九年级数学资料向量的线性运算(很好-很全-很详细)

1 / 18 24.6-24.7 平面向量的线性运算 【学习目标】 1.理解实数与向量相乘的意义.

2.知道实数与向量相乘的运算律. 3.在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比的思想. 4.对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量. 5.知道平行向量，会用向量关系式表示两个向量的平行关系. 6.在实数与向量相乘和平行向量定理的学习与应用中体会代数与几何的联系.

【主要概念】 1、向量的加法法则：一般的，几个向量相加，可把这几个向量顺次首尾相接，那么它们的和向量是以第一个向量为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。这就是向量加法的多边形法则.

2、实数与向量相乘的运算：设n为正整数，a为向量，我们用an表示n个a相加；用an表示n个a相加．又当m为正整数时，amn表示与a同向且长度为am

n

的向量.

3、ak与a的关系：k>0时，ak与a的方向相同，且大小是︱a︱的 k倍，K<0时，ak与a的方向相反，且大小是︱a︱的︱ k︱倍，K=0时ak=0.

ak／／a

4、实数与向量相乘的运算律： 设m，n为实数，ar、br是向量，则 （1）amnanm)()(； （2）amamanm)(； （3）bnambam)(． 2 / 18

【典型例题】 【例1】已知非零向量a，求作 ,3,3,25aaa并指出他们的长度和方向.

解：在平面内任取一点O，作AO=a。在射线OA上，取OB= 25OA,则BO=25a 在射线OA的反向延长线上，取OC=OA3.则CO=-3a。

【例2】已知平行四边形ABCD中，E、F、G、H、分别是各边的中点EG与FH相交于点O.设bBAaAD,请用向量ar或br表示向量OFOE,，并写出图中与向量OE相等的量.

【例3】已知点D、E分别在ABC的边AB 与AC上DE∥BC，3AD=4DB，试用向量BC表示向量DE。

解：DE∥BC ABADBCDE

A B C D

E H G A O

A B E C D 3 / 18

由3AD=4DB 得34DBAD

可知74ABAD

得BCDE74 方向相同，从而得出： CBED

74



【例4】ak表示实数k与向量a相乘的运算，下列表示运算是否正确： （1）ak表示为k×a或者k·a （ 正确 ） （2）ak表示ak（ 错误 ） （3）ak表示ak （ 错误 ）

【例5】计算 （1）)5(3ba；

（2）)23(23baa； （3）)3(2)3(cbacba. 解：（1）原式=315abrr； （2）原式=3322aabrrr=1322abrr （3）原式=

cbacbacbacbacbacba22133121323323)()()()()(

【例6】在矩形ABCD中，3AB，1BC，则向量)(ACADAB的长等于（ ） 4 / 18

（A）2 （B）32 （C）3 （D）4 答案: D 解析：

ACACACACBCABACADAB2

【例7】下面给出四个命题： ① 对于实数m和向量a、b恒有：mbmabam)(

② 对于实数m、n和向量a，恒有namaanm)( ③ 若)(Rmmbma，则有ba ④ 若)0,,(aRnmnama，则nm 其中正确命题的个数是（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 答案：C 解析：根据实数与向量的积的定义及运算定律容易得出①、②、④正确，③不一定成立. 0m时，0mbma 但此时也不一定有ba成立

【例8】若a与b的方向相反，且ab，则a+b的方向与a的方向 ；

此时abab． 答案：相同；=； 解析：考察向量的加法运算以及模之间的关系。

【例9】已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BCuuura，CAuuurb，ABuuurc，则下列各式：①1122EFuuurcb；②12BEuuurab；③1122CFuuurab；

④ADBECFuuuruuuruuur0 ．其中正确的等式的个数为 答案：2 解析：考察向量的加法运算。

【例10】已知A、B、C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OAOBOCuuuruuuruuur0，则O是△ABC 的。（填重心 、垂心、内心、外心之一） 答案：重心 5 / 18

解析：考察向量的运算与三角形的性质。 【例11】若8,5,ABACuuuruuur则BCuuur的取值范围是

答案：[3,13]。 解析：由结论||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|，因为BCuuur=||ABACuuuruuur。

【例12】如图，D、E、F是ABC的边AB、BC、CA的中点， 则DBAF=

答案：BE 解析：向量可以自由平移的观点是本题的解题关键，平移的目的是便于按向量减法法则进行运算，由图可知∴BEDFADAFDBAF B组 【例13】在ABCDY中，,,3ABaADbANNCuuurruuurruuuruuur，M为BC的中点，则MNuuuur

_______。（用abrr、表示）

答案：1144abrr

解析：如图，343A=3()ANNCANCabuuuruuuruuuruuurrr由得，12AMab

uuuurrr

，

所以3111()()4244MNabababuuuurrrrrrr。 【例14】化简：()()ABCDACBDuuuruuuruuuruuur=． 答案：0 【例15】如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB

的中点，已知AB=a,AD=b,试用a，b表示BC和MN．

【解法一】 连结CN，则ANDC

FED

A

BC6 / 18 ∴四边形ANCD是平行四边形．

CNAD=－b，又∵CN+BCNB=0

∴NBCNBC=b－21a ∴ANCNCMCNMN21=－b+41a=41a－b 【解法二】 ∵DACDBCAB=0 即：a+BC（－21a）+（－b）=0，∴BC=b－21a 又∵在四边形ADMN中，有NAMNDMAD=0， 即：b+41a+MN+（－21a）=0，∴4

1MNa－b．

【例16】已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点． 求证：)(21BCABEF 解析：思路1：运用向量的图形语言、向量的多边形法则，进行向量的加法、减法运算以及向量的中点坐标公式． 证法一：（如图1），∵E、F分别是AD、DC的中点，

∴0EDEA，0FCFB

∵0EAFEBFAB， ∴EABFABEF． ① 同理 CFDCEDEF． ② 由 ①+② 得 DCABCFBFEDEADCABEF)()(2． ∴)(21BCABEF． 证法二：连结EB、EC，（如图2），则 DCEDEC，ABEAEB，

∴)(21)(21ABEADCEDECEBEF （图2）

AB

CD

EF

（图1）FE

DC

BA7 / 18

)(21DCAB 证法三：任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE、OF（如图3）， ∵E、F分别是AD、DC的中点，

∴)(21ODOAOE，)(21ODOBOF．

)(21)(21ODOAOCOBOEOFEF )(21)(21ODOCOAOB )(212121DCABDCAB

【随堂练习1】 1、设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个,记作 ；

2、若a与b是互为相反向量，则若a＋b= ； 3、已知非零向量若OA=a，OB与a的方向相同，它的长度是|a|的5倍，则OB=； 4、如图，AD是ABC中BC边上的中线，点G是ABC的 重心，ADa

， 则AG=, GD=;

5、已知：如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O， 则与向量AD相等的向量是；

与向量AD相反的向量是； 与向量AD平行的向量是； 若aAC，则AO=, CO=; 若bAD，aAC,则CB=, DO=，DB=; 6、已知：如图，在△ABC中,DE∥FG∥BC,AD∶DF∶FB=1∶1∶2, aAB,bED则AD，DF=, DB=,

AE，GF=; 7、下列式子中，错误．．的是………………………………………………（ ）． （A）2aaarrr；（B）()0aarrr；（C）()ababrrrr；（D）abbavvvv．

8、如果非零向量a与b满足等式ba3，那么向量a与b的方向．

A B C D

G ·

(图

八)

（图3）FE

DC

BA