安徽省合肥市高一上学期数学期末考试试卷
安徽省合肥市高一上学期数学期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2019高一上·成都期中) 已知集合M={x∈N|x2-1=0}，则有（）
A .
B .
C .
D . 0，
2. （2分）已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分）已知集合则（）
A .
B .
C .
D .
4. （2分）因工作人员不慎将63枚真纪念币和一枚假纪念币混在了一起，从其外形无法分辨，仅仅知道假纪
念币的重量要比真纪念币稍稍轻一点点，现用一台天平，通过比较重量的方法来找出那枚假纪念币，则最多只需称量（）次．
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
5. （2分） (2019高一下·哈尔滨月考) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A . 24+8π
B . 18+8π
C . 24+4π
D . 18+4π
6. （2分）空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
7. （2分） (2016高一上·绵阳期末) 已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则下列说法正确的是（）
A . f（x）是奇函数，则在（0，+∞）上是增函数
B . f（x）是偶函数，则在（0，+∞）上是减函数
C . f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数
D . f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数
8. （2分）已知两条平行线l1：3x+4y﹣4=0与l2：ax+8y+2=0之间的距离是（）
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
9. （2分） (2018高二下·泸县期末) 函数的大致图像是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）(2017·仁寿模拟) 已知两条直线m，n和两个不同平面α，β，满足α⊥β，α∩β=l，m∥α，n⊥β，则（）
A . m∥n
B . m⊥n
C . m∥l
D . n⊥l
11. （2分） (2018高二上·嘉兴月考) 直线l：x－y＝1与圆C：x2＋y2－4x＝0的位置关系是（）
A . 相离
B . 相切
C . 相交
D . 无法确定
12. （2分） (2017高二下·河北期中) 已知函数f（x）= ，函数g（x）= ﹣f（1﹣x），则函数y=f（x）﹣g（x）的零点的个数为（）
A . 2
B . 3
C . 4
D . 5
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2016高一上·南京期中) 已知，则f（4）=________．
14. （1分） (2019高二上·四川期中) 两圆，相交于，两点，则公共弦所在的直线的方程是________.（结果用一般式表示）
15. （1分） (2017高三上·长葛月考) 如图，在四棱锥中，底面，，底面为矩形，为线段的中点，，，，与底面所成角为，则四棱锥与三棱锥的公共部分的体积为________．
16. （1分）(2017高二下·河北期末) 用表示，中的最小值，已知函数
，，设函数（），若有个零点，则实数的取值范围是________．
三、解答题 (共6题；共55分)
17. （5分）已知集合A={x|4≤x＜8，x∈R}，B={x|6＜x＜9，x∈R}，C={x|x＞a，x∈R}．
（1）求A∪B；
（2）（∁UA）∩B；
（3）若A∩C=∅，求a的取值范围．
18. （5分） (2016高二上·德州期中) 已知直线l经过直线3x+4y﹣2=0与直线2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x﹣2y﹣1=0．求：
（Ⅰ）直线l的方程；
（Ⅱ）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
19. （10分） (2016高一上·青海期中) 已知函数f（x）=loga（1﹣x）+loga（x+3），其中0＜a＜1．
（1）
求函数f（x）的定义域；
（2）
若函数f（x）的最小值为﹣4，求a的值．
20. （10分） (2015高二上·西宁期末) 已知圆x2+y2+x﹣6y+m=0和直线x+2y﹣3=0交于P、Q两点，
（1）求实数m的取值范围；
（2）求以PQ为直径且过坐标原点的圆的方程．
21. （15分） (2016高二上·铜陵期中) 如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC= ，O，M分别为AB，VA的中点．
（1）求证：VB∥平面MOC；
（2）求证：平面MOC⊥平面VAB
（3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
22. （10分） (2020高一上·那曲期末) 对于函数 ,
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）是否存在实数a，使函数为奇函数？证明你的结论
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共4分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、
18-1、
19-1、
19-2、
20-1、
20-2、
21、答案：略
22-1、22-2、。
安徽省合肥六中21-22学年高一上学期期末数学试卷(含答案解析)
安徽省合肥六中21-22学年高一上学期期末数学试卷班级：_________ 姓名：_________ 分数：_________一、单选题（本大题共8小题，共40分）1、440°角的终边落在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2、集合{x ∈N|x −2<2}用列举法表示是（ ）A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {0,1,2,3,4}D. {0,1,2,3}3、若a >b >0，d <c <0，则下列不等式成立的是（ ）A. ac >bcB. a −d <b −cC. 1d <1cD. a 3>b 34、函数y =tan(x −π6)，x ∈(−π6,5π12)的值域为（ ）A. (−√3,1)B. (−1,√33)C. (−∞,−√3)∪(1,+∞)D. (√33,1)5、已知定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+2f(1−x)=x 2+1，则f(0)=（ ）A. −1B. 1C. −13D. 136、根据如表数据，可以判定方程lnx −3x=0的根所在的区间是（ ）A. (3,4)B. (2,e)C. (e,3)D. (1,2)7、已知a =1.80.8，b =log 25，c =sin1−cos1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a >b >cB. b >a >cC. c >b >aD. b >c >a8、若函数f(x)=sin(ωx −π4)(x ∈[0,π]，ω>0)的图象与x 轴有交点，且值域M ⊆[−√32,+∞)，则ω的取值范围是（ ）A. [12,43]B. [43,2]C. [14,13]D. [14,1912]二、多选题（本大题共4小题，共20分）9、下列各式正确的是（ ） A. 设a >0，则a√a⋅√a 23=a 16B. 已知3a +b =1，则81a ⋅3b3a=3C. 若log a 2=m ，log a 5=n ，则a 2m+n =20D.1log 1419+1log 1513=lg310、已知函数f (x )=Acos(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则能够使得y =2cosx 变成函数f (x )的变换为（ ）A. 先横坐标变为原来的12倍，再向右平移π6个单位长度 B. 先横坐标变为原来的2倍，再向左平移π12个单位长度 C. 先向右平移π3个单位长度，再横坐标变为原来的12倍 D. 先向左平移π24个单位长度，再横坐标变为原来的2倍11、已知a >0，b >0，且a +b =1，则下列结论正确的是（ ） A. 1a +1b 的最小值是4 B. ab +1ab 的最小值是2 C. 2a +2b 的最小值是2√2D. log 2a +log 2b 的最小值是−212、已知f(x)为定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的偶函数，当x >0时，f(x)={log 2|x|,0<x <1|4−x 2|,x ≥1，则下列说法正确的是（ ）A. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增B. 函数f(x)有2个零点C. 不等式f(x)≤3的解集为[−√7,√7]D. 方程f(f(x))−5=0有6个不相等的实数根三、填空题（本大题共4小题，共20分）13、命题“∃m ∈R ，使关于x 的方程mx 2−x +1=0有实数解”的否定是 ． 14、函数f(x)=2cos(2x +φ)的图象关于原点对称，则φ= ． 15、sin47°−cos17°sin30°sin17∘= ．16、函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x −1)是奇函数，且当0<x ≤1时，f(x)=log 20201x ，则f(2021)+f(−12020)= ． 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、(本小题10.0分)已知集合A ={x|x 2−8x +m =0,m ∈R}，B ={x|ax −1=0,a ∈R}，且A ∪B =A ． (1)若∁A B ={2}，求m ，a 的值； (2)若m =15，求实数a 组成的集合．18、(本小题12.0分)已知函数f(x)=2|x|−1√1+x 2．(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性(不必写出过程)，并解不等式f(x +2)>f(2x −1)．19、(本小题12.0分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(√32,12)为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的横坐标为f(θ)． (1)求f(θ)的表达式，并求f(π6)+f(32π3)；(2)若f(θ−π6)=13，θ∈(0,π2)求sin(θ−π3)+cos(θ+7π6)的值．20、(本小题12.0分)已知函数f(x)=log 4x.(1)求g(x)=(f(x)−2)f(x)的值域；(2)当x ∈[1,16]时，关于x 的不等式mf(x)−f 2(x)+f(x 2)−3≥0有解，求实数m 的取值范围．21、(本小题12.0分)已知函数f(x)=√3cos 2x −√3sin 2x +2sinxcosx ．(1)求f(x)图象的对称轴方程；]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．(2)若关于x的方程a|f(x)|+a−1=0在x∈[0,π222、(本小题12.0分)如图所示，设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20cm，把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=xcm，AP=ycm．(1)建立变量y与x之间的函数关系式y=f(x)，并写出函数y=f(x)的定义域；(2)求△ADP的最大面积以及此时的x的值．参考答案及解析1.答案：A解析：本题主要考查象限角，属于基础题．由已知条件可得，440°=360°+80°，即可求解．∵440°=360°+80°，∴440°角的终边落在第一象限，所以选：A．2.答案：D解析：本题考查了不等式的解法与列举法表示集合，属于基础题．根据题意化简集合，将元素一一列举出来即可．集合{x∈N|x−2<2}={x∈N|x<4}={0,1,2,3}．所以选D．3.答案：D解析：本题主要考查了不等式性质的运用，幂函数的单调性，属于基础题．利用不等式的性质判断ABC，利用幂函数的单调性判断D．对于A，∵a>b，c<0，∴ac<bc，故A错误；对于B，∵a>b>0，d<c<0，∴a+c>b+d，即a−d>b−c，故B错误；对于C，∵d<c<0，∴c−d>0，cd>0，∴1d −1c=c−dcd>0，即1d>1c，故C错误；对于D，∵f(x)=x3在R上单调递增，a>b，∴f(a)>f(b)，a3>b3，故D正确．所以选D．4.答案：A解析：本题主要考查正切函数的定义域和值域，属于基础题．由题意，利用正切函数的定义域及性质来求得值域．当x∈(−π6,5π12)时，x−π6∈(−π3,π4)，∵正切函数y=tanx在(−π2,π2)上单调递增，且tan(−π3)=−√3，tanπ4=1，∴y=tan(x−π6)∈(−√3,1)，所以选：A．5.答案：B解析：本题考查抽象函数的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．根据题意，利用特殊值法可得f(0)+2f(1)=1和f(1)+2f(0)=2，解可得答案．根据题意，函数f(x)满足f(x)+2f(1−x)=x2+1，令x=0可得：f(0)+2f(1)=1，①令x=1可得：f(1)+2f(0)=2，②联立①②可得：f(0)=1，所以选：B．6.答案：C解析：本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．结合表格，利用函数的零点判定定理，推出结果即可．令f(x)=lnx−3x，由表格可知f(e)=1−1.10=−0.10<0，f(3)=1.10−1=0.10>0，可得f(e)f(3)<0，所以函数的零点在(e,3)之间．所以选：C．7.答案：B解析：本题考查了指数函数，对数函数的单调性，三角公式的应用，属于基础题．利用指数函数的单调性求出1<a <1.8，利用对数函数的单调性求出b >2，利用三角公式求出0<c <1，即可比较大小．∵1.80<1.80.8<1.81，∴1<a <1.8， b =log 25>log 24=2，∵c 2=(sin1−cos1)2=1−sin2<1，∴0<c <1， ∴b >a >c ， 所以选B ．8.答案：D解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据条件建立不等式关系是解决本题的关键，是中档题． 求出角ωπ−π4的范围，根据f(x)的图象与x 轴有交点，且值域M ⊆[−√32,+∞)的关系，建立不等式关系进行求解即可．当x ∈[0,π]时，ωx ∈[0,ωπ]，ωx −π4∈[−π4,ωπ−π4]， 要使f(x)的图象与x 轴有交点，则ωπ−π4≥0，得ω≥14， 设t =ωx −π4∈[−π4,ωπ−π4]，∵y =sin(−π4)=−√22，sin(π+π3)=−√32， ∴要使值域M ⊆[−√32,+∞)，则ωπ−π4≤π+π3，即ω≤1912，综上14≤ω≤1912，所以选：D ．9.答案：ABC解析：本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，属于基础题． 利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质逐个判断各个选项即可． 对于选项A ：∵a >0，∴√a⋅√a 2=√a⋅a 23=√a53=aa 56=a 16，所以选项A 正确，对于选项B ：81a ⋅3b 3a =34a ⋅3b 3a =34a+b3a =33a+b =3，所以选项B 正确，对于选项C ：∵log a 2=m ，log a 5=n ，∴a m =2，a n =5， ∴a 2m+n =a 2m ⋅a n =(a m )2⋅a n =22×5=20，所以选项C 正确，对于选项D ：1log 1419+1log 1513=1log 49+1log 53=log 94+log 35=log 32+log 35=log 310≠lg3，所以选项D 错误， 所以选：ABC ．10.答案：AC解析：本题考查了三角函数的图象变换，利用函数图象求解析式，熟练掌握函数图象的平移与伸缩变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 由图可知，A =2，T =π，由ω=2πT，求得ω的值，再将点(π6,2)代入函数f (x )的解析式中，求得φ，然后根据函数图象的平移与伸缩变换法则，即可得解． 由图可知，A =2，T =4×(5π12−π6)=π，所以ω=2πT=2，所以f (x )=2cos (2x +φ)，把点(π6,2)代入函数f (x )的解析式中，可得2=2cos(2×π6+φ)， 所以π3+φ=2kπ，k ∈Z ，即φ=2kπ−π3，k ∈Z ， 因为|φ|<π2，所以φ=−π3，所以f (x )=2cos (2x −π3)=2cos2(x −π6)，方法一：将y =2cosx 先横坐标变为原来的12倍，得到y =2cos2x ，再向右平移π6个单位，得到y =f (x )； 方法二：将y =2cosx 先向右平移π3个单位，得到y =2cos (x −π3)，再横坐标变为原来的12倍，得到y =f (x )． 所以选AC ．11.答案：AC解析：。
安徽省高一上学期期末考试数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，，则（ ）{}=1A x x ≤{}=Z 04B x x ∈≤≤A B = A ．B ．C ．D ． {}0<<1x x {}01x x ≤≤{}0<4x x ≤{}0,1【答案】D【分析】根据集合的交运算即可求解.【详解】由得，所以，{}=Z 04B x x ∈≤≤{}0,1,=2,3,4B {}0,1A B = 故选：D2．“”是“”的（ ） 6x π=1sin 2x =A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】若，则成立，逆命题不成立，可得出结论. 6x π=1sin 2x =【详解】当时，， 6x π=1sin 2x =所以“”是“”的充分条件， 6x π=1sin 2x =当时，或，， 1sin 2x =26x k ππ=+526x k ππ=+Z k ∈所以“”是“”的不必要条件， 6x π=1sin 2x =即“”是“”的充分不必要条件， 6x π=1sin 2x =故选：A.3．已知，则下列不等式成立的是0a b >>A ．BC ．D ．11a b >>lg lg a b <22a b -->【答案】B【分析】由于，可以根据分式、根式、对数式、指数式对应的函数的单调性直接分析即0a b >>可.【详解】∵，∴，. 0a b >>11a b<>lg lg a b >22a b --<只有B 正确．故选B ．【点睛】本题考查基本初等函数的单调性并利用单调性比较大小，难度较易.4．函数的定义域是（ ） ()12f x x =+A ． B ． [)3-+∞，[)32--，C ．D ． [)()322--⋃-+∞，，()2-+∞，【答案】C 【分析】根据解析式，列出不等式，求出使解析式有意义的自变量的范围，即可得出结果.【详解】因为， ()12f x x =++所以，解得且， 3020x x +≥⎧⎨+≠⎩3x ≥-2x ≠-即函数的定义域为. ()f x [)()322--⋃-+∞，，故选：C.【点睛】本题主要考查求具体函数的定义域，属于基础题型.5．已知函数，则的值为（ ） ()()sin ,042,0x x f x f x x π⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩()3f -A ．BC ．1D ．1-【答案】B 【解析】根据函数解析式，结合特殊角的三角函数值，即可求得结果.【详解】依题意()()()()()3321121sin4f f f f f π-=-+=-=-+===故选：B【点睛】本题考查分段函数函数值的求解，涉及特殊角的正弦值，属综合简单题.6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） 3()1x f x x +=+A ．B ． (1)1f x --(1)1f x -+C ．D ． (1)1f x +-(1)1f x ++【答案】A【分析】根据给定的函数，逐一计算各个选项中的函数，并分别判断作答.【详解】函数， 32()111x f x x x +==+++对于A ，，其图象关于原点对称，是奇函数，A 是； 2(1)1f x x --=对于B ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，B 不是； 2(1)12f x x-+=+对于C ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，C 不是； 2(1)12f x x +-=+对于D ，，其图象关于原点不对称，不是奇函数，D 不是. 2(1)122f x x ++=++故选：A 7．幂函数在区间上单调递增，且，则的值()()22251m m f x m m x +-=--()0,∞+0a b +>()()f a f b +（ ）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断 【答案】A【分析】由已知条件求出的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可m 【详解】由函数是幂函数，可得，解得或．()()22251m m f x m m x +-=--211m m --=2m =1m =-当时，；当时，．2m =()3f x x =1m =-()6f x x -=因为函数在上是单调递增函数，故．()f x ()0,∞+()3f x x =又，所以，0a b +>a b >-所以，则．()()()f a f b f b >-=-()()0f a f b +>故选：A ．8．德国著名的天文学家开普勒说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是两底角为的等腰三角形（另72︒一种是两底角为的等腰三角形）．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图36o所示，在其中一个黄金△ABC 中，sin 54°＝（ ） BC AC =A BCD【答案】C【分析】先求出，再借助倍角公式求出，通过诱导公式求出sin 54°.cos 72 cos144 【详解】正五边形的一个内角为，则，31801085⨯=︒72ABC ACB ∠=∠= ， 12cos cos 72BC ABCAB ∠===()2cos144cos 9054sin 542cos 721=+=-=-= sin54= 故选：C.二、多选题9．与角终边相同的角是（ ） 43π-A ．B ． 3π23πC ．D ． 43π103π-【答案】BD【分析】写出终边相同的角的集合，再判断选项.【详解】与角终边相同的角的集合是， 43π-42,3k k Z ααππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭当时，，当时，. 1k =23απ=1k =-103απ=-故选：BD10．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（ ）20ax bx c ++>{}2<<3x x A ． B ．0a <0c >C ．的解集为 D ．的解集为或 20cx bx a ++<11<<32x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭20cx bx a ++<1<3x x ⎧⎨⎩1>2x ⎫⎬⎭【答案】AD 【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入a<00c <5b a =-6c a =求解即可.20cx bx a ++<【详解】不等式的解集为20ax bx c ++>{}2<<3x x根据一元二次不等式解法可知，且， ∴a<05b a -=60c a =>0c ∴<故由上可知A 正确，B 错误；由，可知：将，代入 5b a -=6c a=5b a =-6c a =20cx bx a ++<2056ax x a a -∴+<由可得：，解得：或 a<026510x x -+>13x <12x >故的解集为或，C 错误，D 正确； 20cx bx a ++<1<3x x ⎧⎨⎩1>2x ⎫⎬⎭故选：AD11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭（ ）A ．2ω=B ．的图象关于直线对称 ()f x 5π12x =-C ．在上单调递减 ()f x 2ππ,36⎡⎤--⎢⎣⎦D ．该图象向右平移个单位可得的图象 π62sin 2y x =【答案】ABD【分析】由图象求得函数解析式，然后根据正弦函数性质及图象变换判断各选项．【详解】根据函数的部分图象，可得，()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭2A =，所以，故A 正确； 12πππ44312T ω=⨯=-2ω=利用五点法作图，可得，可得，所以，令，求得π2π3ϕ⨯+=π3ϕ=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5π12x =-，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故B 正确； ()2f x =-()y f x =5π12x =-当时，，函数没有单调性，故C 错误； 2ππ,36x ⎡⎤∈--⎢⎣⎦[]2,03x π+∈-π()f x 把的图象向右平移个单位可得的图象，故D 正确． ()f x π62sin 2y x =故选：ABD ．12．已知函数（且）在定义域内存在最大值，且最大值为()()()log 1log 3a a f x x x =-++0a >1a ≠，，若对任意，存在，使得，则实数的取值2()212x xm g x ⋅-=111,2x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]21,1x ∈-()()12f x g x ≥m 可以是（ ）A ．B ．0C ．D ．31-2log 7【答案】ABC【分析】先求出，得到时， ()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦11,2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦()[]2log 72,2.f x ∈-再由题意得到，即可求出m 的范围，对照四个选项即可得到正确答案.2log 722m --…【详解】定义域为.()f x ()3,1- ()()()()()22log 1log 3log 23log 14a a a a f x x x x x x ⎡⎤=-++=--+=-++⎣⎦由题意知时，，即.=1x -()2f x =log 42,2a a =∴=此时， ()()22log 14f x x ⎡⎤=-++⎣⎦时， 11,2x ⎡⎤∴∈-⎢⎥⎣⎦()[]2log 72,2.f x ∈-时，，由得. ()[]1,1,12x g x m x =-∴∈- min ()2g x m =-2log 722m --…2log 7m …对照四个选项，可以选:ABC.故答案为：ABC三、填空题 13．若是钝角，，则____________． α()1sin π4α-=tan α=【答案】/ 【分析】由诱导公式求得，再由同角关系式求得．sin αtan α【详解】， ()1sin πsin 4αα-==因为是钝角，所以． αcos α==sin tan cos ααα==故答案为：14．已知半径为3的扇形面积为，则这个扇形的圆心角为 ________ ． 32π【答案】3π【解析】由扇形的面积公式直接求解.【详解】由扇形面积公式， 21122S l r r α=⋅=⋅可得圆心角， 22322233S r ππα⨯===故答案为：. 3π【点睛】(1)在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷．(2)求扇形面积的最值应从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于α的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值.15．设二次函数（，）的值域是，则的最小值是()22f x mx x n =++m n ∈R [)0,∞+11m n+____________．【答案】2【分析】结合二次函数图象，由值域为，求得，，再由基本不等式求解即可.[)0,∞+0m >1mn =【详解】当二次函数的图象开口向上，且与轴有且只有一个交点时，其值域()22f x mx x n =++x 为，[)0,∞+∴，∴，，. 20Δ24440m mn mn >⎧⎨=-=-=⎩1mn =0m >0n >∴由基本不等式，， 112m n +≥=当且仅当时等号成立．1m n ==∴的最小值是． 11m n+2故答案为：.216．已知函数，若方程有3个实数根，则实数k 的取值范围是221,0()21,0x x f x x x x ⎧-<⎪=⎨-+≥⎪⎩()0f x k -=________.【答案】(0,1)【分析】将问题转化为与有3个交点，根据分段函数解析式确定的区间性质，结合()f x y k =()f x 函数图象判断交点情况，进而求k 的范围.【详解】由题意，方程有3个实数根，即为与有3个交点，()0f x k -=()f x y k =由的解析式知：当时，；当时，对称轴为且；图象如()f x 0x <()(0,1)f x ∈0x ≥1x =()[0,)f x ∈+∞下图示：∴当且仅当时，与有3个交点，即有3个实根.01k <<()f x y k =()0f x k -=故答案为：(0,1)【点睛】关键点点睛：转化为函数图象的交点问题，根据分段函数的性质，应用数形结合的方法确定参数的范围.四、解答题17．（1；)0m >（2）若，求的值．3log 41x =44x x -+【答案】（1）1；（2） 103【分析】（1）化成同底数指数幂的形式，底数不变指数相加减，即可求出结果.（2）通过方程求出x 的值，代入表达式即可.【详解】（1）原式． 1111115132423464051641m m m m m m m ++--⋅⋅====⋅（2）∵，3log 41x =∴， 431log 3log 4x ==∴． 4441log log 3log 33110444434333x x --+=+=+=+=18．已知集合,． {}22|240A x x ax a =-+-≤{}|12=-<<B x x(1)若，求；3a =A B ⋃(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．x A ∈x B ∈【答案】(1){}|15A B x x ⋃=-<≤(2)[0,1]【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；A （2）若“”是“”的必要不充分条件，则B 是A 的真子集，列不等式求解，即可得实数a x A ∈x B ∈的取值范围．【详解】（1）解：若，则，又3a ={}{}2|650|15A x x x x x =-+≤=≤≤{}|12=-<<B x x 所以；{}|15A B x x ⋃=-<≤（2）解：，{}{}22|240|22A x x ax a x a x a =-+-≤=-≤≤+因为“”是“”的必要不充分条件，所以B 是A 的真子集，x A ∈x B ∈所以，解得，所以实数a 的取值范围是． 2122a a -≤-⎧⎨+≥⎩01a ≤≤[0,1]19．已知函数. ()sin cos 1f x x x x =++(1)求的最小正周期和单调递增区间；()f x (2)当时，求的最大值和最小值. ,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】(1)，； π5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈(2)最大值，最小值.212【分析】（1）利用二倍角的正弦、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解作答. ()f x （2）在给定条件下求出（1）中函数的相位，再利用正弦函数的性质求解作答.【详解】（1）依题意，，则的最小正周期()1sin 221sin 2123f x x x x π⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭()f x ， 22T ππ==由，得， ()222Z 232k x k k πππππ-≤+≤+∈()5Z 1212k x k k ππππ-≤≤+∈所以的单调递增区间是. ()f x 5[,](Z)1212k k k ππππ-+∈（2）由（1）知，，由，得， ()sin 213f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦当，即时，有最大值， 232x ππ+=12x π=()f x 11212f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭当时，即时，有最小值. 236x ππ+=-4x π=-()f x 111422f π⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭20．已知函数，其中且． ()2ln 2mx f x x-=+0m >()()011f f +-=(1)求的值并写出函数的解析式；m (2)判断并证明函数的奇偶性；()f x (3)已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．()f x ()ln 3f x <x 【答案】(1)， 1m =()2ln2x f x x -=+(2)奇函数，证明见解析(3)()1,2x ∈-【分析】（1）由求解即可；()()011f f +-=（2）由函数奇偶性的定义判断并证明即可；（3）由，结合函数单调性求解即可. ()()()21ln 3ln 121f --==-+-【详解】（1）由已知，， ()()()2222411ln ln ln ln 2ln 0212133m m m m f f m -+--+-=+=++==+-∴，解得（舍）或， 2413m -=1m =-1m =∴． ()2ln 2x f x x -=+（2）为奇函数，证明如下：()f x ∵，∴由即，解得， ()2ln 2x f x x -=+202x x->+()()220x x -+>22x -<<∴的定义域为，()f x ()2,2-，都有，()2,2x ∀∈-()2,2x -∈-且，即， ()()()()()()2222ln ln ln ln102222x x x x f x f x x x x x -+-++-=+===+-+-()()f x f x -=-∴函数是定义在上的奇函数．()f x ()2,2-（3）∵在定义域上单调递减，， ()f x ()()()()212lnln 3ln 1221x f x f x ---=<==-++-∴解得，1x >-又∵的定义域为，()f x ()2,2-∴的取值范围是．x ()1,2-21．某公司生产“中国共产党成立100周年”纪念手册，向人们展示党的百年光辉历程，经调研，每生产万册，需要生产成本万元，若生产量低于20万册，；若生产量不低于x ()C x 2()20C x x x =+20万册，. 上市后每册纪念册售价50元，根据市场调查发现生产的纪念册2500()54500C x x x =+-能全部售出.(1)设总利润为万元，求函数的解析式（利润=销售额成本）；y ()y f x =-(2)生产多少册纪念册时，总利润最大？并求出最大值. 【答案】(1) 230,020()2500500(4),20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩(2)当生产25万册时，总利润最大，为300万元【分析】（1）按生产量不低于20万册和低于20万册两种情况分别去求函数的解析式； ()y f x =（2）分段求得函数的最大值，二者中较大者为最大总利润.()f x 【详解】（1）当时，020x <<22()50(20)30f x x x x x x =-+=-+当时， 20x ≥25002500()50(54500)500(4)f x x x x x x=-+-=-+所以 230,020()2500500(4),20x x x f x x x x ⎧-+<<⎪=⎨-+≥⎪⎩（2）当时，020x <<22()30(15)225f x x x x =-+=--+当时，取得最大值为22515x =()f x 当时，， 20x≥25004200x x +≥=（当且仅当，即时取得等号.） 25004x x =25x =所以，即当时，取得最大值为300. 2500()500(4)300f x x x=-+≤25x =()f x因为，所以当生产25万册时，总利润最大，为300万元.225300<22．已知函数，．()()412x x f x k k k =⋅-++R k ∈(1)若的最小值是，求的值．()f x 1-k (2)是否存在，使得当的定义域为时，的值域为？若存1k >()f x [](),0a b b a >>()f x 112,2a b ++⎡⎤⎣⎦在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．k 【答案】(1)； 13k =(2)不存在，理由见解析.【分析】（1）讨论、，结合换元法、二次函数的性质及最值求参数即可.0k =0k ≠()f x k （2）根据（1）及已知判断的单调性，进而将问题转化为有两个不同()f x ()14122x x x k k k +⋅-++=的正根，结合二次函数性质列不等式组求，即可判断存在性.k 【详解】（1）当时，，没有最小值，不符合题意．0k =()2x f x =-当时，设，则．0k ≠()20x t t =>()()21g t kt k t k =-++①当时，的图象开口向下，无最小值，则无最小值，不符合题意． 0k <()g t ()g t ()f x ②当时，对称轴，因为的最小值是， 0k >102k t k +=>()f x 1-所以， ()()2min 11111222k k k g t g k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫==-++=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简得，解得（舍去）或， 23210k k +-=1k =-13k =所以． 13k =（2）当时，由（1）知：，[],x a b ∈1t >当时，的对称轴， 1k >()()21g t kt k t k =-++()10,12k t k+=∈所以当时为增函数，即为增函数．1t >()g t ()f x 所以定义域为时，值域为可转化为有两个不同()f x [],a b ()f x 112,2a b ++⎡⎤⎣⎦()14122x x x k k k +⋅-++=的正根，．a b 所以有两个大于1且不相等的根．()230k t k t k ⋅-++=所以，解得， ()()220Δ34031230k k k k k k k k >⎧⎪=+->⎪⎪⎨+>⎪⎪-++>⎪⎩k ∈∅所以不存在满足题意的． k。
安徽高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数是幂函数，则下列关于说法正确的是（ ）()()321m f x m x -=-()f x A ．奇函数 B ．偶函数C ．定义域为D ．在单调递减[)0,∞+()0,∞+【答案】C【分析】根据函数为幂函数，得到，从而求出定义域和单调性，并得到既不是奇函2m =()12f x x =数，也不是偶函数. 【详解】为幂函数，故，解得：，()()321m f x m x-=-11m -=2m =所以，定义域为，不关于原点对称， ()12f x x =[)0,∞+所以既不是奇函数，也不是偶函数，AB 错误， ()12f x x =在上单调递增，D 错误. ()0,∞+故选：C2．已知集合，则＝（ ） 1{|1216}{|0}6xx A x B x x -=≤=≥-＜，R A C B ⋂A ．{x |1＜x ≤4} B ．{x |0＜x ≤6} C ．{x |0＜x ＜1} D ．{x |4≤x ≤6}【答案】A【分析】化简集合，按照补集定义求出，再按交集定义，即可求解. ,A B R C B 【详解】, {|1216}{|04}x A x x x =<=<≤≤或， 1{|0}{|16x B x x x x -=≥=≤-6}x >，{|16}R C B x x =<≤.R A C B ⋂4{|}1x x <≤=故选:A.【点睛】本题考查集合的混合运算，解题要注意正确化简集合，属于基础题. 3．“是第四象限角”是“是第二或第四象限角”的（ ）α2αA ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由象限角的知识结合充分和必要条件的定义作出判断.【详解】当是第四象限角时，，则，即α3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈3,42k k k Z παπππ+<<+∈是第二或第四象限角.当为第二象限角，但不是第四象限角，故“是第四象限角”2α324απ=32πα=α是“是第二或第四象限角”的充分不必要条件．2α故选：A4．设，，，则a ，b ，c 的大小关系是 0.40.5a =0.4log 0.3b =8log 0.4c =A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a【答案】C【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵0＜a=0.50.4＜0.50=1， b=log 0.40.3＞log 0.40.4=1， c=log 80.4＜log 81=0，∴a ，b ，c 的大小关系是c ＜a ＜b ． 故选C ．【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值的应用，有时候要0,1借助其“桥梁”作用，来比较大小． 5．下列说法中，正确的是（ ） A ．第二象限的角是钝角 B ．第二象限的角必大于第一象限的角 C ．是第二象限的角 D ．是终边相同的角150-︒25216,46744,118744'''-︒︒︒【答案】D【分析】根据已知条件，结合象限角的定义与终边相同的角的定义即可求解 【详解】对于A ：当角为是，该角为第二象限角，但不是钝角，故A 错误； 510︒对于B ：分别取第一象限的角为，第二象限角， 730︒510︒此时第一象限的角大于第二象限的角，故B 错误； 对于C ：是第三象限的角，故C 错误；150-︒对于D ：因为， 46744252162360,118744252164360''''︒=-︒+⨯︒︒=-︒+⨯︒所以是终边相同的角，故D 正确； 25216,46744,118744'''-︒︒︒故选：D了这种药，如果药在血液中以每小时的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那2500mg 20%么从现在起经过 （ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，lg 20.3010≈，结果精确到）lg30.4771≈0.1h A ．小时 B ．小时 C ．小时 D ．小时2.33.5 5.68.8【答案】A【分析】根据已知关系式可得不等式，结合对数运算法则解不等式即()5002500120%1500x≤⨯-≤可求得结果.【详解】设应在病人注射这种药小时后再向病人的血液补充这种药， x 则，整理可得：，()5002500120%1500x≤⨯-≤0.20.80.6x ≤≤，0.80.8log 0.6log 0.2x ∴≤≤，， 0.8lg 0.6lg 61lg 2lg 31log 0.6 2.3lg 0.8lg813lg 21-+-===≈-- 0.8lg 0.2lg 21log 0.27.2lg 0.83lg 21-==≈-，即应在用药小时后再向病人的血液补充这种药. 2.37.2x ∴≤≤ 2.3故选：A.7．关于函数，下列说法正确的是（ ）()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A ．在区间上单调递增B ．的图象关于直线对称 ()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭()f x 5π6x =C ．的图象关于点对称D ．的解析式可改写成()f x 5π,06⎛⎫⎪⎝⎭()f x πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】对于A ，由，可得，又由于在上不单调，从而π02x <<ππ5π2666x -<-<sin y x =π5π(,)66-可得在区间上也不单调，即可判断为错误；()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭对于B ，因为，取最小值，所以得的图象关于直线对称，从而判断为正15π6f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()f x 5π6x =确；对于C ，由选项B 可得的图象关于直线对称，从而判断为错误； ()f x 5π6x =对于D ，由诱导公式可得，从而判断为错误.()πcos(23f x x =-+【详解】解：对于A ，当时，，因为在上不单调，所以π02x <<ππ5π2666x -<-<sin y x =π5π(,)66-在区间上也不单调，故错误；()f x π0,2⎛⎫⎪⎝⎭5ππ9π3π3π所以的图象关于直线对称，故B 正确； ()f x 5π6x =对于C ，由选项B 可知，所以的图象关于直线对称，故错误；5π()16f =-()f x 5π6x =对于D ，因为，故错误.()ππππsin 2sin[(2)cos(2)6323f x x x x ⎛⎫=-=+-=-+ ⎪⎝⎭故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，且满足，当时，，若()f x R ()()11f x f x -=+[]0,1x ∈()22f x x =函数（其中且）恰有个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） ()log a y f x x =-0a >1a ≠6aA ．B ．C ．D ．()1,3()5,7【答案】B【分析】由函数（其中且）恰有个不同的零点，得()log a y f x x =-0a >1a ≠6()log 0a f x x -=，即，恰有个不同的解，，又得函数是周期函数，且最小正周()log a f x x =6()log a g x x =()f x 期，函数为偶函数，图象关于直线对称，根据数形结合及即可. 2T =()log a g x x =0x =【详解】由题知，因为函数（其中且）恰有个不同的零点， ()log a y f x x =-0a >1a ≠6所以，即，恰有个不同的解， ()log 0a f x x -=()log a f x x =6令()log a g x x =因为由函数是偶函数知，函数的图象关于轴对称， ()f x ()f x y 由， ()()()()1111f x f x f x f x -=+⇒-=+所以函数是周期函数，且最小正周期，()f x 2T =因为易知函数为偶函数，图象关于直线对称， ()log a g x x =0x =当时，由函数的图象与函数的图象知， 01a <<()f x ()log a g x x =函数的图象与函数的图象有且只有2个交点， ()f x ()log a g x x =即方程有且只有2个不相等的实数根，不符合题意，舍去； ()()f x g x =当时，在同一坐标系中作出函数图象与函数的图象， 1a >()f x ()g x即方程有6个不相等的实数根，()()f x g x =所以，1log 32log 52a a a>⎧⎪<⎨⎪>⎩a <<故选：B.二、多选题9．已知关于的不等式的解集为，则（ ） x 20ax bx c ++>()(),23,-∞-⋃+∞A ．B ．不等式的解集为a<00bx c ->{}|6x x <C ． D ．不等式的解集为420a b c ++<20ax bx a -+≥11,32⎡⎤-⎢⎣⎦【答案】BC【分析】根据题意结合韦达定理，即可得到，然后对选型逐一判断，即可得到结果. ,,a b c 【详解】∵关于的不等式的解集为，x 20ax bx c ++>()(),23,-∞-⋃+∞∴，即，；故选项A 错误；02323a b a c a ⎧⎪>⎪⎪-+=-⎨⎪⎪-⨯=⎪⎩=-b a ()60c a a =->不等式可化为，故不等式的解集为，故选项B 正确； 0bx c ->60x -<0bx c ->{}|6x x <，故选项C 正确；4242640a b c a a a a ++=--=-<∵，∴，20ax bx a -+≥20ax ax a ++≥即，且，所以的解集为R ，故选项D 错误； 210x x ++≥1430∆=-=-<210x x ++≥故选：BC.10．对于函数的定义域中任意的，有如下结论：当时，上述结论正确的()f x (),x x x x ≠()2x f x =是（ ）A ．B ．()()()1212f x x f x f x +=⋅()()()1212f x x f x f x ⋅=+C ．D ．()()12120f x f x x x ->-()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭【答案】AC【分析】利用指数幂的运算和指数函数的性质判断.【详解】对于A ，，，则，()21122x xf x x ++=()()221112222x x x x f x f x +⋅=⋅=()()()1212f x x f x f x +=⋅正确；对于B ，，，，错误；()21122x x f x x ⋅⋅=()()121222xx f x f x ++=()()()1212f x x f x f x ⋅≠+对于C ，∵在定义域中单调递增，∴，正确；()2xf x =()()12120f x f x x x ->-对于D ，，又， ()()()2112121221222222x x x x f x f x x x f +⎛⎫==++ +≤=⎪⎝⎭12x x ≠则，错误；()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭故选：AC ．11．已知，，则下列结论正确的是（ ） ()0,πθ∈1sin cos 5θθ+=A ．B ．C ．D ． π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ=-3tan 4θ=-7sin cos 5θθ-=【答案】ABD【分析】由题意得，可得，根据的范围，可()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-θ得，的正负，即可判断A 的正误；求得的值，即可判断D 的正误，联立可求sin θcos θsin cos θθ-得，的值，即可判断B 的正误；根据同角三角函数的关系，可判断C 的正误，即可得答sin θcos θ案.【详解】因为， 1sin cos 5θθ+=所以，则， ()21sin cos 12sin cos 25θθθθ+=+=242sin cos 25θθ=-因为，所以，，()0,πθ∈sin 0θ>cos 0θ<所以，故A 正确；π,2θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， ()249sin cos 12sin cos 25θθθθ-=-=所以，故D 正确； 7sin cos 5θθ-=联立，可得，，故B 正确；1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-所以，故C 错误. sin 4tan cos 3θθθ==-故选：ABD.12．设正实数，满足，则下列说法正确的是（ ）x y 23x y +=A．的最小值为4B ．的最大值为3yx y +xy 98C D ．的最小值为224x y +92【答案】ABD【解析】由可得，，然后可判断出CD 23x y +=23224yyx y y xx y xy x y ++=+=++≥=98xy ≤的正误.【详解】因为23x y +=所以，当且仅当，即时等号成立，故A 正23224yyx y y x x y xy x y ++=+=++≥+=y x x y=1x y ==确因为，当且仅当，即时等号成立，故B 正确23x y+=≥98xy ≤2x y =33,24x y ==因为，22336x y =++=+≤+=，故C 错误因为()22299249494824x y xy y x xy =+-=-≥-⋅=+所以D 正确 故选：ABD【点睛】易错点睛：运用基本不等式求解最值时，要验证是否满足“一正二定三相等”，否则容易出错.三、填空题13．求值：______. cos 600︒=【答案】1-【解析】利用诱导公式化简三角函数.【详解】()cos 600cos 360240cos 240=+=()cos 18060cos 60=+=-12=-故答案为：12-14．已知，，，则的值为___________.3sin 5α=(,)2παπ∈1tan()2πβ-=tan()αβ-【答案】 211-【分析】根据三角函数诱导公式及和差公式计算即可得出答案. 【详解】3π3sin πtan 524ααα⎛⎫=∈∴=- ⎪⎝⎭，根据诱导公式得： ()()()tan tan παβtan απβαβ⎡⎤-=+-=+-⎣⎦由正切函数的和差公式，且，上式可计算得： ()1tan πβ2-=()()()()31tan tan πβ242tan tan απβ311tan ·tan πβ11142ααβα-++-⎡⎤-=+-===-⎣⎦--⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭故答案为：. 211-15．已知，则的值是________． cos 21π2sin 4αα=⎛⎫+ ⎪⎝⎭sin 2α【答案】##0.875 78【分析】先利用两角差的正弦公式和二倍角的余弦公式化简可求得，再平方，结合平cos sin αα-方关系及二倍角的正弦公式即可得解.【详解】cos 2πsin 4αα==⎛⎫+ ⎪⎝⎭,)1cos sin 2αα=-=所以， cos sin αα-=则，即， ()21cos sin 8αα-=11sin 28α-=所以. 7sin 2α=故答案为：. 7816．已知 ，方程与的根分别为，若，则1a >e 0+-=x x a ln 0+-=x x a 12,x x 2212122=++m x x x x m的取值范围为___________． 【答案】()1,+∞【分析】由题意知，与图象交点的横坐标分别为，数形结合知e x y =ln y x =y a x =-12,x x ，结合，即可求解.12x x a +=1a >【详解】方程的根，即与图象交点的横坐标， e 0+-=x x a e x y =y a x =-方程的根，即与图象交点的坐标， ln 0+-=x x a ln y x =y a x =-而与的图象关于直线轴对称，如图所示：e x y =ln y x =y x =与交点为，，y a x =-y x =,22a a ⎛⎫⎪⎝⎭12x x a ∴+=，()22121222122∴+=+=+x x x x x x a 又，，即1a >22121221∴++>x x x x 1m >故答案为：()1,+∞四、解答题17．求（1）；21log 32.5log 6.25lg1002+++（2）.20.53221820.756427--⎛⎫⎛⎫-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】（1）；（2）32-1【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解. （2）利用指数幂的运算性质即可求解.【详解】（1）原式()22log 322.51log lg10ln 22225e ++=-⨯⋅. 2log 313222222=++-⨯=-（2）原式 122223931274468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22233132462⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22331391124421616⎛⎫⎛⎫=-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭18．在平面直角坐标系中，角的始边为轴的正半轴，终边在第二象限与单位圆交于点，xOy θx P 点的横坐标为. P 35-(1)求的值；cos 3sin 3sin cos θθθθ+-(2)若将射线绕点逆时针旋转，得到角，求的值.OP O 2πα22sin sin cos cos αααα--【答案】(1)35(2) 1925-【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义，求得的值，再利用同角三角函数的基本tan α关系，计算求得所给式子的值．（2）由题意利用诱导公式求得，再将化为，即3tan 4α=22sin sin cos cos αααα--22tan tan 1tan 1ααα--+可求得答案．【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限，的横坐标为，可求得纵坐标为，P P P 35-45所以，则． 434sin ,cos ,tan 553θθθ==-=-cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--（2）由题知，则，，则2παθ=+3sin(cos 5sin 2παθθ=+==-24cos cos()sin 5παθθ=+=-=- ， sin 3tan cos 4ααα==故 22222222sin sin cos cos tan 1sin sin cos cos sin cos tan tan 1ααααααααααααα------==++.2233()443()121951--==-+19．已知函数的最大值为5． π()2sin 26f x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(1)求a 的值和的最小正周期；()f x (2)求的单调递增区间．()f x 【答案】(1)，3a =πT =(2) πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦Z【分析】（1）根据正弦函数的值域结合题意可求得，再根据周期公式求周期即可；a （2）根据正弦函数的单调性结合整体思想即可得解.【详解】（1）由题意，，25a +=3a =； 2ππ2T ==（2）令，解得， πππ2π22π262k x k -≤+≤+ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈∴增区间为． πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 20．已知函数.()()()2lg 39f x x ax a R =++∈（1）若函数的定义域为，求实数a 的取值范围；()f x R （2）若对于任意，恒有，求实数a 的取值范围[)1,x ∞∈+()0f x >【答案】（1）；（2）. ()2,2-⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】（1）函数的定义域为转化为恒成立问题，利用判别式，求出a 的范围；()f x R （2）用分离参数法，把求a 的范围转化为恒成立问题，求最值.【详解】（1）因为函数的定义域为.()()2lg 39f x x ax =++R 所以恒成立，2390x ax ++>所以，解得，29360a =-<△22a -<<所以实数的取值范围为.a ()2,2-（2）若对于任意，恒有，[)1,x ∞∈+()0f x >则对于任意，恒有成立，[)1,x ∞∈+2391x ax ++>即对于恒成立， 83a x x>--[)1,x ∞∈+记，，则只需.()8g x x x=--[)1,x ∞∈+()max 3a g x >当时，，所以，[)1,x ∞∈+()(,g x ∈-∞-()max g x =-所以 3a >-a >所以实数的取值范围是. a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】求参数范围的方法:（1）不分离常数，转化为不等式，解不等式即可；（2）分离参数法.21．已知函数，． 5π()cos 416g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ππ,824x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦(1)求的值域；()g x (2)若关于x 的方程有两个不等的实根，求实数m 的取值范围．2()(2)()30g x m g x m +-+-=【答案】(1) 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)3m <≤ 【分析】（1）根据余弦函数的性质结合整体思想即可求得函数的值域；（2）令，则，令，则题目可转化为函数有两个不()t x g =30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2()(2)3f t t m t m =+-+-()f t 等的零点，再根据二次函数的性质即可得解.【详解】（1）当时，， ππ,824x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦5ππ4,π63x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以， 5π1cos 41,62x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以， 5π3()cos 410,62g x x ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦故的值域为； ()g x 30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）令，则， ()t x g =30,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦令，2()(2)3f t t m t m =+-+-根据题意，解得， ()()()2Δ243023022(0)30323930242m m m f m m f m ⎧=--->⎪-⎪<<⎪⎪⎨=-≥⎪⎪-⎛⎫=++-≥⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩3m <≤此时有两个不同的零点，而在上单调， ()f t ()t x g =ππ,824⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以.3m <≤22．已知函数是偶函数．()()2log 21x f x kx =+-(1)求的值；k (2)若函数，且在区间上为增函数，求m 的取值范围． ()()[]1224,1,2f x x x h x m x +=+⋅∈()h x [1,2]【答案】(1) 12k =(2)1[,)8-+∞【分析】（1）根据偶函数的定义列出等式结合对数的运算即可求解；（2）根据指数函数的单调性，利用复合函数的单调性法则，利用换元方法转化为二次函数的单调性问题，进而根据二次函数的单调性即可求解.【详解】（1）由是偶函数可得， ．()f x ()()0f x f x --=则， ()()()22log 21log 210x x k x kx -+---++=即 , 2212log 21x x kx x -+==+所以恒成立，(21)0k x -=故. 12102k k -=⇒=（2）由（1）得， ()()21log 212x f x x =+-所以， ()21()log (21)22424421x f x x x x x x h x m m m ++=+⋅=+⋅=⋅++令，则 ．[]2,1,2x t x =∈[]21,2,4y mt t t =++∈为使为单调增函数，则()h x ①时显然满足题意；0m =②； 00122m m m>⎧⎪⇒>⎨-≤⎪⎩③. 0101842m m m<⎧⎪⇒-≤<⎨-≥⎪⎩综上：m 的范围为. 1,8⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
合肥市高一上学期数学期末考试试卷(II)卷(测试)
合肥市高一上学期数学期末考试试卷（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共12分)1. （1分）下列三种叙述，正确的有（）①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个2. （1分） (2018高一下·安庆期末) 下列说法正确的是（）A . 相等的角在直观图中仍然相等B . 相等的线段在直观图中仍然相等C . 正方形的直观图是正方形D . 若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3. （1分） (2017·晋中模拟) 我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．“势”即是高，“幂”即是面积．意思是说如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．已知某不规则几何体与如图所对应的几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为（图中的网格纸中的小正方形的边长为1）（）A . 4B . 8C . 16D . 204. （1分） (2018高二上·北京月考) 边长为正四面体的表面积是（）A . ；B . ；C . ；D .5. （1分） (2019高三上·洛阳期中) 在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P，Q，R分别为棱AA1 ，BC，C1D1的中点，经过P，Q，R三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的面积为（）A .B .C .D .6. （1分） (2016高一上·舟山期末) 若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（）A . α内的所有直线都与a异面B . α内的直线都与a相交C . α内不存在与a平行的直线D . 直线a与平面α有公共点7. （1分） (2019高一上·武威期末) 若某直线过(3,2),(4,2+ )两点,则此直线的倾斜角为（）.A . 30°B . 60°C . 120°D . 150°8. （1分）过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线与过点P（1，2），Q（﹣5，0）的直线垂直，则m的值为（）A . -2B . 2C .D . -9. （1分）(2013·新课标Ⅰ卷理) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A .B .C .D .10. （1分） (2018高三上·湖南月考) 已知圆上有且只有两个点到直线的距离等于1，则半径的范围是（）A .B .C .D .11. （1分）(2019·呼和浩特模拟) 过坐标轴上一点作圆的两条切线，切点分别为、 .若，则的取值范围是（）A .B .C .D .12. （1分） (2019高二上·慈溪期中) 已知点M(-2，1，3)关于坐标平面xOz的对称点为A，点A关于y轴的对称点为B，则|AB|=（）A . 2B .C .D . 5二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC ，AE⊥DC ， M ， N分别是AD ， BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，则下列说法正确的是________(填序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置，都有MN⊥AE；③不论D 折至何位置(不在平面ABC内)，都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.14. （1分）如图所示，G ， H ， M ， N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ， MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．15. （1分） (2016高二上·定州开学考) 过点P（1，2）且在x轴，y轴上截距相等的直线方程是________．16. （1分）直线2xcosα﹣y﹣3=0（α∈[ ， ]）的倾斜角的范围是________．三、解答题 (共6题；共10分)17. （2分） (2018高一上·兰州期末) 已知四棱锥P－ABCD的体积为，其三视图如图所示，其中正视图为等腰三角形，侧视图为直角三角形，俯视图是直角梯形．（1）求正视图的面积；（2）求四棱锥P－ABCD的侧面积．18. （2分）(2014·大纲卷理) 如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=1，AC=CC1=2．（1）证明：AC1⊥A1B；（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1﹣AB﹣C的大小．19. （2分） (2016高二下·大丰期中) 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知∠BAC=90°，AB=AC=1，AA1=3，点E，F分别在棱BB1 ， CC1上，且C1F= C1C，BE=λBB1 ， 0＜λ＜1．（1）当λ= 时，求异面直线AE与A1F所成角的大小；（2）当直线AA1与平面AEF所成角的正弦值为时，求λ的值．20. （1分） (2015高二上·西宁期末) 圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，（1）若弦长，求直线AB的倾斜角；（2）若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．21. （1分） (2016高一下·随州期末) 已知直线l1经过点A（﹣3，0），B（3，2），直线l2经过点B，且l1⊥l2 ．（1）求经过点B且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程；（2）设直线l2与直线y=8x的交点为C，求△ABC外接圆的方程．22. （2分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，圆C的参数方程为.在极坐标系（与平面直角坐标系取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，直线l的方程为（1）求圆C的普通方程及直线l的直角坐标方程；（2）设圆心C到直线l的距离等于2，求m的值．参考答案一、单选题 (共12题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共10分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
安徽省高一上学期期末考试数学试卷
考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚．3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂里：非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．4．本卷命题范围：人教A 版必修第一册第一章一第五章第3节．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）5{1,3,5,7},02x A B x x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭∣…A B = A. {1，3} B. {3，5}C. {5，7}D. {1，7}【答案】B 【解析】【详解】由，得，解得， 502x x -≤-(2)(5)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩25x <≤所以， {}25B x x =<≤因为 {}1,3,5,7A =所以． {3,5}A B = 故选：B ． 2. 函数的定义域为（ ）()f x =A. [0，1) B. (－∞，1) C. (1，+∞) D. [0，+∞) 【答案】A 【解析】【详解】已知()f x =则，解得，即函数的定义域为.()1210log 10x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩01x ≤<()f x [)0,1故选：A3. 已知角α的终边过点P (4，－3)，则sinα＋cosα的值是（ ） A.B. C.D. 1515-7575-【答案】A 【解析】【详解】∵知角α的终边经过点P （4，-3）， ∴sin α，cos α，35-==45=∴sin α+cos α． 15=故选：A ．4. 已知则“”是“”的（ ） R α∈1cos 2α=-22,Z 3k k παπ=+∈A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【详解】因为，解得， 1cos 2α=-22,3k k παπ=±∈Z ∴“”是“”的必要不充分条件. 1cos 2α=-22,3k k παπ=+∈Z 故选：B .5. 已知函数是幂函数，且为偶函数，则实数（ ）()2222()1mm f x m m x--=--m =A. 或 B.C.D.21-1-42【答案】D 【解析】【详解】由幂函数的定义知，解得或． 211m m --=1m =-2m =又因为为偶函数，所以指数为偶数，故只有满足．()f x 222m m --2m =故选：D ．6. 设，，，则下列选项正确的是（ ） 12a =2log 3b =51log 4c =A. B.a b c <<a c b <<C. D.c a b <<b a c <<【答案】C 【解析】【详解】根据对数函数和在都是单调递增函数可知，2log y x =5log y x =()0,∞+，即；22log 3log 21>=1b >，即； 551log log 104=<0c <可得. c a b <<故选：C7. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步.假设在2022年以后，我国每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP 翻两番的目标的年份为（参考数据：，lg 20.3010=）（ ）lg 30.4771=A. 2032 B. 2035C. 2038D. 2040【答案】D 【解析】【详解】设2022年我国GDP （国内生产总值）为a ，在2022年以后，每年的GDP （国内生产总值）比上一年平均增加8%，则经过n 年以后的GDP （国内生产总值）为，()18%na +由题意，经过n 年以后的GDP （国内生产总值）实现翻两番的目标，则()18%4na a +=， 所以lg 420.301020.301027lg1.083lg 32lg 5lg 25n ⨯⨯===-，20.301020.301020.30100.6020183lg32(1lg 2)3lg32lg 2230.477120.301020.0333⨯⨯⨯===≈--+-⨯+⨯-=所以到2040年GDP 基本实现翻两番的目标. 故选：D.8. 已知函数，若关于x 的方程有且仅有一个实数根，则ln ,0()21,0xx x f x e x ⎧>=⎨-≤⎩()f x a =实数a 的取值范围为（ ） A.B.(]0,1[1,)+∞C. D.(,1)-∞()1,0-【答案】D 【解析】【详解】作出函数的图象如下， ln ,0()21,0xx x f x e x ⎧>=⎨-≤⎩由图可知，当时，直线与的图象仅有一个交点， 10a -<<y a =()f x 即关于x 的方程有且仅有一个实数根，()f x a =所以. 10a -<<故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 如果是第四象限角，那么可能是（ ）2θθA. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角【答案】BD 【解析】【详解】解：由已知得，，所以，，2222k k ππθπ-<<Z k ∈4k k ππθπ-<<Z k ∈当为偶数时，在第四象限，当为奇数时，在第二象限，即在第二或第四象限． k θk θθ故选：BD ．10. 命题p ：，是假命题，则实数b 的值可能是（ ） x ∃∈R 210x bx ++≤A. B. C. 2 D.74-32-52【答案】B 【解析】【详解】因为命题p ：，是假命题，x ∃∈R 210x bx ++≤所以命题：，是真命题，也即对，恒成x ∀∈R 210x bx ++>x ∀∈R 210x bx ++>立，则有，解得：，根据选项的值，可判断选项符合， 240b ∆=-<22b -<<B 故选：. B 11. 若函数(且)的图像经过第一、二、三象限，则（）()x f x a b =-0a >1a ≠A. B.C.D.01b a <<01a b <<1b a >1a b >【答案】BC 【解析】【详解】解：因为函数(且)的图像经过第一、二、三象限，()x f x a b =-0a >1a ≠所以，，1a >()()010,101f b b =-∈⇒<<所以是增函数，是减函数，x y a =x y b =则，， 01b a a >=101a b b <<<故选：BC. 12. 已知函数的定义域为A ，若对任意，存在正数M ，使得成()f x x A ∈()f x M ≤立，则称函数是定义在A 上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（ ）()f xA. B. 3()4xf x x+=-()f x =C.D. 25()22f x x x =-+(f x 【答案】BCD【解析】【详解】对于A ，，由于，所以3(4)77()1444x x f x x x x +--+===-+---704x≠-，所以，故不存在正数M ，使得成立.()1f x ≠-()[)0,f x ∈+∞()f x M ≤对于B ，令，则，，故存在正数1，使21u x =-[]0,1u ∈()f x =()[]0,1f x ∈得成立. ()1f x ≤对于C ，令，则，易得.所以2222(1)1u x x x =-+=-+()5f x u =1u ≥，即，故存在正数5，使得成立. ()5051f x <≤=()(]0,5∈f x ()5f x ≤对于D ，令，，则t =[]0,2t ∈24x t =-，易得，所以[]()22117()40,224f x t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭()1724f x ≤≤，故存在正数，使得成立.()172,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦174()174f x ≤故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 半径和圆心角都是的扇形的面积为____________． π3【答案】3π54【解析】【详解】解：扇形的面积，23211πππ223354S r α⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭故答案为：3π5414. 已知函数的零点为，则，则()3log 26x f x x =+-()(),1N a n n n ∈+∈n =______． 【答案】2 【解析】【详解】∵函数，函数在上单调递增，()3log 26x f x x =+-()0,∞+又，()()233332log 226log 220,3log 32630f f =+-=-<=+-=>∴，即.()2,3a ∈2n =故答案为：2. 15. 若，则的最小值为___________. 111(0,0)a b a b+=>>2a b +【答案】## 3+【解析】 【详解】由，得111(0,0)a b a b+=>>.当且仅当，1122(2)2133a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++++=+ ⎪⎝⎭…2a b b a =即，时，取得最小值.a =1b =+2a b +3+故答案为：. 3+16. 已知定义在上的偶函数满足，若，R ()f x ()32()0x f x x x =+≥()()1f m f m -≥则实数的取值范围是________________________． m 【答案】 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【详解】因为在上递增，所以在上递增.3,2x y x y ==[0,)+∞()f x [0,)+∞因为为偶函数，所以等价于，()f x ()()1f m f m -≥()()|1|f m f m -≥即，解得， 1mm -≥12m ≤故答案为:. 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知集合，，.{}1128x A x +=≤≤()(){}10B x x a x a =---<a R ∈（1）若，求实数a 取值范围；1B ∈（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. x B ∈x A ∈【答案】（1）；（2）. 01a <<[1,1]-【解析】【详解】（1）若，则，得；1B ∈()10aa --<01a <<（2）由，得，即，1128x +≤≤013x ≤+≤12x -≤≤所以，， {}12A x x =-≤≤()(){}{}101B x x a x a x a x a =---<=<<+因为“”是“”的充分不必要条件，所以B 是A 的真子集，x B ∈x A ∈即，解得.112a a ≥-⎧⎨+≤⎩11a -≤≤即实数a 的取值范围是.[]1,1-18. 已知，是第三象限角,求：cos α=α（1）的值；tan α（2）的值. 3sin cos()tan()2cos(2)sin()tan()παπααππαπαα⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭---【答案】（1）2 （2） 12【解析】【详解】（1）由题意，是第三象限角，则， αsin 0α<又，cos α=sin α∴== sin tan 2cos ααα∴==（2）由诱导公式 原式cos (cos )(tan )cos sin (tan )αααααα-⋅-⋅-=⋅⋅- cos sin αα=12=19. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，函数在()f x R 0x ≤2()f x x mx =+()f x y 轴左侧的图象如图所示．（1）求函数的解析式；()f x （2）讨论关于x 的方程的根的个数．()0f x a -=【答案】（1）；（2）具体见解析．222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩【解析】【详解】解：（1）由图可知，解得．2(2)(2)(2)0f m -=-+⨯-=2m =设，则，0x >0x -<∵函数是定义在上的偶函数， ()f x R ∴， 22()()2()2()f x x x x x f x -=-+-=-=∴．2()2(0)f x x x x =->∴．222,(0),()2,(0),x x x f x x x x ⎧+≤=⎨->⎩（2）作出函数的图象如图所示：()f x．min ()(1)(1)1f x f f =-==-由图可知，当时，关于x 的方程的根的个数为0； 1a <-()0f x a -=当或时，关于x 的方程的根的个数为2； 0a >1a =-()0f x a -=当时，关于x 的方程的根的个数为4； 10a -<<()0f x a -=当时，关于x 的方程的根的个数为3． 0a =()0f x a -=20. 已知函数（且）为奇函数.()()()log 1log 1a a f x bx x =+--0a >1,0a b ≠>（1）求的定义域；()f x （2）求关于的不等式的解集.()0f x >【答案】（1）；（2）当时，解集为；当时，解集为；()1,1-1a >()0,101a <<()1,0-【解析】【详解】（1）因为函数为奇函数，所以，()f x ()()f x f x -=-即，()()()()log 1log 1log 1log 1aa a a bx x bx x --+=-++-所以，得，又因为，所以 22211b x x -=-21b =0b >1b =根据解析式可得，，所以.所以的定义域为，1010x x +>⎧⎨->⎩11x -<<()f x ()1,1-（2）解不等式，即解 ()()()log 1log 10a a f x x x =+-->1log 01axx+>-当时，等价于，即，解得； 1a >1log 01ax x +>-111x x +>-201xx >-01x <<当时，等价于，即，解得或， 01a <<1log 01ax x +>-111x x +<-201xx<-0x <1x >又因为，所以解集为. 11x -<<10x -<<综上，当时，解集为；当时，解集为；1a >()0,101a <<()1,0-21. 某书商为提高某套丛书的销售量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价()100.1x -格改革，每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为20元，浮动价格(单位：元)与销售量(单位：万套)成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价供货价格.（1）求每套丛书利润与售价的函数关系，并求出每套丛书售价定为80元时，书商能获y得的总利润是多少万元？（2）每套丛书售价定为多少元时，每套丛书的利润最大？并求出最大利润.【答案】（1），总利润为(万元)；（2）当元()100200100100y x x x=--<<-11090时，每套利润最大为元.60【解析】【详解】（1）∵∴ 0100.10x x >⎧⎨->⎩0100x << ()1010020200100100.1100y x x x x x ⎛⎫=-+=--<< ⎪--⎝⎭当时，(元) 80x =10080205510080y =--=-此时销量为(万件)100.1802-⨯=总利润为(万元)255110⨯=（2） 10020100y x x=---∵0100x <<∴1000x ->∴ ()100100808060100y x x ⎡⎤=-+-+≤-=⎢⎥-⎣⎦当且仅当，即元时，每套利润最大为元.． 100100100x x=--x =906022. 已知e 是自然对数的底数，． ()e e 1x x f x =+（1）判断函数在上的单调性并证明你的判断是正确的； ()f x [)0+∞，（2）记，若对任意的()(){}ln 3()e 1ln 32x g x a f x a x -⎡⎤=--+--⎣⎦()0g x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．[)0,x ∈+∞【答案】（1）函数在上单调递增，证明见解析()f x [)0+∞，（2）[1,3]【解析】【小问1详解】解：函数在上单调递增，证明如下： ()f x [)0+∞，任取，且， 12,[0,)x x ∈+∞12x x <则 ()()12121211e e e e x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()12121212111e e e e 1e e e e x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为，且，所以， 12,[0,)x x ∈+∞12x x <21e e 1x x >≥所以，，， 12e e 0x x -<12e e 1x x >12110e e x x ->故，即，()()120f x f x -<()()12f x f x <所以在上单调递增.()f x [0,)+∞【小问2详解】，()ln (3)e 1ln 32x g x a a x ⎡⎤=-+--⎣⎦问题即为恒成立，显然， ln (3)e 1ln 32xa a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦0a >首先对任意成立，即 (3)e 10x a -+>[0,)x ∈+∞13,e 0,x a a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩因为，则，所以. [0,)x ∈+∞1334e x <+≤03a <≤其次，，即为,ln (3)e 1ln 32x a a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦2(3)e 13e x x a a -+≤即成立，亦即成立, 23e (3)e 10x x a a +--≥()()3e 1e 10x x a +-≥因为，所以对于任意成立，3e 10x +>e 10x a -≥[0,)x ∈+∞即，所以. max1e x a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭1a ≥综上，实数的取值范围为.[1,3]。
2022-2023学年安徽省合肥市一中、合肥六中高一上数学期末质量检测试题含解析
【详解】解：（1）
令 ，得
所以函数 图象的对称轴方程为：
（2）由（1）知， ，
当 时， ，
∴ ， ，即
令 ，
则 ， ，
由
得 ，
∴当 时， 有最小值 ，
当 时， 有最大值1，
所以当 时，函数 的值域为
，
当且仅当 ，即 时等号成立．所以 的最大值为1
（2）因为 且 ，
所以
，
当且仅当 ，即 时等号成立．所以所求最小值为2
20、（1） ；（2） ；（3） .
【解析】（1）利用两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后结合正弦函数的对称性得解；
（2）令 ，换元，化函数为 的二次函数，求出 ，由此可值域；
（3） 与 定义与相同，对应关系不同，不是同一函数；
（4） 与 定义相同，对应关系一致，是同一函数；
（5） 与 对应关系不同，不是同一函数；
故选：C.
9、A
【解析】先求 的坐标，再由向量垂直数量积为0，利用坐标运算即可得解.
【详解】由向量 ， ，知 .
若 ，则 ，解得 或-3.
故选A.
【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示，属于基础题.
故答案为：
14、
【解析】根据正切函数定义计算
【详解】由题意
故答案为：
15、 ；
【解析】作图可知:
点睛：利用函数零点 情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
安徽省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） (21)f x +()1,0-()f x A ． B ．C ．D ．()1,1-11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭()1,0-1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数的定义域为，求得，即可得出的定义域. (21)f x +()1,0-1211x -<+<()f x 【详解】由题意，函数的定义域为， (21)f x +()1,0-可得，则， 10x -<<1211x -<+<所以函数的定义域为. ()f x ()1,1-故选：A.2．设函数的定义域为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是()(),f x g x R ()f x ()g x （ ）A ．是偶函数B ．是奇函数 ()()f x g x ()()f x g xC ．是奇函数D ．是奇函数()()f x g x ()()f x g x 【答案】C【分析】利用函数的奇偶性对选项逐一说明即可. 【详解】易知选项ABCD 中的函数定义域即为；R 因为是奇函数，是偶函数，所以， ()f x ()g x ()()()(),f x f x g x g x -=--=对于A ，，故是奇函数，即A 错误；()()()()f x g x f x g x --=-()()f x g x 对于B ，，故是偶函数，即B 错误； ()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=()()f x g x 对于C ，，故是奇函数，即C 正确；()()()()f x g x f x g x --=-()()f x g x 对于D ，，故是偶函数，即D 错误； ()()()()()()f x g x f x g x f x g x --=-=()()f x g x 故选：C.3．已知函数是定义域上的递减函数，则实数a 的取值范围是()21(1)3,(1),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩（ ）A ．B ．C ．D ．2,15⎛⎫ ⎪⎝⎭20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦22,53⎛⎤ ⎝⎦2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由指数函数的单调性知，即二次函数是开口向下的，利用二次函数的对称轴与101a <<比较，再利用分段函数的单调性，可以构造一个关于a 的不等式，解不等式即可得到实数a 的取值范围．【详解】函数是定义域上的递减函数，()21(1)3,(1),(1)x a x ax a x f x a x -⎧-++≥=⎨<⎩当时，为减函数，故；1x <()1x f x a -=01a <<当时，为减函数，由，得，开口向下，对称轴为1x ≥()2(1)3f x a x ax a =-++1a <10a -<，即，解得；12(1)a x a -=≤-2(1)a a -≥-23a ≤当时，由分段函数单调性知，，解得； 1x =211(1)113a a a a --⨯+⋅+≤25a ≤综上三个条件都满足，实数a 的取值范围是20,5⎛⎤⎥⎝⎦故选：B.【点睛】易错点睛：本题考查分段函数的单调性，函数单调性的性质，其中解答时易忽略函数在整个定义域上为减函数，则在分界点处（）时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，考查学1x =生的分析能力与运算能力，属于中档题.4．某种产品的有效期（单位：天）与储藏的温度（单位：℃）满足关系式（y x e kx b y +=，、为常数），若该产品在0℃下的有效期为192天，在33℃下的有效期是242.71828e =⋅⋅⋅k b 天，则该产品在22℃的有效期为（ ） A ．45天 B ．46天 C ．47天 D ．48天【答案】D【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出，的值，运k e b e 用指数幂的运算性质求解即可．22k b e +【详解】解：为自然对数的底数，，为常数）． e kx b y +=( 2.718e =⋯k b 当时，， 0x =192b e =当时，33x =3324k b e += 338241192k e ∴==1112k e =192b e =当时，22x =2211221()()()192482k bk b e e e +==⨯=A 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解，属于基础题．5．已知函数，，若恰有2个零点，则实数a 的取值范围是(),0ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩()()g x f x a =+()g x （ ） A ． B ．C ．D ．()1,0-[)1,0-()0,1(]0,1【答案】B【分析】利用数形结合的方法，作出函数的图象，简单判断即可. ()f x 【详解】依题意，函数的图象与直线有两个交点， ()y f x =y a =-作出函数图象如下图所示，由图可知，要使函数的图象与直线有两个交点，则，即. ()y f x =y a =-01a <-≤10a -≤<故选：B .【点睛】本题考查函数零点问题，掌握三种等价形式：函数零点个数等价于方程根的个数等价于两个函数图象交点个数，属基础题.6．若函数是幂函数，且其图像过点，则函数()()()3,af x m x m a R =+∈(的单调递增区间为 ()()2log 3a g x x mx =+-A ．B ．C ．D ．(),1-∞-(),1∞-()1,+∞()3,+∞【答案】A【分析】由幂函数的定义可得，由其图像过点，则， 31m +=(2α=12α=由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区间， ()y g x =223,(0)t x x t =-->一定要注意对数的真数要大于0，再求单调区间即可.【详解】解：因为，()()()3,af x m x m a R =+∈则，即， 31m +=2m =-又其图像过点， (则， 2α=12α=则， ()()212log 23g x x x =--由复合函数的单调性有：的单调递增区间等价于的减区()()212log 23g x x x =--223,(0)t x x t =-->间，又的减区间为， 223,(0)t x x t =-->(),1-∞-故选A.【点睛】本题考查了幂函数的定义及复合函数的单调性，重点考查了对数的真数要大于0，属中档题.7．若函数的图像和函数的图像关于对称，则解析式为()y f x =sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,02P π⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x （ ）A ．B ．()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()sin 4f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C ．D ．()cos 4f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()cos 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题可知，点关于对称的点，将点代入函数(),x y ,02P π⎛⎫⎪⎝⎭(,)x y π--(,)x y π--，即可得出解析式.sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 【详解】解：根据题意，设函数上的点，()y f x =(),x y 则点关于对称的点在函数上，(),x y ,02P π⎛⎫ ⎪⎝⎭(,)x y π--sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∴关于的对称函数为：sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,02P π⎛⎫ ⎪⎝⎭sin ()sin 44y x x ππππ⎡⎤⎛⎫-=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，sin sin 44x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴和关于对称，sin 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,02P π⎛⎫ ⎪⎝⎭所以.()sin 4f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故选：B.8．已知函数的图象关于直线对称，则=()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<1x =sin2ϕA ．B ．C ．D ．3535-45-45【答案】C【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以()()()sin 2cos 0y x x πϕπϕϕπ=+-+<<1x =，()()sin 2cos πϕπϕ+-+=22sin 2cos sin 4sin cos 4cos 5ϕϕϕϕϕϕ-+=-+=22214sin 4sin cos cos 0(2sin +cos )0tan -,2ϕϕϕϕϕϕϕ-+=∴=∴=因此，选C.2222sin cos 2tan -14sin 2-1sin cos tan 1514ϕϕϕϕϕϕϕ====+++二、多选题9．已知命题：，，则命题成立的一个充分不必要条件可以是下列选项中p R x ∀∈240x ax ++>p 的（ ） A ． B ． []1,1a ∈-()4,4a ∈-C ． D ．[]4,4a ∈-{}0a ∈【答案】AD【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合充分不必要条件与集合的关系进行求解即可. 【详解】若命题:，成立，则，解得，p R x ∀∈240x ax ++>2160a ∆=-<44a -<<故命题成立的充分不必要条件是属于的真子集，因此选项AD 符合要求，故AD 正确. p a ()4,4-故选：AD.10．下列命题是真命题的是（ ）A ．若幂函数过点，则()a f x x =1,42⎛⎫⎪⎝⎭12α=-B ．，(0,1)x ∃∈121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭C ．， (0,)x ∀∈+∞1123log log x x>D ．命题“，”的否定是“，” x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R sin cos 1x x +≥【答案】BD【解析】根据幂函数的定义判断，结合图象判断，根据特称命题的否定为全称命题可判断.A BC D 【详解】解：对于：若幂函数过点，则解得，故错误； A ()af x x =1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭142aæöç÷=ç÷èø2α=-A 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示B 12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭12log y x=由图可知，，故正确；(0,1)x ∃∈121log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭B 对于：在同一平面直角坐标系上画出与两函数图象，如图所示C 13log y x =12log y x =由图可知，当时，，当时，，当时，，(0,1)x ∈1123log log x x >1x =1123log log x x =(1,)x ∈+∞1123log log x x <故错误；C 对于：根据特称命题的否定为全称命题可知，命题“，”的否定是“，D x ∃∈R sin cos 1x x +<x ∀∈R ”，故正确；sin cos 1x x +≥D 故选：BD 【点睛】本题考查指数函数对数函数的性质，幂函数的概念，含有一个量词的命题的否定，属于基础题.11．设函数，，则（ ） ()|cos ||cos 2|f x x a x b =+++,a b R ∈A ．的最小正周期可能为B ．为偶函数()f x 2π()f xC ．当时，D ．存a ，b 使在上单调递增0a b ==()f x ()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BCD【解析】A ．分析是否恒成立；B ．分析函数定义域，根据的关系判()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()(),f x f x -断是否为偶函数；C ．采用换元法，将写成分段函数的形式，然后分析每一段函数的取值范()f x 围，由此确定出最小值；D ．分析时的情况，根据复合函数的单调性判断方法进行分析判1a b ==-断.【详解】A ．因为，cos cos 2sin cos 2222f x x a x b x a x b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+++++=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，所以不一定成立，()011,12f a b f a b π⎛⎫=+++=-+ ⎪⎝⎭()02f f π⎛⎫= ⎪⎝⎭所以不恒成立，所以的最小正周期不可能为，故错误；()2f x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 2πB ．因为的定义域为，关于原点对称；()f x R 又因为， ()()()()cos cos 2cos cos 2f x x a x b x a x b f x -=-++-+=+++=所以为偶函数，故正确；()f x C ．因为，所以，所以0a b ==()cos cos 2f x x x =+()2cos 2cos 1f x x x =+-令，记，所以，[]cos 1,1x t =∈-[]221,1,1y t t t =+-∈-222221,1,21,21,21,t t t t t t y t t t t t t ⎧⎡--∈-⎪⎢⎪⎣⎪⎡⎫⎪--+∈⎪⎢⎪⎪⎪⎣⎭=⎨⎡⎪-++∈⎢⎪⎣⎪⎪⎤⎪+-∈⎥⎪⎦⎩当时，，1,t ⎡∈-⎢⎣222191921224848y t t t ⎛⎫⎛⎫=--=-->-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时，t ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭222191921224848y t t t⎛⎫⎛⎫=--+=-++≥-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当时， t ⎡∈⎢⎣222191921224848y t tt ⎫⎛⎫=-++=--+>-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭当时，， t ⎤∈⎥⎦222191921224848y t t t ⎫⎛⎫=+-=+-≥-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭综上可知：的最小值为，取最小值时()2cos 2cos 1f x x x =+-cos t x ==D ．取，所以，所以，1a b ==-()|cos 1||cos 21|f x x x =-+-()1cos 1cos 2f x x x =-+-所以，所以，()22cos cos 3f x x x =--+()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭又因为在上单调递减，且时，，且在cos y x =0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()cos 0,1x ∈2125248y t ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭时单调递减，()0,1t ∈根据复合函数的单调性判断方法可知：在上单调递增，()21252cos 48f x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭所以存在使在上单调递增，故正确，1a b ==-()f x 0,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选：BCD.【点睛】思路点睛：复合函数的单调性的判断方法：()()f g x （1）先分析函数定义域，然后判断外层函数的单调性，再判断内层函数的单调性； （2）当内外层函数单调性相同时，则函数为递增函数； （3）当内外层函数单调性相反时，则函数为递减函数.12．对于函数，下列四个结论正确的是（ ）sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩A ．是以为周期的函数()f x πB ．当且仅当时，取得最小值-1 ()x k k ππ=+∈Z ()f x C ．图象的对称轴为直线()f x ()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当时，22()2k x k k πππ<<+∈Z 0()f x <≤【答案】CD【解析】求得的最小正周期为，画出在一个周期内的图象，通过图象可得对称轴、最()f x 2π()f x 小值和最大值，即可判断正确答案．【详解】解：函数的最小正周期为，sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ⎧=⎨>⎩…2π画出在一个周期内的图象， ()f x 可得当，时， 52244k x k ππππ++…Z k ∈，()cos f x x =当，时， 592244k x k ππππ+<+…Z k ∈，()sin f x x =可得的对称轴方程为，，()f x 4x k ππ=+Z k ∈当或，时，取得最小值； 2x k ππ=+322x k ππ=+Z k ∈()f x 1-当且仅当时，，22()2k x k k Z πππ<<+∈()0f x >的最大值为()f x ()4f π0()f x <…综上可得，正确的有． CD 故选：．CD【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，主要是正弦函数和余弦函数的图象和性质的运用，考查对称性、最值和周期性的判断，考查数形结合思想方法，属于中档题．三、填空题13．设，则满足的实数x 的取值范围是__________.2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩()()1 2f x f x +<【答案】(),0∞-【解析】画出图像,结合图像判断题出函数的单调性,即可求解.2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩(1)(2)f x f x +<【详解】作出函数的图像2,0()1,0x x f x x -⎧≤=⎨>⎩如图，满足(1)(2)f x f x +<，解得. 2021x x x <⎧∴⎨<+⎩0x <故答案为：.(),0∞-【点睛】方法点睛：该不等式的求解利用的是函数的单调性，用数形结合法解决更为直观. 14．设，是方程的两个根，则的值为_________． tan αtan β2320x x -+=tan()αβ+【答案】-3【解析】由是方程的两个根，利用根与系数的关系分别求出tan ,tan αβ2320x x -+=tan tan αβ+及的值，然后代入公式求解. tan tan αβtan()αβ+【详解】∵是方程的两个根， tan ,tan αβ2320x x -+=∴，， tan tan 3αβ+=tan tan 2αβ=则()tan tan 3tan 31tan tan 12αβαβαβ++===---故答案为：3-15．函数____．2y x =-【答案】1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】利用换元法将函数换元构造出新函数，由新函数的定义域结合二次函数的性质求出最值即可得到值域.【详解】设，则，)0t t =≥273t x -=所以原函数可化为：，()211033y t t t =-++≥由二次函数性质，当时，函数取最大值，由性质可知函数无最小值， 32t =1312所以值域为：.1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦故答案为：.1312,⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16．__________．1sin 250=︒【答案】4【解析】先根据诱导公式化简度数，再根据二倍角公式和辅助角公式可化简得出. 【详解】1sin 250=︒1cos 20-. ()2sin 20604sin 4041sin 40sin 402-==-==故答案为：4.四、解答题17．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－50}. <(1)若是的充分条件，求实数a 的取值范围； ""x A ∈""x B ∈(2)若U ＝R ，A ∩(∁UB )＝A ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）或.11a -<<-3a ≤-1a ≥【解析】（1）解方程确定集合，由充分条件得，把中元素代入不等式可得的范围； A A B ⊆A a （2）根据集合运算的概念得，即，，由此可得的范围． A B ⋂=∅1B ∉2∉B a 【详解】（1）{}1,2A =是的充分条件， ，且 ，""x A ∈ ""x B ∈A B ∴⊆1B ∴∈2B ∈ ，222212(1)502201144(1)5043031a a a a a a a a a a ⎧⎧⎧+++-<+-<-<<-+⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨+++-<++<-<<-⎪⎩⎩⎩；11a ∴-<<-（2）{}1,2A =，，且，()()U U A B A A B ⋂=⇔⊆ ððA B ∴⋂=∅1B ∴∉2∉B， 222212(1)502201144(1)5043031a a a a a a a a a a a a ⎧⎧⎧+++-≥+-≥≤->-+⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨+++-≥++≥≤-≥-⎪⎩⎩⎩或或.3a ∴≤-1a ≥【点睛】结论点睛：本题考查充分条件求参数范围，由集合运算的结果求参数范围，解题时需掌握充分必要条件、集合运算的结果与集合包含之间的关系． 命题对应集合，命题对应的集合，则 p A q B （1）是的充分条件； p q ⇔A B ⊆（2）是的必要条件； p q ⇔A B ⊇（3）是的充分必要条件；p q ⇔A B =（4）是的既不充分又不必要条件集合之间没有包含关系．p q ⇔,A B 集合运算的性质：，，．A B A A B ⋂=⇔⊆A B A B A =⇔⊆ ()U A B A B ⊆⇔=∅ ð18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，()f x R 0x ≤()22f x x x =+（1）求函数的解析式；()()f x x R ∈（2）若函数，求函数的最小值.()()21g x f x ax =-+[]()1,2x ∈()g x ()h a 【答案】（1）；（2）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩…()22,02,0114,1a a h a a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩……【分析】（1）根据偶函数的性质进行转化求解即可．（2）求出的表达式，结合一元二次函数最值性质进行求解即可． ()g x 【详解】解：（1）是偶函数，()f x 若，则，∴0x >0x -<则当时，， 0x -<2()2()f x x x f x -=-=即当时，．0x >2()2f x x x =-即．222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+=⎨->⎩…（2）当时，， []1,2x ∈22()()21221(22)1g x f x ax x x ax x a x =-+=--+=-++对称轴为，1x a =+若，即时，在上为增函数，则的最小值为， 11a +…0a …()g x []1,2()g x ()()12h a g a ==-若，即时，在上为减函数，则的最小值为，12a +…1a …()g x []1,2()g x ()()114h a g a ==-若，即时，的最小值为，112a <+<01a <<()g x ()()212h a g a a a =+=--即．()22,02,0114,1a a h a a a a a a -⎧⎪=--<<⎨⎪-⎩……【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，结合偶函数的性质以及一元二次函数函数单调性的性质是解决本题的关键．19．已知函数.()()2121x x f x x R -=∈+（1）判断函数的奇偶性；()f x （2）若对任意的，都有不等式恒成立，求实数的取值范围.x R ∈()()220f x f m x +->m 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）.(),1-∞-【解析】（1）说明函数的定义域关于原点对称，计算得出，即可说明函数()f x ()()f x f x -=-为奇函数；()f x （2）利用函数单调性的定义证明出函数为增函数，由可得出()f x ()()220f x f m x +->，可得出，可得出，由可求得实数的取值范()()22f x m f x ->-22x m x ->-220x x m +->∆<0m 围.【详解】（1）函数的定义域为，该函数的定义域关于原点对称，()2121x x f x -=+R，()()()()22121122112221x xx xx xx x f x f x --------====-+++所以，函数为奇函数；()f x （2）， ()()2122121212121x x x x x f x +--===-+++任取、，且，1x 2x R ∈12x x >则， ()()()()()1212211212222222211212121212121x x x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=---=-= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，则，所以，即，12x x > 12220x x >>()()()()()12121222202121x x x x f x f x --=>++()()12f x f x >所以，函数为上的增函数，且该函数为奇函数，()f x R 由可得，()()220f x f m x +->()()()222f x m f x f x ->-=-，即对任意的恒成立，22x m x ∴->-220x x m +->x R ∈所以，，解得. 440m ∆=+<1m <-因此，实数的取值范围是.m (),1-∞-【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为；()()f g x f h x >⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦（2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不()f x f 等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.20．已知函数．()2sin 22sin f x x x =+（1）求的单调递增区间()f x （2）当时，关于x 的方程恰有三个不同的实数根，求0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()()22210f x m f x m m ⎡⎤-+++=⎣⎦m 的取值范围．【答案】（1）；（2）3,88k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈1m ≤<【解析】（1）利用二倍角的余弦公式以及辅助角公式将函数化为，再利用()214f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭正弦函数的单调递增区间整体代入即可求解.（2）将问题转化为或共有三个不同实根，从而可得或()f x m =()1f x m =+sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭共有三个不同交点，作出函数图象，数形结合即可求解.sin 24x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭【详解】（1）()2sin 22sin sin 2cos 21214f x x x x x x π⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭所以增区间为：， 22,2422x k k πππππ⎛⎫-∈-+ ⎪⎝⎭3,88k Z x k k ππππ⎛⎫∈⇒∈-+ ⎪⎝⎭Z k ∈（2）因，()()()()()2221010f x m f x m m f x m f x m -+++=⇒---=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦所以或共有三个不同实根，()f x m =()1f x m =+即或共有三个不同交点，sin 24x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 24x π⎛⎫-=> ⎪⎝⎭因30,2,2444x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦不合题意． 1<1且 1<≤<1m ≤<【点睛】关键点点睛：本题考查了三角函数的性质，由方程的根求参数的取值范围，解题的关键是且. 1≤<≤<21．近年来，中美贸易摩擦不断特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.今年，华为计划在2020年利用新技术生产某款新手机.已知华为公司生产某款手机的年围定成本为50万元，每生产1万只还需另投入16万元.设公司一年内共生产该款手机万只并全部销售完，每万只的销售收入为x.()2400604084004000040x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，，（1）写出年利润(万元)关于年产量(万只)的函数的解析式；W x （2）当年产量为多少万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大?并求出最大利润.【答案】（1）；（2）年产量为50万只时，最大利润为6750()26384500404000016835040x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩，，万元【解析】（1）根据利润公式得出解析式； （2）分段计算最大利润，从而得出结论.【详解】（1）因为 ()2400604084004000040x x R x x xx -<≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，，当时， ， 040x <≤()164006635084502W x x x x x +=----=-当时，， 40x >2()165840004000040000183506W x x x xx x =--=---.()26384500404000016835040x x x W x x x x ⎧-+-<≤⎪=⎨--+>⎪⎩，，（2）当时， ， 040x <≤2263845032609(46)x x x W -+-=+-=-当时有最大值为；32x =W 6094当时，， 40x>1683540000835067500W x x ⎛⎫--=⎪=+⎭≤⎝+当且仅当即等号成立， 4000016x x=50x =综合上面两种情况，当年产量为50万只时，公司在该款手机的生产中获得的利润最大，最大利润为6750.【点睛】本题考查了分段函数模型的应用，函数最值的计算，解题的关键点是求出分段函数的解析式及求最值.22．已知函数.()cos 14f x x x π⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()()20f x mf x m --≤m （2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存a n ()()g x f x a =-[]0,n π2021在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.a n 【答案】（1）；（2）存在，当；当时，.)2,⎡+∞⎣a =2021n =1a =1010n =【解析】（1）利用三角恒等变换思想得出，令，()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()t f x ⎡=∈⎣，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实()20h t t mt m =--≤()0h t ≤t ⎡∈⎣()000h h ⎧≤⎪⎨≤⎪⎩数的取值范围；m （2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进()y f x =y a =[]0,n π2021a 行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.a【详解】（1）()cos 1sin cos cos sin cos 1444f x x x x x x πππ⎛⎫⎫=+⋅-=+⋅- ⎪⎪⎝⎭⎭，22sin cos 2cos 1sin 2cos 224x x x x x x π⎛⎫=+-=+=+ ⎪⎝⎭当时，，，则， ,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦20,42x ππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦[]sin 20,14x π⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭()f x ⎡∈⎣要使对任意恒成立，()()20f x mf x m --≤,88x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令，则，对任意恒成立， ()t f x =t ⎡∈⎣()20h t t mt m =--≤t ⎡∈⎣只需，解得，()0020h m h m ⎧=-≤⎪⎨=-≤⎪⎩2m ≥-实数的取值范围为；∴m )2,⎡+∞⎣（2）假设同时存在实数和正整数满足条件， a n 函数在上恰有个零点， ()()g x f x a =-[]0,n π2021即函数与直线在上恰有个交点. ()y f x =y a =[]0,n π2021当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示： []0,x π∈92,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦()f x []0,π①当与直线在上无交点； a >a <()y f x =y a =[]0,n π②当与直线在上仅有一个交点，a =a =()y f x =y a =[]0,π此时要使函数与直线在上有个交点，则； ()y f x =y a =[]0,n π20212021n =③当或时，函数直线在上有两个交点，1a <<1a <<()y f x =y a =[]0,π此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合； ()y f x =y a =[]0,n π2021④当时，函数与直线在上有个交点，1a =()y f x =y a =[]0,π3此时要使函数与直线在上恰有个交点，则. ()y f x =y a =[]0,n π20211010n =综上所述，存在实数和正整数满足条件： a n当；当时，.a =2021n =1a =1010n =【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象()y f x =y a =[]0,π的交点个数，结合周期性求解.。
安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题
安徽省合肥市第一中学2021-2022学年高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________8．设函数32,0()32,0x x x f x x -⎧->=⎨-+<⎩,则下列结论错误的是A ．函数()f x 的值域为RB ．函数()f x 是奇函数C ．(||)f x 是偶函数D ．()f x 在定义域上是单调函数二、多选题三、填空题内是单调函数；存在四、解答题17．设{}2,430,U R A x x x B ==-+≤(1)分别求(),U A B A B ⋂⋃ (2)若B C C = ，求实数a 的取值范围18．已知函数()x f x b a =⋅（,a b 为常数且参考答案：①A B A A ⋂=⇔⊆②A B A B =⇔⊆ ③()A C B =∅⇔故选：B 7．B【分析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为()3log k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =⋅与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解即可.【详解】由函数()3log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3xg x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[]0,1x ∈时，()()131xh x g x =-=-，函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即()3log k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则0k <，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-.∴ 实数k 的取值范围是()52,2log 3--.故选：B.8．D【解析】根据分段函数的解析式研究函数的单调性，奇偶性，值域，可得结果.【详解】当0x >时，()32x f x =-为增函数，所以()(0)1f f x >=-，当0x <时，()32x f x -=-+为增函数，所以()(0)1f x f <=，所以()f x 的值域为(1,)(,1)R -+∞⋃-∞=，所以选项A 是正确的；又3log 23(log 2)32220f -=-+=-+= ，3log 23(log 2)32220f =-=-=，所以()f x 在定义域(,0)(0,)-∞+∞ 上不是单调函数，故选项D 是错误的；因为当0x >时，0x -<，所以()()3232(32)()x x x f x f x ---=-+=-+=--=-，当0x <时，0x ->，所以()32(32)()x x f x f x ---=-=--+=-，当0x >时，令1tan y x =，2lg y x =-，则()g x 大于0的零点为1tan y x =，()g x ()0,π()g x）（常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类的标准，在每个小区间内研究函数零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各校范围并在一起，即为所求的范围.。
合肥市高一上学期期末数学试卷(I)卷(考试)
合肥市高一上学期期末数学试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2018·梅河口模拟) 已知全集，集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分）已知直线l1：x+my+7=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0互相平行，则实数m=（）A . m=﹣1或3B . m=﹣1C . m=﹣3D . m=1或m=﹣33. （2分） (2016高一上·宁波期中) 幂函数f（x）的图象过点，则 =（）A .B . 4C .D .4. （2分）已知a，b是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件中，不能判定a⊥b的是（）A . α∥a，b∥β，a⊥βB . a⊥β，b⊂βC . a⊥α，b⊥β，a⊥βD . a⊥α，a⊥β，b∥β5. （2分）若不等式ln≥xln4对任意x∈（﹣∞，2]恒成立，则实数a的取值范围是（）A . [1，+∞）B . （﹣∞，2]C . （﹣∞，﹣]D . [﹣，+∞）6. （2分）设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x=1对称，且当时，f(x)=3x-1，则有（）A .B .C .D .7. （2分）设方程2x+x+2=0和方程的根分别为p和q，若函数f（x）=（x+p）（x+q）+2，则（）A . f（0）＜f（2）＜f（3）B . f（0）=f（2）＜f（3）C . f（3）＜f（2）=f（0）D . f（0）＜f（3）＜f（2）8. （2分）已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是（）A .B .C .D .9. （2分） (2019高一上·太原月考) 设集合，（）A .B .C .D .10. （2分） (2017高二上·正定期末) 函数f（x）= 的最大值为（）A .B .C .D . 1二、填空题 (共4题；共4分)11. （1分） (2017高三下·鸡西开学考) 已知三棱锥P﹣ABC，若PA，PB，PC两两垂直，且PA=2，PB=PC=1，则三棱锥P﹣ABC的内切球半径为________．12. （1分） (2016高一下·厦门期中) 若点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则实数a的取值范围是________．13. （1分）已知直线3x+4y+a=0与圆x2﹣2x+y2=0相切，则a的值为________14. （1分） (2016高一上·平阳期中) 已知f（x）是偶函数，当x＜0时，f（x）=x2+x，则f（3）=________．三、解答题 (共5题；共46分)15. （10分） (2015高三上·锦州期中) 已知x2+y2=9的内接三角形ABC中，A点的坐标是（﹣3，0），重心G的坐标是，求：（1）直线BC的方程；（2）弦BC的长度．16. （10分）(2019·湖北模拟) 如图，在四棱锥中，已知是等边三角形，平面，，，点为棱的中点.（1）求证：平面；（2）求三棱锥的体积.17. （10分） (2017高一上·温州期中) 已知y=f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）=x（2﹣x），（1）写出函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）时的解析式；（2）若关于x的方程f（x）=a恰有两个不同的解，求a的值．18. （15分）如图，已知AF⊥面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=CD=1，AB=2（1）求证：AF∥面BCE；（2）求证：AC⊥面BCE；（3）求三棱锥E﹣BCF的体积．19. （1分）若函数f（x）满足：存在非零常数a，使f（x）=﹣f（2a﹣x），则称f（x）为“准奇函数”，给出下列函数：①f（x）=x2；②f（x）=（x﹣1）3；③f（x）=ex﹣1；④f（x）=cosx．则以上函数中是“准奇函数”的序号是________参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共4分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共46分) 15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、。
安徽高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1. 已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为U =R {}16,{33}A x x B x x =-≤≤=-<<∣∣（ ）A. B. {}36x x ≤≤∣{13}xx -<≤∣C. D. {13}xx <≤∣{31}x x -<≤-∣【答案】A【解析】【分析】由图可得阴影部分表示，然后用补集和交集的定义进行求解()U A B ð【详解】由图可得，图中阴影部分表示的集合为， ()U A B ð因为， {}16,{33}A xx B x x =-≤≤=-<<∣∣所以或，， {3U B x x =≤-ð}3x ≥(){}36U B A xx ⋂=≤≤∣ð故选：A2. 设，则的一个必要不充分条件是（ ）x ∈R 2x >A.B. C. D. 1x <2x >1x >-3x >【答案】C【解析】【分析】直接根据必要不充分的概念找出比要大的范围即可.2x >【详解】的一个必要不充分条件，即的范围要比要大，2x >x 2x >只有符合，1x >-故选：C.3. 已知，则的最小值为（ ） 12,42x y x x >=+-y A. 8B. 10C. 12D. 14【答案】C【解析】【分析】将变为，利用基本不等式即可求得答案. 142y x x =+-14(2)82y x x =-++-【详解】因为,2,20x x >∴->, 1144(2)881222y x x x x ∴=+=-++≥+=--当且仅当，即时取得等号， 14(2)2x x -=-52x =即的最小值为12，y 故选：C4. 对于实数，，，下列命题中是真命题的是（ ）a b c A. 若，则B. 若，则 a b >22ac bc >a b >22a b >C. 若且，则D. 若，，则a b >c d <a c b d +>+0a b >>0c >ac bc >【答案】D【解析】【分析】根据取特殊值法可判断A B C ，根据不等式的性质可判断D ．【详解】对于，当时，若，则，故A 错误；A 0c =a b >22ac bc =对于B ，若时，若取，，则，故B 错误；a b >1a =-2b =-22a b <对于C ，若且，若取，，，，则，故C 错误；a b >c d <5a 4b =5c =7d =a c b d +<+对于D ，若，，则，则D 正确；0a b >>0c >ac bc >故选：D ．5. 设函数 是R 上的偶函数，在上是减函数，则 的大小关系为()y f x =[0,+∞）(e),(π),(3)f f f --（ ）A.B. (π)(3)(e)f f f >->-(3)(e)(π)f f f ->->C.D. (e)(3)(π)f f f ->->(π)(e)(3)f f f >->-【答案】C【解析】【分析】根据函数 是R 上的偶函数结合其单调性，由，可判断，()y f x =e 3π<<(e)(3)(π)f f f >>即可得答案.【详解】函数是R 上的偶函数，在上是减函数， ()y f x =[0,+∞）可得 ，()()f x f x -=所以 ，(e)(e),(3)(3)f f f f -=-=由 ，可得，e 3π<<(e)(3)(π)f f f >>即有，(e)(3)(π)f f f ->->故选：C.6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） 13log 2a =0.62b =4log 3c =a b c A. B.b c a <<c b a <<C. D.c a b <<a c b <<【答案】D【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的性质比较即可.【详解】因为在上递减，且，13log y x =(0,)+∞21>所以，即， 1133log 2log 10<=a<0因为在上递增，且，2x y =R 0.60>所以，即，0.60221>=1b >因为在上递增，且，4log y x =(0,)+∞134<<所以，444log 1log 3log 4<<所以，即，40log 31<<01c <<所以，a cb <<故选：D7. 若扇形的弧长为，圆心角为2弧度，则扇形的面积为（ ）8cm A. B. C.D.28πcm 28cm 216cm 216πcm 【答案】C【解析】【分析】利用扇形的面积计算公式即可得出答案.【详解】设扇形的弧长为，圆心角为， l α扇形的弧长为，圆心角为2弧度，即，8cm 8,2l α==，可得,l r α= 4r =该扇形的面积, ∴()2118416cm 22S l r =⋅=⨯⨯=故选：.C 8. 已知为奇函数，且在上是递增的，若，则的解集是（ ）()f x (0,)+∞(3)0f -=()0xf x >A. 或B. 或 {|30x x -<<3}x >{|3x x <-3}x >C. 或D. 或{|3x x <-03}x <<{|30x x -<<03}x <<【答案】B【解析】【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分()f x (,0)-∞(3)(3)0f f =--=，和三种情况求解即可 0x >0x <=0x 【详解】是奇函数，且在内是增函数，()f x (0,)+∞在内是增函数，()f x ∴(,0)-∞又，(3)0f -= ，(3)(3)0f f ∴=--=因为，所以()0xf x >①当时，原不等式可化为，又在内是增函数，0x >()()03f x f >=()f x (0,)+∞所以，3x >②当时，原不等式可化为，又在区间上是增函数，0x <()()03f x f <=-()f x (,0)-∞所以，3x <-③当时，，与矛盾，所以不是不等式的解，0x =()0xf x =()0xf x >0x =()0xf x >综上，的解集是或．()0xf x >{3x x <-}3x >故选：B ． 二、多选题9. 下列函数存在零点且零点在区间内的是（ ）()0,1A.B. ()()2log 0.5f x x =+()214f x x x =-+C.D. ()32x f x x =+-()e ln xf x x =+【答案】ABCD【解析】【分析】对于ACD ，分析其单调性，结合零点存在定理可判断；对于C ，直接求零点可判断.【详解】对于A ，在上单调递增，且()()2log 0.5f x x =+()0,1()()220log 0.50,1log 1.50f f =<=>,故函数在内有零点，故A 正确；()()2log 0.5f x x =+()0,1对于B ，，故, ()221142f x x x x ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故在内有零点，故B 正确； ()214f x x x =-+()0,1对于C ，在上单调递增，且，()32x f x x =+-()0,1()0030210f =+-=-<，()1131220f =+-=>故函数在内有零点，故C 正确； ()32xf x x =+-()0,1对于D ，在上单调递增，且，， ()e ln x f x x =+(0,1()33e 3e e ln e e 30f ---=+<-<()1e 0f =>故函数在内有零点，故D 正确. ()e ln xf x x =+()0,1故选:ABCD.10. 下列选项正确的是（ ）A. 若，则 a b <11a b<B. 若，则0a b <<22a ab b >>C. 若正实数，满足，则的最小值为8 x y 21x y +=21x y+D. 的最小值为2y =+【答案】BC【解析】【分析】利用特殊值、差比较法、基本不等式等知识确定正确答案.【详解】A 选项，，但，所以A 选项错误. 1,2,a b a b ==<11a b >B 选项，，，0,0a b a b <<-<()220,a ab a a b a ab -=->>，所以，B 选项正确.()220,ab b b a b ab b -=->>22a ab b >>C 选项，， ()212142448y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当时等号成立，C 选项正确. 41,22y x x y x y ===D 选项，， 2y =+≥=D 选项错误.=故选：BC11. 函数其中且，则下列结论正确的是（ ） ()1xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭0a >1a ≠A. 函数是奇函数()f x B. 方程在R 上有解()0f x =C. 函数的图象过定点()f x ()0,1D. 当时，函数在其定义域上为单调递增函数1a >()f x 【答案】ABD【解析】【分析】求出定义域，利用证明出为奇函数，A 正确；求出，得到B 正()()f x f x -=-()f x ()00f =确，C 错误；当时，函数在R 上单调递增，在R 上单调递减，得到在其定1a >x y a =11xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 义域上单调递增.【详解】定义域为R ，且， ()1x x f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()()11x xx x f x f x a a a a --⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎝-=-⎭⎭故为定义域，A 正确； ()f x，故方程在R 上有解，B 正确，C 错误； ()0001101f a a ⎛⎫=-⎪=⎭-⎝= ()0f x =当时，函数在R 上单调递增，在R 上单调递减，故在定义域上1a >x y a =11x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1xx f x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，D 正确.故选：ABD12. 下列叙述中正确的是（ ）A. 若函数是奇函数，则()f x ()00f =B. 若，则“”的充要条件是“”R a b c ∈，，22ab cb >a c >C. 函数与为同一个函数 ()4211-=+x f x x ()21g x x =-D. “，”是“”的充分条件1a >1b >1ab >【答案】CD【解析】【分析】根据奇函数的性质、相同函数的判断，结合充分性、必要性的定义进行求解即可.【详解】若函数显然是奇函数，但没有意义，因此项A 不正确； ()1f x x x=+()0f 当时，由推不出，因此选项B 不正确；0b =a c >22ab 因为函数与的定义域均为，且，所以选项C 正()4211-=+x f x x ()21g x x =-R ()422111-==-+x f x x x 确；由，能推出，当时，显然成立，但是，不成立，因此选1a >1b >1ab >14,2a b ==1ab >1a >1b >项D 正确，故选：CD 三、填空题13. 在内与终边相同的角是______． ()2π,2π-58π7-【答案】， 2π7-12π7【解析】【分析】写出终边相同的角的集合，从而求出内的角. ()2π,2π-【详解】与终边相同的角记为，12π758π7-112258π2π2π,2π,77k k Z k k Z ββββ⎧⎫⎧⎫=-+∈==-+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭当时，；当时，； 20k =()2π2π,2π7β=-∈-21k =()12π2π,2π7β=∈-∴在内与终边相同的角有，． ()2π,2π-58π7-2π7-12π7故答案为：， 2π7-12π714. 命题“，”的否定是_____________．x ∃∈R 213x x +>【答案】“，”x ∀∈R 213x x +≤【解析】【分析】原命题为特称命题，其否定为全称命题.【详解】“，”的否定是，x ∃∈R 213x x +>x ∀∈R 213x x +≤故答案为：，x ∀∈R 213x x +≤15. 函数的定义域为________． 0()(2)f x x =+-【答案】()()1,22,⋃+∞【解析】【分析】由具体函数的定义域即可得出答案.【详解】函数的定义域为, 0()(2)f x x =+-1020x x ->⎧⎨-≠⎩解得：且.1x >2x ≠所以的定义域为.()f x ()()1,22,⋃+∞故答案为：()()1,22,⋃+∞16. 定义在上的奇函数对任意两个不相等实数，，总有成立，则不等式R ()f x a b ()()0f a f b a b->-解集是___．()()260f m f m ++->【答案】(2,)+∞【解析】【分析】根据不等式判断函数的单调性，结合奇函数的性质、单调性进行求解即可.【详解】不妨设，由，所以在上单调递增； a b >()()()()0f a f b f a f b a b->⇒>-()f x R 又为奇函数； ()f x 由得，； ∴()()260f m f m ++->()()()266f m f m f m +>--=-；26m m ∴+>-解得，；m>2原不等式的解集为．∴(2,)+∞故答案为：．(2,)+∞四、解答题 17. 求值： （1）； 11222339264274-⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭（2）； 3log 701lg4(1)3lg502π-+++（3）.()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++【答案】（1） 172（2）8（3） 14【解析】 【分析】依照指数和对数的运算律计算依次计算代数式的值. 【小问1详解】原式； 133174194222=⨯-+=-+=【小问2详解】原式；=lg217lg5lg10lg(25)1718-+++=⨯-++=【小问3详解】原式()2211252255252511111log 5log 5(log 2log 2)(log 5log 5)(log 2log 2)log 5log 222224--=+⨯+=-⨯-=⨯=.18. 设集合，={|25}A x x -≤≤{|+121}.B x m x m =≤≤-（1）当时，求实数m 的取值范围；A B B = （2）当时，不存在元素x 使与同时成立，求实数m 的取值范围.x ∈R x A ∈x B ∈【答案】（1）(,3]-∞（2）(,2)(4,)-∞+∞ 【解析】【分析】（1）由题意有，分和两种类型求实数m 的取值范围； B A ⊆B =∅B ≠∅（2）由题意有，分和两种类型求实数m 的取值范围..A B ⋂=∅B =∅B ≠∅【小问1详解】 ，，A B B = B A ∴⊆时，，，满足B =∅121m m +>-2m <∴.B A ⊆时，则，解得 B ≠∅12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩2 3.m ≤≤综上，当时有3m ≤.B A ⊆即实数m 的取值范围为(,3].-∞【小问2详解】由题意知，.A B ⋂=∅时，B ∴=∅12 1.m m +>- 2.m ∴<时，则或，解得： B ≠∅121212m m m +≤-⎧⎨-<-⎩12115m m m +≤-⎧⎨+>⎩4.m >实数m 的取值范围为∴(,2)(4,)-∞+∞ 19. 已知函数 ()()()()2211222x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<<⎨⎪≥⎩（1）求，，； ()3f 32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭()0f f ⎡⎤⎣⎦（2）若，求的取值范围．()5f a ≤a 【答案】（1），， ()36f =3924f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()04f f ⎡⎤=⎣⎦（2） 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）将自变量代入对应的解析式中求解即可；（2）分别在、和的情况下，构造不等式求得结果.1a ≤12a <<2a ≥【小问1详解】；； ()3236f =⨯=2339224f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，.()0022f =+= ()()02224f f f ∴==⨯=⎡⎤⎣⎦【小问2详解】当时，，解得：，；1a ≤()25f a a =+≤3a ≤1a ∴≤当时，，解得：，； 12a <<()25f a a =≤a ≤≤12a ∴<<当时，，解得：，； 2a ≥()25f a a =≤52a ≤522a ∴≤≤综上所述：实数的取值范围为. a 5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦20. 已知．2(1)y x a x a =-++（1）当时，求不等式的解集；3a =0y >（2）解关于的不等式．x 2(1)0x a x a -++≤【答案】（1）或{|3x x >1}x <（2）见解析【解析】【分析】（1）直接将代入，根据一元二次不等式即可得解集， 3a =（2）将与1比较，分类讨论即可求解．a 【小问1详解】当时，，，或，3a =2430x x -+>(1)(3)0x x -->3x ∴>1x <不等式解集为：或；{|3x x >1}x <【小问2详解】不等式可化为．()(1)0x a x --≤①当时，原不等式即为，解得；1a =2(1)0x -≤1x =②当时，原不等式化为，解得；1a <()(1)0x a x --≤1a x ≤≤③当时，原不等式化为，解得．1a >()(1)0x a x --≤1x a ≤≤综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为； 1a <{|1}x a x ≤≤1a ={|1}x x =当时，不等式的解集为．1a >{|1}x x a ≤≤21. 为了响应国家节能减排的号召,2020年某企业计划引进新能源汽车生产设备,通过市场分析:全年需投入固定成本2 500万元.每生产x （单位:百辆）新能源汽车,需另投入成本万元,且()C x ,市场调研知,每辆车售价9万元,且生产的车辆当年能全部销售完. ()210500,040100009014300,40x x x C x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩（1）请写出2020年的利润（单位:万元）关于年产量x （单位:百辆）的函数关系式;（利润=销售-成()L x 本）（2）当2020年产量为多少百辆时,企业所获利润最大?并求出最大利润.【答案】（1） ()2104002500,040100001800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩（2）当生产100百辆时,利润最大,为1600万元.【解析】【分析】(1)分,两种情况,根据利润=销售-成本即可得出结果;040x <<40x ≥(2)根据(1)中的解析式,求出各段最大值,进行比较即可得出利润最大值.【小问1详解】解:由题知,当时,040x <<,()()29100105002500L x x x x =⨯-+-当时,40x ≥ ()10000910090143002500L x x x x ⎛⎫=⨯-+-- ⎪⎝⎭2104002500x x =-+-, 100001800x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭综上:; ()2104002500,040100001800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问2详解】由(1)知, ()2104002500,040100001800,40x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩当时,040x <<,()()2210400250010201500L x x x x =-+-=--+所以当时,,20x =()max 1500L x =当时, 40x ≥ ()100001800L x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1800≤-,1600=当且仅当,即时等号成立, 10000x x=100x =因为,15001600<所以当时,100x =即2020年生产100百辆时,该企业获得利润最大,且最大利润为1600万元.22. 已知函数为奇函数． ()122x xf x a =⋅-（1）求实数的值；a （2）判断并证明在上的单调性．()f x R 【答案】（1）1a =（2）为上的增函数，证明见解析()f x R 【解析】【分析】（1）首先求出函数的定义域，根据奇函数的性质，求出参数的值，再检验即可； ()00f =（2）根据题意，由（1）的结论可得函数的解析式，设，由作差法分析可得结论．()f x 12x x <【小问1详解】解：函数的定义域为，又函数为奇函数， ()122x xf x a =⋅-R 所以，即，解得， ()00f =001202a ⋅-=1a =所以，则， ()122x x f x =-()()112222x x x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭故为奇函数，符合题意，所以. ()122x xf x =-1a =【小问2详解】解：由（1）可知，，则为上的增函数， ()12222x x x x f x -=-=-()f x R 证明如下：设，12x x <则， ()()()11221212121()()222222122x x x x x x x x f x f x --⎛⎫-=---=-+ ⎪⎝⎭又由，则，即，， 12x x <12022x x <<12220x x -<1211022x x +>则，12())0(f x f x -<则函数在上为增函数．()f x R。