人教版高二数学第一学期期末考试试卷

2017-2018学年第一学期高二数学期末考试试卷 试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共150分.考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分） 1．已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则( C ) A．p：∃x∈R，sinx≥1 B．p：∀x∈R，sinx≥1 C．p：∃x∈R，sinx>1 D．p：∀x∈R，sinx>1 2．等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( B )． A．160 B．180 C．200 D．220 3．△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c．若a＝3，b＝4，∠C＝60°，则c的值 等于( C )． A．5 B．13 C．13 D．37 4．若双曲线x2a2－y2b2＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( D )

A. 73 B. 54 C. 43 D. 53 5．在△ABC中，能使sinA＞32成立的充分不必要条件是( C ) A．A∈0，π3 B．A∈π3，2π3 C．A∈π3，π2 D．A∈π2，5π6 6．△ABC中，如果Aatan＝Bbtan＝Cctan，那么△ABC是( B )． A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

7. 如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点， F是AD上一点，当BF⊥PE时，

AF∶FD的值为( B )

A．1∶2 B．1∶1 C．3∶1 D．2∶1

8．如图所示，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC－A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线A B1夹角的余弦值为( A )

A. 55 B. 53

C. 255 D. 35 9．当x＞1时，不等式x＋11x≥a恒成立，则实数a的取值范围是( D )． A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3]

10．若不等式组4≤ 34 ≥30 ≥yxyxx＋＋，所表示的平面区域被直线y＝kx＋34分为面积相等的两部分，则k的值是( A )． A．73 B．37 C．43 D．34 11．若关于x的不等式2x2－8x－4－a≥0在1≤x≤4内有解，则实数a的取值范围是( A ) A．a≤－4 B．a≥－4 C．a≥－12 D．a≤－12 12．定义域为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时，f(x)＝－2(x－3)2，若函数y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则a的取值范围为 ( B )

A. 0，22 B. 0，33 C. 0，55 D.0，66 解析 由于定义为R的偶函数f(x)满足：对∀x∈R，有f(x＋2)＝f(x)－f(1)，得f(－1＋2)＝f(－1)－f(1)＝0，即f(1)＝0，故f(x＋2)＝f(x)，可知f(x)的周期T＝2，图象以x＝2为对称轴，作出f(x)的部分图象，如图， ∵y＝loga(x＋1)的图象与f(x)的图象至少有三个交点，即有loga(2＋1)>f(2)＝－2且0

1，解得a∈0，33。

第Ⅱ卷（选择题 共90分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置 13．已知某抛物线的准线方程为y＝1，则该抛物线的标准方程为________。x2＝－4y 14.若a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是______75__。

15．过椭圆221164xy内一点M(2,1)引一条弦，使弦被点M平分，则这条弦所在直线 的斜率等于________ －12 16．已知函数f(x)＝xα的图象过点(4,2)，令 an＝1fn＋1＋fn，n∈N*。记数列{an}的前n项和为Sn，则S2 016＝________。2 017－1 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. 17．(12分)已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B＝2sinAsinC。

(1)若a＝b，求cosB； (2)设B＝90°，且a＝2，求△ABC的面积。 解 (1)由sin2B＝2sinAsinC及正弦定理，得b2＝2ac，

∵a＝b，∴a＝2c。由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋14a2－a22a×12a＝14。 (2)由(1)得b2＝2ac。∵B＝90°，a＝2，∴a2＋c2＝2ac，∴a＝c＝2，∴S△ABC＝12ac＝1。

18．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a≠0，q：实数x满足 x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0。 (1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围； (2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围。

解 (1)由x2－4ax＋3a2＜0，得：(x－3a)(x－a)＜0， 当a＝1时，解得1＜x＜3， 即p为真时实数x的取值范围是1＜x＜3。

由 x2－x－6≤0，x2＋2x－8＞0。解得：2＜x≤3， 即q为真时实数x的取值范围是2＜x≤3。 若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2＜x＜3。 (2)p是q的必要不充分条件，即q推出p，且p推不出q， 设集合A＝{x|p(x)}；集合B＝{x|q(x)}，则集合B是集合A的真子集， 又B＝(2,3]， 当a＞0时，A＝(a,3a)；a＜0时，A＝(3a，a)。 所以当a＞0时，有 a≤2，3＜3a，解得1＜a≤2， 当a＜0时，显然A∩B＝∅，不合题意，

19．(本小题满分12分)已知动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切。 (1)求动圆圆心P的轨迹M的方程； (2)经过点(2,0)且倾斜角等于135°的直线l与轨迹M相交于A，B两点，求|AB|。

解 (1)设动圆圆心P(x，y)。 因为动圆经过点F(2,0)，并且与直线x＝－2相切， 所以点P到定点F(2,0)的距离与到定直线x＝－2的距离相等， 故点P的轨迹是一条抛物线，其焦点为F，准线为x＝－2，设轨迹方程为

y2＝2px(p＞0)，则p2＝2，

所以轨迹M的方程为y2＝8x。 (2)轨迹M的焦点(2,0)，直线l的斜率k＝tan 135°＝－1，于是其方程为y＝－(x－2)。

由 y＝－x－2，y2＝8x，消去y得x2－12x＋4＝0。 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12， 于是|AB|＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16。 20．(12分)如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC是直角三角形，且PA＝AB＝AC。又平面QBC垂直于底面ABC。

(1)求证：PA∥平面QBC； (2)若PQ⊥平面QBC，求锐二面角Q－PB－A的余弦值。

解 (1)证明：过点Q作QD⊥BC交BC于点D， 因为平面QBC⊥平面ABC。 所以QD⊥平面ABC。 又PA⊥平面ABC， 所以QD∥PA。 而QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC， 所以PA∥平面QBC。 (2)因为PQ⊥平面QBC， 所以∠PQB＝∠PQC＝90°。

又PB＝PC，PQ＝PQ， 所以△PQB≌△PQC， 所以BQ＝CQ。 所以点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，因此AD⊥平面QBC，故四边形PADQ是矩形。 分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 设PA＝2a，则Q(a，a,2a)，B(0,2a,0)，P(0,0,2a)。 设平面QPB的法向量为n＝(x，y，z)， 因为PQ→＝(a，a,0)，PB→＝(0,2a，－2a)，

所以 ax＋ay＝0，2ay－2az＝0，取n＝(1，－1，－1)。 又平面PAB的一个法向量为m＝(1,0,0)， 设锐二面角Q－PB－A的大小为θ，

则cosθ＝|cos〈m，n〉|＝m·n|m||n|＝33，

即锐二面角Q－PB－A的余弦值等于33。 21．(本小题满分12分)若{}na的前n项和为nS，点),(nSn均在函数y＝xx21232的图像上。 （Ⅰ）求数列{}na的通项公式;n

a=3n-2

（Ⅱ）13nnnaab，nT是数列{}nb的前n项和，

(1) 点),(nSn均在函数y＝xx21232的图像上, nS

=nn21232,

故1nS)1(21)1(232nn )2(n,… 从而当2n nS-1nS=3n-2,即na=3n-2, 又当n=1时,111Sa,满足上式 na

=3n-2

(2) 13nnnaab,na=3n-2,

)13)(23(3nnb

n=131231nn

...101717141411nT131231nn=.1331311nnn

22．(本小题满分12分)已知椭圆x2＋2y2＝a2(a＞0)的一个顶点和两个焦点构成的三角形的面积为4。 (1)求椭圆C的方程； (2)已知直线y＝k(x－1)与椭圆C交于A，B两点，是否存在x轴上的点M(m,0)，使得对任意的k

∈R，MA→·MB→为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。 解 (1)设椭圆的短半轴为b，半焦距为c，

则b2＝a22，由c2＝a2－b2，得c2＝a2－a22＝a22，

由12×b×2c＝4解得a2＝8，b2＝4，则椭圆方程为 x28＋y24＝1。

(2)由 y＝kx－1，x2＋2y2＝8， 得(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－8＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由根与系数的关系，得

x1＋x2＝4k22k2＋1，x1x2＝2k2－82k2＋1，

则MA→·MB→＝(x1－m，y1)·(x2－m，y2) ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋k2(x1－1)(x2－1) ＝(k2＋1)x1x2－(m＋k2)·(x1＋x2)＋k2＋m2

＝(k2＋1)2k2－82k2＋1－(m＋k2)4k22k2＋1＋k2＋m2