA|=|MB|•|MC| D．|MA|2=|MB|2+|MC|2【解答】解：如图，设直线l的方程为y=kx+2，∴，代入抛物线方程并整理得：；设A（x1，y1），B（x2，y2），则；∴=；∵；∴，；∴；∴|MA||MB|=|MC|2．故选：B．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．（5分）已知直线l1：x+2ay﹣1=0与l2：（2a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，则a的值是0或．【解答】解：当a=0时，两直线的斜率都不存在，它们的方程分别是x=1，x=﹣1，显然两直线是平行的．当a≠0时，两直线的斜率都存在，故它们的斜率相等，由=≠1，解得：a=．综上，a=0或，故答案为：0或；14．（5分）如图，圆O内切于正方形ABCD，将圆O、正方形ABCD绕直线AC旋转一周得到的两个旋转体的体积依次记为V1V2，则V1：V2=．【解答】解：设AC=BD=2，则正方形ABCD旋转后得到两个底面半径为1，高为1的圆锥形成的组合体，故V1=2××π=，圆O绕对角线AC旋转一周得到一个半径为的球，故V2=（）3=，故V1：V2=：=1，故答案为：．15．（5分）已知命题p：+=1表示椭圆，命题q：+=1表示双曲线，若命题“p∧q”为真命题，则实数m的取值范围是﹣1＜m＜3，且m≠2．【解答】解：命题p：+=1表示椭圆，则，解得﹣2＜m＜6，且m≠2．命题q：+=1表示双曲线，则（m﹣3）（m+1）＜0，解得﹣1＜m＜3．若命题“p∧q”为真命题，则，解得﹣1＜m＜3，且m≠2．故答案为：﹣1＜m＜3，且m≠2．16．（5分）如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【解答】解：由题意可得，圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=4和圆x2+y2=1相交，根据两圆圆心距d==|a|，可得2﹣1＜|a|＜2+1，即：＜|a|＜，∴﹣＜a＜﹣或＜a＜，故实数a的取值范围是（﹣，﹣）∪（，），故答案为：（﹣，﹣）∪（，）．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，求直线l的方程．【解答】解：∵2x+（m+1）y+2m=0（m∈R），令x=0，得y=﹣，令y=0，得x=﹣m，∵直线l：2x+（m+1）y+2m=0（m∈R）在x轴上的截距等于它在y轴上的截距的2倍，∴﹣m=﹣2×，解得m=3或m=0，当m=0时，直线为2x+y=0，当m=3时，直线为x+2y+3=0．18．（12分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为x﹣y=0，它的一个焦点在抛物线y2=4x的准线上．（Ⅰ）求此双曲线方程；（Ⅱ）求以抛物线焦点为球心，且与双曲线渐近线相切的球的表面积．【解答】解：（Ⅰ）双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x，由一条渐近线为x﹣y=0，可得=，又一个焦点在抛物线y2=4x的准线上，可得：c=1，即a2+b2=1，解得a=，b=，则双曲线的方程为4x2﹣y2=1；（Ⅱ）抛物线y2=4x的焦点为（1，0），由球与双曲线渐近线相切，可得：半径r==，可得球的表面积为S=4πr2=4π•=3π．19．（12分）已知，棱长为2的正方体内有一内接四面体A﹣BCD，且B，C分别为正方体某两条棱的中点，其三视图如图所示：（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求四面体A﹣BCD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：由已知中的三视图，可得A，B，C，D四点位置如下图所示：∵正方体的棱长为2，故AB=BD=AC=CD=，AD=2，BC=，令E为AD的中点，连接BE，CE，则BE⊥AD，CE⊥AD，则AD⊥平面BCE，∴AD⊥BC；（Ⅱ）解：由勾股定理可得：BE=CE=，由海伦公式平面BCE的面积S=，又由AD=2，故四面体A﹣BCD的体积V=××2=1．20．（12分）平面直角坐标系中有一个△ABC，已知B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|．（Ⅰ）求顶点A的轨迹方程；（Ⅱ）求△ABC的面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设A（x，y），则∵B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|=|AC|，∴（x+1）2+y2=2（x﹣1）2+2y2，∴x2+y2﹣6x+1=0∴顶点A的轨迹方程为x2+y2﹣6x+1=0；（Ⅱ）x2+y2﹣6x+1=0可化为（x﹣3）2+y2=8，∴A到x轴的最大距离为2，∴△ABC的面积的最大值为=2．21．（12分）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，D为CC1中点．（Ⅰ）求证：AB1⊥平面A1BD；（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ取BC中点O，连结AO，以O为原点，OB为x轴，过O作BB1平行线为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，），B1（1，2，0），A1（0，2，），B（1，0，0），D（﹣1，1，0），=（1，2，﹣），=（1，﹣2，﹣），=（﹣1，﹣1，﹣），•=1﹣4+3=0，•=﹣1﹣2+3=0，∴AB1⊥A1B，AB1⊥A1D，∵A1B∩A1D=A1，∴AB1⊥平面A1BD．解：（Ⅱ）=（1，1，），=（1，﹣1，），=（2，﹣1，0），设平面AA1D的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），设平面A1DB的法向量=（a，b，c），则，取a=1，得=（1，2，﹣），设二面角A﹣A1D﹣B的平面角为θ，则cosθ===，∴sinθ==．∴二面角A﹣A1D﹣B的正弦值为22．（10分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与此椭圆交于M，W两点，且线段MW的中点为（1，），求弦MW的长；（Ⅲ）是否存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，上顶点为B（0，1）．∴=，b=1．又a2﹣c2=b2，从而a=，c=1．∴椭圆C的方程为=1．（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），则x12+2y12=2，x22+2y22=2，两式相减可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，∵线段MW的中点为（1，），∴2（x1﹣x2）+2（y1﹣y2）=0，∴直线MN的斜率为﹣1，∴直线MN的方程为y﹣=﹣（x﹣1），即2x+2y﹣3=0，与椭圆方程联立可得3x2﹣6x﹣2.5=0，∴|MN|=•=．（Ⅲ）假设存在直线l与此椭圆交于M，W两点，使得△BMW的垂心为椭圆的右焦点F．∵B（0，1），F（1，0），∴k BF=﹣1．由BF⊥MN，知k MN=1．设直线l的方程为y=x+m，代入=1得3x2+4mx+2m2﹣2=0．由△＞0，得m2＜3，且x1+x2=﹣，x1x2=．由题意，有•=0．∴x 1（x 2﹣1）+y 2（y 1﹣1）=0，即x 1（x 2﹣1）+（x 2+m ）（x 1+m ﹣1）=0，∴2x 1x 2+（x 1+x 2）（m ﹣1）+m 2﹣m=0．于是2•2+（﹣）（m ﹣1）+m 2﹣m=0．解得m=﹣或m=1．经检验，当m=1时，△PQN 不存在，故舍去m=1．当m=﹣时，所求直线l 存在，且直线l 的方程为y=x ﹣．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =第21页（共22页）①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f(q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x第22页（共22页）。
重庆市巫山中学2016届高三上学期第一次质量检测数学(文)试题 Word版无答案
巫山中学高2016级高三第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合2{1,0,1},{|}M N x x x =-==,则M N = （ ） A ．{1,0,1}-B ．{0,1}C ．{1}D ．{0}2．命题“R x ∈∃0，0232≤++x x ”的否定是（ ）A ．“R x ∈∀，0232>++x x ”B ．“R x ∉∃0，0232≤++x x ”C ．“R x ∈∀，0232≤++x x ”D ．“R x ∈∃0，0232>++x x ”3.若复数z 满足i iz 42+=，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ） A ．()4,2 B ．()4,2- C ．()2,4- D ．()2,44．已知向量()1,2=，()1,4+=x ，若//，则实数x 的值为 A.1 B.7C.10-D.9-5．在ABC ∆中，已知bc c b a ++=222，则角A 为（ ）A ．3π B ．6πC ．32π D ．3π或32π 6．等差数列{}n a 中,已知14736939,27a a a a a a ++=++=,求28a a +=（ ） A ．11 B ．22 C ．33 D ．447.将函数sin()()6y x x R π=+∈的图象上所有的点向左平移4π个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，则所得的图象的解析式为（ ） A ．5sin(2)()12y x x R π=+∈ B ．5sin()()212x y x R π=+∈C ．sin()()212x y x R π=-∈ D ．5sin()()224x y x R π=+∈8．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上单调递减,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．)3,3(-C ．),3()3,(+∞--∞D ． ]3,3[-9．函数()y f x =的图象如图所示，则()y f x =的解析式可以为（ A ．sin31y x =+ B ．sin()y x π=4++13C ．cos()y x π=4-+13D ． cos31y x =+10．已知()x f 是偶函数，它在[)+∞,0上是减函数，若()()1lg f x f >，则x 的取值范 围是（ ）A. 1(,10)10 B.1(0,)(1,)10+∞ C. 1(,1)10D.(0,1)(10,)+∞11．已知函数()y f x =是周期为2的周期函数，且当[1,1]x ∈-时，||()21x f x =-，则函数()()|lg |F x f x x =-的零点个数是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．1112．已知)(x f 的定义域为),0(+∞，)()(x f x f 为'的导函数，且满足)()(x f x x f '-<，则不等式)1()1()1(2-->+x f x x f 的解集是 （ ）A ．)1,0(B ．),1(+∞C ．(1,2)D ．),2(+∞ 二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分． 13.函数()lg f x x =的定义域是 .14．若向量a ，b 的夹角为120︒，|a |＝1，|b |＝3，则|5a －b |＝ .15．已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且π02βα<<<，则cos β＝ ． 16．已知{}n a 满足1(3)(3)9n n a a +-+=，且13a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S = ． 三、解答题：共5小题，每小题12分，共60分．17. （本题满分12分）设全集R U =，集合{22, R}A x m x m m =-<<+∈，集合{44}B x x =-<<.（1）当3m =时，求A B ，A B ；（2）若命题:p x A ∈，命题:q x B ∈,若p 是q 的充分不必要条件,求实数m 的取值范围.18．（本题满分12分）已知ABC ∆三个内角A BC 、、的对边分别为,,a b c ，向量(c o s ,s i n )22C C m = ，(cos ,sin )22C C n =- ，且m 与n 的夹角为3π.（1）求角C 的值；（2）已知3c =，ABC ∆的面积3S =，求a b +的值.19.（本题满分12分）若二次函数2() (,)f x ax bx c a b R =++∈满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.(1)求()f x 的解析式；(2)若在区间[1,1]--上，()y f x =的图象恒在2y x m =+的图象上方，求实数m 的取值范围.20. （本题满分12分）已知函数2cos 22cos 2sin 6)(2xx x x f +=（1）求()f x 的单调递减．区间； （2）求函数()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡67,4ππ上的最大值和最小值.20. （本题满分12分） 为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下，进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为321640,[10,30)25401600,[30,50]x x y x x x ⎧+∈⎪=⎨⎪-+∈⎩且每处理一吨二氧化碳可得价值为20万元的某种化工产品．（1）当[30,50]x ∈时，判断该技术改进能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则国家至少需要补贴多少万元，该工厂才不会亏损？ （2）当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？21.(本题满分10分)已知函数(1)()ln ,()k x f x x g x x-==． (1)k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； (2)()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值。
2015-2016学年重庆一中高二(下)4月月考数学试卷 解析版
2015-2016学年重庆一中高二（下）4月月考数学试卷一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）（2016春•韶关期末）设集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|1＜x≤4}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{2，4}C．{2，3，4}D．{x|1＜x≤4}2．（5分）（2016•南昌校级二模）复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）（2016春•重庆校级月考）设命题p：任意x＞0，都有x2+x≥0，则非p为（）A．存在x＞0，使得x2+x≥0 B．存在x＞0，使得x2+x＜0C．任意x≤0，都有x2+x＜0 D．任意x≤0，都有x2+x≥04．（5分）（2013春•三亚校级期中）点P的直角坐标为，则点P的极坐标为（）A．B．C．D．5．（5分）（2016春•重庆校级月考）已知向量，且∥，则实数a=（）A．1 B．6 C．2或1 D．26．（5分）（2012秋•丰台区期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）A．B．C．D．7．（5分）（2016春•重庆校级月考）如图，AB是圆的直径，ABCD是圆内接四边形，BD ∥CE，∠AEC=40°，则∠BCD=（）A．160°B．150°C．140°D．130°8．（5分）（2015秋•牡丹江校级期末）设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．159．（5分）（2015•福建模拟）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．5510．（5分）（2016春•重庆校级月考）函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称轴的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A．[﹣，0]B．C．[0，] D．[，]11．（5分）（2015•武汉模拟）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣12．（5分）（2016春•重庆校级月考）已知函数，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2004•上海）若tanα=，则tan（α+）=．14．（5分）（2016春•大同校级期末）若实数x满足不等式|x﹣3|≥1，则x的取值范围为．15．（5分）（2016春•重庆校级月考）若直线ax+2y+1=0垂直平分圆x2+y2﹣2x+2ay=0的一条弦，则a=．16．（5分）（2016春•重庆校级月考）已知数列{a n}的通项a n=﹣+3+m，若数列中的最小项为1，则m的值为．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016春•重庆校级月考）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n 项和为S n．（1）求{a n}及S n；（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）（2016春•重庆校级月考）在一次数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生甲，乙的选做各题的概（Ⅱ）求甲，乙两人选做不同试题的概率．19．（12分）（2016春•重庆校级月考）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，且△ABC的面积为；求b，c．20．（12分）（2016春•重庆校级月考）已知椭圆的左焦点为F（﹣c，0），其上顶点为B（0，b），直线BF与椭圆的交点为A，点A关于x轴的对称点为C （Ⅰ）若点C的坐标为，且c=1，求椭圆的方程．（Ⅱ）设点O为原点，若直线OC恰好平分线段AB，求椭圆的离心率．21．（12分）（2016春•重庆校级月考）已知函数．（Ⅰ）若，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为，求实数a的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016春•重庆校级月考）如图，设D是弦AB延长线上一点，且AB=2BD，过D作圆的切线于E，若C为线段AB的中点，连结EC交圆于点F，若．（Ⅰ）求证：EC=ED（Ⅱ）求证：AE⊥ED．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016春•重庆校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为．（Ⅰ）求直线C1、圆C2的普通方程；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A、B，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016春•重庆校级月考）已知关于x的不等式|2x﹣m|≤x+1的解集为[1，5]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若实数a，b满足a+b=m，求a2+b2的最小值．2015-2016学年重庆一中高二（下）4月月考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．（5分）（2016春•韶关期末）设集合A={1，2，3，4}，B={x∈R|1＜x≤4}，则A∩B=（）A．{1，2，3，4} B．{2，4}C．{2，3，4}D．{x|1＜x≤4}【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x∈R|1＜x≤4}，∴A∩B={2，3，4}，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2016•南昌校级二模）复数z满足（1+i）z=2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：（1+i）z=2i（i为虚数单位），∴z===i+1，则z在复平面内对应的点（1，1）在第一象限．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．（5分）（2016春•重庆校级月考）设命题p：任意x＞0，都有x2+x≥0，则非p为（）A．存在x＞0，使得x2+x≥0 B．存在x＞0，使得x2+x＜0C．任意x≤0，都有x2+x＜0 D．任意x≤0，都有x2+x≥0【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，则非p：存在x＞0，使得x2+x＜0，故选：B．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．4．（5分）（2013春•三亚校级期中）点P的直角坐标为，则点P的极坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据点的直角坐标求出ρ，再由1=ρcosθ，=ρsinθ，可得θ，从而求得点P的极坐标．【解答】解：∵点P的直角坐标为（1，），∴ρ==2，再由1=ρcosθ，=ρsinθ，可得θ=，故点P的极坐标为（2，），故选A．【点评】本题主要考查把点的极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．5．（5分）（2016春•重庆校级月考）已知向量，且∥，则实数a=（）A．1 B．6 C．2或1 D．2【分析】根据平面向量的共线定理，列出方程求解即可．【解答】解：向量，且∥，∴a﹣（﹣2）•（a﹣3）=0，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．6．（5分）（2012秋•丰台区期末）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，共有=6种方法；其中恰有一个红球的方法为=4．因此恰有一个红球的概率P==．故选C．【点评】熟练掌握组合、乘法原理及古典概型的概率计算公式是解题的关键．7．（5分）（2016春•重庆校级月考）如图，AB是圆的直径，ABCD是圆内接四边形，BD ∥CE，∠AEC=40°，则∠BCD=（）A．160°B．150°C．140°D．130°【分析】利用圆的直径的性质及圆内接四边形性质，即可得出结论．【解答】解：∵BD∥CE，∠AEC=40°，∴∠DBA=40°，∵AB是圆的直径，∴∠A=90°﹣40°=50°，∴∠BCD=130°．故选：D．【点评】本题考查圆的直径的性质及圆内接四边形性质，考查学生的计算能力，属于中档题．8．（5分）（2015秋•牡丹江校级期末）设等比数列{a n}的公比q=，前n项和为S n，则=（）A．5 B．7 C．8 D．15【分析】利用等比数列的通项公式与前n项和公式即可得出．【解答】解：S3==，a3==，∴=7．故选：B．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2015•福建模拟）阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55【分析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值．【解答】解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．【点评】本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．10．（5分）（2016春•重庆校级月考）函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称轴的距离为，以下哪个区间是函数f（x）的单调减区间（）A．[﹣，0]B．C．[0，] D．[，]【分析】由周期求得ω，再根据正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+）（ω＞0）相邻两个对称轴的距离为，∴=•=，解得ω=2；∴f（x）=sin（2x+）；令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，∴2kπ+≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z；∴当k=0时，x∈[，]．故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，正弦函数的减区间，属于基础题．11．（5分）（2015•武汉模拟）已知点P是双曲线﹣y2=1上任意一点，过点P分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A、B，则•=（）A．﹣B．C．﹣D．﹣【分析】设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，求出渐近线方程，求得交点A，B，再求向量PA，PB的坐标，由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．【解答】解：设P（m，n），则﹣n2=1，即m2﹣4n2=4，由双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=x，则由解得交点A（，）；由解得交点B（，）．=（，），=（，），则有•=•+•=+=﹣（m2﹣4n2）=﹣×4=﹣．故选A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的运用，考查联立方程组求交点的方法，考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）（2016春•重庆校级月考）已知函数，若存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由题意，f（x）=0，可得m=，确定函数的单调性，结合存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m=，x=2时，m=，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（x）=0，可得m=，∴m′=，∴函数在（﹣∞，0），（1，+∞）上单调递减，在（0，1）上单调递增，∵存在唯一的正整数x0，使得f（x0）≥0，x=1时，m=，x=2时，m=，∴＜m≤，故选：D．【点评】本题考查特称命题，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）（2004•上海）若tanα=，则tan（α+）=3．【分析】根据tanα的值和两角和与差的正切公式可直接得到答案．【解答】解：∵tanα=∴tan（α+）===3故答案为：3．【点评】本题主要考查两角和与差的正切公式．属基础题．14．（5分）（2016春•大同校级期末）若实数x满足不等式|x﹣3|≥1，则x的取值范围为x ≥4或x≤2．【分析】利用绝对值的意义进行转化，即可求出x的取值范围．【解答】解：∵|x﹣3|≥1，∴x﹣3≥1或x﹣3≤﹣1，∴x≥4或x≤2．故答案为：x≥4或x≤2．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）（2016春•重庆校级月考）若直线ax+2y+1=0垂直平分圆x2+y2﹣2x+2ay=0的一条弦，则a=1．【分析】由题意可得直线ax+2y+1=0经过圆x2+y2﹣2x+2ay=0的圆心（1，﹣a），从而求得a 的值．【解答】解：若直线ax+2y+1=0垂直平分圆x2+y2﹣2x+2ay=0的一条弦，则直线ax+2y+1=0经过圆x2+y2﹣2x+2ay=0的圆心（1，﹣a），故有a﹣2a+1=0，求得a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，判断直线ax+2y+1=0经过圆x2+y2﹣2x+2ay=0的圆心（1，﹣a），是解题的关键，属于基础题．16．（5分）（2016春•重庆校级月考）已知数列{a n}的通项a n=﹣+3+m，若数列中的最小项为1，则m的值为．【分析】令f（x）=，（x≥1）．利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．【解答】解：数列a n=﹣+3+m，令f（x）=，（x≥1）．f′（x）=，由f′（x）＞0，解得，此时函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得，此时函数f（x）单调递减．∴对于f（n）来说，最小值只能是f（2）或f（3）中的最小值．f（3）﹣f（2）=9﹣﹣＞0，∴f（2）最小，∴=1，解得m=．故答案为：．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性极值与最值，考查了计算能力，属于基础题．三．解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（12分）（2016春•重庆校级月考）已知等差数列{a n}满足：a3=7，a5+a7=26，{a n}的前n 项和为S n．（1）求{a n}及S n；（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到通项和求和公式；（2）求得b n===﹣，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简计算即可得到．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=7，a5+a7=26，可得a1+2d=7，2a1+10d=26，解得a1=3，d=2，即有a n=a1+（n﹣1）d=3+2（n﹣1）=2n+1，S n=na1+n（n﹣1）d=3n+n（n﹣1）•2=n2+2n；（2）b n===﹣，前n项和T n=1﹣+﹣+﹣+…+﹣=1﹣=．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18．（12分）（2016春•重庆校级月考）在一次数学考试中，第22、23、24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题．按照以往考试的统计，考生甲，乙的选做各题的概第22题第23题（Ⅱ）求甲，乙两人选做不同试题的概率．【分析】（Ⅰ）利用相互独立事件概率乘法公式能求出甲乙都选做第23题的概率．（Ⅱ）先求出甲乙都选做第23题的概率和甲乙都选做第24题的概率，由此得到甲，乙选做同一道的概率，进而能求出甲，乙选做不同试题的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲乙都选做第23题的概率为．…（6分）（Ⅱ）甲乙都选做第23题的概率为：，甲乙都选做第24题的概率为：，则甲，乙选做同一道的概率为，∴甲，乙选做不同试题的概率为．…（12分）【点评】本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的合理运用．19．（12分）（2016春•重庆校级月考）在△ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，且△ABC的面积为；求b，c．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后将sinC=sin（A+B）代入求出cosA的值，即可确定出角A的大小；（Ⅱ）利用三角形面积公式表示出三角形ABC面积S，将已知面积与sinA的值代入得到bc 的值，再利用余弦定理列出关系式，将a，cosA的值代入得到b与c的方程，联立求出b与c的值即可．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：（2sinC﹣sinB）cosA=sinAcosB，即2sinCcosA ﹣sinBcosA=sinAcosB，整理得：2sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵0＜A＜π，∴A=；（Ⅱ）∵S=bcsinA=，sinA=，∴bc=4①，利用余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即8=b2+c2②，联立①②解得：b=c=2．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（12分）（2016春•重庆校级月考）已知椭圆的左焦点为F（﹣c，0），其上顶点为B（0，b），直线BF与椭圆的交点为A，点A关于x轴的对称点为C （Ⅰ）若点C的坐标为，且c=1，求椭圆的方程．（Ⅱ）设点O为原点，若直线OC恰好平分线段AB，求椭圆的离心率．【分析】（Ⅰ）利用点C的坐标为，且c=1，建立方程组，求出a，b，即可求椭圆的方程．（Ⅱ）直线BF的方程为：，代入椭圆方程，求出C的坐标，可得直线OC的方程为，线段AB的中点坐标，代入可得a2=3c2，即可求椭圆的离心率．【解答】解：（Ⅰ）因为点C的坐标为，且c=1，所以所以椭圆的方程为；（Ⅱ）直线BF的方程为：，代入椭圆可得：，从而可得，则点C为，，则直线OC的方程为，线段AB的中点为，则有⇒a2=3c2．【点评】本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．21．（12分）（2016春•重庆校级月考）已知函数．（Ⅰ）若，求证：f（x）在（0，+∞）上为增函数；（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）将a=2代入，求出导函数f'（x）≥0，得出结论；（Ⅱ）求出函数的导函数，对a进行分类讨论，判断定义域内是否递增．【解答】证明：（Ⅰ）函数．∴若a=2，则，当且仅当x=1时，取等号则f（x）在（0，+∞）上为增函数；解：（Ⅱ），注意到f（1）=0（1）当a≤1时，则，则f（x）在（0，+∞）上为增函数；显然适合题意；（2）当1＜a≤2时，则△=4（a2﹣2a）≤0，则，当且仅当a=2，x=1时，取等号，则f（x）在（0，+∞）上为增函数；显然适合题意．（3）当a＞2时，则△=4（a2﹣2a）＞0，则有两个实根，且0＜x1＜a﹣1＜x2，（a﹣1＞1），则f（x）在（0，x1]，[x2，+∞）上为增函数，在（x1，x2）上是减函数；1∈（x1，x2），f（1）=0，显然不适合题意．综上：a≤2【点评】考查了导函数的应用和二次函数参数的分类讨论．难点是转化思想的应用．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）（2016春•重庆校级月考）如图，设D是弦AB延长线上一点，且AB=2BD，过D作圆的切线于E，若C为线段AB的中点，连结EC交圆于点F，若．（Ⅰ）求证：EC=ED（Ⅱ）求证：AE⊥ED．【分析】（Ⅰ）利用切割线定理、相交弦定理进行计算，即可证明：EC=ED；（Ⅱ）证明EB⊥BD，即可证明：AE⊥ED．【解答】证明：（Ⅰ）设BC=x，则AC=BD=BC=x，，易得：；EC•CF=BC•AC=x2⇒；（Ⅱ）∵DE=EC，点B为中点，∴EB⊥BD，∵EA为直径，ED为切线，∴AE⊥ED．【点评】本题考查切割线定理、相交弦定理的运用，考查圆的切线的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016春•重庆校级月考）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为．（Ⅰ）求直线C1、圆C2的普通方程；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A、B，求弦AB的长．【分析】（Ⅰ）直线C1的参数方程为为参数），消去参数可得C1的普通方程．圆C2的方程为，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，利用互化公式可得直角坐标方程．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式可得：圆心为到直线的距离d，利用|AB|=2即可得出．【解答】解：（Ⅰ）直线C1的参数方程为为参数），消去参数可得：C1的普通方程为x﹣y+1=0．圆C2的方程为，即ρ2=﹣2ρcosθ+2ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2+2x﹣2y=0，配方可得：圆．（Ⅱ）圆心为到直线的距离d==，∴|AB|=2=2=．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标与直角坐标方程互化、直线与圆相交弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．（2016春•重庆校级月考）已知关于x的不等式|2x﹣m|≤x+1的解集为[1，5]．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若实数a，b满足a+b=m，求a2+b2的最小值．【分析】（Ⅰ）去掉绝对值符号，利用条件求m的值；（Ⅱ）若实数a，b满足a+b=m，利用基本不等式求a2+b2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|2x﹣m|≤x+1∴﹣x﹣1≤2x﹣m≤x+1，∴（m﹣1）≤x≤m+1，∵不等式|2x﹣m|≤x+1的解集为[1，5]．∴，（Ⅱ）=8当且仅当a=b时，取等号，∴a2+b2的最小值为8．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式的运用，属于中档题．。
重庆市巫山高级中学2014-2015学年高一数学上学期第一次月考试题
重庆市巫山高级中学高一上学期第一次月考数学试题考试时间：120分钟 满分150+10分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 图中阴影部分表示的集合是( )A. ()U A C B IB. B A C U )(C. )(B A C UD. ()U C A B U2. 已知 5412x x x f ，则 x f 的表达式是（ ）A ．x x 62B ．782 x xC ．322 x xD ．1062 x x3. 若函数 y f x R 在上单调递减且 21f m f m ，m 则实数的取值范围是（ ）A ． ,1 B ． ,1 C ． 1, D ． 1,4. 某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离．．．．．．。
则较符合该学生走法的图象是（ ）5. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x，若()3f x ，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或321、32或6.函数()f x的递增区间为（ ）A.[2,)B. [4,)C.(,2]D. (,4]ABCD7. 奇函数．．．)(x f 在区间[1，4]上为减函数，且有最小值2，则它在区间]1,4[ 上（ ）A. 是减函数，有最大值2B. 是增函数，有最大值2C. 是减函数，有最小值2D. 是增函数，有最小值28. 若偶函数)(x f 在 ,0 上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A.)2()1()23(f f f B.)23()1()2( f f f C.)1()23()2( f f f D.)2()23()1(f f f9. 若*,x R n N ，规定： 121 n x x x x H n x ，例如:24123444 H ，则 52 x H x x f 的奇偶性为（ ）A ．是奇函数不是偶函数B ．是偶函数不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数10. 已知Z k k y y Y Z n n x x X ,14|,12|，，那么下列各式正确的是 A ．XYB ．Y XC ．X YD ．以上都不对二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上． 11. 若}0|{2 a x x ，则实数a 的取值范围是12. 已知集合 2|, y x y x M , 4|, y x y x N ,那么集合NM ＝ ．13. 若奇函数)(x f 的定义域为R ，当0 x 时)2()(x x x f 。
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1 巫山中学2015年秋2017级数学（理）月考卷 一、单项选择（本大题共12小题，每题5分，共60分）. 1、设集合43232154321，，，，，，，，，，BAU，则BAC
U
（ ）
32A.， 541.，，B 54.，C 51.，D
2、已知随机变量yx,的值如表所示，如果x与y线性相关且回归直线方程为
27ˆˆxby
，则实数b
ˆ
（ ）
21A. 101.B 21.C 101.D
3、已知点P在曲线2224:xyC上，点20，A，则PA的最大值为（ ） 22.A 22.B 22.C 12.C 4、要得到)32sin(xy的图像,需要将函数xy2sin的图像( ) A.向左平移3个单位 B.向右平移3个单位 C.向左平移6个单位 D.向右平移6个单位 5、执行如右图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（ ）
13A.2 111B. 110C.
D.2
开始 S=0,k=1 S=S+
输出S 结束
k
11kk1kk
是否
N输入
463452yx2
6、设Rx，向量1,xa，2,1b，且a⊥b，则ba（ ） 10A. 5B. C.10 5D.2 7、圆5:22yxP,则经过点21，M的切线方程为（ ） A．052yx B．052yx C．052yx D．052yx 8、在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若223abbc，
sin23sinCB，则A=（ ）
A.150 B.120 C.60 D.30 9、在公比为2的等比数列na中，若53sin32aa，则61cosaa的值是（ ） 54.A 257.B 54.C 257.D 10、若()fx为奇函数，且0x是()xyfxe 的一个零点，则0x一定是下列哪个 函数的零点 （ ） A．()1xyfxe B．()1xyfxe
C．()1xyfxe D．()1xyfxe 11、在区域D：22(1)4xy内随机取一个点，则此点到点21，A的距离大于2 的概率是（ ）
A. 32 B. 1332 C. 1332 D. 13
12、已知以4T为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx，其中0m.若方程
3()fxx恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ）
A．4(,7)3 B．48(,)33 C．15(,7)3 D．158(,)
33
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）. 3
13、设变量yx,满足约束条件，则yxz23的最大值为 . 14、已知0,0ba，且满足3ba，则ba41的最小值为 ． 15、已知椭圆)0(1:2222babyaxC，直线l为圆222:byxO的一条切线，若 直线l的倾斜角为3，且恰好经过椭圆的右顶点，则椭圆离心率为 . 16、已知数列na的前n项和为nS，且满足Nnnan1，若不等242mSSnn
对于Nn恒成立，则自然数m的最大值为 ． 三、解答题（写出必要的文字说明、计算步骤及证明过程）. 17、（10分）已知函数Rxxxxxf,1sin2cossin322.
(1)求函数()fx的最小正周期及xf的单调区间；
(2)在ABC中，cba,,分别是角CBA,,的对边，若3122Af，且 333cb，求ABC得面积.
18、（12分）某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数依次为1，2，3， 4，5．现从一批日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到 频率分布表如表所示：
（1）求cba,,的值；
（2）从等级为4的2件日用品和等级为5的3件日用品中任取两件（假定每件
01042022xyxyx4 19、（12分）已知数列na的前n项和为nS，对于任意的正整数n都有2nSn， 且各项均为正数的等比数列nb中，436bbb，且3b和5b的等差中项是10． （1）求数列na，nb的通项公式； （2）若nnnbac，求数列nc的前n项和nT．
20、（12分）已知圆M过11，C，11，D两点，且圆心M在02yx上． （1）求圆M的方程； （2）设点P是直线0843yx上的动点，PBPA,是圆M的两条切线，BA, 为切点，求四边形PAMB面积的最小值．
21、（12分）已知椭圆12222byax的左焦点F为圆0222xyx的圆心，且椭 圆上的点到点F的距离的最小值为12. （1）求椭圆的方程；
（2）已知经过点F的动直线l与椭圆交于不同的两点BA,，点045，M，
求MBMA的值.
22、（12分）已知函数mxxf，函数mmxfxxg72． （1）若1m，求不等式0xg的解集； （2）若对任意4,1x,均存在,32x,使得21xgxf成立，求实数 5
m的取值范围． 6
巫山中学2015年秋2017级数学（理）月考卷 一、单项选择（本大题共12小题，每题5分，共60分）.
1、设集合43232154321，，，，，，，，，，BAU，则BAC
U
（ B ）
32A.， 541.，，B 54.，C 51.，D
2、已知随机变量yx,的值如表所示，如果x与y线性相关且回归直线方程为
27ˆˆxby
，则实数b
ˆ
（ C ）
21A. 101.B 21.C 101.D
3、已知点P在曲线2224:xyC上，点20，A，则PA的最大值为（ B ） 22.A 22.B 22.C 12.C 4、要得到2sin(2)3yx的图像,需要将函数xy2sin的图像( D ) A.向左平移32个单位 B.向右平移32个单位 C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 5、执行如右图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的S是（ B ）
13A.2 111B. 110C.
D.2
开始 S=0,k=1 S=S+
输出S 结束
k
11kk1kk
是否
N输入
463452yx7
6、设Rx，向量1,xa，2,1b，且a⊥b，则ba（ A ） 10A. 5B. C.10 5D.2 7、圆5:22yxP,则经过点21，M的切线方程为（ D ） A．052yx B．052yx C．052yx D．052yx 8、在ABC中，内角,,ABC的对边分别是,,abc，若223abbc，
sin23sinCB，则A=（ D ）
A.150 B.120 C.60 D.30 9、在公比为2的等比数列na中，若53sin32aa，则61cosaa的值是（ D ） 54.A 257.B 54.C 257.D 10、若()fx为奇函数，且0x是()xyfxe 的一个零点，则0x一定是下列哪个 函数的零点 （ B ） A．()1xyfxe B．()1xyfxe
C．()1xyfxe D．()1xyfxe 11、在区域D：22(1)4xy内随机取一个点，则此点到点21，A的距离大于2 的概率是（ B ）
A. 32 B. 1332 C. 1332 D. 13
12、已知以4T为周期的函数21,(1,1]()12,(1,3]mxxfxxx，其中0m.若方程
3()fxx恰有5个实数解，则m的取值范围为（ C ）
A．4(,7)3 B．48(,)33 C．15(,7)3 D．158(,)
33
【解析】因为当(1,1]x时，将函数化为方程2221(0)yxym，实质上为一个半椭圆，