2017届北京市东城区高三5月综合练习(二模)理科数学试题(word版)
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北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模） 数学理试题 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2|40Axx，则ACR= （ ）
A．|2xx或2x B．|2xx或2x C．|22xx D．|22xx 2. 下列函数中为奇函数的是（ ） A．cosyxx B．sinyxx
C．yx D．xye
3. 若,xy满足1000xyxyy，则2xy的最大值为（ ） A．1 B．0 C．12 D．2 4. 设,ab是非零向量，则“,ab共线”是“abab”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5. 已知等比数列na为递增数列，nS是其前n项和.若152417,42aaaa，则6S（ ） A．2716 B．278 C. 634 D．632 6. 我国南宋时期的数学家秦九韶（约1202-1261）在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法.如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例.若输人的5,1,2nx，则程序框图计算的是（ ） 页 2第
A．5432222221 B．5432222225 C. 654322222221 D．43222221 7. 动点P从点A出发，按逆时针方向沿周长为l的平面图形运动一周，,AP两点间的距离y与动点P所走过的路程x的关系如图所示，那么动点P所走的图形可能是（ ）
A． B． C. D． 8. 据统计某超市两种蔬菜,AB连续n天价格分别为123,,,...,naaaa和123,,,...,nbbbb,令 |,1,2,...,mmMmabmn,若M中元索个数大于34n,則称蔬菜A在这n天的价格低于蔬菜B的价
格,记作:AB ,现有三种蔬菜,,ABC下列说法正确的是（ ） A．若,ABBC,则 AC B．若,ABBC同时不成立，则AC不成立 C. ,ABBA可同时不成立 D．,ABBA可同时成立 第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题（每题6分，满分30分，将答案填在答题纸上） 9. 复数i2i在平面内所对应的点的坐标为 ． 10. 在极坐标系中，直线cos3sin10与圆2cos0aa相切，则a ． 11. 某校开设A类选修课4门，B类选修课2门，每位同学需从两类选修课中共选4门.若要求至少选一门B类课程，则不同的选法共有 种.（用数字作答） 页 3第
12. 如图，在四边形ABCD中，145,30,1,2,cos4ABDADBBCDCBCD，则BD ；三角形ABD的面积为 ．
13.在直角坐标系中xOy中，直线l过抛物线24yx的焦点F，且与该抛物线相交于,AB两点，其中点A在x轴上方.若直线l的倾斜角为60，则OA ．
14. 已知函数1,0,2min1,3,2,4min3,5,4,xxfxxxxxxx. ①若fxa有且只有1个实根，则实数a的取值范围是 ． ②若关于x的方程fxTfx有且只有3个不同的实根，则实数T的取值范闱是 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.已知函数3sin2cos2(fxxaxaR).
（1）若26f，求a的值；
（2）若fx在7,1212上单调递减，求fx的最大值. 16. 小明计划在8月11日至8月20日期间游览某主题公园,根据旅游局统计数据，该主題公园在此期间“游览舒适度”（即在园人数与景区主管部门核定的最大瞬时容量之比，0040以下为舒适，00
00
40~60
为一般，0060以上为拥挤），情况如图所示，小明随机选择8月11日至8月19日中的某一天到达该主题公园，并游览2天. 页 4第
（1）求小明连续两天都遇上拥挤的概率； （2）设X是小明游览期间遇上舒适的天数，求X的分布列和数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天游览舒适度的方差最大？（结论不要求证明）
17. 如图，在几何体ABCDEF 中，平面ADE平面ABCD，四边形ABCD为菱形，且 60,2,//,DABEAEDABEFEFABM为BC中点.
（1）求证：//FM平面BDE； （2）求直线CF与平面BDE所成角的正弦值； （3）在棱CF上是否存在点G，使BGDE？若存在，求CGCF的值；若不存在，说明理由. 18. 设函数2(xfxxaxaeaR）. （1）当0a时，求曲线yfx在点1,1f处的切线方程； （2）设21gxxx，若对任意的0,2t，存在0,2s使得fsgt成立，求a的取值范围.
19. 已知椭圆2222:10xyCabab的短轴长为23，右焦点为1,0F，点M时是椭圆C上异于左、右顶点,AB的一点. （1）求椭圆C的方程； （2）若直线AM与直线2x交于点N，线段BN的中点为E.证明：点B关于直线EF的对称点在直线MF上.
20. 对于n维向量12,,...,nAaaa，若对任意1,2,...,in均有0ia或1ia，则称A为n维T向页 5第
量. 对于两个n维T向量,AB定义1,niiidABab. （1）若1,0,1,0,1,0,1,1,1,0AB, 求(,)dAB的值； （2）现有一个5维T向量序列：123,,,...AAA若11,1,1,1,1A且满足：1,2,iidAAiN，求证：该序列中不存在5维T向量0,0,0,0,0. (3) 现有一个12维T向量序列：123
,,,...AAA若1121,1,...,1A且满足：
1,,,1,2,3,...iidAAmmNi，若存在正整数j使得120,0,...,0,jjAA为12维T向量序列
中的项，求出所有的m.
北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理 试题参考答案 一、选择题 1-4: ABCB 5-8: DACC 页 6第
二、填空题 9.1,2 10.1 11.14 12.2 31 13.21 14.1, 4,22,4 三、解答题
15. 解：(1)因为3sin2cos22666fa，所以31222a，所以1a.
(2)由题意22233sin2cos233afxaxxaa23sin2ax. 其中tan3a，所以T，且712122，所以当12x时， 2max3sin126yfa
,所以23kkZ.
所以tan333aa，所以23sin23fxx，所以fx的最大值为23. 16. 解：设iA表示事件“小明8月11日起第i日连续两天游览主題公园”1,2,...9i，根据题意，19iPA，且ijAAij. （1）设B为事件“小明连续两天都遇上拥挤”.则47BAA，所以 4747
2
9PBPAAPAPA.
（2）由题意，可知X的所有可能取值为0,1,2.且478478
1
03PXPAAAPAPAPA；
35693569
4
19PXPAAAAPAPAPAPA；
1212
2
29PXPAAPAPA，所以X的分布列为
X 0 1 2 P 13 49 29
故X的期望14280123999EX. （3）从8月16日开始连续三天游览舒适度的方差最大. 17. 解：(1)取CD中点N，连接,MNFN，因为,NM分别为,CDBC中点，所以//MNBD，又 页 7第
BD平面BDE且MN平面BDE.所以//MN平面BDE，因为//,2EFABABEF，所以
//,EFCDEFDN，所以四边形EFND为平行四边形，所以//FNED.又ED平面BDE且FN平
面BDE.所以//FN平面BDE.又FNMNN，所以平面//MFN平面BDE，又FM平面MFN，所以//FM平面BDE.
(2) 取AD中点O，连结,EOBO，因为EAED，所以EOAD，因为平面ADE平面ABCD，所以EO平面,ABCDEOBO，因为,60ADABDAB，所以ADB为等边三角形，因为O为AD中点，所以ADBO.因为,,EOBOAO两两垂直，设4AB，以O为原点，,,OAOBOE为,,xyz
轴，
如图建立空间直角坐标系Oxyz.由题意，得2,0,0,0,23,0,4,23,0,2,0,0ABCD， 0,0,23,1,3,23,3,3,23,2,0,23,0,23,23EFCFDEBE
.
设平面BDE的法向量为,,nxyz，则00nBEnDE，即030yzxz，令1z，则1,3yx.
所以3,1,1n，设直线CF 与平面BDE所成角为，10sincos,10CFn，所以直线CF与平面ADE所成角的正弦值为1010.
高三数学5月综合练习二模试题理
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（二）数 学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{}{}142, A x x B x x =≤≤=>，那么A B =U （A ）(24),（B ）(24,]（C ）[1+),∞（D ）(2),+∞2. 下列函数中，既是偶函数又是()0+∞,上的增函数的是 （A ）3x y -=（B ）xy 2=（C ）12y x =（D ）3log ()y x =-3. 在极坐标系中，点)4,π到直线cos sin 10ρθρθ--=的距离等于（A（B（C（D ）24. 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为12y x =±的是（A ）2214yx -= （B ）2214xy -=（C ）2214yx -= （D ）2214xy -=5. 已知向量1)2=，a，1)=-b ，则，a b 的夹角为 （A ）π4 （B ）π3（C ）π2（D ）2π36. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 （A ）1（B（C（D ）27. ()S A 表示集合A 中所有元素的和，且{}12345A ⊆,,,,，若()S A 能被3整除，则符合条件的非空集合A 的个数是 （A ）10 （B ）11 （C ）12 （D ）138. 血药浓度（Plasma Concentration ）是指药物吸收后在血浆内的总浓度. 药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确．．．的个数是 ①首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用②每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒③每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个第二部分 （非选择题 共110分）侧视图俯视图正视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 在复平面内，复数34i i+对应的点的坐标为 ．10. 执行右图所示的程序框图，若输入=x 的值为6，则输出的x 值为 ．11. 点A 从(10),出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B的坐标是34()55,-,记AOB α∠=,则sin 2α= ．12. 若x ，y 满足11，，，y y x x y m ≥≤-+≤⎧⎪⎨⎪⎩且22z x y =+的最大值为10，则m = ．13. 已知函数f (x )的定义域为R . 当0<x 时，()ln()f x x x =-+；当e e x -≤≤时，()()f x f x -=-；当1x >时，(2)()f x f x +=，则(8)f = ．14. 已知O 为ABC △的外心，且BO BA BC λμ=+u u r u u r u u r.①若90C ︒∠=，则λμ+= ；②若60ABC ︒∠=，则λμ+的最大值为 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）在锐角ABC △中，2sin a B b =. （Ⅰ）求∠A 的大小；cos()6B C π-+的最大值.16.（本小题共13分）某社区超市购进了A ,B ,C ,D 四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为12315i a i = ,,,,,）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位：件）：（Ⅰ）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A 的月销售量（单位：件）；（Ⅱ）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包.现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X ， 求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）若某顾客已选中产品B ，为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17.（本小题共14分）如图所示的几何体中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥CD ，22AB AD ==，60DAB ∠=︒60︒，四边形CDEF 为正方形，平面CDEF ⊥平面ABCD .（Ⅰ）若点G 是棱AB 的中点，求证：EG ∥平面BDF ； （Ⅱ）求直线AE 与平面BDF 所成角的正弦值；（Ⅲ）在线段FC 上是否存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ？若存在，求FHHC 的值；若不存在，说明理由.18.（本小题共13分）已知函数()e ln xf x a x a =--.（Ⅰ）当e a =时，求曲线()y f x =在点(1(1)),f 处的切线方程；（Ⅱ）证明：对于(0e)a ∀∈,，()f x 在区间()e ,1a上有极小值，且极小值大于0.19.（本小题共14分）已知椭圆E 的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，点M 3(1)2,在椭圆E 上.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设(40),P -，直线1y kx =+与椭圆E 交于A ,B 两点，若直线PA ,PB 均与圆)0(222>=+r r y x 相切，求k 的值.20.（本小题共13分）若无穷数列{}n a 满足：k ∃∈*N ，对于00()n n n ∀≥∈*N ，都有n k n a a d +-=（其中d 为常数），则称{}n a 具有性质“0()P k n d ,,”.（Ⅰ）若{}n a 具有性质“(320)P ,,”，且23a =，45a =，67818a a a ++=，求3a ； （Ⅱ）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，132b c ==，318b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质“(210)P ,,”，并说明理由；（Ⅲ）设{}n a 既具有性质“1(2)P i d ,,”，又具有性质“2(2)P j d ,,”，其中i j ∈*N ，，i j <，i j ,互质，求证：{}n a 具有性质“1(2)j iP j i i d i--+,,”.（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05GAD EFBC二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分） 解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分因为0πB <<，所以s i B >，从而2s i A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △，所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）因为πi n c o s ()=6B C B A C -+-+..………………7分cos B B + ..………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2， 与锐角ABC△矛盾，故πcos()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分 X 可取0，2，4，6 ， .………………6分 (=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125，2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，.………………8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分（Ⅲ）产品D . ……………13分 17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ，故四边形EFBG 为平行四边形, 所以EG //FB . (2)分因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ， 所以EG //平面BDF ．解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF 平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==， 所以由余弦定理，得BD = 所A ⊥．在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==如图,以D 为原点，以DA DB DE ，，所在直线分别为建立空间系， 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，B ，(F 所以(1,0,1)AE =- ，1(2DF =- ，DB = 设平面B D 的法向量为00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分 所以0102x y z =⎨-++=⎪⎩，取1z =，则(2,=n ． ………………8分设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ，则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，=………………9分所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为. ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤， 则1()2DH t =- ． 设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 所以0102a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得,1)． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需， ………………13分 即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面B D F ⊥平面………………14分13分） ：（Ⅰ）()f x 的定义域为0+∞， …………………1分y因为e a =，所以()e e x f x x =-+，所以e()exf x x'=-. …………………2分 因为(f =，(1)0f '=， …………………3分所以曲线()y f x =在点(1,(f 处的切线方程为0y =. …………………4分 （Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e()e e 0ea a f '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)ea x ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)ea x 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x .…………………10分因为00e 0x ax -=,所以1()=x f x ax -+=. …………………11分设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)eax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x +'=--=-， ………………12分所以()0g x '<，即()g x 在(,1)e a上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a =+，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线PA , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BPk k +=，..………………7分即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=， 所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分代入①，得1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥. 由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分因为6718a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分（Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠， 故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分（Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.②因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质， 所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i=. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分所以1n j ij ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市东城区届高三月综合练习理科数学试题二含答案
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准 （理科）第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.C3.A4.D5.A6.C7.A8.D第Ⅱ卷（共110分）二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 9. 122a -<< 10. 5 11. 52 12. 0.4;13． 13. 31,22⎛⎤+ ⎥⎝⎦14. ①②④ 三、解答题(本大题共6小题，共80分)15.（本小题共13分）解：(Ⅰ)因为()3sin cos 12sin()+16f x x x x πωωω=++=+， 又()f x 的最小正周期为π，所以π2πω=，即ω=2. --------------------------------------------------------------------6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知()2sin(2)+16f x x π=+， 因为02x π≤≤， 所以72666x πππ≤+≤. 由正弦函数的性质可知，当262x ππ+=，即6x π=时，函数()f x 取得最大值，最大值为f (6π)=3； 当7266x ππ+=时，即2=x π时，函数()f x 取得最小值，最小值为f (2π)=0. ------13分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为ABC ∆是等腰直角三角形90CAB ∠=o ，E F ，分别为AC BC ，的中点， GD F EC 'CB A所以EF AE ⊥，EF C E '⊥.又因为AE C E E '⋂=,所以EF AEC '⊥平面.由于EF AB P ,所以有AB AEC '⊥平面. -------------------------4分 解：（Ⅱ）(i)取AC '中点D ，连接,,,DE EF FG GD ,由于GD 为ABC '∆中位线，以及EF 为ABC ∆中位线,所以四边形DEFG 为平行四边形.直线GF 与AC '所成角就是DE 与AC '所成角.所以四棱锥C ABFE '-体积取最大值时，C E '垂直于底面ABFE .此时AEC '∆为等腰直角三角形，ED 为中线，所以直线ED AC '⊥.又因为ED GF P ,所以直线GF 与AC '所成角为π2. -------------------------------------------------------10分 (ii) 因为四棱锥C ABFE '-体积取最大值,分别以EA EF EC '、、所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图，则(0,0,)C a '，(,2,0)B a a ，(0,,0)F a ，(,2,)C B a a a '-，(0,,)C F a a '-.设平面C B F '的一个法向量为n =(x,y,z),由0,0C B C F ⎧⎪⎨⎪⎩'⋅='⋅=n n uuu r uuu r 得⎩⎨⎧=-=-+002az ay az ay ax , 取y =1，得x =-1,z =1．由此得到n =(-1,1,1). zy x F E C 'CB A同理，可求得平面C AE '的一个法向量m =(0,1,0). 所以 13cos 33⋅==n m .故平面C'AE 与平面C'BF 的平面角的夹角的余弦值为33.--------------------------------------14分17.（本小题共13分）解：（Ⅰ）根据投篮统计数据，在10场比赛中，甲球员投篮命中率超过0.5的场次有5场， 分别是4，5，6，7，10，所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是12. 在10场比赛中，乙球员投篮命中率超过0.5的场次有4场，分别是3，6，8，10， 所以在随机选择的一场比赛中，甲球员的投篮命中率超过0.5的概率是25. ---------------------------------------3分（Ⅱ）设在一场比赛中，甲、乙两名运动员恰有一人命中率超过0.5为事件A ，甲队员命中率超过0.5且乙队员命中率不超过0.5为事件1B ，乙队员命中率超过0.5且甲队员命中率不超过0.5为事件2B .则1213121()()()25252P A P B P B =+=⨯+⨯=.------------------------------------------------7分 （Ⅲ）X 的可能取值为0,1,2,3.00332327(0)()()55125P X C ===； 11232354(1)()()55125P X C ===； 22132336(2)()()55125P X C ===； 33328(3)()5125P X C ===； X 的分布列如下表： X0 1 2 3 P27125 54125 36125 812526355EX np ==⨯=. --------------------------------------------------------13分 18.（本小题共14分）解：（Ⅰ）222(31)()2(1)(2)22x x f x x x x x -++'=-+=>-++ , 当()0f x '>时，所以 2310x x ++<.解得 3522x -+-<<. 当()0f x '>时, 解得 352x -+>. 所以 ()f x 单调增区间为35(2,)2-+-，单调减区间为35(,)2-++∞.------------4分 （Ⅱ） 设2()()()2ln(2)(1)(1)(1)h x f x g x x x k x x =-=+-+-+>-, 当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立.22(31)2(3)(1)()222x x x x h x x x -++-++'=-=++, 当1x >-时，()0h x '<恒成立，()h x 单调递减． 又(1)0h -=,当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<. 对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立. ---------------------------------8分（Ⅲ） 因为 222(31)2(6)22()22x x x k x k h x k x x -++++++'=-=-++.由(II)知，当k = 2时，f (x) < g (x)恒成立， 即对于x > –1，2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1)，不存在满足条件的x 0；当k > 2时，对于x > –1，x + 1 > 0，此时2 (x + 1) < k (x + 1).2 ln (x + 2) – (x + 1)2 < 2 (x + 1) < k (x + 1)，即f (x) < g (x)恒成立， 不存在满足条件的x 0；当k < 2时，令t (x) = –2x 2 – (k + 6)x – (2k + 2)，可知t (x)与h (x)符号相同,当x (x 0 , +)时，t (x) < 0，h (x) < 0，h (x)单调递减．当x (–1 , x 0)时，h (x) > h (–1) = 0，即f (x) – g (x) > 0恒成立．综上，k 的取值范围为(–, 2)． -------------------------------------------------------14分 19.（本小题共13分）解:（Ⅰ）由题意,以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形,所以 b c =, 222b a =, 则椭圆C 的方程为122222=+b y b x . 又因为椭圆C:过点A(2，1)，所以112222=+bb ，故a=2,b=.2 所以 椭圆的的标准方程为12422=+y x . --------------------------------------------------------4分 (Ⅱ)222)(y p x MP +-=. 因为 M(x,y)是椭圆C 上的动点，所以12422=+y x ， 故 22)41(2222x x y -=-=. 所以 222222211()222(2) 2.222x MP x p x px p x p p =-+-=-++=--+ 因为M(x,y)是椭圆C 上的动点，所以 2≤x .（1） 若22≤p 即1≤p ，则当2x p =时MP 取最小值22p -，此时M 2(2,22)p p ±-.（2）若1p >，则当2x =时，MP 取最小值2-p ，此时M )0,2(.（3）若1p <-，则当2x =-时，MP 取最小值2+p ，此时M )0,2(-. -------13分20.（本小题共13分）（Ⅰ）由212(1)n n n n d a a a n ++=+-≥以及n n d a =可得： 2120(1)n n a a n ++-=≥所以从第二项起为等比数列. 经过验证{}n a 为等比数列12n n a -=. -------------------2分(Ⅱ)由于1n d ≥所以有2121n n n a a a +++-≥.令1n n n c a a +=-则有11n n c c +-≥叠加得：4n c n ≥-所以有14n n a a n +-≥-，叠加可得：29102n n n a -+≥，所以最小值为-5. --------------------------------------------------------6分（Ⅲ）由于1n d =，11a =， 21a =若11d =可得32a =，若11d =-可得30a =同理，若21d =可得44a =或42a =，若21d =-可得40a =或42a =-具体如下表所示7452321111010325⎧⎧⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎨⎧⎧⎪⎨⎪⎪-⎪⎩⎪⎨⎪-⎧⎪-⎪⎨⎪-⎩⎪⎩⎩所以{}n a 可以为112211221122L L或110011001100L L此时相应的{}n d 为 11111111----L L或11111111----L L------------------------------------------------------13分。
北京东城区2017-2018学年高三二模文科数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年北京东城区高三二模文科数学试卷一、单选题（共8小题）1．已知集合，，那么（）A．B．C．D．2．如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（）A．B．C．D．3．执行如图所示程序框图，则输出的结果是（）A．B．C．D．4．已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（）A．B．C．D．5．设，为实数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．已知函数是偶函数,且，则（）A．B．C．D．7．已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量，则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．8．如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，，，它们的离心率分别为，，，则（）A．B．C．D．二、填空题（共6小题）9.如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数_____________．10.若函数在区间上有且只有一个零点，则实数_______．11.已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数_______.12.已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.13.已知数列满足,，且，，则；数列的前项的和为________．14.一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免元；优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的．某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．三、解答题（共6小题）15.在△中，角，，所对的边分别是，，，且．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）若，且，求△的面积．16.已知等差数列满足，，其前项和为.（Ⅰ）求的通项公式及；（Ⅱ）令，求数列的前项和.17.在梯形中，，，.平面⊥平面，四边形是矩形，，点在线段上．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）试问当为何值时，AM//平面？证明你的结论．（Ⅲ）求三棱锥的体积.18.某出租车公司响应国家节能减排的号召，已陆续购买了辆纯电动汽车作为运营车辆．目前我国主流纯电动汽车按续航里程数（单位：公里）分为类，即类：，类：，类：．该公司对这辆车的行驶总里程进行统计，结果如下表：（Ⅰ）从这辆汽车中任取一辆，求该车行驶总里程超过万公里的概率；（Ⅱ）公司为了了解这些车的工作状况，决定抽取辆车进行车况分析，按表中描述的六种情况进行分层抽样，设从类车中抽取了辆车．（ⅰ）求的值；（ⅱ）如果从这辆车中随机选取两辆车，求恰有一辆车行驶总里程超过万公里的概率．19.已知椭圆与轴交于两点，为椭圆的左焦点，且△是边长为等边三角形．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为（与不重合），则直线与轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．20.设函数，．（Ⅰ）若，求在区间上的最大值；（Ⅱ）设，求证：当时，过点有且只有一条直线与曲线相切；（Ⅲ）若对任意的，均有成立，求的取值范围．答案部分1.考点：集合的运算试题解析：所以。
2023.5北京东城区 高三二模数学 答案
北京市东城区2022—2023学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准2023.5一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）A （5）D （6）C（7）B（8）C（9）C（10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）12（12）π12（13）0m =(答案不唯一)（14）717（15）①③④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin b A a B =，由题设得sin cos02Ba B a -=，2sincos cos 0222B B Ba a -=，因为022B π<<，所以cos 0.2Ba ≠所以1sin22B =.26B π=,3B π=.………………6分（Ⅱ）选条件①：sin sin 2sin .A CB +=因为3,3b B π==，sin sin 2sin .A C B +=由正弦定理得26a c b +==，由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-，解得9ac =.所以1sin 24ABC S ac B ==△．由9,6,ac a c =⎧⎨+=⎩解得3a =.………13分选条件②：c =已知,3,3,3B b c π===由正弦定理得1sin sin 2c C B b ==，因为c b <，所以6C π=,2A π=.223.a b c =+=所以13322ABC S bc ==△．（17）（共14分）解：（I ）由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，，所以AC ⊥平面ABD ．因为BE ⊂平面ABD ，所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点，所以AD ⊥BE .因为AC AD A =，所以BE ⊥平面ACD ．所以BE CD ⊥.………………6分（II ）设AEADλ=，[0,1]λ∈.取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ，则OD ⊥AB ，OF AC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ，所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD .如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，3)D ．所以(2,0,0)BA =- ，3)AD = ，(2,2,0)BC =- ，(1,3)CD =-，(3)BE BA AE BA AD λλλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,BC BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即220,(2)30.x y x z λλ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令3x λ=，则3y λ=，2z λ=-.于是(33,2)λλλ=-n .因为直线CD 和平面BCE所成角的正弦值为10，所以||10|cos ,|10||||CD CD CD ⋅<>==n n n ，整理得2826110λλ-+=，解得12λ=或114λ=.因为[0,1]λ∈，所以12λ=，即12AE AD =.………………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名，该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7………3分（Ⅱ）（i）随机变量X 可能的取值为0，1，2．这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.2793(0)7C P X ===；2762(1)7C P X ===；2762(2)7C P X ===．则随机变量X 的分布列为：X 012P372727X 的数学期望32260127777EX =⨯+⨯+⨯=．………11分（ii）DX DY <.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）因为抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)，所以24p =，即2p =．故抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-.所以112 1.2OFM S =⨯⨯=△………………6分（Ⅱ）设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠．由24, y x y kx m⎧=⎪⎨=+⎪⎩得222(24)0k x km x m +-+=．由0∆>有10km ->．设1111(,),(,),A x yB x y 则12242km x x k -+=，2122m x x k =．设AB 的中点为00(,)N x y ，则120222x x kmx k+-==.N 到准线的距离20221k km d x k -+=+=，12AB x =-==依题意有2ABd =，222k km k -+=，整理得2220k km m ++=，解得0k m +=，满足0∆>．所以直线(0)y kx m k =+≠过定点(1,0)．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）()e (sin cos )2x f x x x '=+-，(0)1f '=-，(0)0f =.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.………………5分（Ⅱ）令()()e (sin cos )2x g x f x x x '==+-，则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，(1)e(sin1cos1)20g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增．()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121ef -=->，所以()()max sin112ef x f =-=-.………………11分（Ⅲ）满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e xf x x a +>恒成立等价于sin ex xa x <-恒成立.令()sin e xx x x ϕ=-，当0x ≤时，0e xx-≥，所以()1x ϕ>-恒成立.当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，1()e x x h x -'=，()h x '与()h x 的情况如下：x (0,1)1(1,)+∞()h x '-0+()h x 1e-所以min 1()(1).eh x h ==-当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0，所以()h x 的值域为1[,0)e-.因为sin [1,1]x ∈-，所以()x ϕ的最小值小于1-且大于2-．所以a 的最大整数值为2-.………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）由题设知(5){478}A =，，，(5)=3s .………………4分（Ⅱ）依题意()1(12)i s a i n ≥=，，， ，则有11.()i s a ≤因此12111.()()()n n s a s a s a +++≤ 又因为12111()()()n n s a s a s a +++=，所以() 1.i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.………………9分（Ⅲ）依题意12,.a a ab ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ≠时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，.同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈.令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .………………15分。
北京市东城区2023届高三二模数学试题真题卷(含答案与解析)
北京市东城区2022~2023学年度高三二模试卷数 学本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{N |15}A x x =∈-<<，{0,1,2,3,4,5}B =，则（ ） A. A ⫋BB. A B =C. B A ∈D. BA ⊆2. 已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（ ）A 1B.C. 2D. 43. 已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（ ） A.1116B.3116C. 11D. 314. 在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（ ）A.B.C. 1-D. i -5.已知点(M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（ ） A. 30B. 60C. 120D. 1506. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ）.A 13种B. 14种C. 15种D. 16种7. 设函数22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. [2,4]C. [2,+)∞D. [4,)+∞8. “cos 0θ= ”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 无数个10. 设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数底数，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. a c b >>第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量,a b 满足2,1a b == ，a 与b 的夹角为π3，则a b ⋅= ______;2a b -= ______12. 函数()sin(+)(0,)2f x x ωϕωϕπ=><在一个周期内的部分取值如下表： x12π-12π4π512π 712π ()f xa1 aa -1-则()f x 的最小正周期为_______；=a _______．13. 若2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，则实数m 的一个取值为__________.14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，平面ACE 将正方体分成体积分别为1V ，2V （12V V ≤） 的两部分，则12V V =_______ .的的15. 定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 给出下列四个结论： ①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值； ②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值； ④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k -+存在最大值，则()f x 存在最大值. 其中所有错误结论的序号有_______．三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中,sin cos 02Bb A a -=. （1）求B ∠;（2）若3b =,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求a 及ABC 的面积.条件①:sin sin 2sin A C B +=;条件②:c =条件③:10ac =.17. 如图，直角三角形ABC 和等边三角形ABD 所在平面互相垂直，2AB AC ==，E 是线段AD 上一点.（1）设E 为AD 的中点，求证：BE CD ⊥；（2）若直线CD 和平面BCE AE AD 的值.18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83907595936176（1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；（2）设(1,2,,7)i x i = 表示第i 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据,(1,7,)i j x x i j i j ≤≤≠，定义随机变量X ，Y 如下：0,02,0,03,1,24,1,36,2,46,2,63,6.i j i j i j i j i j i j i j x x x x x x X x x Y x x x x x x ⎧≤-⎪⎧≤-<⎪⎪≤-⎪⎪=≤-<=⎨⎨≤-⎪⎪-≥⎪⎪⎩-≥⎪⎩＜＜＜，（i ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（ii ）设随机变量X ，Y 的的方差分别为()D X ，()D Y ，试比较()D X 与()D Y 的大小．（结论不要求证明）19. 已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(1,2)M ． （1）设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；（2）设斜率为(0)k k ≠的直线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-.（1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对x ∈R 恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由.21. 已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ；（2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.参考答案一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{N |15}A x x =∈-<<，{0,1,2,3,4,5}B =，则（ ） A. A ⫋B B. A B =C. B A ∈D. BA ⊆【答案】A 【解析】【分析】用列举法写出集合A ，利用集合间的基本关系判断．【详解】{N |15}{0,1,2,3,4}A x x =∈-<<=，{0,1,2,3,4,5}B =，则A ⫋B . 故选：A.2. 已知椭圆2213x y m m+=的一个焦点的坐标是(2,0)-，则实数m 的值为（ ）A. 1B.C. 2D. 4【答案】C 【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，结合222a c b -=，即可求解. 【详解】由条件可知，23a m =，2b m =，2c =， 所以22224a b c m -=⇔=，得2m =， 故选：C3. 已知数列{}n a 中，11a =，+121=0n n a a -，n S 为其前n 项和，则5S =（ ） A.1116B.3116C. 11D. 31【答案】B 【解析】【分析】由已知得到112n n a a +=，判定该数列为等比数列，进而利用求和公式计算. 的【详解】由+121=0n n a a -得112n n a a +=，又∵11a =，∴数列{}n a 为首项为1，公比为12的等比数列，∴5S =5411121312121612⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-= ⎪⎝⎭-， 故选：B.4. 在复平面内，O 是原点，向量OZ 对应的复数是1i -+，将OZ 绕点O 按逆时针方向旋转π4，则所得向量对应的复数为（ ）A.B.C. 1-D. i -【答案】A 【解析】【分析】由复数的几何意义结合图象可得. 【详解】如图，由题意可知()1,1OZ =- ，OZ 与x 轴夹角为3π4，绕点O 逆时针方向旋转π4后Z 到达x 轴上1Z点，又1OZ OZ == ，所以1Z的坐标为()，所以1OZ对应的复数为. 故选：A.5.已知点(M 在圆22:C x y m +=上，过M 作圆C 的切线l ，则l 的倾斜角为（ ） A. 30 B. 60C. 120D. 150【答案】D 【解析】【分析】先根据点在圆上，求出4m =，考虑l 的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.【详解】由题意得134m =+=，当l 的斜率不存在时，此时直线方程为1x =，与圆22:4C x y +=相交，不合题意， 当l 的斜率存在时，设切线l的方程为()1y k x =-，2，解得k =， 设l 的倾斜角为0180θ︒≤<︒， 故l 的倾斜角为150 . 故选：D6. 某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（ ） A. 13种 B. 14种 C. 15种 D. 16种【答案】C 【解析】【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有14C 4=种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有24C 6=种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有34C 4=种， 从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有44C 1=种，所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有464115+++=种， 故选：C.7. 设函数22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，若()f x 为增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. (0,4]B. [2,4]C. [2,+)∞D. [4,)+∞【答案】B 【解析】【分析】首先分析函数在各段函数的单调性，依题意可得0a >且22a a ≥，结合2y x =与2x y =的函数图象及增长趋势求出参数的取值范围.【详解】因为22,(),x x af x x x a⎧≤=⎨>⎩，当x a ≤时()2x f x =函数单调递增，又2y x =在()0,∞+上单调递增，在(),0∞-上单调递减，要使函数()f x 为增函数，则0a >且22a a ≥，又函数2y x =与2x y =在()0,∞+上有两个交点()2,4和()4,16， 且2x y =的增长趋势比2y x =快得多，2y x =与2x y =的函数图象如下所示：所以当>4x 时22x x >，当24x <<时22x x >，当02x <<时22x x >， 所以24a ≤≤，即实数a 取值范围是[2,4]. 故选：B8. “cos 0θ= ”是“函数()sin()cos f x x x θ=++为偶函数”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用cos 0θ=，得出ππ,Z 2k k θ=+∈，从而求出()f x ，再利用偶函数的定义进行判断即可得出充分性成立，再利用()()f x f x -=，得出cos 0θ=，从而判断必要性成立，从而得出结果. 【详解】若cos 0θ=，得到ππ,Z 2k k θ=+∈，所以π()sin()cos sin(π)cos 2f x x x x k x θ=++=+++， 当21,Z k m m =+∈时，()0f x =，当2,Z k m m =∈时，()2cos f x x =， 即()0f x =或()2cos f x x =，当()0f x =时，恒有()()f x f x -=，当()2cos f x x =时，()2cos()2cos ()f x x x f x -=-==， 所以，若cos 0θ=，则()f x 为偶函数，若()f x 为偶函数，则()()f x f x -=，所以sin()cos()sin()cos x x x x θθ-++-=++，化简得sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=，故选：C.的9. 已知三条直线1:220l x y -+=，2:20l x -=，3:0+=l x ky 将平面分为六个部分，则满足条件的k 的值共有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 无数个【答案】C 【解析】【分析】考虑三条直线交于一点或3l 与1l 或2l 平行时，满足条件，求出答案. 【详解】当三条直线交于一点时，可将平面分六个部分， 联立1:220l x y -+=与2:20l x -=，解得22x y =⎧⎨=⎩，则将22x y =⎧⎨=⎩代入3:0+=l x ky 中，220k +=，解得1k =-，当3:0+=l x ky 与1:220l x y -+=平行时，满足要求，此时2k =-， 当3:0+=l x ky 与2:20l x -=平行时，满足要求，此时0k =， 综上，满足条件的k 的值共有3个. 故选：C 10. 设0.01e , 1.01,ln1.01a b c ===，其中e 为自然对数的底数，则（ ）A. a b c >>B. b a c >>C. b c a >>D. a c b >>【答案】A 【解析】【分析】构造函数()e (1)x f x x =-+，利用导数讨论其单调性，然后可比较a ，b ；构造函数()ln g x x x =-，利用导数讨论其单调性，然后可比较b ，c ，然后可得.【详解】令()e (1)x f x x =-+，则()e 1xf x '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 单调递增，所以0.01(0.01)e 1.01(0)0f f =->=，即0.01e 1.01>， 令()ln g x x x =-，则11()1x g x x x-'=-=， 当1x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以(1.01)ln1.01 1.01(1)10g g =-<=-<，即ln1.01 1.01< 所以a b c >>. 故选：A为第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知向量,a b 满足2,1a b == ，a 与b 的夹角为π3，则a b ⋅= ______;2a b -= ______【答案】 ①. 1②. 2【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解作答.【详解】因为向量,a b 满足2,1a b == ，a 与b 的夹角为π3，所以π1||||cos 21132a b a b ⋅==⨯⨯= ，22a b -==== .故答案为：1；212. 函数()sin(+)(0,)2f x x ωϕωϕπ=><在一个周期内的部分取值如下表： x12π-12π4π512π 712π ()f xa1 aa -1-则()f x 的最小正周期为_______；=a _______． 【答案】 ①.π②.12【解析】【分析】先利用图表求出最小正周期，进而求出,ωϕ，得到π()sin(2)3f x x =+，再将π4x =代入即可求出结果.【详解】由图表知，当π12x =时，()1f x =，当7π12x =时，()1f x =-，所以7πππ212122T =-=，即πT =,又2ππT ω==，0ω>，所以得到2ω=，又由ππ22π,Z 122k k ϕ⨯+=+∈，得到ππ,Z k k ϕ=+∈23，又π2ϕ<，所以π3ϕ=，故π()sin(2)3f x x =+，所以ππ5π1sin(2)sin 4362a =⨯+==， 故答案为：π，12.13. 若2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，则实数m 的一个取值为__________. 【答案】0m =（答案不唯一） 【解析】【分析】根据题意，由交集的定义可知不等式220x x m -+>的解集为()(),02,-∞+∞ 的子集即可满足题意.【详解】因为2{|20}x x x m -+>≠∅，且当440m ∆=-≤时，即1m £时，2{|01}{|20}x x x x x m ≤≤-+>≠∅ ， 当0∆>时，即1m >时，才有可能使得2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，当220x x m -+=的两根刚好是0,2时，即0m =，此时220x x ->的解集为()(),02,-∞+∞ 刚好满足2{|01}{|20}=x x x x x m ≤≤-+>∅ ，所以0m ≤，所以实数m 的一个取值可以为0m =. 故答案为: 0m =14. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，平面ACE 将正方体分成体积分别为1V ，2V （12V V ≤） 的两部分，则12V V =_______【答案】717【解析】【分析】利用线面平行的性质，得出线线平行，从而求作出平面ACE 与平面1111D C B A 的交线，进而得出平面ACE 分正方体为两个棱台，再利用棱台的体积公式即可求出结果.【详解】取11B C 的中点H ，连CH ，因为//AC 平面1111D C B A ，故AC 平行于平面ACE 与面1111D C BA的交线，又,E H 分别为1111,A B B C 的中点，易知11////EH A C AC ，即平面ACE 平面1111A B C D EH =，故平面ACE 分正方体为两个棱台，设正方体的边长为2，则正方体的体积为8，11111117((223323EB H ABC EB H ABC V V S S BB -==++⋅=++⨯= ，故1277371783V V ==-, 故答案为：717.15. 定义在区间[1,)+∞上的函数()f x 的图象是一条连续不断的曲线，()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 给出下列四个结论： ①若{(2)}f k 为递增数列，则()f x 存在最大值； ②若{(2+1)}f k 为递增数列，则()f x 存在最小值；③若(2)(21)0f k f k +>，且(2)(21)f k f k ++存在最小值，则()f x 存在最小值； ④若(2)(21)0f k f k +<，且(2)(21)f k f k -+存在最大值，则()f x 存在最大值. 其中所有错误结论的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】【分析】结合函数的单调性判断最值，即可判断①②，利用取反例，判断③④.【详解】①由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，1,2,.k = 那么在区间[]21,21k k -+，函数的最大值是()2f k ，若数列{(2)}f k 为递增数列，则函数()f x 不存在最大值，故①错误；②由条件可知，函数()f x 在区间[21,2]k k -上单调递增，在区间[2,21]k k +上单调递减，若{(2+1)}fk为递增数列，那么在区间[]21,21k k -+的最小值是()21f k -，且{(2+1)}f k 为递增数列，所以函数()f x 在区间[)1,+∞的最小值是()1f ，故②正确；③若(2)(21)0f k f k +>，取()()122121f k k kf k k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,*N k ∈, 则()()2212f k f k k ++=，存在最小值，但此时()f x 的最小值是()121f k k+=的最小值，函数单调递减，无最小值，故③错误；④若(2)(21)0f k f k +<，取()()12221212k k f k f k ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=-⎪⎩，则()()2212f k f k -+=恒成立，则()()221f k f k -+有最大值，但()f x 的最大值是()1222k f k =-的最大值，函数单调递增，无最大值，故④错误. 故答案为：①③④三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16. 在ABC 中,sin cos 02Bb A a -=. （1）求B ∠;（2）若3b =,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使ABC 存在且唯一确定,求a 及ABC 的面积.条件①:sin sin 2sin A C B +=; 条件②:c =条件③:10ac =. 【答案】（1）π3B =（2）答案见解析 【解析】【分析】（1）利用正弦定理和二倍角公式求解即可; （2）结合正弦定理和余弦定理求解即可; 【小问1详解】由正弦定理得sin sin b A a B =, 得sin cos02Ba B a -=, 2sincos cos 0222B B Ba a -=, 因为π022B <<, 所以cos0.2Ba ≠ 则1sin22B =. 所以π26B =, 所以π3B =. 【小问2详解】选条件①:sin sin 2sin .A C B += 因为π3,3b B ==,sin sin 2sin .A C B += 由正弦定理得26a c b +==,由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-, 解得9ac =，则96ac a c =⎧⎨+=⎩, 解得33a c =⎧⎨=⎩，所以ABC 存在且唯一确定,则1sin 2ABC S ac B ==.选条件②:c =已知,3,3B b c π===由正弦定理得1sin sin 2c C B b ==, 因为c b <, 所以π6C =,π2A =,a ==所以ABC 存在且唯一确定,则12ABC S bc ==△. 选条件③:10ac =,由余弦定理得2229()3a c ac a c ac =+-=+-,即a c +,所以)10a a =,即2100a +=,因241010-⨯=-<,所以不存在a 使得ABC 存在.17. 如图，直角三角形ABC 和等边三角形ABD 所在平面互相垂直，2AB AC ==，E 是线段AD 上一点.（1）设E 为AD 的中点，求证：BE CD ⊥； （2）若直线CD 和平面BCEAE AD 的值.【答案】（1）证明见解析（2）12AE AD = 【解析】【分析】（1）要证明线线垂直，利用面面垂直的性质定理，转化为证明BE ⊥平面ACD ； （2）首先设AEADλ=，[0,1]λ∈，再以AB 的中点O 为原点，建立空间直角坐标系，根据线面角的向量公式，列式求解. 【小问1详解】为由题设知.AB AC ⊥因为平面ABC ⊥ 平面ABD ，平面ABC 平面ABD AB =，， 所以AC ⊥平面ABD ． 因为BE ⊂平面ABD ， 所以AC ⊥BE .因为ABD △为等边三角形，E 是AD 的中点， 所以AD ⊥BE .因为AC AD A =，,AC AD ⊂平面ACD ， 所以BE ⊥平面ACD ． 所以BE CD ⊥【小问2详解】 设AEADλ=，[0,1]λ∈. 取AB 的中点O ，BC 的中点F ，连接OD ，OF ， 则OD ⊥AB ，OF AC .由（I ）知AC ⊥平面ABD ，所以OF ⊥平面ABD ， 所以OF ⊥AB ，OF ⊥OD . 如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，(1,2,0)C -，D ．所以(2,0,0)BA =- ，AD = ，(2,2,0)BC =-，(1,CD =- ，()BE BA AE BA AD λλ=+=+=-.设平面BCE 的法向量为(,,)n x y z = ，则0,0,n BC n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,(2)0.x y x z λ-+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令x =，则y =，2z λ=-.于是,2)n λ=-..因为直线CD 和平面BCE所以|||cos ,|||||CD n CD n CD n ⋅<>===， 整理得2826110λλ-+=， 解得12λ=或114λ=. 因为[0,1]λ∈， 所以12λ=，即12AE AD =. 18. 某数学学习小组的7名学生在一次考试后调整了学习方法，一段时间后又参加了第二次考试．两次考试的成绩如下表所示（满分100分）：学生1 学生2 学生3 学生4 学生5 学生6 学生7 第一次 82 89 78 92 92 65 81 第二次 83907595936176（1）从数学学习小组7名学生中随机选取1名，求该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率；（2）设(1,2,,7)i x i = 表示第i 名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差.从数学学习小组7名学生中随机选取2名，得到数据,(1,7,)i j x x i j i j ≤≤≠，定义随机变量X ，Y 如下：0,02,0,03,1,24,1,36,2,46,2,63,6.i j i j i j i j i j i j i j x x x x x x X x x Y x x x x x x ⎧≤-⎪⎧≤-<⎪⎪≤-⎪⎪=≤-<=⎨⎨≤-⎪⎪-≥⎪⎪⎩-≥⎪⎩＜＜＜，（i ）求X 的分布列和数学期望()E X ；（ii ）设随机变量X ，Y 的的方差分别为()D X ，()D Y ，试比较()D X 与()D Y 的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）4.7（2）（i ）分布列见解析，67；（ii ）()()D X D Y <.【解析】【分析】（1）利用古典概型直接计算即可；（2）（i ）列出变量X 的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，利用公式直接求解数学期望即可；（ii ）计算方差，利用方差的含义直接判断即可. 【小问1详解】根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，则从数学学习小组7名学生中随机选取1名， 该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为4.7【小问2详解】（i ）随机变量X 可能的取值为0，1，2.这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-.X 0=时，若0i j x x -=，有(1,1)，(1,1)，(1,1)共3种，若1i j x x -=，有(3,4)--，(4,5)--共2种，若2i j x x -=，有(1,3)，(1,3)，(1,3)，(3,5)--共4种， 故()27930C 7P X ===； 1X =时，若4i j x x -=，有(1,3)-，(1,3)-，(1,3)-共3种，若5i j x x -=，有(1,4)-，(1,4)-，(1,4)-共3种， 故()27621C 7P X ===； 2X =时，若6i j x x -=，有(1,5)-，(1,5)-，(1,5)-，(3,3)-共4种，若7i j x x -=，有(3,4)-共1种， 若8i j x x -=，有(3,5)-共1种， 故()27622C 7P X ===. 则随机变量X 的分布列为：X0 1 2P3727 27所以X 的数学期望3226()0127777E X =⨯+⨯+⨯=. （ii ）由（i ）知()22236262634(0(1)(2)77777749D X =⨯-+⨯-+⨯-=， 这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1，1，3-，3，1，4-，5-. 随机变量Y 可能的取值为0，1，2，3.Y 0=时，若0i j x x -=，有(1,1)，(1,1)，(1,1)共3种，若1i j x x -=，有(3,4)--，(4,5)--共2种， 故()27550C 21P Y ===； 1Y =时，若2i j x x -=，有(1,3)，(1,3)，(1,3)，(3,5)--共4种，故()27441C 21P Y ===； 2Y =时，若4i j x x -=，有(1,3)-，(1,3)-，(1,3)-共3种，若5i j x x -=，有(1,4)-，(1,4)-，(1,4)-共3种， 故()27622C 7P Y ===； 3Y =时，若6i j x x -=，有(1,5)-，(1,5)-，(1,5)-，(3,3)-共4种，若7i j x x -=，有(3,4)-共1种， 若8i j x x -=，有(3,5)-共1种， 故()27623C 7P Y ===. 则随机变量Y 的分布列为：Y0 1 23P5214212727所以Y 的数学期望542234()012321217721E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=.所以()222253443423423411886(0)(1)(2(3212121217217219261D Y =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=， 因为34118861499261<<，所以()()D X D Y <. 19. 已知焦点为F 的抛物线2:2(0)C y px p =>经过点(1,2)M ． （1）设O 为坐标原点，求抛物线C 的准线方程及△OFM 的面积；（2）设斜率为(0)k k ≠的直线l 与抛物线C 交于不同的两点,A B ，若以AB 为直径的圆与抛物线C 的准线相切，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】（1）准线为=1x -，1OFM S =△（2）证明见解析，定点(1,0)． 【解析】【分析】（1）由点在抛物线上代入求参数，写出抛物线方程，进而得准线方程，最后求△OFM 的面积； （2）设l 为(0)y kx m k =+≠，联立抛物线并应用韦达定理、中点公式得AB 的中点N 点横坐标，根据N 到准线的距离等于2AB 列方程得0k m +=，即可证结论并确定定点坐标.【小问1详解】因为抛物线22(0)y px p =>过点(1,2)，所以24p =，即2p =． 故抛物线C 的方程为24y x =，焦点(1,0)F ，准线方程为=1x -. 所以112 1.2OFM S =⨯⨯=△ 【小问2详解】设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠．由24y xy kx m⎧=⎨=+⎩ 得：222(24)0k x km x m +-+=，又0∆>有10km ->． 设1111(,),(,),A x y B x y 则12242km x x k -+=，2122m x x k=．设AB 的中点为00(,)N x y ，则120222x x km x k +-==. 所以N 到准线的距离20221k km d x k-+=+=，2AB x =-==，依题意有2AB d =222k km k -+=， 整理得2220k km m ++=，解得0k m +=，满足0∆>．所以直线(0)y kx m k =+≠过定点(1,0)．20. 已知函数()e sin 2xf x x x =-. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求()f x 在区间[1,1]-上的最大值；（3）设实数a 使得()e xf x x a +>对x ∈R 恒成立，写出a 的最大整数值，并说明理由. 【答案】（1）y x =-（2）()max sin12ef x =- （3）2-，理由见解析【解析】【分析】（1）求出函数在0x =处的导数，即切线斜率，求出(0)f ，即可得出切线方程；（2）求出函数在区间[1,1]-上的单调性，求出最值即可；（3）将不等式等价转化为sin e x x a x <-在x ∈R 上恒成立.构造函数()sin e xx x x ϕ=-，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证.【小问1详解】因为()e sin 2x f x x x =-， 所以()()e sin cos 2x f x x x =+-'，则(0)1f '=-，又(0)0f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =-.【小问2详解】令()()()esin cos 2x g x f x x x +'==-， 则()2e cos x g x x '=，当[1,1]x ∈-时，()0g x '>，()g x 在[1,1]-上单调递增.因为(0)10g =-<，()()1e sin1cos120g =+->，所以0(0,1)x ∃∈，使得0()0g x =.所以当0(1,)x x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0(,1)x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()1esin12e 21f =-<-<，()sin1121e f -=->， 所以()()max sin112e f x f =-=-. 【小问3详解】满足条件的a 的最大整数值为2-.理由如下：不等式()e x f x x a +>恒成立等价于sin ex x a x <-恒成立. 令()sin e x x x x ϕ=-， 当0x ≤时，0ex x -≥，所以()1x ϕ>-恒成立. 当0x >时，令()e x x h x =-，()0h x <，()1e x x h x '-=， ()h x '与()h x 的情况如下： x (0,1)1 (1,)+∞ ()h x '- 0 + ()h x 1e -所以()()min 11eh x h ==-，当x 趋近正无穷大时，()0h x <，且()h x 无限趋近于0， 所以()h x 的值域为1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，因为sin [1,1]x ∈-，所以()ϕx 的最小值小于1-且大于2-.所以a 的最大整数值为2-. 21. 已知有穷数列12:n A a a a ，，，(3)n ≥中的每一项都是不大于n 的正整数.对于满足1m n ≤≤的整数m ，令集合(){}12k A m k a m k n === ，，，，.记集合()A m 中元素的个数为()s m （约定空集的元素个数为0）.（1）若:63253755A ，，，，，，，，求(5)A 及(5)s ； （2）若12111()()()n n s a s a s a +++= ，求证：12,,,n a a a 互不相同；（3）已知12,a a a b ==，若对任意的正整数()i j i j i j n ≠+≤，，都有()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，求12n a a a +++ 的值.【答案】（1）(5){478}A =，，，(5)=3s .（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】 【分析】（1）观察数列，结合题意得到(5)A 及(5)s ；（2）先得到11()i s a ≤，故12111()()()n n s a s a s a +++≤ ，再由12111()()()n n s a s a s a +++= 得到()1i s a =，从而证明出结论；（3）由题意得i j i a a +=或i j j a a +=，令1j =，得到32a a =或31a a =，当a b =时得到12n a a a na +++= ，当a b ¹时，考虑3a a =或3a b =两种情况，求出答案.【小问1详解】因为4785a a a ===，所以{}(5)4,7,8A =，则(5)=3s ；【小问2详解】依题意()1,12i s a i n ≥=，，， ， 则有11()i s a ≤， 因此12111()()()n n s a s a s a +++≤ ， 又因为12111()()()n n s a s a s a +++= ， 所以()1i s a =所以12,,,n a a a 互不相同.【小问3详解】依题意12,.a a a b ==由()i i j A a +∈或()j i j A a +∈，知i j i a a +=或i j j a a +=.令1j =，可得1i i a a +=或11i a a +=，对于2,3,...1i n =-成立，故32a a =或31a a =.①当a b =时，34n a a a a ==== ，所以12n a a a na +++= .②当a b ¹时，3a a =或3a b =.当3a a =时，由43a a =或41a a =，有4a a =，同理56n a a a a ==== ，所以12(1)n a a a n a b +++=-+ .当3a b =时，此时有23a a b ==，令13i j ==，，可得4()A a ∈或4()A b ∈，即4a a =或4a b =.令14i j ==，，可得5()A a ∈或5()A b ∈. 令23i j ==，，可得5()A b ∈.所以5a b =.若4a a =，则令14i j ==，，可得5a a =，与5a b =矛盾.所以有4a b =.不妨设23(5)k a a a b k ====≥ ，令1(2,3,,1)i t j k t t k ==+-=-， ，可得1()k A b +∈，因此1k a b +=.令1,i j k ==，则1k a a +=或1k a b +=.故1k a b +=.所以12(1)n a a a n b a +++=-+ .综上，a b =时，12n a a a na +++= .3a a b =≠时，12(1)n a a a n a b +++=-+ .3a b a =≠时，12(1)n a a a n b a +++=-+ .【点睛】数列新定义问题方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念，要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题.的。
东城区2017届高三一模数学(理)试题及答案(官方版)
北京市东城区2016-2017学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则A B =U（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<（2）已知命题:,2np n ∀∈>N ，则p ⌝是（A）,2nn ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N （C）,2nn ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N（3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A ）13 （B ）23（C ）1（D ）43（7）将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x =图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为 （A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多.（A）①②（B）①③（C）②③（D）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市丰台区高三5月综合练习(二模)数学(理科)试卷Word版含答案
北京市丰台区高三5月综合练习（二模）数学（理科）试卷Word版含答案数学（理科）2017. 05（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项：1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2. 本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3. 请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40 分）、选择题共8小题，每小题5分，共40分•在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合A x 1 x 4 , B x x 2，那么AUB(A) (2,4) (B) (2,4] (C) [1,+ ) ( D) (2,+ )2.下列函数中，既是偶函数又是（0,+ ）上的增函数的是(A) y x3(B) y 2x1(C) y x2(D) y 砸3( x)3.在极坐标系中，点（运,-）到直线4cos sin 1 0的距离等于(A)—(B W23J2(C)汝(D) 22 24.下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y -x的是22 2 2 2(A) x?— 1 x 2(B) y 1y 2(C) x 12 x(D) y 14 4 4 45. 已知向量a f , b 爲,1），则a ,b的夹角为2 2正方形，则该几何体最大的侧面的面积为 (A ) 1(B ) 2(C ) 3 (D ) 2条件的非空集合A 的个数是8.血药浓度(PlasmaConcentration )是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，不正确...的个数是 ① 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用② 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于 2小时，一定会产生药物中毒 ③ 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用④ 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物 1单位，不会发生药物中毒 (A ) 1 个(B ) 2 个(C ) 3 个(D ) 4 个第二部分(非选择题共110分)(A ) n4(B ) n3 ，—、 n2n(C )-(D )—236. 一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为 7. S(A)表示集合A 中所有元素的和，且 A1,2,3,4,5，若S(A)能被3整除，则符合(A )10 (B )11(C ) 12 ( D )13二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面内，复数 '上对应的点的坐标为 __________ .i10. 执行右图所示的程序框图，若输入 x 的值为6,则输出的x 值为 _______ .11•点A 从(1,0)出发，沿单位圆按逆时针方向运动到点B ，若点B 的坐标是(3,4),记 AOB ,则sin2 =.5 5f( x) f (x);当 x 1 时，f(x 2) f (x)，则 f(8)uiruu uir14. 已知O ABC 的外心，且 BO BA BC .①若C 90，则 ②若 ABC 60，贝V的最大值为 _______三、解答题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. (本小题共13分)在锐角△ ABC 中，2asinB b.y 1，12.若x , y 满足y x 1，且z x y 的最大值为10,x y m ,则mln( x) x ；当 e x e 时,13.已知函数f (x)的定义域为R .当x 0时，f(x)(I)求/ A的大小；（H）求 3 sin B cos（C -）的最大值. 616. （本小题共13分）某社区超市购进了A, B, C, D四种新产品，为了解新产品的销售情况，该超市随机调查了15位顾客（记为a i,i 1,2,3丄，15）购买这四种新产品的情况，记录如下（单位:件）:（I）若该超市每天的客流量约为300人次，一个月按30天计算，试估计产品A的月销售量（单位：件）；（H）为推广新产品，超市向购买两种以上（含两种）新产品的顾客赠送2元电子红包•现有甲、乙、丙三人在该超市购物，记他们获得的电子红包的总金额为X,求随机变量X的分布列和数学期望；（川）若某顾客已选中产品B,为提高超市销售业绩，应该向其推荐哪种新产品？（结果不需要证明）17. （本小题共14分）女口图所示的几何体中，四边形ABCD为等腰梯形，AB II CD , AB 2AD 2 ,DAB 60，四边形CDEF为正方形，平面CDEF 平面ABCD .（I）若点G是棱AB的中点，求证：EG I平面BDF ;（□）求直线AE与平面BDF所成角的正弦值；18. (本小题共13分)已知函数f (x) e x alnx a .(I)当a e 时，求曲线y f(x)在点(1, f(1))处的切线方程；(n)证明：对于 a (0,e) , f (x)在区间(a ,1)上有极小值，且极小值大于0.e19. (本小题共14分)34x 的焦点重合，点 M(1-)在椭圆E 上.2(I)求椭圆E 的方程；(n)设P( 4,0)，直线y kx 1与椭圆E 交于A, B 两点，若直线 PA , PB 均与圆 x 2 y 2 r 2(r 0)相切，求k 的值.若不存在，说明理由.已知椭圆E 的右焦点与抛物线y 2(川)在线段FC 上是否存在点20. (本小题共13分)若无穷数列a n 满足：k N *，对于n n 0(n ° N *)，都有％ k % d (其中d 为 常数)，则称a n 具有性质“ P(k,n o ,d) ” .(I)若 a n 具有性质“ P(3,2,0) ”，且 a 2 3, 5, a 6 a ? a * 18，求 a a ; (H)若无穷数列b.是等差数列，无穷数列 c n 是公比为正数的等比数列，b i C a 2 ,b aG 8,a . bC n ，判断a n 是否具有性质“P(2,1,0) ”，并说明理由；(出)设a n 既具有性质“ P(i,2,d i ) ”，又具有性质“ P(j,2,d 2)”，其中i , j N * ,i j , i, j 互质，求证：a n 具有性质“ P(j i,i 2,j g) ” .i丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学(理科) 参考答案及评分参考2017. 05三、解答题共6小题，共80分•解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.(本小题共13 分)解：(I )由正弦 定 理得2sin Asin Bsin B ,• 2分因为0 B n,所以sin B 0,从而2sin A 1 , (3)... 分9. (4, 3)10. 011.24 2512. 413. 2 In2 14.1所以sin A 1 .2因为锐角△ ABC ,6 分10分.3sin B cos(Cn)=、3sin B cos(A C)6=3sin B cosB=2s in (B+ n)6............... 11 分当 B n时, 3sin B3 cos(C n）有最大值2,6 与锐 角 △ ABC 矛盾 ，故3sin B cos(C n)无 最 大6........................ 13 分16.（本小题共13分）解： （I）—（件），. .................... 3分答：产品A 的月销售量约为3000 件.. .................... 4分7t( n )因 为（n ） 顾客购买两种（含两种） 以上新产品 的概率为X可 取 6 ,P(X=)() ，八3、2 25P(X =4) C 3()-0 , 2 , 4...................... 6分P (X =2)c3r )2-箜,P(X=6)(苗竺, P —6 分 10分所以E(X) 0125 125 125 125 125 5( 出) 产D . 13分17.（本小题共14分）（［）证明: 由已知得EF //CD，且EF=CD.EG // FB .BDF .解：（n）AD BD .系,因为ABCD为等腰梯形,因为G是棱AB的中点,所以有BG//CD .所以BG=CD .所以EF //BG，且EF=BG ,故四边形EFBG为平行四边形，所以因为FB 平面BDF , EG 平面BDF所以EG 〃平面因为四边形CDEF为正方形，所以因为平面CDEF 平面ABCD ,ED DC .平面DE所以CDEF I 平面ABCD平面CDEF ,ED 平面ABCD .ABD中，因为DAB所以由余弦定理，得BDDC ,60 ,AB 2AD 2,4分y在等腰梯形ABCD中，可得DC CB如图，以D为原点，以DA, DB, DE所在直线分别为x,y,z 轴,\立则D(0,0,0) ,A(1,0,0),iuur所以AE (ULLT1,0,1) , DF面BDF坐6分E(0,0,1), B(0, 3,0) , F(丄,U,1),2 2(丄,乜,1), DB (0, 3,0).2 2的法向量为n (x, y,z)HAD . 14分.3y 0 1 忑 oy z 0 2 28分设直线AE 与平面BDF 所成的角为uni uni .AE n 则sincos AE ,nl IIl \ AE|| n|70"所以AE 与平面BDF 所成的角的正弦值为（川）线段FC 上不存在点H , 使平面BDF 平面HAD .证明如11分所以13分0 110,此方程无解.uuu n DB 0, uur n DF 0.卫1010分所以线段 FC 上不存在点H , 使平面BDF则 x 2, y 0, 得n(2,0,1)下:假设线段FC 上存在点H ，设 H(冷t)(0 t1)，uum则DH冷t).设平面 HAD 的法向量为m, m (a,b,c)，由m UlU DA uimDH 0,0.(0,,1) •要使平面 BDF 0,b平面 23t ，HAD , 只需12分1 分18. (本小题共 13 分)f(x)(0,xf(x) e e(l nx 1) ,f (x)f (1)0. y f(x)a e ,所以(1,f(1))f (1) 0处的切线f (1) e f (x)-在区xf (旦) eX 。
北京市东城区2016届高三5月综合练习(二)数学文试题 Word版含答案
北京市东城区2015-2016学年度第二学期高三综合练习（二）数学 （文科） 学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，那么（A） （B）（C） （D）（2）如图，根据样本的频率分布直方图，估计样本的中位数是（A）（B）（C）（D）（3）执行如图所示程序框图，则输出的结果是（A） （B）（C） （D）（4）已知，为圆上关于点对称的两点，则直线的方程为（A）（B）（C）（D）（5）设，为实数，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知函数是偶函数,且，则（A） （B）（C） （D）（7）已知向量，将向量绕坐标原点逆时针旋转角得到向量 ，则下列说法不正确的是（A）（B）（C）（D）（8）如图，在边长为的正方形组成的网格中，有椭圆，，，它们的离心率分别为，，，则（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9）如图所示，在复平面内，点A对应的复数为，则复数．（10）若函数在区间上有且只有一个零点，则实数．（11）已知双曲线的虚轴长是实轴长的倍，则实数 .（12）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为________.（13）已知数列满足,，且，，则 ；数列的前项的和为________．（14）一名顾客计划到某商场购物，他有三张商场的优惠劵，商场规定每购买一件商品只能使用一张优惠券．根据购买商品的标价，三张优惠券的优惠方式不同，具体如下：优惠劵A：若商品标价超过元，则付款时减免标价的；优惠劵B：若商品标价超过元，则付款时减免元；优惠劵C：若商品标价超过元，则付款时减免超过元部分的．某顾客想购买一件标价为元的商品，若想减免钱款最多，则应该使用优惠劵（填A,B,C）；若顾客想使用优惠券C，并希望比优惠券A和B减免的钱款都多，则他购买的商品的标价应高于________元．三、解答题共6小题，共80分。
2017北京市东城区高三一模数学理科试卷(word版含问题详解)
2017年市东城区高三一模数学 （理科）学校_____________班级_____________________________考号___________本试卷共5页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合2{|20}A x x x =--<，{|13}B x x =<<，则AB =（A ）{|13}x x -<< （B ）{|11}x x -<< （C ）{|12}x x << （D ）{|23}x x <<（2）已知命题:,2np n ∀∈>N ，则p ⌝是（A）,2nn ∀∈≤N （B）,2n n ∀∈<N（C）,2nn ∃∈≤N （D）,2n n ∃∈>N（3）已知圆的参数方程为1,x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则圆心到直线3y x =+的距离为（A ）1 （B（C ）2 （D）（4）已知m 是直线，,αβ是两个互相垂直的平面，则“m ∥α”是“m β⊥ ”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）已知向量,a b 满足2+=0a b ，2⋅=-a b ，则(3+)()⋅-=a b a b（A ）1 （B ）3 （C ）4 （D ）5（6）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为 （A ）13 （B ）23 （C ）1 （D ）43（7）将函数sin(2)6y x π=+的图象向左平移(0)m m >个单位长度，得到函数()y f x 图象在区间[,]1212π5π-上单调递减，则m 的最小值为 （A ）12π （B ）6π （C ）4π （D ）3π （8）甲抛掷均匀硬币2017次，乙抛掷均匀硬币2016次，下列四个随机事件的概率是0.5的是①甲抛出正面次数比乙抛出正面次数多. ②甲抛出反面次数比乙抛出正面次数少. ③甲抛出反面次数比甲抛出正面次数多. ④乙抛出正面次数与乙抛出反面次数一样多. （A ）①②（B ）①③（C ）②③（D ）②④第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市东城区2017届高三5月综合练习(二模)理综化学试题(word版)
北京市东城区2016 - 2017 学年度第二学期高三综合练习（二）．2017.5理科综合化学可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 CI 35.5 S 32 Cu 64 Cr 52第一部分（选择题共120 分）6．能源是人类生存和发展的基础。
下列能源的开发和利用过程中不涉及化学反应的是7．下列叙述正确的是A．用氨水清除试管壁附着的银镜B．用氢氧化钠溶液清洗沾在皮肤上的苯酚C．用食醋清除暖瓶水垢（主要成分碳酸钙）D．用碳酸钠溶液清除钢铁制品表面的铁锈8．已知34Sc 的原子结构示意图下列说法正确的是A．Se 位于第4 周期第ⅣA 族B．原子半径：Br>Se>PC．热稳定性：HCI>H2Se>HBr D．酸性：HClO3>HBrO3>H2SeO49．下列说法正确的是A．葡萄糖、蔗糖均可发生银镜反应B．硫酸铵和乙酸铅均能使蛋白质发生变性C．乙炔和乙醛均可作为合成聚合物的单体D．淀粉和油脂都是能够发生水解反应的高分子化合物10．科学家研制出了一种新型的锂一空气电池，其工作原理如图所示。
关于该电池的说法中不正确的是A．回收水性电解液可制取锂B．可将有机电解液改为水溶液C．正极的电极反应式为D．电池总反应方程式为11．CO 2经催化加氢可合成乙烯：2CO2 (g) +6H2 (g) C2H4(g)+4H2O(g)。
0.1 MPa 时，按n(CO2)：n(H2)=l：3 投料，测得不同温度下平衡时体系中各物质浓度的关系如图。
下列叙述不正确的是A．该反应的△H<OB．曲线b 代表H2OC．N 点和M 点所处状态的c(H2)不一样D．其它条件不变，T1℃、0.2 MPa 下反应达平衡时c(H2)比M 点大12．某同学为测定Na2CO3固体（含少量NaCI）的纯度，设计如下装置（含试剂）进行实验。
下列说法不正确的是A．必须在②③间添加吸收HCl 的装置B．④的作用是防止空气中的气体影响实验的精确度C．通入空气的作用是保证②中产生的气体完全转移到③中D．称取样品和③中产生的沉淀的质量即可求算Na2CO3固体的纯度25．(17 分)有机高分子化合物M 是生产玻璃钢的原料，其合成路线如下：(1)烃A 的相对分子质量为28．其结构简式是。