3.2 运输问题的表上作业法(1)
的产销平衡问题。 （2）初始方案确定的方法—最小元素法。
最小元素法：就近供应，运价数小的尽可 能优先分配。
8
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
9
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法 这样，我们便得到这样问题的一个初始基本可行 x11=0 x12=0 x13=4 x14=3 x21=3 x22=0 x23=1 x24=0 x31=0 x32=6 x33=0 x34=3
第一步是在表3.23中添加新的一列ui列（i的个数等于产地的 个数）和新的一行vj行（j的个数等于销地的个数），如表
3.24所示。
34
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.3 利用位势法求检验数
35
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.3 利用位势法求检验数
表 3.24 中 的 ui 和 vj 分 别 称 为 第 i 行 和 第 j 列 的 位 势 （ i=1, 2,…,m；j=1,2,…,n），并规定它们与表中画圈数字所在的
3
6
5
6
总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元
17
3.2 运输问题的表上作业法
元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的 最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价 先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。
最小元素法：
表中所有的元素都被划去为止。
表上作业法要求： 调运方案的数字格必须为m+n-1个，且有数字格不构成闭回路。 一般用最小元素法给出的方案符合这要求。
19
3.2 运输问题的表上作业法
方法2：Vogel法 1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费 的差额，并填入该表的最右列和最下行。
B1 A1
检验原理：利用检验数的经济意义
min的非基变量检验数σij的经济意义: 在保持产销平衡的条件下, 非基变量每增加一个单位运量而成为进基变量时 引起目标函数值(总运费）的增量.
σij< 0 表示总运费还可以减少， σij> 0 表示总运费增加。
3.2 运输问题的表上作业法
作法:
先从任意空格(i,j)处出发，作一闭回路 给空格(i,j)一个单位的运量, 调整闭回路上其余数字格的运量, 使达到产销平衡. 则闭回路上总运费的变化值等于空格(i,j)的 检验数.
3.5
运输问题的Excel处理
3
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
利用表上作业法求解运输问题时，与单纯形法类似，首先要 求出一个初始方案（即线性规划问题的初始基本可行解）。 一般来讲这个方案不一定是最优的，因此需要给出一个判别 准则，并对初始方案进行调整、改进。 每进行一次调整，我们就得到一个新的方案（基本可行解）， 而这个新方案一般比前一个方案要合理些，也就是对应的目
例在表3.7中，第一步最小元素为c31=1，在x31处填 上数字min(13,19)=13，并在x11、x21处打上“×”。
12
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
第二步的最小元素为c32=2，可在x32处填上数字min(6,6)=6， 并在x12、x22处打上“×”（或在x33、x34处打上“×”），由 上面的注意（1）可知，不能同时在x12、x22、x33、x34处都打
3
A2
1
A3
7
销量
3
列差额 2
B2
11
9 4
6 5
B3
3
2 10
5 1
B4 产量 行差额
10
7
7
8
4
1
5
9
1
6
3
20
3.2 运输问题的表上作业法
2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和 供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足 时，划去运价表中对应的行或列。
重复1)和2)，直到找出初始解为至。
7
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
其 中 ： xij 为 产 地 Ai 到 销 地 Bj 的 运 量 （ i=1,2,3 ； j1,2,3,4），而将Ai到Bj的单位运价cij用小型字写在
每格的右上角，以便直观地制定和修改调运方案。 从表3.5的数据可知，例3.1是个满足产销平衡条件
注意的问题： 当同时有两个差额最大时，选取运费较小的一个.
25
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
（3）调运方案的检验—闭回路法。（计算打“×” 处的检验数）
从某一打“×”处出发，沿水平方向或垂直方向前 进,遇到合适“○”的数字格可以旋转90度，继续前 进,若最后能回到出发点,则所构成的回路为闭回路。
2.当最后只剩下一行（或一列）还存在没有填数和打“×”的 格子时，规定只允许填数，不允许打“×”，其目的也是为了
保证画圈数字的个数恰为m + n −1个。
3.在特殊情况下可填“0”并画上圈，这个“0”应与其他画圈 的数字同样看待。（不限于最后一行或最后一列）。
11
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
30
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
31
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
32
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法 利用闭回路法检验某调运方案是否最优，可按下列 步骤进行。
① 求检验数。 （计算打“×”处的检验数） ② 根据检验数进行判别（若全部大于等于零，则该方
上“×”。 继续运用前面所述的方法，再经过两步计算，可得到表3.8。
13
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.4 确定初始方案的其他方法 1. 西北角法
14
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.4 确定初始方案的其他方法 2．沃格尔法
15
3.2 运输问题的表上作业法
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10
7
1
9
2
8
4
7
4
10 5
9
3
6
5
6
16
3.2 运输问题的表上作业法
方法1：最小元素法
基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调 运），然后次小，直到最后供完为止。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4 37
3
11
3
10
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
7
6
4
10
39
5
销量
第3章 运输问题（TP）
3 运输问题（TP）
学习目标 了解运输问题模型的特点。 掌握产销平衡运输问题的表上作业法。 学会产销不平衡运输问题的转化。 学习表上作业法在物流管理中的典型应用。
2
3 运输问题（TP）
3.1
运输问题的模型
3.2 运输问题的表上作业法
3.3 产销不平衡的运输问题
3.4
运输问题的应用案例
标函数z值比前一个方案要小些。
经过若干次调整，我们就得到一个使目标函数达到最小值的 方案—最优方案（最优解），而这些过程都可在产销矩阵表 （运输表）上进行，故称为表上作业法。 其实质是单纯形法
4
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
步骤
描述
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
第二步 第三步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σij全都非负时得到最优解，若存在检验 数σij <0，说明还没有达到最优，转第三步。
调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步
方法 最小元素法、 元素差额法、
闭回路法和 位势法
5
3.2 运输问题的表上作业法
销量
B1 B2 B3 B4
3×
13
×
7
11 ×
×
9
46
35 2× 10 ×
10 2 81 53
3
6
5
6
产量
7 4 9
行差额
1 1 1
列差额
5
3
该方案的总运费: (1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
24
3.2 运输问题的表上作业法
Vogel基本步骤： 1.对单位运价表中求出各行和各列的最小运费和次小运费的差 额－－罚数 2.从行罚数和列罚数中选取最大者，再在它所在的行或列中选 取最小元素 3.在产销平衡表中对应位置，仍按最小元素法的方法，填入可 使该行或该列之一得到满足的数值 4.在单位运价表中划去该行或列，以示不需再予供应 5.在剩余的单位运价表中找出各行和各列的最小运费和次小运 费的差额，直到单位运价表中所有的元素都被划去为止
A1 A2 A3 销量 列差额
B1
3 1 7
3 2
B2
11 9 4
6 5
B3
35
2 10
5 1
B4
10 8 5
6 3
产量பைடு நூலகம்7 4 9
最小元素法：就近供应，运价数小的尽可 能优先分配。
8
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
9
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法 这样，我们便得到这样问题的一个初始基本可行 x11=0 x12=0 x13=4 x14=3 x21=3 x22=0 x23=1 x24=0 x31=0 x32=6 x33=0 x34=3
第一步是在表3.23中添加新的一列ui列（i的个数等于产地的 个数）和新的一行vj行（j的个数等于销地的个数），如表
3.24所示。
34
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.3 利用位势法求检验数
35
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.3 利用位势法求检验数
表 3.24 中 的 ui 和 vj 分 别 称 为 第 i 行 和 第 j 列 的 位 势 （ i=1, 2,…,m；j=1,2,…,n），并规定它们与表中画圈数字所在的
3
6
5
6
总的运输费＝(3×1)+(6×4) +(4×3) +(1×2)+(3×10)+(3×5)=86元
17
3.2 运输问题的表上作业法
元素差额法对最小元素法进行了改进，考虑到产地到销地的 最小运价和次小运价之间的差额，如果差额很大，就选最小运价 先调运，否则会增加总运费。例如下面两种运输方案。
最小元素法：
表中所有的元素都被划去为止。
表上作业法要求： 调运方案的数字格必须为m+n-1个，且有数字格不构成闭回路。 一般用最小元素法给出的方案符合这要求。
19
3.2 运输问题的表上作业法
方法2：Vogel法 1）从运价表中分别计算出各行和各列的最小运费和次最小运费 的差额，并填入该表的最右列和最下行。
B1 A1
检验原理：利用检验数的经济意义
min的非基变量检验数σij的经济意义: 在保持产销平衡的条件下, 非基变量每增加一个单位运量而成为进基变量时 引起目标函数值(总运费）的增量.
σij< 0 表示总运费还可以减少， σij> 0 表示总运费增加。
3.2 运输问题的表上作业法
作法:
先从任意空格(i,j)处出发，作一闭回路 给空格(i,j)一个单位的运量, 调整闭回路上其余数字格的运量, 使达到产销平衡. 则闭回路上总运费的变化值等于空格(i,j)的 检验数.
3.5
运输问题的Excel处理
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3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
利用表上作业法求解运输问题时，与单纯形法类似，首先要 求出一个初始方案（即线性规划问题的初始基本可行解）。 一般来讲这个方案不一定是最优的，因此需要给出一个判别 准则，并对初始方案进行调整、改进。 每进行一次调整，我们就得到一个新的方案（基本可行解）， 而这个新方案一般比前一个方案要合理些，也就是对应的目
例在表3.7中，第一步最小元素为c31=1，在x31处填 上数字min(13,19)=13，并在x11、x21处打上“×”。
12
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
第二步的最小元素为c32=2，可在x32处填上数字min(6,6)=6， 并在x12、x22处打上“×”（或在x33、x34处打上“×”），由 上面的注意（1）可知，不能同时在x12、x22、x33、x34处都打
3
A2
1
A3
7
销量
3
列差额 2
B2
11
9 4
6 5
B3
3
2 10
5 1
B4 产量 行差额
10
7
7
8
4
1
5
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1
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3.2 运输问题的表上作业法
2）再从差值最大的行或列中找出最小运价确定供需关系和 供需数量。当产地或销地中有一方数量供应完毕或得到满足 时，划去运价表中对应的行或列。
重复1)和2)，直到找出初始解为至。
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3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
其 中 ： xij 为 产 地 Ai 到 销 地 Bj 的 运 量 （ i=1,2,3 ； j1,2,3,4），而将Ai到Bj的单位运价cij用小型字写在
每格的右上角，以便直观地制定和修改调运方案。 从表3.5的数据可知，例3.1是个满足产销平衡条件
注意的问题： 当同时有两个差额最大时，选取运费较小的一个.
25
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
（3）调运方案的检验—闭回路法。（计算打“×” 处的检验数）
从某一打“×”处出发，沿水平方向或垂直方向前 进,遇到合适“○”的数字格可以旋转90度，继续前 进,若最后能回到出发点,则所构成的回路为闭回路。
2.当最后只剩下一行（或一列）还存在没有填数和打“×”的 格子时，规定只允许填数，不允许打“×”，其目的也是为了
保证画圈数字的个数恰为m + n −1个。
3.在特殊情况下可填“0”并画上圈，这个“0”应与其他画圈 的数字同样看待。（不限于最后一行或最后一列）。
11
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
30
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
31
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
32
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法 利用闭回路法检验某调运方案是否最优，可按下列 步骤进行。
① 求检验数。 （计算打“×”处的检验数） ② 根据检验数进行判别（若全部大于等于零，则该方
上“×”。 继续运用前面所述的方法，再经过两步计算，可得到表3.8。
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3.2 运输问题的表上作业法
3.2.4 确定初始方案的其他方法 1. 西北角法
14
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.4 确定初始方案的其他方法 2．沃格尔法
15
3.2 运输问题的表上作业法
单位 销地 运价
产地
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4 产量
3
11
3
10
7
1
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4
7
4
10 5
9
3
6
5
6
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3.2 运输问题的表上作业法
方法1：最小元素法
基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供应（调 运），然后次小，直到最后供完为止。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
4 37
3
11
3
10
A2
3
1
4
1
9
2
8
A3
7
6
4
10
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5
销量
第3章 运输问题（TP）
3 运输问题（TP）
学习目标 了解运输问题模型的特点。 掌握产销平衡运输问题的表上作业法。 学会产销不平衡运输问题的转化。 学习表上作业法在物流管理中的典型应用。
2
3 运输问题（TP）
3.1
运输问题的模型
3.2 运输问题的表上作业法
3.3 产销不平衡的运输问题
3.4
运输问题的应用案例
标函数z值比前一个方案要小些。
经过若干次调整，我们就得到一个使目标函数达到最小值的 方案—最优方案（最优解），而这些过程都可在产销矩阵表 （运输表）上进行，故称为表上作业法。 其实质是单纯形法
4
3.2 运输问题的表上作业法
3.2.1 产销平衡运输问题的表上作业法
步骤
描述
第一步 求初始基行可行解（初始调运方案）
第二步 第三步
求检验数并判断是否得到最优解当非基变量的 检验数σij全都非负时得到最优解，若存在检验 数σij <0，说明还没有达到最优，转第三步。
调整运量，即换基，选一个变量出基，对原运 量进行调整得到新的基可行解，转入第二步
方法 最小元素法、 元素差额法、
闭回路法和 位势法
5
3.2 运输问题的表上作业法
销量
B1 B2 B3 B4
3×
13
×
7
11 ×
×
9
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35 2× 10 ×
10 2 81 53
3
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产量
7 4 9
行差额
1 1 1
列差额
5
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该方案的总运费: (1×3)＋(4×6)＋(3×5)＋(2×10)＋(1×8)＋(3×5)＝85元
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3.2 运输问题的表上作业法
Vogel基本步骤： 1.对单位运价表中求出各行和各列的最小运费和次小运费的差 额－－罚数 2.从行罚数和列罚数中选取最大者，再在它所在的行或列中选 取最小元素 3.在产销平衡表中对应位置，仍按最小元素法的方法，填入可 使该行或该列之一得到满足的数值 4.在单位运价表中划去该行或列，以示不需再予供应 5.在剩余的单位运价表中找出各行和各列的最小运费和次小运 费的差额，直到单位运价表中所有的元素都被划去为止
A1 A2 A3 销量 列差额
B1
3 1 7
3 2
B2
11 9 4
6 5
B3
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2 10
5 1
B4
10 8 5
6 3
产量பைடு நூலகம்7 4 9
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运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是一种常见的工业应用问题,涉及到如何安排运输工具和货物,以最小化总成本或最大化利润。
表上作业法(Tableau Programming)是解决运输问题的一种有效方法,其解题思路和原理、具体步骤如下:1. 确定问题的状态在表上作业法中,我们需要先确定问题的状态。
状态是指某个特定时间段内,某个运输问题需要满足的条件。
例如,在一个例子中,我们可以将运输问题的状态定义为“需要从A城市运输货物到B城市,运输工具数量为3,运输距离为100公里”。
2. 定义状态转移方程接下来,我们需要定义状态转移方程,以描述在不同状态下可能采取的行动。
例如,在这个问题中,我们可以定义一个状态转移方程,表示当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,而运输距离为80公里。
3. 确定最优解一旦我们定义了状态转移方程,我们就可以计算出在不同状态下的最优解。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为2时,货物可以运输到B城市,运输距离为80公里,总成本为200元。
因此,该状态下的最优解是运输距离为80公里,运输工具数量为2,总成本为200元。
4. 确定边界条件最后,我们需要确定边界条件,以确保问题的状态不会无限制地变化。
例如,在这个问题中,当运输工具数量为3时,运输距离为120公里,超过了B城市的运输距离范围。
因此,我们需要设置一个限制条件,以确保运输工具数量不超过3,且运输距离不超过120公里。
表上作业法是一种简单有效的解决运输问题的方法,其原理和具体步骤如下。
通过定义状态转移方程、确定最优解、确定边界条件,我们可以计算出问题的最优解,从而实现最小化总成本和最大化利润的目标。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
第二节运输问题求解表上作业法-精品文档
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
[例 3-2] 某食品公司下属的 A1、A2、 A3 ，3 个厂生产方便食品，要运输到 B1、 B2、B3、B4 ，4 个销售点，数据如下： 表1 B1 B2 A1 3 11 A2 1 9 A3 7 4 销量 bj 3 6 求最优运输方案。 B3 3 2 10 5 B4 产量 ai 10 7 8 4 5 9 6 20（产销平衡）
（1）西 北 角 法 B3 B4 10
产量 ai 7
8 2 5 3 6 6
4
9
销量 bj
3
6
5
20
14
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
B3 3 4 10
B4
产 量 ai 7 3
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3 5 6
9
销 量 bj
3
6
2015
（ 2） 最 小 元 素 法 B1 B2 A1 3 11
(4)若运输平衡表中所有的行与列均被 划去，则得到了一个初始基本可行解。否 则在剩下的运输平衡表中选下一个变量， 转(4)。
4
上述计算过程可用流程图描述如下
取未划去的单元格xij ,令 xij = min { ai , bj }
ai’ = ai - xij bj’ = bj - xij
否
ai’ = 0?
第二节 运输问题求解 —表上作业法
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
第二节运输问题求解表上作业法
2
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题的求解方法(过程)——表上作业法的解题思路和原理、具体步骤。
运输问题是指在给定的供应地和需求地之间，选择最佳的运输方案，使总运输成本最低的问题。
表上作业法是一种常用的解决运输问题的方法，它基于线性规划的思想，通过逐步逼近最优解的方式来求解运输问题。
表上作业法的原理是将运输问题转化为一个线性规划问题，通过构建一个供需平衡表来描述运输问题。
在该表中，将供应地和需求地分别作为行和列，并在表中填入运输量的变量。
同时，引入一个辅助表来记录每个供应地和需求地的运输量。
具体的求解步骤如下：1. 构建供需平衡表：将给定的供应地和需求地以及对应的运输量填入表格中，并计算每个供应地和需求地的供应总量和需求总量。
2. 确定初始基本可行解：根据运输量的限制条件，确定一个初始的基本可行解。
可以选择将某些运输量设置为0，使得每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量。
3. 计算单位运输成本：根据给定的运输成本，计算每个供应地和需求地之间的单位运输成本，填入表格中。
4. 判断最优解条件：检查当前的基本可行解是否满足最优解的条件。
如果每个供应地和需求地都满足其供应总量和需求总量，并且没有其他更低成本的运输方案，则当前解为最优解。
5. 迭代改进解：如果当前解不满足最优解的条件，则需要进行迭代改进。
在每一次迭代中，选择一个非基本变量（即非0运输量）进行改变，并计算改变后的基本可行解。
6. 更新供需平衡表和辅助表：根据改变后的基本可行解，更新供需平衡表和辅助表的运输量，并重新计算单位运输成本。
7. 重复步骤4-6，直到找到最优解为止。
通过以上的步骤，表上作业法能够有效地求解运输问题，并得到最优的运输方案。
它在实践中广泛应用于物流管理、供应链优化等领域，为运输问题的决策提供了科学的依据。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
10 （12）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
运输问题 表上作业法-PPT课件
丙
1
丁
产量（ai） 7 4 9
6 表4-5 乙 11 9 4 6
5 丙 3 2 10 5
6 丁 10 8 5 6 产量（ai） 7 4 9
A B C
销量（bj）
表4-5 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 2 10 丁 10 8 5 产量（ai） 7 4 9
A B C
销量（bj）
3
6
5
6
第三步：在表4-5中再找出最小运价“3”， 这样一步步地进行下去，直到单位运价表上 的所有元素均被划去为止。
5、最小元素法的基本步骤
找出最小运价，确定供求关系，最大量的供
应 ； 划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要 同时划去行和列，必须要在该行或列的任意 位置填个“0”； 在剩余的运价表中重复1、2两步，直到得到 初始基可行解。
最小元素法
最小元素法的基本思想是就近供应，即 从单位运价表中最小的运价开始确定产 销关系，依此类推，一直到给出基本方 案为止。
表4-6 A B C 甲 3 1 7 乙 11 9 4 丙 3 2 10 丁 10 8 5 6 丁 3 3 5 6 产量（ai） 7 4 9
销量（bj）
表4-7
3
甲
6
乙
5
丙 4 1
A B C
销量（bj）
3 3 6 6
产量（ai） 7 4 9
最后在产销平衡表上得到一个调运方案，见
表4-6。这一方案的总运费为86个单位。
产量（ai） 4 4 12
8.伏格法尔法
每次从当前运价表上，计算各行各列 中两个最小运价之差值（行差值hi，列差 值kj），优先取最大差值的行或列中最小 的格来确定运输关系，直到求出初始方案。
运输问题的表上作业法
表八
B1
B2
B3
B4
行差额
A1
3
1
3
10
0
A2
1
9
2
8
1
A3
7
4
10
5
1
列差额 2
5
1
3
（2）在行差额和列差额中选出最大者，并选择其所对应的行或列中的最小元素来 安排调运方案。本例中，差额最大为“5”，是列差，该列中最小运价为“4”，即 A3首先供应B2，观察产销平衡表，A3仓库储存9吨，零售店B2需求6吨，则运往6吨， B2的需求全部被满足，在单位运价表中划去B2列，如表十一所示。
产地 销地 A1 A2 A3 销量
产地 销地 A1 A2 A3
表三 产销平衡表
B1
B2
B3
B4
3
1
3
6
5
6
表四 单位运价表
B1
B2
B3
3
11
3
1
9
2
7
4
10
产量 7 4 9
B4 10 8 5
（3）在单位运价表中未划去的元素中找到最小运价“3”（A1到B3的运价），A1存储 量为7吨，B3还缺少4吨，故从A1配送给B34吨，B3的需求全部被满足，A1剩余7-4=3吨， 在单位运价表中划去B3所在列。结果如表五和表六所示。
表五 产销平衡表
产地
B1
销地
A1
A2
3
A3
销量
3
B2
B3
B4
4 1
6
5
6
表六 单位运价表
产量
7 4 9
产地
B1
B2
运输问题表上作业法
重复上面的步骤，直至求出最优调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 90 80
X22
B3 100
X13
产量 200 250
产地
50 A1 A2
销 量
X11
150 70
X12
50
X21
65 200 75
X23
100
150
200
450
结 果
最优调运方案是： x11=50，x12=150，x21=50，x23=200
X11 X12
X13
80 150 65 100 75
A2
销 量
X21
X22
X23
100
150
200 450
非基变量X12的检验数：
12
=（c12+c23）-（c13+c22） =70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c +c ）-（c +c ） 21 13 11 23
200 75
X23
100
150 50
200 450
得到初始调运方案为： x11=100，x12=100，x22=50，x23=200
总运价为： 90 * 100 70 * 100 50 * 65 200 * 100 39250
（3）沃格尔（V ogel) (略）
２、３最优性检验
闭回路上，奇数次顶点的调运量加上ε，偶数 次顶点的调运量减去ε；闭回路之外的变量调 运量不变。
得到新的调运方案：
调
运
销地
量 B1
B2 100 70
X12